第一篇：2018考研數(shù)學(xué)線性代數(shù)六大必考知識(shí)點(diǎn)

凱程考研輔導(dǎo)班，中國(guó)最權(quán)威的考研輔導(dǎo)機(jī)構(gòu)

2018考研數(shù)學(xué)線性代數(shù)六大必考知識(shí)點(diǎn)

一、行列式部分，強(qiáng)化概念性質(zhì)，熟練行列式的求法

行列式對(duì)應(yīng)的是一個(gè)數(shù)值，是一個(gè)實(shí)數(shù)，明確這一點(diǎn)可以幫助我們檢查一些疏漏的低級(jí)錯(cuò)誤;行列式的計(jì)算方法中常用的是定義法，比較重要的是加邊法，數(shù)學(xué)歸納法，降階法，利用行列式的性質(zhì)對(duì)行列式進(jìn)行恒等變形，化簡(jiǎn)之后再按行或列展開。另外范德蒙行列式也是需要掌握的;行列式的考查方式分為低階的數(shù)字型矩陣和高階抽象行列式的計(jì)算、含參數(shù)的行列式的計(jì)算等。

二、矩陣部分，重視矩陣運(yùn)算，掌握矩陣秩的應(yīng)用

通過歷年真題分類統(tǒng)計(jì)與考點(diǎn)分布，矩陣部分的重點(diǎn)考點(diǎn)集中在逆矩陣、伴隨矩陣及矩陣方程，其內(nèi)容包括伴隨矩陣的定義、性質(zhì)、行列式、逆矩陣、秩，在課堂輔導(dǎo)的時(shí)候會(huì)重點(diǎn)強(qiáng)調(diào).此外，伴隨矩陣的矩陣方程以及矩陣與行列式的結(jié)合也是需要同學(xué)們熟練掌握的細(xì)節(jié)。涉及秩的應(yīng)用，包含矩陣的秩與向量組的秩之間的關(guān)系，矩陣等價(jià)與向量組等價(jià)，對(duì)矩陣的秩與方程組的解之間關(guān)系的分析，備考需要在理解概念的基礎(chǔ)上，系統(tǒng)地進(jìn)行歸納總結(jié)，并做習(xí)題加以鞏固。

三、向量部分，理解相關(guān)無關(guān)概念，靈活進(jìn)行判定

向量組的線性相關(guān)問題是向量部分的重中之重，也是考研線性代數(shù)每年必出的考點(diǎn)。如何掌握這部分內(nèi)容呢?首先在于對(duì)定義概念的理解，然后就是分析判定的重點(diǎn)，即：看是否存在一組全為零的或者有非零解的實(shí)數(shù)對(duì)?；A(chǔ)線性相關(guān)問題也會(huì)涉及類似的題型：判定向量組的線性相關(guān)性、向量組線性相關(guān)性的證明、判定一個(gè)向量能否由一向量組線性表出、向量組的秩和極大無關(guān)組的求法、有關(guān)秩的證明、有關(guān)矩陣與向量組等價(jià)的命題、與向量空間有關(guān)的命題。

四、線性方程組部分，判斷解的個(gè)數(shù)，明確通解的求解思路

線性方程組解的情況，主要涵蓋了齊次線性方程組有非零解、非齊次線性方程組解的判定及解的結(jié)構(gòu)、齊次線性方程組基礎(chǔ)解系的求解與證明以及帶參數(shù)的線性方程組的解的情況。為了使考生牢固掌握線性方程組的求解問題，博研堂專家對(duì)含參數(shù)的方程通解的求解思路進(jìn)行了整理，希望對(duì)考研同學(xué)有所幫助。通解的求法有兩種，若為齊次線性方程組，首先求解方程組的矩陣對(duì)應(yīng)的行列式的值，在特征值為零和不為零的情況下分別進(jìn)行討論，為零說明有解，帶入增廣矩陣化簡(jiǎn)整理;不為零則有唯一解直接求出即可。若為非齊次方程組，則按照對(duì)增廣矩陣的討論進(jìn)行求解。

五、矩陣的特征值與特征向量部分，理解概念方法，掌握矩陣對(duì)角化的求解

矩陣的特征值、特征向量部分可劃分為三給我板塊：特征值和特征向量的概念及計(jì)算、凱程考研輔導(dǎo)班，中國(guó)最權(quán)威的考研輔導(dǎo)機(jī)構(gòu)

方陣的相似對(duì)角化、實(shí)對(duì)稱矩陣的正交相似對(duì)角化。相關(guān)題型有：數(shù)值矩陣的特征值和特征向量的求法、抽象矩陣特征值和特征向量的求法、判定矩陣的相似對(duì)角化、有關(guān)實(shí)對(duì)稱矩陣的問題。六、二次型部分，熟悉正定矩陣的判別，了解規(guī)范性和慣性定理

二次型矩陣是二次型問題的一個(gè)基礎(chǔ)，且大部分都可以轉(zhuǎn)化為它的實(shí)對(duì)稱矩陣的問題來處理。另外二次型及其矩陣表示，二次型的秩和標(biāo)準(zhǔn)形等概念、二次型的規(guī)范形和慣性定理也是填空選擇題中的不可或缺的部分，二次型的標(biāo)準(zhǔn)化與矩陣對(duì)角化緊密相連，要會(huì)用配方法、正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形;掌握二次型正定性的判別方法等等。

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第二篇：考研數(shù)學(xué)必考題型

進(jìn)了六月份，這個(gè)一年中最熱的季節(jié)，考研備考者的復(fù)習(xí)也進(jìn)行得如火如荼。雖然天氣炎熱，雖然備考?jí)毫薮螅珡?fù)習(xí)中一定要保持清楚的頭腦，特別對(duì)于考研數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)。數(shù)學(xué)不僅需要嚴(yán)密的邏輯思維，還需要靈活的處理手法，更需要善于總結(jié)的習(xí)慣?？佳袛?shù)學(xué)專業(yè)老師分析了近年考試真題與大綱，深入研究了碩士教育對(duì)于考生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的要求，總結(jié)出2012考研高等數(shù)學(xué)考試會(huì)重點(diǎn)考查的六大題型，供備考者復(fù)習(xí)參考。

第一：求極限。

無論數(shù)學(xué)

一、數(shù)學(xué)二還是數(shù)學(xué)三，求極限是高等數(shù)學(xué)的基本要求，所以也是每年必考的內(nèi)容。區(qū)別在于有時(shí)以4分小題形式出現(xiàn)，題目簡(jiǎn)單;有時(shí)以大題出現(xiàn)，需要使用的方法綜合性強(qiáng)。比如大題可能需要用到等價(jià)無窮小代換、泰勒展開式、洛比達(dá)法則、分離因子、重要極限等中的幾種方法，有時(shí)考生需要選擇其中簡(jiǎn)單易行的組合完成題目。另外，分段函數(shù)個(gè)別點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，函數(shù)圖形的漸近線，以極限形式定義的函數(shù)的連續(xù)性、可導(dǎo)性的研究等也需要使用極限手段達(dá)到目的，須引起注意!

第二：利用中值定理證明等式或不等式，利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式。

證明題雖不能說每年一定考，但也基本上十年有九年都會(huì)涉及。等式的證明包括使用4個(gè)微分中值定理，1個(gè)積分中值定理;

不等式的證明有時(shí)既可使用中值定理，也可使用函數(shù)單調(diào)性。這里泰勒中值定理的使用是一個(gè)難點(diǎn)，但考查的概率不大。第三：一元函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，多元函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)。

求導(dǎo)數(shù)問題主要考查基本公式及運(yùn)算能力，當(dāng)然也包括對(duì)函數(shù)關(guān)系的處理能力。一元函數(shù)求導(dǎo)可能會(huì)以參數(shù)方程求導(dǎo)、變限積分求導(dǎo)或應(yīng)用問題中涉及求導(dǎo)，甚或高階導(dǎo)數(shù);多元函數(shù)(主要為二元函數(shù))的偏導(dǎo)數(shù)基本上每年都會(huì)考查，給出的函數(shù)可能是較為復(fù)雜的顯函數(shù)，也可能是隱函數(shù)(包括方程組確定的隱函數(shù))。另外，二元函數(shù)的極值與條件極值與實(shí)際問題聯(lián)系極其緊密，是一個(gè)考查重點(diǎn)。極值的充分條件、必要條件均涉及二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。

第四：級(jí)數(shù)問題。

常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(特別是正項(xiàng)級(jí)數(shù)、交錯(cuò)級(jí)數(shù))斂散性的判別，條件收斂與絕對(duì)收斂的本質(zhì)含義均是考查的重點(diǎn)，但常常以小題形式出現(xiàn)。函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(冪級(jí)數(shù)，對(duì)數(shù)一來說還有傅里葉級(jí)數(shù)，但考查的頻率不高)的收斂半徑、收斂區(qū)間、收斂域、和函數(shù)等及函數(shù)在一點(diǎn)的冪級(jí)數(shù)展開在考試中常占有較高的分值。第五：積分的計(jì)算。

積分的計(jì)算包括不定積分、定積分、反常積分的計(jì)算，以及二重積分的計(jì)算，對(duì)數(shù)學(xué)考生來說常主要是三重積分、曲線積分、曲面積分的計(jì)算。這是以考查運(yùn)算能力與處理問題的技巧能力為主，以對(duì)公式的熟悉及空間想像能力的考查為輔的。需要注意在復(fù)習(xí)中對(duì)一些問題的靈活處理，例如定積分幾何意義的使用，重心、形心公式的反用，對(duì)稱性的使用等。

第六：微分方程問題。

解常微分方程方法固定，無論是一階線性方程、可分離變量方程、齊次方程還是高階常系數(shù)齊次與非齊次方程，只要記住常用形式，注意運(yùn)算準(zhǔn)確性，在考場(chǎng)上正確運(yùn)算都沒有問題。但這里需要注意：研究生考試對(duì)微分方程的考查常有一種反向方式，即平常給出方程求通解或特解，現(xiàn)在給出通解或特解求方程。這需要考生對(duì)方程與其通解、特解之間的關(guān)系熟練掌握。

這六大題型可以說是考試的重點(diǎn)考查對(duì)象，考生可以根據(jù)自己的實(shí)際情況圍繞重點(diǎn)題型復(fù)習(xí)，爭(zhēng)取達(dá)到高分甚至滿分!

第三篇：《線性代數(shù)》知識(shí)點(diǎn)歸納整理

《線性代數(shù)》知識(shí)點(diǎn)

歸納整理

學(xué)生

編

01、余子式與代數(shù)余子式

02、主對(duì)角線

03、轉(zhuǎn)置行列式

04、行列式的性質(zhì)

05、計(jì)算行列式

06、矩陣中未寫出的元素

07、幾類特殊的方陣

08、矩陣的運(yùn)算規(guī)則

09、矩陣多項(xiàng)式

10、對(duì)稱矩陣

11、矩陣的分塊

12、矩陣的初等變換

13、矩陣等價(jià)

14、初等矩陣

15、行階梯形矩陣

與

行最簡(jiǎn)形矩陣

16、逆矩陣

17、充分性與必要性的證明題

18、伴隨矩陣

19、矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形：

20、矩陣的秩：

21、矩陣的秩的一些定理、推論

22、線性方程組概念

23、齊次線性方程組與非齊次線性方程組（不含向量）

24、行向量、列向量、零向量、負(fù)向量的概念

25、線性方程組的向量形式

26、線性相關(guān)

與

線性無關(guān)的概念

27、向量個(gè)數(shù)大于向量維數(shù)的向量組

必然線性相關(guān)

28、線性相關(guān)、線性無關(guān)；齊次線性方程組的解；矩陣的秩

這三者的關(guān)系及其例題

29、線性表示

與

線性組合的概念

30、線性表示；非齊次線性方程組的解；矩陣的秩

這三者的關(guān)系其例題

31、線性相關(guān)（無關(guān)）與線性表示的3個(gè)定理

32、最大線性無關(guān)組與向量組的秩

33、線性方程組解的結(jié)構(gòu)

01、余子式與代數(shù)余子式

（1）設(shè)三階行列式D＝，則

①元素，的余子式分別為：M11＝，M12＝，M13＝

對(duì)M11的解釋：劃掉第1行、第1列，剩下的就是一個(gè)二階行列式，這個(gè)

行列式即元素的余子式M11。其他元素的余子式以此類推。

②元素，的代數(shù)余子式分別為：A11＝(－1)1＋1M11，A12＝(－1)1＋2M12，A13＝(－1)1＋3M13

.對(duì)Aij的解釋（i表示第i行，j表示第j列）：Aij＝(－1)i＋j

M

ij

.（N階行列式以此類推）

（2）填空題求余子式和代數(shù)余子式時(shí)，最好寫原式。比如說，作業(yè)P1第1題：

M31＝，A31＝(-1)3+1

（3）例題：課本P8、課本P21-27、作業(yè)P1第1題、作業(yè)P1第3題

02、主對(duì)角線

一個(gè)n階方陣的主對(duì)角線，是所有第k行第k列元素的全體，k=1,2,3…

n，即從左上到右下的一條斜線。與之相對(duì)應(yīng)的稱為副對(duì)角線或次對(duì)角線，即從右上到左下的一條斜線。

03、轉(zhuǎn)置行列式

即元素與元素的位置對(duì)調(diào)（i表示第i行，j表示第j列），比如說，與的位置對(duì)調(diào)、與的位置對(duì)調(diào)。

04、行列式的性質(zhì)

詳見課本P5-8（性質(zhì)1.1.1~

1.1.7）

其中，性質(zhì)1.1.7可以歸納為這個(gè)：

＋＋

…

＋

（i表示第i行，k表示第k列）

熟練掌握行列式的性質(zhì)，可以迅速的簡(jiǎn)化行列式，方便計(jì)算。

例題：作業(yè)P1第2題

05、計(jì)算行列式

（1）計(jì)算二階行列式：

①方法（首選）：＝（即，左上角×右下角－右上角×左下角）

②方法：＝＝

例題：課本P14

（2）計(jì)算三階行列式：

＝＝(－1)1＋1M11

＋(－1)1＋2M12

＋(－1)1＋3M13

N階行列式的計(jì)算以此類推。通常先利用行列式的性質(zhì)對(duì)行列式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，0元素較多時(shí)方便計(jì)算.（r是row，即行。c是column，即列）

例題：課本P5、課本P9、課本P14、作業(yè)P1第4題、作業(yè)P2第3小題

（3）n階上三角行列式（0元素全在左下角）與n階下三角行列式（0元素全在右上角）：

D＝…（主對(duì)角線上元素的乘積）

例題：課本P10、作業(yè)P3第4小題

有的題可以通過“從第二行起，將各行的元素對(duì)應(yīng)加到第一行”轉(zhuǎn)化成上三角行列式

例題：課本P11

（4）范德蒙行列式：詳見課本P12-13

（5）有的題可以通過“從第二行起，將各行的元素對(duì)應(yīng)加到第一行”提取出“公因式”，得到

元素全為1的一行，方便化簡(jiǎn)行列式。

例題：作業(yè)P2第1小題、作業(yè)P2第2小題

06、矩陣中未寫出的元素

課本P48下面有注明，矩陣中未寫出的元素都為007、幾類特殊的方陣

詳見課本P30-32

（1）上（下）三角矩陣：類似上（下）三角行列式

（2）對(duì)角矩陣：除了主對(duì)角線上的元素外，其他元素都為0

（3）數(shù)量矩陣：主對(duì)角線上的元素都相同

（4）零矩陣：所有元素都為0，記作O

（5）單位矩陣：主對(duì)角線上的元素都為1，其他元素全為0，記作E或En

（其行列式的值為1）

08、矩陣的運(yùn)算規(guī)則

（1）矩陣的加法（同型的矩陣才能相加減，同型，即矩陣A的行數(shù)與矩陣B的行數(shù)相同；

矩陣A的列數(shù)與矩陣B的列數(shù)也相同）：

①課本P32“A＋B”、“A－B”

②加法交換律：A＋B＝B＋A

③加法結(jié)合律：A＋（B＋C）＝（A＋B）＋C

（2）矩陣的乘法（基本規(guī)則詳見課本P34陰影）：

①數(shù)與矩陣的乘法：

I.課本P33“kA”

II.＝kn（因?yàn)閗只等于用數(shù)k乘以矩陣A的一行或一列后得到的矩陣的行列式）

②同階矩陣相乘（高中理科數(shù)學(xué)選修矩陣基礎(chǔ)）：

×＝

描述：令左邊的矩陣為①，令右邊的矩陣為②，令計(jì)算得到的矩陣為，則

A的值為：①中第1行的每個(gè)元素分別乘以②中第1列的每個(gè)元素，并將它們相加。

即A＝×＋×

B的值為：①中第1行的每個(gè)元素分別乘以②中第2列的每個(gè)元素，并將它們相加。

即B＝×＋×

C的值為：①中第2行的每個(gè)元素分別乘以②中第1列的每個(gè)元素，并將它們相加。

即C＝×＋×

D的值為：①中第2行的每個(gè)元素分別乘以②中第2列的每個(gè)元素，并將它們相加。

即D＝×＋×.×＝

描述：令左邊的矩陣為①，令右邊的矩陣為②，令計(jì)算得到的矩陣為，則

A的值為：①中第1行的每個(gè)元素分別乘以②中第1列的每個(gè)元素，并將它們相加。

即A＝×＋×＋×

B、C、D、E、F、G、H、I的值的求法與A類似。

③數(shù)乘結(jié)合律：k（lA）＝（kl）A，（kA）B＝A（kB）＝k（AB）

④數(shù)乘分配律：（k＋l）A＝kA＋lA，k（A＋B）＝kA＋kB

⑤乘法結(jié)合律：（AB）C＝A（BC）

⑥乘法分配律：A（B＋C）＝AB＋AC，（A＋B）C＝AC＋BC

⑦需注意的：

I.課本P34例題兩個(gè)不等于零的矩陣的乘積可以是零矩陣

II.課本P34例題數(shù)乘的消去律、交換律不成立

III.一般來講，（AB）k

≠

A

k

B

k，因?yàn)榫仃嚦朔ú粷M足交換律

IV.課本P40習(xí)題第2題：（A＋B）2不一定等于A2＋2AB＋B2，（A＋B）2不一定等于A2＋2AB＋B2，（A＋B）（A－B）不一定等于A2－B2

.當(dāng)AB＝BA時(shí)，以上三個(gè)等式均成立

（3）矩陣的轉(zhuǎn)置運(yùn)算規(guī)律：

①

(AT)T＝A

②

(A±B)T＝A

T±B

T

③

(kA)T＝kAT

④

(AB)T＝B

TAT

⑤

(ABC)T＝CTB

TAT

⑥

(ABCD)T＝DTCTB

TAT

（4）同階方陣相乘所得的方陣的行列式等于兩個(gè)方陣的行列式的乘積：（詳見課本P46）

＝

（5）例題：課本P35、課本P36-37、課本P40第4大題、課本P40第5大題、課本P51第1

大題、課本P51第4大題、課本P60第4大題、作業(yè)P5全部、作業(yè)P5第3大題、作業(yè)

P5第4大題

09、矩陣多項(xiàng)式

詳見課本P3610、對(duì)稱矩陣

（1）對(duì)稱矩陣、實(shí)對(duì)稱矩陣、反對(duì)稱矩陣的概念（詳見課本P37）

（2）①同階對(duì)稱（反對(duì)稱）矩陣的和、差仍是對(duì)稱（反對(duì)稱）矩陣

②數(shù)

與

對(duì)稱（反對(duì)稱）矩陣的乘積仍是對(duì)稱（反對(duì)稱）矩陣

③對(duì)稱（反對(duì)稱）矩陣的乘積不一定是對(duì)稱（反對(duì)稱）矩陣

11、矩陣的分塊

線代老師說這部分的內(nèi)容做了解即可。

詳見課本P38-4012、矩陣的初等變換

三種行變換與三種列變換：詳見課本P

例題：作業(yè)P6全部

13、矩陣等價(jià)

若矩陣A經(jīng)過若干次初等變換后變成矩陣B，則稱矩陣A與矩陣B等價(jià)，記為AB14、初等矩陣

（1）是由單位矩陣經(jīng)由一次初等變換而得到的矩陣。詳見課本P48-49

（2）設(shè)A為m×n矩陣，則對(duì)A施行一次初等行變換相當(dāng)于在A的左邊乘上一個(gè)相應(yīng)的m階初等矩陣；A施行一次初等列變換相當(dāng)于在A的右邊乘上一個(gè)相應(yīng)的n階初等矩陣.詳見課本P50-51

（3）課本P51第3大題

15、行階梯形矩陣

與

行最簡(jiǎn)形矩陣

（1）對(duì)任意一個(gè)非零矩陣，都可以通過若干次初等行變換（或?qū)Q列）化為行階梯型矩陣

（2）行階梯形矩陣與行最簡(jiǎn)形矩陣：

若在矩陣中可畫出一條階梯線，線的下方全為0，每個(gè)臺(tái)階只有一行（臺(tái)階數(shù)即是非零行的行數(shù)），階梯線的豎線（每段豎線的長(zhǎng)度為一行）后面的第一個(gè)元素為非零元素，也就是非零行的第一個(gè)非零元素，則稱該矩陣為行階梯矩陣。在此基礎(chǔ)上，若非零行的第一個(gè)非零元素為都為1，且這些非零元素所在的列的其他元素都為0，則稱該矩陣為行最簡(jiǎn)形矩陣。例題：課本P45、作業(yè)P6全部、課本P51第2大題

16、逆矩陣

（1）設(shè)A為n階方陣，如果存在n階方陣B，使得AB＝BA＝E，則稱方陣A是可逆的，并稱B為A的逆矩陣.（由逆矩陣的定義可知，非方陣的矩陣不存在逆矩陣）

（2）如果方陣A可逆，則A的逆矩陣是唯一的，并將A的逆矩陣記作A－1，AA－1＝E

（3）n階方陣A可逆的充要條件為≠0，并且，當(dāng)A可逆時(shí)，A－1＝

（證明詳見課本P54）

例題：課本P59第1大題

（4）可逆矩陣也稱為非奇異方陣（否則稱為奇異方陣）

（5）性質(zhì)：設(shè)A，B都是n階的可逆方陣，常數(shù)k≠0，那么

①

(A－1)－1＝A

②

AT也可逆，并且(AT)-1＝(A-1)T

③

kA也可逆，并且

(kA)-1＝A-1

④

AB也可逆，并且(AB)

-1＝B-1A-1

⑤

A＋B不一定可逆，而且即使A＋B可逆，一般(A＋B)-1≠A-1＋B-1

⑥

AA-1＝E

AA-1＝E＝1

AA-1＝1

A-1＝

例題：課本P58例2.3.7、作業(yè)P7第1題

（6）分塊對(duì)角矩陣的可逆性：課本P57

（7）由方陣等式求逆矩陣：課本P58例2.3.6

（8）單位矩陣、所有初等矩陣都是可逆的（初等矩陣是由單位矩陣經(jīng)由一次初等變換而得到的，即初等矩陣可以通過初等變換再變回單位矩陣，而單位矩陣的行列式=1≠0可逆，所

以初等矩陣可逆）

（9）初等矩陣的逆矩陣也是初等矩陣

（10）任一可逆方陣都可以通過若干次初等行變換化成單位矩陣

（11）方陣A可逆的充要條件是：A可以表示為若干個(gè)初等矩陣的乘積（證明：課本P67）

（12）利用初等行變換求逆矩陣：A-1（例題：課本P68、課本P71）

（13）形如AX＝B的矩陣方程，當(dāng)方陣A可逆時(shí)，有A-1

AX＝A-1B，即X＝A-1B.此時(shí)有：

矩陣方程的例題：課本P35、課本P69、課本P41第6大題、課本P56、課本P58、課本P59第3大題、課本P60第5大題、課本P60第7大題、課本P71第3大題

矩陣方程計(jì)算中易犯的錯(cuò)誤：課本P56“注意不能寫成……”

17、充分性與必要性的證明題

（1）必要性：由結(jié)論推出條件

（2）充分性：由條件推出結(jié)論

例題：課本P41第8大題、作業(yè)P5第5大題

18、伴隨矩陣

（1）定義：課本P52

定義2.3.2

（2）設(shè)A為n階方陣（n≥2），則AA*＝A*A＝En（證明詳見課本P53-54）

（3）性質(zhì)：（注意伴隨矩陣是方陣）

①

A*＝A－1

②

(kA)*

＝

·(kA)-1

＝

k

n·A-1

＝

k

n

·A-1

＝

k

n-1A*（k≠0）

③

|A*|

＝

|

A－1

|

＝n·|

A－1|

＝

n·（因?yàn)榇嬖贏－1，所以≠0）＝

n-1

④

(A*)*

＝

(A－1)*

＝

|

A－1

|·(A－1)－1

＝

n

|

A－1|·(A－1)－1

＝

n·A

＝

n-2A

（因?yàn)锳A－1

＝

E，所以A－1的逆矩陣是A，即(A－1)－1）

⑤

(AB)

*＝B*A*

⑥

(A*)-1＝(A-1)

*＝

（4）例題：課本P53、課本P55、課本P58、課本P60第6大題、作業(yè)P7第2題、作業(yè)P8全部

19、矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形：

（1）定義：課本P61-62

（2）任何一個(gè)非零矩陣都可以通過若干次初等變換化成標(biāo)準(zhǔn)形

20、矩陣的秩：

（1）定義：課本P63

（2）性質(zhì)：設(shè)A是m×n的矩陣，B是p×q的矩陣，則

①

若k是非零數(shù)，則R

(kA)＝R

(A)

②

R

(A)＝R

(AT)

③

等價(jià)矩陣有相同的秩，即若AB，則R

(A)＝R

(B)

④

0≤R

(Am×n)≤min

⑤

R

(AB)≤min

⑥

設(shè)A與B都是m×n矩陣，則R

(A＋B)≤R

(A)＋R

(B)

（3）n階方陣A可逆的充要條件是：A的秩等于其階數(shù)，即R

(A)＝n

（4）方陣A可逆的充要條件是：A可以表示為若干個(gè)初等矩陣的乘積。（證明：P67）

（5）

設(shè)A是m×n矩陣，P、Q分別是m階與n階可逆方陣，則R

(A)＝R

(PA)＝R

(AQ)＝R

(PAQ)

（6）例題：課本P64、課本P66、課本P71、作業(yè)P7第3題、作業(yè)P9全部

21、矩陣的秩的一些定理、推論

線代老師說這部分的內(nèi)容做了解即可。詳見課本P7022、線性方程組概念

線性方程組是各個(gè)方程關(guān)于未知量均為一次的方程組。

線性方程組經(jīng)過初等變換后不改變方程組的解。

23、齊次線性方程組與非齊次線性方程組（不含向量）

（1）定義：課本P81

（2）方程組的解集、方程組的通解、同解方程組：課本P81

（3）系數(shù)矩陣A、增廣矩陣、矩陣式方程：課本P82

（4）矛盾方程組（方程組無解）：課本P85例題

（5）增廣矩陣的最簡(jiǎn)階梯形：課本P87

（6）系數(shù)矩陣的最簡(jiǎn)階梯形：課本P87

（7）課本P87下面有注明：交換列只是交換兩個(gè)未知量的位置，不改變方程組的解。為了方

便敘述，在解方程組時(shí)不用交換列。

（8）克萊姆法則：

①初步認(rèn)知：

已知三元線性方程組，其系數(shù)行列式D＝.當(dāng)D≠0時(shí)，其解為：x1＝，x2＝，x3＝.（其中D1＝，D2＝，D3＝）（Dn以此類推）

②定義：課本P15

③使用的兩個(gè)前提條件：課本P18

④例題：課本P3、課本P16-17、課本P18、作業(yè)P3第7題

（9）解非齊次線性方程組（方程組施行初等變換實(shí)際上就是對(duì)增廣矩陣施行初等行變換）例題：

課本P26、課本P42、課本P82、課本P84、課本P85、課本P86第1大題、課本P88、課本P91、作業(yè)P10第1題

（10）解齊次線性方程組例題：課本P17、課本P18、課本P85、課本P86、課本P90、課本

P91、作業(yè)P1第5題、作業(yè)P10第2題

（11）n元非齊次線性方程組AX＝b的解的情況：（R

(A)

不可能＞

R

()）

R

(A)

＜

R

()

無解

＜

n

有無窮多個(gè)解

R

(A)

＝

R

()

有解

＝

n

有唯一解

特別地，當(dāng)A是

≠0

有唯一解

n階方陣時(shí)，可

R

(A)

＜

R

()

無解

由行列式來判斷

R

(A)

＝

R

()

有解

當(dāng)＝0

有無窮多個(gè)解

例題：課本P86第2大題、課本P88、課本P92、作業(yè)P11第三題

（12）n元齊次線性方程組AX＝O的解的情況：（只有零解和非零解兩種情況，有唯一解的充

要條件是只有零解，有無窮多個(gè)解的充要條件是有非零解）

R

(A)

＝

n

只有零解（有唯一解，為0）

R

(A)

＜

n

有非零解（有無窮多個(gè)解）

特別地，當(dāng)A是n階方陣

≠0

只有零解（有唯一解，為0）

時(shí)，可由行列式來判斷

＝0

有非零解（有無窮多個(gè)解）

例題：課本P24、課本P90-91、作業(yè)P11全部

24、行向量、列向量、零向量、負(fù)向量的概念

詳見課本P92-93

將列向量組的分量排成矩陣計(jì)算時(shí)，計(jì)算過程中只做行變換，不做列變換。

初等行變換與初等行列變換的使用情況：矩陣、線性方程組、向量涉及行變換；列變換只在矩

陣中用。（行列式的性質(zhì)包括行與列的變換）

手寫零向量時(shí)不必加箭頭。

25、線性方程組的向量形式

詳見課本P9326、線性相關(guān)

與

線性無關(guān)的概念

詳見課本P93-94

例題：課本P101第6大題、作業(yè)P14第五大題

27、向量個(gè)數(shù)大于向量維數(shù)的向量組

必然線性相關(guān)

線代老師課上提到的結(jié)論。

28、線性相關(guān)、線性無關(guān)；齊次線性方程組的解；矩陣的秩

這三者的關(guān)系及其例題

詳見課本P94

定理3.3.1、定理3.3.2

例題：課本P94-95

例3.3.2、課本P101第3大題、課

22本P101第5大題、作業(yè)P12第3小題、作業(yè)P12第二大題、作業(yè)P13第三大題、作業(yè)P13第四大題

29、線性表示

與

線性組合的概念

詳見課本P9530、線性表示；非齊次線性方程組的解；矩陣的秩

這三者的關(guān)系其例題

詳見課本P95-96

定理3.3.3

例題：課本P95-96

例3.3.431、線性相關(guān)（無關(guān)）與線性表示的3個(gè)定理

詳見課本P96

定理3.3.4、課本P97定理3.3.5、課本P98定理3.3.632、最大線性無關(guān)組與向量組的秩

詳見課本P98-100

定義3.3.5、定義3.3.6、定3.3.7

單位列向量，即“只有一個(gè)元素為1，且其余元素都為0”的一列向量（求最大線性無關(guān)組

用）

例題：課本P100

例3.3.5、課本P101第4大題、作業(yè)P14第六大題

33、線性方程組解的結(jié)構(gòu)

看此內(nèi)容之前，最好先復(fù)習(xí)下“n元非齊次線性方程組AX＝b的解的情況”與“n元齊次線性

方程組AX＝O的解的情況”。

（1）n元齊次線性方程組AX＝O解的結(jié)構(gòu)

①

定理3.4.1：詳見課本P101-102

②

定義3.4.1（并理解“基礎(chǔ)解系、通解、結(jié)構(gòu)式通解、向量式通解”）：詳見課本P102

③

定理3.4.2：詳見課本P102

④

解題步驟（“注”為補(bǔ)充說明）（以課本P104例3.4.1為例）：

（I）A

＝

…

…

注：往“行最簡(jiǎn)形矩陣”方向轉(zhuǎn)化（因?yàn)樵诮夥匠探M時(shí)不用列變換，所以一般沒法

真正轉(zhuǎn)化成行最簡(jiǎn)形矩陣，所以說“往……方向轉(zhuǎn)化”）。

（II）得到同解方程組

注：由得到同解方程組

（III）∴

此方程組的一組解向量為：＝，＝，＝

注：在草稿紙上寫成以下形式，其中未寫出的系數(shù)有的是1有的是0，一看便知

（IV）顯然，線性無關(guān)。

注：根據(jù)課本P93-94

定義3.3.3

得出線性無關(guān)，注意，下面分別是：、、，令它們分別為、、，則顯然＝0×＋0×，＝0×＋0×，＝0×＋0×，可想而知，線性無關(guān)。

（V）∴，為方程組的基礎(chǔ)解系，方程組的通解為：k1＋k2＋k3（k1，k2，k3可取任意值）

注：根據(jù)課本P102

定義3.4.1

得出該方程組的通解。

⑤

其他例題：課本P109

第1大題、課本P109第3大題、課本P109第4大題、作業(yè)

P15第一大題第1小題、作業(yè)P15第一大題第3小題

（2）n元非齊次線性方程組AX＝b解的結(jié)構(gòu)

①

導(dǎo)出方程組：非齊次線性方程組AX＝b對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組AX＝O（詳見課本P105）

②

定理3.4.3：詳見課本P105

③

定義3.4.4：詳見課本P105

④

定義3.4.5：詳見課本P105

⑤

課本P105

“上述定理表明，……（3.4.6）的形式”這段內(nèi)容

⑥

解題步驟（“注”為補(bǔ)充說明，做題時(shí)不用寫在卷上）（以課本P106例3.4.2為例）：

（I）＝

……

…

…

（II）得到同解方程組

注：由

得到同解方程組

（III）令＝0，得到原方程組的特解X0＝

注：在草稿紙上寫成以下形式，其中未寫出的系數(shù)有的是1有的是0，一看便知。得到原方程組的特解即以下形式的常數(shù)部分。

（IV）導(dǎo)出方程組的同解方程為：

注：導(dǎo)出方程組，即非齊次線性方程組AX＝b對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組AX＝O，即步驟（III）“注”的“形式”的系數(shù)部分。

（V）令＝1，得到方程組的基礎(chǔ)解系＝，則原方程組的通解為：

X0

＋

k（k可取任意值）

⑦

其他例題：

（I）課本P107

例3.4.3（之前先復(fù)習(xí)“n元非齊次線性方程組AX＝b的解的情況”）

要將含有參數(shù)的式子作為分母時(shí)，得注意該式子是否≠0

（II）課本P109

第2大題、作業(yè)P15第一大題第4小題、作業(yè)P15第二大題、作業(yè)P16第三大題、作業(yè)P15第一大題第2小題、作業(yè)P15第一大題第3小題

第四篇：2018考研數(shù)學(xué)線性代數(shù)三大規(guī)律歸納

凱程考研輔導(dǎo)班，中國(guó)最權(quán)威的考研輔導(dǎo)機(jī)構(gòu)

2018考研數(shù)學(xué)線性代數(shù)三大規(guī)律歸納

70%以上的學(xué)生認(rèn)為線性代數(shù)試題難度低，容易取得高分，線性代數(shù)的得分率總體比高等數(shù)學(xué)和概率論高5%左右，而且線性代數(shù)側(cè)重的是方法的考查，考點(diǎn)比較明確，系統(tǒng)性更強(qiáng)。下面就和大家分享一下線代的復(fù)習(xí)小技巧。

2018考研數(shù)學(xué)線性代數(shù)三大規(guī)律探究

?考研數(shù)學(xué)線性代數(shù)相比較高等數(shù)學(xué)和概率論而言，呈現(xiàn)明顯不同的學(xué)科特點(diǎn)——概念多、定理多、符號(hào)多、運(yùn)算規(guī)律多、內(nèi)容縱橫交錯(cuò)以及知識(shí)點(diǎn)前后緊密聯(lián)系。

如果說高等數(shù)學(xué)的知識(shí)點(diǎn)算“條”的話，那么概率論就應(yīng)該算“塊”，而線性代數(shù)就是“網(wǎng)”!具體來看，線性代數(shù)這整張網(wǎng)，又是由行列式、矩陣、向量、線性方程組、特征值與特征向量以及二次型這6張小網(wǎng)相互交叉聯(lián)結(jié)而成。而其中向量和線性方程組這兩張網(wǎng)又在其中起著承前啟后、上下銜接的關(guān)鍵作用。

通過上面的分析，大家是不是發(fā)現(xiàn)——向量和線性方程組是線性代數(shù)的重難點(diǎn)內(nèi)容，也是考研的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一?這一點(diǎn)也可以從歷年真題的出題規(guī)律上得到驗(yàn)證。

關(guān)于

凱程考研輔導(dǎo)班，中國(guó)最權(quán)威的考研輔導(dǎo)機(jī)構(gòu)

組的線性相關(guān)性(無關(guān)性)的一些重要性質(zhì)和定理結(jié)合反證法來做。同時(shí)會(huì)考慮用向量組的線性相關(guān)性(無關(guān)性)與齊次線性方程組有非零解(只有零解)之間的聯(lián)系和用矩陣的秩與向量組的秩之間的聯(lián)系來做。

?線性方程組——解的結(jié)構(gòu)和(不)含參量線性方程組的求解

要解決線性方程組解的結(jié)構(gòu)和求法的問題，首先應(yīng)考慮線性方程組的基礎(chǔ)解系，然后再利用基礎(chǔ)解系的線性無關(guān)性、與矩陣的秩之間的聯(lián)系等一些重要性質(zhì)來解決線性方程組解的結(jié)構(gòu)和含參量的線性方程組解的討論問題，同時(shí)用線性方程組解結(jié)構(gòu)的幾個(gè)重要性質(zhì)求解(不)含參量線性方程組的解。

即使是多么令童鞋聞風(fēng)喪膽的數(shù)學(xué)，其實(shí)都有一定的規(guī)律可循。通過考試來分析整體情況，這樣有重點(diǎn)復(fù)習(xí)，相信同學(xué)們一定會(huì)抓住數(shù)學(xué)，決勝數(shù)學(xué)!2 頁(yè) 共 2 頁(yè)

第五篇：線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)匯總

線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

行列式

（一）行列式概念和性質(zhì)

1、逆序數(shù)：所有的逆序的總數(shù)

2、行列式定義：不同行不同列元素乘積代數(shù)和

3、行列式性質(zhì)：（用于化簡(jiǎn)行列式）

（1）行列互換（轉(zhuǎn)置），行列式的值不變

（2）兩行（列）互換，行列式變號(hào)

（3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一數(shù)k，等于用數(shù)k乘此行列式

（4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是兩組數(shù)之和，那么這個(gè)行列式就等于兩個(gè)行列式之和。

（5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不變。

（6）兩行成比例，行列式的值為0。

（二）重要行列式

4、上（下）三角（主對(duì)角線）行列式的值等于主對(duì)角線元素的乘積

5、副對(duì)角線行列式的值等于副對(duì)角線元素的乘積乘

6、Laplace展開式：（A是m階矩陣，B是n階矩陣），則

7、n階（n≥2）范德蒙德行列式

數(shù)學(xué)歸納法證明

★8、對(duì)角線的元素為a，其余元素為b的行列式的值：

（三）按行（列）展開

9、按行展開定理：

（1）任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和等于行列式的值

（2）行列式中某一行（列）各個(gè)元素與另一行（列）對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于0

（四）行列式公式

10、行列式七大公式：

（1）|kA|=kn|A|

（2）|AB|=|A|·|B|

（3）|AT|=|A|

（4）|A-1|=|A|-1

（5）|A*|=|A|n-1

（6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，則

（7）若A與B相似，則|A|=|B|

（五）克萊姆法則

11、克萊姆法則：

（1）非齊次線性方程組的系數(shù)行列式不為0，那么方程為唯一解

（2）如果非齊次線性方程組無解或有兩個(gè)不同解，則它的系數(shù)行列式必為0

（3）若齊次線性方程組的系數(shù)行列式不為0，則齊次線性方程組只有0解；如果方程組有非零解，那么必有D=0。

矩陣

（一）矩陣的運(yùn)算

1、矩陣乘法注意事項(xiàng)：

（1）矩陣乘法要求前列后行一致；

（2）矩陣乘法不滿足交換律；（因式分解的公式對(duì)矩陣不適用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)時(shí)，可以用交換律）

（3）AB=O不能推出A=O或B=O。

2、轉(zhuǎn)置的性質(zhì)（5條）

（1）（A+B）T=AT+BT

（2）（kA）T=kAT

（3）（AB）T=BTAT

（4）|A|T=|A|

（5）（AT）T=A

（二）矩陣的逆

3、逆的定義：

AB=E或BA=E成立，稱A可逆，B是A的逆矩陣，記為B=A-1

注：A可逆的充要條件是|A|≠04、逆的性質(zhì)：（5條）

（1）（kA）-1=1/k·A-1

(k≠0)

（2）（AB）-1=B-1·A-1

（3）|A-1|=|A|-1

（4）（AT）-1=（A-1）T

（5）（A-1）-1=A5、逆的求法：

（1）A為抽象矩陣：由定義或性質(zhì)求解

（2）A為數(shù)字矩陣：（A|E）→初等行變換→（E|A-1）

（三）矩陣的初等變換

6、初等行（列）變換定義：

（1）兩行（列）互換；

（2）一行（列）乘非零常數(shù)c

（3）一行（列）乘k加到另一行（列）

7、初等矩陣：?jiǎn)挝痪仃嘐經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣。

8、初等變換與初等矩陣的性質(zhì)：

（1）初等行（列）變換相當(dāng)于左（右）乘相應(yīng)的初等矩陣

（2）初等矩陣均為可逆矩陣，且Eij-1=Eij（i，j兩行互換）；

Ei-1（c）=Ei（1/c）（第i行（列）乘c）

Eij-1（k）=Eij（-k）（第i行乘k加到j(luò)）

★（四）矩陣的秩

9、秩的定義：非零子式的最高階數(shù)

注：（1）r（A）=0意味著所有元素為0，即A=O

（2）r（An×n）=n（滿秩）←→

|A|≠0

←→A可逆；

r（A）＜n←→|A|=0←→A不可逆；

（3）r（A）=r（r=1、2、…、n-1）←→r階子式非零且所有r+1子式均為0。

10、秩的性質(zhì)：（7條）

（1）A為m×n階矩陣，則r（A）≤min（m,n）

（2）r（A±B）≤r（A）±（B）

（3）r（AB）≤min{r（A），r（B）}

（4）r（kA）=r（A）（k≠0）

（5）r（A）=r（AC）（C是一個(gè)可逆矩陣）

（6）r（A）=r（AT）=r（ATA）=r（AAT）

（7）設(shè)A是m×n階矩陣，B是n×s矩陣，AB=O，則r（A）+r（B）≤n11、秩的求法：

（1）A為抽象矩陣：由定義或性質(zhì)求解；

（2）A為數(shù)字矩陣：A→初等行變換→階梯型（每行第一個(gè)非零元素下面的元素均為0），則r（A）=非零行的行數(shù)

（五）伴隨矩陣

12、伴隨矩陣的性質(zhì)：（8條）

（1）AA*=A*A=|A|E

→

★A*=|A|A-1

（2）（kA）*=kn-1A*

（3）（AB）*=B*A*

（4）|A*|=|A|n-1

（5）（AT）*=（A*）T

（6）（A-1）*=（A*）-1=A|A|-1

（7）（A*）*=|A|

n-2·A

★（8）r（A*）=n

（r（A）=n）；

r（A*）=1

（r（A）=n-1）；

r（A*）=0

（r（A）＜n-1）

（六）分塊矩陣

13、分塊矩陣的乘法：要求前列后行分法相同。

14、分塊矩陣求逆：

向量

（一）向量的概念及運(yùn)算

1、向量的內(nèi)積：（α，β）=αTβ=βTα

2、長(zhǎng)度定義：

||α||=

3、正交定義：（α，β）=αTβ=βTα=a1b1+a2b2+…+anbn=04、正交矩陣的定義：A為n階矩陣，AAT=E

←→

A-1=AT

←→

ATA=E

→

|A|=±1

（二）線性組合和線性表示

5、線性表示的充要條件：

非零列向量β可由α1，α2，…，αs線性表示

(1)←→非齊次線性方程組（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T=β有解。

★(2)←→r（α1，α2，…，αs）=r（α1，α2，…，αs，β）（系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩，用于大題第一步的檢驗(yàn)）

6、線性表示的充分條件：（了解即可）

若α1，α2，…，αs線性無關(guān)，α1，α2，…，αs，β線性相關(guān)，則β可由α1，α2，…，αs線性表示。

7、線性表示的求法：（大題第二步）

設(shè)α1，α2，…，αs線性無關(guān)，β可由其線性表示。

（α1，α2，…，αs|β）→初等行變換→（行最簡(jiǎn)形|系數(shù)）

行最簡(jiǎn)形：每行第一個(gè)非0的數(shù)為1，其余元素均為0

（三）線性相關(guān)和線性無關(guān)

8、線性相關(guān)注意事項(xiàng)：

（1）α線性相關(guān)←→α=0

（2）α1，α2線性相關(guān)←→α1，α2成比例

9、線性相關(guān)的充要條件：

向量組α1，α2，…，αs線性相關(guān)

（1）←→有個(gè)向量可由其余向量線性表示；

（2）←→齊次方程（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T=0有非零解；

★（3）←→r（α1，α2，…，αs）＜s

即秩小于個(gè)數(shù)

特別地，n個(gè)n維列向量α1，α2，…，αn線性相關(guān)

（1）←→

r（α1，α2，…，αn）＜n

（2）←→|α1，α2，…，αn

|=0

（3）←→（α1，α2，…，αn）不可逆

10、線性相關(guān)的充分條件：

（1）向量組含有零向量或成比例的向量必相關(guān)

（2）部分相關(guān)，則整體相關(guān)

（3）高維相關(guān)，則低維相關(guān)

（4）以少表多，多必相關(guān)

★推論：n+1個(gè)n維向量一定線性相關(guān)

11、線性無關(guān)的充要條件

向量組α1，α2，…，αs

線性無關(guān)

（1）←→任意向量均不能由其余向量線性表示；

（2）←→齊次方程（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T=0只有零解

（3）←→r（α1，α2，…，αs）=s

特別地，n個(gè)n維向量α1，α2，…，αn

線性無關(guān)

←→r（α1，α2，…，αn）=n

←→|α1，α2，…，αn

|≠0

←→矩陣可逆

12、線性無關(guān)的充分條件：

（1）整體無關(guān)，部分無關(guān)

（2）低維無關(guān)，高維無關(guān)

（3）正交的非零向量組線性無關(guān)

（4）不同特征值的特征向量無關(guān)

13、線性相關(guān)、線性無關(guān)判定

（1）定義法

★（2）秩：若小于階數(shù)，線性相關(guān)；若等于階數(shù)，線性無關(guān)

【專業(yè)知識(shí)補(bǔ)充】

（1）在矩陣左邊乘列滿秩矩陣（秩=列數(shù)），矩陣的秩不變；在矩陣右邊乘行滿秩矩陣，矩陣的秩不變。

（2）若n維列向量α1，α2，α3

線性無關(guān)，β1，β2，β3

可以由其線性表示，即（β1，β2，β3）=（α1，α2，α3）C，則r（β1，β2，β3）=r（C），從而線性無關(guān)。

←→r（β1，β2，β3）=3

←→

r（C）=3

←→

|C|≠0

（四）極大線性無關(guān)組與向量組的秩

14、極大線性無關(guān)組不唯一

15、向量組的秩:極大無關(guān)組中向量的個(gè)數(shù)成為向量組的秩

對(duì)比：矩陣的秩:非零子式的最高階數(shù)

★注:向量組α1，α2，…，αs的秩與矩陣A=（α1，α2，…，αs）的秩相等

★16、極大線性無關(guān)組的求法

（1）α1，α2，…，αs

為抽象的：定義法

（2）α1，α2，…，αs

為數(shù)字的：

（α1，α2，…，αs）→初等行變換→階梯型矩陣

則每行第一個(gè)非零的數(shù)對(duì)應(yīng)的列向量構(gòu)成極大無關(guān)組

（五）向量空間

17、基（就是極大線性無關(guān)組）變換公式：

若α1，α2，…，αn

與β1，β2，…，βn

是n維向量空間V的兩組基，則基變換公式為（β1，β2，…，βn）=（α1，α2，…，αn）Cn×n

其中，C是從基α1，α2，…，αn

到β1，β2，…，βn的過渡矩陣。

C=（α1，α2，…，αn）-1（β1，β2，…，βn）

18、坐標(biāo)變換公式：

向量γ在基α1，α2，…，αn與基β1，β2，…，βn的坐標(biāo)分別為x=（x1，x2，…，xn）T，y=（y1，y2，…，yn）T，即γ=x1α1

+

x2α2

+

…

+xnαn

=y1β1

+

y2β2

+

…

+ynβn，則坐標(biāo)變換公式為x=Cy或y=C-1x。其中，C是從基α1，α2，…，αn

到β1，β2，…，βn的過渡矩陣。C=（α1，α2，…，αn）-1（β1，β2，…，βn）

（六）Schmidt正交化

19、Schmidt正交化

設(shè)α1，α2，α3

線性無關(guān)

（1）正交化

令β1=α1

（2）單位化

線性方程組

（一）方程組的表達(dá)形與解向量

1、解的形式：

(1)一般形式

(2)矩陣形式：Ax=b；

(3)向量形式：A=（α1，α2，…，αn）

2、解的定義：

若η=（c1，c2，…，cn）T滿足方程組Ax=b，即Aη=b，稱η是Ax=b的一個(gè)解（向量）

（二）解的判定與性質(zhì)

3、齊次方程組：

（1）只有零解←→r（A）=n（n為A的列數(shù)或是未知數(shù)x的個(gè)數(shù)）

（2）有非零解←→r（A）＜n4、非齊次方程組：

（1）無解←→r（A）＜r（A|b）←→r（A）=r（A）-1

（2）唯一解←→r（A）=r（A|b）=n

（3）無窮多解←→r（A）=r（A|b）＜n5、解的性質(zhì)：

（1）若ξ1，ξ2是Ax=0的解，則k1ξ1+k2ξ2是Ax=0的解

（2）若ξ是Ax=0的解，η是Ax=b的解，則ξ+η是Ax=b的解

（3）若η1，η2是Ax=b的解，則η1-η2是Ax=0的解

【推廣】

（1）設(shè)η1，η2，…，ηs是Ax=b的解，則k1η1+k2η2+…+ksηs為

Ax=b的解

（當(dāng)Σki=1）

Ax=0的解

（當(dāng)Σki=0）

（2）設(shè)η1，η2，…，ηs是Ax=b的s個(gè)線性無關(guān)的解，則η2-η1，η3-η1，…，ηs-η1為Ax=0的s-1個(gè)線性無關(guān)的解。

變式：①η1-η2，η3-η2，…，ηs-η2

②η2-η1，η3-η2，…，ηs-ηs-1

（三）基礎(chǔ)解系

6、基礎(chǔ)解系定義：

（1）ξ1，ξ2，…，ξs

是Ax=0的解

（2）ξ1，ξ2，…，ξs

線性相關(guān)

（3）Ax=0的所有解均可由其線性表示

→基礎(chǔ)解系即所有解的極大無關(guān)組

注：基礎(chǔ)解系不唯一。

任意n-r（A）個(gè)線性無關(guān)的解均可作為基礎(chǔ)解系。

★7、重要結(jié)論：（證明也很重要）

設(shè)A施m×n階矩陣，B是n×s階矩陣，AB=O

（1）B的列向量均為方程Ax=0的解

（2）r（A）+r（B）≤n（第2章，秩）

8、總結(jié)：基礎(chǔ)解系的求法

（1）A為抽象的：由定義或性質(zhì)湊n-r（A）個(gè)線性無關(guān)的解

（2）A為數(shù)字的：A→初等行變換→階梯型

自由未知量分別取1,0,0；0,1,0；0,0,1；代入解得非自由未知量得到基礎(chǔ)解系

（四）解的結(jié)構(gòu)（通解）

9、齊次線性方程組的通解（所有解）

設(shè)r（A）=r，ξ1，ξ2，…，ξn-r

為Ax=0的基礎(chǔ)解系，則Ax=0的通解為k1η1+k2η2+…+kn-rηn-r

（其中k1，k2，…，kn-r為任意常數(shù)）

10、非齊次線性方程組的通解

設(shè)r（A）=r，ξ1，ξ2，…，ξn-r

為Ax=0的基礎(chǔ)解系，η為Ax=b的特解，則Ax=b的通解為η+

k1η1+k2η2+…+kn-rηn-r

（其中k1，k2，…，kn-r為任意常數(shù)）

（五）公共解與同解

11、公共解定義：

如果α既是方程組Ax=0的解，又是方程組Bx=0的解，則稱α為其公共解

12、非零公共解的充要條件：

方程組Ax=0與Bx=0有非零公共解

←→

有非零解←→

13、重要結(jié)論（需要掌握證明）

（1）設(shè)A是m×n階矩陣，則齊次方程ATAx=0與Ax=0同解，r（ATA）=r（A）

（2）設(shè)A是m×n階矩陣，r（A）=n，B是n×s階矩陣，則齊次方程ABx=0與Bx=0同解，r（AB）=r（B）

特征值與特征向量

（一）矩陣的特征值與特征向量

1、特征值、特征向量的定義：

設(shè)A為n階矩陣，如果存在數(shù)λ及非零列向量α，使得Aα=λα，稱α是矩陣A屬于特征值λ的特征向量。

2、特征多項(xiàng)式、特征方程的定義：

|λE-A|稱為矩陣A的特征多項(xiàng)式（λ的n次多項(xiàng)式）。

|λE-A

|=0稱為矩陣A的特征方程（λ的n次方程）。

注:特征方程可以寫為|A-λE|=03、重要結(jié)論：

（1）若α為齊次方程Ax=0的非零解，則Aα=0·α，即α為矩陣A特征值λ=0的特征向量

（2）A的各行元素和為k，則(1，1，…，1)T為特征值為k的特征向量。

（3）上（下）三角或主對(duì)角的矩陣的特征值為主對(duì)角線各元素。

△4、總結(jié)：特征值與特征向量的求法

（1）A為抽象的：由定義或性質(zhì)湊

（2）A為數(shù)字的：由特征方程法求解

5、特征方程法：

（1）解特征方程|λE-A|=0，得矩陣A的n個(gè)特征值λ1，λ2，…，λn

注：n次方程必須有n個(gè)根(可有多重根，寫作λ1=λ2=…=λs=實(shí)數(shù)，不能省略)

（2）解齊次方程（λiE-A）=0，得屬于特征值λi的線性無關(guān)的特征向量，即其基礎(chǔ)解系（共n-r（λiE-A）個(gè)解）

6、性質(zhì)：

（1）不同特征值的特征向量線性無關(guān)

（2）k重特征值最多k個(gè)線性無關(guān)的特征向量

1≤n-r（λiE-A）≤ki

（3）設(shè)A的特征值為λ1，λ2，…，λn，則|A|=Πλi，Σλi=Σaii

（4）當(dāng)r（A）=1，即A=αβT，其中α，β均為n維非零列向量，則A的特征值為λ1=Σaii=αTβ=βTα，λ2=…=λn=0

（5）設(shè)α是矩陣A屬于特征值λ的特征向量，則

A

f（A）

AT

A-1

A*

P-1AP（相似）

λ

f（λ）

λ

λ-1

|A|λ-1

λ

α

α

/

α

α

P-1α

（二）相似矩陣

7、相似矩陣的定義：

設(shè)A、B均為n階矩陣，如果存在可逆矩陣P使得B=P-1AP，稱A與B相似，記作A~B8、相似矩陣的性質(zhì)

（1）若A與B相似，則f（A）與f（B）相似

（2）若A與B相似，B與C相似，則A與C相似

（3）相似矩陣有相同的行列式、秩、特征多項(xiàng)式、特征方程、特征值、跡（即主對(duì)角線元素之和）

【推廣】

（4）若A與B相似，則AB與BA相似，AT與BT相似，A-1與B-1相似，A*與B*也相似

（三）矩陣的相似對(duì)角化

9、相似對(duì)角化定義：

如果A與對(duì)角矩陣相似，即存在可逆矩陣P，使得P-1AP=Λ=，稱A可相似對(duì)角化。

注：Aαi=λiαi（αi≠0，由于P可逆），故P的每一列均為矩陣A的特征值λi的特征向量

10、相似對(duì)角化的充要條件

（1）A有n個(gè)線性無關(guān)的特征向量

（2）A的k重特征值有k個(gè)線性無關(guān)的特征向量

11、相似對(duì)角化的充分條件：

（1）A有n個(gè)不同的特征值（不同特征值的特征向量線性無關(guān)）

（2）A為實(shí)對(duì)稱矩陣

12、重要結(jié)論：

（1）若A可相似對(duì)角化，則r（A）為非零特征值的個(gè)數(shù)，n-r（A）為零特征值的個(gè)數(shù)

（2）若A不可相似對(duì)角化，r（A）不一定為非零特征值的個(gè)數(shù)

（四）實(shí)對(duì)稱矩陣

13、性質(zhì)

（1）特征值全為實(shí)數(shù)

（2）不同特征值的特征向量正交

（3）A可相似對(duì)角化，即存在可逆矩陣P使得P-1AP=Λ

（4）A可正交相似對(duì)角化，即存在正交矩陣Q，使得Q-1AQ=QTAQ=Λ

二次型

（一）二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形

1、二次型：

（1）一般形式

（2）矩陣形式（常用）

2、標(biāo)準(zhǔn)形：

如果二次型只含平方項(xiàng)，即f（x1，x2，…，xn）=d1x12+d2x22+…+dnxn2

這樣的二次型稱為標(biāo)準(zhǔn)形（對(duì)角線）

3、二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形的方法：

（1）配方法：

通過可逆線性變換x=Cy（C可逆），將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形。其中，可逆線性變換及標(biāo)準(zhǔn)形通過先配方再換元得到。

★（2）正交變換法：

通過正交變換x=Qy，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形λ1y12+λ2y22+…+λnyn2

其中，λ1，λ2，…，λn

是A的n個(gè)特征值，Q為A的正交矩陣

注:正交矩陣Q不唯一，γi與λi

對(duì)應(yīng)即可。

（二）慣性定理及規(guī)范形

4、定義：

正慣性指數(shù)：標(biāo)準(zhǔn)形中正平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)稱為正慣性指數(shù)，記為p；

負(fù)慣性指數(shù)：標(biāo)準(zhǔn)形中負(fù)平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)稱為負(fù)慣性指數(shù)，記為q；

規(guī)范形：f=z12+…zp2-zp+12-…-zp+q2稱為二次型的規(guī)范形。

5、慣性定理：

二次型無論選取怎樣的可逆線性變換為標(biāo)準(zhǔn)形，其正負(fù)慣性指數(shù)不變。

注：（1）由于正負(fù)慣性指數(shù)不變，所以規(guī)范形唯一。

（2）p=正特征值的個(gè)數(shù)，q=負(fù)特征值的個(gè)數(shù)，p+q=非零特征值的個(gè)數(shù)=r（A）

（三）合同矩陣

6、定義：

A、B均為n階實(shí)對(duì)稱矩陣，若存在可逆矩陣C，使得B=CTAC，稱A與B合同

△7、總結(jié)：n階實(shí)對(duì)稱矩陣A、B的關(guān)系

（1）A、B相似（B=P-1AP）←→相同的特征值

（2）A、B合同（B=CTAC）←→相同的正負(fù)慣性指數(shù)←→相同的正負(fù)特征值的個(gè)數(shù)

（3）A、B等價(jià)（B=PAQ）←→r（A）=r（B）

注：實(shí)對(duì)稱矩陣相似必合同，合同必等價(jià)

（四）正定二次型與正定矩陣

8、正定的定義

二次型xTAx，如果任意x≠0，恒有xTAx＞0，則稱二次型正定，并稱實(shí)對(duì)稱矩陣A是正定矩陣。

9、n元二次型xTAx正定充要條件：

（1）A的正慣性指數(shù)為n

（2）A與E合同，即存在可逆矩陣C，使得A=CTC或CTAC=E

（3）A的特征值均大于0

（4）A的順序主子式均大于0（k階順序主子式為前k行前k列的行列式）

10、n元二次型xTAx正定必要條件：

（1）aii＞0

（2）|A|＞011、總結(jié)：二次型xTAx正定判定（大題）

（1）A為數(shù)字：順序主子式均大于0

（2）A為抽象：①證A為實(shí)對(duì)稱矩陣：AT=A；②再由定義或特征值判定

12、重要結(jié)論：

（1）若A是正定矩陣，則kA（k＞0），Ak，AT，A-1，A*正定

（2）若A、B均為正定矩陣，則A+B正定