第一篇：復(fù)變與積分變換教案
《復(fù)變與積分變換教案》
第七次課 教學(xué)目標(biāo)：導(dǎo)出解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)，學(xué)會(huì)運(yùn)用高階導(dǎo)數(shù)公式計(jì)算復(fù)積分。
講課段落：
? Cauchy積分高階導(dǎo)數(shù)定理的背景； ? 多連通域的Cauchy積分高階導(dǎo)數(shù)定理 ? 運(yùn)用高階導(dǎo)數(shù)公式計(jì)算復(fù)積分。知識(shí)要點(diǎn)：
? 對(duì)每個(gè)自然數(shù)
n，在D內(nèi)定義函數(shù)
f(?)Fn(z)??d? n?(??z)則對(duì)?z?D，有
Fn?(z)?nFn?1(z)
? 對(duì)每個(gè)自然數(shù)n，f(z)在D內(nèi)處處有n階 導(dǎo)數(shù)，且對(duì)?z?D 有 f(n)n!f(?)(z)?d?n?1? 2?i?(??z)? 由于f?(z)?ux?ivx?vy?iuy，而高階導(dǎo)數(shù)定理認(rèn)定，一但
f(z)解析 則f?(z)也解析，自然更有f?(z)連續(xù)，從而可知ux,vx,uy,vy都連續(xù)。
? 設(shè)D為單連域，f(z)在D內(nèi)連續(xù)，若對(duì)
f(z)dz?0C?D任一內(nèi)簡(jiǎn)單閉曲線有 C，則f(z)在D解析。
第二篇：復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)習(xí)題
復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)習(xí)題
1，將下列復(fù)數(shù)化為三角形式與指數(shù)形式1)z?2i;
2)z?sin3?i
cos?
3;
3）z?1?icot?,????2?.4）z?1?cos??isin?,0????.(cos5??isin5?)2
5）z? 3(cos3??isin3?)
2，求下列函數(shù)的輻角
1)z?;2z)?n)3）求下列復(fù)數(shù)的模
1)z?45）設(shè)n為正整數(shù)，證明下式成立
3n?13n?1???1.6）證明函數(shù)f(z)?1?i4n?11?i4n?1??? Re(z)當(dāng)z?0時(shí)極限不存在； z
z當(dāng)z?0時(shí)極限不存在； z
1zz(?)當(dāng)z?0時(shí)極限不存在； 2izz7）證明函數(shù)f(z)?8）證明函數(shù)f(z)?
?[Re(z2)]2,z?0?29)證明函數(shù)f(z)??在z=0點(diǎn)連續(xù)。z
??0,z?0
?x3y(y?ix),z?0?42f(z)?10)證明函數(shù)在z=0點(diǎn)連續(xù)。?x?y
?0,z?0?
11）判斷f(z)?x?2yi是否可導(dǎo)。
12）判斷函數(shù)的解析性
1）??z;2）??zRe(z)；
13）證明函數(shù)f(z)z=0處滿(mǎn)足C-R方程，但是不可導(dǎo)。（P33）
14）已知調(diào)和函數(shù)u(x,y)?x2?y2?xy，求一解析函數(shù)f(z)?u(x,y)?iv(x,y)使得f(0)?0，并求出df(z).dz
15）驗(yàn)證以下函數(shù)為調(diào)和函數(shù)，并求出以z?x?iy為自變量的解析函數(shù)w?f(z)?u?iv.1)u(x,y)?(x?y)(x2?4xy?y2)
2）P74例題3.4.2例題3.4.3
16)解方程sinz?ish1.17）求Ln(?i),Ln(?3?4i)和它們的主值。
18）求ii,3i,(1?i)i的值。
19）解方程lnz?2?i
20）計(jì)算?6?czdz.（1）C：??i????i的直線段;
（2）C：左半平面以原點(diǎn)為中心逆時(shí)針?lè)较虻膯挝话雸A周.21）計(jì)算積分dz(n?Z).n??(z?z)0CC:z?z0?r?0.22）計(jì)算積分dz,??zCdz,??zC??Cdzz,C:z?1.23）計(jì)算積分1dz,C為包含0與1的任何正向簡(jiǎn)單閉曲線.2??z?zC
ez
24）計(jì)算積分?,其中C:z?1,a為a?1的任何復(fù)數(shù).3?(z?a)C
25）計(jì)算積分3z?2,其中C:z?(1?i)? 4??z?1C
ez
26）計(jì)算積分?,其中C:z?r(r?1,2).?z(z?1)(z?2)C
27）計(jì)算積分z,其中C:z?2.2??(9?z)(z?i)C
cosz,其中C:z?2.5??(z?1)C28）計(jì)算積分
ez
29）計(jì)算積分?,其中C:z?r?1.22?(z?1)C
30）計(jì)算積分sin5z,其中C:z?4.32??z(z?1)C
31）判斷下列數(shù)列是否收斂？如果收斂，求出其極限。
1i?)n?;n?ncinos?n?(1?en.32）下列級(jí)數(shù)是否收斂？是否絕對(duì)收斂？
n?n?1ii?(8i)?(1)i?(1?e)n?;;?n ]?nn2n?1nn?0n?n?1?
33）求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑
zn?(z?1n)?
?3;?;?(coinszn)nn?1nn?1n?0?
34）把函數(shù)1展成z的冪級(jí)數(shù).(1?z)3
1展成z的冪級(jí)數(shù),1 1展成z-1冪級(jí)數(shù),0 37）把函數(shù)z2?2z?5展成z的冪級(jí)數(shù),1 2z?2z?5展成z的冪級(jí)數(shù),2 1展成z的冪級(jí)數(shù).(z-1)(z-2)38）把函數(shù) 39）把函數(shù)ze在0 41）求積分?z?z0?1e1z?z0(z?z0)?3dz.42）求積分ze?z?21?z.1z 43）求下列各函數(shù)在孤立奇點(diǎn)（不考慮無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)）的留數(shù) z2n1?e2z1;4;n1?zzsinz 44）計(jì)算積分?z?1 2sinz.2zz(1?e) z.(z?2)2(z?1)45）計(jì)算積分?1z?2?2 122??C1?z4.C:x?y?2x.sinz3.C:z?.47）計(jì)算積分??Cz246）計(jì)算積分 3z3?248）計(jì)算積分??C(z?1)(z2?9).C:z?4.49）計(jì)算積分??Czdz.C正向曲線:z?2.z4?1 50）計(jì)算積分1??C(z+i)10(z?1)5(z?4).C正向曲線:z?5.2? 51）計(jì)算積分?0 2?sin2?d?.(a?b?0).a?bcos? 52）計(jì)算積分cos2?d?.(0?p?1).2?1?2pcos??p0 ? 計(jì)算積分cos2?d?.(a2?1).2?1?2acos??a0 ?? 53）計(jì)算積分?01dx.(n?0,1,2,?).2n?1(1?x) x2 54）計(jì)算積分?2dx.(a?0,b?0).222(x?a)(x?b)?? ???? 55）計(jì)算積分cosaxdx.(a?0).2?x?1?? ?? 56）計(jì)算積分?0 ??xsinxdx.(a?0).22x?a(x2?1)cosax57）計(jì)算積分?dx.42x?x?1?? |z|?1f(z)dz?2πi?Res[f(z),z]kk?1n 班級(jí)B10202姓名李建良學(xué)號(hào)36 讀《復(fù)變函數(shù)》與《積分變換》有感 在學(xué)了《高等數(shù)學(xué)》之后，我們進(jìn)一步學(xué)習(xí)《復(fù)變函數(shù)》和《積分變換》這兩本書(shū)，這兩本書(shū)是《高等數(shù)學(xué)》的微積分?jǐn)U展和延伸，還有將復(fù)數(shù)將以深入學(xué)習(xí)和擴(kuò)展，并引入函數(shù)的概念。因此感覺(jué)有一定的深度和難度。它們都利用數(shù)學(xué)的理論來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題。 復(fù)變函數(shù)中有很多概念，其中理論和方法是實(shí)變函數(shù)在復(fù)數(shù)領(lǐng)域內(nèi)的推廣和發(fā)展，因而它們有許多相似之處，但是復(fù)變函數(shù)與實(shí)變函數(shù)有不同之點(diǎn)。就拿第一章來(lái)說(shuō)，復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)，本課程研究對(duì)象就是自變量為復(fù)數(shù)的函數(shù)。在中學(xué)階段，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)復(fù)數(shù)的概念和基本運(yùn)算。本章將原來(lái)的基礎(chǔ)上作簡(jiǎn)要的復(fù)習(xí)和補(bǔ)充。然后再介紹在復(fù)變平面上區(qū)域以及復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性等概念，為進(jìn)一步研究解析函數(shù)理論和方法奠定必要的基礎(chǔ)。概括一下，以前學(xué)過(guò)方程x2=-1是無(wú)解的，因而設(shè)有一個(gè)實(shí)數(shù)的平方等于-1。第一節(jié)是復(fù)習(xí)原來(lái)的內(nèi)容，然后逐步引入函數(shù)的概念。再引進(jìn)對(duì)復(fù)變函數(shù)的表達(dá)式和復(fù)變函數(shù)重冪與方根以及加減法研究。由于上學(xué)期，我們學(xué)習(xí)函數(shù)概念中，引入極限的概念，然而復(fù)變函數(shù)也有極限特性。所以對(duì)復(fù)變函數(shù)極限分析有著相似之處，因此可以借鑒學(xué)函數(shù)極限方法來(lái)研究復(fù)變函數(shù)，然而復(fù)變函數(shù)又有其獨(dú)特特性，研究時(shí)必然會(huì)給我們帶來(lái)很多困難和意想不到的問(wèn)題，所以就是它的不同之處。后面將復(fù)變函數(shù)引入微積分的概念，剛開(kāi)始覺(jué)得挺好學(xué)，按照以前學(xué)微積分的思想就能接納復(fù)變函數(shù)的微積分，當(dāng)我遇到了用函數(shù)微積分解決復(fù)變函數(shù)時(shí)，復(fù)變函數(shù)的轉(zhuǎn)化和變形卻是難題，但是經(jīng)過(guò)一番努力，我逐漸領(lǐng)悟到復(fù)變函數(shù)在微積分在數(shù)學(xué)中的獨(dú)特魅力。 在學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)中，要勤于思考，善于比較分析其共同點(diǎn)，更要領(lǐng)越復(fù)變函數(shù)的獨(dú)特魅力，如果這樣才能抓住本質(zhì)，融會(huì)貫通。 而《積分變換》研究的是將復(fù)雜的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為較簡(jiǎn)單的運(yùn)算。本書(shū)講解了積分在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，常用的兩種積分變換Fourier變換和Laplace變換。利用Fourier變換和Laplace變換將復(fù)雜的積分轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的積分變換，有利于對(duì)復(fù)雜積分的求解，所以學(xué)習(xí)《積分變換》的思路就不像學(xué)習(xí)《復(fù)變函數(shù)》一樣，它的解題思路和《積分變換》截然不同，就拿Fourier變換而言，先引進(jìn)Fourier定理，然后利用Fourier定理解決數(shù)學(xué)中一些難解的積分，用積分變換也可以解決工業(yè)中一些工程計(jì)算。其重在積分變換。對(duì)于積分變換理論的學(xué)習(xí)，有助于解決我們?cè)诠I(yè)設(shè)計(jì)中遇到的問(wèn)題，但對(duì)與此書(shū)著重對(duì)積分變換的思想培養(yǎng)和應(yīng)用。當(dāng)我開(kāi)始學(xué)習(xí)《積分變換》時(shí)，感覺(jué)無(wú)從下手，尤其是對(duì)積分的變換，一看到積分變換的過(guò)程就很頭疼，不知道從哪個(gè)地方開(kāi)始下手，當(dāng)學(xué)到Laplace變換時(shí)，才發(fā)現(xiàn)積分變換有它的一定的規(guī)律，只要把Fourier變換的思路用在Laplace變換，就會(huì)簡(jiǎn)化對(duì)Laplace變換的學(xué)習(xí)，我才明白Fourier變換只是學(xué)習(xí)積分變換的一種方法，第一種內(nèi)容學(xué)會(huì)了，后面的內(nèi)容就迎刃而解了。 通過(guò)這兩本書(shū)的學(xué)習(xí)，我覺(jué)的，它不僅僅帶給我的是挑戰(zhàn)，而且也將為我們將來(lái)在工程技術(shù)領(lǐng)域中開(kāi)擴(kuò)了思路，照亮了方向，這也讓我們知道數(shù)學(xué)在工程領(lǐng)域的作用和不可磨滅的高度。 機(jī)密★啟用前 大連理工大學(xué)網(wǎng)絡(luò)教育學(xué)院 2014年3月份《復(fù)變函數(shù)與積分變換》課程考試 模 擬 試 卷 考試形式：閉卷試卷類(lèi)型：（A） ☆ 注意事項(xiàng)：本考卷滿(mǎn)分共：100分；考試時(shí)間：90分鐘。 學(xué)習(xí)中心______________姓名____________學(xué)號(hào)____________ 四、證明題（本大題1小題，共10分） 證明：若F[ei?(t)1。?(t)][F(?)?F(?)]]?F(?)，其中?(t)為一實(shí)函數(shù)，則F[cos2證明：F(?)???? ??ei?(t)?e?i?tdt ?? ??F(?)??ei?(t)ei?tdt??e?i?(t)?e?i?tdt ?? i?(t)??e1?e?i?(t) ?i?t[F(?)?F(??)]??edt ??22?? ??cos?(t)e?i?tdt ???? ?F[cos?(t)] 大工《復(fù)變函數(shù)與積分變換》課程考試 模擬試卷（A） 機(jī)密★啟用前 大連理工大學(xué)網(wǎng)絡(luò)教育學(xué)院 2014年3月份《復(fù)變函數(shù)與積分變換》課程考試 模 擬 試 卷 考試形式：閉卷試卷類(lèi)型：（B） ☆ 注意事項(xiàng)：本考卷滿(mǎn)分共：100分；考試時(shí)間：90分鐘。 學(xué)習(xí)中心______________姓名____________學(xué)號(hào)____________ 四、證明題（本大題1小題，共10分）證明(z)在復(fù)平面上不解析 證明：令z?x?iy，(z)?x?y?i2xy，（1分） 所以u(píng)(x,y)?x?y，(1分)v(x,y)??2xy。（1分）222222 ?u?v?u?v（1分）（1分）（1分）（1分）??2y，??2x。?2x，??2y，?y?y?x?x 由此可知，??(z)僅在點(diǎn)（0,0）處柯西—黎曼條件成立，所以??(z)僅在點(diǎn)（0,0）處可導(dǎo)，而在整個(gè)復(fù)平面上不解析。（3分）22 大工《復(fù)變函數(shù)與積分變換》課程考試 模擬試卷（B）第三篇：讀《復(fù)變函數(shù)》與《積分變換》有感
第四篇：2014年3月大工《復(fù)變函數(shù)與積分變換》課程考試模擬試卷A
第五篇：2014年3月大工《復(fù)變函數(shù)與積分變換》課程考試模擬試卷B
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