第一篇：建模思想

專題講座

初中數(shù)學(xué)建模思想的策略研究

一． 什么是數(shù)學(xué)建模 ？

1.1 數(shù)學(xué)建模（Mathematical Modeling）是建立數(shù)學(xué)模型并用它解決問題這一過程的簡稱，有代表的定義如下：

（1）、普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) [4] 中認(rèn)為，數(shù)學(xué)建模是運(yùn)用數(shù)學(xué)思想、方法和知識解決實(shí)際問題的過程，已經(jīng)成為不同層次數(shù)學(xué)教育的重要內(nèi)容和基本內(nèi)容.（2）、葉其孝在《數(shù)學(xué)建模教學(xué)活動與大學(xué)數(shù)學(xué)教育改革》一書中認(rèn)為，數(shù)學(xué)建模(Mathematical Modeling)就是應(yīng)用建立數(shù)學(xué)模型來解決各種實(shí)際問題的方法，也就是通過對實(shí)際問題的抽象、簡化，確定變量和參數(shù)，并應(yīng)用某些 “ 規(guī)律 ” 建立起變量、參數(shù)間的確定的數(shù)學(xué)問題(也可稱為一個數(shù)學(xué)模型)，求解該數(shù)學(xué)問題，解釋、驗(yàn)證所得到的解，從而確定能否用于解決實(shí)際問題的多次循環(huán)、不斷深化的過程。

兩種定義的區(qū)別在于課程標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)學(xué)建模的定義沒有強(qiáng)調(diào)建立特定的解決問題的數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)建模的過程中當(dāng)然會運(yùn)用數(shù)學(xué)思想、方法和知識解決實(shí)際問題，但僅僅如此很難稱得上是“數(shù)學(xué)建?！?。處理很多事情，比如法律和組織上的問題，常常會用到分類討論的思想、轉(zhuǎn)化的思想、類比的思想，而并沒有建立數(shù)學(xué)模型，這就不能說是進(jìn)行了數(shù)學(xué)建模。這里所談（實(shí)際上，同大部分人認(rèn)為的一樣）的數(shù)學(xué)建模，其過程是要建立具體的數(shù)學(xué)模型的。

什么是數(shù)學(xué)模型？根據(jù) 徐利治 先生在《數(shù)學(xué)方法論選講》一書中所談到，所謂“數(shù)學(xué)模型”（Mathematic Model）是一個含義很廣的概念，粗略的講，數(shù)學(xué)模型是指參照某種事物系統(tǒng)的特征或數(shù)量相依關(guān)系，采用形式化數(shù)學(xué)語言，概括地或近似地表達(dá)出來的一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。廣義的說，一切數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)理論體系、數(shù)學(xué)公式、數(shù)學(xué)方程以及由之構(gòu)成的算法系統(tǒng)都可以稱為數(shù)學(xué)模型；狹義的解釋，只有那些反應(yīng)特定問題或特定的具體事物系統(tǒng)的數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)才叫數(shù)學(xué)模型。

本論文所談到的數(shù)學(xué)建模，其過程一定是建立了一定的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。

另外，我們所談的數(shù)學(xué)建模主要側(cè)重于解決非數(shù)學(xué)領(lǐng)域內(nèi)的問題。這類問題往往來自于日常生活、經(jīng)濟(jì)、工程、醫(yī)學(xué)等其他領(lǐng)域，呈現(xiàn)“原胚”狀態(tài)，需要分析、假設(shè)、抽象等加工，才能找出其隱含的數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu)。

一般地，數(shù)學(xué)建模的過程可用下面的框圖表示：

1.2 什么是中學(xué)數(shù)學(xué)建模 ？

這里的“中學(xué)數(shù)學(xué)建?！庇袃芍睾x，一是按數(shù)學(xué)意義上的理解、在中學(xué)中做的數(shù)學(xué)建模。主要指基于中學(xué)范圍內(nèi)的數(shù)學(xué)知識所進(jìn)行的建?；顒樱渌鼣?shù)學(xué)建模一樣，它仍以現(xiàn)實(shí)世界的具體問題為解決對象，但要求運(yùn)用的數(shù)學(xué)知識在中學(xué)生認(rèn)知水平內(nèi)，專業(yè)知識不能要求太高，并且要有一定的趣味性和教學(xué)價值。

二是按課程意義理解，它是本文要展開討論的，一種要在中學(xué)中實(shí)施的特殊的課程形態(tài)。它是一種以“問題引領(lǐng)、操作實(shí)踐”為特征的活動型課程。學(xué)生要通過經(jīng)歷建模特有的過程，真實(shí)地解決一個實(shí)際問題，由此積累做數(shù)學(xué)、學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)，提升對數(shù)學(xué)及其價值的認(rèn)識。其設(shè)置目的是希望通過教師對數(shù)學(xué)建模有目標(biāo)、有層次的教與學(xué)的設(shè)計和指導(dǎo)，影響學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，改變傳統(tǒng)的學(xué)習(xí)方式，實(shí)現(xiàn)激發(fā)學(xué)生自主思考，促進(jìn)學(xué)生合作交流，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，發(fā)展學(xué)生創(chuàng)新精神，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識和應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力，最終使學(xué)生提升適應(yīng)現(xiàn)代社會要求的可持續(xù)發(fā)展的素養(yǎng)。

二．《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（修改稿）》有關(guān)數(shù)學(xué)建模的內(nèi)容

教育部新啟動的《義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的修訂中，東北師大史寧中校長提議，將原來的“雙基”增加到“四基”，增加了“基本數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)和基本數(shù)學(xué)思想”?；净顒咏?jīng)驗(yàn)是指學(xué)生親自或間接經(jīng)歷了活動過程而獲得的經(jīng)驗(yàn)。另外，《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（修改稿）》在“數(shù)與代數(shù)”的內(nèi)容中提出了“要初步形成模型思想”，對“綜合與實(shí)踐” 部分內(nèi)容加以明確并提供了具體課例。上述變化正是課標(biāo)對培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的應(yīng)措。相比數(shù)學(xué)建模，綜合與實(shí)踐部分是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模的最初階段，因此內(nèi)容包含的更加基本、廣泛，下面我們將分別介紹全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（修改稿）提出的“模型思想”，“綜合與實(shí)踐” 的內(nèi)容，以及內(nèi)容在實(shí)驗(yàn)稿基礎(chǔ)上的變化，最后在通過實(shí)例來說明綜合與實(shí)踐部分的學(xué)習(xí)內(nèi)容。

（1）模型思想

2007 年 12 初全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（修改稿）提出 在“數(shù)與代數(shù)”的教學(xué)中，應(yīng)幫助學(xué)生建立數(shù)感和符號意識，發(fā)展運(yùn)算能力和推理能力，初步形成模型思想。模型思想的建立是幫助學(xué)生體會和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果、并討論結(jié)果的意義。這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生初步形成模型思想，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識。

（2）“綜合與實(shí)踐”部分 與實(shí)驗(yàn)稿相比有如下變化：

目的和內(nèi)涵進(jìn)一步明確，統(tǒng)一了名稱，給出了明確的定義：“綜合與實(shí)踐”，是一類以問題為載體，學(xué)生主動參與的學(xué)習(xí)活動，是幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)、培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識與創(chuàng)新意識的重要途徑。針對問題情境，學(xué)生綜合所學(xué)的知識和生活經(jīng)驗(yàn)，獨(dú)立思考或與他人合作，經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題和提出問題、分析問題和解決問題的全過程，感悟數(shù)學(xué)各部分內(nèi)容之間、數(shù)學(xué)與生活實(shí)際之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間的聯(lián)系，加深對所學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的理解。

明確要求 “綜合與實(shí)踐”應(yīng)當(dāng)保證每學(xué)期至少一次。三個學(xué)段“綜合與實(shí)踐”的要求和教學(xué)目標(biāo)有了差異。

（3）“綜合與實(shí)踐”的常用教學(xué)形式和案例

按照教學(xué)內(nèi)容不同，“綜合與實(shí)踐”可以分為三種內(nèi)容形式：體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識內(nèi)部聯(lián)系；體現(xiàn)數(shù)學(xué)與生活聯(lián)系；體現(xiàn)數(shù)學(xué)與其它學(xué)科聯(lián)系。

若按照活動開展的地點(diǎn)不同，可以分為課堂內(nèi)、課堂內(nèi)外結(jié)合、課堂外三種形式。為了配合課程標(biāo)準(zhǔn)的編制和修改，我和北大附中、北達(dá)資源中學(xué)的老師們做了不少課例研究，以下就是我們試驗(yàn)過的，對應(yīng)這三種形式的教學(xué)案例。

三．新高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中與數(shù)學(xué)建模相關(guān)的部分

新高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)在研制過程中，對是否增加數(shù)學(xué)建模的要求是有爭議的。一些專家認(rèn)為，中學(xué)數(shù)學(xué)是打基礎(chǔ)的階段，核心是學(xué)好將來需要的基礎(chǔ)知識，應(yīng)用不必強(qiáng)調(diào)，強(qiáng)調(diào)了也沒有用——在大躍進(jìn)時期我們曾強(qiáng)調(diào)過“理論聯(lián)系實(shí)際”，文革中我們的教學(xué)內(nèi)容里加入了類似“三機(jī)一泵”，地主如何算“變天帳”一類的內(nèi)容，弱化了基礎(chǔ)理論的學(xué)習(xí)，效果是不好的。但一批數(shù)學(xué)家深刻注意到了數(shù)學(xué)的發(fā)展和變化，姜伯駒、李大潛、丁石孫、葉其孝等先生都分別撰文闡明在中學(xué)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的重要性。我們多年開展中學(xué)數(shù)學(xué)建模競賽和中學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)的實(shí)踐也證明了，數(shù)學(xué)建模對培養(yǎng)中學(xué)生應(yīng)用能力的良好作用。種種努力，使數(shù)學(xué)建模最終成為 新高中數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)中規(guī)定的高中數(shù)學(xué)內(nèi)容的一部分。

新高中數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)在基本理念的第 5 條即是發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，認(rèn)為高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)提供基本內(nèi)容的實(shí)際背景，反映數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，開展“數(shù)學(xué)建?！钡膶W(xué)習(xí)活動，設(shè)立體現(xiàn)數(shù)學(xué)某些重要應(yīng)用的專題課程。高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)力求使學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題中的作用、數(shù)學(xué)與日常生活及其他學(xué)科的聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生逐步形成和發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，提高實(shí)踐能力。由此在數(shù)學(xué)內(nèi)容中特別加入了：數(shù)學(xué)探究、數(shù)學(xué)建模。這些內(nèi)容不單獨(dú)設(shè)置，滲透在每個模塊或?qū)ｎ}中。標(biāo)準(zhǔn)要求高中階段至少各應(yīng)安排一次較為完整的數(shù)學(xué)探究、數(shù)學(xué)建模活動。

(1)數(shù)學(xué)探究 與前面所說的探究性學(xué)習(xí)、課題學(xué)習(xí)稍有區(qū)別，標(biāo)準(zhǔn)中所提出的數(shù)學(xué)探究側(cè)重于圍繞一個數(shù)學(xué)問題展開，被看做是一種新的學(xué)習(xí)方式。數(shù)學(xué)探究即數(shù)學(xué)探究性課題學(xué)習(xí)，是指學(xué)生圍繞某個數(shù)學(xué)問題，自主探究、學(xué)習(xí)的過程。這個過程包括：觀察分析數(shù)學(xué)事實(shí)，提出有意義的數(shù)學(xué)問題，猜測、探求適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)結(jié)論或規(guī)律，給出解釋或證明。數(shù)學(xué)探究是高中數(shù)學(xué)課程中引入的一種新的學(xué)習(xí)方式，有助于學(xué)生初步了解數(shù)學(xué)概念和結(jié)論產(chǎn)生的過程，初步理解直觀和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)年P(guān)系，初步嘗試數(shù)學(xué)研究的過程，體驗(yàn)創(chuàng)造的激情，建立嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和不怕困難的科學(xué)精神；有助于培養(yǎng)學(xué)生勇于質(zhì)疑和善于反思的習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出、解決數(shù)學(xué)問題的能力；有助于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識和實(shí)踐能力。

(2)數(shù)學(xué)建模

這里標(biāo)準(zhǔn)中談到的數(shù)學(xué)建模，內(nèi)容即是一般意義上的數(shù)學(xué)建模。數(shù)學(xué)建模是運(yùn)用數(shù)學(xué)思想、方法和知識解決實(shí)際問題的過程，已經(jīng)成為不同層次數(shù)學(xué)教育重要和基本的內(nèi)容。數(shù)學(xué)建?？梢酝ㄟ^以下框圖體現(xiàn)：

數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種新的方式，它為學(xué)生提供了自主學(xué)習(xí)的空間，有助于學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題中的價值和作用，體驗(yàn)數(shù)學(xué)與日常生活和其他學(xué)科的聯(lián)系，體驗(yàn)綜合運(yùn)用知識和方法解決實(shí)際問題的過程，增強(qiáng)應(yīng)用意識；有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識和實(shí)踐能力。

課程標(biāo)準(zhǔn)提出的教學(xué)要求是： ．在數(shù)學(xué)建模中，問題是關(guān)鍵。數(shù)學(xué)建模的問題應(yīng)是多樣的，應(yīng)來自于學(xué)生的日常生活、現(xiàn)實(shí)世界、其他學(xué)科等多方面。同時，解決問題所涉及的知識、思想、方法應(yīng)與高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容有聯(lián)系。．通過數(shù)學(xué)建模，學(xué)生將了解和經(jīng)歷上述框圖所表示的解決實(shí)際問題的全過程，體驗(yàn)數(shù)學(xué)與日常生活及其他學(xué)科的聯(lián)系，感受數(shù)學(xué)的實(shí)用價值，增強(qiáng)應(yīng)用意識，提高實(shí)踐能力。．每一個學(xué)生可以根據(jù)自己的生活經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)并提出問題，對同樣的問題，可以發(fā)揮自己的特長和個性，從不同的角度、層次探索解決的方法，從而獲得綜合運(yùn)用知識和方法解決實(shí)際問題的經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展創(chuàng)新意識。．學(xué)生在發(fā)現(xiàn)和解決問題的過程中，應(yīng)學(xué)會通過查詢資料等手段獲取信息。．學(xué)生在數(shù)學(xué)建模中應(yīng)采取各種合作方式解決問題，養(yǎng)成與人交流的習(xí)慣，并獲得良好的情感體驗(yàn)。．高中階段至少應(yīng)為學(xué)生安排 1 次數(shù)學(xué)建?；顒印＿€應(yīng)將課內(nèi)與課外有機(jī)地結(jié)合起來，把數(shù)學(xué)建?；顒优c綜合實(shí)踐活動有機(jī)地結(jié)合起來。標(biāo)準(zhǔn)未對數(shù)學(xué)建模的課時和內(nèi)容做具體安排。學(xué)校和教師可根據(jù)各自的實(shí)際情況，統(tǒng)籌安排數(shù)學(xué)建?；顒拥膬?nèi)容和時間。例如，可以結(jié)合統(tǒng)計、線性規(guī)劃、數(shù)列等內(nèi)容安排數(shù)學(xué)建?；顒?。

與傳統(tǒng)應(yīng)用題相比，數(shù)學(xué)建模所解決的問題往往呈現(xiàn)一種“混沌”狀態(tài)，沒有明顯的數(shù)據(jù)和關(guān)系可用，所給的條件也不一定有用，得出的結(jié)論往往不唯一，建立的數(shù)學(xué)模型也要在實(shí)踐中反復(fù)修改驗(yàn)證，由于具有這些特點(diǎn)，數(shù)學(xué)建模是學(xué)習(xí)“數(shù)學(xué)應(yīng)用”的最佳方式之一，能讓學(xué)生更好地體驗(yàn)數(shù)學(xué)是怎樣運(yùn)用于實(shí)際的過程，形成他們的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)。

四，初中數(shù)學(xué)建模的若干簡要案例

4.1 初中數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)案例 1 ：-----與自行車有關(guān)的問題（小組學(xué)習(xí)實(shí)踐）

課 題：了解自行車中的數(shù)學(xué)問題，應(yīng)用學(xué)過的數(shù)學(xué)知識，解決以下問題。

問題 1 ：用自己或同學(xué)的一輛自行車為觀察對象，觀察并解決下列問題：

（1）我觀察的這輛自行車是什么牌子的？

（2）它的直徑是 _______cm，輪子轉(zhuǎn)動一周，在地面走過的距離是_______cm，精確到 1cm。

（3）自行車中軸的大齒輪盤的齒數(shù)是_______齒，后軸的小齒輪（飛輪）的齒數(shù)是_______，中軸的大齒輪被踏動一周時，后軸的小齒輪在鏈條傳動下，不計算慣性將轉(zhuǎn)動_______周（保留 2 位小數(shù)）。

問題 2 ：如果你有自行車，并騎車上學(xué)，你能借助于自行車，測量出從你的家到學(xué)校的路程嗎？請你設(shè)計一個測量方案，并盡可能地通過實(shí)際操作測量出從你的家到學(xué)校的路程。

問題 3 ：如果你的（或你的朋友）自行車是可以變速的自行車（如山地車、多飛輪的自行車）、請你觀察一下在這輛自行車上有幾個（中軸上的）大輪盤，幾個飛輪，它們都各有多少齒？記錄這些數(shù)據(jù)。如果你騎車時每一秒腳蹬一圈，請你根據(jù)上面測量的數(shù)據(jù)計算出這輛自行車運(yùn)行時最大的速度和最小的速度各是每小時多少公里？：

選做問題 4 ：你認(rèn)為對問題 3 中的自行車的各個齒輪的齒數(shù)安排的合理嗎？你能發(fā)現(xiàn)或提出什么樣的問題？如果有可能請你做設(shè)計改進(jìn)的話，你會做什么？

求解工作的表格省略

4.2 初中數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)建模案例 2 ：-----線路設(shè)計問題（自學(xué)、探索、創(chuàng)新實(shí)踐）

課題： 為所在小區(qū)設(shè)計一個最佳的郵政投遞路線 ,、一個合理的保安巡邏路線。

實(shí)施建議： 1: 按居住地成立 4-6 人的小組，對你們要研究的小區(qū) , 進(jìn)行觀察 , 收集必要的數(shù)據(jù)和信息 ,(如平面圖 , 樓的門洞的朝向 , 道路情況 , 小區(qū)的進(jìn)出口位置等).發(fā)揮各自的特長，分工合作完成測量方案的設(shè)計、實(shí)測、作圖、計算、論證、比較、計算機(jī)文稿錄入、結(jié)果介紹等。

2: 復(fù)習(xí)必要的知識 , 如一筆畫方法 , 最短郵路的畫法和算法等.3: 畫出小區(qū)的平面示意圖 ,(最好復(fù)印一下 , 以避免后面畫壞時重畫), 在圖上完成郵政投遞路線的設(shè)計 ,(使郵遞員走的路線最短).：實(shí)踐環(huán)節(jié)：先不加思索按投遞要求隨意地走一遍 , 再按你設(shè)計的路線 , 實(shí)際走一遍 , 測算出路程看一看相差多少 ?(記錄數(shù)據(jù))

創(chuàng)新實(shí)踐項(xiàng)目 : 為你們居住的小區(qū)設(shè)計一個合理的保安巡邏路線、或合理的送奶的路線。首先思考 ” 合理 ” 的含義

4.3 初中數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)建模案例 3 ：---穿衣鏡的最佳設(shè)計（個人的創(chuàng)意與設(shè)計）

課題：自己提出幾個有關(guān)穿衣鏡設(shè)計的問題，給出你們認(rèn)為最合理、最佳、最有創(chuàng)意的設(shè)計方案或解決辦法。

實(shí)施建議：

1.成立工作小組，討論本小組的工作目標(biāo)、分工、。．有可能的話到家具店、超市、（別忘了帶尺子或相機(jī)）有關(guān)雜志或網(wǎng)站上收集一點(diǎn)相關(guān)資料，可以發(fā)現(xiàn)問題或提出你們更好的設(shè)計。．分工合作完成你們的設(shè)計，最好有一個圖、或一個小的模型，可以用紙板做。．準(zhǔn)備在全班交流，可以用實(shí)物、照片、模型、“ ppt ”，等形式表現(xiàn)你們的成果和創(chuàng)意，如果給你 3 分鐘講演、展示，怎樣讓班里同學(xué)為你們的成果叫好？

4.4 數(shù)學(xué)建模的可供學(xué)生選擇上的假期作業(yè)

1.利用放寒假與父母逛商場的機(jī)會，認(rèn)真注意收集春節(jié)商場“打折消費(fèi)”“誘導(dǎo)消費(fèi)”的各種廣告信息，測算化 1000 元可以最多實(shí)際買到價值多少的商品。計算實(shí)際打折率。開動你的大腦，為消費(fèi)者設(shè)計一種收益較多的購物方式；或者為商場設(shè)計一個更好的吸引消費(fèi)者的、也使的商場收益較多的購物方式。

2.測量一個比較高的建筑物的高度，說明測量方案，測量過程和測量數(shù)據(jù)?？凑l想出更好的方法？

3.自編 3 道方程和方程組的應(yīng)用題，要求聯(lián)系實(shí)際，有真實(shí)的實(shí)際背景，請寫出題目、題解?？凑l編的有趣。

4.到超市觀察各種不同包裝設(shè)計的同種商品，如同一個牌號的大、小牙膏，收集它們的價格信息，找一個表示它們的重量和價格的公式。5.到各大商場，超市觀察不同的商品的外包裝，提出一個與“節(jié)約”有關(guān)的問題，將問題數(shù)學(xué)化，并用學(xué)過的知識試著解決它。進(jìn)而自己在提出一些新的問題，或?qū)⒆约旱玫降慕Y(jié)果推廣以適用于更大的范圍。

6.了解出租車的計價方式，（如起步每公里，每種車型多少錢；運(yùn)行中每公里，每種車型多少錢；等候時每分鐘，每種車型多少錢？）給出一個根據(jù)距離、等候時間計算付多少錢的方法或公式。

7.調(diào)查郵局中不同重量、寄往本市、外地、港澳、國外的平信（包括航空）的郵資表，如果限定信封上只準(zhǔn)貼至多 3 枚郵票，請你設(shè)計郵票應(yīng)該有哪些面值？

8.自己找到的用學(xué)過和還沒有學(xué)過的數(shù)學(xué)知識解決的實(shí)際問題，（可以只提出問題，或僅僅提供一個解決問題的想法。）

（學(xué)生實(shí)際的學(xué)習(xí)成果從略）

五． 我們的體會和認(rèn)識

5.1 開展數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)不僅是學(xué)習(xí)方式的改變，而且是育人模式的變化。

人才培養(yǎng)模式集中而具體的體現(xiàn)形式是教育教學(xué)模式。改革傳統(tǒng)的以 “ 升學(xué) — 應(yīng)試 ” 為目標(biāo)的學(xué)校教育教學(xué)模式，創(chuàng)建以全體學(xué)生全面發(fā)展為目標(biāo)的、體現(xiàn)素質(zhì)教育方向和要求的新型教育教學(xué)模式，是當(dāng)前學(xué)校實(shí)施素質(zhì)教育的首要任務(wù)。而創(chuàng)建體現(xiàn)素質(zhì)教育思想和要求的教育教學(xué)模式重要的著眼點(diǎn)就是要改變學(xué)生那種單純地被動接受教師知識傳輸?shù)膶W(xué)習(xí)方式，幫助和指導(dǎo)學(xué)生在開展有意義接受學(xué)習(xí)的同時，形成一種對知識技能進(jìn)行主動探求、并重視實(shí)際問題解決的主動積極的學(xué)習(xí)方式。這就是培養(yǎng)學(xué)生在教師指導(dǎo)下，從自身的學(xué)習(xí)生活和社會生活、自然界以及人類自身的發(fā)展中選取研究專題（專題、主題），以探究的方式主動地獲取知識、應(yīng)用知識、解決問題的數(shù)學(xué)建模。這對于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力、創(chuàng)造能力、終身學(xué)習(xí)的能力具有十分重要的意義。而數(shù)學(xué)建模活動的實(shí)際結(jié)果告訴我們，它不僅對好學(xué)生、而且對學(xué)習(xí)有一定困難的學(xué)生都能起到培養(yǎng)興趣、激發(fā)創(chuàng)造的目的。數(shù)學(xué)建模的成果還可以為學(xué)生建立一種更表現(xiàn)學(xué)生素質(zhì)的評價體系。數(shù)學(xué)建模的過程可以為不同水平的學(xué)生都提供體驗(yàn)成功的機(jī)會，真正把篩子變成泵。

實(shí)際上，數(shù)學(xué)建模的教學(xué)過程（或者更自然地說是師生一起學(xué)和做的過程）對教師的成長和專業(yè)發(fā)展，更新教育觀念，主動參與并推進(jìn)素質(zhì)教育，有著越來越重要的作用。

它表現(xiàn)在下面的幾個方面：

首先，它可以幫助教師轉(zhuǎn)變教學(xué)觀，更有利于發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用。教師的主導(dǎo)作用體現(xiàn)在創(chuàng)設(shè)好的問題環(huán)境 , 激發(fā)學(xué)生自主地探索解決問題的積極性和創(chuàng)造性上;學(xué)生的主體作用體現(xiàn)在問題的探索、發(fā)現(xiàn)、解決的深度和方式盡量由學(xué)生自主控制和完成。它體現(xiàn)了教學(xué)過程由以教為主到以學(xué)為主的重心的轉(zhuǎn)移。課堂的主活動不應(yīng)都是教師的講授 , 而應(yīng)是學(xué)生自主的自學(xué)、討論、調(diào)查、探索、解決問題。教師要自覺適時地改變他的教育角色，平等地參與學(xué)生的探索、學(xué)習(xí)活動。教師不應(yīng)只是“講演者”、不應(yīng)是“總是正確的指導(dǎo)者”，而應(yīng)不時扮演下列角色： 模特－－他不僅演示正確的開始，也表現(xiàn)失誤的開端和“撥亂返正”的思維技能；參謀－－提一些求解的建議，提供可參考的信息，但并不代替學(xué)生做出決斷；詢問者－－故作不知，問原因、找漏洞，督促學(xué)生弄清楚、說明白，完成進(jìn)度；仲裁者和鑒賞者－－評判學(xué)生工作及成果的價值、意義、優(yōu)劣，鼓勵學(xué)生的有創(chuàng)造性的想法和作法；在教學(xué)的組織中體現(xiàn)“學(xué)法”，把教和學(xué)融為一體。

其次，它可以可以幫助教師轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)觀。

過去在封閉式教育中，教師是知識的輸出者。由于教育被定位為在學(xué)校這個“圍墻”內(nèi)，由知識的擁有者和惟一源泉——教師向知識的需求者——學(xué)生輸出知識的活動，教師和學(xué)生之間的關(guān)系就是教師“單向輸出”和學(xué)生“被動接受”的關(guān)系。在數(shù)學(xué)建模的實(shí)踐活動中，問題環(huán)境充分敞開，教師不可能也不再是學(xué)生獲取知識的惟一源泉，而且常常會無計可施，教師的指導(dǎo)作用更多地表現(xiàn)在“策略”的指導(dǎo)。教師把握教學(xué)目標(biāo)時應(yīng)立足于“做”而不是講，立足于學(xué)生對問題的分析，對解決問題過程的理解，而不以僅僅有正確的解答為滿足。要讓學(xué)生在問題、困難、挑戰(zhàn)、挫折、取勝的交替體驗(yàn)中；在選擇、判斷、協(xié)作、交流的輪換操作中;經(jīng)歷一個個學(xué)、用知識 , 進(jìn)而發(fā)現(xiàn)問題 , 走向新的學(xué)、用知識的過程。從而培養(yǎng)能力、激發(fā)興趣、形成學(xué)生主動學(xué)習(xí)的良性循環(huán)。

同時，它還可以改變教師自己的成材觀、發(fā)展觀。

事實(shí)上，數(shù)學(xué)建模對教師也很陌生 , 對許多問題教師可能都不會 , 怎么教學(xué)生 ? 在數(shù)學(xué)建模過程中表現(xiàn)出的問題形式與內(nèi)容的多樣，問題解決方法的多樣性、新奇性和個性的展示，問題解決過程和結(jié)果層次的多樣性，無疑是對參與者創(chuàng)造力的一種激發(fā)、挑戰(zhàn)、考驗(yàn)和有效的鍛煉。教師在陌生的問題前感到困難、失去相對于學(xué)生的優(yōu)勢是自然的，常常出現(xiàn)的。這里有兩個認(rèn)識需要改變，一是數(shù)學(xué)建模教學(xué)能力提高的主要途徑恰恰是自己多參與，多獨(dú)立的思考和實(shí)際去“做”；二是數(shù)學(xué)建模的教學(xué)過程中，教師的角色不應(yīng)該總是“正確的指導(dǎo)者，總是正確的化身”，而應(yīng)該平等地參與，適時扮演“同事、參謀、建議者、欣賞者”。教師要在自己的視野內(nèi)努力尋找宜于學(xué)生使用的數(shù)學(xué)建模問題，做好每個問題解決過程的記錄，學(xué)生成功的經(jīng)驗(yàn)和自己在挫折中得到的教訓(xùn)對于今后的數(shù)學(xué)建模的教學(xué)設(shè)計有重要的價值，也是教師由數(shù)學(xué)建模的生手到行家的有效途徑之一。

5.2 對在數(shù)學(xué)新課程中開展數(shù)學(xué)建?；顒拥男〗Y(jié)：

選材：聯(lián)系學(xué)生和教材的實(shí)際。

資源：你的學(xué)生、家長、同事、朋友和他們的實(shí)踐，相關(guān)刊物和網(wǎng)站。

內(nèi)容： 好入手、有趣味、可深入 設(shè)計：強(qiáng)調(diào)------開放思維、實(shí)踐活動、小組功能、過程體驗(yàn)；

鼓勵：（使用）計算工具、提出問題、多途求解、情感交流、共享成果；

促進(jìn)：學(xué)習(xí)過程的良性循環(huán)、對學(xué)生產(chǎn)生積極的評價、課內(nèi)知識的學(xué)習(xí)。

互動對話 話題一：數(shù)學(xué)建模在義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，高中標(biāo)準(zhǔn)的要求各是什么？如何做好過渡？

要點(diǎn)：見《初中培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模思想的策略研究》課程 的第三部分（白永瀟主準(zhǔn)備）

話題二：數(shù)學(xué)建模活動如何與常規(guī)課程“整合”？

要點(diǎn)：回歸“綜合與實(shí)踐”，重在學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變（鮑靜宜為主準(zhǔn)備幾個案例）

話題三：數(shù)學(xué)建模沒有教材、沒有教參怎么開課？

要點(diǎn)：（1）數(shù)學(xué)建模不是一個“教”的課程，是一個導(dǎo)學(xué)、伴學(xué)的課程。

（2）死的資源不少，活的資源更多，關(guān)鍵是教師的問題意識和資源意識

（張思明準(zhǔn)備案例，白永瀟、鮑靜宜討論）

話題四：基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生常規(guī)課程學(xué)習(xí)都困難，還能學(xué)數(shù)學(xué)建模嗎？

要點(diǎn)：（1）學(xué)習(xí)困難的因素分析：沒興趣、沒動力、沒得到過積極評價

（2）數(shù)學(xué)建?；顒涌梢约ぐl(fā)興趣，改善評價，獨(dú)立個性和創(chuàng)造

（張思明準(zhǔn)備案例，白永瀟、鮑靜宜討論）

課例《 打包問題 》評析

《 打包問題 》是 應(yīng)用已學(xué)過的表面積計算、不等式比較法、分類討論等數(shù)學(xué)知識和方法，解決一個具體的實(shí)際問題。張思明 老師采用以討論式為主的教學(xué)方式，在師生互動、多向交流解決問題的過程中，體現(xiàn)學(xué)法指導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考、善于合作、勇于探索的精神，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力，以及合理使用計算工具的習(xí)慣。

這節(jié)課教學(xué)的特點(diǎn)突出，主要體現(xiàn)在以下幾個方面：

1.教學(xué)過程脈絡(luò)清晰，充分展現(xiàn)了學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出、解決問題的過程，既培養(yǎng)了學(xué)生的應(yīng)用意識，又有利于學(xué)生綜合能力的提高。

這節(jié)課設(shè)計了一系列問題，貫串著解決打包問題的主線。首先，通過實(shí)物展示（一條煙，一包火柴，一盒磁 帶……）提出本節(jié)課要研究解決的問題： 哪一種包裝形式更能節(jié)省外包裝材料呢？進(jìn)而更數(shù)學(xué)地提問：怎樣打包可使表面積最??？

然后以香煙打包為例，按照實(shí)際情況，先試著擺出幾種打包方案，定義一種 “ 規(guī)則打包 ” 法，讓學(xué)生分組討論 不同打包方式有多少種？ 教師提供基本數(shù)據(jù)，引導(dǎo)學(xué)生合作求解，并 組織學(xué)生討論交流，教師進(jìn)行 問題導(dǎo)學(xué)。在由計算得出結(jié)論以后，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步討論：既然對香煙來說第六種打包形式的表面積最小，可為什么外面買的香煙都不是這樣打包的？這是開放性問題，有多種答案，師生共同討論給出。接著又把問題引向深入：是不是 10 包同樣尺寸的長方體型的物體打成一包，第六種打包形式一定是表面積最小呢？教師導(dǎo)學(xué)，學(xué)生思考交流，得到結(jié)論。

在解決了香煙的打包問題以后，教師安排 學(xué)生進(jìn)行 鞏固性練習(xí)：即火柴和磁帶 的打包問題，由學(xué)生獨(dú)立解決。然后，又提出 發(fā)展性問題(對優(yōu)秀學(xué)生方采用)： 將 6 包改成 12 包或 8 包，結(jié)果怎樣？有沒有一個更一般的處理這類問題模型或程序？

這樣的教學(xué)設(shè)計，既實(shí)現(xiàn)了學(xué)生積極主動學(xué)習(xí)，又充分體現(xiàn)了教師問題導(dǎo)學(xué)的作用。表現(xiàn)在

① 教師通過適當(dāng)?shù)囊?guī)定和鋪墊，保證了討論過程中實(shí)質(zhì)環(huán)節(jié)內(nèi)容的把握，使學(xué)生集中精力解決實(shí)際問題。

② 時時注意“數(shù)學(xué)問題”與“實(shí)際問題”的區(qū)別與聯(lián)系，既培養(yǎng)了學(xué)生的應(yīng)用意識，又提高了解決實(shí)際問題的能力。

③ 使學(xué)生在做數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的過程中學(xué)數(shù)學(xué)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的意義和作用，體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模的過程。

這樣教學(xué)，使學(xué)生在問題解決的過程中，培養(yǎng)良好的思維品質(zhì)，提高學(xué)習(xí)與應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力，體驗(yàn)如何思路清晰地處理實(shí)際問題，掌握分析解決問題的方式方法，這一切都有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神，體現(xiàn)了素質(zhì)教育的實(shí)施。

2.教師營造了寬松和諧的學(xué)習(xí)氛圍，使學(xué)生在充滿活力的課堂上得到良好的學(xué)習(xí)和情感 體驗(yàn)，有利于學(xué)生的發(fā)展。這節(jié)課的教學(xué)過程，師生之間多向互動，置疑反思，充滿活力，充分體現(xiàn)了新課程理念下新型的師生關(guān)系。學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人，在小組學(xué)習(xí)的過程中，既有熱烈的討論，智慧的碰撞；又有高效率的分工合作。在教師的組織和引導(dǎo)下，學(xué)生積極思考，充分活動，自始至終 學(xué)習(xí)興趣濃厚，體驗(yàn)了解決實(shí)際問題的喜悅。

突出反映在以下幾個環(huán)節(jié)：

① 在組織學(xué)生分組討論求解方案時，教師在巡視中既了解學(xué)生的研究情況把握反饋信息，又與學(xué)生平等交流，鼓勵學(xué)生提出自己的見解，并讓學(xué)生弄清原因，明白道理，實(shí)現(xiàn)了課堂教學(xué)的高效益。

② 對鞏固性練習(xí)、發(fā)展性練習(xí)，為了培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)直覺，先讓學(xué)生憑直覺擺放出 表面積最小的打包方式，現(xiàn)場交流學(xué)生的結(jié)果和發(fā)現(xiàn)，教師及時表揚(yáng)鼓勵學(xué)生的主動參與，學(xué)生興致盎然。

這節(jié)課教學(xué)資源準(zhǔn)備充分，教學(xué)手段使用靈活，教學(xué)過程將實(shí)物展示、幻燈片演示、師生板書相結(jié)合，既注重學(xué)生的積極參與，又恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行問題導(dǎo)學(xué)，有效地促進(jìn)了學(xué)生的自主 學(xué)習(xí)。使學(xué)生在“做”、“學(xué)”、“問”的學(xué)習(xí)生活中體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造的樂趣。

思考與活動

思考題：可任選擇一個問題回答

1.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（修改稿）中對“綜合與實(shí)踐”是怎樣定位的？您認(rèn)為規(guī)定學(xué)習(xí)這些內(nèi)容對初中學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有何價值？

2.對比小學(xué)、初中和高中的綜合與實(shí)踐，怎樣從整體上分析、把握綜合與實(shí)踐的內(nèi)容和教學(xué)要求？

3.如何開發(fā)初中數(shù)學(xué)建模的教學(xué)資源？以您自己收集、開發(fā)的問題為例，分析什么樣的問題是“數(shù)學(xué)建?！钡暮脝栴}。

4.結(jié)合您以往的教學(xué)實(shí)踐分析說明開展“數(shù)學(xué)建?！睂W(xué)生成長的作用，分析提升您的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)；或分析尚不能開展“數(shù)學(xué)建?！钡膯栴}、困難、原因何在，提出您尋求突破的想法和策略。

5.您認(rèn)為開展數(shù)學(xué)“綜合與實(shí)踐”的教學(xué)，對數(shù)學(xué)教師的專業(yè)發(fā)展有怎樣的作用，談?wù)勀恼J(rèn)識、體會和困惑。

實(shí)踐題：可任選一個做

6.選取初中的數(shù)學(xué)課內(nèi)學(xué)習(xí)一個數(shù)學(xué)內(nèi)容（片段）做一個數(shù)學(xué)建模的活動設(shè)計。說明設(shè)計的功能和創(chuàng)新點(diǎn)。

7.做一個數(shù)學(xué)課外活動的“綜合與實(shí)踐”的活動設(shè)計，說明設(shè)計的功能和創(chuàng)新點(diǎn)。

8.做一個“綜合與實(shí)踐”的評價設(shè)計，說明如何利用評價的功能，引導(dǎo)和鼓勵學(xué)生主動學(xué)習(xí)、相互合作、激發(fā)興趣、培養(yǎng)習(xí)慣、突破創(chuàng)新等方面的思考和做法。.設(shè)計一個以“綜合與實(shí)踐”或數(shù)學(xué)建模為主題的校本教研的小課題，說明課題內(nèi)容、意義、研究方法、預(yù)期目標(biāo)進(jìn)行說明或論證。.在以下問題中選擇一個，自己實(shí)際做一個全過程的數(shù)學(xué)建模，給出你的研究過程和結(jié)果報告。

初中數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)的選題建議

1.圓珠筆的容量討論，0.3、0.5、0.7mm 的筆芯都是一樣的含墨量，合理嗎？（上網(wǎng)、實(shí)測、討論）2.煤氣灶的使用技巧，進(jìn)氣旋紐多少度時，燃燒效率最高？不同角度（4 種）用同一個壺，燒開 一升 的水的實(shí)驗(yàn)，記錄時間和用氣量。找到一個公式，給出最佳角度。

3.暖瓶保溫的最佳水位：同一個暖瓶灌入 100 度的熱水，記錄水位的不同，定時觀察溫度的變化（用溫度計，注意氣溫計不行）。最后找到保溫效果最好的水位線。

4.多大的電視機(jī)應(yīng)該放在多大的屋子里？先確定最佳的視覺角度和位置，在調(diào)查各形彩電的尺寸，結(jié)合客廳和臥室的不同，給出你的結(jié)果。

5.在網(wǎng)上或市場上調(diào)查液晶顯示器的價格變化，和估計壽命，給出你的配置或購買的策略。

6.節(jié)能燈省錢嗎？普通燈泡價錢便宜，但壽命短，節(jié)能燈發(fā)光效率高，但價格貴，調(diào)查討論市場上兩種燈的瓦數(shù)和價錢，從網(wǎng)上或產(chǎn)品說明書中了解產(chǎn)品的使用壽命，進(jìn)行比較討論，給出你認(rèn)為合理的選購策略。

7.設(shè)計一個實(shí)用的方法，利用手邊有的東西，如字典、快譯通、計算機(jī)上的英語軟件（如金山詞霸）來估計自己的詞匯量。說明想法、道理、實(shí)測的結(jié)果。

8.對課本使用經(jīng)濟(jì)性的討論，從課本的紙材、頁數(shù)、字?jǐn)?shù)、信息量、重量、使用年限等角度來分析現(xiàn)行課本的設(shè)計優(yōu)缺點(diǎn)，提出你認(rèn)為合理的課本設(shè)計和使用的方案。

9.對信息時代提高選擇有用信息效率的思考和建議。調(diào)查你家電視可以接受多少頻道，每天家里的報紙平均有多少版，其他信息有多少種，每天用于閱讀信息的時間有多少，當(dāng)你需要某種信息時，你檢索它的方法和所化的時間，從中發(fā)現(xiàn)提出問題和解決辦法。10.通過調(diào)查你所在的班或年級在一些方面的數(shù)據(jù)，說明一些問題：如學(xué)生手機(jī)擁有量、名牌運(yùn)動鞋、名牌書包等數(shù)據(jù)說明學(xué)生消費(fèi)的變化和問題；通過學(xué)生視力、請假天數(shù)、身高、體重、肺活量等數(shù)據(jù)說明學(xué)生們身體變化的問題；用數(shù)據(jù)對教室的燈光照度、桌椅的高矮、書包的大小、吃早餐的人數(shù)等對我們的生活和學(xué)習(xí)環(huán)境提出改進(jìn)的建議。

參考資料

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第二篇：數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中數(shù)學(xué)建模思想的培養(yǎng)

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中數(shù)學(xué)建模思想的培養(yǎng)

數(shù)學(xué)建模屬于一門應(yīng)用數(shù)學(xué)，學(xué)習(xí)這門課要求我們學(xué)會如何將實(shí)際問題經(jīng)過分析、簡化轉(zhuǎn)化為一個數(shù)學(xué)問題，然后用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法去解決。數(shù)學(xué)建模是一種數(shù)學(xué)的思考方法，是運(yùn)用數(shù)學(xué)的語言和方法，通過抽象、簡化建立能近似刻畫并“解決”實(shí)際問題的一種強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)手段。為了使描述更具科學(xué)性，邏輯性，客觀性和可重復(fù)性，人們采用一種普遍認(rèn)為比較嚴(yán)格的語言來描述各種現(xiàn)象，這種語言就是數(shù)學(xué)。使用數(shù)學(xué)語言描述的事物就稱為數(shù)學(xué)模型。下面，我就結(jié)合課堂教學(xué)實(shí)際談?wù)勗鯓优囵B(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模思想。

一、數(shù)學(xué)建模思想培養(yǎng)的意義：

1、能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)造能力

2、訓(xùn)練學(xué)生快速獲取信息和資料的能力

3、鍛煉快速了解和掌握新知識的技能

4、培養(yǎng)團(tuán)隊(duì)合作意識和團(tuán)隊(duì)合作精神

5、增強(qiáng)口頭表達(dá)能力和寫作技能

現(xiàn)代的課堂學(xué)習(xí)活動是教師與學(xué)生、學(xué)生與學(xué)生在民主平等的氛圍中團(tuán)結(jié)合作、共同探究、努力創(chuàng)新。這就需要教師具備先進(jìn)的教育教學(xué)理念和扎實(shí)全面的知識技能。

以前我很少會在課堂教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模思想，在這次培訓(xùn)后，我才認(rèn)識到培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模思想是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)，真正體現(xiàn)“數(shù)學(xué)來源于生活、數(shù)學(xué)應(yīng)用于實(shí)際生活”的基本原理。我認(rèn)為培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模思想，最好的方法就是讓學(xué)生去進(jìn)行針對性地數(shù)學(xué)實(shí)踐探究活動如在學(xué)習(xí)一次函數(shù)時，讓學(xué)生考察家里電費(fèi)的交納、水費(fèi)的交納、電話費(fèi)的交納等。學(xué)生在實(shí)際的生活中既能掌握所學(xué)數(shù)學(xué)知識，更能培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模思想，為今后解決更多的相關(guān)問題或進(jìn)行創(chuàng)新打下扎實(shí)基礎(chǔ)。

二、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模思想的過程分析

1、模型準(zhǔn)備：了解問題的實(shí)際背景，明確其實(shí)際意義，掌握對象的各種信息。用數(shù)學(xué)語言來描述問題。

2、模型假設(shè)：根據(jù)實(shí)際對象的特征和建模的目的，對問題進(jìn)行必要的簡化，并用精確的語言提出一些恰當(dāng)?shù)募僭O(shè)。

3、模型建立：在假設(shè)的基礎(chǔ)上，利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具來刻畫各變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。（盡量用簡單的數(shù)學(xué)工具）

4、模型求解：利用獲取的數(shù)據(jù)資料，對模型的所有參數(shù)做出計算（估計）。

5、模型分析：對所得的結(jié)果進(jìn)行數(shù)學(xué)上的分析。

6、模型檢驗(yàn)：將模型分析結(jié)果與實(shí)際情形進(jìn)行比較，以此來驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性、合理性和適用性。如果模型與實(shí)際較吻合，則要對計算結(jié)果給出其實(shí)際含義，并進(jìn)行解釋。如果模型與實(shí)際吻合較差,則應(yīng)該修改假設(shè)，再次重復(fù)建模過程。

7、模型應(yīng)用：應(yīng)用方式因問題的性質(zhì)和建模的目的而異。

三、數(shù)學(xué)建模思想培養(yǎng)的基本原則

在課堂設(shè)計方面，數(shù)學(xué)建模教學(xué)要遵循下列教學(xué)設(shè)計原則：（1）所有的學(xué)習(xí)活動都應(yīng)該與教學(xué)的任務(wù)或目標(biāo)掛鉤。也就是說，學(xué)習(xí)活動應(yīng)帶有明確的目的性，學(xué)以致用。（2）把支持學(xué)習(xí)者發(fā)掘問題作為學(xué)習(xí)活動的刺激物，使學(xué)習(xí)成為自愿的事，而不是強(qiáng)加給他們學(xué)習(xí)目標(biāo)和以通過測試為目的。（3）設(shè)計真實(shí)的學(xué)習(xí)環(huán)境，讓學(xué)生帶著真實(shí)任務(wù)進(jìn)行學(xué)習(xí)。所謂真實(shí)的環(huán)境并非一定要真正的生活環(huán)境，但必須使學(xué)生能夠經(jīng)歷與實(shí)際世界中相類似的認(rèn)知挑戰(zhàn)。（4）設(shè)計的學(xué)習(xí)情境應(yīng)具有與實(shí)際情境相近的復(fù)雜程度，避免降低學(xué)習(xí)者的認(rèn)知要求。（5）讓學(xué)習(xí)者擁有學(xué)習(xí)過程的主動權(quán)。教師的作用不是主觀武斷地控制學(xué)習(xí)過程，約束學(xué)習(xí)者的思維，而應(yīng)該為他們提供思維上的挑戰(zhàn)。（6）為學(xué)習(xí)者提供有援學(xué)習(xí)環(huán)境，當(dāng)他們遇到問題或偏離方向時應(yīng)給予有效的援助和支持。教師的作用不是提供答案，而是提供示范、輔導(dǎo)和咨詢。（7）鼓勵學(xué)習(xí)者體驗(yàn)多種情境和驗(yàn)證不同的觀點(diǎn)。不僅可以培養(yǎng)學(xué)習(xí)者知識遷移的能力，而且有利于形成學(xué)習(xí)者之間共享知識的風(fēng)氣。通過創(chuàng)設(shè)情境進(jìn)行教學(xué)，不僅幫助學(xué)生在真實(shí)或接近真實(shí)的情境中通過問題解決學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，同時使數(shù)學(xué)知識與其他學(xué)科知識產(chǎn)生互動，培養(yǎng)學(xué)生的文字理解能力、觀察、分析、綜合、比較、概括、創(chuàng)新等能力，以及良好的心理素質(zhì)。但值得強(qiáng)調(diào)的是，數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)并不一定都要在具體情境中發(fā)生，可以按知識的種類而定，不同的知識類型，其掌握、保持、遷移的規(guī)律不同，教學(xué)的方式也不同。此外，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)仍然離不開抽象訓(xùn)練。

四、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模思想應(yīng)注意的幾個問題

1．選擇的實(shí)際問題要有代表性

現(xiàn)實(shí)社會中的問題多種多樣，教師在選取問題時要注意代表性，能反映一般情況，這樣構(gòu)建的建模才具有普遍性、廣泛性。2．注重對學(xué)生實(shí)踐活動的方法指導(dǎo)

數(shù)學(xué)活動是培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模思想的重要途徑，教師要加強(qiáng)對學(xué)生活動方案、研究方式方法的指導(dǎo)。教師始終是活動的組織者、引導(dǎo)者和合作者；學(xué)生通過交流合作，主動探究出解決實(shí)際問題方式方法。有效地改變教師的教學(xué)方法和學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，培養(yǎng)學(xué)生的動手能力和合作精神，創(chuàng)新意識和實(shí)踐能力，全面提高學(xué)生素質(zhì)。

五、培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模思想的教學(xué)難點(diǎn)及破解對策

（一）初中學(xué)生用數(shù)學(xué)建模解決實(shí)際應(yīng)用問題的難點(diǎn)

1、缺乏解決實(shí)際問題的信心

數(shù)學(xué)建模問是用數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際生活中各種各樣的問題，是一種創(chuàng)造性的勞動，涉及到各種心理活動，心理學(xué)研究表明，良好的心理品質(zhì)是創(chuàng)造性勞動的動力因素和基本條件，它主要包括以下要素：自覺的創(chuàng)新意識；強(qiáng)烈的好奇心和求知欲；積極穩(wěn)定的情感；頑強(qiáng)的毅力和獨(dú)立的個性；強(qiáng)烈而明確的價值觀；有效的組織知識。許多學(xué)生由于不具備以上良好的心理品質(zhì)因而對解決實(shí)際問題缺乏應(yīng)有的信心。

2、對實(shí)際問題中一些名詞術(shù)語感到生疏

由于數(shù)學(xué)應(yīng)用題中往往有許多其他知識領(lǐng)域的名詞術(shù)語，而學(xué)生從小到大一直生長在學(xué)校，與外界接觸較少，對這些名詞術(shù)語感到很陌生，不知其意，從而就無法讀懂題，更無法正確理解題意，比如實(shí)際生活中的利率、利潤、打折、保險金、保險費(fèi)、納稅率、折舊率、移動電話的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)等概念，這些概念的基本意思都沒搞懂。如果涉及到這些概念的實(shí)際問題就談不上如何去理解了，更談不上解決問題。

3、對數(shù)據(jù)處理缺乏適當(dāng)?shù)姆椒?/p>

許多實(shí)際問題中涉及到的數(shù)據(jù)多且雜亂，學(xué)生面對如此多而雜亂的數(shù)據(jù)感到無從下手，不知應(yīng)把哪個數(shù)據(jù)作為思維起點(diǎn)，從而找不到解決問題的突破口。

4、缺乏將實(shí)際問題數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化的經(jīng)驗(yàn)

數(shù)學(xué)模式的呈現(xiàn)形式是多種多樣的，有的以函數(shù)顯示，有的以方程顯示有的以圖形顯示，有的以不等式顯示，有的以概率顯示，當(dāng)然，還有其他各種形式的模型，具體到一個實(shí)際問題來講，判斷這個實(shí)際問題與哪類數(shù)學(xué)知識相關(guān)，用什么樣的數(shù)學(xué)方法解決問題，是學(xué)生深感困難的一個環(huán)節(jié)。

（二）、破解數(shù)學(xué)建模難點(diǎn)的對策

針對學(xué)生解決實(shí)際應(yīng)用問題的困難以及解實(shí)際應(yīng)用問題的思路和方法，我認(rèn)為在平時的應(yīng)用題教學(xué)中應(yīng)重視對學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)應(yīng)用意識的培養(yǎng)。如數(shù)學(xué)語言，數(shù)學(xué)閱讀理解等要有計劃，有針對性地訓(xùn)練和培養(yǎng)，具體地講，應(yīng)抓好以下幾個方面的教學(xué)。

1、著力培養(yǎng)學(xué)生的自信心

一個人的自信心是他能有效地進(jìn)行學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，更是他將來能適應(yīng)經(jīng)濟(jì)時代必備的心理素質(zhì)。基于這樣一個事實(shí)，許多國家都把對學(xué)生自信心的培養(yǎng)作為數(shù)學(xué)教育的一個基本目標(biāo)。因此，在平時教學(xué)中，應(yīng)加強(qiáng)實(shí)際問題的教學(xué)，使學(xué)生從自身的生活背景中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)，創(chuàng)造數(shù)學(xué)，運(yùn)用數(shù)學(xué)，并在此過程中獲得足夠的自信。

2、培養(yǎng)學(xué)生閱讀理解能力，使學(xué)生逐步學(xué)會數(shù)學(xué)地閱讀材料了解材料 通過數(shù)學(xué)閱讀，能促進(jìn)學(xué)生語言水平的發(fā)展以及認(rèn)知水平的發(fā)展，有助于學(xué)生探究能力和自學(xué)能力的培養(yǎng)；通過數(shù)學(xué)閱讀，有助于學(xué)生更好地掌握數(shù)學(xué)。前蘇聯(lián)著名數(shù)學(xué)教育家斯托利亞爾指出“數(shù)學(xué)教學(xué)也就是數(shù)學(xué)語言的教學(xué)”，因此，從語言學(xué)習(xí)的角度講，數(shù)學(xué)教學(xué)也必須重視數(shù)學(xué)閱讀，作為數(shù)學(xué)教師，不僅要重視培養(yǎng)學(xué)生的閱讀能力，還要注重教給學(xué)生科學(xué)有效的閱讀方法，讓學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)閱讀的重要性使學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)閱讀的樂趣及對學(xué)習(xí)的益處。從而在興趣和利益的驅(qū)動下自覺主動地進(jìn)行數(shù)學(xué)閱讀。

3、構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，強(qiáng)化從整體的角度選擇思維起點(diǎn)的能力，數(shù)學(xué)實(shí)際問題最突出的特點(diǎn)就是數(shù)據(jù)多，變量符號（字母）多，數(shù)量關(guān)系隱蔽而且數(shù)據(jù)具有“生活實(shí)際”的本來面目，并非“純數(shù)學(xué)化”的數(shù)據(jù)。學(xué)生對數(shù)據(jù)的感悟能力較差，對已知所求之間的數(shù)量關(guān)系比較模糊，如果從局部入手，則頭緒紛繁，不易突破，但若能從客觀上進(jìn)行整體分析，抓住問題的框架結(jié)構(gòu)與本質(zhì)關(guān)系，常能出奇制勝，找到解決問題的方法。具體的講可以運(yùn)用結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)表格的整合信息，理順數(shù)量間的關(guān)系，從而建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，凸顯數(shù)學(xué)“建模”。

4、加強(qiáng)數(shù)學(xué)語言能力的培養(yǎng)對學(xué)生數(shù)學(xué)語言能力的培養(yǎng)包括兩個方面的內(nèi)容：一是掌握數(shù)學(xué)語言，包括：①接受——看（聽）得懂，能識別、理解解釋弄清數(shù)學(xué)問題的語言表達(dá)，并能轉(zhuǎn)化為具體的數(shù)學(xué)思想，能用自己的語言復(fù)述、表達(dá)；②表達(dá)——寫（講）得出，能將自己解決數(shù)學(xué)問題的觀點(diǎn)、思想、方法、過程用恰當(dāng)?shù)恼Z言標(biāo)準(zhǔn)流暢地表達(dá)出來，并且在表達(dá)中名詞述語規(guī)范、準(zhǔn)確、合乎邏輯。二是幫助學(xué)生掌握好非數(shù)學(xué)語言與數(shù)學(xué)語言之間，各種數(shù)字語言的互譯、轉(zhuǎn)化工作。加強(qiáng)對學(xué)生數(shù)學(xué)語言能力的培養(yǎng)。

5、優(yōu)化教學(xué)設(shè)計，教學(xué)策略。傳統(tǒng)教學(xué)中，教學(xué)過程基本上由教師控制，教學(xué)設(shè)計只關(guān)注對傳授——接受過程的優(yōu)化，而很少關(guān)注改變學(xué)生學(xué)習(xí)方式，學(xué)生接受的只是一些數(shù)學(xué)結(jié)論，對數(shù)學(xué)問題是怎樣提出的，概念是如何在具體情景中形成的，結(jié)論怎樣探索和猜測到的，證明的思路和計算的想法是怎樣得到的，結(jié)論的作用和意義是什么？很少關(guān)注。因而無法實(shí)現(xiàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)由被動接受“結(jié)果”向主動積極構(gòu)建“過程”的轉(zhuǎn)化。一碰上實(shí)際問題，就茫然不知所措。為改變這一高耗低效的課堂，教學(xué)設(shè)計應(yīng)注重創(chuàng)造問題情景，開發(fā)教學(xué)媒體，提供學(xué)習(xí)資源，優(yōu)化學(xué)習(xí)環(huán)境。在指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)策略上：一是變學(xué)生“倉庫式”學(xué)習(xí)為“蜂蜜式”學(xué)習(xí)，二是變學(xué)生由知識學(xué)習(xí)為體驗(yàn)學(xué)習(xí)、發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)。因此教學(xué)設(shè)計不僅要關(guān)注“基礎(chǔ)知識”傳授，更要關(guān)注如何向?qū)W生提供真實(shí)情境，模擬情境向?qū)W生展現(xiàn)“春天的原野”，讓學(xué)生體驗(yàn)嘗試，發(fā)現(xiàn)探究。讓學(xué)生博采廣擷，自我“釀蜜”；優(yōu)化教學(xué)設(shè)計離不開研究學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理，摸清學(xué)生的學(xué)情，否則，教師無法有針對性地提供給學(xué)生解決數(shù)學(xué)實(shí)際問題的思想和方法。

6、開發(fā)教材潛能，創(chuàng)造性地用好教材

教材是教與學(xué)的依據(jù)，也是教學(xué)問題的題源。教材中的例題、習(xí)題是經(jīng)過反復(fù)篩選精編而成，看似尋常，實(shí)則內(nèi)涵豐富。有不尋常的價值和應(yīng)用功能，教師要充分發(fā)揮、挖掘教材中例、習(xí)題的作用，在教與學(xué)中創(chuàng)造性地設(shè)置教學(xué)情景，并適時地“深挖洞”或“廣積糧”形成以問題為中心展開教學(xué)，使學(xué)生真正理解掌握知識的產(chǎn)生、形成和發(fā)展過程。對例題，習(xí)題的教學(xué)中采取一題多解（多角度、多方位、多層次）的形式，容易的題精講，舊題新講，小題大講（深入挖掘、一題多變、一題多解、一題多用）如果老師教學(xué)時在處理上述問題原形時，不引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行橫向擴(kuò)展縱向延伸，學(xué)生在面對實(shí)際問題時是很難解決的。因此，教師要創(chuàng)造性地使用好教材中的例題、習(xí)題，在布置練習(xí)時要減少一些“死”的書面作業(yè)，增加一些“活”的實(shí)踐性、開放性、探究性作業(yè)。對教材中的概念、公式、法則、定理不僅要求熟記，而且要弄清背景和來源，以及與其他知識的聯(lián)系，注重教材中概念、公式、法則、定理的提出、知識的形成。發(fā)展過程、解題思路的探索過程，解題規(guī)律和方法的概括過程，為學(xué)生創(chuàng)建了解決實(shí)際問題的基石和搭建了登高望遠(yuǎn)的平臺。

綜上所述，培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力，關(guān)鍵是要培養(yǎng)學(xué)生建模能力，即把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為純數(shù)學(xué)問題的能力，而提高這一能力，需要教師平時對學(xué)生進(jìn)行長時間的啟發(fā)、引導(dǎo)、點(diǎn)撥；和不斷地探究、反思、經(jīng)過思維碰撞、糾錯磨練。

第三篇：將數(shù)學(xué)建模思想融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)

將數(shù)學(xué)建模思想融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)

袁

媛

桂林電子科技大學(xué)信息科技學(xué)院 廣西 桂林 541004

摘要：本文闡述了數(shù)學(xué)建模思想融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)的必要性，探討了將數(shù)學(xué)建模思想融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)的途徑。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模思想；高等數(shù)學(xué)教學(xué)；

高等數(shù)學(xué)作為大學(xué)數(shù)學(xué)類的一門必修基礎(chǔ)課程，對培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的邏輯推理能力和空間思維能力起著極為重要的作用，是學(xué)習(xí)后續(xù)課程的理論基礎(chǔ)?，F(xiàn)代教學(xué)思想的核心是培養(yǎng)創(chuàng)新思維、意識及能力，各大高?；诖怂枷?，已經(jīng)陸續(xù)開設(shè)了數(shù)學(xué)建模課程。數(shù)學(xué)建模重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的能力和解決實(shí)際問題的能力，激發(fā)學(xué)生對科學(xué)知識的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生深刻體會到數(shù)學(xué)不僅僅是書本上枯燥無味的死知識，而是靈活地應(yīng)用于各個領(lǐng)域！因此將數(shù)學(xué)建模思想融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，改變傳統(tǒng)的教學(xué)思想和模式，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的方向。

一、數(shù)學(xué)建模思想融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)的必要性

高等數(shù)學(xué)的教學(xué)給大多數(shù)學(xué)生的印象無非是求極限、求導(dǎo)數(shù)、求積分，除了理解定義定理，就是根據(jù)數(shù)學(xué)公式解答書本上的數(shù)學(xué)題，在實(shí)際生活中幾乎毫無用處，從而產(chǎn)生了數(shù)學(xué)無用論的思想。這樣的教學(xué)不僅不能達(dá)到預(yù)期的教學(xué)效果，也不能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和對知識的渴望。數(shù)學(xué)建模課程與傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)類課程相比，有很大的不同。它彌補(bǔ)了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)類課程重傳授知識輕培養(yǎng)能力的不足，很好地培養(yǎng)了學(xué)生觀察力、想象力、邏輯思維能力、發(fā)散思維能力、分析問題和解決問題的能力。因此改變傳統(tǒng)的高等數(shù)學(xué)教學(xué)模式，將數(shù)學(xué)建模思想融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，能夠大大地促進(jìn)高等數(shù)學(xué)教學(xué)。

二、數(shù)學(xué)建模思想融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)的途徑

1、數(shù)學(xué)建模思想融入數(shù)學(xué)概念教學(xué) 在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，許多概念的產(chǎn)生都有其實(shí)際背景。因此在概念教學(xué)中從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)概念，有利于學(xué)生對其概念的深刻理解，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，從而提高應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的能力。比如在講解導(dǎo)數(shù)定義之前，給出了兩個實(shí)例，其一是變速直線運(yùn)動的速度，其二是曲線的切線斜率。通過對實(shí)例的分析，建立質(zhì)點(diǎn)在t0時刻瞬時速度的模型為v?t0??lims?t??t??s?t0??sf(x0??x)?f(x0)，在x0處的切線斜率為k?lim?y?lim。?lim0?t?0?t?t?0?x?0?x?x?0?t?x對于簡單函數(shù)求解模型比較容易，對于復(fù)雜的函數(shù)，計算極限很難求出[1]。于是為了求解這一類模型，我們撇開實(shí)際背景，抓住兩個模型的共性，即都是函數(shù)增量與自變量增量的比值取極限，從而引出這種形式的極限就定義為導(dǎo)數(shù)。以此為依據(jù)就可以解決有關(guān)變化率的實(shí)際問題，這也是利用微分方程建立數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)。在此還可以補(bǔ)充介紹費(fèi)馬在 1629 年設(shè)計透鏡求曲線在一點(diǎn)處切線的小故事,生動的事例能讓學(xué)生了解前人在創(chuàng)立新理論時的建模過程,更能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。在對光學(xué)的研究中，對透鏡的設(shè)計促使費(fèi)馬探求曲線的切線，他在1629年找到了求切線的一種方法，牛頓從中找到了靈感，他說：“我從費(fèi)馬的切線作法中得到了這個方法的啟示，我推廣了它，把它直接地并且反過來應(yīng)用于抽象的方程?！庇纱藙?chuàng)立了微積分方法[2]。

再比如，為引入定積分的概念，拋出了求解曲邊梯形面積的問題。首先引導(dǎo)學(xué)生分析問題，如果是矩形，面積公式是長乘寬，現(xiàn)在有一邊是曲線，公式肯定不能直接用。于是這樣來考慮：把區(qū)間分割成許多小區(qū)間，對應(yīng)有許多小曲邊梯形；在每個小區(qū)間上，以直代曲，用小區(qū)間長度乘以小區(qū)間內(nèi)任意點(diǎn)處的函數(shù)值就是小曲邊梯形面積的近似值；把所有小曲邊梯形面積近似值加起來就得到所求曲邊梯形面積的近似值；要得到精確值，就把分割區(qū)間無限加細(xì)，使小區(qū)間長度趨于零，這時近似值的極限就是所求的面積。這樣，通過 “分割、近似、求和、取極限”四步建立了求解曲邊梯形面積的模型A?lim?f??i??xi。同樣可建

???i?1n立了變速直線運(yùn)動位移的模型s?lim?v??i??ti，從而抽象出定積分的概念。實(shí)際上，在所

???i?1n有定積分的應(yīng)用問題中，分析微元是關(guān)鍵，建立微元的模型就體現(xiàn)出了定積分的思想[3]。

在講解數(shù)學(xué)概念時，利用實(shí)際背景引入，將其本質(zhì)講清，講透，有利于學(xué)生對概念的理解掌握，也教會學(xué)生將分析問題的能力。

2、數(shù)學(xué)建模思想融入數(shù)學(xué)定理教學(xué)

數(shù)學(xué)定理的教學(xué)對學(xué)生來說，是比較枯燥無味的。在講解公式定理時，可適當(dāng)?shù)亟榻B一些與該內(nèi)容相關(guān)的實(shí)際例子進(jìn)行建模示范，加深學(xué)生對定理的理解與公式的掌握。例如，在講一元函數(shù)介值性定理時，可引入日常生活中經(jīng)常碰到的“椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎”的問題。此題看似和數(shù)學(xué)無關(guān)，其實(shí)不然，在分析問題的實(shí)際背景和實(shí)際含義后,我們確定問題的目標(biāo)是“放穩(wěn)”，而“放穩(wěn)”可以用各椅腳離地面的距離這一數(shù)量指標(biāo)來表達(dá)，通過模型假設(shè)，模型建立，模型求解這三部分，巧妙地解決了椅子放穩(wěn)問題。這個建模實(shí)例不但使學(xué)生看到了如何利用抽象的介值定理來解決實(shí)際問題的方法，而且啟迪了學(xué)生如何用數(shù)學(xué)語言描述似乎與數(shù)學(xué)無關(guān)的現(xiàn)象，用數(shù)學(xué)工具對它進(jìn)行證明。

3、數(shù)學(xué)建模思想融入案例教學(xué)

數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用是數(shù)學(xué)的教學(xué)目標(biāo)之一。數(shù)學(xué)建模中的很多案例就很好體現(xiàn)了知識的應(yīng)用，因此在實(shí)際的課堂教學(xué)過程中，各章節(jié)理論知識學(xué)習(xí)完之后，教師可適當(dāng)?shù)匾跃唧w案例作為教學(xué)內(nèi)容，進(jìn)行建模示范，引導(dǎo)學(xué)生通過問題分析，進(jìn)行抽象、簡化、假設(shè)，建立數(shù)學(xué)模型，求解數(shù)學(xué)模型，從而解決實(shí)際問題。這樣既能讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)建模的方法步驟，又使學(xué)生體會數(shù)學(xué)在實(shí)際問題中的應(yīng)用，同時鍛煉和培養(yǎng)了學(xué)生解決問題的能力，進(jìn)一步加深對知識的理解與掌握。

在講解完導(dǎo)數(shù)一章內(nèi)容后，可引入經(jīng)濟(jì)學(xué)中的簡單實(shí)例“最優(yōu)價格”，即一個工廠在產(chǎn)銷平衡狀態(tài)下尋求使工廠利潤最大的最優(yōu)價格[4]。

首先對這個問題進(jìn)行分析，所謂產(chǎn)銷平衡是指產(chǎn)品的產(chǎn)量等于市場上的銷售量。利潤等于銷售收入與生產(chǎn)支出之差。其次進(jìn)行符號假設(shè)：每件產(chǎn)品售價為p，成本為q，銷售量為。于是建立數(shù)學(xué)模型有：總收入I?px，總支出C?qx，在市場競爭中銷x（與產(chǎn)量相等）售量依賴于價格，即x?f(p)，利潤可表示為U?p??I?p??C?p?，問題最終轉(zhuǎn)化為求U?p?的最大值。這是一元函數(shù)求最值問題，由數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中

dUdI?0可求出p?p*，即有dpdp*p?p?dCdpp?p*。在dCdI稱為邊際收入，稱為邊際支出，上等式表明最大利潤是在邊際收入等

dpdp于邊際支出時達(dá)到。f稱為需求函數(shù)，是p的減函數(shù)，進(jìn)一步根據(jù)它的具體形式可求出p*。在教學(xué)過程中，根據(jù)不同的教學(xué)內(nèi)容，選擇相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行案例教學(xué)，所選模型盡量貼近學(xué)生的實(shí)際生活，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)來源于生活，又經(jīng)得起實(shí)踐的檢驗(yàn)。

將數(shù)學(xué)建模思想融入到高等數(shù)學(xué)的過程中，不是將數(shù)學(xué)建模的例子強(qiáng)塞進(jìn)高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容中去，改變高等數(shù)學(xué)的原有體系，而是通過數(shù)學(xué)建模的過程來使學(xué)生進(jìn)一步熟悉基本的教學(xué)內(nèi)容, 培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和科研意識, 提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的思想和方法。

參考文獻(xiàn)

[1]韓明蓮，盧書成.高等數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模思想[J].數(shù)理醫(yī)藥學(xué)雜志,2006，19(5):555-556.[2]龍薇.將數(shù)學(xué)建模的思想滲入高等數(shù)學(xué)教學(xué)的思考[J].黑龍江科技信息,2008，274.[3] 李修清，董錦華，張德全.將數(shù)學(xué)建模思想融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)的探索與實(shí)踐[J].教育與教學(xué)研究，2008(1)：84-86.[4]姜啟源，謝金星，葉俊.數(shù)學(xué)模型[M].北京:高等教育出版社，2003.

第四篇：在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模思想

在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模思想，利用數(shù)型結(jié)合法解決實(shí)際問題

鄒城市石墻中學(xué) 王保順 2012年7月16日 11:06

數(shù)學(xué)可以幫助人們更好地探求客觀世界的規(guī)律，并對現(xiàn)代社會中大量紛繁復(fù)雜的信息作出恰當(dāng)?shù)倪x擇與判斷，同時為人們交流信息提供了一種有效、簡捷的手段。數(shù)學(xué)作為一種普遍適用的技術(shù)，有助于人們收集、整理、描述信息，建立數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而解決問題，直接為社會創(chuàng)造價值。中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中建模思想的培養(yǎng)與應(yīng)用是數(shù)學(xué)教育的重要內(nèi)容，呼喚數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，提高數(shù)學(xué)應(yīng)用質(zhì)量，已成為廣大數(shù)學(xué)教育工作者的共識。開展中學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)與應(yīng)用的研究，對提高學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，培養(yǎng)學(xué)生靈活的思維能力，分析問題、解決問題的能力，促進(jìn)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革，全面推進(jìn)中學(xué)數(shù)學(xué)素質(zhì)教育有重要意義。本文結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，談?wù)劤踔薪＝虒W(xué)在人才培養(yǎng)中的作用和體會。

我在教學(xué)14.1.3函數(shù)的圖像時，例如：

小明的父母出去散步，從家走了20分鐘到一個離家900米的報亭，母親隨即按原速返回。父親在報亭看了10分鐘報紙后，用15分鐘返回家。下面的圖象中哪一個表示父親離家后距離與時間之間的關(guān)系？哪一個表示母親離家后距離與時間之間的關(guān)系？

我要引導(dǎo)學(xué)生，把這一實(shí)際問題轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)模型，即函數(shù)關(guān)系，通過學(xué)生動手畫函數(shù)圖像，在通過圖像求函數(shù)解析式，從而解決實(shí)際問題。

在課堂教學(xué)中，教師通過啟發(fā)、引導(dǎo)、指導(dǎo)、輔導(dǎo)等方式與講授結(jié)合起來，以提高學(xué)生的參與程度，加強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，另處學(xué)生通過自主探究、發(fā)現(xiàn)、嘗試、提問、討論、反饋、練習(xí)等，經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念形成的過程，從而加深對概念的理解，使其主體作用得到更充分的發(fā)揮，從而使教學(xué)與學(xué)法能夠較好的相融相進(jìn)，同時，學(xué)生在此過程中所獲得的體驗(yàn)和經(jīng)歷，可以使他們在后繼的學(xué)習(xí)中，逐漸理解能力，掌握教學(xué)思維方法、學(xué)會數(shù)學(xué)思維。同時在獲取新知的過程中，掌握自主學(xué)習(xí)的方法，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力。

第五篇：小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的數(shù)學(xué)建模思想

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的數(shù)學(xué)建模思想

單赟濤

在《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》有這樣一句話——“讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程，進(jìn)而使學(xué)生獲得對數(shù)學(xué)理解的同時，在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等多方面得到進(jìn)步和發(fā)展”,這實(shí)際上就是要求把學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的過程當(dāng)做建立數(shù)學(xué)模型的過程,并在建模過程中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識,引導(dǎo)學(xué)生自覺地用數(shù)學(xué)的方法去分析、解決生活中的問題。

一、數(shù)學(xué)模型的概念

數(shù)學(xué)模型是對某種事物系統(tǒng)的特征或數(shù)量依存關(guān)系概括或近似表述的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)中的各種概念、公式和理論都是由現(xiàn)實(shí)世界的原型抽象出來的。狹義地理解,數(shù)學(xué)模型指那些反映了特定問題或特定具體事物系統(tǒng)的數(shù)學(xué)關(guān)系結(jié)構(gòu),是相應(yīng)系統(tǒng)中各變量及其相互關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)。數(shù)學(xué)建模就是建立數(shù)學(xué)模型來解決問題的方法。在小學(xué)階段,數(shù)學(xué)模型的表現(xiàn)形式為一系列的概念系統(tǒng),算法系統(tǒng),關(guān)系、定律、公理系統(tǒng)等。

二、小學(xué)生如何形成自己的數(shù)學(xué)建模

1、創(chuàng)設(shè)情境，感知數(shù)學(xué)建模思想

數(shù)學(xué)來源于生活，因此，要將教材上的內(nèi)容通過生活中熟悉的事例，以情境的方式在課堂上展示給學(xué)生，這樣很容易激發(fā)學(xué)生的興趣，從而促使學(xué)生將生活問題抽象成數(shù)學(xué)問題，感知數(shù)學(xué)模型的存在。如教學(xué)平均數(shù)一課，新課開始出示兩個小組一分鐘做題：

第一組 9 8 9 6 第二組 7 10 9 8 教師提問：哪組獲勝，為什么？

這時出示，第一組請假的一位同學(xué)后來加入比賽。

第一組 9 8 9 6 8

第二組 7 10 9 8 師：根據(jù)比賽成績我們判定一組獲勝。

此時有學(xué)生提出異議：雖然第一組做對的總道數(shù)比第二組多，但是兩個隊(duì)的人數(shù)不同，這樣比較不公平。

師：那怎么辦呢？ 生：可以用平均數(shù)比較。師：什么是平均數(shù)？ 本節(jié)課平均數(shù)這一抽象的知識隱藏在具體的問題情境中，學(xué)生在兩次評判中解讀、整理數(shù)據(jù)，產(chǎn)生思維沖突，從而推進(jìn)數(shù)學(xué)思考的有序進(jìn)行。學(xué)生從具體的問題情境中抽出平均數(shù)這一數(shù)學(xué)問題的過程就是一次建模的過程。

2、參與探究，主動建構(gòu)數(shù)學(xué)模型

我們在學(xué)習(xí)書本中的某些原理、定律、公式的時候，不僅應(yīng)該記住它的結(jié)論、懂得它的道理，而且還應(yīng)該設(shè)想一下人家是怎樣想出來的。動手實(shí)踐、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動應(yīng)當(dāng)是一個主動、活潑的、生動和富有個性的過程。因此，在教學(xué)時我們要善于引導(dǎo)學(xué)生對過程、材料、發(fā)現(xiàn)主動歸納，力求建構(gòu)出人人都能理解的數(shù)學(xué)模型。

如教學(xué)圓錐的體積一課： 1）回顧、猜想：

師：我們在學(xué)習(xí)圓柱的體積推導(dǎo)過程中，應(yīng)用了哪些數(shù)學(xué)思想？ 生：運(yùn)用了轉(zhuǎn)化的思想。

師：猜一猜圓錐的體積能否轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)過的圖形的體積？它可能與學(xué)過的哪種立體圖形有關(guān)？

學(xué)生大膽進(jìn)行猜想，猜能轉(zhuǎn)化成圓柱、長方體、正方體。2）動手驗(yàn)證

師：請利用手中的學(xué)具進(jìn)行操作，研究圓錐體積的計算方法。教師給學(xué)生提供多個圓柱、長方體、正方體和圓錐空盒（其中圓柱和圓錐有等底等高關(guān)系的、有不等底不等高關(guān)系的，圓錐與其他形體沒有等底或等高關(guān)系）、沙子等學(xué)具，學(xué)生分小組動手實(shí)驗(yàn)。

3）反饋交流

生1：我們選取了一個圓錐和一個正方體進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，將正方體中倒?jié)M沙子，然后倒入圓錐容器中，到了四次，還剩下一些，發(fā)現(xiàn)圓錐體與這個圓柱體之間沒有關(guān)系。

生2：我們組選取的是圓錐和圓柱，這個圓錐與這個圓柱之間也沒存在關(guān)系，然后我們換了一個圓柱，這個圓柱的體積是這個圓錐體積的三倍。

4）歸納總結(jié)。

師：那么存在3倍關(guān)系的圓柱和圓錐的底面有什么關(guān)系?它們的高又有什么關(guān)系? 生3：底面積相等，高也相等。

師：圓柱的體積和同它等底等高圓錐的體積的有什么關(guān)系? 生：圓柱的體積是圓錐體積的3倍。

生：圓錐的體積是同它等底等高的圓柱體權(quán)的1/3。

師：是不是所有的等底等高的圓柱、圓錐都存在這樣的關(guān)系？請每個組都選出這樣的學(xué)具進(jìn)行操作驗(yàn)證。

圓錐的體積等于同它等底等高的圓柱體積的1/3。

師：如果沒有圓柱這一輔助工具，我們怎樣計算圓錐的體積？ 生：圓錐的體積等于底面積乘高乘1/3。

在上述教學(xué)過程中，學(xué)生的問題不是一步到位的，通過不斷地猜測、驗(yàn)證、修訂實(shí)驗(yàn)方案，再猜測、再驗(yàn)證這樣的過程，逐步過渡到復(fù)雜的、更一般的情景，學(xué)生在主動探索嘗試過程中，進(jìn)行了再創(chuàng)造學(xué)習(xí)，以抽象概括方式自主總結(jié)出圓錐體積計算公式。這一環(huán)節(jié)的設(shè)計，不僅發(fā)展了學(xué)生的策略性知識，同時讓學(xué)生經(jīng)歷猜測與驗(yàn)證、分析與歸納、抽象與概括的數(shù)學(xué)思維過程。學(xué)習(xí)過程中學(xué)生有時獨(dú)立思考，有時小組合作學(xué)習(xí)，有時是獨(dú)立探索和合作學(xué)習(xí)相結(jié)合，學(xué)生在新知探索中充分體驗(yàn)了數(shù)學(xué)模型的形成過程。

3、解決問題，拓展應(yīng)用數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)又服務(wù)于生活，用所建立的數(shù)學(xué)模型來解答生活實(shí)際中的問題，讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)模型的實(shí)際應(yīng)用價值，體驗(yàn)實(shí)際應(yīng)用帶來的快

樂。通過應(yīng)用真正讓數(shù)學(xué)走入生活，讓數(shù)學(xué)走近學(xué)生。用數(shù)學(xué)知識去解決實(shí)際問題，使學(xué)生在實(shí)際應(yīng)用過程中構(gòu)建自己的知識體系。

如在學(xué)生掌握了速度、時間、路程之間關(guān)系后，出示這樣的變式：

1、汽車4小時行駛了240千米，12小時可行駛多少千米？

2、火車的速度是每小時130千米，火車早上8：00出發(fā)，14：00到站，兩站之間的距離是多少千米？

學(xué)生在掌握了速度乘時間等于路程這一模型后，進(jìn)行變式練習(xí)，學(xué)生基本能正確解答，說明學(xué)生對基本數(shù)學(xué)模型已經(jīng)掌握。雖然兩題敘述不同，但都可以運(yùn)用同一個數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解答。

又如學(xué)習(xí)了圓的周長后設(shè)計這樣的題目：怎樣利用你的自行車測量學(xué)校到家里的實(shí)際距離。

這一問題的設(shè)計既考慮與學(xué)生生活的真實(shí)情景相結(jié)合，又能引起學(xué)生的猜測、估計、操作、觀察、思考等具體的學(xué)習(xí)活動，并能使學(xué)生在具體的學(xué)習(xí)活動中學(xué)會搜集資料、分析問題。因此，我們在教學(xué)過程中，應(yīng)注重學(xué)生建模思想的形成與運(yùn)用。

綜上所述，小學(xué)數(shù)學(xué)建模思想的形成過程是一個綜合性的過程。在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中進(jìn)行數(shù)學(xué)建模思想的滲透，不僅可以使學(xué)生體會到數(shù)學(xué)并非只是一門抽象的學(xué)科，而且可以使學(xué)生感覺到利用數(shù)學(xué)建模的思想結(jié)合數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的妙處，進(jìn)而對數(shù)學(xué)產(chǎn)生更大的興趣。因此在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師應(yīng)逐步培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的思想、方法，形成學(xué)生良好的思維習(xí)慣和用數(shù)學(xué)的能力。