第一篇：2012屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 6.7 不等式的綜合問題教案

6.7 不等式的綜合問題

●知識梳理

1.方程與不等式、函數(shù)與不等式、解析幾何與不等式的綜合問題.2.解決上述問題的關(guān)鍵是找出綜合題的各部分知識點及解法，充分利用數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法求解.●點擊雙基

1.（2004年湖北，5）若

11＜＜0，則下列不等式中，正確的不等式有 abba+＞2 ab①a+b＜ab ②|a|＞|b| ③a＜b ④A.1個

B.2個

C.3個

D.4個

?a?b?0，11?解析：∵＜＜0，∴b＜a＜0.∴?ab?0，故①正確，②③錯誤.ab?|b|?|a|.?∵a、b同號且a≠b，∴

bababa?=2.、均為正.∴+＞

2ababab故④正確.∴正確的不等式有2個.答案：B 2.（2004年福建，11）（理）定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x）=f（x+2），當(dāng)x∈［3，5］時，f（x）=2－|x－4|，則

A.f（sinππ）＜f（cos）662π2π）＜f（sin）33B.f（sin1）＞f（cos1）C.f（cosD.f（cos2）＞f（sin2）

解析：由f（x）=f（x+2），知T=2，又∵x∈［3，5］時，f（x）=2－|x－4|，可知當(dāng)3≤x≤4時，f（x）=－2+x.當(dāng)4＜x≤5時，f（x）=6－x.其圖象如下圖.故在（－1，0）上是增函數(shù)，在（0，1）上是減函數(shù).又由|cos2|＜|sin2|，∴f（cos2）＞f（sin2）.答案：D（文）定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（x）=f（x+2），當(dāng)x∈［3，4］時，f（x）= x－2，則

A.f（sin11）＜f（cos）22B.f（sinππ）＞f（cos）3333）＞f（cos）22C.f（sin1）＜f（cos1）D.f（sin解析：仿理科分析.答案：C 3.設(shè)M=a+A.M＞N 112（2＜a＜3），N=log1（x+）（x∈R），那么M、N的大小關(guān)系是 a?216

2B.M=N C.M＜N D.不能確定

解析：由2＜a＜3，M=a+

11=（a－2）++2＞2+2=4（注意a≠1，a≠3），a?2a?2N=log1（x2+211）≤log1=4＜M.16162答案：A

24.對于0≤m≤4的m，不等式x+mx＞4x+m－3恒成立，則x的取值范圍是____________.2解析：轉(zhuǎn)化為m（x－1）+x－4x+3＞0在0≤m≤4時恒成立.2令f（m）=m（x－1）+x－4x+3.2?0，??f（0）?x?4x?3?0?x?1或x?3，則? ????2f（4）?0x??1或x?1.????x?1?0∴x＜－1或x＞3.答案：x＞3或x＜－1 ●典例剖析

【例1】 已知f（x）=loga1?x（a＞0，a≠1）.x?1（1）判斷f（x）在（1，+∞）上的單調(diào)性，并加以證明；（2）當(dāng)x∈（r，a－2）時，f（x）的值域為（1，+∞），求a與r的值；（3）若f（x）≥loga2x，求x的取值范圍.剖析：單調(diào)性只要用定義證明，可先比較真數(shù)的大小再證.函數(shù)值域可利用函數(shù)的單調(diào)性確定端點后再比較，化為方程組求解.對數(shù)型不等式要化成同底后分a＞1與0＜a＜1求解，同時要注意定義域.解：（1）任取1＜x1＜x2，則

x?1x?1f（x2）－f（x1）=loga2－loga1

x2?1x1?1（x?1）（x1?1）xx?x1?x2?1=loga2=loga12.（x2?1）（x1?1）x1x2?x1?x2?1又∵x2＞x1＞1，∴x1－x2＜x2－x1.∴0＜x1x2－x2+x1－1＜x1x2－x1+x2－1.xx?x1?x2?1∴0＜12＜1.x1x2?x1?x2?1當(dāng)a＞1時，f（x2）－f（x1）＜0，∴f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)；

當(dāng)0＜a＜1時，f（x2）－f（x1）＞0，∴f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù).（2）由∵x?1＞0得x∈（－∞，－1）∪（1，+∞）.x?1x?12=1+≠1，∴f（x）≠0.x?1x?1當(dāng)a＞1時，∵x＞1?f（x）＞0，x＜－1?f（x）∈（0，1），∴要使f（x）的值域是（1，+∞），只有x＞1.－1又∵f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)，∴f（x）在（1，+∞）上也是減函數(shù).?r?1，?a?1?r?1?∴f（x）＞1?1＜x＜f（1）=.∴?∴ ?a?1a?1a?2?.?a?2?（負(fù)號不符合）3.??a?1?當(dāng)0＜a＜1時，∵x＞1?f（x）＜0，x＜1?f（x）＞0，∴要使值域是（1，+∞），只有x＜－1.－1又∵f（x）在（－∞，－1）上是增函數(shù)，∴f（x）＞1?－1＞x＞f（1）=a?1?，?r?∴?a?1無解.??a?2??1，－

1a?1.a?1綜上，得a=2+3，r=1.（3）由f（x）≥loga2x得

?x?13?173?173?17?當(dāng)a＞1時，?＜x＜且x＞1.∴1＜x＜.x?1?2x（x?1）444??x?1，3?17當(dāng)0＜a＜1時，?∴x＞.x?1?2x（x－1），4?【例2】 已知拋物線y=ax－1上存在關(guān)于直線x+y=0成軸對稱的兩點，試求實數(shù)a的取值范圍.解法一：設(shè)拋物線上關(guān)于直線l對稱的兩相異點為P（x1，y1）、Q（x2，y2），線段PQ的中

2?y?x?b，點為M（x0，y0），設(shè)直線PQ的方程為y=x+b，由于P、Q兩點存在，所以方程組?有2y?ax?1?兩組不同的實數(shù)解，即得方程ax－x－（1+b）=0.判別式Δ=1+4a（1+b）＞0.②

由①得x0=

2①

x1?x211=，y0=x0+b=+b.22a2a1113∵M∈l，∴0=x0+y0=++b，即b=－，代入②解得a＞.2a2aa4解法二：設(shè)同解法一，由題意得

?y1?ax12?1，??y2?ax22?1，??y?y2?1?1，?x1?x2??y1?y2?x1?x2?0.?2?2①②③ ④將①②代入③④，并注意到a≠0，x1－x2≠0，得 ?x1?x2?????x12?x22??1，a2??2?.aa1⑤ ⑥由二元均值不等式易得

2222（x1+x2）＞（x1+x2）（x1≠x2）.12123將⑤⑥代入上式得2（－2+）＞（），解得a＞.aa4a解法三：同解法二，由①－②，得 y1－y2=a（x1+x2）（x1－x2）.∵x1－x2≠0，∴a（x1+x2）=

x?x21y1?y2=1.∴x0=1=.∵M（x0，y0）∈l，x1?x222a∴y0+x0=0，即y0=－x0=－

111，從而PQ的中點M的坐標(biāo)為（，－）.2a2a2a11

2）－（－）－1＜0.2a2a∵M在拋物線內(nèi)部，∴a（解得a＞3.（舍去a＜0，為什么?）4思考討論

解法三中為何舍去a＜0? 這是因為a＜0，中點M（x0，y0），x0=

1＜0，2ay0=－1＞0.又∵a＜0，2ay=ax2－1＜0，矛盾.∴a＜0舍去.●闖關(guān)訓(xùn)練 夯實基礎(chǔ)

1.已知y=loga（2－ax）在 ［0，1］上是x的減函數(shù)，則a的取值范圍是

A.（0，1）

B.（1，2）

C.（0，2）

D.［2，+∞）?a?1，解析：∵y=loga（2－ax）在［0，1］上是關(guān)于x的減函數(shù)，∴?∴1＜a＜2.2?a?0.?答案：B 2.如果對任意實數(shù)x，不等式|x+1|≥kx恒成立，則實數(shù)k的范圍是____________.解析：畫出y1=|x+1|，y2=kx的圖象，由圖可看出0≤k≤1.

第二篇：XX屆高考數(shù)學(xué)第一輪不等式專項復(fù)習(xí)教案

XX屆高考數(shù)學(xué)第一輪不等式專項復(fù)習(xí)教

案

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件004km.cn 第六章不等式

●網(wǎng)絡(luò)體系總覽

●考點目標(biāo)定位

.理解不等式的性質(zhì)及應(yīng)用.2.掌握兩個（不擴展到三個）正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理，并會簡單地應(yīng)用.3.掌握比較法、分析法、綜合法證明簡單的不等式.4.掌握不等式的解法.5.理解不等式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.●復(fù)習(xí)方略指南

本章內(nèi)容在高考中，以考查不等式的性質(zhì)、證明、解法和最值方面的應(yīng)用為重點，多數(shù)是與函數(shù)、方程、三角、數(shù)列、幾何綜合在一起被考查，單獨考查不等式的問題較少，尤其是不等式的證明題.借助不等式的性質(zhì)及證明，主要考查函數(shù)方程思想、等價轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想及分類討論思想等數(shù)學(xué)思想方法.含參數(shù)不等式的解法與討論，不等式與函數(shù)、數(shù)列、三角等內(nèi)容的綜合問題，仍將是今后高考命題的熱點.本章內(nèi)容理論性強，知識覆蓋面廣，因此復(fù)習(xí)中應(yīng)注意：

.復(fù)習(xí)不等式的性質(zhì)時，要克服“想當(dāng)然”和“顯然成立”的思維定勢，要以比較準(zhǔn)則和實數(shù)的運算法則為依據(jù).2.不等式的證明方法除比較法、分析法、綜合法外，還有反證法、換元法、判別式法、構(gòu)造法、幾何法，這些方法可作了解，但要控制量和度，切忌喧賓奪主.3.解（證）某些不等式時，要把函數(shù)的定義域、值域和單調(diào)性結(jié)合起來.4.注意重要不等式和常用思想方法在解題中的作用.5.利用平均值定理解決問題時，要注意滿足定理成立的三個條件：一“正”、二“定”、三“相等”.6.對于含有絕對值的不等式（問題），要緊緊抓住絕對值的定義實質(zhì)，充分利用絕對值的幾何意義.7.要強化不等式的應(yīng)用意識，同時要注意到不等式與函數(shù)方程的對比與聯(lián)系.6.1不等式的性質(zhì)

●知識梳理

.比較準(zhǔn)則：a－b＞0a＞b；

a－b=0a=b；a－b＜0a＜b.2.基本性質(zhì)：（1）a＞bb＜a.（2）a＞b，b＞ca＞c.（3）a＞ba+c＞b+c；a＞b，c＞da+c＞b+d.（4）a＞b，c＞0ac＞bc；a＞b，c＜0ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0ac＞bd.（5）a＞b＞0

＞（n∈N，n＞1）；a＞b＞0an＞bn（n∈N，n＞1）.3.要注意不等式性質(zhì)成立的條件.例如，重要結(jié)論：a＞b，ab＞0

＜，不能弱化條件得a＞b

＜，也不能強化條件得a＞b＞0

＜.4.要正確處理帶等號的情況.如由a＞b，b≥c或a≥b，b＞c均可得出a＞c；而由a≥b，b≥c可能有a＞c，也可能有a=c，當(dāng)且僅當(dāng)a=b且b=c時，才會有a=c.5.性質(zhì)（3）的推論以及性質(zhì)（4）的推論可以推廣到兩個以上的同向不等式.6.性質(zhì)（5）中的指數(shù)n可以推廣到任意正數(shù)的情形.特別提示

不等式的性質(zhì)從形式上可分兩類：一類是“”型；另一類是“”型.要注意二者的區(qū)別.●點擊雙基

.若a＜b＜0，則下列不等式不能成立的是

A.＞

B.2a＞2b

c.|a|＞|b|

D.（）a＞（）b

解析：由a＜b＜0知ab＞0，因此a?＜b?，即＞成立；

由a＜b＜0得－a＞－b＞0，因此|a|＞|b|＞0成立.又（）x是減函數(shù)，所以（）a＞（）b成立.故不成立的是B.答案：B

2.（XX年春季北京，7）已知三個不等式：ab＞0，bc－ad＞0，－＞0（其中a、b、c、d均為實數(shù)），用其中兩個不等式作為條件，余下的一個不等式作為結(jié)論組成一個命題，可組成的正確命題的個數(shù)是

A.0

B.1

c.2

D.3

解析：由ab＞0，bc－ad＞0可得出－＞0.bc－ad＞0，兩端同除以ab，得－＞0.同樣由－＞0，ab＞0可得bc－ad＞0.ab＞0.答案：D

3.設(shè)α∈（0，），β∈［0，］，那么2α－的范圍是

A.（0，）

B.（－，）

c.（0，π）

D.（－，π）

解析：由題設(shè)得0＜2α＜π，0≤≤.∴－≤－≤0.∴－＜2α－＜π.答案：D

4.a＞b＞0，m＞0，n＞0，則，，的由大到小的順序是____________.解析：特殊值法即可

答案：＞＞＞

5.設(shè)a=2－，b=－2，c=5－2，則a、b、c之間的大小關(guān)系為____________.解析：a=2－=－＜0，∴b＞0.c=5－2=－＞0.b－c=3－7=－＜0.∴c＞b＞a.答案：c＞b＞a

●典例剖析

【例1】已知－1＜a+b＜3且2＜a－b＜4，求2a+3b的取值范圍.剖析：∵a+b，a－b的范圍已知，∴要求2a+3b的取值范圍，只需將2a+3b用已知量a+b，a－b表示出來.可設(shè)2a+3b=x（a+b）+y（a－b），用待定系數(shù)法求出x、y.解：設(shè)2a+3b=x（a+b）+y（a－b），∴解得

∴－＜（a+b）＜，－2＜－（a－b）＜－1.∴－＜（a+b）－（a－b）＜，即－＜2a+3b＜.評述：解此題常見錯誤是：－1＜a+b＜3，①

2＜a－b＜4.②

①+②得1＜2a＜7.③

由②得－4＜b－a＜－2.④

①+④得－5＜2b＜1，∴－＜3b＜.⑤

③+⑤得－＜2a+3b＜.思考討論

.評述中解法錯在何處?

2.該類問題用線性規(guī)劃能解嗎?并試著解決如下問題：

已知函數(shù)f（x）=ax2－c，滿足－4≤f（1）≤－1，－1≤f（2）≤5，求f（3）的最大值和最小值.答案：20－1

【例2】（XX年福建，3）命題p：若a、b∈R，則|a|+|b|＞1是|a+b|＞1的充分而不必要條件；命題q：函數(shù)y=的定義域是（－∞，－1］∪［3，+∞），則

A.“p或q”為假

B.“p且q”為真

c.p真q假

D.p假q真

剖析：只需弄清命題p、q的真假即可.解：∵|a+b|≤|a|+|b|，若|a|+|b|＞1不能推出|a+b|＞1，而|a+b|＞1一定有|a|+|b|＞1，故命題p為假.又函數(shù)y=的定義域為|x－1|－2≥0，∴|x－1|≥2.∴x≤－1或x≥3.∴q為真.答案：D

【例3】比較1+logx3與2logx2（x＞0且x≠1）的大小.剖析：由于要比較的兩個數(shù)都是對數(shù)，我們聯(lián)系到對數(shù)的性質(zhì)，以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.解：（1+logx3）－2logx2=logx.當(dāng)或即0＜x＜1或x＞時，有l(wèi)ogx＞0，1+logx3＞2logx2.當(dāng)①或②時，logx＜0.解①得無解，解②得1＜x＜，即當(dāng)1＜x＜時，有l(wèi)ogx＜0，1+logx3＜2logx2.當(dāng)x=1，即x=時，有l(wèi)ogx=0.∴1+logx3=2logx2.綜上所述，當(dāng)0＜x＜1或x＞時，1+logx3＞2logx2；

當(dāng)1＜x＜時，1+logx3＜2logx2；

當(dāng)x=時，1+logx3=2logx2.評述：作差看符號是比較兩數(shù)大小的常用方法，在分類討論時，要做到不重復(fù)、不遺漏.深化拓展

函數(shù)f（x）=x2+（b－1）x+c的圖象與x軸交于（x1，0）、（x2，0），且x2－x1＞1.當(dāng)t＜x1時，比較t2+bt+c與x1的大小.提示：令f（x）=（x－x1）（x－x2），∴x2+bx+c=（x－x1）（x－x2）+x.把t2+bt+c與x1作差即可.答案：t2+bt+c＞x1.●闖關(guān)訓(xùn)練

夯實基礎(chǔ)

.（XX年遼寧，2）對于0＜a＜1，給出下列四個不等式：

①loga（1+a）＜loga（1+）；②loga（1+a）＞loga（1+）；③a1+a＜a1；④a1+a＞a.其中成立的是

A.①③

B.①④

c.②③

D.②④

解析：∵0＜a＜1，∴a＜，從而1+a＜1+.∴l(xiāng)oga（1+a）＞loga（1+）.又∵0＜a＜1，∴a1+a＞a.故②與④成立.答案：D

2.若p=a+（a＞2），q=2，則

A.p＞q

B.p＜q

c.p≥q

D.p≤q

解析：p=a－2++2≥4，而－a2+4a－2=－（a－2）2+2＜2，∴q＜4.∴p＞q.答案：A

3.已知－1＜2a＜0，A=1+a2，B=1－a2，c=，D=則A、B、c、D按從小到大的順序排列起來是____________.解析：取特殊值a=－，計算可得A=，B=，c=，D=.∴D＜B＜A＜c.答案：D＜B＜A＜c

4.若1＜α＜3，－4＜β＜2，則α－|β|的取值范圍是____________.解析：∵－4＜β＜2，∴0≤|β|＜4.∴－4＜－|β|≤0.∴－3＜α－|β|＜3.答案：（－3，3）

5.已知a＞2，b＞2，試比較a+b與ab的大小.解：∵ab－（a+b）=（a－1）（b－1）－1，又a＞2，b＞2，∴a－1＞1，b－1＞1.∴（a－1）（b－1）＞1，（a－1）（b－1）－1＞0.∴ab＞a+b.6.設(shè)A=xn+x－n，B=xn－1+x1－n，當(dāng)x∈R+，n∈N時，求證：A≥B.證明：A－B=（xn+x－n）－（xn－1+x1－n）=x－n（x2n+1－x2n－1－x）

=x－n［x（x2n－1－1）－（x2n－1－1）］=x－n（x－1）（x2n－1－1）.由x∈R+，x－n＞0，得

當(dāng)x≥1時，x－1≥0，x2n－1－1≥0；

當(dāng)x＜1時，x－1＜0，x2n－1＜0，即x－1與x2n－1－1同號.∴A－B≥0.∴A≥B.培養(yǎng)能力

7.設(shè)0＜x＜1，a＞0且a≠，試比較|log3a（1－x）3|與|log3a（1+x）3|的大小.解：∵0＜x＜1，∴①當(dāng)3a＞1，即a＞時，|log3a（1－x）3|－|log3a（1+x）3|=|3log3a（1－x）|－|3log3a（1+x）|

=3［－log3a（1－x）－log3a（1+x）］=－3log3a（1－x2）.∵0＜1－x2＜1，∴－3log3a（1－x2）＞0.②當(dāng)0＜3a＜1，即0＜a＜時，|log3a（1－x）3|－|log3a（1+x）3|=3［log3a（1－x）+log3a（1+x）］

=3log3a（1－x2）＞0.綜上所述，|log3a（1－x）3|＞|log3a（1+x）3|.8.設(shè)a1≈，令a2=1+.（1）證明介于a1、a2之間；

（2）求a1、a2中哪一個更接近于；

（3）你能設(shè)計一個比a2更接近于的一個a3嗎？并說明理由.（1）證明：（－a1）（－a2）=（－a1）?（－1－）=＜0.∴介于a1、a2之間.（2）解：|－a2|=|－1－|=||

=|－a1|＜|－a1|.∴a2比a1更接近于.（3）解：令a3=1+，則a3比a2更接近于.由（2）知|－a3|=|－a2|＜|－a2|.探究創(chuàng)新

9.已知x＞－1，n≥2且n∈N*，比較（1+x）n與1+nx的大小.解：設(shè)f（x）=（1+x）n－（1+nx），則（x）=n（1+x）n－1－n=n［（1+x）n－1－1］.由（x）=0得x=0.當(dāng)x∈（－1，0）時，（x）＜0，f（x）在（－1，0）上遞減.當(dāng)x∈（0，+∞）時，（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上遞增.∴x=0時，f（x）最小，最小值為0，即f（x）≥0.∴（1+x）n≥1+nx.評述：理科學(xué)生也可以用數(shù)學(xué)歸納法證明.●思悟小結(jié)

.不等式的性質(zhì)是解、證不等式的基礎(chǔ)，對任意兩實數(shù)a、b有a－b＞0a＞b，a－b=0a=b，a－b＜0a＜b，這是比較兩數(shù)（式）大小的理論根據(jù)，也是學(xué)習(xí)不等式的基石.2.一定要在理解的基礎(chǔ)上記準(zhǔn)、記熟不等式的性質(zhì)，并注意解題中靈活、準(zhǔn)確地加以應(yīng)用.3.對兩個（或兩個以上）不等式同加（或同乘）時一定要注意不等式是否同向（且大于零）.4.對于含參問題的大小比較要注意分類討論.●教師下載中心

教學(xué)點睛

.加強化歸意識，把比較大小問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)的運算.2.通過復(fù)習(xí)要強化不等式“運算”的條件.如a＞b、c＞d在什么條件下才能推出ac＞bd.3.強化函數(shù)的性質(zhì)在大小比較中的重要作用，加強知識間的聯(lián)系.拓展題例

【例1】已知f（x）=|log2（x+1）|，m＜n，f（m）=f（n）.（1）比較m+n與0的大??；

（2）比較f（）與f（）的大小.剖析：本題關(guān)鍵是如何去掉絕對值號，然后再判斷差的符號.解：（1）∵f（m）=f（n），∴|log2（m+1）|=|log2（n+1）|.∴l(xiāng)og22（m+1）=log22（n+1）.∴［log2（m+1）+log2（n+1）］［log2（m+1）－log2（n+1）］=0，log2（m+1）（n+1）?log2=0.∵m＜n，∴≠1.∴l(xiāng)og2（m+1）（n+1）=0.∴mn+m+n+1=1.∴mn+m+n=0.當(dāng)m、n∈（－1，0］或m、n∈［0，+∞）時，由函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性知x∈（－1，0］時，f（x）為減函數(shù)，x∈［0，+∞）時，f（x）為增函數(shù)，f（m）≠f（n）.∴－1＜m＜0，n＞0.∴m?n＜0.∴m+n=－mn＞0.（2）f（）=|log2|=－log2=log2，f（）=|log2|=log2.－==－＞0.∴f（）＞f（）.【例2】某家庭準(zhǔn)備利用假期到某地旅游，有甲、乙兩家旅行社提供兩種優(yōu)惠方案，甲旅行社的方案是：如果戶主買全票一張，其余人可享受五五折優(yōu)惠；乙旅行社的方案是：家庭旅游算集體票，可按七五折優(yōu)惠.如果甲、乙兩家旅行社的原價相同，請問該家庭選擇哪家旅行社外出旅游合算？

解：設(shè)該家庭除戶主外，還有x人參加旅游，甲、乙兩旅行社收費總金額分別為y1和y2.一張全票價格為a元，那么y1=a+0.55ax，y2=0.75（x+1）a.∴y1－y2=a+0.55ax－0.75a（x+1）=0.2a（1.25－x）.∴當(dāng)x＞1.25時，y1＜y2；

當(dāng)x＜1.25時，y1＞y2.又因x為正整數(shù)，所以當(dāng)x=1，即兩口之家應(yīng)選擇乙旅行社；

當(dāng)x≥2（x∈N），即三口之家或多于三口的家庭應(yīng)選擇甲旅行社.課

件004km.cn

第三篇：XX屆高考數(shù)學(xué)知識點不等式證明——比較法復(fù)習(xí)教案

XX屆高考數(shù)學(xué)知識點不等式證明——比

較法復(fù)習(xí)教案

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m【§5.3不等式證明——比較法】班級姓名學(xué)號

例1．a(chǎn)、b、c≥0，求證a3+b3+c3≥3abc.例2．a(chǎn)、b、c是△ABc的三邊，求證a2+b2+c2<2.例3．已知m、n∈N，求證：.例4．若x∈（0，1）,a>0且a≠1，求證：|loga|>loga|.【備用題】

x,y,z∈R，A、B、c是△ABc三內(nèi)角，求證：x2+y2+z2≥2yzcosA+2zxcosB+2xycosc

【基礎(chǔ)訓(xùn)練】

．設(shè)m=，則m、N的大小關(guān)系是

（）

A．m>N

B．m=N

c．m

D．不確定

2．設(shè)正數(shù)a、b、c、d滿足a+d=b－c，且|a－d|<|b－c|，則ad和bc的大小關(guān)系是

（）

A．a(chǎn)d=bc

B．a(chǎn)d

c．a(chǎn)d>bc

D．不確定

3．已知a,b∈R+，則與的大小關(guān)系是

（）

A．x>y

B．x≥y

c．x≤y

D．不確定

4．設(shè)a,b∈R+，且a+b=2，則的最小值是_________________.5．對任意銳角θ，都有，恒成立，則的最大值是_________________.6．若a>b>c>1，P=，是P與Q中的較小者是____________.【拓展練習(xí)】

用比較法證明下列不等式

．x,y∈R，x≠y，求證：x4+y4>x3y+xy3.2．x∈R，求證：1+2x2≥2x3+x2.3．x∈R，x≠－1，求證：.4．b>a>0，求證：.5．x,y,z∈R，求證：x2+y2+xy+7z2≥2xz+5yz.6．x>0,n∈N，求證：xn+x－n≥xn－1+x1－n.7．a(chǎn)>0,b>0,m、n∈N，m>n，求證：2≥（am－n+bm－n）.8．a(chǎn)、b、c∈R+，求證：≥2.9

．

a>b>c>0,a2ab2bc2c>ab+cbc+aca+b.0．a(chǎn)、b∈R+，①求證：之間

②問這二個數(shù)哪一個更接近于.www.5y

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求

證

：

第四篇：XX屆高考數(shù)學(xué)第一輪不等式的證明專項復(fù)習(xí)教案_1

XX屆高考數(shù)學(xué)第一輪不等式的證明專項

復(fù)習(xí)教案

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6.3不等式的證明

（二）●知識梳理

.用綜合法證明不等式：利用不等式的性質(zhì)和已證明過的不等式以及函數(shù)的單調(diào)性導(dǎo)出待證不等式的方法叫綜合法，概括為“由因?qū)Ч?2.用分析法證明不等式：從待證不等式出發(fā)，分析并尋求使這個不等式成立的充分條件的方法叫分析法，概括為“執(zhí)果索因”.3.放縮法證明不等式.4.利用單調(diào)性證明不等式.5.構(gòu)造一元二次方程利用“Δ”法證明不等式.6.數(shù)形結(jié)合法證明不等式.7.反證法、換元法等.特別提示

不等式證明方法多，證法靈活，其中比較法、分析法、綜合法是基本方法，要熟練掌握，其他方法作為輔助，這些方法之間不能截然分開，要綜合運用各種方法.●點擊雙基

.（XX年春季北京，8）若不等式（－1）na＜2+對任意n∈N*恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是

A.［－2，）

B.（－2，）

c.［－3，）

D.（－3，）

解析：當(dāng)n為正偶數(shù)時，a＜2－，2－為增函數(shù)，∴a＜2－=.當(dāng)n為正奇數(shù)時，－a＜2+，a＞－2－.而－2－為增函數(shù)，－2－＜－2，∴a≥－2.故a∈［－2，）.答案：A

2.（XX年南京市質(zhì)檢題）若＜＜0，則下列結(jié)論不正確的是

A.a2＜b2

B.ab＜b2

c.+＞2

D.|a|+|b|＞|a+b|

解析：由＜＜0，知b＜a＜0.∴A不正確.答案：A

3.分析法是從要證的不等式出發(fā)，尋求使它成立的 A.充分條件

B.必要條件

c.充要條件

D.既不充分又不必要條件

答案：A

4.（理）在等差數(shù)列{an}與等比數(shù)列{bn}中，a1=b1＞0，an=bn＞0，則am與bm的大小關(guān)系是____________.解析：若d=0或q=1，則am=bm.若d≠0，畫出an=a1+（n－1）d與bn=b1?qn－1的圖象，易知am＞bm，故am≥bm.答案：am≥bm

（文）在等差數(shù)列{an}與等比數(shù)列{bn}中，a1=b1＞0，a2n+1=b2n+1＞0（n=1，2，3，…），則an+1與bn+1的大小關(guān)系是____________.解析：an+1=≥==bn+1.答案：an+1≥bn+1

5.若a＞b＞c，則+_______.（填“＞”“=”“＜”）

解析：a＞b＞c，（+）（a－c）=（+）［（a－b）+（b－c）］

≥2?2=4.∴+≥＞.答案：＞

●典例剖析

【例1】設(shè)實數(shù)x、y滿足y＋x2＝0，0＜a＜1.求證：loga（ax＋ay）＜loga2＋.剖析：不等式左端含x、y，而右端不含x、y，故從左向右變形時應(yīng)消去x、y.證明：∵ax＞0，ay＞0，∴ax＋ay≥2＝2.∵x－x2＝－（x－）2≤，0＜a＜1，∴ax＋ay≥2＝2a.∴l(xiāng)oga（ax＋ay）＜loga2a＝loga2＋.評述：本題的證題思路可由分析法獲得.要證原不等式成立，只要證ax＋ay≥2?a即可．

【例2】已知a、b、c∈R+，且a+b+c=1.求證：

（1+a）（1+b）（1+c）≥8（1－a）（1－b）（1－c）.剖析：在條件“a+b+c=1”的作用下，將不等式的“真面目”隱含了，給證明不等式帶來困難，若用“a+b+c”換成“1”，則還原出原不等式的“真面目”，從而抓住實質(zhì)，解決問題.證明：∵a、b、c∈R+且a+b+c=1，∴要證原不等式成立，即證［（a+b+c）+a］?［（a+b+c）+b］［（a+b+c）+c］≥8［（a+b+c）－a］?［（a+b+c）－b］?［（a+b+c）－c］.也就是證［（a+b）+（c+a）］［（a+b）+（b+c）］?［（c+a）+（b+c）］≥8（b+c）（c+a）（a+b）.①

∵（a+b）+（b+c）≥2＞0，（b+c）+（c+a）≥2＞0，（c+a）+（a+b）≥2＞0，三式相乘得①式成立.故原不等式得證.【例3】已知a＞1，n≥2，n∈N*.求證：－1＜.證法一：要證－1＜，即證a＜（+1）n.令a－1=t＞0，則a=t+1.也就是證t+1＜（1+）n.∵（1+）n=1+c

+…+c（）n＞1+t，即－1＜成立.證法二：設(shè)a=xn，x＞1.于是只要證＞x－1，即證＞n.聯(lián)想到等比數(shù)列前n項和1+x+…+xn－1=，①

倒序xn－1+xn－2+…+1=.②

①+②得2?=（1+xn－1）+（x+xn－2）+…+（xn－1+1）

＞2+2+…+2＞2n.∴＞n.思考討論

本不等式是與自然數(shù)有關(guān)的命題，用數(shù)學(xué)歸納法可以證嗎?讀者可嘗試一下.●闖關(guān)訓(xùn)練

夯實基礎(chǔ)

.已知a、b是不相等的正數(shù)，x=，y=，則x、y的關(guān)系是

A.x＞y

B.y＞x

c.x＞y

D.不能確定

解析：∵x2=（+）2=（a+b+2），y2=a+b=（a+b+a+b）＞（a+b+2）=x2，又x＞0，y＞0.∴y＞x.答案：B

2.對實數(shù)a和x而言，不等式x3+13a2x＞5ax2+9a3成立的充要條件是____________.解析：（x3+13a2x）－（5ax2+9a3）

=x3－5ax2+13a2x－9a3

=（x－a）（x2－4ax+9a2）

=（x－a）［（x－2a）2+5a2］＞0.∵當(dāng)x≠2a≠0時，有（x－2a）2+5a2＞0.由題意故只需x－a＞0即x＞a，以上過程可逆.答案：x＞a

3.已知a＞b＞c且a+b+c=0，求證：＜a.證明：要證＜a，只需證b2－ac＜3a2，即證b2+a（a+b）＜3a2，即證（a－b）（2a+b）＞0，即證（a－b）（a－c）＞0.∵a＞b＞c，∴（a－b）?（a－c）＞0成立.∴原不等式成立.4.已知a+b+c=0，求證：ab+bc+ca≤0.證法一：（綜合法）∵a+b+c=0，∴（a+b+c）2＝0.展開得ab+bc+ca=－，∴ab+bc+ca≤0.證法二：（分析法）要證ab+bc+ca≤0，∵a+b+c=0，故只需證ab+bc+ca≤（a+b+c）2，即證a2+b2+c2+ab+bc+ca≥0，亦即證［（a+b）2＋（b＋c）2＋（c＋a）2］≥0．

而這是顯然的，由于以上相應(yīng)各步均可逆，∴原不等式成立.證法三：∵a+b+c=0，∴－c=a+b.∴ab+bc+ca=ab+（b+a）c=ab－（a+b）2

＝－a2－b2－ab＝－［（a＋）2＋］≤0．

∴ab+bc+ca≤0.培養(yǎng)能力

5.設(shè)a+b+c=1，a2+b2+c2=1且a＞b＞c.求證：－＜c＜0.證明：∵a2+b2+c2=1，∴（a+b）2－2ab+c2=1.∴2ab=（a+b）2+c2－1=（1－c）2+c2－1=2c2－2c.∴ab=c2－c.又∵a+b=1－c，∴a、b是方程x2+（c－1）x+c2－c=0的兩個根，且a＞b＞c.令f（x）=x2+（c－1）x+c2－c，則

6.已知=1，求證：方程ax2+bx+c=0有實數(shù)根.證明：由=1，∴b=.∴b2=（+c）2=+2ac+2c2=4ac+（－c）2≥4ac.∴方程ax2+bx+c=0有實數(shù)根.7.設(shè)a、b、c均為實數(shù)，求證：++≥++.證明：∵a、b、c均為實數(shù)，∴（＋）≥≥，當(dāng)a=b時等號成立；

（＋）≥≥，當(dāng)b=c時等號成立；

（＋）≥≥．

三個不等式相加即得++≥++，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時等號成立.探究創(chuàng)新

8.已知a、b、c、d∈R，且a+b=c+d=1，ac+bd＞1.求證：a、b、c、d中至少有一個是負(fù)數(shù).證明：假設(shè)a、b、c、d都是非負(fù)數(shù)，∵a+b=c+d=1，∴（a+b）（c+d）=1.∴ac+bd+bc+ad=1≥ac+bd.這與ac+bd＞1矛盾.所以假設(shè)不成立，即a、b、c、d中至少有一個負(fù)數(shù).●思悟小結(jié)

.綜合法就是“由因?qū)Ч?，從已知不等式出發(fā)，不斷用必要條件替換前面的不等式，直至推出要證的結(jié)論.2.分析法就是“執(zhí)果索因”，從所證不等式出發(fā)，不斷用充分條件替換前面的不等式，直至找到成立的不等式.3.探求不等式的證法一般用分析法，敘述證明過程用綜合法較簡，兩法結(jié)合在證明不等式中經(jīng)常遇到.4.構(gòu)造函數(shù)利用單調(diào)性證不等式或構(gòu)造方程利用“Δ≥0”證不等式，充分體現(xiàn)相關(guān)知識間的聯(lián)系.●教師下載中心

教學(xué)點睛

.在證明不等式的過程中，分析法和綜合法是不能分離的，如果使用綜合法證明不等式難以入手時，常用分析法探索證題途徑，之后用綜合法的形式寫出它的證明過程，以適應(yīng)學(xué)生習(xí)慣的思維規(guī)律.有時問題證明難度較大，常使用分析綜合法，實現(xiàn)兩頭往中間靠以達到證題目的.2.由于高考試題不會出現(xiàn)單一的不等式的證明題，常常與函數(shù)、數(shù)列、三角、方程綜合在一起，所以在教學(xué)中，不等式的證明除常用的三種方法外，還需介紹其他方法，如函數(shù)的單調(diào)性法、判別式法、換元法（特別是三角換元）、放縮法以及數(shù)學(xué)歸納法等.拓展題例

【例1】已知a、b為正數(shù)，求證：

（1）若+1＞，則對于任何大于1的正數(shù)x，恒有ax+＞b成立；

（2）若對于任何大于1的正數(shù)x，恒有ax+＞b成立，則+1＞.分析：對帶條件的不等式的證明，條件的利用常有兩種方法：①證明過程中代入條件；②由條件變形得出要證的不等式.證明：（1）ax+=a（x－1）++1+a≥2+1+a=（+1）2.∵+1＞b（b＞0），∴（+1）2＞b2.（2）∵ax+＞b對于大于1的實數(shù)x恒成立，即x＞1時，［ax+］min＞b，而ax+=a（x－1）++1+a≥2+1+a=（+1）2，當(dāng)且僅當(dāng)a（x－1）=，即x=1+＞1時取等號.故［ax+］min=（+1）2.則（+1）2＞b，即+1＞b.評述：條件如何利用取決于要證明的不等式兩端的差異如何消除.【例2】求證：≤+.剖析：|a+b|≤|a|+|b|，故可先研究f（x）=（x≥0）的單調(diào)性.證明：令f（x）=（x≥0），易證f（x）在［0，+∞）上單調(diào)遞增.|a+b|≤|a|+|b|，∴f（|a+b|）≤f（|a|+|b|），即≤=≤.思考討論

.本題用分析法直接去證可以嗎?2.本題當(dāng)|a+b|=0時，不等式成立；

當(dāng)|a+b|≠0時，原不等式即為≤.再利用|a+b|≤|a|+|b|放縮能證嗎?讀者可以嘗試一下!

第五篇：高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)專題二 不等式教案 文

2013年高考數(shù)學(xué)（文）復(fù)習(xí)

專題二不等式

自查網(wǎng)絡(luò)

核心背記

一，不等關(guān)系與不等式的證明 1-_________叫做不等式．

2．對于任意兩個實數(shù)a和6，在a=6，a>b，a

(1)性質(zhì)1：________，稱為不等式的對稱性，(2)性質(zhì)2． 一，稱為不等式的傳遞性．(3)性質(zhì)3：________________ ①推論1:____，稱為不等式的移項法則． ②推論2:____（同向不等式可以相加）．

(4)性質(zhì)4；________（不等式兩邊同乘非零數(shù)值）． ①推論1．____ ②推論2:____ ③推論3:____ 二，基本不等式與不等式的證明

（一）實數(shù)大小比較與運算性質(zhì)之間的關(guān)系

四、不等式的應(yīng)用

1．應(yīng)用基本不等式解決實際問題

用基本不等式知識解決實際問題是不等式應(yīng)用的一個重要內(nèi)容，常出現(xiàn)在選擇與填空題中，屬中檔題．

(1)理解題意，確定量與量之間的關(guān)系；

(2)建立相應(yīng)的不等式關(guān)系，把實際問題抽象（或轉(zhuǎn)化）為不等式問題；(3)回歸到實際問題，得出滿足實際要求的結(jié)論． 2．不等式與函數(shù)交匯的命題

用不等式知識解決函數(shù)問題是不等式應(yīng)用的一個重要內(nèi)容，也是高考的—個熱點和難點，常以壓軸題的形式出現(xiàn)

3．不等式與解析幾何、數(shù)列等知識交匯的命題 不等式與解析幾何、數(shù)列的綜合問題在近年的高考中時有出現(xiàn)，近兩年更是以壓軸題形式出現(xiàn)，因此不等式與數(shù)列的綜合問題是高考的重點，也是難點． 五、二元一次不等式組與簡單線性規(guī)劃問題

（一）二元一次不等式表示平面區(qū)域 1．-般地，二元一次不等式Ax+By+C>O在平面直角坐標(biāo)系中表示直線Ax+By+C=O的某一側(cè)的所有點組成的平面區(qū)域（半平面）____邊界直線，不等式Ax+By+C≥O所表示的平面區(qū)域（半平面）邊界直線．

2．對于直線Ax+By+C=O同一側(cè)的所有點o，y），使得Ax+By+C的值符號相同，也就是同一半平面的點，其坐標(biāo)適合____；而位于另一個半平面內(nèi)的點，其坐標(biāo)適合____3．可在直線Az-+B y+C—O的某一側(cè)任取一點，一般取特殊點(x。，y。)，從Ax。+By。+C的____來判斷Az-+By+C>O(或Ax+By+C

4．由幾個不等式組成的不等式組所表示的平面區(qū)域，是各個不等式所表示的平面區(qū)域的____．

（二）基本概念

1．線性約束條件：由z，y的____（或方程）組成的不等式組，是對z與y的____． 2．目標(biāo)函數(shù)：____，如z-2x十y，z=≯+，等 3．線性目標(biāo)函數(shù)；關(guān)于x,y的____．．

4．可行解：滿足____的解(x，y)叫做可行解． 5．可行域：____組成的集合叫可行域． 6．最優(yōu)解：使目標(biāo)函數(shù)達到____的可行解．

7．線性規(guī)劃問題：求____在____的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱線性規(guī)劃問題． 參考答案

(二)1．一次不等式限制

2．求最大值或最小值的函數(shù) 3．一次函數(shù) 4．線性約束條件 5．所有可行解 6．最大值或最小值

7．線性目標(biāo)函數(shù)線性約束條件 規(guī)律探究

1．不等式的性質(zhì)是證明不等式、解不等式、求函數(shù)的定義域等問題的依據(jù)，必須牢固掌握并會進行推導(dǎo)．

2．應(yīng)用基本不等式求最值時必須注意“一正、二定、三相等”，一正即必須各項均為正數(shù)；二定就是積定則和有最小值，和定則積有最大值；三相等就是必須驗證等號成立的條件，這是最容易出錯的地方．

4．要學(xué)會構(gòu)造不等式求解或構(gòu)造函數(shù)求函數(shù)最值的方法，求最值時要注意等號成立的條件，避免不必要的錯誤．

5．加強分類討論思想的復(fù)習(xí)，加強函數(shù)與方程思想在不等式中的應(yīng)用訓(xùn)練． 實際應(yīng)用

參考答案 1．【答案lC 【命題立意】本題考查線性規(guī)劃，利用線性規(guī)劃的一般方法求目標(biāo)函數(shù)的最值． 【解題思路】畫出可行域如圖所示，根據(jù)圖形，顯然蘭 P一一z平移到點A(6，o)時，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，此時大值z-6．所以選擇c 【易錯點】解決本題需要注意三條直線斜率之間的關(guān)系，否則容易出現(xiàn)錯誤．

2．【答案】3 【命題立意】本題考查利用基本不等式求解最值

【舉一反三】在利用基本不等式求解最值時，要注意其三個條件缺一不可，即一正（各項為正值）、二定（和或積為定值）、三相等（即取得等號時變量是否在定義域限制范圍之內(nèi)）． 3.【答案】27 【命題立意】本題考查了不等式之間的關(guān)系及代數(shù)式的最值探究問題，考查了整體思想的應(yīng)用