第一篇：2018年中考數(shù)學(xué)挑戰(zhàn)壓軸題(含答案)

2017 挑戰(zhàn)壓軸題 中考數(shù)學(xué)

精講解讀篇

因動點產(chǎn)生的相似三角形問題

1．如圖，在平面直角坐標系xOy中，將拋物線y=x2的對稱軸繞著點P（0，2）順時針旋轉(zhuǎn)45°后與該拋物線交于A、B兩點，點Q是該拋物線上一點．（1）求直線AB的函數(shù)表達式；

（2）如圖①，若點Q在直線AB的下方，求點Q到直線AB的距離的最大值；（3）如圖②，若點Q在y軸左側(cè)，且點T（0，t）（t＜2）是射線PO上一點，當以P、B、Q為頂點的三角形與△PAT相似時，求所有滿足條件的t的值．

2．如圖，已知BC是半圓O的直徑，BC=8，過線段BO上一動點D，作AD⊥BC交半圓O于點A，聯(lián)結(jié)AO，過點B作BH⊥AO，垂足為點H，BH的延長線交半圓O于點F．（1）求證：AH=BD；

（2）設(shè)BD=x，BE?BF=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

（3）如圖2，若聯(lián)結(jié)FA并延長交CB的延長線于點G，當△FAE與△FBG相似時，求BD的長度．

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3．如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線AB過點A（3，0）、B（0，m）（m＞0），tan∠BAO=2．

（1）求直線AB的表達式；（2）反比例函數(shù)y=的圖象與直線AB交于第一象限內(nèi)的C、D兩點（BD＜BC），當AD=2DB時，求k1的值；

（3）設(shè)線段AB的中點為E，過點E作x軸的垂線，垂足為點M，交反比例函數(shù)y=的圖象于點F，分別聯(lián)結(jié)OE、OF，當△OEF∽△OBE時，請直接寫出滿足條件的所有k2的值．

4．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=7，點D是邊CA延長線的一點，AE⊥BD，垂足為點E，AE的延長線交CA的平行線BF于點F，連結(jié)CE交AB于點G．

（1）當點E是BD的中點時，求tan∠AFB的值；

（2）CE?AF的值是否隨線段AD長度的改變而變化？如果不變，求出CE?AF的值；如果變化，請說明理由；

（3）當△BGE和△BAF相似時，求線段AF的長．

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5．如圖，平面直角坐標系xOy中，已知B（﹣1，0），一次函數(shù)y=﹣x+5的圖象與x軸、y軸分別交于點A、C兩點，二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過點A、點B．

（1）求這個二次函數(shù)的解析式；

（2）點P是該二次函數(shù)圖象的頂點，求△APC的面積；

（3）如果點Q在線段AC上，且△ABC與△AOQ相似，求點Q的坐標．

6．已知：半圓O的直徑AB=6，點C在半圓O上，且tan∠ABC=2AC上一點，聯(lián)結(jié)DC（如圖）（1）求BC的長；，點D為?。?）若射線DC交射線AB于點M，且△MBC與△MOC相似，求CD的長；（3）聯(lián)結(jié)OD，當OD∥BC時，作∠DOB的平分線交線段DC于點N，求ON的長．

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7．如圖，已知二次函數(shù)y=x2+bx+c（b，c為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點A（3，﹣1），點C（0，﹣4），頂點為點M，過點A作AB∥x軸，交y軸與點D，交該二次函數(shù)圖象于點B，連結(jié)BC．

（1）求該二次函數(shù)的解析式及點M的坐標；

（2）若將該二次函數(shù)圖象向上平移m（m＞0）個單位，使平移后得到的二次函數(shù)圖象的頂點落在△ABC的內(nèi)部（不包含△ABC的邊界），求m的取值范圍；（3）點P時直線AC上的動點，若點P，點C，點M所構(gòu)成的三角形與△BCD相似，請直接寫出所有點P的坐標（直接寫出結(jié)果，不必寫解答過程）．

因動點產(chǎn)生的等腰三角形問題

8．如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，點E是∠BAC角平分線上一點，過點E作AE的垂線，過點A作AB的垂線，兩垂線交于點D，連接DB，點F是BD的中點，DH⊥AC，垂足為H，連接EF，HF．（1）如圖1，若點H是AC的中點，AC=2（2）如圖1，求證：HF=EF；

（3）如圖2，連接CF，CE．猜想：△CEF是否是等邊三角形？若是，請證明；若不是，說明理由．，求AB，BD的長；

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9．已知，一條拋物線的頂點為E（﹣1，4），且過點A（﹣3，0），與y軸交于點C，點D是這條拋物線上一點，它的橫坐標為m，且﹣3＜m＜﹣1，過點D作DK⊥x軸，垂足為K，DK分別交線段AE、AC于點G、H．（1）求這條拋物線的解析式；（2）求證：GH=HK；

（3）當△CGH是等腰三角形時，求m的值．

10．如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，sinA=，點P是邊BC上的一點，PE⊥AB，垂足為E，以點P為圓心，PC為半徑的圓與射線PE相交于點Q，線段CQ與邊AB交于點D．（1）求AD的長；

（2）設(shè)CP=x，△PCQ的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；（3）過點C作CF⊥AB，垂足為F，聯(lián)結(jié)PF、QF，如果△PQF是以PF為腰的等腰三角形，求CP的長．

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11．如圖（1），直線y=﹣x+n交x軸于點A，交y軸于點C（0，4），拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過點A，交y軸于點B（0，﹣2）．點P為拋物線上一個動點，過點P作x軸的垂線PD，過點B作BD⊥PD于點D，連接PB，設(shè)點P的橫坐標為m．（1）求拋物線的解析式；

（2）當△BDP為等腰直角三角形時，求線段PD的長；

（3）如圖（2），將△BDP繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)，得到△BD′P′，當旋轉(zhuǎn)角∠PBP′=∠OAC，且點P的對應(yīng)點P′落在坐標軸上時，請直接寫出點P的坐標．

12．綜合與探究

如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線y=ax2+bx﹣8與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，直線l經(jīng)過坐標原點O，與拋物線的一個交點為D，與拋物線的對稱軸交于點E，連接CE，已知點A，D的坐標分別為（﹣2，0），（6，﹣8）．（1）求拋物線的函數(shù)表達式，并分別求出點B和點E的坐標；

（2）試探究拋物線上是否存在點F，使△FOE≌△FCE？若存在，請直接寫出點F的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）若點P是y軸負半軸上的一個動點，設(shè)其坐標為（0，m），直線PB與直線l交于點Q，試探究：當m為何值時，△OPQ是等腰三角形．

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因動點產(chǎn)生的直角三角形問題

13．已知，如圖1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，BC=11，CD=6，tan∠ABC=2，點E在AD邊上，且AE=3ED，EF∥AB交BC于點F，點M、N分別在射線FE和線段CD上．（1）求線段CF的長；

（2）如圖2，當點M在線段FE上，且AM⊥MN，設(shè)FM?cos∠EFC=x，CN=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；

（3）如果△AMN為等腰直角三角形，求線段FM的長．

14．如圖，在矩形ABCD中，點O為坐標原點，點B的坐標為（4，3），點A、C在坐標軸上，點P在BC邊上，直線l1：y=2x+3，直線l2：y=2x﹣3．（1）分別求直線l1與x軸，直線l2與AB的交點坐標；

（2）已知點M在第一象限，且是直線l2上的點，若△APM是等腰直角三角形，求點M的坐標；

（3）我們把直線l1和直線l2上的點所組成的圖形為圖形F．已知矩形ANPQ的頂點N在圖形F上，Q是坐標平面內(nèi)的點，且N點的橫坐標為x，請直接寫出x的取值范圍（不用說明理由）．

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因動點產(chǎn)生的平行四邊形問題

15．如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），經(jīng)過點A的直線l：y=kx+b與y軸交于點C，與拋物線的另一個交點為D，且CD=4AC．

（1）直接寫出點A的坐標，并求直線l的函數(shù)表達式（其中k，b用含a的式子表示）；

（2）點E是直線l上方的拋物線上的一點，若△ACE的面積的最大值為，求a的值；

（3）設(shè)P是拋物線對稱軸上的一點，點Q在拋物線上，以點A，D，P，Q為頂點的四邊形能否成為矩形？若能，求出點P的坐標；若不能，請說明理由．

16．如圖，在矩形OABC中，OA=5，AB=4，點D為邊AB上一點，將△BCD沿直線CD折疊，使點B恰好落在OA邊上的點E處，分別以O(shè)C，OA所在的直線為x軸，y軸建立平面直角坐標系．

（1）求點E坐標及經(jīng)過O，D，C三點的拋物線的解析式；

（2）一動點P從點C出發(fā)，沿CB以每秒2 個單位長的速度向點B運動，同時動點Q從E點出發(fā)，沿EC以每秒1個單位長的速度向點C運動，當點P到達點B時，兩點同時停止運動．設(shè)運動時間為t秒，當t為何值時，DP=DQ；（3）若點N在（2）中的拋物線的對稱軸上，點M在拋物線上，是否存在這樣的點M與點N，使得以M，N，C，E為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出M點的坐標；若不存在，請說明理由．

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17．如圖，拋物線y=﹣x2+2x+3與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，點D和點C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，直線AD與y軸交于點E．

（1）求直線AD的解析式；

（2）如圖1，直線AD上方的拋物線上有一點F，過點F作FG⊥AD于點G，作FH平行于x軸交直線AD于點H，求△FGH周長的最大值；

（3）點M是拋物線的頂點，點P是y軸上一點，點Q是坐標平面內(nèi)一點，以A，M，P，Q為頂點的四邊形是以AM為邊的矩形．若點T和點Q關(guān)于AM所在直線對稱，求點T的坐標．

18．如圖，點A和動點P在直線l上，點P關(guān)于點A的對稱點為Q，以AQ為邊作Rt△ABQ，使∠BAQ=90°，AQ：AB=3：4，作△ABQ的外接圓O．點C在點P右側(cè)，PC=4，過點C作直線m⊥l，過點O作OD⊥m于點D，交AB右側(cè)的圓弧于點E．在射線CD上取點F，使DF=CD，以DE，DF為鄰邊作矩形DEGF．設(shè)AQ=3x．

（1）用關(guān)于x的代數(shù)式表示BQ，DF．

（2）當點P在點A右側(cè)時，若矩形DEGF的面積等于90，求AP的長．（3）在點P的整個運動過程中，第9頁（共169頁）

①當AP為何值時，矩形DEGF是正方形？

②作直線BG交⊙O于點N，若BN的弦心距為1，求AP的長（直接寫出答案）．

19．在平面直角坐標系xOy（如圖）中，經(jīng)過點A（﹣1，0）的拋物線y=﹣x2+bx+3與y軸交于點C，點B與點A、點D與點C分別關(guān)于該拋物線的對稱軸對稱．（1）求b的值以及直線AD與x軸正方向的夾角；

（2）如果點E是拋物線上一動點，過E作EF平行于x軸交直線AD于點F，且F在E的右邊，過點E作EG⊥AD與點G，設(shè)E的橫坐標為m，△EFG的周長為l，試用m表示l；

（3）點M是該拋物線的頂點，點P是y軸上一點，Q是坐標平面內(nèi)一點，如果以點A、M、P、Q為頂點的四邊形是矩形，求該矩形的頂點Q的坐標．

20．如圖，直線y=mx+4與反比例函數(shù)y=（k＞0）的圖象交于點A、B，與x軸、y軸分別交于D、C，tan∠CDO=2，AC：CD=1：2．（1）求反比例函數(shù)解析式；（2）聯(lián)結(jié)BO，求∠DBO的正切值；

（3）點M在直線x=﹣1上，點N在反比例函數(shù)圖象上，如果以點A、B、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形，求點N的坐標．

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21．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c的頂點坐標為（2，9），與y軸交于點A（0，5），與x軸交于點E、B．（1）求二次函數(shù)y=ax2+bx+c的表達式；

（2）過點A作AC平行于x軸，交拋物線于點C，點P為拋物線上的一點（點P在AC上方），作PD平行于y軸交AB于點D，問當點P在何位置時，四邊形APCD的面積最大？并求出最大面積；

（3）若點M在拋物線上，點N在其對稱軸上，使得以A、E、N、M為頂點的四邊形是平行四邊形，且AE為其一邊，求點M、N的坐標．

因動點產(chǎn)生的梯形問題

22．如圖，在平面直角坐標系xOy中，二次函數(shù)y=

+bx+c的圖象與y軸交于點A，與雙曲線y=有一個公共點B，它的橫坐標為4，過點B作直線l∥x軸，第11頁（共169頁）

與該二次函數(shù)圖象交于另一個點C，直線AC在y軸上的截距是﹣6．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）求直線AC的表達式；

（3）平面內(nèi)是否存在點D，使A、B、C、D為頂點的四邊形是等腰梯形？如果存在，求出點D坐標；如果不存在，說明理由．

23．如圖，矩形OMPN的頂點O在原點，M、N分別在x軸和y軸的正半軸上，OM=6，ON=3，反比例函數(shù)y=的圖象與PN交于C，與PM交于D，過點C作CA⊥x軸于點A，過點D作DB⊥y軸于點B，AC與BD交于點G．（1）求證：AB∥CD；

（2）在直角坐標平面內(nèi)是否若存在點E，使以B、C、D、E為頂點，BC為腰的梯形是等腰梯形？若存在，求點E的坐標；若不存在請說明理由．

因動點產(chǎn)生的面積問題

24．如圖，邊長為8的正方形OABC的兩邊在坐標軸上，以點C為頂點的拋物線經(jīng)過點A，點P是拋物線上點A，C間的一個動點（含端點），過點P作PF⊥BC于點F，點D、E的坐標分別為（0，6），（﹣4，0），連接PD、PE、DE．（1）請直接寫出拋物線的解析式；

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（2）小明探究點P的位置發(fā)現(xiàn)：當P與點A或點C重合時，PD與PF的差為定值，進而猜想：對于任意一點P，PD與PF的差為定值，請你判斷該猜想是否正確，并說明理由；

（3）小明進一步探究得出結(jié)論：若將“使△PDE的面積為整數(shù)”的點P記作“好點”，則存在多個“好點”，且使△PDE的周長最小的點P也是一個“好點”．請直接寫出所有“好點”的個數(shù)，并求出△PDE周長最小時“好點”的坐標．

25．如圖，四邊形OABC是邊長為4的正方形，點P為OA邊上任意一點（與點O、A不重合），連接CP，過點P作PM⊥CP交AB于點D，且PM=CP，過點M作MN∥OA，交BO于點N，連接ND、BM，設(shè)OP=t．（1）求點M的坐標（用含t的代數(shù)式表示）．

（2）試判斷線段MN的長度是否隨點P的位置的變化而改變？并說明理由．（3）當t為何值時，四邊形BNDM的面積最?。?/p>

26．在數(shù)學(xué)興趣小組活動中，小明進行數(shù)學(xué)探究活動，將邊長為2的正方形ABCD與邊長為2的正方形AEFG按圖1位置放置，AD與AE在同一直線上，AB與AG在同一直線上．

（1）小明發(fā)現(xiàn)DG⊥BE，請你幫他說明理由．

（2）如圖2，小明將正方形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，當點B恰好落在線段DG上時，請你幫他求出此時BE的長．

（3）如圖3，小明將正方形ABCD繞點A繼續(xù)逆時針旋轉(zhuǎn)，線段DG與線段BE

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將相交，交點為H，寫出△GHE與△BHD面積之和的最大值，并簡要說明理由．

27．在平面直角坐標系中，O為原點，直線y=﹣2x﹣1與y軸交于點A，與直線y=﹣x交于點B，點B關(guān)于原點的對稱點為點C．（1）求過A，B，C三點的拋物線的解析式；

（2）P為拋物線上一點，它關(guān)于原點的對稱點為Q． ①當四邊形PBQC為菱形時，求點P的坐標；

②若點P的橫坐標為t（﹣1＜t＜1），當t為何值時，四邊形PBQC面積最大？并說明理由．

28．如圖，在平面直角坐標系中，點A（10，0），以O(shè)A為直徑在第一象限內(nèi)作半圓，B為半圓上一點，連接AB并延長至C，使BC=AB，過C作CD⊥x軸于點D，交線段OB于點E，已知CD=8，拋物線經(jīng)過O、E、A三點．（1）∠OBA=

°．（2）求拋物線的函數(shù)表達式．

（3）若P為拋物線上位于第一象限內(nèi)的一個動點，以P、O、A、E為頂點的四邊形面積記作S，則S取何值時，相應(yīng)的點P有且只有3個？

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29．如圖1，關(guān)于x的二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點A（﹣3，0），點C（0，3），點D為二次函數(shù)的頂點，DE為二次函數(shù)的對稱軸，E在x軸上．（1）求拋物線的解析式；

（2）DE上是否存在點P到AD的距離與到x軸的距離相等？若存在求出點P，若不存在請說明理由；

（3）如圖2，DE的左側(cè)拋物線上是否存在點F，使2S△FBC=3S△EBC？若存在求出點F的坐標，若不存在請說明理由．

30．已知拋物線y=mx2+（1﹣2m）x+1﹣3m與x軸相交于不同的兩點A、B（1）求m的取值范圍；

（2）證明該拋物線一定經(jīng)過非坐標軸上的一點P，并求出點P的坐標；（3）當＜m≤8時，由（2）求出的點P和點A，B構(gòu)成的△ABP的面積是否有最值？若有，求出該最值及相對應(yīng)的m值． 31．問題提出

（1）如圖①，已知△ABC，請畫出△ABC關(guān)于直線AC對稱的三角形． 問題探究

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（2）如圖②，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，AE=4，AF=2，是否在邊BC、CD上分別存在點G、H，使得四邊形EFGH的周長最??？若存在，求出它周長的最小值；若不存在，請說明理由． 問題解決

（3）如圖③，有一矩形板材ABCD，AB=3米，AD=6米，現(xiàn)想從此板材中裁出一個面積盡可能大的四邊形EFGH部件，使∠EFG=90°，EF=FG=

米，∠EHG=45°，經(jīng)研究，只有當點E、F、G分別在邊AD、AB、BC上，且AF＜BF，并滿足點H在矩形ABCD內(nèi)部或邊上時，才有可能裁出符合要求的部件，試問能否裁得符合要求的面積盡可能大的四邊形EFGH部件？若能，求出裁得的四邊形EFGH部件的面積；若不能，請說明理由．

32．如圖，在平面直角坐標系中，矩形OCDE的頂點C和E分別在y軸的正半軸和x軸的正半軸上，OC=8，OE=17，拋物線y=

x2﹣3x+m與y軸相交于點A，拋物線的對稱軸與x軸相交于點B，與CD交于點K．

（1）將矩形OCDE沿AB折疊，點O恰好落在邊CD上的點F處．

①點B的坐標為（、），BK的長是

，CK的長是

； ②求點F的坐標；

③請直接寫出拋物線的函數(shù)表達式；

（2）將矩形OCDE沿著經(jīng)過點E的直線折疊，點O恰好落在邊CD上的點G處，連接OG，折痕與OG相交于點H，點M是線段EH上的一個動點（不與點H重合），連接MG，MO，過點G作GP⊥OM于點P，交EH于點N，連接ON，點M從點E開始沿線段EH向點H運動，至與點N重合時停止，△MOG和△NOG的面積分別表示為S1和S2，在點M的運動過程中，S1?S2（即S1與S2的積）的值是否發(fā)生變化？若變化，請直接寫出變化范圍；若不變，請直接寫出這個值． 溫馨提示：考生可以根據(jù)題意，在備用圖中補充圖形，以便作答．

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33．如圖，已知?ABCD的三個頂點A（n，0）、B（m，0）、D（0，2n）（m＞n＞0），作?ABCD關(guān)于直線AD的對稱圖形AB1C1D（1）若m=3，試求四邊形CC1B1B面積S的最大值；（2）若點B1恰好落在y軸上，試求的值．

因動點產(chǎn)生的相切問題

34．如圖，已知在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2+2x+c與x軸交于點A（﹣1，0）和點B，與y軸相交于點C（0，3），拋物線的對稱軸為直線l．（1）求這條拋物線的關(guān)系式，并寫出其對稱軸和頂點M的坐標；

（2）如果直線y=kx+b經(jīng)過C、M兩點，且與x軸交于點D，點C關(guān)于直線l的對稱點為N，試證明四邊形CDAN是平行四邊形；

（3）點P在直線l上，且以點P為圓心的圓經(jīng)過A、B兩點，并且與直線CD相切，求點P的坐標．

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35．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=14，tanA=，點D是邊AC上一點，AD=8，點E是邊AB上一點，以點E為圓心，EA為半徑作圓，經(jīng)過點D，點F是邊AC上一動點（點F不與A、C重合），作FG⊥EF，交射線BC于點G．（1）用直尺圓規(guī)作出圓心E，并求圓E的半徑長（保留作圖痕跡）；

（2）當點G的邊BC上時，設(shè)AF=x，CG=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；

（3）聯(lián)結(jié)EG，當△EFG與△FCG相似時，推理判斷以點G為圓心、CG為半徑的圓G與圓E可能產(chǎn)生的各種位置關(guān)系．

36．如圖，線段PA=1，點D是線段PA延長線上的點，AD=a（a＞1），點O是線段AP延長線上的點，OA2=OP?OD，以O(shè)為圓心，OA為半徑作扇形OAB，∠BOA=90°．

點C是弧AB上的點，聯(lián)結(jié)PC、DC．

（1）聯(lián)結(jié)BD交弧AB于E，當a=2時，求BE的長；

（2）當以PC為半徑的⊙P和以CD為半徑的⊙C相切時，求a的值；（3）當直線DC經(jīng)過點B，且滿足PC?OA=BC?OP時，求扇形OAB的半徑長．

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37．如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，點P從點B出發(fā)，沿對角線BD向點D勻速運動，速度為4cm/s，過點P作PQ⊥BD交BC于點Q，以PQ為一邊作正方形PQMN，使得點N落在射線PD上，點O從點D出發(fā)，沿DC向點C勻速運動，速度為3cm/s，以O(shè)為圓心，0.8cm為半徑作⊙O，點P與點O同時出發(fā)，設(shè)它們的運動時間為t（單位：s）（0＜t＜）．（1）如圖1，連接DQ平分∠BDC時，t的值為

；

（2）如圖2，連接CM，若△CMQ是以CQ為底的等腰三角形，求t的值；（3）請你繼續(xù)進行探究，并解答下列問題：

①證明：在運動過程中，點O始終在QM所在直線的左側(cè)；

②如圖3，在運動過程中，當QM與⊙O相切時，求t的值；并判斷此時PM與⊙O是否也相切？說明理由．

38．如圖，拋物線y=﹣x2+mx+n的圖象經(jīng)過點A（2，3），對稱軸為直線x=1，一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過點A，交x軸于點P，交拋物線于另一點B，點A、B位于點P的同側(cè)．（1）求拋物線的解析式；

（2）若PA：PB=3：1，求一次函數(shù)的解析式；

（3）在（2）的條件下，當k＞0時，拋物線的對稱軸上是否存在點C，使得⊙C同時與x軸和直線AP都相切，如果存在，請求出點C的坐標，如果不存在，請說明理由．

第19頁（共169頁）

因動點產(chǎn)生的線段和差問題

39．如圖，拋物線y=x2﹣4x與x軸交于O，A兩點，P為拋物線上一點，過點P的直線y=x+m與對稱軸交于點Q．

（1）這條拋物線的對稱軸是

，直線PQ與x軸所夾銳角的度數(shù)是

；（2）若兩個三角形面積滿足S△POQ=S△PAQ，求m的值；

（3）當點P在x軸下方的拋物線上時，過點C（2，2）的直線AC與直線PQ交于點D，求：①PD+DQ的最大值；②PD?DQ的最大值．

40．拋物線y=ax2+bx+4（a≠0）過點A（1，﹣1），B（5，﹣1），與y軸交于點C．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；

（2）如圖1，連接CB，以CB為邊作?CBPQ，若點P在直線BC上方的拋物線上，Q為坐標平面內(nèi)的一點，且?CBPQ的面積為30，求點P的坐標；（3）如圖2，⊙O1過點A、B、C三點，AE為直徑，點M為

上的一動點（不與點A，E重合），∠MBN為直角，邊BN與ME的延長線交于N，求線段BN長

第20頁（共169頁）

度的最大值．

41．如圖，在每一個四邊形ABCD中，均有AD∥BC，CD⊥BC，∠ABC=60°，AD=8，BC=12．

（1）如圖①，點M是四邊形ABCD邊AD上的一點，則△BMC的面積為

；（2）如圖②，點N是四邊形ABCD邊AD上的任意一點，請你求出△BNC周長的最小值；

（3）如圖③，在四邊形ABCD的邊AD上，是否存在一點P，使得cos∠BPC的值最??？若存在，求出此時cos∠BPC的值；若不存在，請說明理由．

42．如圖，把△EFP按圖示方式放置在菱形ABCD中，使得頂點E、F、P分別在線段AB、AD、AC上，已知EP=FP=4，EF=4（1）求∠EPF的大??；

（2）若AP=6，求AE+AF的值；

（3）若△EFP的三個頂點E、F、P分別在線段AB、AD、AC上運動，請直接寫出AP長的最大值和最小值．，∠BAD=60°，且AB＞

4．43．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=﹣x2﹣x+2與x軸交于B、C兩點

第21頁（共169頁）

（點B在點C的左側(cè)），與y軸交于點A，拋物線的頂點為D．

（1）填空：點A的坐標為（，），點B的坐標為（，），點C的坐標為（，），點D的坐標為（，）；（2）點P是線段BC上的動點（點P不與點B、C重合）

①過點P作x軸的垂線交拋物線于點E，若PE=PC，求點E的坐標；

②在①的條件下，點F是坐標軸上的點，且點F到EA和ED的距離相等，請直接寫出線段EF的長；

③若點Q是線段AB上的動點（點Q不與點A、B重合），點R是線段AC上的動點（點R不與點A、C重合），請直接寫出△PQR周長的最小值．

44．如圖，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M是邊CD上一點，將△ADM沿直線AM對折，得到△ANM．

（1）當AN平分∠MAB時，求DM的長；（2）連接BN，當DM=1時，求△ABN的面積；（3）當射線BN交線段CD于點F時，求DF的最大值．

45．如圖，半圓O的直徑AB=4，以長為2的弦PQ為直徑，向點O方向作半圓M，其中P點在發(fā)現(xiàn)：的長與上且不與A點重合，但Q點可與B點重合． 的長之和為定值l，求l：

思考：點M與AB的最大距離為

，此時點P，A間的距離為

； 點M與AB的最小距離為

，此時半圓M的弧與AB所圍成的封閉圖形面積為

；

第22頁（共169頁）

探究：當半圓M與AB相切時，求（注：結(jié)果保留π，cos35°=的長．），cos55°=

46．（1）發(fā)現(xiàn)：如圖1，點A為線段BC外一動點，且BC=a，AB=b．

填空：當點A位于

時，線段AC的長取得最大值，且最大值為

（用含a，b的式子表示）

（2）應(yīng)用：點A為線段BC外一動點，且BC=3，AB=1，如圖2所示，分別以AB，AC為邊，作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE，連接CD，BE． ①請找出圖中與BE相等的線段，并說明理由； ②直接寫出線段BE長的最大值．

（3）拓展：如圖3，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（2，0），點B的坐標為（5，0），點P為線段AB外一動點，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°，請直接寫出線段AM長的最大值及此時點P的坐標．

47．如圖，直線l：y=﹣3x+3與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，拋物線y=ax2﹣2ax+a+4（a＜0）經(jīng)過點B．（1）求該拋物線的函數(shù)表達式；

（2）已知點M是拋物線上的一個動點，并且點M在第一象限內(nèi)，連接AM、BM，設(shè)點M的橫坐標為m，△ABM的面積為S，求S與m的函數(shù)表達式，并求出S的最大值；

（3）在（2）的條件下，當S取得最大值時，動點M相應(yīng)的位置記為點M′． ①寫出點M′的坐標；

第23頁（共169頁）

②將直線l繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到直線l′，當直線l′與直線AM′重合時停止旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，直線l′與線段BM′交于點C，設(shè)點B、M′到直線l′的距離分別為d1、d2，當d1+d2最大時，求直線l′旋轉(zhuǎn)的角度（即∠BAC的度數(shù)）．

48．如圖，在平面直角坐標系xOy中，將二次函數(shù)y=x2﹣1的圖象M沿x軸翻折，把所得到的圖象向右平移2個單位長度后再向上平移8個單位長度，得到二次函數(shù)圖象N．

（1）求N的函數(shù)表達式；

（2）設(shè)點P（m，n）是以點C（1，4）為圓心、1為半徑的圓上一動點，二次函數(shù)的圖象M與x軸相交于兩點A、B，求PA2+PB2的最大值；

（3）若一個點的橫坐標與縱坐標均為整數(shù)，則該點稱為整點．求M與N所圍成封閉圖形內(nèi)（包括邊界）整點的個數(shù)．

49．如圖，頂點為A（，1）的拋物線經(jīng)過坐標原點O，與x軸交于點B．

（1）求拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)的表達式；

（2）過B作OA的平行線交y軸于點C，交拋物線于點D，求證：△OCD≌△OAB；（3）在x軸上找一點P，使得△PCD的周長最小，求出P點的坐標．

第24頁（共169頁）

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2017 挑戰(zhàn)壓軸題 中考數(shù)學(xué)

精講解讀篇

參考答案與試題解析

一．解答題（共36小題）

1．如圖，在平面直角坐標系xOy中，將拋物線y=x2的對稱軸繞著點P（0，2）順時針旋轉(zhuǎn)45°后與該拋物線交于A、B兩點，點Q是該拋物線上一點．（1）求直線AB的函數(shù)表達式；

（2）如圖①，若點Q在直線AB的下方，求點Q到直線AB的距離的最大值；（3）如圖②，若點Q在y軸左側(cè)，且點T（0，t）（t＜2）是射線PO上一點，當以P、B、Q為頂點的三角形與△PAT相似時，求所有滿足條件的t的值．

【分析】（1）根據(jù)題意易得點M、P的坐標，利用待定系數(shù)法來求直線AB的解析式；

（2）如圖①，過點Q作x軸的垂線QC，交AB于點C，再過點Q作直線AB的垂線，垂足為D，構(gòu)建等腰直角△QDC，利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征和二次函數(shù)最值的求法進行解答；

（3）根據(jù)相似三角形的對應(yīng)角相等推知：△PBQ中必有一個內(nèi)角為45°；需要分類討論：∠PBQ=45°和∠PQB=45°；然后對這兩種情況下的△PAT是否是直角三角形分別進行解答．另外，以P、B、Q為頂點的三角形與△PAT相似也有兩種情況：△Q″PB∽△PAT、△Q″BP∽△PAT．

【解答】解：（1）如圖①，設(shè)直線AB與x軸的交點為M．

第26頁（共169頁）

∵∠OPA=45°，∴OM=OP=2，即M（﹣2，0）．

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0），將M（﹣2，0），P（0，2）兩點坐標代入，得，解得．

故直線AB的解析式為y=x+2；

（2）如圖①，過點Q作x軸的垂線QC，交AB于點C，再過點Q作直線AB的垂線，垂足為D，根據(jù)條件可知△QDC為等腰直角三角形，則QD=設(shè)Q（m，m2），則C（m，m+2）． ∴QC=m+2﹣m2=﹣（m﹣）2+，QD=QC=[﹣（m﹣）2+]．

；

QC．

故當m=時，點Q到直線AB的距離最大，最大值為

（3）∵∠APT=45°，∴△PBQ中必有一個內(nèi)角為45°，由圖知，∠BPQ=45°不合題意．

①如圖②，若∠PBQ=45°，過點B作x軸的平行線，與拋物線和y軸分別交于點Q′、F．此時滿足∠PBQ′=45°． ∵Q′（﹣2，4），F(xiàn)（0，4），∴此時△BPQ′是等腰直角三角形，由題意知△PAT也是等腰直角三角形．（i）當∠PTA=90°時，得到：PT=AT=1，此時t=1；（ii）當∠PAT=90°時，得到：PT=2，此時t=0．

②如圖③，若∠PQB=45°，①中是情況之一，答案同上；

先以點F為圓心，F(xiàn)B為半徑作圓，則P、B、Q′都在圓F上，設(shè)圓F與y軸左側(cè)的拋物線交于另一點Q″．

則∠PQ″B=∠PQ′B=45°（同弧所對的圓周角相等），即這里的交點Q″也是符合要

第27頁（共169頁）

求．

設(shè)Q″（n，n2）（﹣2＜n＜0），由FQ″=2，得 n2+（4﹣n2）2=22，即n4﹣7n2+12=0． 解得n2=3或n2=4，而﹣2＜n＜0，故n=﹣可證△PFQ″為等邊三角形，所以∠PFQ″=60°，又PQ″=PQ″，所以∠PBQ″=∠PFQ″=30°．

則在△PQ″B中，∠PQ″B=45°，∠PBQ″=30°．

（i）若△Q″PB∽△PAT，則過點A作y軸的垂線，垂足為E． 則ET=所以O(shè)T=解得t=1﹣AE=，OE=1，即Q″（﹣，3）．

﹣1，；

（ii）若△Q″BP∽△PAT，則過點T作直線AB垂線，垂足為G． 設(shè)TG=a，則PG=TG=a，AG=∴a+a=，a=﹣1，TG=

a，AP=，解得PT=∴OT=OP﹣PT=3﹣∴t=3﹣．

綜上所述，所求的t的值為t=1或t=0或t=1﹣或t=3﹣．

第28頁（共169頁）

2．如圖，已知BC是半圓O的直徑，BC=8，過線段BO上一動點D，作AD⊥BC交半圓O于點A，聯(lián)結(jié)AO，過點B作BH⊥AO，垂足為點H，BH的延長線交半圓O于點F．（1）求證：AH=BD；

（2）設(shè)BD=x，BE?BF=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

（3）如圖2，若聯(lián)結(jié)FA并延長交CB的延長線于點G，當△FAE與△FBG相似時，求BD的長度．

【分析】（1）由AD⊥BC，BH⊥AO，利用垂直的定義得到一對直角相等，再由一對公共角，且半徑相等，利用AAS得到三角形ADO與三角形BHO全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到OH=OD，利用等式的性質(zhì)化簡即可得證；

（2）連接AB，AF，如圖1所示，利用HL得到直角三角形ADB與直角三角形BHA

第29頁（共169頁）

全等，利用全等三角形對應(yīng)角相等得到一對角相等，再由公共角相等得到三角形ABE與三角形AFB相似，由相似得比例即可確定出y與x的函數(shù)解析式；（3）連接OF，如圖2所示，利用兩對角相等的三角形相似得到三角形AFO與三角形FOG相似，由相似得比例求出BD的長即可． 【解答】（1）證明：∵AD⊥BC，BH⊥AO，∴∠ADO=∠BHO=90°，在△ADO與△BHO中，∴△ADO≌△BHO（AAS），∴OH=OD，又∵OA=OB，∴AH=BD；

（2）解：連接AB、AF，如圖1所示，∵AO是半徑，AO⊥弦BF，∴∴AB=AF，∴∠ABF=∠AFB，在Rt△ADB與Rt△BHA中，∴Rt△ADB≌Rt△BHA（HL），∴∠ABF=∠BAD，∴∠BAD=∠AFB，又∵∠ABF=∠EBA，∴△BEA∽△BAF，∴

=，第30頁（共169頁）

∴BA2=BE?BF，∵BE?BF=y，∴y=BA2，∵∠ADO=∠ADB=90°，∴AD2=AO2﹣DO2，AD2=AB2﹣BD2，∴AO2﹣DO2=AB2﹣BD2，∵直徑BC=8，BD=x，∴AB2=8x，則y=8x（0＜x＜4）；

方法二：∵BE?BF=y，BF=2BH，∴BE?BH=y，∵△BED∽△BOH，∴=，∴OB?BD=BE?BH，∴4x=y，∴y=8x（0＜x＜4）；

（3）解：連接OF，如圖2所示，∵∠GFB是公共角，∠FAE＞∠G，∴當△FAE∽△FBG時，∠AEF=∠G，∵∠BHA=∠ADO=90°，∴∠AEF+∠DAO=90°，∠AOD+∠DAO=90°，∴∠AEF=∠AOD，∴∠G=∠AOD，∴AG=AO=4，第31頁（共169頁）

∵∴∠AOD=∠AOF，∴∠G=∠AOF，又∵∠GFO是公共角，∴△FAO∽△FOG，∴=，∵AB2=8x，AB=AF，∴AF=2∴=x，，解得：x=3±∵3+＞4，舍去，． ∴BD=3﹣

3．如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線AB過點A（3，0）、B（0，m）（m＞0），tan∠BAO=2．

（1）求直線AB的表達式；（2）反比例函數(shù)y=的圖象與直線AB交于第一象限內(nèi)的C、D兩點（BD＜BC），當AD=2DB時，求k1的值；

（3）設(shè)線段AB的中點為E，過點E作x軸的垂線，垂足為點M，交反比例函數(shù)y=的圖象于點F，分別聯(lián)結(jié)OE、OF，當△OEF∽△OBE時，請直接寫出滿足條件的所有k2的值．

【分析】（1）先通過解直角三角形求得A的坐標，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得直線AB的解析式；

（2）作DE∥OA，根據(jù)題意得出

=

=，求得DE，即D的橫坐標，代入AB

第32頁（共169頁）的解析式求得縱坐標，然后根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征即可求得k1；（3）根據(jù)勾股定理求得AB、OE，進一步求得BE，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得EF的長，從而求得FM的長，得出F的坐標，然后根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征即可求得k2．

【解答】解：（1）∵A（3，0）、B（0，m）（m＞0），∴OA=3，OB=m，∵tan∠BAO=∴m=6，設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，代入A（3，0）、B（0，6）得：解得：b=6，k=﹣2

∴直線AB的解析式為y=﹣2x+6；

=2，（2）如圖1，∵AD=2DB，∴=，作DE∥OA，∴==，∴DE=OA=1，∴D的橫坐標為1，代入y=﹣2x+6得，y=4，∴D（1，4），∴k1=1×4=4；

（3）如圖2，∵A（3，0），B（0，6），∴E（，3），AB=

=

3，∵OE是Rt△OAB斜邊上的中線，∴OE=AB=，BE=，第33頁（共169頁）

∵EM⊥x軸，∴F的橫坐標為，∵△OEF∽△OBE，∴=，∴，∴EF=，=． ∴FM=3﹣∴F（，），∴k2=×=．

4．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=7，點D是邊CA延長線的一點，AE⊥BD，垂足為點E，AE的延長線交CA的平行線BF于點F，連結(jié)CE交AB于點G．

（1）當點E是BD的中點時，求tan∠AFB的值；

（2）CE?AF的值是否隨線段AD長度的改變而變化？如果不變，求出CE?AF的值；如果變化，請說明理由；

第34頁（共169頁）

（3）當△BGE和△BAF相似時，求線段AF的長．

【分析】（1）過點E作EH⊥CD于H，如圖1，易證EH是△DBC的中位線及△AHE∽△EHD，設(shè)AH=x，運用相似三角形的性質(zhì)可求出x，就可求出tan∠AFB的值；（2）取AB的中點O，連接OC、OE，如圖2，易證四點A、C、B、E共圓，根據(jù)圓周角定理可得∠BCE=∠BAF，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形內(nèi)角互補可得∠CBE+∠CAE=180°，由此可推出∠CBE=∠BFA，從而可得△BCE∽△FAB，即可得到CE?FA=BC?AB，只需求出AB就可解決問題；

（3）過點E作EH⊥CD于H，作EM⊥BC于M，如圖3，易證四邊形EMCH是矩形，由△BCE∽△FAB，△BGE與△FAB相似可得△BGE與△BCE相似，即可得到∠EBG=∠ECB．由點A、C、B、E共圓可得∠ECA=∠EBG，即可得到∠ECB=∠ECA，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得EM=EH，即可得到矩形EMCH是正方形，則有CM=CH，易證EB=EA，根據(jù)HL可得Rt△BME∽Rt△AHE，則有BM=AH．設(shè)AH=x，根據(jù)CM=CH可求出x，由此可求出CE的長，再利用（2）中的結(jié)果就可求出AF的值． 【解答】解：（1）過點E作EH⊥CD于H，如圖1，則有∠EHA=∠EHD=90°． ∵∠BCD=90°，BE=DE，∴CE=DE． ∴CH=DH，∴EH=BC=．

第35頁（共169頁）

設(shè)AH=x，則DH=CH=x+1． ∵AE⊥BD，∴∠AEH+∠DEH=∠AED=90°． ∵∠AEH+∠EAH=90°，∴∠EAH=∠DEH，∴△AHE∽△EHD，∴=，∴EH2=AH?DH，∴（）2=x（x+1），解得x=（舍負），∴tan∠EAH===．

∵BF∥CD，∴∠AFB=∠EAH，∴tan∠AFB= ；

（2）CE?AF的值不變．

取AB的中點O，連接OC、OE，如圖2，∵∠BCA=∠BEA=90°，∴OC=OA=OB=OE，∴點A、C、B、E共圓，∴∠BCE=∠BAF，∠CBE+∠CAE=180°．

第36頁（共169頁）

∵BF∥CD，∴∠BFA+∠CAE=180°，∴∠CBE=∠BFA，∴△BCE∽△FAB，∴=，∴CE?FA=BC?AB．

∵∠BCA=90°，BC=7，AC=1，∴AB=5，=3

5； ∴CE?FA=7×5

（3）過點E作EH⊥CD于H，作EM⊥BC于M，如圖3，∴∠EMC=∠MCH=∠CHE=90°，∴四邊形EMCH是矩形．

∵△BCE∽△FAB，△BGE與△FAB相似，∴△BGE與△BCE相似，∴∠EBG=∠ECB． ∵點A、C、B、E共圓，∴∠ECA=∠EBG，∴∠ECB=∠ECA，∴EM=EH，∴矩形EMCH是正方形，∴CM=CH．

∵∠ECB=∠ECA=∠BCA=45°，第37頁（共169頁）

∴∠EBA=∠EAB=45°，∴EB=EA，∴Rt△BME≌Rt△AHE（HL），∴BM=AH．

設(shè)AH=x，則BM=x，CM=7﹣x，CH=1+x，∴7﹣x=1+x，∴x=3，∴CH=4． 在Rt△CHE中，cos∠ECH=∴CE=4．，==，由（2）可得CE?FA=35∴AF= =．

5．如圖，平面直角坐標系xOy中，已知B（﹣1，0），一次函數(shù)y=﹣x+5的圖象與x軸、y軸分別交于點A、C兩點，二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過點A、點B．

（1）求這個二次函數(shù)的解析式；

（2）點P是該二次函數(shù)圖象的頂點，求△APC的面積；

（3）如果點Q在線段AC上，且△ABC與△AOQ相似，求點Q的坐標．

【分析】（1）由一次函數(shù)的解析式求出A、C兩點坐標，再根據(jù)A、B兩點坐標求出b、c即可確定二次函數(shù)解析式；

（2）根據(jù)二次函數(shù)的解析式求出P點坐標，然后計算三角形APC的面積；

第38頁（共169頁）

（3）分兩種情況討論：①△ABC∽△AOQ，②△ABC∽△AQO．

【解答】解：（1）∵一次函數(shù)y=﹣x+5的圖象與x軸、y軸分別交于點A、C兩點，∴A（5，0），C（0，5），∵二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過點A、點B，∴b=4，c=5，∴二次函數(shù)的解析式為：y=﹣x2+4x+5．（2）∵y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣2）2+9，∴P（2，9），過點P作PD∥y軸交AC于點D，如圖，則D（2，3），∴

=15；

（3）①若△ABC∽△AOQ，如圖，此時，OQ∥BC，由B、C兩點坐標可求得BC的解析式為：y=5x+5，∴OQ的解析式為：y=5x，第39頁（共169頁）

由解得：，∴Q（，）；

②若△ABC∽△AQO，如圖，此時，，∵AB=6，AO=5，AC=∴AQ=3，∴Q（2，3）．

綜上所述，滿足要求的Q點坐標為：Q（，6．已知：半圓O的直徑AB=6，點C在半圓O上，且tan∠ABC=2AC上一點，聯(lián)結(jié)DC（如圖）（1）求BC的長；

（2）若射線DC交射線AB于點M，且△MBC與△MOC相似，求CD的長；（3）聯(lián)結(jié)OD，當OD∥BC時，作∠DOB的平分線交線段DC于點N，求ON的長．，點D為?。┗騋（2，3）．

【分析】（1）如圖1中，根據(jù)AB是直徑，得△ABC是直角三角形，利用勾股定理即可解決問題．

第40頁（共169頁）

（2）如圖2中，只要證明△OBC≌△OCD得BC=CD，即可解決問題．

（3）如圖3中，延長ON交BC的延長線于G，作GH⊥OB于H，先求出BG，根據(jù)tan∠HBG=2由此即可解決．

【解答】解；（1）如圖1中，連接AC，利用勾股定理求出線段HB、HG，再利用CG∥DO得，∵AB是直徑，∴∠ACB=90°，∵tan∠ABC=2，k，BC=k，∴可以假設(shè)AC=2∵AB=6，AB2=AC2+BC2，∴36=8k2+k2，∴k2=4，∵k＞0，∴k=2，BC=2．（2）如圖2中，∵△MBC與△MOC相似，∴∠MBC=∠MCO，∵∠MBC+∠OBC=180°，∠MCO+∠OCD=180°，∴∠OBC=∠OCD，第41頁（共169頁）

∵OB=OC=OD，∴∠OBC=∠OCB=∠OCD=∠ODC，在△OBC和△OCD中，∴△OBC≌△OCD，∴BC=CD=2．

（3）如圖3中，延長ON交BC的延長線于G，作GH⊥OB于H．

∵BC∥OD，∴∠DOG=∠OGB=∠GOB，∴BO=BG=3，∵tan∠HBG=∵BG2=GH2+HB2，∴8a2+a2=9，∴a2=1，∵a＞0，∴a=1，HB=1，GH=2∵GC∥DO，∴=，=．，OH=2，OG=

=

2，設(shè)GH=2

a，HB=a，∴ON=×

7．如圖，已知二次函數(shù)y=x2+bx+c（b，c為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點A（3，﹣1），點C（0，﹣4），頂點為點M，過點A作AB∥x軸，交y軸與點D，交該二次函

第42頁（共169頁）

數(shù)圖象于點B，連結(jié)BC．

（1）求該二次函數(shù)的解析式及點M的坐標；

（2）若將該二次函數(shù)圖象向上平移m（m＞0）個單位，使平移后得到的二次函數(shù)圖象的頂點落在△ABC的內(nèi)部（不包含△ABC的邊界），求m的取值范圍；（3）點P時直線AC上的動點，若點P，點C，點M所構(gòu)成的三角形與△BCD相似，請直接寫出所有點P的坐標（直接寫出結(jié)果，不必寫解答過程）．

【分析】（1）把A、C兩點的坐標代入拋物線的解析式可求b、c的值，然后利用配方法可求得點M的坐標；

（2）先求得直線AC的解析式，然后再求得拋物線的對稱軸，設(shè)直線x=1與△ABC的兩邊分別交于點E與點F，然后求得點E和點F的坐標，然后依據(jù)平移后拋物線的頂點在△BAC的內(nèi)部列不等式組求解即可；

（3）先證明∠PCM為直角，然后分為△MPC∽△CBD、BDC∽△MCP，兩種情況求得PC的長，然后再求得點P的坐標即可． 【解答】解：（1）把A、C兩點的坐標代入得：解得：．，∴二次函數(shù)的解析式為y=x2﹣2x﹣4． 配方得：y=（x﹣1）2﹣5． ∴點M的坐標為（1，﹣5）．

（2）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，把點A、C的坐標代入得：，∴直線AC的解析式為y=x﹣4．

第43頁（共169頁），解得：

拋物線的對稱軸方程為x=﹣=1．

如圖1所示，直線x=1與△ABC的兩邊分別交于點E與點F，則點F的坐標為（1，﹣1）．

將x=1代入直線y=x﹣4得：y=﹣3． ∴E（1，﹣3）．

∵拋物線向上平移m個單位長度時，拋物線的頂點在△BAC的內(nèi)部，∴﹣3＜﹣5+m＜﹣1． ∴2＜m＜4．

（3）如圖2所示：

把y=﹣1代入拋物線的解析式得：x2﹣2x﹣4=﹣1，解得x=﹣1或x=3，∴B（﹣1，﹣1）． ∴BD=1．

∵AB∥x軸，A（4，﹣1），第44頁（共169頁）

∴D（0，﹣1）∴AD=DC=3． ∴∠DCA=45°．

過點M作ME⊥y軸，垂足為E． ∵C（0，﹣4），M（1，﹣5）． ∴CE=ME=1． ∴∠ECM=45°，MC=∴∠ACM=90°． ∴∠PCM=∠CDB=90°． ①當△MPC∽△CBD時，∴CF=PF=sin45°?PC=∴P（﹣，﹣）．

×，即=．

=，解得PC=

．

．

如圖3所示：點P在點C的右側(cè)時，過點P作PF⊥y軸，垂足為F．

∵CP=∴CF=FP=，∠FCP=45°，∠CFP=90°，×=．）．

=，即

=，解得PC=

3． ∴P（﹣，﹣②當BDC∽△MCP時，如圖4所示：當點P在AC的延長線上時，過點作PE⊥y軸，垂足為E．

第45頁（共169頁）

∵PC=3，∠PCE=45°，∠PEC=90°，×=3． ∴CE=PE=3∴P（﹣3，﹣7）．

如圖5所示：當點P在AC上時，過點P作PE⊥y軸，垂足為E．

∵PC=3，∠PCE=45°，∠PEC=90°，×=3． ∴CE=PE=3∴P（3，﹣1）．

綜上所述，點P的坐標為（﹣3，﹣7）或（3，﹣1）或（﹣，﹣﹣

8．如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，點E是∠BAC角平分線上一點，過點E作AE的垂線，過點A作AB的垂線，兩垂線交于點D，連接DB，點F是BD的中點，DH⊥AC，垂足為H，連接EF，HF．（1）如圖1，若點H是AC的中點，AC=2（2）如圖1，求證：HF=EF；

（3）如圖2，連接CF，CE．猜想：△CEF是否是等邊三角形？若是，請證明；

第46頁（共169頁））或（﹣，）．，求AB，BD的長；

若不是，說明理由．

【分析】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)即可得到結(jié)果；

（2）如圖1，連接AF，證出△DAE≌△ADH，△DHF≌△AEF，即可得到結(jié)果；（3）如圖2，取AB的中點M，連接CM，F(xiàn)M，在Rt△ADE中，AD=2AE，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到AD=2FM，于是得到FM=AE，由∠CAE=∠CAB=30°∠CMF=∠AMF﹣AMC=30°，證得△ACE≌△MCF，問題即可得證． 【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，∠BAC=60°，∴∠ABC=30°，∴AB=2AC=2×2=

4，∵AD⊥AB，∠CAB=60°，∴∠DAC=30°，∵AH=AC=∴AD=∴BD=，=2，=

2；

（2）如圖1，連接AF，∵AE是∠BAC角平分線，∴∠HAE=30°，∴∠ADE=∠DAH=30°，在△DAE與△ADH中，∴△DAE≌△ADH，第47頁（共169頁）

∴DH=AE，∵點F是BD的中點，∴DF=AF，∵∠EAF=∠EAB﹣∠FAB=30°﹣∠FAB

∠FDH=∠FDA﹣∠HDA=∠FDA﹣60°=（90°﹣∠FBA）﹣60°=30°﹣∠FBA，∴∠EAF=∠FDH，在△DHF與△AEF中，∴△DHF≌△AEF，∴HF=EF；

（3）如圖2，取AB的中點M，連接CM，F(xiàn)M，∵F、M分別是BD、AB的中點，∴FM∥AD，即FM⊥AB． 在Rt△ADE中，AD=2AE，∵DF=BF，AM=BM，∴AD=2FM，∴FM=AE，∵∠ABC=30°，∴AC=CM=AB=AM，∵∠CAE=∠CAB=30°∠CMF=∠AMF﹣∠AMC=30°，在△ACE與△MCF中，∴△ACE≌△MCF，∴CE=CF，∠ACE=∠MCF，∵∠ACM=60°，∴∠ECF=60°，第48頁（共169頁）

∴△CEF是等邊三角形．

9．已知，一條拋物線的頂點為E（﹣1，4），且過點A（﹣3，0），與y軸交于點C，點D是這條拋物線上一點，它的橫坐標為m，且﹣3＜m＜﹣1，過點D作DK⊥x軸，垂足為K，DK分別交線段AE、AC于點G、H．（1）求這條拋物線的解析式；（2）求證：GH=HK；

（3）當△CGH是等腰三角形時，求m的值．

【分析】（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）2+4（a≠0），將點A的坐標代入求得a的值即可求得拋物線的解析式；

（2）先求得直線AE、AC的解析式，由點D的橫坐標為m，可求得KG、KH的長（用含m的式子），從而可證明GH=HK；

（3）可分為CG=CH，GH=GC，HG=HC三種情況，接下來依據(jù)兩點間的距離公式列方程求解即可．

【解答】（1）解：∵拋物線的頂點為E（﹣1，4），第49頁（共169頁）

∴設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）2+4（a≠0）． 又∵拋物線過點A（﹣3，0），∴4a+4=0，解得：a=﹣1．

∴這條拋物線的解析式為y=﹣（x+1）2+4．（2）設(shè)直線AE的解析式為y=kx+b． ∵將A（﹣3，0），E（﹣1，4），代入得：∴直線AE的解析式為y=2x+6． 設(shè)直線AC的解析式為y=k1x+b1． ∵將A（﹣3，0），C（0，3）代入得：∴直線AC的解析式為y=x+3． ∵D的橫坐標為m，DK⊥x軸 ∴G（m，2m+6），H（m，m+3）． ∵K（m，0）

∴GH=m+3，HK=m+3． ∴GH=HK．

（3）由（2）可知：C（0，3），G（m，2m+6），H（m，m+3）①若CG=CH，則

=，整理得：（2m+3）2=m2，解得開平方得：，解得：k=1，b=3，解得：k=2，b=6，2m+3=±m(xù)解得m1=﹣1，m2=﹣3，∵﹣3＜m＜﹣1，∴m≠﹣1且m≠﹣3． ∴這種情況不存在． ②若GC=GH，則．

③若HC=HG，則m2=3+3（舍去）．

或

．

=m+3，整理得：m2﹣6m﹣9=0，解得；m1=3﹣3，=m+3，整理得：2m2+3m=0 解得m1=0（舍去），綜上所述：當△CGH是等腰三角形時，m的值為

第50頁（共169頁）

第二篇：中考數(shù)學(xué)壓軸題整理

【運用相似三角形特性解題，注意分清不同情況下的函數(shù)會發(fā)生變法，要懂得分情況討論問題】

【分情況討論，抓住特殊圖形的面積，多運用勾股定理求高，構(gòu)造梯形求解】

【出現(xiàn)邊與邊的比，構(gòu)造相似求解】

【當圖形比較復(fù)雜的時候，要學(xué)會提煉出基礎(chǔ)圖形進行分析，如此題中可將兩個三角形構(gòu)成的平行四邊形提取出來分析，出現(xiàn)兩個頂點，結(jié)合平行四邊形性質(zhì)和函數(shù)圖像性質(zhì)，找出不變的量，如此題中N點的縱坐標不變，為-3，為突破口從而求解】

已知△ABC是等邊三角形．

（1）將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)角θ（0°＜θ＜180°），得到△ADE，BD和EC所在直線相交于點O．

①如圖a，當θ=20°時，△ABD與△ACE是否全等？（填“是”或“否”），∠BOE=度；

②當△ABC旋轉(zhuǎn)到如圖b所在位置時，求∠BOE的度數(shù)；

【旋轉(zhuǎn)，平移，軸對稱的題目，要將動態(tài)轉(zhuǎn)化為靜態(tài)求解，運用全等和相似的方法】

【通過旋轉(zhuǎn)把條件進行轉(zhuǎn)移，利用與第一題相同的方法做輔助線，采用構(gòu)造直角三角形的方法求解】

如下數(shù)表是由從1開始的連續(xù)自然數(shù)組成，觀察規(guī)律并完成各題的解答．

（1）表中第8行的最后一個數(shù)是_________，它是自然數(shù)_______的平方，第8行共有________個數(shù)；

（2）用含n的代數(shù)式表示：第n行的第一個數(shù)是_______，最后一個數(shù)是_________，第n行共有個數(shù)__________；

（3）求第n行各數(shù)之和．

【利用三角函數(shù)求解】

如圖所示，已知A點從（1，0）點出發(fā)，以每秒1個單位長的速度沿著x軸的正方向運動，經(jīng)過t秒后，以O(shè)、A為頂點作菱形OABC，使B、C點都在第一象限內(nèi)，且∠AOC=60°，又以P（0，4）為圓心，PC為半徑的圓恰好與OA所在的直線相切，則t=_____________．

【提取基礎(chǔ)圖形，此題將三角形提取出來，構(gòu)造直角三角形，利用30°所對的邊是斜邊的一半，設(shè)未知數(shù)求解】

【要求是否能構(gòu)造成直角三角形，構(gòu)造包含欲求三角形的三邊的另外三個直角三角形，利用勾股定理求出三條邊，再運用勾股定理，分三種情況求解】

如圖，正方形ABCD與正三角形AEF的頂點A重合，將△AEF繞頂點A旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，當BE=DF時，∠BAE的大小可以是___________．

當遇到求是否構(gòu)成等腰三角形，等邊三角形，等腰直角三角形，直角三角形時，在坐標軸中，設(shè)未知數(shù)求解；如設(shè)點A為（x,y）或設(shè)點A為（0，m），多尋找可用相似表示的邊，運用相似的面積比，周長比，高之比，邊之比求解

求坐標軸上有多少個圖形能夠構(gòu)成面積為多少，周長為多少的三角形四邊形等時，注意坐標點可能在正半軸或負半軸，注意加絕對值符號，計算多邊形面積可采用割補法

第三篇：2017年中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)壓軸題(含答案)

2017年中考數(shù)學(xué)沖刺復(fù)習(xí)資料:二次函數(shù)壓軸題

面積類

1．如圖，已知拋物線經(jīng)過點A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點．（1）求拋物線的解析式．

（2）點M是線段BC上的點（不與B，C重合），過M作MN∥y軸交拋物線于N，若點M的橫坐標為m，請用m的代數(shù)式表示MN的長．

（3）在（2）的條件下，連接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面積最大？若存在，求m的值；若不存在，說明理由．

考點：二次函數(shù)綜合題． 專題：壓軸題；數(shù)形結(jié)合． 分析：

（1）已知了拋物線上的三個點的坐標，直接利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式．（2）先利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，已知點M的橫坐標，代入直線BC、拋物線的解析式中，可得到M、N點的坐標，N、M縱坐標的差的絕對值即為MN的長．（3）設(shè)MN交x軸于D，那么△BNC的面積可表示為：S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN（OD+DB）=MN?OB，MN的表達式在（2）中已求得，OB的長易知，由此列出關(guān)于S△BNC、m的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可判斷出△BNC是否具有最大值． 解答：

解：（1）設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x+1）（x﹣3），則： a（0+1）（0﹣3）=3，a=﹣1；

∴拋物線的解析式：y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3．（2）設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b，則有：

2）首先根據(jù)拋物線的解析式確定A點坐標，然后通過證明△ABC是直角三角形來推導(dǎo)出直徑AB和圓心的位置，由此確定圓心坐標．

（3）△MBC的面積可由S△MBC=BC×h表示，若要它的面積最大，需要使h取最大值，即點M到直線BC的距離最大，若設(shè)一條平行于BC的直線，那么當該直線與拋物線有且只有一個交點時，該交點就是點M． 解答：

解：（1）將B（4，0）代入拋物線的解析式中，得： 0=16a﹣×4﹣2，即：a=；

∴拋物線的解析式為：y=x2﹣x﹣2．

（2）由（1）的函數(shù)解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）； ∴OA=1，OC=2，OB=4，即：OC2=OA?OB，又：OC⊥AB，∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC； ∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°，∴△ABC為直角三角形，AB為△ABC外接圓的直徑； 所以該外接圓的圓心為AB的中點，且坐標為：（，0）．

（3）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直線BC的解析式為：y=x﹣2；

設(shè)直線l∥BC，則該直線的解析式可表示為：y=x+b，當直線l與拋物線只有一個交點時，可列方程：

x+b=x2﹣x﹣2，即： x2﹣2x﹣2﹣b=0，且△=0； ∴4﹣4×（﹣2﹣b）=0，即b=﹣4； ∴直線l：y=x﹣4．

所以點M即直線l和拋物線的唯一交點，有：，解得：即 M（2，﹣3）．

過M點作MN⊥x軸于N，S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×（2+3）+×2×3﹣×2×4=4．

t=﹣=時，PM最長為=，再利用三角形的面積公式利用S△ABM=S△BPM+S△APM計算即可；

（3）由PM∥OB，根據(jù)平行四邊形的判定得到當PM=OB時，點P、M、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形，然后討論：當P在第四象限：PM=OB=3，PM最長時只有，所以不可能；當P在第一象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3；當P在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，分別解一元二次方程即可得到滿足條件的t的值． 解答：

解：（1）把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=x2+mx+n，得

解得，所以拋物線的解析式是y=x2﹣2x﹣3．

設(shè)直線AB的解析式是y=kx+b，把A（3，0）B（0，﹣3）代入y=kx+b，得所以直線AB的解析式是y=x﹣3；

（2）設(shè)點P的坐標是（t，t﹣3），則M（t，t2﹣2t﹣3），因為p在第四象限，所以PM=（t﹣3）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣t2+3t，當t=﹣=時，二次函數(shù)的最大值，即PM最長值為

=

．

=，解得，則S△ABM=S△BPM+S△APM=（3）存在，理由如下： ∵PM∥OB，∴當PM=OB時，點P、M、B、O為頂點的四邊形為平行四邊形，①當P在第四象限：PM=OB=3，PM最長時只有，所以不可能有PM=3． ②當P在第一象限：PM=OB=3，（t2﹣2t﹣3）﹣（t﹣3）=3，解得t1=去），所以P點的橫坐標是

；

（舍去），t2=，所以P，t2=

（舍③當P在第三象限：PM=OB=3，t2﹣3t=3，解得t1=點的橫坐標是．

3）利用P點坐標以及B點坐標即可得出四邊形PB′A′B為等腰梯形，利用等腰梯形性質(zhì)得出答案即可． 解答：

解：（1）△A′B′O是由△ABO繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到的，又A（0，1），B（2，0），O（0，0），∴A′（﹣1，0），B′（0，2）． 方法一：

設(shè)拋物線的解析式為：y=ax2+bx+c（a≠0），∵拋物線經(jīng)過點A′、B′、B，∴，解得：，∴滿足條件的拋物線的解析式為y=﹣x2+x+2．

方法二：∵A′（﹣1，0），B′（0，2），B（2，0），設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x+1）（x﹣2）將B′（0，2）代入得出：2=a（0+1）（0﹣2），解得：a=﹣1，故滿足條件的拋物線的解析式為y=﹣（x+1）（x﹣2）=﹣x2+x+2；（2）∵P為第一象限內(nèi)拋物線上的一動點，設(shè)P（x，y），則x＞0，y＞0，P點坐標滿足y=﹣x2+x+2． 連接PB，PO，PB′，∴S四邊形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB，=×1×2+×2×x+×2×y，=x+（﹣x2+x+2）+1，=﹣x2+2x+3．

∵A′O=1，B′O=2，∴△A′B′O面積為：×1×2=1，假設(shè)四邊形PB′A′B的面積是△A′B′O面積的4倍，則 4=﹣x2+2x+3，即x2﹣2x+1=0，解得：x1=x2=1，此時y=﹣12+1+2=2，即P（1，2）．

1）先根據(jù)拋物線的解析式得出其對稱軸，由此得到頂點A的橫坐標，然后代入直線l的解析式中即可求出點A的坐標．

（2）由A點坐標可確定拋物線的解析式，進而可得到點B的坐標．則AB、AD、BD三邊的長可得，然后根據(jù)邊長確定三角形的形狀．

（3）若以點P、A、B、D為頂點的四邊形是平行四邊形，應(yīng)分①AB為對角線、②AD為對角線兩種情況討論，即①AD方程求出P點的坐標． 解答：

解：（1）∵頂點A的橫坐標為x=﹣∴當x=1時，y=1﹣5=﹣4，∴A（1，﹣4）．

（2）△ABD是直角三角形．

將A（1，﹣4）代入y=x2﹣2x+c，可得，1﹣2+c=﹣4，∴c=﹣3，∴y=x2﹣2x﹣3，∴B（0，﹣3）當y=0時，x2﹣2x﹣3=0，x1=﹣1，x2=3 ∴C（﹣1，0），D（3，0），BD2=OB2+OD2=18，AB2=（4﹣3）2+12=2，AD2=（3﹣1）2+42=20，BD2+AB2=AD2，∴∠ABD=90°，即△ABD是直角三角形．（3）存在．

由題意知：直線y=x﹣5交y軸于點E（0，﹣5），交x軸于點F（5，0）∴OE=OF=5，又∵OB=OD=3 ∴△OEF與△OBD都是等腰直角三角形 ∴BD∥l，即PA∥BD

則構(gòu)成平行四邊形只能是PADB或PABD，如圖，過點P作y軸的垂線，過點A作x軸的垂線交過P且平行于x軸的直線于點G． 設(shè)P（x1，x1﹣5），則G（1，x1﹣5）則PG=|1﹣x1|，AG=|5﹣x1﹣4|=|1﹣x1|

=1，且頂點A在y=x﹣5上，PB、②AB

PD，然后結(jié)合勾股定理以及邊長的等量關(guān)系列

考點：二次函數(shù)綜合題．.專題：壓軸題． 分析：（1）根據(jù)拋物線y=即可；

（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得出C、D兩點的坐標分別是（5，4）、（2，0），利用圖象上點的性質(zhì)得出x=5或2時，y的值即可．

（3）首先設(shè)直線CD對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，求出解析式，當x=時，求出y即可；（4）利用MN∥BD，得出△OMN∽△OBD，進而得出△PMN的面積，利用二次函數(shù)最值求出即可． 解答：

解：（1）∵拋物線y=∵頂點在直線x=上，∴﹣

=﹣

經(jīng)過點B（0，4）∴c=4，=，∴b=﹣

；，得到ON=，進而表示出

經(jīng)過點B（0，4），以及頂點在直線x=上，得出b，c∴所求函數(shù)關(guān)系式為；，（2）在Rt△ABO中，OA=3，OB=4，∴AB=∵四邊形ABCD是菱形，∴BC=CD=DA=AB=5，∴C、D兩點的坐標分別是（5，4）、（2，0），當x=5時，y=當x=2時，y=∴點C和點D都在所求拋物線上；

11）求點B的坐標；

（2）求經(jīng)過點A、O、B的拋物線的解析式；

（3）在此拋物線的對稱軸上，是否存在點P，使得以點P、O、B為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求點P的坐標；若不存在，說明理由．

考點：二次函數(shù)綜合題．.專題：壓軸題；分類討論． 分析：

（1）首先根據(jù)OA的旋轉(zhuǎn)條件確定B點位置，然后過B做x軸的垂線，通過構(gòu)建直角三角形和OB的長（即OA長）確定B點的坐標．

（2）已知O、A、B三點坐標，利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．

（3）根據(jù)（2）的拋物線解析式，可得到拋物線的對稱軸，然后先設(shè)出P點的坐標，而O、B坐標已知，可先表示出△OPB三邊的邊長表達式，然后分①OP=OB、②OP=BP、③OB=BP三種情況分類討論，然后分辨是否存在符合條件的P點． 解答：

解：（1）如圖，過B點作BC⊥x軸，垂足為C，則∠BCO=90°，∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°，又∵OA=OB=4，∴OC=OB=×4=2，BC=OB?sin60°=4×∴點B的坐標為（﹣2，﹣

2）；

=2，（2）∵拋物線過原點O和點A、B，∴可設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx，將A（4，0），B（﹣2．﹣

2）代入，得，解得，∴此拋物線的解析式為y=﹣

x2+

x

3考點：二次函數(shù)綜合題．.專題：壓軸題． 分析：

（1）根據(jù)題意，過點B作BD⊥x軸，垂足為D；根據(jù)角的互余的關(guān)系，易得B到x、y軸的距離，即B的坐標；

（2）根據(jù)拋物線過B點的坐標，可得a的值，進而可得其解析式；

（3）首先假設(shè)存在，分A、C是直角頂點兩種情況討論，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得答案． 解答：

解：（1）過點B作BD⊥x軸，垂足為D，∵∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠CAO=90°，∴∠BCD=∠CAO，（1分）又∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC，∴△BCD≌△CAO，（2分）∴BD=OC=1，CD=OA=2，（3分）∴點B的坐標為（﹣3，1）；（4分）

（2）拋物線y=ax2+ax﹣2經(jīng)過點B（﹣3，1），則得到1=9a﹣3a﹣2，（5分）解得a=，所以拋物線的解析式為y=x2+x﹣2；（7分）

（3）假設(shè)存在點P，使得△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形： ①若以點C為直角頂點；

則延長BC至點P1，使得P1C=BC，得到等腰直角三角形△ACP1，（8分）過點P1作P1M⊥x軸，53）分別從①以AC為直角邊，點C為直角頂點，則延長BC至點P1使得P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1，過點P1作P1M⊥x軸，②若以AC為直角邊，點A為直角頂點，則過點A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP2，過點P2作P2N⊥y軸，③若以AC為直角邊，點A為直角頂點，則過點A作AP3⊥CA，且使得AP3=AC，得到等腰直角三角形ACP3，過點P3作P3H⊥y軸，去分析則可求得答案． 解答：

解：（1）過點B作BD⊥x軸，垂足為D，∵∠BCD+∠ACO=90°，∠AC0+∠OAC=90°，∴∠BCD=∠CAO，又∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC，∴△BDC≌△COA，∴BD=OC=1，CD=OA=2，∴點B的坐標為（3，1）；

（2）∵拋物線y=ax2﹣ax﹣2過點B（3，1），∴1=9a﹣3a﹣2，解得：a=，∴拋物線的解析式為y=x2﹣x﹣2；

（3）假設(shè)存在點P，使得△ACP是等腰直角三角形，①若以AC為直角邊，點C為直角頂點，則延長BC至點P1使得P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1，過點P1作P1M⊥x軸，如圖（1），∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCD，∠P1MC=∠BDC=90°，∴△MP1C≌△DBC，∴CM=CD=2，P1M=BD=1，∴P1（﹣1，﹣1），經(jīng)檢驗點P1在拋物線y=x2﹣x﹣2上；

②若以AC為直角邊，點A為直角頂點，則過點A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP2，過點P2作P2N⊥y軸，如圖（2），同理可證△AP2N≌△CAO，∴NP2=OA=2，AN=OC=1，∴P2（﹣2，1），經(jīng)檢驗P2（﹣2，1）也在拋物線y=x2﹣x﹣2上；

分析：（1）設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n，將B（5，0），C（0，5）兩點的坐標代入，運用待定系數(shù)法即可求出直線BC的解析式；同理，將B（5，0），C（0，5）兩點∑的坐標代入y=x2+bx+c，運用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；

（2）MN的長是直線BC的函數(shù)值與拋物線的函數(shù)值的差，據(jù)此可得出一個關(guān)于MN的長和M點橫坐標的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出MN的最大值；

（3）先求出△ABN的面積S2=5，則S1=6S2=30．再設(shè)平行四邊形CBPQ的邊BC上的高為BD，根據(jù)平行四邊形的面積公式得出BD=

3，過點D作直線BC的平行線，交拋物線與點P，交x軸于點E，在直線DE上截取PQ=BC，則四邊形CBPQ為平行四邊形．證明△EBD為等腰直角三角形，則BE=

BD=6，求出E的坐標為（﹣1，0），運用待定系數(shù)法求出直，即可求出點P的坐標． 線PQ的解析式為y=﹣x﹣1，然后解方程組解答：

解：（1）設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n，將B（5，0），C（0，5）兩點的坐標代入，得，解得，所以直線BC的解析式為y=﹣x+5；

將B（5，0），C（0，5）兩點的坐標代入y=x2+bx+c，得，解得，所以拋物線的解析式為y=x2﹣6x+5；

（2）設(shè)M（x，x2﹣6x+5）（1＜x＜5），則N（x，﹣x+5），∵MN=（﹣x+5）﹣（x2﹣6x+5）=﹣x2+5x=﹣（x﹣）2+∴當x=時，MN有最大值

；，（3）∵MN取得最大值時，x=2.5，∴﹣x+5=﹣2.5+5=2.5，即N（2.5，2.5）． 解方程x2﹣6x+5=0，得x=1或5，∴A（1，0），B（5，0），∴AB=5﹣1=4，∴△ABN的面積S2=×4×2.5=5，∴平行四邊形CBPQ的面積S1=6S2=30．

92）求拋物線的解析式；

（3）將直線CD繞點C逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°所得直線與拋物線相交于另一點E，求證：△CEQ∽△CDO；

（4）在（3）的條件下，若點P是線段QE上的動點，點F是線段OD上的動點，問：在P點和F點移動過程中，△PCF的周長是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由．

考點：二次函數(shù)綜合題．.專題：壓軸題． 分析：

（1）利用待定系數(shù)法求出直線解析式；（2）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；

（3）關(guān)鍵是證明△CEQ與△CDO均為等腰直角三角形；

（4）如答圖②所示，作點C關(guān)于直線QE的對稱點C′，作點C關(guān)于x軸的對稱點C″，連接C′C″，交OD于點F，交QE于點P，則△PCF即為符合題意的周長最小的三角形，由軸對稱的性質(zhì)可知，△PCF的周長等于線段C′C″的長度．

利用軸對稱的性質(zhì)、兩點之間線段最短可以證明此時△PCF的周長最小． 如答圖③所示，利用勾股定理求出線段C′C″的長度，即△PCF周長的最小值． 解答：

解：（1）∵C（0，1），OD=OC，∴D點坐標為（1，0）． 設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b（k≠0），將C（0，1），D（1，0）代入得：解得：b=1，k=﹣1，∴直線CD的解析式為：y=﹣x+1．，1Rt△C′NC″中，由勾股定理得：C′C″===．

． 綜上所述，在P點和F點移動過程中，△PCF的周長存在最小值，最小值為

12．如圖，拋物線與x軸交于A（1，0）、B（﹣3，0）兩點，與y軸交于點C（0，3），設(shè)拋物線的頂點為D．

（1）求該拋物線的解析式與頂點D的坐標．（2）試判斷△BCD的形狀，并說明理由．

（3）探究坐標軸上是否存在點P，使得以P、A、C為頂點的三角形與△BCD相似？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

考點：二次函數(shù)綜合題．.專題：壓軸題． 分析：

（1）利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式；

（2）利用勾股定理求得△BCD的三邊的長，然后根據(jù)勾股定理的逆定理即可作出判斷；（3）分p在x軸和y軸兩種情況討論，舍出P的坐標，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等即可求解． 解答：

3AC是直角邊，若AC與BC是對應(yīng)邊時，設(shè)P的坐標是（0，b），則PC=3﹣b，則即=，解得：b=﹣，故P是（0，﹣）時，則△ACP∽△CBD一定成立；

=，④當P在x軸上時，AC是直角邊，P一定在B的左側(cè)，設(shè)P的坐標是（d，0）． 則AP=1﹣d，當AC與CD是對應(yīng)邊時，兩個三角形不相似；

⑤當P在x軸上時，AC是直角邊，P一定在B的左側(cè)，設(shè)P的坐標是（e，0）． 則AP=1﹣e，當AC與DC是對應(yīng)邊時，總之，符合條件的點P的坐標為：

=，即

=，解得：e=﹣9，符合條件．

．

=，即

=，解得：d=1﹣

3，此時，對應(yīng)練習(xí)

13．如圖，已知拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于A、B兩點，過點A的直線l與拋物線交于點C，其中A點的坐標是（1，0），C點坐標是（4，3）．（1）求拋物線的解析式；

（2）在（1）中拋物線的對稱軸上是否存在點D，使△BCD的周長最??？若存在，求出點D的坐標，若不存在，請說明理由；

（3）若點E是（1）中拋物線上的一個動點，且位于直線AC的下方，試求△ACE的最大面積及E點的坐標．

5x=，y=﹣=﹣，∴點E的坐標為（，﹣），設(shè)過點E的直線與x軸交點為F，則F（∴AF=﹣1=，0），∵直線AC的解析式為y=x﹣1，∴∠CAB=45°，∴點F到AC的距離為×又∵AC=∴△ACE的最大面積=×

3==3×，=，此時E點坐標為（，﹣）．

14．如圖，已知拋物線y=﹣x2+bx+4與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，若已知A點的坐標為A（﹣2，0）．

（1）求拋物線的解析式及它的對稱軸方程；

（2）求點C的坐標，連接AC、BC并求線段BC所在直線的解析式；（3）試判斷△AOC與△COB是否相似？并說明理由；

（4）在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使△ACQ為等腰三角形？若存在，求出符合條件的Q點坐標；若不存在，請說明理由．

7BC的解析式為：y=x+4．

（3）可判定△AOC∽△COB成立． 理由如下：在△AOC與△COB中，∵OA=2，OC=4，OB=8，∴，又∵∠AOC=∠BOC=90°，∴△AOC∽△COB．

（4）∵拋物線的對稱軸方程為：x=3，可設(shè)點Q（3，t），則可求得： AC=AQ=CQ=i）當AQ=CQ時，有=，===，=

．

25+t2=t2﹣8t+16+9，解得t=0，∴Q1（3，0）； ii）當AC=AQ時，有=，t2=﹣5，此方程無實數(shù)根，∴此時△ACQ不能構(gòu)成等腰三角形； iii）當AC=CQ時，有=，整理得：t2﹣8t+5=0，解得：t=4±，），Q3（3，4﹣）． ∴點Q坐標為：Q2（3，4+

92）首先求出直線BC與AC的解析式，設(shè)直線l與BC、AC交于點E、F，則可求出EF的表達式；根據(jù)S△CEF=S△ABC，列出方程求出直線l的解析式；（3）首先作出?PACB，然后證明點P在拋物線上即可． 解答：

解：（1）如答圖1所示，過點C作CD⊥x軸于點D，則∠CAD+∠ACD=90°． ∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OAB+∠CAD=90°，∴∠OAB=∠ACD，∠OBA=∠CAD． ∵在△AOB與△CDA中，∴△AOB≌△CDA（ASA）． ∴CD=OA=1，AD=OB=2，∴OD=OA+AD=3，∴C（3，1）．

∵點C（3，1）在拋物線y=x2+bx﹣2上，∴1=×9+3b﹣2，解得：b=﹣． ∴拋物線的解析式為：y=x2﹣x﹣2．

（2）在Rt△AOB中，OA=1，OB=2，由勾股定理得：AB=∴S△ABC=AB2=．

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，∵B（0，2），C（3，1），∴，．

解得k=﹣，b=2，1CBG=∠APH，在△PAH和△BCG中，∴△PAH≌△BCG（AAS），∴PH=BG=1，AH=CG=3，∴OH=AH﹣OA=2，∴P（﹣2，1）．

拋物線解析式為：y=x2﹣x﹣2，當x=﹣2時，y=1，即點P在拋物線上． ∴存在符合條件的點P，點P的坐標為（﹣2，1）．

第四篇：如何應(yīng)對中考數(shù)學(xué)壓軸題

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如何應(yīng)對中考數(shù)學(xué)壓軸題

作者：玉孔總

來源：《中學(xué)教學(xué)參考·理科版》2013年第07期

近幾年的中考試題，一些題型靈活、設(shè)計新穎、富有創(chuàng)意的壓軸題涌現(xiàn)出來，其中一類以平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等圖形變換為解題思路的題目更是成為中考壓軸大戲的主角.以圖形運動中的函數(shù)關(guān)系問題為例，這部分壓軸題的主要特征是在圖形運動變化的過程中，探求兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系.現(xiàn)談?wù)劰P者十年來指導(dǎo)中考復(fù)習(xí)的一些感悟.一、解數(shù)學(xué)壓軸題的策略

解數(shù)學(xué)壓軸題可分為五個步驟：1.認真默讀題目，全面審視題目的所有條件和答題要求，注意挖掘隱蔽的條件和內(nèi)在聯(lián)系，理解好題意；2.利用重要數(shù)學(xué)思想探究解題思路；3.選擇好解題的方法正確解答；4.做好檢驗工作，完善解題過程；5.當思維受阻、思路難覓時，要及時調(diào)整思路和方法，并重新審視題意，既要防止鉆牛角尖，又要防止輕易放棄.二、解動態(tài)幾何壓軸題的策略

近幾年的數(shù)學(xué)中考試卷中都是以函數(shù)和幾何圖形的綜合作為壓軸題，用到圓、三角形和四邊形等有關(guān)知識，方程與圖形的綜合也是常見的壓軸題.動態(tài)幾何問題是一種新題型，在圖形的變換過程中，探究圖形中某些不變的因素，把操作、觀察、探求、計算和證明融合在一起.動態(tài)幾何題解決的策略是：把握運動規(guī)律，尋求運動中的特殊位置；在“動”中求“靜”，在“靜”中探求“動”的一般規(guī)律.通過探索、歸納、猜想，獲得圖形在運動過程中是否保留或具有某種性質(zhì).簡析：本題是一個雙動點問題，是中考動態(tài)問題中出現(xiàn)頻率最高的題型，這類題的解題策略是化動為靜，注意運用分類思想.三、巧用數(shù)學(xué)思想方法解分類討論型壓軸題

數(shù)學(xué)思想和方法是數(shù)學(xué)的靈魂，是知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁.近幾年的各省市中考數(shù)學(xué)試題，越來越注重數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的考查，這已成為大家的共識，為幫助讀者更好地理解和掌握常用的基本數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，特用一例說明.

第五篇：2013中考數(shù)學(xué)壓軸題四個解題技巧

2013中考數(shù)學(xué)壓軸題四個解題技巧

各類題型的中考數(shù)學(xué)壓軸題在近幾年的中考中慢慢涌現(xiàn)出來，比如設(shè)計新穎、富有創(chuàng)意的，還有以平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等圖形變換為解題思路的。中考數(shù)學(xué)壓軸題，解題需找好四大切入點。

切入點一：做不出、找相似，有相似、用相似

壓軸題牽涉到的知識點較多，知識轉(zhuǎn)化的難度較高。學(xué)生往往不知道該怎樣入手，這時往往應(yīng)根據(jù)題意去尋找相似三角形。【查看：歷年中考數(shù)學(xué)試題】

切入點二：構(gòu)造定理所需的圖形或基本圖形

在解決問題的過程中，有時添加輔助線是必不可少的。對于北京中考來說，只有一道很簡單的證明題是可以不用添加輔助線的，其余的全都涉及到輔助線的添加問題。中考對學(xué)生添線的要求還是挺高的，但添輔助線幾乎都遵循這樣一個原則：構(gòu)造定理所需的圖形或構(gòu)造一些常見的基本圖形。

切入點三：緊扣不變量，并善于使用前題所采用的方法或結(jié)論》》》2012中考數(shù)學(xué)知識點

在圖形運動變化時，圖形的位置、大小、方向可能都有所改變，但在此過程中，往往有某兩條線段，或某兩個角或某兩個三角形所對應(yīng)的位置或數(shù)量關(guān)系不發(fā)生改變。

切入點四：在題目中尋找多解的信息

圖形在運動變化，可能滿足條件的情形不止一種，也就是通常所說的兩解或多解，如何避免漏解也是一個令考生頭痛的問題，其實多解的信息在題目中就可以找到，這就需要我們深度的挖掘題干，實際上就是反復(fù)認真的審題。

總之，中考數(shù)學(xué)壓軸題的切入點有很多，考試時并不是一定要找到那么多，往往只需找到一兩個就行了，關(guān)鍵是找到以后一定要敢于去做。有些同學(xué)往往想想覺得不行就放棄了，其實絕大多數(shù)的題目只要想到上述切入點，認真做下去，問題基本都可以得到解決。