第一篇：2012屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 10.5 二項式定理教案

10.5 二項式定理

●知識梳理

1.二項展開式的通項公式是解決與二項式定理有關(guān)問題的基礎(chǔ).2.二項展開式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.3.利用二項式展開式可以證明整除性問題，討論項的有關(guān)性質(zhì)，證明組合數(shù)恒等式，進行近似計算等.●點擊雙基

9291.已知（1－3x）=a0+a1x+a2x+…+a9x，則｜a0｜+｜a1｜+｜a2｜+…+｜a9｜等于

999A.B.4

C.D.1 解析：x的奇數(shù)次方的系數(shù)都是負值，∴｜a0｜+｜a1｜+｜a2｜+…+｜a9｜=a0－a1+a2－a3+…－a9.∴已知條件中只需賦值x=－1即可.答案：B 2.（2004年江蘇，7）（2x+x）的展開式中x的系數(shù)是 A.6

42B.12

C.24

D.48 解析：（2x+x）=x（1+2x），在（1+2x）中，x的系數(shù)為C24·2=24.答案：C 3.（2004年全國Ⅰ，5）（2x－A.14

1x）的展開式中常數(shù)項是

C.42

B.－14

D.－42

r7?r）=C72·

r解析：設(shè)（2x－1xr）的展開式中的第r+1項是Tr?1=C7（2x）7?r（－

1xr??3(7?x)r2（－1）·x，當(dāng)－r61+3（7－r）=0，即r=6時，它為常數(shù)項，∴C67（－1）·2=14.232?13答案：A 4.（2004年湖北，文14）已知（x+x

5）的展開式中各項系數(shù)的和是128，則展開式

n中x的系數(shù)是_____________.（以數(shù)字作答）

解析：∵（x+x32?13）的展開式中各項系數(shù)和為128，nn∴令x=1，即得所有項系數(shù)和為2=128.r∴n=7.設(shè)該二項展開式中的r+1項為Tr?1=C7（x）7?r·（x32?13r）=C7·xr63?11r6，令63?11r5=5即r=3時，x項的系數(shù)為C37=35.6答案：35

5.若（x+1）=x+…+ax+bx+cx+1（n∈N），且a∶b=3∶1，那么n=_____________.2解析：a∶b=C3n∶Cn=3∶1，n=11.nn32*答案：11 ●典例剖析

【例1】 如果在（x+理項.解：展開式中前三項的系數(shù)分別為1，由題意得2×

124x）的展開式中，前三項系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中的有

nnn(n?1)，28n(n?1)n=1+，得n=8.281·xr216?3r4設(shè)第r+

1r項為有理項，Tr?1=C8·，則r是4的倍數(shù)，所以r=0，4，8.351x，T9=.28256x評述：求展開式中某一特定的項的問題常用通項公式，用待定系數(shù)法確定r.13【例2】 求式子（｜x｜+－2）的展開式中的常數(shù)項.|x|11113解法一：（｜x｜+－2）=（｜x｜+－2）（｜x｜+－2）（｜x｜+－2）得到|x||x||x||x|13常數(shù)項的情況有：①三個括號中全?。?，得（－2）；②一個括號?。黿｜，一個括號取，|x|有理項為T1=x，T5=41一個括號?。?，得C13C2（－2）=－12，∴常數(shù)項為（－2）+（－12）=－20.解法二：（|x|+31136－2）=（|x|－）.|x||x|設(shè)第r+1項為常數(shù)項，r則Tr?1=C6·（－1）·（r1r6r）·|x|6?r=（－1）·C6·|x|6?2r，得6－2r=0，r=3.|x|∴T3+1=（－1）·C36=－20.3思考討論

（1）求（1+x+x+x）（1－x）的展開式中x的系數(shù)； 23

444－4）的展開式中的常數(shù)項； x34503（3）求（1+x）+（1+x）+…+（1+x）的展開式中x的系數(shù).（2）求（x+1?x4746444解：（1）原式=（1－x）=（1－x）（1－x），展開式中x的系數(shù)為（－1）C6－

1?x1=14.1.一串裝飾彩燈由燈泡串聯(lián)而成，每串有20個燈泡，只要有一只燈泡壞了，整串燈泡就不亮，則因燈泡損壞致使一串彩燈不亮的可能性的種數(shù)為

20A.20 B.2C.2D.2－1 220解析：C120+C20+…+C20=2－1.20答案：D 2.（2004年福建，文9）已知（x－則展開式中各項系數(shù)的和是

A.2B.3r解析：Tr?1=C8·x8－r－1

a8）展開式中常數(shù)項為1120，其中實數(shù)a是常數(shù)，x

C.1或3

r8－2r8

D.1或2

8r·（－ax）=（－a）C8·xr.令8－2r=0，∴r=4.4∴（－a）C8=1120.∴a=±2.4當(dāng)a=2時，令x=1，則（1－2）=1.88當(dāng)a=－2時，令x=－1，則（－1－2）=3.答案：C 3.（2004年全國Ⅳ，13）（x－

1x）展開式中x的系數(shù)為_____________.85

r解析：設(shè)展開式的第r+1項為Tr?1=C8x8－r·（－

1xr）=（－1）C8xrr8?3r2.令8－3r522=5得r=2時，x的系數(shù)為（－1）·C8=28.21xxr答案：28 4.（2004年湖南，理15）若（x+

323）的展開式中的常數(shù)項為84，則n=_____________.93n?r2n解析：Tr?1=Crn（x）3

n－r·（x?）=Crn·x.9r=0，∴2n=3r.2∴n必為3的倍數(shù)，r為偶數(shù).令3n－

6試驗可知n=9，r=6時，Crn=C9=84.答案：9 5.已知（xlgx+1）展開式中，末三項的二項式系數(shù)和等于22，二項式系數(shù)最大項為20000，n求x的值.?2n?1n解：由題意Cnn＋Cn＋Cn=22，10即C2n＋Cn＋Cn=22，∴n=6.∴第4項的二項式系數(shù)最大.lgx∴C3）=20000，即x6（x3

3lgx=1000.∴x=10或x=1.10培養(yǎng)能力

652116.若（1+x）（1－2x）=a0+a1x+a2x+…+a11x.求：（1）a1+a2+a3+…+a11；（2）a0+a2+a4+…+a10.65211解：（1）（1+x）（1－2x）=a0+a1x+a2x+…+a11x.令x=1，得 a0+a1+a2+…+a11=－26，又a0=1，6所以a1+a2+…+a11=－2－1=－65.（2）再令x=－1，得

a0－a1+a2－a3+…－a11=0.①+②得a0+a2+…+a10=

①

②

（－2+0）=－32.2評述：在解決此類奇數(shù)項系數(shù)的和、偶數(shù)項系數(shù)的和的問題中常用賦值法，令其中的字母等于1或－1.mn127.在二項式（ax+bx）（a＞0，b＞0，m、n≠0）中有2m+n=0，如果它的展開式里最大系數(shù)項恰是常數(shù)項.（1）求它是第幾項；（2）求r解：（1）設(shè)Tr?1=C12（ax）

ma的范圍.br·（bx）=C12anr12－rrm（12－r）+nr12－rbx為常數(shù)項，則有m（12－r）+nr=0，即m（12－r）－2mr=0，∴r=4，它是第5項.（2）∵第5項又是系數(shù)最大的項，43C12ab≥C12ab，84

②

①

∴有 45C12ab≥C12ab.8475

12?11?10?98412?11?1093

ab≥ab，4?3?23?2a99∵a＞0，b＞0，∴ b≥a，即≤.44ba88a9由②得≥，∴≤≤.5b4b5由①得8.在二項式（x+124x）的展開式中，前三項的系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中的有理項.n分析：根據(jù)題意列出前三項系數(shù)關(guān)系式，先確定n，再分別求出相應(yīng)的有理項.解：前三項系數(shù)為C0n，11121220Cn，Cn，由已知C1=C+Cn，即n－9n+8=0，nn244解得n=8或n=1（舍去）.rTr?1=C8（x）（2x）8－r4－rr=C8·

4?14.·xr23r∵4－3r∈Z且0≤r≤8，r∈Z，44∴r=0，r=4，r=8.∴展開式中x的有理項為T1=x，T5=評述：展開式中有理項的特點是字母x的指數(shù)4－探究創(chuàng)新

9.有點難度喲！

351x，T9= x－2.82563r3r∈Z即可，而不需要指數(shù)4－∈N.441n*）<3（n≥2，n∈N）.n1121n1n1112n23證明：（1+）=C0+C× +C（）+…+C（）=1+1+C×+C×+…+Cnnnnnnnn23nnnnnnn?(n?1)???2?11111n(n?1)1n(n?1)(n?2)1×n=2+×+×+…+×<2++ n232!3!n!2!3!nnnn求證：2<（1+

11[1?()n?1]1111111n12++…+<2++2+3+…+n?1=2+2=3－（）n?1<3.顯然（1+）=1+1+C2n×14!n!2222n21?21n1113n+C×+…+C×>2.所以2<（1+）<3.nnn23nnnn●思悟小結(jié)

n?r1.在使用通項公式Tr?1=Crb時，要注意： nar（1）通項公式是表示第r＋1項，而不是第r項.（2）展開式中第r+1項的二項式系數(shù)Crn與第r+1項的系數(shù)不同.（3）通項公式中含有a，b，n，r，Tr?1五個元素，只要知道其中的四個元素，就可以求出第五個元素.在有關(guān)二項式定理的問題中，常常遇到已知這五個元素中的若干個，求另外幾個元素的問題，這類問題一般是利用通項公式，把問題歸納為解方程（或方程組）.這里必須注意n是正整數(shù)，r是非負整數(shù)且r≤n.2.證明組合恒等式常用賦值法.●教師下載中心 教學(xué)點睛

1.要正確理解二項式定理，準確地寫出二項式的展開式.2.要注意區(qū)分項的系數(shù)與項的二項式系數(shù).3.要注意二項式定理在近似計算及證明整除性中的應(yīng)用.4.通項公式及其應(yīng)用是二項式定理的基本問題，要熟練掌握.拓展題例

10343【例題】 求（a－2b－3c）的展開式中含abc項的系數(shù).10解：（a－2b－3c）=（a－2b－3c）（a－2b－3c）…（a－2b－3c），從10個括號中任取3

個括號，從中取a；再從剩余7個括號中任取4個括號，從中?。?b；最后從剩余的3個括號

343434中?。?c，得含abc的項為C10aC7·（－2b）C33（－3c）=C10C7C32（－3）abc.所以343

334334含abc項的系數(shù)為－C10C7×16×27.343

第二篇：2014高考數(shù)學(xué)全面突破 二項式定理

11.3二項式定理

考情分析

1．能用計數(shù)原理證明二項式定理．

2．會用二項式定理解決與二項展開式有關(guān)的簡單問題．

基礎(chǔ)知識

1．二項式定理

n1n－1n－rrn*(a＋b)n＝C0b＋?＋Crb＋?＋Cnna＋Cnananb(n∈N)這個公式所表示的定理叫二項式定理，右邊的多項式叫(a＋b)n的二項展開式．

其中的系數(shù)Crn(r＝0,1，?，n)

n－rrn－rr式中的Crb叫二項展開式的通項，用Tr＋1表示，即通項Tr＋1＝Crb.nana

2．二項展開式形式上的特點

(1)項數(shù)為(2)各項的次數(shù)都等于二項式的冪指數(shù)n，即a與b的指數(shù)的和為(3)字母an逐項減1直到零；字母b冪排列，從第一項起，次數(shù)由零逐項增1直到n.－11(4)二項式的系數(shù)從Cn，一直到Cnn3．二項式系數(shù)的性質(zhì) －(1).(2)增減性與最大值： 二項式系數(shù)Ckn，當(dāng)n＋1k＜2時，二項式系數(shù)逐漸增大．由對稱性知它的后半部分是逐漸減小的；

n當(dāng)n是偶數(shù)時，中間一項C2取得最大值；

n－1n＋1當(dāng)n是奇數(shù)時，中間兩項C2，C2取得最大值．

012nn(3)各二項式系數(shù)和：Cn＋Cn＋Cn＋?＋Crn＋?＋Cn＝2；

24135n－1C0.n＋Cn＋Cn＋?＝Cn＋Cn＋Cn＋?＝

2注意事項

n－rr1.運用二項式定理一定要牢記通項Tr＋1＝Crb，注意(a＋b)n與(b＋a)n雖然相na

同，但具體到它們展開式的某一項時是不同的，一定要注意順序問題，另外二項

展開式的二項式系數(shù)與該項的(字母)系數(shù)是兩個不同的概念，前者只指Cr而后n，者是字母外的部分．前者只與n和r有關(guān)，恒為正，后者還與a，b有關(guān)，可正可負．

2.二項式定理可利用數(shù)學(xué)歸納法證明，也可根據(jù)次數(shù)，項數(shù)和系數(shù)利用排列組合的知識推導(dǎo)二項式定理．因此二項式定理是排列組合知識的發(fā)展和延續(xù)．

3.(1)通項的應(yīng)用：利用二項展開式的通項可求指定的項或指定項的系數(shù)等．

(2)展開式的應(yīng)用：利用展開式①可證明與二項式系數(shù)有關(guān)的等式；②可證明不等式；③可證明整除問題；④可做近似計算等．

4.(1)對稱性；

(2)增減性；

(3)各項二項式系數(shù)的和； 以上性質(zhì)可通過觀察楊輝三角進行歸納總結(jié)．

題型一 二項展開式中的特定項或特定項的系數(shù)

13【例1】已知(3x－)n的展開式中各項系數(shù)之和為256，則展開式中第7x

項的系數(shù)是()

B.2

4D.252 A.－24C.－252

答案：D

解析：令x＝1可得各項系數(shù)之和為2n＝256，則n＝8，故展開式中第7項的26系數(shù)為C68×3×(－1)＝252.?a?【變式1】若?x－?6展開式的常數(shù)項為60，則常數(shù)a的值為________． x??

?a?6－r6－3r解析 二項式?x6展開式的通項公式是Tr＋1＝Cr(a)rx－2r＝Cr(－6x6xx??

2a)r，當(dāng)r＝2時，Tr＋1為常數(shù)項，即常數(shù)項是C26a，根據(jù)已知C6a＝60，解得a

＝4.答案 4

題型二 二項式定理中的賦值

【例2】已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋?＋a10(1－x)10，則a8＝

()

A.180

C.－

5答案：A

10－r解析：(1＋x)10＝[2－(1－x)]10其通項公式為：Tr＋1＝Cr(－1)r(1－x)r，a8102B.90 D.5

是r＝8時，第9項的系數(shù)．

28所以a8＝C8102(－1)＝180.故選A.【變式2】 已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋?＋a7x7.求：(1)a1＋a2＋?＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋?＋|a7|.解 令x＝1，則a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1.①

令x＝－1，則a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.②

(1)∵a0＝C07＝1，∴a1＋a2＋a3＋?＋a7＝－2.－1－37(2)(①－②)÷2，得a1＋a3＋a5＋a7＝＝－1 094.2

－1＋37(3)(①＋②)÷2，得a0＋a2＋a4＋a6＝2＝1 093.(4)∵(1－2x)7展開式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋?＋|a7|＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)＝1 093－(－1 094)＝2 187.題型三 二項式的和與積

2【例3】二項式(x＋x)(1－x)4的展開式中x的系數(shù)是________．

答案：

32解析：利用分步計數(shù)原理與組合數(shù)公式，符合題目要求的項有x(－x)4和

x·14，求和后可得3x，即展開式中x的系數(shù)為3.?2【變式3】x?x－x7的展開式中，x4的系數(shù)是________(用數(shù)字作答)． ??

?27?2737解析 原問題等價于求?x－x的展開式中x的系數(shù)，?x－x的通項Tr＋1＝Cr7x????

－r?2r7－2r?－x＝(－2)rCr，令7－2r＝3得r＝2，∴x3的系數(shù)為(－2)2C27x7＝84，即??

x???x－2x7?的展開式中x4的系數(shù)為84.答案 84

重難點突破

【例4】已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋?＋a7x7.求：(1)a1＋a2＋?＋a7；

(2)a1＋a3＋a5＋a7；

(3)a0＋a2＋a4＋a6；

(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋?＋|a7|.解：令x＝1，則a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1，令x＝－1，則a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.(1)∵a0＝C07＝1，∴a1＋a2＋a3＋?＋a7＝－2.(2)(①－②)÷2，－1－37得a1＋a3＋a5＋a7＝2＝－1094.(3)(①＋②)÷2，－1＋37得a0＋a2＋a4＋a6＝2＝1093.(4)∵(1－2x)7展開式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋?＋|a7|

＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)． ∴由(2)、(3)即可得其值為2187.① ②

第三篇：2011屆高三數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)之排列組合及二項式定理

2011屆高三數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)之排列組合及二項式定理

1.熟悉排列數(shù)、組合數(shù)的計算公式；了解排列數(shù)、組合數(shù)的一些性質(zhì)：①(n?1)!?(n?1)n!，由此可得：nn!?(n?1)!?n!，n11，為相應(yīng)的數(shù)列求和創(chuàng)造了條件； ??(n?1)!n!(n?1)!

mn?mrrrrr?1mm?1m②Cn；③Cn?Cn?Cn?1?Cn?1，由此得：Cr?Cr?1?Cr?2???Cn?Cn?1；

34?35?4?320?19???3?????=___________ 11?21?2?31?2?3??18

2?13?24?35?420?19n(n?1)??????解析：原式=；記an?，數(shù)列{an}的前1?21?21?21?21?22[舉例] 1?19項和即為所求。記數(shù)列{an}的前n項和為Sn；該數(shù)列的求和辦法有很多種，但都比較煩瑣，這里介紹用組合數(shù)性質(zhì)求解：注意到an?n(n?1)2=Cn?1，2[來源學(xué)*科*網(wǎng)Z*X*X*K]

22223223222=C3=C4= S19=C2?C3?C4???C20?C4???C20?C3?C4???C20

3?=C21=1330；

[鞏固1]設(shè)x?N且x?10，則(20?x)(21?x)?(29?x)等于（）

1020?x910（A）A20?x（B）A29?x（C）A29?x（D）A29?x*

[鞏固2] 已知(1?

則n=____ x)n的展開式中第9項、第10項、第11項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列，2．解排列組合應(yīng)用題首先要明確需要完成的事件是什么；其次要辨析完成該事件的過程：分類相加（每一類方法都能獨立地完成這件事），分步相乘（每一步都不能完成事件，只有各個步驟都完成了，才能完成事件）；較為復(fù)雜的事件往往既要分類，又要分步（每一類辦法又都需分步實施）；分類討論是研究排列組合問題的重要思想方法之一，分類時要選定討論對象、確保不重不漏。

[舉例] 設(shè)集合I={1,2,3,4,5}，選擇I的兩個非空子集A和B，要使B中最小的數(shù)大于A中的最大數(shù)，則不同的選擇方法共有：（）種

A．50種B．49種C．48種D．47種

解析：本題要完成的事件是：構(gòu)造集合I的兩個非空子集；要求：B中最小的數(shù)大于A中的最大數(shù)；顯然B中的最小數(shù)不可能是1，以下分類：① B中的最小數(shù)是2，B中可以有{2，3，4，5}中的1個元素、2個元素、3個元素或4個元素，所有可能的情況有：0123=8種，此時A只有{1}這1種；集合A、B都確定了，才算完成事件，C3?C3?C3?C

3∴完成事件有8×1=8中方法；② B中的最小數(shù)是3，B中可以有{3，4，5}中的1個元素、0122個元素或3個元素，所有可能的情況有：C2=4種，此時A中可以有{1，2}中?C2?C

212的有1個元素或2個元素，有C2=3種，∴完成事件有4×3=12種方法；③ B中的最?C2

小數(shù)是4，B中可以有{4，5}中的1個元素或2個元素，所有可能的情況有2種，此時A中

123可以有{1，2，3}中的有1個元素、2個元素或3個元素，有C3=7種，∴完成事?C3?C

3件有2×7=14種方法；④ B中的最小數(shù)是5，只有{5}這1種，此時A中可以有{1，2，3，12344}中的有1個元素、2個元素、3個元素或4個元素，有C4=15種，∴完?C4?C4?C

4成事件有1×15=15種方法；故完成事件的方法總數(shù)為：8+12+14+15=49，選B。

[鞏固]從集合{O，P，Q，R，S}與{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任選2個元素排成一排(字母和數(shù)字均不能重復(fù))．每排中字母O，Q和數(shù)字0至多只能出現(xiàn)一個的不同排法種數(shù)是_________．(用數(shù)字作答)．

3．對“按某種要求將n個元素排到m個位置”的問題，首先要確定研究的“抓手”：抓住元素還是抓住位置研究；再按特殊元素（特殊位置）優(yōu)先的原則進行。

[舉例] 從5位同學(xué)中選派4位同學(xué)在星期四到星期日參加公益活動，每人一天，其中甲不能安排在星期六，乙不能安排在星期天，則不同的選派方法共有種。

解析：本題要完成的事件是：從5個不同的元素中選出4個元素，并按要求排在四個不同的位置。本題不宜抓住元素研究，因為每一個元素都不一定被選到，而每一個位置上都一定要有一個元素，故應(yīng)該抓住位置研究。先看星期六（特殊位置，優(yōu)先）：不能安排甲，可以安排乙（特殊元素，優(yōu)先）或除甲乙之外的一個同學(xué)，①安排乙：其它位置可任意安排，有

[來源學(xué)&科&網(wǎng)Z&X&X&K]

3種，②不安排乙：可以安排其他三位同學(xué)，星期日可以安排甲或另外兩個同學(xué)，星期

四、A

4112112五可任意安排，有C3C3A3 種，故不同的選派方法共有：A4+C3C3A3=78種。

3[鞏固]四個不同的小球全部放入編號為1、2、3、4的四個盒中。（1）恰有兩個空盒的放法有種；（2）甲球只能放入2號或3好盒，而乙球不能放入4號盒的不同放法有種。

4．解決排列組合問題還要遵循“先選后排”、“正難則反”（即去雜法）等原則；[來源:學(xué)?？?。網(wǎng)Z。X。X。K]

[舉例]某通訊公司推出一組手機卡號碼，卡號的前七位數(shù)字固定，從“???????0000”到“???????9999”共10000個號碼．公司規(guī)定：凡卡號的后四位帶有數(shù)字“4”或“7”的一律作為“優(yōu)惠卡”，則這組號碼中“優(yōu)惠卡”的個數(shù)為（）（福建文科第12題）Ａ．2000Ｂ．4096Ｃ．5904Ｄ．8320

解析：直接考慮帶有數(shù)字“4”或“7”的情況太多，逐一討論非常麻煩；考慮事件的反面：后四位不帶有數(shù)字“4”或“7”的，有84個，故“優(yōu)惠卡”的個數(shù)為104-84=5904。

[鞏固]四位同學(xué)乘坐一列有6節(jié)車廂的動車組，則他們至少有兩人在同一節(jié)車廂的的情況共有種？(用數(shù)字作答)．

5．熟悉幾個排列組合問題的基本模型：①部分元素“相鄰”（捆綁法），②部分元素“不相鄰”（用要求“不相鄰”的元素插空），③部分元素有順序（n個元素全排，其中m個元素

m要求按給定順序排列的方法數(shù)為Cn(n?m)!=

nnCnkC(nk?1)nC(nk?2)n?Cnn!），④平均分組（kn個元素平均分成k組m!的方法數(shù)為k!），⑤相同元素分組（用“擋板法”）等。

[舉例1]某校安排6個班到3個工廠進行社會實踐，每個班去一個工廠，每個工廠至少安排一個班，不同的安排方法共有種。

解析：先將6個班分成3組，在將3個組分到3個工廠。6個班分成3組，從每組的人數(shù)看

22C62C4C2有3類：①4，1，1，有C種；②3，2，1，有CC種，③2，2，2，有種； 3!

46362

322C62C4C23故不同的安排方法共有：（C+CC+）×A3=540種。3!4

63623

[舉例2]某文藝小分隊到一個敬老院演出，原定6個節(jié)目，后應(yīng)老人們的要求決定增加3個節(jié)目，但原來六個節(jié)目的順序不變，且新增的3個既不在開頭也不在結(jié)尾，則這臺演出共有 種不同的演出順序。

解析：思路一：著眼于“位置”。從9個“位置”中選出6個，安排原來的6個節(jié)目，且第41和第9兩個位置必須選，而他們的順序是既定的，無需排列，所以有C7種方法，剩下的3433個位置安排新增的3個節(jié)目，有A3種方法；故所有不同的演出順序有：C7=210種。A3

思路二：在原有6個節(jié)目的基礎(chǔ)上“插空”。原來6個節(jié)目形成7個“空”，但前后兩“空”

3不能安排，共有3類情況：①新增的3個節(jié)目互不相鄰，有A5種方法；②新增的3個節(jié)目

223恰有兩個相鄰，有A3種方法，故所有不同的A5種方法；③新增的3個節(jié)目相鄰，有5A3

3223演出順序有：A5+A3=210種。A5+5A3

[鞏固1]記者要為5名志愿都和他們幫助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相鄰但不排在兩端，不同的排法共有（）（07高考北京理科第5題）

Ａ．1440種Ｂ．960種Ｃ．720種Ｄ．480種

[鞏固2]學(xué)號為1，2，3，4的四名學(xué)生的考試成績xi∈{89，90，91，92，93}（i=1，2，3，4）且滿足x1?x2?x3?x4，則這四為同學(xué)考試成績所有可能的情況有

[鞏固3]現(xiàn)有10個市級“三好生”名額分配給高三八個班級，每班至少1個，則有種不同的分配方案。

6．“抽象化歸”是解決排列組合問題的“太極拳”，“逐一列舉”是解決排列組合問題的“撒手锏”；有時，畫“樹狀圖”能使“逐一列舉”變得更加簡明、直觀。

[舉例1]已知兩個實數(shù)集合A={a1,a2,?,a100},B={b1,b2, ?,b50},若從A到B的映射f使得B中每個元素都有原象，且f(a1)≤f(a2)≤?≤f(a100),這樣的映射共有(用符號作答)。解析：本題直接考慮集合A中每一個元素在B中的象的情況非常困難。注意到集合B中每個元素都有原象，即A中有50“組”元素分別與B中的50個元素對應(yīng)；現(xiàn)將集合A中的100個元素按原有的順序分成50組，每組至少一個元素；將集合B中的元素按從小到大的順序

///排列為B={b1,b2, ?,b50}；∵f(a1)≤f(a2)≤?≤f(a100)，∴A中的“第1組”元素的象為

///b1，“第2組”元素的象為b2，?，“第50組”元素的象為b50，此處沒有排列的問題，即只要A中元素的分組確定了，映射也就隨之確定了；而A中元素的分組可視為在由這100

4949個元素所形成的99個“空”中插上49塊“擋板”，所以有C99種分法，即映射共有C99個。

[舉例2]一個同心圓形花壇分為兩個部分，如右圖，中間小圓部分

種植草坪，周圍的圓環(huán)分成5等份為a1,a2,a3,a4,a5,種植紅、黃、藍三色不同的花，要求相鄰兩部分種植不同顏色的花，則不同的種植的方法為種。

解析：本題解法甚多，這里介紹畫“樹狀圖”列舉法。a1 a2 在右圖中，區(qū)域a1種紅花，a2種黃花時共有5種不同的種植方法；而區(qū)域a2種藍花與種黃花情況相同，區(qū)

域a1種藍花、黃花與種紅花情況相同；故所有不同的種植的方法為：3×2×5=30種 黃[鞏固1]顯示屏有一排7個小孔，每個小孔可顯示0或

1，若每次顯示其中3個孔，但相鄰的兩孔不能同時顯 紅示，則該顯示屏能顯示信號的種數(shù)共有（）種

A．10B．48C．60D．80 藍 a3 紅4 黃 藍黃 5 藍 黃 藍 黃 藍

[鞏固2] 函數(shù)f:{1,2,3}?{1,2,3}滿足f(f(x))= f(x)，則這樣的函數(shù)個數(shù)共有（）

(A)1個(B)4個(C)8個(D)10個 [來源學(xué)+科+網(wǎng)]

7．二項式定理的核心是展開式的通項，Tr+1=Cnab(通項是展開式的第r+1項), r=0,1,2…n，二項展開式共有n+1項。展開式的通項中根式宜用分數(shù)指數(shù)表示。審題是要注意所求的是“項”還是“第幾項”還是“項的系數(shù)”。rn-rr

1??[舉例](1?2x)?x??的展開式中常數(shù)項為．（07高考全國Ⅱ卷理科第13題）x??28

181r)的展開式中常數(shù)項以及含x-2的項；Tr?1?C8rx8?r(?)r=C8(?1)rx8?2r xx

18-4由8-2r=0得r=4, 由8-2r=-2得r=5；即(x?)的展開式中常數(shù)項為C8，含x 2的項為 x解析：先求(x?

1??C(?1)x；∴(1?2x)?x??的展開式中常數(shù)項為C84-2C85=?

42x??

n?3[鞏固] 若?3x的展開式中含有常數(shù)項,則最小的正整數(shù)n等于。?585?228

(07高考安徽理科第12題)

[遷移]f(x)=(x+1)n，且f ′(x)展成關(guān)于x的多項式后x2的系數(shù)為60，則n=（）

A．7B．6C．5D．4

n8．注意辨析“系數(shù)”與“二項式系數(shù)”的區(qū)別；二項式系數(shù)和=2，其中奇數(shù)項的二項式系

n-1數(shù)和=偶數(shù)項的二項式系數(shù)和=2，二項式系數(shù)先增后減，并關(guān)于中間項“對稱”，二項展開

式中，中間項二項式系數(shù)最大；求二項展開式中系數(shù)絕對值最大的項，用“夾逼法”。

[舉例]若(2?x)n展開式中奇數(shù)二項式系數(shù)和為8192，則展開式中系數(shù)最大的項為。解析：2n?1r14?r=8192得n=14，則Tr?C142(?x)r，由于(2?x)14展開式中各項系數(shù)正負相間，故先求其展開式中系數(shù)絕對值最大的項，記為第r+1項，于是有：

r14?rr?115?rr14?rr?113?rC142?C142①，C142?C142②；由①②解得：4≤r≤5；

4104又r=5時系數(shù)為負，∴r=4，即展開式中系數(shù)最大的項為C142x。[來源:學(xué)§科§網(wǎng)Z§X§X§K] [來源:Z_xx_k.Com]

[鞏固]若(x?1n)展開式的二項式系數(shù)之和為64，則展開式的常數(shù)項為（）x

（07高考重慶理科第4題）

A．10B．20C．30D．120

23n9.研究多項式的“系數(shù)和”一般用“賦值法”。若多項式f(x)=a0+a1x+a2x+a3x+……anx，則展開式中所有項的系數(shù)和=f(1)，其中奇數(shù)項的系數(shù)和=

=f(1)?f(?1)，偶數(shù)項的系數(shù)和2

[舉例]設(shè)(1+2x)2(1-x)5=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,則a1-a2+a3-a4+a5-a6+a7=.解析：令x=1得a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=0①

令x=-1得a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=32②由①②解得：a0 +a2 +a4 +a6=16，a1+ a3+ a5+a7=-16，在令x=0得a0=1，∴a2 +a4 +a6=15，∴a1-a2+a3-a4+a5-a6+a7=-31。

[舉例2]已知(1＋x)+(1＋x)2+(1＋x)3+??+（1＋x）n＝a0+a1x+a2x2+a3x3+??+anxn，若a1+a2+??＋an-1＝29-n,則正整數(shù)n＝____________

解析：只有（1＋x）n 的展開式中才有含xn 的項，它的系數(shù)為1，令x=0得a0=n，23nn+1n+1令x=1得a0+a1+a2+……＋an-1+an=2+2+2+??+2=2-2,∴a1+a2+……＋an-1=2-2-1-n

∴2n+1-3-n=29-n得n=4.[來源:Zxxk.Com][來源學(xué)科網(wǎng)ZXXK]f(1)?f(?1)；展開式中的常數(shù)項=f(0)。2

[鞏固1]設(shè)(x2?1)(2x?1)9?a0?a1(x?2)?a2(x?2)2?

則a0?a1?a2?Ａ．?2?a11(x?2)11，（07高考江西文科第5題）?a11的值為（）Ｂ．?1Ｃ．1Ｄ．2[來源學(xué)科網(wǎng)ZXXK]

[鞏固2]已知(1?x)2?a0?a1x?a2x2?a3x3?a4x4?a5x5，則

(a0?a2?a4)(a1?a3?a5)的值等于安徽文科第12題)

[遷移]設(shè)(1?3x)?a0?a1x?a2x?a3x?a4x?a5x?a6x，則集合 623456

?a1,a2,a3,a4,a5,a6?含2 個元素的所有子集的元素總和為()

A640B630C320D31

5[來源:學(xué)_科_網(wǎng)Z_X_X_K]

[來源:學(xué)科網(wǎng)]

[來源:學(xué)科網(wǎng)]

答案

1、[鞏固1]D；[鞏固2] 14或23；

2、[鞏固]8424 ；

3、[鞏固]84，96；

4、[鞏固]936，5、[鞏固1] B，[鞏固2] 15，[鞏固3]問題相當(dāng)于：將10個相同的球放入8個盒子中，每盒至少一

2球，用“擋板法”，有C9=36種；

6、[鞏固1]D，[鞏固2]D；

7、[鞏固]7；[遷移]B；

8、[鞏

固] B；

9、[鞏固1] A；[鞏固2] ?256；[遷移]D。

第四篇：高三復(fù)習(xí)課《二項式定理》說課稿

高三第一階段復(fù)習(xí)，也稱“知識篇”。在這一階段，學(xué)生重溫高

一、高二所學(xué)課程，全面復(fù)習(xí)鞏固各個知識點，熟練掌握基本方法和技能；然后站在全局的高度，對學(xué)過的知識產(chǎn)生全新認識。在高

一、高二時，是以知識點為主線索，依次傳授講解的，由于后面的相關(guān)知識還沒有學(xué)到，不能進行縱向聯(lián)系，所以，學(xué)的知識往往是零碎和散亂，而在第一輪復(fù)習(xí)時，以章節(jié)為單位，將那些零碎的、散亂的知識點串聯(lián)起來，并將他們系統(tǒng)化、綜合化，把各個知識點融會貫通。對于普通高中的學(xué)生，第一輪復(fù)習(xí)更為重要，我們希望能做高考試題中一些基礎(chǔ)題目，必須側(cè)重基礎(chǔ)，加強復(fù)習(xí)的針對性，講求實效。

一、內(nèi)容分析說明

1、本小節(jié)內(nèi)容是初中學(xué)習(xí)的多項式乘法的繼續(xù)，它所研究的二項式的乘方的展開式，與數(shù)學(xué)的其他部分有密切的聯(lián)系：

（1）二項展開式與多項式乘法有聯(lián)系，本小節(jié)復(fù)習(xí)可對多項式的變形起到復(fù)習(xí)深化作用。

（2）二項式定理與概率理論中的二項分布有內(nèi)在聯(lián)系，利用二項式定理可得到一些組合數(shù)的恒等式，因此，本小節(jié)復(fù)習(xí)可加深知識間縱橫聯(lián)系，形成知識網(wǎng)絡(luò)。

（3）二項式定理是解決某些整除性、近似計算等問題的一種方法。

2、高考中二項式定理的試題幾乎年年有，多數(shù)試題的難度與課本習(xí)題相當(dāng)，是容易題和中等難度的試題，考察的題型穩(wěn)定，通常以選擇題或填空題出現(xiàn)，有時也與應(yīng)用題結(jié)合在一起求某些數(shù)、式的近似值。

第五篇：二項式定理二項式定理的應(yīng)用教案（范文模版）

排列、組合、二項式定理·二項式定理的應(yīng)用·教案

教學(xué)目標

1．利用二項式定理及二項式系數(shù)的性質(zhì)解決某些關(guān)于組合數(shù)的恒等式的證明；近似計算；求余數(shù)或證明某些整除或余數(shù)的問題等．

2．滲透類比與聯(lián)想的思想方法，能運用這個思想處理問題． 3．培養(yǎng)學(xué)生運算能力，分析能力和綜合能力． 教學(xué)重點與難點

數(shù)學(xué)是一門工具，學(xué)數(shù)學(xué)的目的就是為了應(yīng)用．怎樣建立起要解決的問題與數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系（如一個近似計算問題與二項式定理有沒有聯(lián)系，怎樣聯(lián)系），是這節(jié)課的難點，也是重點所在．

教學(xué)過程設(shè)計

師：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了二項式定理及二項式系數(shù)，請大家用6分時間完成以下三道題：

（1）在（1-x3）（1+x）10的展開式中，x5的系數(shù)是多少？（2）求（1+x-x2）6展開式中含x5的項．

（全體學(xué)生參加筆試練習(xí)）

6分鐘后，用投影儀公布以上三題的解答：

（1）原式=（1+x）10-x3（1+x）10，可知x5的系數(shù)是（1+x）

（2）原式=[1+（x-x2）]6=1+6（x-x2）+15（x-x2）2+20（x-x2）3+15（x-x2）4+6（x-x2）5+（x-x2）6．

其中含x5的項為：20·3x5+15（-4）x5+6x5=6x5．

師：解（1），（2）兩題運用了變換和化歸思想，第（2）題把三項式化為二項式，創(chuàng)造了使用二項式定理的條件．

第（3）題的解法是根據(jù)恒等式的概念，a，b取任何數(shù)時，等式都成立．根據(jù)習(xí)題結(jié)構(gòu)特征選擇a，b的取值．這種用概念解題的思想經(jīng)常使用．

下面我們看二項式定理的一些應(yīng)用．

師：請同學(xué)們想一想，例1怎樣解？

生甲：從結(jié)構(gòu)上觀察，則與練習(xí)的第（3）題有相似之處，只是組合數(shù)的系數(shù)成等比數(shù)列，是否根據(jù)二項式定理令a=1，b=3，即可得到證明．

師：請同學(xué)們根據(jù)生甲所講，寫出證明．（找一位同學(xué)板演）

證明：在（a+b）n的展開式中令a=1，b=3得：

師：顯然，適當(dāng)選取a，b之值是解這一類題的關(guān)鍵，再看練習(xí)題． 練習(xí)

生乙：這題與例1類比有共同點，仍是組合數(shù)的運算，不同點是缺

我考慮如能用二項式定理解，應(yīng)對原題做以下變換：

師：分析得很透徹．這種敢想、會想精神是每位同學(xué)都要培養(yǎng)的．首先是敢字，不要一見題目有些生疏就采取放棄態(tài)度；要敢于分析，才能善于分析，將來才敢于創(chuàng)新，善于創(chuàng)新．

請大家把解題過程寫在筆記本上．（教師請一名同學(xué)板演）

在（a＋b）6的展開式中令a=1，b=3，得

師：解題過程從“在（a+b）6的展開式中令 a=1，b=3”寫起就可以了．希望同學(xué)們再接再勵，完成下個練習(xí)．

練習(xí)

師：大家議論一下，這道題能用二項式定理來解嗎？

生丙：初步觀察，與上節(jié)課我們學(xué)刁的：“在（a＋b）n的展開式

解決．我們注意到組合數(shù)代數(shù)和的值為余弦值或正弦值，又注意到正項

?）或r=4m＋1（m=0，1，2，?），負項出現(xiàn)在r=4m＋2（m=0，1，2，?）或r=4m＋3（m=0，1，2，?），而虛數(shù)單位i有以下性質(zhì)：

i4m=1，i4m+1=i，i4m+2=-1，i4m+3=-i（m∈Z）． 于是想在（a＋b）n的展開式中令a=1，b=i．

師：分析得有道理，請同學(xué)們按生丙同學(xué)的意見進行演算．（教師找一位同學(xué)板演）

證明：設(shè)i是虛數(shù)單位，在（a＋b）n的展開式中令a=1，b=i中得：

另一方面，又有

由此得到

根據(jù)復(fù)數(shù)相等定義，有

師：認真分析習(xí)題的結(jié)構(gòu)，運用類比與聯(lián)想的思想方法，可以幫助我們找到解題的思路，下面我們研究二項式定理在數(shù)字計算方面的應(yīng)用．

例2 計算：1.9975（精確到0.001）．

生?。哼@道題若用二項式定理計算，必須把1.997看作1+0.997，這樣，1.9975=（1+0.997）5．

師：計算簡單嗎？

生戊：把1.9975化為（2-0.003）5，再展開，由于精確到0.001，不必各項都計算．

師：按生戊所談的方法，大家在自己的筆記本上計算一下．（教師找一位同學(xué)板演）解：1.9975=（2-0.003）5

=25-5×24×0.003+10×23×0.0032-10×22×0.003＋?

由于|T6|＜|T5|＜|T4|≈1.08×10-6，則|T4|＋T5＋T6|＜0.000004． 所以1.9975≈32-0.24+0.000 72≈31.761． 師：1996年全國高考有這樣一道應(yīng)用題：（用投影儀示出，老師讀題）

某地現(xiàn)有耕地10 000公頃，規(guī)劃10年后糧食單產(chǎn)比現(xiàn)在增加22％，人均糧食占有量比現(xiàn)在提高10％．如果人口年增長率為1％，那么耕地平均每年至多只能減少多少公頃（精確到1公頃）？

稍候，教師問：

誰想出解法了，請講一講．

生己：設(shè)該地區(qū)現(xiàn)有人口為P人，糧食單產(chǎn)為M噸/公頃，耕地平均每年至多只能減少x公頃．

十年后耕地畝數(shù)：104-10x，十年后總產(chǎn)量：M×（1+22％）（104-10x）． 十年后人口：P×（1＋1％）10，依題意可以得到不等式

師：實際計算時，會遇到（1＋0.01）10的計算問題，請全體同學(xué)在筆記本上迅速計算出來．

（教師請一同學(xué)板演）

師：真迅速??！請同學(xué)們課下把這道高考題完成．（答案：按規(guī)劃該地區(qū)耕地平均每年至多只能減少4公頃）現(xiàn)在，我們再討論一個新的問題．

例3 如果今天是星期一，那么對于任意自然數(shù)n，經(jīng)過23n+3＋7n＋5天后的那一天是星期幾？

生庚：先將此題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，即本題實際上尋求對于任意自然數(shù)n，23n+3+7n＋5被7除的余數(shù)．

受近似計算題目啟發(fā)，23n+3=8n+1=（7＋1）n+1，這樣可以運用

數(shù)，7n也是7的倍數(shù)，最后余數(shù)是1加上5，是6了． 師：請同學(xué)們在筆記本上完成此題的解答（教師請一名同學(xué)板演）

解：由于23n+3＋7n＋5=8n+1＋7n＋5=（7＋1）n+1＋7n+5

則 23n+3＋7n＋5被7除所得余數(shù)為6 所以對于任意自然數(shù)n，經(jīng)過23n+3＋7n＋5后的一天是星期日．

師：請每位同學(xué)在筆記本上完成這樣一個習(xí)題：7777-1能被19整除嗎？（教師在教室內(nèi)巡視，3分鐘后找學(xué)生到黑板板演）解：7777-1=（76+1）77

由于76能被19整除，因此7777-1能被19整除． 師：請生辛談?wù)勊鯓酉氲竭@個解法的？ 生辛：這是個冪的計算問題，可以用二項式定理解決．如果把7777改成（19＋58）77，顯然展開式中最后一項5877仍然不易判斷是否能被19整除，于是我想到若7777-1能被38，或能被57，或能被76，或能被95整除，必能被19整除，而76與77只差1，故欲證7777-1被19整除，只需證（76+1）77被76整除．得到了以上的解法．

師：二項式定理解決的是乘方運算問題，因此冪的問題可以考慮二項式定理．下面我們解一些綜合運用的習(xí)題

例4 求證：3n＞2n-1（n＋2）（n∈N，且n≥2）． 師：仍然由同學(xué)先談?wù)勛约旱南敕ǎ?/p>

生壬：我覺得這道題仍可以用二項式定理解，為了把左式與右式發(fā)生聯(lián)系，將3換成2＋1．

注意到：

① 2n+n·2n-1=2n-1（2＋n）=2n-1（n+2）； ② n≥2，右式至少三項；

這樣，可以得到3n＞2n-1（n＋2）（n∈N，且n≥2）．

生癸：根據(jù)題設(shè)條件有n∈N，且n≥2．用數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)當(dāng)可以證明． 師：由于觀察習(xí)題時思維起點不同，得到了習(xí)題不同解法，生×同學(xué)從乘方運算這點考慮，想到二項式定理，生×同學(xué)從題設(shè)條件n∈N考慮，想到數(shù)學(xué)歸納法．大家要養(yǎng)成習(xí)慣，每遇一題，從不同角度觀察思考，得到更多解法，使我們思考問題更全面．

用二項式定理證明，生×同學(xué)已經(jīng)講清楚了證明過程，大家課下在筆記本上整理好，現(xiàn)在請同學(xué)們在筆記本上完成數(shù)學(xué)歸納法的證明．

（教師請一名同學(xué)板演）

證明：①當(dāng)n=2時，左式=32=9，右式=22-1（2＋2）=2×4=8，顯然9＞8．故不等式成立． ②假設(shè)n=k（k∈N且k≥2）時，不等式成立，即3k＞2k-1（k＋2），則當(dāng)n=k＋1時，由于 左式=3k+1=3·3k＞3·2k-1（k＋2）=3k·2k-1＋3·2k． 右式=2(k+1)-1[（k＋1）＋2]=2k（k＋3）=k·2k＋3·2k，則 左式-右式=（3k·2k-1＋3·2k）-（k·2k＋3·2k）=3k·2k-1-2k·2k-1=k·2k-1＞0．

所以 左式＞有式．故當(dāng)n=k＋1時，不等式也成立． 由①，②不等式對n≥2，n∈N都成立．

師：為了培養(yǎng)綜合能力，同學(xué)們在筆記本再演算一道習(xí)題： 設(shè)n∈N且n＞1，求證：

（證明過程中可以運用公式：對n個正數(shù)a1，a2，?，an，總有

（教師在教室巡視，過2分鐘找一名同學(xué)到黑板板演第（1）小題，再過3分鐘找另一名同學(xué)板演第（2）小題）

師：哪位同學(xué)談一談此題應(yīng)怎樣分析？

生寅：第（1）小題左式與右式?jīng)]有直接聯(lián)系，應(yīng)把它們分別轉(zhuǎn)化，列前n項的和，由求和公式也能得到2n-1．因此得到證明． 第（2）小題左式與右式也沒有直接聯(lián)系．根據(jù)題目給出的公式要

師：根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)想有關(guān)知識和思考方法是分析問題的一種重要方法，要在解題實踐中掌握．

本節(jié)課討論了二項式定理主要應(yīng)用，包括組合數(shù)的計算、近似計算、整除和求余數(shù)的計算以及與其他數(shù)學(xué)知識的綜合應(yīng)用．當(dāng)然，二項式定理的運用不止這些，凡是涉及到乘方運算（指數(shù)是自然數(shù)或轉(zhuǎn)化為自然數(shù)）都可能用到二項式定理．認真分析習(xí)題的結(jié)構(gòu)，類比、聯(lián)想、轉(zhuǎn)化是重要的找到解題途徑的思考方法，希望引起同學(xué)們的重視．

作業(yè) 1．課本習(xí)題：P253習(xí)題三十一：6，7，10； 2．課本習(xí)題：P256復(fù)習(xí)參考題九：15（2）． 3．補充題：

課堂教學(xué)設(shè)計說明

1．開始練習(xí)起著承上啟下的作用．這三題既復(fù)習(xí)了二項式定理及其性質(zhì)，又考查了數(shù)學(xué)基本思想，如等價變換、未知轉(zhuǎn)化已知，取特殊值，利于本節(jié)課進行，又培養(yǎng)了學(xué)生預(yù)習(xí)復(fù)習(xí)的學(xué)習(xí)習(xí)慣．

2．只有學(xué)生自己動手、動腦、動口才能真正把知識學(xué)到手，才能培養(yǎng)思維能力、計算能力、表達能力、分析問題解決問題能力．因此課堂教學(xué)一定以學(xué)生為主體，體現(xiàn)主體參與．

3．學(xué)生的回答不會像教案寫的那樣標準，教師要因勢利導(dǎo)，幫助學(xué)生提高分析能力．