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      2014屆高考數(shù)學(xué)一輪:選修4-5-2不等式的證明

      時間:2019-05-14 18:40:42下載本文作者:會員上傳
      簡介:寫寫幫文庫小編為你整理了多篇相關(guān)的《2014屆高考數(shù)學(xué)一輪:選修4-5-2不等式的證明》,但愿對你工作學(xué)習(xí)有幫助,當(dāng)然你在寫寫幫文庫還可以找到更多《2014屆高考數(shù)學(xué)一輪:選修4-5-2不等式的證明》。

      第一篇:2014屆高考數(shù)學(xué)一輪:選修4-5-2不等式的證明

      一、選擇題

      1.a(chǎn)b≥0是|a-b|=|a|-|b|的()

      A.充分不必要條件B.必要不充分條件

      C.充要條件D.不充分也不必要條件

      答案:B

      112.若實數(shù)x、y滿足=1,則x2+2y2有()x2y

      2A.最大值3+2B.最小值3+2

      C.最大值6D.最小值6

      答案:B

      3.若a,b,c∈R,且滿足|a-c|<b,給出下列結(jié)論

      ①a+b>c;②b+c>a;③a+c>b;④|a|+|b|>|c|.其中錯誤的個數(shù)()

      A.1B.2

      C.3D.

      4答案:A

      ab4.已知a>0,b>0,m=n=a+b,p=a+b,則m,n,p的大小順序是()ba

      A.m≥n>pB.m>n≥p

      C.n>m>pD.n≥m>p

      答案:A

      1115.設(shè)a、b、c∈R+,則三個數(shù)a+,b+c+()bca

      A.都大于2B.都小于

      2C.至少有一個不大于2D.至少有一個不小于2

      答案:D

      a+b16.若a>b>1,Plga·lgb,Q=+lgb),R=lg?2?2,則()

      A.R<P<QB.P<Q<R

      C.Q<P<RD.P<R<Q

      答案:B

      二、填空題

      7.設(shè)兩個不相等的正數(shù)a、b滿足a3-b3=a2-b2,則a+b的取值范圍是__________.

      答案:??38.用max{x,y,z}表示x,y,z三個實數(shù)中的最大數(shù),對于任意實數(shù)a,b,設(shè)max{|a|,|a+b+1|,|a-b+1|}=M,則M的最小值是__________.

      1答案:

      29.設(shè)m>n,n∈N+,a=(lgx)m+(lgx)-m,b=(lgx)n+(lgx)-n,x>1,則a與b的大小關(guān)系為__________.

      答案:a≥b

      三、解答題

      10.已知a>b>c>0,求證:a+3

      3a-b?b-c?c并指出等號成立的條件)

      3證明:因為a>b>c>0,所以a-b>0,b-c>0,所以a=(a-b)+(b-c)+c≥3a-b?b-c?c,當(dāng)且僅當(dāng)a-b=b-c=c時,等號成立,所以a3

      3a-b?b-c?c

      3a-b?b-c?c

      3a-b?b-c?c

      3a-b?b-c?c =6,3≥3a-b?b-c?c+≥233a-b?b-c?c3當(dāng)且僅當(dāng)3a-b?b-c?c=

      故可求得a=3,b=2,c=1時等號成立.

      11.已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R),當(dāng)x∈[-1,1]時,恒有|f(x)|≤1.(1)求證:|b|≤1;

      (2)f(0)=-1,f(1)=1,求f(x)的表達(dá)式.

      解析:(1)證明:∵f(1)=a+b+c,f(-1)=a-b+c,1∴b=[f(1)-f(-1)]. 2

      ∵當(dāng)x∈[-1,1]時,|f(x)|≤1.∴|f(1)|≤1,|f(-1)|≤1.11∴|b|=|f(1)-f(-1)|≤[|f(1)|+|f(-1)|]≤1.22

      (2)由f(0)=-1,f(1)=1,得c=-1,b=2-a.∴f(x)=ax2+(2-a)x-1.∵當(dāng)x∈[-1,1]時,|f(x)|≤1.∴|f(-1)|≤1,即|2a-3|≤1,解得1≤a≤2.a-211∴-[-1,1]. 2a2a

      依題意,得

      ?f?a-2?=?a?a-22+2-a??a-2-1?≤1,??2a???2a?2a?

      整理,得?a-2?2??4a+1?≤1.a-2?2a-2?2又a>0≥0+1≥1.4a4a

      a-2?2∴=0,即a=2,4a

      從而b=0,故f(x)=2x2-1.212.設(shè)正有理數(shù)x3的一個近似值,令y=1+1+x

      (1)若x>3,求證:y<;

      (2)求證:y比x3.33+x-3x1x2證明:(1)y-3=1+3=,1+x1+x1+x

      ∵x>3,∴x-3>0,而1-3<0,∴y<3.?1-x-3(2)∵|y-3|-|x-3|=?-|x3| ?1+x?

      =|x-3|?3-1??3-2-x1?=|x-3|? ?1+x??1+x?

      ∵x>03-2<0,|x3|>0,∴|y--|x-<0,即|y-3|<|x-3|,∴y比x3.

      第二篇:XX屆高考數(shù)學(xué)知識點不等式證明——比較法復(fù)習(xí)教案

      XX屆高考數(shù)學(xué)知識點不等式證明——比

      較法復(fù)習(xí)教案

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      kj.co

      m【§5.3不等式證明——比較法】班級姓名學(xué)號

      例1.a(chǎn)、b、c≥0,求證a3+b3+c3≥3abc.例2.a(chǎn)、b、c是△ABc的三邊,求證a2+b2+c2<2.例3.已知m、n∈N,求證:.例4.若x∈(0,1),a>0且a≠1,求證:|loga|>loga|.【備用題】

      x,y,z∈R,A、B、c是△ABc三內(nèi)角,求證:x2+y2+z2≥2yzcosA+2zxcosB+2xycosc

      【基礎(chǔ)訓(xùn)練】

      .設(shè)m=,則m、N的大小關(guān)系是

      ()

      A.m>N

      B.m=N

      c.m

      D.不確定

      2.設(shè)正數(shù)a、b、c、d滿足a+d=b-c,且|a-d|<|b-c|,則ad和bc的大小關(guān)系是

      ()

      A.a(chǎn)d=bc

      B.a(chǎn)d

      c.a(chǎn)d>bc

      D.不確定

      3.已知a,b∈R+,則與的大小關(guān)系是

      ()

      A.x>y

      B.x≥y

      c.x≤y

      D.不確定

      4.設(shè)a,b∈R+,且a+b=2,則的最小值是_________________.5.對任意銳角θ,都有,恒成立,則的最大值是_________________.6.若a>b>c>1,P=,是P與Q中的較小者是____________.【拓展練習(xí)】

      用比較法證明下列不等式

      .x,y∈R,x≠y,求證:x4+y4>x3y+xy3.2.x∈R,求證:1+2x2≥2x3+x2.3.x∈R,x≠-1,求證:.4.b>a>0,求證:.5.x,y,z∈R,求證:x2+y2+xy+7z2≥2xz+5yz.6.x>0,n∈N,求證:xn+x-n≥xn-1+x1-n.7.a(chǎn)>0,b>0,m、n∈N,m>n,求證:2≥(am-n+bm-n).8.a(chǎn)、b、c∈R+,求證:≥2.9

      a>b>c>0,a2ab2bc2c>ab+cbc+aca+b.0.a(chǎn)、b∈R+,①求證:之間

      ②問這二個數(shù)哪一個更接近于.www.5y

      kj.co

      m

      第三篇:數(shù)學(xué)選修4-5學(xué)案 §2.1.3不等式的證明

      §2.1.3不等式的的證明(3)學(xué)案姓名☆學(xué)習(xí)目標(biāo): 1.理解并掌握反證法、換元法與放縮法;

      2.?知識情景:

      1.不等式證明的基本方法:10.比差法與比商法(兩正數(shù)時).

      20.綜合法和分析法.

      30.反證法、換元法、放縮法

      2.綜合法:從①已知條件、②不等式的性質(zhì)、③基本不等式等出發(fā),通過邏輯推理, 推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論.這種證明方法叫做綜合法.又叫由導(dǎo)法.用綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系:A?B1?B2???Bn?B 3.分析法:從要證的結(jié)論出發(fā), 逐步尋求使它成立的充分條件, 直至所需條件為已知條件或一個明顯成立的事實(定義、公理或已證的定理、性質(zhì)等),從而得出要證的命題成立,這種證明方法叫做分析法.這是一種執(zhí)索.B?B1?B2????Bn?A用分析法證明不等式的邏輯關(guān)系: 結(jié)(步步尋求不等式已

      論成立的充分條件)知

      ?新知建構(gòu):

      1.反證法:利用反證法證明不等式,一般有下面幾個步驟:

      第一步分清欲證不等式所涉及到的條件和結(jié)論;

      第二步作出與所證不等式相反的假定;

      第三步從條件和假定出發(fā),應(yīng)用證確的推理方法,推出矛盾結(jié)果;

      第四步斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因,在于開始所作的假定不正確,于是原證不等式成立.例1已知a + b + c > 0,ab + bc + ca > 0,abc > 0,求證:a, b, c > 0.2.換元法:一般由代數(shù)式的整體換元、三角換元,換元時要注意等價性.常用的換元有三角換元有: 1.已知x?y?a,可設(shè),; 022

      220.已知x2?y2?1,可設(shè),0?r?1); 22xy30.已知a2?b2?1,可設(shè),.例2 設(shè)實數(shù)x,y滿足x2?(y?1)2?1,當(dāng)x?y?c?0時,c的取值范圍是()A.1,??)B.(??1]C.1,??)D.(??1] 例3 已知x2?y2?

      1,求證:?y?ax?

      3.放縮法:“放”和“縮”的方向與“放”和“縮”的量的大小

      由題目分析、多次嘗試得出,要注意放縮的適度.a2?1?a,n(n?1)?n,0?a111 ?2?n(n?1)nn(n?1)?bm?0a?a?m

      bb?m

      ④利用基本不等式,如:lg3?lg5?(⑤利用函數(shù)的單調(diào)性)2???lg4;

      ⑥利用函數(shù)的有界性:如:sinx≤1?x?R?;

      ⑦絕對值不等式:a?b≤a?

      b≤a?b;

      ???

      2n?k?N,k?

      1?,*?2?k?N,k?1? * ⑨應(yīng)用貝努利不等式:(1?x)?1?nx?n(n?1)2x???xn?1?nx.1?2

      例4當(dāng) n > 2 時,求證:logn(n?1)?log(n?1)n

      例5求證:1??

      1111?????3.11?21?2?31?2?3???n

      例6 若a, b, c, d?R+,求證:1?

      abcd????2 a?b?db?c?ac?d?bd?a?c

      §2.1.3不等式的證明(3)練習(xí)姓名

      11、設(shè)二次函數(shù)f(x)?x2?px?q,求證:f(1),f(2),f(3)中至少有一個不小于.212、設(shè)0 < a, b, c < 1,求證:(1 ? a)b,(1 ? b)c,(1 ? c)a,不可能同時大于

      43、已知a?b?0,求證:a?(n?N且n?1).4、若x, y > 0,且x + y >2,則

      1?y1?x和中至少有一個小于2。xy5、已知 1≤x2?y2≤2,求證:≤x2?xy?y2≤3

      26、設(shè)f(x)?x2?x?13,x?a?1,求證:f(x)?f(a)?2?a?1?;

      7、求證:?1?

      8、求證

      x?11? x2?x?13a?b1?a?b?a1?a?b1?b.9、設(shè)n為大于1的自然數(shù),求證

      11111??????.n?1n?2n?32n210、若n是自然數(shù),求證

      1111??????2.122232n

      231111?1?2?????2?2?(n≥2)

      11、求證:?2n?12nn12、求證:2?1??n?N? *

      第四篇:數(shù)學(xué)選修4-5學(xué)案 §2.1.2不等式的證明

      §2.1.2不等式的證明(2)綜合法與分析法學(xué)案姓名☆學(xué)習(xí)目標(biāo): 1.理解并掌握綜合法與分析法;

      2.?知識情景:

      1.基本不等式:

      10.如果a,b?R, 那么a?b?2ab.當(dāng)且僅當(dāng)a?b時, 等號成立.a?b?20.如果a,b?R,那么?.當(dāng)且僅當(dāng)a?b時, 等號成立.22

      230.如果a,b,c?R,那么?a?b?c

      3?, 當(dāng)且僅當(dāng)a?b?c時, 等號成立.a?b2?2.均值不等式:如果a,b?R,那么

      2aba?b

      ???常用推論:10.a2?0;a?0;a?

      20.3.1a?2(a?0);abab??baca?2(ab?0);?bc?0(a,b,c?R?).3.不等式證明的基本方法:10.作差法與作商法(兩正數(shù)時).20.綜合法和分析法.3.反證法、換元法、放縮法 0

      ☆案例學(xué)習(xí):

      綜合法:從①已知條件、②不等式的性質(zhì)、③基本不等式等出發(fā),通過邏輯推理, 推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論.這種證明方法叫做綜合法.又叫由導(dǎo)法.用綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系:A?B1?B2???Bn?B 例1 已知a,b,c?0,且不全相等,求證:a(b2?c2)?b(c2?a2)?c(a2?b2)?6abc

      例2 已知a1,a2,?,an?R?,且a1a2?an?1,求證:(1?a1)(1?a2)?(1?an)?2n

      分析法:從要證的結(jié)論出發(fā), 逐步尋求使它成立的充分條件, 直至所需條件為已知條件或一個明顯成立的事實(定義、公理或已證的定理、性質(zhì)等),從而得出要證的命題成立,這種證明方法叫做分析法.這是一種執(zhí)索的思考和證明方法.B?B1?B2????Bn?A用分析法證明不等式的邏輯關(guān)系: 結(jié)(步步尋求不等式已

      論成立的充分條件)知

      例3求證 ?

      a2b2?b2c2?c2a

      2例4已知a,b,c?0,求證:?abc

      a?b?c

      例5 證明:(a2?b2)(c2?d2)?(ac?bd)2.§2.1.2不等式的證明(2)練習(xí)姓名

      1、已知x?0,y?0,x?y,求證

      2、已知a?b?0, 求證a?b?a?.?1?12233333、已知a?0,b?0.求證:(1)(a?b)(a?b)?4.(2)(a?b)(a?b)(a?b)?8ab.1x?1y?4x?y.4、已知a,b,c,d都是正數(shù)。求證:

      (1)

      a?b?c?d2?ab?cd;(2)a?b?c?d4?abcd.5、已知a,b,c都是互不相等的正數(shù),求證(a?b?c)(ab?bc?ca)?9abc.a,b,c是互不相等的正數(shù),且abc?1.求證:(1?a?b)(1?b?c)(1?c?a)?27.已知a,b,m都是正數(shù),并且a?b.分別用綜合法與分析法求證:a?m

      b?m?a

      b..

      8設(shè)a?0,b?0,分別用綜合法與分析法求證: a3?b3?a2b?ab2.9(1)已知a,b是正常數(shù),a?b,x,y?(0,??),求證:a

      件;(2)利用(1)的結(jié)論求函數(shù)f(x)?2?

      值.

      9(a?b)2,指出等號成立的條 ??xyx?y2b2x1?2x(x?(0,1))的最小值,指出取最小值時x的 2

      第五篇:XX屆高考數(shù)學(xué)第一輪不等式的證明專項復(fù)習(xí)教案_1

      XX屆高考數(shù)學(xué)第一輪不等式的證明專項

      復(fù)習(xí)教案

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      6.3不等式的證明

      (二)●知識梳理

      .用綜合法證明不等式:利用不等式的性質(zhì)和已證明過的不等式以及函數(shù)的單調(diào)性導(dǎo)出待證不等式的方法叫綜合法,概括為“由因?qū)Ч?2.用分析法證明不等式:從待證不等式出發(fā),分析并尋求使這個不等式成立的充分條件的方法叫分析法,概括為“執(zhí)果索因”.3.放縮法證明不等式.4.利用單調(diào)性證明不等式.5.構(gòu)造一元二次方程利用“Δ”法證明不等式.6.數(shù)形結(jié)合法證明不等式.7.反證法、換元法等.特別提示

      不等式證明方法多,證法靈活,其中比較法、分析法、綜合法是基本方法,要熟練掌握,其他方法作為輔助,這些方法之間不能截然分開,要綜合運(yùn)用各種方法.●點擊雙基

      .(XX年春季北京,8)若不等式(-1)na<2+對任意n∈N*恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是

      A.[-2,)

      B.(-2,)

      c.[-3,)

      D.(-3,)

      解析:當(dāng)n為正偶數(shù)時,a<2-,2-為增函數(shù),∴a<2-=.當(dāng)n為正奇數(shù)時,-a<2+,a>-2-.而-2-為增函數(shù),-2-<-2,∴a≥-2.故a∈[-2,).答案:A

      2.(XX年南京市質(zhì)檢題)若<<0,則下列結(jié)論不正確的是

      A.a2<b2

      B.ab<b2

      c.+>2

      D.|a|+|b|>|a+b|

      解析:由<<0,知b<a<0.∴A不正確.答案:A

      3.分析法是從要證的不等式出發(fā),尋求使它成立的 A.充分條件

      B.必要條件

      c.充要條件

      D.既不充分又不必要條件

      答案:A

      4.(理)在等差數(shù)列{an}與等比數(shù)列{bn}中,a1=b1>0,an=bn>0,則am與bm的大小關(guān)系是____________.解析:若d=0或q=1,則am=bm.若d≠0,畫出an=a1+(n-1)d與bn=b1?qn-1的圖象,易知am>bm,故am≥bm.答案:am≥bm

      (文)在等差數(shù)列{an}與等比數(shù)列{bn}中,a1=b1>0,a2n+1=b2n+1>0(n=1,2,3,…),則an+1與bn+1的大小關(guān)系是____________.解析:an+1=≥==bn+1.答案:an+1≥bn+1

      5.若a>b>c,則+_______.(填“>”“=”“<”)

      解析:a>b>c,(+)(a-c)=(+)[(a-b)+(b-c)]

      ≥2?2=4.∴+≥>.答案:>

      ●典例剖析

      【例1】設(shè)實數(shù)x、y滿足y+x2=0,0<a<1.求證:loga(ax+ay)<loga2+.剖析:不等式左端含x、y,而右端不含x、y,故從左向右變形時應(yīng)消去x、y.證明:∵ax>0,ay>0,∴ax+ay≥2=2.∵x-x2=-(x-)2≤,0<a<1,∴ax+ay≥2=2a.∴l(xiāng)oga(ax+ay)<loga2a=loga2+.評述:本題的證題思路可由分析法獲得.要證原不等式成立,只要證ax+ay≥2?a即可.

      【例2】已知a、b、c∈R+,且a+b+c=1.求證:

      (1+a)(1+b)(1+c)≥8(1-a)(1-b)(1-c).剖析:在條件“a+b+c=1”的作用下,將不等式的“真面目”隱含了,給證明不等式帶來困難,若用“a+b+c”換成“1”,則還原出原不等式的“真面目”,從而抓住實質(zhì),解決問題.證明:∵a、b、c∈R+且a+b+c=1,∴要證原不等式成立,即證[(a+b+c)+a]?[(a+b+c)+b][(a+b+c)+c]≥8[(a+b+c)-a]?[(a+b+c)-b]?[(a+b+c)-c].也就是證[(a+b)+(c+a)][(a+b)+(b+c)]?[(c+a)+(b+c)]≥8(b+c)(c+a)(a+b).①

      ∵(a+b)+(b+c)≥2>0,(b+c)+(c+a)≥2>0,(c+a)+(a+b)≥2>0,三式相乘得①式成立.故原不等式得證.【例3】已知a>1,n≥2,n∈N*.求證:-1<.證法一:要證-1<,即證a<(+1)n.令a-1=t>0,則a=t+1.也就是證t+1<(1+)n.∵(1+)n=1+c

      +…+c()n>1+t,即-1<成立.證法二:設(shè)a=xn,x>1.于是只要證>x-1,即證>n.聯(lián)想到等比數(shù)列前n項和1+x+…+xn-1=,①

      倒序xn-1+xn-2+…+1=.②

      ①+②得2?=(1+xn-1)+(x+xn-2)+…+(xn-1+1)

      >2+2+…+2>2n.∴>n.思考討論

      本不等式是與自然數(shù)有關(guān)的命題,用數(shù)學(xué)歸納法可以證嗎?讀者可嘗試一下.●闖關(guān)訓(xùn)練

      夯實基礎(chǔ)

      .已知a、b是不相等的正數(shù),x=,y=,則x、y的關(guān)系是

      A.x>y

      B.y>x

      c.x>y

      D.不能確定

      解析:∵x2=(+)2=(a+b+2),y2=a+b=(a+b+a+b)>(a+b+2)=x2,又x>0,y>0.∴y>x.答案:B

      2.對實數(shù)a和x而言,不等式x3+13a2x>5ax2+9a3成立的充要條件是____________.解析:(x3+13a2x)-(5ax2+9a3)

      =x3-5ax2+13a2x-9a3

      =(x-a)(x2-4ax+9a2)

      =(x-a)[(x-2a)2+5a2]>0.∵當(dāng)x≠2a≠0時,有(x-2a)2+5a2>0.由題意故只需x-a>0即x>a,以上過程可逆.答案:x>a

      3.已知a>b>c且a+b+c=0,求證:<a.證明:要證<a,只需證b2-ac<3a2,即證b2+a(a+b)<3a2,即證(a-b)(2a+b)>0,即證(a-b)(a-c)>0.∵a>b>c,∴(a-b)?(a-c)>0成立.∴原不等式成立.4.已知a+b+c=0,求證:ab+bc+ca≤0.證法一:(綜合法)∵a+b+c=0,∴(a+b+c)2=0.展開得ab+bc+ca=-,∴ab+bc+ca≤0.證法二:(分析法)要證ab+bc+ca≤0,∵a+b+c=0,故只需證ab+bc+ca≤(a+b+c)2,即證a2+b2+c2+ab+bc+ca≥0,亦即證[(a+b)2+(b+c)2+(c+a)2]≥0.

      而這是顯然的,由于以上相應(yīng)各步均可逆,∴原不等式成立.證法三:∵a+b+c=0,∴-c=a+b.∴ab+bc+ca=ab+(b+a)c=ab-(a+b)2

      =-a2-b2-ab=-[(a+)2+]≤0.

      ∴ab+bc+ca≤0.培養(yǎng)能力

      5.設(shè)a+b+c=1,a2+b2+c2=1且a>b>c.求證:-<c<0.證明:∵a2+b2+c2=1,∴(a+b)2-2ab+c2=1.∴2ab=(a+b)2+c2-1=(1-c)2+c2-1=2c2-2c.∴ab=c2-c.又∵a+b=1-c,∴a、b是方程x2+(c-1)x+c2-c=0的兩個根,且a>b>c.令f(x)=x2+(c-1)x+c2-c,則

      6.已知=1,求證:方程ax2+bx+c=0有實數(shù)根.證明:由=1,∴b=.∴b2=(+c)2=+2ac+2c2=4ac+(-c)2≥4ac.∴方程ax2+bx+c=0有實數(shù)根.7.設(shè)a、b、c均為實數(shù),求證:++≥++.證明:∵a、b、c均為實數(shù),∴(+)≥≥,當(dāng)a=b時等號成立;

      (+)≥≥,當(dāng)b=c時等號成立;

      (+)≥≥.

      三個不等式相加即得++≥++,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時等號成立.探究創(chuàng)新

      8.已知a、b、c、d∈R,且a+b=c+d=1,ac+bd>1.求證:a、b、c、d中至少有一個是負(fù)數(shù).證明:假設(shè)a、b、c、d都是非負(fù)數(shù),∵a+b=c+d=1,∴(a+b)(c+d)=1.∴ac+bd+bc+ad=1≥ac+bd.這與ac+bd>1矛盾.所以假設(shè)不成立,即a、b、c、d中至少有一個負(fù)數(shù).●思悟小結(jié)

      .綜合法就是“由因?qū)Ч?,從已知不等式出發(fā),不斷用必要條件替換前面的不等式,直至推出要證的結(jié)論.2.分析法就是“執(zhí)果索因”,從所證不等式出發(fā),不斷用充分條件替換前面的不等式,直至找到成立的不等式.3.探求不等式的證法一般用分析法,敘述證明過程用綜合法較簡,兩法結(jié)合在證明不等式中經(jīng)常遇到.4.構(gòu)造函數(shù)利用單調(diào)性證不等式或構(gòu)造方程利用“Δ≥0”證不等式,充分體現(xiàn)相關(guān)知識間的聯(lián)系.●教師下載中心

      教學(xué)點睛

      .在證明不等式的過程中,分析法和綜合法是不能分離的,如果使用綜合法證明不等式難以入手時,常用分析法探索證題途徑,之后用綜合法的形式寫出它的證明過程,以適應(yīng)學(xué)生習(xí)慣的思維規(guī)律.有時問題證明難度較大,常使用分析綜合法,實現(xiàn)兩頭往中間靠以達(dá)到證題目的.2.由于高考試題不會出現(xiàn)單一的不等式的證明題,常常與函數(shù)、數(shù)列、三角、方程綜合在一起,所以在教學(xué)中,不等式的證明除常用的三種方法外,還需介紹其他方法,如函數(shù)的單調(diào)性法、判別式法、換元法(特別是三角換元)、放縮法以及數(shù)學(xué)歸納法等.拓展題例

      【例1】已知a、b為正數(shù),求證:

      (1)若+1>,則對于任何大于1的正數(shù)x,恒有ax+>b成立;

      (2)若對于任何大于1的正數(shù)x,恒有ax+>b成立,則+1>.分析:對帶條件的不等式的證明,條件的利用常有兩種方法:①證明過程中代入條件;②由條件變形得出要證的不等式.證明:(1)ax+=a(x-1)++1+a≥2+1+a=(+1)2.∵+1>b(b>0),∴(+1)2>b2.(2)∵ax+>b對于大于1的實數(shù)x恒成立,即x>1時,[ax+]min>b,而ax+=a(x-1)++1+a≥2+1+a=(+1)2,當(dāng)且僅當(dāng)a(x-1)=,即x=1+>1時取等號.故[ax+]min=(+1)2.則(+1)2>b,即+1>b.評述:條件如何利用取決于要證明的不等式兩端的差異如何消除.【例2】求證:≤+.剖析:|a+b|≤|a|+|b|,故可先研究f(x)=(x≥0)的單調(diào)性.證明:令f(x)=(x≥0),易證f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增.|a+b|≤|a|+|b|,∴f(|a+b|)≤f(|a|+|b|),即≤=≤.思考討論

      .本題用分析法直接去證可以嗎?2.本題當(dāng)|a+b|=0時,不等式成立;

      當(dāng)|a+b|≠0時,原不等式即為≤.再利用|a+b|≤|a|+|b|放縮能證嗎?讀者可以嘗試一下!

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