第一篇：《數(shù)學(xué)分析》教案
《數(shù)學(xué)分析》教案
S F 01(數(shù))
C h0 數(shù)學(xué)分析課程簡(jiǎn)介
C h 1 實(shí)數(shù)集與函數(shù)
計(jì)劃課時(shí)： Ch 0
2時(shí)
Ch 1
6時(shí)
P 1—8
說(shuō) 明：
1．這是給數(shù)學(xué)系2001屆學(xué)生講授《數(shù)學(xué)分析》課編制的教案.該課程開設(shè)兩學(xué)期, 總課時(shí)為1 8 0 學(xué)時(shí), 是少課時(shí)型教案（后來(lái)又開設(shè)了一學(xué)期，增加了8 0 學(xué)時(shí)）.按照學(xué)分制的要求, 只介紹數(shù)學(xué)分析最基本的內(nèi)容.本教案共2 7 9頁(yè)，分2 1章.2.取材的教材: [1] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編，數(shù)學(xué)分析，高等教育出版社，1996；
[2] 鄭英元，毛羽輝，宋國(guó)東，數(shù)學(xué)分析習(xí)題課教程，高等教育出版社，1991； [3] 馬振民，數(shù)學(xué)分析的方法與技巧選講，蘭州大學(xué)出版社，1999； [4] 馬振民，呂克璞，微積分習(xí)題類型分析, 蘭州大學(xué)出版社，1999； [5] W.Rudin, Principles of mathematical analysis, 1964.Ch 0
數(shù)學(xué)分析課程簡(jiǎn)介(2 時(shí))一.數(shù)學(xué)分析(mathematical analysis)簡(jiǎn)介:
1.背景: 從切線、面積、計(jì)算sin32?、實(shí)數(shù)定義等問(wèn)題引入.2.極限(limit)—— 變量數(shù)學(xué)的基本運(yùn)算：
3.數(shù)學(xué)分析的基本內(nèi)容：數(shù)學(xué)分析以極限為基本思想和基本運(yùn)算研究實(shí)變實(shí)值
函數(shù).主要研究微分(differential)和積分(integration)兩種特殊的極限運(yùn)算,利用這兩種運(yùn)算從微觀和宏觀兩個(gè)方面研究函數(shù), 并依據(jù)這些運(yùn)算引進(jìn)并研究一些非初等函數(shù).數(shù)學(xué)分析基本上是連續(xù)函數(shù)的微積分理論.微積運(yùn)算是高等數(shù)學(xué)的基本運(yùn)算.數(shù)學(xué)分析與微積分(calculus)的區(qū)別..二． 數(shù)學(xué)分析的形成過(guò)程：
1． 孕育于古希臘時(shí)期： 在我國(guó)，很早就有極限思想.紀(jì)元前三世紀(jì), Archimedes 就有了積分思想.2.十七世紀(jì)以前是一個(gè)漫長(zhǎng)的醞釀時(shí)期,是微積分思想的發(fā)展、成果的積累時(shí)期: 3． 十七世紀(jì)下半葉到十九時(shí)紀(jì)上半葉 —— 微積分的創(chuàng)建時(shí)期: 參閱《數(shù)學(xué)分
析選講》講稿(1997.8.10.)第三講P72.4.十九時(shí)紀(jì)上半葉到二十時(shí)紀(jì)上半葉 —— 分析學(xué)理論的完善和重建時(shí)期：參閱 《數(shù)學(xué)分析選講》講稿第三講P72—75.三.數(shù)學(xué)分析課的特點(diǎn):
邏輯性很強(qiáng), 很細(xì)致, 很深刻;先難后易, 是說(shuō)開頭四章有一定的難度, 倘能努力學(xué)懂前四章(或前四章的8000), 后面的學(xué)習(xí)就會(huì)容易一些;只要在課堂上專心聽(tīng)講, 一般是可以聽(tīng)得懂的, 但即便能聽(tīng)懂,習(xí)題還是難以順利完成.這是因?yàn)閿?shù)學(xué)分析技巧性很強(qiáng), 只了解基本的理論和方法, 不輔以相應(yīng)的技巧, 是很難順利應(yīng)用理論和方法的.論證訓(xùn)練是數(shù)學(xué)分析課基本的,也是重要的內(nèi)容之一, 也是最難的內(nèi)容之一.一般懂得了證明后，能把證明準(zhǔn)確、嚴(yán)密、簡(jiǎn)練地用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言和符號(hào)書寫出來(lái)，似乎是更難的一件事.因此, 理解證明的思維方式, 學(xué)習(xí)基本的證明方法, 掌握敘述和書寫證明的一般語(yǔ)言和格式, 是數(shù)學(xué)分析教學(xué)貫穿始終的一項(xiàng)任務(wù).有鑒于此, 建議的學(xué)習(xí)方法是: 預(yù)習(xí), 課堂上認(rèn)真聽(tīng)講, 必須記筆記, 但要注意以聽(tīng)為主, 力爭(zhēng)在課堂上能聽(tīng)懂七、八成.課后不要急于完成作業(yè), 先認(rèn)真整理筆記, 補(bǔ)充課堂講授中太簡(jiǎn)或跳過(guò)的推導(dǎo), 閱讀教科書, 學(xué)習(xí)證明或推導(dǎo)的敘述和書寫.基本掌握了課堂教學(xué)內(nèi)容后, 再去做作業(yè).在學(xué)習(xí)中, 要養(yǎng)成多想問(wèn)題的習(xí)慣.四.課堂講授方法:
1.關(guān)于教材: 沒(méi)有嚴(yán)格意義上的教科書.這是大學(xué)與中學(xué)教學(xué)不同的地方, 本課程主要從以下教科書中取材:
[1] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編，數(shù)學(xué)分析，高等教育出版社，1996；
[2] 鄭英元，毛羽輝，宋國(guó)東，數(shù)學(xué)分析習(xí)題課教程，高等教育出版社，1991；
[3] 馬振民，數(shù)學(xué)分析的方法與技巧選講，蘭州大學(xué)出版社，1999；
[4] 馬振民，呂克璞，微積分習(xí)題類型分析, 蘭州大學(xué)出版社，1999；
[5] W.Rudin, Principles of mathematical analysis, 1964.本課程基本按[1]的邏輯順序, 主要在[1]、[4]、[3]中取材.在講授中, 有時(shí)會(huì)指出所講內(nèi)容的出處.本課程為適應(yīng)課時(shí)少和學(xué)分制的要求，只介紹數(shù)學(xué)分析最基本的內(nèi)容.因此刪去了[1]中第八、十五、十九和二十二等四章，相應(yīng)的內(nèi)容作為選修課將在學(xué)完數(shù)學(xué)分析課之后開設(shè).2.內(nèi)容多, 課時(shí)緊: 大學(xué)課堂教學(xué)與中學(xué)不同的是, 這里每次課介紹的內(nèi)容很多, 因此, 內(nèi)容重復(fù)的次數(shù)少, 講課只注重思想性與基本思路, 具體內(nèi)容或推導(dǎo), 特別是同類型或較簡(jiǎn)的推理論證及推導(dǎo)計(jì)算, 可能講得很簡(jiǎn), 留給課后的學(xué)習(xí)任務(wù)一般很重.3.講解的重點(diǎn): 概念的意義與理解, 幾何直觀, 理論的體系, 定理的意義、條件、結(jié)論.定理證明的分析與思路, 具有代表性的證明方法, 解題的方法與技巧.某些精細(xì)概念之間的本質(zhì)差別.在第一、二章教學(xué)中, 可能會(huì)寫出某些定理證明, 以后一般不會(huì)做特別具體的證明敘述.五.要求、輔導(dǎo)及考試：
1.學(xué)習(xí)方法: 盡快適應(yīng)大學(xué)的學(xué)習(xí)方法, 盡快進(jìn)入角色.課堂上以聽(tīng)為主, 但要做課堂筆記.課后一定要認(rèn)真復(fù)習(xí)消化, 補(bǔ)充筆記.一般課堂教學(xué)與課外復(fù)習(xí)的時(shí)間比例應(yīng)為1 : 3(國(guó)外這個(gè)比例通常是 1 : 4.參《西北師大報(bào)》№191，2000.9.30.第二版:
本科節(jié)段如何培養(yǎng)高素質(zhì)創(chuàng)新人材 ——
伯利克大學(xué)的啟示.注: 伯利克大學(xué)乃美國(guó)加州大學(xué)伯利克分校.)對(duì)將來(lái)從事數(shù)學(xué)教學(xué)工作的師范大學(xué)本科生來(lái)說(shuō), 課堂聽(tīng)講的內(nèi)容應(yīng)該更為豐富:
要認(rèn)真評(píng)價(jià)教師的課堂教學(xué), 把教師在課堂上的成功與失敗變?yōu)樽约旱慕?jīng)驗(yàn).這對(duì)未來(lái)的教學(xué)工作是很有用的.2.作業(yè):
作業(yè)以[1]的練習(xí)題中劃線以上的部分習(xí)題和[4]中的計(jì)算題為主要內(nèi)容.大體上每?jī)芍苁找淮巫鳂I(yè), 一次收清.每次重點(diǎn)檢查作業(yè)總數(shù)的三分之一.作業(yè)的收交和完成情況有一個(gè)較詳細(xì)的登記, 缺交作業(yè)將直接影響學(xué)期總評(píng)成績(jī).作業(yè)要按數(shù)學(xué)排版格式書寫恭整.要求活頁(yè)作業(yè), 最好用西北師大稿紙.要有作業(yè)封面, 尺寸為19.5?27.5cm.作業(yè)布置方式: [1]P…, [4]P…
3.輔導(dǎo): 大體每周一次, 第一學(xué)期要求輔導(dǎo)時(shí)不缺席.4.考試: 按學(xué)分制的要求, 只以最基本的內(nèi)容進(jìn)行考試, 大體上考課堂教學(xué)和所布置作業(yè)的內(nèi)容, 包括[1]和[4]中的典型例題.考試題為標(biāo)準(zhǔn)化試題.Ch 1 實(shí)數(shù)集與函數(shù)(6時(shí))
§ 1
實(shí)數(shù)集與確界（3時(shí)）
一．
實(shí)數(shù)集R：回顧中學(xué)中關(guān)于實(shí)數(shù)集的定義.1.四則運(yùn)算封閉性: 2.三歧性(即有序性): 3.Rrchimedes性: ?a,b?R, b?a?0, ?n?N, ? na?b.4.稠密性: 有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的稠密性, 給出稠密性的定義.5.實(shí)數(shù)集的幾何表示 ─── 數(shù)軸: 6.兩實(shí)數(shù)相等的充要條件: a?b, ? ???0, a?b ? ?.7.區(qū)間和鄰域:
二.幾個(gè)重要不等式:
1.絕對(duì)值不等式: 定義 a ?max??a , a ?.[1]P2 的六個(gè)不等式.2.其他不等式:
⑴ a2?b2?2ab, sinx ? 1.sinx ? x.⑵
均值不等式: 對(duì)?aa?1,a2,?,n?R, 記
M(aa1?a2???anni)? n? 1n?ai,(算術(shù)平均值)
i?11n
G(ai)?na?1a2?an??n???ai??,(幾何平均值)?i?1?
H(ai)?n1?1n?nna?1???111?1.(調(diào)和平均值)1a2ann?i?1aii?1ai有平均值不等式:
H(ai)? G(ai)? M(ai),等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a1?a2???an時(shí)成立.⑶
Bernoulli 不等式:(在中學(xué)已用數(shù)學(xué)歸納法證明過(guò))?x??1,有不等式(1?x)n?1?nx, n?N.當(dāng)x??1 且 x?0, n?N且n?2時(shí), 有嚴(yán)格不等式(1?x)n?1?nx.(現(xiàn)采用《數(shù)學(xué)教學(xué)研究》1991.№ 1馬德堯文 “均值不等式妙用兩則”中的證明)證 由 1?x?0且1?x?0, ?(1?x)n?n?1?(1?x)n?1?1???1? ?n n(1?x)n?n(1?x).?(1?x)n?1?nx.⑷ 利用二項(xiàng)展開式得到的不等式: 對(duì)?h?0, 由二項(xiàng)展開式(1?h)n?1?nh?n(n?1)2!h?2n(n?1)(n?2)3!h???h，3n 有(1?h)n?上式右端任何一項(xiàng).三.有界數(shù)集與確界原理: 1.有界數(shù)集:
定義(上、下有界, 有界)，閉區(qū)間、(a,b)(a,b為有限數(shù)）、鄰域等都是有界數(shù)集，集合 E??y y?sinx, x?(?? , ??)?也是有界數(shù)集.無(wú)界數(shù)集: 定義,(?? , ??),(?? , 0),(0 , ??)等都是無(wú)界數(shù)集，??1?, x?(0 , 1)?也是無(wú)界數(shù)集.x?集合 E??y y?2.確界: 給出直觀和刻畫兩種定義.n?(?1)
例
1⑴
S??1?n???,則supS?______, infS?_______.?
⑵ E??y y?sinx, x?(0,?)?.則
supE?________, infE?_________.例2 非空有界數(shù)集的上（或下）確界是唯一的.例3 設(shè)S和A是非空數(shù)集，且有S?A.則有 supS?supA, infS?infA..例4 設(shè)A和B是非空數(shù)集.若對(duì)?x?A和?y?B,都有x?y, 則有
supA?infB.證 ?y?B, y是A的上界, ? supA?y.? supA是B的下界, ? supA?infB.例5 A和B為非空數(shù)集, S?A?B.試證明: infS?min? infA , infB ?.證
?x?S,有x?A或x?B, 由infA和infB分別是A和B的下界,有
x?infA或x?infB.? x?min? infA , infB ?.即min? infA , infB ?是數(shù)集S的下界, ? infS?min? infA , infB ?.又S?A, ? S的下界就是A的下界,infS是S的下界, ? infS是A的下界, ? infS?infA;同理有infS?infB.于是有 infS?min? infA , infB ?.綜上, 有 infS?min? infA , infB ?.3.數(shù)集與確界的關(guān)系: 確界不一定屬于原集合.以例1⑵為例做解釋.4.確界與最值的關(guān)系: 設(shè) E為數(shù)集.⑴
E的最值必屬于E, 但確界未必, 確界是一種臨界點(diǎn).⑵
非空有界數(shù)集必有確界(見(jiàn)下面的確界原理), 但未必有最值.⑶
若maxE存在, 必有 maxE?supE.對(duì)下確界有類似的結(jié)論.四.確界原理:
Th(確界原理).Ex
[1]P4 3，4，9，10；
P9
2，4，7⑴⑶.§ 2 初等函數(shù)(3時(shí))
一.函數(shù):
1.函數(shù):
[1]P10—12的五點(diǎn)說(shuō)明.2.定義域: 定義域和存在域.3.函數(shù)的表示法:
4.反函數(shù):
一 一 對(duì)應(yīng), 反函數(shù)存在定理.5.函數(shù)的代數(shù)運(yùn)算:
?1?x, x?1,?f(x)??2, x?1，?2?x, x?1
二.分段函數(shù): 以函數(shù)介紹概念.??2?x, x?1,和g(x)??2為例
??x, x?1例1 f(x)?3?2x?1, 去掉絕對(duì)值符號(hào).x ? 1,?x, ?1?x, x ?1.例
2f(x)??
求 f(0), f(1), f(2).例
3設(shè) f(x)???x?3, x?10,?f?f(x?5)?, x?10.求 f(5).(答案為8)
三.函數(shù)的復(fù)合:
例4 y?f(u)?定義域.例
5⑴
f(1?x)?x?x?1, f(x)?_____________.??1?12??x?2.則f(x)?()x?x222u, u ?g(x)?1?x.求
2?f?g?(x)?f?g(x).?并求
⑵
f?x?2
A.x, B.x?1, C.x?2, D.x?2.[4]P407 E62.2四.初等函數(shù):
1.基本初等函數(shù):
2.初等函數(shù): 3.初等函數(shù)的幾個(gè)特例: 設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)都是初等函數(shù), 則
⑴ f(x)是初等函數(shù), 因?yàn)? f(x)??f(x)?2.⑵ ?(x)?max?f(x), g(x)? 和 ?(x)?min?f(x), g(x)?都是初等函數(shù), 因?yàn)??(x)?max?f(x), g(x)?? ?(x)?min?f(x), g(x)? ? ⑶ 冪指函數(shù) ?f(x)? ?f(x)?g(x)1212?f(x)?g(x)??f(x)?g(x)?f(x)?g(x)? , f(x)?g(x)?.g(x)?f(x)?0?是初等函數(shù),因?yàn)?/p>
g(x)?eln?f(x)??eg(x)lnf(x).五.有界函數(shù): 有界函數(shù)概念.例6
驗(yàn)證函數(shù) f(x)?225x2x?32在R內(nèi)有界.2解法一 由2x?3?(2x)?(3)?25x2x?322x?3?26x, 當(dāng)x?0時(shí),有
f(x)??5x2x?32?5x26x?526?3.f(0)?0?3，?
對(duì) ?x?R, 總有 f(x)?3, 即f(x)在R內(nèi)有界.解法二
令 y?5x2x?32, ? 關(guān)于x的二次方程 2yx22?5x?3y?0有實(shí)數(shù)根.22
? ??5?24y?0, ? y?2524?4, ? y?2.解法三
令 x?????tgt, t???,?對(duì)應(yīng)x?(?? , ??).于是 2?22?3f(x)?5x2x?325??2???332tgt2?533tgt2?tgt??3?2?2tgt?1?5sint126costsect?
? 526sin2t, ? f(x)?526sin2t?526.關(guān)于奇偶函數(shù)、周期函數(shù)和單調(diào)函數(shù)，參閱[1]P22—25，[4]P19—24.Ex [1]P19—20 1⑸，3，4，6；
P25 1，2，5，8，12；
[4]P34—36 54，55，56，67，68，71，81.
第二篇：數(shù)學(xué)分析教案
《數(shù)學(xué)分析Ⅲ》教案編寫目錄（1—16周，96學(xué)時(shí)）
課時(shí)教學(xué)計(jì)劃（教案21-1）
課題：§21-1二重積分的概念
一、教學(xué)目的：
1．理解二重積分的概念，其中包括二重積分的定義、幾何意義和存在性。2．理解二重積分的7條性質(zhì)。
二、教學(xué)重點(diǎn)：二重積分的概念；二重積分的存在性和性質(zhì)。
三、教學(xué)難點(diǎn)：二重積分的定義；二重積分的存在性。
四、教學(xué)方法：多媒體、問(wèn)題討論與黑板講解穿插教學(xué)。
五、教學(xué)用具：黑板、CAI課件及硬件支持
六、教學(xué)過(guò)程：
[引例]：
（約5min，語(yǔ)言表述）
由平面圖形的面積和曲頂柱體的體積引出二重積分的概念。?平面圖形的面積
（約40min，投影、圖示與黑板講解）
1．平面圖形面積的定義；
2．平面圖形可求面積的充分必要條件；
?二重積分的定義及其存在性
1.2.? 二重積分的定義；
二重積分存在的充分條件和必要條件。
二重積分的性質(zhì)
（約25min，圖示與黑板講解）
結(jié)合二重積分的定義講解二重積分的7條性質(zhì)。
? 補(bǔ)充例子：
（約10min，黑板講解）
1．根據(jù)二重積分的定義計(jì)算二重積分； 2．根據(jù)二重積分的性質(zhì)證明不等式。
七、課程小結(jié)：
（約5min，黑板講解）
二重積分的定義；二重積分性質(zhì)。
八、作業(yè)：P217習(xí)題
1，2，3，4，5，6，8。
課時(shí)教學(xué)計(jì)劃（教案21-2）
課題：§21-2直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算
一、教學(xué)目的：
掌握在直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算方法。
二、教學(xué)重點(diǎn)：直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算方法。
三、教學(xué)難點(diǎn)：定理21.8，21.9。
四、教學(xué)方法：多媒體、問(wèn)題討論與黑板講解穿插教學(xué)。
五、教學(xué)用具：黑板、CAI課件及硬件支持
六、教學(xué)過(guò)程：
[引例]：
由曲頂柱體的體積引出二重積分計(jì)算的直觀概念。? 定理21.8，21.9的證明
?
X型、y型區(qū)域的講解及其定理21.10的證明
? 直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算舉例
教材中例1—例4。
? 補(bǔ)充例子：
利用二重積分計(jì)算體積；
七、課程小結(jié)：
直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算。
八、作業(yè)：P222習(xí)題
1，2，3，4，5，6，8。
（約5min，語(yǔ)言表述）
15min，投影、圖示與黑板講解）
（約25min，圖示與黑板講解）
（約30min，圖示與黑板講解）
（約20min，黑板講解）
（約5min，黑板講解）
（約
課時(shí)教學(xué)計(jì)劃（教案21-3）
課題：二重積分的概念與計(jì)算習(xí)題課
一、教學(xué)目的：
1．鞏固二重積分的概念，其中包括二重積分的定義、幾何意義和存在性。2．鞏固在直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算方法。
二、教學(xué)重點(diǎn)：直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算方法。
三、教學(xué)難點(diǎn)：直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算方法。
四、教學(xué)方法：多媒體、問(wèn)題討論與黑板講解穿插教學(xué)。
五、教學(xué)用具：黑板、CAI課件及硬件支持
六、教學(xué)過(guò)程：
? 二重積分的概念與性質(zhì)
（約95min，投影、圖示與黑板講解）
1．二重積分的概念復(fù)習(xí)； 2．二重積分的性質(zhì)復(fù)習(xí)。
?
二重積分的計(jì)算
1.2.利用二重積分的定義和限制計(jì)算二重積分和某些不等式； 在直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分。
七、課程小結(jié)：
（約5min，黑板講解）
二重積分的定義；二重積分性質(zhì)；二重積分的計(jì)算。
八、作業(yè)：P278
總練習(xí)題
1，2。
課時(shí)教學(xué)計(jì)劃（教案21-4）
課題：§21-3格林公式、曲線積分與路線的無(wú)關(guān)性
一、教學(xué)目的：
1.理解格林公式；
2.掌握格林公式在計(jì)算二重積分和曲線積分的方法。3.掌握曲線積分與路線無(wú)關(guān)的條件和應(yīng)用方法。
二、教學(xué)重點(diǎn)：格林公式的理解和方法。
三、教學(xué)難點(diǎn)：定理21.11，21.12。
四、教學(xué)方法：多媒體、問(wèn)題討論與黑板講解穿插教學(xué)。
五、教學(xué)用具：黑板、CAI課件及硬件支持
六、教學(xué)過(guò)程：
? 格林公式，定理21.11的證明
?
例1—例3的講解
? 曲線積分與路線的無(wú)關(guān)性，定理21.12的證明
例4的講解。
? 補(bǔ)充例子：
利用二重積分計(jì)算曲線積分。
七、課程小結(jié)：
格林公式與曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的概念。
八、作業(yè)：P231習(xí)題
1，2，3，4，5，6，8。
15min，投影、圖示與黑板講解）
（約25min，圖示與黑板講解）
（約30min，圖示與黑板講解）
（約20min，黑板講解）
（約5min，黑板講解）
（約
課時(shí)教學(xué)計(jì)劃（教案21-5）
課題：§21-4二重積分的變量變換
一、教學(xué)目的：
1.理解二重積分的變量變換的基本思想；
2.3.掌握二重積分變量變換的方法特別是極坐標(biāo)變換。掌握在極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分的方法。
二、教學(xué)重點(diǎn)：二重積分的變量變換。
三、教學(xué)難點(diǎn)：引理和定理21.13，21.14。
四、教學(xué)方法：多媒體、問(wèn)題討論與黑板講解穿插教學(xué)。
五、教學(xué)用具：黑板、CAI課件及硬件支持
六、教學(xué)過(guò)程：
? 二重積分的變量變換公式
（約15min，投影、圖示與黑板講解）
?
引理證明，定理21.13證明，例1，例2講解
（約25min，圖示與黑板講解）
? ? 用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分，定理21.14證明
（約20min，圖示與黑板講解）二重積分在極坐標(biāo)系下化為累次積分，例3，例4，例5，例6講解
（約35min，圖示與黑板講解）
七、課程小結(jié)：
（約5min，黑板講解）
二重積分的變量變換，在極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分的方法。
八、作業(yè)：P242習(xí)題
1，2，3，4，5。
課時(shí)教學(xué)計(jì)劃（教案21-6）
課題：格林公式、曲線積分與路線的無(wú)關(guān)性
及積分變換習(xí)題課
一、教學(xué)目的：
1.2.鞏固格林公式、曲線積分與路線的無(wú)關(guān)性及積分變換；
鞏固格林公式、曲線積分與路線的無(wú)關(guān)性及積分變換的計(jì)算方法。
二、教學(xué)重點(diǎn)：格林公式、曲線積分與路線的無(wú)關(guān)性及積分變換
三、教學(xué)難點(diǎn)：格林公式、曲線積分與路線的無(wú)關(guān)性及積分變換
四、教學(xué)方法：多媒體、問(wèn)題討論與黑板講解穿插教學(xué)。
五、教學(xué)用具：黑板、CAI課件及硬件支持
六、教學(xué)過(guò)程：
? 講解格林公式、曲線積分與路線的無(wú)關(guān)性的計(jì)算題
（約95min，投影、圖示與黑板講解）
?
講解積分變換的計(jì)算題
七、課程小結(jié)：
（約5min，黑板講解）
二重積分的定義；二重積分性質(zhì)；二重積分的計(jì)算。
八、作業(yè)：P243
總練習(xí)題
7，8 6
課時(shí)教學(xué)計(jì)劃（教案21-7）
課題：§21-5 三重積分
一、教學(xué)目的：
1.2.3.理解三重積分的概念；
掌握化三重積分為累次積分的方法； 掌握三重積分換元法。
二、教學(xué)重點(diǎn)：三重積分換元法
三、教學(xué)難點(diǎn)：定義和定理21.15
四、教學(xué)方法：多媒體、問(wèn)題討論與黑板講解穿插教學(xué)。
五、教學(xué)用具：黑板、CAI課件及硬件支持
六、教學(xué)過(guò)程：
? 三重積分的定義
（約15min，投影、圖示與黑板講解）
?
定理21.15證明，例1，例2講解
（約25min，圖示與黑板講解）
? ? 三重積分還原公式，柱面坐標(biāo)變換，球面坐標(biāo)變換（約20min，圖示與黑板講解）例3，例4，例5講解
（約35min，圖示與黑板講解）
七、課程小結(jié)：
（約5min，黑板講解）
三重積分的定義，在直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)下計(jì)算三重積分的方法。
八、作業(yè)：P251習(xí)題
1，2，3，4，5。
課時(shí)教學(xué)計(jì)劃（教案21-8）
課題：§21-6 重積分的應(yīng)用
一、教學(xué)目的：
1.2.3.掌握重積分在求曲面面積的應(yīng)用； 了解重積分在重心的應(yīng)用； 了解重積分在轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的應(yīng)用。
二、教學(xué)重點(diǎn)：重積分求曲面面積
三、教學(xué)難點(diǎn)：運(yùn)用重積分公式求解曲面面積
四、教學(xué)方法：多媒體、問(wèn)題討論與黑板講解穿插教學(xué)。
五、教學(xué)用具：黑板、CAI課件及硬件支持
六、教學(xué)過(guò)程：
[引例]：
（約5min，語(yǔ)言表述）
由曲面的面積引出重積分的應(yīng)用。
?
建立曲面面積的計(jì)算公式
（約40min，圖示與黑板講解）
? ? 例1講解
（約35min，圖示與黑板講解）簡(jiǎn)單介紹重積分在重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的應(yīng)用
（約15min，圖示與黑板講解）
七、課程小結(jié)：
（約5min，黑板講解）
曲面面積的概念，重積分在計(jì)算曲面面積、重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量中的應(yīng)用。
八、作業(yè)：P259 1，2。
課時(shí)教學(xué)計(jì)劃（教案21-9）
課題：§21-8 反常二重積分
一、教學(xué)目的：
掌握反常二重積分及其計(jì)算
二、教學(xué)重點(diǎn)：反常二重積分及其計(jì)算
三、教學(xué)難點(diǎn)：反常二重積分及其計(jì)算
四、教學(xué)方法：多媒體、問(wèn)題討論與黑板講解穿插教學(xué)。
五、教學(xué)用具：黑板、CAI課件及硬件支持
六、教學(xué)過(guò)程：
?
無(wú)界區(qū)域上的二重積分
（約10min，圖示與黑板講解）
? ? ? ? 定理21.16，定理21.17的證明
（約40min，圖示與黑板講解）例1的講解
（約15min，圖示與黑板講解）定理21.18，定理21.19
（約15min，圖示與黑板講解）無(wú)界函數(shù)上的二重積分及定理21.20
（約15min，圖示與黑板講解）
七、課程小結(jié)：
（約5min，黑板講解）
曲面面積的概念，重積分在計(jì)算曲面面積、重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量中的應(yīng)用。
八、作業(yè)：P272 1，2，3。
課時(shí)教學(xué)計(jì)劃（教案21-10）
課題：三重積分及重積分的應(yīng)用習(xí)題課
一、教學(xué)目的：
1.鞏固三重積分的概念，其中包括三重積分的定義、幾何意義和存在性。2.鞏固在直角坐標(biāo)系下三重積分的計(jì)算方法。3.鞏固化三重積分為累次積分的方法。4.鞏固三重積分換元法。
二、教學(xué)重點(diǎn)：直角坐標(biāo)系下三重積分的計(jì)算方法。
三、教學(xué)難點(diǎn)：三重積分換元法
四、教學(xué)方法：多媒體、問(wèn)題討論與黑板講解穿插教學(xué)。
五、教學(xué)用具：黑板、CAI課件及硬件支持
六、教學(xué)過(guò)程：
? 二重積分的概念與性質(zhì)
1.三重積分的概念復(fù)習(xí)； 2.三重積分的性質(zhì)復(fù)習(xí)。
?
三重積分的計(jì)算
1.化三重積分為累次積分；
2.在柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)下計(jì)算三重積分； 3.計(jì)算曲面面積。
七、課程小結(jié)：
三重積分的定義；三重積分性質(zhì)；三重積分的計(jì)算。
八、作業(yè)：P278
總練習(xí)題
15min，投影、圖示與黑板講解）
（約80min，投影、圖示與黑板講解）
（約5min，黑板講解）
（約
課時(shí)教學(xué)計(jì)劃（教案22-1）
課題：§22-1第一型曲面積分
一、教學(xué)目的：
1.2.第一型曲面積分的概念。第一型曲面積分的計(jì)算。
二、教學(xué)重點(diǎn)：第一型曲面積分計(jì)算
三、教學(xué)難點(diǎn)：第一型曲面積分計(jì)算
四、教學(xué)方法：多媒體、問(wèn)題討論與黑板講解穿插教學(xué)。
五、教學(xué)用具：黑板、CAI課件及硬件支持
六、教學(xué)過(guò)程：
[引例]：
（約5min，語(yǔ)言表述）
由求曲面的質(zhì)量引出第一型曲面積分的概念。
? 第一型曲面積分的概念
（約25min，投影、圖示與黑板講解）
?
第一型曲面積分的計(jì)算
1.2.定理22.1第一型曲面積分計(jì)算公式
（約30min，投影、圖示與黑板講解）例1，例2的求解
（約35min，投影、圖示與黑板講解）
七、課程小結(jié)：
（約5min，黑板講解）
第一型曲面積分的定義；第一型曲面積分的計(jì)算。
八、作業(yè)：P282 1，2，3，4
課時(shí)教學(xué)計(jì)劃（教案22-2）
課題：§22-2第二型曲面積分
一、教學(xué)目的：
1.2.第二型曲面積分的概念。第二型曲面積分的計(jì)算。
二、教學(xué)重點(diǎn)：第二型曲面積分計(jì)算
三、教學(xué)難點(diǎn)：第二型曲面積分計(jì)算
四、教學(xué)方法：多媒體、問(wèn)題討論與黑板講解穿插教學(xué)。
五、教學(xué)用具：黑板、CAI課件及硬件支持
六、教學(xué)過(guò)程：
[引例]：
（約5min，語(yǔ)言表述）
由求流量問(wèn)題引出第二型曲面積分的概念。
? 第二型曲面積分的概念
（約25min，投影、圖示與黑板講解）
?
第二型曲面積分的計(jì)算
1.2.3.定理22.2第二型曲面積分計(jì)算公式
（約30min，投影、圖示與黑板講解）例1，例2的求解
（約35min，投影、圖示與黑板講解）
簡(jiǎn)單介紹兩類曲面積分的聯(lián)系
七、課程小結(jié)：
（約5min，黑板講解）
第二型曲面積分的定義；第二型曲面積分的計(jì)算。
八、作業(yè)：P289 1，2 12 課時(shí)教學(xué)計(jì)劃（教案22-3）
課題：第一、二型曲面積分復(fù)習(xí)課
一、教學(xué)目的：
1.2.鞏固第一型曲面積分、第二型曲面積分的概念。鞏固第一型曲面積分、第二型曲面積分的計(jì)算。
二、教學(xué)重點(diǎn)：第一、二型曲面積分計(jì)算
三、教學(xué)難點(diǎn)：第一、二型曲面積分計(jì)算
四、教學(xué)方法：多媒體、問(wèn)題討論與黑板講解穿插教學(xué)。
五、教學(xué)用具：黑板、CAI課件及硬件支持
六、教學(xué)過(guò)程：
? 第一、二型曲面積分的概念
（約10min，投影、圖示與黑板講解）
?
第一、二型曲面積分的計(jì)算
1.2.習(xí)題鞏固第一、二型曲面積分計(jì)算公式
（約75min，投影、圖示與黑板講解）簡(jiǎn)單介紹兩類曲面積分的聯(lián)系
（約10min，投影、圖示與黑板講解）
七、課程小結(jié)：
（約5min，黑板講解）
第一、二型曲面積分的定義；第一、二型曲面積分的計(jì)算。
八、作業(yè)：P305 1，2
課時(shí)教學(xué)計(jì)劃（教案22-4）
課題：§22-3高斯公式與斯托克斯公式
一、教學(xué)目的：
1.2.掌握高斯公式 掌握斯托克斯公式
二、教學(xué)重點(diǎn)：高斯公式與斯托克斯公式
三、教學(xué)難點(diǎn)：高斯公式與斯托克斯公式
四、教學(xué)方法：多媒體、問(wèn)題討論與黑板講解穿插教學(xué)。
五、教學(xué)用具：黑板、CAI課件及硬件支持
六、教學(xué)過(guò)程：
? 高斯公式的重要意義
（約5min，投影、圖示與黑板講解）
?
高斯公式
1.2.? 定理22.3證明
（約25min，投影、圖示與黑板講解）例1的求解
（約15min，投影、圖示與黑板講解）
斯托克斯公式的重要意義
（約5min，投影、圖示與黑板講解）
?
斯托克說(shuō)公式
1.2.3.定理22.4證明
（約15min，投影、圖示與黑板講解）例2的求解
（約10min，投影、圖示與黑板講解）
定理22.5及例3
（約20min，投影、圖示與黑板講解）
七、課程小結(jié)：
（約5min，黑板講解）
高斯公式與斯托克斯公式；高斯公式與斯托克斯公式的計(jì)算
八、作業(yè)：P296 1，2，3，4 14 課時(shí)教學(xué)計(jì)劃（教案22-5）
課題：§22-4場(chǎng)論初步
一、教學(xué)目的：
1.2.了解場(chǎng)的概念 掌握梯度場(chǎng)、散度場(chǎng)
二、教學(xué)重點(diǎn)：梯度場(chǎng)、散度場(chǎng)
三、教學(xué)難點(diǎn)：梯度場(chǎng)、散度場(chǎng)
四、教學(xué)方法：多媒體、問(wèn)題討論與黑板講解穿插教學(xué)。
五、教學(xué)用具：黑板、CAI課件及硬件支持
六、教學(xué)過(guò)程：
? 場(chǎng)的概念、向量場(chǎng)線
（約15min，投影、圖示與黑板講解）
?
梯度場(chǎng)的定義及其基本性質(zhì)
（約20min，投影、圖示與黑板講解）?
例1求解
（約15min，投影、圖示與黑板講解）
? 散度場(chǎng)的定義及其基本性質(zhì)
（約20min，投影、圖示與黑板講解）
?
例2求解
（約15min，投影、圖示與黑板講解）?
了解其他場(chǎng)
（約10min，投影、圖示與黑板講解）
七、課程小結(jié)：
（約5min，黑板講解）
場(chǎng)的概念；梯度場(chǎng)、散度場(chǎng)。
八、作業(yè)：P296 1，2，3，4。
課時(shí)教學(xué)計(jì)劃（教案22-6）
課題：高斯公式與斯托克斯公式和場(chǎng)論初步復(fù)習(xí)課
一、教學(xué)目的：
1.2.鞏固高斯公式與斯托克斯公式 鞏固梯度場(chǎng)、散度場(chǎng)
二、教學(xué)重點(diǎn)：高斯公式與斯托克斯公式
三、教學(xué)難點(diǎn)：高斯公式與斯托克斯公式
四、教學(xué)方法：多媒體、問(wèn)題討論與黑板講解穿插教學(xué)。
五、教學(xué)用具：黑板、CAI課件及硬件支持
六、教學(xué)過(guò)程：
? 高斯公式與斯托克斯公式
（約15min，投影、圖示與黑板講解）
?
高斯公式與斯托克斯公式的計(jì)算
（約65min，投影、圖示與黑板講解）?
復(fù)習(xí)場(chǎng)論知識(shí)
（約15min，黑板講解）
七、課程小結(jié)：
（約5min，黑板講解）
高斯公式與斯托克斯公式；高斯公式與斯托克斯公式的計(jì)算； 場(chǎng)的概念；梯度場(chǎng)、散度場(chǎng)。
八、作業(yè)：P305 3，4。
第三篇：數(shù)學(xué)分析 教案
第九章
空間解析幾何
教學(xué)目標(biāo)：
1．理解空間直角坐標(biāo)系的概念,掌握兩點(diǎn)間的距離公式.2．理解向量的概念、向量的模、單位向量、零向量與向量的方向角、方向余弦概念.3．理解向量的加法、數(shù)乘、點(diǎn)積與叉積的概念.4．理解基本單位向量，熟練掌握向量的坐標(biāo)表示，熟練掌握用向量的坐標(biāo)表示進(jìn)行向量的加法、數(shù)乘、點(diǎn)積與叉積的運(yùn)算.5．理解平面的點(diǎn)法式方程和空間直線的點(diǎn)向式方程（標(biāo)準(zhǔn)方程）、參數(shù)方程，了解平面和空間直線的一般式方程.6．理解曲面及其方程的關(guān)系，知道球面、柱面和旋轉(zhuǎn)曲面的概念，掌握球面、以坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)軸、準(zhǔn)線在坐標(biāo)面上的旋轉(zhuǎn)曲面及以坐標(biāo)軸為軸的圓柱面和圓錐面的方程及其圖形.7．了解空間曲線及其方程，會(huì)求空間曲線在坐標(biāo)面內(nèi)的投影.8．了解橢球面、橢圓拋物面等二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程及其圖形.教學(xué)重點(diǎn)：向量的概念，向量的加法、數(shù)乘、點(diǎn)積與叉積的概念，用向量的坐標(biāo)表示進(jìn)行向量的加法、數(shù)乘、點(diǎn)積與叉積的運(yùn)算，平面的點(diǎn)法式方程，空間直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程和參數(shù)方程，球面、以坐標(biāo)軸為軸的圓柱面和圓錐面方程及其圖形，空間曲線在坐標(biāo)面內(nèi)的投影.教學(xué)難點(diǎn)：向量的概念，向量的點(diǎn)積與叉積的概念與計(jì)算，利用向量的點(diǎn)積與叉積去建立平面方程與空間直線方程的方法，利用曲面的方程畫出空間圖形.教學(xué)方法：講授為主的綜合法 教學(xué)學(xué)時(shí)：14學(xué)時(shí) 教學(xué)手段：板書
學(xué)法建議：解析幾何的實(shí)質(zhì)是建立點(diǎn)與實(shí)數(shù)有序數(shù)組之間的關(guān)系，把代數(shù)方程與曲線、曲面對(duì)應(yīng)起來(lái)，從而能用代數(shù)方法研究幾何圖形建議在本章的學(xué)習(xí)中，應(yīng)注意對(duì)空間圖形想象能力的培養(yǎng)，有些空間圖形是比較難以想像和描繪的，這是學(xué)習(xí)本章的一個(gè)難點(diǎn).為了今后學(xué)習(xí)多元函數(shù)重積分的需要，同學(xué)們應(yīng)自覺(jué)培養(yǎng)這方面的能力.參考資料： 使用教材：《高等數(shù)學(xué)》（第三版），高職高專十一五規(guī)劃教材，高等教育出版社，2011年5月，侯**主編.參考教材： 1.《高等數(shù)學(xué)》，21世紀(jì)高職高專精品教材，北京理工大學(xué)出版社，2005年5月，宋立溫等主編.2.《高等數(shù)學(xué)》，教育部高職高專規(guī)劃教材，高等教育出版社，2006年4月，盛祥耀主編.3.《高等數(shù)學(xué)》，第五版.同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室編，高等教育出版社.4.《高等數(shù)學(xué)應(yīng)用205例》，李心燦編，1986年，高等教育出版社.5.《高等數(shù)學(xué)》，宋立溫等主編，21世紀(jì)高職高專精品教材，北京理工大學(xué)出版社，2005年5月.第一節(jié) 空間直角坐標(biāo)系與向量的概念
教學(xué)目標(biāo)：
1．理解空間直角坐標(biāo)系的概念,掌握兩點(diǎn)間的距離公式.2．理解向量的概念、向量的模、單位向量、零向量與向量的方向角、方向余弦概念.3．理解向量的加法、數(shù)乘、點(diǎn)積與叉積的概念.4．理解基本單位向量，熟練掌握向量的坐標(biāo)表示，熟練掌握用向量的坐標(biāo)表示進(jìn)行向量的加法、數(shù)乘的運(yùn)算.教學(xué)重點(diǎn)：向量的概念，向量的加法、數(shù)乘的概念，用向量的坐標(biāo)表示進(jìn)行向量的加法、數(shù)乘的運(yùn)算.教學(xué)難點(diǎn)：向量的概念.教學(xué)方法：講授為主的綜合法 教學(xué)學(xué)時(shí)：2學(xué)時(shí) 教學(xué)手段：板書
一、引入新課（3分鐘）
(提問(wèn))舉幾個(gè)既有大小又有方向的量.(溫故知新,進(jìn)行一些必要知識(shí)鋪墊。)
二、講授新課（72分鐘）
（一）空間直角坐標(biāo)系（17分鐘）
在空間,使三條數(shù)軸相互垂直且相交于一點(diǎn)O，這三條數(shù)軸分別稱為x軸、y軸和z軸，一般是把x軸和y軸放置在水平面上，z軸垂直于水平面.z軸的正向按下述法則規(guī)定如下：伸出右手，讓四指與大拇指垂直，并使四指先指向x軸的正向，然后讓四指沿握拳方向旋轉(zhuǎn)090指向y軸的正向，這時(shí)大拇指所指的方向就是z軸的正向(該法則稱為右手法則).這樣就組成了右手空間直角坐標(biāo)系Oxyz.在此空間直角坐標(biāo)系中，x軸稱為橫軸，y軸稱為縱軸，簡(jiǎn)稱坐標(biāo)面.x軸與yz軸稱為豎軸，O稱為坐標(biāo)原點(diǎn);每?jī)奢S所確定的平面稱為坐標(biāo)平面，軸所確定的坐標(biāo)面稱為xOy坐標(biāo)面，類似地有yOz坐標(biāo)面，zOx坐標(biāo)面。這些坐標(biāo)面把空間分為八個(gè)部分，每一部分稱為一個(gè)卦限.在空間直角坐標(biāo)系中建立了空間的一點(diǎn)M與一組有序數(shù)(x,y,z)之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。有序數(shù)組(x,y,z)稱為點(diǎn)M的坐標(biāo)；x,y,z分別稱為x坐標(biāo)，y坐標(biāo)，z坐標(biāo).(提問(wèn))根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)的規(guī)定，點(diǎn)（0,0,c）在哪條坐標(biāo)軸上，點(diǎn)（a，b，0）(a,0,c)在哪個(gè)坐標(biāo)面上？（目的在于檢驗(yàn)學(xué)生能否正確理解點(diǎn)與有序數(shù)組的對(duì)應(yīng)關(guān)系，并在問(wèn)題中正確應(yīng)用.）
（二）向量的基本概念及線性運(yùn)算（15分鐘）1.向量的基本概念
（此部分內(nèi)容在高中階段已學(xué)，故可由教師引導(dǎo)，師生共同回憶完成）⑴向量的定義：既有大小，又有方向的量，稱為向量或矢量．
?⑵向量的模：向量的大小稱為向量的模，用a或AB表示向量的模． ⑶單位向量 模為1的向量稱為單位向量． ⑷零向量 模為０的向量稱為零向量，零向量的方向是任意的.⑸向量的相等 大小相等且方向相同的向量稱為相等的向量.⑹自由向量 在空間任意地平行移動(dòng)后不變的向量,稱為自由向量.2.向量的線性運(yùn)算 ⑴ 向量的加法
① 三角形法則 若將向量a的終點(diǎn)與向量b的起點(diǎn)放在一起，則以a的起點(diǎn)為起點(diǎn)，以b的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量稱為向量a與b的和向量，記為a?b.這種求向量和的方法稱為向量加法的三角形法則.②平行四邊形法則 將兩個(gè)向量a和b的起點(diǎn)放在一起，并以a和b為鄰邊作平行四邊形，則從起點(diǎn)到對(duì)角頂點(diǎn)的向量稱為a?b.這種求向量和的方法稱為向量加法的平行四邊形法則.向量的加法滿足下列運(yùn)算律.交換律：a?b=b?a； 結(jié)合律：（a?b）+c=a+（b+c）.⑵ 向量與數(shù)的乘法運(yùn)算
實(shí)數(shù)?與向量a的乘積是一個(gè)向量，稱為向量a與數(shù)?的乘積，記作?a，并且規(guī)定：
①?a?? a；
②當(dāng)??0時(shí)，?a與a的方向相同；當(dāng)??0時(shí)，?a與a的方向相反； ③當(dāng)??0時(shí)，?a是零向量.設(shè)?,?都是實(shí)數(shù)，向量與數(shù)的乘法滿足下列運(yùn)算律：
結(jié)合律：?(?a)?(??)a??(?a)；
分配律：(???)a??a??a , ?(a+b)=?a+?b.向量的加法運(yùn)算和向量與數(shù)的乘法運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算.⑶ 求與a同向的單位向量的方法 設(shè)向量a是一個(gè)非零向量，則與a同向的單位向量
ea?a.a ⑷ 負(fù)向量 當(dāng)???1時(shí)，記(-1)a=-a，則-a與a的方向相反，模相等，-a稱為向量a的負(fù)向量.⑸ 向量的減法 兩向量的減法（即向量的差）規(guī)定為 a-b=a +(-1)b.向量的減法也可按三角形法則進(jìn)行，只要把a(bǔ)與b的起點(diǎn)放在一起，a-b即是以b的終點(diǎn)為起點(diǎn)，以a的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量.（三）向量的坐標(biāo)表示（40分鐘）
1、向徑及其坐標(biāo)表示
⑴ 基本單位向量 i,j,k分別為與x軸,y軸,z軸同向的單位向量.⑵ 向徑及其坐標(biāo)表示
向徑 終點(diǎn)為P的向量OP稱為點(diǎn)P的向徑,記為OP.點(diǎn)P(a1,a2,a3)的向徑OP的坐標(biāo)表達(dá)式為OP=a1i?a2j?a3k或簡(jiǎn)記為 OP={a1,a2,a3}.講解例1（教師分析，師生共同完成本題目的求解，目的在于檢驗(yàn)學(xué)生能否正確應(yīng)用向徑的坐標(biāo)表示.）
2、向量M1M2的坐標(biāo)表示
設(shè)以M1(x1,y1,z1)為起點(diǎn),以M2(x2,y2,z2)為終點(diǎn)的向量M1M2的坐標(biāo)表達(dá)式為 M1M2=(x2?x1)i?(y2?y1)j?(z2?z1)k.講解例2（教師分析，師生共同完成本題目的求解，目的在于檢驗(yàn)學(xué)生能否正確應(yīng)用向量M1M2的坐標(biāo)表示.）
3、向量a?a1i?a2j?a3k的模 a=a1?a2?a3.4、空間兩點(diǎn)間距離公式
?222點(diǎn)M1(x1,y1,z1)與點(diǎn)M2(x2,y2,z2)間的距離記為d(M1M2),則d(M1M2)?M1M2, 而M1M2=(x2?x1)i?(y2?y1)j?(z2?z1)k 所以d(M1M2)?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2
講解例
3、例4（學(xué)生講解，考察學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行運(yùn)用的情況）5.坐標(biāo)表示下的向量運(yùn)算
設(shè)a?a1i?a2j?a3k，b?b1i?b2j?b3k，則有（1）a?b?(a1?b1)i?(a2?b2)j?(a3?b3)k；（2）a?b?(a1?b1)i?(a2?b2)j?(a3?b3)k；（3）?a??(a1i?a2j?a3k)??a1i??a2j??a3k；（4）a?b?a1?b1,a2?b2,a3?b3（5）a∥b?a=?b?a1a2a3??.b1b2b3引導(dǎo)學(xué)生看書、探究證明方法.由老師分析歸納證明思路，指出定理的作用與用法.講解例5（師生共同完成，讓學(xué)生熟悉解題過(guò)程，旨在規(guī)范學(xué)生解題步驟，培養(yǎng)科學(xué)的學(xué)習(xí)方法與態(tài)度）
三、課堂練習(xí)（9分鐘）教材169頁(yè)1—5題.（檢驗(yàn)學(xué)習(xí)效果，讓學(xué)生在會(huì)的基礎(chǔ)上，訓(xùn)練解題速度。旨在訓(xùn)練學(xué)生總結(jié)數(shù)學(xué)思想的能力，并在學(xué)習(xí)中注意這些數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用）
四、內(nèi)容小結(jié)（4分鐘）
（教師引導(dǎo)學(xué)生一起完成，讓學(xué)生學(xué)會(huì)總結(jié)歸納）
（一）空間直角坐標(biāo)系
（二）向量的基本概念及線性運(yùn)算 1.向量的基本概念 2.向量的線性運(yùn)算
（三）向量的坐標(biāo)表示 1.向徑及其坐標(biāo)表示 2.向量M1M2的坐標(biāo)表示
3.向量a?a1i?a2j?a3k的模 a=a1?a2?a3.4.空間兩點(diǎn)間距離公式 5.坐標(biāo)表示下的向量運(yùn)算
五、布置作業(yè)(2分鐘)1.教材169頁(yè)2、4、6題
2.預(yù)習(xí)第二節(jié)向量的點(diǎn)積與叉積
222第二節(jié) 向量的點(diǎn)積與叉積
教學(xué)目標(biāo)：熟練掌握用向量的坐標(biāo)表示進(jìn)行向量點(diǎn)積與叉積的運(yùn)算.教學(xué)重點(diǎn)：向量點(diǎn)積與叉積的概念.教學(xué)難點(diǎn)：用向量的坐標(biāo)表示進(jìn)行向量點(diǎn)積與叉積的運(yùn)算.教學(xué)方法：講授為主的綜合法 教學(xué)學(xué)時(shí)：2學(xué)時(shí) 教學(xué)手段：板書
一、引入新課（5分鐘）
(提問(wèn))1.向徑及其坐標(biāo)表示2.向量M1M2的坐標(biāo)表示3.向量a?a1i?a2j?a3k的模
222?a2?a34.空間兩點(diǎn)間距離公式 a=a1(溫故知新,為用向量的坐標(biāo)表示進(jìn)行向量點(diǎn)積與叉積的運(yùn)算做一些必要的知識(shí)鋪墊。)
二、講授新課（64分鐘）
（一）向量的點(diǎn)積（34分鐘）
1、引例
已知力F與x軸正向夾角為?，其大小為F,在力F的作用下，一質(zhì)點(diǎn)M沿x軸由x=a移動(dòng)到x=b,求力F所做的功？（創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)的情景，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣）
分析：在力F使質(zhì)點(diǎn)M沿x軸由x=a移動(dòng)到x=b,所做的功等于F的模與位移的模及其夾角余弦的積.解略.這個(gè)特殊問(wèn)題中得出的關(guān)系是否具有普遍意義？引起思維的碰撞，引出向量的點(diǎn)積的定義.2、定義 設(shè)向量a,b之間的夾角為?(0???π)，則稱abcos?為向量a與b的數(shù) 量積，記作a·b，即 a·b=abcos?.向量的點(diǎn)積又稱“點(diǎn)積”或“內(nèi)積”.講解例1.（教師分析，師生共同完成本題目的求解，目的在于檢驗(yàn)學(xué)生能否正確理解向量的點(diǎn)積的定義.）
向量的點(diǎn)積還滿足下列運(yùn)算律: 交換律：a·b= b·a；
分配律：(a+b)·c= a·c+b·c；
結(jié)合律：?(a·b)=(?a)·b(其中?為常數(shù)).3、點(diǎn)積的坐標(biāo)表示
（1）設(shè)a?a1i?a2j?a3k，b?b1i?b2j?b3k,則a·b=a1b1?a2b2?a3b3.（由學(xué)生自行得出點(diǎn)積的坐標(biāo)表示公式，進(jìn)一步加深對(duì)向量點(diǎn)積的定義的理解）（2）定理1：a⊥b?a?b?0?a1b1?a2b2?a3b3?0
講解例2.（學(xué)生講解，考察學(xué)生對(duì)兩向量正交充分必要條件的理解與應(yīng)用能力）
4、向量a與b的夾角余弦
設(shè)a?a1i?a2j?a3k，b?b1i?b2j?b3k,則 cos??a1b1?a2b2?a3b3a?b =(0???π).222222aba1?a2?a3b1?b2?b35、向量的方向余弦
設(shè) 向 量 a?a1i?a2j?a3k與 x 軸 ,y 軸 ,z 軸 的 正 向 夾 角 分 別 為
?,?,?(0??,?,??π),稱其為向量a的三個(gè)方向角，并稱cos? ,cos?,cos?為a的方向余弦，向量a的方向余弦的坐標(biāo)表示為
cos??且cos2??cos2a1a?a?a212223, cos??a2a?a?a212223, cos??a3a?a?a212223，??cos2??1.講解例4（（師生共同完成.利用數(shù)學(xué)建模解決物理問(wèn)題，讓學(xué)生熟悉建模過(guò)程，規(guī)范解題步驟.數(shù)學(xué)來(lái)源于生活、服務(wù)生活，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的意識(shí).）
（二）向量的叉積（30分鐘）1.引例
設(shè)點(diǎn)O為一杠桿的支點(diǎn)，力F作用于杠桿上點(diǎn)P處，求力F對(duì)支點(diǎn)O的力矩.分析：力F對(duì)支點(diǎn)O的力矩等于F的模與向量OP的模及其夾角正弦的積.解略.（這個(gè)特殊問(wèn)題中得出的關(guān)系是否具有普遍意義？引起思維的碰撞，引出向量的叉積的定義.）
2.叉積的定義
(1)定義 兩個(gè)向量a與b的叉積是一個(gè)向量，記作a×b，它的模和方向分別規(guī)定如下：
①a×b=absin? 其中?是向量a與b的夾角；
②a×b的方向?yàn)榧却怪庇赼又垂直于b，并且按順序a,b,a×b符合右手法則.（2）向量的叉積滿足如下運(yùn)算律.反交換律：a×b=-b×a；
分配律：(a+b)×c=a×c+b×c；
結(jié)合律：?(a×b)=(?a)×b=a×(?b)(其中?為常數(shù)).講解例5（學(xué)生講解，考察學(xué)生對(duì)向量叉積定義的理解與應(yīng)用能力）（3）定理2：a∥b?a?b?0.3.叉積的坐標(biāo)表示
設(shè)a?a1i?a2j?a3k，b?b1i?b2j?b3k，則
a×b=(a2b3?a3b2)i?(a1b3?a3b1)j?(a1b2?a2b1)k.可將a×b表示成一個(gè)三階行列式的形式，計(jì)算時(shí)，只需將其按第一行展開即可.即
i j k a×b= a1 a2 a3.b1 b2 b3
講解例6（師生共同完成，加深學(xué)生對(duì)叉積的坐標(biāo)表示公式的記憶，讓學(xué)生熟悉解題過(guò)程，旨在規(guī)范學(xué)生解題步驟，培養(yǎng)科學(xué)的學(xué)習(xí)方法與態(tài)度）
講解例8(師生共同完成，訓(xùn)練學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力)
三、課堂練習(xí)（15分鐘）
教材174頁(yè)思考題1—3題.（檢驗(yàn)學(xué)習(xí)效果，讓學(xué)生在會(huì)的基礎(chǔ)上，訓(xùn)練解題速度.）
四、內(nèi)容小結(jié)（4分鐘）
（教師引導(dǎo)學(xué)生一起完成，讓學(xué)生學(xué)會(huì)總結(jié)歸納，訓(xùn)練學(xué)生總結(jié)數(shù)學(xué)思想的能力，并在學(xué)習(xí)中注意這些數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用.）
（一）向量的點(diǎn)積定義、坐標(biāo)表示；
（二）向量的叉積定義、坐標(biāo)表示及記憶方法.五、布置作業(yè)(2分鐘)1.教材174頁(yè)2、4、6、8題 2.預(yù)習(xí)第三節(jié)平面與直線
第四篇：數(shù)學(xué)分析教案第一章
數(shù)學(xué)分析(mathematical analysis)課程簡(jiǎn)介
(計(jì)劃課時(shí):2時(shí))
一、背景:從切線、面積等問(wèn)題引入.1極限(limit)—— 變量數(shù)學(xué)的基本運(yùn)算.2數(shù)學(xué)分析的基本內(nèi)容：數(shù)學(xué)分析以極限作為工具來(lái)研究函數(shù)的一門學(xué)科（僅在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)行討論）.主要研究微分(differential)和積分(integration)兩種特殊的極限運(yùn)算,利用這兩種運(yùn)算從微觀和宏觀兩個(gè)方面研究函數(shù),并依據(jù)這些運(yùn)算引進(jìn)并研究一些非初等函數(shù).數(shù)學(xué)分析基本上是連續(xù)函數(shù)的微積分理論.3 數(shù)學(xué)分析的形成過(guò)程：孕育于古希臘時(shí)期:在我國(guó)很早就有極限思想.紀(jì)元前三世紀(jì), Archimedes就有了積分思想.十七世紀(jì)以前是一個(gè)漫長(zhǎng)的醞釀時(shí)期,是微積分思想的發(fā)展、成果的積累時(shí)期:十七世紀(jì)下半葉到十九時(shí)紀(jì)上半葉——微積分的創(chuàng)建時(shí)期:十九時(shí)紀(jì)上半葉到二十時(shí)紀(jì)上半葉——分析學(xué)理論的完善和重建時(shí)期.二、數(shù)學(xué)分析課的特點(diǎn): 邏輯性很強(qiáng), 很細(xì)致, 很深刻;先難后易, 是說(shuō)開頭四章有一定的難度, 若能努力學(xué)懂前四章(或前四章的80%),后面的學(xué)習(xí)就會(huì)容易一些;只要在課堂上專心聽(tīng)講,一般是可以聽(tīng)得懂的,但即便能聽(tīng)懂,習(xí)題還是難以順利完成.這是因?yàn)閿?shù)學(xué)分析技巧性很強(qiáng),只了解基本的理論和方法,不輔以相應(yīng)的技巧,是很難順利應(yīng)用理論和方法的.論證訓(xùn)練是數(shù)學(xué)分析課基本的,也是重要的內(nèi)容之一,也是最難的內(nèi)容之一.一般懂得了證明后,能把證明準(zhǔn)確、嚴(yán)密、簡(jiǎn)練地用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言和符號(hào)書寫出來(lái)，似乎是更難的一件事.因此, 理解證明的思維方式,學(xué)習(xí)基本的證明方法, 掌握敘述和書寫證明的一般語(yǔ)言和格式, 是數(shù)學(xué)分析教學(xué)貫穿始終的一項(xiàng)任務(wù).有鑒于此, 建議的學(xué)習(xí)方法是:課前要復(fù)習(xí),做好必要的聽(tīng)課準(zhǔn)備;課堂上認(rèn)真聽(tīng)講, 必須記筆記, 但要注意以聽(tīng)為主,力爭(zhēng)在課堂上能聽(tīng)懂七、八成.課后不要急于完成作業(yè), 先認(rèn)真整理筆記, 補(bǔ)充課堂講授中太簡(jiǎn)或跳過(guò)的推導(dǎo),閱讀教科書,學(xué)習(xí)證明或推導(dǎo)敘述和書寫的格式與方法.基本掌握了課堂教學(xué)內(nèi)容后, 再去做作業(yè).在學(xué)習(xí)中,要養(yǎng)成多想問(wèn)題的習(xí)慣,善于論證進(jìn)行肯定，尤其要善于舉反例進(jìn)行否定;對(duì)概念不能有一點(diǎn)含糊,那是一個(gè)數(shù)學(xué)名詞的固定含義,那是推理論證的根據(jù).數(shù)學(xué)分析是數(shù)學(xué)系最重要的一門專業(yè)基礎(chǔ)課，因?yàn)樗粌H是大學(xué)數(shù)學(xué)系學(xué)生進(jìn)校后首先面臨的一門重要課程，而且大學(xué)本科乃至研究生階段的很多后繼課程在本質(zhì)上都可以看作是它的延伸、深化或應(yīng)用,至于它的基本概念、思想和方法，更可以說(shuō)是無(wú)處不在.本課程的主要任務(wù)是：使學(xué)生獲得極限論、單多元微積分、級(jí)數(shù)論等方面的系統(tǒng)知識(shí)；為后繼數(shù)學(xué)專業(yè)課程（如微分方程、實(shí)變函數(shù)和復(fù)變函數(shù)、概率論、統(tǒng)計(jì)及有關(guān)的泛函分析、微分幾何等選修課程）及普通物理課程等提供所需的基礎(chǔ)理論和知識(shí)；提高學(xué)生思維能力，開發(fā)學(xué)生智能，加強(qiáng)“三基”（基礎(chǔ)知識(shí)、基本理論、基本技能）訓(xùn)練及培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立工作能力.數(shù)學(xué)分析是數(shù)學(xué)專業(yè)各個(gè)方向上考研必考的專業(yè)基礎(chǔ)課(另一門是高等代數(shù)).三、課堂講授方法:
1.關(guān)于教材與參考書目: 沒(méi)有嚴(yán)格意義上的教科書.這是大學(xué)與中學(xué)教學(xué)不同的地方, 本課程主要從以下教科書中取材: [1] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編，數(shù)學(xué)分析(上下冊(cè))(第三版)，高等教育出版社，2001.6.[2] 數(shù)學(xué)分析講義(上下冊(cè))(第三版).劉玉璉 傅沛仁編.高等教育出版社，2001.[3] 數(shù)學(xué)分析新講（一、二、三冊(cè)).張筑生編.北京大學(xué)出版社，1991.[4] 微積分學(xué)教程(共八冊(cè)).Γ.Μ.菲赫金哥爾茨著.人民教育出版社，1978.[5] 數(shù)學(xué)分析中的反例.王俊青編.電子科技大學(xué)出版社，1996.[6] 數(shù)學(xué)分析中的典型問(wèn)題與方法.裴禮文編.高等教育出版社，2002.[7] 數(shù)學(xué)分析習(xí)題集題解(共六冊(cè)).Б.Л.吉米多維奇編.費(fèi)定輝等譯，山東科技出版社，1983.本課程基本按[1]的邏輯順序, 主要在[1]、[2]、[3]中取材.在講授中, 有時(shí)會(huì)指出所講內(nèi)容的出處.本課程為適應(yīng)課時(shí)少和學(xué)分制的要求,只介紹數(shù)學(xué)分析最基本的內(nèi)容.因此刪去了[1]中第十九和二十三等兩章, 相應(yīng)的內(nèi)容作為選修課將在學(xué)完數(shù)學(xué)分析課之后開設(shè).2.內(nèi)容多,課時(shí)緊:大學(xué)課堂教學(xué)與中學(xué)不同的是,這里每次課介紹的內(nèi)容很多,因此,內(nèi)容重復(fù)的次數(shù)少,講課只注重思想性與基本思路,具體內(nèi)容或推導(dǎo),特別是同類型或較簡(jiǎn)的推理論證及推導(dǎo)計(jì)算,可能講得很簡(jiǎn),留給課后的學(xué)習(xí)任務(wù)一般很重.3.講解的重點(diǎn):概念的意義與理解,幾何直觀,理論的體系,定理的意義、條件、結(jié)論.定理證明的分析與思路,具有代表性的證明方法,解題的方法與技巧.某些精細(xì)概念之間的本質(zhì)差別.在第一、二章教學(xué)中,可能會(huì)寫出某些定理證明,以后一般不會(huì)做特別具體的證明敘述.四、要求、輔導(dǎo)及考試：
1.學(xué)習(xí)方法:盡快適應(yīng)大學(xué)的學(xué)習(xí)方法,盡快進(jìn)入角色.課堂上以聽(tīng)為主,但要做課堂筆記.課后一定要認(rèn)真復(fù)習(xí)消化,補(bǔ)充筆記.一般課堂教學(xué)與課外復(fù)習(xí)的時(shí)間比例應(yīng)為1:3(國(guó)外這個(gè)比例通常是1: 4)對(duì)將來(lái)從事數(shù)學(xué)教學(xué)工作的師范大學(xué)本科生來(lái)說(shuō),課堂聽(tīng)講的內(nèi)容應(yīng)該更為豐富:要認(rèn)真評(píng)價(jià)教師的課堂教學(xué),把教師在課堂上的成功與失敗變?yōu)樽约旱慕?jīng)驗(yàn).這對(duì)未來(lái)的教學(xué)工作是很有用的.2.作業(yè):作業(yè)以[1]的練習(xí)題中劃線以上的部分習(xí)題為主要內(nèi)容,同時(shí)可參考[7]與[1]中劃線以下部分的習(xí)題.大體上每個(gè)練習(xí)收一次作業(yè),每次收作業(yè)總數(shù)的三分之一.作業(yè)的收交和完成情況有一個(gè)較詳細(xì)的登記,缺交作業(yè)將直接影響學(xué)期總評(píng)成績(jī).作業(yè)要按數(shù)學(xué)排版格式書寫恭整.要求活頁(yè)作業(yè), 要有作業(yè)封面, 尺寸為19.5?27.5cm.3.輔導(dǎo):大體每周一次, 第一學(xué)期要求輔導(dǎo)時(shí)不缺席.4.考試:按學(xué)分制的要求, 只以最基本的內(nèi)容進(jìn)行考試, 大體上考課堂教學(xué)和所布置作業(yè)的內(nèi)容, 包括[1]中的典型例題.開設(shè)三學(xué)期考三次.考試題為標(biāo)準(zhǔn)化試題.五.內(nèi)容安排
1.課時(shí)分配: 第一學(xué)期16×6=96;第二學(xué)期18×6=108;第三學(xué)期18×4=72.2.內(nèi)容分配: 第一學(xué)期一元函數(shù)微分學(xué);第二學(xué)期一元函數(shù)積分學(xué)與級(jí)數(shù)論;第三學(xué)期二元函數(shù)微積分學(xué).第一章 實(shí)數(shù)集與函數(shù)（計(jì)劃課時(shí)：6 時(shí)）P1—22
§1 實(shí) 數(shù)（1時(shí)）
一．實(shí)數(shù)及其性質(zhì)：回顧中學(xué)中關(guān)于實(shí)數(shù)集的定義.1.實(shí)數(shù)用無(wú)限小數(shù)表示的方法: 為了把有限小數(shù)(包括整數(shù))表示為無(wú)限小數(shù), 規(guī)定: 對(duì)于正有限小數(shù)(包括正整數(shù))x,x?a0.a1a2?an時(shí),其中0?ai?9,i?1,2,?,n,an?0,a0為非負(fù)整數(shù),記x?a0.a1a2?(an?1)9999?;而當(dāng)x?a0為正整數(shù)時(shí),則記x?(a0?1).9999?;對(duì)于負(fù)有限小數(shù)(包括負(fù)整數(shù))y,則先將?y表示為無(wú)限小數(shù),再在所得無(wú)限小數(shù)之前加負(fù)號(hào);又規(guī)定數(shù)0表示為0.000?.例如2.011?2.010999?,?8??7.999?.2.實(shí)數(shù)的大小: 定義1:(實(shí)數(shù)大小的概念)見(jiàn)[1]P1.定義2:(不足近似與過(guò)剩近似的概念)見(jiàn)[1]P2.命題: 設(shè)x?a0.a1a2?與y?b0.b1b2?為兩個(gè)實(shí)數(shù),則x?y??n,使得xn?yn.例1 設(shè)x、y為實(shí)數(shù)，x?y.證明：存在有理數(shù)r滿足x?r?y.[1]P17E1.3.實(shí)數(shù)的性質(zhì): ⑴.四則運(yùn)算封閉性: ⑵.三歧性(即有序性): ⑶.Rrchimedes性:?a,b?R,b?a?0,?n?N,?na?b.⑷.稠密性: 有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的稠密性, 給出稠密性的定義.⑸.實(shí)數(shù)集的幾何表示 ─── 數(shù)軸: ⑺.兩實(shí)數(shù)相等的充要條件: a?b ? ???0, a?b ? ?.二.區(qū)間和鄰域的概念:見(jiàn)[1]P5 三.幾個(gè)重要不等式: 1.絕對(duì)值不等式: 定義 a ?max??a , a ?.[1]P2 的六個(gè)不等式.2.其它不等式:
⑴ a?b?2ab, sinx ? 1.sinx ? x.⑵ 均值不等式: 對(duì)?a1,a2,?,an?R, 記
?22 3 a1?a2???an1n
M(ai)? ? ?ai,(算術(shù)平均值)
nni?G(ai)?na1a2?an???
H(ai)???a?i??,(幾何平均值)?i?1??11n1?ni?1ai?n1?i?1ainn1nn111????a1a2an.(調(diào)和平均值)有平均值不等式:
H(ai)? G(ai)? M(ai),等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a1?a2???an時(shí)成立.⑶
Bernoulli 不等式: ?x??1,有不等式(1?x)n?1?nx, n?N.當(dāng)x??1 且 x?0, n?N且n?2時(shí), 有嚴(yán)格不等式(1?x)n?1?nx.nn證
由 1?x?0且1?x?0, ?(1?x)?n?1?(1?x)?1?1???1?
nn
?n n(1?x)?n(1?x).?(1?x)?1?nx.⑷
利用二項(xiàng)展開式得到的不等式: 對(duì)?h?0, 由二項(xiàng)展開式
(1?h)?1?nh?nnn(n?1)2n(n?1)(n?2)3h?h???hn, 2!3!
有(1?h)?上式右端任何一項(xiàng).Ex [1]P4: 3，4，5，6；
§2 確界原理（2時(shí)）
一、有界數(shù)集:定義(上、下有界,有界), 閉區(qū)間、(a,b)(a,b為有限數(shù)）、鄰域等都是有界數(shù)集，如集合 E?y y?sinx, x?(?? , ??)也是有界數(shù)集.??
二、無(wú)界數(shù)集: 定義,(?? , ??),(?? , 0),(0 , ??)等都是無(wú)界數(shù)集,如集 合 E??y y???1?, x?(0 , 1)?也是無(wú)界數(shù)集.x?
三、確界:給出直觀和刻畫兩種定義.?(?1)n?例1 ⑴S??1? infS?_______.?,則supS?______,n??⑵E?y y?sinx, x?(0,?).則supE?________, infE?_________.例2 非空有界數(shù)集的上（或下）確界是唯一的.例3 設(shè)S和A是非空數(shù)集，且有S?A.則有 supS?supA, infS?infA..例4 設(shè)A和B是非空數(shù)集.若對(duì)?x?A和?y?B,都有x?y, 則有supA?infB.證?y?B,y是A的上界,? supA?y.? supA是B的下界,? supA?infB.例5 A和B為非空數(shù)集, S?A?B.試證明: infS?min? infA , infB ?.證
?x?S,有x?A或x?B, 由infA和infB分別是A和B的下界,有x?infA或??x?infB.? x?min? infA , infB ?.即min? infA , infB ?是數(shù)集S的下界, ? infS?min? infA , infB ?.又S?A, ? S的下界就是A的下界,infS是S的下界, ? infS是A的下界, ? infS?infA;同理有infS?infB.于是有
infS?min? infA , infB ?.綜上, 有 infS?min? infA , infB ?.四、數(shù)集與確界的關(guān)系: 確界不一定屬于原集合.以例1⑵為例做解釋.五、確界與最值的關(guān)系:設(shè)E為數(shù)集.⑴E的最值必屬于E, 但確界未必, 確界是一種臨界點(diǎn).⑵非空有界數(shù)集必有確界(見(jiàn)下面的確界原理), 但未必有最值.⑶若maxE存在, 必有 maxE?supE.對(duì)下確界有類似的結(jié)論.六、確界原理: Th(確界原理).Ex
[1]P9:
2，4，5.§3 函數(shù)概念(2時(shí))
一.函數(shù)的定義:
1.函數(shù): [1]P10—11的四點(diǎn)說(shuō)明.2.定義域: 定義域和存在域.3.函數(shù)的表示法: 4.反函數(shù): 一 一對(duì)應(yīng), 反函數(shù)存在定理.5.函數(shù)的代數(shù)運(yùn)算:
?1?x, x?1,???2?x, x?1, x?1, 和g(x)??2二.分段函數(shù): 以函數(shù)f(x)??2, 為例介紹
??x2, ?x, x?1x?1?概念.f(x)?3?2x?1, 去掉絕對(duì)值符號(hào).例2 f(x)??x?1,?x，求 f(0), f(1), f(2).?1?x, x?1.x?10,?x?3, 例3 設(shè) f(x)??
求 f(5).(答案為8)??ff(x?5), x?10.? 三.復(fù)合函數(shù): 例4 y?f(u)?u, u?g(x)?1?x2.求 ?f?g?(x)?f?g(x).?并求定義域.例5 ⑴
f(1?x)?x?x?1, f(x)?_______________.⑵
f?x?2??1?12)??x?2.則f(x)?(x?x2222A.x, B.x?1,C.x?2, D.x?2.四.初等函數(shù): 1.基本初等函數(shù): 2.初等函數(shù): 3.初等函數(shù)的幾個(gè)特例: 設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)都是初等函數(shù), 則
⑴ f(x)是初等函數(shù), 因?yàn)? f(x)?
?f(x)?2.⑵
?(x)?ma?xf(x), g(x)? 和 ?(x)?min?f(x), g(x)?都是初等函數(shù), 因?yàn)??(x)?max?f(x), g(x)??12?f(x)?g(x)?f(x)?g(x)? ，?(x)?min?f(x), g(x)? ?12?f(x)?g(x)?f(x)?g(x)?.⑶
冪指函數(shù) ?f(x)?g(x)?f(x)?0?是初等函數(shù),因?yàn)?/p>
?f(x)?g(x)?eln?f(x)?g(x)?eg(x)lnf(x).五.介紹一些特殊函數(shù): 1.符號(hào)函數(shù) 2.Dirichlet函數(shù) 3.Riemann函數(shù) 4.取整函數(shù)
5.非負(fù)小數(shù)部分函數(shù)
Ex
[1]P15 1(4)(5)，2, 3，4，5, 6, 7，8；
§4 具有某些特性的函數(shù)(1時(shí))
一、有界函數(shù): 有界與無(wú)界函數(shù)的概念.例1 驗(yàn)證函數(shù) f(x)?5x2x2?3在R內(nèi)有界.解法一
由2x2?3?(2x)2?(3)2?22x?3?26x, 當(dāng)x?0時(shí),有
f(x)?5x5x5x2x2?3?2x2?3?26x?526?3.f(0)?0?3，?對(duì) ?x?R, 總有 f(x)?3, 即f(x)在R內(nèi)有界.解法二
令 y?5x2x2?3 ? 關(guān)于x的二次方程 2yx2?5x?3y?0有實(shí)數(shù)根.? ??52?24y2?0, ? y2?2524?4, ? y ?2.解法三
令 x?3????tgt, t???,?對(duì)應(yīng)x?(?? , ??).于是 2?22?5x53tgt5sint1????
222253tgt2f(x)?2x?32??3?32tgt?16costsec?2tgt?t??3??
?526sin2t, ? f(x)?526sin2t?526.例2 見(jiàn)[1]P17.例3 見(jiàn)[1]P17.二、關(guān)于單調(diào)函數(shù)、奇偶函數(shù)和周期函數(shù)(略)，參閱[1]P17—19，Ex
[1]P20 1，2, 3，4，5, 6, 7；
第五篇：(數(shù)學(xué)分析教案)第七章
第七章 實(shí)數(shù)的完備性
(9學(xué)時(shí))§1 關(guān)于實(shí)數(shù)完備性的基本定理
教學(xué)目的要求： 掌握實(shí)數(shù)完備性的基本定理的內(nèi)容，知道其證明方法.教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：重點(diǎn)實(shí)數(shù)完備性的基本定理.難點(diǎn)是定理的證明,特別是柯西收斂準(zhǔn)則和充分性的證明..學(xué)時(shí)安排:
4學(xué)時(shí) 教學(xué)方法:
講授法.教學(xué)過(guò)程如下:
一、區(qū)間套定理與柯西收斂準(zhǔn)則
定義1 設(shè)閉區(qū)間列{[an,bn]}具有如下性質(zhì)：（1）[an,bn]?[an?1,bn?1],n?1,2,?;（2）n??lim(bn?an)?0
則稱{[an,bn]}為閉區(qū)間套，或簡(jiǎn)稱區(qū)間套.定理7.1(區(qū)間套定理)若{[an,bn]}是一個(gè)區(qū)間套,則在實(shí)數(shù)系中存在唯一的一點(diǎn)?使得??[an,bn],n?1,2,?,即 證: 先證存在性
an???bn,n?1,2,?.?{[an,bn]}是一個(gè)區(qū)間套, 所以
a1?a2???an???bn???b2?b,1
?可設(shè) liman??n??n??
n??n??且由條件2有 limbn?lim(bn?an?bn)?liman??
由單調(diào)有界定理的證明過(guò)程有an???bn,n?1,2,?.再證唯一性
?????bn?an,n?1,2,?.?設(shè)??也滿足an???bn,n?1,2,?.那么,由區(qū)間套的條件2得
?????lim(bn?an)?0n??故有????
推論
若??[an,bn](n?1,2,?)是區(qū)間套{[an,bn]}所確定的點(diǎn),則對(duì)任給的??0,存在N?0,使得當(dāng)
n?N時(shí)有
[an,bn]?U(?,?)
柯西收斂準(zhǔn)則 數(shù)列{an}收斂的充要條件是: 對(duì)任給的??0,存在N?0,使得對(duì)m,n?N有 |am?an|??.證
[必要性] 略.[充分性] 已知條件可改為：對(duì)任給的??0,存在N?0,使得對(duì)m,n?N有|am?an|??.取m?N，有對(duì)任給的??0,存在N?0,使得對(duì)n?N有|am?an|??，即 在區(qū)間[aN??,aN??]內(nèi)含有{an}中幾乎所有的項(xiàng)（指的是{an}中除有限項(xiàng)的所有項(xiàng)）
?令??12則存在N1，在區(qū)間
[aN1?12,aN1?1]2內(nèi)含有{an}中幾乎所有的項(xiàng)，記該區(qū)間為[?1,?1].再令項(xiàng)，??122則存在N2(?N1)，在區(qū)間
[aN1?122,aN1?122]內(nèi)含有{an}中幾乎所有的記該區(qū)間為滿足 [?2,?2]?[aN1?122,aN1?122]?[?1,?1]也含有{an}中幾乎所有的項(xiàng),且[?1,?1]?[?2,?2]及
?2??2?12n12
.依次繼續(xù)令幾乎所有的項(xiàng),且滿足 ??123,?，?,得一區(qū)間列{[?n,?n]},其中每個(gè)區(qū)間中都含有{an}中
[?n,?n]?[?n?1,?n?1],n?1,2,?;
?n??n?12n?1?0(n??)，即時(shí){[?n,?n]}是區(qū)間套.由區(qū)間套定理,存在唯一的一個(gè)數(shù)??[?n,?n],n?1,2,?.再證n??liman??.由定理7.1的推論對(duì)任給的??0,存在N?0,使得當(dāng)n?N時(shí)有
[?n,?n]?U(?,?)
liman??即在U(?,?)內(nèi)含{an}中除有限項(xiàng)的所有項(xiàng),由定義1?n??.二、聚點(diǎn)定理與有限覆蓋定理
定義2 設(shè)S為數(shù)軸上產(chǎn)的點(diǎn)集，?為定點(diǎn)，若?的任何鄰域內(nèi)都有含有S中無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)，則稱?為點(diǎn)集S的一個(gè)聚點(diǎn).例如:{(?1)?n1n有兩聚點(diǎn)??1,???1.}1{}
n有一個(gè)聚點(diǎn)??0.(a,b)內(nèi)的點(diǎn)都是它的聚點(diǎn),所以開區(qū)間集(a,b)有無(wú)窮多個(gè)聚點(diǎn).聚點(diǎn)的等價(jià)定義;定義2?對(duì)于點(diǎn)集S,若點(diǎn)?的任何?鄰域內(nèi)都含有S中異于?的點(diǎn),即U(?;?)?S??,則稱?為S的一個(gè)聚點(diǎn).0limxn??{x}?Sn??2定義若存在各項(xiàng)互異的數(shù)列,則其極限n??稱為S的一個(gè)聚點(diǎn).三個(gè)定義等價(jià)性的證明: 證明思路為:2?2??2???2.定義2??2??的證明: 由定義2?設(shè)?為S的一個(gè)聚點(diǎn),則對(duì)任給的??0,存在x?U(?,?)?S.0令?1?1,則存在x1?U(?,?)?S;
0令?2?min(,|??x1|)2110,則存在x2?U(?;?2)?S,且顯然x2?x1;??
令異;?n?min(,|??xn?1|)20,則存在xn?U(?;?n)?S,且顯然xn與x1,?,xn?1互??
得S中各項(xiàng)互異的數(shù)列{xn},且由由閉區(qū)間套定理可證聚點(diǎn)定理.|?n?xn|??n?1limx??n,知n??n.定理7.2(Weierstrass聚點(diǎn)定理)實(shí)數(shù)軸上的任一有界無(wú)限點(diǎn)集S致少有一個(gè)聚點(diǎn).證 ?S有界, ?存在M?0,使得S?[?M,M],記[a1,b1]?[?M,M], 將[a1,b1]等分為兩個(gè)子區(qū)間.因S為無(wú)限點(diǎn)集,故意兩個(gè)子區(qū)間中至少有一個(gè)含有S中無(wú)窮多個(gè)點(diǎn),記此子區(qū)間為[a2,b2],則[a1,b1]?[a2,b2]且b2?a2?12(b1?a1)?M.再將[a2,b2]等分為兩個(gè)子區(qū)間,則其中至少有一個(gè)含有S中無(wú)窮多個(gè)點(diǎn),取出這樣一個(gè)子區(qū)間記為[a3,b3],則[a2,b2]?[a3,b3],且依次繼續(xù)得一區(qū)間列{[an,bn]},它滿足:
[an,bn]?[an?1,bn?1],n?1,2,?;bn?an?M2n?2b3?a3?12(b2?a2)?M2
?0(n??)，即{[an,bn]}為閉區(qū)間套,且其中每一個(gè)閉區(qū)間都含有S中無(wú)窮多個(gè)點(diǎn).由區(qū)間套定理, 存在唯一的一點(diǎn)?使得??[an,bn],n?1,2,?.由定理1的推論, 對(duì)任?,?).從而U(?;?)含有S給的??0,存在N?0,使得當(dāng)n?N時(shí)有[an,bn]?U(中無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)按定義2?為S的一個(gè)聚點(diǎn).推論(致密性定理)有界數(shù)列必含有收斂子列.證: 設(shè){xn}為有界數(shù)列.若{xn}中有無(wú)限多個(gè)相等的項(xiàng),顯然成立.若數(shù)列{xn}中不含有無(wú)限多個(gè)相等的項(xiàng),則{xn}在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)集必為有界無(wú)限點(diǎn)集,故由聚點(diǎn)定理,點(diǎn)集{xn}至少有一個(gè)聚點(diǎn),記為?.由定義2??,存在{xn}的一個(gè)收斂子列(以?為極限).由致密性定理證柯西收斂準(zhǔn)則的充分性.柯西收斂準(zhǔn)則 數(shù)列{an}收斂的充要條件是: 對(duì)任給的??0,存在N?0,使得對(duì)m,n?N有 |am?an|??.證: [充分性] 先證{an}有界,由憶知條件取??1,則存在正整數(shù)N, 則m?N?1及n?N時(shí)有
|an?aN?1|?1
由此得|an|?|an?aN?1?aN?1|?1?|aN?1|.取M?max{|a1|,|a2|,?,|aN|,1?|aN?1|}則對(duì)一切的正整數(shù)n均有|an|?M.再證{an}收斂,由致密性定理,數(shù)列{an}有收斂子列|am?an|??，|ank?A|??
|a?A|?|an?an|?|an?A|?2?取m?nk(?k?K)時(shí)得到 n
kk{ank},設(shè)k??limank?A
由條件及數(shù)列極限的定義, 對(duì)任給的??0,存在K?0,使得對(duì)m,n,k?N有
所以k??limank?A
定義
3設(shè)S為數(shù)思軸上的點(diǎn)集,H為開區(qū)間集合(即H的每一個(gè)元素都是形如(?,?)的開區(qū)間).若S中的任何一個(gè)點(diǎn)都有含在H中至少一個(gè)開區(qū)間內(nèi),則稱H為S的一個(gè)開覆蓋,(H覆蓋S).若H中開區(qū)間的個(gè)數(shù)是無(wú)限的(有限)的,則稱H為S的一個(gè)無(wú)限開覆蓋(人限開覆蓋).如S?(a,b),H?{(x??x,x??x)|x?(a,b)},H為S的一個(gè)無(wú)限開覆蓋.定理7.3(海涅---博雷爾(Heine-Borel)有限覆蓋定理)設(shè)H為閉區(qū)間[a,b]的一個(gè)(無(wú)限)開覆蓋,則從H中可選出有限個(gè)開區(qū)間來(lái)覆蓋[a,b].證 用反證法
設(shè)定理的結(jié)論不成立,即不能用H中有限個(gè)開區(qū)間來(lái)覆蓋[a,b].將[a,b]等分為兩個(gè)子區(qū)間,其中至少有一個(gè)不區(qū)間不能用H中有限個(gè)開區(qū)間來(lái)覆蓋.記這個(gè)子區(qū)間為[a1,b1],則[a1,b1]?[a,b],且
b1?a1?12(b?a).122再將[a1,b1]等分為兩個(gè)子區(qū)間,同樣,其中至少有一個(gè)不區(qū)間不能用H中有限個(gè)開區(qū)間來(lái)覆蓋.記這個(gè)子區(qū)間為[a2,b2],則[a2,b2]?[a1,b1],且依次繼續(xù)得一區(qū)間列{[an,bn]},它滿足:
[an,bn]?[an?1,bn?1],n?1,2,?;bn?an?12nb2?a2?(b?a).(b?a)?0(n??)，即{[an,bn]}為閉區(qū)間套,且其中每一個(gè)閉區(qū)間都不能用H中有限個(gè)開區(qū)間來(lái)覆蓋 由閉區(qū)間套定理, 存在唯一的一點(diǎn)?使得??[an,bn],n?1,2,?,由于H為閉區(qū)間[a,b]的一個(gè)(無(wú)限)開覆蓋,故存在(?,?)?H,使得??(?,?).于是,由定理7.1的推論,當(dāng)n充分大時(shí)有[an,bn]?(?,?).即用H中一個(gè)開區(qū)間就能覆蓋[an,bn]矛盾.課后記: 這一節(jié)理論性強(qiáng),學(xué)生學(xué)習(xí)困難較大,我認(rèn)為應(yīng)從以下幾個(gè)方面和學(xué)生共同學(xué)習(xí)這一節(jié).1 如何理解記憶定理內(nèi)容.2 如何掌握定理的證明方法.3 怎樣應(yīng)用定理及定理的證明方法去解決問(wèn)題.在應(yīng)用閉區(qū)間套定理時(shí),應(yīng)先構(gòu)造一個(gè)閉區(qū)間套,構(gòu)造的方法一般是二等分法,在應(yīng)用有限覆蓋定理時(shí),應(yīng)先構(gòu)造一個(gè)開覆蓋構(gòu)造的方法一般與函數(shù)的連續(xù)性定義結(jié)合.應(yīng)用聚點(diǎn)定理時(shí),應(yīng)先構(gòu)造一數(shù)列等.教材中P163[?2,?2]中包含{an}的幾乎所有項(xiàng),是因?yàn)樗邪瑊an}的第N2項(xiàng)以后的所有項(xiàng),這里應(yīng)強(qiáng)掉,容易被忽略.在下節(jié)的教學(xué)中就讓學(xué)一注意到在什么時(shí)候用實(shí)數(shù)的完備性定理,這是一個(gè)難點(diǎn),重點(diǎn).三、實(shí)數(shù)基本定理等價(jià)性的證明（未講）
證明若干個(gè)命題等價(jià)的一般方法.本節(jié)證明七個(gè)實(shí)數(shù)基本定理等價(jià)性的路線 : 證明按以下三條路線進(jìn)行: Ⅰ: 確界原理 單調(diào)有界原理
區(qū)間套定理
Cauchy收斂準(zhǔn)則
確界原理;Ⅱ: 區(qū)間套定理
致密性定理
Cauchy收斂準(zhǔn)則;
Ⅲ: 區(qū)間套定理
Heine–Borel 有限復(fù)蓋定理
區(qū)間套定理.一.“Ⅰ” 的證明:(“確界原理
單調(diào)有界原理”已證明過(guò)).1.用“確界原理”證明“單調(diào)有界原理”: 定理7.4 單調(diào)有界數(shù)列必收斂.2.用“單調(diào)有界原理”證明“區(qū)間套定理”: 定理 7.5 設(shè)
是一閉區(qū)間套.則存在唯一的點(diǎn),使對(duì)
有.推論1 若是區(qū)間套
確定的公共點(diǎn), 則對(duì), 當(dāng)時(shí), 總有.推論2 若是區(qū)間套確定的公共點(diǎn), 則有 ↗, ↘，.3.用“區(qū)間套定理”證明“Cauchy收斂準(zhǔn)則”:
定理 7.6 數(shù)列收斂 是Cauchy列.引理 Cauchy列是有界列.(證)
定理 7.6 的證明:(只證充分性)教科書P217—218上的證明留作閱讀.現(xiàn)采用三等分的方法證明,該證法比較直觀.4． 用“Cauchy收斂準(zhǔn)則” 證明“確界原理” ：
定理7.7 非空有上界數(shù)集必有上確界 ；非空有下界數(shù)集必有下確界.證（只證“非空有上界數(shù)集必有上確界”）設(shè)時(shí) , 顯然有上確
界.下設(shè)為無(wú)限集, 取, 使
不是的上界，為的上界.對(duì)分區(qū)間 為的上界.依此得閉區(qū)間列
收斂;同理
為非空有上界數(shù)集.當(dāng)
為有限集, 取.驗(yàn)證收斂.易見(jiàn)下證
不是的上界，為Cauchy列, 由Cauchy收斂準(zhǔn)則,↘.設(shè)
↘
.有
↗
..用反證法驗(yàn)證的上界性和最小性.二.“Ⅱ” 的證明:
1.用“區(qū)間套定理”證明“致密性定理”:
定理7.8(Weierstrass)任一有界數(shù)列必有收斂子列.證（突出子列抽取技巧）
定理7.9 每一個(gè)有界無(wú)窮點(diǎn)集必有聚點(diǎn).2．用“致密性定理” 證明“Cauchy收斂準(zhǔn)則” ： 定理7.10 數(shù)列
收斂
是Cauchy列.有收斂子列
驗(yàn)證收斂子列的極證（只證充分性）證明思路 ：Cauchy列有界限即為的極限.三.“Ⅲ” 的證明: 1.用“區(qū)間套定理”證明“Heine–Borel 有限復(fù)蓋定理”: 2.用“Heine–Borel 有限復(fù)蓋定理” 證明“區(qū)間套定理”:
§2 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明
教學(xué)目的要求：
掌握定理的證明方法.教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：重點(diǎn)是定理的證明方法,難點(diǎn)是什么情況下用哪一個(gè)定理.學(xué)時(shí)安排:
2學(xué)時(shí) 教學(xué)方法:
講授法.教學(xué)過(guò)程: 一.有界性: 命題1 ，在上
.證法 一(用區(qū)間套定理).反證法.證法 二(用列緊性).反證法.證法 三(用有限復(fù)蓋定理).二.最值性: 命題2(只證取得最大值)
證(用確界原理)參閱[1]P226[ 證法二 ] 后半段.三.介值性: 證明與其等價(jià)的“零點(diǎn)定理 ”.命題3(零點(diǎn)定理)
證法 一(用區(qū)間套定理).證法 二(用確界原理).不妨設(shè) 令有
.現(xiàn)證 ,(為此證明.由 ，.因此只能有
.在點(diǎn)連續(xù)和.于是，.由，在點(diǎn)
連續(xù)和
且).取
且, 則
非空有界，.有上確界.設(shè)，在上取得最大值和最小值.證法 三(用有限復(fù)蓋定理).四.一致連續(xù)性: 命題4(Cantor定理)
證法 一(用區(qū)間套定理).證法 二(用列緊性).五.實(shí)數(shù)基本定理應(yīng)用舉例： 例1 設(shè), 則是閉區(qū)間, 使
上的遞增函數(shù), 但不必連續(xù).如果
.(山東大學(xué)研究生入學(xué)試題)，證法 一(用確界技術(shù).參閱[3] P76例10 證法1)設(shè)集合
有界.由確界原理 ,下證 ?。┤?由., 有遞增和, ⅱ）若,.于是 , 只能有, 則存在
↘,內(nèi)的數(shù)列
.由
., 使遞增，↗, 以及, 得
;也存在數(shù)列 , 就有式
;又, 有, 得, 可見(jiàn)
..由
有上確界.設(shè)
.則, , 則
不空;
.，對(duì)任何成立.令
于是有.證法二(用區(qū)間套技術(shù), 參閱[3] P77例10 證法2)當(dāng)時(shí),或就是方程間, 設(shè)分 , 就是方程
在在上的實(shí)根.以下總設(shè)
或
.對(duì)分區(qū)點(diǎn)為.倘有下總設(shè)不會(huì)
出現(xiàn)這種情況).若如此得一級(jí)區(qū)間
上的實(shí)根.(為行文簡(jiǎn)練計(jì), 以, 取;若, 取,.依此構(gòu)造區(qū)間套, 使對(duì)
..時(shí)
↗, 對(duì),有.由區(qū)間套定理, 任何,有現(xiàn)證事實(shí)上, 注意到和↘以及遞增,就有.令 , 得例2 設(shè)在閉區(qū)間
于是有上函數(shù)
連續(xù)，.遞增 , 且有
內(nèi)有實(shí)根..由區(qū)間套定，.試證明: 方程
證 構(gòu)造區(qū)間套理,有, 使對(duì), ,使
在區(qū)間
.現(xiàn)證 的構(gòu)造以及
↗
.事實(shí)上, 由在上的遞增性和和↘， 有
.注意到在點(diǎn)連續(xù)，由Heine歸并原則, 有 , ，.為方程
在區(qū)間
內(nèi)的實(shí)根.例3 試證明: 區(qū)間
上的全體實(shí)數(shù)是不可列的.上的全體實(shí)數(shù)是可列的,即證(用區(qū)間套技術(shù), 具體用反證法)反設(shè)區(qū)間 可排成一列:
把區(qū)間
.把區(qū) 三等分，所得三個(gè)區(qū)間中至少有一個(gè)區(qū)間不含，記該區(qū)間為一級(jí)區(qū)間間三等分，所得三個(gè)區(qū)間中至少有一個(gè)區(qū)間不含.??.，記該區(qū)間為二級(jí)區(qū)間依此得區(qū)間套, 使對(duì) 而 , 有, 其中區(qū)間
.當(dāng)然有 ，不含.由區(qū)間套定理，.但對(duì)
有
.矛盾.習(xí)題 課
（3學(xué) 時(shí)）
一．實(shí)數(shù)基本定理互證舉例：
例4 用“區(qū)間套定理”證明“單調(diào)有界原理”.證 設(shè)數(shù)列遞增有上界.取閉區(qū)間 , 使內(nèi)含有數(shù)列, 取
不是的上界，是的上界.易見(jiàn)在閉區(qū)間 外僅含有質(zhì).??.于是得區(qū)間套的無(wú)窮多項(xiàng)而在其外僅含有的有限項(xiàng).對(duì)分的無(wú)窮多項(xiàng), 而在使有的性,有公共點(diǎn).易見(jiàn)在點(diǎn)的任何鄰域內(nèi)有數(shù)列的有限項(xiàng)，.例5 用“確界原理”證明“區(qū)間套定理”.證 界.由確設(shè) 由為區(qū)間套.先證每個(gè)界原理 , 數(shù)列,，為數(shù)列的下界, 而每個(gè)
為數(shù)列的上
有上確界, 數(shù)列.易見(jiàn)有
.有下確界.和
.例6 用“有限復(fù)蓋定理”證明“聚點(diǎn)原理”.證(用反證法)設(shè)是的聚點(diǎn), 則對(duì)的有限個(gè)點(diǎn).??.例7 用“確界原理”證明“聚點(diǎn)原理”.證 設(shè)為有界無(wú)限點(diǎn)集.構(gòu)造數(shù)集
中大于的點(diǎn)有無(wú)窮多個(gè).為有界無(wú)限點(diǎn)集, , 存在開區(qū)間
.反設(shè), 使在的每一點(diǎn)都不
內(nèi)僅有易見(jiàn)數(shù)集,由 非空有上界, 由確界原理，不是的上界
有上確界.設(shè).則對(duì)中大于的點(diǎn)有無(wú)窮多個(gè);由是內(nèi)有的上界, 中大于
是的一的點(diǎn)僅有有限個(gè).于是, 在個(gè)聚點(diǎn).的無(wú)窮多個(gè)點(diǎn),即課后記
強(qiáng)掉應(yīng)先構(gòu)造閉區(qū)間套、構(gòu)造開覆蓋、構(gòu)造數(shù)列等的方法.通過(guò)大量的例子讓同學(xué)們體會(huì)在什么時(shí)候用哪一個(gè)定理.
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