第一篇：線性代數(shù)第五版第一章常見試題及解答
一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共30分）
在每小題列出的四個備選項(xiàng)中只有一個是符合題目要求的，請將代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯選、多選或未選均無分。
1．二階行列式A．k≠-1 C．k≠-1且k≠3 答案：C 2．設(shè)行列式a2A．-3 C．1 答案：D k?122k?1≠0的充分必要條件是（）
B．k≠3 D．k≠-1或≠3 a1b2=1，a2b1a1c2=2，則a2B．-1 D．3
c1a1b2?c2=（）
b1?c1?3x1?kx2?x3?0?4x2?x3?0有非零解,則 k=（）3.如果方程組??4x2?kx3?0?A.-2 C.1 答案：B a11a12a22a32a13B.-1 D.2
a115a11?2a12a13a23，則D1的值為（）a334．設(shè)行列式D=a21a31A．-15 C．6 答案：C
a23=3，D1=a215a21?2a22a33a315a31?2a32B．-6 D．15 5.設(shè)3階方陣A=[?1,?2,?3]，其中?i（i=1, 2, 3）為A的列向量，且|A|=2，則|B|=|[?1?3?2,?2,?3]|=（）A.-2 C.2 答案：C
B.0 D.6 ?x?x2?06.若方程組?1有非零解，則k=（）
kx?x?02?1A.-1 C.1
B.0 D.2 答案：A 0?101?1中元素a21的代數(shù)余了式A21=（）7．3階行列式aij=1?110A．-2 B．-1 C．1 D．2 答案：C a11a12a132a112a122a138.已知a21a22a23=3，那么a21a22a23=（）
a31a32a33?2a31?2a32?2a33A.-24 B.-12 C.-6 D.12 答案：B
01?119．行列式?101?11?101第二行第一列元素的代數(shù)余子式A21=（?11?10A．-2 B．-1 C．1 D．2 答案：B xyz2x2y2z10.設(shè)行列式403?1,則行列式401?（）1113111A.23 B.1 C.2 D.83 答案：A 11.已知2階行列式a1a2b2b,則
b1b21b=m ,b12c1c=n 2a1?c=（1a2?c2A.m-n B.n-m C.m+n D.-（m+n）
答案：B））3 0 ?2 0 2.計(jì)算行列式 2 10 5 0 0 0 ?2 0?2 3 ?2 3=（）A.-180 B.-120 C.120 D.180
二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）
請?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。
12.設(shè)A為三階方陣且|A|=3，則|2A|=___________.答案：24 13.已知?=（1，2，3），則|?T?|=___________.答案：0 1114．行列式答案：-2
14中（3，2）元素的代數(shù)余子式A32=____________.234916k15.若答案：1/2 112a1b1?0,a1b2a2b2a3b2則k=___________.a1b3a2b3=____________.a3b316.行列式a2b1a3b1答案：0 a112a123a13a11a12a22a32a13a23=_______________.a3317．已知3階行列式2a214a223a316a326a23=6，則a219a33a31答案：1/6 18．設(shè)3階行列式D3的第2列元素分別為1，-2，3，對應(yīng)的代數(shù)余子式分別為-3，2，1，則D3=__________________.答案：-4 21019.若131?0,則k?_____________。
k21 答案：-1
ababab11121320．若aibi?0,i?1,2,3,則行列式a2b1a2b2a2b3a3b1a3b2a3b
3=_____________.答案：0 a2121．已知行列式230?0，則數(shù)a =__________.1?11答案：3 22．設(shè)方程組??x1?2x2?0?2x1?kx有非零解，則數(shù)k = __________.2?0答案：4 23．已知行列式a1?b1a1?b1b1a2?b2a?4，則
a1______.2?b?2a2b?2答案：2 12324.行列式459=_________.6713答案：0 25.行列式***0的值為_________________________.答案;-2
三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）
11141131121126．求4階行列式1111的值.4 ***11?0121解：原式=11111110003?***11??3010??6?6
***．求行列式3412
412312341234解：原式=101341?10011?3141202?2?211230?1?1?11234?10011?300?44?160
000?4
3011
1200012028.計(jì)算四階行列式0012的值.2001120200解：原式=012?2120??15
001012111130.計(jì)算行列式D=12001030的值.10041?1112?3?111解：原式=04200???1?1?1?1????2?3?4??2
0030?2340004
12323331．計(jì)算3階行列式
249499.367677120203解：原式=240409.?0
36060721012132．計(jì)算行列式D=012的值.解：原式=2?2?2?1?1?0?1?1?0?0?2?0?1?1?2?1?1?2?4 6
******00200133．計(jì)算6階行列式
***001000100200?18 0?6000解：原式=000?3123434．計(jì)算行列式D=1012的值.3?1?10120?51解：原式=2022020?611222222003?1?4???1?4?6???1?3?5??2?1?7?3?93539??24
?1?73533335333.35535．計(jì)算行列式D=3331333解：原式=141333=14******?112
x236.已知3階行列式aij=x0中元素a12的代數(shù)余子式A12=8，求元素a21的代數(shù)余子式
5?14A21的值.解：A12?(?1)1?2x054??4x?8?x??2
A21?(?1)2?1?23?14?5
1?3432?205?2237.求行列式D=427006的值。
1?340435985解：原式=4035202?2=322?2?300?2?698??***8
x?1?11?138．計(jì)算行列式D?1x?11?11?1x?1?1的值.1?11x?11?11?11?11?1解：原式?x1x?11?1?1x?1?1?x0x004100x0?x
1?11x?1000x234539．計(jì)算4階行列式D=
34564567.567823452345解：原式=34567?34564561111?0
11111111abc40.計(jì)算行列式D=a2b2c2的值。a?a3b?b3c?c3abc111解：原式=a2b2c2?abcabc?abc(c?b)(c?a)(b?a)a3b3c3a2b2c2
第二篇：線性代數(shù)習(xí)題及解答
線性代數(shù)習(xí)題一
說明：本卷中，A-1表示方陣A的逆矩陣，r(A)表示矩陣A的秩，||?||表示向量?的長度，?T表示向量?的轉(zhuǎn)置，E表示單位矩陣，|A|表示方陣A的行列式.一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）
在每小題列出的四個備選項(xiàng)中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯選、多選或未選均無分。
a11a12a133a113a123a131．設(shè)行列式a21a22a23=2，則?a31?a32?a33=（）
a31a32a33a21?a31a22?a32a23?a33A．-6 B．-3 C．3
D．6 2．設(shè)矩陣A，X為同階方陣，且A可逆，若A（X-E）=E，則矩陣X=（）A．E+A-1 B．E-A C．E+A
D．E-A-
13．設(shè)矩陣A，B均為可逆方陣，則以下結(jié)論正確的是（）
A．??A?A-1??B?可逆，且其逆為????B-1? B．????A?B?不可逆 ?C．??A??B-1?D．??B?可逆，且其逆為???A-1? ??A??A-1??B?可逆，且其逆為???B-1? ?4．設(shè)?1，?2，…，?k是n維列向量，則?1，?2，…，?k線性無關(guān)的充分必要條件是A．向量組?1，?2，…，?k中任意兩個向量線性無關(guān)
B．存在一組不全為0的數(shù)l1，l2，…，lk，使得l1?1+l2?2+…+lk?k≠0 C．向量組?1，?2，…，?k中存在一個向量不能由其余向量線性表示 D．向量組?1，?2，…，?k中任意一個向量都不能由其余向量線性表示
5．已知向量2????(1,?2,?2,?1)T,3??2??(1,?4,?3,0)T,則???=（）A．（0，-2，-1，1）T B．（-2，0，-1，1）T C．（1，-1，-2，0）T
D．（2，-6，-5，-1）T
6．實(shí)數(shù)向量空間V={(x, y, z)|3x+2y+5z=0}的維數(shù)是（）A．1
B．2）
（C．3 D．4 7．設(shè)?是非齊次線性方程組Ax=b的解，?是其導(dǎo)出組Ax=0的解，則以下結(jié)論正確的是
（）
A．?+?是Ax=0的解 C．?-?是Ax=b的解 8．設(shè)三階方陣A的特征值分別為A．2,4,C．
B．?+?是Ax=b的解 D．?-?是Ax=0的解
11，3，則A-1的特征值為（）24B．1 3111， 24311，3 241D．2,4,3 9．設(shè)矩陣A=2?1，則與矩陣A相似的矩陣是（）
1A．?1?123
01B．102
?2C．
D．
?21
10．以下關(guān)于正定矩陣敘述正確的是（）A．正定矩陣的乘積一定是正定矩陣 C．正定矩陣的行列式一定大于零
二、填空題（本大題共10小題，每空2分，共20分）
請?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案，錯填、不填均無分。
11．設(shè)det(A)=-1，det(B)=2，且A，B為同階方陣，則det((AB))=__________．
3B．正定矩陣的行列式一定小于零 D．正定矩陣的差一定是正定矩陣
112．設(shè)3階矩陣A=42t?23，B為3階非零矩陣，且AB=0，則t=__________． 1-13?1k13．設(shè)方陣A滿足A=E，這里k為正整數(shù)，則矩陣A的逆A=__________． 14．實(shí)向量空間R的維數(shù)是__________．
15．設(shè)A是m×n矩陣，r(A)=r,則Ax=0的基礎(chǔ)解系中含解向量的個數(shù)為__________． 16．非齊次線性方程組Ax=b有解的充分必要條件是__________． n17．設(shè)?是齊次線性方程組Ax=0的解，而?是非齊次線性方程組Ax=b的解，則A(3??2?)=__________． 18．設(shè)方陣A有一個特征值為8，則det（-8E+A）=__________．
19．設(shè)P為n階正交矩陣，x是n維單位長的列向量，則||Px||=__________．
20．二次型f(x1,x2,x3)?x1?5x2?6x3?4x1x2?2x1x3?2x2x3的正慣性指數(shù)是__________．
三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）
222121．計(jì)算行列式142?12?6142． ?1?1?4121222．設(shè)矩陣A=35，且矩陣B滿足ABA=4A+BA，求矩陣B．
-1-1-123．設(shè)向量組?1?(3,1,2,0),?2?(0,7,1,3),?3?(?1,2,0,1),?4?(6,9,4,3),求其一個極大線性無關(guān)組，并將其余向量通過極大線性無關(guān)組表示出來．
?124．設(shè)三階矩陣A=?24533，求矩陣A的特征值和特征向量． ?4?225．求下列齊次線性方程組的通解．
?x1?x3?5x4?0? ?2x1?x2?3x4?0?x?x?x?2x?0234?12?24?2026．求矩陣A=3010360?110110的秩．
?1
2四、證明題（本大題共1小題，6分）
a1127．設(shè)三階矩陣A=a21a12a22a32a13a23的行列式不等于0，證明： a33a31?a13??a11??a12????????1??a21?,?2??a22?,?3??a23?線性無關(guān)．
?a??a??a??31??32??33?
線性代數(shù)習(xí)題二
說明：在本卷中，A表示矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣，A表示矩陣A的伴隨矩陣，E表示單位矩陣。的行列式，r(A)表示矩陣A的秩。
一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）
在每小題列出的四個備選項(xiàng)中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯選、多選或T
*
A表示方陣A未選均無分。
1.設(shè)3階方陣A的行列式為2，則
?12A?()A.-1 B.?14 C.14 D.1 x?2x?1x?22.設(shè)f(x)?2x?22x?12x?2,則方程f(x)?0的根的個數(shù)為（）
3x?23x?23x?5A.0 B.1 C.2
D.3 3.設(shè)A為n階方陣，將A的第1列與第2列交換得到方陣B，若A?B,則必有（A.A?0 B.A?B?0
C.A?0
D.A?B?0
4.設(shè)A,B是任意的n階方陣，下列命題中正確的是（）A.(A?B)2?A2?2AB?B2
B.(A?B)(A?B)?A2?B2
C.(A?E)(A?E)?(A?E)(A?E)D.(AB)2?A2B2
?a1ba1b2a1b3?5.設(shè)A??1?a2b1aa?0,b?2b22b3?,其中ai?i?0,i?1,2,3,則矩陣A的秩為（?a3b1a3b2a3b3??A.0 B.1 C.2
D.3 6.設(shè)6階方陣A的秩為4，則A的伴隨矩陣A*的秩為（）A.0
B.2））C.3 D.4 7.設(shè)向量α=（1，-2，3）與β=（2，k，6）正交，則數(shù)k為（）A.-10 C.3
B.-4 D.10 ?x1?x2?x3?4?8.已知線性方程組?x1?ax2?x3?3無解，則數(shù)a=()?2x?2ax?42?1A.?C.1 2B.0 D.1 1 29.設(shè)3階方陣A的特征多項(xiàng)式為A.-18 C.6
?E?A?(??2)(??3)2,則A?()
B.-6 D.18 10.若3階實(shí)對稱矩陣A?(aij)是正定矩陣，則A的3個特征值可能為（）A.-1，-2，-3 C.-1，2，3
B.-1，-2，3 D.1，2，3
二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）
請?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。
3011.設(shè)行列式D42,其第3行各元素的代數(shù)余子式之和為__________.?2253?212.設(shè)A??a??a?b?b?,B????,則AB?__________.?a?a?bb?????103???2013.設(shè)A是4×3矩陣且r(A)?2,B?0??,則r(AB)?__________.??103???14.向量組（1，2）,（2，3）（3，4）的秩為__________.15.設(shè)線性無關(guān)的向量組α1，α2，…，αr可由向量組β1，β2，…,βs線性表示，則r與s的關(guān)系為__________.?x1??x2?x3?0?16.設(shè)方程組??x1?x2?x3?0有非零解，且數(shù)??0,則??__________.?x?x??x?03?1217.設(shè)4元線性方程組Ax?b的三個解α1，α2，α3，已知?1?(1,2,3,4)T,?2??3?(3,5,7,9)T,r(A)?3.則方程組的通解是__________.18.設(shè)3階方陣A的秩為2，且A2?5A?0,則A的全部特征值為__________.??211??1?????a019.設(shè)矩陣A?0有一個特征值??2,對應(yīng)的特征向量為x?2,則數(shù)a=__________.??????413??2?????20.設(shè)實(shí)二次型f(x1,x2,x3)?xTAx,已知A的特征值為-1，1，2，則該二次型的規(guī)范形為__________.三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21.設(shè)矩陣A?(?,2?2,3?3),B求
?(?,?2,?3),其中?,?,?2,?3均為3維列向量，且A?18,B?2.A?B.?11?1??01??1?1???????22X?10?1122.解矩陣方程0??????.?1?10??43??21???????23.設(shè)向量組α1=（1，1，1，3），α2=（-1，-3，5，1），α3=（3，2，-1，p+2），α4=（3，2，-1，p+2）問p為何值時，該向量組線性相關(guān)？并在此時求出它的秩和一個極大無關(guān)組.T
T
T
T?2x1??x2?x3?1?24.設(shè)3元線性方程組??x1?x2?x3?2, ?4x?5x?5x??123?1（1）確定當(dāng)λ取何值時，方程組有惟一解、無解、有無窮多解？
（2）當(dāng)方程組有無窮多解時，求出該方程組的通解（要求用其一個特解和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示）.25.已知2階方陣A的特征值為?1（1）求B的特征值；（2）求B的行列式.26.用配方法化二次型性變換.四、證明題(本題6分)27.設(shè)A是3階反對稱矩陣，證明
22f(x1,x2,x3)?x12?2x2?2x3?4x1x2?12x2x3為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出所作的可逆線
1?1及?2??,方陣B?A2.3A?0.習(xí)題一答案
習(xí)題二答案
線性代數(shù)習(xí)題三
說明:在本卷中,A表示矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣,A表示矩陣A的伴隨矩陣,E是單位矩陣,|A|表示方陣A的行列式,r(A)表示矩A的秩.一、單項(xiàng)選擇題(本大題共10小題，每小題2分,共20分)在每小題列出的四個備選項(xiàng)中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯選、多選或未選均無分。
1.設(shè)A為3階矩陣,|A|=1,則|-2A|=()A.-8 B.-2 C.2 D.8
TT
*?1?2.設(shè)矩陣A=???1??,B=(1,1),則AB=()??1??1??1??A.0 B.(1,-1)C.? D.??1???1?1?? ????3.設(shè)A為n階對稱矩陣,B為n階反對稱矩陣,則下列矩陣中為反對稱矩陣的是()A.AB-BA B.AB+BA C.AB D.BA
12?*?-14.設(shè)矩陣A的伴隨矩陣A=??34??,則A=()
??A.?1?4?3?1?1?2?1?12?1?42?????? ? B.C.D.?????34??31?? ???34??212?222????????5.下列矩陣中不是初等矩陣的是()．．?101??001??100???????A.?010? B.?010? C.?030? ?000??100??001???????6.設(shè)A,B均為n階可逆矩陣,則必有()
?100??? D.?010?
?201???A.A+B可逆 B.AB可逆 C.A-B可逆 D.AB+BA可逆 7.設(shè)向量組α1=(1,2), α2=(0,2),β=(4,2),則()A.α1, α2,β線性無關(guān) B.β不能由α1, α2線性表示
C.β可由α1, α2線性表示,但表示法不惟一 D.β可由α1, α2線性表示,且表示法惟一 8.設(shè)A為3階實(shí)對稱矩陣,A的全部特征值為0,1,1,則齊次線性方程組(E-A)x=0的基礎(chǔ)解系所含解向量的個數(shù)為()A.0 B.1 C.2
D.3 ?2x1?x2?x3?0?9.設(shè)齊次線性方程組?x1?x2?x3?0有非零解,則?為()??x?x?x?023?1A.-1 B.0 C.1 D.2 10.設(shè)二次型f(x)=xAx正定,則下列結(jié)論中正確的是()A.對任意n維列向量x,xAx都大于零 B.f的標(biāo)準(zhǔn)形的系數(shù)都大于或等于零 C.A的特征值都大于零 D.A的所有子式都大于零
二、填空題(本大題共10小題，每小題2分，共20分)請?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。11.行列式
TT0112的值為_________.?12?12.已知A=??23??,則|A|中第一行第二列元素的代數(shù)余子式為_________.???11??1?3?
3???13.設(shè)矩陣A=?,P=,則AP=_________.?01???24?????14.設(shè)A,B都是3階矩陣,且|A|=2,B=-2E,則|AB|=_________.15.已知向量組α1,=(1,2,3),α2=(3,-1,2), α3=(2,3,k)線性相關(guān),則數(shù)k=_________.16.已知Ax=b為4元線性方程組,r(A)=3, α1, α2, α3為該方程組的3個解,且
-1?1??3?????2???5??1???,?1??3???,則該線性方程組的通解是_________.37?????4??9??????1??1?????17.已知P是3階正交矩,向量???3?,???0?,則內(nèi)積(P?,P?)?_________.?2??2?????18.設(shè)2是矩陣A的一個特征值,則矩陣3A必有一個特征值為_________.?12?19.與矩陣A=??03??相似的對角矩陣為_________.???1?2?T
?20.設(shè)矩陣A=?,若二次型f=xAx正定,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_________.??2k???
三、計(jì)算題(本大題共6小題，每小題9分，共54分)012021.求行列式D=101221010210的值.?0?10???1?20?????22.設(shè)矩陣A=?100?,B??2?10?,求滿足矩陣方程XA-B=2E的矩陣X.?001??000??????1??1??2???2?????????23.若向量組?1??1?,?2???1?,?3??6?,?4??0?的秩為2,求k的值.?1??3???k???2k?????????23??2?2?????24.設(shè)矩陣A??1?10?,b??1?.??121??0?????(1)求A;(2)求解線性方程組Ax=b,并將b用A的列向量組線性表出.25.已知3階矩陣A的特征值為-1,1,2,設(shè)B=A+2A-E,求(1)矩陣A的行列式及A的秩.(2)矩陣B的特征值及與B相似的對角矩陣.2-
1?x1?2y1?2y2?y3?26.求二次型f(x1,x2,x3)=-4 x1x2+ 2x1x3+2x2x3經(jīng)可逆線性變換?x2?2y1?2y2?y3所得的標(biāo)準(zhǔn)形.?x?2y3?
3四、證明題(本題6分)27.設(shè)n階矩陣A滿足A=E,證明A的特征值只能是?1.2線性代數(shù)習(xí)題三答案
第三篇：2004-2005線性代數(shù)試題A卷解答
04-05學(xué)年 四．解答下列各題（本大題滿分18分）1．
解100A?220?10,345?A11A*??A12???A13A21A22A23A31??1000?A32????1050?,???A33??42????2??0?0?.?1?5???A?1?0?1??111??A*??2A?12??55??
2．解?4??0A2??0??0?000??400??4E,?040?004??A?1?A.4B?A?1?E?A?A2??A?1?A?3E??1?31?3?1?E?3A?E?A??443??3?
333??133?.?313?331?? 五．（本題滿分12分）
解因?yàn)?1?2B???4??111??1?014????36??0??2?4?4??1??0?11?1?1?1??1?3?1?3?3??2??,000?0??000?0??022同解方程組為所以通解為
??x1??2x3?2x4?3,?x2?3x3?3x4?2,??2???2???3???k3?????k3?x1?2?????2???(k1,k2?R).?1??0??0????1???0??0??
六．（本題滿分12分）
解(1)?I?A???1?2?4?(??5)(??1)?0,??3?1?5,?2??1.對于?1?5,解(5I?A)x?0.?4?4??1?1?(5I?A)?????00?.22??????1?(1,1)T,所以A的屬于?1?5的全部特征向量為C1?1(C1?0).對于?2??1,解(?I?A)?0.??2?4??12?(?I?A)????.????2?4??00??2?(?2,1)T,所以A的屬于?2??1的全部特征向量為C2?2(C2?0).(2)因?1,?2分別屬于5和?1的特征向量,故線性無關(guān).于是,令?1?2?P?(?1,?2)???,11???50?P?1AP??.??0?1?則P可逆,且
七．解答下列各題（本大題滿分12分）1．
5??115??115??11???解?133??02?2???01?1??????0?1t??0?1t??00t?1???????當(dāng)t?1時,向量組線性無關(guān);當(dāng)t?1時,向量組線性無關(guān).2．
解因?1,?2,?3,?4線性相關(guān),故存在一組不全為零的數(shù)k1,k2,k3,k4,使得k1?1?k2?2?k3?3?k4?4?0.顯然,k1?0,否則k2,k3,k4不全為零,使k2?2?k3?3?k4?4?0,得?2,?3,?4線性相關(guān),與已知矛盾.同理,k2?0,k3?0,k4?0.
第四篇：線性代數(shù)題庫解答
知識能力層次
一、填空（每題2分）
１．設(shè)方程組有非零解，則
。
2．線性方程組有非零解，則 。
3．方程組有無窮多解，則
。
4．非齊次線性方程組（為矩陣）有惟一解的的充分必要條件是
____________。
5．設(shè)是階方陣,是齊次線性方程組的兩個不同的解向量,
則
。
6．設(shè)為三階方陣，秩，是線性方程組的解，已知
，則線性方程組的通解為
。
7．三元線性方程組的系數(shù)矩陣的秩，已知該方程組的兩個解分別
為
，，則的全部解可表為
。
8．設(shè)，欲使線性齊次方程組的基礎(chǔ)解系有兩個解向量，
則=
。
9．當(dāng)
時，線性方程組無解。
10．方程組=的基礎(chǔ)解系所含向量個數(shù)是___
_1______。
11．若5元線性方程組的基礎(chǔ)解系中含有2個線性無關(guān)的解向量，
則
3
。
12．設(shè)線性方程組有解，則應(yīng)滿足條件。
13．設(shè)齊次線性方程組為，則它的基礎(chǔ)解系中所包含的向量個數(shù)為
n-1 。
14．設(shè)是非齊次線性方程組的解向量，則是方程組 的
解向量．
15．設(shè)為非齊次線性方程組的一組解，如果也是該方程組的一個解，則 ?。薄 ?。
16．設(shè)矩陣，則齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系為。
17．若方程組有惟一解，則所滿足的條件是。
18．設(shè)n元齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系中線性無關(guān)的解向量個數(shù)是n，則為
零矩陣
。
19．設(shè)是階矩陣，如果，則任何 n個線性無關(guān)的n維向量 都是
的基礎(chǔ)解系。
20．設(shè)n階矩陣的各行元素之和均為零，且的秩為n-1，則線性方程組的通解為
。
二、單項(xiàng)選擇填空題（每題2分）
1．線性方程組
（
A
）
A.
無解
B.
只有0解
C.
有惟一解
D.
有無窮多解
2．設(shè)方程組，
當(dāng)=（
B
）時，方程組有非零解。
A.0
B.
±1
C.
2
D.
任意實(shí)數(shù)
3．已知非齊次線性方程組的系數(shù)行列式為0，則
（
D
）
A．方程組有無窮多解
B.
方程組無解
C.
方程組有惟一解或無窮多解
D.
方程組可能無解，也可能有無窮多解
4.
若齊次線性方程組有非零解，則的值為（
C ?。?/p>
A．
B．
C．
D．
5．當(dāng)（
C
）時，僅有零解。
A．
B．
C．
D．
6．設(shè)為矩陣，只有零解的充要條件是 ?。?/p>
D
）
A．的行向量組線性無關(guān)
B．的行向量組線性相關(guān)
C．的列向量組線性相關(guān)
D．的列向量組線性無關(guān)
7．設(shè)A為m×n矩陣，且非齊次線性方程組有惟一解，則必有（ C ?。?/p>
A．m=n B．r
(A)=
m C．r
(A)=n
D．r
(A)<
n
8．若方程組存在基礎(chǔ)解系，則λ等于 （ ?。摹 。?/p>
A．2 B．3 C．4
D．5
9.
設(shè)矩陣，，則非齊次線性方程組有無窮多解的充分必要條件是
（
B
）
A．
B．
C．
D．
10．若，則元線性方程組 ?。?/p>
D
）
A．有無窮多解
B．有唯一解
C．無解
D．不一定
11.
設(shè)齊次線性方程組是非齊次線性方程組的導(dǎo)出組，，是
的解，則下列正確的是
（
A
）
A．是的解
B．是的解
C．是的解
D．是的解
12．設(shè)為矩陣，只有零解的充要條件是 ?。?/p>
D
）
A．的行向量組線性無關(guān)
B．的行向量組線性相關(guān)
C．的列向量組線性相關(guān)
D．的列向量組線性無關(guān)
13．設(shè)齊次線性方程組是非齊次線性方程組的導(dǎo)出組，
，是的解，則下列正確的是 （
A
）
A．是的解
B．是的解
C．是的解
D．是的解
14．已知非齊次線性方程組的系數(shù)行列式為0，則
(
D
)
A．方程組有無窮多解
B．
方程組無解
C．方程組有唯一解或無窮多解
D．方程組可能無解，也可能有無窮多解
15．是n元線性方程組有惟一解的 ?。ā 。谩 。?/p>
A．充分必要條件
B．充分條件
C．必要條件
D．無關(guān)條件
16．已知線性方程組無解，則 （ ?。痢 。?/p>
A.
B.
C.
D.
17．為矩陣，是非齊次線性方程組的導(dǎo)出組，則下列結(jié)論正確
的是 ?。?/p>
A
）
A．有無窮多解，則有非零解
B．有無窮多解，則僅有零解
C．僅有零解，則有唯一解
D．有非零解，則有無窮多解
18．設(shè)為矩陣，有解，則 ?。ā 。隆 。?/p>
A．當(dāng)有惟一解時，
B．當(dāng)有惟一解時，
C．當(dāng)有無窮解時,只有零解
D.當(dāng)有無窮解時，
19．線性方程組
有解的充分必要條件是 ?。ā 。痢 。?/p>
A.
B.
C.
D.
20．齊次線性方程組，（
Ｃ
）是它的一個基礎(chǔ)解系。
A.
B.
C.
D.
三、判斷題（每題2分）
1．若是的解，則也是它的解。
（
是
）
2．若是齊次線性方程組的解向量的一個極大無關(guān)組，則
是方程組的一個基礎(chǔ)解系。
（
是
）
3．若齊次線性方程組有非零解，則線性方程組就一定有解。（
否
）
4．若有無窮多組解，則有非零解。
（
是
）
5．n線性非齊次方程組只要其系數(shù)矩陣的A秩,就一定有無窮多組解。
（
否
）
6．齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系不是惟一的。
7．是方程組的一個基礎(chǔ)解系。（
是
）
8．方程組的每個基礎(chǔ)解系中只含有一個解向量。
（
是
）
9．線性方程組在時，是有解的。
（
是
）
10．任何齊次線性方程組都有基礎(chǔ)解系。
（
否
）
11．是方程組的一般解。
（
是
）
12．方程組的一般解可表示為。
（
否
）
13．時，方程組有解。
（
否
）
14．與基礎(chǔ)解系等價的線性無關(guān)的向量組也是基礎(chǔ)解系。
（
是
）
15．若是一個線性方程組的解，那么
（其中）也是它的一個解。
（
是
）
16．方程組有非零解。
（
否
）
17．方程組與方程組是同解的方程組。
（
是
）
18．用初等變換解，可以對實(shí)行列等行變換。
（
否
）
19．若是的解，是的解，則是的解。
（
否
）
20．給定方程組，當(dāng)時，方程組有解。
（
否
）
理解能力層次
一、填空（每題2分）
1．已知方程組有無窮多解，則
-1
或3
。
2．設(shè)是的解向量，是其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系，則必線性 無關(guān) 。
3.
設(shè)四階方陣且，則方程組的
一個解向量為
。
4.
設(shè)方程組有解，則其增廣矩陣的行列式=
0
。
5．設(shè)，且方程組的解空間的維數(shù)為2，則 1 。
6．設(shè)為n階方陣，方程組有非零解，則必有一個特征值等于
０
。
7．設(shè)，B是三階矩陣，且，若，則
4
。
8．設(shè)為矩陣，，為是矩陣，的列向量是的解，則的最大數(shù)為 3 。
9．若齊次線性方程組中的系數(shù)矩陣的秩，且的代數(shù)余子式，則該方程組的通解可以表示為。
10．已知四元非齊次線性方程組，是它的三個解向量，且
，則齊次線性方程組的通解為
_____________。
11．齊次線性方程組有非零解，則應(yīng)滿足條件。
12．已知四元線性方程組的三個解為，且
，，則方程組的通解是
。
13．已知線性方程組的兩個解為
則該方程組的全部解為
。
14．設(shè)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系中含有三個解向量，其中矩陣，則
2
。
15．設(shè)四元非齊次線性方程組系數(shù)矩陣的秩為3，且，
，其中是它的的三個解向量，則方程組的通解為
。
16．設(shè)，，則齊次線性方程組的解空間的一組基為
。
17．已知是非齊次線性方程組線性無關(guān)的解，矩陣，且，若是方程組的通解，則常數(shù)須滿足關(guān)系式
。
18．設(shè)是實(shí)正交矩陣，且，則線性方程組的解是
。
19．設(shè)矩陣，其中
則線性方程組的基礎(chǔ)解系含有解向量的個數(shù)是
n-1
。
20．設(shè)為階方陣，若齊次線性方程組只有零解，則的解是
只有零解
。
21．設(shè)任意一個維向量都是方程組的解，則
0
。
22．設(shè)非齊次線性方程組有兩個解，，則該方程組的通解為
。
23．已知齊次線性方程組有無窮多解，則
-5或-6
。24．若線性方程組
無解，則常數(shù)應(yīng)滿足的條件是 .
25．3元非齊次線性方程組有3個解為，，，則系數(shù)矩陣=
。
26．若向量，都是線性方程組的解，則系數(shù)矩陣
=
。
27．方程組有解的充分必要條件為
。
28．設(shè)元非齊次線性方程組有解，其中為階矩陣，則
0
。
29.
已知為階方陣，是的列向量組，行列式，其伴隨矩陣，則齊次線性方程組的通解為
是的極大線性無關(guān)組
。
30.
設(shè)，，，
其中，則線性方程組的解是。
二、單項(xiàng)選擇填空題（每題2分）
1．齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是
（
C
）
A．的任意兩個列向量線性相關(guān)
B．的任意兩個列向量線性無關(guān)
C．中必有一列向量是其余列向量的線性組合
D．中任一列向量是其余列向量的線性組合
2．設(shè)矩陣，且，則線性方程組
（
D
）
A．可能無解；
B．一定無解；
C．可能有解；
D．一定有解
3．當(dāng)
=（ ?。痢 。r，方程組無解
A.
2
B.
3
C.
4
D.
5
4．為矩陣，秩(A)
=，下列結(jié)論正確的是 ?。ā 。隆 。?/p>
A．齊次線性方程組僅有零解
B．非齊次線性方程組有無窮多解
C．中任一個階子式均不等于零
D．中任意個列向量必線性無關(guān)。
5．是個m方程n個未知量的齊次線性方程組有非零解的 ?。ā 。隆 。?/p>
A．充分必要條件
B．充分條件
C．必要條件
D．無關(guān)條件
6．設(shè)為矩陣，則齊次線性方程組有結(jié)論 ?。ā 。谩 。?/p>
A．時，方程組僅有零解
B．時，方程組有非零解，且基礎(chǔ)解系含個線性無關(guān)的解向量
C．若有n階子式不為零，則方程組僅有零解
D．若中所有n
-
1階子式不為零，則方程組僅有零解
7．n元線性方程組有惟一解的充分必要條件是 （ ?。摹 。?/p>
A．導(dǎo)出組僅有零解
B．為方陣，且時，
C.
D．的列向量線性無關(guān)，且可由的列向量線性表示
8．設(shè)為矩陣，，則方程組
(
A
)
A.
當(dāng)時，有解
B.
當(dāng)時，有惟一解
C.
當(dāng)時，有惟一解
D.
當(dāng)時，有無窮多個解
9．設(shè)為矩陣，且，若的行向量組線性無關(guān)，則
（
A
）
A、方程組有無窮多解
B、方程組有唯一解
C、方程組無解
D、方程組僅有零解
10.
設(shè)矩陣，且，則線性方程組
（
D
）
A．可能無解；
B．一定無解；
C．可能有解；
D．一定有解
11．若線性方程組有惟一解，則的值為 ?。?/p>
D
）
A．
B．
C．
D．異于與的數(shù)
12.設(shè)是四元非齊次線性方程組的三個解向量，且，，(C為任常數(shù))，則線性方程組的通
解是
(
C
)
A.
B.
C.
D.
13．設(shè)矩陣，齊次線性方程組的系數(shù)行列式，而中的元素的代數(shù)余子式，則這個方程組的每個基礎(chǔ)解系中解向量的個數(shù)都是
（
A
）
A．
B．
C．
D．
14.設(shè)向量組中是齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系，則向量組
(
D
)
也是的一個基礎(chǔ)解系
A.
B.
C.
D.
15．設(shè)為矩陣，
，是非齊次方程組的三個不同的解，則正確的結(jié)論是
(
D
)
A.
線性相關(guān)
B.
是的基礎(chǔ)解系
C.
的任何線性組合是的解
D.
當(dāng)線性無關(guān)時，則是的通解,,其中是滿足的任何數(shù)
16．要使都是線性方程組的解，只要系數(shù)矩陣A為
(
B
)
A.
B.
C.
D.
17．設(shè)為矩陣，若有解，是其兩個特解，的基礎(chǔ)解系是，則
(
B
)
A.
的通解是
B.
的通解是
C.
的通解是
D.
的通解是
上述四項(xiàng)中均為任意常數(shù)
18．已知是齊次方程的基礎(chǔ)解系，那么基礎(chǔ)解系也可以是 (
B
)
A．
B．
C．
D．
19．齊次線性方程組
的系數(shù)矩陣記為，若存在三階矩陣，使得，則
(
C
)
A．
B．
C．
D．
20．已知，，，
，則齊次線性方程組
的通解為
（
Ｂ
）
A．
B．
C．
D．
三、判斷題（每題2分）
1．齊次線性方程組只有零解，則應(yīng)滿足的條件是。（
否
）
2．若非齊次線性方程組系數(shù)矩陣的秩小于n，則方程組有無窮多解。（
否
）
3．設(shè)為n階方陣，且，是的兩個不同的解向量，則的通解為?！ 。?/p>
否
）
4．設(shè)齊次線性方程組的系數(shù)行列式，而中的元素的代數(shù)余子式
，則這個方程組的每個基礎(chǔ)解系中解向量的個數(shù)都是1。
（
是
）
5．設(shè)為矩陣，若非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為，則時，
方程組有解。
（
是
）
6．設(shè)A，B都是n階非零矩陣，且，則的秩都小于n。
（
是
）
7．設(shè)A為n階奇導(dǎo)方陣，A中有一個元素的代數(shù)余子式，則齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系所含解向量的個數(shù)為n
?！ 。?/p>
否
）
8．設(shè)為矩陣，只有零解的充要條件是的行向量組線性無關(guān)。
（
否
）
9．設(shè)為矩陣，只有零解的充要條件是的列向量組線性無關(guān)。
（
是
）
10．設(shè)為階方陣，，且是的三個線性無關(guān)的解向量，則是的一個基礎(chǔ)解系。 ?。?/p>
是
）
11．設(shè)為線性無關(guān)的n維列向量，，則非齊次線性方程組有惟一解?！ 。?/p>
是
）
12．設(shè)是的基礎(chǔ)解系，則為的通解。
（
否
）
13．已知為非齊次線性方程組的兩個不同的解，為對應(yīng)的齊次方程組的基礎(chǔ)解系，則（其中）是
的通解?！ 。?/p>
是
）
14．設(shè)4階方陣的秩是3，且每行元素的和為零，則方程組的基礎(chǔ)解系為
?！ 。?/p>
是
）
15．設(shè)為的基礎(chǔ)解系，為一n維列向量，若，則可由線性表示。 ?。?/p>
是
）
16．給定方程組，則對任意的，方程組均有解，且有無窮多解?！ 。?/p>
是
）
17．設(shè)為矩陣，為維列向量，則當(dāng)方程組有解時，加入一個方程
后方程組也有解。 ?。?/p>
否
）
18．設(shè)為矩陣，為維列向量，則當(dāng)方程組無解時，加入一個方程
后方程組也無解?！ 。?/p>
是
）
19．設(shè)線性方程組，當(dāng)時，方程組僅有零解。
（
否
）
20．設(shè)為矩陣，非齊次線性方程組系數(shù)矩陣的秩，則方程組有解。 ?。?/p>
是
）
簡單應(yīng)用能力層次
一、計(jì)算題（每題5分）
1．求線性方程組
的一般解．
解：
因?yàn)橄禂?shù)矩陣
……3分
所以一般解為：，
其中，是自由未知量。
…….……5分
2．求線性方程組的一般解。
解：因?yàn)樵鰪V矩陣
…………3分
所以一般解為：
（其中是自由未知量）。
…………5分
3．當(dāng)取何值時，線性方程組有非零解？并求一般解．
解：
因?yàn)樵鰪V矩陣
………3分
所以當(dāng)=
-2時，線性方程組有無窮多解，且一般解為：
是自由未知量)
…………5
4．當(dāng)取何值時，線性方程組
有解？并求一般解．
解：因?yàn)樵鰪V矩陣
……3分
當(dāng)=3時，線性方程組有無窮多解，且一般解為：
是自由未知量)。
…………5分
5．求線性方程組的一般解。
解：
因?yàn)橄禂?shù)矩陣
……3分
所以一般解為
（其中，是自由未知量）。
.......................……5分
6．設(shè)齊次線性方程組
問取何值時方程組有非零解，并求一般解.
解：因?yàn)橄禂?shù)矩陣
A
=
……3分
所以當(dāng)l
=
5時，方程組有非零解.
且一般解為：
（其中是自由未知量）。
.......................……5分
7．設(shè)線性方程組
，求其系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩，并判斷其解的情況.
解
因?yàn)?/p>
.......................……3分
所以
r(A)
=
2，r()
=
3.
又因?yàn)閞(A)
<
r()，所以方程組無解。
.......................……5分
8．求下列線性方程組的一般解。
解：因?yàn)樵鰪V矩陣
.......................……3分
所以一般解為：
（其中是自由未知量）
.......................……5分
9．設(shè)線性方程組討論當(dāng)a，b為何值時，方程組無解，有惟一解，有無窮多解。
.......................……3分
所以當(dāng)且時，方程組無解；
當(dāng)時，方程組有唯一解；
當(dāng)且時，方程組有無窮多解。.
......................……5分
10．當(dāng)取何值時，線性方程組
有解？并求一般解.
解：因?yàn)樵鰪V矩陣
................…3分
所以當(dāng)=0時，線性方程組有無窮多解，且一般解為：
是自由未知量〕。
......................……5分
11．已知線性方程組的增廣矩陣經(jīng)初等行變換化為
問取何值時，方程組有解？當(dāng)方程組有解時，求方程組的一般解。
解：當(dāng)=3時，，方程組有解.
當(dāng)=3時，..............…3分
一般解為，
其中,
為自由未知量。
.....................……5分
12．當(dāng)為何值時，方程組有解，并求其通解。
解：
..............…3分
當(dāng)，同解方程組為令，
令
....................……5分
13.
設(shè)線性方程組為，問：、取何值時，方程組無解、
有惟一解、有無窮多解？
在有無窮多解時求出其通解。
解：
..............…2分
當(dāng)時，方程組有惟一解
當(dāng)，時，方程組無解
當(dāng)，時，=＝2<3，方程組有無窮多組解,
其通解為，為任意常數(shù)。
....................……5分
14.線性方程組為
，問,各取何值時，線性方程組無解，有唯一解，有無窮多解？在有無窮多解時求出其通解。
解：
..............…3分
當(dāng)2時，方程組有唯一解
當(dāng)2，1時，方程組無解
當(dāng)2，1時，＝2<3，方程組有無窮多組解,其通解為
(為任意常數(shù))。
....................……5分
15．已知是齊次線性方程組的一個解，試求方程組的一個包含的基礎(chǔ)解系。
解：，，..............…2分
令，得方程組的兩個解為：，，
從而所求基礎(chǔ)解系即為和。
..............…5分
16．求解線性方程組。
解
：將增廣矩陣化成階梯形矩陣，即
， ..............…3分
因?yàn)?/p>
，r(`A)
=
r(A)
=
3，所以，方程組有解．
一般解為:
(x4是自由未知量)。
..............…5分
17．設(shè)線性方程組
試問c為何值時，方程組有解？若方程組有解時，求一般解。
解：因?yàn)?/p>
..............…2分
所以當(dāng)c
=
0時，方程組有解．且
..............…3分
所以，原方程組的一般解為：
（x3是自由未知量）。
..............…5分
18．試討論a取什么值時，線性方程組有解，并求出解。
解：
..............…3分
當(dāng)時，方程組有解，解為
..............…5分
19．試討論a取什么值時，線性方程組有解，并求出解。
..............…3分
當(dāng)時，方程組有解，解為
..............…5分
20．設(shè)為４階矩陣，且，試問的基礎(chǔ)解系所含解向量的個數(shù)。
解：，，又因?yàn)椋措A矩陣，故中至少有一個３階子式不為０，則中至少有一個非零元素，則，
..............…2分
又，所以，
..............…4分
從而有，故的基礎(chǔ)解系所含解向量的個數(shù)為4-1=3個。..............…5分
二、證明題（每題5分）
1.
設(shè)是的一個基礎(chǔ)解系，證明：也是
的一個基礎(chǔ)解系。
證明：是的一個基礎(chǔ)解系，都是的解，且線性無關(guān)，從而都是的解，…………….2分
設(shè)
即
由線性無關(guān)，得，，
僅有零解，
從而線性無關(guān)，
也是的一個基礎(chǔ)解系?！?5分
2．證明方程組有解的充要條件是。
證明：……3分
方程組有解，即，即…………5分
3．設(shè)n階矩陣可逆，
證明：線性方程組
無解。
證明：線性方程組的系數(shù)矩陣為，因?yàn)榫仃?，所以?/p>
…………….2分
又因?yàn)樵摲匠探M的增廣矩陣為，而是可逆的，，
…………….4分
從而系數(shù)矩陣的秩<增廣矩陣的秩，所以非齊次線性方程組無解?！?5分
4．設(shè)實(shí)數(shù)域上的線性方程組，證明：
（1）如果，則方程組有惟一解；
（2）如果則方程組無解；
（3）如果則方程組有無窮多解。
證明：（1）令，，
因?yàn)椋?，從而方程組有惟一解，由克萊姆法則得其解為：
；
（2），從而方程組無解；
（3），從而方程組有無窮多解?！?5分
5．
證明：含有n個未知量n+1個方程的線性方程組
若有解，則行列式
證明：易知方程組的系數(shù)矩陣為矩陣，所以，又因?yàn)樵摲驱R次線性方程組有解，所以必須滿足關(guān)系式：增廣矩陣的秩，而增廣矩陣為階方陣，且，。
………….5分
6．設(shè)是矩陣，是矩陣，證明線性方程組，當(dāng)時，必有非零解。
證明：是矩陣，是矩陣，且
，，
，由，得，
而是，所以當(dāng)時，必有非零解。
……………….5分
7．已知行列式，證明方程組無解。
證明：由題設(shè)知方程組的增廣矩陣的秩，
……………….2分
而系數(shù)矩陣是矩陣，，
……………….4分
故，方程組無解。
……………….5分
8．設(shè)是階矩陣，若存在正整數(shù)，使線性方程組有解向量，
且，證明：向量組是線性無關(guān)的。
證明：設(shè)有常數(shù)，使得，
上式左乘，，得，………….3分
以此類推，分別左第乘，得，
故向量組線性無關(guān)。
……………….5分
9．設(shè)是矩陣，，且有惟一解，證明：為可逆矩陣，且的解為。
證明：有惟一解，僅有零解，故，
即為可逆矩陣，
……………….3分
于是由，得，所以。
……………….5分
10．設(shè)是矩陣，且,若滿足,證明:。
證明：設(shè)，其中為維列向量，，
，故線性無關(guān)，
由于，即=，
……………….3分
所以，由于線性無關(guān)，
故，所以。
……………….5分
綜合應(yīng)用能力層次
一、計(jì)算題（每題8分）
1.設(shè)線性方程組，
討論當(dāng)為何值時，方程組無解？有惟一解？有無窮多解？（不必求解）
解：……5分
當(dāng)時，方程組無解；
當(dāng)時，方程組有惟一解；
當(dāng)時，方程組有無窮多解
………….……8分
2.設(shè)線性方程組，
討論當(dāng)為何值時，方程組無解？有唯一解？有無窮多解？（不必求解）
解：……5分
當(dāng)時，方程組無解；
當(dāng)時，方程組有惟一解；
當(dāng)時，方程組有無窮多解
………….……8分
3.設(shè)線性方程組，
討論當(dāng)為何值時，方程組無解？有唯一解？有無窮多解？（不必求解）
解：因?yàn)閷€性方程組的增廣矩陣施行行初等變換得：
所以，當(dāng)時，，方程組有唯一解?！?.5分
而當(dāng)時，由上面的結(jié)果可知：
所以，當(dāng)且時，，方程組無解；
當(dāng)且時，，方程組有無窮多解?！?8分
4.
設(shè)線性方程組，
討論當(dāng)為何值時，方程組無解？有唯一解？有無窮多解？（不必求解）
解：對線性方程組的增廣矩陣施行行初等變換得：
，
…………………
5分
當(dāng)時，因?yàn)椋苑匠探M有唯一解；
當(dāng)且時，因?yàn)?，所以方程組無解；
當(dāng)且時，因?yàn)?，所以方程組有無窮多解?！?8分
5.
當(dāng)，為何值時，線性方程組
有唯一解、無解、有無窮多解？（不必求出解）
解：對方程組系數(shù)的增廣矩陣施行初等行變換：
…….5分
由階梯形矩陣可見：
(1)當(dāng)時，，故此時方程組有唯一解;
(2)當(dāng)且時，，，故此時方程組無解;
(3)當(dāng)且時，，故此時方程組有無窮多解.…….8分
6當(dāng)為何值時，線性方程組
有唯一解、無解、有無窮多解？在有解時，求出方程的通解。
解：
設(shè)方程組的增廣矩陣為,對進(jìn)行初等變換
=
…….…….4分
當(dāng)a=－3時，
方程組無解。
當(dāng)a－3且a2時，
方程組有唯一解。最后得到的梯形矩陣對應(yīng)的梯形方程組為
，
則方程組的解為。
…….…….6分
當(dāng)a=2時，
方程組有無窮多個解。此時梯形矩陣對應(yīng)的梯形方程組為
則方程組的解為 （c為任意常數(shù)）?！ ?…….8分
7.
求線性方程組的全部解(用其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示).解：
….……5分
全部解為：…8分
8.
的全部解（用其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示）。
解：5分
全部解為：
………8分
9．求線性方程組的全部解（用其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示）。
解：對線性方程組的增廣矩陣進(jìn)行行初等變換得：
，
…………………………5分
令自由未知量，，得方程組的一個特解：，
令分別取：，，得到導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為：
；
所以，方程組的全部解為：
（其中、為任意常數(shù)）。……8分
10.
求線性方程組的全部解（用其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示）。
解：對線性方程組的增廣矩陣施行行初等變換得：
，…………..5分
令自由未知量，，，得到一個特解
，
再取分別為，得到導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系：
，
所以方程組的全部解為
，（為任意常數(shù)）….8分
11.
用基礎(chǔ)解系表示線性方程組的全部解。
解：設(shè)方程組的系數(shù)矩陣為，對其增廣矩陣作初等變換，得：
………………..
5分
原方程組同解于，取得方程組一個特解。
導(dǎo)出組的系數(shù)矩陣可化為，
導(dǎo)出組與方程組同解，
取，得基礎(chǔ)解系：。
故原方程組的全部解為:，（為任意系數(shù)）……..8分12．已知方程組(Ⅰ)
的解都是方程組
(Ⅱ)
的解，試確定。
解：=，
于是得方程組(Ⅰ)的全部解：
，…………..3分
將代入(Ⅱ)的導(dǎo)出組得，
將代入(Ⅱ)得，
解此四式得。
…………..8分
13．已知非齊次線性方程組
有3個線性無關(guān)的解，
(1)證明此方程組的系數(shù)矩陣的秩為2.
(2)求的值和方程組的通解.
解:(1)
設(shè)a1,a2,a3是方程組的3個線性無關(guān)的解,則a2-a1,a3-a1是的兩個線性無關(guān)的解.于是的基礎(chǔ)解系中解的個數(shù)不少于2,即,從而,
又因?yàn)榈男邢蛄渴莾蓛删€性無關(guān)的,所以,
兩個不等式說明.
(2)對方程組的增廣矩陣作初等行變換:
…………..3分
由,得出,代入后繼續(xù)作初等行變換:
…………..5分
得同解方程組,
得到方程組的通解:
(2,-3,0,0)T+c1(-2,1,1,0)T+c2(4,-5,0,1)T,
c1,c2為任常數(shù).
…………..8分
14．設(shè),.討論為何值時,方程組無解、有唯一解、有無窮多解?
并在有無窮多解時，求出其通解.
解：經(jīng)計(jì)算
因此方程組有唯一解
…..……..2分
時，對增廣矩陣作行變換化為階梯形:
因
，即時無解。
…..……..5分
時，同樣對增廣矩陣作行變換化為階梯形:
因，所以時有無窮多解。等價方程組為:
得通解為：，（為任意系數(shù)）
…..……..8分
15．已知線性方程組
，試討論：
(1)取何值時，方程組無解；
(2)取何值時,方程有唯一解，并求出其解；
(3)取何值時,方程有無窮多解，并求出其通解。
解：
(1)時，
，無解；
…..……..2分
(2)時，，唯一解
.……..5分
(3)時，，無窮多解,
通解。
…..……..8分
16．已知4階方陣均為4維列向量，其中線性無關(guān),如果,求方程組的通解。
解：令，則由
得，
將代入上式，整理后得，
由線性無關(guān)，知，
…..……..5分
解此方程組得，其中k為任意常數(shù)。
…..……..8分17．已知線性方程組解：，討論取何值時，方程無解；有惟一解；有無窮多解（不必求解）。
解：
…..……..4分
由于方程有解0，1，
故得時有惟一解；
時有無窮多解；
時無解。
…..……..8分
18．設(shè)線性方程組為：，試討論下列問題：
（1）當(dāng)取什么值時，線性方程組有唯一解？
（2）當(dāng)取什么值時，線性方程組無解？
（3）當(dāng)取什么值時，線性方程組有無窮多解？并在有無窮多解時求其解．（要求用導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系及它的特解形式表示其通解）。
解
：線性方程組的系數(shù)行列式為
…..……..2
（1）當(dāng)，即且時，線性方程組有唯一解；
…..……..4分
（2）當(dāng)時，，線性方程組無解；….…..
6分
（3）當(dāng)時
線性方程組有無窮多解，且其通解為。
…..……..8分
19．設(shè)線性方程組，已知是該方程組的一個解，求方程組的全部解。
解：將代入方程組中得，
…..……..2分
…..……..4分
當(dāng)時，方程組有無窮多解，此時
，
方程組的全部解為：（c為任常數(shù)），
…..……..6分
當(dāng)時，，于是，故方程組有無窮多解，
全部解為：。
…..……..8分
20．求一齊次線性方程組，使，構(gòu)成它的一個基礎(chǔ)解系。
解：顯然，所求的方程組是一個5元線性方程組，且，
另一方面，由，得，其中，因此的每一列亦即的每一行，都是方程組的解，且該方程組的一個基礎(chǔ)解系所含解向量的個數(shù)為，故只要求方程組的一個基礎(chǔ)解系，則以為系數(shù)矩陣的方程組即滿足要求，為此對矩陣施行初等行變換，得
，
…..…….
4分
由此得方程組的一個基礎(chǔ)解系：，
…..…….
6分
故所求的線性方程組為，即。
…..…….
8分
二、證明題（每題8分）
1．已知三階矩陣且的每一個列向量都是方程組的解，
求
(1)的值；(2)證明。
(1)解：由得中至少有一非零列向量，
的每一個列向量都是方程組的解，所給齊次方程組有非零解，則它的行列式
，。
………………..
4分
(2)證明：（反證法）若設(shè)，則可逆，因此由題意
與矛盾，所以。
………………..
8分
2．已知方程組，若互不相等，證明方程組無解。
證明：由于增廣矩陣的行列式是范德蒙行列式，且互不相等，
故，
……....…4分
則,而系數(shù)矩陣為矩陣,，，方程組無解…8分
3．設(shè)有兩個n元齊次線性方程組，。證明：
（1）若的解都是的解，則；
（2）若與同解，則。
證明：（1）由條件知的解空間是的解空間的子空間，因此的解空間的維數(shù)不大于的解空間的維數(shù)，即，于是；
…………….4分
（2）由條件知的解空間與的解空間是同一空間，因而該空間的維數(shù)為
，由此即得。
…………….8分
4．已知非齊次線性方程組
有3個線性無關(guān)的解，
（1）證明方程組系數(shù)矩陣的秩；
（2）求的值及方程組的通解。
解：（1）設(shè)是非齊次方程組三個線性無關(guān)的解，
令，則是其導(dǎo)出組的兩個解
設(shè)即
因線性無關(guān)，所以必有，
即由此得線性無關(guān)，
因?yàn)閷?dǎo)出組至少有兩個線性無關(guān)的解，所以其基礎(chǔ)解系至少包含兩個解，故，由此得；
另一方面，導(dǎo)出組的系數(shù)矩陣
存在2階不等于零的子式，
所以，，綜上所述，即得。
…………….4分
（2）因非齊次方程組有解，故其增廣矩陣與系數(shù)矩陣的秩相等，
由（1）得,故增廣矩陣
的秩也為2，
用初等行變換把上述矩陣化為階梯形
由此得?????，即
利用上述階梯形矩陣，可得同解方程組
即
由此得通解為
：，其中為自由未知數(shù)。
…………….8分
5．設(shè)方程組(1)
及方程組(2)，
其中，證明：方程組(1)有惟一解的充要條件是方程組(2)有惟一解。
證明：記方程組(1)和方程組(2)的系數(shù)矩陣分別為，并令，
則有，即有，于是，若方程組(1)有惟一解，則，即，從而，所以方程組(2)有惟一解?！ ?４分
反之若方程組(2)有惟一解，則，即可逆，所以，若，則，從而由的定義知，因此，矛盾，故，所以方程組(1)有惟一解。
…………….8分
發(fā)展應(yīng)用能力層次
一、計(jì)算題（每題10分）
1．設(shè)有兩個四元齊次方程組(Ⅰ);
(Ⅱ)
,
（1）線性方程組(Ⅰ)的基礎(chǔ)解系；
（2）求方程組(Ⅰ)和(Ⅱ)的非零公共解。
解：（1）．方程組(Ⅰ)的系數(shù)矩陣，
則得(Ⅰ)的基礎(chǔ)解系為：和；..............…3分
（2）．由（1）的結(jié)果，方程組(Ⅰ)的一般解為：,
若兩個方程組有公共解，將上式代入方程組(Ⅱ)中，必有，得，
所以(Ⅰ)和(Ⅱ)的非零公共解為：
。 ..............…10分
2．已知非齊次線性方程組，
；
（1）
求解方程組，用其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示通解；
（2）
同解，求的值。
解：（1）設(shè)組（I）的系數(shù)矩陣為，增廣矩陣為，對作初等行變換，得：
，
因，故（I）有無窮多解，
且通解為，為任意常數(shù)?！?5分
（2）將通解代入組（II）第一個方程，得到：
，即，
由得任意性，得。
將通解代入組（II）第二、三個方程，分別得到。
因此，。
…….…………10分
3．設(shè)非齊次線性方程組有3個解向量，，求此線性方程組的系數(shù)矩陣的秩，并求其通解。其中為常數(shù)。
解：設(shè)所給方程為，由題設(shè)可知是的3個解，因此
，是的兩個線性無關(guān)的解，故，
又中有2階子式，因此，
所以，
…………….5分
由于，所以，是的基礎(chǔ)解系，因此可得線性方程組
的通解為：
（其中為任意常數(shù)）。
…….…………10分
4．設(shè)四元線性齊次方程組，又已知某線性齊次方程組的通解為
，
（1）求線性方程組的基礎(chǔ)解系；
（2）問線性方程組，是否有非零的公共解？若有，則求出所有的非零公共解，若沒有，則加以證明。
解：（1）的系數(shù)矩陣為
通解為。
…….…………4分
（2）將的通解代入中，則有，得，當(dāng)時，則向量滿足方程組，，
故方程組，有非零的公共解，所有非零公共解是。
…….…………10分
5．
已知齊次線性方程組
其中
試討論和b滿足何種關(guān)系時，
(1)
方程組僅有零解；
(2)
方程組有非零解.
在有非零解時，求此方程組的一個基礎(chǔ)解系。
解：
方程組的系數(shù)行列式
=，
…….…………4分
（1）當(dāng)時且時，r
(A)=
n，方程組僅有零解；
…….…………6分
（2）當(dāng)b=0
時，原方程組的同解方程組為：，
由可知，不全為零.
不妨設(shè)，
得原方程組的一個基礎(chǔ)解系為
，，,
當(dāng)時，有，原方程組的系數(shù)矩陣可化為
由此得原方程組的同解方程組為:，，
.
原方程組的一個基礎(chǔ)解系為：。
…….…………10分
6．設(shè),
,
,
,
試討論當(dāng)為何值時,
(1)不能由線性表示；
(2)可由唯一地線性表示,
并求出表示式；
(3)可由線性表示,
但表示式不唯一,
并求出表示式。
解：設(shè)有數(shù)使得
(*)
記.
對矩陣施以初等行變換,
有
…….…………2分
(1)當(dāng)時,
有
.
可知,故方程組(*)無解,
不能由線性表示；
…….…………4分
(2)當(dāng),
且時,
有
,方程組(*)有唯一解：,
,
．
此時可由唯一地線性表示,
其表示式為：；……………7分
(3)當(dāng)時,
對矩陣施以初等行變換,
有
，
,方程組(*)有無窮多解,其全部解為:
,
,
，
其中為任意常數(shù)．
可由線性表示,
但表示式不唯一, 其表示式為：
。
…….…………10分
7．設(shè)有齊次線性方程組
試問取何值時，該方程組有非零解，并求出其通解
解：方程組的系數(shù)行列式為
當(dāng)，即或時，方程組有非零解
…….…………4分
當(dāng)時，
故方程組的同解方程組為：
由此得基礎(chǔ)解系為，
于是方程組的通解為：，其中為任意常數(shù)
.…7分
當(dāng)時，
故方程組的同解方程組為：
，由此得基礎(chǔ)解系為
于是方程組的通解為：，其中k為任意常數(shù)。
…….…………10分
8．已知3階矩陣的第一行是不全為零，矩陣B＝（k為常數(shù)），且，求線性方程組的通解
解：（1）如果，則,由知，因此，
所以的通解是：，其中為任常數(shù)；
…….……5分
（2）如果k
=9，則,那么，或2
若,則的通解是，其中t為任常數(shù)，
若,對，設(shè)，
則方程組的通解是，其中為任常數(shù)。
…….…………10分
9．已知線性方程組
（Ⅰ）
的一個基礎(chǔ)解系為，，，，試寫出線性方程組（Ⅱ）的通解。
解：方程組（Ⅰ），（Ⅱ）的系數(shù)矩陣分別記為，則由題設(shè)可知，于是，可見的n個行向量的轉(zhuǎn)置向量為（Ⅱ）的n個解向量，
由于的秩為n，故（Ⅱ）的解空間維數(shù)為，…….…………5分
又的秩為2n與（Ⅰ）的解空間維數(shù)之差，即為n，故的n個行向量線性無關(guān)，從而它們的轉(zhuǎn)置向量構(gòu)成（Ⅱ）的一個基礎(chǔ)解系，于是得到（Ⅱ）的通解：
，
其中為任意常數(shù)。
…….…………10分
10．求以為解向量的齊次線性方程組。
解：因?yàn)椋?/p>
所以的一個極大無關(guān)組是，
…….…………3分
作矩陣，
易得線性的基礎(chǔ)解系由決定，
取自由未知量得一基礎(chǔ)解系為，6分
于是所求方程組的系數(shù)矩陣為，
所求的齊次線性方程組為。
…….…………10分
二、證明題（每題10分）
1．已知平面上三條不同直線的方程分別為
試證這三條直線交于一點(diǎn)的充分必要條件為。
證明：必要性：
設(shè)三條直線交于一點(diǎn)，則線性方程組
有惟一解，故系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩均為2，
于是，由于
但根據(jù)題設(shè)，故；
………….5分
充分性：
由，則從必要性的證明可知，，故秩()<
3
由于
故秩(A)=2，于是，秩(A)=
秩()=2,
因此方程組（*）有惟一解，即三直線交于一點(diǎn)。
………….10分
2．設(shè)是非齊次線性方程組的一個解，是對應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，證明：線性無關(guān)。
證明：（反證法）假設(shè)線性相關(guān)，則必存在一組不全為零的數(shù)，使，
即有，
設(shè)，則，否則由上式知線性相關(guān)，因而與基礎(chǔ)解系矛盾。所以， ………….5分
于是有，從而與是非齊次線性方程組的一個解矛盾，因此所給向量組是線性無關(guān)的?！ ?10分
3．設(shè)是齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，向量滿足，證明：向量組線性無關(guān)。
證明：設(shè)數(shù)，使，
即
…………….3分
假設(shè)，則可由線性表示，
即是方程的解，與題設(shè)矛盾，
因此，，
…………….7分
然后由線性無關(guān)，得，
所以向量組線性無關(guān)。
…………….10分
4．設(shè)為實(shí)矩陣，是維實(shí)列向量，證明：
（1）秩；
（2）非齊次線性方程組有解。
證明：（１）先證與是同解方程組，
因?yàn)槿羰堑慕猓?，則，
所以的解都是的解，
當(dāng)是的解時，即，由，
可知，故的解都是的解，
因此與是同解方程組，
由此，可知它們的基礎(chǔ)解系含個解，故秩；….5分
（2）由可知
，
因此，故非齊次線性方程組有解?！?10分
5．證明：方程組（其中均為整數(shù)）只有零解。
證明：方程組的系數(shù)行列式為，
若令，則由于均為整數(shù)，得也均為整數(shù)
為整數(shù)，，所以方程組有惟一解，即只有零解?！ ?10分
第五篇：線性代數(shù)試題及答案
線性代數(shù)習(xí)題和答案
第一部分
選擇題
(共28分)
一、單項(xiàng)選擇題（本大題共14小題，每小題2分，共28分）在每小題列出的四個選項(xiàng)中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填在題后的括號內(nèi)。錯選或未選均無分。1.設(shè)行列式a11a21a12a22a13a23a11a21a11a21a12?a13a22?a23=m，=n，則行列式
等于（）
A.m+n
C.n-m
B.-(m+n)D.m-n ?100???2.設(shè)矩陣A=?020?，則A-1等于（）
???003??1??
3A.?0??0??0120?0??0?
?1???
B.??1??0???0?0120?0??0??1??3?
?1?00??3?
C.?010??
1???00?2??
?1??2D.?0??0???00??1?0 3?01????3?12???3.設(shè)矩陣A=?10?1?，A*是A????214?的伴隨矩陣，則A *中位于（1，2）的元素是（）
B.6
A.–6
C.2
D.–2
B.B?C時A=0 D.|A|?0時B=C 4.設(shè)A是方陣，如有矩陣關(guān)系式AB=AC，則必有（）
A.A =0
C.A?0時B=C
A.1 5.已知3×4矩陣A的行向量組線性無關(guān)，則秩（AT）等于（）
B.2
/ 7
C.3
D.4
和λ1β1+λ6.設(shè)兩個向量組α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均線性相關(guān)，則（）
A.有不全為0的數(shù)λ1，λ2，…，λβ2+…λsβs=0
B.有不全為0的數(shù)λ1，λ2，…，λ（αs+βs）=0
C.有不全為0的數(shù)λ1，λ2，…，λ（αs-βs）=0
D.有不全為0的數(shù)λ1，λ2，…，λ1+λ2α2+…+λsαs=0
s和不全為
s使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λss
s使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0
2使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λ
s
0的數(shù)μ1，μ2，…，μs使λ1α
和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0
B.所有r-1階子式全為0 D.所有r階子式都不為0 7.設(shè)矩陣A的秩為r，則A中（）
A.所有r-1階子式都不為0
C.至少有一個r階子式不等于0 是（）
A.η1+η2是Ax=0的一個解
C.η1-η2是Ax=0的一個解
A.秩(A) C.A=0 B.η1+η2是Ax=b的一個解 D.2η1-η2是Ax=b的一個解 B.秩(A)=n-1 D.方程組Ax=0只有零解 12128.設(shè)Ax=b是一非齊次線性方程組，η1，η2是其任意2個解，則下列結(jié)論錯誤的9.設(shè)n階方陣A不可逆，則必有（） 10.設(shè)A是一個n(≥3)階方陣，下列陳述中正確的是（） A.如存在數(shù)λ和向量α使Aα=λα，則α是A的屬于特征值λ的特征向量 B.如存在數(shù)λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，則λ是A的特征值 C.A的2個不同的特征值可以有同一個特征向量 D.如λ1，λ2，λ于λ1，λ2，λ11.設(shè)λ0是矩陣3是 A的3個互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的屬 0的線性無關(guān)的特征向量的個3的特征向量，則α1，α2，α3有可能線性相關(guān) A的特征方程的3重根，A的屬于λ B.k<3 D.k>3 數(shù)為k，則必有（） A.k≤3 C.k=3 / 7 12.設(shè)A是正交矩陣，則下列結(jié)論錯誤的是（） A.|A|2必為1 C.A-1=AT B.|A|必為1 D.A的行（列）向量組是正交單位向量組 13.設(shè)A是實(shí)對稱矩陣，C是實(shí)可逆矩陣，B=CTAC.則（） A.A與B相似 B.A與B不等價 C.A與B有相同的特征值 D.A與B合同 14.下列矩陣中是正定矩陣的為（） A.??23???34??34???26? B.? ?100??? C.?02?3????0?35??111???D.?120????102? 第二部分 非選擇題（共72分） 二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）不寫解答過程，將正確的答案寫在每小題的空格內(nèi)。錯填或不填均無分。15.111356? .92536?1?11???11?1?16.設(shè)A=?，B=??123??.則 ??1?24?A+2B= .17.設(shè)A=(aij)3×3，|A|=2，Aij表示|A|中元素aij的代數(shù)余子式（i,j=1,2,3）,則(a11A21+a12A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)2= .18.設(shè)向量（2，-3，5）與向量（-4，6，a）線性相關(guān)，則a= .19.設(shè)A是3×4矩陣，其秩為3，若η1，η2為非齊次線性方程組Ax=b的2個不同的解，則它的通解為 .20.設(shè)A是m×n矩陣，A的秩為r( .3 / 7 21.設(shè)向量α、β的長度依次為2和3，則向量α+β與α-β的內(nèi)積（α+β，α-β）= .22.設(shè)3階矩陣A的行列式|A|=8，已知A有2個特征值-1和4，則另一特征值為 .23.設(shè)矩陣?0106???A=?1?3?3?，已知α????2108??2???=??1????2?是它的一個特征向量，則α所對應(yīng)的特征值為 .24.設(shè)實(shí)二次型f(x1,x2,x3,x4,x5)的秩為4，正慣性指數(shù)為3，則其規(guī)范形為 .三、計(jì)算題（本大題共7小題，每小題6分，共42分） ?120???25.設(shè)A=?340?????121?，B=?110?5?23?1?（2）|4A|.?.求（1）ABT； ??240?26.試計(jì)算行列式3?521?123?413?1?3.?423???27.設(shè)矩陣A=?110?????123?，求矩陣B使其滿足矩陣方程AB=A+2B.??2??1??3??0?????????1?30??????1?.?，α=28.給定向量組α1=?，α，α23=4=?2??2??4??0??????????4???1??9??3?試判斷α4是否為α1，α2，α3的線性組合；若是，則求出組合系數(shù)。 ?1?2?1??24229.設(shè)矩陣A=??2?10??3332??6?6?.23??34?0求：（1）秩（A）； （2）A的列向量組的一個最大線性無關(guān)組。30.設(shè)矩陣?0?22???A=??2?34???4?3??2的全部特征值為1，1和-8.求正交矩陣T和對角矩陣D，使T-1AT=D.31.試用配方法化下列二次型為標(biāo)準(zhǔn)形 / 7 2f(x1,x2,x3)=x1?2x22?3x3?4x1x2?4x1x3?4x2x3，并寫出所用的滿秩線性變換。 四、證明題（本大題共2小題，每小題5分，共10分） 32.設(shè)方陣A滿足A3=0，試證明E-A可逆，且（E-A）-1=E+A+A2.33.設(shè)η0是非齊次線性方程組Ax=b的一個特解，ξ1，ξ基礎(chǔ)解系.試證明 （1）η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ 答案： 一、單項(xiàng)選擇題（本大題共14小題，每小題2分，共28分）1.D 2.B 3.B 6.D 7.C 8.A 11.A 12.B 13.D 二、填空題（本大題共10空，每空2分，共20分）15.6 16.4.D 9.A 14.C 5.C 10.B 2是其導(dǎo)出組Ax=0的一個 2均是Ax=b的解； （2）η0，η1，η2線性無關(guān)。 ?337?????1?37? 17.4 18.–10 19.η1+c(η2-η1)（或η2+c(η2-η1)），c為任意常數(shù) 20.n-r 21.–5 22.–2 23.1 24.222z1?z22?z3?z4 三、計(jì)算題（本大題共7小題，每小題6分，共42分） ?120??2?2?????40??34?25.解（1）AB=?3??????121???10?T ?86???=?1810????310?（2）|4A|=43|A|=64|A|，而 .|A|=120340??2.?121所以|4A|=64·（-2）=-128 26.解 3?521110?5?123?413?1?3?5?110?5110?5?113?11300 / 7 =511?111?1 ?5?50511?62?620??30?10?40.?5?5?5?50=27.解 AB=A+2B即（A-2E）B=A，而 （A-2E）-1?223???=?1?10?????121??1?1?4?3?????1?5?3?.????164?所以 B=(A-2E)-1?1?4?3??423??????5?3??110? A=?1??????164???123??3?8?6????9?6?.=?2????2129?28.解一 ??2130??0?53?2?????1?30?11?30?1???? ????0224??0112??????34?19??013?112??1?0?????0??0?1?0?????0??005??1??112?0?????0088???0?14?14??0002??101?, 011??000?3035??112? 011??000?所以α4=2α1+α2+α3，組合系數(shù)為（2，1，1）.解二 考慮α4=x1α1+x2α2+x3α3，即 ??2x1?x2?3x3?0?x?3x??1?12 ?2x?2x?43?2??3x1?4x2?x3?9.方程組有唯一解（2，1，1）T，組合系數(shù)為（2，1，1）.29.解 對矩陣A施行初等行變換 ?1?2?1?000A?????032??09602??6?2?8?2??3?2? / 7 2??1?2?10?1?2?1???0328?3032??????????000?0006?2?????000?217??0002??8?3?=B.3?1??00?0（1）秩（B）=3，所以秩（A）=秩（B）=3.（2）由于A與B的列向量組有相同的線性關(guān)系，而B是階梯形，B的第1、2、4列是B的列向量組的一個最大線性無關(guān)組，故A的第1、2、4列是A的列向量組的一個最大線性無關(guān)組。（A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是） 30.解 A的屬于特征值λ=1的2個線性無關(guān)的特征向量為 ξ1=（2，-1，0）T，ξ2=（2，0，1）T.??25/5???25/15?經(jīng)正交標(biāo)準(zhǔn)化，得η 1?，η 2??5/5?=?5/15?=?4?.?0????5/3??λ=-8的一個特征向量為 ??1/3?ξ=?1?3??，經(jīng)單位化得η?2? 3=???2/3??.??2????2/3????25/5215/151/3??所求正交矩陣為 T=?.??5/545/152/3??05/3?2/3???1對角矩陣 D=?00???010??.?00?8????25/5215/151/3???（也可取T=.） ?0?5/32/3??5/5?45/15?2/3??31.解 f(x1，x2，x3)=（x1+2x2-2x3）2-2x22+4x2x3-7x32 =（x1+2x2-2x3）2-2（x2-x3）2-5x32.??y1?x1?2x2?2x3?x1?y1?2設(shè)??y?y22?x2?x3，即?x2?y??2?y3?x?y?y3?x3?33?因其系數(shù)矩陣C=?1?20??11??可逆，故此線性變換滿秩。?0?001??經(jīng)此變換即得f(x1，x2，x3)的標(biāo)準(zhǔn)形 y12-2y22-5y32.四、證明題（本大題共2小題，每小題5分，共10分）32.證 由于（E-A）（E+A+A2）=E-A3=E，所以E-A可逆，且（E-A）-1= E+A+A2.33.證 由假設(shè)Aη0=b，Aξ1=0，Aξ2=0.（1）Aη1=A（η0+ξ1）=Aη0+Aξ1=b，同理Aη2= b，所以η1，η2是Ax=b的2個解。（2）考慮l0η0+l1η1+l2η2=0，即 （l0+l1+l2）η0+l1ξ1+l2ξ2=0.則l0+l1+l2=0，否則η0將是Ax=0的解，矛盾。所以 l1ξ1+l2ξ2=0.又由假設(shè)，ξ1，ξ2線性無關(guān)，所以l1=0，l2=0，從而 l0=0.所以η0，η1，η2線性無關(guān)。 / 7，
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