第一篇：《高等數(shù)學(xué).同濟(jì)五版》講稿WORD版-第08章 多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用

高等數(shù)學(xué)教案

§8

多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

第八章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

教學(xué)目的：

1、理解多元函數(shù)的概念和二元函數(shù)的幾何意義。

2、了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念，以及有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

3、理解多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念，會(huì)求全微分，了解全微分存在的必要條件和充分條件，了解全微分形式的不變性。

4、理解方向?qū)?shù)與梯度的概念并掌握其計(jì)算方法。

5、掌握多元復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的求法。

6、會(huì)求隱函數(shù)（包括由方程組確定的隱函數(shù)）的偏導(dǎo)數(shù)。

7、了解曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，會(huì)求它們的方程。

8、了解二元函數(shù)的二階泰勒公式。

9、理解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件，了解二元函數(shù)極值存在的充分條件，會(huì)求二元函數(shù)的極值，會(huì)用拉格郎日乘數(shù)法求條件極值，會(huì)求簡多元函數(shù)的最大值和最小值，并會(huì)解決一些簡單的應(yīng)用問題。教學(xué)重點(diǎn)：

1、二元函數(shù)的極限與連續(xù)性；

2、函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分；

3、方向?qū)?shù)與梯度的概念及其計(jì)算；

4、多元復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)；

5、隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)

6、曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線；

7、多元函數(shù)極值和條件極值的求法。教學(xué)難點(diǎn)：

1、二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念；

2、全微分形式的不變性；

3、復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的求法；

4、二元函數(shù)的二階泰勒公式；

5、隱函數(shù)（包括由方程組確定的隱函數(shù)）的偏導(dǎo)數(shù)；

6、拉格郎日乘數(shù)法；

7、多元函數(shù)的最大值和最小值。

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§8

多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

§8? 1 多元函數(shù)的基本概念

一、平面點(diǎn)集n維空間

1．平面點(diǎn)集

由平面解析幾何知道? 當(dāng)在平面上引入了一個(gè)直角坐標(biāo)系后?平面上的點(diǎn)P與有序二元實(shí)數(shù)組(x? y)之間就建立了一一對(duì)應(yīng)? 于是? 我們常把有序?qū)崝?shù)組(x? y)與平面上的點(diǎn)P視作是等同的? 這種建立了坐標(biāo)系的平面稱為坐標(biāo)平面?

二元的序?qū)崝?shù)組(x? y)的全體? 即R2?R?R?{(x? y)|x? y?R}就表示坐標(biāo)平面?

坐標(biāo)平面上具有某種性質(zhì)P的點(diǎn)的集合? 稱為平面點(diǎn)集? 記作

E?{(x? y)|(x? y)具有性質(zhì)P}?

例如?平面上以原點(diǎn)為中心、r為半徑的圓內(nèi)所有點(diǎn)的集合是

C?{(x? y)| x2?y2?r2}?

如果我們以點(diǎn)P表示(x? y)? 以|OP|表示點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離? 那么集合C可表成 C?{P| |OP|?r}?

鄰域?

設(shè)P0(x0? y0)是xOy平面上的一個(gè)點(diǎn)? ?是某一正數(shù)? 與點(diǎn)P0(x0? y0)距離小于?的點(diǎn)P(x? y)的全體? 稱為點(diǎn)P0的?鄰域? 記為U(P0? ??? 即

U(P0,?)?{P| |PP0|??}或U(P0,?)?{(x, y)|(x?x0)2?(y?y0)2?? }?

鄰域的幾何意義? U(P0? ?)表示xOy平面上以點(diǎn)P0(x0? y0)為中心、? >0為半徑的圓的內(nèi)部的點(diǎn)P(x? y)的全體? ??

點(diǎn)P0的去心?鄰域? 記作U(P0, ?)? 即

?

U(P0, ?)?{P| 0?|P0P|??}?

注? 如果不需要強(qiáng)調(diào)鄰域的半徑?? 則用U(P0)表示點(diǎn)P0的某個(gè)鄰域? 點(diǎn)P0的去心鄰域記作?U(P0)?

點(diǎn)與點(diǎn)集之間的關(guān)系?

任意一點(diǎn)P?R2與任意一個(gè)點(diǎn)集E?R2之間必有以下三種關(guān)系中的一種?

(1)內(nèi)點(diǎn)? 如果存在點(diǎn)P的某一鄰域U(P)? 使得U(P)?E? 則稱P為E的內(nèi)點(diǎn)?

(2)外點(diǎn)? 如果存在點(diǎn)P的某個(gè)鄰域U(P)? 使得U(P)?E??? 則稱P為E的外點(diǎn)?

(3)邊界點(diǎn)? 如果點(diǎn)P的任一鄰域內(nèi)既有屬于E的點(diǎn)? 也有不屬于E的點(diǎn)? 則稱P點(diǎn)為E的邊點(diǎn)?

E的邊界點(diǎn)的全體? 稱為E的邊界? 記作?E?

E的內(nèi)點(diǎn)必屬于E? E的外點(diǎn)必定不屬于E? 而E的邊界點(diǎn)可能屬于E? 也可能不屬于E ?

聚點(diǎn)?

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多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

如果對(duì)于任意給定的??0? 點(diǎn)P的去心鄰域U(P,?)內(nèi)總有E中的點(diǎn)? 則稱P是E的聚點(diǎn)?

由聚點(diǎn)的定義可知? 點(diǎn)集E的聚點(diǎn)P本身? 可以屬于E? 也可能不屬于E ?

例如? 設(shè)平面點(diǎn)集

E?{(x? y)|1?x2?y2?2}?

2222滿足1?x?y?2的一切點(diǎn)(x? y)都是E的內(nèi)點(diǎn)? 滿足x?y?1的一切點(diǎn)(x? y)都是E的邊界點(diǎn)? 它們22都不屬于E? 滿足x?y?2的一切點(diǎn)(x? y)也是E的邊界點(diǎn)? 它們都屬于E? 點(diǎn)集E以及它的界邊?E上的一切點(diǎn)都是E的聚點(diǎn)?

開集? 如果點(diǎn)集E 的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)? 則稱E為開集?

閉集? 如果點(diǎn)集的余集E c為開集? 則稱E為閉集?

開集的例子? E?{(x? y)|1

閉集的例子? E?{(x? y)|1?x2?y2?2}?

集合{(x? y)|1?x2?y2?2}既非開集? 也非閉集?

連通性? 如果點(diǎn)集E內(nèi)任何兩點(diǎn)? 都可用折線連結(jié)起來? 且該折線上的點(diǎn)都屬于E? 則稱E為連通集?

區(qū)域(或開區(qū)域)? 連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域? 例如E?{(x? y)|1?x2?y2?2}?

閉區(qū)域? 開區(qū)域連同它的邊界一起所構(gòu)成的點(diǎn)集稱為閉區(qū)域? 例如E ? {(x? y)|1?x2?y2?2}?

有界集? 對(duì)于平面點(diǎn)集E? 如果存在某一正數(shù)r? 使得

E?U(O? r)?

其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)? 則稱E為有界點(diǎn)集?

無界集? 一個(gè)集合如果不是有界集? 就稱這集合為無界集?

例如? 集合{(x? y)|1?x2?y2?2}是有界閉區(qū)域? 集合{(x? y)| x?y?1}是無界開區(qū)域?

集合{(x? y)| x?y?1}是無界閉區(qū)域?

2? n維空間

設(shè)n為取定的一個(gè)自然數(shù)? 我們用Rn表示n元有序數(shù)組(x1? x2? ? ? ? ? xn)的全體所構(gòu)成的集合? 即

Rn?R?R???????R?{(x1? x2? ? ? ? ? xn)| xi?R? i?1? 2? ?????? n}?

Rn中的元素(x1? x2? ? ? ? ? xn)有時(shí)也用單個(gè)字母x來表示? 即x?(x1? x2? ? ? ? ? xn)? 當(dāng)所有的xi(i?1? 2? ?????? n)都為零時(shí)? 稱這樣的元素為R中的零元? 記為0或O ? 在解析幾何中? 通過直角坐標(biāo)? R2(或R3)中的元素分別與平面(或空間)中的點(diǎn)或向量建立一一對(duì)應(yīng)? 因而Rn中的元素x?(x1? x2? ? ? ? ? xn)也稱為Rn中的一個(gè)點(diǎn)或一個(gè)n維向量? xi稱為點(diǎn)x的第i個(gè)坐標(biāo)或n維向量x的第i個(gè)分量? 特別地? Rn中的零元0稱為Rn中的坐標(biāo)原點(diǎn)或n維零向量?

為了在集合Rn中的元素之間建立聯(lián)系? 在Rn中定義線性運(yùn)算如下?

設(shè)x?(x1? x2? ? ? ? ? xn)? y?(y1? y2? ? ? ? ? yn)為Rn中任意兩個(gè)元素? ??R? 規(guī)定

x?y?(x1? y1? x2? y2? ? ? ? ? xn? yn)? ?x?(?x1? ?x2? ? ? ? ? ?xn)?

這樣定義了線性運(yùn)算的集合Rn稱為n維空間?

n

R中點(diǎn)x?(x1? x2? ? ? ? ? xn)和點(diǎn) y?(y1? y2? ? ? ? ? yn)間的距離? 記作?(x? y)? 規(guī)定

?(x,y)?(x1?y1)2?(x2?y2)2? ? ? ? ?(xn?yn)2?

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n

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多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

顯然? n?1? 2? 3時(shí)? 上術(shù)規(guī)定與數(shù)軸上、直角坐標(biāo)系下平面及空間中兩點(diǎn)間的距離一至?

Rn中元素x?(x1? x2? ? ? ? ? xn)與零元0之間的距離?(x? 0)記作||x||(在R1、R2、R3中? 通常將||x||記作|x|)? 即

||x||?22?

x12?x2? ? ? ? xn采用這一記號(hào)? 結(jié)合向量的線性運(yùn)算? 便得

||x?y||?(x1?y1)2?(x2?y2)2? ? ? ? ?(xn?yn)2??(x,y)?

在n維空間Rn中定義了距離以后? 就可以定義Rn中變?cè)臉O限?

設(shè)x?(x1? x2? ? ? ? ? xn)? a?(a1? a2? ? ? ? ? an)?R?

如果

||x?a||?0?

則稱變?cè)獂在Rn中趨于固定元a? 記作x?a ?

顯然?

x?a ? x1?a1? x2?a2? ? ? ? ? xn?an ?

在Rn中線性運(yùn)算和距離的引入? 使得前面討論過的有關(guān)平面點(diǎn)集的一系列概念? 可以方便地引入到n(n?3)維空間中來? 例如?

設(shè)a?(a1? a2? ? ? ? ? an)?R? ?是某一正數(shù)? 則n維空間內(nèi)的點(diǎn)集

U(a? ?)?{x| x? R? ?(x? a)??} 就定義為Rn中點(diǎn)a的?鄰域? 以鄰域?yàn)榛A(chǔ)? 可以定義點(diǎn)集的內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、邊界點(diǎn)和聚點(diǎn)? 以及開集、閉集、區(qū)域等一系列概念?

二? 多元函數(shù)概念

例１ 圓柱體的體積V 和它的底半徑r、高h(yuǎn)之間具有關(guān)系

V ??r2h??這里? 當(dāng)r、h在集合{(r ? h)| r>0? h>0}內(nèi)取定一對(duì)值(r ? h)時(shí)? V對(duì)應(yīng)的值就隨之確定??

例2 一定量的理想氣體的壓強(qiáng)p、體積V和絕對(duì)溫度T之間具有關(guān)系

p?RT??Vnn

n其中R為常數(shù)? 這里? 當(dāng)V、T在集合{(V ?T)| V>0? T>0}內(nèi)取定一對(duì)值(V? T)時(shí)? p的對(duì)應(yīng)值就隨之確定?

例3 設(shè)R 是電阻R1、R2并聯(lián)后的總電阻? 由電學(xué)知道? 它們之間具有關(guān)系

R?R1R2R1?R2?

這里? 當(dāng)R1、R2在集合{(R1? R2)| R1>0? R2>0}內(nèi)取定一對(duì)值(R1 ? R2)時(shí)? R的對(duì)應(yīng)值就隨之確定? ?

定義1 設(shè)D是R2的一個(gè)非空子集? 稱映射f ? D?R為定義在D上的二元函數(shù)? 通常記為

z?f(x? y)?(x? y)?D(或z?f(P)? P?D)

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多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

其中點(diǎn)集D稱為該函數(shù)的定義域? x? y稱為自變量? z稱為因變量?

上述定義中? 與自變量x、y的一對(duì)值(x? y)相對(duì)應(yīng)的因變量z的值? 也稱為f在點(diǎn)(x? y)處的函數(shù)值? 記作f(x? y)? 即z?f(x? y)?

值域? f(D)?{z| z?f(x? y)?(x? y)?D}?

函數(shù)的其它符號(hào)? z?z(x? y)? z?g(x? y)等?

類似地可定義三元函數(shù)u?f(x? y? z)?(x? y? z)?D以及三元以上的函數(shù)?

一般地? 把定義1中的平面點(diǎn)集D換成n維空間R內(nèi)的點(diǎn)集D? 映射f ? D?R就稱為定義在D上的n元函數(shù)? 通常記為

u?f(x1? x2? ? ? ? ? xn)?(x1? x2? ? ? ? ? xn)?D?

或簡記為

u?f(x)? x?(x1? x2? ? ? ? ? xn)?D?

也可記為

u?f(P)? P(x1? x2? ? ? ? ? xn)?D ?

關(guān)于函數(shù)定義域的約定? 在一般地討論用算式表達(dá)的多元函數(shù)u?f(x)時(shí)? 就以使這個(gè)算式有意義的變?cè)獂的值所組成的點(diǎn)集為這個(gè)多元函數(shù)的自然定義域? 因而? 對(duì)這類函數(shù)? 它的定義域不再特別標(biāo)出? 例如?

函數(shù)z?ln(x?y)的定義域?yàn)閧(x? y)|x?y>0}(無界開區(qū)域)?

函數(shù)z?arcsin(x?y)的定義域?yàn)閧(x? y)|x?y?1}(有界閉區(qū)域)?

二元函數(shù)的圖形? 點(diǎn)集{(x? y? z)|z?f(x? y)?(x? y)?D}稱為二元函數(shù)z?f(x? y)的圖形? 二元函數(shù)的圖形是一張曲面?

例如 z?ax?by?c是一張平面? 而函數(shù)z=x2+y2的圖形是旋轉(zhuǎn)拋物面?

三? 多元函數(shù)的極限

與一元函數(shù)的極限概念類似? 如果在P(x? y)?P0(x0? y0)的過程中? 對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x? y)無限接近于一個(gè)確定的常數(shù)A? 則稱A是函數(shù)f(x? y)當(dāng)(x? y)?(x0? y0)時(shí)的極限?

定義2

設(shè)二元函數(shù)f(P)?f(x? y)的定義域?yàn)镈? P0(x0? y0)是D的聚點(diǎn)? 如果存在常數(shù)A? 對(duì)于任意給定

?n2222的正數(shù)?總存在正數(shù)?? 使得當(dāng)P(x,y)?D?U(P0,?)時(shí)? 都有

|f(P)?A|?|f(x? y)?A|??

成立? 則稱常數(shù)A為函數(shù)f(x? y)當(dāng)(x? y)?(x0? y0)時(shí)的極限? 記為

也記作

limf(P)?A或f(P)?A(P?P0)?

P?P0(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)?A? 或f(x? y)?A((x? y)?(x0? y0))?

上述定義的極限也稱為二重極限?

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例4.設(shè)f(x,y)?(x2?y2)sin

證

因?yàn)?/p>

1? 求證limf(x,y)?0?

(x,y)?(0,0)x2?y21122?0| ?|x?y|?|sin| ?x2?y2?

2222x?yx?y

|f(x,y)?0|?|(x2?y2)sin可見?? >0? 取???? 則當(dāng)

0?(x?0)2?(y?0)2???

?即P(x,y)?D?U(O,?)時(shí)? 總有

|f(x? y)?0|???

因此lim(x,y)?(0,0)f(x,y)?0?

必須注意? ?

(1)二重極限存在? 是指P以任何方式趨于P0時(shí)? 函數(shù)都無限接近于A?

(2)如果當(dāng)P以兩種不同方式趨于P0時(shí)? 函數(shù)趨于不同的值? 則函數(shù)的極限不存在?

討論?

?xy22 x?y?0?2 函數(shù)f(x,y)??x?y2在點(diǎn)(0? 0)有無極限？ ?22??0 x?y?0

提示? 當(dāng)點(diǎn)P(x? y)沿x軸趨于點(diǎn)(0? 0)時(shí)?

lim(x,y)?(0,0)f(x,y)?limf(x, 0)?lim0?0?

x?0x?0當(dāng)點(diǎn)P(x? y)沿y軸趨于點(diǎn)(0? 0)時(shí)?

lim(x,y)?(0,0)f(x,y)?limf(0, y)?lim0?0?

y?0y?0當(dāng)點(diǎn)P(x? y)沿直線y?kx有

lim(x,y)?(0,0)y ? kxkx2k?lim?? ?x2?y2x?0x2?k2x21?k2xy因此? 函數(shù)f(x? y)在(0? 0)處無極限?

極限概念的推廣? 多元函數(shù)的極限?

多元函數(shù)的極限運(yùn)算法則?

與一元函數(shù)的情況類似?

例5 求 lim(x,y)?(0,2)sin(xy)x?

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解?

sin(xy)sin(xy)sin(xy)?lim?y?lim?limy?1?2?2?

xxy(x,y)?(0,2)(x,y)?(0,2)xy(x,y)?(0,2)(x,y)?(0,2)lim

四? 多元函數(shù)的連續(xù)性

定義3 設(shè)二元函數(shù)f(P)?f(x? y)的定義域?yàn)镈? P0(x0? y0)為D的聚點(diǎn)? 且P0?D ? 如果

lim(x,y)?(x0,y0)f(x,y)?f(x0,y0)?

則稱函數(shù)f(x? y)在點(diǎn)P0(x0? y0)連續(xù)?

如果函數(shù)f(x? y)在D的每一點(diǎn)都連續(xù)? 那么就稱函數(shù)f(x? y)在D上連續(xù)? 或者稱f(x? y)是D上的連續(xù)函數(shù)?

二元函數(shù)的連續(xù)性概念可相應(yīng)地推廣到n元函數(shù)f(P)上去?

例6設(shè)f(x,y)?sin x? 證明f(x? y)是R2上的連續(xù)函數(shù)?

證 設(shè)P0(x0? y0)? R2? ???0? 由于sin x在x0處連續(xù)? 故???0? 當(dāng)|x?x0|??時(shí)? 有

|sin x?sin x0|???

以上述?作P0的?鄰域U(P0? ?)? 則當(dāng)P(x? y)?U(P0? ?)時(shí)? 顯然

|f(x? y)?f(x0? y0)|?|sin x?sin x0|???

2即f(x? y)?sin x在點(diǎn)P0(x0? y0)連續(xù)? 由P0的任意性知? sin x作為x? y的二元函數(shù)在R上連續(xù)?

證 對(duì)于任意的P0(x0? y0)?R2? 因?yàn)?/p>

lim(x,y)?(x0,y0)f(x,y)?lim(x,y)?(x0,y0)sinx?sinx0?f(x0,y0)?

所以函數(shù)f(x,y)?sin x在點(diǎn)P0(x0? y0)連續(xù)? 由P0的任意性知? sin x作為x? y的二元函數(shù)在R2上連續(xù)?

類似的討論可知? 一元基本初等函數(shù)看成二元函數(shù)或二元以上的多元函數(shù)時(shí)? 它們?cè)诟髯缘亩x域內(nèi)都是連續(xù)的?

定義4設(shè)函數(shù)f(x? y)的定義域?yàn)镈? P0(x0? y0)是D的聚點(diǎn)? 如果函數(shù)f(x? y)在點(diǎn)P0(x0? y0)不連續(xù)? 則稱P0(x0? y0)為函數(shù)f(x? y)的間斷點(diǎn)?

例如

?xy22 x?y?0?2 函數(shù)f(x,y)??x?y2?

22??0 x?y?0其定義域D?R2? O(0? 0)是D的聚點(diǎn)? f(x? y)當(dāng)(x? y)?(0? 0)時(shí)的極限不存在? 所以點(diǎn)O(0? 0)是該函數(shù)的一個(gè)間斷點(diǎn)?

又如? 函數(shù)z?sin1? 其定義域?yàn)镈?{(x? y)|x2?y2?1}? 圓周C?{(x? y)|x2?y2?1}上的點(diǎn)2x?y?12都是D的聚點(diǎn)? 而f(x? y)在C上沒有定義? 當(dāng)然f(x? y)在C上各點(diǎn)都不連續(xù)? 所以圓周C上各點(diǎn)都是該函數(shù)的間斷點(diǎn)?

注? 間斷點(diǎn)可能是孤立點(diǎn)也可能是曲線上的點(diǎn)?

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§8

多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

可以證明? 多元連續(xù)函數(shù)的和、差、積仍為連續(xù)函數(shù)? 連續(xù)函數(shù)的商在分母不為零處仍連續(xù)? 多元連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)也是連續(xù)函數(shù)?

多元初等函數(shù)? 與一元初等函數(shù)類似? 多元初等函數(shù)是指可用一個(gè)式子所表示的多元函數(shù)? 這個(gè)式子是由常數(shù)及具有不同自變量的一元基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算而得到的?

例如x?x2?y21?y2? sin(x?y)? ex2?y2?z2都是多元初等函數(shù)?

一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的? 所謂定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域?

由多元連續(xù)函數(shù)的連續(xù)性? 如果要求多元連續(xù)函數(shù)f(P)在點(diǎn)P0處的極限? 而該點(diǎn)又在此函數(shù)的定義區(qū)域內(nèi)? 則

lim 例7 求p?p0f(P)?f(P0)?

lim(x,y)?(1,2)x?y? ?xy 解?

函數(shù)f(x,y)?x?yxy是初等函數(shù)? 它的定義域?yàn)?/p>

D?{(x? y)|x?0? y?0}?

P0(1? 2)為D的內(nèi)點(diǎn)? 故存在P0的某一鄰域U(P0)?D? 而任何鄰域都是區(qū)域? 所以U(P0)是f(x? y)的一個(gè)定義區(qū)域? 因此

lim(x,y)?(1,2)f(x,y)?f(1,2)?3?

2一般地? 求limf(P)時(shí)? 如果f(P)是初等函數(shù)? 且P0是f(P)的定義域的內(nèi)點(diǎn)? 則f(P)在點(diǎn)P0P?P0處連續(xù)? 于是

limf(P)?f(P0)?

P?P0 例8 求lim(x,y)?(0, 0)xy?1?1xy?

(xy?1?1)(xy?1?1)xy(xy?1?1)解? lim(x,y)?(0, 0)xy?1?1xy?lim(x,y)?(0, 0)?lim(x,y)?(0, 0)1xy?1?1?1?

多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)?

性質(zhì)1(有界性與最大值最小值定理)在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)? 必定在D上有界? 且能取得它的最大值和最小值?

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§8

多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

性質(zhì)1就是說? 若f(P)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)? 則必定存在常數(shù)M?0? 使得對(duì)一切P?D? 有|f(P)|?M? 且存在P1、P 2?D? 使得

f(P1)?max{f(P)|P?D}?

f(P2)?min{f(P)|P?D}?

性質(zhì)2(介值定理)在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)必取得介于最大值和最小值之間的任何值?

§8? 2

偏導(dǎo)數(shù)

一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法

對(duì)于二元函數(shù)z?f(x? y)? 如果只有自變量x 變化? 而自變量y固定? 這時(shí)它就是x的一元函數(shù)? 這函數(shù)對(duì)x的導(dǎo)數(shù)? 就稱為二元函數(shù)z?f(x? y)對(duì)于x的偏導(dǎo)數(shù)?

定義

設(shè)函數(shù)z?f(x? y)在點(diǎn)(x0? y0)的某一鄰域內(nèi)有定義? 當(dāng)y固定在y0而x在x0處有增量?x時(shí)? 相應(yīng)地函數(shù)有增量

f(x0??x? y0)?f(x0? y0)?

如果極限

lim?x?0f(x0??x,y0)?f(x0,y0)?x

存在? 則稱此極限為函數(shù)z?f(x? y)在點(diǎn)(x0? y0)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)? 記作

?z?xx?x0y?y0?

?f?xx?x0y?y0? zxx?x0y?y0? 或fx(x0,y0)?

例如

fx(x0,y0)?limf(x0??x,y0)?f(x0,y0)?x?

?x?0類似地? 函數(shù)z?f(x? y)在點(diǎn)(x0? y0)處對(duì)y 的偏導(dǎo)數(shù)定義為

lim?y?0f(x0,y0??y)?f(x0,y0)?y?

記作 ?z?yx?x0y?y0? ?f?yx?x0y?y0? zyx?x0y?y0? 或fy(x0? y0)?

偏導(dǎo)函數(shù)?

如果函數(shù)z?f(x? y)在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)(x? y)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)都存在? 那么這個(gè)偏導(dǎo)數(shù)就是x、y的函數(shù)? 它就稱為函數(shù)z?f(x? y)對(duì)自變量x的偏導(dǎo)函數(shù)? 記作

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§8

多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

偏導(dǎo)函數(shù)的定義式? fx(x,y)?lim?f?z? ? zx? 或fx(x,y)? ?x?xf(x??x,y)?f(x,y)?x?0?x?

類似地? 可定義函數(shù)z?f(x? y)對(duì)y的偏導(dǎo)函數(shù)? 記為

?f?z? ? zy ? 或fy(x,y)?

?y?yf(x,y??y)?f(x,y)?

?y偏導(dǎo)函數(shù)的定義式? fy(x,y)?lim

求導(dǎo)數(shù)? ?f?x?y?0時(shí)? 只要把y暫時(shí)看作常量而對(duì)x求導(dǎo)數(shù)? 求

?f?y時(shí)? 只要把x暫時(shí)看作常量而對(duì)y求

討論? 下列求偏導(dǎo)數(shù)的方法是否正確？?

fx(x0,y0)?fx(x,y)x?x0? fy(x0,y0)?fy(x,y)x?x0? ?y?y0y?y0

fx(x0,y0)?[ddf(x0,y)]y?y?

? fy(x0,y0)?[f(x,y0)]0x?x0dydx

偏導(dǎo)數(shù)的概念還可推廣到二元以上的函數(shù)??例如三元函數(shù)u?f(x? y? z)在點(diǎn)(x? y? z)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)定義為

fx(x,y,z)?lim?x?0f(x??x,y,z)?f(x,y,z)?

?x其中(x? y? z)是函數(shù)u?f(x? y? z)的定義域的內(nèi)點(diǎn)? 它們的求法也仍舊是一元函數(shù)的微分法問題?

例1 求z?x?3xy?y在點(diǎn)(1? 2)處的偏導(dǎo)數(shù)?

解 ?z?z?z?3x?2y? ?2x?3y? ?y?x?xx?1?2?1?3?2?8? y?22

2?z?yx?1y?2?3?1?2?2?7?

例2 求z?x2sin 2y的偏導(dǎo)數(shù)?

解 ?z?z?2x2cos2y?

?2xsin2y? ?y?xx?z1?z??2z?

y?xlnx?y 例3 設(shè)z?xy(x?0,x?1)? 求證?

證 ?z?yx?xy?1? ?z?xylnx???y 高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案

§8

多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

x?z1?zx??yxy?xlnx?yyy?1?1xylnx?xy?xy?2z?

lnx 例4 求r?x2?y2?z2的偏導(dǎo)數(shù)?

解 ?r??xxx?y?z222?x?r? ??yryx?y?z222?yr?

例5 已知理想氣體的狀態(tài)方程為pV=RT(R為常數(shù))? ?求證? ?p?V?T????1?

?V?T?p?pRTRT? ??2? ??VVVRT?VR??

V??

p?Tp 證 因?yàn)閜?

T?pV?TV??

?

?pRR所以?p?V?TRTRVRT????2??????1?

?V?T?ppRpVV

例5 說明的問題? 偏導(dǎo)數(shù)的記號(hào)是一個(gè)整體記號(hào)? 不能看作分子分母之商?

二元函數(shù)z?f(x? y)在點(diǎn)(x0? y0)的偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義? ?

fx(x0? y0)?[f(x? y0)]x?是截線z?f(x? y0)在點(diǎn)M0處切線Tx對(duì)x軸的斜率?

fy(x0? y0)?[f(x0? y)]y?是截線z?f(x0? y)在點(diǎn)M0處切線Ty對(duì)y軸的斜率?

偏導(dǎo)數(shù)與連續(xù)性? 對(duì)于多元函數(shù)來說? 即使各偏導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)都存在? 也不能保證函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)? 例如

?xy x 2 ?y2?0?22

f(x,y)??x?y

? 2 ? y2?0?0 x在點(diǎn)(0? 0)有? fx(0? 0)?0? fy(0? 0)?0? 但函數(shù)在點(diǎn)(0? 0)并不連續(xù)?

提示?

f(x, 0)?0? f(0, y)?0?

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§8

多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

d[f(0, y)]?0?

fx(0, 0)?d[f(x, 0)]?0? fy(0, 0)?dxdy

當(dāng)點(diǎn)P(x? y)沿x軸趨于點(diǎn)(0? 0)時(shí)? 有

lim(x,y)?(0,0)f(x,y)?limf(x, 0)?lim0?0?

x?0x?0

當(dāng)點(diǎn)P(x? y)沿直線y?kx趨于點(diǎn)(0? 0)時(shí)? 有

lim(x,y)?(0,0)y?kxxyx2?y2?limx?0kx2k? ??2222x?kx1?k因此? lim(x,y)?(0,0)f(x,y)不存在? 故函數(shù)f(x? y)在(0? 0)處不連續(xù)?

類似地? 可定義函數(shù)z?f(x? y)對(duì)y的偏導(dǎo)函數(shù)? 記為

?f?z? ? zy ? 或fy(x,y)?

?y?yf(x,y??y)?f(x,y)?

?y偏導(dǎo)函數(shù)的定義式? fy(x,y)?lim

二?

高階偏導(dǎo)數(shù) ?y?0

設(shè)函數(shù)z?f(x? y)在區(qū)域D內(nèi)具有偏導(dǎo)數(shù)

?z?z?fy(x,y)?

?fx(x,y)? ?y?x那么在D內(nèi)fx(x? y)、fy(x? y)都是x? y 的函數(shù)? 如果這兩個(gè)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)也存在? 則稱它們是函數(shù)z?f(x? y)的二偏導(dǎo)數(shù)? 按照對(duì)變量求導(dǎo)次序的為同有下列四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)

如果函數(shù)z?f(x? y)在區(qū)域D內(nèi)的偏導(dǎo)數(shù)fx(x? y)、fy(x? y)也具有偏導(dǎo)數(shù)?

則它們的偏導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)z?f(x? y)的二階偏導(dǎo)數(shù)? 按照對(duì)變量求導(dǎo)次序的 不同有下列四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)

??z?2z??z?2z()??fxy(x,y)?

()?2?fxx(x,y)?

?y?x?x?y?x?x?x??z?2z??z?2z()??fyx(x,y)?

()?2?fyy(x,y)?

?x?y?y?x?y?y?y

??z?2z??z?2z()??fxy(x,y)?()??fyx(x,y)稱為混合偏導(dǎo)數(shù)? ?其中?y?x?x?y?x?y?y?x

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§8

多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

??z?2z??z?2z??z?2z??z?2z? ?()?()?()?2?()?2?

??y?x?x?y?x?y?y?x?y?y?x?x?x?y 同樣可得三階、四階、以及n 階偏導(dǎo)數(shù)? ? 二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)?

?2z?2z?2z?3z

例6 設(shè)z?xy?3xy?xy?1? 求2、3、和?

?y?x?x?y?x?x323?z?2x3y?9xy2?x?

解 ?z?3x2y2?3y3?y?

?x?y?2z?3z ?6xy? ?6y2?

32?x?x?2z?2z22?6xy?9y?1? ?6x2y?9y2?1? ?

?x?y?y?x

?2z?2z?由例6觀察到的問題?

?y?x?x?y?2z?2z

定理 如果函數(shù)z?f(x? y)的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)及在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)? 那么在該區(qū)

?y?x?x?y域內(nèi)這兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)必相等?

類似地可定義二元以上函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)?

例7 驗(yàn)證函數(shù)z?ln?2z?2zx?y滿足方程2?2?0?

?x?y22 證 因?yàn)閦?lnx2?y2?1ln(x2?y2)? 所以 2

y?z?zx?2? ?

??xx?y2?yx2?y222y2?x2?2z(x?y)?x?2x

?

??2?x2(x2?y2)2(x?y2)2 高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案

§8

多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

22x2?y2?2z(x?y)?y?2y

?

??2?y2(x2?y2)2(x?y2)2x2?y2y2?x2?2z?2z因此 2?2?2?2?0?

2222?x?y(x?y)(x?y)?2u?2u?2u 例8．證明函數(shù)u?1滿足方程2?2?2?0?

r?x?y?z其中r?x2?y2?z2?

證? ?u??12??r??12?x??x3?

?xr?xrrr

?2u13x?r13x2???????5?

2343?x?xrrrr2?2u13z2?2u13y同理

??3?5?

??3?5?

?z2rr?y2rr2?2u?2u?2u13x213y13z2因此2?2?2?(?3?5)?(?3?5)?(?3?5)

?x?y?zrrrrrr22233(x?y?z)33r2

??3???3?5?0?

rr5rr提示?

?u?x?(?)???x2?xr32r3?x??3?r(r)r3?x?3r2?x?x?

??r6r6 §8? 3全微分及其應(yīng)用

一、全微分的定義

根據(jù)一元函數(shù)微分學(xué)中增量與微分的關(guān)系??有

偏增量與偏微分?

f(x??x? y)?f(x? y)?fx(x? y)?x?

f(x??x? y)?f(x? y)為函數(shù)對(duì)x的偏增量? f x(x? y)?x為函數(shù)對(duì)x的偏微分?

f(x? y??y)?f(x? y)?fy(x? y)?y??

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§8

多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

f(x? y??y)?f(x? y)為函數(shù))對(duì)y的偏增量? f y(x? y)?y為函數(shù)對(duì)y的偏微分?

全增量?

?z? f(x??x? y??y)?f(x? y)?

計(jì)算全增量比較復(fù)雜?

我們希望用?x、?y的線性函數(shù)來近似代替之?

定義

如果函數(shù)z?f(x? y)在點(diǎn)(x? y)的全增量

?z? f(x??x? y??y)?f(x? y)可表示為

?z?A?x?B?y?o(?)(??(?x)2?(?y)2)?

其中A、B不依賴于?x、?y 而僅與x、y 有關(guān)? 則稱函數(shù)z?f(x? y)在點(diǎn)(x? y)可微分? 而稱A?x?B?y為函數(shù)z?f(x? y)在點(diǎn)(x? y)的全微分? 記作dz? 即

dz?A?x?B?y?

如果函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)各點(diǎn)處都可微分? 那么稱這函數(shù)在D內(nèi)可微分?

可微與連續(xù)? 可微必連續(xù)? 但偏導(dǎo)數(shù)存在不一定連續(xù)?

這是因?yàn)?? 如果z?f(x? y)在點(diǎn)(x? y)可微??則

?z? f(x??x? y??y)?f(x? y)?A?x?B?y?o(?)??于是 lim?z?0?

??0從而 lim(?x,?y)?(0,0)f(x??x,y??y)?lim[f(x,y)??z]?f(x,y)??

??0因此函數(shù)z?f(x? y)在點(diǎn)(x? y)處連續(xù)??

可微條件?

定理1(必要條件)

如果函數(shù)z?f(x? y)在點(diǎn)(x? y)可微分? 則函數(shù)在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)y)在點(diǎn)(x? y)的全微分為

dz??z?z?x??y?

?x?y?z?z、必定存在? 且函數(shù)z?f(x? ?y?x

證 設(shè)函數(shù)z?f(x? y)在點(diǎn)P(x? y)可微分? 于是? 對(duì)于點(diǎn)P的某個(gè)鄰域內(nèi)的任意一點(diǎn)P ?(x??x? y??y)? 有?z?A?x?B?y?o(?)? 特別當(dāng)?y?0時(shí)有

f(x??x? y)?f(x? y)?A?x?o(|?x|)?

上式兩邊各除以?x? 再令?x?0而取極限? 就得

lim從而偏導(dǎo)數(shù) ?x?0f(x??x,y)?f(x,y)?A?

?x?z?z?z?z?B? 所以 ?A??同理可證偏導(dǎo)數(shù)存在? 且存在? 且

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§8

多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

dz??z?z?x??y?

?x?y

簡要證明??設(shè)函數(shù)z?f(x? y)在點(diǎn)(x? y)可微分? 于是有?z?A?x?B?y?o(?)? 特別當(dāng)?y?0時(shí)有

f(x??x? y)?f(x? y)?A?x?o(|?x|)?

上式兩邊各除以?x? 再令?x?0而取極限? 就得

lim?x?0f(x??x,y)?f(x,y)o(|?x|)?lim[A?]?A?

?x?x?x?0從而?z?z?z?z?z?z?B? 所以dz??x??y?

存在? 且存在? 且?A??同理?y?y?x?y?x?x?z?z、存在是可微分的必要條件? 但不是充分條件???y?x 偏導(dǎo)數(shù)

例如???xy? x2?y2?0? 函數(shù)f(x,y)??x2?y2在點(diǎn)(0??0)處雖然有f x(0? 0)?0及f y(0? 0)?0??但函數(shù)在?0 x2?y2?0?(0??0)不可微分??即?z?[fx(0? 0)?x?fy(0? 0)?y]不是較?高階的無窮小?? 這是因?yàn)楫?dāng)(?x? ?y)沿直線y?x趨于(0? 0)時(shí)??

定理2(充分條件)

如果函數(shù)z?f(x? y)的偏導(dǎo)數(shù)

?z?z、在點(diǎn)(x? y)連續(xù)? 則函數(shù)在該點(diǎn)可微分?

?y?x?z?[fx(0, 0)??x?fy(0, 0)??y]???x??y(?x)2?(?y)2??x??x1??0?? 222(?x)?(?x)

定理1和定理2的結(jié)論可推廣到三元及三元以上函數(shù)?

按著習(xí)慣???x、?y分別記作dx、dy? 并分別稱為自變量的微分??則函數(shù)z?f(x? y)的全微分可寫作?

dz??z?zdx?dy?

?x?y

二元函數(shù)的全微分等于它的兩個(gè)偏微分之和這件事稱為二元函數(shù)的微分符合疊加原理?

疊加原理也適用于二元以上的函數(shù)? 例如函數(shù)u?f(x? y? z)的全微分為

du??u?u?udx?dy?dz?

?x?y?z

例1 計(jì)算函數(shù)z?x2y ?y2的全微分?

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§8

多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

解 因?yàn)?z?z?x2?2y?

?2xy? ?y?x所以dz?2xydx?(x2?2y)dy ?

例2 計(jì)算函數(shù)z?exy在點(diǎn)(2? 1)處的全微分?

解 因?yàn)?z?z?xexy?

?yexy? ?y?x

?z?xx?2y?12?e2?

2?z?yx?2y?1?2e2??

所以

dz?edx?2edy ?

例3 計(jì)算函數(shù)u?x?siny?eyz的全微分?解 因?yàn)閥?u1?u?u?cos?zeyz? ?yeyz?

?1?

?y22?z?xy1所以

du?dx?(cos?zeyz)dy?yeyzdz?

2*

二、全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用

當(dāng)二元函數(shù)z?f(x? y)在點(diǎn)P(x? y)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)f x(x? y)? f y(x? y)連續(xù)? 并且|?x|? |?y|都較小時(shí)? 有近似等式

?z ?dz? f x(x? y)?x?f y(x? y)?y ?

即

f(x??x? y??y)? f(x? y)?f x(x? y)?x?f y(x? y)?y ?

我們可以利用上述近似等式對(duì)二元函數(shù)作近似計(jì)算?

例4 有一圓柱體? 受壓后發(fā)生形變? 它的半徑由20cm增大到20? 05cm? 高度由100cu減少到99cm? 求此圓柱體體積變化的近似值?

解

設(shè)圓柱體的半徑、高和體積依次為r、h和V? 則有

V?? r 2h ?

已知r?20? h?100? ?r?0? 05? ?h??1? 根據(jù)近似公式? 有

?V?dV?Vr?r?Vh?h?2?rh?r??r2?h

?2??20?100?0? 05???20?(?1)??200?(cm)?

即此圓柱體在受壓后體積約減少了200? cm3?

例5 計(jì)算(1? 04)2??02的近似值?

解

設(shè)函數(shù)f(x? y)?x y ? 顯然? 要計(jì)算的值就是函數(shù)在x?1?04? y?2?02時(shí)的函數(shù)值f(1?04? 2?02)?

取x?1? y?2? ?x?0?04? ?y?0?02? 由于

高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組

23高等數(shù)學(xué)教案

§8

多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

f(x??x? y??y)? f(x? y)?f x(x? y)?x?f y(x? y)?y

?x?yx?x?xln x ?y ?

所以

(1?04)2??02?12?2?12?1?0?04?12?ln1?0?02?1?08?

例6 利用單擺擺動(dòng)測(cè)定重力加速度g的公式是

g?4?2l? 2T y

y?y現(xiàn)測(cè)得單擺擺長l與振動(dòng)周期T分別為l=100±0.1cm、T=2±0.004s.?問由于測(cè)定l與T的誤差而引起g的絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差各為多少？

解 如果把測(cè)量l與T所產(chǎn)生的誤差當(dāng)作|Δl|與|ΔT|, 則利用上述計(jì)算公式所產(chǎn)生的誤差就是4?2l二元函數(shù)g?2的全增量的絕對(duì)值|Δg|.?由于|Δl|??|ΔT|都很小??因此我們可以用dg來近似地代替TΔg??這樣就得到g的誤差為

|?g|?|dg|?|

?|?g?l?g?l?l??g?T?g?T?T|

|??l?||??T

?4?2(12l???T)? lT2T3其中?l與?T為l與T的絕對(duì)誤差? 把l=100? T=2, ?l=0.1, δT=0.004代入上式? 得g的絕對(duì)誤差約為

?g?4?2(0.12?100??0.004)232?0.5?2?4.93(cm/s2).0.5?2??0.500??

2g4??10022?g???從上面的例子可以看到??對(duì)于一般的二元函數(shù)z=f(x, y), 如果自變量x、y 的絕對(duì)誤差分別為?x、?y, 即

|Δx |??x，|Δy |??y，則z的誤差

|?z|?|dz|?|

?| ?z?z?x??y|

?x?y?z?z|?|?x|?||?|?y| ?x?y高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案

§8

多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

?|從而得到z的絕對(duì)誤差約為 ?z?z|??x?||??y? ?x?y

?z?|z的相對(duì)誤差約為 ?z?z|??x?||??y? ?x?y?z?z??y?y?

z??x?x?|z|zz

§8? 4 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

設(shè)z?f(u? v)? 而u??(t)? v??(t)? 如何求dz？

dt

設(shè)z?f(u? v)? 而u??(x? y)? v??(x? y)? 如何求

?z?z和？ ?y?x

1? 復(fù)合函數(shù)的中間變量均為一元函數(shù)的情形

定理1 如果函數(shù)u??(t)及v??(t)都在點(diǎn)t可導(dǎo)? 函數(shù)z?f(u? v)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)(u? v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 則復(fù)合函數(shù)z?f[?(t)? ?(t)]在點(diǎn)t可導(dǎo)? 且有

dz?zdu?zdv?

????dt?udt?vdt

簡要證明1? 因?yàn)閦?f(u? v)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)? 所以它是可微的? 即有

dz??z?zdu?dv? ?u?v又因?yàn)閡??(t)及v??(t)都可導(dǎo)? 因而可微? 即有

du?代入上式得

dz?從而

?zdu?zdv?zdu?zdv?dt??dt?(???)dt?

?udt?vdt?udt?vdtdudvdt? dv?dt?

dtdtdz?zdu?zdv?????

dt?udt?vdt

簡要證明2? 當(dāng)t取得增量?t時(shí)? u、v及z相應(yīng)地也取得增量?u、?v及?z ? 由z?f(u? v)、u??(t)及v??(t)的可微性? 有

?z? ?z?z?zdu?zdv?u??v?o(?)?[?t?o(?t)]?[?t?o(?t)]?o(?)?u?v?udt?vdt高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案

§8

多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

?（?zdu?zdv?z?z???)?t?(?)o(?t)?o(?)?

?udt?vdt?u?v?z?zdu?zdv?z?zo(?t)o(?)?

?????(?)??t?udt?vdt?u?v?t?t令?t?0? 上式兩邊取極限? 即得

dz?zdu?zdv?

????dt?udt?vdt?lim?t?0注?lim?t?0o(?)?to(?)??(?u)2?(?v)2?t?0?(du2dv)?()2?0?

dtdt推廣? 設(shè)z?f(u? v? w)? u??(t)? v??(t)? w??(t)? 則z?f[?(t)? ?(t)? ?(t)]對(duì)t 的導(dǎo)數(shù)為?

dz??zdu??zdv??zdw?

dt?udt?vdt?wdt上述dz稱為全導(dǎo)數(shù)?

dt

2? 復(fù)合函數(shù)的中間變量均為多元函數(shù)的情形

定理2 如果函數(shù)u??(x? y)? v??(x? y)都在點(diǎn)(x? y)具有對(duì)x及y的偏導(dǎo)數(shù)? 函數(shù)z?f(u? v)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)(u? v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 則復(fù)合函數(shù)z?f [?(x? y)? ?(x? y)]在點(diǎn)(x? y)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在? 且有

?z?z?u?z?v?z??z??u??z??v? ? ?????x?u?x?v?x?y?u?y?v?y?z?z?u?z?v?z?w?z?z?u?z?v?z?w??????? ?

???????y?u?y?v?y?w?y?x?u?x?v?x?w?x

推廣? 設(shè)z?f(u? v? w)? u??(x? y)? v??(x? y)? w??(x? y)? 則

討論?

(1)設(shè)z?f(u? v)? u??(x? y)? v??(y)? 則

提示?

?z?z?？ ?？

?y?x?z?z?u?zdv?z?z?u????? ?

???y?u?y?vdy?x?u?x

(2)設(shè)z?f(u? x? y)? 且u??(x? y)? 則

?z?z?？

?？

?y?x

提示? ?z?f?u?f?z?f?u?f????? ?

?y?u?y?y?x?u?x?x這里?f?f?z?z與是不同的? 是把復(fù)合函數(shù)z?f[?(x? y)? x? y]中的y看作不變而對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)? ?x?x?x?x 高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案

§8

多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

是把f(u? x? y)中的u及y看作不變而 對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)?

?f?z與也朋類似的區(qū)別?

?y?y

3．復(fù)合函數(shù)的中間變量既有一元函數(shù)? 又有多元函數(shù)的情形

定理3 如果函數(shù)u??(x? y)在點(diǎn)(x? y)具有對(duì)x及對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)? 函數(shù)v??(y)在點(diǎn)y可導(dǎo)? 函數(shù)z?f(u? v)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)(u? v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 則復(fù)合函數(shù)z?f[?(x? y)? ?(y)]在點(diǎn)(x? y)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在? 且有

?z?z?u?zdv????

?z??z??u? ?

?x?u?x?y?u?y?vdy

例1 設(shè)z?eusin v? u?xy? v?x?y? 求?z和

?x?z?

?y

解 ?z??z??u??z??v

?x?u?xx y?v?x

?eusin v?y?eucos v?1

?e[y sin(x?y)?cos(x?y)]?

?z?z?u?z?v???? ?y?u?y?v?yuu

?esin v?x?ecos v?1

?exy[x sin(x?y)?cos(x?y)]?

例2 設(shè)u?f(x,y,z)?ex

解 ?u?f?f?z ????x?x?z?x22?y2?z2? 而z?x2siny? 求

?u?u和?

?y?x

?2xex?y2?z2?2zex2?y2?z2?2xsiny

?2x?(1?2x2sin2y)ex?u?f?f?z??? ?y?y?z?y222?y2?x4siny?

?2yex?y2?z2?2zex2?y2?z2?x2cosy

?2(y?x4sinycosy)ex22?y2?x4siny?

dz?

dt

例3 設(shè)z?uv?sin t ? 而u?et? v?cos t? 求全導(dǎo)數(shù) 高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案

§8

多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

解 dz??z?du??z?dv??z

dt?udt?vdt?t

?v?et?u?(?sin t)?cos t

?etcos t?e tsin t?cos t

?e(cos t?sin t)?cos t ?

?2w?w

例4 設(shè)w?f(x?y?z? xyz)? f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 求及?

?x?z?xt

解 令u?x?y?z? v?xyz ? 則w?f(u? v)?

引入記號(hào)? f1??

?f(u,v)?u??? f12?f(u,v)?u?v???f22??等?

? 同理有f2??f11?w?f?u?f?v?????f1??yzf2??

?x?u?x?v?x?f??f??2w?

?(f1??yzf2?)?1?yf2??yz2

?x?z?z?z?z???xyf12???yf2??yzf21???xy2zf22??

?f11???y(x?z)f12???yf2??xy2zf22???

?f1

1注? ?f1??f1??u?f1??v?f??f??u?f2??v???xyf12??? 2?2????xyf22??? ?????f11???f21?z?u?z?v?z?z?u?z?v?z

例5 設(shè)u?f(x? y)的所有二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)? 把下列表達(dá)式轉(zhuǎn)換成極坐標(biāo)系中的形式?

?u2?u2?2u?2u(1)()?()?

(2)2?2?

?x?y?x?y解 由直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系式得

u?f(x? y)?f(?cosθ? ?sinθ)?F(?? θ)?

其中x??cosθ? y??sinθ? ??應(yīng)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則? 得

??u?u???u???u?uysin?ux?uy???cos???

???x???x???x?????????2???u?ucos??u?u???u???uy?ux?sin????? ???y???y???y?????????2??x2?y2? ??arctanyx?

兩式平方后相加? 得

高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案

§8

多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

(?u)2?(?u)2?(?u)2?12(?u)2?

?x?y?????再求二階偏導(dǎo)數(shù)? 得

?2u??u????u??

?()??()??x2???x?x???x?x

???u?usin?(cos??)?cos? ?????????u?usin?sin?(cos??)? ????????

?

??2u?2usin?cos??2usin?2 2cos??2????????2??2?2?u2sin?cos??usin2?

?? ???????2同理可得

?2u?2u?2usin?cos??2ucos?22 ?sin??2?2222??????y?????2?u2sin?cos??ucos?

?? ???????2兩式相加? 得

?2u?2u?2u11?2u ?????22222??x?y?????1??u?2u

?2[?(?)?]?

???????2

全微分形式不變性?

設(shè)z?f(u? v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 則有全微分

dz??z?zdu?dv?

?u?v如果z?f(u? v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 而u??(x? y)? v??(x? y)也具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 則

dz? ?z?zdx?dy

?x?y高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案

§8

多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

?（??z?u?z?v?z?u?z?v?)dx?(?)dy

?u?x?v?x?u?y?v?y?z?u?u?z?v?v(dx?dy)?(dx?dy)

?u?x?y?v?x?y

??zdu??zdv?

?u?v由此可見? 無論z 是自變量u、v的函數(shù)或中間變量u、v的函數(shù)? 它的全微分形式是一樣的? 這個(gè)性質(zhì)叫做全微分形式不變性?

例6 設(shè)z?e usin v? u?x y? v?x?y? 利用全微分形式不變性求全微分?

解 dz??zdu??zdv? e usin vdu? e ucos v dv ?u?v

? e usin v(y dx?x dy)? e ucos v(dx?dy)

?(ye usin v? e ucos v)dx?(xe usin v? e ucos v)dy

?e xy [y sin(x?y)?cos(x?y)]dx? e xy [x sin(x?y)?cos(x?y)]dy ?

§8?隱函數(shù)的求導(dǎo)法則 一、一個(gè)方程的情形

隱函數(shù)存在定理1

設(shè)函數(shù)F(x? y)在點(diǎn)P(x0? y0)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? F(x0? y0)?0? Fy(x0? y0)?0? 則方程F(x? y)?0在點(diǎn)(x0? y0)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)y?f(x)? 它滿足條件y0?f(x0)? 并有

dydx??FxFy?

?

求導(dǎo)公式證明? 將y?f(x)代入F(x? y)?0? 得恒等式

F(x? f(x))?0?

等式兩邊對(duì)x求導(dǎo)得

?F?Fdy???0?

?x?ydx由于F y連續(xù)? 且Fy(x0? y0)?0? 所以存在(x0? y0)的一個(gè)鄰域? 在這個(gè)鄰域同F(xiàn)y ?0? 于是得

高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案

§8

多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

dydx??FxFy?

例1 驗(yàn)證方程x2?y2?1?0在點(diǎn)(0? 1)的某一鄰域內(nèi)能唯一確定一個(gè)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)、當(dāng)x?0時(shí)y?1的隱函數(shù)y?f(x)? 并求這函數(shù)的一階與二階導(dǎo)數(shù)在x?0的值?

解 設(shè)F(x? y)?x?y?1? 則Fx?2x? Fy?2y? F(0? 1)?0? Fy(0? 1)?2?0? 因此由定理1可知? 方程x2?y2?1?0在點(diǎn)(0? 1)的某一鄰域內(nèi)能唯一確定一個(gè)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)、當(dāng)x?0時(shí)y?1的隱函數(shù)y?f(x)?

dydx??FxFy??22dyx? ydx?0?

x?0

d2ydx2d2ydx2??y?xy?y2y?x(???y2x)y??y2?x2y3??1?

3y

??1?

x?0

隱函數(shù)存在定理還可以推廣到多元函數(shù)? 一個(gè)二元方程F(x? y)?0可以確定一個(gè)一元隱函數(shù)? 一個(gè)三元方程F(x? y? z)?0可以確定一個(gè)二元隱函數(shù)?

隱函數(shù)存在定理2

設(shè)函數(shù)F(x? y? z)在點(diǎn)P(x0? y0? z0)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)? 且F(x0? y0? z0)?0? Fz(x0? y0? z0)?0 ? 則方程F(x? y? z)?0在點(diǎn)(x0? y0? z0)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)z?f(x? y)? 它滿足條件z0?f(x0? y0)? 并有

FyFx?z?z??? ?

????yFz?xFz

公式的證明? 將z?f(x? y)代入F(x? y? z)?0? 得F(x? y? f(x? y))?0?

將上式兩端分別對(duì)x和y求導(dǎo)? 得

Fx?Fz??z?z?0? ??0? Fy?Fz??y?x因?yàn)镕 z連續(xù)且F z(x0? y0? z0)?0? 所以存在點(diǎn)(x0? y0? z0)的一個(gè)鄰域? 使F z?0? 于是得 FyFx?z?z??

? ?

???yFz?xFz

例2.設(shè)x2?y2?z2?4z?0? 求 ?2z?

2?x高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案

§8

多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

解

設(shè)F(x? y? z)? x?y?z?4z? 則Fx?2x? Fy?2z?4?

F?z2xx?

??x????xFz2z?42?z22 ?2z?2?x(2?x)?x?zx(2?x)?x()22?x?2?z?(2?x)?x?

(2?z)2(2?z)2(2?z)

3二、方程組的情形

在一定條件下? 由個(gè)方程組F(x? y? u? v)?0? G(x? y? u? v)?0可以確定一對(duì)二元函數(shù)u?u(x? y)? v?v(x? y)? 例如方程xu?yv?0和yu?xv?1可以確定兩個(gè)二元函數(shù)u?yx2?y2? v?x?

x2?y2 事實(shí)上?

xu?yv?0 ?v?yxxu?yu?x?u?1?u?? ?

yyx2?y2v?yxx?

?2?yx?y2x2?y

2如何根據(jù)原方程組求u? v的偏導(dǎo)數(shù)？

隱函數(shù)存在定理隱函數(shù)存在定理3

設(shè)F(x? y? u? v)、G(x? y? u? v)在點(diǎn)P(x0? y0? u0? v0)的某一鄰域內(nèi)具有對(duì)各個(gè)變量的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 又F(x0? y0? u0? v0)?0? G(x0? y0? u0? v0)?0? 且偏導(dǎo)數(shù)所組成的函數(shù)行列式?

?F?(F,G)?u

J???G?(u,v)?u?F?v ?G?v在點(diǎn)P(x0? y0? u0? v0)不等于零? 則方程組F(x? y? u? v)?0? G(x? y? u? v)?0在點(diǎn)P(x0? y0? u0? v0)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一組連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)u?u(x? y)? v?v(x? y)? 它們滿足條件u0?u(x0? y0)? v0?v(x0? y0)? 并有

?u1?(F,G)?????

?xJ?(x,v)FuFvGuGvFxFvGxGv

高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案

§8

多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

?v1?(F,G)?????

?xJ?(u,x)FuFvGuGvFyFvGyGvFuFxGuGx

?u1?(F,G)?????

?yJ?(y,v)FuFvGuGvFuFyGuGy

?v1?(F,G)?????

?yJ?(u,y)FuFvGuGv

隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù): 設(shè)方程組F(x? y? u? v)?0? G(x? y? u? v)?0確定一對(duì)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的 二元函數(shù)u?u(x? y)? v?v(x? y)? 則

?F?F?u?F?v?0,uv?x?u?v?x?x 偏導(dǎo)數(shù)? 由方程組?確定? ?u?v?x?x?Gv?0.?Gx?Gu?x?x??F?F?u?F?v?0,uv?y?y?y?u?v 偏導(dǎo)數(shù)? 由方程組?確定?

?u?v?y?y?Gv?0.?Gy?Gu?y?y? 例3 設(shè)xu?yv?0? yu?xv?1? 求

?v?u?u?v? ? 和?

?y?y?x?x 解 兩個(gè)方程兩邊分別對(duì)x 求偏導(dǎo)? 得關(guān)于

?u?v和的方程組 ?x?x?u?x?u?y?v?0??x?x? ??u?v?v?x?0?y?x??x當(dāng)x2?y2 ?0時(shí)? 解之得xu?yv?vyu?xv?u? ?

???2?xx2?y2?xx?y2 高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案

§8

多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

兩個(gè)方程兩邊分別對(duì)x 求偏導(dǎo)? 得關(guān)于

?u?v和的方程組 ?y?y?x?u?v?y?v?0??y?y? ??u?v?x?0?u?y?y?y?當(dāng)x2?y2 ?0時(shí)? 解之得?u??yxv?yux2?y2xu?yv? ?v???

22?yx?y

另解 將兩個(gè)方程的兩邊微分得

??udx?xdu?vdy?ydv?0?xdu?ydv?vdy?udx? 即??

udy?ydu?vdx?xdv?0ydu?xdv??udy?vdx??解之得 du??xu?yvx2?y2dx?xv?yux2?y2dy?

dv?yu?xvx?y22dx?xu?yvx?y22dy?

xu?yv?uxv?yu于是

?u??2? ?

?222?xx?y?yx?y

xu?yv?vyu?xv?v? ? ??2??22?xx?y2?yx?y

例? 設(shè)函數(shù)x?x(u? v)? y?y(u? v)在點(diǎn)(u? v)的某一領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)且有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 又

(1)證明方程組

??x?x(u,v)

y?y(u,v)??(x,y)?(u,v)?0?

在點(diǎn)(x? y? u? v)的某一領(lǐng)域內(nèi)唯一確定一組單值連續(xù)且有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的反函數(shù)u?u(x? y)? v?v(x? y)?

(2)求反函數(shù)u?u(x? y)? v?v(x? y)對(duì)x? y的偏導(dǎo)數(shù)?

解(1)將方程組改寫成下面的形式

高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案

§8

多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

??F(x,y,u,v)?x?x(u,v)?0?

G(x,y,u,v)?y?y(u,v)?0?則按假設(shè)

J??(F,G)?(u,v)??(x,y)?(u,v)?0.由隱函數(shù)存在定理3? 即得所要證的結(jié)論?

(2)將方程組(7)所確定的反函數(shù)u?u(x? y)?v?v(x? y)代入(7)? 即得

??x?x[u(x,y),v(x,y)]?

y?y[u(x,y),v(x,y)]?將上述恒等式兩邊分別對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù)?得

?1??x??u??x??v?

??u?x?v?x?

?y?u?y?v?0?????u?x?v?x?由于J?0? 故可解得

同理? 可得

§8? 6多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用

一?

空間曲線的切線與法平面

設(shè)空間曲線?的參數(shù)方程為

x??(t)? y??(t)? z??(t)這里假定?(t)? ?(t)? ?(t)都在[?? ?]上可導(dǎo)?

在曲線?上取對(duì)應(yīng)于t?t0的一點(diǎn)M0(x0? y0? z0)及對(duì)應(yīng)于t?t0??t的鄰近一點(diǎn)M(x0+?x? y0+?y? z0+?z)? 作曲線的割線MM0? 其方程為

x?x0?x?y?y0?y?z?z0?z?u1?x?v1?x???? ?

?yJ?v?yJ?u?u1?y?v1?y? ?

????xJ?u?xJ?v? ?當(dāng)點(diǎn)M沿著?趨于點(diǎn)M0時(shí)割線MM0的極限位置就是曲線在點(diǎn)M0處的切線? 考慮

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§8

多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

x?x0y?y0z?z0? ???x?y?z?t?t?t當(dāng)M?M0? 即?t?0時(shí)? 得曲線在點(diǎn)M0處的切線方程為

x?x0y?y0z?z0? ????(t0)??(t0)??(t0)

曲線的切向量? 切線的方向向量稱為曲線的切向量? 向量

T?(??(t0)? ??(t0)? ??(t0))就是曲線?在點(diǎn)M0處的一個(gè)切向量?

法平面? 通過點(diǎn)M0而與切線垂直的平面稱為曲線?在點(diǎn)M0 處的法平面? 其法平面方程為

??(t0)(x?x0)???(t0)(y?y0)???(t0)(z?z0)?0?

例1 求曲線x?t? y?t2? z?t3在點(diǎn)(1? 1? 1)處的切線及法平面方程?

解

因?yàn)閤t??1? yt??2t? zt??3t2? 而點(diǎn)(1? 1? 1)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)t?1? 所以

T ?(1? 2? 3)?

于是? 切線方程為

法平面方程為

(x?1)?2(y?1)?3(z?1)?0? 即x?2y?3z?6?

討論?

1? 若曲線?的方程為

y??(x)? z??(x)?

問其切線和法平面方程是什么形式?

提示? 曲線方程可看作參數(shù)方程? x?x? y??(x)? z??(x)? 切向量為T?(1? ??(x)? ??(x))?

2? 若曲線?的方程為

F(x? y? z)?0? G(x? y? z)?0?

問其切線和法平面方程又是什么形式??

提示? 兩方程確定了兩個(gè)隱函數(shù)?

y??(x)? z??(x)? 曲線的參數(shù)方程為

x?x? y??(x)? z??(x)? ?x?1y?1z?1?

??123 高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案

§8

多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

dy?dzFx?Fy?Fz?0?dydxdx由方程組?可解得和dz??

dydxdxdz?Gx?Gy?Gz?0dxdx?切向量為T?(1, dydz,)? dxdx22

2例2 求曲線x?y?z?6? x?y?z?0在點(diǎn)(1? ?2? 1)處的切線及法平面方程? ?

解 為求切向量? 將所給方程的兩邊對(duì)x求導(dǎo)數(shù)? 得

dy?dz2x?2y?2z?0?dxdx

???dydz?1???0?dxdx解方程組得dydx?z?xdzx?y?? ? ?y?zdxy?zdydx?0? dz??1? dx在點(diǎn)(1? ?2? 1)處?

從而T ?(1? 0? ?1)?

所求切線方程為

法平面方程為

(x?1)?0?(y?2)?(z?1)?0? 即x?z?0?

解 為求切向量? 將所給方程的兩邊對(duì)x求導(dǎo)數(shù)? 得

dy?dz2x?2y?2z?0?dxdx

????dydz?1???0?dxdxx?1y?2z?1?

??10?1方程組在點(diǎn)(1? ?2? 1)處化為

?dydz2??1?dxdx

???

dydz????1?dxdx解方程組得dydx?0? dz??1? dx從而T ?(1? 0? ?1)?

所求切線方程為

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§8

多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

法平面方程為 x?1y?2z?1?

??10?(x?1)?0?(y?2)?(z?1)?0? 即x?z?0?

二? 曲面的切平面與法線

設(shè)曲面?的方程為

F(x? y? z)?0?

M0(x0? y0? z0)是曲面?上的一點(diǎn)?

并設(shè)函數(shù)F(x? y? z)的偏導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)且不同時(shí)為零? 在曲面?上? 通過點(diǎn)M0任意引一條曲線?? 假定曲線?的參數(shù)方程式為

x??(t)? y??(t)? z??(t)?

t?t0對(duì)應(yīng)于點(diǎn)M0(x0? y0? z0)? 且??(t0)? ??(t0)? ??(t0)不全為零? 曲線在點(diǎn)的切向量為

T ?(??(t0)? ??(t0)? ??(t0))?

考慮曲面方程F(x? y? z)?0兩端在t?t0的全導(dǎo)數(shù)?

Fx(x0? y0? z0)??(t0)?Fy(x0? y0? z0)??(t0)?Fz(x0? y0? z0)??(t0)?0?

引入向量

n?(Fx(x0? y0? z0)? Fy(x0? y0? z0)? Fz(x0? y0? z0))?

易見T與n是垂直的? 因?yàn)榍€?是曲面?上通過點(diǎn)M0的任意一條曲線? 它們?cè)邳c(diǎn)M0的切線都與同一向量n垂直? 所以曲面上通過點(diǎn)M0的一切曲線在點(diǎn)M0的切線都在同一個(gè)平面上? 這個(gè)平面稱為曲面?在點(diǎn)M0的切平面? 這切平面的方程式是

Fx(x0? y0? z0)(x?x0)?Fy(x0? y0? z0)(y?y0)?Fz(x0? y0? z0)(z?z0)?0?

曲面的法線? 通過點(diǎn)M0(x0? y0? z0)而垂直于切平面的直線稱為曲面在該點(diǎn)的法線? 法線方程為

x?x0Fx(x0, y0, z0)?y?y0Fy(x0, y0, z0)?z?z0Fz(x0, y0, z0)?

曲面的法向量? 垂直于曲面上切平面的向量稱為曲面的法向量? 向量

n?(Fx(x0? y0? z0)? Fy(x0? y0? z0)? Fz(x0? y0? z0))就是曲面?在點(diǎn)M0處的一個(gè)法向量?

例3 求球面x?y?z?14在點(diǎn)(1? 2? 3)處的切平面及法線方程式?

解

F(x? y? z)? x?y?z?14?

Fx?2x? Fy?2y ? Fz?2z ?

Fx(1? 2? 3)?2? Fy(1? 2? 3)?4? Fz(1? 2? 3)?6?

高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 222222高等數(shù)學(xué)教案

§8

多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

法向量為n?(2? 4? 6)? 或n?(1? 2? 3)?

所求切平面方程為

2(x?1)?4(y?2)?6(z?3)?0? 即x?2y?3z?14?0?

法線方程為x?1y?2z?3?

??12

3討論? 若曲面方程為z?f(x? y)? 問曲面的切平面及法線方程式是什么形式?

提示?

此時(shí)F(x? y? z)?f(x? y)?z ?

n?(fx(x0? y0)? fy(x0? y0)? ?1)

例4 求旋轉(zhuǎn)拋物面z?x2?y2?1在點(diǎn)(2? 1? 4)處的切平面及法線方程?

解

f(x? y)?x?y?1?

n?(fx? fy? ?1)?(2x? 2y? ?1)?

n|(2? 1? 4)?(4? 2? ?1)?

所以在點(diǎn)(2? 1? 4)處的切平面方程為

4(x?2)?2(y?1)?(z?4)?0? 即4x?2y?z?6?0?

法線方程為

§8? 7 方向?qū)?shù)與梯度

一、方向?qū)?shù)

現(xiàn)在我們來討論函數(shù)z?f(x? y)在一點(diǎn)P沿某一方向的變化率問題?

設(shè)l是xOy平面上以P0(x0? y0)為始點(diǎn)的一條射線? el?(cos ?? cos ?)是與l同方向的單位向量? 射線l的參數(shù)方程為

x?x0?t cos ?? y?y0?t cos ?(t?0)?

設(shè)函數(shù)z?f(x? y)在點(diǎn)P0(x0? y0)的某一鄰域U(P0)內(nèi)有定義? P(x0?t cos ?? y0?t cos ?)為l上另一點(diǎn)? 且P?U(P0)? 如果函數(shù)增量f(x0?t cos ?? y0?t cos ?)?f(x0? y0)與P到P0的距離|PP0|?t的比值

f(x0?tcos?, y0?tcos?)?f(x0,y0)tx?2y?1z?4?

??42?12

2當(dāng)P沿著l趨于P0(即t?t0?)時(shí)的極限存在?

則稱此極限為函數(shù)f(x? y)在點(diǎn)P0沿方向l的方向?qū)?shù)? 記作?f?l(x0,y0)? 即

高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案

§8

多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

?f?l?lim(x0,y0)t?0f(x0?tcos?, y0?tcos?)?f(x0,y0)?t?

從方向?qū)?shù)的定義可知? 方向?qū)?shù)率?

方向?qū)?shù)的計(jì)算?

?f?l(x0,y0)就是函數(shù)f(x? y)在點(diǎn)P0(x0? y0)處沿方向l的變化

定理

如果函數(shù)z?f(x? y)在點(diǎn)P0(x0? y0)可微分? 那么函數(shù)在該點(diǎn)沿任一方向l 的方向?qū)?shù)都存在? 且有

?f?l?fx(x0,y0)cos??fy(x0,y0)cos??

(x0,y0)其中cos ?? cos ?是方向l 的方向余弦?

簡要證明? 設(shè)?x?t cos ?? ?y?t cos ?? 則

f(x0?tcos?? y0?tcos?)?f(x0? y0)?f x(x0? y0)tcos??f y(x0? y0)tcos??o(t)?

所以

limf(x0?tcos?, y0?tcos?)?f(x0,y0)tt?0??fx(x0,y0)cos??fy(x0,y0)sin??

這就證明了方向?qū)?shù)的存在? 且其值為

?f?l?fx(x0,y0)cos??fy(x0,y0)cos???(x0,y0)提示? f(x0??x,y0??y)?f(x0,y0)?fx(x0,y0)?x?fy(x0,y0)?y?o((?x)2?(?y)2)?

?x?t cos ?? ?y?t cos ??(?x)2?(?y)2?t?

討論? 函數(shù)z?f(x? y)在點(diǎn)P 沿x軸正向和負(fù)向?

沿y軸正向和負(fù)向的方向?qū)?shù)如何? 提示?

沿x軸正向時(shí)? cos???? cos??0?

沿x軸負(fù)向時(shí)? cos???1? cos??0?

?f?l??f?x?

?f?f??? ??l?x

例1 求函數(shù)z?xe2y在點(diǎn)P(1? 0)沿從點(diǎn)P(1? 0)到點(diǎn)Q(2? ?1)的方向的方向?qū)?shù)?

?

解 這里方向l即向量PQ?(1, ?1)的方向? 與l同向的單位向量為

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§8

多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

el?(12, ?12)?

因?yàn)楹瘮?shù)可微分? 且所以所求方向?qū)?shù)為

?z?l?1?12?z?x(1,0)?e2y(1,0)?1?

?z?y(1,0)?2xe2y(1,0)?2??(1,0)?2?(?12)??2? 2

對(duì)于三元函數(shù)f(x? y? z)來說? 它在空間一點(diǎn)P0(x0? y0? z0)沿el?(cos ??? cos ??? cos ?)的方向?qū)?shù)為?

?f?l?lim(x0,y0,z0)f(x0?tcos?, y0?tcos?,z0?tcos?)?f(x0,y0,z0)tt?0??

如果函數(shù)f(x? y? z)在點(diǎn)(x0? y0? z0)可微分? 則函數(shù)在該點(diǎn)沿著方向el?(cos ??? cos ??? cos ??的方向?qū)?shù)為

?f?l(x0,y0,z0)?fx(x0? y0? z0)cos??fy(x0? y0? z0)cos??fz(x0? y0? z0)cos??

例2求f(x? y? z)?xy?yz?zx在點(diǎn)(1? 1? 2)沿方向l的方向?qū)?shù)? 其中l(wèi)的方向角分別為60?? 45?? 60??

解 與l同向的單位向量為

el?(cos60?? cos 45?? cos60???(, ????因?yàn)楹瘮?shù)可微分??且

fx(1? 1? 2)?(y?z)|(1? 1? 2)?3?

fy(1? 1? 2)?(x?z)|(1? 1? 2)?3?

fz(1? 1? 2)?(y?x)|(1? 1? 2)?2? 所以

二? 梯度

設(shè)函數(shù)z?f(x? y)在平面區(qū)域D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 則對(duì)于每一點(diǎn)P0(x0? y0)?D? 都可確定一個(gè)向量

高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組

1221,)???22?f?l1211?3??3??2??(5?32)?

2222(1,1,2)高等數(shù)學(xué)教案

§8

多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

fx(x0? y0)i?fy(x0? y0)j?

這向量稱為函數(shù)f(x? y)在點(diǎn)P0(x0? y0)的梯度? 記作grad f(x0? y0)? 即

grad f(x0? y0)? fx(x0? y0)i?fy(x0? y0)j?

梯度與方向?qū)?shù)? ?

如果函數(shù)f(x? y)在點(diǎn)P0(x0? y0)可微分? el?(cos ??? cos ??)是與方向l同方向的單位向量? 則

?f?l?fx(x0,y0)cos??fy(x0,y0)cos??

(x0,y0)

? grad f(x0? y0)?el

?| grad f(x0? y0)|?cos(grad f(x0? y0)?el)?

這一關(guān)系式表明了函數(shù)在一點(diǎn)的梯度與函數(shù)在這點(diǎn)的方向?qū)?shù)間的關(guān)系? 特別? 當(dāng)向量el與grad f(x0? y0)的夾角??0? 即沿梯度方向時(shí)? 方向?qū)?shù)

?f?l^

取得最大值? 這個(gè)最大值就是梯度

(x0,y0)的模|grad f(x0? y0)|? 這就是說? 函數(shù)在一點(diǎn)的梯度是個(gè)向量? 它的方向是函數(shù)在這點(diǎn)的方向?qū)?shù)取得最大值的方向? 它的模就等于方向?qū)?shù)的最大值?

討論? ?f?l的最大值?

?

結(jié)論? 函數(shù)在某點(diǎn)的梯度是這樣一個(gè)向量? 它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致? 而它的模為方向?qū)?shù)的最大值?

我們知道? 一般說來二元函數(shù)z?f(x? y)在幾何上表示一個(gè)曲面? 這曲面被平面z?c(c是常數(shù))所截得的曲線L的方程為

??z?f(x,y)?

z?c?這條曲線L在xOy面上的投影是一條平面曲線L*? 它在xOy平面上的方程為

f(x? y)?c?

對(duì)于曲線L*上的一切點(diǎn)? 已給函數(shù)的函數(shù)值都是c? 所以我們稱平面曲線L*為函數(shù)z?f(x? y)的等值線?

若f x? f y不同時(shí)為零? 則等值線f(x? y)?c上任一點(diǎn)P0(x0? y0)處的一個(gè)單位法向量為

n?1fx2(x0,y0)?fy2(x0,y0)(fx(x0,y0),fy(x0,y0))?

這表明梯度grad f(x0? y0)的方向與等值線上這點(diǎn)的一個(gè)法線方向相同? 而沿這個(gè)方向的方向?qū)?shù)

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§8

多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

?f就等于|grad f(x0? y0)|? 于是 ?n

gradf(x0,y0)??fn?

?n

這一關(guān)系式表明了函數(shù)在一點(diǎn)的梯度與過這點(diǎn)的等值線、方向?qū)?shù)間的關(guān)系? 這說是說? 函數(shù)在一點(diǎn)的梯度方向與等值線在這點(diǎn)的一個(gè)法線方向相同? 它的指向?yàn)閺臄?shù)值較低的等值線指向數(shù)值較高的等值線? 梯度的模就等于函數(shù)在這個(gè)法線方向的方向?qū)?shù)?

梯度概念可以推廣到三元函數(shù)的情形? 設(shè)函數(shù)f(x? y? z)在空間區(qū)域G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 則對(duì)于每一點(diǎn)P0(x0? y0? z0)?G? 都可定出一個(gè)向量

fx(x0? y0? z0)i?fy(x0? y0? z0)j?fz(x0? y0? z0)k?

這向量稱為函數(shù)f(x? y? z)在點(diǎn)P0(x0? y0? z0)的梯度? 記為grad f(x0? y0? z0)? 即

grad f(x0? y0? z0)?fx(x0? y0? z0)i?fy(x0? y0? z0)j?fz(x0? y0? z0)k?

結(jié)論? 三元函數(shù)的梯度也是這樣一個(gè)向量? 它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致? 而它的模為方向?qū)?shù)的最大值?

如果引進(jìn)曲面

f(x? y? z)?c

為函數(shù)的等量面的概念? 則可得函數(shù)f(x? y? z)在點(diǎn)P0(x0? y0? z0)的梯度的方向與過點(diǎn)P0的等量面 f(x? y? z)?c在這點(diǎn)的法線的一個(gè)方向相同? 且從數(shù)值較低的等量面指向數(shù)值較高的等量面? 而梯度的模等于函數(shù)在這個(gè)法線方向的方向?qū)?shù)?

例3 求grad 1?

x?y22 解 這里f(x,y)?1?

x?y2

2因?yàn)? ?f?f2y2x? ?

??2???x?y(x?y2)2(x2?y2)22y2x1??i?j?

222222x2?y2(x?y)(x?y)所以

grad

例4 設(shè)f(x? y? z)?x2?y2?z2? 求grad f(1? ?1? 2)?

解 grad f?(fx? fy? fz)?(2x? 2y? 2z)?

于是

grad f(1? ?1? 2)?(2? ?2? 4)?

數(shù)量場(chǎng)與向量場(chǎng)? 如果對(duì)于空間區(qū)域G內(nèi)的任一點(diǎn)M? 都有一個(gè)確定的數(shù)量f(M)? 則稱在這空間區(qū)域G內(nèi)確定了一個(gè)數(shù)量場(chǎng)(例如溫度場(chǎng)、密度場(chǎng)等)? 一個(gè)數(shù)量場(chǎng)可用一個(gè)數(shù)量函數(shù)f(M)來

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§8

多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

確定? 如果與點(diǎn)M相對(duì)應(yīng)的是一個(gè)向量F(M)? 則稱在這空間區(qū)域G內(nèi)確定了一個(gè)向量場(chǎng)(例如力場(chǎng)、速度場(chǎng)等)? 一個(gè)向量場(chǎng)可用一個(gè)向量函數(shù)F(M)來確定? 而

F(M)?P(M)i?Q(M)j?R(M)k?

其中P(M)? Q(M)? R(M)是點(diǎn)M的數(shù)量函數(shù)?

利用場(chǎng)的概念? 我們可以說向量函數(shù)grad f(M)確定了一個(gè)向量場(chǎng)——梯度場(chǎng)? 它是由數(shù)量場(chǎng)f(M)產(chǎn)生的? 通常稱函數(shù)f(M)為這個(gè)向量場(chǎng)的勢(shì)? 而這個(gè)向量場(chǎng)又稱為勢(shì)場(chǎng)? 必須注意? 任意一個(gè)向量場(chǎng)不一定是勢(shì)場(chǎng)? 因?yàn)樗灰欢ㄊ悄硞€(gè)數(shù)量函數(shù)的梯度場(chǎng)??

例5 試求數(shù)量場(chǎng)m所產(chǎn)生的梯度場(chǎng)? 其中常數(shù)m>0?

r?r?x2?y2?z2為原點(diǎn)O與點(diǎn)M(x? y? z)間的距離?

?rmx 解 ?(m)??m? ??23?xrr?xrmy?m?mmz()??3? 同理

()??3? ?yrr?zrrymmxz從而

grad??2(i?j?k)?

rrrrr?yxz記er?i?j?k? 它是與OM同方向的單位向量? 則?rrr

grad??mrmer? r

2上式右端在力學(xué)上可解釋為? 位于原點(diǎn)O 而質(zhì)量為m 質(zhì)點(diǎn)對(duì)位于點(diǎn)M而質(zhì)量為l的質(zhì)點(diǎn)的引力? 這引力的大小與兩質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量的乘積成正比、而與它們的距平方成反比? 這引力的方向由點(diǎn)M指向原點(diǎn)? 因此數(shù)量場(chǎng)

§8? 多元函數(shù)的極值及其求法

一、多元函數(shù)的極值及最大值、最小值

定義

設(shè)函數(shù)z?f(x? y)在點(diǎn)(x0? y0)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義? 如果對(duì)于該鄰域內(nèi)任何異于(x0? y0)的點(diǎn)(x? y)? 都有

f(x? y)f(x0? y0))?

高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 mmm的勢(shì)場(chǎng)即梯度場(chǎng)grad稱為引力場(chǎng)? 而函數(shù)稱為引力勢(shì)? rrr高等數(shù)學(xué)教案

§8

多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

則稱函數(shù)在點(diǎn)(x0? y0)有極大值(或極小值)f(x0? y0)?

極大值、極小值統(tǒng)稱為極值? 使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)?

例1 函數(shù)z?3x2?4y2在點(diǎn)(0? 0)處有極小值?

?

當(dāng)(x? y)?(0? 0)時(shí)? z?0? 而當(dāng)(x? y)?(0? 0)時(shí)? z?0? 因此z?0是函數(shù)的極小值?

例2 函數(shù)z??x2?y2在點(diǎn)(0? 0)處有極大值?

?

當(dāng)(x? y)?(0? 0)時(shí)? z?0? 而當(dāng)(x? y)?(0? 0)時(shí)? z?0? 因此z?0是函數(shù)的極大值?

例3 函數(shù)z?xy在點(diǎn)(0? 0)處既不取得極大值也不取得極小值?

?

因?yàn)樵邳c(diǎn)(0? 0)處的函數(shù)值為零? 而在點(diǎn)(0? 0)的任一鄰域內(nèi)? 總有使函數(shù)值為正的點(diǎn)? 也有使函數(shù)值為負(fù)的點(diǎn)?

以上關(guān)于二元函數(shù)的極值概念? 可推廣到n元函數(shù)?

設(shè)n元函數(shù)u?f(P)在點(diǎn)P0的某一鄰域內(nèi)有定義? 如果對(duì)于該鄰域內(nèi)任何異于P0的點(diǎn)P? 都有

f(P)f(P 0))?

則稱函數(shù)f(P)在點(diǎn)P0有極大值(或極小值)f(P0)?

定理1(必要條件)設(shè)函數(shù)z?f(x? y)在點(diǎn)(x0? y0)具有偏導(dǎo)數(shù)? 且在點(diǎn)(x0? y0)處有極值? 則有

fx(x0? y0)?0? fy(x0? y0)?0?

證明 不妨設(shè)z?f(x? y)在點(diǎn)(x0? y0)處有極大值? 依極大值的定義? 對(duì)于點(diǎn)(x0? y0)的某鄰域內(nèi)異于(x0? y0)的點(diǎn)(x? y)? 都有不等式

f(x? y)

特殊地? 在該鄰域內(nèi)取y?y0而x?x0的點(diǎn)? 也應(yīng)有不等式

f(x? y0)

這表明一元函數(shù)f(x? y0)在x?x0處取得極大值? 因而必有

fx(x0? y0)?0?

類似地可證

fy(x0? y0)?0?

從幾何上看? 這時(shí)如果曲面z?f(x? y)在點(diǎn)(x0? y0? z0)處有切平面? 則切平面

z?z0?fx(x0? y0)(x?x0)? fy(x0? y0)(y?y0)成為平行于xOy坐標(biāo)面的平面z?z0?

類似地可推得? 如果三元函數(shù)u?f(x? y? z)在點(diǎn)(x0? y0? z0)具有偏導(dǎo)數(shù)? 則它在點(diǎn)(x0? y0? z0)具有極值的必要條件為

fx(x0? y0? z0)?0? fy(x0? y0? z0)?0? fz(x0? y0? z0)?0?

仿照一元函數(shù)? 凡是能使fx(x? y)?0? fy(x? y)?0同時(shí)成立的點(diǎn)(x0? y0)稱為函數(shù)z?f(x? y)的駐點(diǎn)?

從定理1可知? 具有偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的極值點(diǎn)必定是駐點(diǎn)? 但函數(shù)的駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)?

?

高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案

§8

多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

例如? 函數(shù)z?xy在點(diǎn)(0? 0)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都是零? 函數(shù)在(0? 0)既不取得極大值也不取得極小值?

?

定理2(充分條件)

設(shè)函數(shù)z?f(x? y)在點(diǎn)(x0? y0)的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 又fx(x0? y0)?0? fy(x0? y0)?0? 令

fxx(x0? y0)?A? fxy(x0? y0)?B? fyy(x0? y0)?C?

則f(x? y)在(x0? y0)處是否取得極值的條件如下?

(1)AC?B2>0時(shí)具有極值? 且當(dāng)A<0時(shí)有極大值? 當(dāng)A>0時(shí)有極小值?

(2)AC?B2<0時(shí)沒有極值?

(3)AC?B?0時(shí)可能有極值? 也可能沒有極值?

??

在函數(shù)f(x? y)的駐點(diǎn)處如果 fxx? fyy?fxy2>0? 則函數(shù)具有極值? 且當(dāng)fxx<0時(shí)有極大值? 當(dāng)fxx>0時(shí)有極小值?

極值的求法?

第一步 解方程組

fx(x? y)?0? fy(x? y)?0?

求得一切實(shí)數(shù)解? 即可得一切駐點(diǎn)?

第二步 對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn)(x0? y0)? 求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值A(chǔ)、B和C?

第三步 定出AC?B的符號(hào)? 按定理2的結(jié)論判定f(x0? y0)是否是極值、是極大值 還是極小值?

例4 求函數(shù)f(x? y)?x3?y3?3x2?3y2?9x 的極值?

?fx(x,y)?3x2?6x?9?0 解 解方程組??

2f(x,y)??3y?6y?0?y22求得x?1? ?3? y?0? 2? 于是得駐點(diǎn)為(1? 0)、(1? 2)、(?3? 0)、(?3? 2)?

再求出二階偏導(dǎo)數(shù)

fxx(x? y)?6x?6? fxy(x? y)?0? fyy(x? y)??6y?6?

在點(diǎn)(1? 0)處? AC?B2?12?6>0? 又A>0? 所以函數(shù)在(1? 0)處有極小值f(1? 0)??5?

在點(diǎn)(1? 2)處? AC?B2?12?(?6)<0? 所以f(1? 2)不是極值?

在點(diǎn)(?3? 0)處? AC?B??12?6<0? 所以f(?3? 0)不是極值?

在點(diǎn)(?3? 2)處? AC?B2??12?(?6)>0? 又A<0? 所以函數(shù)的(?3? 2)處有極大值f(?3? 2)?31?

應(yīng)注意的問題?

不是駐點(diǎn)也可能是極值點(diǎn)?

高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 2高等數(shù)學(xué)教案

§8

多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

例如? ? 函數(shù)z??x2?y2在點(diǎn)(0? 0)處有極大值? 但(0? 0)不是函數(shù)的駐點(diǎn)? 因此? 在考慮函數(shù)的極值問題時(shí)? 除了考慮函數(shù)的駐點(diǎn)外? 如果有偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)? 那么對(duì)這些點(diǎn)也應(yīng)當(dāng)考慮?

最大值和最小值問題? 如果f(x? y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)? 則f(x? y)在D上必定能取得最大值和最小值? 這種使函數(shù)取得最大值或最小值的點(diǎn)既可能在D的內(nèi)部? 也可能在D的邊界上? 我們假定? 函數(shù)在D上連續(xù)、在D內(nèi)可微分且只有有限個(gè)駐點(diǎn)? 這時(shí)如果函數(shù)在D的內(nèi)部取得最大值(最小值)? 那么這個(gè)最大值(最小值)也是函數(shù)的極大值(極小值)? 因此? 求最大值和最小值的一般方法是? 將函數(shù)f(x? y)在D內(nèi)的所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值及在D的邊界上的最大值和最小值相互比較? 其中最大的就是最大值? 最小的就是最小值? 在通常遇到的實(shí)際問題中? 如果根據(jù)問題的性質(zhì)? 知道函數(shù)f(x? y)的最大值(最小值)一定在D的內(nèi)部取得? 而函數(shù)在D內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)? 那么可以肯定該駐點(diǎn)處的函數(shù)值就是函數(shù)f(x? y)在D上的最大值(最小值)?

例5 某廠要用鐵板做成一個(gè)體積為8m3的有蓋長方體水箱? 問當(dāng)長、寬、高各取多少時(shí)? 才能使用料最省?

解 設(shè)水箱的長為xm? 寬為ym? 則其高應(yīng)為A?2(xy?y?8m? 此水箱所用材料的面積為 xy8888?x?)?2(xy??)(x?0, y?0)?

xyxyxy令A(yù)x?2(y?88? A?2(x?)?0? 得x?2? y?2?)?0y22yx

根據(jù)題意可知? 水箱所用材料面積的最小值一定存在? 并在開區(qū)域D?{(x? y)|x>0? y>0}內(nèi)取得? 因?yàn)楹瘮?shù)A在D內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)? 所以 此駐點(diǎn)一定是A的最小值點(diǎn)? 即當(dāng)水箱的長為2m、寬為2m、高為? 因此A在D內(nèi)的唯一駐點(diǎn)(2? 2)處取得最小值? ?即長為2m、寬為2m、高為

從這個(gè)例子還可看出?

在體積一定的長方體中? 以立方體的表面積為最小??

例6 有一寬為24cm的長方形鐵板? 把它兩邊折起來做成一斷面為等腰梯形的水槽? 問怎樣折法才能使斷面的面積最大？?

解 設(shè)折起來的邊長為xcm? 傾角為?? 那末梯形斷面的下底長為24?2x? 上底長為24?2x?cos?? 高為x?sin?? 所以斷面面積

高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 8?2m時(shí)? 水箱所用的材料最省?

?2?28?2m時(shí)? 所用材料最省? ?2?2高等數(shù)學(xué)教案

§8

多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

A?1(24?2x?2xcos??24?2x)?xsin??

2即A?24x?sin??2x2sin??x2sin? cos?(0

可見斷面面積A是x和?的二元函數(shù)? 這就是目標(biāo)函數(shù)? 面求使這函數(shù)取得最大值的點(diǎn)(x? ?)?

令A(yù)x?24sin??4xsin??2xsin? cos??0?

A??24xcos??2x2 cos??x2(cos2??sin2?)?0?

由于sin? ?0? x?0? 上述方程組可化為

??12?2x?xcos??0?

22??2xcos??x(cos??sin?)?0?24cos解這方程組? 得??60?? x?8cm?

根據(jù)題意可知斷面面積的最大值一定存在? 并且在D?{(x? y)|0

二、條件極值

拉格朗日乘數(shù)法

對(duì)自變量有附加條件的極值稱為條件極值?

例如? 求表面積為a而體積為最大的長方體的體積問題? 設(shè)長方體的三棱的長為x? y? z? 則體積V?xyz? 又因假定表面積為a2? 所以自變量x? y? z還必須滿足附加條件2(xy?yz?xz)?a?

?

這個(gè)問題就是求函數(shù)V?xyz在條件2(xy?yz?xz)?a2下的最大值問題? 這是一個(gè)條件極值問題?

對(duì)于有些實(shí)際問題? 可以把條件極值問題化為無條件極值問題?

?

例如上述問題? ? 由條件2(xy?yz?

V?xz)?a22

2? 解得z?a2?2xy2(x?y)? 于是得

xya2?2xy()?

2(x?y)只需求V的無條件極值問題?

在很多情形下? 將條件極值化為無條件極值并不容易? 需要另一種求條件極值的專用方法? 這就是拉格朗日乘數(shù)法?

現(xiàn)在我們來尋求函數(shù)z?f(x? y)在條件?(x? y)?0下取得極值的必要條件?

如果函數(shù)z?f(x? y)在(x0? y0)取得所求的極值? 那么有

?(x0? y0)?0?

假定在(x0? y0)的某一鄰域內(nèi)f(x? y)與?(x? y)均有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)? 而?y(x0? y0)?0?

由隱函數(shù)存在定理? 由方程?(x? y)?0確定一個(gè)連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)y??(x)? 將其代入目標(biāo)函數(shù)z?f(x? y)?

高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案

§8

多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

得一元函數(shù)

z?f [x? ?(x)]?

于是x?x0是一元函數(shù)z?f [x? ?(x)]的極值點(diǎn)? 由取得極值的必要條件? 有

dzdxx?x0?fx(x0,y0)?fy(x0,y0)dydxx?x0?0?

即

fx(x0,y0)?fy(x0,y0)?x(x0,y0)?0?

?y(x0,y0)從而函數(shù)z?f(x? y)在條件?(x? y)?0下在(x0? y0)取得極值的必要條件是

fx(x0,y0)?fy(x0,y0)?x(x0,y0)?0與?(x0? y0)?0同時(shí)成立?

?y(x0,y0)

設(shè)fy(x0,y0)?y(x0,y0)???? 上述必要條件變?yōu)?/p>

?fx(x0,y0)???x(x0,y0)?0?

?fy(x0,y0)???y(x0,y0)?0?

??(x,y)?000?

拉格朗日乘數(shù)法? 要找函數(shù)z?f(x? y)在條件?(x? y)?0下的可能極值點(diǎn)? 可以先構(gòu)成輔助函數(shù)

F(x? y)?f(x? y)???(x? y)?

其中?為某一常數(shù)?

然后解方程組

?Fx(x,y)?fx(x,y)???x(x,y)?0?

?Fy(x,y)?fy(x,y)???y(x,y)?0?

??(x,y)?0?由這方程組解出x? y及?? 則其中(x? y)就是所要求的可能的極值點(diǎn)?

這種方法可以推廣到自變量多于兩個(gè)而條件多于一個(gè)的情形?

至于如何確定所求的點(diǎn)是否是極值點(diǎn)? 在實(shí)際問題中往往可根據(jù)問題本身的性質(zhì)來判定?

例7 求表面積為a而體積為最大的長方體的體積?

解 設(shè)長方體的三棱的長為x? y? z? 則問題就是在條件

2(xy?yz?xz)?a2

下求函數(shù)V?xyz的最大值?

構(gòu)成輔助函數(shù)

F(x? y? z)?xyz??(2xy ?2yz ?2xz ?a2)?

解方程組

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§8

多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

?Fx(x,y,z)?yz?2?(y?z)?0??Fy(x,y,z)?xz?2?(x?z)?0?

?Fz(x,y,z)?xy?2?(y?x)?0?2??2xy?2yz?2xz?a得x?y?z?6a?

6這是唯一可能的極值點(diǎn)?

因?yàn)橛蓡栴}本身可知最大值一定存在? ?所以最大值就在這個(gè)可能的值點(diǎn)處取得? 此時(shí)V?

高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組

63a?

36高等數(shù)學(xué)教案

§8

多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案

§8

多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組

第二篇：多元函數(shù)微分學(xué)

多元函數(shù)的極限與連續(xù)

一、平面點(diǎn)集與多元函數(shù)

（一）平面點(diǎn)集:平面點(diǎn)集的表示: E?{(x,y)|(x,y)滿足的條件}.1.常見平面點(diǎn)集:

⑴ 全平面和半平面: {(x,y)|x?0}, {(x,y)|x?0}, {(x,y)|x?a}, {(x,y)|y?ax?b}等.⑵ 矩形域: [a,b]?[c,d], {(x,y)|x|?|y|?1}.⑶ 圓域: 開圓, 閉圓, 圓環(huán).圓的個(gè)部分.極坐標(biāo)表示, 特別是 {(r,?)|r?2acos?}和{(r,?)|r?2asin?}.⑷ 角域: {(r,?)|?????}.⑸ 簡單域:X?型域和Y?型域.2.鄰域: 圓鄰域和方鄰域，圓鄰域內(nèi)有方鄰域，方鄰域內(nèi)有圓鄰域.空心鄰域和實(shí)心鄰域, 空心方鄰域與集

{(x,y)|0?|x?x0|?? , 0?|y?y0|??}的區(qū)別.（二）點(diǎn)集的基本概念: 1.內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)和界點(diǎn)：集合E的全體內(nèi)點(diǎn)集表示為intE, 邊界表示為?E.集合的內(nèi)點(diǎn)?E, 外點(diǎn)?E, 界點(diǎn)不定.2.聚點(diǎn)和孤立點(diǎn): 孤立點(diǎn)必為界點(diǎn).例1 確定集E?{(x,y)|3.開集和閉集: 1?(x?1)2?(y?2)2?4 }的內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)集、邊界和聚點(diǎn).intE?E時(shí)稱E為開集,E的聚點(diǎn)集?E時(shí)稱E為閉集.存在非開非閉集.R2和空集?為既開又閉集.4.開區(qū)域、閉區(qū)域、區(qū)域：以上常見平面點(diǎn)集均為區(qū)域.5.有界集與無界集: 6.點(diǎn)集的直徑d(E)：兩點(diǎn)的距離?(P1 , P2).7.三角不等式：

|x1?x2|（或|y1?y2|）?(x1?x2)2?(y1?y2)2? |x1?x2|?|y1?y2|.（三）二元函數(shù): 1.二元函數(shù)的定義、記法、圖象： 2.定義域： 例4 求定義域：

ⅰ> f(x,y)?3.有界函數(shù): 4.n元函數(shù): 9?x2?y2x2?y2?1;ⅱ> f(x,y)?lny.ln(y?x2?1)

二、二元函數(shù)的極限

（一）.二元函數(shù)的極限: 1.二重極限limf(P)?A的定義: 也可記為P?P0P?D(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)?A或x?x0y?y0limf(x,y)?A

例1 用“???”定義驗(yàn)證極限

(x,y)?(2,1)lim(x2?xy?y2)?7.[1]P94 E1.xy2?0.例2 用“???”定義驗(yàn)證極限 lim2x?0x?y2y?0?x2?y2,(x,y)?(0,0),?xy例3 設(shè)f(x,y)??x2?y

2?0 ,(x,y)?(0,0).? 證明(x,y)?(0,0)limf(x,y)?0.(用極坐標(biāo)變換)

P?P0P?ETh 1 limf(P)?A?對(duì)D的每一個(gè)子集E ,只要點(diǎn)P0是E的聚點(diǎn),就有l(wèi)imf(P)?A.P?P0P?D推論1 設(shè)E1?D,P0是E1的聚點(diǎn).若極限limf(P)不存在, 則極限limf(P)也不存在.P?P0P?E1P?P0P?D推論2 設(shè)E1,E2?D,P0是E1和E2的聚點(diǎn).若存在極限limf(P)?A1,limf(P)?A2，P?P0P?E1P?P0P?E2但A1?A2,則極限limf(P)不存在.P?P0P?D推論3 極限limf(P)存在?對(duì)D內(nèi)任一點(diǎn)列{ Pn },Pn?P0但Pn?P0,數(shù)列{f(Pn)}P?P0P?D ?xy ,(x,y)?(0,0),?22收斂 例4 設(shè)f(x,y)??x?y 證明極限limf(x,y)不存在.(x,y)?(0,0)?0 ,(x,y)?(0,0).?(考慮沿直線y?kx的方向極限).?例5 設(shè)f(x,y)???1,0,當(dāng)0?y?x2,???x???時(shí)，證明極限limf(x,y)不

(x,y)?(0,0)其余部分.存在.二重極限具有與一元函數(shù)極限類似的運(yùn)算性質(zhì).例6 求下列極限: ⅰ>(x,y)?(0,0)limsinxyx2ylim;ⅱ>;(x,y)?(3,0)yx2?y2 ⅲ>(x,y)?(0,0)limxy?1?1ln(1?x2?y2);ⅳ> lim.22(x,y)?(0,0)xyx?yf(x,y)???的定義: 3． 極限(x,y)?(x0,y0)lim其他類型的非正常極限，(x,y)?無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的情況.例7 驗(yàn)證(x,y)?(0,0)lim1???.222x?3yEx

[1]P99—100 1⑴—⑹，4，5.（二）累次極限:

1.累次極限的定義: 定義.例8 設(shè)f(x,y)?xy, 求在點(diǎn)(0 , 0)的兩個(gè)累次極限.22x?yx2?y2例9 設(shè)f(x,y)?2, 求在點(diǎn)(0 , 0)的兩個(gè)累次極限.2x?y例10 設(shè)f(x,y)?xsin11?ysin, 求在點(diǎn)(0 , 0)的兩個(gè)累次極限與二重極限.yx 2.二重極限與累次極限的關(guān)系:

⑴ 兩個(gè)累次極限存在時(shí), 可以不相等.(例9)

⑵ 兩個(gè)累次極限中的一個(gè)存在時(shí), 另一個(gè)可以不存在.例如函數(shù)f(x,y)?xsin1y在點(diǎn)(0 , 0)的情況.⑶ 二重極限存在時(shí), 兩個(gè)累次極限可以不存在.(例10)

⑷ 兩個(gè)累次極限存在(甚至相等)??二重極限存在.(參閱例4和例8).綜上, 二重極限、兩個(gè)累次極限三者的存在性彼此沒有關(guān)系.但有以下確定關(guān)系.Th 2 若全面極限(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)和累次極限limlimf(x,y)(或另一次序)都存在,則

x?x0y?y0必相等.推論1 二重極限和兩個(gè)累次極限三者都存在時(shí), 三者相等.注: 推論1給出了累次極限次序可換的一個(gè)充分條件.推論2 兩個(gè)累次極限存在但不相等時(shí), 全面極限不存在.注: 兩個(gè)累次極限中一個(gè)存在,另一個(gè)不存在??全面極限不存在.參閱⑵的例.三、二元函數(shù)的連續(xù)性

（一）二元函數(shù)的連續(xù)概念：

?xy22 , x?y?0 ,22??x?y例1 設(shè)f(x,y)??

?m , x2?y2?0.??1?m2證明函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(0 , 0)沿方向y?mx連續(xù).?1 , 0?y?x2, ???x??? ,例1 設(shè)f(x,y)??

([1]P101)?0 , 其他.證明函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(0 , 0)不全面連續(xù)但在點(diǎn)(0 , 0)f對(duì)x和y分別連續(xù).2.函數(shù)的增量: 全增量、偏增量.用增量定義連續(xù)性.3.函數(shù)在區(qū)域上的連續(xù)性.4.連續(xù)函數(shù)的性質(zhì): 運(yùn)算性質(zhì)、局部有界性、局部保號(hào)性、復(fù)合函數(shù)連續(xù)性.

第三篇：多元函數(shù)微分學(xué)復(fù)習(xí)

第六章 多元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用

6.1 多元函數(shù)的基本概念 一、二元函數(shù)的極限

定義 f(P)= f(x，y)的定義域?yàn)镈, oP0(x0,y0)是D的聚點(diǎn).對(duì)常數(shù)A，對(duì)于任意給定的正數(shù)?，總存在正數(shù)?，使得當(dāng)點(diǎn)P(x，y)∈D? U(P0,?)，即

0?|P0P|?

(x?x0)?(y?y0)??22

時(shí)，都有

|f(P)–A|=|f(x，y)–A|<

?

成立，那么就稱常數(shù)A為函數(shù)f(x，y)當(dāng)(x，y)→(x0，(x,y)?(x0,y0)y0)時(shí)的極限，記作

y0)), lim f(x,y)?A或f(x，y)→A((x，y)→(x0,也記作

P?P0limf(P)?A

或

f(P)→A(P→P0)為了區(qū)別于一元函數(shù)的極限，上述二元函數(shù)的極限也稱做二重極限.二、二元函數(shù)的連續(xù)性

(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)?f

(x0,y0)，(?x,?y)?(0,0)lim?z?0

如果函數(shù)f(x , y)在D的每一點(diǎn)都連續(xù)，那么就稱函數(shù)f(x , y)在D上連續(xù)，或者稱f(x , y)是D上的連續(xù)函數(shù).如果函數(shù)f(x , y)在點(diǎn)P0(x0,y0)不連續(xù)，則稱P0(x0,y0)為函數(shù)f(x , y)的間斷點(diǎn).多元連續(xù)函數(shù)的和、差、積仍為連續(xù)函數(shù)；連續(xù)函數(shù)的商在分母不為零處仍連續(xù)；多元連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)也是連續(xù)函數(shù)。一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的.多元初等函數(shù)的極限值就是函數(shù)在該點(diǎn)的函數(shù)值，即

p?p0limf(P)?f(P0).有界性與最大值最小值定理 在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，必定在D上有界，且能取得它的最大值和最小值.介值定理 在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)必取復(fù)介于最大值和最小值之間的任何值。

三、例題 例1 設(shè)f(x,y)?x?y?g(x?y)，已知f(x,0)?xf(x,0)?x?g(x)?x222，求

f(x,y)的表達(dá)式。

2解 由題設(shè)，有g(shù)(x)?x?x2，于是

。f(x,y)?x?y?[(x?y)?(x?y)]，即 f(x,y)?(x?y)?2y例2 證明極限limxyx?y623不存在。

x?0y?0 證 當(dāng)(x,y)沿三次拋物線y?kx

3趨于(0,0)時(shí)，有

limxyx?yxyx?y。

623623x?0y?0?limx?kx62336x?0y?0x?kx?limk1?k2

x?0y?0其值隨k去不同值而取不同值。故極限lim不存在。

x?0y?0 例3 求極限limxy?1?1x?y2222x?0y?0 解

原式?limxy2222x?0y?0x?y?1xy?1?1?z?x22?12limxx?0y?022y22x?y?0

6.2 偏導(dǎo)數(shù)與高階導(dǎo)數(shù) 6.2.1 偏導(dǎo)數(shù)

一、概念

說明對(duì)x求導(dǎo)視z?f(x,y)，y?limf(x??x,y)?f(x,y)?x

?x?0為常數(shù)，幾何意義也說明了這個(gè)問題

二元函數(shù)z=f(x , y)在點(diǎn)M0(偏導(dǎo)數(shù)數(shù)

x0,y0)的偏導(dǎo)數(shù)有下述幾何意義.0fx?(x0,y0)，就是曲面z?f(x,y)與平面y?y0的交線在點(diǎn)M0處的切線M0Tx對(duì)x軸的斜率.同樣，偏導(dǎo)fy(x0,y0)的幾何意義是曲面z?f(x,y)與平面x=x0的交線在點(diǎn)M 2 基于如上理由，求

處的切線M0Ty對(duì)y軸的斜率.?z?x(x0,y0)時(shí)，（因此可能簡化函數(shù)）再對(duì)xy0可先代入，求導(dǎo)

例 f(x,y)?x?arctany(x?arctany(x??arctany)?)，求fx?(1,0)。

?n重 解 f(x,0)?x，fx?(x,0)?1，fx?(1,0)?1

二、可微，偏導(dǎo)數(shù)存在，連續(xù)的關(guān)系

?偏導(dǎo)數(shù)存在可微???連續(xù)

三、高階偏導(dǎo)數(shù)

設(shè)函數(shù)z=f(x , y)在區(qū)域D內(nèi)具有偏導(dǎo)數(shù)，偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)?可微，??fxy和

??fyx都連續(xù)，則

??fxy=

??fyx;

?z?x2?fx(x,y),?z?y?fy(x,y)，則這兩個(gè)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)z=f(x , y)的二階

2偏導(dǎo)數(shù)。按照對(duì)變量求導(dǎo)次序的不同有下列四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)：

???z??z???z??z?f(x,y),??fxy(x,y),?????xx2?x??x??x?y??x??x?y???z???x??y??z????f(x,y),yx??y??y?x2??z????y??z??fyy(x,y).2???y?2

四、偏導(dǎo)數(shù)，微分運(yùn)算公式 1．z 2．dz ?f(x,y)，u?u(x,y)，v?v(x,y)

?z?x??f?u?u?x??f?v?v?x

?z?y??f?u?u?y??f?v?v?y

?fu?du?fv?dv?fu??(u?dx?u?ydy)?fv??(v?dx?v?ydy)xx?(fu??u??fv??v?)dx?(fu??u?y?fv??v?y)dyxx

d(u?v)?du?dvd(u?v)?udv?vdu?z?x??2

?u?vdu?udvd???2v?v?

3．F(x,y,z)?0 確定z?z(x,y)，F(xiàn)x?Fz?；

?z?y2??Fy?Fz?6.2.2 求偏導(dǎo)數(shù)算例 例1（1）z?arctanx?y1?xy，求

?z?x，?z?y，?z?x22，?z?x?y。

解 ?z?x?1?x?y1???1?xy??11?y2????2?1?(1?xy)?(x?y)(?y)(1?xy)?11?x2

由對(duì)稱性 ?z?y2，?z?x22?2?2x(1?x)，求

22；

2?z?x?y22?0；（2）u?lnx?y?z2?u?x22??u?y2??u?z2。

解?u?x?122x222x?y?z?xx?y?z22，2 ?u?x由對(duì)稱性 22?2x?y?z?x?2x(x?y?z)22222222222??x?y?z2222222222(x?y?z)22

?u?y222??x?y?z222，?u?z1222(x?y?z)?u?y22?x?y?z2(x?y?z)2

故 ?u?x2??u?z22?x?y?z222。

（3）?xy?22f(x,y)??x?y?0??x?022x?y?0，求

fx?(0,0)，fy?(0,0)

x?y?022 解 fx?(0,0)?lim?x?0?x?0?x22?0，同理fy?(0,0)?0；

?u?x，例2 u?yf(x?y,xy)，求

?u?x?y2。

解 ?u?x22?y?f1??2x?f2??y??2xyf1??yf2?

?u?x?y

??(?2y)?f12??x??2yf2??y2?f21??(?2y)?f22??x? ?2xf1??2xy?f112???2x2yf12???2yf2??2y3f21???xy2f22?? ?2xf1??4xyf11

例3

?z?y?z?f(xy,)?g??，求

?x?yx?x?y2

解

y?y????f1??y?f2????2??g???2??x?x??x?2?z

1?1y?1?????x?f12????????f1??y?f11?f?fx?f?22222?21???x?yx?xx?x??y1yy1??????2f2?????3f22???2g??f12f?f1??xyf11xxxxxy)，求du。例4 u?f(x?y,x?y,x解（1）?z1xx2g??g??

yx2g??1x

y3 du??u?xdx??u?ydy

?u1y??u??f1??f2?(?1)?f3??f1??f2??f3????2?；?xx?x??y

故

y1????du??f1??f2??2f3??dx??f1??f2??f3??dy xx????xdy?ydxd(x?y)?f2?d(x?y)?f3?解（2）du?f1?2x

?f1?(dx?dy)?f2?(dx?dy)?f3??[f1??f2??yx2xdy?ydxx1x2

f3?]dx?[f1??f2??f3?]dy

例5 設(shè)z?z(x,y)由方程F(x?zy,y?zx)?0，確定，F(xiàn)有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，求

?z?x，?z?y。

解（1）方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)

?z????z??x?z??????0 F1??1??x??F2???x2y?x???????????zyz?F1??2F2??xyF1??F2??zxx??11?xxF1??yF2?F1??F2?yx；

方程兩邊對(duì)y求導(dǎo)

??z??y?z??1?z??y??F????F1??1?2?2??0 ??yx?y??????zxz??F?FF??xyF2?122?zyy ??11?yxF1??yF2?F1??F2?yxzy)?F2?d(y?zx2；

解（2）方程兩邊取微分 F1?d(x?)?0)?F2?(dy?zy2F1?(dx?ydz?zdyyzx2xdz?zdxx2)?0

(?F1??

F2?)dx?(1yF1??1xF1??F2?)dy dz?F2??xyF1???yzF2?； 則 ?z?x?F1???1yF1??zx12F2??F2??xyF1??yzxxF1??yF2?F2?；

?z?xxxF1??yF2?dydxx 例6 設(shè)y?f(x,t)，t?t(x,y)由F(x,y,t)?0確定F,f可微，求。

解（1）對(duì)方程取微分

?(1)?dy?fx?dx?ft?dt?????Fxdx?Fydy?Ftdt?0?(2)dy?fx?dxft??0

由（1）解得dt代入（2）得 Fx?dx?Fy?dy?Ft?

則 ?Fx??Ft?fx?/ft??Fx?ft??Ft?fx?dy?dx?dxFt????Ff?FytFy??ft?解（2）

dy，即

dx??Fx?ft??Ft?fx?Fy?ft??F?

y?f(x,t(x,y))

dy??t?tdy??fx??ft?????dx??x?ydx?

dydxfx??ft??1?ft???t 而?x?tyx?t?x??Fx?Ft?；

?t?y?u?x22??Fy?Ft?，則

dydx??Fx?ft??Ft?fx?Fy?ft??F?2

?y，? 例7 證明：當(dāng)??y時(shí)，方程x2?2xy?u?x?y2?y2?u?y2?0可化成標(biāo)準(zhǔn)形式

?u??22?0，其中u?u(x,y)二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)。

證明：將u看成由u(?,?)，而???yx，??y復(fù)合成x,y的函數(shù)，u?u(?(x,y),?(y))

則 ?u?x?2?u??????x2?u???u???u1?u?u?y??u??????????2?；

???x??y???y???y??x??22y??u1?u???2?2??；

?2?x?yx??x???x?????

?u?x222?u?y??uy???2??223???x???x?u21?u

?u22221??u1?u??u1?u?????1

??222?yx???x?????????x??2則 x?u?x22?2xy?u?x?y2?y2?u??22???y2?u??22?0??u??22?0

小結(jié)

① 顯函數(shù)（復(fù)合）二階混合偏導(dǎo)數(shù)

② 隱函數(shù)求偏導(dǎo)，會(huì)用微分法，用復(fù)合法習(xí)題 1．z?f(u)，u由方程u??(u)?

?xyp(t)dt確定的x,y的函數(shù)，f,?可微，P,??連續(xù)，??(u)?1，求P(y)?z?x?P(x)?z?y

（答案：0）（蔡 P146）

22．z?z(x,y)由z?e?xyz確定，求

?z?x?y；

23．F(x?y,y?z)?1確定了隱函數(shù)z?z(x,y)，F(xiàn)y?y(x),z?z(x)是由方程z?xf(x?y)和

具有連續(xù)二階偏導(dǎo)數(shù)求

?z?y?x

4．設(shè)5．t6．zF(x,y,z)?0確定，f,F有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求

dzdx。

?0，f可微且滿足

kf(tx,ty,tz)?tf(x,y,z)，證明 xfx??yfy??zfz??kf。

。?f(x,y)于(1,1)點(diǎn)可微，且f(1,1)?1，fx?(1,1)?23x?1。，fy?(1,1)?3。?(x)?f(x,f(x,x))求ddx[?(x)]?u?x?2y7．設(shè)變換??v?x?ay8．設(shè)可把方程6?z?x22??z?x?y2??z?yx22?0化簡為

?z?u?v?z?x222?02，求常數(shù)a的值。（a＝3）。

f(u)u有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)，而?uz?f(esiny)滿足

??z?y2?ez2x，求

f(u)。（f(u)?c1e?c2e）

6.2 偏導(dǎo)數(shù)應(yīng)用

偏導(dǎo)數(shù)應(yīng)用注意四個(gè)方面：空間曲面曲線切平面、法線、切線、法平面；方向?qū)?shù)；梯度、散度、旋度；極值與條件極值。

6.3.1 內(nèi)容小結(jié)

1． 空間曲線切線與法平面

?x?x(t)?1）?y?y(t)

?z?z(t)??切向量v?(xt?,yt?,zt?)

切線方程：

x?x0xt??y?y0yt??z?z0zt?

?(x法平面方程：xt?x0)?yt?(y?y0)?zt?(z?z0)?0

?x?x?y?y(x)???y?y(x)2）??z?z(x)?z?z(x)?切線方程：

?v??(1,y?,z?)類似的

x?x01?y?y0y??z?z0z?

法平面方程：x?x0?y?(y?y0)?z?(z?z0)?0

??Fz?z??0??F(x,z,y)?0xx?Fx??Fy?y?3）????v?(1,y?,z?)xx???????G(x,y,z)?0?Gx?Gyyx?Gzzx?02． 空間曲面切平面與法線

?1）F(x,y,z)?0,n?(Fx?,Fy?,Fz?)|P0切平面：Fx?|p0法線：

(x?x0)?Fy?|p0(y?y0)?Fz?|p0(z?z0)?0x?x0Fx?|p0?y?y0Fy?|p0?z?z0Fz?|p0

?2）z?f(x,y)?F?f(x,y)?z?n?(fx?,fy?,?1)

切平面：類似地

fx?(x?x0)?fy?(y?y0)?(z?z0)?0

法線：x?x0fx??y?y0fy??z?z0?1

?x?x(u,v)?3）*?y?y(u,v)

?z?z(u,v)??（參數(shù)方程形式）

?切線 ?,yu?,zu?),v2?(xv?,yv?,zv?)v1?(xu??????i?xvj?yu?yv?n?v1?v2?xu??(y,z)?(z,x)?(x,y)????zu??(u,v),?(u,v),?(u,v)?????zvk

3． 方向?qū)?shù)

u?u(x,y,z)?u?l??u?xcos???u?ycos???u?zcos??gradu?l???（梯度在l方向投影）

4． 梯度、散度、旋度

?????????，??

??x?y?z???u?u?u??gradu??u??，????x?y?z??

????divA??A??P?x??Q?y??R?z??

rotA???A?i??xPj??yQk??zR

6.3.2 例題

例1 求曲線x??t,y??t,z?t2?23上與平面x?2y?z?4平行的切線方程。

????解 切向量?2?(1,?2t,3t)，n?(1,2,1)由??n，則??n?0，即，1?4t?3t?0?t1?1,t2??當(dāng)t?1時(shí) ??(1,?2,3),x1?1,y1??1,z1?1，切線方程為?13?x?11?y?1?2?z?13

當(dāng)t時(shí) ?2?(1,?21111,),x2?,y1??,z1?333927，x?切線方程為13?y??119?23z?13127

22??x?y?10例2 求空間曲線?22??x?z?10在點(diǎn)(3,1,1)處的切線方程和法平面方程。

解 22??x?y?10?22??x?z?10確定了

y?y(x),z?z(x)，對(duì)x求導(dǎo)??2x?2yy??0?2x?2zz??0x?3y?1?3，y???z????z?1?3

xyxz

?于

1法平面方程為x?3?3(y?1)?3(z?1)?0，即x?3y?3z?3?0 例3 求曲面x2M(3,1,1)點(diǎn)：y???3,z???3,v?(1,?3,?3)切線方程為 ??y?z?x的切平面。使之與平面x?y???22z2?2?垂直，同時(shí)也與x?y?z?2垂直。

?解 切平面法向量n??(2x?1,2y,2z)，n1?(1,?1,?12)，n2?(1,?1,?1)，依題意

n1?n?0

??既有2x ?1?2y?z?0

（1）

（2）n2?n?0 2x?1?2y?12z?0

聯(lián)立（1）（2）和原方程 ?2?2x??4??2得解?y?4??z?0???2?2x??4??2，?y??4??z?0??

? n01??2?2?22???，0?，n02???,?,0? ?2???222????切平面22(x?2?42)?22(y?24)?0

即

x?y?x?y?1?21?222

得

?2?2?2?22?x???(y?)?0 ??2?424??x?2y?3z222即

例4 求u解 令

在(1,1,1)點(diǎn)沿x2?y?z?3的外法線方向的方向?qū)?shù)。

22222F(x,y,z)?x?y?z?3，F(xiàn)x??2x,Fy??2y,Fz??2z?于P(1,1,1)點(diǎn)n?(2,2,2)，n?(??13,13,13)

?u?n??u?xcos???u?ycos???u?zcos?111?12???2x??4y?6z|??43?(1,1,1)3333???

例5 設(shè)f(x,y)在?f?L3?|p0??f?x1??11??1?p0點(diǎn)可微，L1??，?,L2????2222????7。，?f?L1?1,?f?L2?0

?試確定L3使52?f?ycos?1?1，?f?L2??f?xcos?2??f?ycos?2?0，則 解 ?f?L1cos?1? ??f??x????f???x12??f?y12?1??f?x?12?y,?f?12

1??f1??0?????y2?2?? 設(shè)L3?(cos?3,cos?3)

從而?f?L3??f?xcos?3?75?f?xcos?3?75235 即

1245cos?3? 此時(shí)cos12cos?3?45或cos752

cos?3?sin?3??，解得cos??3?或cos?3??3??3?35

?34?即L3??,?55??例6 或L32?43???,? ?55?2 u?lnx?y?z2，求div2(gradu)。

解 div(gradu)???(?u)??u?12ln(x?y?z)222?u?x22??u?y222??u?z22。

u?，2?u?x22?xx?y?z222222，2222?u?x22?x?y?z?x?2x(x?y?z)??x?y?z222(x?y?z)

由對(duì)稱性 ?u?y22?x?y?z222222(x?y?z)2，?u?z22?x?y?z222222(x?y?z)2

從而 div(gradu)?1x?y?z222

例7 設(shè)a, b, c為常數(shù)，F(xiàn)證明(u,v)有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)。

證 x?ay?b,)?0上任一點(diǎn)切平面都通過某定點(diǎn)。z?cz?c11x?ay?b?，F(xiàn)y??F2??，F(xiàn)???F??Fx??F1???F?z1222z?cz?c(z?c)(z?c)F（則切平面方程為 F1??取1z?c(X?x)?F2??1z?c(Y?y)?1(z?c)2?F?(x?a)?F2?(y?b)?(z?y)?0

x?a,Y?b,Z?c，則對(duì)任一的(x,y,z)點(diǎn)上式均滿足，即過任一點(diǎn)的切平面都過(a,b,c)點(diǎn)。

。(x?az,y?bz)?0上任一點(diǎn)切平面都通過某定直線平行（F具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)）

?例8 設(shè)a,b為常數(shù)，證明曲面F證

?Fx??F1?，F(xiàn)y??F2?，F(xiàn)z???aF1??bF2?，即n?(F1?,F2?,?aF1??bF2?)，????取l?(a,b,1)，則n?l?0，n?l，曲面平行l(wèi)，取直線

x?x0a??y?y0b?z?z01，則曲面上任一點(diǎn)的切平面都與上述直線平行。例9 求二元函數(shù)u5方向?qū)?shù)最大？這個(gè)最大的方向?qū)?shù)值是多少？u沿那個(gè)方向減少得最快，沿哪個(gè)方向u的值不變？

解 ?x?xy?y22在點(diǎn)M(?1,1)沿方向n?1(2,1)的方向?qū)?shù)，并指出u在該點(diǎn)沿哪個(gè)方向的gradu|(?1,1)?(2x?y,2y?x)|(?1,1)?(?3,3)，u?M在點(diǎn)M(?1,1)沿n?方向的方向?qū)?shù)為

?u?n1?3?2??(gradu)?n|M?(?3,3)??,???5?5?5，方向?qū)?shù)取得最大值的方向?yàn)樘荻确较?，其最大值為為求使u變化的變化率為零的方向，令l

?gradu|M?32，u沿負(fù)梯度方向減少最快。

?(cos?,sin?)，則，?u?l?u?lM?????(gradu|M)?l??3cos??3sin??32sin????4???4或?令?0，得??????4，故在點(diǎn)(?1,1)處沿???4和???4函數(shù)u得值不變化。

例10 一條鯊魚在發(fā)現(xiàn)血腥味時(shí)，總是沿血腥味最濃的方向追尋。在海上進(jìn)行試驗(yàn)表明，如果血源在海平面上，建立坐標(biāo)系味：坐標(biāo)原點(diǎn)在血源處，xOy2坐標(biāo)面為海平面，Oz軸鉛直向下，則點(diǎn)(x,224y,z)處血源的濃度C（每百萬份水中所含血的份數(shù)）的近似值C?e?(x?y?2z)/10。

（1）求鯊魚從點(diǎn)?1,1,??1??（單位為海里）出發(fā)向血源前進(jìn)的路線?2???的方程；

（2）若鯊魚以40海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，鯊魚從?1,1,1??點(diǎn)出發(fā)需要用多少時(shí)間才能到達(dá)血源處？ 2?解（1）鯊魚追蹤最強(qiáng)的血腥味，所以每一瞬時(shí)它都將按血液濃度變化最快，即C的梯度方向前進(jìn)。由梯度的計(jì)算公式，得

2224??C?C?C??4?(x?y?2z)/10?gradC??，?10e(?2x.?2y,?4z)????x?y?z?設(shè)曲線?的方程為x?x(t)，y?y(t)，z?z(t)，則?的切線向量??(dx,dy,dz)必與gradC平行，從而有 dx?2x?dy?2y?dz?4z

解初始值問題

dy?dx???2y??2x?y|?1?x?1dz?dx????2x?4z??z|?1x?1?2?

得

y?x

解初始值問題

得

z?12x2，所以所求曲線?的方程為

x?x，y?x，z? 12（2）曲線?的長度 x2(0?x?1)s??101?y??z?dx?xx?ln(3?1)??22?10?x2?xdx???22x?2?ln(x?2?x?1)?

?0?3212ln2（海里）

3?1)?1?。ln2?（小時(shí)）

2?因此到達(dá)血源處所用的時(shí)間為T6.4 多元函數(shù)的極值

1?3?ln(?40?2

一、無條件極值 限于二元函數(shù)z?f(x,y)

1． ??z?0???x?求駐點(diǎn)??z??0???y駐點(diǎn)P

2． 于駐點(diǎn)P處計(jì)算A??z?x22，B??z?x?y2，C??z?y22。B2?AC?0是極值點(diǎn)，A?0可取得極小值，A?0可取極大值。

3． 條件極值：??minu?f(x,y,z)?S.t.?(x,y,z)?0，令

L?f(x,y,z)???(x,y,z)求無條件極值。

例1 求內(nèi)接于橢球面，且棱平行對(duì)稱軸的體積最大的長方體。

解 設(shè)橢球面方程為 xa22?yb22?zc22?1，長方體于第一卦限上的點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y,z)，則

V?8xyz，s.t.xa 22?yb22?zc22?1，令

2?xa222?x2?yz? L?8xyz??????1?a2b2c2?????8yz?LxL??8xz?y??8xy?Lz及?0?(1)?0?(2)?0?(3)2?yb2?zc22xa22?yb22?zc22?1

由（1）（2）（3）得xa22?b3yb22?zc22?tc3，代入（3）得t?13，從而 x?a3，y?2，z2??2，此時(shí)V?8abc33?839abc。

例2 求由方程2x?2y?z?8xz?z?8?0所確定的二元函數(shù)z?f(x,y)的極值。解

方程兩邊對(duì)x,y求偏導(dǎo)數(shù)得：

4x?2z?z?x?8z?8x?z?x??z?x?0

?（1）

4y?2z?z?y?8x?z?y??z?y?0

?（2）

?4x?8z?016和原方程聯(lián)立得駐點(diǎn)(?2,0)，(,0)?0，得??x74y?0?y?方程（1）對(duì)x,y再求偏導(dǎo)，方程（2）對(duì)y求偏導(dǎo) 令?z?0，?z。

?z?z?z?z?z??z?4?2??8?8?8x??0 ??2z222?x?x?x?x?x?x??2?z?z?y?x?2z22222?（3）

?z?x?y2?82?z?y?8x2?z?x?y22??z?x?y2?0

?（4）

??z??z?z?z?

4?2??2z?8x??0

222??y??y?y?y??將駐點(diǎn)(?2,0)代入（此時(shí)z?1）

?（5）

4?2A?16A?A?0

A?C?415415

2B?16B?B?0

B?0

24?2C?16C?C?0

B?AC?0，z?1是極小值（因A>0）

將駐點(diǎn)?8?（4）（5）（此時(shí)z??,0?代入（3）

7?7??16），同上過程有

A?? 415，B?0，C??415，2B?AC?0，A?0，z??87是極大值。

習(xí)題： 1 設(shè)u?F(x,y,z)在條件?(x,y,z)?0和?(x,y,z)?0限制下，在P0(x0,y0,z0)處取得極值m??Fx???1??Lx??2???0xx

。證明F(x,y,z)?m，?(x,y,z)?0，?(x,y,z)?0在P0點(diǎn)法線共面。

正：L ?F(x,y,z)?m??1???2?L??Fy???1????2???0yyy

??Fz???1??Lz??2???0 zzFx???x??y??z??x???0y??zx?y?z?5r2222由于(1,?1,?2)?0，從而原方程有非零解，及系數(shù)矩陣為0Fy?Fz?，即三法向量共面。

2． 設(shè)f(x,y,z)?lnx?lny?3lnz。點(diǎn)

3(x,y,z)在第一卦限球面

3上，①求f(x,y,z)的最大值。②證明 對(duì)任意正數(shù)a,b,c成立abc

?a?b?c??27??5??。

習(xí)題課

y?e?例1 設(shè)f(x?y,lnx)??1?，求f(x,y)?yxxeln(x)??解 令x?y?u，lnx?v。

y?e?f(u,v)?f(x?y,lnx)??1??yxx?eln(x)?

xx??x?yxueveu2v?ex?yxlnx?(x?y)ee2lnxx?ylnx

所以

f(x,y)?xeyex2y.例2 討論limxyx?y是否存在.x?0y?0 解

當(dāng)點(diǎn) P(x,y)沿直線y?kx趨向（0，0）時(shí)，limxyx?y2y?kxx?0?limx?kxx?kxx?0?limkx1?kx?0?0

(k??1)，當(dāng)點(diǎn)P(x,y)沿直線y?x?xlim2xyx?y趨向（0，0）時(shí)，y?x?xx?0?lim2x(x?x)x?(x?x)22?lim(x?1)1y?x?xx?0x?0??1，所以limxyx?y不存在.x?0y?0 例3 ?22?(x?y)sinz?f(x,y)????0在（0，0）處是否連續(xù)？

1x?y22(x?y?0)，22(x?y?0),22（1）（2）（3）（4）fx(0,0),fy(0,0)是否存在？

偏導(dǎo)數(shù)fx(x,y),fy(x,y)在（0，0）處是否連續(xù)？

f(x,y)在（0，0）處是否可微？

f(x,y)在（0，0）處是否連續(xù)，只要看limf(x,y)＝f(0,0)是否成立.因?yàn)?/p>

x?0y?0解

（1）函數(shù) limf(x,y)?lim(x?y)sinx?0y?0221x?y22

x?0y?0

?lim?sin??021??0?f(0,0).所以

f(x,y)在（0，0）處連續(xù).（2）如同一元函數(shù)一樣，分段函數(shù)在分界點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)應(yīng)按定義來求.因?yàn)?/p>

(?x)sin?x?021(?x)?x1(?x)22?0 limf(?x,0)?f(0,0)?x?lim?x?0?lim?xsin?x?0?0,所以

(3)fx(0,0)?0，類似地可求得fy(0,0)?0.當(dāng)(x,y)?(0,0)時(shí)

fx(x,y)?2xsin

1x?y1x?y2222?(x?y)cosxx?y22221x?y22?1????2?22x?x2?y23?????

?2xsin?cos1x?y2.因?yàn)??limfx(x,y)?lim?2xsinx?0x?0?y?0y?0?1x?y22?xx?y22cos??不存在.22x?y??1所以 fx(x,y)在（0，0）處不連續(xù)。同理fy(x,y)在（0，0）處也不連續(xù)

（4）由于由fx(x,y),fy(x,y)在（0，0）處不連續(xù)，所以只能按定義判別f(x,y)在（0，0）處是否可微.fx(0,0)?0，fy(0,0)?0，故

?x?0?y?0lim?z?[fx(0,0)?x?fy(0,0)?y](?x)?(?y)222

[(?x)?(?y)]sin?lim?x?0?y?02221(?x)?(?y)22?0(?x)?(?y)(?x)?(?y)sin122 ?lim1(?x)?(?y)22

?x?0?y?0?lim?sin?x?0?y?0??0由全微分定義知f(x,y)在（0，0）處可微，且df(0,0)?0.?f(x,y,z)，z?g(x,y)，y?h(x,t)，t 例4 設(shè)u??(x)，求

dudx.解

對(duì)于復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)來說，最主要的是搞清變量之間的關(guān)系.哪些是自變量，哪些是中間變量，可借助于“樹圖”來分析.圖9－1 由上圖可見，u最終是x的函數(shù)，y，z，t都是中間變量.所以

dudx???f?x?f?x???f??h?hd???f??g?g??h?hd??????????y??x?tdx??z??x?y??x?tdx?f?h?y?x??f?hd??y?tdx??f?g?z?x??f?g?h?z?y?x???????.?f?g?hd??z?y?tdx 從最后結(jié)論可以看出:若對(duì)x求導(dǎo)數(shù)(或求偏導(dǎo)數(shù)),有幾條線通到”樹梢”上的x,結(jié)果中就應(yīng)有幾項(xiàng),而每一項(xiàng)又都是一條線上的函數(shù)對(duì)變量的導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)的乘積.簡言之,按線相乘,分線相加 例5 z?1?2x??f?x???y??1f2，f 可導(dǎo)，求zx.解 zx???1???f???2x???.y??

例6 已知y?ety?x，而t是由方程y?t?x?1確定的x，y的函數(shù)，求

ty222dydx.解

將兩個(gè)方程對(duì)x求導(dǎo)數(shù)，得

y??e(t?y?y?t)?12yy??2tt??2x?0

解方程可得

2dydx?t?xye2ty2tyt?(y?t)e.例7 求曲面x?2y?3z?21平行于平面x?4y?6z?0的切平面方程.解

曲面在點(diǎn)(x,y,z)的法向量為 n ＝(Fx,Fy,Fz)?(2x,4y,6z)，2x14y42已知平面的法向量為n1＝(1，4，6),因?yàn)榍衅矫媾c已知平面平行，所以n//n1,從而有

??6z6（1）

又因?yàn)辄c(diǎn)在曲面上，應(yīng)滿足曲面方程

x?2y?3z?212

（2）

由（1）、（2）解得切點(diǎn)為(1,2,2)及(?1,?2,?2), 所求切平面方程為：

或(x?1)?4(y?2)?6(z?2)?0(x?1)?4(y?2)?6(z?2)?012,1,1)。

這里特別要指出的是不要將n//n1不經(jīng)意的寫成n=n1,從而得出切點(diǎn)為(例8 在橢球面2x222的錯(cuò)誤結(jié)論.222?2y?z?1上求一點(diǎn)，使函數(shù)f(x,y,z)?x?y?zel在該點(diǎn)沿l＝(1,–1,0)方向的方向?qū)?shù)最大.1?1???,?,0?，2??2所以 ?f?l ??f?x?12??f?y12??f?z2?0

2(x?y)2(x?y)在條件2x由題意，要考查函數(shù)

?2y?z?1下的最大值，為此構(gòu)造拉格朗日函數(shù)

222F(x,y,z)?2(x?y)??(2x?2y?z?1)，14

?Fx?2?4?x?0,??Fy??2?4?y?0, ??Fz?2?z?0,?222?2x?2y?z?1.解得可能取極值的點(diǎn)為 1??1,?,0? ?2??2 及

?11???，0?.?22??2，因?yàn)樗蟮淖畲笾狄欢ù嬖?，比較

?f?l1??1?,?,0?22???f?l?11???，0??22?2??2知??1?2,?1?,0?2?為所求的點(diǎn).例9 求函數(shù)z?x?y222在圓(x2?2)?(y?22)?9上的最大值與最小值.?0,zy?0，解得點(diǎn)(0,0).顯然z(0,0)=0為最小值.解

先求函數(shù)z再求z2?x?y2在圓內(nèi)的可能極值點(diǎn).為此令zx?x?y在圓上的最大、最小值.為此做拉格朗日函數(shù)

22F(x,y)?x?y??[(x?2)?(y?22)?9]，2?Fx?2x?2?(x?2)?0,???Fy?2y?2?(y?2)?0,?22(x?2)?(y?2)?9.??，代入（3）解得

(1)(2)(3)由（1）、（2）可知x?y x?y?522，和

x?y??22，?5252z?,?22????25???22???1.z??,??22???2)?(y?2?5252,?22?為z?25，最小值為z?0.比較z(0,0)、z?

??22??、z???三值可知：在(x?,??22????2)?92上，最大值

第四篇：2015考研數(shù)學(xué)暑期復(fù)習(xí)：高等數(shù)學(xué)之多元函數(shù)微分學(xué)

暑期，是考研黃金復(fù)習(xí)期。同學(xué)們要多利用這段時(shí)間夯實(shí)基礎(chǔ)，千萬不要眼高手低，無論是哪本數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)書，大家一定要去做，去看。不要一份試題放到你面前，你根本就不知道無從下手。高數(shù)中，多元部分較為重要。高等數(shù)學(xué)中有多元函數(shù)微分學(xué)，多元函數(shù)積分學(xué)。從本質(zhì)上講多元是一元的升華，相應(yīng)的理論和方法也可以從一元那里類比過來。但是多元部分也有自己的特點(diǎn)，它與一元部分也有所區(qū)別。

1.深刻理解概念

前面我說了多元與一元有聯(lián)系，但也有區(qū)別。所以在這里，我說的深刻理解概念就是要說清楚多元函數(shù)微分學(xué)與一元函數(shù)微分學(xué)的區(qū)別以及大家需要注意的地方。那么，在多元函數(shù)微分學(xué)的知識(shí)體系中，最重要的就是對(duì)基本概念的理解。也就是要理解多元函數(shù)的極限，連續(xù)，可導(dǎo)與可微。首先，大家對(duì)極限的理解很關(guān)鍵。它與一元部分是有區(qū)別的。以二元函數(shù)為例，大家要清楚逼近方式的任意性，而一元函數(shù)中就兩個(gè)方向。所以一般考研考二元函數(shù)極限就是問大家這個(gè)極限是否存在，那么大家就選取兩個(gè)方向來說明就夠了。至于連續(xù)，把極限搞清楚了，連續(xù)就不是問題了。然后，可導(dǎo)的概念。還是以二元函數(shù)為例。二元函數(shù)有兩個(gè)變量，那么可導(dǎo)就是說的偏導(dǎo)數(shù)。基本思想是：求一個(gè)變量的導(dǎo)數(shù)那么就固定另外一個(gè)變量。所以實(shí)質(zhì)上還是求一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。至于可微的思想可以直接平移一元的。雖然有些變化，但是基本的形式是一樣的。最后，三者關(guān)系。這是相當(dāng)重要的一個(gè)點(diǎn)。具體來說，可微可以推出可導(dǎo)和連續(xù)，而反之不成立。希望大家不僅要記住結(jié)論，還要知道為什么是這樣的關(guān)系。大家通過自己推一推就可以準(zhǔn)確的把握這三個(gè)概念了。在大家深刻理解了這些概念后，后面的內(nèi)容就偏向計(jì)算了。

2.培養(yǎng)計(jì)算能力

在前面，我說了對(duì)基本概念理解的重要性。那么，說完概念，這章考查的重點(diǎn)還是計(jì)算。計(jì)算實(shí)質(zhì)上就是多元函數(shù)微分學(xué)的應(yīng)用。它主要包括偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算；方向?qū)?shù)與梯度；二元函數(shù)極值(無條件與條件)。其實(shí)考查計(jì)算對(duì)大家來說是最容易的考法。因?yàn)榇蠹抑灰椒ň蛪蛄?，不用理解方法怎么來的。具體來說，計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)，特別是高階偏導(dǎo)數(shù)，大家只要掌握了鏈?zhǔn)椒▌t就夠了。同時(shí)掌握下高階導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)次序無關(guān)的條件。至于計(jì)算方向?qū)?shù)與梯度，大家就需要知道它的含義，然后記住兩個(gè)公式就行了。最后是二元函數(shù)的極值。它分為無條件極值和有條件極值。先說無條件極值。大家可以把它跟一元函數(shù)極值做個(gè)類比。這樣會(huì)學(xué)的輕松些。至于條件極值，大家只要會(huì)了拉格朗日乘數(shù)法就行了。所以，這章對(duì)大家的計(jì)算能力要求很高。大家一定要沉下心仔細(xì)體會(huì)方法，然后多做練習(xí)就夠了。

3.適量習(xí)題

在大家理解了基本概念以及明確了計(jì)算方法后，接下來就需要做題鞏固了。在這里，我尤其反對(duì)題海戰(zhàn)術(shù)，因?yàn)榇蠹业臅r(shí)間有限并且題海戰(zhàn)術(shù)在沒理解知識(shí)點(diǎn)之前是沒用的?，F(xiàn)在社會(huì)做事情都講究高效，我希望大家能夠事半功倍。那么針對(duì)多元函數(shù)微分學(xué)這章，大家先針對(duì)我說的重點(diǎn)知識(shí)進(jìn)行做題鞏固，關(guān)鍵是每做一個(gè)題就要理解，要反思，要多想想考察了知識(shí)點(diǎn)那些方面。然后對(duì)次重點(diǎn)知識(shí)輔助做一些題，了解就夠了。

第五篇：多元函數(shù)的微分學(xué)內(nèi)容小結(jié)（本站推薦）

第二章 多元函數(shù)的微分學(xué)內(nèi)容小結(jié)

多元函數(shù)微分學(xué)是一元函數(shù)微分學(xué)的推廣和發(fā)展，兩者的處理方法有很多相似之處．由于

自變量個(gè)數(shù)的增加，多元函數(shù)的微分學(xué)又產(chǎn)生了很多新內(nèi)容，如偏導(dǎo)數(shù)、全微分、方向?qū)?shù)、條

件極值等．本章以二元函數(shù)為主講述有關(guān)內(nèi)容．

一、多元函數(shù)的定義、極限、連續(xù)及其性質(zhì)

二、偏導(dǎo)數(shù)與全微分

3．全微分 三、二元函數(shù)的極值

四、多元微分學(xué)的幾何應(yīng)用

五、方向?qū)?shù)與梯度