第一篇：高考數(shù)學(xué)回歸課本教案：極限與導(dǎo)數(shù)
高考數(shù)學(xué)回歸課本教案
整理：盧立臻
第十四章 極限與導(dǎo)數(shù)
一、基礎(chǔ)知識(shí) 1．極限定義：（1）若數(shù)列{un}滿足，對(duì)任意給定的正數(shù)ε，總存在正數(shù)m，當(dāng)n>m且n∈N時(shí)，恒有|un-A|<ε成立（A為常數(shù)），則稱A為數(shù)列un當(dāng)n趨向于無(wú)窮大時(shí)的極限，記為x???limf(x),limf(x)，另外limf(x)=A表示x大于x0且趨向于x0時(shí)f(x)極限為A，稱右?x???x?x0f(x)表示x小于x0且趨向于x0時(shí)f(x)的左極限。極限。類似地lim?x?x02．極限的四則運(yùn)算：如果limf(x)=a, limg(x)=b，那么lim[f(x)±g(x)]=a±b，x?x0x?x0x?x0x?x0lim[f(x)?g(x)]=ab, limx?x0f(x)a?(b?0).g(x)bx?x0x?x03.連續(xù)：如果函數(shù)f(x)在x=x0處有定義，且limf(x)存在，并且limf(x)=f(x0)，則稱f(x)在x=x0處連續(xù)。
4．最大值最小值定理：如果f(x)是閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，那么f(x)在[a,b]上有最大值和最小值。
5．導(dǎo)數(shù)：若函數(shù)f(x)在x0附近有定義，當(dāng)自變量x在x0處取得一個(gè)增量Δx時(shí)（Δx充分?。?，因變量y也隨之取得增量Δy(Δy=f(x0+Δx)-f(x0)).若lim?y存在，則稱f(x)在?x?0?xx0處可導(dǎo)，此極限值稱為f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)（或變化率），記作f'(x0)或y'x?x0或dydx，即f'(x0)?limx0x?x0f(x)?f(x0)。由定義知f(x)在點(diǎn)x0連續(xù)是f(x)在x0可導(dǎo)的必
x?x0要條件。若f(x)在區(qū)間I上有定義，且在每一點(diǎn)可導(dǎo)，則稱它在此敬意上可導(dǎo)。導(dǎo)數(shù)的幾何意義是：f(x)在點(diǎn)x0處導(dǎo)數(shù)f'(x0)等于曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處切線的斜率。6．幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）(c)'=0（c為常數(shù)）；（2）(xa)'?axa?1（a為任意常數(shù)）；（3）(sinx)'?cosx;(4)(cosx)'??sinx;(5)(ax)'?axlna;(6)(ex)'?ex;（7）(logax)'?11logax；（8）(lnx)'?.xx7．導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則：若u(x),v(x)在x處可導(dǎo)，且u(x)≠0,則
（1）[u(x)?v(x)]'?u'(x)?v'(x)；（2）[u(x)v(x)]'?u'(x)v(x)?u(x)v'(x)；（3）
I,f''(x)?0,則曲線y=f(x)在I內(nèi)是下凸的；（2）如果對(duì)任意x∈I,f''(x)?0,則y=f(x)在I內(nèi)是上凸的。通常稱上凸函數(shù)為凸函數(shù)，下凸函數(shù)為凹函數(shù)。
+16．琴生不等式：設(shè)α1,α2,…,αn∈R，α1+α2+…+αn=1。（1）若f(x)是[a,b]上的凸函數(shù)，則x1,x2,…,xn∈[a,b]有f(a1x1+a2x2+…+anxn)?a1f(x1)+a2f(x2)+…+anf(xn).二、方法與例題 1．極限的求法。
an2n??1例1 求下列極限：（1）lim?2?2???2?；（2）lim（3）(a?0)；
n??1?ann??nnn???1?11??；n(n?1?n).lim??????（4）lim222n??n??n?2n?n??n?1[解]（1）lim?n(n?1)2n??1?12?1lim?=????lim?????； 222n??n??n2n??2nnn???22n?2an11（2）當(dāng)a>1時(shí)，lim?lim??1.nnn??1?ann???1??1????1lim???1n??a?a???當(dāng)0 2?limn??11?2n 1?1n1?.2例2 求下列極限：（1）lim(1+x)(1+x2)(1+x)…(1+x)(|x|<1)； n??1?x2?1?3（2）lim?（3）lim。??；x?11?x3x?11?x?3?x?1?x? 4．導(dǎo)數(shù)的計(jì)算。 5x2?3x?xcos2x例5 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）y=sin(3x+1)；（2）y?；（3）y=e；（4） xx（5）y=(1-2x)(x>0且x?y?ln(x?x2?1)； 1)。2[解]（1）y'?cos(3x?1)?(3x?1)'?3cos(3x+1).(5x2?3x?x)'?x?(5x2?3x?x)?(x)'(2)y'? 2x?1?2?10x?3??x?5x?3x?x??2x? ??x2?5?12x3.（3）y'?ecos2x?(cos2x)'?ecos2x?(?sin2x)?(2x)'??2ecos2x?sin2x.（4）y'?1x?x2?1?(x?x2?1)'???x? ???1?2?2x?x?1?x?1?1?1x?12.xxln(1?2x)（5）y'?[(1?2x)]'?[e]'?exln(1?2x)(xln(1?2x))' 2x???(1?2x)x?ln(1?2x)?.?1?2x??5．用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性。例6 設(shè)a>0，求函數(shù)f(x)=[解] f'(x)?x-ln(x+a)(x∈(0,+∞))的單調(diào)區(qū)間。 12x?122 (x?0)，因?yàn)閤>0,a>0，所以f'(x)?0?x+(2a-4)x+a>0；x?af'(x)?0?x2+(2a-4)x+a+<0.（1）當(dāng)a>1時(shí)，對(duì)所有x>0，有x+(2a-4)x+a>0，即f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增； 22（2）當(dāng)a=1時(shí)，對(duì)x≠1,有x+(2a-4)x+a>0，即f'(x)?0，所以f(x)在（0，1）內(nèi)單調(diào) 2遞增，在（1，+∞）內(nèi)遞增，又f(x)在x=1處連續(xù)，因此f(x)在(0,+∞)內(nèi)遞增；（3）當(dāng) ?sin(1?y)xsinxsinxy2sinx?，令g(x)=, ?????2xxx?(1?y)?(1?y)xg'(x)?cosx(x?tanx)?(x?), 22x當(dāng)x??0,????時(shí)，因?yàn)閏osx>0,tanx>x，所以g'(x)?0； 2??當(dāng)x?????,??時(shí)，因?yàn)閏osx<0,tanx<0,x-tanx>0，所以g'(x)?0； ?2?又因?yàn)間(x)在(0,π)上連續(xù)，所以g(x)在(0,π)上單調(diào)遞減。又因?yàn)?<(1-y)x sin(1?y)xsinx??0，(1?y)xxy2sinx又因?yàn)??0，所以當(dāng)x∈(0,π),y∈(0,1)時(shí)，f(x,y)>0.2x(1?y)其次，當(dāng)x=0時(shí)，f(x,y)=0；當(dāng)x=π時(shí)，f(x,y)=(1-y)sin(1-y)π?0.當(dāng)y=1時(shí)，f(x,y)=-sinx+sinx=0；當(dāng)y=1時(shí)，f(x,y)=sinx?0.綜上，當(dāng)且僅當(dāng)x=0或y=0或x=π且y=1時(shí)，f(x,y)取最小值0。 三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題 2n?1?3n?11．lim=_________.n??2n?3n?n2?1??2．已知lim??an?b??2，則a-b=_________.n???n?1??1?cos3．limn???3x?4x?12(n?1)?lim?_________.3n??n3x?2x2?232xn?1?(n?1)x?n4．lim?_________.x?1(x?1)22?(?1)n?lim(x2?1?x2?1)?_________.5．計(jì)算limn??x???n6．若f(x)是定義在(-∞,+∞)上的偶函數(shù)，且f'(0)存在，則f'(0)?_________.7．函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上可導(dǎo)，且f'(2)?1，則limh?0f(2?h)?f(2?h)?_________.2h8．若曲線f(x)=x4-x在點(diǎn)P處的切線平行于直線3x-y=0，則點(diǎn)P坐標(biāo)為_(kāi)________.9．函數(shù)f(x)=x-2sinx的單調(diào)遞增區(qū)間是_________.五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題 1．設(shè)Mn={（十進(jìn)制）n位純小數(shù)0?a1a2?an|ai只取0或1（i=1,2,…,n-1），an=1}，Tn是Mn中元素的個(gè)數(shù)，Sn是Mn中所有元素的和，則limSn?_________.n??Tn2．若(1-2)展開(kāi)式的第3項(xiàng)為288，則lim?x9 1??11?2???n??_________.n??xxx??3．設(shè)f(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f'(x)g(x)?f(x)g'(x)?0，且g(-3)=0，則不等式f(x)g(x)<0的解集為_(kāi)________.4．曲線y?2?+121x與y?x3?2的交點(diǎn)處的切線夾角是_________.242ax5．已知a∈R，函數(shù)f(x)=xe的單調(diào)遞增區(qū)間為_(kāi)________.x2在(a,3-a)上有最大值，則a的取值范圍是_________.21?xx 2?a(a?0)恒成立，7．當(dāng)x∈(1,2]時(shí)，f(x)=則y=lg(a-a+3)的最小值為_(kāi)________.2x?16．已知f(x)?8．已知f(x)=ln(e+a)(a>0)，若對(duì)任意x∈[ln(3a),ln(4a)]，不等式|m-f(x)|+ln[f'(x)]<0恒成立，則實(shí)數(shù)m取值范圍是_________.9.已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,（1）求函數(shù)f(x)的最大值；（2）設(shè)0 ?a??x?數(shù)，且a 2222（3）若x1∈Ik=[k,(k+1)],x2∈Ik+1=[(k+1),(k+2)]，證明： 22gI(x1)?gI(x2)?kk?14.k(k?1) 六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題 x2x21．證明下列不等式：（1）x??ln(x)?x?(x?0)； 22(1?x)（2）tanxx????,x??0,?。xsinx?2?-9 高考數(shù)學(xué)回歸課本教案 立體幾何 一、基礎(chǔ)知識(shí) 公理1 一條直線。上如果有兩個(gè)不同的點(diǎn)在平面。內(nèi)．則這條直線在這個(gè)平面內(nèi)，記作：a?a． 公理2 兩個(gè)平面如果有一個(gè)公共點(diǎn)，則有且只有一條通過(guò)這個(gè)點(diǎn)的公共直線，即若P∈α∩β，則存在唯一的直線m，使得α∩β=m,且P∈m。 公理3 過(guò)不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)有且只有一個(gè)平面。即不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面． 推論l 直線與直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面． 推論2 兩條相交直線確定一個(gè)平面． 推論3 兩條平行直線確定一個(gè)平面． 公理4 在空間內(nèi)，平行于同一直線的兩條直線平行． 定義1 異面直線及成角：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線．過(guò)空間任意一點(diǎn)分別作兩條異面直線的平行線，這兩條直線所成的角中，不超過(guò)900的角叫做兩條異面直線成角．與兩條異面直線都垂直相交的直線叫做異面直線的公垂線，公垂線夾在兩條異面直線之間的線段長(zhǎng)度叫做兩條異面直線之間的距離． 定義2 直線與平面的位置關(guān)系有兩種；直線在平面內(nèi)和直線在平面外．直線與平面相交和直線與平面平行(直線與平面沒(méi)有公共點(diǎn)叫做直線與平面平行)統(tǒng)稱直線在平面外． 定義3 直線與平面垂直：如果直線與平面內(nèi)的每一條直線都垂直，則直線與這個(gè)平面垂直． 定理1 如果一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則直線與平面垂直． 定理2 兩條直線垂直于同一個(gè)平面，則這兩條直線平行． 定理3 若兩條平行線中的一條與一個(gè)平面垂直，則另一條也和這個(gè)平面垂直． 定理4 平面外一點(diǎn)到平面的垂線段的長(zhǎng)度叫做點(diǎn)到平面的距離，若一條直線與平面平行，則直線上每一點(diǎn)到平面的距離都相等，這個(gè)距離叫做直線與平面的距離． 定義5 一條直線與平面相交但不垂直的直線叫做平面的斜線．由斜線上每一點(diǎn)向平面引垂線，垂足叫這個(gè)點(diǎn)在平面上的射影．所有這樣的射影在一條直線上，這條直線叫做斜線在平面內(nèi)的射影．斜線與它的射影所成的銳角叫做斜線與平面所成的角． 結(jié)論1 斜線與平面成角是斜線與平面內(nèi)所有直線成角中最小的角． 定理4(三垂線定理)若d為平面。的一條斜線，b為它在平面a內(nèi)的射影，c為平面a內(nèi)的一條直線，若c?b，則c?a．逆定理：若c?a，則c?b． 定理5 直線d是平面a外一條直線，若它與平面內(nèi)一條直線b平行，則它與平面a平行 定理6 若直線。與平面α平行，平面β經(jīng)過(guò)直線a且與平面a交于直線6，則a//b． 結(jié)論2 若直線。與平面α和平面β都平行，且平面α與平面β相交于b，則a//b． 定理7(等角定理)如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行且方向相同，則兩個(gè)角相等． 定義6 平面與平面的位置關(guān)系有兩種：平行或相交．沒(méi)有公共點(diǎn)即平行，否則即相交． 定理8 平面a內(nèi)有兩條相交直線a，b都與平面β平行，則α//β.定理9 平面α與平面β平行，平面γ∩α=a，γ∩β=b，則a//b． 定義7(二面角)，經(jīng)過(guò)同一條直線m的兩個(gè)半平面α,β(包括直線m，稱為二面角的棱)所組成的圖形叫二面角，記作α—m—β，也可記為A—m一B，α—AB—β等．過(guò)棱上任意一點(diǎn)P在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作棱的垂線AP，BP，則∠APB(≤900)叫做二面角的平面角． 它的取值范圍是[0，π]． 特別地，若∠APB＝900，則稱為直二面角，此時(shí)平面與平面的位置關(guān)系稱為垂直，即α?β.定理10 如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直． 定理11 如果兩個(gè)平面垂直，過(guò)第一個(gè)平面內(nèi)的一點(diǎn)作另一個(gè)平面的垂線在第一個(gè)平面內(nèi)． 定理12 如果兩個(gè)平面垂直，過(guò)第一個(gè)子面內(nèi)的一點(diǎn)作交線的垂線與另一個(gè)平面垂直． 定義8 有兩個(gè)面互相平行而其余的面都是平行四邊形，并且每相鄰兩個(gè)平行四邊形的公共邊(稱為側(cè)棱)都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱．兩個(gè)互相平行的面叫做底面．如果底面是平行四邊形則叫做平行六面體；側(cè)棱與底面垂直的棱柱叫直棱柱；底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱．底面是矩形的直棱柱叫做長(zhǎng)方體．棱長(zhǎng)都相等的正四棱柱叫正方體． 定義9 有一個(gè)面是多邊形(這個(gè)面稱為底面)，其余各面是一個(gè)有公共頂點(diǎn)的三角形的多面體叫棱錐．底面是正多邊形，頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心的棱錐叫正棱錐． 定理13(凸多面體的歐拉定理)設(shè)多面體的頂點(diǎn)數(shù)為V，棱數(shù)為E，面數(shù)為F，則 V+F-E=2． 定義10 空間中到一個(gè)定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)球面．球面所圍成的幾何體叫做球．定長(zhǎng)叫做球的半徑，定點(diǎn)叫做球心． 定理14 如果球心到平面的距離d小于半徑R，那么平面與球相交所得的截面是圓面，圓心與球心的連線與截面垂直．設(shè)截面半徑為r，則d2+r2＝R2．過(guò)球心的截面圓周叫做球大圓．經(jīng)過(guò)球面兩點(diǎn)的球大圓夾在兩點(diǎn)間劣弧的長(zhǎng)度叫兩點(diǎn)間球面距離． 定義11(經(jīng)度和緯度)用平行于赤道平面的平面去截地球所得到的截面四周叫做緯線．緯線上任意一點(diǎn)與球心的連線與赤道平面所成的角叫做這點(diǎn)的緯度．用經(jīng)過(guò)南極和北極的平面去截地球所得到的截面半圓周(以兩極為端點(diǎn))叫做經(jīng)線，經(jīng)線所在的平面與本初子午線所在的半平面所成的二面角叫做經(jīng)度，根據(jù)位置不同又分東經(jīng)和西經(jīng)． 定理15(祖 原理)夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等.定理16(三面角定理)從空間一點(diǎn)出發(fā)的不在同一個(gè)平面內(nèi)的三條射線共組成三個(gè)角．其中任意兩個(gè)角之和大于另一個(gè)，三個(gè)角之和小于3600． 定理17（面積公式）若一個(gè)球的半徑為R，則它的表面積為S球面=4πR2。若一個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，底面半徑為r，則它的側(cè)面積S側(cè)=πrl.4定理18（體積公式）半徑為R的球的體積為V球=3?R3；若棱柱（或圓柱）的底面積為s，高h(yuǎn)，則它的體積為V=sh；若棱錐（或圓錐）的底面積為s，高為h，則它的體積為1sh.V=3 定理19 如圖12-1所示，四面體ABCD中，記∠BDC=α，∠ADC=β，∠ADB=γ，∠BAC=A，∠ABC=B，∠ACB=C。DH?平面ABC于H。 （1）射影定理：SΔABD?cosФ=SΔABH，其中二面角D—AB—H為Ф。 sin??sin?sinB?sin?.（2）正弦定理：sinAsinC（3）余弦定理：cosα=cosβcosγ+sinβsinγcosA.cosA=-cosBcosC+sinBsinCcosα.V?13DH?SΔABC 2（4）四面體的體積公式1abc1?cos??cos22=6???cos??2cos?cos?cos? aa1dsin?162（其中d是a1, a之間的距離，?是它們的夾角） ?3aSΔABD?SΔACD?sinθ(其中θ為二面角B—AD—C的平面角)。 二、方法與例題 1．公理的應(yīng)用。 例1 直線a,b,c都與直線d相交，且a//b,c//b，求證：a,b,c,d共面。 [證明] 設(shè)d與a,b,c分別交于A,B,C,因?yàn)閎與d相交，兩者確定一個(gè)平面，設(shè)為a.又因?yàn)閍//b，所以兩者也確定一個(gè)平面，記為β。因?yàn)锳∈α，所以A∈β，因?yàn)锽∈b，所以B∈β，所以d?β.又過(guò)b,d的平面是唯一的，所以α，β是同一個(gè)平面，所以a?α.同理c?α.即a,b,c,d共面。 例2 長(zhǎng)方體有一個(gè)截面是正六邊形是它為正方體的什么條件？ [解] 充要條件。先證充分性，設(shè)圖12-2中PQRSTK是長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的正六邊形截面，延長(zhǎng)PQ，SR設(shè)交點(diǎn)為O，因?yàn)橹本€SR?平面CC1D1D，又O∈直線SR，所以O(shè)∈平面CC1D1D，又因?yàn)橹本€PQ?平面A1B1C1D1，又O∈直線PQ，所以O(shè)∈平面A1B1C1D1。所以O(shè)∈直線C1D1，由正六邊形性質(zhì)知，∠ORQ=∠OQR=600，所以ΔORQ CR?SRRO為正三角形，因?yàn)镃D//C1D1，所以 C1R=1。所以R是CC1中點(diǎn)，同理Q是B1C1的中點(diǎn)，又ΔORC1≌ΔOQC1，所以C1R=C1Q，所以CC1=C1B1，同理CD=CC1，所以該長(zhǎng)方體為正方體。充分性得證。必要性留給讀者自己證明。2．異面直線的相關(guān)問(wèn)題。 例3 正方體的12條棱互為異面直線的有多少對(duì)？ [解] 每條棱與另外的四條棱成異面直線，重復(fù)計(jì)數(shù)一共有異面直線12×4=48對(duì)，而每一 48?對(duì)異面直線被計(jì)算兩次，因此一共有224對(duì)。 例4 見(jiàn)圖12-3，正方體，ABCD—A1B1C1D1棱長(zhǎng)為1，求面對(duì)角線A1C1與AB1所成的角。 [解] 連結(jié)AC，B1C，因?yàn)锳1A邊形，所以A1C1//?//?B1B //?C1C，所以A1A //?C1C，所以A1ACC1為平行四AC。 所以AC與AB1所成的角即為A1C1與AB1所成的角，由正方體的性質(zhì)AB1=B1C=AC，所以∠B1AC=600。所以A1C1與AB1所成角為600。 3．平行與垂直的論證。 例5 A，B，C，D是空間四點(diǎn)，且四邊形ABCD四個(gè)角都是直角，求證：四邊形ABCD是矩形。 [證明] 若ABCD是平行四邊形，則它是矩形；若ABCD不共面，設(shè)過(guò)A，B，C的平面為α，過(guò)D作DD1?α于D1，見(jiàn)圖12-4，連結(jié)AD1，CD1，因?yàn)锳B?AD1，又因?yàn)镈D1?平面α，又AB?α，所以DD1?AB，所以AB?平面ADD1，所以AB?AD1。同理BC?CD1，所以ABCD1為矩形，所以∠AD1C=900，但AD1 例6 一個(gè)四面體有兩個(gè)底面上的高線相交。證明：它的另兩條高線也相交。 [證明] 見(jiàn)圖12-5，設(shè)四面體ABCD的高線AE與BF相交于O，因?yàn)锳E?平面BCD，所以AE?CD，BF?平面ACD，所以BF?CD，所以CD?平面ABO，所以CD?AB。設(shè)四面體另兩條高分別為CM，DN，連結(jié)CN，因?yàn)镈N?平面ABC，所以DN?AB，又AB?CD，所以AB?平面CDN，所以AB?CN。設(shè)CN交AB于P，連結(jié)PD，作CM'?PD于M'，因?yàn)锳B?平面CDN，所以AB?CM'，所以CM'?平面ABD，即CM'為四面體的高，所以CM'與CM重合，所以CM，DN為ΔPCD的兩條高，所以兩者相交。例7 在矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD中點(diǎn)，沿BE將ΔABE折起，并使AC=AD，見(jiàn)圖12-6。求證：平面ABE?平面BCDE。 [證明] 取BE中點(diǎn)O，CD中點(diǎn)M，連結(jié)AO，OM，OD，OC，則OM//BC，又CD?BC，所以O(shè)M?CD。又因?yàn)锳C=AD，所以AM?CD，所以CD?平面AOM，所以AO?CD。又因?yàn)锳B=AE，所以AO?BE。因?yàn)镋D≠BC，所以BE與CD不平行，所以BE與CD是兩條相交直線。所以AO?平面BC-DE。又直線AO?平面ABE。所以平面ABE?平面BCDE。 4．直線與平面成角問(wèn)題。 例8 見(jiàn)圖12-7，正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，G為BF的中點(diǎn)，將正方形沿EF折成1200的二面角，求AG和平面EBCF所成的角。 //?22221[解]設(shè)邊長(zhǎng)AB=2，因?yàn)镋F AD，又AD?AB。所以EF?AB，所以BG=2BF?125，又AE?EF，BE?EF，所以∠AEB=1200。過(guò)A作AM?BE于M，則∠AEM=600，112，AM=AEsin600=2ME=2AE?232.由余弦定理MG2=BM2+BG2-2BM?BGcos∠?5?351953?3????2??????????2?234425?2???MBG= =2，所以MG= 2.因?yàn)镋F?AE，EF?BE，所以EF?平面AEB，所以EF?AM，又AM?BE，所以AM?平面BCE。所以 32?64。所以AG與平面EBCF∠AGM為AG與平面EBCF所成的角。而tan∠AGM=2arctan64.所成的角為例9 見(jiàn)圖12-8，OA是平面α的一條斜角，AB?α于B，C在α內(nèi)，且AC?OC，∠AOC=α，∠AOB=β，∠BOC=γ。證明：cosα=cosβ?cosγ.[證明] 因?yàn)锳B?α，AC?OC，所以由三垂線定理，BC?OC，所以O(shè)Acosβ=OB,OBcosγ=OC,又RtΔOAC中，OAcosα=OC，所以O(shè)Acosβcosγ=OAcosα，所以cosα=cosβ?cosγ.5．二面角問(wèn)題。 例10 見(jiàn)圖12-9，設(shè)S為平面ABC外一點(diǎn)，∠ASB=450，∠CSB=600，二面角A—SB—C為直角二面角，求∠ASC的余弦值。 [解] 作CM?SB于M，MN?AS于N，連結(jié)CN，因?yàn)槎娼茿—SB—C為直二面角，所以平面ASB?平面BSC。又CM?SB，所以CM?平面ASB，又MN?AS，所以由三垂線定理的逆定理有CN?AS，所以SC?cos∠CSN=SN=SC?cos∠CSM?cos∠ASB，所以cos 2∠ASC=cos450cos600=4。 例11 見(jiàn)圖12-10，已知直角ΔABC的兩條直角邊AC=2，BC=3，P為斜邊AB上一點(diǎn)，沿CP將此三角形折成直二面角A—CP—B，當(dāng)AB= 7時(shí)，求二面角P—AC—B的大小。 [解] 過(guò)P作PD?AC于D，作PE?CP交BC于E，連結(jié)DE，因?yàn)锳—CP—B為直二面角，即平面ACP?平面CPB，所以PE?平面ACP，又PD?CA，所以由三垂線定理知DE?AC，所以∠PDE為二面角P—AC—B的平面角。設(shè)∠BCP=θ，則cos∠ECD=cosθ 2?3?2272?cos(900-θ)=sinθcosθ，由余弦定理cos∠ACB= ?2?2?3?112，所以sinθcosθ=2，2所以sin2θ=1.又0<2θ<π，所以θ=4，設(shè)CP=a，則PD=2a,PE=a.所以tan∠PE?2.PDE=PD 2。所以二面角P—AC—B的大小為arctan6．距離問(wèn)題。 例12 正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，求對(duì)角線AC與BC1的距離。 [解] 以B為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系如圖12-11所示。設(shè)P，Q分別是BC1，CA上的點(diǎn)，BP?13BC1,CQ?13CA且，各點(diǎn)、各向量的坐標(biāo)分別為A(a,0,0),B(0,0,0),C(0,a,0)，13CA?13BC1?BC?13BA?13BC?13BC?13BB1?13BC?13BA?13BB1PQ?BQ?BP?BC?1111113?(a,a,?a)PQ?BC1??PQ?CA?|PQ|?a3333a×a+3a×a=0, 3a3,所以，所以1×a-3a×a=0.所以PQ?BC1,PQ?CA。所以PQ為AC與BC1的公垂線段，所以兩者3a.距離為3 例13 如圖12-12所示，在三棱維S—ABC中，底面是邊長(zhǎng)為42的正三角形，棱SC的長(zhǎng)為2，且垂直于底面，E，D分別是BC，AB的中點(diǎn)，求CD與SE間的距離。 [分析] 取BD中點(diǎn)F，則EF//CD，從而CD//平面SEF，要求CD與SE間的距離就轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)C到平面SEF間的距離。 [解] 設(shè)此距離為h，則由體積公式 13?SC?S?CEF?VS?CEF?13h?S?SEF.h?233.計(jì)算可得SΔSEF=3，S?CEF?3.所以 7．凸多面體的歐拉公式。 例14 一個(gè)凸多面體有32個(gè)面，每個(gè)面或是三角形或是五邊形，對(duì)于V個(gè)頂點(diǎn)每個(gè)頂點(diǎn)均有T個(gè)三角形面和P個(gè)五邊形面相交，求100P+10T+V。 [解] 因F=32，所以32-E+V=2，所以E=V+30。因?yàn)門+P個(gè)面相交于每個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)有T+P條棱，所以2E=V(T+P).由此得V(T+P)=2(V+30)，即V(T+P-2)=60.由于每個(gè)三 VTVP角形面有三條棱，故三角形面有3個(gè)，類似地，五邊形有5個(gè)，又因?yàn)槊總€(gè)面或者是三 P??TV???5?=32，角形或者是五邊形，所以?3由此可得3T+5P=16，它的唯一正整數(shù)解為T=P=2，代入V(T+P-2)=60得V=30，所以100P+10T+V250。 8．與球有關(guān)的問(wèn)題。 例15 圓柱直徑為4R，高為22R，問(wèn)圓柱內(nèi)最多能裝半徑為R的球多少個(gè)？ [解] 最底層恰好能放兩個(gè)球，設(shè)為球O1和球O2，兩者相切，同時(shí)與圓柱相切，在球O1與球O2上放球O3與球O4，使O1O2與O3O4相垂直，且這4個(gè)球任兩個(gè)相外切，同樣在球O3與球O4上放球O5與球O6，……直到不能再放為止。先計(jì)算過(guò)O3O4與過(guò)O1O2的兩平行面與圓柱底面的截面間距離為 (3R)?R22?2R。設(shè)共裝K層，則(22-2)R<2R(K-1)+2R≤22R，解得K=15，因此最多裝30個(gè)。9．四面體中的問(wèn)題。 例16 已知三棱錐S—ABC的底面是正三角形，A點(diǎn)在側(cè)面SBC上的射影H是ΔSBC的垂心，二面角H—AB—C的平面角等于300，SA=23。求三棱錐S—ABC的體積。[解] 由題設(shè)，AH?平面SBC，作BH?SC于E，由三垂線定理可知SC?AE，SC?AB，故SC?平面ABE。設(shè)S在平面ABC內(nèi)射影為O，則SO?平面ABC，由三垂線定理的逆定理知，CO?AB于F。同理，BO?AC，所以O(shè)為ΔABC垂心。又因?yàn)棣BC是等邊三角形，故O為ΔABC的中心，從而SA=SB=SC=23，因?yàn)镃F?AB，CF是EF在平面ABC上的射影，又由三垂線定理知，EF?AB，所以∠EFC是二面角H—AB—C的平面角，1223??33故∠EFC=300，所以O(shè)C=SCcos600= 1?3,SO=3tan600=3，又OC=3AB，所 93以AB=3OC=3。所以VS—ABC=34×32×3=4。 例17 設(shè)d是任意四面體的相對(duì)棱間距離的最小值，h是四面體的最小高的長(zhǎng)，求證：2d>h.[證明] 不妨設(shè)A到面BCD的高線長(zhǎng)AH=h，AC與BD間的距離為d，作AF?BD于點(diǎn)F，CN?BD于點(diǎn)N，則CN//HF，在面BCD內(nèi)作矩形CNFE，連AE，因?yàn)锽D//CE，所以BD//平面ACE，所以BD到面ACE的距離為BD與AC間的距離d。在ΔAEF中，AH為邊EF上的高，AE邊上的高FG=d，作EM?AF于M，則由EC//平面ABD知，EM為點(diǎn)C到面ABD的距離（因EM?面ABD），于是EM≥AH=h。在RtΔEMF與RtΔAHF中，由EM h?AHFG?AEEF?AF?EFEF≥AH得EF≥AF。又因?yàn)棣EH∽ΔFEG，所以d≤2。所以2d>h.注：在前面例題中除用到教材中的公理、定理外，還用到了向量法、體積法、射影法，請(qǐng)讀者在解題中認(rèn)真總結(jié)。 三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題 1．正三角形ABC的邊長(zhǎng)為4，到A，B，C的距離都是1的平面有__________個(gè).2．空間中有四個(gè)點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，命題甲：E，F(xiàn)，G，H不共面；命題乙：直線EF和GH不相交，則甲是乙的__________條件。 3．動(dòng)點(diǎn)P從棱長(zhǎng)為a的正方體的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，沿棱運(yùn)動(dòng)，每條棱至多經(jīng)過(guò)一次，則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的最大距離為_(kāi)_________。 4．正方體ABCD—A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是面ADD1A1、面ABCD的中心，G為棱CC1中點(diǎn)，直線C1E，GF與AB所成的角分別是α，β。則α+β=__________。 5．若a,b為兩條異面直線，過(guò)空間一點(diǎn)O與a,b都平行的平面有__________個(gè)。 6．CD是直角ΔABC斜邊AB上的高，BD=2AD，將ΔACD繞CD旋轉(zhuǎn)使二面角A—CD—B為600，則異面直線AC與BD所成的角為_(kāi)_________。 17．已知PA?平面ABC，AB是⊙O的直徑，C是圓周上一點(diǎn)且AC=2AB，則二面角A—PC—B的大小為_(kāi)_________。 8．平面α上有一個(gè)ΔABC，∠ABC=1050，AC=2(6?使得SA=SB=SC= 2)，平面α兩側(cè)各有一點(diǎn)S，T，41，TA=TB=TC=5，則ST=_____________.9．在三棱錐S—ABC中，SA?底面ABC，二面角A—SB—C為直二面角，若∠BSC=450，SB=a，則經(jīng)過(guò)A，B，C，S的球的半徑為_(kāi)____________.10．空間某點(diǎn)到棱長(zhǎng)為1的正四面體頂點(diǎn)距離之和的最小值為_(kāi)____________.11．異面直線a,b滿足a//α,b//β,b//α,a//β，求證：α//β。 12．四面體SABC中，SA，SB，SC兩兩垂直，S0，S1，S2，S3分別表示ΔABC，ΔSBC，ΔSCA，ΔSAB的面積，求證： S0?S1?S2?S3.2222 13．正三棱柱ABC—A1B1C1中，E在棱BB1上，截面A1EC?側(cè)面AA1C1C，（1）求證：BE=EB1；（2）若AA1=A1B1，求二面角EC-A1-B1C1的平面角。 四、高考水平訓(xùn)練題 1．三棱柱ABC-A1B1C1中，M為A1B1的中點(diǎn)，N為B1C與BC1的交點(diǎn)，平面AMN交B1PB1C1于P，則PC1=_____________.1332.空間四邊形ABCD中，AD=1，BC=3，且AD?BC，BD=2BD所成的角為_(kāi)____________.，AC=2，則AC與3．平面α?平面β，α?β=直線AB，點(diǎn)C∈α，點(diǎn)D∈β，∠BAC=450，∠BAD=600，且CD?AB，則直線AB與平面ACD所成的角為_(kāi)____________.4．單位正方體ABCD—A1B1C1D1中，二面角A—BD1—B1大小為_(kāi)____________.5．如圖12-13所示，平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A在二面角α—MN—β的棱MN上，點(diǎn)B，C，D都在α上，且AB=2AD，∠DAN=450，∠BAD=600，若◇ABCD在半平面β上射影為為菜，則二面角α—MN—β=_____________.6．已知異面直線a,b成角為θ，點(diǎn)M，A在a上，點(diǎn)N，B在b上，MN為公垂線，且MN=d，MA=m，NB=n。則AB的長(zhǎng)度為_(kāi)____________.7．已知正三棱錐S—ABC側(cè)棱長(zhǎng)為4，∠ASB=450，過(guò)點(diǎn)A作截面與側(cè)棱SB，SC分別交于M，N，則截面ΔAMN周長(zhǎng)的最小值為_(kāi)____________.8．l1與l2為兩條異面直線，l1上兩點(diǎn)A，B到l2的距離分別為a,b，二面角A—l2—B大小為θ，則l1與l2之間的距離為_(kāi)____________.9．在半徑為R的球O上一點(diǎn)P引三條兩兩垂直的弦PA，PB，PC，則PA2+PB2+PC2=_____________.10．過(guò)ΔABC的頂點(diǎn)向平面α引垂線AA1，BB1，CC1，點(diǎn)A1，B1，C1∈α，則∠BAC與∠B1A1C1的大小關(guān)系是_____________.11．三棱錐A—BCD中∠ACB=∠ADB=900，∠ABC=600，∠BAD=450，二面角A—CD—B為直角二面角。（1）求直線AC與平面ABD所成的角；（2）若M為BC中點(diǎn)，E為BD中點(diǎn)，求AM與CE所成的角；（3）二面角M—AE—B的大小。 12．四棱錐P—ABCD底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，PD?底面ABCD，PD=6，M，N分別是PB，AB的中點(diǎn)，（1）求二面角M—DN—C的大小；（2）求異面直線CD與MN的距離。13．三棱錐S—ABC中，側(cè)棱SA，SB，SC兩兩互相垂直，M為ΔABC的重心，D為AB中點(diǎn)，作與SC平行的直線DP，證明：（1）DP與SM相交；（2）設(shè)DP與SM的交點(diǎn)為D'，則D'為三棱錐S—ABC外接球球心。 五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題 1．現(xiàn)有邊長(zhǎng)分別為3，4，5的三角形兩個(gè)，邊長(zhǎng)分別為4，5，41的三角形四個(gè)，邊長(zhǎng)分52別為6，4，5的三角形六個(gè)，用上述三角形為面，可以拼成_________個(gè)四面體。 2．一個(gè)六面體的各個(gè)面和一個(gè)正八面體的各個(gè)面都是邊長(zhǎng)為a的正三角形，這兩個(gè)多面體 m的內(nèi)切球的半徑之比是一個(gè)既約分?jǐn)?shù)n，那么mn=_________。 ??0???????3．已知三個(gè)平面α，β，γ每?jī)蓚€(gè)平面之間的夾角都是 ????2?，且???=a,????b,????c，命題甲：的_________條件。 3；命題乙：a,b,c相交于一點(diǎn)。則甲是乙4．棱錐M—ABCD的底面是正方形，且MA?AB，如果ΔAMD的面積為1，則能放入這個(gè)棱錐的最大球的半徑為_(kāi)________.5．將給定的兩個(gè)全等的正三棱錐的底面粘在一起，恰得到一個(gè)所有二面角都相等的六面體，并且該六面體的最短棱長(zhǎng)為2，則最遠(yuǎn)兩個(gè)頂點(diǎn)間距離為_(kāi)________。 6．空間三條直線a,b,c兩兩成異面直線，那么與a,b,c都相交的直線有_________條。7．一個(gè)球與正四面體的六條棱都相切，正四面體棱長(zhǎng)為a，這個(gè)球的體積為_(kāi)________。8．由曲線x2=4y,x2=-4y,x=4,x=-4圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為V1，滿足x2+y2≤16,x2+(y-2)2≥4,x2+(y+2)2≥4的點(diǎn)(x,y)組成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的V1?體積為V2，則V2_________。 9．頂點(diǎn)為P的圓錐的軸截面是等腰直角三角形，A是底面圓圍上的點(diǎn)，B是底面圓內(nèi)的點(diǎn)，O為底面圓圓心，AB?OB，垂足為B，OH?PB，垂足為H，且PA=4，C為PA的中點(diǎn)，則當(dāng)三棱錐C—HPC體積最大時(shí)，OB=_________。 10．OA,OB,OC是三個(gè)互相垂直的單位向量，π是過(guò)點(diǎn)O的一個(gè)平面，A',B',C'分別是A，B，C在π上的射影，對(duì)任意的平面π，由OA'?OB'?OC'構(gòu)成的集合為_(kāi)________。11．設(shè)空間被分為5個(gè)不交的非空集合，證明：一定有一個(gè)平面，它至少與其中的四個(gè)集合有公共點(diǎn)。 12．在四面體ABCD中，∠BDC=900，D到平面ABC的垂線的垂足S是ΔABC的垂心，試證：(AB+BC+CA)2≤6(AD2+BD2+CD2)，并說(shuō)明等號(hào)成立時(shí)是一個(gè)什么四面體？ 13．過(guò)正四面體ABCD的高AH作一平面，與四面體的三個(gè)側(cè)面交于三條直線，這三條直線與四面體的底面夾角為α，β，γ，求tan2α+tan2β+tan2γ之值。 六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題 1．能否在棱長(zhǎng)為1的正方體形狀的盒子里放入三個(gè)彼此至多有一個(gè)公共點(diǎn)的棱長(zhǎng)為1的正四面體？ cos?PAQ?1.2 2222．P，Q是正四面體A—BCD內(nèi)任意兩點(diǎn)，求證：已知銳角，試確定∠APC+∠BPD的最大值和最小值。3．P，A，B，C，D是空間五個(gè)不同的點(diǎn)，∠APB=∠BPC=∠CPD=∠DPA=θ，這里θ為4．空間是否存在有限點(diǎn)集M，使得對(duì)M中的任意兩點(diǎn)A，B，可以在M中另取兩點(diǎn)C，D，使直線AB和CD互相平行但不重合。 5．四面體ABCD的四條高AA1，BB1，CC1，DD1相交于H點(diǎn)（A1，B1，C1，D1分別為垂足）。三條高上的內(nèi)點(diǎn)A2，B2，C2滿足AA2：AA=BB2：B2B1=CC2：C2C1=2：1。證明：H，A2，B2，C2，D1在同一個(gè)球面上。 6．設(shè)平面α，β，γ，δ與四面體ABCD的外接球面分別切于點(diǎn)A，B，C，D。證明：如果平面α與β的交線與直線CD共面，則γ與δ的交線與直線AB共面。 高考數(shù)學(xué)回歸課本教案 整理：盧立臻 第十五章 復(fù)數(shù) 一、基礎(chǔ)知識(shí) 21．復(fù)數(shù)的定義：設(shè)i為方程x=-1的根，i稱為虛數(shù)單位，由i與實(shí)數(shù)進(jìn)行加、減、乘、除等運(yùn)算。便產(chǎn)生形如a+bi（a,b∈R）的數(shù)，稱為復(fù)數(shù)。所有復(fù)數(shù)構(gòu)成的集合稱復(fù)數(shù)集。通常用C來(lái)表示。2．復(fù)數(shù)的幾種形式。對(duì)任意復(fù)數(shù)z=a+bi（a,b∈R），a稱實(shí)部記作Re(z),b稱虛部記作Im(z).z=ai稱為代數(shù)形式，它由實(shí)部、虛部?jī)刹糠謽?gòu)成；若將(a,b)作為坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)，那么z與坐標(biāo)平面唯一一個(gè)點(diǎn)相對(duì)應(yīng)，從而可以建立復(fù)數(shù)集與坐標(biāo)平面內(nèi)所有的點(diǎn)構(gòu)成的集合之間的一一映射。因此復(fù)數(shù)可以用點(diǎn)來(lái)表示，表示復(fù)數(shù)的平面稱為復(fù)平面，x軸稱為實(shí)軸，y軸去掉原點(diǎn)稱為虛軸，點(diǎn)稱為復(fù)數(shù)的幾何形式；如果將(a,b)作為向量的坐標(biāo)，復(fù)數(shù)z又對(duì)應(yīng)唯一一個(gè)向量。因此坐標(biāo)平面內(nèi)的向量也是復(fù)數(shù)的一種表示形式，稱為向量形式；另外設(shè)z對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z，見(jiàn)圖15-1，連接OZ，設(shè)∠x(chóng)OZ=θ,|OZ|=r，則a=rcosθ,b=rsinθ,所以z=r(cosθ+isinθ)，這種形式叫做三角形式。若z=r(cosθ+isinθ)，則θ稱為z的輻角。若0≤θ<2π，則θ稱為z的輻角主值，記作θ=Arg(z).r稱為z的模，也記作|z|，由勾股定理知|z|=a2?b2.如果用e表示cosθ+isinθ，則z=re，iθ iθ稱為復(fù)數(shù)的指數(shù)形式。 3．共軛與模，若z=a+bi，（a,b∈R）,則z?a-bi稱為z的共軛復(fù)數(shù)。模與共軛的性質(zhì)有： ?z1（1）z1?z2?z1?z2；（2）z1?z2?z1?z2；（3）z?z?|z|；（4）??z?22?z1?；（5）???z2（6）||z1?z2|?|z1|?|z2|；22 22z1|z1|；（7）||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|；（8）|?z2|z2|1。z|z1+z2|+|z1-z2|=2|z1|+2|z2|；（9）若|z|=1，則z?4．復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則：（1）按代數(shù)形式運(yùn)算加、減、乘、除運(yùn)算法則與實(shí)數(shù)范圍內(nèi)一致，運(yùn)算結(jié)果可以通過(guò)乘以共軛復(fù)數(shù)將分母分為實(shí)數(shù)；（2）按向量形式，加、減法滿足平行四邊形和三角形法則；（3）按三角形式，若z1=r1(cosθ1+isinθ1), z2=r2(cosθ2+isinθ2)，則z1??z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；若z2?0,z1r1[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ?z2r22)]，用指數(shù)形式記為z1z2=r1r2e i(θ1+θ2),z1r1i(?1??2)?e.z2r2n5.棣莫弗定理：[r(cosθ+isinθ)]=r(cosnθ+isinnθ).n6.開(kāi)方：若w?r(cosθ+isinθ)，則w?nn r(cos??2k?n?isin??2k?n)，k=0,1,2,?,n-1。 [cos(?2??)?isin(?2??)]n?cosn(?2??)?isin(?2??)?cos(?2?n?)?isin(?2?n?)，所以n=4k+1.又因?yàn)?≤n≤2000，所以1≤k≤500，所以這樣的n有500個(gè)。4．二項(xiàng)式定理的應(yīng)用。 02410013599例5 計(jì)算：（1）C100；（2）C100 ?C100?C100???C100?C100?C100???C100[解](1+i)=[(1+i)]=(2i)=-2,=1002505050 由二項(xiàng)式定理(1+i)=)+（***00C100?C100i?C100i???C100i?C100i024100(C100?C100?C100???C***9)i，比較實(shí)部和虛部，得C100=-2，?C100?C100???C100C100?C100?C100???C10013599=0。C100?C100?C100???C1005．復(fù)數(shù)乘法的幾何意義。 例6 以定長(zhǎng)線段BC為一邊任作ΔABC，分別以AB，AC為腰，B，C為直角頂點(diǎn)向外作等腰直角ΔABM、等腰直角ΔACN。求證：MN的中點(diǎn)為定點(diǎn)。 [證明] 設(shè)|BC|=2a，以BC中點(diǎn)O為原點(diǎn)，BC為x軸，建立直角坐標(biāo)系，確定復(fù)平面，則B，C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為-a,a,點(diǎn)A，M，N對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z1,z2,z3,CA?z1?a,BA?z1?a，由復(fù)數(shù)乘法的幾何意義得：CN?z3?a??i(z1?a)，①BM?z2?a??i(z1?a)，②由①+②得z2+z3=i(z1+a)-i(z1-a)=2ai.設(shè)MN的中點(diǎn)為P，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z= z2?z3?ai,為2定值，所以MN的中點(diǎn)P為定點(diǎn)。 例7 設(shè)A，B，C，D為平面上任意四點(diǎn)，求證：AB?AD+BC?AD≥AC?BD。 [證明] 用A，B，C，D表示它們對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，則(A-B)(C-D)+(B-C)(A-D)=(A-C)(B-D)，因?yàn)閨A-B|?|C-D|+|B-C|?|A-D|≥(A-B)(C-D)+(B-C)(A-D).所以|A-B|?|C-D|+|B-C|?|A-D|≥|A-C|?|B-D|, “=”成立當(dāng)且僅當(dāng)Arg(B?AB?CD?AB?C)?Arg()，即Arg()?Arg()=π，即A，B，C，D共圓D?AC?DB?AD?C時(shí)成立。不等式得證。6．復(fù)數(shù)與軌跡。 例8 ΔABC的頂點(diǎn)A表示的復(fù)數(shù)為3i，底邊BC在實(shí)軸上滑動(dòng)，且|BC|=2，求ΔABC的外心軌跡。 [解]設(shè)外心M對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z=x+yi(x,y∈R)，B，C點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是b,b+2.因?yàn)橥庑腗是三邊垂直平分線的交點(diǎn)，而AB的垂直平分線方程為|z-b|=|z-3i|，BC的垂直平分線的方程為|z-b|=|z-b-2|，所以點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z滿足|z-b|=|z-3i|=|z-b-2|，消去b解得4x2?6(y?).3所以ΔABC的外心軌跡是軌物線。7．復(fù)數(shù)與三角。 例9 已知cosα+cosβ+cosγ=sinα+sinβ+sinγ=0，求證：cos2α+cos2β+cos2γ=0。[證明] 令z1=cosα+isinα,z2=cosβ+isinβ,z3=cosγ+isinγ，則 [證明] 以P為原點(diǎn)建立復(fù)平面，并用A，B，C，D，P，Q表示它們對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，由題設(shè)及復(fù)數(shù)乘法的幾何意義知D=iC,B=iA；取Q?三角形；又由C-Q=i(B-Q)得 C?iB，則C-Q=i(B-Q)，則ΔBCQ為等腰直角1?iDA?Q?i(?Q)，即A-Q=i(D-Q)，所以ΔADQ也為等腰直ii角三角形且以Q為直角頂點(diǎn)。綜上命題得證。 例14平面上給定ΔA1A2A3及點(diǎn)p0，定義As=As-3,s≥4，構(gòu)造點(diǎn)列p0,p1,p2,?,使得pk+1為繞0中心Ak+1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120時(shí)pk所到達(dá)的位置，k=0,1,2,?,若p1986=p0.證明：ΔA1A2A3為等邊三角形。[證明] 令u=ei?3，由題設(shè)，約定用點(diǎn)同時(shí)表示它們對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)，取給定平面為復(fù)平面，則p1=(1+u)A1-up0, p2=(1+u)A2-up1, p3=(1+u)A3-up2, 22①×u+②×(-u)得p3=(1+u)(A3-uA2+uA1)+p0=w+p0,w為與p0無(wú)關(guān)的常數(shù)。同理得 22p6=w+p3=2w+p0,?,p1986=662w+p0=p0，所以w=0，從而A3-uA2+uA1=0.由u=u-1得A3-A1=（A2-A1）u，這說(shuō)明ΔA1A2A3為正三角形。 三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題 221．滿足(2x+5x+2)+(y-y-2)i=0的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)有__________組。2．若z∈C且z2=8+6i,且z3-16z- 100=__________。z3.復(fù)數(shù)z滿足|z|=5，且(3+4i)?z是純虛數(shù)，則z?__________。4．已知z??21?3i，則1+z+z+?+z 2199 2=__________。 5.設(shè)復(fù)數(shù)z使得z?1?的一個(gè)輻角的絕對(duì)值為，則z輻角主值的取值范圍是__________。z?266．設(shè)z,w,λ∈C,|λ|≠1，則關(guān)于z的方程z-Λz=w的解為z=__________。 1?x1?x2?arcsin?__________。7.設(shè)0 ??29．若a,b,c∈C,則a+b>c是a+b-c>0成立的__________條件。 2210．已知關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x-2x+2=0和x+2mx+1=0的四個(gè)不同的根在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)共圓，則m取值的集合是__________。 211．二次方程ax+x+1=0的兩根的模都小于2，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。12．復(fù)平面上定點(diǎn)Z0，動(dòng)點(diǎn)Z1對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z0,z1，其中z0≠0，且滿足方程|z1-z0|=|z1|，①另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Z對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z滿足z1?z=-1，②求點(diǎn)Z的軌跡，并指出它在復(fù)平面上的形狀和位置。 13．N個(gè)復(fù)數(shù)z1,z2,?,zn成等比數(shù)列，其中|z1|≠1，公比為q,|q|=1且q≠±1,復(fù)數(shù)222222 ?|z1|?|z2|?|z3|?1,?zz?z13.給定實(shí)數(shù)a,b,c,已知復(fù)數(shù)z1,z2,z3滿足?1?2?3?1,求 ?z2z3z1|az1+bz2+cz3|的值。 三、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題 1．已知復(fù)數(shù)z滿足|2z?1|?1.則z的輻角主值的取值范圍是__________。z2．設(shè)復(fù)數(shù)z=cosθ+isinθ(0≤θ≤π)，復(fù)數(shù)z,(1+i)z，2z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的三個(gè)點(diǎn)分別是P，Q，R，當(dāng)P，Q，R不共線時(shí)，以PQ，PR為兩邊的平行四邊形第四個(gè)頂點(diǎn)為S，則S到原點(diǎn)距離的最大值為_(kāi)_________。3．設(shè)復(fù)平面上單位圓內(nèi)接正20邊形的20個(gè)頂點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)依次為z1,z2,?,z20,則復(fù)數(shù)1995z1,z1995,?,z1995220所對(duì)應(yīng)的不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)是__________。 4．已知復(fù)數(shù)z滿足|z|=1，則|z+iz+1|的最小值為_(kāi)_________。5．設(shè)w??130z1=w-z,z2=w+z,z1,z2對(duì)應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn)A，B，點(diǎn)O為原點(diǎn)，∠AOB=90，?i，22|AO|=|BO|，則ΔOAB面積是__________。6．設(shè)w?cos?5?isinm?5n，則(x-w)(x-w)(x-w)(x-w)的展開(kāi)式為_(kāi)_________。 3797．已知(3?i)=(1+i)(m,n∈N+)，則mn的最小值是__________。 8．復(fù)平面上，非零復(fù)數(shù)z1,z2在以i為圓心，1為半徑的圓上，z1?z2的實(shí)部為零，z1的輻角主值為?，則z2=__________。63?i7)?1]n的值中有實(shí)數(shù)__________個(gè)。29.當(dāng)n∈N,且1≤n≤100時(shí)，[(10．已知復(fù)數(shù)z1,z2滿足 z2z1??7?，且Argz1?，Argz2?，Argz3??，則 368z1z2Argz1?z2的值是__________。z318 4811．集合A={z|z=1},B={w|w=1},C={zw|z∈A,w∈B}，問(wèn)：集合C中有多少個(gè)不同的元素？ 12．證明：如果復(fù)數(shù)A的模為1，那么方程(1?ixn)?A的所有根都是不相等的實(shí)根（n1?ix∈N+）.13.對(duì)于適合|z|≤1的每一個(gè)復(fù)數(shù)z，要使0<|αz+β|<2總能成立，試問(wèn)：復(fù)數(shù)α，β應(yīng)滿足什么條件？ 六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題 第十四章 極限與導(dǎo)數(shù) 一、基礎(chǔ)知識(shí) 1．極限定義：（1）若數(shù)列{un}滿足，對(duì)任意給定的正數(shù)ε，總存在正數(shù)m，當(dāng)n>m且n∈N時(shí)，恒有|un-A|<ε成立（A為常數(shù)），則稱A為數(shù)列un當(dāng)n趨向于無(wú)窮大時(shí)的極限，記為x???limf(x),limf(x)，另外lim?f(x)=A表示x大于x0且趨向于x0時(shí)f(x)極限為A，稱右x???x?x0x?x0極限。類似地lim?f(x)表示x小于x0且趨向于x0時(shí)f(x)的左極限。 2極限的四則運(yùn)算：如果limf(x)=a, limg(x)=b，那么lim[f(x)±g(x)]=a±b，x?x0x?x0x?x0x?x0lim[f(x)?g(x)]=ab, limx?x0f(x)a?(b?0).g(x)bx?x0x?x03.連續(xù)：如果函數(shù)f(x)在x=x0處有定義，且limf(x)存在，并且limf(x)=f(x0)，則稱f(x)在x=x0處連續(xù)。 4．最大值最小值定理：如果f(x)是閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，那么f(x)在[a,b]上有最大值和最小值。 5．導(dǎo)數(shù)：若函數(shù)f(x)在x0附近有定義，當(dāng)自變量x在x0處取得一個(gè)增量Δx時(shí)（Δx充分?。?，因變量y也隨之取得增量Δy(Δy=f(x0+Δx)-f(x0)).若lim?y存在，則稱f(x)在x0 ?x?0?xdydx，x0處可導(dǎo)，此極限值稱為f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)（或變化率），記作f'(x0)或y'x?x0或即f'(x0)?limx?x0f(x)?f(x0)。由定義知f(x)在點(diǎn)x0連續(xù)是f(x)在x0可導(dǎo)的必要條件。x?x0若f(x)在區(qū)間I上有定義，且在每一點(diǎn)可導(dǎo)，則稱它在此敬意上可導(dǎo)。導(dǎo)數(shù)的幾何意義是：f(x)在點(diǎn)x0處導(dǎo)數(shù)f'(x0)等于曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處切線的斜率。6．幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）(c)'=0（c為常數(shù)）；（2）(xa)'?axa?1（a為任意常數(shù)）；（3）(sinx)'?cosx;(4)(cosx)'??sinx;(5)(ax)'?axlna;(6)(ex)'?ex;（7）(logax)'?11（8）(lnx)'?.logax；xx7．導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則：若u(x),v(x)在x處可導(dǎo)，且u(x)≠0,則 （1）[u(x)?v(x)]'?u'(x)?v'(x)；（2）[u(x)v(x)]'?u'(x)v(x)?u(x)v'(x)；（3） [（c為常數(shù)）；（4）[cu(x)]'?c?u'(x)1?u'(x)u(x)u(x)v'(x)?u'(x)v(x)[]'?]'?2；（5）。2u(x)u(x)u(x)u(x)8．復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法：設(shè)函數(shù)y=f(u),u=?(x)，已知?(x)在x處可導(dǎo)，f(u)在對(duì)應(yīng)的點(diǎn)u(u=?(x))處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y=f[?(x)]在點(diǎn)x處可導(dǎo)，且（f[?(x)])'=f'[?(x)]?'(x).9.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的性質(zhì)：（1）若f(x)在區(qū)間I上可導(dǎo)，則f(x)在I上連續(xù)；（2）若對(duì)一切x∈(a,b)有f'(x)?0，則f(x)在(a,b)單調(diào)遞增；（3）若對(duì)一切x∈(a,b)有f'(x)?0，則f(x)在(a,b)單調(diào)遞減。 10．極值的必要條件：若函數(shù)f(x)在x0處可導(dǎo)，且在x0處取得極值，則f'(x0)?0.11.極值的第一充分條件：設(shè)f(x)在x0處連續(xù)，在x0鄰域(x0-δ,x0+δ)內(nèi)可導(dǎo)，（1）若當(dāng)x∈(x-δ,x0)時(shí)f'(x)?0，當(dāng)x∈(x0,x0+δ)時(shí)f'(x)?0，則f(x)在x0處取得極小值；（2）若當(dāng)x∈(x0-δ，x0)時(shí)f'(x)?0，當(dāng)x∈(x0,x0+δ)時(shí)f'(x)?0，則f(x)在x0處取得極大值。 12．極值的第二充分條件：設(shè)f(x)在x0的某領(lǐng)域(x0-δ,x0+δ)內(nèi)一階可導(dǎo)，在x=x0處二階可導(dǎo)，且f'(x0)?0,f''(x0)?0。（1）若f''(x0)?0，則f(x)在x0處取得極小值；（2）若f''(x0)?0，則f(x)在x0處取得極大值。 13．羅爾中值定理：若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)上可導(dǎo)，且f(a)=f(b)，則存在ξ∈(a,b)，使f'(?)?0.[證明] 若當(dāng)x∈(a,b)，f(x)≡f(a)，則對(duì)任意x∈(a,b)，f'(x)?0.若當(dāng)x∈(a,b)時(shí)，f(x)≠f(a)，因?yàn)閒(x)在[a,b]上連續(xù)，所以f(x)在[a,b]上有最大值和最小值，必有一個(gè)不等于f(a)，不妨設(shè)最大值m>f(a)且f(c)=m，則c∈(a,b)，且f(c)為最大值，故f'(c)?0，綜上得證。 14．Lagrange中值定理：若f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)上可導(dǎo)，則存在ξ∈(a,b)，使f'(?)?f(b)?f(a).b?af(b)?f(a)(x?a),則F(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)上可導(dǎo)，且 b?af(b)?f(a)F(a)=F(b)，所以由13知存在ξ∈(a,b)使F'(?)=0，即f'(?)?.b?a[證明] 令F(x)=f(x)-15．曲線凸性的充分條件：設(shè)函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間I內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，（1）如果對(duì)任意x∈I,f''(x)?0,則曲線y=f(x)在I內(nèi)是下凸的；（2）如果對(duì)任意x∈I,f''(x)?0,則y=f(x)在I內(nèi)是上凸的。通常稱上凸函數(shù)為凸函數(shù)，下凸函數(shù)為凹函數(shù)。 +16．琴生不等式：設(shè)α1,α2,…,αn∈R，α1+α2+…+αn=1。（1）若f(x)是[a,b]上的凸函數(shù)，則x1,x2,…,xn∈[a,b]有f(a1x1+a2x2+…+anxn)?a1f(x1)+a2f(x2)+…+anf(xn).二、方法與例題 1．極限的求法。 an2n??1例1 求下列極限：（1）lim?2?2???2?；（2）lim（3）(a?0)； n??nn??1?annn???1?11??；n(n?1?n).lim??????（4）lim222n??n??n?2n?n??n?1 例2 求下列極限：（1）lim(1+x)(1+x)(1+x)…(1+x)(|x|<1)； n?? 2222nx2?11??3（2）lim?（3）lim。??； x?1x?11?x31?x3?x?1?x?? 2．連續(xù)性的討論。 例3 設(shè)f(x)在(-∞,+∞)內(nèi)有定義，且恒滿足f(x+1)=2f(x)，又當(dāng)x∈[0,1)時(shí)，2f(x)=x(1-x)，試討論f(x)在x=2處的連續(xù)性。 3．利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程。 4．導(dǎo)數(shù)的計(jì)算。 5x2?3x?xcos2x例5 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）y=sin(3x+1)；（2）y?；（3）y=e；（4） xxy?ln(x?x2?1)；（5）y=(1-2x)(x>0且x?1)。2 5．用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性。 例6 設(shè)a>0，求函數(shù)f(x)=x-ln(x+a)(x∈(0,+∞))的單調(diào)區(qū)間。 6．利用導(dǎo)數(shù)證明不等式。例7 設(shè)x?(0,?2)，求證：sinx+tanx>2x.7.利用導(dǎo)數(shù)討論極值。 2例8 設(shè)f(x)=alnx+bx+x在x1=1和x2=2處都取得極值，試求a與b的值，并指出這時(shí)f(x)在x1與x2處是取得極大值還是極小值。 例9 設(shè)x∈[0,π],y∈[0,1]，試求函數(shù)f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x的最小值。 三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題 2n?1?3n?11．lim=_________.n??2n?3n?n2?1???an?b2．已知lim???2，則a-b=_________.n???n?1??1?cos3．limn???3x?4x?12(n?1)?lim?_________.3n??n3x?2x2?232xn?1?(n?1)x?n?_________.4．lim2x?1(x?1)2?(?1)n5．計(jì)算lim?lim(x2?1?x2?1)?_________.n??x???n6．若f(x)是定義在(-∞,+∞)上的偶函數(shù)，且f'(0)存在，則f'(0)?_________.7．函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上可導(dǎo)，且f'(2)?1，則limh?0f(2?h)?f(2?h)?_________.2h8．若曲線f(x)=x4-x在點(diǎn)P處的切線平行于直線3x-y=0，則點(diǎn)P坐標(biāo)為_(kāi)________.9．函數(shù)f(x)=x-2sinx的單調(diào)遞增區(qū)間是_________.1?x210．函數(shù)f(x)?ln的導(dǎo)數(shù)為_(kāi)________.1?x211．若曲線y?0111在點(diǎn)處的切線的斜率為，求實(shí)數(shù)a.M(2,)2244(x?ax)12.求sin29的近似值。13．設(shè)0 sinaatana?,求證：??.sinbbtanb 2四、高考水平練習(xí)題 1?2?4???2n?11．計(jì)算lim=_________.n??1?3?32???3n?12?x3?x???_________.2．計(jì)算lim?2x????2x?12x?1???3．函數(shù)f(x)=2x-6x+7的單調(diào)遞增區(qū)間是_________.。32ex?e?x4．函數(shù)y?x的導(dǎo)數(shù)是_________.?xe?e5．函數(shù)f(x)在x0鄰域內(nèi)可導(dǎo)，a,b為實(shí)常數(shù)，若f'(x0)?c，則?x?0limf(x0?a?x)?f(x0?b?x)?_________.?x6．函數(shù)f(x)=1x?e(sinx+cosx),xx?[0,]的值域?yàn)開(kāi)________.227．過(guò)拋物線x=2py上一點(diǎn)(x0,y0)的切線方程為_(kāi)________.8．當(dāng)x>0時(shí)，比較大小：ln(x+1)_________x.5439.函數(shù)f(x)=x-5x+5x+1,x∈[-1,2]的最大值為_(kāi)________，最小值為_(kāi)________.-x-t10．曲線y=e(x?0)在點(diǎn)M(t,e)處的切線l與x軸、y軸所圍成的三角形面積為S(t)，則S(t)的最大值為_(kāi)________.2211．若x>0，求證：(x-1)lnx?(x-1).12．函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)可導(dǎo)。導(dǎo)函數(shù)f'(x)是減函數(shù)，且f'(x)>0，x0∈(0,+2∞).y=kx+m是曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線方程，另設(shè)g(x)=kx+m，（1）用x0,f(x0),f'(x0)表示m；（2）證明：當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)，g(x)?f(x)；（3）若關(guān)于x的不等32式x+1?ax+b?x3在(0,+∞)上恒成立，其中a,b為實(shí)數(shù)，求b的取值范圍及a,b所滿足2的關(guān)系。 13.設(shè)各項(xiàng)為正的無(wú)窮數(shù)列{xn}滿足lnxn+ 五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題 1．設(shè)Mn={（十進(jìn)制）n位純小數(shù)0?a1a2?an|ai只取0或1（i=1,2,…,n-1），an=1}，Tn是Mn中元素的個(gè)數(shù)，Sn是Mn中所有元素的和，則lim21xn?1?1(n?N?),證明：xn?1(n∈N+).Sn?_________.n??Tn2．若(1-2)展開(kāi)式的第3項(xiàng)為288，則lim?x9 1??11?2???n??_________.n??xxx??3．設(shè)f(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f'(x)g(x)?f(x)g'(x)?0，且g(-3)=0，則不等式f(x)g(x)<0的解集為_(kāi)________.4．曲線y?2?+121x與y?x3?2的交點(diǎn)處的切線夾角是_________.242ax5．已知a∈R，函數(shù)f(x)=xe的單調(diào)遞增區(qū)間為_(kāi)________.x2在(a,3-a)上有最大值，則a的取值范圍是_________.21?xx27．當(dāng)x∈(1,2]時(shí)，f(x)=則y=lg(a-a+3)的最小值為_(kāi)________.?a(a?0)恒成立，2x?16．已知f(x)?8．已知-1f(x)=ln(e+a)(a>0)，若對(duì)任意 x x∈[ln(3a),ln(4a)]，不等式|m-f(x)|+ln[f'(x)]<0恒成立，則實(shí)數(shù)m取值范圍是_________.9.已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,（1）求函數(shù)f(x)的最大值；（2）設(shè)0 ?a??x?數(shù)，且a 22（3）若x1∈Ik=[k,(k+1)],x2∈Ik+1=[(k+1),(k+2)]，證明：gI(x1)?gIk222 2k?1(x2)?4.k(k?1) 六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題 x2x21．證明下列不等式：（1）x??ln(x)?x?(x?0)； 22(1?x)（2）tanxx????,x??0,?。xsinx?2?ab?bc?cd?da2．當(dāng)0 x 已知函數(shù)f（x）=x^2+2x+alnx （1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間【0，1】上恒為單調(diào)函數(shù)，求a范圍 （2）當(dāng)t≥1時(shí)不等式f（2t-1）≥2f（t）-3恒成立，求a的范圍 (1)f'(x)=2x+2+a/x=(2x^2+2x+a)/x 因?yàn)閤>0,所以f'(x)的符號(hào)由二次函數(shù)g(x)=x^2+x+a/2決定。 二次函數(shù)g(x)的對(duì)稱軸為x=-1/2<0,所以g(x)在(0，1)上單調(diào)增加。因此如果g(1)=2+a/2<=0,即a<=-4，那么g(x)在(0，1)上恒小于0，因此f(x)單調(diào)減少。如果g(0)=a>=0, g(x)在(0，1)上恒大于0，因此f(x)在(0，1)單調(diào)增加。 因此 若函數(shù)f（x）在區(qū)間(0，1)上恒為單調(diào)函數(shù), a>=0或者a<=-4.(2)f(2t-1)>=2f(t)-3 <----> 2t^2-4t+2+aln(2t-1)=2lnt>=0 2(t-1)^2>+alm(2t-1)-2lnt>=0 設(shè)x=t-1, x>=0, 上面不等式等價(jià)于 2x^2+aln(2x+1)-2aln(x+1)>=0 ln(2x+1)<=ln(x^2+2x+1)=2ln(x+1) 所以如果a<=0, 上面的不等式顯然成立。 所以現(xiàn)在設(shè)a>0.2x^2+aln[(2x+1)/(x^2+2x+1)]>=0 ln[(2x+1)/(x^2+2x+1)]=ln[1-x^2/(x^2+2x+1)]>=-x^2/(x^2+2x+1)].所以如果2x^2-ax^2/(x^2+2x+1)]>=0, 即2(x+1)^2-a>=0,那么原不等式自然成立。2(x+1)^2-a>=0恒成立對(duì)x>=0, 那么a<=2.如果a>2, 因?yàn)楫?dāng)x--->0+時(shí)，極限x^2/ln[1-x^2/(x^2+2x+1)]=-1, 因此對(duì)充分小的正數(shù)x,2x^2+aln[1-x^2/(x^2+2x+1)]=ax^2*[2/a+ln[1-x^2/(x^2+2x+1)]/x^2]<0.綜上，a<=2.第二篇：高考數(shù)學(xué)回歸課本教案：立體幾何
第三篇：高考數(shù)學(xué)回歸課本教案：復(fù)數(shù)
第四篇：數(shù)學(xué)競(jìng)賽教案講義(14)——極限與導(dǎo)數(shù)
第五篇：高考數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)題
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