第一篇:2012屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 6.7 不等式的綜合問(wèn)題教案
6.7 不等式的綜合問(wèn)題
●知識(shí)梳理
1.方程與不等式、函數(shù)與不等式、解析幾何與不等式的綜合問(wèn)題.2.解決上述問(wèn)題的關(guān)鍵是找出綜合題的各部分知識(shí)點(diǎn)及解法,充分利用數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法求解.●點(diǎn)擊雙基
1.(2004年湖北,5)若
11<<0,則下列不等式中,正確的不等式有 abba+>2 ab①a+b<ab ②|a|>|b| ③a<b ④A.1個(gè)
B.2個(gè)
C.3個(gè)
D.4個(gè)
?a?b?0,11?解析:∵<<0,∴b<a<0.∴?ab?0,故①正確,②③錯(cuò)誤.ab?|b|?|a|.?∵a、b同號(hào)且a≠b,∴
bababa?=2.、均為正.∴+>
2ababab故④正確.∴正確的不等式有2個(gè).答案:B 2.(2004年福建,11)(理)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)=f(x+2),當(dāng)x∈[3,5]時(shí),f(x)=2-|x-4|,則
A.f(sinππ)<f(cos)662π2π)<f(sin)33B.f(sin1)>f(cos1)C.f(cosD.f(cos2)>f(sin2)
解析:由f(x)=f(x+2),知T=2,又∵x∈[3,5]時(shí),f(x)=2-|x-4|,可知當(dāng)3≤x≤4時(shí),f(x)=-2+x.當(dāng)4<x≤5時(shí),f(x)=6-x.其圖象如下圖.故在(-1,0)上是增函數(shù),在(0,1)上是減函數(shù).又由|cos2|<|sin2|,∴f(cos2)>f(sin2).答案:D(文)定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x)=f(x+2),當(dāng)x∈[3,4]時(shí),f(x)= x-2,則
A.f(sin11)<f(cos)22B.f(sinππ)>f(cos)3333)>f(cos)22C.f(sin1)<f(cos1)D.f(sin解析:仿理科分析.答案:C 3.設(shè)M=a+A.M>N 112(2<a<3),N=log1(x+)(x∈R),那么M、N的大小關(guān)系是 a?216
2B.M=N C.M<N D.不能確定
解析:由2<a<3,M=a+
11=(a-2)++2>2+2=4(注意a≠1,a≠3),a?2a?2N=log1(x2+211)≤log1=4<M.16162答案:A
24.對(duì)于0≤m≤4的m,不等式x+mx>4x+m-3恒成立,則x的取值范圍是____________.2解析:轉(zhuǎn)化為m(x-1)+x-4x+3>0在0≤m≤4時(shí)恒成立.2令f(m)=m(x-1)+x-4x+3.2?0,??f(0)?x?4x?3?0?x?1或x?3,則? ????2f(4)?0x??1或x?1.????x?1?0∴x<-1或x>3.答案:x>3或x<-1 ●典例剖析
【例1】 已知f(x)=loga1?x(a>0,a≠1).x?1(1)判斷f(x)在(1,+∞)上的單調(diào)性,并加以證明;(2)當(dāng)x∈(r,a-2)時(shí),f(x)的值域?yàn)椋?,+∞),求a與r的值;(3)若f(x)≥loga2x,求x的取值范圍.剖析:?jiǎn)握{(diào)性只要用定義證明,可先比較真數(shù)的大小再證.函數(shù)值域可利用函數(shù)的單調(diào)性確定端點(diǎn)后再比較,化為方程組求解.對(duì)數(shù)型不等式要化成同底后分a>1與0<a<1求解,同時(shí)要注意定義域.解:(1)任取1<x1<x2,則
x?1x?1f(x2)-f(x1)=loga2-loga1
x2?1x1?1(x?1)(x1?1)xx?x1?x2?1=loga2=loga12.(x2?1)(x1?1)x1x2?x1?x2?1又∵x2>x1>1,∴x1-x2<x2-x1.∴0<x1x2-x2+x1-1<x1x2-x1+x2-1.xx?x1?x2?1∴0<12<1.x1x2?x1?x2?1當(dāng)a>1時(shí),f(x2)-f(x1)<0,∴f(x)在(1,+∞)上是減函數(shù);
當(dāng)0<a<1時(shí),f(x2)-f(x1)>0,∴f(x)在(1,+∞)上是增函數(shù).(2)由∵x?1>0得x∈(-∞,-1)∪(1,+∞).x?1x?12=1+≠1,∴f(x)≠0.x?1x?1當(dāng)a>1時(shí),∵x>1?f(x)>0,x<-1?f(x)∈(0,1),∴要使f(x)的值域是(1,+∞),只有x>1.-1又∵f(x)在(1,+∞)上是減函數(shù),∴f(x)在(1,+∞)上也是減函數(shù).?r?1,?a?1?r?1?∴f(x)>1?1<x<f(1)=.∴?∴ ?a?1a?1a?2?.?a?2?(負(fù)號(hào)不符合)3.??a?1?當(dāng)0<a<1時(shí),∵x>1?f(x)<0,x<1?f(x)>0,∴要使值域是(1,+∞),只有x<-1.-1又∵f(x)在(-∞,-1)上是增函數(shù),∴f(x)>1?-1>x>f(1)=a?1?,?r?∴?a?1無(wú)解.??a?2??1,-
1a?1.a?1綜上,得a=2+3,r=1.(3)由f(x)≥loga2x得
?x?13?173?173?17?當(dāng)a>1時(shí),?<x<且x>1.∴1<x<.x?1?2x(x?1)444??x?1,3?17當(dāng)0<a<1時(shí),?∴x>.x?1?2x(x-1),4?【例2】 已知拋物線y=ax-1上存在關(guān)于直線x+y=0成軸對(duì)稱的兩點(diǎn),試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解法一:設(shè)拋物線上關(guān)于直線l對(duì)稱的兩相異點(diǎn)為P(x1,y1)、Q(x2,y2),線段PQ的中
2?y?x?b,點(diǎn)為M(x0,y0),設(shè)直線PQ的方程為y=x+b,由于P、Q兩點(diǎn)存在,所以方程組?有2y?ax?1?兩組不同的實(shí)數(shù)解,即得方程ax-x-(1+b)=0.判別式Δ=1+4a(1+b)>0.②
由①得x0=
2①
x1?x211=,y0=x0+b=+b.22a2a1113∵M(jìn)∈l,∴0=x0+y0=++b,即b=-,代入②解得a>.2a2aa4解法二:設(shè)同解法一,由題意得
?y1?ax12?1,??y2?ax22?1,??y?y2?1?1,?x1?x2??y1?y2?x1?x2?0.?2?2①②③ ④將①②代入③④,并注意到a≠0,x1-x2≠0,得 ?x1?x2?????x12?x22??1,a2??2?.aa1⑤ ⑥由二元均值不等式易得
2222(x1+x2)>(x1+x2)(x1≠x2).12123將⑤⑥代入上式得2(-2+)>(),解得a>.aa4a解法三:同解法二,由①-②,得 y1-y2=a(x1+x2)(x1-x2).∵x1-x2≠0,∴a(x1+x2)=
x?x21y1?y2=1.∴x0=1=.∵M(jìn)(x0,y0)∈l,x1?x222a∴y0+x0=0,即y0=-x0=-
111,從而PQ的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(,-).2a2a2a11
2)-(-)-1<0.2a2a∵M(jìn)在拋物線內(nèi)部,∴a(解得a>3.(舍去a<0,為什么?)4思考討論
解法三中為何舍去a<0? 這是因?yàn)閍<0,中點(diǎn)M(x0,y0),x0=
1<0,2ay0=-1>0.又∵a<0,2ay=ax2-1<0,矛盾.∴a<0舍去.●闖關(guān)訓(xùn)練 夯實(shí)基礎(chǔ)
1.已知y=loga(2-ax)在 [0,1]上是x的減函數(shù),則a的取值范圍是
A.(0,1)
B.(1,2)
C.(0,2)
D.[2,+∞)?a?1,解析:∵y=loga(2-ax)在[0,1]上是關(guān)于x的減函數(shù),∴?∴1<a<2.2?a?0.?答案:B 2.如果對(duì)任意實(shí)數(shù)x,不等式|x+1|≥kx恒成立,則實(shí)數(shù)k的范圍是____________.解析:畫(huà)出y1=|x+1|,y2=kx的圖象,由圖可看出0≤k≤1.
第二篇:XX屆高考數(shù)學(xué)第一輪不等式專項(xiàng)復(fù)習(xí)教案
XX屆高考數(shù)學(xué)第一輪不等式專項(xiàng)復(fù)習(xí)教
案
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件004km.cn 第六章不等式
●網(wǎng)絡(luò)體系總覽
●考點(diǎn)目標(biāo)定位
.理解不等式的性質(zhì)及應(yīng)用.2.掌握兩個(gè)(不擴(kuò)展到三個(gè))正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理,并會(huì)簡(jiǎn)單地應(yīng)用.3.掌握比較法、分析法、綜合法證明簡(jiǎn)單的不等式.4.掌握不等式的解法.5.理解不等式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.●復(fù)習(xí)方略指南
本章內(nèi)容在高考中,以考查不等式的性質(zhì)、證明、解法和最值方面的應(yīng)用為重點(diǎn),多數(shù)是與函數(shù)、方程、三角、數(shù)列、幾何綜合在一起被考查,單獨(dú)考查不等式的問(wèn)題較少,尤其是不等式的證明題.借助不等式的性質(zhì)及證明,主要考查函數(shù)方程思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想及分類討論思想等數(shù)學(xué)思想方法.含參數(shù)不等式的解法與討論,不等式與函數(shù)、數(shù)列、三角等內(nèi)容的綜合問(wèn)題,仍將是今后高考命題的熱點(diǎn).本章內(nèi)容理論性強(qiáng),知識(shí)覆蓋面廣,因此復(fù)習(xí)中應(yīng)注意:
.復(fù)習(xí)不等式的性質(zhì)時(shí),要克服“想當(dāng)然”和“顯然成立”的思維定勢(shì),要以比較準(zhǔn)則和實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則為依據(jù).2.不等式的證明方法除比較法、分析法、綜合法外,還有反證法、換元法、判別式法、構(gòu)造法、幾何法,這些方法可作了解,但要控制量和度,切忌喧賓奪主.3.解(證)某些不等式時(shí),要把函數(shù)的定義域、值域和單調(diào)性結(jié)合起來(lái).4.注意重要不等式和常用思想方法在解題中的作用.5.利用平均值定理解決問(wèn)題時(shí),要注意滿足定理成立的三個(gè)條件:一“正”、二“定”、三“相等”.6.對(duì)于含有絕對(duì)值的不等式(問(wèn)題),要緊緊抓住絕對(duì)值的定義實(shí)質(zhì),充分利用絕對(duì)值的幾何意義.7.要強(qiáng)化不等式的應(yīng)用意識(shí),同時(shí)要注意到不等式與函數(shù)方程的對(duì)比與聯(lián)系.6.1不等式的性質(zhì)
●知識(shí)梳理
.比較準(zhǔn)則:a-b>0a>b;
a-b=0a=b;a-b<0a<b.2.基本性質(zhì):(1)a>bb<a.(2)a>b,b>ca>c.(3)a>ba+c>b+c;a>b,c>da+c>b+d.(4)a>b,c>0ac>bc;a>b,c<0ac<bc;a>b>0,c>d>0ac>bd.(5)a>b>0
>(n∈N,n>1);a>b>0an>bn(n∈N,n>1).3.要注意不等式性質(zhì)成立的條件.例如,重要結(jié)論:a>b,ab>0
<,不能弱化條件得a>b
<,也不能強(qiáng)化條件得a>b>0
<.4.要正確處理帶等號(hào)的情況.如由a>b,b≥c或a≥b,b>c均可得出a>c;而由a≥b,b≥c可能有a>c,也可能有a=c,當(dāng)且僅當(dāng)a=b且b=c時(shí),才會(huì)有a=c.5.性質(zhì)(3)的推論以及性質(zhì)(4)的推論可以推廣到兩個(gè)以上的同向不等式.6.性質(zhì)(5)中的指數(shù)n可以推廣到任意正數(shù)的情形.特別提示
不等式的性質(zhì)從形式上可分兩類:一類是“”型;另一類是“”型.要注意二者的區(qū)別.●點(diǎn)擊雙基
.若a<b<0,則下列不等式不能成立的是
A.>
B.2a>2b
c.|a|>|b|
D.()a>()b
解析:由a<b<0知ab>0,因此a?<b?,即>成立;
由a<b<0得-a>-b>0,因此|a|>|b|>0成立.又()x是減函數(shù),所以()a>()b成立.故不成立的是B.答案:B
2.(XX年春季北京,7)已知三個(gè)不等式:ab>0,bc-ad>0,->0(其中a、b、c、d均為實(shí)數(shù)),用其中兩個(gè)不等式作為條件,余下的一個(gè)不等式作為結(jié)論組成一個(gè)命題,可組成的正確命題的個(gè)數(shù)是
A.0
B.1
c.2
D.3
解析:由ab>0,bc-ad>0可得出->0.bc-ad>0,兩端同除以ab,得->0.同樣由->0,ab>0可得bc-ad>0.ab>0.答案:D
3.設(shè)α∈(0,),β∈[0,],那么2α-的范圍是
A.(0,)
B.(-,)
c.(0,π)
D.(-,π)
解析:由題設(shè)得0<2α<π,0≤≤.∴-≤-≤0.∴-<2α-<π.答案:D
4.a>b>0,m>0,n>0,則,,的由大到小的順序是____________.解析:特殊值法即可
答案:>>>
5.設(shè)a=2-,b=-2,c=5-2,則a、b、c之間的大小關(guān)系為_(kāi)___________.解析:a=2-=-<0,∴b>0.c=5-2=->0.b-c=3-7=-<0.∴c>b>a.答案:c>b>a
●典例剖析
【例1】已知-1<a+b<3且2<a-b<4,求2a+3b的取值范圍.剖析:∵a+b,a-b的范圍已知,∴要求2a+3b的取值范圍,只需將2a+3b用已知量a+b,a-b表示出來(lái).可設(shè)2a+3b=x(a+b)+y(a-b),用待定系數(shù)法求出x、y.解:設(shè)2a+3b=x(a+b)+y(a-b),∴解得
∴-<(a+b)<,-2<-(a-b)<-1.∴-<(a+b)-(a-b)<,即-<2a+3b<.評(píng)述:解此題常見(jiàn)錯(cuò)誤是:-1<a+b<3,①
2<a-b<4.②
①+②得1<2a<7.③
由②得-4<b-a<-2.④
①+④得-5<2b<1,∴-<3b<.⑤
③+⑤得-<2a+3b<.思考討論
.評(píng)述中解法錯(cuò)在何處?
2.該類問(wèn)題用線性規(guī)劃能解嗎?并試著解決如下問(wèn)題:
已知函數(shù)f(x)=ax2-c,滿足-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,求f(3)的最大值和最小值.答案:20-1
【例2】(XX年福建,3)命題p:若a、b∈R,則|a|+|b|>1是|a+b|>1的充分而不必要條件;命題q:函數(shù)y=的定義域是(-∞,-1]∪[3,+∞),則
A.“p或q”為假
B.“p且q”為真
c.p真q假
D.p假q真
剖析:只需弄清命題p、q的真假即可.解:∵|a+b|≤|a|+|b|,若|a|+|b|>1不能推出|a+b|>1,而|a+b|>1一定有|a|+|b|>1,故命題p為假.又函數(shù)y=的定義域?yàn)閨x-1|-2≥0,∴|x-1|≥2.∴x≤-1或x≥3.∴q為真.答案:D
【例3】比較1+logx3與2logx2(x>0且x≠1)的大小.剖析:由于要比較的兩個(gè)數(shù)都是對(duì)數(shù),我們聯(lián)系到對(duì)數(shù)的性質(zhì),以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.解:(1+logx3)-2logx2=logx.當(dāng)或即0<x<1或x>時(shí),有l(wèi)ogx>0,1+logx3>2logx2.當(dāng)①或②時(shí),logx<0.解①得無(wú)解,解②得1<x<,即當(dāng)1<x<時(shí),有l(wèi)ogx<0,1+logx3<2logx2.當(dāng)x=1,即x=時(shí),有l(wèi)ogx=0.∴1+logx3=2logx2.綜上所述,當(dāng)0<x<1或x>時(shí),1+logx3>2logx2;
當(dāng)1<x<時(shí),1+logx3<2logx2;
當(dāng)x=時(shí),1+logx3=2logx2.評(píng)述:作差看符號(hào)是比較兩數(shù)大小的常用方法,在分類討論時(shí),要做到不重復(fù)、不遺漏.深化拓展
函數(shù)f(x)=x2+(b-1)x+c的圖象與x軸交于(x1,0)、(x2,0),且x2-x1>1.當(dāng)t<x1時(shí),比較t2+bt+c與x1的大小.提示:令f(x)=(x-x1)(x-x2),∴x2+bx+c=(x-x1)(x-x2)+x.把t2+bt+c與x1作差即可.答案:t2+bt+c>x1.●闖關(guān)訓(xùn)練
夯實(shí)基礎(chǔ)
.(XX年遼寧,2)對(duì)于0<a<1,給出下列四個(gè)不等式:
①loga(1+a)<loga(1+);②loga(1+a)>loga(1+);③a1+a<a1;④a1+a>a.其中成立的是
A.①③
B.①④
c.②③
D.②④
解析:∵0<a<1,∴a<,從而1+a<1+.∴l(xiāng)oga(1+a)>loga(1+).又∵0<a<1,∴a1+a>a.故②與④成立.答案:D
2.若p=a+(a>2),q=2,則
A.p>q
B.p<q
c.p≥q
D.p≤q
解析:p=a-2++2≥4,而-a2+4a-2=-(a-2)2+2<2,∴q<4.∴p>q.答案:A
3.已知-1<2a<0,A=1+a2,B=1-a2,c=,D=則A、B、c、D按從小到大的順序排列起來(lái)是____________.解析:取特殊值a=-,計(jì)算可得A=,B=,c=,D=.∴D<B<A<c.答案:D<B<A<c
4.若1<α<3,-4<β<2,則α-|β|的取值范圍是____________.解析:∵-4<β<2,∴0≤|β|<4.∴-4<-|β|≤0.∴-3<α-|β|<3.答案:(-3,3)
5.已知a>2,b>2,試比較a+b與ab的大小.解:∵ab-(a+b)=(a-1)(b-1)-1,又a>2,b>2,∴a-1>1,b-1>1.∴(a-1)(b-1)>1,(a-1)(b-1)-1>0.∴ab>a+b.6.設(shè)A=xn+x-n,B=xn-1+x1-n,當(dāng)x∈R+,n∈N時(shí),求證:A≥B.證明:A-B=(xn+x-n)-(xn-1+x1-n)=x-n(x2n+1-x2n-1-x)
=x-n[x(x2n-1-1)-(x2n-1-1)]=x-n(x-1)(x2n-1-1).由x∈R+,x-n>0,得
當(dāng)x≥1時(shí),x-1≥0,x2n-1-1≥0;
當(dāng)x<1時(shí),x-1<0,x2n-1<0,即x-1與x2n-1-1同號(hào).∴A-B≥0.∴A≥B.培養(yǎng)能力
7.設(shè)0<x<1,a>0且a≠,試比較|log3a(1-x)3|與|log3a(1+x)3|的大小.解:∵0<x<1,∴①當(dāng)3a>1,即a>時(shí),|log3a(1-x)3|-|log3a(1+x)3|=|3log3a(1-x)|-|3log3a(1+x)|
=3[-log3a(1-x)-log3a(1+x)]=-3log3a(1-x2).∵0<1-x2<1,∴-3log3a(1-x2)>0.②當(dāng)0<3a<1,即0<a<時(shí),|log3a(1-x)3|-|log3a(1+x)3|=3[log3a(1-x)+log3a(1+x)]
=3log3a(1-x2)>0.綜上所述,|log3a(1-x)3|>|log3a(1+x)3|.8.設(shè)a1≈,令a2=1+.(1)證明介于a1、a2之間;
(2)求a1、a2中哪一個(gè)更接近于;
(3)你能設(shè)計(jì)一個(gè)比a2更接近于的一個(gè)a3嗎?并說(shuō)明理由.(1)證明:(-a1)(-a2)=(-a1)?(-1-)=<0.∴介于a1、a2之間.(2)解:|-a2|=|-1-|=||
=|-a1|<|-a1|.∴a2比a1更接近于.(3)解:令a3=1+,則a3比a2更接近于.由(2)知|-a3|=|-a2|<|-a2|.探究創(chuàng)新
9.已知x>-1,n≥2且n∈N*,比較(1+x)n與1+nx的大小.解:設(shè)f(x)=(1+x)n-(1+nx),則(x)=n(1+x)n-1-n=n[(1+x)n-1-1].由(x)=0得x=0.當(dāng)x∈(-1,0)時(shí),(x)<0,f(x)在(-1,0)上遞減.當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),(x)>0,f(x)在(0,+∞)上遞增.∴x=0時(shí),f(x)最小,最小值為0,即f(x)≥0.∴(1+x)n≥1+nx.評(píng)述:理科學(xué)生也可以用數(shù)學(xué)歸納法證明.●思悟小結(jié)
.不等式的性質(zhì)是解、證不等式的基礎(chǔ),對(duì)任意兩實(shí)數(shù)a、b有a-b>0a>b,a-b=0a=b,a-b<0a<b,這是比較兩數(shù)(式)大小的理論根據(jù),也是學(xué)習(xí)不等式的基石.2.一定要在理解的基礎(chǔ)上記準(zhǔn)、記熟不等式的性質(zhì),并注意解題中靈活、準(zhǔn)確地加以應(yīng)用.3.對(duì)兩個(gè)(或兩個(gè)以上)不等式同加(或同乘)時(shí)一定要注意不等式是否同向(且大于零).4.對(duì)于含參問(wèn)題的大小比較要注意分類討論.●教師下載中心
教學(xué)點(diǎn)睛
.加強(qiáng)化歸意識(shí),把比較大小問(wèn)題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)的運(yùn)算.2.通過(guò)復(fù)習(xí)要強(qiáng)化不等式“運(yùn)算”的條件.如a>b、c>d在什么條件下才能推出ac>bd.3.強(qiáng)化函數(shù)的性質(zhì)在大小比較中的重要作用,加強(qiáng)知識(shí)間的聯(lián)系.拓展題例
【例1】已知f(x)=|log2(x+1)|,m<n,f(m)=f(n).(1)比較m+n與0的大??;
(2)比較f()與f()的大小.剖析:本題關(guān)鍵是如何去掉絕對(duì)值號(hào),然后再判斷差的符號(hào).解:(1)∵f(m)=f(n),∴|log2(m+1)|=|log2(n+1)|.∴l(xiāng)og22(m+1)=log22(n+1).∴[log2(m+1)+log2(n+1)][log2(m+1)-log2(n+1)]=0,log2(m+1)(n+1)?log2=0.∵m<n,∴≠1.∴l(xiāng)og2(m+1)(n+1)=0.∴mn+m+n+1=1.∴mn+m+n=0.當(dāng)m、n∈(-1,0]或m、n∈[0,+∞)時(shí),由函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性知x∈(-1,0]時(shí),f(x)為減函數(shù),x∈[0,+∞)時(shí),f(x)為增函數(shù),f(m)≠f(n).∴-1<m<0,n>0.∴m?n<0.∴m+n=-mn>0.(2)f()=|log2|=-log2=log2,f()=|log2|=log2.-==->0.∴f()>f().【例2】某家庭準(zhǔn)備利用假期到某地旅游,有甲、乙兩家旅行社提供兩種優(yōu)惠方案,甲旅行社的方案是:如果戶主買全票一張,其余人可享受五五折優(yōu)惠;乙旅行社的方案是:家庭旅游算集體票,可按七五折優(yōu)惠.如果甲、乙兩家旅行社的原價(jià)相同,請(qǐng)問(wèn)該家庭選擇哪家旅行社外出旅游合算?
解:設(shè)該家庭除戶主外,還有x人參加旅游,甲、乙兩旅行社收費(fèi)總金額分別為y1和y2.一張全票價(jià)格為a元,那么y1=a+0.55ax,y2=0.75(x+1)a.∴y1-y2=a+0.55ax-0.75a(x+1)=0.2a(1.25-x).∴當(dāng)x>1.25時(shí),y1<y2;
當(dāng)x<1.25時(shí),y1>y2.又因x為正整數(shù),所以當(dāng)x=1,即兩口之家應(yīng)選擇乙旅行社;
當(dāng)x≥2(x∈N),即三口之家或多于三口的家庭應(yīng)選擇甲旅行社.課
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第三篇:XX屆高考數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)不等式證明——比較法復(fù)習(xí)教案
XX屆高考數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)不等式證明——比
較法復(fù)習(xí)教案
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m【§5.3不等式證明——比較法】班級(jí)姓名學(xué)號(hào)
例1.a(chǎn)、b、c≥0,求證a3+b3+c3≥3abc.例2.a(chǎn)、b、c是△ABc的三邊,求證a2+b2+c2<2.例3.已知m、n∈N,求證:.例4.若x∈(0,1),a>0且a≠1,求證:|loga|>loga|.【備用題】
x,y,z∈R,A、B、c是△ABc三內(nèi)角,求證:x2+y2+z2≥2yzcosA+2zxcosB+2xycosc
【基礎(chǔ)訓(xùn)練】
.設(shè)m=,則m、N的大小關(guān)系是
()
A.m>N
B.m=N
c.m D.不確定 2.設(shè)正數(shù)a、b、c、d滿足a+d=b-c,且|a-d|<|b-c|,則ad和bc的大小關(guān)系是 () A.a(chǎn)d=bc B.a(chǎn)d c.a(chǎn)d>bc D.不確定 3.已知a,b∈R+,則與的大小關(guān)系是 () A.x>y B.x≥y c.x≤y D.不確定 4.設(shè)a,b∈R+,且a+b=2,則的最小值是_________________.5.對(duì)任意銳角θ,都有,恒成立,則的最大值是_________________.6.若a>b>c>1,P=,是P與Q中的較小者是____________.【拓展練習(xí)】 用比較法證明下列不等式 .x,y∈R,x≠y,求證:x4+y4>x3y+xy3.2.x∈R,求證:1+2x2≥2x3+x2.3.x∈R,x≠-1,求證:.4.b>a>0,求證:.5.x,y,z∈R,求證:x2+y2+xy+7z2≥2xz+5yz.6.x>0,n∈N,求證:xn+x-n≥xn-1+x1-n.7.a(chǎn)>0,b>0,m、n∈N,m>n,求證:2≥(am-n+bm-n).8.a(chǎn)、b、c∈R+,求證:≥2.9 . a>b>c>0,a2ab2bc2c>ab+cbc+aca+b.0.a(chǎn)、b∈R+,①求證:之間 ②問(wèn)這二個(gè)數(shù)哪一個(gè)更接近于.www.5y kj.co m 求 證 : XX屆高考數(shù)學(xué)第一輪不等式的證明專項(xiàng) 復(fù)習(xí)教案 本資料為woRD文檔,請(qǐng)點(diǎn)擊下載地址下載全文下載地址 6.3不等式的證明 (二)●知識(shí)梳理 .用綜合法證明不等式:利用不等式的性質(zhì)和已證明過(guò)的不等式以及函數(shù)的單調(diào)性導(dǎo)出待證不等式的方法叫綜合法,概括為“由因?qū)Ч?2.用分析法證明不等式:從待證不等式出發(fā),分析并尋求使這個(gè)不等式成立的充分條件的方法叫分析法,概括為“執(zhí)果索因”.3.放縮法證明不等式.4.利用單調(diào)性證明不等式.5.構(gòu)造一元二次方程利用“Δ”法證明不等式.6.數(shù)形結(jié)合法證明不等式.7.反證法、換元法等.特別提示 不等式證明方法多,證法靈活,其中比較法、分析法、綜合法是基本方法,要熟練掌握,其他方法作為輔助,這些方法之間不能截然分開(kāi),要綜合運(yùn)用各種方法.●點(diǎn)擊雙基 .(XX年春季北京,8)若不等式(-1)na<2+對(duì)任意n∈N*恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 A.[-2,) B.(-2,) c.[-3,) D.(-3,) 解析:當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí),a<2-,2-為增函數(shù),∴a<2-=.當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí),-a<2+,a>-2-.而-2-為增函數(shù),-2-<-2,∴a≥-2.故a∈[-2,).答案:A 2.(XX年南京市質(zhì)檢題)若<<0,則下列結(jié)論不正確的是 A.a2<b2 B.ab<b2 c.+>2 D.|a|+|b|>|a+b| 解析:由<<0,知b<a<0.∴A不正確.答案:A 3.分析法是從要證的不等式出發(fā),尋求使它成立的 A.充分條件 B.必要條件 c.充要條件 D.既不充分又不必要條件 答案:A 4.(理)在等差數(shù)列{an}與等比數(shù)列{bn}中,a1=b1>0,an=bn>0,則am與bm的大小關(guān)系是____________.解析:若d=0或q=1,則am=bm.若d≠0,畫(huà)出an=a1+(n-1)d與bn=b1?qn-1的圖象,易知am>bm,故am≥bm.答案:am≥bm (文)在等差數(shù)列{an}與等比數(shù)列{bn}中,a1=b1>0,a2n+1=b2n+1>0(n=1,2,3,…),則an+1與bn+1的大小關(guān)系是____________.解析:an+1=≥==bn+1.答案:an+1≥bn+1 5.若a>b>c,則+_______.(填“>”“=”“<”) 解析:a>b>c,(+)(a-c)=(+)[(a-b)+(b-c)] ≥2?2=4.∴+≥>.答案:> ●典例剖析 【例1】設(shè)實(shí)數(shù)x、y滿足y+x2=0,0<a<1.求證:loga(ax+ay)<loga2+.剖析:不等式左端含x、y,而右端不含x、y,故從左向右變形時(shí)應(yīng)消去x、y.證明:∵ax>0,ay>0,∴ax+ay≥2=2.∵x-x2=-(x-)2≤,0<a<1,∴ax+ay≥2=2a.∴l(xiāng)oga(ax+ay)<loga2a=loga2+.評(píng)述:本題的證題思路可由分析法獲得.要證原不等式成立,只要證ax+ay≥2?a即可. 【例2】已知a、b、c∈R+,且a+b+c=1.求證: (1+a)(1+b)(1+c)≥8(1-a)(1-b)(1-c).剖析:在條件“a+b+c=1”的作用下,將不等式的“真面目”隱含了,給證明不等式帶來(lái)困難,若用“a+b+c”換成“1”,則還原出原不等式的“真面目”,從而抓住實(shí)質(zhì),解決問(wèn)題.證明:∵a、b、c∈R+且a+b+c=1,∴要證原不等式成立,即證[(a+b+c)+a]?[(a+b+c)+b][(a+b+c)+c]≥8[(a+b+c)-a]?[(a+b+c)-b]?[(a+b+c)-c].也就是證[(a+b)+(c+a)][(a+b)+(b+c)]?[(c+a)+(b+c)]≥8(b+c)(c+a)(a+b).① ∵(a+b)+(b+c)≥2>0,(b+c)+(c+a)≥2>0,(c+a)+(a+b)≥2>0,三式相乘得①式成立.故原不等式得證.【例3】已知a>1,n≥2,n∈N*.求證:-1<.證法一:要證-1<,即證a<(+1)n.令a-1=t>0,則a=t+1.也就是證t+1<(1+)n.∵(1+)n=1+c +…+c()n>1+t,即-1<成立.證法二:設(shè)a=xn,x>1.于是只要證>x-1,即證>n.聯(lián)想到等比數(shù)列前n項(xiàng)和1+x+…+xn-1=,① 倒序xn-1+xn-2+…+1=.② ①+②得2?=(1+xn-1)+(x+xn-2)+…+(xn-1+1) >2+2+…+2>2n.∴>n.思考討論 本不等式是與自然數(shù)有關(guān)的命題,用數(shù)學(xué)歸納法可以證嗎?讀者可嘗試一下.●闖關(guān)訓(xùn)練 夯實(shí)基礎(chǔ) .已知a、b是不相等的正數(shù),x=,y=,則x、y的關(guān)系是 A.x>y B.y>x c.x>y D.不能確定 解析:∵x2=(+)2=(a+b+2),y2=a+b=(a+b+a+b)>(a+b+2)=x2,又x>0,y>0.∴y>x.答案:B 2.對(duì)實(shí)數(shù)a和x而言,不等式x3+13a2x>5ax2+9a3成立的充要條件是____________.解析:(x3+13a2x)-(5ax2+9a3) =x3-5ax2+13a2x-9a3 =(x-a)(x2-4ax+9a2) =(x-a)[(x-2a)2+5a2]>0.∵當(dāng)x≠2a≠0時(shí),有(x-2a)2+5a2>0.由題意故只需x-a>0即x>a,以上過(guò)程可逆.答案:x>a 3.已知a>b>c且a+b+c=0,求證:<a.證明:要證<a,只需證b2-ac<3a2,即證b2+a(a+b)<3a2,即證(a-b)(2a+b)>0,即證(a-b)(a-c)>0.∵a>b>c,∴(a-b)?(a-c)>0成立.∴原不等式成立.4.已知a+b+c=0,求證:ab+bc+ca≤0.證法一:(綜合法)∵a+b+c=0,∴(a+b+c)2=0.展開(kāi)得ab+bc+ca=-,∴ab+bc+ca≤0.證法二:(分析法)要證ab+bc+ca≤0,∵a+b+c=0,故只需證ab+bc+ca≤(a+b+c)2,即證a2+b2+c2+ab+bc+ca≥0,亦即證[(a+b)2+(b+c)2+(c+a)2]≥0. 而這是顯然的,由于以上相應(yīng)各步均可逆,∴原不等式成立.證法三:∵a+b+c=0,∴-c=a+b.∴ab+bc+ca=ab+(b+a)c=ab-(a+b)2 =-a2-b2-ab=-[(a+)2+]≤0. ∴ab+bc+ca≤0.培養(yǎng)能力 5.設(shè)a+b+c=1,a2+b2+c2=1且a>b>c.求證:-<c<0.證明:∵a2+b2+c2=1,∴(a+b)2-2ab+c2=1.∴2ab=(a+b)2+c2-1=(1-c)2+c2-1=2c2-2c.∴ab=c2-c.又∵a+b=1-c,∴a、b是方程x2+(c-1)x+c2-c=0的兩個(gè)根,且a>b>c.令f(x)=x2+(c-1)x+c2-c,則 6.已知=1,求證:方程ax2+bx+c=0有實(shí)數(shù)根.證明:由=1,∴b=.∴b2=(+c)2=+2ac+2c2=4ac+(-c)2≥4ac.∴方程ax2+bx+c=0有實(shí)數(shù)根.7.設(shè)a、b、c均為實(shí)數(shù),求證:++≥++.證明:∵a、b、c均為實(shí)數(shù),∴(+)≥≥,當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立; (+)≥≥,當(dāng)b=c時(shí)等號(hào)成立; (+)≥≥. 三個(gè)不等式相加即得++≥++,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號(hào)成立.探究創(chuàng)新 8.已知a、b、c、d∈R,且a+b=c+d=1,ac+bd>1.求證:a、b、c、d中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù).證明:假設(shè)a、b、c、d都是非負(fù)數(shù),∵a+b=c+d=1,∴(a+b)(c+d)=1.∴ac+bd+bc+ad=1≥ac+bd.這與ac+bd>1矛盾.所以假設(shè)不成立,即a、b、c、d中至少有一個(gè)負(fù)數(shù).●思悟小結(jié) .綜合法就是“由因?qū)Ч?,從已知不等式出發(fā),不斷用必要條件替換前面的不等式,直至推出要證的結(jié)論.2.分析法就是“執(zhí)果索因”,從所證不等式出發(fā),不斷用充分條件替換前面的不等式,直至找到成立的不等式.3.探求不等式的證法一般用分析法,敘述證明過(guò)程用綜合法較簡(jiǎn),兩法結(jié)合在證明不等式中經(jīng)常遇到.4.構(gòu)造函數(shù)利用單調(diào)性證不等式或構(gòu)造方程利用“Δ≥0”證不等式,充分體現(xiàn)相關(guān)知識(shí)間的聯(lián)系.●教師下載中心 教學(xué)點(diǎn)睛 .在證明不等式的過(guò)程中,分析法和綜合法是不能分離的,如果使用綜合法證明不等式難以入手時(shí),常用分析法探索證題途徑,之后用綜合法的形式寫(xiě)出它的證明過(guò)程,以適應(yīng)學(xué)生習(xí)慣的思維規(guī)律.有時(shí)問(wèn)題證明難度較大,常使用分析綜合法,實(shí)現(xiàn)兩頭往中間靠以達(dá)到證題目的.2.由于高考試題不會(huì)出現(xiàn)單一的不等式的證明題,常常與函數(shù)、數(shù)列、三角、方程綜合在一起,所以在教學(xué)中,不等式的證明除常用的三種方法外,還需介紹其他方法,如函數(shù)的單調(diào)性法、判別式法、換元法(特別是三角換元)、放縮法以及數(shù)學(xué)歸納法等.拓展題例 【例1】已知a、b為正數(shù),求證: (1)若+1>,則對(duì)于任何大于1的正數(shù)x,恒有ax+>b成立; (2)若對(duì)于任何大于1的正數(shù)x,恒有ax+>b成立,則+1>.分析:對(duì)帶條件的不等式的證明,條件的利用常有兩種方法:①證明過(guò)程中代入條件;②由條件變形得出要證的不等式.證明:(1)ax+=a(x-1)++1+a≥2+1+a=(+1)2.∵+1>b(b>0),∴(+1)2>b2.(2)∵ax+>b對(duì)于大于1的實(shí)數(shù)x恒成立,即x>1時(shí),[ax+]min>b,而ax+=a(x-1)++1+a≥2+1+a=(+1)2,當(dāng)且僅當(dāng)a(x-1)=,即x=1+>1時(shí)取等號(hào).故[ax+]min=(+1)2.則(+1)2>b,即+1>b.評(píng)述:條件如何利用取決于要證明的不等式兩端的差異如何消除.【例2】求證:≤+.剖析:|a+b|≤|a|+|b|,故可先研究f(x)=(x≥0)的單調(diào)性.證明:令f(x)=(x≥0),易證f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增.|a+b|≤|a|+|b|,∴f(|a+b|)≤f(|a|+|b|),即≤=≤.思考討論 .本題用分析法直接去證可以嗎?2.本題當(dāng)|a+b|=0時(shí),不等式成立; 當(dāng)|a+b|≠0時(shí),原不等式即為≤.再利用|a+b|≤|a|+|b|放縮能證嗎?讀者可以嘗試一下! 2013年高考數(shù)學(xué)(文)復(fù)習(xí) 專題二不等式 自查網(wǎng)絡(luò) 核心背記 一,不等關(guān)系與不等式的證明 1-_________叫做不等式. 2.對(duì)于任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a和6,在a=6,a>b,a (1)性質(zhì)1:________,稱為不等式的對(duì)稱性,(2)性質(zhì)2. 一,稱為不等式的傳遞性.(3)性質(zhì)3:________________ ①推論1:____,稱為不等式的移項(xiàng)法則. ②推論2:____(同向不等式可以相加). (4)性質(zhì)4;________(不等式兩邊同乘非零數(shù)值). ①推論1.____ ②推論2:____ ③推論3:____ 二,基本不等式與不等式的證明 (一)實(shí)數(shù)大小比較與運(yùn)算性質(zhì)之間的關(guān)系 四、不等式的應(yīng)用 1.應(yīng)用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題 用基本不等式知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題是不等式應(yīng)用的一個(gè)重要內(nèi)容,常出現(xiàn)在選擇與填空題中,屬中檔題. (1)理解題意,確定量與量之間的關(guān)系; (2)建立相應(yīng)的不等式關(guān)系,把實(shí)際問(wèn)題抽象(或轉(zhuǎn)化)為不等式問(wèn)題;(3)回歸到實(shí)際問(wèn)題,得出滿足實(shí)際要求的結(jié)論. 2.不等式與函數(shù)交匯的命題 用不等式知識(shí)解決函數(shù)問(wèn)題是不等式應(yīng)用的一個(gè)重要內(nèi)容,也是高考的—個(gè)熱點(diǎn)和難點(diǎn),常以壓軸題的形式出現(xiàn) 3.不等式與解析幾何、數(shù)列等知識(shí)交匯的命題 不等式與解析幾何、數(shù)列的綜合問(wèn)題在近年的高考中時(shí)有出現(xiàn),近兩年更是以壓軸題形式出現(xiàn),因此不等式與數(shù)列的綜合問(wèn)題是高考的重點(diǎn),也是難點(diǎn). 五、二元一次不等式組與簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問(wèn)題 (一)二元一次不等式表示平面區(qū)域 1.-般地,二元一次不等式Ax+By+C>O在平面直角坐標(biāo)系中表示直線Ax+By+C=O的某一側(cè)的所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域(半平面)____邊界直線,不等式Ax+By+C≥O所表示的平面區(qū)域(半平面)邊界直線. 2.對(duì)于直線Ax+By+C=O同一側(cè)的所有點(diǎn)o,y),使得Ax+By+C的值符號(hào)相同,也就是同一半平面的點(diǎn),其坐標(biāo)適合____;而位于另一個(gè)半平面內(nèi)的點(diǎn),其坐標(biāo)適合____3.可在直線Az-+B y+C—O的某一側(cè)任取一點(diǎn),一般取特殊點(diǎn)(x。,y。),從Ax。+By。+C的____來(lái)判斷Az-+By+C>O(或Ax+By+C 4.由幾個(gè)不等式組成的不等式組所表示的平面區(qū)域,是各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域的____. (二)基本概念 1.線性約束條件:由z,y的____(或方程)組成的不等式組,是對(duì)z與y的____. 2.目標(biāo)函數(shù):____,如z-2x十y,z=≯+,等 3.線性目標(biāo)函數(shù);關(guān)于x,y的____.. 4.可行解:滿足____的解(x,y)叫做可行解. 5.可行域:____組成的集合叫可行域. 6.最優(yōu)解:使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到____的可行解. 7.線性規(guī)劃問(wèn)題:求____在____的最大值或最小值的問(wèn)題,統(tǒng)稱線性規(guī)劃問(wèn)題. 參考答案 (二)1.一次不等式限制 2.求最大值或最小值的函數(shù) 3.一次函數(shù) 4.線性約束條件 5.所有可行解 6.最大值或最小值 7.線性目標(biāo)函數(shù)線性約束條件 規(guī)律探究 1.不等式的性質(zhì)是證明不等式、解不等式、求函數(shù)的定義域等問(wèn)題的依據(jù),必須牢固掌握并會(huì)進(jìn)行推導(dǎo). 2.應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)必須注意“一正、二定、三相等”,一正即必須各項(xiàng)均為正數(shù);二定就是積定則和有最小值,和定則積有最大值;三相等就是必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件,這是最容易出錯(cuò)的地方. 4.要學(xué)會(huì)構(gòu)造不等式求解或構(gòu)造函數(shù)求函數(shù)最值的方法,求最值時(shí)要注意等號(hào)成立的條件,避免不必要的錯(cuò)誤. 5.加強(qiáng)分類討論思想的復(fù)習(xí),加強(qiáng)函數(shù)與方程思想在不等式中的應(yīng)用訓(xùn)練. 實(shí)際應(yīng)用 參考答案 1.【答案lC 【命題立意】本題考查線性規(guī)劃,利用線性規(guī)劃的一般方法求目標(biāo)函數(shù)的最值. 【解題思路】畫(huà)出可行域如圖所示,根據(jù)圖形,顯然蘭 P一一z平移到點(diǎn)A(6,o)時(shí),目標(biāo)函數(shù)取得最大值,此時(shí)大值z(mì)-6.所以選擇c 【易錯(cuò)點(diǎn)】解決本題需要注意三條直線斜率之間的關(guān)系,否則容易出現(xiàn)錯(cuò)誤. 2.【答案】3 【命題立意】本題考查利用基本不等式求解最值 【舉一反三】在利用基本不等式求解最值時(shí),要注意其三個(gè)條件缺一不可,即一正(各項(xiàng)為正值)、二定(和或積為定值)、三相等(即取得等號(hào)時(shí)變量是否在定義域限制范圍之內(nèi)). 3.【答案】27 【命題立意】本題考查了不等式之間的關(guān)系及代數(shù)式的最值探究問(wèn)題,考查了整體思想的應(yīng)用第四篇:XX屆高考數(shù)學(xué)第一輪不等式的證明專項(xiàng)復(fù)習(xí)教案_1
第五篇:高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)專題二 不等式教案 文