第一篇：數(shù)學(xué)分析論文

數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院

期中考試（論文）

學(xué)院：數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)班級(jí)：姓名：牟景峰

14級(jí)本科一班

2015年11月11日

討論n元函數(shù)的極限的證明與計(jì)算方法

牟景峰

（隴東學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 甘肅 慶陽(yáng) 745000）

【摘要】 聯(lián)系一元函數(shù)定義、極限、以及極限的證明方法和計(jì)算方法討論得出多元函數(shù)極限的證明和計(jì)算方法。

【關(guān)鍵詞】 n元函數(shù) 極限 證明 計(jì)算方法

引言

在此之前我們已經(jīng)學(xué)過一元函數(shù)，把一元函數(shù)的主要概念和極限推廣到多元函數(shù)上是至關(guān)重要的，多元函數(shù)與一元函數(shù)相比，多元函數(shù)定義域的復(fù)雜性使得對(duì)討論多元函數(shù)相關(guān)問題帶來(lái)不便，因此，我們要在討論多元函數(shù)時(shí)既要注意的多元函數(shù)與一元函數(shù)的區(qū)別，也要注意到它們的聯(lián)系。這里我們將討論兩個(gè)問題，分別是多元函數(shù)極限的證明和計(jì)算方法。在此之前，我們首先給出多元函數(shù)的概念。

一、n元函數(shù)的概念

1、n維歐氏空間

眾所周知，實(shí)數(shù)軸上的點(diǎn)與全體實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)。在確定的坐標(biāo)系下平面上的點(diǎn)與所有有序?qū)崝?shù)對(duì)（x,y）一一對(duì)應(yīng)，空間中點(diǎn)與所有有序三元實(shí)數(shù)組（x,y,z）一一對(duì)應(yīng)。一般來(lái)說(shuō)，定義所有有序n元實(shí)數(shù)組(x1,x2,…,xn)所組成的集合為n維歐幾里德（Euclid）空間，簡(jiǎn)稱n維歐氏空間，記為Rn，即

Rn={（x1，x2，…，xn）；x1，x2，…，xn為實(shí)數(shù)}

2、n元函數(shù)的概念

⒈有了前面n維歐氏空間的概念我們就可以建立n元函數(shù)的概念了。我們學(xué)過一元和二元函數(shù)，將其推廣到n（≥3）元函數(shù)，就沒有什么原則上的困難。為此我們先建立n維歐氏空間

Rn={（x1，x2，…，xn）；x1，x2，…，xn為實(shí)數(shù)} 也就是說(shuō)，Rn是全體有序的n個(gè)實(shí)數(shù)組的集合，把每個(gè)n元實(shí)數(shù)組看成Rn空間的點(diǎn)X=（x1，…，xi，…，xn），xi是它的第i（1≤i≤n）個(gè)坐標(biāo).Rn中的點(diǎn)X=（x1，…，xn）與Y=（y1,…,yn），當(dāng)且僅當(dāng)xi?yi（1≤i≤n）時(shí)，才有X=Y成立。Rn的任何子集叫做n維點(diǎn)集。這樣，n元函數(shù)不過是由n維點(diǎn)集到實(shí)數(shù)集的映射罷了。⒉設(shè)D?Rn,M?R，f?D×M,且對(duì)每個(gè)X=（x1，…，xn）?D，有唯一確定的數(shù)u?M與之對(duì)應(yīng)，使（X,u）=（x1，…，xn；u）?f，則稱f為定義于D,取值于M的n元函數(shù)。記作

f:D→M；或u=f(X)=f(x1，…，xn),X=（x1，…，xn）?D，D稱為函數(shù)f的定義域，M稱為f的取值域。

n元函數(shù)u=f(X)=f(x1，…，xn),X=（x1，…，xn）?D的圖像為集合 S={（x1，…，xn；u）{u=f(x1，…，xn),（x1，…，xn）?D}?Rn?1}.當(dāng)n≥3時(shí)，S就沒有直觀的幾何表示，我們稱它為Rn?1空間的超曲面。

二、n元函數(shù)的極限的證明

00設(shè)f(X)是n元函數(shù)，D稱為其定義域，x0=（x1,x2,…,x0n）是D的聚點(diǎn)。對(duì)于實(shí)數(shù)A,如果任給?﹥0，存在?﹥0，使得當(dāng)x屬于D且0﹤|x﹣x0|﹤?時(shí)，就有

|f(X)﹣A|﹤?，⑴

則稱A是x?x0時(shí)f(X)的極限，記為

x?x0limf(X)=A.⑵

特別地，當(dāng)n等于2時(shí)，也記作limf（x1，x2）=A 0x?x10x?x20注：U0（x0，?）={（x1，…，xn）||xi﹣x1|﹤?，i=1,2,…,n且（x1，x2，…，xn）≠（x,x,…,x）}或U（x0，?）={（x1，…，xn）|0﹤01020n0?(xk?1nk02?xk)﹤?} 據(jù)上定義，要證，limf(X)=A，只需證對(duì)任意的?﹥0，存在?﹥0，當(dāng)D?U0（x0，x?x0?）?X時(shí)，有，|f(X)﹣A|﹤?。

這里找?關(guān)鍵，通常是從不等式⑴入手，通過解⑴得到要找的?，大家知道這往往是很困難的，常常要考慮函數(shù)f(X)本身的性態(tài)和一些解題技巧。一般地，證明⑵采取適當(dāng)放大不等式⑴的方法。

000|f(X)﹣A|≤…≤|x1?x1|·|g1（x）|+|x2?x2|·|g2(x)|+…+|xn?xn|·|gn（x）| ⑶(ⅰ)若|gi（x）|=M,（i=1,2,…,n）即gi（x）皆為常數(shù)，則取 M=max{M1,M2,…,Mn} 任意的?﹥0取???nM﹥0,當(dāng)D?U0（x0，?）?X時(shí)，有

00|f(X)﹣A|≤…≤|x1?x1|M1+…+|xn?xn|Mn﹤

?M1?M2?Mn++…+nMnMnM≤?即，limf(X)=A x?x0

（ⅱ）若存在?1﹥0，使gi（x）（i=1,2,…,n）在U0（x0，?1）?D內(nèi)有界，即

當(dāng)?M﹥0,使任意的X?U0（x0，?1）?D有 |gi（x）|=M,（i=1,2,…,n）于是，當(dāng)X?U0（x0，?1）?D時(shí)，有

00|f(X)﹣A|≤M（|x1?x1|+…+|xn?xn|）

任意的?﹥0，取?=min（?，?1）X?U0（x0，?1）?D時(shí)，有 nM00|f(X)﹣A|≤M（|x1?x1|+…+|xn?xn|）=?

即證明了：limf(X)=A x?x0現(xiàn)在的問題是將如何將|f(X)﹣A|放大為滿足（?。┗颍áⅲ┑牟坏仁舰?，上面主要給出了證明的主要思想，至于說(shuō)具體做法，要根據(jù)不同的函數(shù)來(lái)定。一般都是用直接放大法和變量替換，這里就不再重復(fù)，下面介紹一種利用代數(shù)方法導(dǎo)出的一種證明方法——多元多項(xiàng)式的帶余除法（此方法僅適用于證明多元多項(xiàng)式的極限）。

由一元多項(xiàng)式的帶余除法理論不難得到如下結(jié)果。

n00R定理1 設(shè)f(x1，…，xn)為n元多項(xiàng)式，則對(duì)任意的x0=（x1），,x2,…,x0?n若存在多項(xiàng)式f1(x1，…，xn)、f2(x2，…，xn)、…、fn(xn)及常數(shù)M，使成立

000f(x1，…，xn)=（x1?x1）f1(x1，…，xn)+（x2?x2）f2(x2，…，xn)+…+（xn?xn）fn(xn)+M

⑷

0事實(shí)上，應(yīng)用一元多項(xiàng)式的帶余除法，先用（x1?x1）去除f(x1，…，xn)可得到

0f(x1，…，xn)=（x1?x1）f1(x1，…，xn)+g1(x1，…，xn)0再用x2?x2去除g1(x1，…，xn)可得到

0g(x2，…，xn)=（x2?x2）f2(x2，…，xn)+g2（x3，…，xn）

0繼續(xù)用x3?x3去除g2（x3，…，xn）可得

0）f3（x3，…，xn）+g3（x4，…，xn）g2（x3，…，xn）=（x3?x3……

0）fn(xn)+M gn?1（xn）=（xn?xn于是

000f(x1，…，xn)=（x1?x1）f1(x1，…，xn)+（x2?x2）f2(x2，…，xn)+…+（xn?xn）fn(xn)+M

00推論1 n元多項(xiàng)式f(x1，…，xn)可表示為

⑷式?f（x1,x2,…,x0n）=M 推論2 若n元多項(xiàng)式f(x1，…，xn)可表示為

⑷式，則表示式是唯一的。定理2 若n元多項(xiàng)式f(x1，…，xn)可表示為

⑷式，則

00(x1,x2,…,xn)?(x1,x2,…,x0n)limf(x1，…，xn)=M 證明：由假設(shè)，⑷式成立，首先任意取定?1﹥0，則f1（xi,xi?1,…,xn），（i=1,2,…,n）00在點(diǎn)（x1,x2,…,x0n）的?1空心鄰域內(nèi)有界，即存在K﹥0,使|f1（xi,xi?1,…,xn）|

00≤K［|xi?xi0|﹤?1，i=1,2,…,n.（x1，x2，…，xn）≠（x1］ ,x2,…,x0n）00此時(shí)，由⑷式得|f(x1，…，xn)﹣M|≤K（|x1?x1|+…+|xn?xn|），?1），當(dāng)|xi?xi0|﹤?，且（x1，x2，…，xn）

nK??00x≠（x1）時(shí)，有|f(，…，)﹣M|﹤K（，…，）=? x,x2,…,x01nnnKnK任意的?﹥0，取?=min（從而證明了

00(x1,x2,…,xn)?(x1,x2,…,x0n)?limf(x1，…，xn)=M

00(x1,x2,…,xn)?(x1,x2,…,x0n)定理3 若f(x1，…，xn)為n元多項(xiàng)式，且則f(x1，…，xn)﹣A可表示為

limf(x1，…，xn)=A，00f(x1，…，xn)﹣A=（x1?x1）f1(x1，…，xn)+（x2?x2）f2(x2，…，xn)+…+0（xn?xn）fn(xn)其中f1(x1，…，xn)，f2(x2，…，xn)，…，fn(xn)為多項(xiàng)式。0證明：由定理1多項(xiàng)式f(x1，…，xn)﹣A可表示為f(x1，…，xn)﹣A=（x1?x1）00）f2(x2，…，xn)+…+（xn?xn）fn(xn)+M f1(x1，…，xn)+（x2?x2據(jù)定理2，00(x1,x2,…,xn)?(x1,x2,…,x0n)lim［f(x1，…，xn)﹣A］=M，又因?yàn)?/p>

00(x1,x2,…,xn)?(x1,x2,…,x0n)limf(x1，…，xn)=A，從而，M=0，即本定理為真。

從以上結(jié)果我們就得到了用定義證明多元多項(xiàng)式極限的方法。

三、n元函數(shù)極限的計(jì)算方法

我們對(duì)求一元函數(shù)的極限研究的比較多，找到一些十分有效的方法，但對(duì)多元函數(shù)求極限的方法了解不夠多。這里以二元函數(shù)為例介紹幾種求極限的方法。

1、定義法

通過觀察或求方向極限，求出一個(gè)數(shù)值，然后再用二元函數(shù)極限的定義證明該數(shù)值介紹二元函數(shù)的極限。例1 求(x,y)?(0,0)limxy(x2?y2)22x?y解：當(dāng)（x，y）沿y軸趨向于（0，0）時(shí)，此方向極限為0.下面證明0就是所求的極限值。

xy(x2?y2)x2?y2因?yàn)閨﹣0|=xy·2≤x?y

x2?y2x?y2所以任給?﹥0，取S=?，當(dāng)x﹤S,y﹤S,（x，y）≠（0，0）時(shí)，xy(x2?y2)xy(x2?y2)有|﹣0|≤xy﹤?·?=?，故lim=0 2222(x,y)?(0,0)x?yx?y2、四則運(yùn)算法

例2 求解：所以x?y

(x,y)?(1,2)x2?xy?y2lim(x,y)?(1,2)(x,y)?(1,2)lim(x?y)?3,lim(x2?xy?y2)?3

x?y=1.(x,y)?(1,2)x2?xy?y2lim3、迫斂法

例3 求(x,y)?(0,0)limx2?y2 22x?yx?y|≤

x2?y222xy解：因?yàn)楫?dāng)（x，y）≠（0,0）時(shí)，有0≤|而lim1?(x2?y2)12=xy 222x?y(x,y)?(0,0)1x2?y2xy=0，所以lim=0 22(x,y)?(0,0)2x?y4、利用重要極限法

例4 求解：(x,y)?(0,1)limsinxy x(x,y)?(0,1)limsinxysinxysinxy=lim（·y）=lim·limy=1·1=1(x,y)?(0,1)(x,y)?(0,1)(x,y)?(0,1)xxyxy5、有理化法

如要求極限的分子或分母中含有根式，將分子或分母有理化，常可解決問題。例5

(x,y)?(0,0)limx2?y21?x?y?1=22

解：因?yàn)閤2?y21?x2?y2?122(x2?y2)(1?x2?y2?1)(1?x2?y2)2?1lim=1?x2?y2?1

而(x,y)?(0,0)lim（1?x?y?1）=2，所以

x2?y21?x?y?122(x,y)?(0,0)=2

6、等價(jià)量代換法

例6

(x,y)?(0,0)limsin(x5?y5)

x?y解：因?yàn)楫?dāng)（x，y）?（0,0）時(shí)，x5?y5?0,，所以sin(x5?y5)~x5?y5..故 lim(x,y)?(0,0)sin(x5?y5)x5?y5=lim(x,y)?(0,0)x?yx?y=(x,y)?(0,0)lim(x?y)(x4?x3y?x2?y2?xy3?y4)

x?y=(x,y)?(0,0)lim（x4?x3y?x2?y2?xy3?y4）

=0

7、取對(duì)數(shù)法

如要求的極限形如lim(x,y)?(x,g)種形式，則通常應(yīng)用先取對(duì)數(shù)而后求極限的方法。例7 求(x,y)?(0,0)lim(x2?y2)x22y

2222解：令Z=(x?y)22x2y2x2?y22222，則有㏑Z=x?yln?x?y??2，?????x?ylnx?y2x?yx2?y2=0

x2?y21lntt=lim（-t）=0.=lim?x2?y2?ln?x2?y2?=limt?01t?0?1t?0??2tt由例3結(jié)果得(x,y)?(0,0)lim又令t=x2?y2時(shí)，(x,y)?(0,0)lim所以(x,y)?(0,0)lim㏑Z=0，即

(x,y)?(0,0)lim(x2?y2)x22y=e0=1.8、設(shè)輔助未知法

適當(dāng)?shù)脑O(shè)輔助未知數(shù)，將二元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)，然后再用一元函數(shù)求極限的方法求值。例8 求

10?x?y??e??x?y?

?x,y???-∞,?∞?lim,y??∞時(shí)，有t??∞解：設(shè)x+y=t，則當(dāng)x??∞，所以?x,y???-∞,?∞?lim?x?y?10?e??x?y?t10=limt?e=limt t??∞t??∞e10?t10!10?t910??x?y?limlimlim=……==0，即=0 ??x?y?ettt??∞t??∞????x,y?-∞,?∞ee9、極坐標(biāo)換元法

例9 求(x,y)?(0,0)limxyx?y22

?x?rcos?xy解：設(shè)?，有r=x2?y2,當(dāng)（x，y）?（0，0）時(shí)，有r?0，又

x2?y2?y?rsin?=rcos?sin?，且對(duì)任意的?，均有sin?cos?≤1，所以(x,y)?(0,0)limxyx?y22=0.10、轉(zhuǎn)換法

轉(zhuǎn)換法是指將多元函數(shù)求極限轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)求極限的方法.例10 求?x,y???-∞,?∞lim?x?2?y2?e??x?y?

解:因?yàn)?x2?y2?e??x?y?=(x2?e?x)e?y+?y2?e?y?e?x, 所以?x,y???-∞,?∞lim?x?2?y2?e??x?y?=

?x,y???-∞,?∞?lim(x2?e?x)e?y+

?x,y???-∞,?∞lim?y?2?e?y?e?x

2?y??x?limx2?e?ylime?y+??limy?e???lime??=0+0=0.x??∞x??∞?y??∞??y??∞?以上我們主要介紹了二元函數(shù)極限的一些求法,但是,在一般情況下,要求一個(gè)二元或更多元函數(shù)的極限問題.需綜合應(yīng)用上述各有關(guān)方法.參考文獻(xiàn)

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［2］鄭憲祖，王仲春，蔡偉，田學(xué)正，辛發(fā)元，劉夫孔，王利民.數(shù)學(xué)分析（下冊(cè)）［M］陜西：陜西科學(xué)技術(shù)出版社，1985 ［3］劉玉璉，呂鳳，范德新，王大海.數(shù)學(xué)分析第二版（下冊(cè)）［M］.北京：高等教育出版社，1994 ［4］華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（下冊(cè)）［M］.北京：高等教育出版社，2010 ［5］張?zhí)斓?，孫書榮.華東師大第四版（下冊(cè)）輔導(dǎo)及習(xí)題精解.延邊大學(xué)出版社 ????

第二篇：數(shù)學(xué)分析課程論文選題

1.初等函數(shù)的定義及分類。2.分段函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用。3.復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)研究。

4.數(shù)列極限定義（??N）的注。5.極限求法綜述。

6.利用公理（實(shí)數(shù)連續(xù)性）證明極限的若干技巧。7.利用兩邊夾定理證明極限的若干技巧。8.極限證明方法綜述。

9.連續(xù)函數(shù)的若干等價(jià)定義。

10.函數(shù)一致連續(xù)性的等價(jià)性及性質(zhì)。

11．閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用。

12．初等函數(shù)的連續(xù)性及對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的指導(dǎo)作用。13．實(shí)數(shù)的構(gòu)造理論。

14．閉區(qū)間套定理的證明、推廣及應(yīng)用。15．有限覆蓋定理的證明、推廣及應(yīng)用。16．實(shí)數(shù)的連續(xù)性定理的等價(jià)性。17．上、下確界的性質(zhì)及應(yīng)用。18．對(duì)各種導(dǎo)數(shù)的研究。

19．微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用。20．（高階導(dǎo)數(shù)）萊布尼茲公式的應(yīng)用及推廣。21．拉格朗日中值定理的證明及應(yīng)用。22．柯西中值定理的證明及應(yīng)用。23．泰勒公式的證明及應(yīng)用。

24．中值定理“中間值”的漸進(jìn)性。25．羅爾中值定理的證明及應(yīng)用。26．泰勒公式在近似計(jì)算中的應(yīng)用。27．利用導(dǎo)數(shù)證明不等式。28．凸函數(shù)的等價(jià)定義。

29．凸函數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用。30.函數(shù)的最值研究。（一元、多元）31．函數(shù)的極值研究。（一元、多元）32．常用的幾個(gè)函數(shù)的圖象及性質(zhì)。（正態(tài)分布的密度函數(shù)、?函數(shù)……）33．不定積分計(jì)算中的若干技巧。34．分部積分法中U、V的選取技巧。35．換元積分法中的換元技巧。

36．有理函數(shù)的不定積分計(jì)算中的若干技巧。37．三角函數(shù)的不定積分計(jì)算中的若干技巧。38．黎曼積分的定義。39．可積準(zhǔn)則的等價(jià)性。

40．積分變限函數(shù)的若干應(yīng)用。41．積分等式證明的若干技巧。42．積分不等式證明的若干技巧。43．平面圖形的面積的計(jì)算方法。44．積分中值定理的證明及推廣。45．積分中值定理中間值的漸進(jìn)性。46．（不同旋轉(zhuǎn)軸的）旋轉(zhuǎn)體體積的計(jì)算方法。47．微積分在物理學(xué)中的應(yīng)用。48．微積分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用。49．正項(xiàng)級(jí)數(shù)判別法綜述。50．絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的若干性質(zhì)。51．一致收斂性質(zhì)及其判別法。52．和函數(shù)的分析性質(zhì)及其應(yīng)用。53．將函數(shù)展開為冪級(jí)數(shù)的若干方法。54．冪級(jí)數(shù)的應(yīng)用。

55．Fourier級(jí)數(shù)收斂定理的證明及應(yīng)用。56．閉區(qū)間套定理的推廣及其應(yīng)用。

57．二元函數(shù)的極限、連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)、可微性之間的關(guān)系。58．方向?qū)?shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用。59．多元函數(shù)極值的充要條件。60．Lagrange乘數(shù)法及應(yīng)用。61．最小二乘法及應(yīng)用。62．隱函數(shù)的存在性。

63．廣義積分的收斂判別法。64．?函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用。65．B函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用。

66．含參變量有限積分的性質(zhì)及應(yīng)用。67．含參變量無(wú)窮積分的性質(zhì)及應(yīng)用。68．二重積分的計(jì)算方法。69．三重積分的計(jì)算方法。70．重積分在幾何中的應(yīng)用。71．重積分在物理學(xué)中的應(yīng)用。72．分片函數(shù)的重積分的計(jì)算方法。73．分片函數(shù)的可微性及其應(yīng)用。74．第一型曲線積分的性質(zhì)及其應(yīng)用。75．格林公式及其應(yīng)用。76．奧高公式及其應(yīng)用。

77．奇偶對(duì)稱性在重積分中的應(yīng)用。78．奇偶對(duì)稱性在曲線積分中的應(yīng)用。79．代換技巧在曲線積分中的應(yīng)用。80．第二型曲線（面）積分的計(jì)算方法。81．斯托克斯公式及其應(yīng)用。

第三篇：數(shù)學(xué)分析

《數(shù)學(xué)分析》考試大綱

一、本大綱適用于報(bào)考蘇州科技學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)專業(yè)的碩士研究生入學(xué)考試。主要考核數(shù)學(xué)分析課程的基本概念、基本理論、基本方法。

二、考試內(nèi)容與要求

(一)實(shí)數(shù)集與函數(shù)

1、實(shí)數(shù)：實(shí)數(shù)的概念，實(shí)數(shù)的性質(zhì)，絕對(duì)值與不等式;

2、數(shù)集、確界原理：區(qū)間與鄰域，有界集與無(wú)界集，上確界與下確界，確界原理;

3、函數(shù)概念：函數(shù)的定義，函數(shù)的表示法(解析法、列表法、和圖象法)，分段函數(shù)；

4、具有某些特征的函數(shù)：有界函數(shù)，單調(diào)函數(shù)，奇函數(shù)與偶函數(shù)，周期函數(shù)。

要求：了解數(shù)學(xué)的發(fā)展史與實(shí)數(shù)的概念，理解絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，會(huì)解絕對(duì)值不等式；弄清區(qū)間和鄰域的概念, 理解確界概念、確界原理，會(huì)利用定義證明一些簡(jiǎn)單數(shù)集的確界；掌握函數(shù)的定義及函數(shù)的表示法，了解函數(shù)的運(yùn)算；理解和掌握一些特殊類型的函數(shù)。

(二)數(shù)列極限

1、極限概念；

2、收斂數(shù)列的性質(zhì)：唯一性，有界性，保號(hào)性，單調(diào)性；

3、數(shù)列極限存在的條件：?jiǎn)握{(diào)有界準(zhǔn)則，迫斂性法則，柯西準(zhǔn)則。

要求：逐步透徹理解和掌握數(shù)列極限的概念；掌握并能運(yùn)用?-N語(yǔ)言處理極限問題；掌握收斂數(shù)列的基本性質(zhì)和數(shù)列極限的存在條件(單調(diào)有界函數(shù)和迫斂性定理)，并能運(yùn)用；了解數(shù)列極限柯西準(zhǔn)則,了解子列的概念及其與數(shù)列極限的關(guān)系；了解無(wú)窮小數(shù)列的概念及其與數(shù)列極限的關(guān)系.(三)函數(shù)極限

1、函數(shù)極限的概念，單側(cè)極限的概念；

2、函數(shù)極限的性質(zhì)：唯一性，局部有界性，局部保號(hào)性，不等式性，迫斂性；

3、函數(shù)極限存在的條件：歸結(jié)原則（Heine定理），柯西準(zhǔn)則；

4、兩個(gè)重要極限；

5、無(wú)窮小量與無(wú)窮大量，階的比較。

要求：理解和掌握函數(shù)極限的概念；掌握并能應(yīng)用?-?, ?-X語(yǔ)言處理極限問題；了解函數(shù)的單側(cè)極限，函數(shù)極限的柯西準(zhǔn)則；掌握函數(shù)極限的性質(zhì)和歸結(jié)原則；熟練掌握兩個(gè)重要極

限來(lái)處理極限問題。

(四)函數(shù)連續(xù)

1、函數(shù)連續(xù)的概念：一點(diǎn)連續(xù)的定義，區(qū)間連續(xù)的定義，單側(cè)連續(xù)的定義，間斷點(diǎn)及其分類；

2、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：局部性質(zhì)及運(yùn)算，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（最大最小值性、有界性、介值性、一致連續(xù)性），復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性，反函數(shù)的連續(xù)性；

3、初等函數(shù)的連續(xù)性。

要求：理解與掌握一元函數(shù)連續(xù)性、一致連續(xù)性的定義及其證明，理解與掌握函數(shù)間斷點(diǎn)及其分類，連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)；理解單側(cè)連續(xù)的概念；能正確敘述和簡(jiǎn)單應(yīng)用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)；了解反函數(shù)的連續(xù)性，理解復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性，初等函數(shù)的連續(xù)性。

（五）導(dǎo)數(shù)與微分

1、導(dǎo)數(shù)概念：導(dǎo)數(shù)的定義、單側(cè)導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的幾何意義；

2、求導(dǎo)法則：導(dǎo)數(shù)公式、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算(四則運(yùn)算)、求導(dǎo)法則（反函數(shù)的求導(dǎo)法則，復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，隱函數(shù)的求導(dǎo)法則，參數(shù)方程的求導(dǎo)法則）；

3、微分：微分的定義，微分的運(yùn)算法則，微分的應(yīng)用；

4、高階導(dǎo)數(shù)與高階微分。

要求：理解和掌握導(dǎo)數(shù)與微分概念，了解它的幾何意義；能熟練地運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和求導(dǎo)法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；理解單側(cè)導(dǎo)數(shù)、可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系，高階導(dǎo)數(shù)的求法；了解導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用，微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用。

（六）微分學(xué)基本定理

1、中值定理：羅爾中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理；

2、幾種特殊類型的不定式極限與羅比塔法則；

3、泰勒公式。

要求：掌握中值定理的內(nèi)容、證明及其應(yīng)用；了解泰勒公式及在近似計(jì)算中的應(yīng)用，能夠把某些函數(shù)按泰勒公式展開；能熟練地運(yùn)用羅必達(dá)法則求不定式的極限

（七）導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1、函數(shù)的單調(diào)性與極值；

2、函數(shù)凹凸性與拐點(diǎn).要求：了解和掌握函數(shù)的某些特性(單調(diào)性、極值與最值、凹凸性、拐點(diǎn))及其判斷方法，能利用函數(shù)的特性解決相關(guān)的實(shí)際問題。

（八）實(shí)數(shù)完備性定理及應(yīng)用

1、實(shí)數(shù)完備性六個(gè)等價(jià)定理：閉區(qū)間套定理、單調(diào)有界定理、柯西收斂準(zhǔn)則、確界存在定理、聚點(diǎn)定理、有限覆蓋定理；

2、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)整體性質(zhì)的證明：有界性定理的證明，最大小值性定理的證明，介值性定理的證明，一致連續(xù)性定理的證明；

3、上、下極限。

要求：了解實(shí)數(shù)連續(xù)性的幾個(gè)定理和閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)的證明；理解聚點(diǎn)的概念，上、下極限的概念。

（九）不定積分

1、不定積分概念；

2、換元積分法與分部積分法；

3、幾類可化為有理函數(shù)的積分；

要求：理解原函數(shù)和不定積分概念；熟練掌握換元積分法、分部積分法、有理式積分法、簡(jiǎn)單無(wú)理式和三角有理式積分法。

（十）定積分

1、定積分的概念：概念的引入、黎曼積分定義，函數(shù)可積的必要條件；

2、可積性條件：可積的必要條件和充要條件，達(dá)布上和與達(dá)布下和，可積函數(shù)類(連續(xù)函數(shù)，只有有限個(gè)間斷點(diǎn)的有界函數(shù)，單調(diào)函數(shù))；

3、微積分學(xué)基本定理：可變上限積分，牛頓-萊布尼茲公式；

4、非正常積分：無(wú)窮積分收斂與發(fā)散的概念，審斂法（柯西準(zhǔn)則，比較法，狄利克雷與阿貝爾判別法）；瑕積分的收斂與發(fā)散的概念，收斂判別法。

要求：理解定積分概念及函數(shù)可積的條件；熟悉一些可積分函數(shù)類，會(huì)一些較簡(jiǎn)單的可積性證明；掌握定積分與可變上限積分的性質(zhì)；能較好地運(yùn)用牛頓-萊布尼茲公式，換元積分法，分部積分法計(jì)算一些定積分。掌握廣義積分的收斂、發(fā)散、絕對(duì)收斂與條件收斂等概念；能用收斂性判別法判斷某些廣義積分的收斂性。

（十一）定積分的應(yīng)用

1、定積分的幾何應(yīng)用：平面圖形的面積，微元法，已知截面面積函數(shù)的立體體積，旋轉(zhuǎn)體的體積平面曲線的弧長(zhǎng)與微分，曲率；

2、定積分在物理上的應(yīng)用：功、液體壓力、引力。

要求：重點(diǎn)掌握定積分的幾何應(yīng)用；掌握定積分在物理上的應(yīng)用；在理解并掌握“微元法”。

（十二）數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

1、級(jí)數(shù)的斂散性：無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂，發(fā)散等概念，柯西準(zhǔn)則，收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)；

2、正項(xiàng)級(jí)數(shù)：比較原理，達(dá)朗貝爾判別法，柯西判別法，積分判別法；

3、一般項(xiàng)級(jí)數(shù)：交錯(cuò)級(jí)數(shù)與萊布尼茲判別法，絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)與條件收斂級(jí)數(shù)及其性質(zhì)，阿貝爾判別法與狄利克雷判別法。

要求：理解無(wú)窮級(jí)數(shù)的收斂、發(fā)散、絕對(duì)收斂與條件收斂等概念；掌握收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)；能夠應(yīng)用正項(xiàng)級(jí)數(shù)與任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性判別法判斷級(jí)數(shù)的斂散性；熟悉幾何級(jí)數(shù)調(diào)和級(jí)數(shù)與p級(jí)數(shù)。

（十三）函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

1、一致收斂性及一致收斂判別法（柯西準(zhǔn)則，優(yōu)級(jí)數(shù)判別法，狄利克雷與阿貝爾判別法）；

2、一致收斂的函數(shù)列與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)（連續(xù)性，可積性，可微性）。

要求：掌握收斂域、極限函數(shù)與和函數(shù)一致斂等概念；掌握極限函數(shù)與和函數(shù)的分析性質(zhì)(會(huì)證明)；能夠比較熟練地判斷一些函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與函數(shù)列的一致收斂。

（十四）冪級(jí)數(shù)

1、冪級(jí)數(shù)：阿貝爾定理，收斂半徑與收斂區(qū)間，冪級(jí)數(shù)的一致收斂性，冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的分析性質(zhì)；

2、幾種常見初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開與泰勒定理。

要求：了解冪級(jí)數(shù)，函數(shù)的冪級(jí)數(shù)及函數(shù)的可展成冪級(jí)數(shù)等概念；掌握冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)；會(huì)求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與一些冪級(jí)數(shù)的收斂域；會(huì)把一些函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)，包括會(huì)用間接展開法求函數(shù)的泰勒展開式

（十五）付里葉級(jí)數(shù)

1、付里葉級(jí)數(shù)：三角函數(shù)與正交函數(shù)系, 付里葉級(jí)數(shù)與傅里葉系數(shù), 以２? 為周期函數(shù)的付里葉級(jí)數(shù), 收斂定理；

2、以2L為周期的付里葉級(jí)數(shù)；

3、收斂定理的證明。

要求：理解三角函數(shù)系的正交性與函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)的概念；掌握傅里葉級(jí)數(shù)收斂性判別法；能將一些函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)；了解收斂定理的證明。

（十六）多元函數(shù)極限與連續(xù)

1、平面點(diǎn)集與多元函數(shù)的概念；

2、二元函數(shù)的極限、累次極限；

3、二元函數(shù)的連續(xù)性：二元函數(shù)的連續(xù)性概念、連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)及初等函數(shù)連續(xù)性。要求：理解平面點(diǎn)集、多元函數(shù)的基本概念；理解二元函數(shù)的極限、累次極限、連續(xù)性概念，會(huì)計(jì)算一些簡(jiǎn)單的二元函數(shù)極限；了解閉區(qū)間套定理，有限覆蓋定理，多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。（十七）多元函數(shù)的微分學(xué)

1、可微性：偏導(dǎo)數(shù)的概念，偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義，偏導(dǎo)數(shù)與連續(xù)性；全微分概念；連續(xù)性與可微性，偏導(dǎo)數(shù)與可微性；

2、多元復(fù)合函數(shù)微分法及求導(dǎo)公式；

3、方向?qū)?shù)與梯度；

4、泰勒定理與極值。

要求：理解并掌握偏導(dǎo)數(shù)、全微分、方向?qū)?shù)、高階偏導(dǎo)數(shù)及極值等概念及其計(jì)算；弄清全微分、偏導(dǎo)數(shù)、連續(xù)之間的關(guān)系；了解泰勒公式；會(huì)求函數(shù)的極值、最值。

（十八）隱函數(shù)定理及其應(yīng)用

1、隱函數(shù)：隱函數(shù)的概念，隱函數(shù)的定理，隱函數(shù)求導(dǎo)舉例；

2、隱函數(shù)組：隱函數(shù)組存在定理，反函數(shù)組與坐標(biāo)變換，雅可比行列式；

3、幾何應(yīng)用：平面曲線的切線與法線，空間曲線的切線與法平面，曲面的切平面和法線；條件極值：條件極值的概念，條件極值的必要條件。

要求：了解隱函數(shù)的概念及隱函數(shù)的存在定理，會(huì)求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；了解隱函數(shù)組的概念及隱函數(shù)組定理，會(huì)求隱函數(shù)組的偏導(dǎo)數(shù)；會(huì)求曲線的切線方程，法平面方程，曲面的切平面方程和法線方程；了解條件極值概念及求法。

（十九）重積分

1、二重積分概念：二重積分的概念，可積條件，可積函數(shù)，二重積分的性質(zhì)；

2、二重積分的計(jì)算：化二重積分為累次積分，換元法（極坐標(biāo)變換，一般變換）；

3、含參變量的積分；

4、三重積分計(jì)算：化三重積分為累次積分, 換元法（一般變換，柱面坐標(biāo)變換，球坐標(biāo)變換）；

5、重積分應(yīng)用：立體體積，曲面的面積，物體的重心，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；

6、含參量非正常積分概念及其一致斂性：含參變量非正常積分及其一致收斂性概念，一致收斂的判別法(柯西準(zhǔn)則，與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂性的關(guān)系，一致收斂的M判別法)，含參變量非正常積分的分析性質(zhì)；

7、歐拉積分：格馬函數(shù)及其性質(zhì),貝塔函數(shù)及其性質(zhì)。

要求：了解含參變量定積分的概念與性質(zhì)；熟練掌握二重、三重積分的概念、性質(zhì)、計(jì)算及基本應(yīng)用；了解含參變量非正常積分的收斂與一致收斂的概念；理解含參變量非正常積分一致收斂的判別定理，并掌握它們的應(yīng)用；了解歐拉積分。

（二十）曲線積分與曲面積分

1、第一型曲線積分的概念、性質(zhì)與計(jì)算，第一型曲面積分的的概念、性質(zhì)與計(jì)算；

2、第二型曲線積分的概念、性質(zhì)與計(jì)算，變力作功，兩類曲線積分的聯(lián)系；

3、格林公式，曲線積分與路線的無(wú)關(guān)性, 全函數(shù)；

4、曲面的側(cè)，第二型曲面積分概念及性質(zhì)與計(jì)算，兩類曲面積分的關(guān)系;

5、高斯公式，斯托克斯公式，空間曲線積分與路徑無(wú)關(guān)性；

6、場(chǎng)論初步：場(chǎng)的概念，梯度，散度和旋度。

要求：掌握兩類曲線積分與曲面積分的概念、性質(zhì)及計(jì)算；了解兩類曲線積分的關(guān)系和兩類曲面積分的關(guān)系；熟練掌握格林公式的證明及其應(yīng)用，會(huì)利用高斯公式、斯托克斯公式計(jì)算一些曲面積分與曲線積分；了解場(chǎng)論的初步知識(shí)。

三、主要參考書

《數(shù)學(xué)分析》（第三版），華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編，高等教育出版社，2004年?！稊?shù)學(xué)分析中的典型問題與方法》，裴禮文，高等教育出版社，1993年。

四、主要題型：

填空題，選擇題，計(jì)算題，解答題，證明題，應(yīng)用題。

第四篇：數(shù)學(xué)分析

360《數(shù)學(xué)分析》考試大綱

一． 考試要求：掌握函數(shù)，極限，微分，積分與級(jí)數(shù)等內(nèi)容。

二． 考試內(nèi)容：

第一篇 函數(shù)

一元與多元函數(shù)的概念，性質(zhì)，若干特殊函數(shù)，連續(xù)性。第二篇 極限

數(shù)列極限，一元與多元函數(shù)極限的概念及其性質(zhì)，實(shí)數(shù)的連續(xù)性（確界原理，單調(diào)有界原理，區(qū)間套定理，聚點(diǎn)定理，有限覆蓋定理等）。

第三篇 微分

一元與多元函數(shù)導(dǎo)數(shù)（偏導(dǎo)數(shù)）與微分的概念，性質(zhì)，公式，法則及應(yīng)用；函數(shù)的單調(diào)性與凸性，極值與拐點(diǎn)，漸進(jìn)線，函數(shù)作圖；隱函數(shù)。

第三篇 積分

不定積分的概念，性質(zhì)，公式，法則；定積分的概念，性質(zhì)，公式，法則及應(yīng)用；反常積分與含參積分；重積分與曲線曲面積分。第四篇 級(jí)數(shù)

數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，冪級(jí)數(shù)與傅立葉級(jí)數(shù)的概念，性質(zhì)，公式，法則及應(yīng)用。

參考書目：華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，數(shù)學(xué)分析（上，下，第三版），高等教育出版社，2001年。

第五篇：602數(shù)學(xué)分析

大連理工大學(xué)2018年碩士研究生入學(xué)考試大綱

科目代碼：602科目名稱：數(shù)學(xué)分析

試題分為兩大類，第一類為簡(jiǎn)單證明和計(jì)算題，主要考查考生基本概念、基本定義、基本公式和基本計(jì)算方法的掌握程度，約占40%。第二類為證明題、邏輯推理題以及計(jì)算題，主要考查考生分析問題和解決問題的能力，約占60%。具體復(fù)習(xí)大綱如下：

一、數(shù)列極限

1、數(shù)列極限的概念，ε-N語(yǔ)言。

2、數(shù)列極限的性質(zhì)和運(yùn)算法則。

3、數(shù)列極限的存在性、求極限的一些方法。

4、基本列的定義，Cauchy原理及其應(yīng)用。

5、無(wú)窮大和無(wú)窮小的概念以及無(wú)窮大與無(wú)窮小的聯(lián)系。

6、數(shù)集的上、下確界，數(shù)列的上、下極限。

7、實(shí)數(shù)的六個(gè)等價(jià)定理。

8、Stolz定理。

二、函數(shù)極限與連續(xù)

1、集合的勢(shì)，可數(shù)集與不可數(shù)集。

2、函數(shù)極限定義，ε—δ語(yǔ)言，函數(shù)極限的其他形式。

3、函數(shù)極限的性質(zhì)，函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系。

4、無(wú)窮小與無(wú)窮大的級(jí)的概念，o與O的運(yùn)算規(guī)則。

5、函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的定義及其性質(zhì)，初等函數(shù)的連續(xù)性、間斷點(diǎn)分類。

6、一致連續(xù)的定義，連續(xù)與一致連續(xù)的區(qū)別、一致連續(xù)的判別。

7、有界閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的各種性質(zhì)及其應(yīng)用。

8、函數(shù)上、下極限的概念與性質(zhì)。

三、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

1、導(dǎo)數(shù)的定義，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)及高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算規(guī)則，導(dǎo)數(shù)和高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算。

2、微分的定義及其運(yùn)算規(guī)則，一階微分形式的不變性。

3、微分學(xué)的中值定理及其應(yīng)用。

4、函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的極值和最值，函數(shù)的凹凸性等。

5、L’Hospital法則及應(yīng)用。

6、Taylor定理、各種余項(xiàng)的Taylor展開（包括積分余項(xiàng)的Taylor展式）以及函數(shù)的Maclaurin展式，Taylor展開的應(yīng)用。

7、函數(shù)作圖。

四、不定積分

1、原函數(shù)的定義及不定積分的運(yùn)算規(guī)則，基本公式。

2、不定積分的換元法與分部積分法。

3、有理函數(shù)及可有理化函數(shù)的不定積分。

五、定積分

1、定積分的定義，幾何含義與物理含義。

2、定積分的性質(zhì)與積分均值定理。

3、微積分基本定理。

4、可積的充分必要條件。

5、曲線的各種表示方式，光滑曲線的定義及切向量，光滑曲線的弧長(zhǎng)。

6、定積分的計(jì)算，分部積分和換元公式。

7、面積原理，定積分在物理，幾何中的應(yīng)用。

六、多元函數(shù)極限與連續(xù)

1、Eculid空間的性質(zhì)、點(diǎn)列極限的概念和性質(zhì)。

2、開集與閉集、列緊與緊致、連通性。

3、多變?cè)瘮?shù)極限，累次極限、重極限。

4、多變?cè)瘮?shù)的連續(xù)與一致連續(xù)、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用。

5、連續(xù)映射

七、多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用

1、偏導(dǎo)數(shù)、方向?qū)?shù)的定義及計(jì)算。

2、多元函數(shù)微分的概念，可微、連續(xù)和偏導(dǎo)之間的關(guān)系。

3、復(fù)合求導(dǎo)，高階偏導(dǎo)數(shù)。

4、隱函數(shù)定理、隱映射與逆映射定理及其應(yīng)用。

5、多元Taylor展式。

6、多元函數(shù)極值求法、條件極值。

7、曲面的各種表示方法，曲面的法向量，切平面方程。

八、重積分

1、重積分定義、幾何意義與物理意義，重積分的可積性條件，重積分的性質(zhì)。

2、重積分的計(jì)算。3．重積分的應(yīng)用。

九、曲線積分和曲面積分

1、第一、第二型曲線積分的定義和計(jì)算及其物理意義。2．Green公式。

3、第一型曲面積分和第二型曲面積分的定義和計(jì)算及其物理意義。

4、Gauss公式和Stokes公式。

5、場(chǎng)論初步，梯度，散度，旋度的定義和物理意義。

6、有勢(shì)場(chǎng)和勢(shì)函數(shù)

十、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

1、級(jí)數(shù)收斂的定義及基本性質(zhì)。

2、正項(xiàng)級(jí)數(shù)的判別法。

3、絕對(duì)收斂與條件收斂。

4、一般項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的判別。

5、級(jí)數(shù)的乘積。

6、無(wú)窮乘積。

十一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和函數(shù)列

1、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、函數(shù)列的逐點(diǎn)收斂與一致收斂。

2、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和函數(shù)列一致收斂性的判別。

3、極限函數(shù)與和函數(shù)的性質(zhì)。

4、冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開。

5、多項(xiàng)式可一致逼近連續(xù)函數(shù)定理。

6、冪級(jí)數(shù)的應(yīng)用。

十二、廣義積分和含參變量的積分

1、廣義積分和含參量廣義積分的定義與性質(zhì)。

2、廣義積分的收斂性判別、絕對(duì)收斂和條件收斂。

3、含參量廣義積分一致收斂。

4、含參量廣義積分的性質(zhì)，極限各種換序。

5、Euler積分，Gamma函數(shù)和B函數(shù)

十三、Fourier積分

1、Fourier級(jí)數(shù)的定義和函數(shù)的Fourier級(jí)數(shù)展開。

2、Fourier級(jí)數(shù)的收斂性。

3、Fourier級(jí)數(shù)的Cesaro求和。

4、平方平均逼近和Weierstrass第二逼近定理。

5、Fourier積分與Fourier變換。附復(fù)習(xí)資料

1、《數(shù)學(xué)分析教程》，編者：常庚哲、史濟(jì)懷，中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2013年，第三版

2、《數(shù)學(xué)分析》，編者：李成章、黃玉民，科學(xué)出版社，2005年，第二版