導(dǎo)數(shù)的綜合運用

高考題

26．【解析】(1)的定義域為，．

（i）若，則，當且僅當，時，所以在單調(diào)遞減．

（ii）若，令得，或．

當時，；

當時，．所以在，單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．

(2)由(1)知，存在兩個極值點當且僅當．

由于的兩個極值點，滿足，所以，不妨設(shè)，則．由于，所以等價于．

設(shè)函數(shù)，由(1)知，在單調(diào)遞減，又，從而當時，．

所以，即．

27．【解析】(1)當時，等價于．

設(shè)函數(shù)，則．

當時，所以在單調(diào)遞減．

而，故當時，即．

(2)設(shè)函數(shù)．

在只有一個零點當且僅當在只有一個零點．

（i）當時，沒有零點；

（ii）當時，．

當時，；當時，．

所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．

故是在的最小值．

①若，即，在沒有零點；

②若，即，在只有一個零點；

③若，即，由于，所以在有一個零點，由(1)知，當時，所以．

故在有一個零點，因此在有兩個零點．

綜上，在只有一個零點時，．

28．【解析】(1)當時，．

設(shè)函數(shù)，則．

當時，；當時，．

故當時，且僅當時，從而，且僅當時，．

所以在單調(diào)遞增．

又，故當時，；當時，．

(2)（i）若，由(1)知，當時，這與是的極大值點矛盾．

（ii）若，設(shè)函數(shù)．

由于當時，故與符號相同．

又，故是的極大值點當且僅當是的極大值點．

．

如果，則當，且時，故不是的極大值點．

如果，則存在根，故當，且時，所以不是的極大值點．

如果，則．則當時，；

當時，．所以是的極大值點，從而是的極大值點

綜上，．

29．【解析】(1)因為，所以（）

=．

．

由題設(shè)知，即，解得．

此時．

所以的值為1．

(2)由(1)得．

若，則當時，；

當時，．

所以在處取得極小值．

若，則當時，，所以．

所以2不是的極小值點．

綜上可知，的取值范圍是．

30．【解析】(1)由已知，有．

令，解得．

由，可知當變化時，的變化情況如下表：

0

0

+

極小值

所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，單調(diào)遞增區(qū)間為．

(2)證明：由，可得曲線在點處的切線斜率為．由，可得曲線在點處的切線斜率為．因為這兩條切線平行，故有，即．

兩邊取以a為底的對數(shù)，得，所以．

(3)證明：曲線在點處的切線：．

曲線在點處的切線：．

要證明當時，存在直線，使是曲線的切線，也是曲線的切線，只需證明當時，存在，使得l1和l2重合．

即只需證明當時，方程組有解，由①得，代入②，得．

③

因此，只需證明當時，關(guān)于的方程③有實數(shù)解．

設(shè)函數(shù)，即要證明當時，函數(shù)存在零點．，可知時，；時，單調(diào)遞減，又，故存在唯一的，且，使得，即．

由此可得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

在處取得極大值．

因為，故，所以

．

下面證明存在實數(shù)，使得．

由(1)可得，當時，有，所以存在實數(shù)，使得

因此，當時，存在，使得．

所以，當時，存在直線，使是曲線的切線，也是曲線的切線．

31．【解析】(1)函數(shù)，則，．

由且，得，此方程組無解，因此，與不存在“點”．

(2)函數(shù)，則．

設(shè)為與的“點”，由且，得，即，（*）

得，即，則．

當時，滿足方程組（*），即為與的“點”．

因此，的值為．

(3)對任意，設(shè)．

因為，且的圖象是不間斷的，所以存在，使得．令，則．

函數(shù)，則．

由且，得，即，（**）

此時，滿足方程組（**），即是函數(shù)與在區(qū)間內(nèi)的一個“點”．

因此，對任意，存在，使函數(shù)與在區(qū)間內(nèi)存在“點”．

32．【解析】(1)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由得，因為，所以．

由基本不等式得．

因為，所以．

由題意得．

設(shè)，則，所以

0

+

所以在上單調(diào)遞增，故，即．

(2)令，則，所以，存在使，所以，對于任意的及，直線與曲線有公共點．

由得．

設(shè)，則，其中．

由(1)可知，又，故，所以，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此方程至多1個實根．

綜上，當時，對于任意，直線與曲線有唯一公共點．

33．【解析】（1）的定義域為，（?。┤簦瑒t，所以在單調(diào)遞減．

（ⅱ）若，則由得．

當時，；當時，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．

（2）（?。┤簦桑?）知，至多有一個零點．

（ⅱ）若，由（1）知，當時，取得最小值，最小值為

．

①當時，由于，故只有一個零點；

②當時，由于，即，故沒有零點；

③當時，即．

又，故在有一個零點．

設(shè)正整數(shù)滿足，則．

由于，因此在有一個零點．

綜上，的取值范圍為．

34．【解析】（1）的定義域為．

設(shè)，則，等價于．

因為，故，而，得．

若，則．當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增．所以是的極小值點，故．

綜上，．

（2）由（1）知，．

設(shè)，則．

當時，；當時，．所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．

又，，所以在有唯一零點，在有唯一零點1，且當時，；當時，；當時，．

因此，所以是的唯一極大值點．

由得，故．

由得，．

因為是在的最大值點，由，得

．

所以．

35．【解析】（1）的定義域為．

①若，因為，所以不滿足題意；

②若，由知，當時，；當時，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故是在的唯一最小值點．

由于，所以當且僅當a=1時，．

故a=1．

（2）由（1）知當時，令得，從而

故

而，所以m的最小值為3．

36．【解析】（Ⅰ）因為，所以

（Ⅱ）由

解得

或．

因為

x

（，1）

（1，）

（，）

0

+

0

↘

0

↗

↘

又，所以在區(qū)間上的取值范圍是．

37．【解析】（1）由，得

.當時，有極小值.因為的極值點是的零點.所以，又，故.因為有極值，故有實根，從而，即.時，故在R上是增函數(shù)，沒有極值；

時，有兩個相異的實根，.列表如下

+

0

–

0

+

極大值

極小值

故的極值點是.從而，因此，定義域為.（2）由（1）知，．

設(shè)，則．

當時，所以在上單調(diào)遞增．

因為，所以，故，即．

因此．

（3）由（1）知，的極值點是，且，.從而

記，所有極值之和為，因為的極值為，所以，.因為，于是在上單調(diào)遞減.因為，于是，故.因此的取值范圍為.38．【解析】（Ⅰ）由，可得，進而可得.令，解得，或.當x變化時，的變化情況如下表：

x

+

+

↗

↘

↗

所以，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.（Ⅱ）證明：由，得，.令函數(shù)，則.由（Ⅰ）知，當時，故當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增.因此，當時，可得.令函數(shù)，則.由（Ⅰ）知，在上單調(diào)遞增，故當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減.因此，當時，可得.所以，.（Ⅲ）證明：對于任意的正整數(shù)，且，令，函數(shù).由（Ⅱ）知，當時，在區(qū)間內(nèi)有零點；

當時，在區(qū)間內(nèi)有零點.所以在內(nèi)至少有一個零點，不妨設(shè)為，則

.由（Ⅰ）知在上單調(diào)遞增，故，于是

.因為當時，故在上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上除外沒有其他的零點，而，故.又因為，均為整數(shù)，所以是正整數(shù)，從而.所以.所以，只要取，就有.39．【解析】（Ⅰ）由題意

又，所以，因此曲線在點處的切線方程為，即

．

（Ⅱ）由題意得，因為，令

則

所以在上單調(diào)遞增．

因為

所以

當時，當時，(1)當時，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，所以

當時取得極小值，極小值是；

(2)當時，由

得，①當時，當時，單調(diào)遞增；

當時，單調(diào)遞減；

當時，單調(diào)遞增．

所以

當時取得極大值．

極大值為，當時取到極小值，極小值是；

②當時，所以

當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值；

③當時，所以

當時，單調(diào)遞增；

當時，單調(diào)遞減；

當時，單調(diào)遞增；

所以

當時取得極大值，極大值是；

當時取得極小值．

極小值是．

綜上所述：

當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，函數(shù)有極小值，極小值是；

當時，函數(shù)在和和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)有極大值，也有極小值，極大值是

極小值是；

當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值；

當時，函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)有極大值，也有極小值，極大值是；

極小值是．

40．【解析】(Ⅰ)

因為，當時，，單調(diào)遞增，，單調(diào)遞減；

當時，①當時，或，單調(diào)遞增，，單調(diào)遞減；

②當時，，單調(diào)遞增，③當時，或，單調(diào)遞增，，單調(diào)遞減；

(Ⅱ)

由(Ⅰ)知，時，于是，令，，于是，的最小值為；

又

設(shè)，則在上單調(diào)遞減，因為，所以存在，使得，且

時，單調(diào)遞增；

時，單調(diào)遞減；

又，所以的最小值為．

所以．

即對于任意的成立．

41．【解析】（I）由題意，①當時，，在上單調(diào)遞減.②當時，令，有，當時，；

當時，.故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（II）令，．則．而當時，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．又由，有，從而當時，．

當，時，．

故當在區(qū)間內(nèi)恒成立時，必有．

當時，．

由（I）有，而，所以此時在區(qū)間內(nèi)不恒成立．

當時，令．

當時，因此，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．

又，所以當時，即恒成立．

綜上，42．【解析】(I)，可得，下面分兩種情況討論：

①，有恒成立，所以在上單調(diào)遞增；

②，令，解得，或．

當變化時，的變化情況如下表：

＋

0

－

0

＋

單調(diào)遞增

極大值

單調(diào)遞減

極小值

單調(diào)遞增

所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增

(II)因為存在極值點，所以由(I)知，且．

由題意得，即，而=

∴

且，由題意及(I)知，存在唯一實數(shù)滿足，且，因此，所以

（Ⅲ）證明：設(shè)在區(qū)間上的最大值為，表示兩數(shù)的最大值.下面分三種情況同理：

（1）當時，由（Ⅰ）知，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上的取值范圍為，因此在區(qū)間上的最大值，所以.（2）當時，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知，，所以在區(qū)間上的取值范圍為，因此

.（3）當時，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知，，所以在區(qū)間上的取值范圍為，因此

．

綜上所述，當時，在區(qū)間上的最大值不小于．

43．【解析】（Ⅰ）．

（i）設(shè)，則，只有一個零點．

（ii）設(shè)，則當時，；當時，．

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

又，取滿足且，則，故存在兩個零點．

（iii）設(shè)，由得或．

若，則，故當時，因此在上單調(diào)遞增．又當時，所以不存在兩個零點．

若，則，故當時，；

當時，．因此在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．又當時，所以不存在兩個零點．綜上，的取值范圍為．

（Ⅱ）不妨設(shè)，由（Ⅰ）知，又在上單調(diào)遞減，所以等價于，即．由于，而，所以．

設(shè)，則．

所以當時，而，故當時，．

從而，故．

44．【解析】（I）證明：

∵當時，∴在上單調(diào)遞增

∴時，∴

（Ⅱ），由（Ⅰ）知，單調(diào)遞增，對任意的，，因此，存在唯一，使得，即

當時，,單調(diào)遞減；

當時，,單調(diào)遞增．

因此在處取得最小值，最小值為

．

于是，由，得單調(diào)遞增．

所以，由，得，因為單調(diào)遞增，對任意的，存在唯一的，使得，所以的值域為．

綜上，當時，有最小值，的值域為．

45．【解析】（Ⅰ）．

（Ⅱ）當時，因此，．

當時，將變形為．

令，則是在上的最大值，，且當時，取得極小值，極小值為．

令，解得（舍去），．

（?。┊敃r，在內(nèi)無極值點，，所以．

（ⅱ）當時，由，知．

又，所以．

綜上，．

（Ⅲ）由（Ⅰ）得.當時，.當時，所以.當時，所以.46．【解析】（I）由于，故

當時，當時，．

所以，使得等式成立的的取值范圍為．

（II）（i）設(shè)函數(shù)，則，所以，由的定義知，即

．

（ii）當時，當時，．

所以，．

47．【解析】（1）因為，所以.①方程，即，亦即，所以，于是，解得.②由條件知.因為對于恒成立，且，所以對于恒成立.而，且，所以，故實數(shù)的最大值為4.（2）因為函數(shù)只有1個零點，而，所以0是函數(shù)的唯一零點.因為，又由知，所以有唯一解.令，則，從而對任意，所以是上的單調(diào)增函數(shù)，于是當，；

當時，.因而函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù)，在上是單調(diào)增函數(shù).下證.若，則，于是，又，且函數(shù)在以和為端點的閉區(qū)間上的圖象不間斷，所以在和之間存在的零點，記為.因為，所以，又，所以與“0是函數(shù)的唯一零點”矛盾.若，同理可得，在和之間存在的非0的零點，矛盾.因此，.于是，故，所以．

48．【解析】(Ⅰ)．

若，則當時，；

當時，．

若，則當時，；

當時，．

所以，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，對任意的，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．

故在處取得最小值．

所以對于任意，的充要條件是：，即

①

設(shè)函數(shù)，則．

當時，；當時．

故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．

又，故當時，．

當時，即①式成立；

當時，由得單調(diào)性，即；

當時，即

綜上，的取值范圍是．

49．【解析】：（Ⅰ）由題意知

函數(shù)的定義域為，令，（1）當時，此時，函數(shù)在單調(diào)遞增，無極值點；

（2）當時，①當時，，函數(shù)在單調(diào)遞增，無極值點；

②當時，設(shè)方程的兩根為，因為，所以，由，可得，所以當時，函數(shù)單調(diào)遞增；

當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；

當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；

因此函數(shù)有兩個極值點。

（3）當時，由，可得，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；

當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；

所以函數(shù)有一個極值點。

綜上所述：當時，函數(shù)有一個極值點；當時，函數(shù)無極值點；當時，函數(shù)有兩個極值點。

（II）由（I）知，（1）當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因為，所以

時，符合題意；

（2）當時，由，得，所以

函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以時，符合題意；

（3）當時，由，可得，所以時，函數(shù)單調(diào)遞減；

因為，所以時，不合題意；

（4）當時，設(shè)，因為時，所以在上單調(diào)遞增。

因此當時，即，可得，當時，此時，不合題意，綜上所述，的取值范圍是．

50．【解析】（1）

其中tan=，0<<．

令=0，由得+=，即=，．

對N，若<+<()，即<<()，則>0；

若（）<+<()，即（）<<()，則<0．

因此，在區(qū)間（，）與（，）上，的符號總相反．于是當=

()時，取得極值，所以.此時，易知0，而是常數(shù)，故數(shù)列是首項為

=，公比為的等比數(shù)列；

（2）由（1）知，=，于是對一切，<||恒成立，即

恒成立，等價于（*）恒成立（因為>0），設(shè)=（），則．令=0得=1，當0<<1時，所以在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞減；

當>1時，所以在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞增．

從而當=1時，函數(shù)取得最小值．

因此，要是（*）式恒成立，只需，即只需.而當=時，由tan==且．

于是，且當時，．

因此對一切，所以．

故（*）式亦恒成立．

綜上所述，若，則對一切，恒成立．

51．【解析】（Ⅰ）=，.曲線在點（0,2）處的切線方程為．

由題設(shè)得，所以．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，設(shè)，由題設(shè)知．

當≤0時，單調(diào)遞增，所以=0在有唯一實根．

當時，令，則．，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，所以在沒有實根.綜上，=0在R有唯一實根，即曲線與直線只有一個交點．

52．【解析】（Ⅰ）函數(shù)的定義域為

由可得

所以當時，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當時，函數(shù)單調(diào)遞增，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，的單調(diào)遞增區(qū)間為

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，時，在內(nèi)單調(diào)遞減，故在內(nèi)不存在極值點；

當時，設(shè)函數(shù)，因此．

當時，時，函數(shù)單調(diào)遞增

故在內(nèi)不存在兩個極值點；

當時，0

函數(shù)在內(nèi)存在兩個極值點

當且僅當，解得，綜上函數(shù)在內(nèi)存在兩個極值點時，的取值范圍為．

53．【解析】（Ⅰ），由題設(shè)知，解得．

（Ⅱ）的定義域為，由（Ⅰ）知，（ⅰ）若，則，故當時，在單調(diào)遞增，所以，存在，使得的充要條件為，即，解得．

（ii）若，則，故當時，；

當時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)

遞增．所以，存在，使得的充要條件為，而，所以不合題意．

（iii）若，則．

綜上，的取值范圍是．

54．【解析】（Ⅰ）由題意知時，此時，可得，又，所以曲線在處的切線方程為．

（Ⅱ）函數(shù)的定義域為，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當時，令，由于，①當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，②當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，③當時，設(shè)是函數(shù)的兩個零點，則，由，所以時，函數(shù)單調(diào)遞減，時，函數(shù)單調(diào)遞增，時，函數(shù)單調(diào)遞減，綜上可知，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減；

當時，在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

55．【解析】（Ⅰ），方程的判別式：．

∴當時，∴，此時在上為增函數(shù)．

當時，方程的兩根為．

當時，∴此時為增函數(shù)，當時，∴此時為減函數(shù)，當時，∴此時為增函數(shù)，綜上，時，在上為增函數(shù)

當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，．的單調(diào)遞減區(qū)間為．

（Ⅱ）

∴若存在，使得，必須在上有解，∵，∴，方程的兩根為：，∵，∴只能是，依題意，即，∴，即，又由，得，故欲使?jié)M足題意的存在，則．

∴當時，存在唯一的滿足

．

當時，不存在，使．

56．【解析】（Ⅰ），∴是上的偶函數(shù)

（Ⅱ）由題意，即

∵，∴，即對恒成立

令，則對任意恒成立

∵，當且僅當時等號成立

∴

（Ⅲ），當時，∴在上單調(diào)增

令，∵，∴，即在上單調(diào)減

∵存在，使得，∴，即

∵

設(shè)，則

當時，單調(diào)增；

當時，單調(diào)減

因此至多有兩個零點，而

∴當時，；

當時，；

當時，．

57．【解析】（I）．由已知得，．

故，．從而；

(II)

由（I）知，令得，或．

從而當時，；當，．

故在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．

當時，函數(shù)取得極大值，極大值為．

58．【解析】（Ⅰ）的定義域為，①

當或時，；當時，所以在，單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．

故當時，取得極小值，極小值為；當時，取得極大值，極大值為．

（Ⅱ）設(shè)切點為，則的方程為

所以在軸上的截距為

由已知和①得

令，則當時，的取值范圍為；

當時，的取值范圍是．

所以當時，的取值范圍是．

綜上，在軸上截距的取值范圍．

59．【解析】（Ⅰ）由，得．

又曲線在點處的切線平行于軸，得，即，解得．

（Ⅱ），①當時，為上的增函數(shù)，所以函數(shù)無極值．

②當時，令，得，．，；，．

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在處取得極小值，且極小值為，無極大值．

綜上，當時，函數(shù)無極小值；

當，在處取得極小值，無極大值．

（Ⅲ）當時，令，則直線：與曲線沒有公共點，等價于方程在上沒有實數(shù)解．

假設(shè)，此時，又函數(shù)的圖象連續(xù)不斷，由零點存在定理，可知在上至少有一解，與“方程在上沒有實數(shù)解”矛盾，故．

又時，知方程在上沒有實數(shù)解．

所以的最大值為．

解法二：（Ⅰ）（Ⅱ）同解法一．

（Ⅲ）當時，．

直線：與曲線沒有公共點，等價于關(guān)于的方程在上沒有實數(shù)解，即關(guān)于的方程：

（*）

在上沒有實數(shù)解．

①當時，方程（*）可化為，在上沒有實數(shù)解．

②當時，方程（*）化為．

令，則有．

令，得，當變化時，的變化情況如下表：

當時，同時當趨于時，趨于，從而的取值范圍為．

所以當時，方程（*）無實數(shù)解，解得的取值范圍是．

綜上，得的最大值為．

60．【解析】（Ⅰ）函數(shù)的定義域為(0，＋∞)．，令＝0，得.當x變化時，f′(x)，的變化情況如下表：

－

0

＋



極小值

所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.（Ⅱ）證明：當時，≤0.設(shè)，令，．

由(1)知，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．，．

故存在唯一的，使得成立．

（Ⅲ）證明：因為，由(2)知，且，從而，其中．

要使成立，只需.當時，若，則由的單調(diào)性，有，矛盾．

所以，即，從而成立．

另一方面，令，．，令，得．

當，；當時，.故對，．

因此成立．

綜上，當時，有.61．【解析】（Ⅰ）由題在上恒成立，在上恒成立，；

若，則在上恒成立，在上遞增，在上沒有最小值，當時，由于在遞增，時，遞增，時，遞減，從而為的可疑極小點，由題，綜上的取值范圍為．

（Ⅱ）由題在上恒成立，在上恒成立，由得，令，則，當時，遞增，當時，遞減，時，最大值為，又時，時，據(jù)此作出的大致圖象，由圖知：當或時，的零點有1個,當時，的零點有2個,62．【解析】（Ⅰ）的定義域為，．

若，則，所以在單調(diào)遞增．

若，則當時，當，所以

在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．

（Ⅱ）

由于，所以(x－k)

f′(x)+x+1=．

故當時，(x－k)

f′(x)+x+1>0等價于

（）

①

令，則

由（Ⅰ）知，函數(shù)在單調(diào)遞增．而，所以在存在唯一的零點，故在存在唯一的零點，設(shè)此零點為，則．當時，；當時，所以在的最小值為，又由，可得，所以

故①等價于，故整數(shù)的最大值為2．

63．【解析】（Ⅰ）設(shè)；則

①當時，在上是增函數(shù)

得：當時，的最小值為

②當時，當且僅當時，的最小值為

（Ⅱ）

由題意得：．

64．【解析】（Ⅰ）由

=

可得，而，即，解得；

（Ⅱ），令可得，當時，；當時，．

于是在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)；在內(nèi)為減函數(shù)。

（Ⅲ）

=

因此對任意的，等價于

設(shè)

所以

因此時，時，所以，故。

設(shè)，則，∵，∴，∴，即

∴，對任意的，65．【解析】（Ⅰ）

由于直線的斜率為，且過點，故

即，解得，．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以

考慮函數(shù)，則

所以當時，故

當時，當時，從而當

66．【解析】（Ⅰ）因為

所以

由于，所以的增區(qū)間為，減區(qū)間為

（Ⅱ）【證明】：由題意得，由（Ⅰ）知內(nèi)單調(diào)遞增，要使恒成立，只要，解得

67．【解析】（Ⅰ）由得，（Ⅱ）由（Ⅰ）可得從而，故：

（1）當時，由得，由得；

（2）當時，由得，由得；

綜上，當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；

當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．

（Ⅲ）當時，．

由（Ⅱ）可得，當在區(qū)間內(nèi)變化時，的變化情況如下表：

－

0

+

單調(diào)遞減

極小值1

單調(diào)遞增

又，所以函數(shù)的值域為[1，2]．

據(jù)此可得，若，則對每一個，直線與曲線

都有公共點．并且對每一個，直線與

曲線都沒有公共點．

綜上，當時，存在最小的實數(shù)=1，最大的實數(shù)=2，使得對每一個，直線與曲線都有公共點．

68．【解析】（Ⅰ）時，．當時；

當時，;當時，．

故在，單調(diào)增加，在單調(diào)遞減．

（Ⅱ）．令，則．若，則當時，為減函數(shù)，而，從而當x≥0時

≥0，即≥0．若，則當時，為減函數(shù)，而，從而當時＜0，即＜0．

綜合得的取值范圍為．