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      2011年版義務(wù)教育小學數(shù)學課程標準與原標準的對比（合集五篇）
      
        
       時間：2019-05-15 00:19:37下載本文作者：會員上傳
      
      
      
      
      
簡介：寫寫幫文庫小編為你整理了多篇相關(guān)的《2011年版義務(wù)教育小學數(shù)學課程標準與原標準的對比》，但愿對你工作學習有幫助，當然你在寫寫幫文庫還可以找到更多《2011年版義務(wù)教育小學數(shù)學課程標準與原標準的對比》。

      
	
      

      第一篇：2011年版義務(wù)教育小學數(shù)學課程標準與原標準的對比
      

      2011年版義務(wù)教育小學數(shù)學課程標準與原標準的對比
      【新舊課標比較】
      與舊課標相比，新課標從基本理念、課程目標、內(nèi)容標準到實施建議都更加準確、規(guī)范、明了和全面。具體變化如下：
      一、總體框架結(jié)構(gòu)的變化
      2001年版分四個部分：前言、課程目標、內(nèi)容標準和課程實施建議。2011年版把其中的“內(nèi)容標準”改為“課程內(nèi)容”。前言部分由原來的基本理念和設(shè)計思路，改為課程基本性質(zhì)、課程基本理念和課程設(shè)計思路三部分。
      二、關(guān)于數(shù)學觀的變化  2001年版：
      數(shù)學是人們對客觀世界定性把握和定量刻畫、逐漸抽象概括、形成方法和理論，并進行廣泛應(yīng)用的過程。
      數(shù)學作為一種普遍適用的技術(shù)，有助于人們收集、整理、描述信息，建立數(shù)學模型，進而解決問題，直接為社會創(chuàng)造價值。2011年版：
      數(shù)學是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學。
      數(shù)學作為對于客觀現(xiàn)象抽象概括而逐漸形成的科學語言與工具。
      數(shù)學是人類文化的重要組成部分，數(shù)學素養(yǎng)是現(xiàn)代社會每一個公民應(yīng)該具備的基本素養(yǎng)。
      三、基本理念“三句”變“兩句”，“6條”改“5條”  2001年版“三句話”：
      人人學有價值的數(shù)學，人人都能獲得必需的數(shù)學，不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展。
      2011年版“兩句話”：
      人人都能獲得良好的數(shù)學教育，不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展?！?條”改“5條”：
      在結(jié)構(gòu)上由原來的6條改為5條，將2001年版的第2條關(guān)于對數(shù)學的認識整合到理念之前的文字之中，新增了對課程內(nèi)容的認識，此外，將“數(shù)學教學”與“數(shù)學學習”合并為數(shù)學“教學活動”。
      2001年版：數(shù)學課程——數(shù)學——數(shù)學學習——數(shù)學教學活動——評價——現(xiàn)代信息技術(shù)
      2011年版：數(shù)學課程——課程內(nèi)容——教學活動——學習評價——信息技術(shù)
      四、理念中新增加了一些提法
      要處理好四個關(guān)系
      數(shù)學課程基本理念（兩句話）
      數(shù)學教學活動的本質(zhì)要求
      培養(yǎng)良好的數(shù)學學習習慣
      注重啟發(fā)式
      正確看待教師的主導(dǎo)作用
      處理好評價中的關(guān)系
      注意信息技術(shù)與課程內(nèi)容的整合五、“雙基”變“四基”
      2001年版： “雙基”：基礎(chǔ)知識、基本技能；
      2011年版 “四基”：基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗。并把 “四基”與數(shù)學素養(yǎng)的培養(yǎng)進行整合：
      掌握數(shù)學基礎(chǔ)知識，訓練數(shù)學基本技能，領(lǐng)悟數(shù)學基本思想，積累數(shù)學基本活動經(jīng)驗。六、四個領(lǐng)域名稱的變化
      2001年版：數(shù)與代數(shù)、空間與圖形、統(tǒng)計與概率、實踐與綜合應(yīng)用。2011年版：數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率、綜合與實踐。
      七、課程內(nèi)容的變化
      更加注意內(nèi)容的系統(tǒng)性和邏輯性。如在數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的第一學段：增加了認識小括號，能進行簡單的整數(shù)四則混合運算。綜合與實踐領(lǐng)域的要求更加明確和具有可操作性。
      八、實施建議的變化
      不再分學段闡述，而是分教學建議、評價建議、教材編寫建議、課程資源利用和開發(fā)建議。在強調(diào)學生主體作用的同時，明確提出教師的組織和引導(dǎo)作用。
      根據(jù)幾年課程改革實驗的經(jīng)驗和出現(xiàn)的問題，在深入調(diào)查、認真研討和廣泛征求意見的基礎(chǔ)上，數(shù)學課程標準修改組形成了的《標準》（修改稿）。標準（修改稿修改的主要內(nèi)容包括以下幾個方面。1.體例與結(jié)構(gòu)做了適當調(diào)整
      本次修改，在保持原課程標準基本結(jié)構(gòu)不變的基礎(chǔ)上，經(jīng)充分討論，在結(jié)構(gòu)上有兩處調(diào)整。
      一是前言內(nèi)容做了較大的調(diào)整。在前言重點闡述了《標準》的指導(dǎo)思想、意義與功能。明確了《標準》應(yīng)以《義務(wù)教育法》和全面推進素質(zhì)教育，培養(yǎng)創(chuàng)新型人才為依據(jù)。明確了《標準》的意義和功能。在前言中指出，“《標準》提出的數(shù)學課程理念和目標對義務(wù)教育階段的數(shù)學課程與教學具有指導(dǎo)作用，所規(guī)定的課程目標和內(nèi)容標準是義務(wù)教育階段的每一個學生應(yīng)當達到的基本要求?！稑藴省肥墙滩木帉?、教學、評估和考試命題的依據(jù)?！?/p>
      二是將課程目標中的關(guān)鍵術(shù)語的解釋和所有比較完整的案例統(tǒng)一放在附錄中，案例進行統(tǒng)一編號，便于查找和使用，同時減少了《標準》正文的篇幅。
      2、修改和完善了數(shù)學課程的基本理念
      《標準》提出的基本理念總體上反映了基礎(chǔ)教育改革的方向，對個別表述的方式進行了修改。如將原來“人人學有價值的數(shù)學，人人獲得必需的數(shù)學，不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展”，改為“人人都能獲得良好的數(shù)學教育，不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展”。
      3、理清了《標準》的設(shè)計思路
      《標準》中設(shè)計思路表述的不夠清晰，修改稿對設(shè)計思路做了較大的修改。主要是對四個方面的課程內(nèi)容“數(shù)與代數(shù)”，“圖形與幾何”，“統(tǒng)計與概率”，“綜合與實踐”做了明確的闡述。將“空間與圖形”改為“圖形與幾何”。確立了“數(shù)感”、“符號意識”等七個義務(wù)教育階段數(shù)學教育的關(guān)鍵詞，并給出較清晰的描述。
      4、對學生培養(yǎng)目標做了修改
      學生的培養(yǎng)目標在具體表述上做了修改，提出了“四基”：基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗；提出了“兩能”：發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力、分析問題和解決問題的能力。
      5、具體內(nèi)容做了適當?shù)男薷?，表述方式更加合?/p>
      對于三個學段的具體內(nèi)容進行了適當調(diào)整。對“數(shù)與代數(shù)”，“圖形與幾何”的內(nèi)容也做了一定的調(diào)整，增加了一些論證的要求；對“統(tǒng)計與概率”的內(nèi)容進行了梳理，增強了三個學段內(nèi)容的層次性；
      為了削弱形式化，明確指出，幾何證明不限于“綜合證明法”。為了減輕學生的負擔，修改中適當減少的一些知識點。如“圖形與幾何”中減少10個左右的知識點；在“數(shù)與代數(shù)”中刪去了“一元不等式組的應(yīng)用”等。具體修改情況如下：
      數(shù)與代數(shù) 第一學段
      1、增加“能進行簡單的四則混合運算（兩步）第二學段
      1、增加“結(jié)合現(xiàn)實情境感受大數(shù)的意義，并能進行估計”。
      2、增加“了解公倍數(shù)和最小公倍數(shù)；了解公因數(shù)和最大公因數(shù)”。
      3、刪除“會口算百以內(nèi)一位數(shù)乘、除兩位數(shù)。
      4、理解等式的性質(zhì)，會用等式的性質(zhì)解簡單方程，改為“能解簡單的方程(如3x+2＝5，2x-x＝3)?！?/p>
      圖形與幾何
      1、內(nèi)容的結(jié)構(gòu)的調(diào)整：
      《標準（實驗稿）》的“空間與圖形”分為四個部分：
      第一、二學段為（1）圖形的認識；（2）測量；（3）圖形與變換；（4）圖形與位置。
      《標準（修改稿）》的“圖形與幾何”，第一、二學段仍分為四部分，具體表示有所變動，（1）圖形的認識；（2）測量；（3）圖形的運動；（4）圖形與位置。
      其中，第（1）部分大體整合了《標準（實驗稿）》的第（1）、（4）部分的內(nèi)容，以利于在探索、發(fā)現(xiàn)、確認、證明圖形性質(zhì)過程的過程中，體現(xiàn)兩種推理（合情推理與演繹推理）相輔相成的關(guān)系；體現(xiàn)《標準（修改稿）》在總體目標中提出的增強學生“發(fā)現(xiàn)和提出問題，分析和解決問題”的能力的要求。第（2）部分除了《標準（實驗稿）》第（2）部分的圖形的軸對稱、旋轉(zhuǎn)、平移、相似外，還包括了圖形的投影。這部分內(nèi)容強調(diào)了圖形的運動是研究圖形性質(zhì)的一種有效方法。第（3）部分包括兩部分內(nèi)容——坐標與圖形的位置、坐標與圖形的運動，比《標準（實驗稿）》的第（3）部分內(nèi)容有所增加，要求也更加具體、明確。
      2、主要內(nèi)容的修改 第一學段
      （1）“能在方格紙上畫出簡單圖形沿水平方向、垂直方向平移后的圖形”放在第二學段（2）“能在方格紙上畫出簡單圖形的軸對稱圖形”放在第二學段。（3）在東、南、西、北和東北、西北、東南、西南中，給定一個方向，辨認其余七個方向，并能用這些詞語描繪物體所在的方向；會看簡單的路線圖。改為：給定東、南、西、北四個方向中的一個方向，能辨認其余三個方向，知道東北、西北、東南、西南四個方向，能用這些詞語描繪物體所在的方向。第二學段
      （1）刪掉“兩點確定一條直線和兩條相交直線確定一個點”。（2）增加“通過操作，了解圓的周長與直徑的比為定值”。
      統(tǒng)計與概率
      1.統(tǒng)計
      與《標準》相比，《標準修改稿》對統(tǒng)計內(nèi)容做了適當調(diào)整，使三個學段統(tǒng)計內(nèi)容學習的層次性方面更加明確。主要變化如下：
      （1）第一學段與《標準》相比，最大的變化是鼓勵學生運用自己的方式（包括文字、圖畫、表格等）呈現(xiàn)整理數(shù)據(jù)的結(jié)果，不要求學生學習“正規(guī)”的統(tǒng)計圖（一格代表一個單位的條形統(tǒng)計圖）以及平均數(shù)（這些內(nèi)容放在了第二學段）。這種變化主要原因有三：第一，更加突出了學生對數(shù)據(jù)分析的體驗，鼓勵學生用自己的方式去分析數(shù)據(jù)；第二，早期經(jīng)驗的多樣化可以為以后學習“正規(guī)”的統(tǒng)計圖表和統(tǒng)計量奠定比較牢固的基礎(chǔ)；第三，使得統(tǒng)計內(nèi)容在第一、二學段的要求層次更加明確。
      在收集數(shù)據(jù)方法方面，考慮到學生年齡特征，要求學生了解測量、調(diào)查等的簡單方法，不要求學生從報刊、雜志、電視等媒體中獲取數(shù)據(jù)信息。
      （2）第二學段與《標準》相比，在統(tǒng)計量方面，只要求學生體會平均數(shù)的意義，不要求學生學習中位數(shù)、眾數(shù)（這些內(nèi)容放在了第三學段）。這種變化主要原因有二：第一，平均數(shù)是一個非常重要的刻畫數(shù)據(jù)平均水平的統(tǒng)計量，需要學生重點體會；第二，考慮到學生的年齡特征，其他刻畫數(shù)據(jù)平均水平的統(tǒng)計量不宜集中學習。
      另外，刪去“體會數(shù)據(jù)可能產(chǎn)生的誤導(dǎo)”這一要求。
      （3）加強體會數(shù)據(jù)的隨機性
      實際上，體會數(shù)據(jù)的隨機性是《標準修改稿》的一個重要特點，也是一個重要變化。在以前的學習中，學生主要是依靠概率來體會隨機思想的，《標準修改稿》希望通過數(shù)據(jù)使學生體會隨機思想。這種變化從“數(shù)據(jù)分析觀念”核心詞的表述，以及案例
      21、案例
      43、案例73中也可以看到。
      （4）增加了一些案例，特別是對案例在數(shù)學上、教學上做了比較詳細的闡述，希望對教師有所啟發(fā)。2.概率
      與《標準》相比，《標準修改稿》的主要變化如下：
      （1）第一學段、第二學段的要求降低。
      在第一學段，去掉了《標準》對此內(nèi)容的要求；第二學段，只要求學生體會隨機現(xiàn)象，并能對隨機現(xiàn)象發(fā)生的可能性大小做定性描述。
      （2）明確指出所涉及的隨機現(xiàn)象都基于簡單隨機事件：所有可能發(fā)生的結(jié)果是有限的、每個結(jié)果發(fā)生的可能性是相同的。在第三學段，學生通過列出簡單隨機現(xiàn)象所有可能的結(jié)果、以及指定事件發(fā)生的所有可能結(jié)果，來了解隨機現(xiàn)象發(fā)生的概率。
      （3）增加了一些案例，特別是對案例在數(shù)學上、教學上做了比較詳細的闡述，希望對教師有所啟發(fā)。
      綜合與實踐
      在標準的修改中，根據(jù)課程實驗積累的經(jīng)驗，進一步理清了思路，主要變化為：
      一、把三個學段的名稱作了統(tǒng)一，統(tǒng)稱為“綜合與實踐”，進一步明確了“綜合與實踐”的目的和內(nèi)涵：
      “綜合與實踐”是一類以問題為載體，學生主動參與的學習活動，是幫助學生積累數(shù)學活動經(jīng)驗、培養(yǎng)學生應(yīng)用意識與創(chuàng)新意識的重要途徑。針對問題情境，學生綜合所學的知識和生活經(jīng)驗，獨立思考或與他人合作，經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題和提出問題、分析問題和解決問題的全過程，感悟數(shù)學各部分內(nèi)容之間、數(shù)學與生活實際之間、數(shù)學與其他學科之間的聯(lián)系，加深對所學數(shù)學內(nèi)容的理解。
      二、提出了明確的要求：
      “綜合與實踐”應(yīng)當保證每學期至少一次。它可以在課堂上完成，也可以在課外完成，還可以課內(nèi)外相結(jié)合。
      三、對三個學段的差異作了進一步的明確，一方面突出了創(chuàng)新的核心是“發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題”，另一方面突出了不同學段的特點。第一學段：
      內(nèi)容安排應(yīng)強調(diào)問題情境相對簡單、生動有趣、學生容易參與，可以把操作活動作為主要形式。教師在組織教學活動時要力求使學生明白解決問題的目標和步驟，引導(dǎo)學生多動手、多思考、多提問題，爭取更多的學生獲得成功的體驗，鼓勵學生之間的合作交流。具體目標
      1．經(jīng)歷實際操作的過程，在解決問題的過程中了解所學內(nèi)容之間的關(guān)聯(lián)，加深對學習內(nèi)容的理解。
      2．獲得一些初步的數(shù)學實踐活動經(jīng)驗，感受數(shù)學在日常生活中的作用，知道能夠運用所學的知識和方法解決簡單問題。第二學段：
      學生將在教師的指導(dǎo)下，經(jīng)歷有目的、有設(shè)計、有步驟的綜合與實踐活動，進一步獲得數(shù)學活動的經(jīng)驗。通過應(yīng)用和反思，加深對所學知識的理解；通過探索，引發(fā)學習的興趣和培養(yǎng)思考的習慣；通過交流，發(fā)展理解他人、團結(jié)互助的合作精神。
      教師應(yīng)通過問題設(shè)計、求解過程的引導(dǎo)，鼓勵學生多動手、多思考；發(fā)現(xiàn)問題、提出問題；克服困難、積極進??；主動與同伴合作、積極與他人交流。具體目標
      1．通過應(yīng)用和反思，加深對于所用知識和方法的理解，了解所學過知識之間的聯(lián)系。
      2．初步獲得在給定目標下，設(shè)計解決問題方案的經(jīng)驗。
      3．結(jié)合實際背景，初步體驗發(fā)現(xiàn)問題、提出問題和解決問題的過程。
      【結(jié)合教學實際提出學習新課標過程中存在的問題】
      1、新課標將于2012年9月開始實行，而教材跟不上新課標的理念，造成老師教學
      不便，如：新課標將平移中的“能在方格紙上畫出簡單圖形沿水平方向、垂直方向平移后的圖形”改為放在第二學段，而現(xiàn)在所用的人教版在二年級就有這個教學要求了。
      2、新課標中把舊課標里的理解等式的性質(zhì)，會用等式的性質(zhì)解簡單方程，改為“能解簡單的方程(如3x+2＝5，2x-x＝3)。”是否理解為“只要求會解簡單方程就可以，什么方法都可以”？
      3、《數(shù)學課程標準》的基本理念中明確指出“評價的主要目的是為了全面了解學生的數(shù)學學習歷程，激勵學生的學習和改進教師的教學；應(yīng)建立評價目標多元、評價方法多樣的評價體系。對數(shù)學學習的評價要關(guān)注學生學習的結(jié)果，更要關(guān)注他們學習的過程；要關(guān)注學生數(shù)學學習的水平，更要關(guān)注他們在數(shù)學活動中所表現(xiàn)出來的情感與態(tài)度，幫助學生認識自我，建立信心?！?數(shù)學課堂教學中教師的評價性語言，能激發(fā)學生的學習興趣，調(diào)動學生的積極思維，培育良好的情感。但在我們的實際教學中，卻存在著很大的問題：評價重診斷性，輕激勵性，淡過程性。
      4、伴隨著新課程改革的新理念和新思想，我們的課堂教學發(fā)生了翻天覆地的變化。
      以往的“師問生答”變成了“暢所欲言”，“紋絲不動”變成了“自由活動”?！皫熣f生聽”變成了“自主探索”，學生的個性得到了張揚，教學氣氛異常活躍。然而在這些花樣繁多、熱鬧非凡的很多課堂教學中，我們的學生卻沒有得到真正有效的發(fā)展，課堂教學的有效性不高。
      第二篇：小學數(shù)學2001版與2011版課程標準解讀對比
      小學數(shù)學（斯苗兒）
      與2001年版相比，數(shù)學課程標準從基本理念、課程目標、內(nèi)容標準到實施建議都更加準確、規(guī)范、明了和全面。具體變化如下：
      一、總體框架結(jié)構(gòu)的變化
      2001年版分四個部分：前言、課程目標、內(nèi)容標準和課程實施建議。
      2011年版把其中的“內(nèi)容標準”改為“課程內(nèi)容”。前言部分由原來的基本理念和設(shè)計思路，改為課程基本性質(zhì)、課程基本理念和課程設(shè)計思路三部分。
      二、關(guān)于數(shù)學觀的變化
      2001年版：數(shù)學是人們對客觀世界定性把握和定量刻畫、逐漸抽象概括、形成方法和理論，并進行廣泛應(yīng)用的過程。數(shù)學作為一種普遍適用的技術(shù)，有助于人們收集、整理、描述信息，建立數(shù)學模型，進而解決問題，直接為社會創(chuàng)造價值。
      2011年版：數(shù)學是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學。數(shù)學作為對于客觀現(xiàn)象抽象概括而逐漸形成的科學語言與工具。數(shù)學是人類文化的重要組成部分，數(shù)學素養(yǎng)是現(xiàn)代社會每一個公民應(yīng)該具備的基本素養(yǎng)。
      三、基本理念的變化：“三句”變“兩句”、“6條”改“5條”
      2001年版“三句話”：人人學有價值的數(shù)學，人人都能獲得必需的數(shù)學，不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展。
      2011年版“兩句話”：人人都能獲得良好的數(shù)學教育，不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展?！?條”改“5條”：在結(jié)構(gòu)上由原來的6條改為5條，將2001年版的第2條關(guān)于對數(shù)學的認識整合到理念之前的文字之中，新增了對課程內(nèi)容的認識，此外，將“數(shù)學教學”與“數(shù)學學習”合并為數(shù)學“教學活動”。
      2001年版：數(shù)學課程——數(shù)學——數(shù)學學習——數(shù)學教學活動——評價——現(xiàn)代信息技術(shù) 2011年版：數(shù)學課程——課程內(nèi)容——教學活動——學習評價——信息技術(shù)
      四、課程理念中新增加了一些提法
      要處理好四個關(guān)系；數(shù)學課程基本理念（兩句話）；數(shù)學教學活動的本質(zhì)要求；培養(yǎng)良好的數(shù)學學習習慣；注重啟發(fā)式；正確看待教師的主導(dǎo)作用；處理好評價中的幾個關(guān)系；注意信息技術(shù)與課程內(nèi)容的整合。
      五、“雙基”變“四基”
      2001年版的“雙基”：基礎(chǔ)知識、基本技能。
      2011年版的“四基”：基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗。并把“四基”與數(shù)學素養(yǎng)的培養(yǎng)進行整合：掌握數(shù)學基礎(chǔ)知識，訓練數(shù)學基本技能，領(lǐng)悟數(shù)學基本思想，積累數(shù)學基本活動經(jīng)驗。
      六、四個領(lǐng)域名稱的變化
      2001年版：數(shù)與代數(shù)、空間與圖形、統(tǒng)計與概率、實踐與綜合應(yīng)用。
      2011年版：數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率、綜合與實踐。
      七、課程內(nèi)容的變化
      更加注意內(nèi)容的系統(tǒng)性和邏輯性。如在數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的第一學段：增加了認識小括號，能進行簡單的整數(shù)四則混合運算。綜合與實踐領(lǐng)域的要求更加明確和具有可操作性。
      八、實施建議的變化
      不再分學段闡述，而是分教學建議、評價建議、教材編寫建議、課程資源利用和開發(fā)建議。在強調(diào)學生主體作用的同時，明確提出教師的組織和引導(dǎo)作用。
      第三篇：義務(wù)教育小學數(shù)學課程標準(2011年版)
      義務(wù)教育小學數(shù)學課程標準（2011年版）
      目錄
      第一部分
      前言.1
      一、課程性質(zhì).1
      二、課程基本理念.2
      三、課程設(shè)計思路.4 第二部分
      課程目標.9
      一、總目標.9
      二、學段目標.10
      第三部分
      內(nèi)容標準.16 第一學段（1~3年級）.16
      一、數(shù)與代數(shù).16
      二、圖形與幾何.18
      三、統(tǒng)計與概率.19
      四、綜合與實踐.20
      第二學段（4~6年級）.20
      一、數(shù)與代數(shù).20
      二、圖形與幾何.23
      三、統(tǒng)計與概率.25
      四、綜合與實踐.26
      第三學段（7~9年級）.26
      一、數(shù)與代數(shù).26
      二、圖形與幾何.31
      三、統(tǒng)計與概率.40
      四、綜合與實踐.42 第四部分
      實施建議.43
      一、教學建議.43
      二、評價建議.54
      三、教材編寫建議.62
      四、課程資源開發(fā)與利用建議.70 附
      錄.75
      附錄1 有關(guān)行為動詞的分類.75
      附錄2 內(nèi)容標準及實施建議中的實例.78
      第一部分
      前言
      數(shù)學是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學。數(shù)學與人類發(fā)展和社會進步息息相關(guān)，隨著現(xiàn)代信息技術(shù)的飛速發(fā)展，數(shù)學更加廣泛應(yīng)用于社會生產(chǎn)和日常生活的各個方面。數(shù)學作為對于客觀現(xiàn)象抽象概括而逐漸形成的科學語言與工具，不僅是自然科學和技術(shù)科學的基礎(chǔ)，而且在人文科學與社會科學中發(fā)揮著越來越大的作用。特別是20世紀中葉以來，數(shù)學與計算機技術(shù)的結(jié)合在許多方面直接為社會創(chuàng)造價值，推動著社會生產(chǎn)力的發(fā)展。數(shù)學是人類文化的重要組成部分，數(shù)學素養(yǎng)是現(xiàn)代社會每一個公民應(yīng)該具備的基本素養(yǎng)。作為促進學生全面發(fā)展教育的重要組成部分，數(shù)學教育既要使學生掌握現(xiàn)代生活和學習中所需要的數(shù)學知識與技能，更要發(fā)揮數(shù)學在培養(yǎng)人的理性思維和創(chuàng)新能力方面的不可替代的作用。
      一、課程性質(zhì)
      義務(wù)教育階段的數(shù)學課程是培養(yǎng)公民素質(zhì)的基礎(chǔ)課程，具有基礎(chǔ)性、普及性和發(fā)展性。數(shù)學課程能使學生掌握必備的基礎(chǔ)知識和基本技能；培養(yǎng)學生的抽象思維和推理能力；培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和實踐能力；促進學生在情感、態(tài)度與價值觀等方面的發(fā)展。義務(wù)教育的數(shù)學課程能為學生未來生活、工作和學習奠定重要的基礎(chǔ)。
      二、課程基本理念
      1．數(shù)學課程應(yīng)致力于實現(xiàn)義務(wù)教育階段的培養(yǎng)目標，要面向全體學生，適應(yīng)學生個性發(fā)展的需要，使得：人人都能獲得良好的數(shù)學教育，不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展。
      2．課程內(nèi)容要反映社會的需要、數(shù)學的特點，要符合學生的認知規(guī)律。它不僅包括數(shù)學的結(jié)果，也包括數(shù)學結(jié)果的形成過程和蘊涵的數(shù)學思想方法。課程內(nèi)容的選擇要貼近學生的實際，有利于學生體驗與理解、思考與探索。課程內(nèi)容的組織要重視過程，處理好過程與結(jié)果的關(guān)系；要重視直觀，處理好直觀與抽象的關(guān)系；要重視直接經(jīng)驗，處理好直接經(jīng)驗與間接經(jīng)驗的關(guān)系。課程內(nèi)容的呈現(xiàn)應(yīng)注意層次性和多樣性。
      3．教學活動是師生積極參與、交往互動、共同發(fā)展的過程。有效的教學活動是學生學與教師教的統(tǒng)一，學生是學習的主體，教師是學習的組織者、引導(dǎo)者與合作者。
      數(shù)學教學活動應(yīng)激發(fā)學生興趣，調(diào)動學生積極性，引發(fā)學生的數(shù)學思考，鼓勵學生的創(chuàng)造性思維；要注重培養(yǎng)學生良好的數(shù)學學習習慣，使學生掌握恰當?shù)臄?shù)學學習方法。
      學生學習應(yīng)當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程。除接受學習外，動手實踐、自主探索與合作交流同樣是學習數(shù)學的重要方式。學生應(yīng)當有足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程。
      教師教學應(yīng)該以學生的認知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗為基礎(chǔ)，面向全體學生，注重啟發(fā)式和因材施教。教師要發(fā)揮主導(dǎo)作用，處理好講授與學生自主學習的關(guān)系，引導(dǎo)學生獨立思考、主動探索、合作交流，使學生理解和掌握基本的數(shù)學知識與技能、數(shù)學思想和方法，獲得基本的數(shù)學活動經(jīng)驗。
      4．學習評價的主要目的是為了全面了解學生數(shù)學學習的過程和結(jié)果，激勵學生學習和改進教師教學。應(yīng)建立目標多元、方法多樣的評價體系。評價既要關(guān)注學生學習的結(jié)果，也要重視學習的過程；既要關(guān)注學生數(shù)學學習的水平，也要重視學生在數(shù)學活動中所表現(xiàn)出來的情感與態(tài)度，幫助學生認識自我、建立信心。
      5．信息技術(shù)的發(fā)展對數(shù)學教育的價值、目標、內(nèi)容以及教學方式產(chǎn)生了很大的影響。數(shù)學課程的設(shè)計與實施應(yīng)根據(jù)實際情況合理地運用現(xiàn)代信息技術(shù)，要注意信息技術(shù)與課程內(nèi)容的整合，注重實效。要充分考慮信息技術(shù)對數(shù)學學習內(nèi)容和方式的影響，開發(fā)并向?qū)W生提供豐富的學習資源，把現(xiàn)代信息技術(shù)作為學生學習數(shù)學和解決問題的有力工具，有效地改進教與學的方式，使學生樂意并有可能投入到現(xiàn)實的、探索性的數(shù)學活動中去。
      三、課程設(shè)計思路
      義務(wù)教育階段數(shù)學課程的設(shè)計，充分考慮本階段學生數(shù)學學習的特點，符合學生的認知規(guī)律和心理特征，有利于激發(fā)學生的學習興趣，引發(fā)數(shù)學思考；充分考慮數(shù)學本身的特點，體現(xiàn)數(shù)學的實質(zhì)；在呈現(xiàn)作為知識與技能的數(shù)學結(jié)果的同時，重視學生已有的經(jīng)驗，使學生體驗從實際背景中抽象出數(shù)學問題、構(gòu)建數(shù)學模型、尋求結(jié)果、解決問題的過程。按以上思路具體設(shè)計如下。
      （一）學段劃分
      為了體現(xiàn)義務(wù)教育數(shù)學課程的整體性，統(tǒng)籌考慮九年的課程內(nèi)容。同時，根據(jù)學生發(fā)展的生理和心理特征，將九年的學習時間劃分為三個學段：第一學段（1~3年級）、第二學段（4~6年級）、第三學段（7~9年級）。
      （二）課程目標
      義務(wù)教育階段數(shù)學課程目標分為總目標和學段目標，從知識技能、數(shù)學思考、問題解決、情感態(tài)度等四個方面加以闡述。
      數(shù)學課程目標包括結(jié)果目標和過程目標。結(jié)果目標使用“了解、理解、掌握、運用”等術(shù)語表述，過程目標使用“經(jīng)歷、體驗、探索”等術(shù)語表述（術(shù)語解釋見附錄1）。
      （三）課程內(nèi)容
      在各學段中，安排了四個部分的課程內(nèi)容：“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計與概率”“綜合與實踐”。
      “綜合與實踐”內(nèi)容設(shè)置的目的在于培養(yǎng)學生綜合運用有關(guān)的知識與方法解決實際問題，培養(yǎng)學生的問題意識、應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識，積累學生的活動經(jīng)驗，提高學生解決現(xiàn)實問題的能力。
      “數(shù)與代數(shù)”的主要內(nèi)容有：數(shù)的認識，數(shù)的表示，數(shù)的大小，數(shù)的運算，數(shù)量的估計；字母表示數(shù)，代數(shù)式及其運算；方程、方程組、不等式、函數(shù)等。
      “圖形與幾何”的主要內(nèi)容有：空間和平面基本圖形的認識，圖形的性質(zhì)、分類和度量；圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱、相似和投影；平面圖形基本性質(zhì)的證明；運用坐標描述圖形的位置和運動。
      “統(tǒng)計與概率”的主要內(nèi)容有：收集、整理和描述數(shù)據(jù)，包括簡單抽樣、整理調(diào)查數(shù)據(jù)、繪制統(tǒng)計圖表等；處理數(shù)據(jù)，包括計算平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差、方差等；從數(shù)據(jù)中提取信息并進行簡單的推斷；簡單隨機事件及其發(fā)生的概率。
      “綜合與實踐”是一類以問題為載體、以學生自主參與為主的學習活動。在學習活動中，學生將綜合運用“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計與概率”等知識和方法解決問題。“綜合與實踐”的教學活動應(yīng)當保證每學期至少一次，可以在課堂上完成，也可以課內(nèi)外相結(jié)合。在數(shù)學課程中，應(yīng)當注重發(fā)展學生的數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運算能力、推理能力和模型思想。為了適應(yīng)時代發(fā)展對人才培養(yǎng)的需要，數(shù)學課程還要特別注重發(fā)展學生的應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識。
      數(shù)感主要是指關(guān)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運算結(jié)果估計等方面的感悟。建立數(shù)感有助于學生理解現(xiàn)實生活中數(shù)的意義，理解或表述具體情境中的數(shù)量關(guān)系。符號意識主要是指能夠理解并且運用符號表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律；知道使用符號可以進行運算和推理，得到的結(jié)論具有一般性。建立符號意識有助于學生理解符號的使用是數(shù)學表達和進行數(shù)學思考的重要形式。
      空間觀念主要是指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系；描述圖形的運動和變化；依據(jù)語言的描述畫出圖形等。
      幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數(shù)學，在整個數(shù)學學習過程中都發(fā)揮著重要作用。
      數(shù)據(jù)分析觀念包括：了解在現(xiàn)實生活中有許多問題應(yīng)當先做調(diào)查研究，收集數(shù)據(jù)，通過分析做出判斷，體會數(shù)據(jù)中蘊涵著信息；了解對于同樣的數(shù)據(jù)可以有多種分析的方法，需要根據(jù)問題的背景選擇合適的方法；通過數(shù)據(jù)分析體驗隨機性，一方面對于同樣的事情每次收集到的數(shù)據(jù)可能不同，另一方面只要有足夠的數(shù)據(jù)就可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。運算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運算律正確地進行運算的能力。培養(yǎng)運算能力有助于學生理解運算的算理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題。推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿在整個數(shù)學學習過程中。推理是數(shù)學的基本思維方式，也是人們學習和生活中經(jīng)常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理，合情推理是從已有的事實出發(fā)，憑借經(jīng)驗和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結(jié)果；演繹推理是從已有的事實（包括定義、公理、定理等）和確定的規(guī)則（包括運算的定義、法則、順序等）出發(fā)，按照邏輯推理的法則證明和計算。在解決問題的過程中，合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論；演繹推理用于證明結(jié)論。
      模型思想的建立是學生體會和理解數(shù)學與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學問題，用數(shù)學符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果、并討論結(jié)果的意義。這些內(nèi)容的學習有助于學生初步形成模型思想，提高學習數(shù)學的興趣和應(yīng)用意識。應(yīng)用意識有兩個方面的含義，一方面有意識利用數(shù)學的概念、原理和方法解釋現(xiàn)實世界中的現(xiàn)象，解決現(xiàn)實世界中的問題；另一方面，認識到現(xiàn)實生活中蘊涵著大量與數(shù)量和圖形有關(guān)的問題，這些問題可以抽象成數(shù)學問題，用數(shù)學的方法予以解決。在整個數(shù)學教育的過程中都應(yīng)該培養(yǎng)學生的應(yīng)用意識，綜合實踐活動是培養(yǎng)應(yīng)用意識很好的載體。
      創(chuàng)新意識的培養(yǎng)是現(xiàn)代數(shù)學教育的基本任務(wù)，應(yīng)體現(xiàn)在數(shù)學教與學的過程之中。學生自己發(fā)現(xiàn)和提出問題是創(chuàng)新的基礎(chǔ)；獨立思考、學會思考是創(chuàng)新的核心；歸納概括得到猜想和規(guī)律，并加以驗證，是創(chuàng)新的重要方法。創(chuàng)新意識的培養(yǎng)應(yīng)該從義務(wù)教育階段做起，貫穿數(shù)學教育的始終。
      第二部分
      課程目標
      一、總目標
      通過義務(wù)教育階段的數(shù)學學習，學生能：
      1.獲得適應(yīng)社會生活和進一步發(fā)展所必需的數(shù)學的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗。
      2.體會數(shù)學知識之間、數(shù)學與其他學科之間、數(shù)學與生活之間的聯(lián)系，運用數(shù)學的思維方式進行思考，增強發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力。
      3.了解數(shù)學的價值，提高學習數(shù)學的興趣，增強學好數(shù)學的信心，養(yǎng)成良好的學習習慣，具有初步的創(chuàng)新意識和實事求是的科學態(tài)度?？偰繕藦囊韵滤膫€方面具體闡述：
      知識技能●經(jīng)歷數(shù)與代數(shù)的抽象、運算與建模等過程，掌握數(shù)與代數(shù)的基礎(chǔ)知識和基本技能。
      ●經(jīng)歷圖形的抽象、分類、性質(zhì)探討、運動、位置確定等過程，掌握圖形與幾何的基礎(chǔ)知識和基本技能。
      ●經(jīng)歷在實際問題中收集和處理數(shù)據(jù)、利用數(shù)據(jù)分析問題、獲取信息的過程，掌握統(tǒng)計與概率的基礎(chǔ)知識和基本技能。
      ●參與綜合實踐活動，積累綜合運用數(shù)學知識、技能和方法等解決簡單問題的數(shù)學活動經(jīng)驗。
      數(shù)學思考●建立數(shù)感、符號意識和空間觀念，初步形成幾何直觀和運算能力，發(fā)展形象思維與抽象思維。
      ●體會統(tǒng)計方法的意義，發(fā)展數(shù)據(jù)分析觀念，感受隨機現(xiàn)象。
      ●在參與觀察、實驗、猜想、證明、綜合實踐等數(shù)學活動中，發(fā)展合情推理和演繹推理能力，清晰地表達自己的想法。
      ●學會獨立思考，體會數(shù)學的基本思想和思維方式。
      問題
      解決●初步學會從數(shù)學的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，綜合運用數(shù)學知識解決簡單的實際問題，增強應(yīng)用意識，提高實踐能力。
      ●獲得分析問題和解決問題的一些基本方法，體驗解決問題方法的多樣性，發(fā)展創(chuàng)新意識。
      ●學會與他人合作交流。
      ●初步形成評價與反思的意識。
      情感態(tài)度●積極參與數(shù)學活動，對數(shù)學有好奇心和求知欲。
      ●在數(shù)學學習過程中，體驗獲得成功的樂趣，鍛煉克服困難的意志，建立自信心。
      ●體會數(shù)學的特點，了解數(shù)學的價值。
      ●養(yǎng)成認真勤奮、獨立思考、合作交流、反思質(zhì)疑等學習習慣，形成實事求是的科學態(tài)度。
      總目標的這四個方面，不是相互獨立和割裂的，而是一個密切聯(lián)系、相互交融的有機整體。在課程設(shè)計和教學活動組織中，應(yīng)同時兼顧這四個方面的目標。這些目標的整體實現(xiàn)，是學生受到良好數(shù)學教育的標志，它對學生的全面、持續(xù)、和諧發(fā)展有著重要的意義。數(shù)學思考、問題解決、情感態(tài)度的發(fā)展離不開知識技能的學習，知識技能的學習必須有利于其他三個目標的實現(xiàn)。
      二、學段目標
      第一學段（1~3年級）知識技能
      1．經(jīng)歷從日常生活中抽象出數(shù)的過程，理解萬以內(nèi)數(shù)的意義，初步認識分數(shù)和小數(shù)；理解常見的量；體會四則運算的意義，掌握必要的運算技能；在具體情境中，能進行簡單的估算。2．經(jīng)歷從實際物體中抽象出簡單幾何體和平面圖形的過程，了解一些簡單幾何體和常見的平面圖形；感受平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱現(xiàn)象；認識物體的相對位置。掌握初步的測量、識圖和畫圖的技能。
      3．經(jīng)歷簡單的數(shù)據(jù)收集、整理、分析的過程，了解簡單的數(shù)據(jù)處理方法。數(shù)學思考
      1．在運用數(shù)及適當?shù)亩攘繂挝幻枋霈F(xiàn)實生活中的簡單現(xiàn)象，以及對運算結(jié)果進行估計的過程中，發(fā)展數(shù)感；在從物體中抽象出幾何圖形、想象圖形的運動和位置的過程中，發(fā)展空間觀念。
      2．能對調(diào)查過程中獲得的簡單數(shù)據(jù)進行歸類，體驗數(shù)據(jù)中蘊涵著信息。3.在觀察、操作等活動中，能提出一些簡單的猜想。4．會獨立思考問題，表達自己的想法。問題解決
      1．能在教師的指導(dǎo)下，從日常生活中發(fā)現(xiàn)和提出簡單的數(shù)學問題，并嘗試解決。
      2．了解分析問題和解決問題的一些基本方法，知道同一個問題可以有不同的解決方法。3．體驗與他人合作交流解決問題的過程。4．嘗試回顧解決問題的過程。情感態(tài)度
      1．對身邊與數(shù)學有關(guān)的事物有好奇心，能參與數(shù)學活動。2．在他人幫助下，感受數(shù)學活動中的成功，能嘗試克服困難。
      3．了解數(shù)學可以描述生活中的一些現(xiàn)象，感受數(shù)學與生活有密切聯(lián)系。
      4．能傾聽別人的意見，嘗試對別人的想法提出建議，知道應(yīng)該尊重客觀事實。
      第二學段（4~6年級）知識技能
      1．體驗從具體情境中抽象出數(shù)的過程，認識萬以上的數(shù)；理解分數(shù)、小數(shù)、百分數(shù)的意義，了解負數(shù)；掌握必要的運算技能；理解估算的意義；能用方程表示簡單的數(shù)量關(guān)系，能解簡單的方程。
      2．探索一些圖形的形狀、大小和位置關(guān)系，了解一些幾何體和平面圖形的基本特征；體驗簡單圖形的運動過程，能在方格紙上畫出簡單圖形運動后的圖形，了解確定物體位置的一些基本方法；掌握測量、識圖和畫圖的基本方法。
      3．經(jīng)歷數(shù)據(jù)的收集、整理和分析的過程，掌握一些簡單的數(shù)據(jù)處理技能；體驗隨機事件和事件發(fā)生的等可能性。
      4．能借助計算器解決簡單的應(yīng)用問題。數(shù)學思考
      1．初步形成數(shù)感和空間觀念，感受符號和幾何直觀的作用。
      2．進一步認識到數(shù)據(jù)中蘊涵著信息，發(fā)展數(shù)據(jù)分析觀念；感受隨機現(xiàn)象。
      3．在觀察、實驗、猜想、驗證等活動中，發(fā)展合情推理能力，能進行有條理的思考，能比較清楚地表達自己的思考過程與結(jié)果。
      4.會獨立思考，體會一些數(shù)學的基本思想。問題解決
      1．嘗試從日常生活中發(fā)現(xiàn)并提出簡單的數(shù)學問題，并運用一些知識加以解決。2．能探索分析和解決簡單問題的有效方法，了解解決問題方法的多樣性。3．經(jīng)歷與他人合作解決問題的過程，嘗試解釋自己的思考過程。4．能回顧解決問題的過程，初步判斷結(jié)果的合理性。情感態(tài)度
      1．愿意了解社會生活中與數(shù)學相關(guān)的信息，主動參與數(shù)學學習活動。
      2．在他人的鼓勵和引導(dǎo)下，體驗克服困難、解決問題的過程，相信自己能夠?qū)W好數(shù)學。3．在運用數(shù)學知識和方法解決問題的過程中，認識數(shù)學的價值。4．初步養(yǎng)成樂于思考、勇于質(zhì)疑、實事求是等良好品質(zhì)。
      第三學段（7~9年級）知識技能
      1．體驗從具體情境中抽象出數(shù)學符號的過程，理解有理數(shù)、實數(shù)、代數(shù)式、方程、不等式、函數(shù)；掌握必要的運算（包括估算）技能；探索具體問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，掌握用代數(shù)式、方程、不等式、函數(shù)進行表述的方法。
      2．探索并掌握相交線、平行線、三角形、四邊形和圓的基本性質(zhì)與判定，掌握基本的證明方法和基本的作圖技能；探索并理解平面圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱；認識投影與視圖；探索并理解平面直角坐標系，能確定位置。
      3．體驗數(shù)據(jù)收集、處理、分析和推斷過程，理解抽樣方法，體驗用樣本估計總體的過程；進一步認識隨機現(xiàn)象，能計算一些簡單事件的概率。數(shù)學思考
      1．通過用代數(shù)式、方程、不等式、函數(shù)等表述數(shù)量關(guān)系的過程，體會模型的思想，建立符號意識；在研究圖形性質(zhì)和運動、確定物體位置等過程中，進一步發(fā)展空間觀念；經(jīng)歷借助圖形思考問題的過程，初步建立幾何直觀。
      2．了解利用數(shù)據(jù)可以進行統(tǒng)計推斷，發(fā)展建立數(shù)據(jù)分析觀念；感受隨機現(xiàn)象的特點。3．體會通過合情推理探索數(shù)學結(jié)論，運用演繹推理加以證明的過程，在多種形式的數(shù)學活動中，發(fā)展合情推理與演繹推理的能力。
      4．能獨立思考，體會數(shù)學的基本思想和思維方式。問題解決
      1．初步學會在具體的情境中從數(shù)學的角度發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，并綜合運用數(shù)學知識和方法等解決簡單的實際問題，增強應(yīng)用意識，提高實踐能力。
      2．經(jīng)歷從不同角度尋求分析問題和解決問題的方法的過程，體驗解決問題方法的多樣性，掌握分析問題和解決問題的一些基本方法。
      3．在與他人合作和交流過程中，能較好地理解他人的思考方法和結(jié)論。4．能針對他人所提的問題進行反思，初步形成評價與反思的意識。情感態(tài)度
      1．積極參與數(shù)學活動，對數(shù)學有好奇心和求知欲。
      2．感受成功的快樂，體驗獨自克服困難、解決數(shù)學問題的過程，有克服困難的勇氣，具備學好數(shù)學的信心。
      3．在運用數(shù)學表述和解決問題的過程中，認識數(shù)學具有抽象、嚴謹和應(yīng)用廣泛的特點，體會數(shù)學的價值。
      4．敢于發(fā)表自己的想法、勇于質(zhì)疑，養(yǎng)成認真勤奮、獨立思考、合作交流等學習習慣，形成實事求是的科學態(tài)度。
      第三部分
      內(nèi)容標準 第一學段（1~3年級）
      一、數(shù)與代數(shù)
      （一）數(shù)的認識
      1.在現(xiàn)實情境中理解萬以內(nèi)數(shù)的意義，能認、讀、寫萬以內(nèi)的數(shù)，能用數(shù)表示物體的個數(shù)或事物的順序和位置。2.能說出各數(shù)位的名稱，理解各數(shù)位上的數(shù)字表示的意義；知道用算盤可以表示多位數(shù)（參見例1）。
      3.理解符號＜，＝，＞的含義，能用符號和詞語描述萬以內(nèi)數(shù)的大?。▍⒁娎?）。4.在生活情境中感受大數(shù)的意義，并能進行估計（參見例3）。5.能結(jié)合具體情境初步認識小數(shù)和分數(shù)，能讀、寫小數(shù)和分數(shù)。
      6.能結(jié)合具體情境比較兩個一位小數(shù)的大小，能比較兩個同分母分數(shù)的大小。7.能運用數(shù)表示日常生活中的一些事物，并能進行交流（參見例4）。
      （二）數(shù)的運算
      1.結(jié)合具體情境，體會整數(shù)四則運算的意義（參見例5）。2.能熟練地口算20以內(nèi)的加減法和表內(nèi)乘除法，能口算百以內(nèi)的加減法和一位數(shù)乘除兩位數(shù)。
      3.能計算三位數(shù)的加減法，一位數(shù)乘三位數(shù)、兩位數(shù)乘兩位數(shù)的乘法，三位數(shù)除以一位數(shù)的除法。
      4．認識小括號，能進行簡單的整數(shù)四則混合運算（兩步）。
      5.會進行同分母分數(shù)（分母小于10）的加減運算以及一位小數(shù)的加減運算。6.能結(jié)合具體情境進行估算，并會解釋估算的過程（參見例6）。7.經(jīng)歷與他人交流各自算法的過程。
      8.能運用數(shù)及數(shù)的運算解決生活中的簡單問題，并能對結(jié)果的實際意義作出解釋（參見例7）。
      （三）常見的量
      1.在現(xiàn)實情境中，認識元、角、分，并了解它們之間的關(guān)系。
      2.能認識鐘表，了解24時記時法；結(jié)合自己的生活經(jīng)驗，體驗時間的長短（參見例8）。3.認識年、月、日，了解它們之間的關(guān)系。
      4.在現(xiàn)實情境中，感受并認識克、千克、噸，能進行簡單的單位換算。5.能結(jié)合生活實際，解決與常見的量有關(guān)的簡單問題。
      （四）探索規(guī)律
      探索簡單的變化規(guī)律（參見例9，例10）。
      二、圖形與幾何
      （一）圖形的認識
      1.能通過實物和模型辨認長方體、正方體、圓柱和球等幾何體。
      2.能根據(jù)具體事物、照片或直觀圖辨認從不同角度觀察到的簡單物體（參見例11）。3.能辨認長方形、正方形、三角形、平行四邊形、圓等簡單圖形。4.通過觀察、操作，初步認識長方形、正方形的特征。5.會用長方形、正方形、三角形、平行四邊形或圓拼圖。6.結(jié)合生活情境認識角，了解直角、銳角和鈍角。7.能對簡單幾何體和圖形進行分類（參見例21）。
      （二）測量
      1.結(jié)合生活實際，經(jīng)歷用不同方式測量物體長度的過程，體會建立統(tǒng)一度量單位的重要性。2.在實踐活動中，體會并認識長度單位千米、米、厘米，知道分米、毫米，能進行簡單的單位換算，能恰當?shù)剡x擇長度單位（參見例12）。3.能估測一些物體的長度，并進行測量。
      4.結(jié)合實例認識周長，并能測量簡單圖形的周長（參見例13），探索并掌握長方形、正方形的周長公式。
      5.結(jié)合實例認識面積，體會并認識面積單位厘米
      2、分米
      2、米2，能進行簡單的單位換算。6.探索并掌握長方形、正方形的面積公式，會估計給定簡單圖形的面積（參見例14）。
      （三）圖形的運動
      1.結(jié)合實例，感受平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱現(xiàn)象（參見例15）。2.能辨認簡單圖形平移后的圖形（參見例16）。3.通過觀察、操作，初步認識軸對稱圖形。
      （四）圖形與位置
      1.會用上、下、左、右、前、后描述物體的相對位置。
      2.給定東、南、西、北四個方向中的一個方向，能辨認其余三個方向，知道東北、西北、東南、西南四個方向，會用這些詞語描繪物體所在的方向（參見例17）。
      三、統(tǒng)計與概率
      1.能根據(jù)給定的標準或者自己選定的標準，對事物或數(shù)據(jù)進行分類，感受分類與分類標準的關(guān)系（參見例18）。
      2.經(jīng)歷簡單的數(shù)據(jù)收集和整理過程，了解調(diào)查、測量等收集數(shù)據(jù)的簡單方法，并能用自己的方式（文字、圖畫、表格等）呈現(xiàn)整理數(shù)據(jù)的結(jié)果（參見例19）。
      3.通過對數(shù)據(jù)的簡單分析，體會運用數(shù)據(jù)進行表達與交流的作用，感受數(shù)據(jù)蘊涵信息（參見例20）。
      四、綜合與實踐
      1．通過實踐活動，感受數(shù)學在日常生活中的作用，體驗?zāi)軌蜻\用所學的知識和方法解決簡單問題，獲得初步的數(shù)學活動經(jīng)驗。
      2.在實踐活動中，了解要解決的問題和解決問題的辦法。3.經(jīng)歷實踐操作的過程，進一步理解所學的內(nèi)容。（參見例21，例22，例23）
      第二學段（4~6年級）
      一、數(shù)與代數(shù)
      （一）數(shù)的認識
      1.在具體情境中，認識萬以上的數(shù)，了解十進制計數(shù)法，會用萬、億為單位表示大數(shù)。2.結(jié)合現(xiàn)實情境感受大數(shù)的意義，并能進行估計（參見例24）。
      3.會運用數(shù)描述事物的某些特征，進一步體會數(shù)在日常生活中的作用（參見例25）。
      4.知道2，3，5的倍數(shù)的特征，了解公倍數(shù)和最小公倍數(shù)；在1~100的自然數(shù)中，能找出10以內(nèi)自然數(shù)的所有倍數(shù)，能找出10以內(nèi)兩個自然數(shù)的公倍數(shù)和最小公倍數(shù)。5.了解公因數(shù)和最大公因數(shù)；在1~100的自然數(shù)中，能找出一個自然數(shù)的所有因數(shù)，能找出兩個自然數(shù)的公因數(shù)和最大公因數(shù)。
      6.了解自然數(shù)、整數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)（素）數(shù)和合數(shù)。
      7.結(jié)合具體情境，理解小數(shù)和分數(shù)的意義,理解百分數(shù)的意義（參見例26）；會進行小數(shù)、分數(shù)和百分數(shù)的轉(zhuǎn)化（不包括將循環(huán)小數(shù)化為分數(shù)）。8.能比較小數(shù)的大小和分數(shù)的大小。
      9．在熟悉的生活情境中，了解負數(shù)的意義，會用負數(shù)表示日常生活中的一些量。
      （二）數(shù)的運算
      1．能計算三位數(shù)乘兩位數(shù)的乘法，三位數(shù)除以兩位數(shù)的除法。
      2．認識中括號，能進行簡單的整數(shù)四則混合運算（以兩步為主，不超過三步）。
      3．探索并了解運算律（加法的交換律和結(jié)合律、乘法的交換律和結(jié)合律、乘法對加法的分配律），會應(yīng)用運算律進行一些簡便運算。
      4．在具體運算和解決簡單實際問題的過程中，體會加與減、乘與除的互逆關(guān)系。
      5．能分別進行簡單的小數(shù)、分數(shù)（不含帶分數(shù)）加、減、乘、除運算及混合運算（以兩步為主，不超過三步）。
      6．能解決小數(shù)、分數(shù)和百分數(shù)的簡單實際問題。
      7.在具體情境中，了解常見的數(shù)量關(guān)系：總價=單價×數(shù)量、路程=速度×時間，并能解決簡單的實際問題。
      8．經(jīng)歷與他人交流各自算法的過程，并能表達自己的想法。
      9．在解決問題的過程中，能選擇合適的方法進行估算（參見例27，例28）。
      10．能借助計算器進行運算，解決簡單的實際問題，探索簡單的規(guī)律（參見例29）。
      （三）式與方程
      1．在具體情境中能用字母表示數(shù)。
      2．結(jié)合簡單的實際情境，了解等量關(guān)系，并能用字母表示。3.能用方程表示簡單情境中的等量關(guān)系（如3x+2＝5，2x-x＝3），了解方程的作用。4．了解等式的性質(zhì)，能用等式的性質(zhì)解簡單的方程。
      （四）正比例、反比例
      1．在實際情境中理解比及按比例分配的含義，并能解決簡單的問題。2．通過具體情境，認識成正比例的量和成反比例的量。
      3．會根據(jù)給出的有正比例關(guān)系的數(shù)據(jù)在方格紙上畫圖，并會根據(jù)其中一個量的值估計另一個量的值（參見例30）。
      4．能找出生活中成正比例和成反比例關(guān)系量的實例，并進行交流。
      （五）探索規(guī)律
      探索給定情境中隱含的規(guī)律或變化趨勢（參見例31，例32）。
      二、圖形與幾何
      （一）圖形的認識
      1．結(jié)合實例了解線段、射線和直線。
      2．體會兩點間所有連線中線段最短，知道兩點間的距離。
      3．知道平角與周角，了解周角、平角、鈍角、直角、銳角之間的大小關(guān)系。4．結(jié)合生活情境了解平面上兩條直線的平行和相交（包括垂直）關(guān)系。
      5．通過觀察、操作，認識平行四邊形、梯形和圓，知道扇形，會用圓規(guī)畫圓。6．認識三角形，通過觀察、操作，了解三角形兩邊之和大于第三邊、三角形內(nèi)角和是180°。7．認識等腰三角形、等邊三角形、直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形。8．能辨認從不同方向（前面、側(cè)面、上面）看到的物體的形狀圖（參見例33）。
      9．通過觀察、操作，認識長方體、正方體、圓柱和圓錐，認識長方體、正方體和圓柱的展開圖。
      （二）測量 1．能用量角器量指定角的度數(shù)，能畫指定度數(shù)的角，會用三角尺畫30°，45°，60°，90°角。
      2．探索并掌握三角形、平行四邊形和梯形的面積公式，并能解決簡單的實際問題。3．知道面積單位：千米
      2、公頃。
      4．通過操作，了解圓的周長與直徑的比為定值，掌握圓的周長公式；探索并掌握圓的面積公式，并能解決簡單的實際問題。
      5．會用方格紙估計不規(guī)則圖形的面積（參見例34）。
      6．通過實例了解體積（包括容積）的意義及度量單位（米
      3、分米
      3、厘米
      3、升、毫升），能進行單位之間的換算，感受1米3、1厘米3以及1升、1毫升的實際意義。
      7．結(jié)合具體情境，探索并掌握長方體、正方體、圓柱的體積和表面積以及圓錐體積的計算方法，并能解決簡單的實際問題。
      8．體驗?zāi)承嵨铮ㄈ缤炼沟龋w積的測量方法（參見例35）。
      （三）圖形的運動
      1．通過觀察、操作等活動，進一步認識軸對稱圖形及其對稱軸，能在方格紙上畫出軸對稱圖形的對稱軸；能在方格紙上補全一個簡單的軸對稱圖形。
      2．通過觀察、操作等，在方格紙上認識圖形的平移與旋轉(zhuǎn)，能在方格紙上按水平或垂直方向?qū)⒑唵螆D形平移，會在方格紙上將簡單圖形旋轉(zhuǎn)90°（參見例36）。3．能利用方格紙按一定比例將簡單圖形放大或縮小。
      4．能從平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱的角度欣賞生活中的圖案，并運用它們在方格紙上設(shè)計簡單的圖案。
      （四）圖形與位置
      1．了解比例尺；在具體情境中，會按給定的比例進行圖上距離與實際距離的換算。2．能根據(jù)物體相對于參照點的方向和距離確定其位置。3．會描述簡單的路線圖（參見例37）。
      4．在具體情境中，能在方格紙上用數(shù)對（限于正整數(shù)）表示位置，知道數(shù)對與方格紙上點的對應(yīng)（參見例38）。
      三、統(tǒng)計與概率
      （一）簡單數(shù)據(jù)統(tǒng)計過程
      1．經(jīng)歷簡單的收集、整理、描述和分析數(shù)據(jù)的過程（可使用計算器）。
      2．會根據(jù)實際問題設(shè)計簡單的調(diào)查表，能選擇適當?shù)姆椒ǎㄈ缯{(diào)查、試驗、測量）收集數(shù)據(jù)。
      3．認識條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖、折線統(tǒng)計圖；能用條形統(tǒng)計圖、折線統(tǒng)計圖直觀、有效地表示數(shù)據(jù)（參見例39）。
      4．體會平均數(shù)的作用，能計算平均數(shù)，能用自己的語言解釋其實際意義（參見例39）。5．能從報紙雜志、電視等媒體中，有意識地獲得一些數(shù)據(jù)信息，并能讀懂簡單的統(tǒng)計圖表（參見例40）。
      6．能解釋統(tǒng)計結(jié)果，根據(jù)結(jié)果作出簡單的判斷和預(yù)測，并能進行交流（參見例39和例41）。
      （二）隨機現(xiàn)象發(fā)生的可能性 1．結(jié)合具體情境，了解簡單的隨機現(xiàn)象；能列出簡單的隨機現(xiàn)象中所有可能發(fā)生的結(jié)果（參見例42）。
      2．通過試驗、游戲等活動，感受隨機現(xiàn)象結(jié)果發(fā)生的可能性是有大小的，能對一些簡單的隨機現(xiàn)象發(fā)生的可能性大小作出定性描述，并能進行交流（參見例42）。
      四、綜合與實踐
      1.經(jīng)歷有目的、有設(shè)計、有步驟、有合作的實踐活動。
      2．結(jié)合實際情境，體驗發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的過程。
      3．在給定目標下，感受針對具體問題提出設(shè)計思路、制定簡單的方案解決問題的過程。4.通過應(yīng)用和反思，進一步理解所用的知識和方法，了解所學知識之間的聯(lián)系，獲得數(shù)學活動經(jīng)驗。
      （參見例43，例44，例45，例46）
      第四部分
      實施建議
      一、教學建議
      教學活動是師生積極參與、交往互動、共同發(fā)展的過程。數(shù)學教學應(yīng)根據(jù)具體的教學內(nèi)容，注意使學生在獲得間接經(jīng)驗的同時也能夠有機會獲得直接經(jīng)驗，即從學生實際出發(fā)，創(chuàng)設(shè)有助于學生自主學習的問題情境，引導(dǎo)學生通過實踐、思考、探索、交流等，獲得數(shù)學的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗，促使學生主動地、富有個性地學習,不斷提高發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力、分析問題和解決問題的能力。在數(shù)學教學活動中，教師要把基本理念轉(zhuǎn)化為自己的教學行為，處理好教師講授與學生自主學習的關(guān)系，注重啟發(fā)學生積極思考；發(fā)揚教學民主，當好學生數(shù)學活動的組織者、引導(dǎo)者、合作者；激發(fā)學生的學習潛能，鼓勵學生大膽創(chuàng)新與實踐；創(chuàng)造性地使用教材，積極開發(fā)、利用各種教學資源，為學生提供豐富多彩的學習素材；關(guān)注學生的個體差異，有效地實施有差異的教學，使每個學生都得到充分的發(fā)展；合理地運用現(xiàn)代信息技術(shù)，有條件的地區(qū)，要盡可能合理、有效地使用計算機和有關(guān)軟件，提高教學效益。1.數(shù)學教學活動要注重課程目標的整體實現(xiàn)
      為使每個學生都受到良好的數(shù)學教育，數(shù)學教學不僅要使學生獲得數(shù)學的知識技能，而且要把知識技能、數(shù)學思考、問題解決、情感態(tài)度四個方面目標有機結(jié)合，整體實現(xiàn)課程目標。課程目標的整體實現(xiàn)需要日積月累。在日常的教學活動中，教師應(yīng)努力挖掘教學內(nèi)容中可能蘊涵的、與上述四個方面目標有關(guān)的教育價值，通過長期的教學過程，逐漸實現(xiàn)課程的整體目標。因此，無論是設(shè)計、實施課堂教學方案，還是組織各類教學活動，不僅要重視學生獲得知識技能，而且要激發(fā)學生的學習興趣，通過獨立思考或者合作交流感悟數(shù)學的基本思想，引導(dǎo)學生在參與數(shù)學活動的過程中積累基本經(jīng)驗，幫助學生形成認真勤奮、獨立思考、合作交流、反思質(zhì)疑等良好的學習習慣。
      例如，關(guān)于“零指數(shù)”教學方案的設(shè)計可作如下考慮：教學目標不僅要包括了解零指數(shù)冪的“規(guī)定”、會進行簡單計算，還要包括感受這個“規(guī)定”的合理性，并在這個過程中學會數(shù)學思考、感悟理性精神（參見例81）。
      2.重視學生在學習活動中的主體地位
      有效的數(shù)學教學活動是教師教與學生學的統(tǒng)一，應(yīng)體現(xiàn)“以人為本”的理念，促進學生的全面發(fā)展。
      （1）學生是數(shù)學學習的主體，在積極參與學習活動的過程中不斷得到發(fā)展。
      學生獲得知識，必須建立在自己思考的基礎(chǔ)上，可以通過接受學習的方式，也可以通過自主探索等方式；學生應(yīng)用知識并逐步形成技能，離不開自己的實踐；學生在獲得知識技能的過程中，只有親身參與教師精心設(shè)計的教學活動，才能在數(shù)學思考、問題解決和情感態(tài)度方面得到發(fā)展（參見例82）。
      （2）教師應(yīng)成為學生學習活動的組織者、引導(dǎo)者、合作者，為學生的發(fā)展提供良好的環(huán)境和條件。
      教師的“組織”作用主要體現(xiàn)在兩個方面：第一，教師應(yīng)當準確把握教學內(nèi)容的數(shù)學實質(zhì)和學生的實際情況，確定合理的教學目標，設(shè)計一個好的教學方案；第二，在教學活動中，教師要選擇適當?shù)慕虒W方式，因勢利導(dǎo)、適時調(diào)控、努力營造師生互動、生生互動、生動活潑的課堂氛圍，形成有效的學習活動。
      教師的“引導(dǎo)”作用主要體現(xiàn)在：通過恰當?shù)膯栴}，或者準確、清晰、富有啟發(fā)性的講授，引導(dǎo)學生積極思考、求知求真，激發(fā)學生的好奇心；通過恰當?shù)臍w納和示范，使學生理解知識、掌握技能、積累經(jīng)驗、感悟思想；能關(guān)注學生的差異，用不同層次的問題或教學手段，引導(dǎo)每一個學生都能積極參與學習活動，提高教學活動的針對性和有效性。
      教師與學生的“合作”主要體現(xiàn)在：教師以平等、尊重的態(tài)度鼓勵學生積極參與教學活動，啟發(fā)學生共同探索，與學生一起感受成功和挫折、分享發(fā)現(xiàn)和成果。（3）處理好學生主體地位和教師主導(dǎo)作用的關(guān)系。
      好的教學活動，應(yīng)是學生主體地位和教師主導(dǎo)作用的和諧統(tǒng)一。一方面，學生主體地位的真正落實，依賴于教師主導(dǎo)作用的有效發(fā)揮；另一方面，有效發(fā)揮教師主導(dǎo)作用的標志，是學生能夠真正成為學習的主體，得到全面的發(fā)展（參見例32，例52）。
      實行啟發(fā)式教學有助于落實學生的主體地位和發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用。教師富有啟發(fā)性的講授；創(chuàng)設(shè)情境、設(shè)計問題，引導(dǎo)學生自主探索、合作交流；組織學生操作實驗、觀察現(xiàn)象、提出猜想、推理論證等，都能有效地啟發(fā)學生的思考，使學生成為學習的主體，逐步學會學習。
      3.注重學生對基礎(chǔ)知識、基本技能的理解和掌握
      “知識技能”既是學生發(fā)展的基礎(chǔ)性目標，又是落實“數(shù)學思考”“問題解決”“情感態(tài)度”目標的載體。
      （1）數(shù)學知識的教學，應(yīng)注重學生對所學知識的理解，體會數(shù)學知識之間的關(guān)聯(lián)。
      學生掌握數(shù)學知識，不能依賴死記硬背，而應(yīng)以理解為基礎(chǔ)，并在知識的應(yīng)用中不斷鞏固和深化。為了幫助學生真正理解數(shù)學知識，教師應(yīng)注重數(shù)學知識與學生生活經(jīng)驗的聯(lián)系、與學生學科知識的聯(lián)系，組織學生開展實驗、操作、嘗試等活動，引導(dǎo)學生進行觀察、分析，抽象概括，運用知識進行判斷。教師還應(yīng)揭示知識的數(shù)學實質(zhì)及其體現(xiàn)的數(shù)學思想，幫助學生理清相關(guān)知識之間的區(qū)別和聯(lián)系等。
      數(shù)學知識的教學，要注重知識的“生長點”與“延伸點”，把每堂課教學的知識置于整體知識的體系中，注重知識的結(jié)構(gòu)和體系，處理好局部知識與整體知識的關(guān)系，引導(dǎo)學生感受數(shù)學的整體性，體會對于某些數(shù)學知識可以從不同的角度加以分析、從不同的層次進行理解。（2）在基本技能的教學中，不僅要使學生掌握技能操作的程序和步驟，還要使學生理解程序和步驟的道理。例如，對于整數(shù)乘法計算，學生不僅要掌握如何進行計算，而且要知道相應(yīng)的算理；對于尺規(guī)作圖，學生不僅要知道作圖的步驟，而且要能知道實施這些步驟的理由?；炯寄艿男纬桑枰欢康挠柧?，但要適度，不能依賴機械的重復(fù)操作，要注重訓練的實效性。教師應(yīng)把握技能形成的階段性，根據(jù)內(nèi)容的要求和學生的實際，分層次地落實。
      4.感悟數(shù)學思想，積累數(shù)學活動經(jīng)驗 數(shù)學思想蘊涵在數(shù)學知識形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，是數(shù)學知識和方法在更高層次上的抽象與概括，如抽象、分類、歸納、演繹、模型等。學生在積極參與教學活動的過程中，通過獨立思考、合作交流，逐步感悟數(shù)學思想。
      例如，分類是一種重要的數(shù)學思想。學習數(shù)學的過程中經(jīng)常會遇到分類問題，如數(shù)的分類，圖形的分類，代數(shù)式的分類，函數(shù)的分類等。在研究數(shù)學問題中，常常需要通過分類討論解決問題，分類的過程就是對事物共性的抽象過程。教學活動中，要使學生逐步體會為什么要分類，如何分類，如何確定分類的標準，在分類的過程中如何認識對象的性質(zhì)，如何區(qū)別不同對象的不同性質(zhì)。通過多次反復(fù)的思考和長時間的積累，使學生逐步感悟分類是一種重要的思想。學會分類，可以有助于學習新的數(shù)學知識，有助于分析和解決新的數(shù)學問題。數(shù)學活動經(jīng)驗的積累是提高學生數(shù)學素養(yǎng)的重要標志。幫助學生積累數(shù)學活動經(jīng)驗是數(shù)學教學的重要目標，是學生不斷經(jīng)歷、體驗各種數(shù)學活動過程的結(jié)果。數(shù)學活動經(jīng)驗需要在“做”的過程和“思考”的過程中積淀，是在數(shù)學學習活動過程中逐步積累的。教學中注重結(jié)合具體的學習內(nèi)容，設(shè)計有效的數(shù)學探究活動，使學生經(jīng)歷數(shù)學的發(fā)生發(fā)展過程，是學生積累數(shù)學活動經(jīng)驗的重要途徑。例如，在統(tǒng)計教學中，設(shè)計有效的統(tǒng)計活動，使學生經(jīng)歷完整的統(tǒng)計過程，包括收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、展示數(shù)據(jù)、從數(shù)據(jù)中提取信息，并利用這些信息說明問題。學生在這樣的過程中，不斷積累統(tǒng)計活動經(jīng)驗，加深理解統(tǒng)計思想與方法。
      “綜合與實踐”是積累數(shù)學活動經(jīng)驗的重要載體。在經(jīng)歷具體的“綜合與實踐”問題的過程中，引導(dǎo)學生體驗如何發(fā)現(xiàn)問題，如何選擇適合自己完成的問題，如何把實際問題變成數(shù)學問題，如何設(shè)計解決問題的方案，如何選擇合作的伙伴，如何有效地呈現(xiàn)實踐的成果，讓別人體會自己成果的價值。通過這樣的教學活動，學生會逐步積累運用數(shù)學解決問題的經(jīng)驗。
      5.關(guān)注學生情感態(tài)度的發(fā)展
      根據(jù)課程目標，廣大教師要把落實情感態(tài)度的目標作為己任，努力把情感態(tài)度目標有機地融合在數(shù)學教學過程之中。設(shè)計教學方案、進行課堂教學活動時，應(yīng)當經(jīng)?？紤]如下問題： 如何引導(dǎo)學生積極參與教學過程？ 如何組織學生探索，鼓勵學生創(chuàng)新？ 如何引導(dǎo)學生感受數(shù)學的價值？
      如何使他們愿意學，喜歡學，對數(shù)學感興趣？ 如何讓學生體驗成功的喜悅，從而增強自信心？ 如何引導(dǎo)學生善于與同伴合作交流，既能理解、尊重他人的意見，又能獨立思考、大膽質(zhì)疑？ 如何讓學生做自己能做的事，并對自己做的事情負責？ 如何幫助學生鍛煉克服困難的意志？ 如何培養(yǎng)學生良好的學習習慣？
      在教育教學活動中，教師要尊重學生，以強烈的責任心，嚴謹?shù)闹螌W態(tài)度，健全的人格感染和影響學生；要不斷提高自身的數(shù)學素養(yǎng)，善于挖掘教學內(nèi)容的教育價值；要在教學實踐中善于用本標準的理念分析各種現(xiàn)象，恰當?shù)剡M行養(yǎng)成教育。
      6.合理把握“綜合與實踐”的實施
      “綜合與實踐”的實施是以問題為載體、以學生自主參與為主的學習活動。它有別于學習具體知識的探索活動，更有別于課堂上教師的直接講授。它是教師通過問題引領(lǐng)、學生全程參與、實踐過程相對完整的學習活動。積累數(shù)學活動經(jīng)驗、培養(yǎng)學生應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識是數(shù)學課程的重要目標，應(yīng)貫穿整個數(shù)學課程之中?！熬C合與實踐”是實現(xiàn)這些目標的重要和有效的載體?！熬C合與實踐”的教學，重在實踐、重在綜合。重在實踐是指在活動中，注重學生自主參與、全過程參與，重視學生積極動腦、動手、動口。重在綜合是指在活動中，注重數(shù)學與生活實際、數(shù)學與其他學科、數(shù)學內(nèi)部知識的聯(lián)系和綜合應(yīng)用。
      教師在教學設(shè)計和實施時應(yīng)特別關(guān)注的幾個環(huán)節(jié)是：問題的選擇，問題的展開過程，學生參與的方式，學生的合作交流，活動過程和結(jié)果的展示與評價等。
      要使學生能充分、自主地參與“綜合與實踐”活動，選擇恰當?shù)膯栴}是關(guān)鍵。這些問題既可來自教材，也可以由教師、學生開發(fā)。提倡教師研制、開發(fā)、生成出更多適合本地學生特點的、有利于實現(xiàn)“綜合與實踐”課程目標的好問題。
      實施“綜合與實踐”時，教師要放手讓學生參與，啟發(fā)和引導(dǎo)學生進入角色，組織好學生之間的合作交流，并照顧到所有的學生。教師不僅要關(guān)注結(jié)果，更要關(guān)注過程，不要急于求成，要鼓勵引導(dǎo)學生充分利用“綜合與實踐”的過程，積累活動經(jīng)驗、展現(xiàn)思考過程、交流收獲體會、激發(fā)創(chuàng)造潛能。
      在實施過程中，教師要注意觀察、積累、分析、反思，使“綜合與實踐”的實施成為提高教師自身和學生素質(zhì)的互動過程。
      教師應(yīng)該根據(jù)不同學段學生的年齡特征和認知水平，根據(jù)學段目標，合理設(shè)計并組織實施“綜合與實踐”活動。
      7.教學中應(yīng)當注意的幾個關(guān)系（1）“預(yù)設(shè)”與“生成”的關(guān)系
      教學方案是教師對教學過程的“預(yù)設(shè)”，教學方案的形成依賴于教師對教材的理解、鉆研和再創(chuàng)造。理解和鉆研教材，應(yīng)以本標準為依據(jù)，把握好教材的編寫意圖和教學內(nèi)容的教育價值；對教材的再創(chuàng)造，集中表現(xiàn)在：能根據(jù)所教班級學生的實際情況，選擇貼切的教學素材和教學流程，準確地體現(xiàn)基本理念和內(nèi)容標準規(guī)定的要求。
      實施教學方案，是把“預(yù)設(shè)”轉(zhuǎn)化為實際的教學活動。在這個過程中，師生雙方的互動往往會“生成”一些新的教學資源，這就需要教師能夠及時把握，因勢利導(dǎo)，適時調(diào)整預(yù)案，使教學活動收到更好的效果。
      （2）面向全體學生與關(guān)注學生個體差異的關(guān)系
      教學活動應(yīng)努力使全體學生達到課程目標的基本要求，同時要關(guān)注學生的個體差異，促進每個學生在原有基礎(chǔ)上的發(fā)展。
      對于學習有困難的學生，教師要給予及時的關(guān)注與幫助，鼓勵他們主動參與數(shù)學學習活動，并嘗試用自己的方式解決問題、發(fā)表自己的看法，要及時地肯定他們的點滴進步，耐心地引導(dǎo)他們分析產(chǎn)生困難或錯誤的原因，并鼓勵他們自己去改正，從而增強學習數(shù)學的興趣和信心。對于學有余力并對數(shù)學有興趣的學生，教師要為他們提供足夠的材料和思維空間，指導(dǎo)他們閱讀，發(fā)展他們的數(shù)學才能。在教學活動中，要鼓勵與提倡解決問題策略的多樣化，恰當評價學生在解決問題過程中所表現(xiàn)出的不同水平；問題情境的設(shè)計、教學過程的展開、練習的安排等要盡可能地讓所有學生都能主動參與，提出各自解決問題的策略，并引導(dǎo)學生通過與他人的交流選擇合適的策略，豐富數(shù)學活動的經(jīng)驗，提高思維水平。（3）合情推理與演繹推理的關(guān)系
      推理貫穿于數(shù)學教學的始終，推理能力的形成和提高需要一個長期的、循序漸進的過程。義務(wù)教育階段要注重學生思考的條理性，不要過分強調(diào)推理的形式。
      推理包括合情推理和演繹推理。教師在教學過程中，應(yīng)該設(shè)計適當?shù)膶W習活動，引導(dǎo)學生通過觀察、嘗試、估算、歸納、類比、畫圖等活動發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，猜測某些結(jié)論，發(fā)展合情推理能力；通過實例使學生逐步意識到，結(jié)論的正確性需要演繹推理的確認，可以根據(jù)學生的年齡特征提出不同程度的要求。
      在第三學段中，應(yīng)把證明作為探索活動的自然延續(xù)和必要發(fā)展，使學生知道合情推理與演繹推理是相輔相成的兩種推理形式。“證明”的教學應(yīng)關(guān)注學生對證明必要性的感受，對證明基本方法的掌握和證明過程的體驗。證明命題時，應(yīng)要求證明過程及其表述符合邏輯，清晰而有條理（參見例63）。此外，還可以恰當?shù)匾龑?dǎo)學生探索證明同一命題的不同思路和方法，進行比較和討論，激發(fā)學生對數(shù)學證明的興趣，發(fā)展學生思維的廣闊性和靈活性。（4）使用現(xiàn)代信息技術(shù)與教學手段多樣化的關(guān)系 積極開發(fā)和有效利用各種課程資源，合理地應(yīng)用現(xiàn)代信息技術(shù)，注重信息技術(shù)與課程內(nèi)容的整合，能有效地改變教學方式，提高課堂教學的效益。有條件的地區(qū)，教學中要盡可能地使用計算器、計算機以及有關(guān)軟件；暫時沒有這種條件的地區(qū)，一方面要積極創(chuàng)造條件改善教學設(shè)施，另一方面廣大教師應(yīng)努力自制教具以彌補教學設(shè)施的不足。在學生理解并能正確應(yīng)用公式、法則進行計算的基礎(chǔ)上，鼓勵學生用計算器完成較為繁雜的計算。課堂教學、課外作業(yè)、實踐活動中，應(yīng)當根據(jù)內(nèi)容標準的要求，允許學生使用計算器，還應(yīng)當鼓勵學生用計算器進行探索規(guī)律等活動（參見例28，例51）。現(xiàn)代信息技術(shù)的作用不能完全替代原有的教學手段，其真正價值在于實現(xiàn)原有的教學手段難以達到甚至達不到的效果。例如，利用計算機展示函數(shù)圖像、幾何圖形的運動變化過程；從數(shù)據(jù)庫中獲得數(shù)據(jù)，繪制合適的統(tǒng)計圖表；利用計算機的隨機模擬結(jié)果，引導(dǎo)學生更好地理解隨機事件以及隨機事件發(fā)生的概率；等等。在應(yīng)用現(xiàn)代信息技術(shù)的同時，教師還應(yīng)注重課堂教學的板書設(shè)計。必要的板書有利于實現(xiàn)學生的思維與教學過程同步，有助于學生更好地把握教學內(nèi)容的脈絡(luò)。
      二、評價建議
      評價的主要目的是全面了解學生數(shù)學學習的過程和結(jié)果，激勵學生學習和改進教師教學。評價應(yīng)以課程目標和內(nèi)容標準為依據(jù)，體現(xiàn)數(shù)學課程的基本理念，全面評價學生在知識技能、數(shù)學思考、問題解決和情感態(tài)度等方面的表現(xiàn)。評價不僅要關(guān)注學生的學習結(jié)果，更要關(guān)注學生在學習過程中的發(fā)展和變化。應(yīng)采用多樣化的評價方式，恰當呈現(xiàn)并合理利用評價結(jié)果，發(fā)揮評價的激勵作用，保護學生的自尊心和自信心。通過評價得到的信息，可以了解學生數(shù)學學習達到的水平和存在的問題，幫助教師進行總結(jié)與反思，調(diào)整和改進教學內(nèi)容和教學過程。
      1.基礎(chǔ)知識和基本技能的評價 對基礎(chǔ)知識和基本技能的評價，應(yīng)以各學段的具體目標和要求為標準，考查學生對基礎(chǔ)知識和基本技能的理解和掌握程度，以及在學習基礎(chǔ)知識與基本技能過程中的表現(xiàn)。在對學生學習基礎(chǔ)知識和基本技能的結(jié)果進行評價時，應(yīng)該準確地把握“了解、理解、掌握、應(yīng)用”不同層次的要求。在對學生學習過程進行評價時，應(yīng)依據(jù)“經(jīng)歷、體驗、探索”不同層次的要求，采取靈活多樣的方法，定性與定量相結(jié)合、以定性評價為主。每一學段的目標是該學段結(jié)束時學生應(yīng)達到的要求，教師需要根據(jù)學習的進度和學生的實際情況確定具體的要求。例如，下表是對第一學段有關(guān)計算技能的基本要求，這些要求是在學段結(jié)束時應(yīng)達到的，評價時應(yīng)注意把握尺度，對計算速度不作過高要求。
      表1  第一學段計算技能評價要求
      學習內(nèi)容速度要求
      20以內(nèi)加減法和表內(nèi)乘除法口算8~10題/分
      百以內(nèi)加減法口算3~4題/分
      三位數(shù)以內(nèi)的加減法筆算2~3題/分
      兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算1~2題/分
      一位數(shù)除兩位或三位數(shù)的除法筆算1~2題/分
      教師應(yīng)允許學生經(jīng)過較長時間的努力，隨著數(shù)學知識與技能的積累逐步達到學段目標。在實施評價時，可以對部分學生采取“延遲評價”[5]的方式，提供再次評價的機會，使他們看到自己的進步，樹立學好數(shù)學的信心。
      2.數(shù)學思考和問題解決的評價
      數(shù)學思考和問題解決的評價要依據(jù)總目標和學段目標的要求，體現(xiàn)在整個數(shù)學學習過程中。對數(shù)學思考和問題解決的評價應(yīng)當采用多種形式和方法，特別要重視在平時教學和具體的問題情境中進行評價。例如，在第二學段，教師可以設(shè)計下面的活動，評價學生數(shù)學思考和問題解決的能力：
      用長為50厘米的細繩圍成一個邊長為整厘米數(shù)的長方形，怎樣才能使面積達到最大？ 在對學生進行評價時，教師可以關(guān)注以下幾個不同的層次：
      第一，學生是否能理解題目的意思，能否提出解決問題的策略，如通過畫圖進行嘗試； 第二，學生能否列舉若干滿足條件的長方形，通過列表等形式將其進行有序排列；
      第三，在觀察、比較的基礎(chǔ)上，學生能否發(fā)現(xiàn)長和寬變化時，面積的變化規(guī)律，并猜測問題的結(jié)果；
      第四，對猜測的結(jié)果給予驗證；
      第五，鼓勵學生發(fā)現(xiàn)和提出一般性問題，如，猜想當長和寬的變化不限于整厘米數(shù)時，面積何時最大。
      為此，教師可以根據(jù)實際情況，設(shè)計有層次的問題評價學生的不同水平。例如，設(shè)計下面的問題：
      （1）找出三個滿足條件的長方形，記錄下長方形的長、寬和面積，并依據(jù)長或?qū)挼拈L短有序地排列出來。
      （2）觀察排列的結(jié)果，探索長方形的長和寬發(fā)生變化時，面積相應(yīng)的變化規(guī)律。猜測當長和寬各為多少厘米時，長方形的面積最大。
      （3）列舉滿足條件的長和寬的所有可能結(jié)果，驗證猜測。
      （4）猜想：如果不限制長方形的長和寬為整厘米數(shù)，怎樣才能使它的面積最大？ 教師可以預(yù)設(shè)目標：對于第二學段的學生，能夠完成第（1）（2）題就達到基本要求，對于能完成第（3）（4）題的學生，則給予進一步的肯定。學生解決問題的策略可能與教師的預(yù)設(shè)有所不同，教師應(yīng)給予恰當?shù)脑u價。
      3.情感態(tài)度的評價
      情感態(tài)度的評價應(yīng)依據(jù)課程目標的要求，采用適當?shù)姆椒ㄟM行。主要方式有課堂觀察、活動記錄、課后訪談等。
      情感態(tài)度評價主要在平時教學過程中進行，注重考查和記錄學生在不同階段情感態(tài)度的狀況和發(fā)生的變化。
      例如，可以設(shè)計下面的評價表，記錄、整理和分析學生參與數(shù)學活動的情況。這樣的評價表每個學期至少記錄1次，教師可以根據(jù)實際需要自行設(shè)計或調(diào)整評價的具體內(nèi)容。表2  參與數(shù)學活動情況的評價表
      學生姓名：
      時間：
      活動內(nèi)容：
      評價內(nèi)容主要表現(xiàn)
      參與活動
      思考問題
      與他人合作
      表達與交流
      教師可以根據(jù)實際情況設(shè)計類似的評價表，也可以根據(jù)需要設(shè)計學生情感態(tài)度的綜合評價表。
      4.注重對學生數(shù)學學習過程的評價
      學生在數(shù)學學習過程中，知識技能、數(shù)學思考、問題解決和情感態(tài)度等方面的表現(xiàn)不是孤立的，這些方面的發(fā)展綜合體現(xiàn)在數(shù)學學習過程之中。在評價學生每一個方面表現(xiàn)的同時，要注重對學生學習過程的整體評價，分析學生在不同階段的發(fā)展變化。評價時應(yīng)注意記錄、保留和分析學生在不同時期的學習表現(xiàn)和學業(yè)成就。
      例如，可以設(shè)計下面的課堂觀察表用于記錄學生在課堂中的表現(xiàn)，積累起來，以便綜合了解學生的學習表現(xiàn)以及變化情況。觀察表中的項目可以根據(jù)實際需要自行調(diào)整，隨時記錄學生在課堂教學中的表現(xiàn)。教師可以有計劃地每天記錄幾位同學的表現(xiàn)，保證每學期每位同學有3~5次的記錄；也可以根據(jù)實際情況記錄某些同學的特殊表現(xiàn)，如提出或回答問題具有獨特性的同學、在某方面表現(xiàn)突出的同學、或在某方面需要改進的同學。經(jīng)過一段時間的積累，對于學生平時數(shù)學學習的表現(xiàn)，就會有一個較為清晰具體的了解。
      表3  課堂觀察表
      上課時間：
      科目：
      內(nèi)容：
      學生
      項目王
      濤李
      明陳
      虎
      課堂參與
      提出或回答問題
      合作與交流
      課堂練習
      知識技能的掌握
      獨立思考
      其他
      說明：記錄時，可以用3表示優(yōu)，2表示良，1表示一般，等等。
      5.體現(xiàn)評價主體的多元化和評價方式的多樣化
      評價主體的多元化是指教師、家長、同學及學生本人都可以作為評價者，可以綜合運用教師評價、學生自我評價、學生相互評價、家長評價等方式，對學生的學習情況和教師的教學情況進行全面的考查。例如，每一個學習單元結(jié)束時，教師可以要求學生自我設(shè)計一個“學習小結(jié)”，用合適的形式（表、圖、卡片、電子文本等）歸納學到的知識和方法，學習中的收獲，遇到的問題，等等。教師可以通過學習小結(jié)對學生的學習情況進行評價，也可以組織學生將自己的學習小結(jié)在班級展示交流，通過這種形式總結(jié)自己的進步，反思自己的不足以及需要改進的地方，汲取他人值得借鑒的經(jīng)驗。條件允許時，可以請家長參與評價。
      評價方式多樣化體現(xiàn)在多種評價方法的運用，包括書面測驗、口頭測驗、開放式問題、活動報告、課堂觀察、課后訪談、課內(nèi)外作業(yè)、成長記錄等等（參見例83）。在條件允許的地方，也可以采用網(wǎng)上交流的方式進行評價。每種評價方式都具有各自的特點，教師應(yīng)結(jié)合學習內(nèi)容及學生學習的特點，選擇適當?shù)脑u價方式。例如，可以通過課堂觀察了解學生學習的過程與學習態(tài)度，從作業(yè)中了解學生基礎(chǔ)知識與基本技能掌握的情況，從探究活動中了解學生獨立思考的習慣和合作交流的意識，從成長記錄中了解學生的發(fā)展變化。
      6.恰當?shù)爻尸F(xiàn)和利用評價結(jié)果
      評價結(jié)果的呈現(xiàn)應(yīng)采用定性與定量相結(jié)合的方式。第一學段的評價應(yīng)當以描述性評價為主，第二學段采用描述性評價和等級評價相結(jié)合的方式，第三學段可以采用描述性評價和等級（或百分制）評價相結(jié)合的方式。
      評價結(jié)果的呈現(xiàn)和利用應(yīng)有利于增強學生學習數(shù)學的自信心，提高學生學習數(shù)學的興趣，使學生養(yǎng)成良好的學習習慣，促進學生的發(fā)展。評價結(jié)果的呈現(xiàn)，應(yīng)該更多地關(guān)注學生的進步，關(guān)注學生已經(jīng)掌握了什么，獲得了哪些提高，具備了什么能力，還有什么潛能，在哪些方面還存在不足，等等。
      例如，下面是對某同學第二學段關(guān)于“統(tǒng)計與概率”學習的書面評語：
      王小明同學，本學期我們學習了收集、整理和表達數(shù)據(jù)。你通過自己的努力，能收集、記錄數(shù)據(jù)，知道如何求平均數(shù)，了解統(tǒng)計圖的特點，制作的統(tǒng)計圖很出色，在這方面表現(xiàn)突出。但你在使用語言解釋統(tǒng)計結(jié)果方面還存在一定差距。繼續(xù)努力，小明！評定等級：B。這個以定性為主的評語，實際上也是教師與學生的一次情感交流。學生閱讀這一評語，能夠獲得成功的體驗，樹立學好數(shù)學的自信心，也知道自己的不足和努力方向。
      教師要注意分析全班學生評價結(jié)果隨時間的變化，從而了解自己教學的成績和問題，分析、反思教學過程中影響學生能力發(fā)展和素質(zhì)提高的原因，尋求改善教學的對策。同時，以適當?shù)姆绞剑瑢W生一些積極的變化及時反饋給學生。
      7.合理設(shè)計與實施書面測驗
      書面測驗是考查學生課程目標達成狀況的重要方式，合理地設(shè)計和實施書面測驗有助于全面考查學生的數(shù)學學業(yè)成就，及時反饋教學成效，不斷提高教學質(zhì)量。
      （1）對于學生基礎(chǔ)知識和基本技能達成情況的評價，必須準確把握內(nèi)容標準中的要求。例如，對于一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的考查，內(nèi)容標準中的要求是“了解”，并不要求應(yīng)用這個關(guān)系解決其他問題，設(shè)計測試題目時應(yīng)符合這個要求。內(nèi)容標準中的選學內(nèi)容，不得列入考查（考試）范圍。對基礎(chǔ)知識和基本技能的考查，要注重考查學生對其中所蘊涵的數(shù)學本質(zhì)的理解，考查學生能否在具體情境中合理應(yīng)用。因此，在設(shè)計試題時，應(yīng)淡化特殊的解題技巧，不出偏題怪題。
      （2）在設(shè)計試題時，應(yīng)該關(guān)注并且體現(xiàn)本標準的設(shè)計思路中提出的幾個核心詞：數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運算能力、推理能力、模型思想，以及應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識。
      （3）根據(jù)評價的目的合理地設(shè)計試題的類型，有效地發(fā)揮各種類型題目的功能。例如，為考查學生從具體情境中獲取信息的能力，可以設(shè)計閱讀分析的問題；為考查學生的探究能力，可以設(shè)計探索規(guī)律的問題；為考查學生解決問題的能力，可以設(shè)計具有實際背景的問題；為了考查學生的創(chuàng)造能力，可以設(shè)計開放性問題。
      （4）在書面測驗中，積極探索可以考察學生學習過程的試題，了解學生的學習過程。
      三、教材編寫建議
      數(shù)學教材為學生的數(shù)學學習活動提供了學習主題、基本線索和知識結(jié)構(gòu)，是實現(xiàn)數(shù)學課程目標、實施數(shù)學教學的重要資源。數(shù)學教材的編寫應(yīng)以本標準為依據(jù)。教材所選擇的學習素材應(yīng)盡量與學生的生活現(xiàn)實、數(shù)學現(xiàn)實、其他學科現(xiàn)實相聯(lián)系，應(yīng)有利于加深學生對所要學習內(nèi)容的數(shù)學理解。教材內(nèi)容的呈現(xiàn)要體現(xiàn)數(shù)學知識的整體性，體現(xiàn)重要的數(shù)學知識和方法的產(chǎn)生、發(fā)展和應(yīng)用過程；應(yīng)引導(dǎo)學生進行自主探索與合作交流，并關(guān)注對學生人文精神的培養(yǎng)；教材的編寫要有利于調(diào)動教師的主動性和積極性，有利于教師進行創(chuàng)造性教學。
      內(nèi)容標準是按照學段制訂的，并未規(guī)定學習內(nèi)容的呈現(xiàn)順序。因此，教材可以在不違背數(shù)學知識邏輯關(guān)系的基礎(chǔ)上，根據(jù)學生的數(shù)學學習認知規(guī)律、知識背景和活動經(jīng)驗，合理地安排學習內(nèi)容，形成自己的編排體系，體現(xiàn)出自己的風格和特色。
      1.教材編寫應(yīng)體現(xiàn)科學性
      科學性是對教材編寫的基本要求。教材一方面要符合數(shù)學的學科特征，另一方面要符合學生的認知規(guī)律。
      （1）全面體現(xiàn)本標準提出的理念和目標 教材的編寫應(yīng)以本標準為依據(jù)，在準確理解的基礎(chǔ)上，全面體現(xiàn)和落實本標準提出的基本理念和各項目標。
      （2）體現(xiàn)課程內(nèi)容的數(shù)學實質(zhì)
      教材中學習素材的選擇，圖片、情境、實例與活動欄目等的設(shè)置，拓展內(nèi)容的編寫，以及其他課程資源的利用，都應(yīng)當與所安排的數(shù)學內(nèi)容有實質(zhì)性聯(lián)系，有利于提高學生對數(shù)學實質(zhì)的理解，有利于提高學生對所學內(nèi)容的興趣。
      （3）準確把握內(nèi)容標準要求
      本標準對于義務(wù)教育階段的數(shù)學教學內(nèi)容有明確和具體的目標要求，教材的編寫應(yīng)遵循學生的認知規(guī)律，準確地把握“過程目標”和“結(jié)果目標”要求的程度。例如，關(guān)于距離的概念，在第二學段要求“知道”兩點間的距離，在第三學段要求“理解”兩點間距離的意義，“能”度量兩點間的距離。在編寫相關(guān)內(nèi)容時，一方面要把握好“知道”與“理解”“能”之間程度的差異，另一方面也要注意內(nèi)容之間的銜接。（4）教材的編寫要有一定的實驗依據(jù)
      教材的內(nèi)容、實例的設(shè)計、習題的配置等，要經(jīng)過課堂教學的實踐檢驗，特別是新增的內(nèi)容要經(jīng)過較大范圍的實驗，根據(jù)實踐的結(jié)果推敲可行性，并不斷改進與完善。
      2.教材編寫應(yīng)體現(xiàn)整體性
      教材編寫應(yīng)當體現(xiàn)整體性，注重突出核心內(nèi)容，注重內(nèi)容之間的相互聯(lián)系，注重體現(xiàn)學生學習的整體性。
      （1）整體體現(xiàn)課程內(nèi)容的核心
      教材的整體設(shè)計要體現(xiàn)內(nèi)容領(lǐng)域的核心。本標準在設(shè)計思路中提出了幾個核心詞：數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運算能力、推理能力、模型思想，以及應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識，它們是義務(wù)教育階段數(shù)學課程內(nèi)容的核心，也是教材的主線。因此，教材應(yīng)當圍繞這些核心內(nèi)容進行整體設(shè)計和編排。
      例如，在方程、不等式和函數(shù)的各部分內(nèi)容編排中，應(yīng)整體考慮模型思想的體現(xiàn)，突出建立模型、求解模型的過程。
      再例如，推理能力包括合情推理和演繹推理，無論是“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”還是“統(tǒng)計與概率”的內(nèi)容編排中，都要盡可能地為學生提供觀察、操作、歸納、類比、猜測、證明的機會，發(fā)展學生的推理能力。
      （2）整體考慮知識之間的關(guān)聯(lián)
      教材的整體設(shè)計要呈現(xiàn)不同數(shù)學知識之間的關(guān)聯(lián)。一些數(shù)學知識之間存在邏輯順序，教材編寫應(yīng)有利于學生感悟這種順序。一些知識之間存在著實質(zhì)性的聯(lián)系，這種聯(lián)系體現(xiàn)在相同的內(nèi)容領(lǐng)域，也體現(xiàn)在不同的內(nèi)容領(lǐng)域。例如，在“數(shù)與代數(shù)”的領(lǐng)域內(nèi)，函數(shù)、方程、不等式之間均存在著實質(zhì)性聯(lián)系；此外，代數(shù)與幾何、統(tǒng)計之間也存在著一定的實質(zhì)性聯(lián)系。
      幫助學生理解類似的實質(zhì)性聯(lián)系，是數(shù)學教學的重要任務(wù)。為此，教材在內(nèi)容的素材選取、問題設(shè)計和編排體系等方面應(yīng)體現(xiàn)這些實質(zhì)性聯(lián)系，展示數(shù)學知識的整體性和數(shù)學方法的一般性。
      （3）重要的數(shù)學概念與數(shù)學思想要體現(xiàn)螺旋上升的原則
      數(shù)學中有一些重要內(nèi)容、方法、思想是需要學生經(jīng)歷較長的認識過程，逐步理解和掌握的，如，分數(shù)、函數(shù)、概率、數(shù)形結(jié)合、邏輯推理、模型思想等。因此，教材在呈現(xiàn)相應(yīng)的數(shù)學內(nèi)容與思想方法時，應(yīng)根據(jù)學生的年齡特征與知識積累，在遵循科學性的前提下，采用逐級遞進、螺旋上升的原則。螺旋上升是指在深度、廣度等方面都要有實質(zhì)性的變化，即體現(xiàn)出明顯的階段性要求。
      例如，函數(shù)是“數(shù)與代數(shù)”的重要內(nèi)容，也是義務(wù)教育階段學生比較難理解和掌握的數(shù)學概念之一，本標準在三個學段中均安排了與函數(shù)關(guān)聯(lián)的內(nèi)容目標，希望學生能夠逐漸加深對函數(shù)的理解。因此，教材對函數(shù)內(nèi)容的編排應(yīng)體現(xiàn)螺旋上升的原則，分階段逐漸深化。依據(jù)內(nèi)容標準的要求，教材可以將函數(shù)內(nèi)容的學習分為三個主要階段：
      第一階段，通過一些具體實例，讓學生感受數(shù)量的變化過程、以及變化過程中變量之間的對應(yīng)關(guān)系，探索其中的變化規(guī)律及基本性質(zhì)，嘗試根據(jù)變量的對應(yīng)關(guān)系作出預(yù)測，獲得函數(shù)的感性認識。
      第二階段，在感性認識的基礎(chǔ)上，歸納概括出函數(shù)的定義，并研究具體的函數(shù)及其性質(zhì)，了解研究函數(shù)的基本方法，借助函數(shù)的知識和方法解決問題等，使得學生能夠在操作層面認識和理解函數(shù)。第三階段，了解函數(shù)與其他相關(guān)數(shù)學內(nèi)容之間的聯(lián)系（例如，與方程之間、不等式之間的聯(lián)系），使得學生能夠一般性地了解函數(shù)的概念。（4）整體性體現(xiàn)還應(yīng)注意以下幾點
      配置習題時應(yīng)考慮其與相應(yīng)內(nèi)容之間的協(xié)調(diào)性。一方面，要保證配備必要的習題幫助學生鞏固、理解所學知識內(nèi)容；另一方面，又要避免配置的習題所涉及的知識超出相應(yīng)的內(nèi)容要求。教材內(nèi)容的呈現(xiàn)既要考慮不同年齡學生的特點，又要使整套教材的編寫體例、風格協(xié)調(diào)一致。數(shù)學文化作為教材的組成部分，應(yīng)滲透在整套教材中。為此，教材可以適時地介紹有關(guān)背景知識，包括數(shù)學在自然與社會中的應(yīng)用、以及數(shù)學發(fā)展史的有關(guān)材料，幫助學生了解在人類文明發(fā)展中數(shù)學的作用，激發(fā)學習數(shù)學的興趣，感受數(shù)學家治學的嚴謹，欣賞數(shù)學的優(yōu)美。例如，可以介紹《九章算術(shù)》、珠算、《幾何原本》、機器證明、黃金分割、CT技術(shù)、布豐投針等。
      3.教材內(nèi)容的呈現(xiàn)應(yīng)體現(xiàn)過程性
      教材編寫不是單純的知識介紹，學生學習也不是單純地模仿、練習和記憶。因此，教材應(yīng)選用合適的學習素材，介紹知識的背景；設(shè)計必要的數(shù)學活動，讓學生通過觀察、實驗、猜測、推理、交流、反思等，感悟知識的形成和應(yīng)用。恰當?shù)刈寣W生經(jīng)歷這樣的過程，對于他們理解數(shù)學知識與方法、形成良好的數(shù)學思維習慣和應(yīng)用意識，提高解決問題的能力有著重要的作用。
      （1）體現(xiàn)數(shù)學知識的形成過程 在設(shè)計一些新知識的學習活動時，教材可以展現(xiàn)“知識背景—知識形成—揭示聯(lián)系”的過程。這個過程要有利于激發(fā)學習興趣，理解數(shù)學實質(zhì)，發(fā)展思考能力，了解知識之間的關(guān)聯(lián)。例如，分數(shù)、負數(shù)和無理數(shù)的引入都可以體現(xiàn)這樣的過程。
      （2）反映數(shù)學知識的應(yīng)用過程
      教材應(yīng)當根據(jù)課程內(nèi)容，設(shè)計運用數(shù)學知識解決問題的活動。這樣的活動應(yīng)體現(xiàn)“問題情境─建立模型─求解驗證”的過程，這個過程要有利于理解和掌握相關(guān)的知識技能，感悟數(shù)學思想、積累活動經(jīng)驗；要有利于提高發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力，增強應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識。
      每一冊教材至少應(yīng)當設(shè)計一個適用于“綜合與實踐”學習活動的題材，這樣的題材可以以“長作業(yè)”的形式出現(xiàn)，將課堂內(nèi)的數(shù)學活動延伸到課堂外，經(jīng)歷收集數(shù)據(jù)、查閱資料、獨立思考、合作交流、實踐檢驗、推理論證等多種形式的活動。提倡在教材中設(shè)計更為豐富的“綜合與實踐”活動題材，供教師選擇。
      4.呈現(xiàn)內(nèi)容的素材應(yīng)貼近學生現(xiàn)實
      素材的選用應(yīng)當充分考慮學生的認知水平和活動經(jīng)驗。這些素材應(yīng)當在反映數(shù)學本質(zhì)的前提下盡可能地貼近學生的現(xiàn)實，以利于他們經(jīng)歷從現(xiàn)實情境中抽象出數(shù)學知識與方法的過程。學生的現(xiàn)實主要包含以下三個方面：
      （1）生活現(xiàn)實
      在義務(wù)教育階段的數(shù)學課程中，許多內(nèi)容都可以在學生的生活實際中找到背景。第一學段，學生所感知的生活面較窄，從他們身邊熟悉的、有趣的事物中選取學習素材，容易激發(fā)他們學習數(shù)學的興趣，使他們感受到數(shù)學就在自己的身邊，也易于他們理解相關(guān)的數(shù)學知識，體會到數(shù)學的作用。
      第二學段、第三學段，學生的活動空間有了較大的擴展，他們感興趣的問題已拓展到客觀世界的許多方面，他們逐漸關(guān)注來源于自然、社會中更為廣泛的現(xiàn)象和問題，對具有一定挑戰(zhàn)性的內(nèi)容表現(xiàn)出更大的興趣。因此，教材所選擇的素材應(yīng)盡量來源于自然、社會中的現(xiàn)象和問題。如與現(xiàn)實生活有關(guān)的圖片和圖形（照片、簡單的模型圖、平面圖、地圖等），以使學生感受到數(shù)學的價值和趣味。（2）數(shù)學現(xiàn)實
      隨著數(shù)學學習的深入，學生所積累的數(shù)學知識和方法就成為學生的“數(shù)學現(xiàn)實”，這些現(xiàn)實應(yīng)當成為學生進一步學習數(shù)學的素材。選用這些素材，不僅有利于學生理解所學知識的內(nèi)涵，還能夠更好地揭示相關(guān)數(shù)學知識之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，有利于學生從整體上理解數(shù)學，構(gòu)建數(shù)學認知結(jié)構(gòu)。例如，因式分解知識的引入可以借助整數(shù)的分解，平行四邊形概念的引入可以借助三角形，等等。（3）其他學科現(xiàn)實
      數(shù)學的許多內(nèi)容與其他學科知識有著密切的聯(lián)系，隨著學生學習的深入，其他學科的知識也就成為學生的“現(xiàn)實”，教材在選擇數(shù)學學習素材時應(yīng)當予以關(guān)注。
      5.教材內(nèi)容設(shè)計要有一定的彈性
      按照本標準要求，教材的編寫要面向全體學生，也要考慮到學生發(fā)展的差異，在保證基本要求的前提下，體現(xiàn)一定的彈性，以滿足學生的不同需求，使不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展，也便于教師發(fā)揮自己的教學創(chuàng)造性。例如：
      （1）就同一問題情境提出不同層次的問題或開放性問題。
      （2）提供一定的閱讀材料，包括史料、背景材料、知識應(yīng)用等，供學生選擇閱讀。
      （3）習題的選擇和編排突出層次性，設(shè)置鞏固性問題、拓展性問題、探索性問題等；凡不要求全體學生掌握的習題，需要明確標出。
      （4）在設(shè)計綜合與實踐活動時，所選擇的課題要使所有的學生都能參與，不同的學生可以通過解決問題的活動，獲得不同的體驗。
      （5）編入一些拓寬知識或者方法的選學內(nèi)容，增加的內(nèi)容應(yīng)注重于介紹重要的數(shù)學概念、數(shù)學思想方法，而不應(yīng)該片面追求內(nèi)容的深度、問題的難度、解題的技巧。
      （6）設(shè)計一些課題和閱讀材料，引導(dǎo)學生借助算盤、函數(shù)計算器、計算機等工具，進行探索性學習活動。
      6.教材編寫要體現(xiàn)可讀性
      教材應(yīng)具備可讀性，易于學生接受，激發(fā)學生學習興趣，為學生提供思考的空間。教材可讀與否，對不同學段的學生具有不同的標準。因此，教材的呈現(xiàn)應(yīng)當在準確表達數(shù)學含義的前提下，符合學生年齡特征，從而有助于他們理解數(shù)學。
      對于第一學段的學生，可以采用圖片、游戲、卡通、表格、文字等多種方式，直觀形象、圖文并茂、生動有趣地呈現(xiàn)素材，提高他們的學習興趣。對于第二學段的學生，由于他們具備了一定的文字理解和表達能力，所以教材的呈現(xiàn)應(yīng)在運用學生感興趣的圖片、表格、文字等形式的同時，逐漸增加數(shù)學語言的比重。
      對于第三學段的學生，隨著數(shù)學學習、語言學習的深入，他們使用文字和數(shù)學符號的能力已經(jīng)有了一定程度的發(fā)展。教材的呈現(xiàn)可以將實物照片、圖形、圖表、文字、數(shù)學符號等多種形式結(jié)合起來。
      四、課程資源開發(fā)與利用建議
      數(shù)學課程資源是指應(yīng)用于教與學活動中的各種資源。主要包括文本資源——如教科書、教師用書，教與學的輔助用書、教學掛圖等；信息技術(shù)資源——如網(wǎng)絡(luò)、數(shù)學軟件、多媒體光盤等；社會教育資源——如教育與學科專家，圖書館、少年宮、博物館，報紙雜志、電視廣播等；環(huán)境與工具——如日常生活環(huán)境中的數(shù)學信息，用于操作的學具或教具，數(shù)學實驗室等；生成性資源——如教學活動中提出的問題、學生的作品、學生學習過程中出現(xiàn)的問題、課堂實錄等。
      數(shù)學教學過程中恰當?shù)氖褂脭?shù)學課程資源，將在很大程度上提高學生從事數(shù)學活動的水平和教師從事教學活動的質(zhì)量。教材編寫者、教學研究人員、教師和有關(guān)人員應(yīng)依據(jù)本標準，有意識、有目的地開發(fā)和利用各種課程資源。
      1.文本資源
      關(guān)于教科書、教師用書的開發(fā)，參見“教材編寫建議”。
      學生學習輔助用書主要是為了更好地激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣和動力，幫助學生理解所學內(nèi)容，鞏固相關(guān)技能，開拓數(shù)學視野，進而滿足他們學習數(shù)學的個性化需求。這一類用書的開發(fā)不能僅僅著眼于解題活動和技能訓練，單純服務(wù)于應(yīng)試。更重要的，還應(yīng)當開發(fā)多品種、多形式的數(shù)學普及類讀物，使得學生在義務(wù)教育階段能夠有足夠的機會閱讀數(shù)學、了解數(shù)學、欣賞數(shù)學。
      教師教學輔助用書主要是為了加深教師對于教學內(nèi)容的理解，加強教師對于學生學習過程的認識，提高教師采用有效教學方法的能力。為此，在編制教學輔助用書時，提倡以研討數(shù)學教學過程中的問題為主線，賦予充分的教學實例，注重數(shù)學教育理論與教學實踐的有機結(jié)合，使之成為提高教師專業(yè)水準的有效讀物。
      2.信息技術(shù)資源
      信息技術(shù)能向?qū)W生提供并展示多種類型的資料，包括文字、聲音、圖像等，并能靈活選擇與呈現(xiàn)；可以創(chuàng)設(shè)、模擬多種與教學內(nèi)容適應(yīng)的情境；能為學生從事數(shù)學探究提供重要的工具；可以使得相距千里的個體展開面對面交流。信息技術(shù)是從根本上改變數(shù)學學習方式的重要途徑之一，必須充分加以應(yīng)用。
      信息技術(shù)資源的開發(fā)與利用需要關(guān)注三個方面：
      其一，將信息技術(shù)作為教師從事數(shù)學教學實踐與研究的輔助性工具。為此，教師可以通過網(wǎng)絡(luò)查閱資料、下載富有參考價值的實例、課件，并加以改進，使之適用于自身課堂教學；可以根據(jù)需要開發(fā)音像資料，構(gòu)建生動活潑的教學情境；還可以設(shè)計與制作有關(guān)的計算機軟件、教學課件，用于課堂教學活動研究等。
      其二，將信息技術(shù)作為學生從事數(shù)學學習活動的輔助性工具。為此，可以引導(dǎo)學生積極有效地將計算器、計算機用于數(shù)學學習活動之中，如，在探究活動中借助計算器（機）處理復(fù)雜數(shù)據(jù)和圖形，發(fā)現(xiàn)其中存在的數(shù)學規(guī)律；使用有效的數(shù)學軟件繪制圖形、呈現(xiàn)抽象對象的直觀背景，加深對相關(guān)數(shù)學內(nèi)容的理解；通過互聯(lián)網(wǎng)搜尋解決問題所需要的信息資料，幫助自己形成解決問題的基本策略和方法等。
      其三，將計算器等技術(shù)作為評價學生數(shù)學學習的輔助性工具。為此，應(yīng)當積極開展基于計算器環(huán)境的評價方式與評價工具研究，如：哪些試題或評價任務(wù)適宜在計算器環(huán)境下使用，哪些不適宜，等等。
      總之，一切有條件和能夠創(chuàng)造條件的地區(qū)和學校，都應(yīng)積極開發(fā)與利用計算機（器）、多媒體、互聯(lián)網(wǎng)等信息技術(shù)資源，組織教學研究人員、專業(yè)技術(shù)人員和教師開發(fā)與利用適合自身課堂教學的信息技術(shù)資源，以充分發(fā)揮其優(yōu)勢，為學生的學習和發(fā)展提供豐富多彩的教育環(huán)境和有力的學習工具和評價工具；為學生提供探索復(fù)雜問題、多角度理解數(shù)學的機會、豐富學生的數(shù)學視野、提高學生的數(shù)學素養(yǎng)；為有需要的學生提供個體學習的機會，以便于教師為特殊需要的學生提供幫助；為教育條件欠發(fā)達地區(qū)的學生提供教學指導(dǎo)和智力資源，更有效地吸引和幫助學生進行數(shù)學學習。
      值得注意的是，教學中應(yīng)有效地使用信息技術(shù)資源，發(fā)揮其對學習數(shù)學的積極作用，減少其對學習數(shù)學的消極作用。例如，不應(yīng)在數(shù)學教學過程中簡單地將信息技術(shù)作為縮短思維過程、加大教學容量的工具；不提倡用計算機上的模擬實驗來代替學生能夠操作的實踐活動；也不提倡利用計算機演示來代替學生的直觀想象，弱化學生對數(shù)學規(guī)律的探索活動。同時，學校之間要加強交流，共享資源，避免相關(guān)教學資源的低水平重復(fù)，也可以積極引進國外先進的教育軟件，并根據(jù)本學校學生的特點加以改進。
      3.社會教育資源
      在數(shù)學教學活動中，應(yīng)當積極開發(fā)利用社會教育資源。例如，邀請有關(guān)專家向?qū)W生介紹數(shù)學在自然界、科學技術(shù)、社會生活和其他學科發(fā)展中的應(yīng)用，幫助學生體會數(shù)學的價值；邀請教學專家與教師共同開展教學研究，以促進教師的專業(yè)成長。
      學校應(yīng)充分利用圖書館、少年宮、博物館、科技館等，尋找合適的學習素材，如，學生感興趣的自然現(xiàn)象、工程技術(shù)、歷史事件、社會問題、數(shù)學史與數(shù)學家的故事和其他學科的相關(guān)內(nèi)容，以開闊學生的視野，豐富教師的教學資源。
      報紙雜志、電視廣播和網(wǎng)絡(luò)等媒體常常為我們提供許多貼近時代、貼近生活的有意義話題，教師要從中充分挖掘適合學生學習的素材，向?qū)W生介紹其中與數(shù)學有關(guān)的欄目，組織學生對某些內(nèi)容進行交流，以增強學生學習數(shù)學的興趣，提高學生運用數(shù)學解決問題的能力。
      4.環(huán)境與工具
      教師應(yīng)當充分利用日常生活環(huán)境中與數(shù)學有關(guān)的信息，開發(fā)成為教學資源。教師應(yīng)當努力開發(fā)制作簡便實用的教具和學具，有條件的學校可以建立“數(shù)學實驗室”供學生使用，以拓寬他們的學習領(lǐng)域，培養(yǎng)他們的實踐能力，發(fā)展其個性品質(zhì)與創(chuàng)新精神，促進不同的學生在數(shù)學上得到不同的發(fā)展。
      5.生成性資源
      生成性資源是在教學過程中動態(tài)生成的，如，師生交互、生生交流過程中產(chǎn)生的新情境、新問題、新思路、新方法、新結(jié)果等。合理地利用生成性資源有利于提高教學有效性。
      附
      錄
      附錄1 有關(guān)行為動詞的分類
      本標準中有兩類行為動詞，一類是描述結(jié)果目標的行為動詞，包括“了解、理解、掌握、運用”等術(shù)語。另一類是描述過程目標的行為動詞，包括“經(jīng)歷、體驗、探索”等術(shù)語。這些詞的基本含義如下。
      了解：從具體實例中知道或舉例說明對象的有關(guān)特征；根據(jù)對象的特征，從具體情境中辨認或者舉例說明對象。
      理解：描述對象的特征和由來，闡述此對象與相關(guān)對象之間的區(qū)別和聯(lián)系。
      掌握：在理解的基礎(chǔ)上，把對象用于新的情境。
      運用：綜合使用已掌握的對象，選擇或創(chuàng)造適當?shù)姆椒ń鉀Q問題。
      經(jīng)歷：在特定的數(shù)學活動中，獲得一些感性認識。
      體驗：參與特定的數(shù)學活動，主動認識或驗證對象的特征，獲得一些經(jīng)驗。
      探索：獨立或與他人合作參與特定的數(shù)學活動，理解或提出問題，尋求解決問題的思路，發(fā)現(xiàn)對象的特征及其與相關(guān)對象的區(qū)別和聯(lián)系，獲得一定的理性認識。
      說明：在本標準中，使用了一些詞，表述與上述術(shù)語同等水平的要求程度。這些詞與上述術(shù)語之間的關(guān)系如下：（1）了解
      同類詞：知道，初步認識。
      實例：知道三角形的內(nèi)心和外心；能結(jié)合具體情境初步認識小數(shù)和分數(shù)。（2）理解
      同類詞：認識，會。
      實例：認識三角形；會用長方形、正方形、三角形、平行四邊形或圓拼圖。（3）掌握 同類詞：能。
      實例：能認、讀、寫萬以內(nèi)的數(shù)，能用數(shù)表示物體的個數(shù)或事物的順序和位置。（4）運用
      同類詞：證明。
      實例：證明定理：兩角及其中一組等角的對邊分別相等的兩個三角形全等。（5）經(jīng)歷
      同類詞：感受，嘗試。
      實例：在生活情境中感受大數(shù)的意義；嘗試發(fā)現(xiàn)和提出問題。（6）體驗
      同類詞：體會。
      實例：結(jié)合具體情境，體會整數(shù)四則運算的意義。
      附錄2 內(nèi)容標準及實施建議中的實例
      內(nèi)容標準 第一學段（1~3年級）
      數(shù)與代數(shù)
      例1 用算盤上的算珠表示三位數(shù)。
      [說明]  算盤是中國的重大發(fā)明，體現(xiàn)了十進位值制記數(shù)法。使用算盤要注意以下兩點：（1）確定個位。在個位上，一顆下珠表示1，一顆上珠表示5。
      （2）確定進位。10個1 是1個10，在算盤上個位往左進一位；10個10 是100，在算盤上再往左進一位。
      如513，在算盤上就是
      百 十 個
      位 位 位 更大的數(shù)同樣可以表示。
      例2  將數(shù)50，98，38，10，51排序，用“＞”或“＜”表示。用大得多、大一些、小一些、小得多等語言進一步描述它們之間的關(guān)系。
      [說明]  符號“＞”或“＜”表述的是數(shù)量間的大小關(guān)系，希望學生能夠理解符號的含義并能合理使用，這個過程可以幫助學生建立數(shù)感。
      讓學生將這些數(shù)排序，學生可能會有不同的排序方法。例如，先找到最?。ù螅┑?，然后在剩余的數(shù)中再找到最?。ù螅┑?，依次將五個數(shù)按從?。ù螅┑酱螅ㄐ。┑捻樞蜻M行排序；或者先固定一個數(shù)（如50），拿第二個數(shù)（98）與之比較，然后取第三個數(shù)與前兩個數(shù)比較，根據(jù)它們之間的大小關(guān)系決定位置，這樣繼續(xù)下去，最后將五個數(shù)排序。無論學生的出發(fā)點如何，只要思路清晰、排序正確即可。
      對于用語言描述幾個數(shù)之間的大小關(guān)系時，結(jié)論是相對的。例如，可以說51比50大一些，98比10大很多；而50比38是大一些，還是大得多，可能會有不同看法，但不應(yīng)當出現(xiàn)邏輯上的混亂，例如，“50比10大一些，50比38大得多”。
      例3  1200張紙大約有多厚？你的1200步大約有多長？1200名學生站成做廣播操的隊形需要多大的場地？
      [說明] 通過對1200在不同情境中的意義的了解，感受數(shù)與生活實際的關(guān)系。上述三個問題是類似的，可以讓學生學會舉一反三。針對問題“1200張紙大約有多厚”，教學中可以作如下設(shè)計：
      （1）一本數(shù)學教科書大約由50張紙裝訂而成?？梢哉垖W生先觀察自己的教科書，感受一本書的厚度。
      （2）將10本教科書依次疊在一起，每增加一本都請學生感受一次紙張的數(shù)量，感受數(shù)量由小增大的過程，建立大數(shù)的表象。
      （3）想一想，1200張紙大約有多厚？（如果10本書是500張紙，學生可以想象20本書是1000張紙，比20本書還要厚）。請學生描述“這1200張紙疊在一起有多高”，鼓勵學生從不同的角度進行描述。
      例4  說出與日常生活密切相關(guān)的數(shù)及其表達的事情。[說明]
      對小學生來講，日常生活中用數(shù)來表示的例子很多，如，學號、班級人數(shù)、身高、物價、重量、距離等。教學中要引導(dǎo)學生自己去發(fā)現(xiàn)，相互交流，從而體會數(shù)的意義和作用。
      例5  教室里有6行座位，每行7個，教室里一共有多少個座位？ [說明] 這個例子可以引導(dǎo)學生理解教室中的座位數(shù)是6個7的和，可以寫成：6×7或7×6。
      例6  學校組織987名學生去公園游玩。如果公園的門票每張8元，帶8000元錢夠不夠？ [說明] 本例的目的是希望學生了解在什么樣的情境中需要估算，知道“湊整計算”是估算的一個重要方法。
      學生估計的結(jié)果可能比實際的結(jié)果多一些或者少一些，取決于學生將題中給出的數(shù)據(jù)加上幾后湊整還是減去幾后湊整。教師要引導(dǎo)學生運用自己的語言解釋估算過程。公園門票的價格是8元，需要將987估計成1000，由此得到987與8相乘的結(jié)果肯定比8000小，所以帶8000元夠了。
      學生還可能根據(jù)自己生活中的經(jīng)驗，將乘車或者其他消費等都考慮在內(nèi)，只要學生解釋合理，教師都可以給予支持。
      例7  每條小船限乘4人，18人至少需要租幾條船？你認為怎樣分配才合適？
      例8  估計每分鐘脈搏跳動的次數(shù)、閱讀的字數(shù)、跳繩的次數(shù)、走路的步數(shù)。
      [說明] 本例既可以幫助學生體驗1分的長短，又是一個估計問題，需要實際測量，在測量的基礎(chǔ)上進行簡單計算。
      可以有三類方法進行實際測量：測量半分鐘，然后用測得的數(shù)據(jù)乘2；測量1分；測量2分，然后用測得的數(shù)據(jù)除以2。對于學有余力的學生，可以引導(dǎo)他們感悟第一種方法省事，但可能不夠準確；第三種方法費事，但可能更準確一些。幫助學生建立選擇策略的思想。
      例9  在下列橫線上填上合適的數(shù)字、字母或圖形，并說明理由。1，1，2； 1，1，2；，； A，A，B； A，A，B；，；
      ，；
      ，；
      ，；
      [說明] 啟發(fā)學生探索規(guī)律。希望學生感悟：對于有規(guī)律性的事物，無論是用數(shù)字還是字母或圖形都可以反映相同的規(guī)律，只是表達形式不同。
      例10  在下面的圖1中，描出橫排和豎排上兩個數(shù)相加等于10 的格子，再分別描出相加等于6，9的格子，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律。
      +123456789
      圖1
      [說明] 本例不僅能幫助學生熟練地進行20以內(nèi)的加法，并且數(shù)值與圖形結(jié)合，有利于學生以后學習坐標系、圖像等。
      根據(jù)學生的實際，借助上面的圖1可以提出不同的問題。例如，進一步把兩個數(shù)相加的和是8的格子描出來，看一看有什么規(guī)律。根據(jù)上圖判斷，出現(xiàn)次數(shù)最多的和是幾？最少的是幾？教師應(yīng)根據(jù)自己學生的實際情況靈活地設(shè)計教學。如果學生在觀察上圖或者發(fā)現(xiàn)規(guī)律中有困難，教師可以引導(dǎo)學生從簡單的情形入手，比如兩個加數(shù)先限制在5以內(nèi)。
      圖形與幾何
      李明
      王宇
      劉欣
      趙爽
      例11  桌上放著一個茶壺，四位同學從各自的方向進行觀察。圖2
      請指出下面圖3中四幅圖分別是哪位同學看到的。
      （）
      （）
      （）
      （）
      圖3
      例12  一米約相當于
      根鉛筆長；北京到南京的鐵路長約1000。
      [說明] 可以把問題舉一反三，讓學生了解實際情境中度量單位的意義，學會選擇合適的度量單位，增加學生對測量單位的感知。
      例13  測量、計算不規(guī)則圖形的周長。
      [說明] 引導(dǎo)學生用適當?shù)姆椒▏L試測量、計算不規(guī)則圖形的周長，有利于學生把握圖形的性質(zhì)和理解周長的意義，學習解決實際問題的方法。教師可以作如下設(shè)計：（1）可以從簡單到復(fù)雜。先測量并計算一些由規(guī)則圖形組合成的圖形的周長。
      （2）對于圓形或楊樹葉形的圖，可以運用各種測量工具, 也可以用各種測量方法，鼓勵學生進行嘗試。對于樹葉的直接測量，可以用下面兩種方法：
      ①滾動?？梢栽诔咦由蠞L動“樹葉”形狀的圖形，也可以保持“樹葉”形狀的圖形不動，將尺子滾動進行測量。
      ②繞線。先用細線在圖形的邊緣圍一周，再將細線拉直，然后測量細線的長度。
      （3）測量會有誤差。一方面要求學生測量時應(yīng)當認真，盡量減小誤差；一方面啟發(fā)學生思考，是不是可以多測量幾次，然后確定一個合適的結(jié)果。
      例14  測量并計算一張給定正方形紙的面積，利用結(jié)果估計課桌面的面積；測量步長，利用步長估計教室的面積。
      [說明] 把測量與面積計算有機地結(jié)合，讓學生體會面積的實際背景和估計長方形面積的方法。
      例15  在下列現(xiàn)象中，哪些是平移現(xiàn)象？哪些是旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象?（1）方向盤的轉(zhuǎn)動；
      （2）火車車廂的直線運動；
      （3）電梯的上下移動；
      （4）鐘擺的運動。
      例16  圖4中哪些圖形通過平移可以互相重合?
      圖4
      例17  圖5是一張動物園的示意圖，根據(jù)圖中所標的位置回答下列問題：
      ● 海洋館
      ● 熊貓館
      ● 獅虎山
      ● 大象館
      ● 百鳥園
      ● 猴山
      東
      北
      圖5
      （1）熊貓館在猴山的哪個方向上？
      （2）大象館在海洋館的哪個方向上？
      [說明] 可以先從一個固定的觀測點出發(fā)，描述其他物體的方位，再改變觀測點，描述與其他物體的相對方位。
      統(tǒng)計與概率
      例18  分別選擇三個不同的標準把全班同學分為兩類，記錄調(diào)查結(jié)果。[說明]
      比較、排列、分類等活動是對數(shù)據(jù)進行初步整理，是學生進行數(shù)據(jù)分析的開始，也為以后學習統(tǒng)計與概率和其他方面的數(shù)學知識積累感性經(jīng)驗。教學中應(yīng)鼓勵學生依據(jù)分類標準得出結(jié)論，具體可作如下設(shè)計：
      （1）教師給出問題后，引導(dǎo)學生討論不同的分類標準。例如，性別，身高，家到學校的距離，出生年月，左右手寫字，等等。
      （2）當提出的標準較多時，可以分組進行活動，完成調(diào)查。
      （3）運用自己的方式（文字、圖畫、表格等）呈現(xiàn)調(diào)查結(jié)果。
      例19  新年聯(lián)歡會準備買水果，調(diào)查班級同學最喜歡吃的水果，設(shè)計購買方案。
      [說明] 借助學生身邊的例子，體會數(shù)據(jù)調(diào)查、數(shù)據(jù)分析對于決策的作用。此例可以舉一反三。教學中可作如下設(shè)計：
      （1）全班同學討論決定購買方案的原則，可以在限定的金額內(nèi)考慮學生最喜歡吃的一種或幾種水果，或者其他的原則。
      （2）鼓勵學生討論收集數(shù)據(jù)的方法。例如，可以采用一個同學提案、贊同舉手的方法；可以采取填寫調(diào)查表的方法；可以全部提案后，同學輪流在自己同意的盒里放積木的方法，等等。必須事先約定，每位同學最多可以同意幾項。
      （3）收集并表示數(shù)據(jù)，參照事先的約定決定購買水果的方案。要根據(jù)學生討論的實際情況進行靈活處理，購買方案沒有對錯之分，但要符合最初制定的原則。
      例20  對全班同學的身高進行調(diào)查分析。
      [說明]
      學校一般每年都要測量學生的身高，這為學習統(tǒng)計提供了很好的數(shù)據(jù)資源，因此這個問題可以貫穿第一學段和第二學段，根據(jù)不同學段的學生特點，要求可以有所不同。希望學生把每年測量身高的數(shù)據(jù)都保留下來，養(yǎng)成保存資料的習慣。在第一學段，主要讓學生感悟可以從數(shù)據(jù)中得到一些信息。教學中可以作如下設(shè)計：（1）指導(dǎo)學生將全班同學的身高進行匯總。
      （2）從匯總后的數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)信息。比如最高（最大值）、最矮（最小值）、相差多少（極差），大部分同學的身高是多少（眾數(shù)）等。在討論過程中，括號中的有些名詞并不需要出現(xiàn)，但是希望學生體會數(shù)據(jù)所代表的意義。
      （3）在整理中，可以讓學生嘗試創(chuàng)造靈活的方法。例如，尋找最高，可以直接比較尋找，當學生人數(shù)比較多時，也可以分組尋找組內(nèi)最高，然后在每組的最高中尋找最高；在考慮順序問題時，可以參見例18。
      綜合與實踐
      例21  圖形分類。如圖6所示，桌上散落著一些扣子，請把這些扣子分類。想一想：應(yīng)當如何確定分類的標準？根據(jù)分類的標準可以把這些扣子分成幾類？然后具體操作，并用文字、圖畫或表格等方式把結(jié)果記錄下來。
      圖6
      [說明]
      本活動適合于本學段的各個年級，可以在要求上有所區(qū)分。本活動的目的是希望學生能夠清楚，分類是要依賴分類標準的，例如，扣子的形狀、扣子的顏色或者扣眼的數(shù)量都可以作為分類的標準，而在不同的分類標準下分類的結(jié)果可能是不同的。本活動將有利于培養(yǎng)學生把握圖形的特征、抽象出多個圖形的共性的能力。另一方面，活動還要求學生運用文字、圖畫或表格等方法記錄對扣子進行分類后的結(jié)果，這有利于培養(yǎng)學生整理數(shù)據(jù)的能力。教師在此活動的教學中可以作如下設(shè)計：
      （1）教師提出問題，引導(dǎo)學生討論分類標準?？梢詥l(fā)學生這樣思考：先關(guān)注一個指標作為分類標準，如先關(guān)注顏色；在此基礎(chǔ)上，再進一步關(guān)注兩個指標作為分類標準，如進一步關(guān)注顏色和形狀；最后再關(guān)注顏色、形狀和扣眼數(shù)。這樣可以避免出現(xiàn)混亂。
      （2）根據(jù)已經(jīng)討論確定的分類標準對學生分組，引導(dǎo)學生實際操作，合作完成計數(shù)；各小組呈現(xiàn)統(tǒng)計結(jié)果。
      （3）教師組織學生報告統(tǒng)計結(jié)果，引導(dǎo)學生作出評價，幫助學生整理思路。
      例22  生活中的軸對稱圖形。
      組織學生分組收集日常生活中常見的圖形（如圖標），觀察它們是否有對稱軸，若有對稱軸，數(shù)出或說出有幾條對稱軸。嘗試畫出它們的對稱軸。在課堂中展示交流大家的發(fā)現(xiàn)，并嘗試設(shè)計出一些軸對稱圖形。[說明]
      這個活動可以鼓勵學生主動觀察，設(shè)法收集（如可以使用數(shù)碼相機或現(xiàn)場素描等）。學生可以結(jié)合自己的生活環(huán)境發(fā)現(xiàn)、找到他們熟悉的圖形對象中隱藏的對稱軸，并在交流過程中豐富自己的經(jīng)驗，如下面的圖7：
      圖7 在交流大家收集到的圖形的基礎(chǔ)上，教師進一步鼓勵學生自己設(shè)計軸對稱圖形，并交流自己圖形所表達的意思。
      例23  上學時間。讓學生記錄自己在一個星期內(nèi)每天上學途中所需要的時間，并從這些數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)有用的信息。[說明]
      這個活動適用于二、三年級，有利于培養(yǎng)學生的數(shù)據(jù)分析意識：知道在現(xiàn)實生活中，有許多問題可以先調(diào)查數(shù)據(jù)，通過對數(shù)據(jù)的分析得到結(jié)論；如果把記錄時間精確到分，可能學生每天上學途中需要的時間是不一樣的，可以讓學生感悟數(shù)據(jù)的隨機性；更進一步，讓學生感悟雖然數(shù)據(jù)是隨機的，但數(shù)據(jù)較多時具有某種穩(wěn)定性，可以從中得到很多信息。教學中可以作如下設(shè)計：
      （1）指導(dǎo)學生如何測量時間和作記錄，啟發(fā)學生先設(shè)計調(diào)查方案。例如，事先調(diào)整家里鐘表的時間，使其和學校鐘表的時間保持一致；在調(diào)查期間需要保證每天上學途中的行為盡量一致；作為參照，也可記錄放學回家的時間；等等。在此過程中，培養(yǎng)學生認真做事的習慣。（2）組織學生展示數(shù)據(jù)，鼓勵學生從中發(fā)現(xiàn)信息。學生得到的信息可以是多方面的：雖然每天上學途中需要的時間可能是不一樣的，但通過一個星期的調(diào)查可以知道“大概”需要多少時間；可以知道上學途中所需要的最長時間和最短時間等。
      （3）組織學生進行交流，比較自己與他人的調(diào)查結(jié)果，從而獲得更多信息：大多數(shù)同學上學途中所需要的時間，同學中最長的和最短的時間；可以將時間分段，統(tǒng)計每個時間段的學生人數(shù)，得到表格或者統(tǒng)計圖。在此過程中，鼓勵學生體會分析調(diào)查結(jié)果及得到結(jié)論的樂趣。
      第二學段（4~6年級）
      數(shù)與代數(shù)
      例24
      如果一個人的壽命是76歲，這個人一生的心跳大約有多少次？光速大約每秒30萬千米，光從太陽到達地球大約需要多長時間？如果把100萬張紙疊加起來，會有珠穆朗瑪峰那么高嗎？ [說明]
      參見例3。在計算的過程中，要合理利用數(shù)的單位和度量單位來減少位數(shù)。有些問題需要學生自己查找資料，如太陽到地球的距離、珠穆朗瑪峰的海拔高度，這樣的查找資料活動有利于學生養(yǎng)成調(diào)查研究的習慣。
      例25
      某學校為學生編號，設(shè)定末尾用1表示男生，用2表示女生，例如，200903321表示“2009年入學的三班的32號同學，該同學是男生”。那么，201004302表示什么？ [說明]
      這個例子可以啟發(fā)學生思考，編號提供給我們一些什么信息，比如，一個年級最多有多少個班，一個班最多有多少名學生?？梢砸龑?dǎo)學生設(shè)計本學校的學生編號方案。還可以啟發(fā)學生通過觀察學生證的編號估計學校的學生數(shù)。
      例26  說明，0.25和25%的含義。
      [說明] 分數(shù)、小數(shù)和百分數(shù)都是有理數(shù)的常用表示方法，但含義是有所不同的。真分數(shù)通常表示部分與整體的關(guān)系，如全班同學的
      ；小數(shù)通常表示具體的數(shù)量，如一只鉛筆0.25元；百分數(shù)是同分母（統(tǒng)一標準）的比值，便于比較，如去年增長21%、今年增長25%。希望學生能夠理解它們的含義，在生活中能夠合理使用。
      例27
      李阿姨在商店挑選了兩袋米、一塊牛肉、一些蔬菜和魚，營業(yè)員告訴她：每袋米35.4元，一塊牛肉14.8元，蔬菜和魚的價格分別為6.7元和12.8元。李阿姨帶了100元，夠付款嗎？ [說明]目的是選擇合適的方法進行估算。針對這個問題，進行整數(shù)運算已經(jīng)超過100元了，所以100元不夠。
      例28
      9.9×6.9比70小吧？ + 比1大嗎？
      [說明] 與例6一樣，應(yīng)當讓學生清楚“湊整計算”是估算的一個重要方法，比如，可以把9.9×6.9湊整成10×7，估算結(jié)果比70??； 比 大，所以 + 比1大。
      例29  利用計算器計算15×15，25×25，?，95×95，并探索規(guī)律。
      [說明] 目的是運用計算器進行計算，從中發(fā)現(xiàn)一些有趣的規(guī)律。學生可以通過觀察結(jié)果與乘數(shù)的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。例如 15×15=225=1×2×100+25，25×25=625=2×3×100+25，35×35=1225=3×4×100+25，等等。這個規(guī)律在實際運算中也是有用的。
      例30  彩帶每米售價3.2元，購買2米，3米，?，10米彩帶分別需要多少錢？在方格紙上把與數(shù)對（長度，價錢）相對應(yīng)的點描出，并且回答下列問題：（1）所描的點是否在一條直線上？
      （2）估計一下買1.5米的彩帶大約要花多少元？
      （3）小剛買的彩帶長度是小紅的3倍，他所花的錢是小紅的幾倍？
      [說明]希望學生感受成正比例關(guān)系的一組數(shù)對所對應(yīng)的點在一條直線上，并且能夠借助圖形進行數(shù)據(jù)的估計。
      教學中引導(dǎo)學生在描點之前，先建立下面的表格，有利于直觀地理解正比例關(guān)系，并為描點作準備。
      長度/米01234567?
      價錢/元03.26.49.612.81619.222.4?
      例31  聯(lián)歡會上，小明按照3個紅氣球、2個黃氣球、1個綠氣球的順序把氣球串起來裝飾教室。你知道第16個氣球是什么顏色嗎？ [說明] 希望學生能夠通過所給條件，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進一步了解規(guī)律可以借助各種符號表示（參見例9）。
      在解決這個問題時，學生可以有多種方法。例如，用A表示紅氣球，B表示黃氣球，C表示綠氣球，則按照題意氣球的排列順序可以寫成AAABBCAAABBC…
      從中找出第16個字母，由此推出第16個氣球的顏色。
      例32  一個房間里有四條腿的椅子和三條腿的凳子共16個，如果椅子腿數(shù)和凳子腿數(shù)加起來共有60個，那么有幾個椅子和幾個凳子？
      [說明] 可以引導(dǎo)學生運用嘗試的辦法探索規(guī)律，得出結(jié)果，使學生感受這是數(shù)學探索的一種有效途徑。比如，可以有規(guī)律地給出下面的計算過程： 椅子數(shù)
      凳子數(shù)
      腿的總數(shù)
      0
      4×16=64
      4×15+3×1=63
      4×14+3×2=62 繼續(xù)計算下去，可以得到椅子數(shù)12，凳子數(shù)4時，腿數(shù)恰好為60。通過上表可以啟發(fā)學生思考：每減少一個椅子就要增加一個凳子，腿的總數(shù)就要減少4-3=1。腿的總數(shù)為60時，需要減少的椅子數(shù)是64-60=4，于是椅子數(shù)是16-4=12，凳子數(shù)是0+4=4。最后驗證一下：12×4+3×4=60，是正確的。當然，也可以從凳子數(shù)的變化思考：每減少一個凳子就要增加一個椅子，腿的總數(shù)就要增加4-3=1。對于學有余力的學生，教師可以鼓勵他們進一步用字母代替椅子數(shù)與凳子數(shù)，得到計算腿的總數(shù)的模型。
      圖形與幾何
      例33  觀察下圖：
      圖8
      請指出從前面、右面、上面看到的相應(yīng)圖形：
      （）
      （）
      （）
      圖9 [說明] 可以為學生提供實物，讓學生進行實際觀察。觀察之前也可以先說一說自己的想法，再實際驗證。
      例34  圖10中每個小方格為1個平方單位，試估計曲線所圍部分的面積。
      圖10 [說明]
      要幫助學生養(yǎng)成事先做好規(guī)劃的習慣，可以根據(jù)要估計的精確程度來確定估計方案，例如，粗略估計的方案可以為小方格里有圖形就記為1，無圖形就記為0，然后相加求和；精細估計的方案可以為小方格的圖形，大于一半的記為1，小于一半的記為0，然后相加求和；也可以分得更細。讓學生通過記錄、計算、比較等，體會估計的意義和方法。
      例35  測量一個土豆的體積。[說明]
      對于不規(guī)則物體的體積的測量問題，可以轉(zhuǎn)化為等體積的規(guī)則物體來測量。例如，準備一個有刻度的容器，先注入一些水，然后把土豆放入水中，觀察水面高度上升的情況。類似，可以利用學生熟悉的曹沖稱象的故事，讓學生體會如何測量不規(guī)則物體的體積。
      例36  圖畫還原。
      打亂由幾塊積木或者幾幅圖畫構(gòu)成的平面畫面，請學生還原并利用平移和旋轉(zhuǎn)記錄還原步驟。
      圖11 [說明]通過實際操作進一步理解平移和旋轉(zhuǎn)，不僅能增加問題的趣味性，還可以讓學生感悟幾何運動也是可以記錄的，體驗選取最佳方案的過程。教學設(shè)計時，可關(guān)注如下要點：
      （1）完成還原積木的任務(wù)一定要從簡單到復(fù)雜，如圖，先打亂四塊積木中的下面兩塊，讓學生嘗試思考的過程。學生有了一定經(jīng)驗后，可以打亂三塊或四塊積木，讓學生繼續(xù)嘗試。（2）可以分小組進行。為了記錄準確，事先要確定每一個步驟的代表符號。（3）小組活動時，可以先討論，確定一個大概的還原路線，然后操作驗證。（4）小組成員共同操作，進行比較，驗證確定的路線。
      例37  描述從學校到家的路線示意圖，并注明方向及途中的主要參照物。
      [說明] 學生可以用語言描述路線，為了交流的方便，學生也可以借助實物模擬路線。教師還可以進一步鼓勵學生畫出路線的簡單示意圖，并在圖中標明方向及主要參照物。
      例38  小青坐在教室的第3行第4列，請用數(shù)對表示，并在方格紙上描出來。在同樣的規(guī)則下，小明坐在教室的第1行第3列應(yīng)當怎樣表示？ [說明]
      需要先在方格紙上標明正整數(shù)刻度，希望學生能夠把握數(shù)對與方格紙上點（行列或者列行）的對應(yīng)關(guān)系，并且知道不同的數(shù)對之間可以進行比較。這個過程有利于學生將來直觀理解直角坐標系。
      統(tǒng)計與概率
      例39  對全班同學的身高的數(shù)據(jù)進行整理和分析。[說明]
      在例20中，已經(jīng)引導(dǎo)學生對全班同學的身高的數(shù)據(jù)進行初步分析。在這個學段中，要求學生結(jié)合以前積累的身高數(shù)據(jù)（參見例20的說明），進行進一步的整理，然后進行分析。整理的目的是為了便于分析，例如，條形統(tǒng)計圖有利于直觀了解不同高度段的學生數(shù)及其差異；扇形統(tǒng)計圖有利于直觀了解不同高度段的學生占全班學生的比例及其差異；折線統(tǒng)計圖有利于直觀了解幾年來學生身高變化的情況，預(yù)測未來身高變化趨勢。學生還可以討論用什么數(shù)據(jù)來代表全班同學的身高，自己的身高在全班的什么位置。教學設(shè)計時，可以關(guān)注如下要點：
      （1）組織學生討論并明確做統(tǒng)計圖的基本標準。如果學生意見不一致，可以根據(jù)意見的不同把學生分組，各自畫出統(tǒng)計圖后進行比較。
      （2）可以把幾年來全班同學平均身高的數(shù)據(jù)畫出折線統(tǒng)計圖，讓學生與自己身高數(shù)據(jù)的折線圖進行分析比較。還可以對男女生的身高數(shù)據(jù)進行分析和比較。
      （3）組織學生討論用什么數(shù)據(jù)來代表全班同學的身高，自己的身高在全班的什么位置。學生可以用平均身高作為代表，用自己的身高與平均身高進行比較；可以用出現(xiàn)人數(shù)最多的高度段作為代表（“眾數(shù)”的意義），用自己的身高與其相比；學生也可能用班級中等水平學生的身高作為代表（“中位數(shù)”的意義），用自己的身高與其相比。學生只要能說出自己的理由就可以，但不需要出現(xiàn)“眾數(shù)”“中位數(shù)”的名詞。
      （4）雖然數(shù)據(jù)整理和分析的方法可以有所不同，但要求分析的結(jié)論清晰，能夠更好地反映實際背景。
      例40  閱讀在報紙或者雜志上發(fā)表的有統(tǒng)計圖的文章，用自己的語言說明統(tǒng)計圖所表達的意思。
      [說明] 在實際背景中體會統(tǒng)計圖的作用，可以增強趣味性，加深對統(tǒng)計圖及其所表示的問題的理解。還可以培養(yǎng)學生調(diào)查研究的習慣。
      教學時，教師可以事先布置作業(yè)，也可以確定題目分小組查閱資料，小組討論后在課堂分小組交流。在此基礎(chǔ)上，再調(diào)查周邊的事情（如喜歡讀的書籍，喜歡聽的歌曲，等等），得到數(shù)據(jù)并作出統(tǒng)計圖進行分析。
      例41
      袋中裝有5個球，4個紅球和1個白球。只告訴學生袋中球的顏色為紅色和白色，不告訴他們紅球數(shù)目與白球數(shù)目，讓學生通過多次有放回的摸球，統(tǒng)計摸出紅球和白球的數(shù)量及各自所占比例，由此估計袋中紅球和白球數(shù)目的情況。[說明]
      借助學生感興趣的摸球游戲，使學生體會到數(shù)據(jù)的隨機性。一方面，每次摸出的球的顏色可能是不一樣的，事先無法確定；另一方面，有放回重復(fù)摸多次（摸完后將球放回袋中，搖晃均勻后再摸），就能發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律。根據(jù)學生的不同學段，可以設(shè)計如下層次：
      （1）適合于第二學段。通過摸球，學生發(fā)現(xiàn)每次摸出的球的顏色不確定，初步感受數(shù)據(jù)的隨機性。進一步通過統(tǒng)計摸出紅球和白球的數(shù)量，可以估計袋中是白球多還是紅球多。在不確定的基礎(chǔ)上，體會規(guī)律性。
      （2）適合于第三學段。在（1）的基礎(chǔ)上，學生可以估計袋中白球數(shù)量和紅球數(shù)量的比，進一步體會規(guī)律性。教師可以進一步鼓勵學生思考：給出了袋中兩種顏色球的總數(shù)，如何估計白球和紅球各自的數(shù)量。
      教學時，教師可以先鼓勵學生思考，在不打開袋子的前提下，如何估計袋中紅球和白球數(shù)量的情況，啟發(fā)學生想到可以通過摸球得到數(shù)據(jù)，由數(shù)據(jù)進行估計。然后，教師組織大家做摸球活動，在摸球的過程中提醒摸球的規(guī)則：有放回，盡可能搖勻，并指導(dǎo)學生記錄下每次摸到的顏色。為了保證試驗次數(shù)，全班可以分小組進行試驗，然后將所有小組的試驗數(shù)據(jù)匯總。通過統(tǒng)計和比較摸到的紅球和白球的數(shù)量，對袋中球的情況進行估計。實際上，如果袋中裝有4個紅球和1個白球，可以知道摸到紅球的概率為4/5（也就是8/10）。通過摸球的試驗，可以用紅球出現(xiàn)的頻率來估計概率，顯然，摸球的次數(shù)越多，估計的精度越高。一般情況下，摸球的次數(shù)與估計的精度之間的關(guān)系是什么呢？通過計算可以得到：保證有80%以上的可能使得“摸到紅球的頻率在7/10到9/10之間”，需要摸27次以上；保證有95%以上的可能使得“摸到紅球的頻率在7/10到9/10之間”，需要摸60次以上。教師不必會推導(dǎo)這個結(jié)論，但知道這個結(jié)論，可以使教師更好地理解運用數(shù)據(jù)進行估計的內(nèi)涵并進行有效操作，知道通過摸球的數(shù)據(jù)進行推測并不是毫無道理的“瞎碰”，而是有數(shù)學理論保證的。
      例42  將下面這些卡片混在一起，從中任意選取一張卡片，這張卡片可能是什么？
      圖12
      [說明]
      希望學生理解，因為是任意選取一張卡片，則每張卡片都可能被選取，但事先無法確定哪張卡片一定會被選取（是隨機的），每張卡片被選取的可能性是一樣大的（簡單事件）。如果學生能夠很好地理解，則可以進一步提問：這張卡片是船的可能性大呢？還是房子或者車的可能性大呢？可以讓學生進行實際操作。
      綜合與實踐
      例43  繪制學校平面圖。
      按照確定的比例和方位，繪制校園的平面圖，包括圍墻、主要建筑、主要活動場所、道路等等。[說明]
      本活動適用于五、六年級，目的是通過實際操作，讓學生更好地理解位置、方向和比例等基礎(chǔ)知識，掌握測量的方法。因為整個操作比較復(fù)雜，建議采用小組活動的形式，這樣做既有利于培養(yǎng)學生統(tǒng)籌規(guī)劃的實踐能力，也有利于學生體驗團結(jié)協(xié)作、獲得成功的快樂。教學設(shè)計時，可以關(guān)注如下要點：
      （1）選擇測量工具。最簡單的測量工具是指南針和皮尺（也可用步長近似測量）。
      （2）在教師的指導(dǎo)下，各小組討論并形成基本測量方案，組內(nèi)分工。小組完成實際測量后，繪制校園平面圖。
      （3）交流。各小組展示本組繪制的校園平面圖，交流繪制的方法和過程（可以用壁報、幻燈等形式）。
      例44  旅游計劃。
      某人計劃用5天的時間外出旅游，所需費用大概是多少？ [說明]
      適用于本學段的各個年級，要求可以不同。關(guān)于目的地和時間，教師可以根據(jù)實際情況提出。這個問題需要學生自己調(diào)查研究，認真制定計劃，根據(jù)計劃計算費用。因此，這是一個靈活的開放題。為了便于調(diào)整計劃，可以先考慮幾種方案，然后比較篩選，也可以分小組活動，分工調(diào)查、集體討論后制定一個統(tǒng)一的計劃。
      在學生報告結(jié)果時，教師應(yīng)要求學生能對自己和別人的方案進行評價。
      例45 象征性長跑。
      為了迎接奧運的召開，某小學決定組織“迎接圣火、跑向北京”的象征性長跑活動，學校向同學們征集活動方案，請你參與設(shè)計，其中要解決的問題有：（1）調(diào)查你所在的學校到北京天安門的距離約有多少千米？（2）如果一個人每天跑一個“馬拉松”，要幾天能完成這項長跑？
      （3）如果全班用接力方式開展這項活動，請你設(shè)計一個合理的活動方案。（4）全班交流、展出同學們的不同方案，說明各個方案的特點，同學之間評價方案的優(yōu)缺點，推薦本班的最佳活動方案。[說明]
      適用于本學段的各個年級，要求可以不同，可以分小組活動，分工調(diào)查關(guān)鍵數(shù)據(jù)（如調(diào)查學校到北京的距離，如果是北京的學校就要改變長跑的目的地，比如可以把目的地改為延安）、學生分組集體討論后，可以制定一個計劃，自主提出適合自己班級特點的“長跑方案”，比如，可以給男、女生提出不同的日跑量，提出哪一天跑到“中途某一個城市”，等等。因此，這是一個靈活的開放題。教師可以組織學生交流不同方案，同學之間評價不同方案的優(yōu)缺點，推薦本班的最佳活動方案，豐富學生的活動體驗。
      例46  空間想象與分類計數(shù)。
      將邊長分別為3和4的正方體的表面刷上紅色的漆，再將它分割成邊長為1的小正方體。探求滿足下面條件的小正方體的數(shù)量規(guī)律。
      圖13
      （1）一面、兩面、三面有紅顏色的小正方體各有多少個？
      （2）將正方體的邊長改為5，表面刷上紅色的漆，再將它分割成邊長為1的小正方體，一面、兩面、三面有紅顏色的小正方體各有多少個？（3）將正方體的邊長改為6，結(jié)果如何？
      （4）分析上面三個問題的求解過程，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？
      [說明]
      本活動可以培養(yǎng)學生空間想象力，幫助學生積累由特殊到一般、尋找規(guī)律的數(shù)學經(jīng)驗。在逐漸深入的探討過程中，要引導(dǎo)學生把握問題的共性，從而得到一般性的結(jié)論。在活動的過程中，教師應(yīng)鼓勵學生由特例提出新問題，推動思考的深入，并歸納一般規(guī)律。鼓勵學生用自己的語言和數(shù)學語言正確地表達他們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。
      第三學段（7~9年級）
      數(shù)與代數(shù)
      例47  災(zāi)害應(yīng)對預(yù)案。
      一次水災(zāi)中，大約有20萬人的生活受到影響。如果災(zāi)情持續(xù)一個月，大約需要籌集多少頂帳篷？多少噸糧食？ [說明] 解決此問題需要在一定的假設(shè)條件下，進行有理數(shù)的運算，最后給出估計。
      例如，假定一頂帳篷可以住10個人，需要2萬頂；假如要保證一個家庭住一頂帳篷，每個家庭4口人，需要5萬頂。假定平均每人每天需要0.4千克糧食，可以估計出每天需要的糧食數(shù)，10天需要的和一個月需要的糧食數(shù)。
      例48  估計 與0.5比哪個大？與1.0比呢？
      例49 計算：（1）；（2）+。
      [說明] 運用二次根式的加、減、乘、除運算法則進行二次根式的四則運算，根號下僅限于數(shù)，不要求進行根號下含字母的二次根式的四則運算，如，2 + 等。
      例50  結(jié)合實例解釋3a。
      [說明] 希望學生理解用字母表示的代數(shù)式是有一般意義的。a可以表示數(shù)量，例如葡萄的價格是每千克3元，則3a
      表示買a千克的金額；a可以表示長度，例如，一個等邊三角形邊長為a，則3a表示這個三角形的周長，等等。
      例51  利用公式證明例29所顯示的運算規(guī)律。
      [說明]在第二學段的學習中已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了如下的運算規(guī)律： 15×15=1×2×100+25=225，25×25=2×3×100+25=625，35×35=3×4×100+25=1225。
      觀察后，我們猜測：如果用字母a代表一個正整數(shù)，則有如下規(guī)律：
      (a×10+5)2= a(a+1)×100+25。
      但這樣的猜測是正確的嗎？需要給出證明：。這是一個由具體數(shù)值計算到符號公式表達的過程，即由特殊到一般的過程?？梢宰寣W生感悟，有些問題是可以通過一般性的證明來驗證自己所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，感悟數(shù)學的嚴謹性，增加學習數(shù)學的興趣。
      例52 在一個房間里有四條腿的椅子和三條腿的凳子共16個，如果椅子腿和凳子腿數(shù)加起來共有60個，有幾個椅子和幾個凳子？
      [說明]這個問題與例32是相同的。事實上，這個問題可以用三種方法建立模型。在第二學段討論過的方法是基于四則運算，還可以用一元一次方程的方法或二元一次方程組的方法解決。啟發(fā)學生從不同的角度思考同一個問題，有利于學生進行比較，加深對于模型的理解。利用一元一次方程解決此問題時，可以引導(dǎo)學生通過具體列表的方式找出規(guī)律、建立方程，這樣利于學生理解方程的意義，體會建模的過程。假設(shè)椅子數(shù)為a，則凳子數(shù)為16-a，把例32中的表移過來并用字母代替： 椅子數(shù)
      凳子數(shù)
      腿的總數(shù)
      a =16
      16-a =0
      4a+3(16-a)=64
      a =15
      16-a =1
      4a+3(16-a)=63
      a =14
      16-a =2
      4a+3(16-a)=62 這樣，合題意的方程為4a+3(16-a)=60，可以通過嘗試的方法，解得a=12，也可以解方程求解。
      對于二元一次方程組，則可以直接列方程。假設(shè)椅子數(shù)為a，凳子數(shù)為b，可以得到兩個方程a+b=16和4a+3b=60，用代入法得到4a+3(16-a)=60，求解得到a=12和b=4。
      從上面的討論可以看到，用四則運算方法，思考最困難，但是結(jié)果最直接；用二元一次方程組的方法，思考最簡潔，但是計算較繁瑣。
      在教學過程中，可以結(jié)合具體的教學內(nèi)容使用這個例子，最后進行比較，啟發(fā)學生思考。
      例53 估計方程 的解。[說明]
      估計方程的解，不僅僅在于求解，也有利于學生直觀地探究方程的性質(zhì)，初步感悟，通過代入數(shù)值進行計算也是求方程解的有效途徑。一般來說，如果把一個數(shù)代入方程左邊得到的值為負，把另一個數(shù)代入得到的值為正，則在這兩個數(shù)之間可能有方程的解。根據(jù)這個原理，用二分法可以估計方程的解。
      分析這個一元二次方程，當x的絕對值較大時，方程的左邊必然為正，如-5和3；當x的絕對值較小時，方程的左邊必然為負，如2。那么，在-5和2之間，以及在2和3之間方程可能有解。進一步，用同樣的道理可以將解的范圍縮小，使我們估計的解盡可能精確，如選-5和2的中間值-1.5代入方程的左邊進行計算，如果得到的值為正，則在-1.5和2之間有解，否則在-5和-1.5之間有解?？梢越柚嬎闫鱽硗瓿缮鲜龅挠嬎氵^程。
      進一步，教師引導(dǎo)學生用公式法解出方程的解，然后借助計算器求解的近似值，并將得出的近似值與前面的估計值進行比較。
      例54 小麗去文具店買鉛筆和橡皮。鉛筆每支0.5元，橡皮每塊0.4元。小麗帶了2元錢，能買幾支鉛筆、幾塊橡皮？
      [說明] 對于初中的學生，這個問題是生活常識，但希望學生能通過這個例子學會用數(shù)學的思維方式看待生活中的問題。
      這是一個求整數(shù)解的不等式問題，并且問題是開放的，通過列表具體計算，有助于學生直觀理解不等式。
      假設(shè)買a支鉛筆，b塊橡皮，可以得到不等式
      0.5a + 0.4b 2。
      當a = 1時，計算得到b = 3.75，則 b = 3。這樣計算，可以建立下面的表格：
      a
      0
      b
      0
      金額
      1.7
      1.8
      1.9
      0 根據(jù)上面的表格，小麗可以選擇適當?shù)馁徺I方案。
      例55
      小明的父母出去散步，從家走了20分到一個離家900米的報亭，母親隨即按原速返回。父親在報亭看了10分報紙后，用15分返回家。下面的圖形中哪一個表示父親離家后的時間與距離之間的關(guān)系？哪一個圖形是表示母親的行走過程？
      圖14
      例56  某書定價8元。如果一次購買10本以上，超過10本部分打八折。分析并表示購書數(shù)量與付款金額之間的函數(shù)關(guān)系。
      [說明] 這是一個分段函數(shù)，函數(shù)的三種表示法均適用于這個例子。一般來說，列表法適用于變量取值是離散的情況；分段函數(shù)應(yīng)當畫圖，并且關(guān)注分段點處函數(shù)的變化情況?？梢苑纸M討論三種方法，然后讓學生分析比較。
      例57
      甲乙兩地相距20千米。小明上午8：30騎自行車由甲地去乙地，平均車速為8千米/時；小麗上午10：00坐公共汽車也由甲地去乙地，平均車速為40千米/時。分別表示兩個人所用時間與距離的函數(shù)關(guān)系，并回答誰先到達乙地。
      [說明] 問題的要點是同時分析兩個函數(shù)關(guān)系?？梢詥l(fā)學生用各種方法來解答第二個問題，在分析、總結(jié)學生的解答時，可以把兩個函數(shù)的圖像放在一起進行直觀比較。
      例58 溫度的計量。
      世界上大部分國家都使用攝氏（oC），但美、英等國的天氣預(yù)報仍然使用華氏（oF）。兩種計量之間有如下對應(yīng)：
      oC01020304050
      oF32506886104122
      （1）在平面直角坐標系中描述相應(yīng)的點，觀察這些點是否在一條直線上。（2）如果兩種計量之間的關(guān)系是一次函數(shù)，請給出該一次函數(shù)表達式。（3）求出華氏0度時攝氏是多少度。
      （4）華氏溫度的值與對應(yīng)的攝氏溫度的值有相等的可能嗎？ [說明]
      在表中，兩個變量對應(yīng)數(shù)值的差之比是一個常數(shù)，所以兩個變量之間是一次函數(shù)關(guān)系。攝氏從0度開始，設(shè)為橫坐標方便。但在求華氏0度對應(yīng)的攝氏溫度時，需要通過函數(shù)值來反求自變量的值。在平面直角坐標系中，該一次函數(shù)的圖像與直線y = x的交點處的值就是華氏溫度的值與攝氏溫度的值相等時的值。
      圖形與幾何
      例59  從一個側(cè)面為正方形的長方體實物中抽象出長方體、長方形、正方形、線段和頂點。[說明] 學生在日常生活中見到的物體都是立體的，而在紙上畫出的圖形都是平面的，這是一類很重要的抽象。特別是把物體表面分解，有利于培養(yǎng)學生的空間觀念。
      例60  證明：兩直線平行，則同位角相等。圖15
      [說明] 考慮到學生的實際情況，在教學過程中，給出下面證明方法的時間可以酌情處理。這個證明可以利用反證法完成，一方面使學生了解結(jié)論的證明，另一方面可以幫助學生了解反證法。如圖15所示，我們希望證明：如果AB∥CD，那么∠1＝∠2。假設(shè)∠1≠∠2，過點O作直線A′B′，使∠EOB′＝∠2。根據(jù)“兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么兩直線平行”這個基本事實，可得A′B′∥CD。這樣，過點O就有兩條直線AB，A′B′平行于CD，這與基本事實“過直線外一點有且僅有一條直線與這條直線平行”矛盾，說明∠1≠∠2的假設(shè)是不對的，于是有∠1＝∠2。
      例61  直觀闡述基本事實：兩組對應(yīng)邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等。
      [說明] 雖然基本事實是不需要證明的，但是啟發(fā)學生進行直觀分析、探索結(jié)論的合理性。
      圖16-1
      圖16-2 如圖16-1所示，一個三角形由六個元素構(gòu)成，即三條邊和三個角，因此，兩個三角形如果三條邊和三個角分別相等，則這兩個三角形全等。問題是，最少幾個元素就可以確定三角形從而構(gòu)成全等條件呢？
      觀察圖16-1中的△ABC，如果對圖中的邊BC“視而不見”，這樣，對∠B和∠C也就“視而不見”了（如圖16-2），此時△ABC的形狀和大小并不改變。這就是說，AB，AC兩條邊及它們的夾角確定了△ABC的形狀和大小，于是可以推斷，兩邊以及這兩邊的夾角可以確定一個三角形。因此，可以認同“兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等”這個基本事實。另外，也可以用圖形運動（疊合）的方法確認“兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等”這個結(jié)論。
      對于基本事實“兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等”的直觀分析可以借助下面的圖17-1和圖17-2。
      圖17-1
      圖17-2
      可以進一步引導(dǎo)學生思考，為什么“三個角分別相等的兩個三角形全等”不能成為基本事實。對于以上事實的認可，也可以從六個元素中的一個出發(fā)，即由少到多進行考慮，通過畫圖探索出需要幾個元素即可確定一個三角形。
      例62  根據(jù)性質(zhì)對平行四邊形、矩形、菱形、正方形分類 [說明]
      在第一和第二學段都討論過分類的問題，通過分類有助于學生把握問題本質(zhì)，了解研究對象的共性與差異。特別是對于幾何圖形分類，有利于培養(yǎng)幾何直觀性和思維的層次性。
      分類的關(guān)鍵在于確定分類的標準，在不同的標準下可能會有不同的分類結(jié)果。一般來說，分類標準可以由粗到細，即由一個特征發(fā)展到多個特征（參見例21）。針對本問題把圖形分為兩類（其中一類可以是空的，在具體教學過程中不出現(xiàn)空集的概念）的標準可以考慮為：對邊平行；對邊平行且有一個角為直角；對邊平行且四條邊相等；對邊平行、有一個角為直角、四條邊相等。還可以通過對角線建立分類標準，等等。在具體教學過程中，可以啟發(fā)學生想象，也可以做出實物讓學生操作。
      例63  探索并了解：過圓外一點所畫的圓的兩條切線的長相等。
      [說明] 通過探索和了解此結(jié)論的證明，幫助學生體驗發(fā)現(xiàn)結(jié)論到驗證結(jié)論的過程。教學中可以參考安排如下的過程：
      （1）發(fā)現(xiàn)結(jié)論。在透明紙上畫出如圖18-1的圖：設(shè)，是⊙ 的兩條切線，是切點。讓學生操作：沿直線
      將圖形對折，啟發(fā)學生思考，或者組織學生交流。學生可以發(fā)現(xiàn)：。這是通過實例發(fā)現(xiàn)圖形性質(zhì)的過程。啟發(fā)學生由特殊到一般，通過合情推理推測出切線長定理的結(jié)論。
      圖18-1
      圖18-2
      （2）證明結(jié)論的正確性。如圖18-2，連接 和。因為 和 是⊙ 的切線，所以，即
      △ 和△ 均為直角三角形。又因為 和，所以△ 和△ 全等。于是有。
      這是通過演繹推理證明圖形性質(zhì)的過程。由此可見，合情推理與演繹推理是相輔相成的兩種推理形式，都是研究圖形性質(zhì)的有效工具。上述證明過程沒有采用形式化的三段論，但有利于初學者把握證明的條理和說理的邏輯。
      例64 如果四邊形ABCD 和BEFC都是平行四邊形，則四邊形AEFD也是平行四邊形。某同學根據(jù)下述圖形對這個命題給出了證明。
      圖19
      證明：因為ABCD是平行四邊形 所以
      AD=BC
      ① AB=CD
      ②
      又因為BEFC也是平行四邊形
      所以
      BC=EF
      ③
      BE=CF
      ④
      由①③得
      AD=EF
      ⑤
      由②④得
      AB+BE=DC+CF  ⑥
      因為⑤⑥成立，所以四邊形AEFD是平行四邊形。
      他的考慮全面嗎？
      [說明] 引導(dǎo)學生判斷上述證明過程是否正確，希望學生通過錯誤的實例，感悟特殊和一般的關(guān)系。
      例65  下面圖20-2中的三個三角形是由圖20-1中的三角形經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱得到的，分別指出圖形運動的形式，并標出對應(yīng)的角。
      圖20-1
      圖20-2
      [說明] 把運動后的結(jié)果歸納在一起讓學生辨認，有利于學生理解三種圖形運動形式的不同之處，從而把握平移、旋轉(zhuǎn)和軸對稱的基本特征，體驗圖形運動是研究圖形的有力工具。
      例66  在直角坐標系中描出下列各點，將各組的點順次連接起來。觀察這個圖形，你覺得像什么？（1）（2，0），（4，0），（6，2），（6，6），（5，8），（4，6），（2，6），（1，8），（0，6），（0，2），（2，0）；（2）（1，3），（2，2），（4，2），（5，3）；（3）（1，4），（2，4），（2，5），（1，5），（1，4）；（4）（4，4），（5，4），（5，5），（4，5），（4，4）；（5）（3，3）。[說明]
      在第二學段已經(jīng)學習了利用方格紙畫直角坐標系，理解整數(shù)坐標與格子點的對應(yīng)關(guān)系（參見例38）。在本學段將學習一般的直角坐標系。利用直角坐標系可以把數(shù)與圖形有機地結(jié)合起來，有利于用代數(shù)方法研究幾何問題，也有利于借助圖形直觀地探索數(shù)量關(guān)系的規(guī)律性。這個問題可以進一步擴展：把家鄉(xiāng)的地圖放在直角坐標系的第一象限內(nèi)，然后等間隔地畫出與坐標軸平行的兩組平行線，一邊用數(shù)字表示，一邊用字母表示，然后讓學生尋找自己熟悉的地點，并用數(shù)字和字母表示出該點。讓學生理解，坐標的表示可以是多樣的，坐標的核心是對應(yīng)關(guān)系而不是具體表示形式。
      例67  如何用方向和距離描述下圖21中小紅家相對于學校的位置？反過來，學校相對于小紅家的位置怎樣描述呢？ 圖21
      統(tǒng)計與概率
      例68  設(shè)計調(diào)查方法。
      了解本年級的同學是否喜歡某電視劇。調(diào)查的結(jié)果適用于學校的全體同學嗎？適用于全地區(qū)的電視觀眾嗎？如果不適用，應(yīng)當如何改進調(diào)查方法？ [說明]
      對于許多問題，不可能、有時也不必要得到與問題有關(guān)的所有數(shù)據(jù)，只要得到一部分數(shù)據(jù)（樣本）就可以對于總體的情況進行估計。很顯然，如果得到的樣本能夠客觀地反映問題，則估計就會準確一些，否則估計就會差一些。因此，我們希望尋找一個好的抽取樣本的方法，使得樣本能夠客觀地反映問題。在本學段，主要學習簡單隨機抽樣方法，這是收集數(shù)據(jù)中通用的方法，在一般情況下，我們都假定樣本是通過隨機的方法得到的。因為同一個年級的學生差異不大，采用簡單隨機抽樣方法比較合適?？梢栽谏蠈W時在學校門口隨機問訊，也可以按學號隨機問訊。為了分析方便，需要把問題數(shù)字化，如喜歡這部電視劇的記為1，不喜歡的記為0。
      對于這樣的問題，問訊學生數(shù)不能少于20人，取40~50人比較合適，取更多的學生當然更好，但需要花費更多的精力。由此可見，一個好的抽樣方法不僅希望“精度高”還希望“花費少”。
      假設(shè)問訊的學生數(shù)為n,記錄數(shù)據(jù)的和為m（顯然，m為喜歡這部電視劇的人數(shù)），則調(diào)查結(jié)果說明，學生中喜歡這部電視劇的比例為。我們依此估計本年級的同學中喜歡這部電視劇的比例。
      用這個數(shù)據(jù)估計全地區(qū)的電視觀眾喜歡這部電視劇的比例是不合適的，因為學生、成年人、老年人喜歡的電視劇往往不同。為了對全地區(qū)的電視觀眾喜歡這部電視劇的情況進行估計，可以采用分層抽樣方法，比如依據(jù)年齡分層，需要知道各年齡段人口的比例，按照比例數(shù)分配樣本數(shù)，而在各個層內(nèi)則采取隨機抽樣；或者依據(jù)職業(yè)分層，等等。教師應(yīng)該了解分層抽樣，在本學段學生只需學習簡單隨機抽樣方法。
      例69  某個公司有15名工作人員，他們的月工資情況如下表。計算該公司的月工資的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)，并分別解釋結(jié)果的實際意義。
      職務(wù)經(jīng)理副經(jīng)理職員
      人數(shù)1212
      月工資/元50002000800
      [說明]
      平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)都是刻畫數(shù)據(jù)的集中趨勢的方法，因為方法不同，得到的結(jié)論也可能不同。很難說哪一種方法是對的，哪一種方法是錯的，我們只能說，能夠更客觀地反映實際背景的方法要更好一些。在這組數(shù)據(jù)中有差異較大的數(shù)據(jù)，這會導(dǎo)致平均數(shù)較大，因此，用中位數(shù)或眾數(shù)要比用平均數(shù)更客觀一些。
      不難計算出該公司月工資的中位數(shù)和眾數(shù)均為800元。而 月工資的平均數(shù)= 加權(quán)平均（可以看成是加權(quán)平均）
      = 5000× +2000× +800× = 1240（元）。
      因此，加權(quán)平均往往就是總體平均，其中的權(quán)是數(shù)據(jù)對應(yīng)的比例。
      例70  如果還有一個公司也有15名工作人員，他們的月工資情況如下表。參照例69，比較兩個公司的月工資狀況。
      職務(wù)經(jīng)理副經(jīng)理職員
      人數(shù)1212
      月工資/元300018001000
      [說明]容易計算，這個公司的月平均工資也是1240元。但是兩個公司月工資的方差相差很大，通過計算可以得到：例69中數(shù)據(jù)的方差為1174400，本例中數(shù)據(jù)的方差為294400，兩個方差相差4倍?？梢宰寣W生知道，進一步學習“統(tǒng)計與概率”，將會得到“兩個方差有非常顯著的差異”的結(jié)論。
      例71 比較自己班級與別的班級同學的身高狀況。
      [說明]對于兩個班級學生身高狀況比較，通?？梢酝ㄟ^平均值來判斷，但有時候僅僅通過平均數(shù)是不夠的，如果一個班同學之間身高差異很大，而另一個班同學之間身高差異很小，即使前一個班的平均高一些，也不能說這個班的整體狀況很好。因此，在判斷身高狀況時，不僅要看平均值，還需要參考方差。
      進一步，可以引導(dǎo)學生逐漸深入地進行數(shù)據(jù)分析，可以要求學生把身高分段，畫出頻數(shù)直方圖，并引導(dǎo)學生討論，通過直方圖是否能得到更多的信息。
      例72  下表給出了我國1992~2004年國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）。在直角坐標系上描出坐標（年，GDP），并試用直線表示發(fā)展趨勢。1992~2004中國GDP變化表（億元）
      年份***5199619971998
      GDP******78345
      年份***220032004
      GDP8206789468973***390136876
      [說明]
      在現(xiàn)實生活中，有許多數(shù)據(jù)是與時間有關(guān)的，因此這些數(shù)據(jù)會呈現(xiàn)發(fā)展趨勢。學生應(yīng)當能夠理解報刊書籍中的這類數(shù)據(jù)的表達，包括表格、描點、折線圖、趨勢圖等，并且嘗試自己表達分析。
      對于上述數(shù)據(jù)，學生應(yīng)當會描點，雖然這時直角坐標系的度量單位與書本上教的是不一樣的，但是只要刻度之間的比例關(guān)系一致，表達就是合理的，讓學生感悟到：對于實際問題往往需要具體問題具體分析，而不能單純地套用書本上學到的知識。因為描點呈現(xiàn)線性增長趨勢，可以進一步引導(dǎo)學生利用直線來表示這種趨勢、預(yù)測未來經(jīng)濟發(fā)展，感悟變量的隨機性。
      圖22
      對于“用直線表示發(fā)展趨勢”的問題，原則上可以畫出很多條直線，教師可以引導(dǎo)學生思考和討論如何畫出合適的直線、如何制定“合適直線”的標準，并且告訴學生，在高中階段“統(tǒng)計與概率”的學習中將會解決這個問題，引發(fā)學生的學習興趣。
      這個例子可以舉一反三，不一定局限與時間有關(guān)的數(shù)據(jù)，比如，學生身高與體重的關(guān)系，同一種樹的樹葉長與寬的關(guān)系（參見例79）。也可以組織學生查閱資料，探究進出口總量與GDP的關(guān)系，人均收入與GDP的關(guān)系，等等。
      例73  將下面這些卡片混在一起，從中任意選取一張卡片，這張卡片是船的概率是多少？是車的呢？
      圖23
      [說明] 這是例42的繼續(xù)。學生已經(jīng)能夠理解：任意選取一張卡片，這張卡片是船的可能性比是車的可能性大，現(xiàn)在應(yīng)當明確地知道其概率分別是 和。
      這個例子可以舉一反三，如轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，當轉(zhuǎn)盤停止時指針指向某一特定部分的概率；一個袋子里有幾種顏色、數(shù)量不同的球，隨機摸出某種顏色球的概率，等等。
      例74  分析擲兩個骰子點數(shù)之和的可能性的大小。[說明]
      這個問題看起來很難，無從下手。事實上，這也是簡單事件的問題，利用例10的圖，可以得到結(jié)論：對應(yīng)的格子越多可能性越大。比如，點子之和為7的可能性最大，為2或者12  的可能性最小。
      綜合與實踐
      例75  直覺的誤導(dǎo)。
      有一張8 cm 8 cm的正方形的紙片，面積是64
      cm2。把這張紙片按圖24-1所示剪開，把剪出的4個小塊按圖24-2所示重新拼合，這樣就得到了一個長為13cm，寬為5cm的長方形，面積是65  cm2。這是可能的嗎？
      圖24-1
      圖24-2
      [說明]這是一個直覺與邏輯不符的例子，希望學生通過學習體會到：對于數(shù)學的結(jié)論，完全憑借直覺判斷是不行的，還需要通過演繹推理來驗證。
      一般來說，學生應(yīng)當是不會相信圖24-2中紙片的面積是65  cm2，但又無法說明為什么觀察的結(jié)果是錯誤的。進一步引導(dǎo)學生思考，如果觀察是錯誤的，那么錯誤可能出在哪里呢？學生通過邏輯思考，可以推斷只有一個可能：圖24-2中紙片所示圖形不是長方形，因此不能用長方形的面積計算公式來計算面積。然后，可以引導(dǎo)學生實際測量圖形左上角或者右下角，發(fā)現(xiàn)確實不像是直角。可以告訴學生，這個想法是正確的，但最好能夠給出證明，引導(dǎo)學生經(jīng)歷一個由合情推理到演繹推理的過程。在實際教學中可以引導(dǎo)學生先看圖、再讓學生分組將圖剪開，動手操作發(fā)現(xiàn)矛盾（64=65？）。然后，嘗試找出理由并嘗試證明，最后表達收獲。
      可以采用如下反證法證明，在證明過程中加深對相似圖形的理解。
      如圖25，過D做AC的垂線交AC于F。假定圖24-2中的圖形是長方形，那么圖形的右下角就應(yīng)當是直角，則在圖25中有∠1+∠3=90°。因為∠2+∠3=90°，則∠1=∠2。由相似三角形的判定定理，兩個直角三角形△ABC與△DEF相似。由相似三角形對應(yīng)邊成比例，應(yīng)當有：，這是不可能的，因此圖24-2中的圖形不可能是長方形。
      由于
      ，這個差是很小的，因此會造成我們視覺的誤差，把圖24-2中的圖形判斷為長方形。
      圖25
      教學中可以鼓勵學生運用不同的方法對此問題進行解釋。
      例76  從年歷中想到的。
      觀察幾個年份的年歷和月歷，思考下面幾個問題：
      （1）在同一年的月歷中，哪些月份的“月歷表”的排列是基本一致的？（2）有一種計算機病毒叫“黑色的星期五”，當計算機的日期是13日又是星期五時，這種病毒就發(fā)作。請找出最近的5個使“黑色的星期五”發(fā)作的年、月、日。（3）許多人都認為，“辦喜事”最好是“6月6日又是星期六”，可是有人說：“這樣的日子是千載難逢”，你同意這種說法嗎？你能找出幾個“6月6日又是星期六”的具體年份嗎？ [說明]
      這是一個通過對日常生活觀察、發(fā)現(xiàn)某些規(guī)律的開放性問題，可以根據(jù)學生的學習情況，提出不同層次的問題。每一個問題的設(shè)計，都是為了讓學生學會觀察、思考和質(zhì)疑，提高學生學習數(shù)學的興趣，體會模型思想。
      問題（1）是讓學生學會觀察、學會提問題。這個問題的入手點低，每個學生都能參與，都能有所發(fā)現(xiàn)。并且可以培養(yǎng)學生“分類討論”的意識，分平年和閏年：平年時，1，10月；2，3，11月；4，7月；9，12月的月歷表基本一致；閏年時，1，4，7月；2，8月；3，11月；9，12月的月歷表基本一致。引導(dǎo)學生在貌似雜亂無章中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，利用規(guī)律感悟周期現(xiàn)象。
      問題（2）中最近的幾個“黑色的星期五”是：2009年2月13日、2009年3月13日、2009年11月13日、2010年8月13日、2011年5月13日（隨著時間的推移，這個日期會發(fā)生變化）。解決問題的方式較多，可以利用對問題（1）發(fā)現(xiàn)的規(guī)律來思考。也可以充分利用信息工具，如從網(wǎng)上找一個“萬年歷”的小軟件用于觀察發(fā)現(xiàn)。
      問題（3）中最近的幾個“6月6日星期六”的日子有1992年、1998年、2009年、2015年、2020年，因此“千載難逢”的說法不對。更加理性的思考是：閏年的周期大體上是“4”，星期的周期是“7”，所以年歷的變化周期“大體上”不會超過4  7  =28。一旦找到了一個“6月6日星期六”的日子，如1992年，“大體上”可以猜測1992+28=2020（年）的6月6日也是星期六。也可以讓學生思考：為什么是“大體上”，例外發(fā)生的條件是什么？
      例77
      包裝盒中的數(shù)學。
      （1）讓學生分組收集一些商品的空包裝紙盒，請大家分別計算出它們的體積和表面積。（2）請學生將這些盒子拆開，看一看它們是怎樣裁剪和粘接出來的。（3）給一個矩形紙板（如A4紙大小），讓學生根據(jù)上面的發(fā)現(xiàn)，裁剪、折疊出一個無蓋長方體的盒子，并計算出它的體積。
      （4）同組同學之間比較結(jié)果，分析誰的體積比較大？分析怎樣能作一個體積更大（最大）的盒子？（只是實驗、比較，不要求證明）。
      （5）結(jié)合一種具體的待包裝物體(如5本書或2個茶杯)設(shè)計一個包裝盒，使這個盒子恰能包容它們，如有可能實際做出這個盒子。[說明]
      這是一個過程比較長的活動，可以引導(dǎo)學生體驗一個比較完整的問題解決過程。讓學生收集包裝盒、拆開觀察是一個很有益的過程，能很好地啟發(fā)學生如何尋求解決后面問題的思路。問題（5）是一個實際應(yīng)用，它的結(jié)果不唯一，可以交流展示學生的成果，請學生說明制作過程中的關(guān)鍵數(shù)據(jù)是如何得到的和裁剪方案是如何形成的。
      例78 看圖說故事。
      如圖26，設(shè)計兩個不同問題情境，使情境中出現(xiàn)的一對變量，滿足圖示的函數(shù)關(guān)系。結(jié)合圖像，講出這對變量的變化過程的實際意義。
      圖26 [說明] 通過這個活動，激發(fā)學生自己思考并構(gòu)造出滿足特定關(guān)系的函數(shù)實例，以加深對函數(shù)理解。
      學生可以設(shè)計多種情境，比如，把這個圖看成“小王跑步的s-t圖”，可以說出下面的故事：小王以常速度400米/分，跑了5分，在原地休息了6分，然后以常速度500米/分，跑回出發(fā)地。
      再比如：有一個容積為2升的開口空瓶子，小王以常速度0.4升/秒，向這個瓶子注水，灌了5秒后停水，等6秒后，然后以常速度0.5升/秒，倒空瓶中水。老師可以鼓勵學生，創(chuàng)設(shè)不同的符合函數(shù)關(guān)系和實際情況的情境。
      例79  利用樹葉的特征對樹木分類。
      （1）收集三種不同樹的樹葉，每種樹葉的數(shù)量相同，比如，每種樹選10片樹葉。（2）分類測量每種樹葉子的長和寬，列表記錄所得到的數(shù)據(jù)。（3）分別計算出樹葉子的長寬比，估計每種樹樹葉的長寬比。（4）驗證估計的結(jié)果。
      [說明] 我們可以抓住樹的某些特征對樹進行分類，本例是利用樹葉的數(shù)據(jù)特征來對樹進行分類。
      本活動適用本學段的各個年級，要求可以不同。學生先通過數(shù)據(jù)收集和分析知道一些樹的樹葉的長與寬的比；對于新采集到的樹葉，通過長與寬的比來判斷這個樹葉是屬于哪種樹。這一學習活動有利于培養(yǎng)學生的數(shù)據(jù)分析意識，體會有許多事情，通過數(shù)據(jù)分析可以抓住本質(zhì)。知道數(shù)據(jù)不僅僅是別人提供的，還可以自己收集；對于同一種樹，葉子長與寬的比也可能是不一樣的，進一步感受數(shù)據(jù)的隨機性；體會只要有足夠的數(shù)據(jù)，就能夠分析出一些規(guī)律性的結(jié)論。
      教學中可以作如下設(shè)計：
      （1）建議采用小組活動的形式，學生通過合作交流可以獲得較多的數(shù)據(jù)和信息。
      （2）為了使分析的結(jié)果更加明顯，最好選擇樹葉區(qū)別較大的三種（或者更多）樹、而每種樹選擇的樹葉的大小要接近，即區(qū)別要小一些。（3）“估計每種樹樹葉的長寬比”的方法可以是多樣的，比如，對于每種樹的10片樹葉都測量了長和寬以后，可以用10個比值的眾數(shù)，也可以用10個比值的中位數(shù)；還可以把長和寬各自相加后，取和的比值，這是10個比值的平均數(shù)（教師可以思考：為什么不用通常求平均數(shù)的方法計算比值的平均數(shù)）。針對這個問題，用平均數(shù)是比較合適的。
      （4）取一片新的樹葉，通過這片樹葉的長寬之比、參照（3）的估計結(jié)果，來判斷這片樹葉屬于哪種樹。學生會發(fā)現(xiàn)，即使是同一棵樹，葉子長與寬的比值恰好等于估計值的可能性也很小，這表現(xiàn)了數(shù)據(jù)的隨機性?？梢赃M一步啟發(fā)學生考慮一個合理的方案：只要比值大概等于估計值，就可以認為是同一種樹，也就是說，需要構(gòu)造一個以估計值為中心的數(shù)值區(qū)間，當新取的樹葉的長寬比值屬于這個區(qū)間時就認為屬于這個樹種。如何合理地構(gòu)造這個數(shù)值區(qū)
      第四篇：《義務(wù)教育數(shù)學課程標準(2011年版)》與原試驗稿之比較
      《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2011年版）》與原實驗稿之比較
      新修訂課標主要呈現(xiàn)以下九大變化：
      1.基本理念“三句”變“兩句”，“6條”改“5條”：
      “三句話”：
      ——人人學有價值的數(shù)學
      ——人人都能獲得必需的數(shù)學
      ——不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展
      “兩句話”：
      ——人人都能獲得良好的數(shù)學教育
      ——不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展
      （修訂后與過去的提法相比：有更深的意義和更廣的內(nèi)涵，落腳點是數(shù)學教育而不是數(shù)學內(nèi)容，有更強的時代精神和要求（公平的、優(yōu)質(zhì)的、均衡的、和諧的教育。）
      “6條”改“5條”：
      在結(jié)構(gòu)上由原來的6條改為5條，將原《標準》第2條關(guān)于對數(shù)學的認識整合到理念之前的文字之中，新增了對課程內(nèi)容的認識，此外，將“數(shù)學教學”與“數(shù)學學習”合并為數(shù)學“教學活動”。
      ——原課標：數(shù)學課程——數(shù)學——數(shù)學學習——數(shù)學教學——評價——信息技術(shù)
      ——修改后：數(shù)學課程——課程內(nèi)容——教學活動——學習評價——信息技術(shù)
      2.理念中新增加的提法：
      ——要處理好四個關(guān)系
      ——有效的教學活動是什么
      ——數(shù)學課程基本理念（兩句話）
      ——數(shù)學教學活動的本質(zhì)要求
      ——培養(yǎng)良好的數(shù)學學習習慣
      ——注重啟發(fā)式
      ——正確看待教師的主導(dǎo)作用
      ——處理好評價中的關(guān)系
      ——注意信息技術(shù)與課程內(nèi)容的整合 3.關(guān)于數(shù)學觀的修改：
      原課標：
      ——數(shù)學是人們對客觀世界定性把握和定量刻畫、逐漸抽象概括、形成方法和理論，并進行廣泛應(yīng)用的過程。
      ——數(shù)學作為一種普遍適用的技術(shù)，有助于人們收集、整理、描述信息，建立數(shù)學模型，進而解決問題，直接為社會創(chuàng)造價值。
      ——數(shù)學是人們生活、勞動和學習必不可少的工具，能夠幫助人們處理數(shù)據(jù)、進行計算、推理和證明，數(shù)學模型可以有效地描述自然現(xiàn)象和社會現(xiàn)象；數(shù)學為其他科學提供了語言、思想和方法，是一切重大技術(shù)發(fā)展的基礎(chǔ)；數(shù)學在提高人的推理能力、抽象能力、想像力和創(chuàng)造力等方面有著獨特的作用；數(shù)學是人類的一種文化，它的內(nèi)容、思想、方法和語言是現(xiàn)代文明的重要組成部分。
      課標修改稿：
      ——數(shù)學是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學。
      ——數(shù)學作為對于客觀現(xiàn)象抽象概括而逐漸形成的科學語言與工具??
      ——數(shù)學是人類文化的重要組成部分，數(shù)學素養(yǎng)是現(xiàn)代社會每一個公民應(yīng)該具備的基本素養(yǎng)?！l(fā)揮數(shù)學在培養(yǎng)人的理性思維和創(chuàng)新能力方面的不可替代的作用
      樹立正確的數(shù)學教學觀：教學活動是師生積極參與、交往互動、共同發(fā)展的過程。有效的教學活動是學生學與教師教的統(tǒng)一，學生是學習的主體，教師是學習的組織者、引導(dǎo)者與合作者。
      數(shù)學教學中最需要考慮的是什么？
      數(shù)學教學活動應(yīng)激發(fā)學生興趣，調(diào)動學生積極性，引發(fā)學生的數(shù)學思考，鼓勵學生的創(chuàng)造性思維；要注重培養(yǎng)學生良好的數(shù)學學習習慣，使學生掌握恰當?shù)臄?shù)學學習方法。
      4、“雙基”變“四基”。
      “雙基”：基礎(chǔ)知識、基本技能；
      “四基”：基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗
      “四基”與數(shù)學素養(yǎng)：
      ——掌握數(shù)學基礎(chǔ)知識
      ——訓練數(shù)學基本技能
      ——領(lǐng)悟數(shù)學基本思想
      ——積累數(shù)學基本活動經(jīng)驗
      《國家數(shù)學課程標準》制定組組長、東北師大校長史寧中教授提出了“數(shù)學教學的四基”，引起了數(shù)學教育界的廣泛關(guān)注。以前強調(diào)的雙基是指基礎(chǔ)知識、基本技能，雙基教學重視基礎(chǔ)知識、基本技能的傳授，講究精講多練，主張‘練中學’，相信‘熟能生巧’，追求基礎(chǔ)知識的記憶和掌握、基本技能的操演和熟練，以使學生獲得扎實的基礎(chǔ)知識、熟練的基本技能和較高的學科能力為其主要的教學目標?，F(xiàn)在提出的四基不但包括了基礎(chǔ)知識、基本技能、還增加了基本思想、基本活動經(jīng)驗。
      史寧中教授指出：“‘基本思想’主要是指演繹和歸納，這應(yīng)當是整個數(shù)學教學的主線，是最上位的思想?！标P(guān)于基本思想方法，四大育人功能：一是有利于完善學生的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)；二是可以提升學生的原來認知水平；三是可以發(fā)展學生的思維能力；四是有利于培養(yǎng)學生解決問題的能力。小學階段涉及到的數(shù)學思想方法包括分類、轉(zhuǎn)化、歸納、數(shù)形結(jié)合、數(shù)學建模、猜想、符號化、方程與函數(shù)、極限等數(shù)學思想方法。我們要了解這些數(shù)學思想方法的意義、在小學數(shù)學教學中的作用和價值以及應(yīng)用時的注意事項，認識到在教學中關(guān)注數(shù)學思想方法的重要性，在教學中滲透數(shù)學思想方法的必要性?！半p基”變“四基”，為數(shù)學教師提出了更高的要求，要求數(shù)學教師必須為兒童的學習和個人發(fā)展提供了最基本的數(shù)學基礎(chǔ)、數(shù)學準備和發(fā)展方向，促進兒童的健康成長，使人人獲得良好的數(shù)學素養(yǎng)，不同的人在數(shù)學得到不同的發(fā)展?！半p基”變“四基”，任重而道遠。
      常用的小學數(shù)學思想方法：對應(yīng)思想方法、假設(shè)思想方法、比較思想方法、符號化思想方法、類比思想方法、轉(zhuǎn)化思想方法、分類思想方法、集合思想方法、數(shù)形結(jié)合思想方法、統(tǒng)計思想方法、極限思想方法、代換思想方法、可逆思想方法、化歸思維方法、變中抓不變的思想方法、數(shù)學模型思想方法、整體思想方法等等。
      5、關(guān)于設(shè)計思路的修改：
      ——學段劃分保持不變；
      ——對課程目標動詞及水平要求的設(shè)計基本保持不變，增加了目標動詞的同義詞；
      ——對四個學習領(lǐng)域的名稱作適當調(diào)整；
      ——對學習內(nèi)容中的若干關(guān)鍵詞作適當調(diào)整對其意義作更明確的闡釋。
      6．四個領(lǐng)域名稱的變化：
      原課標：數(shù)與代數(shù)、空間與圖形、統(tǒng)計與概率、實踐與綜合應(yīng)用
      修改后：數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率、綜合與實踐
      （變“空間與圖形”為“圖形與幾何”，重提幾何直觀、推理能力、運算能力、邏輯思維能力，用詞更加規(guī)范，體現(xiàn)了課標的嚴肅；綜合與實踐，在《實驗稿》里它有三個名稱：第一學段是“實踐活動”，在第二學段是“綜合應(yīng)用”，在第三學段是“課題學習”，小學是 前兩個學段所以就叫做“實踐與綜合應(yīng)用”，《修訂稿》把三個學段都統(tǒng)一叫做：“綜合與實踐”，這樣比較規(guī)范、嚴謹。）
      7、主要的關(guān)鍵詞的變化：
      ——原課標：數(shù)感、符號感、空間觀念、統(tǒng)計觀念、應(yīng)用意識、推理能力
      ——修改后：數(shù)感、符號意識、運算能力、模型思想、空間觀念、幾何直觀、推理能力、數(shù)據(jù)分析觀念、應(yīng)用意識
      最近一次修改又加上了：創(chuàng)新意識。
      符號感為何改為符號意識？
      ——符號感（SymbolSense）
      ——原課標：
      “符號感”主要表現(xiàn)在：能從具體情境中抽象出數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，并用符號來表示；理解符號所代表的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律；會進行符號間的轉(zhuǎn)換；能選擇適當?shù)某绦蚝头椒ń鉀Q用符號所表達的問題?！?/p>
      ——修改稿：
      “符號意識”主要是指能夠理解并且運用符號表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律；知道使用符號可以進行一般性的運算和推理。建立符號意識有助于學生理解符號的使用是數(shù)學表達和進行數(shù)學思考的重要形式?！?/p>
      ——符號感與數(shù)感都用“感”，“感”的表述過多。符號感主要的不是潛意識、直覺。符號感最重要的內(nèi)涵是運用符號進行數(shù)學思考和表達，進行數(shù)學活動?！耙庾R”有兩個意思：第一，用符號可以進行運算，可以進行推理；第二，用符號進行的運算和推理得到的結(jié)果具有一般性。所以這是一個“意識”問題，而不是“感”的問題。數(shù)學的本質(zhì)是概念和符號，并通過概念和符號進行運算和推理。所以只能用“意識”。
      8、關(guān)于課程目標的修改：
      在總體目標中突出了“培養(yǎng)學生創(chuàng)新精神和實踐能力”的改革方向和目標價值取向。
      課程目標提法上的一些變化：
      ——明確了使學生獲得數(shù)學的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗（數(shù)學“四基）。
      ——提出了培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題能力（數(shù)學“四能”，“雙能”變“四能”）。
      ——目標具體從“知識技能”“數(shù)學思考”“問題解決”“情感態(tài)度”四個方面闡述。
      ——學段目標的表述方式有所改變
      9、關(guān)于內(nèi)容標準的修改
      結(jié)構(gòu)上的變化：
      數(shù)與代數(shù)的變化：（在內(nèi)容結(jié)構(gòu)上沒有變化。）
      第一學段:
      ① 增加“能進行簡單的整數(shù)四則混合運算（兩步）”
      ② 使一些目標的表述更加準確。例如將“能靈活運用不同的方法解決生活中的簡單問題，并能對結(jié)果的合理性進行判斷”，修改為“能運用數(shù)及數(shù)的運算解決生活中的簡單問題，并能對結(jié)果的實際意義作出解釋”。
      第二學段：
      ① 增加的內(nèi)容：
      ——增加“經(jīng)歷與他人交流各自算法的過程，并能表達自己的想法”。
      ——增加“了解公倍數(shù)和最小公倍數(shù)；了解公因數(shù)和最大公因數(shù)”。
      ——增加“在具體情境中，了解常見的數(shù)量關(guān)系：總價=單價×數(shù)量、路程=速度×時間，并能解決簡單的實際問題”。
      ——增加“結(jié)合簡單的實際情境，了解等量關(guān)系，并能用字母表示”。② 調(diào)整的內(nèi)容：
      ——將“理解等式的性質(zhì)”，改為“了解等式的性質(zhì)”
      ——將“會用等式的性質(zhì)解簡單的方程(如3x+2＝5，2x-x＝3)”，改為“能解簡單的方程(如3x+2＝5，2x-x＝3)”。
      ③ 使一些目標的表述更加準確和完整。例如將“會用方程表示簡單情境中的等量關(guān)系”，改為“能用方程表示簡單情境中的等量關(guān)系，了解方程的作用”。
      圖形與幾何的變化：
      第一學段
      ① 刪除的內(nèi)容
      ——刪除“能在方格紙上畫出一個簡單圖形沿水平方向、豎直方向平移后的圖形”，并將相關(guān)要求放在第二學段。
      ——刪除“能在方格紙上畫出簡單圖形的軸對稱圖形”，并將相關(guān)要求放在第二學段。
      ——刪除“會看簡單的路線圖”，相關(guān)要求放入第二學段。
      ——刪除“體會并認識千米、公頃”，相關(guān)要求放入第二學段。
      ② 降低要求
      對于“東北、西北、東南、西南”四個方向，不要求給定一個方向辨認其余方向，降低要求為知道這些方向。
      ③使一些目標的表述更加準確和完整。例如將“辨認從正面、側(cè)面、上面觀察到的簡單物體的形狀”改為“能根據(jù)具體事物、照片或直觀圖辨認從不同角度觀察到的簡單物體的形狀”。
      第二學段：
      ①刪掉“了解兩點確定一條直線和兩條相交直線確定一個點”。
      ②增加“知道扇形”。
      ③ 使一些目標的表述更加準確和完整。例如將“探索并掌握圓的周長公式”改為“通過操作，了解圓的周長與直徑的比為定值，掌握圓的周長公式”。
      統(tǒng)計內(nèi)容主要變化如下：
      ——第一學段與《標準》相比，最大的變化是鼓勵學生運用自己的方式（包括文字、圖畫、表格等）呈現(xiàn)整理數(shù)據(jù)的結(jié)果，不要求學生學習“正規(guī)”的統(tǒng)計圖（一格代表一個單位的條形統(tǒng)計圖）以及平均數(shù)（這些內(nèi)容放在了第二學段）。
      ——第二學段與《標準》相比，在統(tǒng)計量方面，只要求學生體會平均數(shù)的意義，不要求學生學習中位數(shù)、眾數(shù)（這些內(nèi)容放在了第三學段）。
      ——加強體會數(shù)據(jù)的隨機性。在以前的學習中，學生主要是依靠概率來體會隨機思想的，《標準（修改稿）》希望通過數(shù)據(jù)分析使學生體會隨機思想。
      概率內(nèi)容主要變化如下：
      ——第一學段、第二學段的要求降低。在第一學段，去掉了《標準》對此內(nèi)容的要求。第二學段，只要求學生體會隨機現(xiàn)象，并能對隨機現(xiàn)象發(fā)生的可能性大小做定性描述。
      ——明確指出所涉及的隨機現(xiàn)象都基于簡單隨機事件：所有可能發(fā)生的結(jié)果是有限的、每個結(jié)果發(fā)生的可能性是相同的。
      第一學段：
      ①鼓勵學生運用自己的方式（包括文字、圖畫、表格等）呈現(xiàn)整理數(shù)據(jù)的結(jié)果，刪除“象形統(tǒng)計圖、一格代表一個單位的條形統(tǒng)計圖”、“平均數(shù)”的內(nèi)容，相關(guān)要求放在了第二學段。
      ② 刪除“知道可以從報刊、雜志、電視等媒體中獲取數(shù)據(jù)信息”。
      ③ 刪除“不確定現(xiàn)象”部分，相關(guān)要求放在了第二學段。
      第二學段:
      ① 刪除“中位數(shù)”、“眾數(shù)”的內(nèi)容，相關(guān)要求放在了第三學段。② 刪除“體會數(shù)據(jù)可能產(chǎn)生的誤導(dǎo)”。
      ③ 降低了“可能性”部分的要求，只要求學生體會隨機現(xiàn)象，并能對隨機現(xiàn)象發(fā)生的可能性大小做定性描述，定量描述放入第三學段。
      加強體會數(shù)據(jù)的隨機性
      ——這是修改后的一個重要變化。
      原來，學生主要是依靠概率來體會隨機思想的，現(xiàn)在希望學生通過數(shù)據(jù)來體會隨機思想。
      ——這種變化從“數(shù)據(jù)分析觀念”核心詞的表述也可以看出。
      綜合與實踐的變化：
      ——統(tǒng)一了三個學段的名稱，進一步明確了其目地和內(nèi)涵。
      ——“綜合與實踐”是一類以問題為載體，學生主動參與的學習活動，是幫助學生積累數(shù)學活動經(jīng)驗、培養(yǎng)學生應(yīng)用意識與創(chuàng)新意識的重要途徑。
      ——針對問題的情景，學生綜合所學的知識和生活經(jīng)驗，獨立思考或與他人合作經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，分析問題和解決問題的全過程，感悟數(shù)學各部分內(nèi)容之間、數(shù)學與生活實際之間、數(shù)學與其他學科之間的聯(lián)系，加深對所教數(shù)學內(nèi)容的理解。
      ——《標準》增設(shè)“聯(lián)系與綜合”部分的目的是讓學生在各個知識領(lǐng)域的學習過程中，有意識地體會數(shù)學與他們的生活經(jīng)驗、現(xiàn)實社會和其他學科的聯(lián)系，以及數(shù)學在人類文明發(fā)展與進步過程中的作用；體會數(shù)學知識內(nèi)在的聯(lián)系。同時，采用過“綜合實踐活動”這種新的學習形式，通過學生的自主探索與合作交流，使他們獲得綜合運用數(shù)學知識和方法解決實際問題、探索數(shù)學規(guī)律的能力，逐步發(fā)展對數(shù)學的整體認識。
      ——新的數(shù)學課程新技術(shù)對數(shù)學課程提出了新的要求，指出了新技術(shù)包括數(shù)學課程的目的、數(shù)學學習的內(nèi)容以及教與學的方式等方面產(chǎn)生了巨大影響。因此，《標準》提出在第二學段引入計算器，并鼓勵把計算器和計算機作為研究、解決問題的強有力的工具。這樣可以免除學生做大量繁雜、重復(fù)的運算，從而在探索性、創(chuàng)造性的數(shù)學活動中投入更多的精力，解決更為廣泛的現(xiàn)實問題。
      ——在課程實施建議中強調(diào)，有條件的地區(qū)應(yīng)盡可能在教學過程中使用現(xiàn)代教育技術(shù)，增加數(shù)學課程的技術(shù)含量，充分利用現(xiàn)代教育技術(shù)在增加師生互動、形象化表示數(shù)學內(nèi)容、有效處理復(fù)雜的數(shù)學運算等方面的優(yōu)勢，去改進學生的數(shù)學學習方式、增進學生對數(shù)學的理解，最終提高數(shù)學教學的質(zhì)量。
      對綜合與實踐的理解-------實踐性﹑綜合性﹑探索性
      ——“綜合與實踐”應(yīng)當保證每個學期至少有一次，它可以在課堂上完成,，也可以在課外或課內(nèi)外相結(jié)合完成。
      ——“綜合與實踐”的核心是發(fā)現(xiàn)和提出問題，分析和解決問題，不同學段有不同的特點。
      第一學段
      內(nèi)容安排強調(diào)實踐性和趣味性。
      第二學段
      通過應(yīng)用、探索和反思，加深對所學知識的理解，通過探索、引發(fā)學生學習的興趣和培養(yǎng)思考的習慣，通過交流，發(fā)展理解他人、團結(jié)互助的合作精神。
      第五篇：《義務(wù)教育數(shù)學課程標準》學習體會
      《義務(wù)教育數(shù)學課程標準》學習體會
      教師：劉成蘭
      新學期,我認真學習了《義務(wù)教育數(shù)學課程標準》，通過學習, 我充分認識到義務(wù)教育階段的數(shù)學課程應(yīng)突出體現(xiàn)基礎(chǔ)性、普及性和發(fā)展性，使教學教育面向全體學生。既要加強學生的基礎(chǔ)性學習，又要提高學生的發(fā)展性學習和創(chuàng)造性學習。我們教師必須更新原有的教學觀念，改變原有的教學模式，不斷鉆研教材，學習新理念，新方法，全面了解自己的學生，切實地完成好教學任務(wù)，把自己的教育教學水平提高到一個新的層次，只有這樣才能適應(yīng)現(xiàn)代教學的需要。本人通過對新課程的學習，對如何讓學生學好數(shù)學有了進一步的認識。下面談一下自己的感受：
      一、數(shù)學觀的改變。
      《新課程標準（修訂稿）》，將數(shù)學觀更改為：數(shù)學是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學。數(shù)學作為對于客觀現(xiàn)象抽象概括而逐漸形成的科學語言與工具。數(shù)學是人類文化的重要組成部分，數(shù)學素養(yǎng)是現(xiàn)代社會每一個公民應(yīng)該具備的基本素養(yǎng)。新課標強調(diào)從學生已有的生活經(jīng)驗出發(fā)，讓學生在生動、具有現(xiàn)實的情境中去學習數(shù)學。作為一名數(shù)學教師，我們首先要改變自己的數(shù)學觀念，以適應(yīng)新時代的要求。
      二、關(guān)于數(shù)學課程。
      數(shù)學課程應(yīng)致力于實現(xiàn)義務(wù)教育階段的培養(yǎng)目標，體現(xiàn)基礎(chǔ)性、普及性和發(fā)展性。義務(wù)教育階段的數(shù)學課程要面向全體學生，適應(yīng)學生個性發(fā)展的需要，使得：人人都能獲得良好的數(shù)學教育，不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展。
      1、人人都能獲得良好的數(shù)學教育：
      良好的數(shù)學教育，就是不僅懂得了知識，還懂得了基本思想，在學習過程中得到磨練。義務(wù)教育階段的數(shù)學課程具有公共基礎(chǔ)的地位，要著眼于學生的整體素質(zhì)的提高，促進學生全面、持續(xù)、和諧發(fā)展。
      課程設(shè)計要滿足學生未來生活、工作和學習的需要，使學生掌握必需的數(shù)學基礎(chǔ)知識和基本技能，發(fā)展學生抽象思維和推理能力，培養(yǎng)應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識，在情感、態(tài)度與價值觀等方面都要得到發(fā)展；要符合數(shù)學科學本身的特點、體現(xiàn)數(shù)學科學的精神實質(zhì)；要符合學生的認知規(guī)律和心理特征、有利于激發(fā)學生的學習興趣；要在呈現(xiàn)作為知識與技能的數(shù)學結(jié)果的同時，重視學生已有的經(jīng)驗，讓學生體驗從實際背景中抽象出數(shù)學問題、構(gòu)建數(shù)學模型、得到結(jié)果、解決問題的過程。要處理好人人都能獲得良好的數(shù)學教育與不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展之間的關(guān)系；要處理好強調(diào)學生主體作用與突出教師組織和引導(dǎo)作用之間的關(guān)系；要處理好 “四基”：基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗之間的關(guān)系。并把“四基”與數(shù)學素養(yǎng)的培養(yǎng)進行整合，掌握數(shù)學基礎(chǔ)知識，訓練數(shù)學基本技能，領(lǐng)悟數(shù)學基本思想，積累數(shù)學基本活動經(jīng)驗。
      2、不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展：
      現(xiàn)代學生觀認為，在每一個學生身上都蘊藏著巨大的教育潛能，我們的教育必須充分尊重學生的內(nèi)在素質(zhì)，即自然天性，小心加以呵護、開發(fā)。要面對每一個有差異的個體，適應(yīng)每一個學生不同發(fā)展的需要，要為每一個學生提供不同的發(fā)展機會與可能。數(shù)學課程必須立足于關(guān)注學生的一般發(fā)展，它應(yīng)當是“為了每一個孩子”健康成長的課程，而不能成為專門用來淘汰的“篩子”。要改變陳舊的學習方式，學生學習應(yīng)當是一個生動活潑的、主動地和富有個性的過程，除接受學習外，動手實踐、自主探索與合作交流也是數(shù)學學習的重要方式，學生應(yīng)當有足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、驗證、推理、計算、證明等活動過程。教師要牢記兩條,一是除了知識傳授之外，還必須充分調(diào)動學生學習的積極性，引發(fā)學生的思考；二是既能培養(yǎng)學生良好的學習習慣，也能讓學生掌握有效的學習方法。
      課標解讀工作自上而下如火如荼的進行著，2012年3月12日上午，我們在市實驗二小參加了2011版《義務(wù)教育數(shù)學課程標準》的解讀會，感觸頗多；特別是秦院長對于數(shù)學素養(yǎng)的解讀，及其風趣的舉例，更讓我印象深刻。在這個活動中，我的體會頗多。
      1.《小學數(shù)學新課程標準》以全新的觀點將小學數(shù)學內(nèi)容歸納為“數(shù)與代數(shù)”“空間與圖形”“統(tǒng)計與概率”“實踐與綜合應(yīng)用”四個學習領(lǐng)域，特別突出地強調(diào)了6個學習內(nèi)容的核心概念：數(shù)感、符號感、空間觀念、統(tǒng)計觀念、應(yīng)用意識和推理能力。
      2、通過新課標解讀，教學不再是簡單的知識灌輸過程，應(yīng)當是學生和教師互相作用的過程。學生將不再是知識的容器，而是自主知識的習得者。面對知識更新周期日益縮短的時代，我意識到：必須徹底改變過去那種把老師知識的儲藏和傳授給學生的知識比為“一桶水”與“一杯水”的陳舊觀念，而要努力使自己的大腦知識儲量成為一條生生不息的河流，篩濾舊有，活化新知，積淀學養(yǎng)。有句話說的好：“一個教師，不在于他讀了多少書和教了多少年書，而在于他用心讀了多少書和教了多少書?！庇眯慕?、創(chuàng)新教與重復(fù)教的效果有天淵之別。
      學習2011版《義務(wù)教育數(shù)學課程標準》心得體會
      草長鶯飛的三月，我有幸在市實驗小學參加了小學數(shù)學新課標解讀會，秦院長帶領(lǐng)我們?nèi)嫱暾貙W習了新課標，讓我受益匪淺。使我進一步認識到2011版數(shù)學課程標準從基本理念、課程目標、內(nèi)容標準到實施建議都更加準確、規(guī)范、明了和全面。為廣大數(shù)學教師深刻領(lǐng)會數(shù)學新課改精神，有效的進行數(shù)學教學改革指明了新的方向。下面就談一談這次學習新課標的幾點體會：
      一、教學中教師要面向全體靈活選擇教法
      新課程標準的五大基本理念之一是“人人都能獲得良好的數(shù)學教育，不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展”。在教學過程中我們要面向全體學生，關(guān)注并促進每一位學生的發(fā)展，尤其是那些學習上暫時有困難的學生，同樣應(yīng)給予足夠的重視，而非岐視，要因材施教，因勢利導(dǎo)，通過多種途徑和方法，滿足他們的學習需求，發(fā)展他們的數(shù)學才能。教材中設(shè)計了不少如“思考”、“探索”、“討論”、“觀察”、“試一試”、“做一做”等問題，教師可根據(jù)實際情況組織學生小組合作學習，在小組成員的安排上優(yōu)、中、差各級知識水平學生要合理搭配，以優(yōu)等生的思維方式來啟迪差生，以優(yōu)等生的學習熱情來感染差生。在讓學生獨立思考時，要盡量多留一些時間，不能讓優(yōu)等生的回答剝奪差生的思考。對于數(shù)學成績較好的學生，教師也可另外選擇一些較靈活的問題讓他們思考、探究，以擴大學生的知識面，提高數(shù)學成績。
      因此教師要深入、全面地學習課程標準，理解課程標準的精神實質(zhì)，掌握課程標準的思想內(nèi)涵，通曉課程標準的整體要求，才能目的明確、方向集中地鉆研教材，具體、準確地把握教材的重點、難點，創(chuàng)造性地設(shè)計教學過程，分散難點、突破疑點，從而得心應(yīng)手地駕弩教材，靈活自如地選擇教法。
      二、教學中教師要正確把握自己的角色定位。
      在新的課程標準的理念中談到：數(shù)學活動是師生積極參與、交往互動、共同發(fā)展的過程。有效的教學活動室學生學與教師教的統(tǒng)一，學生是學習的主體，教師是學習的組織者、引導(dǎo)者與合作者。數(shù)學教學應(yīng)該以學生的認知發(fā)展水平和已有的經(jīng)驗為基礎(chǔ)面向全體學生注重啟發(fā)式和因材施教。教師要創(chuàng)設(shè)有助于學生自主學習的問題情境，給學生足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程，讓學生獲得知識，形成技能，發(fā)展思維，學會學習，促使學生在教師指導(dǎo)下的生動活潑地、主動地、富有個性地學習。要善于激發(fā)學生的學習潛能，鼓勵學生大膽創(chuàng)新與實踐。它實際上是一種探究性的學習，教師是探究性學習的組織者，在學習中對學生提供經(jīng)驗和幫助，做好組織協(xié)調(diào)工作。教師要想方設(shè)法開闊學生的視野，啟發(fā)學生的思維，要善于發(fā)現(xiàn)學生思維的閃光點，適當?shù)亟o予一些建議，老師要向?qū)W生提供經(jīng)驗，幫助他們進行判斷、檢查自己想法的正確性，提醒他們注意探究中可能出現(xiàn)的問題和困難，要深思熟慮地、周全地統(tǒng)籌學生活動。教學中可讓學生充分討論，在這個過程中，學生思維會變得開闊，富有獨特性和創(chuàng)造性，同時也提高了他們的認識水平和口頭表達能力，逐步由過去的“學會”向“會學”轉(zhuǎn)變。例如《三角形的面積》這節(jié)課我就采用了先猜想～論證～歸納教學過程。這樣讓學生在探究中獲得知識，發(fā)展思維，培養(yǎng)合作精神，教師在這個過程中是一個組織者、引導(dǎo)者和合作者。
      三、教學中教師要進行多元化的評價讓學生體驗成功
      新課標指出：“要關(guān)注學生學習的結(jié)果，也要重視他們的學習過程；要關(guān)注學生數(shù)學學習的水平，也要關(guān)注他們數(shù)學活動中所表現(xiàn)出來的情感與態(tài)度，幫助學生認識自我，建立信心。”這就要求我們教師對學生的評價要全面、多元，多用激勵性評語。要多一些寬容，少一些指責，允許學生犯錯。我們必須清楚地認識到：每個學生的基礎(chǔ)是有差異的，學習數(shù)學的進程也會有差別，如果用同一個標準去衡量評價學生的學習，必然要制造出許多的失敗者。
      因此，評價要因人而異，不要用“同一把尺”，要注重評價個體在原有基礎(chǔ)上的進步，幫其樹立學好數(shù)學的信心?！芭d趣是最好的老師。”只要我們時時刻刻把學生放在首位，努力充實自己，讓學生愛學、樂學，必定會獲得教學上的進步。
      在新課標的學習與實踐之中，新理念、新思路、新方法不斷沖擊著站在課改浪尖上的教師們。我們曾經(jīng)困惑，不知所措，但通過學習，我們又會新的姿態(tài)站在教育前沿。無論遇到多大的艱難險阻，我們緊跟著新課標、新理念，才不會迷失自己的方向，切實為學生的全面發(fā)展服務(wù)。
       
      
    
      

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