第一篇：泛函分析教學(xué)大綱

課號(hào)：218.116.1

泛 函 分 析 教 學(xué) 大 綱

(Functional Analysis)

學(xué)分?jǐn)?shù) 3 周學(xué)時(shí) 4

一.說(shuō)明

1.課程名稱: 泛函分析(一學(xué)期課程)，第五學(xué)期(3+1)*18=72.2.教學(xué)目的和要求:

(1)課程性質(zhì): 本課程是數(shù)學(xué)系專業(yè)基礎(chǔ)課, 為數(shù)學(xué)系本科三年級(jí)學(xué)生所必修。

(2)基本內(nèi)容: 本課程主要內(nèi)容: 度量空間中點(diǎn)集分析，賦范空間上算子與幾何，內(nèi)積空間中幾何與算子，線性算子譜理論。

(3)基本要求: 通過(guò)本課程的學(xué)習(xí), 學(xué)生應(yīng)熟練掌握度量，范數(shù)，線性算子，內(nèi)積，直交投影，譜等概念, 熟練掌握綱理論及有界線性算子的基本原理和線性泛函的延拓理論, 為今后學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

3.教學(xué)方式: 課堂授課。

4.考試方式: 考試。

5.教材: 《泛函分析》講義，郭坤宇，徐勝芝編

參考書: 《實(shí)變函數(shù)與泛函分析》 夏道行等編, 高等教育出版社。

二.講授綱要

第一章 度量空間中點(diǎn)集分析

1.1 度量空間(3學(xué)時(shí))

1.2 度量拓?fù)?2學(xué)時(shí))

1.3 數(shù)值函數(shù)(2學(xué)時(shí))

1.4 緊~~~與極值(2學(xué)時(shí))

1.5 貝爾綱論(3學(xué)時(shí))

1.6 函數(shù)空間(2學(xué)時(shí))

本章要求: 通過(guò)學(xué)習(xí)度量空間的基本點(diǎn)集理論, 讀者應(yīng)能熟悉緊集與其應(yīng)用, 熟悉綱理論及其應(yīng)用, 掌握映射的連續(xù)性與數(shù)值函數(shù)的上半連續(xù)與下半連續(xù)性及其特征.第二章 賦范空間上算子與幾何

有界線性算子(3學(xué)時(shí))

連續(xù)線性泛函(3學(xué)時(shí))

弱收斂與共軛(2學(xué)時(shí))

一致有界原理(2學(xué)時(shí))

開(kāi)映射與閉算子(3學(xué)時(shí))

凸集與超平面(2學(xué)時(shí))

本章要求: 通過(guò)學(xué)習(xí)有界線性算子的基本理論, 讀者應(yīng)能掌握線性泛函分析的基本原理:泛函延拓原理及其在分析與幾何上的應(yīng)用;一致有界原理及其應(yīng)用;開(kāi)映射原理與閉圖像定理的應(yīng)用等.第三章 內(nèi)積空間上幾何與算子

內(nèi)積空間(2學(xué)時(shí))

共軛算子(2學(xué)時(shí))

投影算子(2學(xué)時(shí))

基與維數(shù)(2學(xué)時(shí))

賦范代數(shù)(2學(xué)時(shí))

本章要求: 通過(guò)學(xué)習(xí)內(nèi)積空間的幾何, 掌握投影定理與投影算子的應(yīng)用,直交基的確立及其應(yīng)用.第四章 線性算子譜理論

正則點(diǎn)與譜點(diǎn)(3學(xué)時(shí))

緊算子譜分析(3學(xué)時(shí))

有界正規(guī)算子(2學(xué)時(shí))

無(wú)界線性算子(2學(xué)時(shí))

譜測(cè)度與積分(3學(xué)時(shí))

指標(biāo)理論初步(2學(xué)時(shí))

本章要求: 通過(guò)學(xué)習(xí)線性算子譜理論, 讀者應(yīng)能計(jì)算一些典型線性算子如單向平移和乘法算子等的譜, 提高利用Gelfand譜理論分析譜的能力, 掌握正規(guī)算子譜分解及其應(yīng)用, 能分析緊算子的譜并掌握Fredholm算子指標(biāo)的應(yīng)用.

第二篇：泛函分析教學(xué)大綱

一、教學(xué)目的

通過(guò)學(xué)習(xí)此章，理解線性算子的譜及分類，掌握緊集和全連續(xù)算子的定義及緊線性算子的譜。

二、教學(xué)重點(diǎn)

線性算子的譜及分類，全連續(xù)算子。

三、教學(xué)難點(diǎn) 緊集和緊線性算子的譜。

四、講授要求

通過(guò)學(xué)習(xí)此章，理解線性算子的譜及分類，掌握緊集和全連續(xù)算子的定義及緊線性算子的譜。

五、講授要點(diǎn)

譜集及分類，有界線性算子譜的性質(zhì)，緊集合全連續(xù)算子，緊線性算子的譜。

第三篇：泛函分析

1.設(shè)?X,d?為距離空間。證明：d?

2.（1）收斂點(diǎn)列為柯西列。

（2）柯西列為有界列。d?x,y?也是距離。1?d?x,y（3）有收斂子列的柯西列是收斂列。

3.（1）敘述壓縮映射定理。

（2）作業(yè)的應(yīng)用。

4．證明：u,v??au(x)v(x)dx是一個(gè)內(nèi)積。

5．利用Schwarz不等式證明：x滿足三角不等式。

6．利用內(nèi)積證明平行四邊形公式。7．X,Y為Banach空間。T:X?Y線性。證明：T有界?T連續(xù)。

8.H為Hilbert空間，f?H線性有界泛函。

（1）證明零空間v?f?是閉集。

（2）敘述Riesz定理。

（3）證明：N?f?是一維子空間。

9.證明投影算子，P為線性有界算子，并且P2?P,P?1 10.??u?f?x?,u?W01,2???,若f?L2??? ,證明解存在且唯一 ?b

第四篇：實(shí)變函數(shù)與泛函分析-教學(xué)大綱

實(shí)變函數(shù)與泛函分析教學(xué)大綱

Functions of Real Variables and Functional Analysis

一、基本信息

適用專業(yè)：信息技術(shù)專業(yè) 課程編號(hào)： 教學(xué)時(shí)數(shù)：72學(xué)時(shí) 學(xué) 分：4 課程性質(zhì)：專業(yè)核心課

開(kāi)課系部：數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)院 使用教材：《實(shí)變函數(shù)論與泛函分析》（上、下冊(cè)）第2版 曹廣福.高等教育出版社 參考書

[1]夏道行《實(shí)變函數(shù)論與泛函分析》（上、下冊(cè)）第2版修訂本.高等教育出版社； [2] W.Rudin ,Real and Complex Analysis, 3rd Edition； [3] W.Rudin，F(xiàn)unctional Analysis, 3rd Edition； [4]周民強(qiáng)《實(shí)變函數(shù)論》第2版.北京大學(xué)出版社.二、課程介紹

《實(shí)變函數(shù)與泛函分析》以掌握Lebesgue測(cè)度空間，Lebesgue積分，Hilbert空間和Banach空間的基本知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生從幾何、拓?fù)渖蟻?lái)認(rèn)識(shí)抽象函數(shù)空間，以抽象空間為工具來(lái)研究、解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

三、考試形式

考試課程，考試成績(jī)由平時(shí)成績(jī)和期末考試組成，平時(shí)作業(yè)占百分之二十，期末考試百分之八十。期末考試是閉卷的形式，重點(diǎn)考察學(xué)生的解題能力和基礎(chǔ)理論。

四、課程教學(xué)內(nèi)容及課時(shí)分配

第一章 集合與點(diǎn)集 要求

1、掌握集合的勢(shì)，可數(shù)集

2、熟悉歐氏空間上的拓?fù)?，Cauchy收斂原理

主要內(nèi)容

集合的勢(shì)，可數(shù)集，n維歐氏空間上的拓?fù)?，Canchy收斂原理

重點(diǎn)

集合的勢(shì)，可數(shù)集 課時(shí)安排（4學(xué)時(shí)）

1、集合的勢(shì)，可數(shù)集

2學(xué)時(shí)

2、歐氏空間上的拓?fù)?，Cauchy收斂原理

2學(xué)時(shí)

第二章 Lebesgue測(cè)度 要求

1、熟練掌握外測(cè)度、可測(cè)集以及它們的性質(zhì)

2、掌握可測(cè)函數(shù)及其性質(zhì)，以及非負(fù)可測(cè)函數(shù)的構(gòu)造

3、熟練掌握可測(cè)函數(shù)的收斂性

主要內(nèi)容：

Lebesgue外測(cè)度，可測(cè)集（類），可測(cè)函數(shù)及其性質(zhì)，可測(cè)函數(shù)的收斂性

重點(diǎn)

外測(cè)度、可測(cè)集以及它們的性質(zhì)、可測(cè)函數(shù)的收斂性 課時(shí)安排（12學(xué)時(shí)）

1、外測(cè)度、可測(cè)集以及它們的性質(zhì)

4學(xué)時(shí)

2、可測(cè)函數(shù)及其性質(zhì)，以及非負(fù)可測(cè)函數(shù)的構(gòu)造

4學(xué)時(shí)

3、可測(cè)函數(shù)的收斂性

4學(xué)時(shí)

第三章

Lebesgue積分 要求：

1、熟練掌握可測(cè)函數(shù)的積分及性質(zhì)

2、熟練掌握Lebesgue積分基本定理，F(xiàn)atou引理，控制收斂定理，Riemann可積的充要條件

3、弄清重積分與累次積分的關(guān)系，F(xiàn)ubini定理

主要內(nèi)容：

可測(cè)函數(shù)的積分及性質(zhì)，Lebesgue積分的極限定理，Riemann可積的充要條件，重積分與累次積分的關(guān)系，F(xiàn)ubini定理

重點(diǎn)

可測(cè)函數(shù)的積分及性質(zhì)，Lebesgue積分的極限定理 課時(shí)安排：（16學(xué)時(shí)）

1、可測(cè)函數(shù)的積分及性質(zhì)

6學(xué)時(shí)

2、Lebesgue積分基本定理，F(xiàn)atou引理，控制收斂定理，Riemann可積的充要條件

6學(xué)時(shí)

3、重積分與累次積分的關(guān)系，F(xiàn)ubini定理

4學(xué)時(shí)

第四章

L空間 要求：

1、熟練掌握L空間的范數(shù)、完備性、收斂性、可分性

2、熟悉L空間的內(nèi)積，標(biāo)準(zhǔn)正交基

3、了解卷積與Fourier變換 ppp主要內(nèi)容：

p

Lp空間的范數(shù)、完備性、收斂性、可分性，L空間的內(nèi)積，標(biāo)準(zhǔn)正交基，卷積與Fourier變換

重點(diǎn)

Lp空間的范數(shù)、完備性、收斂性、可分性 課時(shí)安排（10學(xué)時(shí)）

1、L空間的范數(shù)、完備性、收斂性、可分性

4學(xué)時(shí)

2、L空間的內(nèi)積，標(biāo)準(zhǔn)正交基，正交化方法

4學(xué)時(shí)

3、卷積與Fourier變換

2學(xué)時(shí) pp

第五章 Hilbert空間理論 要求：

1、熟練掌握距離空間的定義與緊致性的定義，Riesz表示定理

2、熟悉Hilbert空間上線性算子的有界性和連續(xù)性

3、熟悉共軛算子、投影算子，緊算子性質(zhì)及其譜

主要內(nèi)容：

距離空間的定義，緊致性，Hilbert影算子，緊算子性質(zhì)及其譜。課時(shí)安排（16學(xué)時(shí)）

空間上線性算子的有界性和連續(xù)性，共軛算子、投

1、距離空間的定義與緊致性的定義，Riesz表示定理

4學(xué)時(shí)

2、Hilbert空間上線性算子的有界性和連續(xù)性

6學(xué)時(shí)

3、共軛算子、投影算子，緊算子性質(zhì)及其譜 6學(xué)時(shí)

第六章 Banach空間理論 要求：

1、掌握Banach空間的定義，模等價(jià)，有界線性算子

2、熟悉開(kāi)映象定理，逆函數(shù)定理，閉圖像定理，共鳴定理

3、熟悉連續(xù)線性泛函的存在性與Hahn-Banach定理

4、弄清弱收斂、弱-*收斂，弱列緊、弱-*列緊性

主要內(nèi)容：

范數(shù)、Banach空間的定義，模等價(jià)，有界線性算子，開(kāi)映象定理，逆函數(shù)定理，閉圖像定理，共鳴定理，Hahn-Banach定理，弱收斂、弱-*收斂，弱列緊、弱-*列緊性

重點(diǎn)

Banach空間的定義、模等價(jià)、有界線性算子、開(kāi)映象定理、Hahn-Banach定理、弱收斂、弱-*收斂

課時(shí)安排（14學(xué)時(shí)）

1、Banach空間的定義，模等價(jià)，有界線性算子

4學(xué)時(shí)

2、開(kāi)映象定理，逆函數(shù)定理，閉圖像定理，共鳴定理

6學(xué)時(shí)

3、連續(xù)線性泛函的存在性與Hahn-Banach

4學(xué)時(shí)

《實(shí)變函數(shù)與泛函分析》考試大綱

院 系：數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院

課程名稱：實(shí)變函數(shù)與泛函分析（第二學(xué)期）使用專業(yè)：數(shù)學(xué)與信息科學(xué)專業(yè)

學(xué) 時(shí)：72 其中，理論學(xué)時(shí)：72 實(shí)踐學(xué)時(shí)：0 學(xué) 分：4

一、設(shè)課目的：

《實(shí)變函數(shù)與泛函分析》以掌握Lebesgue測(cè)度空間，Lebesgue積分，Hilbert空間和Banach空間的基本知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生從幾何、拓?fù)渖蟻?lái)認(rèn)識(shí)抽象函數(shù)空間，以抽象空間為工具來(lái)研究、解決實(shí)際問(wèn)題的能力.二、課程教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)目標(biāo)：

通過(guò)本門課程的教學(xué)，使學(xué)生了解函數(shù)理論的基本體系，理解實(shí)變函數(shù)的基本概念、基本原理，使學(xué)生較好的掌握集合論基礎(chǔ)、Lebesgue測(cè)度與Lebesgue積分、線性賦范空間與Hilbert空間的基本理論和有界線性算子，并且在一定程度上掌握集合的分析方法，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)分析數(shù)學(xué)中的一些專門理論，如函數(shù)論，泛函分析，概率論，微分方程，群上調(diào)和分析等提供必要的測(cè)度和積分論基礎(chǔ)，為從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育提供知識(shí)儲(chǔ)備.三、課程考核的基本形式、內(nèi)容和要求：

本課程考核分為兩部分：形成性考核和課程期末考試

（一）形成性考核

形成性考核部分分為：平時(shí)考勤（占20%）、作業(yè)（占70%）、課堂提問(wèn)情況（占10%）這三個(gè)部分。要求隨時(shí)檢查學(xué)生考勤，批改作業(yè)，敦促學(xué)生邊學(xué)邊做。

學(xué)生應(yīng)按時(shí)完成各階段的平時(shí)作業(yè)。對(duì)于抄襲作業(yè)的或不按時(shí)完成的應(yīng)給予說(shuō)服教育，嚴(yán)重者應(yīng)給予扣分處理。

（二）課程期末考試

期末考試采用筆試閉卷形式?？荚嚸}由教研室集體討論，任課教師可參與命題。本課程期末考試的命題依據(jù)是專業(yè)教學(xué)計(jì)劃、課程教學(xué)大綱以及使用教材。本課程的試卷涉及該教材所含的有關(guān)知識(shí)內(nèi)容及練習(xí)，其中重點(diǎn)內(nèi)容為：集合的勢(shì)，可數(shù)集；外測(cè)度、可測(cè)集以及它們的性質(zhì)、可測(cè)函數(shù)的收斂性；可測(cè)函

p數(shù)的積分及性質(zhì)，Lebesgue積分的極限定理；L空間的范數(shù)、完備性、收斂性、可分性；距離空間的定義，緊致性，Hilbert空間上線性算子的有界性和連續(xù)性，共軛算子、投影算子，緊算子性質(zhì)及其譜；Banach空間的定義、模等價(jià)、有界線性算子、開(kāi)映象定理、Hahn-Banach定理、弱收斂、弱-*收斂.四、考核的組織：

本課程的平時(shí)作業(yè)由任課教師根據(jù)學(xué)生完成情況進(jìn)行批閱、評(píng)分。課程期末考試教研室統(tǒng)一組織，以集體流水作業(yè)的方式進(jìn)行批閱。根據(jù)班級(jí)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況形成性考核成績(jī)可占總成績(jī)的30%，期末考試成績(jī)可占總成績(jī)的70%。

五、教材

[1]夏道行《實(shí)變函數(shù)論與泛函分析》（上、下冊(cè)）第2版修訂本.高等教育出版社；

[2] W.Rudin ,Real and Complex Analysis, 3rd Edition； [3] W.Rudin，F(xiàn)unctional Analysis, 3rd Edition； [4]周民強(qiáng)《實(shí)變函數(shù)論》第2版.北京大學(xué)出版社.六、其他有關(guān)說(shuō)明或要求

第五篇：泛函分析學(xué)習(xí)心得

泛函分析學(xué)習(xí)心得 10數(shù)本6***2010224216

泛函分析是數(shù)學(xué)系基礎(chǔ)數(shù)學(xué)專業(yè)的一門重要必修基礎(chǔ)課程。是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，隸屬于分析學(xué)，其研究的主要對(duì)象是函數(shù)構(gòu)成的空間。也由于它研究的對(duì)象導(dǎo)致它是一門比較抽象的課程，不像我們以前所學(xué)習(xí)的知識(shí)那樣容易理解而有實(shí)體，所以，如果我們要學(xué)好這門課,那就必須講究學(xué)習(xí)方法。除此之外，泛函分析也是數(shù)分與高代綜合的抽象，所以想學(xué)好泛函分析就要有良好的基礎(chǔ)，而作為上冊(cè)的實(shí)變也是其中起著關(guān)鍵作用的基礎(chǔ)。泛函分析的特點(diǎn)是它的抽象化，把概念和方法幾何化。比如，課本中第一章講的距離空間，如章前引導(dǎo)的，解微分方程所引發(fā)的各種疑問(wèn)促使人們將函數(shù)集合作為一個(gè)整體看待，在其上引入線性運(yùn)算、距離等概念，從而得到抽象的距離空間，也就是把不同類型的函數(shù)可以看作是“函數(shù)空間”的點(diǎn)或矢量，這樣最后得到了“抽象空間”這個(gè)一般的概念。它既包含了以前討論過(guò)的幾何對(duì)象，也包括了不同的函數(shù)空間。

由于這門課程比較抽象，所以要學(xué)好這門課程，對(duì)于我們來(lái)說(shuō)，還是有點(diǎn)難度的。但是，只要我們掌握了好的學(xué)習(xí)方法，我們還是一樣可以吧這門課程學(xué)好的。那怎樣的學(xué)習(xí)方法才能讓我們學(xué)好這門抽象的課程呢？下面，我就說(shuō)說(shuō)我的看法。

首先，我們一定要適應(yīng)大學(xué)的教學(xué)模式，盡快進(jìn)入角色，畢竟大學(xué)跟我們中小學(xué)的課堂教學(xué)模式是完全不一樣的。大學(xué)是以學(xué)生自學(xué)為主，老師指導(dǎo)為輔。要想學(xué)好泛函分析這門課，更多的是需要我們學(xué)習(xí)的自主性。

其次，就是我們的課前預(yù)習(xí)。我們要對(duì)課本的相關(guān)教材熟悉，初步把握好教材內(nèi)容的重難點(diǎn)。在上課的時(shí)候，帶著問(wèn)題就聽(tīng)老師講課，這樣對(duì)于我們的課堂效率就能有很大的提升。我們也能很輕松的跟著老師節(jié)奏走，對(duì)于泛函分析的抽象問(wèn)題，我們也就比較容易想象它的模型，消化起來(lái)自然也就相對(duì)輕松很多。

再次，在課堂上，我應(yīng)該根據(jù)老師課程的講解，參與老師的互動(dòng)。雖然大學(xué)的課堂有點(diǎn)“滿堂灌”的形式，但是，在老師給我們講解的時(shí)候，我們是可以跟著老師講課的節(jié)奏，主動(dòng)思考，適當(dāng)?shù)奶岢鲎约旱囊蓡?wèn)，以及自己對(duì)這節(jié)課知識(shí)內(nèi)容的理解的想法。這對(duì)老師講解的概念定理，有關(guān)證明的思路、技巧及定理中關(guān)鍵條件的作用的深刻理解，啟發(fā)我們我們隊(duì)定理?xiàng)l件進(jìn)行反思和提問(wèn)，進(jìn)一步運(yùn)用知識(shí)去分析解決問(wèn)題。

最后，是課后的復(fù)習(xí)以及習(xí)題的鞏固。在學(xué)習(xí)泛函分析這門課程中，我們難學(xué)的問(wèn)題不僅體現(xiàn)在內(nèi)容的抽象、難于理解，也體現(xiàn)在理論方法的難于運(yùn)用。理論方法的運(yùn)用，是需要我們通過(guò)適量的練習(xí)來(lái)領(lǐng)悟其中的奧妙和技巧的。只有通過(guò)習(xí)題的鞏固復(fù)習(xí)，我們才能領(lǐng)悟泛函分析中理論知識(shí)的精髓，提高論證推理能力。通過(guò)練習(xí)適量的習(xí)題，能培養(yǎng)我們的抽象思維能力，及邏輯推理能力，并提高我們分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

在大學(xué)，我們要學(xué)習(xí)的知識(shí)理論是比較多的，對(duì)于學(xué)習(xí)泛函分析這一比較抽象的課程，我的學(xué)習(xí)心得，主要是以上的這三點(diǎn)。對(duì)于其他類似泛函分析這種比較抽象性德課程，我們也是需要做到上面的這三個(gè)方面的，但這并不意味著我們只有學(xué)習(xí)抽象性課程的時(shí)候才需要這樣的學(xué)習(xí)方法去學(xué)習(xí)。通過(guò)泛函分析的學(xué)習(xí)，我發(fā)現(xiàn)，不管是哪一門課程，只要我們把握好上面的這三點(diǎn)學(xué)習(xí)方法，我們都可以學(xué)習(xí)的很輕松的。

對(duì)于學(xué)習(xí)泛函分析，雖然說(shuō)大學(xué)的教學(xué)模式，只要是以學(xué)生自己為主的。但對(duì)于泛函分析這中抽象性比較大的課程，我覺(jué)得老師在把握教學(xué)進(jìn)度的同時(shí)，應(yīng)多注重跟我們學(xué)生之間的互動(dòng)。畢竟，“填罐式”的教學(xué)方式，對(duì)于我們對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解與把握是有點(diǎn)困難的。但是有教師的互動(dòng)，對(duì)我們理解教材的知識(shí)點(diǎn)，是有很大幫助的。這樣我們，我們學(xué)習(xí)起來(lái)，也會(huì)相對(duì)輕松很多。