第一篇：畢業(yè)論文--線性空間的直和分解的若干方法
線性空間的直和分解及相關性質
張海誠 數(shù)學計算機科學學院
摘 要：線性空間直和分解問題在數(shù)學的許多領域有著廣泛的應用。本文給出了線性空間V分解為它的線性變換的核Ker?與象Im?的直和的一個充分條件為?為冪等變換，并且給出了線性空間在線性變換多項式下的直和分解定理以及線性變換的Jordan標準型與線性空間的直和分解的關系。此外，也探究了直和運算的相關性質及無窮維線性空間的直和分解問題。
關鍵詞：線性變換；冪等變換；Jordan標準型；直和分解；直和運算
The straight sum decomposition of linear space and related
properties
Zhang Haicheng School of mathematics and computer science
Abstract:The theorem which is the straighe sum decomposition of linear space has been widely applied in many fileds of mathematics.In this paper,we have established a sufficient condition that linear space V is decomposed to the direct sum of Linear transformation kernel Ker? and image Im?,which is the idempotent transformation.Besides,A theorem which is the straight sum decomposition of linear space under a linear transformation polynomial is given,and the relate result is generalized.In addition,wo have also explored some related properties of the operations for direct sum,and the straight sum decomposition of infinite dimensional linear space.Key words:linear transformation;idempotent transformation;Jordan standard;straighe sum decomposition;straighe sum operation
線性空間寫成其子空間直和的若干方法:
一.V分解為Ker?與Im?的直和的條件 1.問題的提出
設?是數(shù)域F上線性空間V上的一個線性變換，在V是有限維向量空間的情形，我們有：?的核Ker?與?的象Im?的維數(shù)之和等于V的維數(shù)，即：
dim Ker?+dim Im?=dim V 這就提出這樣一個問題：V能否分解為?的核Ker?與象Im?的直和？ 雖然子空間Ker?與Im?的維數(shù)之和等于dim V，但是Ker?+ Im?并不一定是整個空間V。
例如，在線性空間F?x?n中，求導數(shù)D的象Im（D= F?x?n-1，D的核）=F.Ker（D）顯然，F(xiàn)+F?x?n-1?F?x?n,更不會有F?x?n=F?F?x?n-1成立.那么，滿足什么條件，V能分解為Ker?與Im?的直和呢？
1.1V分解為Ker?與Im?的直和的條件 我們先證明一個引理.引理1.1.1 設?是數(shù)域F上線性空間V上的一個線性變換，并且滿足，則 Ker?={ ?-?（?）：??V}.?2=?（?為冪等變換）證明 令W= { ?-?（?）：??V}, 先證明Ker? ?W.對任意的?? Ker?，有?（?）=?，因此
?=?-?=?-?（?）?W，即得Ker? ?W.其次證明，W ? Ker?.對任意的? ?W，存在??V，使得?=?-?（?）.2由于?2=?，則對任意的??V，有?（.?）=?（?）2于是?（?）=?（?-?（?））=?（?）=?.-?（?）即：?（?）=?，可得：??Ker（?），因此W ? Ker?.綜上所證，可得Ker?=W，引理得證.由引理可得如下定理：
定理1 設?是數(shù)域F上線性空間V的一個線性變換，并且滿足?2=?，則有
V=Ker（?）?Im（?）證明 由引理 Ker?={ ?-?（?）：??V}.則對任意的??V，有?=（?-?（?））+?（?）.即：??Ker（?），所以V? Ker?+Im.+Im（?）（?）而顯然有Ker?+Im.（?）（?）?V，于是V= Ker?+Im
此外，對任意的?? Ker? ?Im，有：（?）.?? Ker?且??Im（?）由?? Ker?，得?（?）=?;而??Im，故存在??V，使得?=?（?）.（?）2此時，?=?（?）=?（=?（?）=?.?）即：對任意的?? Ker? ?Im，有?=?.（?）由此 Ker? ?Im={?}，因此V=Ker（?）.（?）?Im（?）
1.2上述定理，條件?2=?不是必要的.我們看下面的例子
例1 令F4表示數(shù)域F上四元列空間，取矩陣
? 1-1 5-1?? 1 1-2 3?? 對任意的??F4，令?（?）=A?，則陣乘變換?A= ?? 3-1 8 1??? 1 3-9 7??是一個線性變換，且?的核Ker?是以A為系數(shù)矩陣的四元齊次線性方程組的解空間.37T求解齊次線性方程組AX=?，得一組基礎解系?3=（-1 0），22T?4=（-1-2 0 1）.因此Ker?=L（?3，?4）.而?的象Im?為A的列空間，可得Im?=L（?1，?2）,這里
TT?1=（1 1 3 1），?2=（-1 1-1 3）.因為?1，?2，?3，?4線性無關，從而作成F4的一個基，故：
F4= Ker?+ Im?.并且有dim F4=dim Ker?+dim Im?，因此F4= Ker?? Im?.T但此時，?2??.事實上，存在?1=（1 0 0 0）?F4，使得 TT?2(?1)?A2(?1)=，?（?1）=A?1=，即：（14-1 27-16）（1 1 3 1）?2(?1)??(?1)，因此，?2??.所以，在定理中，條件?2=?不是必要的.定理1說明了線性空間V上的冪等變換?能夠使V= Ker??Im?成立，即給V帶來了直和分解.?為冪等變換是V分解為Ker?與 Im?的直和的充分而不必要條件.然而，如果已知線性空間V的一個直和分解，則由該直和分解同樣也可帶來冪等變換.定理2 設V是數(shù)域F上的一個線性空間，U，W是V的兩個子空間，且V=U?W.任取??V，設?=?1+?2，其中?1?U，?2?W.令
?u：V?V，?=?1+?2??1.則?u是V上的一個線性變換，稱?u是平行于W在U上的投影，它滿足?u（?）=
??,當??U?，當??W（1）且滿足（1）式的V上的線性變換是唯一的.證明 由于V=U?W，因此?表示成U的一個向量與W的一個向量之和的方式唯一，???1??2，從而?u是V到V的一個映射。任取V中兩個向量?=?1+?2，其中?
1、?1?U，?
2、?2?W，則?1+?1?U，?2+?2?W.從而?u（?+?）=?u[（?1+?1）+（?2+?2）]=?1+?1=?u（?）+?u（?）.?u（k?）=?u（k?1+k?2）=k?1=k?u（?），?k?F.因此，?u是V上的一個線性變換.如果??U，則?=?+?，從而?u（?）=?； 如果??W，則?=?+?，從而?u（?）=?.設V上的線性變換?也滿足（1）式，任取??V，設?=?1+?2,其中?1?U，?2?W.則?（?）=?（?1+?2）=?（?1）+?（?2）=?1+?=?1 =?u（?），因此，?=?u.類似地，定義?w（?）=?2，則?w也是V上的一個線性變換，稱它為平行于U在W上的投影.系1 設V是數(shù)域F上的一個線性空間，U，W是V的兩個子空間，且V=U?W，則投影變換?u、?w均是V上的冪等變換，而且?u與?w是正交的.證明 任取??V，設?=?1+?2，?1?U，?2?W，則?2u（?）=?u（?u（?））=?u（?1）=?1=?u（?）；
?u?w（?）=?u（?w（?））=?u（?2）=?；）=?w（?1）=?;?w?u（?）=?w（?u（?）因此，?2u=?u，?u?w=?w?u=?，類似有?2w=?w.以上定理說明線性空間V上的冪等變換與線性空間的直和分解有著密切的關系，我們有必要研究冪等變換的性質.系2 設?是數(shù)域F上n維線性空間V上的線性變換，?是冪等變換的充要條件是rank（?）+rank（?-?）=n.二.線性空間在線性變換多項式下的直和分解
首先給出線性空間在一類線性變換多項式下的直和分解定理：
引理2.1 f(x)，g(x)?P?x?，且(f(x),g(x))=1，?是數(shù)域P上的n維線性空間V上的線性變換，f(?)g(?)??.則Im（f(?)）=Ker（g(?)），Ker（f(?)）=Im（g(?)）.證明 任取?? Im（f(?)），則存在??V使得：?=f(?)?.所以g(?)?=g(?)[f(?)?]=f(?)g(?)?=??=?.從而?? Ker（g(?)），即Im（f(?)）?Ker（g(?)）.另一方面 因為（f(x)，g(x)）=1，所以存在u(x),v(x)?P?x?，使得u(x)f(x?)v(x)g(?x)即：u(?)f(?)?v(?)g(?)??.任意?? Ker（g(?)），即g(?)?=?.所以?=u(?)f(?)??v(?)g(?)?=u(?)f(?)?=f(?)[u(?)??? Im（f(?)）.因此Ker（g(?)）? Im（f(?)）.故：Im（f(?)）=Ker（g(?)）.同理可證Ker（f(?)）=Im（g(?)）.定理3（空間分解定理）設f(?)?f1r1(?)f2r2(?)?fsrs(?)，fi(?)(i?1,2,?,s)為不可約多項式且彼此不同，?是數(shù)域P上的n維線性空間V上的線性變換，f(?)??.則
V?V1?V2???Vs，其中Vi???:firi(?)???,??V?,(i?1,2,?,s).證明 分3步完成 1）令gi(?)?f(?)(i?1,2,?,s)firi(?)則（gi(?),firi(?)）=1，gi(?)firi(?)=f(?)=?.所以Vi?gi(?)V=Im（gi(?)），(i,2?,1,)?s.2）又(g1(?),g2(?),?,gs(?))?1，則存在ui(?)?P???,(i?1,2,?,s)使得
u1(?)g1(?)?u2(?)g2(?)??us(?)gs(?)?1.即：u1(?)g1(?)?u2(?)g2(?)??us(?)gs(?)??.任取??V，則??u1(?)g1(?)??u2(?)g2(?)???us(?)gs(?)?=?1??2???s，其中?i?ui(?)gi(?)?=gi(?)[ui(?)???Im?gi(?)?=Vi，(i?1,2,?,s).所以V=V1?V2???Vs.3）假設?i?Vi= Im（gi(?)），(i?1,2,?,s)，?1+?+?s=? 即?i?Vi，firi(?)?i=?(i?1,2,?,s).又fjj(?)|gj(?)（j?i，i,j?1,2,?,s)，則gi(?)?j=?（j?i）.而gi(?)（?1+?+?s）=?，所以gi(?)?i=?，(i?1,2,?,s).又（gi(?),firi(?)）=1，所以有多項式r(?)，h(?)使得：
ih(?)firi(?)?r(?)gi(?)?1，即有：?i?h(?)rf?(?)i?r?(gi)?(?i，??ir(i?1,2,?,s)
故：V?V1?V2???Vs.定理4 設線性變換?的特征多項式為f(?)，它可以分解成一次因式的乘積：f(?)?(???1)r1?(???s)rs.則V可以分解成不變子空間的直和：V?V1?V2???Vs，其中Vi???:(???i?)ri???,??V?.定理5 設?是數(shù)域F上n維線性空間V上的線性變換，m(?)為?的最小多項式，且m(?)=P其中Pi(?)為不可約因子且（Pi(?),Pj(?)）=1（j?i，1(?)P2(?)?Ps(?)，(?)?????V?，i,j?1,2,?,s).則V?V1?V2???Vs，其中Vi???:Pi?(i?1,2,?,s).以上三個直和分解定理均是Hamilton-Cayley定理的重要應用.線性空間直和分解問題在數(shù)學、力學、物理學及許多領域有著廣泛的應用.現(xiàn)在給出直和分解定理應用的例子.例2 考慮4維線性空間V=R4中由矩陣A決定的線性變換?：??=A?,任意
? 1 1-1 0?? 0 1 0 3?????V，的直和分解問題.其中A=? 0 0 1 3?.?? 2 0-1 2??????此時，線性變換?的特征多項式為：f(?)?det(?E?A)?(??1)2(?2?3??5)它在實數(shù)域R上只有特征值?1?1(二重，r1?2)，P(?)??2?3??5在R上不可約.由直和分??E)解定理，可以計算出V1??:?(A2??T,?V?2 3 0 2L(???2=（）1 2 2 0?,?-）1T,，）； 1?1=（TTV2???:(A2?3A?5E)???,??V?=L(?3,?4)，?3=（0 0 0 1）,?4?（0 1 1 0）.容易驗證?1，?2??3??4為V的一組基.顯然V=R4為V1,V2的直和.三.線性變換的Jordan標準型與線性空間的直和分解
定理6 復數(shù)域上有限維線性空間的每一個線性變換都有Jordan標準型，并且這個Jordan標準型矩陣除去其中若爾當?shù)呐帕写涡蛲馐潜痪€性變換唯一決定的.Jordan標準型的求法：
1）首先用初等變換化特征矩陣?E-A為對角形式，然后將主對角線上的元素分解成互不相同的一次因式方冪的乘積，則所有這些一次因式的方冪（相同的按出現(xiàn)的次數(shù)計算）就是A的全部初等因子.??010???ni（?-?0）對應一個若而當塊Ji????1?.2）每一個初等因子
??0??0?nini??J1????3）??(n1?n2???ns?n)就是A的Jordan標準型.?Js???32??2??82?.例3 求復數(shù)域上下述矩陣的Jordan標準型 A=?1??2?14?3???首先求?E-A的初等因子：
?2?00????2?3?1????0?.?E-A=??1??8?2?????0??1?2?014??3?0???3)2??????100???因此，A的初等因子是??1，???3)2，A的Jordan標準型為?031?.?003???定義1 ： V上線性變換?的一個Jordan基是V的一個基，它使得?在這個基下的矩陣為Jordan形矩陣.當我們已經(jīng)求出?的Jordan標準型J以后，為了求出?的一個Jordan基，只要把原來的基到Jordan基的過渡矩陣P求出即可.由于J=P?1AP，所以P是矩陣方程
AX=XP(*)的解并且應為可逆矩陣.如果dimV=n，則（*）是n2個未知量xij(i,j?1,?,n)的由n2個方程組成的線性方程組，解這個線性方程組，可求出X=（xij），選取可逆矩陣（因為?的Jordan標準型存在，所以滿足方程（*）的可逆矩陣一定存在），便可作為過渡矩陣P.例4 求例2的線性變換?的一個Jordan基.（X1，X2，X3）解 設X=，由?的Jordan標準型以及方程（*）得：
?（X1，X2，X3）（=X1，3X2，X2+3X3），所以?X1=X1，?X2=3X2，?X3=X2+3X3
由此看出，X1是?的屬于1的一個特征向量，解方程組（E-A）Y=?，得TX1=（2，0，-1）.同理，X2是?的屬于3的一個特征向量，解方程組 T-1，2）（3E-A）Y=?，得X2=（1，.再去解方程組（A-3E）Y=X2，?-1 3 2 1?? 1 0-0.5-1?????T 1 5 2-1? 0 1 0.5 0 ????.它的一個特解是Y0=（-1，0，0），?-2-14-6 2?? 0 0 0 0??????21-1???T取X3=（-1，0，0），則X=?0-10?.容易看出X是可逆矩陣，它就可作為V
?-120???的原來的基?1，?2，?3到?的一個Jordan基?1，?2，?3的過渡矩陣.所以：
?21-1???（?1，?2，?3）（=?1，?2，?3）0-10??，即?的一個Jordan基是：
?-120????1=2?1-?3，?2=?1-?2+2?3，?3=-?1.定理7 設?是數(shù)域F上n維線性空間V上的線性變換，則V能分解成?的一些非平凡不變子空間的直和當且僅當V中存在一個基，使得?在此基下的矩陣為分?A1????塊對角矩陣：??.（2）?As???V=W1?W2???Ws.證明 必要性.設V是?的一些非平凡不變子空間的直和：在每個Wi(i?1,2,?,s)中取一個基?i1????iri，從（2）式得出：
?11????1r1,?,?s1,?,?sri（3）是V的一個基.由于Wi是?-子空間，因此
???i1,?,?iri)???i1,?,?iri)Ai,i?1,2,?,s.?A1????從而?在（3）式給出的基下的矩陣為 ??.?As??? 充分性.設?在V的一個基 ?11????1r1,?,?s1,?,?sri 下的矩陣A=diag{A1,A2,?,As}，其中Ai是ri級方陣，i?1,2,?,s.令
Wi?L??i1,?,?iri),i?1,2,?,s.由于???i1,?,?iri)???i1,?,?iri)Ai,i?1,2,?,s.因此??i1,?,??iri?Wi.從而Wi是?-子空間，顯然Wi是非平凡的，由于Wi的一個基?i1,?,?iri當i?1,2,?,s時，合起來是V 一個基，因此V=W1+W2???Ws是直和,從而
V=W1?W2???Ws.從定理7的證明中可以看出，（2）式給出的矩陣中，Ai就是?|Wi在Wi的一個基?i1,?,?iri下的矩陣，其中i?1,2,?,s.推論 設?是復數(shù)域上n維線性空間V上的線性變換，?i1,?,?iri，（i?,2,1,?s，r1?r2??rs?n）是?的一個Jordan基，則V?V1?V2???Vs，其中Vi?L（?1，?i）i?ir，i?1,2,?,s.例5 設?是復數(shù)域上線性空間V上的線性變換，?1,?2,?3是V的一個基，?在32??2??82?，求線性空間V的一個直和分解.這組基下的矩陣為A=?1??2?14?3????100???由例2知 A的Jordan標準型為?031?.?003???由例3知?的一個Jordan基是：?1=2?1-?3，?2=?1-?2+2?3，?3=-?1.則由推論，令
V1=L（2?1-?3）-?1），V2=L（?1-?2+2?3，.則V=V1?V2.線性空間直和分解的若干性質：
1.維數(shù)
?，Vs都是數(shù)域F上有限維線性空間V上的子空間，命題1.1 設V1，V2，V=V1?V2???Vs當且僅當
V=V1+V2???Vs，dimV=dimV1+dimV2???dimVs.2.向量表示
?，Vs都是數(shù)域F上（有限維）線性空間V上的子空間，命題2.1設V1，V2，V=V1?V2???Vs當且僅當V=V1+V2???Vs且零向量的表示法唯一.?，Vs都是數(shù)域F上（有限維）線性空間V上的子空間，若命題2.2設V1，V2，子空間的和V=V1+V2???Vs不是直和，則V的每個向量的表示法都不唯一.證明 設V中有向量?表為???1????s(?i?Vi)，且表法唯一.又設???1????s(?i?Vi)，則得?=?+?=??1??1??????s??s).但?表示法唯一，故?1??1=?1，?，?s??s=?s.從而?1??2????s??，即?表示法唯一，所以V=V1+V2???Vs是直和，與假設矛盾.因此，W中每個向量的表示法都不唯一.系3 上述命題表明，子空間的和V中只要有一個向量表示法唯一，就能保證其中所有向量都表示法唯一，從而必為直和.3.交
?，Vs都是數(shù)域F上（有限維）線性空間V上的子空間，命題3.1設V1，V2，V=V1?V2???Vs當且僅當V=V1+V2???Vs且Vi??Vj????(i?1,2,?,s).j?i?，Vs都是數(shù)域F上（有限維）線性空間V上的子空間，子命題 3.2 設V1，V2，V空間的和V=V1+?+Vi?1)?Vi????,i?2,?,s.1+V2???s是直和當且僅當(V（4）
證(1明V? 由于
V1?+i??+1V?1??V??+?Vs故iV1i?V+，+V：)+?V?)1i??Vi??(?+i??1Vi+1?Vs?V1i.因此，若V1+V2???Vs是直和，則由命題3.1知，（4）式成立.反之，設（4）成立，但V1+V2???Vs不是直和，則?表示法不唯一，即存在不全為零的向量?1,?,?s使???1????s(?j?Vj).設?i??(1?i?s)且
?i?1????s??，則由上得????i??1????i?1?(V1+?+Vi?1)?Vi.這與（4）矛盾，故V1+V2???Vs是直和.4.運算律
命題4.1 直和可以“代入”
若V?V1?V2且V1=V11?V12，V2=V21?V22，則V?V11?V12?V21?V22.及V1=V11?V，=V?V2V?（V11?V1）（?V）證明
由V?V1?V212V221得2?V2122（5）
顯然V?V11+V12+V21+V22.又若?=?11+?12+?21??22(?1i?V1i??2i?V2i)，則
?=(?11+?12)+(?21??22).于是由（5）得?11+?12=?,?21??22??.但是???11+?12?V11?V12,???21??22?V21?V22，故?11??12??21??22??.因此V?V11?V12?V21?V22.命題4.2 直和可以“加括號”
若V?V1?V2?V3?V4，則V?(V1?V2)?(V3?V4).證明1
V?(V1?V2)?(V3?V4)?V，1V?1顯
V?然
V.?又
?若
????,其中2?.?（?1i?Vi）,?2??13??14(?1j?Vj)，則?=?11+?12??13??14.可設?1=?11+?12但V?V1?V2?V3?V4是直和，故?11??12??13??14??.從而?1??2??.因此，V?(V1?V2)?(V3?V4).系4 由命題4.2知直和運算結合律成立，即(V1?V2)?V3?V1?(V2?V3).無限維線性空間的直和分解
定義2：設B是數(shù)域F上線性空間V的一個非空子集，若B中任意有限個向量線性無關，且V中每個向量都可由B中有限個向量線性表示，則稱B是V的基.定理8 設B1,B2分別是數(shù)域F上線性空間V的子空間V1與V2的一基，則V1+V2是直和當且僅當B1?B2=?且B1?B2是V1+V2的基.證明 若V1+V2是直和，則V1?V2=???，從而B1?B2=?.又若k1?1???ks?s?l1?1???lt?t??，其中?i??1??j?B2.則因為V1+V2是直和，故必有k1?1???ks?s=l1?1???lt?t??.但因為B1,B2是子空間的基，故k1=?=ks=l1=?=lt?0.即B1?B2中任意有限個向量均線性無關.再任取?=?1?+?2V1，其中+2V?i?Vi，則由?1可由B1中有限個向量線性表示，?2可由B2中有限個向量線性表示，故?可由B1?B2中有限個向量線性表示.從而B1?B2是V1+V2的基.反之，若B1?B2=?且B1?B2是V1+V2的基，則任取??V1?V2，并令：
?=k1?1???ks?s=l1?1???lt?t，其中?i??1??j?B2，則k1?1???ks?s?l1?1???lt?t=?.但因為B1?B2=?且B1?B2是V1+V2的基，?1,?,?s,?1,?,?t線性無關，故k1???ks?l1???lt=0.于是???，V1?V2=???，故V1+V2是直和.參考文獻
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第二篇：淺談線性空間與歐式空間
2014 年三會一課會議記錄示例月 10 日
支部委員會
內容： 1、傳達鎮(zhèn)黨委工作會議精神。2、臨近春節(jié)，討論摸排村內不穩(wěn)定因素，及時
解決村民反映的突出問題。3、總結 2012 年各項工作 ……..，討論 2013 年重點工作，制定 2013 年初步工作計劃 ………，下一步及時召開黨員大會進行討論。4、討論村內
環(huán)境衛(wèi)生整治工作，杜絕垃圾亂倒現(xiàn)象，積極營造優(yōu)美居住環(huán)境。2 月 3 日
支部委員會 內容： 1、討論如何進一步優(yōu)化村內環(huán)境，清掃大街，歡度春節(jié)。2、傳達鎮(zhèn)黨委政府 春節(jié)安全工作會議精神，進一步強調社會平安穩(wěn)定工作。3、安排發(fā)放計生明白紙。4、春節(jié)前走訪困難群眾，座談了解群眾的實際困難和問題，及時加以解決。3 月 1 日 黨員大會
內容：商議村內重大建設項目及工作計劃
一、（支書姓名）介紹我村今年的工作計劃。
二、（支部書記）介紹當前重點惠民項目情況
今天我們商議的事是：（修路、修大街、挖溝渠、打機井、整平生產(chǎn)路、修建辦公室、購置器械、整理農(nóng)田、修理自來水等。再詳細介紹一下項目內容、投資情況）。如修 村內大街，長
米，寬
米，需建設資金
萬元，經(jīng)村兩委討論決定，建設資金 為村集體收入資金（或群眾共同出資，每人 元）。
三、黨員討論結果
經(jīng)村黨員大會討論舉手表決：同意通過。參加會議
人，同意
人，不同意 人，棄權
人。黨員紛紛表示，會積極向群眾宣傳本次會議精神，配合村里的工作。
四、（支書姓名）總結。同志們考慮的很全面，提出的意見很中肯，我們村兩委成員，一定會按照同志們的想法，認真修改初步制定的計劃，制定最終方案，做好惠民項目 的建設。月 1 日
上黨課內容 :（一般召開一次黨員大會，就跟著上一次黨課，這樣符合實
際情況，檢查的時候也可信）
一、（支書姓名）主持會議 今天，鎮(zhèn)領導 …
（填寫聯(lián)系本村的副科級領導）到我村來為大家上黨課，讓我們用熱 烈的掌聲歡迎領導講話。
二、鎮(zhèn)領導講話
一是傳達今年以來，市委抓基層黨建工作的重要精神，強調加強村兩委班子和 黨員隊伍建設的重要性和緊迫性。二是根據(jù)市委的要求，通報今年以來我鎮(zhèn)在加強
基層黨組織建設方面出臺的一系列措施及有關要求。
三是如何發(fā)揮黨員先鋒模范作
用。我們村黨組織和全體黨員都要積極投身活動，實現(xiàn)組織和黨員全覆蓋。本著有利 于黨組織開展活動、有利于黨員參加、有利于創(chuàng)先爭優(yōu)活動取得實效的原則，鞏固和 拓展學習實踐科學發(fā)展觀活動成果結合起來，精心設計特色鮮明、務實管用的載體，精心組織實施好創(chuàng)先爭優(yōu)活動。提幾點要求。一是要提高思想認識，結合實際開展
大討論活動；
二是要認識到創(chuàng)先爭優(yōu)的核心是發(fā)展，要結合我村實際，發(fā)展村域經(jīng)濟；
三是要處理好社會發(fā)展與經(jīng)濟發(fā)展的關系；四是重點要加強黨員干部作風建設，要加 強窗口建設，努力提高服務意識和水平。
三、（支書姓名）總結
結合工作實際，就基層黨建工作的重大意義、新時期發(fā)揮黨員先鋒模范作用、黨 員“五帶頭”的標準尺度等問題，進行了精辟的闡述，給我們上了一堂既有理論性、又有實踐性的黨課。黨的先進性需要通過黨員的具體先鋒模范行動來體現(xiàn)，就基層黨 員來說，日常工作、生活中都能展示黨員先鋒模范作用的舞臺。課后，希望大家結合 這次黨課上所講的內容，圍繞如何發(fā)揮黨員先鋒模范作用這個主題，進行認真的討論，進一步領會領導講課的內容，切實推進我村的工作。月 10 日
支部委員會、（支部書記）傳達鎮(zhèn)黨委政府關于春季植樹造林會議精神。
大力開展植樹造林動活，對于保護和改善生態(tài)環(huán)境，增加農(nóng)民收入。2、討論安排挖溝渠、清掃大街工作。4 月 10 日
支部委員會 1、傳達落實鎮(zhèn)黨委政府關于營造計劃生育宣傳氛圍的精神。2、加強春季林木管護、涂白工作。月 10 日
支部委員會、安排部署美國白蛾防治工作。2、按照鎮(zhèn)黨委安排部署，積極做好計生宣傳工作。3、當前的幾項重點工作
（依次羅列安排，需討論的討論）。月 10 日
支部委員會、研究做好防汛準備工作。2、研究安排小麥、玉米、棉花保險費的征收工作。3、抓住麥收期間這一有利時機，做好計生工作。月 1 日 黨員大會
內容：紀念“七一”建黨** 周年座談會
一、由（支部書記）帶領廣大黨員重溫入黨誓詞，帶領大家學習《黨章》。
二、黨員展開討論
生活發(fā)生的深刻變化和走過的光輝歷程。尤其是看到我市、我鎮(zhèn)這幾年發(fā)生的巨 大變化，對我們的黨、國家的未來充滿信心。希望以后能充分發(fā)揮黨員的先鋒模范作 用，為本村、本鎮(zhèn)的發(fā)展貢獻一份力量。
三、（支書）做總結講話
我們村正處于發(fā)展的有利時機，廣大黨員要帶頭，起到先鋒模范作用，在做好防 汛、防洪、計生等工作的同時，自覺愛護我們現(xiàn)在已有的環(huán)境，爭取做到愛護環(huán)境，人人有責，希望各個方面都能走在全鎮(zhèn)前列，各項事業(yè)都能取得新成績。
四、黨員向黨支部交納黨費。月 10 日
支部委員會
內容： 1、排摸村內不穩(wěn)定因素，分析群眾思想狀況，討論村民反映強烈的問題 2、研
究部署美國白蛾防治工作。月 1 日：黨課
一、新形勢下村干部的主要工作職責是什么？
在農(nóng)業(yè)和農(nóng)村經(jīng)濟發(fā)展的新階段，村干 部主要職責總結起來就是四個字，即傳、帶、穩(wěn)、育。1、傳，既傳達、貫徹、落實 黨的政策 2、帶，既帶頭并帶領群眾發(fā)展經(jīng)濟 3、穩(wěn)，既協(xié)助地方黨委、政府做好農(nóng) 村各項工作，維護農(nóng)村穩(wěn)定。4、育，既提高村民的素質，培育新型農(nóng)民。
二、新形勢下村干部應該具備哪些素質？
總的來說，一個受人愛戴的村班子必須要具備三個基本的特征： 第一，要有強
烈的發(fā)展意識。不甘落后，銳意進取，自強不息，艱苦創(chuàng)業(yè)，有市場意識、產(chǎn)業(yè)意識、項目意識、品牌意識、親商意識。第二，要有切實可行的發(fā)展路子。在某種程度上，思路就是出路，沒有思路的班子絕對不是好班子。第三，要有實實在在的發(fā)展業(yè)績。
要會干事、能干事、干成事，僅有思路不落實，只說不干，只講客觀不講主觀，任職 多年，村上面貌依舊，一事無成的班子也不是好班子。要具備以上三個基本特征，就 要求村干部必須具備以下四個方面的能力。一是
帶民致富的能力。二是
依法辦事的能 力。三是
科技示范能力。四是
服務群眾的能力。月 10 日
支部委員會、研究部署美國白蛾防治、防汛等工作。2
、討論村內重點項目
（從中選擇 1-2 項：整修大街、挖溝渠、打機井、整平生產(chǎn)路、修建辦公室、購置器械等）。9 月 10 日 支部委員會
內容： 1、排摸村內不穩(wěn)定因素，分析群眾思想狀況，討論村民反映強烈的問題。2、研究部署美國白蛾防治、防汛等工作。月 1 日 黨員大會
（僅是示例，發(fā)展黨員的黨員大會請按實際時間做會議記錄）
內容
：分為兩種情況，各村結合自己實際從中選擇一種。
第一種情況： 2013 年有黨員發(fā)展對象（發(fā)展預備黨員或黨員轉正）的村按下面的要 求寫 ：
一、（支部書記）傳達會議精神。???
二、由（黨員發(fā)展對象姓名）入黨介紹人介紹主要情況
介紹人一： *** 同志在考察期間，能夠認真學習理論知識，注重自身修養(yǎng)，在政治上
保持清醒的頭腦，在思想上保持高尚的境界，將理論知識運用到實際生活中，堅持不 懈，持之以恒，實事求是，腳踏實地，處處起表率作用，樹立良好的黨員形象，認真 對待自己的缺點和不足，并及時地進行改正?？傊撏灸軌虿粩嗵岣咦陨睃h性修 養(yǎng)和綜合素質，充分發(fā)揮共產(chǎn)黨員的先鋒模范和用，我們認為 *** 同志基本具備一名
預備黨員（或正式黨員）的條件，我同意 *** 同志加入黨組織。（或我同意 *** 同志按 期轉正）
介紹人二： ????.三、支部報告對黨員發(fā)展對象的政治審查情況 本支部通過采取查閱本人檔案材料、派人處調、函調、與本人談話、征求有關監(jiān)督部 門意見、召開黨內外群眾座談會以及公示等方法對 *** 同志進行了政治審查及考核，認為該同志本人政治歷史清楚，在重大政治斗爭中旗幟鮮明，能夠與黨中央保持一致，其家庭主要成員和社會關系清楚。
四、黨員無記名投票表決
經(jīng)村黨員大會討論無記名投票表決：通過了 **** 同志轉發(fā)展為中共預備黨員（或按期轉正）的決議。參加會議
人，同意
人，不同意 人，棄權
人。
第二種情況： 2013 年無黨員發(fā)展對象的村，入黨積極分子“雙推”按以下要求寫：
（注意：入黨積極分子“雙推”前應有一次支委會討論入黨積極分子的會議記錄，一 句話即可）
一、（支部書記）傳達會議精神。??..二、由（入黨積極分子姓名）培養(yǎng)聯(lián)系人介紹主要情況
培養(yǎng)人一： *** 同志自 2009 年 1 月提出入黨申請以來，識，積極 向黨組織靠攏，主動匯報思想，積極參加村、黨組織的政治活動，認真學習黨的基本知優(yōu)點是： 學習認真、樂于助人、尊老愛幼，是我們村公認的積極模范分子。缺點是：理論學習不夠深入。
培養(yǎng)人二： ???????.三、黨員和群眾代表無記名投票表決
經(jīng)村黨員大會討論投票表決： 通過了確定 ***
同志為入黨積極分子并重點培養(yǎng)的決議。黨員參加會議
人，同意
人，不同意 人，棄權
人。群眾代表參加會議
人，同意
人，不同意 人，棄權
人。10 月 1 日
黨課：
一、（支部書記）領學《黨章》的主要內容
主要學習了黨的性質，中國共產(chǎn)黨是中國工人階級的先鋒隊，同時是中國人民和中華 民族的先鋒隊，是中國特色社會主義事業(yè)的領導核心，代表中國先進生產(chǎn)力的發(fā)展要 求，代表中國先進文化的前過方向，代表中國最廣大人民的根本利益。黨的最高理想 和最終目標是實現(xiàn)共產(chǎn)主義。
學習黨的宗旨和指導思想、思想路線。黨的宗旨就是全心全意為人民服務，中國共產(chǎn) 黨以馬列主義、毛澤東思想、鄧小平理論和“三個代表”重要思想作為自己的行動指 南，一切從實際出發(fā)，理論聯(lián)系實際，實事求是，在實踐中檢驗真理和發(fā)展真理。
二、黨員討論發(fā)言
大家紛紛表示，通過對《黨章》的再學習，提高了黨員的先鋒模范意識，增強了黨員 發(fā)揮作用的自覺性和主動性。月 10 日
支部委員會
內容： 1、安排部署計劃生育工作。2、安排部署農(nóng)業(yè)結構調整事宜。月 1 日 黨員大會
內容：
一、（支部書記）傳達村兩委會議精神，對大街進行綜合整治，改善村民居住 環(huán)境。
一是從今天開始全村開展大街整治。二是村兩委成員包一條大街。三是大街整治內容： 對大街兩旁的雜草、糞便、麥秸等雜物全部清理干凈，先由戶清理成堆，村再組織人 員清理走。
二、黨員討論發(fā)言
（黨員）：村內大街整治非常有必要，我支持
（黨員）：我支持村兩委的工作，積極參與大街整治
（黨員）：這個活動搞得很好，我們村整理一下，搞好了環(huán)境衛(wèi)生，和在城里住沒啥 區(qū)別，大力支持。
（黨員）：我全力支持，一定盡全力，支持村兩委工作月 1 日 黨課
共產(chǎn)黨員如何發(fā)揮先鋒模范作用？
一、做有理想的模范
二、做有道德的模范
三、做努力工作、好學上進、促進先進社 會生產(chǎn)力的模范
四、做不尚空談、多干實事的模范
五、做深化改革，勇于創(chuàng)新的模 范
六、做遵紀守法，同不正之風，腐敗現(xiàn)象和違法犯罪行為作斗爭的模范月 10 日
支部委員會 內容： 1、積極采取措施抓緊進行覆蓋地膜保溫，增強保溫抗寒能力。2、安排冬季聯(lián)
戶聯(lián)防工作，確保冬季社會平安。3、討論開展星級文明戶評選活動相關事宜。月 10 日
第三篇：力合成和分解作圖方法總結
力合成和分解作圖方法總結
力合成和分解，這兩節(jié)教村要培養(yǎng)學生作圖能力計算能力，就其作圖方法和技巧而言，則有合成圖，分解圖、受力圖等等，其作用基本技巧和原理是平行四邊形法則或三角形法則，下面以力分解為例，將作用方法加以總結。
一、力分解中最小值問題作圖
1、知合力和一個分力方向，求另一個分力最小值。
2、知一個分力和合力的方向，求另一個分力最小值。
點評：過F或F1箭頭作F1方向或垂線時，要注意垂線段作法，兩個垂線段中最短線段，作圖如圖所示，則F2最小值分別是F2m=F·sinθ和F2m=F1·sinθ。
二、力分解解的個數(shù)討論作圖技巧
1、知合力和一個合力
點評：作圖時，則三角形法則可知，連F和F1箭頭即為F2，故此時力分解具有唯一確定解。
2、知合力和兩個分力方向。
點評：過箭頭作兩分力方向平行線，圍成一個確定平四邊形，此時力的分解具有唯一解。
3、知合力和一個分力大小和另一個分力方向。
①當F2=Fsinθ，一個解 ②當F>F2>Fsinθ，二個解 ③當F2≥F，一個解 ④當F2 點評：可以F箭頭為圓心，以F2大小為半徑作圓，看此圓弧與F1方向交點即可，但當F2>F時，盡管交點是兩個，但有一個交點在F1反方向上，此解不應取。 4、知合力和兩個分力大小 點評：由三解形法則可知，分別以F箭頭或箭尾為圓心，以F1大小或F2大小為半徑作圖，看兩圓交點即可。 ①當F1+F2=F或|F1-F2|=F時，兩圓相切，一個解 ②當F1+F2 另外，還有力分解時按效果作圖和圖解法作圖等等，它們都以三角形法則和平行四邊形為基礎，方法基本雷同。 *********學院 本科生畢業(yè)論文 論展示設計中的個性化視覺語言 系別、專業(yè) 藝術學院 環(huán)境藝術設計 學 生 姓 名 88888888 學 號 8888888888 指導教師姓名 陸 津 指導教師職稱 助 教 20**年*月***日 摘 要 展示設計具有信息載體的作用，展示的最終效果，是為了更好的吸引觀眾，并促使觀眾對其留下深刻的印象。為了將展品的信息得到有效的傳遞，要提高展示藝術設計中空間的新穎和個性。展示藝術設計的過程就是主要是視覺感官傳達的過程，而視覺語言就是視覺傳達的有效載體，視覺語言是展示藝術設計中的一個重要表現(xiàn)。在既定的時間和空間范圍內，有目的的進行將科學、技術、藝術和經(jīng)濟融為一體，對展示內容的陳列與空間環(huán)境進行綜合規(guī)劃。不僅僅達到解釋、展示展品，宣傳主題的目的，更能讓觀眾參與其中，達到交流宣傳、接受信息的目的。然而，在當今信息化的社會，人們開始追求新鮮、刺激、另類的視覺語言。展示藝術設計為了營造一種更具震撼力的視覺效果，必須突出個性的視覺語言，才能去迎合人的喜新、探奇心里。 關鍵詞 展示設計 個性化 視覺語言 環(huán)境設計 目 錄 前言······························································1 2 視覺語言··························································1 3 展示設計中視覺語言的個性化要素····································3 3.1獨特的造型······················································3 3.2巧妙的燈光、色彩搭配············································3 3.3新型的材料、肌理················································4 3.4新穎的媒介技術················································5 4展示設計中個性化視覺語言的設計方法································5 4.1抽象化··························································5 4.2擬人化··························································5 4.3情景化··························································6 5 展示設計中的個性化視覺語言的發(fā)展趨勢·····························6 5.1人性化··························································6 5.2互動性··························································6 5.3虛擬化··························································7 6結論······························································7 前言 展示是一種人類綜合性交流信息的方式，以高效、快捷地傳遞信息為目的。在一定的空間或者地域內，通過一系列的設計手法處理，創(chuàng)造最適合于信息傳播與接受的人為環(huán)境。展示設計是現(xiàn)代藝術設計中的一門綜合性強、應用范圍廣，并且隨時代發(fā)展、觀念更新不斷發(fā)展、充實的應用學科。涉及的領域較廣，并表現(xiàn)出和高科技發(fā)展成果相結合的明顯特點。從展示的角度看，展示設計的目的并不是展示本身，而是借助對展示空間環(huán)境的營造，將一定量的信息和宣傳內容展示在觀眾面前，以其對觀眾的心理、思想和行為產(chǎn)生有意識或潛在的影響，達到招引、傳達、溝通、教育和引導等目的。 展示設計從誕生起已走過了150余年的發(fā)展歷程。隨著人類社會的不斷進步和人類文化的持續(xù)發(fā)展。展示藝術設計在人類經(jīng)濟與文化中的地位也愈來愈重要。當今社會是一個經(jīng)濟高速發(fā)展的時代。商業(yè)文化與消費主義已日漸成為日常生活的主題。人們對于商品、文化、藝術的展示要求也在不斷提高，這就要求著今天的展示設計必須要有更高的設計美感與藝術追求。 在展示中，信息是通過人們的感覺獲得的，主要是視覺、聽覺，其次是嗅覺、觸覺等，視覺是人體各種感覺中最重要的一種，據(jù)科學數(shù)據(jù)顯示，人們依靠視覺獲得80%以上的外界信息，并且75%-90%的人體活動是由視覺主導的。 展示設計具有信息載體的作用，如何使展示的最終效果更好地吸引觀眾，并促使觀眾對其留下深刻的印象，成為了現(xiàn)代展示設計中最首要的設計條件。在行業(yè)競爭越來越激烈的今天，大眾化的設計已經(jīng)不能滿足時代的需求，人們開始追求新鮮、刺激、另類的視覺語言。以展品的信息得到有效宣傳為出發(fā)點，提出了展示空間要突出新穎、個性的原則；突出空間的個性，脫穎而出，更好的去迎合人的喜新心理、探奇心理。2 視覺語言 視覺語言是由視覺基本元素和設計原則兩部分構成的?；驹匕ǎ狐c、線、面、形狀、明暗、色彩、質感、形狀、體積、光影、空間等它們是構成一件作品的基礎。類似于文字語言中的字和單詞。設計原則包括：布局、對比、節(jié)奏、平衡、統(tǒng)一等。兩者相結合，形成視覺語言。 “視覺語言”作為一種重要的設計語言，是設計中傳達信息的重要手段。圖形的設計是最直觀、最普通的公眾傳遞的方式。這是文字和色彩所無法比擬的，當然，這并沒有忽視文字與色彩的作用。當今社會是數(shù)字化時代、快節(jié)奏的生活中充滿著各種各樣大量的信息，圖形的直觀、明確以及豐富的視覺表現(xiàn)力不僅能有效的傳達信息，而且更具有欣賞性，給人視覺的享受并引發(fā)心理認同，其信息量的傳達甚至超越了圖形的本身。 在這個信息時代，圖形的創(chuàng)意設計將起到?jīng)Q策性的作用。圖形的創(chuàng)意，就是尋求視覺傳達的獨特理念、構思。但是圖形的創(chuàng)意并不是一個單純地尋求新奇視覺形式的過程，它是始終圍繞傳播信息這一主旨來展開的創(chuàng)造性活動，傳播信息才是它的根本目的。新穎的圖形設計，容易脫穎而出，強烈吸引公眾的眼球，感染公眾的心靈和勾起某種欲望，進而達到信息傳播的目的。新穎的圖形設計，源于我們認識事物時的全新發(fā)現(xiàn)。只有找到全新的視點，對事物有了全新的理解方式，我們才會有新穎的表現(xiàn)切入角度，才能創(chuàng)造獨特的表現(xiàn)方式。 色彩是把握人的視覺第一關鍵所在。一副有個性的色彩，往往更能抓住消費者的視線，色彩通過結合具體的形象，運用不同的色調，讓觀眾產(chǎn)生不同的生理反映和心理聯(lián)想，樹立商品形象，產(chǎn)生悅目的親切感，吸引與促進消費者的購買欲望。視覺傳達中，色彩常借以光源讓自身展現(xiàn)不同的顏色效應，時而以暗沉、時而以艷麗，以色調來影響受眾的情緒，從而阻礙又或者是輔助受眾對信息的領悟和判斷。鑒于顏色在實踐中的重要性，目前，許多工程心理學家和廣告心理學家紛紛對這一問題展開研究，以求通過顏色視覺的刺激，達到更佳的工作效益或廣告效益。 實際上，文字是準確傳達信息的最好元素之一，因為它直接而具體的告訴觀眾所宣傳的內容。當然，信息得以傳播的前提是：公眾受過一定的文化教育又或者傳播人具備這種基本的文化水準。不難看出，由于文字對公眾的文化選擇性導致了它在傳播中不如圖形的信息傳播廣泛。在文字設計在標志設計中的應用，文字和標志同處一源，是由原始的符號、圖騰發(fā)展而來的。文字表現(xiàn)是以標志形象與字體組合的一個整體。標志是一種視覺圖形，但是文字標志同時具有語言特征和語音形式。 視覺語言，總的來說，就是通過視覺所接觸、傳遞的，依靠人的視覺經(jīng)驗和聯(lián)想等心理活動，被理解和接受的信息。視覺信息的識別是接受信息的重要一環(huán)，是信息傳達的保證。展示藝術設計中的視覺語言的個性化 展示設計具有信息載體的作用，如何使展示的最終效果更好地吸引觀眾，并促使觀眾對其留下深刻的印象，要求展示空間必須突出個性、新穎的原則。展示設計在手法上也極力與之相呼應，推崇多元化的前衛(wèi)風格，以否定傳統(tǒng)、標新立異、創(chuàng)造前所未有的藝術形式為主要特征。3.1獨特的造型 造型是整個展示的骨架所在，也是一個展示藝術設計大效果形成的關鍵，對遠視效果的影響尤為重要，因為任何展示藝術最終都要落實到視覺形式上。造型怪異或詼諧幽默，甚至采用夸張與卡通的設計手法，表現(xiàn)出對現(xiàn)代文明的嘲諷和對傳統(tǒng)文化的挑戰(zhàn)以達到特異的展示效果。為了追求、造就另類、夸張的視覺效果，引用常規(guī)環(huán)境中不常見到的造型，可以給展示的空間加入新的活力。 例如，仿生的造型是模擬自然界各種物象外在形態(tài)的一種造型手法；在展示設計中，對于那些仿生的造型設計，不完全是對物象的整體復制，而應當是遵循美的表現(xiàn)規(guī)律，進行藝術的再創(chuàng)造。將自然中的物體的形態(tài)或者本質加以概括、提煉，形成獨特的仿生設計。這種造型設計簡練而精彩，風格活潑，富有趣味性，其直觀的形象使展館更加醒目。 另外，不規(guī)則的造型也可以產(chǎn)生耐人尋味的視覺效果，如一些解構主義的典范，隨本身沒有什么造型意義，但是別具一格的視覺特征卻使人產(chǎn)生聯(lián)想。3.2巧妙的燈光、色彩搭配 在展示中，展品要贏得觀者的好感，首先是讓人看得見展品，色彩的應用都是以此為目的。強烈的燈光照明可以突出產(chǎn)品主體，給觀者一深刻的印象；柔和的燈光照明可制造輕松舒適的氣氛，減少給觀者視覺疲勞，從而起到促進展示的目的，使觀者的注意力更加集中在展臺上。要想使展示空間實體和展品形象盡顯色彩魅力，在光與色的整合設計中，我們就要善于把燈光與色彩統(tǒng)一設計，準確得傳遞展品自身的特性。 色彩是對人體視覺刺激最敏感、反應最快的視覺信息符號。別致的色彩特點，能迅速傳遞展示的信息，給人更加具體的形象記憶。色彩的搭配設計，要以展品主題或者企業(yè)形象相對應。根據(jù)展示的性質和內容來確定色調和色彩的搭配。通過色彩的明暗、冷暖節(jié)奏來調節(jié)氛圍，給人視覺的刺激、情緒和心理的調節(jié)。我們可以針對展品的屬性，利用反常規(guī)的色彩搭配方式，利用怪異無稽、荒唐離奇的色彩組合來營造空間氣氛，而強烈的色彩對比有具有明快、華麗的視覺效果，能營造出令人興奮的空間氛圍。 而為了更好的突出展示的主題，將燈光做色彩處理，因為光色對觀眾的情感影響最為直接，也最為強烈。如，用冷暖色調或者色彩的對比來營造空間的氛圍，從而使觀眾獲得強烈的視覺體驗和心理感受。也可以用燈光來對空間進行分割，并勾勒出展場的造型，使展示環(huán)境的區(qū)域性更強。 處理色彩與燈光的運用時，應充分考慮視覺元素、視覺生理、視覺心理三者之間的緊密配合。要根據(jù)人的視覺習慣于消費者的潛意識，以自己的品牌，帶動其它產(chǎn)品擴大銷售。 照明的燈光與色彩設計，是整個展示設計中的重要組成部分，光色有強化與柔化、統(tǒng)一展示空間色調、渲染展示環(huán)境情調氛圍的作用。光色是對觀眾的情感影響最直接，也最強烈的。所以可以通過燈光照明與色彩的巧妙搭配營造出展示空間特定的情調和戲劇性的氣氛。3.3新型的材料、肌理 不同的材料、不同的肌理，會給人帶來不同的心理感受和不同的情感。 隨著社會經(jīng)濟的發(fā)展，展示使用的新材料不斷更新。新的設計風格、新的功能、新的結構和新的形態(tài)也相應產(chǎn)生。一些看似普通的材料，經(jīng)過一番修整，排列，成為一種新的藝術。對一般觀眾而言，最能吸引他們的往往不是那些昂貴的材料和精湛在制作工藝，而是那些平常普通的材料，經(jīng)過大膽的修整形成視覺沖擊力較強的肌理效果的新奇感。大膽運用非常規(guī)材料來增加觀眾參觀的興趣?？梢允乾F(xiàn)成品，或者是廢物利用，經(jīng)過一番修飾每件物品都可以得到自身的確認。將其結合起來，形成一定的視覺效果。 利用物品本身的獨特造型、肌理或者本質，將其修整、排列，形成一定的肌理表現(xiàn)。肌理作為材料表面的特征而存在，能給觀眾不同的視覺效果和心理感受。所以，利用材料獨特的肌理特征，能給展廳與它所在的環(huán)境之間提供一種鮮明的對比，通過這種對比來強化其獨特的魅力，從而給觀眾一個全新的視覺刺激。 材料是展示藝術設計中最實現(xiàn)的基礎物質，新穎的材料不僅可以體現(xiàn)出造型和空間的最佳狀態(tài)，使展示具有生命力，還可以給觀眾煥然一新的藝術感受。3.4新穎的媒介技術 隨著技術的進步，各種多媒體設備變得更加輕便、尖端?，F(xiàn)代的展示設計由過去靜止、被動的展示方式逐步向動態(tài)和互動的展示方式轉變。高科技新技術在展示設計中應用比較普遍，它不僅僅能吸引觀眾的注意，滿足觀眾的好奇心，而且具有時代性。新媒介技術也漸漸以占用空間小，展示信息量大、互動性強等特點，在展示設計中呈現(xiàn)了一種應用的主導趨勢，并由平面視覺向空間三維、四維發(fā)展，由被動觀看向互動參與發(fā)展。充分調動了觀眾的多方感官，強化參與性，將觀眾融入到展示環(huán)境中去。 展示設計中主要的新媒介技術包括：聲光電技術、多媒體展示和虛擬現(xiàn)實技術。 與傳統(tǒng)計算機相比，虛擬現(xiàn)實技術具有臨近性、交互性和想象性三個重要特征。虛擬現(xiàn)實技術是有直觀的視覺效果，可以極大的增強展示的說服力和感染力，使觀眾能參與其中，并且有如身臨其境的感覺。更好的感受展示所帶來的效果。4 展示設計中個性化視覺語言的設計方法 4.1抽象化 抽象化是對具象事物進行的概括和提煉，使得畫面消解了具體的輪廓和細節(jié)。主要是為了使復雜度降低，以得到較簡單的概念。抽象化設計主要有對比、重復、象征、并列和錯視等手法。 對比，主要是采用各種形式的對比，如圖形方圓、色彩的冷暖、線條的曲直、空間的大小等對比，來突出主體產(chǎn)品或主要內容。重復，是將某種實物或者某些圖片的重復陳列展出，給人印象深刻。象征，主要是運用一些有象征意義的圖形、色彩等作為背景或者點題的處理，容易取得好的展示效果。并列，是在內容較多而且地位又同等重要的時候，采用并列的手法，可以表示出不分主次地位。錯視，利用透視、錯視拓展空間，或對空間形態(tài)、圖形、線段進行矯正，引起觀眾視覺和心理上的新感受，而達到強化展示效果。4.2擬人化 擬人化是指把非人類的東西加以人格化，賦于他們以人類的思想感情、行動和語言能力。而擬人化設計又可以分為聯(lián)想、夸張、比擬的手法。聯(lián)想，是采用聯(lián)想展示手法，進行陳列布置?？鋸?，是采用符合生活邏輯和哲理的夸張手法，解釋展覽內容、事物的本質，以引起人們的重視。比擬，是采用合乎情理的類比與推理方法，進行比擬，能深入淺出地說明問題。4.3情景化 情景化，是采用具有典型生活場景或情節(jié)，配上人形模特和使用的物品，創(chuàng)造出真實的氣氛。 情景化的環(huán)境，可以是用各種材料仿真制作的環(huán)境，可以是通過某些具有代表性的事物、圖形、符號、聲音甚至是氣味來引發(fā)觀眾的聯(lián)想，使相應的場景浮現(xiàn)在觀眾的腦海中。也可以利用多媒體技術增強展示互動效果，讓觀眾的臨場體驗感更強。展示設計中個性化視覺語言的發(fā)展趨勢 信息時代的到來使展示設計無賴是設計理念、思維方式還是表現(xiàn)手法上，都發(fā)生了很大的改變，具有了許多新的特點。4.1人性化 人性化設計，是指在設計過程當中，根據(jù)人的行為習慣、人體的生理結構、人的心理情況、人的思維方式等，對人們衣、食、住、行以及一切生活、生產(chǎn)活動的綜合分析。是在設計中對人的心理生理需求和精神追求的尊重和滿足，是設計中的人文關懷，是對人性的尊重。人性化設計是科學和藝術、技術與人性的結合，科學技術給設計以堅實的結構和良好的功能，而藝術和人性使設計富于美感，充滿情趣和活力。人性化的理念就是“以人為本”。也符合了展示設計中人作為主體來觀賞，人是最重要的研究對象的理念。 在展示設計中以人體工程學為基本的內容，以人為主體。此外，還考慮了各種公眾服務，考慮了無障礙設計等。在信息時代，融合科技和藝術，是展示空間更具人性化、更親切、更強調人在展示活動中的地位以及物質與精神上全方位的需求，為參觀者創(chuàng)造一個舒適而實用的觀賞環(huán)境。盡可能的以滿足觀眾的信息需求、生理需求和心理需求為目的，來營造一個更具親和力的環(huán)境。4.2互動化 展示設計中的互動化設計可以說在現(xiàn)代技術的支撐下，比較完美地實現(xiàn)和現(xiàn)代信息的傳播理念的方式之一。主要倡導民主與開發(fā)，倡導溝通與尊重。展示設計中的互動化設計也是最符合現(xiàn)代信息的傳播理念，更能調動觀眾的積極性，提高參觀的興趣；使的觀眾感覺自己不是被動的參觀展示，而是主動地體驗展示內容；感覺自己不是一個參觀者，而是一個參與者。 在展示概念中包含了互動與想象?；拥恼故驹O計，打破單一的靜態(tài)展示，有助于創(chuàng)造積極和令人愉悅的學習和展示環(huán)境。4.3虛擬化 數(shù)字化時代虛擬展示將成為未來展示設計的主要趨勢和補充。虛擬實境這一技術，隨著技術的發(fā)展和成本的降低，現(xiàn)今已經(jīng)得到了廣泛的應用。虛擬實境是指由計算機生成的即時性的模擬環(huán)境，經(jīng)過技術處理和程序計算可以讓使用者產(chǎn)生一種身臨其境般的影像或感官；同時使用者也可以通過輸入設備和計算機的展示產(chǎn)品及資料產(chǎn)生互動。虛擬展示方式也趨向多元化和主動化。 而故事化、情節(jié)化、場景化的聲光電全媒體技術等，這一切理由都使得虛擬實境成為展示設計發(fā)展趨勢的重要方面。6 結論 縱觀展示設計的發(fā)展和演變，不難發(fā)現(xiàn)，展示設計與技術的發(fā)展關系呈現(xiàn)越來越緊密的趨勢。傳統(tǒng)的設計觀念需要更新的技術思想澆灌才能夠升華。 展示設計，作為引領時尚的藝術語言。新時代前沿的信息發(fā)布者，呈現(xiàn)出對未來的無限遐想。在追求展示藝術設計的個性化獨特設計中，各個國家或地區(qū)根據(jù)不同的地域特點或民族特色，來追求自身的民族性或是個性化的展示藝術設計。未來的展示藝術設計，會有更多個性化的設計語言，符合多元化的生活標準，具有獨特的地域或者民族性。但需要注意的是，個性化設計固然重要，但在體現(xiàn)個性化的同時，還要注意與整體風格相吻合。 展示設計具有信息載體的作用，展示的最終效果，是為了更好的吸引觀眾，并促使觀眾對其留下深刻的印象。為了將展品的信息得到有效的傳遞，要提高展示藝術設計中空間的新穎和個性。結合具有獨特的個性化視覺語言，更好的展示宣傳主題、展品。達到更好的收益效果。 致 謝 非常感謝*****老師、*****老師在我大學的最后學習階段——畢業(yè)論文、畢業(yè)設計階段給我的指導，從最初的定題，到資料收集，到寫作、修改，到論文定稿，你們給了我耐心的指導和無私的幫助。感謝大學四年所有任課老師給予我的指導和幫助，是你們教會了我專業(yè)知識，教會了我如何學習，教會了我如何做人。正是由于他們，我才能在各方面取得顯著的進步。 感謝我的父母，在我每次遇到挫折的時候，給我支持和鼓勵，感謝陪我走過大學四年的同學們，我們一起度過許多快樂的日子，你們的幫助和鼓勵，讓我更加成熟、更加自信。 最后，向所有關心我的親人、師長、朋友們表示深深的感謝。 參 考 文 獻 王亞明.2008.展示設計.北京：中國電力出版社.20-72 李遠.2008.現(xiàn)代展示設計的發(fā)展趨勢.藝術教育，09:135 沈嘉.2001.展示設計的個性表達.藝術界，04：154 張鵬.2008.會展設計.北京：北京工藝美術出版社.24-50 趙衍文.2002.現(xiàn)代展示設計策劃與設計.北京：人民美術出版社.18-25 廖軍.2008.展示設計基礎與創(chuàng)意.北京：中國紡織出版社.1-54 第六章 線性空間 §1 集合映射 一 授課內容:§1 集合映射 二 教學目的:通過本節(jié)的學習,掌握集合映射的有關定義、運算,求和號與乘積號的定義.三 教學重點:集合映射的有關定義.四 教學難點:集合映射的有關定義.五 教學過程: 1.集合的運算,集合的映射(像與原像、單射、滿射、雙射)的概念 定義:(集合的交、并、差)設S是集合,A與B的公共元素所組成的集合成為A與B的交集,記作A?B；把A和B中的元素合并在一起組成的集合成為A與B的并集,記做A?B；從集合A中去掉屬于B的那些元素之后剩下的元素組成的集合成為A與B的差集,記做AB.定義:(集合的映射)設A、B為集合.如果存在法則f,使得A中任意元素a在法則f下對應B中唯一確定的元素(記做f(a)),則稱f是A到B的一個映射,記為 f:A?B,a?f(a).如果f(a)?b?B,則b稱為a在f下的像,a稱為b在f下的原像.A的所有元素在f下的像構成的B的子集稱為A在f下的像,記做f(A),即f(A)??f(a)|a?A?.若?a?a'?A,都有f(a)?f(a'), 則稱f為單射.若 ?b?B,都存在a?A,使得f(a)?b,則稱f為滿射.如果f既是單射又是滿射,則稱f為雙射,或稱一一對應.2.求和號與求積號(1)求和號與乘積號的定義 為了把加法和乘法表達得更簡練,我們引進求和號和乘積號.設給定某個數(shù)域K上n個數(shù)a1,a2,?,an,我們使用如下記號: ·６０·a1?a2???an??ai, a1a2?an??ai.i?1i?1nn當然也可以寫成 a1?a2???an?(2)求和號的性質 容易證明，1?i?n?ai, a1a2?an?1?i?n?ai.??ai???ai,?(ai?bi)??ai??bi,??aij???aij.i?1i?1i?1i?1i?1nnnnnnmmni?1j?1j?1i?1事實上,最后一條性質的證明只需要把各個元素排成如下形狀: a11a21?an1a12a22?an2?a1m?a2m ???anm分別先按行和列求和,再求總和即可.§2 線性空間的定義與簡單性質 一 授課內容：§2 線性空間的定義與簡單性質 二 教學目的：通過本節(jié)的學習,掌握線性空間的定義與簡單性質.三 教學重點：線性空間的定義與簡單性質.四 教學難點：線性空間的定義與簡單性質.五 教學過程： 1.線性空間的定義 (1)定義4.1(線性空間)設V是一個非空集合,且V上有一個二元運算“+”(V?V?V),又設K為數(shù)域,V中的元素與K中的元素有運算數(shù)量 ·６１· 乘法“?”(K?V?V),且“+”與“?”滿足如下性質: 1、加法交換律 ??,??V,有???????； 2、加法結合律 ??,?,??V,有(???)?????(???)； 3、存在“零元”,即存在0?V,使得???V,0????； 4、存在負元,即???V,存在??V,使得????0； 5、“1律” 1????； 6、數(shù)乘結合律 ?k,l?K,??V,都有(kl)??k(l?)?l(k?)； 7、分配律 ?k,l?K,??V,都有(k?l)??k??l?； 8、分配律 ?k?K,?,??V,都有k(???)?k??k?, 則稱V為K上的一個線性空間,我們把線性空間中的元素稱為向量.注意:線性空間依賴于“+”和“?”的定義,不光與集合V有關.(2)零向量和負向量的唯一性,向量減法的定義,線性空間的加法和數(shù)乘運算與通常數(shù)的加、乘法類似的性質 命題4.1 零元素唯一,任意元素的負元素唯一.證明:設0與0'均是零元素,則由零元素的性質,有0?0'?0?0'； ???V,設?,?'都是?的負向量,則 ??0???(?'??)????'?(???)???0??, 于是命題得證.由于負向量唯一,我們用??代表?的負向量.定義4.2(減法)我們定義二元運算減法“-”如下: ???定義為??(??).命題4.2 線性空間中的加法和數(shù)乘滿足如下性質: 1、加法滿足消去律 ???????????； 2、可移項 ???????????； 3、可以消因子 k???且k?0,則??1?； k4、0???0, k?0?0,(?1)????.(3)線性空間的例子 ·６２·例4.1令V表示在(a,b)上可微的函數(shù)所構成的集合,令K??,V中加法的定義就是函數(shù)的加法,關于K的數(shù)乘就是實數(shù)遇函數(shù)的乘法,V構成K上的線性空間.4.1.2線性空間中線性組合和線性表出的定義,向量組的線性相關與線性無關的定義以及等價表述,向量組的秩,向量組的線性等價；極大線性無關組.定義4.3(線性組合)給定V內一個向量組?1,?2,?,?s,又給定數(shù)域K內s個數(shù)k1,k2,?,ks,稱k1?1?k2?2???ks?s為向量組?1,?2,?,?s的一個線性組合.定義4.4(線性表出)給定V內一個向量組?1,?2,?,?s,設?是V內的一個向量,如果存在K內s個數(shù)k1,k2,?,ks,使得??k1?1?k2?2???ks?s,則稱向量?可以被向量組?1,?2,?,?s線性表出.定義4.5(向量組的線性相關與線性無關)給定V內一個向量組?1,?2,?,?s,如果對V內某一個向量?,存在數(shù)域K內不全為零的數(shù)k1,k2,?,ks,使得k1?1?k2?2???ks?s?0,則稱向量組?1,?2,?,?s線性相關；若由方程k1?1?k2?2???ks?s?0必定推出k1?k2???ks?0,則稱向量組?1,?2,?,?s線性無關.命題4.3 設?1,?2,??s?V,則下述兩條等價: 1)?1,?2,??s線性相關； 2)某個?i可被其余向量線性表示.證明同向量空間.定義4.6(線性等價)給定V內兩個向量組 ?1,?2,?,?r(Ⅰ), ?1,?2,?,?s(Ⅱ), 如果(Ⅰ)中任一向量都能被(Ⅱ)線性表示,反過來,(Ⅱ)中任一向量都能被(Ⅰ)線性表示,則稱兩向量組線性等價.定義4.7(極大線性無關部分組)給定V內一個向量組?1,?2,?,?s,如 ·６３· 果它有一個部分組?i1,?i2,?,?ir滿足如下條件:(i)、?i1,?i2,?,?ir線性無關； (ii)、原向量組中任一向量都能被?i1,?i2,?,?ir線性表示, 則稱此部分組為原向量組的一個極大線性無關部分組.由于在向量空間中我們證明的關于線性表示和線性等價的一些命題中并沒有用到Kn的一些特有的性質,于是那些命題在線性空間中依然成立.定義4.8(向量組的秩)一個向量組的任一極大線性無關部分組中均包含相同數(shù)目的向量,其向量數(shù)目成為該向量組的秩.例4.2 求證:向量組?e?1x,e?2x?的秩等于2(其中?1??2).證明:方法一:設k1,k2∈R,滿足k1e?1x?k2e?2x?0,則k1e?1x??k2e?2x,假若k1,k2不全為零,不妨設k1?0,則有e(?1??2)x??k2,而由于?1??2,等號左k1邊為嚴格單調函數(shù),矛盾于等號右邊為常數(shù).于是k1?k2?0.所以e?1x,e?2x線性無關,向量組的秩等于2.證畢.方法二:若在(a,b)上k1e?1x?k2e?2x?0, 兩端求導數(shù),得k1?1e?1x?k2?2e?2x?0，?c?c??k1e1?k2e2?0,以x?c?(a,b)代入,有? ?1c?2c??k1?1e?k2?2e?0.而e?1ce?2c?1e?2c?2e?2c?e(?1??2)c(?2??1)?0, 于是k1?k2?0.證畢.·６４·§3 維數(shù)、基與坐標 一 授課內容:§3 維數(shù)、基與坐標 二 教學目的:通過本節(jié)的學習,掌握線性空間的基與維數(shù),向量的坐標的有關定義及性質.三 教學重點:基與維數(shù)、向量坐標的有關定義.四 教學難點:基與維數(shù)、向量坐標的有關定義.五 教學過程: 1.線性空間的基與維數(shù),向量的坐標 設V是數(shù)域K上的線性空間,則有: 定義4.9(基和維數(shù))如果在V中存在n個向量?1,?2,?,?n,滿足: 1)?1,?2,?,?n線性無關； 2)V中任一向量在K上可表成?1,?2,?,?n的線性組合, 則稱?1,?2,?,?n為V的一組基.基即是V的一個極大線性無關部分組.基的個數(shù)定義為線性空間的維數(shù).命題4.4 設V是數(shù)域K上的n維線性空間,而?1,?2,?,?n?V.若V中任一向量皆可被?1,?2,?,?n線性表出,則?1,?2,?,?n是V的一組基.證明:由?1,?2,?,?n與V的一組基線性等價可以推出它們的秩相等.命題4.5 設V為K上的n維線性空間,?1,?2,?,?n?V,則下述兩條等價: 1)?1,?2,?,?n線性無關； 2)V中任一向量可被?1,?2,?,?n線性表出.定義4.10(向量的坐標)設V為K上的n維線性空間,?1,?2,?,?n是它的一組基.任給??V,由命題4.4,?可唯一表示為?1,?2,?,?n的線性組合,即?!ai?K,(i?1,2,?,n),使得??a1?1?a?2?2??an?n,于是我們稱?a1,a2,?,an?為?在基?1,?2,?,?n下的坐標.易見,在某組基下的坐標與V/K中的向量是一一對應的關系.·６５· §4 基變換與坐標變換 一 授課內容:§4 基變換與坐標變換 二 教學目的:通過本節(jié)的學習,掌握基變換與過渡矩陣的定義、運算, 坐標變換公式.三 教學重點:基變換與過渡矩陣的定義、運算, 坐標變換公式.四 教學難點:坐標變換公式的應用.五 教學過程: 1.線性空間的基變換,基的過渡矩陣 設V/K是n維線性空間,設?1,?2,?,?n和?1,?2,?,?n是兩組基,且 ??1?t11?1?t21?2???tn1?n,???t??t????t?,?2121222n2n ????????????????n?t1n?1?t2n?2???tnn?n.將其寫成矩陣形式 ?t11t12?t1n???tt?t2n?(?1,?2,?,?n)?(?1,?2,?,?n)?2122.????????t?t?tnn??n1n2定義4.11 我們稱矩陣 ?t11t12?t1n???tt?t2n?T??2122 ????????t?t?tnn??n1n2為從?1,?2,?,?n到?1,?2,?,?n的過渡矩陣.命題4.6 設在n維線性空間V/K中給定一組基?1,?2,?,?n.T是K上一個n階方陣.命 (?1,?2,?,?n)?(?1,?2,?,?n)T.·６６·則有?1,?2,?,?n是V/K的一組基,當且僅當T可逆.證明:若?1,?2,?,?n是線性空間V/K的一組基,則?1,?2,?,?n線性無關.考察同構映射?:V?Kn,???在?1,?2,?,?n下的坐標,構造方程 k1?(?1)?k2?(?2)???kn?(?n)?0, 其中ki?K,(i?1,2,?,n), ??(k1?1?k2?2???kn?n)?0?k1?1?k2?2???kn?n?0, ?k1?k2???kn?0??(?1),?(?2),?,?(?n)線性無關.?(?1),?(?2),?,?(?n)構成了過渡矩陣的列向量,所以過渡矩陣可逆； 反過來,若過渡矩陣可逆,則構造方程 k1?1?k2?2???kn?n?0,其中ki?K,(i?1,2,?,n), 兩邊用?作用,得到k1?(?1)?k2?(?2)???kn?(?n)?0, ?k1?k2???kn?0.證畢.2.向量的坐標變換公式；Kn中的兩組基的過渡矩陣(1)向量的坐標變換公式 設V/K有兩組基為?1,?2,?,?n和?1,?2,?,?n,又設?在?1,?2,?,?n下的坐標為?a1,a2,?,an?,即 ?a1???a??(?1,?2,?,?n)?2?，?????a???n?在?1,?2,?,?n下的坐標為(b1,b2,?,bn),即 ?b1???b??(?1,?2,?,?n)?2?.?????b???n?現(xiàn)在設兩組基之間的過渡矩陣為T,即(?1,?2,?,?n)?(?1,?2,?,?n)T.記 ·６７· ?a1??b1?????ab2?2???X?,Y?, ?????????a???b???n??n?于是 (?1,?2,?,?n)X?(?1,?2,?,?n)Y?[(?1,?2,?,?n)T]Y?(?1,?2,?,?n)(TY).于是,由坐標的唯一性,可以知道X?TY,這就是坐標變換公式.(2)Kn中兩組基的過渡矩陣的求法 我們設Kn中兩組基分別為 ?1?(a11,a12,?,a1n),?2?(a21,a22,?,a2n),?????????n?(an1,an2,?,ann).和 ?1?(b11,b12,?,b1n),?2?(b21,b22,?,b2n),?????????n?(bn1,bn2,?,bnn).而(?1,?2,?,?n)?(?1,?2,?,?n)T.按定義,T的第i個列向量分別是?i在基?1,?2,?,?n下的坐標.將?1,?2,?,?n和?1,?2,?,?n看作列向量分別排成矩陣 ?a11?a21?A?????a?n1a12?a1n??b11b12?b1n????a22?a2n?bb?b21222n?；B??，????????????b?an2?ann?b?bnn???n1n2則有B?AT,將A和B拼成n?2n分塊矩陣?A|B?,利用初等行變換將左邊矩陣A化為單位矩陣E,則右邊出來的就是過渡矩陣T,示意如下:(A|B)?行初等變換????(E|T).·６８· §5 線性子空間 一 授課內容:§5 線性子空間 二 教學目的:通過本節(jié)的學習,掌握線性子空間的定義、判別定理.三 教學重點:線性子空間的定義、判別定理.四 教學難點:線性子空間的判別定理.五 教學過程: 1.線性空間的子空間的定義 定義4.12(子空間)設V是數(shù)域K上的一個線性空間,M時V的一個非空子集.如果M關于V內的加法與數(shù)乘運算也組成數(shù)域K上的一個線性空間,則稱為V的一個子空間.命題4.7 設V是K上的線性空間,又設一個非空集合W?V,則W是子空間當且僅當下述兩條成立: i)W對減法封閉； ii)W對于K中元素作數(shù)乘封閉.證明:必要性由定義直接得出； 充分性:各運算律在V中已有,所以W滿足運算律的條件.只需要證明0?W且對于任意??W,???W,且對加法封閉即可.事實上,由于W關于數(shù)乘封閉,則0???0?W；(?1)??????W,于是對于??,??W,??????(??)?W,W關于加法封閉.于是W是V的一個子空間.證畢.事實上,W關于加法和數(shù)乘封閉也可以得出上述結論.命題4.8 設W是V的一個有限維子空間,則W的任一組基可以擴充為V的一組基.證明:設dimV?n,dimW?r,(r?n),若r?n,則命題為真； 若r?n,對n?r作歸納:設?1,?2,?,?r為W的一組基,取?r?1?VW,則?1,?2,?,?r,?r?1線性無關.于是令W'?{??k?r?1|??W,k?K},易見,W’是V的一個子空間,且dimW'?r?1,此時n?dimW'?n?r?1,對其用歸納假設即可.·６９· §6 子空間的交與和 一 授課內容:§6子空間的交與和 二 教學目的:通過本節(jié)的學習,掌握子空間的交與和的定義、性質及維數(shù)公式.三 教學重點:子空間的交與和的定義及維數(shù)公式.四 教學難點:子空間的交與和的性質及維數(shù)公式..五 教學過程: 1.子空間的交與和,生成元集 定義4.13 設?1,?2,?,?t?V,則 ?k1?1?k2?2???kt?t|ki?K,i?1,2,?,t? 是V的一個子空間,稱為由?1,?2,?,?t生成的子空間,記為L(?1,?2,?,?t).易見,生成的子空間的維數(shù)等于?1,?2,?,?t的秩.定義4.14(子空間的交與和)設V1,V2為線性空間V/K的子空間,定義 V1?V2?{v?V1且v?V2},稱為子空間的交； V1?V2?{v1?v2|v1?V1,v2?V2},稱為子空間的和.命題4.9 V1?V2和V1?V2都是V的子空間.證明:由命題4.7,只需要證明V1?V2和V1?V2關于加法與數(shù)乘封閉即可.事實上,??,??V1?V2,則?,??V1,?,??V2.由于V1,V2均是V的子空間,則????V1,????V2,于是????V1?V2,V1?V2關于加法封閉；???V1?V2,k?K,kv?V1,kv?V2,于是kv?V1?V2,V1?V2關于數(shù)乘封閉.??,??V1?V2,則由V1?V2的定義,??1,?1?V1,?2,?2?V2,使得???,????1??21?,2而?1??1?V1,?2??2?V2,則 ????(?1??2)?(?1??2)?(?1??1)?(?2??2)?V1?V2, V1?V2關于加法封閉；???V1?V2,k?K,??1?V1,?2?V2,使得???1??2,由于k?1?V1,k?2?V2,則k??k(?1??2)?k?1?k?2?V1?V2,V1?V2關于 ·７０·數(shù)乘封閉.證畢.命題4.10 設V1,V2,?,Vm是V的子空間,則V1?V2???Vm和V1?V2???Vm均為V的子空間.2.維數(shù)公式.定理4.1 設V為有限維線性空間,V1,V2為子空間,則 dim(V1?V2)?dimV1?dimV2?dim(V1?V2).這個定理中的公式被稱為維數(shù)公式.證明:設dimV1?s,dimV2?t,dim(V1?V2)?n,dim(V1?V2)?r,取V1?V2的一組基?1,?2,?,?r(若V1?V2=0,則r?0,基為空集),將此基分別擴充為V1,V2的基 ?1,?2,?,?r,?1,?2,?,?s?r, ?1,?2,?,?r,?1,?2,?,?t?r, 只需要證明?1,?2,?,?r,?1,?2,?,?s?r,?1,?2?，?t?r是V1?V2的一組基即可.首先,易見V1?V2中的任一向量都可以被?1,?2,?,?r,?1,?2,?,?s?r,?1,?2,?,?t?r線性表出.事實上,???V1?V2,則???1??2,其中?1?V1,?2?V2,而 ?1?k1?1?k2?2???kr?r?kr?1?1?kr?2?2???ks?s?r，?2?l1?1?l2?2???lr?r?lr?1?1?lr?2?2???lt?t?r.ki,lj?K 于是???1??2可被?1,?2,?,?r,?1,?2,?,?l?r,?1,?2?，?t?r線性表出.只要再證明向量組?1,?2,?,?r,?1,?2,?,?l?r,?1,?2,?,?t?r線性無關即可.設k1?1?k2?2???kr?r?a1?1?a2?2???as?r?s?r?b1?1?b2?2???bt?r?t?r?0, 其中ki,aj,bh?K.則 k1?1?k2?2???kr?r?a1?1?a2?2???as?r?s?r??b1?1?b2?2???bt?r?t?r(*)于是 k1?1?k2?2???kr?r?a1?1?a2?2???as?r?s?r?V1, ?b1?1?b2?2???bt?r?t?r?V2，·７１· 于是k1?1?k2?2???kr?r?a1?1?a2?2???as?r?s?r?V1?V2,記為?.則?可被?1,?2,?,?r線性表示,設 ??h1?1?h2?2???hr?r, 代入(*),有 h1?1?h2?2???hr?r?b1?1?b2?2???bt?r?t?r?0, 由于?1,?2,?,?r,?1,?2,?,?t?r是V2的一組基,所以線性無關,則 h1?h2???hr?b1?b2???bt?r?0, 代回(*),又有k1?k2???kr?a1?a2???as?r?0, 于是向量組?1,?2,?,?r,?1,?2,?,?s?r,?1,?2,?,?t?r線性無關.證畢.推論2.1 設V1,V2,?,Vt都是有限為線性空間V的子空間,則: dim(V1?V2???Vt)?dimV1?dimV2???dimVt.證明:對t作歸納.§7 子空間的直和 一 授課內容:§7 子空間的直和 二 教學目的:通過本節(jié)的學習,掌握子空間的直和與補空間的定義及性質.三 教學重點:子空間的直和的四個等價定義.四 教學難點:子空間的直和的四個等價定義.五 教學過程: 1.子空間的直和與直和的四個等價定義 定義 設V是數(shù)域K上的線性空間,V1,V2,?,Vm是V的有限為子空間.若對于?Vi中任一向量,表達式 i?1m???1??2????m,?i?Vi,i?1,2,?,m.·７２·是唯一的,則稱?Vi為直和,記為 i?1mV1?V2???Vm或?Vi.i?1m定理 設V1,V2,?,Vm為數(shù)域K上的線性空間V上的有限為子空間,則下述四條等價: 1)V1?V2???Vm是直和； 2)零向量表示法唯一； ????V)?{0},?i?1,2,?,m； 3)Vi?(V1???Vim4)dim(V1?V2???Vm)?dimV1?dimV2???dimVm.證明: 1)?2)顯然.2)?1)設???1??2????m??1??2????m,則 (?1??1)?(?2??2)???(?m??m)?0.由2)知,零向量的表示法唯一,于是 ?i??i,i?1,2,?,m, 即?的表示法唯一.由直和的定義可知,V1?V2???Vm是直和.????V)?{0},2)?3)假若存在某個i,1?i?m,使得Vi?(V1???Vim????V),于是存在??V,使得 則存在向量??0且??Vi?(V1???Vjjim?i????m.???1????由線性空間的定義，????V), ???Vi?(V1???Vim則?1???(??)????m???(??)?0,與零向量的表示法唯一矛盾,于是 ????V)?{0},?i?1,2,?,m.Vi?(V1???Vim3)?2)若2)不真,則有 0??1????i????m, 其中?j?Vj(j?1,2,?,m)且??i?0.于是 ????V), ?i????m?Vi?(V1???V??i??1????im ·７３· 與3)矛盾,于是2)成立.3)?4)對m作歸納.①m=2時,由維數(shù)公式得到 dim(V1?V2)?dimV1?dimV2?dim(V1?V2)?dimV1?dimV2.②設m?1(m?3)已證,則對于m, dim(V1?V2???Vm)?dimVm?dim(V1?V2???Vm?1)?dim(Vm?(V1?V2???Vm?1))?dimVm?dim(V1?V2???Vm?1),而?i,1?i?m?1,都有 垐Vi?(V1???Vi???Vm?1)?Vi?(V1???Vi???Vm)?{0}； 由歸納假設,可以得到dim(V1?V2???Vm)?dimV1?dimV2???dimVm.4)?3)?i,1?i?m,都有 垐dim(Vi?(V1???Vi???Vm))?dim(Vi)?dim(V1???Vi???Vm)?dim(V1?V2???Vm)?0, ????V)?{0},?i?1,2,?,m.證畢.于是Vi?(V1???Vim推論 設V1,V2為V的有限維子空間,則下述四條等價: i)V1?V2是直和； ii)零向量的表示法唯一； iii)V1?V2?{0}； iv)dim(V1?V2)?dimV1?dimV2.2.直和因子的基與直和的基 命題 設V?V1?V2???Vm,則V1,V2,?,Vm的基的并集為V的一組基.證明: 設?i1,?i2,?,?ir是Vi的一組基,則V中任一向量可被 i?{?i?1mi1,?i2,?,?ir}線性表出.又dimV??dimVi?r1?r2???rm,由命題4.5,imi?1它們線性無關,于是它們是V的一組基.證畢.3.補空間的定義及存在性 定義 設V1為V的子空間,若子空間V2滿足V?V1?V2,則稱為V1的補 ·７４·空間.命題 有限維線性空間的任一非平凡子空間都有補空間.證明: 設V1為K上的n為線性空間V的非平凡子空間,取V1的一組基?1,?2,?,?r,將其擴為V的一組基?1,?2,?,?r,?r?1,?r?2,?,?n取V2?L(?r?1,?r?2,?,?n),則有 V?V1?V2,且dimV1?dimV2?n?dim(V1?V2), 于是V?V1?V2,即V2是V1的補空間.證畢.§8 線性空間的同構 一 授課內容:§1線性空間的同構 二 教學目的:通過本節(jié)的學習,掌握線性空間同構的有關定義及線性空間同構的判定.三 教學重點:線性空間同構的判定.四 教學難點:線性空間同構的判定.五 教學過程: 1.線性映射的定義 定義 設U,V為數(shù)域K上的線性空間,?:U?V為映射,且滿足以下兩個條件: i)?(???)??(?)??(?),(??,??U)； ii)?(k?)?k?(?),(???U,k?K), 則稱?為(由U到V的)線性映射.由數(shù)域K上的線性空間U到V的線性映射的全體記為HomK(U,V),或簡記為Hom(U,V).定義中的i)和ii)二條件可用下述一條代替: ?(k??l?)?k?(?)?k?(?),(??,??U,k,l?K).·７５· 例 Mm?n(K)是K上的線性空間,Ms?n(K)也是K上線性空間,取定一個K上的s?m矩陣A,定義映射 ?:Mm?n(K)?Ms?n(K),x?AX.則?是由Mm?n(K)到Ms?n(K)的線性映射.例 考慮區(qū)間(a,b)上連續(xù)函數(shù)的全體,它是R上的線性空間,令 U?L(1,sinx,sin2x,?,sinnx), V?L(1,cosx,cos2x,?,cosnx).再令 ?:則?是由U到V的一個線性映射.定義 設?:U?V是線性映射 U?V,f(x)?AX.i)如果?是單射,則稱?是單線性映射(monomorphism)； ii)如果?是滿射,則稱?是滿線性映射(endmorphism)； iii)如果?既單且滿,則稱?為同構映射(簡稱為同構,isomorphism),并說U與V是同構的,同構映射也稱為線性空間的同態(tài)(homomorphism),同構映射的逆映射也是同構映射； iv)?的核(kernel)定義為ker??{??U|?(?)?0}； v)?的像(image)定義為im?={??V|???U,s.t?(?)??},也記為?(U)； 命題 ker?和im?是V的子空間.證明:容易證明它們關于加法和數(shù)乘封閉.vi)?的余核定義為coker??V/im?.命題 線性映射f是單的當且僅當kerf?{0},f是滿的當且僅當cokerf?{0}.定理(同態(tài)基本定理)設f:U?V是數(shù)域K上的線性空間的滿線性 ·７６·映射,則映射 ?:U/kerf?V，??kerf?f(?).是同構映射.證明:首先證明?是映射,即若???'?U/kerf,則?(?)??(?').由于???',存在??kerf,使得???'??.于是 f(?)?f(?'??)?f(?')?f(?)?f(?'),即?(?)??(?').再證明?是線性映射.??,??U/ker?,k,l?K,有 ?(k??l?)?f(k??l?)?kf(?)?lf(?)?k?(?)?l?(?).易見?是滿射,且有V?imf.只要再證明?是單射即可,即證明.設??ker?,則?(?)?f(?)?0,于是??kerf,即有??0.ker??{0}證畢.命題 設?:U?V是線性映射,dimU?n,則下述三條等價: i)?單； ii)?將U中任意線性無關組映為V中的線性無關組； iii)dim?(U)?n.證明:i)?ii)若?1,?2,?,?t?V線性無關,則令 k1?(?1)?k2?(?2)???kt?(?t)?0, 由線性映射的定義,?(k1?1?k2?2???kt?t)?0.?單,于是k1?1?k?2?2??kt?t?0,則k1?k2???kt?0,ii)成立； ii)?iii)若取U的一組基?1,?2,?,?n,則由已知, ?(?1),?(?2),?,?(?n)線性無關,而im?中任意向量可以被?(?1),?(?2),?,?(?n)線性表出,于是?(?1),?(?2),?,?(?n)構成im?的一組基,iii)成立； iii)?i)由同態(tài)基本定理知U/ker??im?,于是diUm?di?m?ke?r?dim?k?e,r即有ker??{0}.證畢.·７７·第四篇：展示空間畢業(yè)論文
第五篇：高等代數(shù)北大版教案-第6章線性空間
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