第一篇：線性代數(shù)考試復(fù)習(xí)提綱、知識點(diǎn)、例題

線性代數(shù)考試復(fù)習(xí)提綱、知識點(diǎn)、例題

一、行列式的計(jì)算（重點(diǎn)考四階行列式）

1、利用行列式的性質(zhì)化成三角行列式

行列式的性質(zhì)可概括為五條性質(zhì)、四條推論，即七種變形手段（轉(zhuǎn)置、交換、倍乘、提取、拆分、合并、倍加）；三個為0【兩行（列）相同、成比例、一行（列）全為0】

2、行列式按行（列）展開定理降階

行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘

n ,積之和，即D?ai1Ai1?ai2Ai2?...?ainAin

i?1,2,...n , D?a1iA1Ai2?...?aniAni

i?1,2,...i?ai2?22?404?135例

1、計(jì)算行列式

31?2?320

51二、解矩陣方程

矩陣方程的標(biāo)準(zhǔn)形式：AX?B

XA?B

AXB?C

?1?1?1若系數(shù)矩陣可逆，則X?A?1B

X?BA

X?ACB

切記不能寫成X?A?1B?1C或X?求逆矩陣的方法：

C AB1、待定系數(shù)法AB?E(或BA?E)

2、伴隨矩陣法A?1?1?A

A其中A?叫做A的伴隨矩陣，它是A的每一行的元素的代數(shù)余子式排在相同序數(shù)的列上的矩陣。?A11?A?A??12?...??A1nA21...A22...A2nAn1??...An2? ?......?...Ann?初等行變換??EA?1?

3、初等變換法?AE?????例

2、解矩陣方程??3?1??56??1416??X????? ?5?2??78??910??010??1?1?????111B?20例

3、解矩陣方程 X?AX?B，其中 A??

???? ??10?1??5?3?????

三、解齊次或非齊次線性方程組

設(shè)A??aij?m?n，n元齊次線性方程組AX?0有非零解?r(A)?n

n元齊次線性方程組AX?0只有零解?r(A)?n。

當(dāng)m?n時，n元齊次線性方程組AX?0只有零解?A?0。

當(dāng)m?n時，n元齊次線性方程組AX?0有非零解?A?0。

當(dāng)m?n時，齊次線性方程組一定有非零解。定義：設(shè)齊次線性方程組AX?0的解?1,...,?t滿足：（1）?1,...,?t線性無關(guān)，AX?0的每一個解都可以由?1,...,?t線性表示。（2）

則?1,...,?t叫做AX?0的基礎(chǔ)解系。

定理

1、設(shè)Am?n，齊次線性方程組AX?0，若r(A)?r?n，則該方程組的基礎(chǔ)解系一定存在，且每一個基礎(chǔ)解系中所含解向量的個數(shù)都等于n?r。

齊次線性方程組的通解x?k1?1?...?kn?r?n?r

k1,...kn,?r?R 設(shè)A??aij?m?n，n元非齊次線性方程組AX?B有解?r(A)?r(A)。

唯一解?r(A)?r(A)?n。

無數(shù)解?r(A)?r(A)?n。

無解?r(A)?r(A)。

非齊次線性方程組的通解x?k1?1?...?kn?r?n?r??，k1,...kn,?r?R

?x1?x2?2x3?x4?0?例

4、求齊次線性方程組?2x1?x2?x3?x4?0的通解

?2x?2x?x?2x?0?1234?x1?x2?3x3?x4?1?例

5、求非齊次線性方程組?3x1?x2?3x3?4x4?4的通解。

?x?5x?9x?8x?0234?

1四、含參數(shù)的齊次或非齊次線性方程組的解的討論

??x?y?z?0?例

6、當(dāng)?為何值時，齊次線性方程組?x??y?z?0有非零解，并求解。

?2x?y?z?0???2x1?x2?x3??2?例

7、已知線性方程組?x1?2x2?x3??，問當(dāng)?為何值時，它有唯一

?x?x?2x??23?12解，無解，無窮多解，并在有無窮多解時求解。

五、向量組的線性相關(guān)性

?1,?2,...,?s線性相關(guān)??1,?2,...,?s(s?2)中至少存在一個向量能由其余

向量線性表示。

?存在不全為0的數(shù)k1,k2,...,ks使得k1?1?k2?2?..?ks?s?0。

?k1???1?????列行k?2???1,?2,...,?s????0有非零解

??k1,k2,...,ks??2??0有非零解

?...??...?????k?s???s??k1???k///?2??0有非零解

???1,?2,...,?s??...????ks??r??1,?2,...,?s??s

?r??1/,?2/,...,?s/??s

?1,?2,...,?s線性無關(guān)??1,?2,...,?s(s?2)中任意一個向量都不能由其余向量線性表示。

?若k1?1?k2?2?..?ks?s?0，則k1?k2?...?ks?0。

?k1???1?????列行k?

2???1,?2,...,?s????0只有零解

??k1,k2,...,ks??2??0只有零解

?...??...?????ks????s??k1???k///?2???,?,...,??0

?r??1,?2,...,?s??s

?12s??...????ks?///

?r?1,?2,...,?s?s

??特殊的，n個n維向量?1,?2,...,?n線性相關(guān)??1,?2,...,?n?0或

?1?2...?0。

?n?1?2...n個n維向量?1,?2,...,?n線性無關(guān)??1,?2,...,?n?0或

?0。

?n例

8、已知向量組?1??t,2,1?，?2??2,t,0?，?3??1,?1,1?，討論t使該向量組（1）線性相關(guān)

（2）線性無關(guān)

六、求向量組的秩，極大無關(guān)組，并將其余向量用極大無關(guān)組線性表示

設(shè)向量組A:?1,?2,...,?s，若從A中選出r個向量構(gòu)成向量組

A0:?i1,?i2,...,?ir滿足：

（1）A0線性無關(guān)

A中的每一個向量都能由A0線性表示，（2）

條件（2）換一句話說A的任意r?1個向量（若有的話）都線性相關(guān)，或者說從A中向A0任意添加一個向量（若有的話），所得的向量組都線性相關(guān)。

則A0叫做A的極大線性無關(guān)向量組，簡稱極大無關(guān)組。向量組的極大無關(guān)組所含向量的個數(shù)叫做向量組的秩，記作r??1,?2,...,?s??r 求向量組的秩的方法：（1）擴(kuò)充法

??1????2??（2）子式法

??1,?2,...,?m?n?m ?...?????m?m?n最高階非0子式的階數(shù)就是矩陣的秩，也就是這個向量組的秩，并且這個子式的行（列）對應(yīng)的原向量組的向量就是這個向量組的一個極大無關(guān)組。

（3）初等變換法

同法二構(gòu)成矩陣，對矩陣進(jìn)行初等變換。例

9、設(shè)向量組

?1?(1,2,1,3)?,?2?(4,?1,?5,?6)?,?3?(?1,?3,?4,?7)?,?4?(2,1,2,3)?

求（1）向量組的秩；

（2）向量組的一個極大線性無關(guān)組，并把其余向量用這個極大線性無關(guān)組線性表示。

七、相似矩陣的性質(zhì)與矩陣可相似對角化問題

P?1AP?B

相似矩陣的性質(zhì):

1、相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式，從而有相同的特征值，行列式，跡。特征值相同是兩個矩陣相似的必要而非充分條件。

2、相似矩陣有相同的秩。秩相等是方陣相似的必要而非充分條件。

3、相似矩陣有相同的可逆性，當(dāng)它們可逆時，它們的逆矩陣也相似。

4、若A與B相似，則Ak與Bk相似，k?N，則?(A)與?(B)相似。

Bk?(P?1AP)k?P?1APP?1AP...P?1AP?P?1AkP

??1????2?相似 An與?????????n???An有n個線性無關(guān)的特征向量p1,p2,...,pn，且以它們?yōu)榱邢蛄拷M的矩陣P使P?1AP??，?1,?2,...,?n分別為與p1,p2,...,pn對應(yīng)的An的特征值。

若An有n個互不相等的特征值?1,?2,...,?n，則An一定與??1????2?相似。?????????n??An與?相似?對應(yīng)于An的每個特征值的線性無關(guān)的特征向量的個數(shù)等于該特征值的重?cái)?shù)。

?n?r(?E?A)?k

其中k為?的重?cái)?shù)

?1?2?4??500?????2x?2B?0y0例

10、設(shè)矩陣A??與??相似 ???00?4???4?21?????（1）求x與y；

（2）求可逆矩陣P，使P?1AP?B。

?001???例

11、設(shè)A??11a?，問a為何值時，矩陣A能相似對角化。

?100??? 例

12、設(shè)三階矩陣A的特征值為?1?1，?2?2，?3?3，對應(yīng)的特征向量依次為?1??1,1,1?，?2??1,2,4?，?3??1,3,9?，求矩陣A。

例

13、設(shè)三階實(shí)對稱矩陣A的特征向值?1,1,1，與特征值?1對應(yīng)的特征向量為?1???1,1,1??，求A。

///

八、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型，并求所用線性變換的矩陣

22例

14、化二次型f(x1,x2,x3)?x1?5x2?6x23?4x1x2?6x1x3?10x2x為標(biāo)準(zhǔn)3型，并求所用可逆線性變換的矩陣。

例

15、化二次型f(x1,x2,x3)?2x1x2?2x1x3?6x2x3為標(biāo)準(zhǔn)形，并求所用可逆線性變換的矩陣。

第二篇：線性代數(shù)復(fù)習(xí)提綱1

線性代數(shù)復(fù)習(xí)重點(diǎn)

第一章． 行列式

1.排列的逆序數(shù)

2.對角線法則

3.具體數(shù)字行列式的計(jì)算（行列式的性質(zhì)、展開定理）

4.余子式、代數(shù)余子式的線性組合的計(jì)算

5.特殊行列式（對角、三角、對稱、反對稱、范德蒙）

6.Cramer法則

第二章． 矩陣

1.矩陣的基本運(yùn)算（轉(zhuǎn)置、加法、數(shù)乘、乘法、方陣的冪、方陣的行列式、方陣的伴隨、方陣的逆）及其運(yùn)算性質(zhì)

2.矩陣方程

3.具體數(shù)字矩陣求逆的三種方法（公式法、初等變換法、分塊矩陣）

4.抽象矩陣證明可逆并求逆

5.初等矩陣與初等變換的關(guān)系

6.化行階梯形、行最簡形

7.求矩陣的秩（不帶參數(shù)和帶參數(shù)）

8.秩的性質(zhì)（特別是乘積的秩、伴隨的秩）

第三章． 向量組

1． 線性組合的概念和判斷（帶參數(shù)，不帶參數(shù)）

2． 線性相關(guān)、無關(guān)的概念的判斷（帶參數(shù)，不帶參數(shù)，注意有多種判斷方法）

3． 線性相關(guān)、無關(guān)與線性組合的關(guān)系

4． 向量組與向量組之間的線性關(guān)系

5． 求向量組的秩和一個極大無關(guān)組

第四章． 線性方程組

1． 線性方程組解的判斷

2． 解的性質(zhì)（齊次，非齊次）

3． 齊次方程組的基礎(chǔ)解系及通解

4． 非齊次方程組的通解

第五章． 相似矩陣

1． 向量的內(nèi)積和正交性

2． 正交矩陣的概念和性質(zhì)

3． 求特征值、特征向量

4． 特征值、特征向量的性質(zhì)

5． 已知特征值求行列式

6． 相似對角化的判斷

7． 實(shí)對稱矩陣的特征的特殊性

第六章． 二次型

1． 二次型的矩陣

2． 二次型化標(biāo)準(zhǔn)形（配方法、對稱變換法（合同變換法））

3． 正定二次型和正定矩陣的判斷（多種方法）

第三篇：matlab線性代數(shù)例題

《數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)》在線習(xí)題3 Matlab程序設(shè)計(jì)部分 一.分析向量

組

a1?[1T2a23?]?,?T[a31T?2，0],a4?[1?2?1]T，a5?[246]T的線性相關(guān)性，找出它們的最大無關(guān)組，并將其余向理表示成最大無關(guān)組的線性組合。

解，a1=[1 2 3]';

a2=[-1-2 0]';a3=[0 0 1]';a4=[1-2-1]';a5=[2 4 6]';A=[a1,a2,a3,a4,a5];[R,S]=rref(A)r=length(S)

R =

1.0000 0 0.3333 0 2.0000 0 1.0000 0.3333 0 0 0 0 0 1.0000 0

S =

4

r =

線性相關(guān) a1,a2,a3,a4,a5 最大無關(guān)組是a1,a2,a4 其余向量的線性組合是a3=1/3a1+1/3a2 a5=2a1

二.計(jì)算行列式

x13D4?x23x33x43x12y1x22y2x32y3x42y4x1y12x2y22x3y32x4y42y13y23y3323的值。其中?1解，syms x1 x2 x3 x4 y1 y2 y3 y4 xxxy43

x4???2357?,?y1y2y3y4???4567?。

D=[x1^3 x1^2*y1 x1*y1^2 y1^3;x2^3 x2^2*y2 x2*y2^2 y2^3;x3^3 x3^2*y3 x3*y3^2 y3^3;x4^3 x4^2*y4 x4*y4^2 y4^3];d=det(D)x1=2;x2=3;x3=5;x4=7;y1=4;y2=5;y3=6;y4=7;eval(d)

d = ans =

153664 三.已知向量a??1,?1,0?，b???1,0,?1?，求向量a與b的夾角的度數(shù)。解，a=[1-1 0];b=[-1 0-1];

x=a.*b;x1=sum(x,2);x2=norm(a);x3=norm(b);y=x1/(x2*x3)y1=acos(y)y =

-0.5000

y1 =

2.0944

四.已知線性方程組

clear ?2x1?x2?3x3?2x4?0?9x?x?14x?2x?1?1234??3x1?2x2?5x3?4x4?1??4x1?5x2?7x3?10x4?2，求系數(shù)矩陣的秩和方程組的通解。

a=[2-1 3 2;9-1 14 2;3 2 5-4;4 5 7-10];b=[0 1 1 2]';[R,s]=rref([a,b]);[m,n]=size(a);x0=zeros(n,1);r=length(s);x0(s,:)=R(1:r,end);

disp('非齊次線性方程組的特解為：')

x0

disp('對應(yīng)的線性方程組的基礎(chǔ)解系為：')x=null(a,'r')

非齊次線性方程組的特解為：

x0 =

0.1429 0.2857 0 0

對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系：

x =

-1.5714 0-0.1429 2.0000 1.0000 0 0 1.0000 則方程組的通解為：

??x1?x2?x4?1?2x2?x3?2??2x?3x?x?x?0234五.求齊次方程組?1的通解。

clear

a=[-1 1 0 1;0 2 1 0;2 3-1-1];b=[1 2 0]';

[R,s]=rref([a,b]);[m,n]=size(a);x0=zeros(n,1);r=length(s);

x0(s,:)=R(1:r,end);

disp('非齊次線性方程組的特解為：')x0

disp('對應(yīng)的線性方程組的基礎(chǔ)解系為：')x=null(a,'r')

非齊次線性方程組的特解為：

x0 =

-0.4286 0.5714 0.8571 0

對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系：

x = 0.8571-0.1429 0.2857 1.0000

?23?2??A??3611?????2115??，求正交矩陣P及對角形矩陣B，使P?1AP?B。六.clear

a=[2 3-2;3 6 11;-2 11 5];[v,d]=eig(a)v =

-0.3684 0.9280 0.0562 0.6512 0.2144 0.7280-0.6635-0.3047 0.6833

d =

-6.9057 0 0 0 3.3500 0 0 0 16.5556

七.求下列向量的秩和最大無關(guān)組，并將其余向量用該最大無關(guān)組線性表出：

?1??1,2,1,3??2??4,?1,?5,?6??3??1,?3,?4,?7?a1=[1 2 1 3]';a2=[4-1-5-6]';a3=[1-3-4-7]';A=[a1,a2,a3];[R,S]=rref(A)r=length(S)R =

1.0000 0-1.2222 0 1.0000 0.5556 0 0 0 0 0 0

S =

r =

最大線性無關(guān)組為：a1

a2

a3=-1.2222a1+0.5556a2 八.判斷方程組否有解，如果有，求其通解：

?x1?x2?3x3?x4?1??3x1?x2?3x3?4x4?4?x?5x?9x?8x?0234?1

clear

a=[1 2-3-1;3-1-3 4;1 5-9-8];b=[1 4 0]';[R,s]=rref([a,b]);[m,n]=size(a);x0=zeros(n,1);r=length(s);x0(s,:)=R(1:r,end);

disp('非齊次線性方程組的特解為：')x0

disp('對應(yīng)的線性方程組的基礎(chǔ)解系為：')x=null(a,'r')

非齊次線性方程組的特解為：

x0 =

1.5000

0

0.1667

0

對應(yīng)的線性方程組的基礎(chǔ)解系為：

x =

-2.5000

0

-1.1667

1.0000

a?112?，a2??021?，求兩向量的點(diǎn)積（數(shù)量積）和叉積（向九.已知向量1?量積），以及它們之間的夾角的大小。

a1=[1 1 2]';a2=[0 2 1]';

TTy1=norm(a1);y2=norm(a2);y3=dot(a1,a2);y=y3/(y2*y3);c=acos(y)c*180/pi

c =

1.1071

ans =

63.4349

十.計(jì)算行列式：

1?x1y1D?1?x1y21?x1y31?x1y41?x2y11?x2y21?x2y31?x2y41?x3y11?x3y21?x3y31?x3y41?x4y11?x4y21?x4y31?x4y4 的值。其中?x1x2x3x4???2357?，?y1y2syms x1 x2 x3 x4 y1 y2 y3 y4

D=[1+x1*y1 1+x1*y2 1+x1*y3 1+x1*y4;1+x2*y1 1+x2*y2 1+x2*y3 1+x2*y4;1+x3*y1 1+x3*y2 1+x3*y3 1+x3*y4;1+x4*y1 1+x4*y2 1+x4*y3 1+x4*y4];

x1=2;x2=3;x3=5;x4=7;y1=4;y2=5;y3=6;y4=7;d=det(D);eval(d)

ans =

0 十一.y3y4???4567?。

a?1122?，a2??0215?，a3??205?1?，分析向量組1?TTTTa4??3386?的線性相關(guān)性，找出它們的最大無關(guān)組，并將其余向量表示成最大無關(guān)組的線性組合。

a1=[1 1 2 2]';a2=[0 2 1 5]';a3=[2 0 5-1]';a4=[3 3 8 6]';A=[a1,a2,a3,a4];[R,S]=rref(A)r=length(S)R =

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0 S =

r =

最大線性無關(guān)組為：a1 a2 a3;

a4=a1+a2+a3 十二.求解五階方程組

注：在系數(shù)矩陣中沒有數(shù)據(jù)的地方，矩陣元素均為零。

a=[4 1 0 0 0;1 4 1 0 0;0 1 4 1 0;0 0 1 4 1;0 0 0 1 4];b=[2 1 1 1 2]';inv(a)*b ?41??x1??2??141??x??1????2????141??x3???1???????141???x4??1??14?????2?? ?x5???

ans =

0.4808

0.0769

0.2115

0.0769

0.4808

第四篇：《線性代數(shù)》知識點(diǎn)歸納整理

《線性代數(shù)》知識點(diǎn)

歸納整理

學(xué)生

編

01、余子式與代數(shù)余子式

02、主對角線

03、轉(zhuǎn)置行列式

04、行列式的性質(zhì)

05、計(jì)算行列式

06、矩陣中未寫出的元素

07、幾類特殊的方陣

08、矩陣的運(yùn)算規(guī)則

09、矩陣多項(xiàng)式

10、對稱矩陣

11、矩陣的分塊

12、矩陣的初等變換

13、矩陣等價

14、初等矩陣

15、行階梯形矩陣

與

行最簡形矩陣

16、逆矩陣

17、充分性與必要性的證明題

18、伴隨矩陣

19、矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形：

20、矩陣的秩：

21、矩陣的秩的一些定理、推論

22、線性方程組概念

23、齊次線性方程組與非齊次線性方程組（不含向量）

24、行向量、列向量、零向量、負(fù)向量的概念

25、線性方程組的向量形式

26、線性相關(guān)

與

線性無關(guān)的概念

27、向量個數(shù)大于向量維數(shù)的向量組

必然線性相關(guān)

28、線性相關(guān)、線性無關(guān)；齊次線性方程組的解；矩陣的秩

這三者的關(guān)系及其例題

29、線性表示

與

線性組合的概念

30、線性表示；非齊次線性方程組的解；矩陣的秩

這三者的關(guān)系其例題

31、線性相關(guān)（無關(guān)）與線性表示的3個定理

32、最大線性無關(guān)組與向量組的秩

33、線性方程組解的結(jié)構(gòu)

01、余子式與代數(shù)余子式

（1）設(shè)三階行列式D＝，則

①元素，的余子式分別為：M11＝，M12＝，M13＝

對M11的解釋：劃掉第1行、第1列，剩下的就是一個二階行列式，這個

行列式即元素的余子式M11。其他元素的余子式以此類推。

②元素，的代數(shù)余子式分別為：A11＝(－1)1＋1M11，A12＝(－1)1＋2M12，A13＝(－1)1＋3M13

.對Aij的解釋（i表示第i行，j表示第j列）：Aij＝(－1)i＋j

M

ij

.（N階行列式以此類推）

（2）填空題求余子式和代數(shù)余子式時，最好寫原式。比如說，作業(yè)P1第1題：

M31＝，A31＝(-1)3+1

（3）例題：課本P8、課本P21-27、作業(yè)P1第1題、作業(yè)P1第3題

02、主對角線

一個n階方陣的主對角線，是所有第k行第k列元素的全體，k=1,2,3…

n，即從左上到右下的一條斜線。與之相對應(yīng)的稱為副對角線或次對角線，即從右上到左下的一條斜線。

03、轉(zhuǎn)置行列式

即元素與元素的位置對調(diào)（i表示第i行，j表示第j列），比如說，與的位置對調(diào)、與的位置對調(diào)。

04、行列式的性質(zhì)

詳見課本P5-8（性質(zhì)1.1.1~

1.1.7）

其中，性質(zhì)1.1.7可以歸納為這個：

＋＋

…

＋

（i表示第i行，k表示第k列）

熟練掌握行列式的性質(zhì)，可以迅速的簡化行列式，方便計(jì)算。

例題：作業(yè)P1第2題

05、計(jì)算行列式

（1）計(jì)算二階行列式：

①方法（首選）：＝（即，左上角×右下角－右上角×左下角）

②方法：＝＝

例題：課本P14

（2）計(jì)算三階行列式：

＝＝(－1)1＋1M11

＋(－1)1＋2M12

＋(－1)1＋3M13

N階行列式的計(jì)算以此類推。通常先利用行列式的性質(zhì)對行列式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，0元素較多時方便計(jì)算.（r是row，即行。c是column，即列）

例題：課本P5、課本P9、課本P14、作業(yè)P1第4題、作業(yè)P2第3小題

（3）n階上三角行列式（0元素全在左下角）與n階下三角行列式（0元素全在右上角）：

D＝…（主對角線上元素的乘積）

例題：課本P10、作業(yè)P3第4小題

有的題可以通過“從第二行起，將各行的元素對應(yīng)加到第一行”轉(zhuǎn)化成上三角行列式

例題：課本P11

（4）范德蒙行列式：詳見課本P12-13

（5）有的題可以通過“從第二行起，將各行的元素對應(yīng)加到第一行”提取出“公因式”，得到

元素全為1的一行，方便化簡行列式。

例題：作業(yè)P2第1小題、作業(yè)P2第2小題

06、矩陣中未寫出的元素

課本P48下面有注明，矩陣中未寫出的元素都為007、幾類特殊的方陣

詳見課本P30-32

（1）上（下）三角矩陣：類似上（下）三角行列式

（2）對角矩陣：除了主對角線上的元素外，其他元素都為0

（3）數(shù)量矩陣：主對角線上的元素都相同

（4）零矩陣：所有元素都為0，記作O

（5）單位矩陣：主對角線上的元素都為1，其他元素全為0，記作E或En

（其行列式的值為1）

08、矩陣的運(yùn)算規(guī)則

（1）矩陣的加法（同型的矩陣才能相加減，同型，即矩陣A的行數(shù)與矩陣B的行數(shù)相同；

矩陣A的列數(shù)與矩陣B的列數(shù)也相同）：

①課本P32“A＋B”、“A－B”

②加法交換律：A＋B＝B＋A

③加法結(jié)合律：A＋（B＋C）＝（A＋B）＋C

（2）矩陣的乘法（基本規(guī)則詳見課本P34陰影）：

①數(shù)與矩陣的乘法：

I.課本P33“kA”

II.＝kn（因?yàn)閗只等于用數(shù)k乘以矩陣A的一行或一列后得到的矩陣的行列式）

②同階矩陣相乘（高中理科數(shù)學(xué)選修矩陣基礎(chǔ)）：

×＝

描述：令左邊的矩陣為①，令右邊的矩陣為②，令計(jì)算得到的矩陣為，則

A的值為：①中第1行的每個元素分別乘以②中第1列的每個元素，并將它們相加。

即A＝×＋×

B的值為：①中第1行的每個元素分別乘以②中第2列的每個元素，并將它們相加。

即B＝×＋×

C的值為：①中第2行的每個元素分別乘以②中第1列的每個元素，并將它們相加。

即C＝×＋×

D的值為：①中第2行的每個元素分別乘以②中第2列的每個元素，并將它們相加。

即D＝×＋×.×＝

描述：令左邊的矩陣為①，令右邊的矩陣為②，令計(jì)算得到的矩陣為，則

A的值為：①中第1行的每個元素分別乘以②中第1列的每個元素，并將它們相加。

即A＝×＋×＋×

B、C、D、E、F、G、H、I的值的求法與A類似。

③數(shù)乘結(jié)合律：k（lA）＝（kl）A，（kA）B＝A（kB）＝k（AB）

④數(shù)乘分配律：（k＋l）A＝kA＋lA，k（A＋B）＝kA＋kB

⑤乘法結(jié)合律：（AB）C＝A（BC）

⑥乘法分配律：A（B＋C）＝AB＋AC，（A＋B）C＝AC＋BC

⑦需注意的：

I.課本P34例題兩個不等于零的矩陣的乘積可以是零矩陣

II.課本P34例題數(shù)乘的消去律、交換律不成立

III.一般來講，（AB）k

≠

A

k

B

k，因?yàn)榫仃嚦朔ú粷M足交換律

IV.課本P40習(xí)題第2題：（A＋B）2不一定等于A2＋2AB＋B2，（A＋B）2不一定等于A2＋2AB＋B2，（A＋B）（A－B）不一定等于A2－B2

.當(dāng)AB＝BA時，以上三個等式均成立

（3）矩陣的轉(zhuǎn)置運(yùn)算規(guī)律：

①

(AT)T＝A

②

(A±B)T＝A

T±B

T

③

(kA)T＝kAT

④

(AB)T＝B

TAT

⑤

(ABC)T＝CTB

TAT

⑥

(ABCD)T＝DTCTB

TAT

（4）同階方陣相乘所得的方陣的行列式等于兩個方陣的行列式的乘積：（詳見課本P46）

＝

（5）例題：課本P35、課本P36-37、課本P40第4大題、課本P40第5大題、課本P51第1

大題、課本P51第4大題、課本P60第4大題、作業(yè)P5全部、作業(yè)P5第3大題、作業(yè)

P5第4大題

09、矩陣多項(xiàng)式

詳見課本P3610、對稱矩陣

（1）對稱矩陣、實(shí)對稱矩陣、反對稱矩陣的概念（詳見課本P37）

（2）①同階對稱（反對稱）矩陣的和、差仍是對稱（反對稱）矩陣

②數(shù)

與

對稱（反對稱）矩陣的乘積仍是對稱（反對稱）矩陣

③對稱（反對稱）矩陣的乘積不一定是對稱（反對稱）矩陣

11、矩陣的分塊

線代老師說這部分的內(nèi)容做了解即可。

詳見課本P38-4012、矩陣的初等變換

三種行變換與三種列變換：詳見課本P

例題：作業(yè)P6全部

13、矩陣等價

若矩陣A經(jīng)過若干次初等變換后變成矩陣B，則稱矩陣A與矩陣B等價，記為AB14、初等矩陣

（1）是由單位矩陣經(jīng)由一次初等變換而得到的矩陣。詳見課本P48-49

（2）設(shè)A為m×n矩陣，則對A施行一次初等行變換相當(dāng)于在A的左邊乘上一個相應(yīng)的m階初等矩陣；A施行一次初等列變換相當(dāng)于在A的右邊乘上一個相應(yīng)的n階初等矩陣.詳見課本P50-51

（3）課本P51第3大題

15、行階梯形矩陣

與

行最簡形矩陣

（1）對任意一個非零矩陣，都可以通過若干次初等行變換（或?qū)Q列）化為行階梯型矩陣

（2）行階梯形矩陣與行最簡形矩陣：

若在矩陣中可畫出一條階梯線，線的下方全為0，每個臺階只有一行（臺階數(shù)即是非零行的行數(shù)），階梯線的豎線（每段豎線的長度為一行）后面的第一個元素為非零元素，也就是非零行的第一個非零元素，則稱該矩陣為行階梯矩陣。在此基礎(chǔ)上，若非零行的第一個非零元素為都為1，且這些非零元素所在的列的其他元素都為0，則稱該矩陣為行最簡形矩陣。例題：課本P45、作業(yè)P6全部、課本P51第2大題

16、逆矩陣

（1）設(shè)A為n階方陣，如果存在n階方陣B，使得AB＝BA＝E，則稱方陣A是可逆的，并稱B為A的逆矩陣.（由逆矩陣的定義可知，非方陣的矩陣不存在逆矩陣）

（2）如果方陣A可逆，則A的逆矩陣是唯一的，并將A的逆矩陣記作A－1，AA－1＝E

（3）n階方陣A可逆的充要條件為≠0，并且，當(dāng)A可逆時，A－1＝

（證明詳見課本P54）

例題：課本P59第1大題

（4）可逆矩陣也稱為非奇異方陣（否則稱為奇異方陣）

（5）性質(zhì)：設(shè)A，B都是n階的可逆方陣，常數(shù)k≠0，那么

①

(A－1)－1＝A

②

AT也可逆，并且(AT)-1＝(A-1)T

③

kA也可逆，并且

(kA)-1＝A-1

④

AB也可逆，并且(AB)

-1＝B-1A-1

⑤

A＋B不一定可逆，而且即使A＋B可逆，一般(A＋B)-1≠A-1＋B-1

⑥

AA-1＝E

AA-1＝E＝1

AA-1＝1

A-1＝

例題：課本P58例2.3.7、作業(yè)P7第1題

（6）分塊對角矩陣的可逆性：課本P57

（7）由方陣等式求逆矩陣：課本P58例2.3.6

（8）單位矩陣、所有初等矩陣都是可逆的（初等矩陣是由單位矩陣經(jīng)由一次初等變換而得到的，即初等矩陣可以通過初等變換再變回單位矩陣，而單位矩陣的行列式=1≠0可逆，所

以初等矩陣可逆）

（9）初等矩陣的逆矩陣也是初等矩陣

（10）任一可逆方陣都可以通過若干次初等行變換化成單位矩陣

（11）方陣A可逆的充要條件是：A可以表示為若干個初等矩陣的乘積（證明：課本P67）

（12）利用初等行變換求逆矩陣：A-1（例題：課本P68、課本P71）

（13）形如AX＝B的矩陣方程，當(dāng)方陣A可逆時，有A-1

AX＝A-1B，即X＝A-1B.此時有：

矩陣方程的例題：課本P35、課本P69、課本P41第6大題、課本P56、課本P58、課本P59第3大題、課本P60第5大題、課本P60第7大題、課本P71第3大題

矩陣方程計(jì)算中易犯的錯誤：課本P56“注意不能寫成……”

17、充分性與必要性的證明題

（1）必要性：由結(jié)論推出條件

（2）充分性：由條件推出結(jié)論

例題：課本P41第8大題、作業(yè)P5第5大題

18、伴隨矩陣

（1）定義：課本P52

定義2.3.2

（2）設(shè)A為n階方陣（n≥2），則AA*＝A*A＝En（證明詳見課本P53-54）

（3）性質(zhì)：（注意伴隨矩陣是方陣）

①

A*＝A－1

②

(kA)*

＝

·(kA)-1

＝

k

n·A-1

＝

k

n

·A-1

＝

k

n-1A*（k≠0）

③

|A*|

＝

|

A－1

|

＝n·|

A－1|

＝

n·（因?yàn)榇嬖贏－1，所以≠0）＝

n-1

④

(A*)*

＝

(A－1)*

＝

|

A－1

|·(A－1)－1

＝

n

|

A－1|·(A－1)－1

＝

n·A

＝

n-2A

（因?yàn)锳A－1

＝

E，所以A－1的逆矩陣是A，即(A－1)－1）

⑤

(AB)

*＝B*A*

⑥

(A*)-1＝(A-1)

*＝

（4）例題：課本P53、課本P55、課本P58、課本P60第6大題、作業(yè)P7第2題、作業(yè)P8全部

19、矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形：

（1）定義：課本P61-62

（2）任何一個非零矩陣都可以通過若干次初等變換化成標(biāo)準(zhǔn)形

20、矩陣的秩：

（1）定義：課本P63

（2）性質(zhì)：設(shè)A是m×n的矩陣，B是p×q的矩陣，則

①

若k是非零數(shù)，則R

(kA)＝R

(A)

②

R

(A)＝R

(AT)

③

等價矩陣有相同的秩，即若AB，則R

(A)＝R

(B)

④

0≤R

(Am×n)≤min

⑤

R

(AB)≤min

⑥

設(shè)A與B都是m×n矩陣，則R

(A＋B)≤R

(A)＋R

(B)

（3）n階方陣A可逆的充要條件是：A的秩等于其階數(shù)，即R

(A)＝n

（4）方陣A可逆的充要條件是：A可以表示為若干個初等矩陣的乘積。（證明：P67）

（5）

設(shè)A是m×n矩陣，P、Q分別是m階與n階可逆方陣，則R

(A)＝R

(PA)＝R

(AQ)＝R

(PAQ)

（6）例題：課本P64、課本P66、課本P71、作業(yè)P7第3題、作業(yè)P9全部

21、矩陣的秩的一些定理、推論

線代老師說這部分的內(nèi)容做了解即可。詳見課本P7022、線性方程組概念

線性方程組是各個方程關(guān)于未知量均為一次的方程組。

線性方程組經(jīng)過初等變換后不改變方程組的解。

23、齊次線性方程組與非齊次線性方程組（不含向量）

（1）定義：課本P81

（2）方程組的解集、方程組的通解、同解方程組：課本P81

（3）系數(shù)矩陣A、增廣矩陣、矩陣式方程：課本P82

（4）矛盾方程組（方程組無解）：課本P85例題

（5）增廣矩陣的最簡階梯形：課本P87

（6）系數(shù)矩陣的最簡階梯形：課本P87

（7）課本P87下面有注明：交換列只是交換兩個未知量的位置，不改變方程組的解。為了方

便敘述，在解方程組時不用交換列。

（8）克萊姆法則：

①初步認(rèn)知：

已知三元線性方程組，其系數(shù)行列式D＝.當(dāng)D≠0時，其解為：x1＝，x2＝，x3＝.（其中D1＝，D2＝，D3＝）（Dn以此類推）

②定義：課本P15

③使用的兩個前提條件：課本P18

④例題：課本P3、課本P16-17、課本P18、作業(yè)P3第7題

（9）解非齊次線性方程組（方程組施行初等變換實(shí)際上就是對增廣矩陣施行初等行變換）例題：

課本P26、課本P42、課本P82、課本P84、課本P85、課本P86第1大題、課本P88、課本P91、作業(yè)P10第1題

（10）解齊次線性方程組例題：課本P17、課本P18、課本P85、課本P86、課本P90、課本

P91、作業(yè)P1第5題、作業(yè)P10第2題

（11）n元非齊次線性方程組AX＝b的解的情況：（R

(A)

不可能＞

R

()）

R

(A)

＜

R

()

無解

＜

n

有無窮多個解

R

(A)

＝

R

()

有解

＝

n

有唯一解

特別地，當(dāng)A是

≠0

有唯一解

n階方陣時，可

R

(A)

＜

R

()

無解

由行列式來判斷

R

(A)

＝

R

()

有解

當(dāng)＝0

有無窮多個解

例題：課本P86第2大題、課本P88、課本P92、作業(yè)P11第三題

（12）n元齊次線性方程組AX＝O的解的情況：（只有零解和非零解兩種情況，有唯一解的充

要條件是只有零解，有無窮多個解的充要條件是有非零解）

R

(A)

＝

n

只有零解（有唯一解，為0）

R

(A)

＜

n

有非零解（有無窮多個解）

特別地，當(dāng)A是n階方陣

≠0

只有零解（有唯一解，為0）

時，可由行列式來判斷

＝0

有非零解（有無窮多個解）

例題：課本P24、課本P90-91、作業(yè)P11全部

24、行向量、列向量、零向量、負(fù)向量的概念

詳見課本P92-93

將列向量組的分量排成矩陣計(jì)算時，計(jì)算過程中只做行變換，不做列變換。

初等行變換與初等行列變換的使用情況：矩陣、線性方程組、向量涉及行變換；列變換只在矩

陣中用。（行列式的性質(zhì)包括行與列的變換）

手寫零向量時不必加箭頭。

25、線性方程組的向量形式

詳見課本P9326、線性相關(guān)

與

線性無關(guān)的概念

詳見課本P93-94

例題：課本P101第6大題、作業(yè)P14第五大題

27、向量個數(shù)大于向量維數(shù)的向量組

必然線性相關(guān)

線代老師課上提到的結(jié)論。

28、線性相關(guān)、線性無關(guān)；齊次線性方程組的解；矩陣的秩

這三者的關(guān)系及其例題

詳見課本P94

定理3.3.1、定理3.3.2

例題：課本P94-95

例3.3.2、課本P101第3大題、課

22本P101第5大題、作業(yè)P12第3小題、作業(yè)P12第二大題、作業(yè)P13第三大題、作業(yè)P13第四大題

29、線性表示

與

線性組合的概念

詳見課本P9530、線性表示；非齊次線性方程組的解；矩陣的秩

這三者的關(guān)系其例題

詳見課本P95-96

定理3.3.3

例題：課本P95-96

例3.3.431、線性相關(guān)（無關(guān)）與線性表示的3個定理

詳見課本P96

定理3.3.4、課本P97定理3.3.5、課本P98定理3.3.632、最大線性無關(guān)組與向量組的秩

詳見課本P98-100

定義3.3.5、定義3.3.6、定3.3.7

單位列向量，即“只有一個元素為1，且其余元素都為0”的一列向量（求最大線性無關(guān)組

用）

例題：課本P100

例3.3.5、課本P101第4大題、作業(yè)P14第六大題

33、線性方程組解的結(jié)構(gòu)

看此內(nèi)容之前，最好先復(fù)習(xí)下“n元非齊次線性方程組AX＝b的解的情況”與“n元齊次線性

方程組AX＝O的解的情況”。

（1）n元齊次線性方程組AX＝O解的結(jié)構(gòu)

①

定理3.4.1：詳見課本P101-102

②

定義3.4.1（并理解“基礎(chǔ)解系、通解、結(jié)構(gòu)式通解、向量式通解”）：詳見課本P102

③

定理3.4.2：詳見課本P102

④

解題步驟（“注”為補(bǔ)充說明）（以課本P104例3.4.1為例）：

（I）A

＝

…

…

注：往“行最簡形矩陣”方向轉(zhuǎn)化（因?yàn)樵诮夥匠探M時不用列變換，所以一般沒法

真正轉(zhuǎn)化成行最簡形矩陣，所以說“往……方向轉(zhuǎn)化”）。

（II）得到同解方程組

注：由得到同解方程組

（III）∴

此方程組的一組解向量為：＝，＝，＝

注：在草稿紙上寫成以下形式，其中未寫出的系數(shù)有的是1有的是0，一看便知

（IV）顯然，線性無關(guān)。

注：根據(jù)課本P93-94

定義3.3.3

得出線性無關(guān)，注意，下面分別是：、、，令它們分別為、、，則顯然＝0×＋0×，＝0×＋0×，＝0×＋0×，可想而知，線性無關(guān)。

（V）∴，為方程組的基礎(chǔ)解系，方程組的通解為：k1＋k2＋k3（k1，k2，k3可取任意值）

注：根據(jù)課本P102

定義3.4.1

得出該方程組的通解。

⑤

其他例題：課本P109

第1大題、課本P109第3大題、課本P109第4大題、作業(yè)

P15第一大題第1小題、作業(yè)P15第一大題第3小題

（2）n元非齊次線性方程組AX＝b解的結(jié)構(gòu)

①

導(dǎo)出方程組：非齊次線性方程組AX＝b對應(yīng)的齊次線性方程組AX＝O（詳見課本P105）

②

定理3.4.3：詳見課本P105

③

定義3.4.4：詳見課本P105

④

定義3.4.5：詳見課本P105

⑤

課本P105

“上述定理表明，……（3.4.6）的形式”這段內(nèi)容

⑥

解題步驟（“注”為補(bǔ)充說明，做題時不用寫在卷上）（以課本P106例3.4.2為例）：

（I）＝

……

…

…

（II）得到同解方程組

注：由

得到同解方程組

（III）令＝0，得到原方程組的特解X0＝

注：在草稿紙上寫成以下形式，其中未寫出的系數(shù)有的是1有的是0，一看便知。得到原方程組的特解即以下形式的常數(shù)部分。

（IV）導(dǎo)出方程組的同解方程為：

注：導(dǎo)出方程組，即非齊次線性方程組AX＝b對應(yīng)的齊次線性方程組AX＝O，即步驟（III）“注”的“形式”的系數(shù)部分。

（V）令＝1，得到方程組的基礎(chǔ)解系＝，則原方程組的通解為：

X0

＋

k（k可取任意值）

⑦

其他例題：

（I）課本P107

例3.4.3（之前先復(fù)習(xí)“n元非齊次線性方程組AX＝b的解的情況”）

要將含有參數(shù)的式子作為分母時，得注意該式子是否≠0

（II）課本P109

第2大題、作業(yè)P15第一大題第4小題、作業(yè)P15第二大題、作業(yè)P16第三大題、作業(yè)P15第一大題第2小題、作業(yè)P15第一大題第3小題

第五篇：《線性代數(shù)》考試大綱

課程名稱：《線性代數(shù)》考試對象：09級本科

使用教材：《線性代數(shù)教程》，科學(xué)出版社，陸建華主編

一、課程要求：

二、課程考試內(nèi)容及所占比重：

1、掌握行列式的相關(guān)概念、性質(zhì)，熟練運(yùn)用行列式的性質(zhì)計(jì)算行列式，掌握化三角形法和

降價法這兩種基本的計(jì)算行列式的方法，了解范德蒙德行列式，掌握代數(shù)余子式的性質(zhì)，了解克拉默法則。

2、掌握矩陣的加法、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置等運(yùn)算律，特別是方陣、行列式混合運(yùn)算律，能熟

練運(yùn)用；掌握逆矩陣的概念、矩陣可逆的判定及逆矩陣的求法，利用逆矩陣的性質(zhì)進(jìn)行矩陣運(yùn)算和證明；理解初等矩陣的概念及它們與矩陣初等變換的關(guān)系。能熟練運(yùn)用逆矩陣的球閥解矩陣方程，熟練求出矩陣的秩，掌握求線性方程組的通解的方法。

3、理解n維向量的概念；掌握向量組的線性相關(guān)性、矩陣的秩等概念，并能熟練運(yùn)用相關(guān)

性質(zhì)定理判斷和證明向量的相關(guān)性；熟練求向量組的極大無關(guān)組；掌握齊次線性方程組有非零解的條件及解的結(jié)構(gòu)；掌握非齊次線性方程組有解的條件及解的結(jié)構(gòu)；能熟練地用初等變換方法求線性方程組的解及基礎(chǔ)解系。

4、理解向量內(nèi)積的定義，掌握線性無關(guān)向量組的正交化方法，理解正交矩陣的定義，掌握

其主要性質(zhì)。

5、理解矩陣的特征值和特征向量的概念，掌握其求法并熟練運(yùn)用其性質(zhì)；理解相似矩陣的概念，掌握其基本性質(zhì)，掌握矩陣可對角化的條件，熟練求得正交變換矩陣將是對稱矩陣對角化。

6、理解二次型的定義，掌握二次型的兩種表示方法并能互相轉(zhuǎn)化；理解正定二次型和正定

矩陣的概念，能夠判別二次型的正定性，了解有定性判別法。

各部分所占比重：

1、基本理論：70%

2、綜合運(yùn)用：30%

三、考試方法：閉卷、筆試

四、試題類型：選擇題20%填空題24%計(jì)算題30%解答題20%證明題6%

五、成績評定方式：成績評定采取百分制：平時成績占40%，筆試成績占60%