第一篇：《泛函分析》課程學(xué)習(xí)要求

《泛函分析》課程學(xué)習(xí)要求

課程英文名稱： FunctionalAnalasisy

課程編號：405012080適用專業(yè)：

學(xué)時數(shù)：44學(xué)分?jǐn)?shù)：4執(zhí)筆者：郝 英

一、總體要求

要求學(xué)生比較系統(tǒng)地理解泛函分析的基本概念、基本結(jié)論,具備一定的概括能力、計算能力、邏輯推理能力、空間想象能力；并能綜合運(yùn)用理論知識解決實(shí)際問題。

二、具體內(nèi)容

1、度量空間和線性賦范空間

（1）深刻理解度量空間的相關(guān)概念，能夠驗(yàn)證度量定義中的三個條件；熟悉常見的度量空間及在其上度量的定義；

（2）掌握稠密性與可分性的概念并且能夠證明稠密性與可分性；通過學(xué)習(xí)度量空間的完備化定理能夠證明一些空間的完備性；

（3）熟悉第一及第二類型的集、閉集套定理、準(zhǔn)緊集、緊集、全有界集、有限開覆蓋、有限交性質(zhì)、不動點(diǎn)的概念；

（4）掌握并理解壓縮映射定理及其證明思路；

（5）掌握線性賦范空間、巴拿赫空間等概念，深刻理解依范數(shù)收斂及范數(shù)的幾個性質(zhì)。

2、線性有界算子和線性連續(xù)泛函

掌握線性算子、線性泛函、線性有界算子、線性算子空間、共軛空間等概念，能夠驗(yàn)證算子的線性性質(zhì)和有界性。

3、內(nèi)積空間與希爾伯特空間

（1）熟練掌握內(nèi)積空間的相關(guān)概念以及常見希爾伯特空間中內(nèi)積的定義；理解內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù)；

（2）自伴算子、酉算子、正常算子的概念，（3）掌握并會應(yīng)用施瓦茈不等式正交定義、投影定理、直交系，會應(yīng)用貝塞爾不等式等。

4、巴拿赫空間中的基本定理

（1）熟練掌握巴拿赫空間中基本定理的內(nèi)容，了解它們的證明思路；

（2）第一綱集第二綱集Bair綱定理；

（3）強(qiáng)收斂、弱收斂和一致收斂，三種收斂性之間的關(guān)系。

三、需提交的材料

1、最后交一篇學(xué)習(xí)泛函分析中某些概念的理解或?qū)W習(xí)心得。

第二篇：泛函分析

1.設(shè)?X,d?為距離空間。證明：d?

2.（1）收斂點(diǎn)列為柯西列。

（2）柯西列為有界列。d?x,y?也是距離。1?d?x,y（3）有收斂子列的柯西列是收斂列。

3.（1）敘述壓縮映射定理。

（2）作業(yè)的應(yīng)用。

4．證明：u,v??au(x)v(x)dx是一個內(nèi)積。

5．利用Schwarz不等式證明：x滿足三角不等式。

6．利用內(nèi)積證明平行四邊形公式。7．X,Y為Banach空間。T:X?Y線性。證明：T有界?T連續(xù)。

8.H為Hilbert空間，f?H線性有界泛函。

（1）證明零空間v?f?是閉集。

（2）敘述Riesz定理。

（3）證明：N?f?是一維子空間。

9.證明投影算子，P為線性有界算子，并且P2?P,P?1 10.??u?f?x?,u?W01,2???,若f?L2??? ,證明解存在且唯一 ?b

第三篇：泛函分析學(xué)習(xí)心得

泛函分析學(xué)習(xí)心得

學(xué)習(xí)《實(shí)變函數(shù)論與泛函分析》這門課程已有將近一年的時間，在接觸這門課程之前就已經(jīng)聽聞這門課程是所有數(shù)學(xué)專業(yè)課中最難學(xué)的一門，所以一開始是帶著一種“害怕學(xué)不好”的心理來學(xué).剛開始接觸的時候是覺得很難學(xué)，知識點(diǎn)很難懂，剛開始上課時也聽不懂，只顧著做筆記了.后來慢慢學(xué)下來，在課前預(yù)習(xí)、課后復(fù)習(xí)研究、上課認(rèn)真聽課后發(fā)現(xiàn)沒有想象中的那么難，上課也能聽懂了.因此得出了一個結(jié)論：只要用心努力去學(xué)，所有課程都不會很難，關(guān)鍵是自己學(xué)習(xí)的態(tài)度和努力的程度.在學(xué)習(xí)《泛函分析》的前一個學(xué)期先學(xué)習(xí)了《實(shí)變函數(shù)論》，《實(shí)變函數(shù)論》這部分主要學(xué)習(xí)了集合及其運(yùn)算、集合的勢、n維空間中的點(diǎn)集、外測度與可測集、Lebesgue可測集的結(jié)構(gòu)、可測函數(shù)、LP空間等內(nèi)容，這為這學(xué)期學(xué)習(xí)《泛函分析》打下了扎實(shí)的基礎(chǔ).我們在這個學(xué)期的期中之前學(xué)習(xí)的《泛函分析》的主要內(nèi)容包括線性距離空間、距離空間的完備性、內(nèi)積空間、距離空間中的點(diǎn)集、不動點(diǎn)定理、有界線性算子及其范數(shù)等.下面我談?wù)剬Φ谝徽碌木嚯x空間中部分內(nèi)容的理解與學(xué)習(xí)：

第一章第一節(jié)學(xué)習(xí)了線性距離空間，課本首先給出了線性空間的定義及其相關(guān)內(nèi)容，這與高等代數(shù)中線性空間是基本一樣的，所以學(xué)起來比較容易.接著是距離空間的學(xué)習(xí)，如果將n維歐氏空間Rn中的距離“抽象”出來，僅采用性質(zhì)，就可得到一般空間中的距離概念： 1.距離空間（或度量空間）的定義：

設(shè)X為一集合，?是X?X到Rn的映射，使得使得?x,y,z?X，均滿足以下三個條件：

（1）??x,y??0，且??x,y??0當(dāng)且僅當(dāng)x?y（非負(fù)性）（2）??x,y????y,x?（對稱性）

（3）??x,z????x,y????y,z?（三角不等式），則稱X為距離空間（或度量空間），記作?X,??，??x,y?為x,y兩點(diǎn)間的距離.學(xué)習(xí)了距離空間定義后，我們可以驗(yàn)證：歐式空間Rn，離散度量空間，連續(xù)函數(shù)空間C[a,b]，有界數(shù)列空間l?，p次冪可和的數(shù)列空間lp，p次冪可積函數(shù)空間Lp[a,b](p?1)，均滿足距離空間的性質(zhì).2.距離空間的完備性

設(shè)?X,??是距離空間（或賦范空間），如果X中的點(diǎn)列?xn?滿足

??xn,xm??0

?n,m???

則稱?xn?是X中的基本列（或Cauchy列），若X中任意基本列都在X中收斂，則稱?X,??是完備的距離空間（或賦范空間）.在上學(xué)期學(xué)習(xí)《實(shí)變函數(shù)論》時我們已討論過LP?1?????空間的完備性，除此之外，我們可知道C??a,b??按距離??x,y??maxx?t??y?t?是完備的、a?t?blp?1?????是完備的.第一章第三節(jié)的內(nèi)容是內(nèi)積空間，與高等代數(shù)中的歐式空間類似，但又不一樣，在n維歐式空間中，向量的“夾角”是利用內(nèi)積來定義的.兩個向量u,v的夾角指的是??arccos于?u,v?u?v，其中?u,v?是u與v的內(nèi)積，u是u的?；蜷L度，它等?u,v?.如果拋開Rn中內(nèi)積的具體形式，將其性質(zhì)抽象出來，就可得到抽象空設(shè)X是復(fù)數(shù)域上的線性空間，??,??是X?X到復(fù)數(shù)域C的二元函數(shù)，使得間上的內(nèi)積概念：

對任意x,y,z?X及??C滿足：

(1)?x,x??0,且?x,x??0當(dāng)且僅當(dāng)x?0

(2)?x?y,z???x,z???y,z?(3)??x,y????x,y?(4)?x,y???y,x?

則稱??,??為X上的內(nèi)積，稱X為具有內(nèi)積??,??的內(nèi)積空間，也記為?X,??,???.在學(xué)習(xí)了內(nèi)積空間的定義后，我們知道若在L2?E?上定義

?f,g???Ef?x?g?x?dx

?f,g?L?E??

2則L2?E?是內(nèi)積空間.還有其他的內(nèi)積空間需要我們?nèi)ヌ骄亢脱芯?以上是我對本學(xué)期學(xué)習(xí)的《泛函分析》的一小部分內(nèi)容的理解，學(xué)習(xí)了《泛函分析》后發(fā)現(xiàn)這是一門很值得學(xué)習(xí)和研究的課程，同時是一門相對比較深奧的課程，需要我們更用心去學(xué)習(xí).這門課程與其他數(shù)學(xué)學(xué)科有密切的聯(lián)系，但又有本質(zhì)的區(qū)別，我會在日后更加努力認(rèn)真學(xué)習(xí)，去研究和探究其與其他學(xué)科的聯(lián)系與區(qū)別，希望能運(yùn)用《泛函分析》的知識和觀點(diǎn)去解決其他學(xué)科的問題.

第四篇：泛函分析學(xué)習(xí)心得

泛函分析學(xué)習(xí)心得 10數(shù)本6***2010224216

泛函分析是數(shù)學(xué)系基礎(chǔ)數(shù)學(xué)專業(yè)的一門重要必修基礎(chǔ)課程。是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個分支，隸屬于分析學(xué)，其研究的主要對象是函數(shù)構(gòu)成的空間。也由于它研究的對象導(dǎo)致它是一門比較抽象的課程，不像我們以前所學(xué)習(xí)的知識那樣容易理解而有實(shí)體，所以，如果我們要學(xué)好這門課,那就必須講究學(xué)習(xí)方法。除此之外，泛函分析也是數(shù)分與高代綜合的抽象，所以想學(xué)好泛函分析就要有良好的基礎(chǔ)，而作為上冊的實(shí)變也是其中起著關(guān)鍵作用的基礎(chǔ)。泛函分析的特點(diǎn)是它的抽象化，把概念和方法幾何化。比如，課本中第一章講的距離空間，如章前引導(dǎo)的，解微分方程所引發(fā)的各種疑問促使人們將函數(shù)集合作為一個整體看待，在其上引入線性運(yùn)算、距離等概念，從而得到抽象的距離空間，也就是把不同類型的函數(shù)可以看作是“函數(shù)空間”的點(diǎn)或矢量，這樣最后得到了“抽象空間”這個一般的概念。它既包含了以前討論過的幾何對象，也包括了不同的函數(shù)空間。

由于這門課程比較抽象，所以要學(xué)好這門課程，對于我們來說，還是有點(diǎn)難度的。但是，只要我們掌握了好的學(xué)習(xí)方法，我們還是一樣可以吧這門課程學(xué)好的。那怎樣的學(xué)習(xí)方法才能讓我們學(xué)好這門抽象的課程呢？下面，我就說說我的看法。

首先，我們一定要適應(yīng)大學(xué)的教學(xué)模式，盡快進(jìn)入角色，畢竟大學(xué)跟我們中小學(xué)的課堂教學(xué)模式是完全不一樣的。大學(xué)是以學(xué)生自學(xué)為主，老師指導(dǎo)為輔。要想學(xué)好泛函分析這門課，更多的是需要我們學(xué)習(xí)的自主性。

其次，就是我們的課前預(yù)習(xí)。我們要對課本的相關(guān)教材熟悉，初步把握好教材內(nèi)容的重難點(diǎn)。在上課的時候，帶著問題就聽老師講課，這樣對于我們的課堂效率就能有很大的提升。我們也能很輕松的跟著老師節(jié)奏走，對于泛函分析的抽象問題，我們也就比較容易想象它的模型，消化起來自然也就相對輕松很多。

再次，在課堂上，我應(yīng)該根據(jù)老師課程的講解，參與老師的互動。雖然大學(xué)的課堂有點(diǎn)“滿堂灌”的形式，但是，在老師給我們講解的時候，我們是可以跟著老師講課的節(jié)奏，主動思考，適當(dāng)?shù)奶岢鲎约旱囊蓡?，以及自己對這節(jié)課知識內(nèi)容的理解的想法。這對老師講解的概念定理，有關(guān)證明的思路、技巧及定理中關(guān)鍵條件的作用的深刻理解，啟發(fā)我們我們隊(duì)定理?xiàng)l件進(jìn)行反思和提問，進(jìn)一步運(yùn)用知識去分析解決問題。

最后，是課后的復(fù)習(xí)以及習(xí)題的鞏固。在學(xué)習(xí)泛函分析這門課程中，我們難學(xué)的問題不僅體現(xiàn)在內(nèi)容的抽象、難于理解，也體現(xiàn)在理論方法的難于運(yùn)用。理論方法的運(yùn)用，是需要我們通過適量的練習(xí)來領(lǐng)悟其中的奧妙和技巧的。只有通過習(xí)題的鞏固復(fù)習(xí)，我們才能領(lǐng)悟泛函分析中理論知識的精髓，提高論證推理能力。通過練習(xí)適量的習(xí)題，能培養(yǎng)我們的抽象思維能力，及邏輯推理能力，并提高我們分析問題和解決問題的能力。

在大學(xué)，我們要學(xué)習(xí)的知識理論是比較多的，對于學(xué)習(xí)泛函分析這一比較抽象的課程，我的學(xué)習(xí)心得，主要是以上的這三點(diǎn)。對于其他類似泛函分析這種比較抽象性德課程，我們也是需要做到上面的這三個方面的，但這并不意味著我們只有學(xué)習(xí)抽象性課程的時候才需要這樣的學(xué)習(xí)方法去學(xué)習(xí)。通過泛函分析的學(xué)習(xí)，我發(fā)現(xiàn)，不管是哪一門課程，只要我們把握好上面的這三點(diǎn)學(xué)習(xí)方法，我們都可以學(xué)習(xí)的很輕松的。

對于學(xué)習(xí)泛函分析，雖然說大學(xué)的教學(xué)模式，只要是以學(xué)生自己為主的。但對于泛函分析這中抽象性比較大的課程，我覺得老師在把握教學(xué)進(jìn)度的同時，應(yīng)多注重跟我們學(xué)生之間的互動。畢竟，“填罐式”的教學(xué)方式，對于我們對知識點(diǎn)的理解與把握是有點(diǎn)困難的。但是有教師的互動，對我們理解教材的知識點(diǎn)，是有很大幫助的。這樣我們，我們學(xué)習(xí)起來，也會相對輕松很多。

第五篇：泛函分析教學(xué)大綱

課號：218.116.1

泛 函 分 析 教 學(xué) 大 綱

(Functional Analysis)

學(xué)分?jǐn)?shù) 3 周學(xué)時 4

一.說明

1.課程名稱: 泛函分析(一學(xué)期課程)，第五學(xué)期(3+1)*18=72.2.教學(xué)目的和要求:

(1)課程性質(zhì): 本課程是數(shù)學(xué)系專業(yè)基礎(chǔ)課, 為數(shù)學(xué)系本科三年級學(xué)生所必修。

(2)基本內(nèi)容: 本課程主要內(nèi)容: 度量空間中點(diǎn)集分析，賦范空間上算子與幾何，內(nèi)積空間中幾何與算子，線性算子譜理論。

(3)基本要求: 通過本課程的學(xué)習(xí), 學(xué)生應(yīng)熟練掌握度量，范數(shù)，線性算子，內(nèi)積，直交投影，譜等概念, 熟練掌握綱理論及有界線性算子的基本原理和線性泛函的延拓理論, 為今后學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

3.教學(xué)方式: 課堂授課。

4.考試方式: 考試。

5.教材: 《泛函分析》講義，郭坤宇，徐勝芝編

參考書: 《實(shí)變函數(shù)與泛函分析》 夏道行等編, 高等教育出版社。

二.講授綱要

第一章 度量空間中點(diǎn)集分析

1.1 度量空間(3學(xué)時)

1.2 度量拓?fù)?2學(xué)時)

1.3 數(shù)值函數(shù)(2學(xué)時)

1.4 緊~~~與極值(2學(xué)時)

1.5 貝爾綱論(3學(xué)時)

1.6 函數(shù)空間(2學(xué)時)

本章要求: 通過學(xué)習(xí)度量空間的基本點(diǎn)集理論, 讀者應(yīng)能熟悉緊集與其應(yīng)用, 熟悉綱理論及其應(yīng)用, 掌握映射的連續(xù)性與數(shù)值函數(shù)的上半連續(xù)與下半連續(xù)性及其特征.第二章 賦范空間上算子與幾何

有界線性算子(3學(xué)時)

連續(xù)線性泛函(3學(xué)時)

弱收斂與共軛(2學(xué)時)

一致有界原理(2學(xué)時)

開映射與閉算子(3學(xué)時)

凸集與超平面(2學(xué)時)

本章要求: 通過學(xué)習(xí)有界線性算子的基本理論, 讀者應(yīng)能掌握線性泛函分析的基本原理:泛函延拓原理及其在分析與幾何上的應(yīng)用;一致有界原理及其應(yīng)用;開映射原理與閉圖像定理的應(yīng)用等.第三章 內(nèi)積空間上幾何與算子

內(nèi)積空間(2學(xué)時)

共軛算子(2學(xué)時)

投影算子(2學(xué)時)

基與維數(shù)(2學(xué)時)

賦范代數(shù)(2學(xué)時)

本章要求: 通過學(xué)習(xí)內(nèi)積空間的幾何, 掌握投影定理與投影算子的應(yīng)用,直交基的確立及其應(yīng)用.第四章 線性算子譜理論

正則點(diǎn)與譜點(diǎn)(3學(xué)時)

緊算子譜分析(3學(xué)時)

有界正規(guī)算子(2學(xué)時)

無界線性算子(2學(xué)時)

譜測度與積分(3學(xué)時)

指標(biāo)理論初步(2學(xué)時)

本章要求: 通過學(xué)習(xí)線性算子譜理論, 讀者應(yīng)能計算一些典型線性算子如單向平移和乘法算子等的譜, 提高利用Gelfand譜理論分析譜的能力, 掌握正規(guī)算子譜分解及其應(yīng)用, 能分析緊算子的譜并掌握Fredholm算子指標(biāo)的應(yīng)用.