第一篇：第九章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用教案

多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

第九章

多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

【教學(xué)目標與要求】

1、理解多元函數(shù)的概念和二元函數(shù)的幾何意義。

2、了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念，以及有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

3、理解多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念，會求全微分，了解全微分存在的必要條件和充分條件，了解全微分形式的不變性。

4、理解方向?qū)?shù)與梯度的概念并掌握其計算方法。

5、掌握多元復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的求法。

6、會求隱函數(shù)（包括由方程組確定的隱函數(shù)）的偏導(dǎo)數(shù)。

7、了解曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，會求它們的方程。

8、了解二元函數(shù)的二階泰勒公式。

9、理解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件，了解二元函數(shù)極值存在的充分條件，會求二元函數(shù)的極值，會用拉格郎日乘數(shù)法求條件極值，會求簡多元函數(shù)的最大值和最小值，并會解決一些簡單的應(yīng)用問題。

【教學(xué)重點】

1、二元函數(shù)的極限與連續(xù)性；

2、函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分；

3、方向?qū)?shù)與梯度的概念及其計算；

4、多元復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)；

5、隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)；多元函數(shù)極值和條件極值的求法；

6、曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線；

【教學(xué)難點】

1、二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念；

2、全微分形式的不變性；

3、復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的求法；

4、二元函數(shù)的二階泰勒公式；

5、隱函數(shù)（包括由方程組確定的隱函數(shù)）的偏導(dǎo)數(shù)；

6、拉格郎日乘數(shù)法，多元函數(shù)的最大值和最小值。

【教學(xué)課時分配】(18學(xué)時)第1 次課

§１

第2 次課

§2

第3 次課

§3 第4 次課

§4

第5次課

§5

第6次課

§6 第7次課

§7

第8次課

§8

第9次課

習(xí)題課

【參考書】

[1]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.《高等數(shù)學(xué)（下）》，第五版.高等教育出版社.[2] 同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.《高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與習(xí)題選解》，第六版.高等教育出版社. [3] 同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.《高等數(shù)學(xué)習(xí)題全解指南（下）》，第六版.高等教育出版社

多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

§9? 1 多元函數(shù)的基本概念

一、平面點集n維空間

1．區(qū)域

由平面解析幾何知道? 當在平面上引入了一個直角坐標系后?平面上的點P與有序二元實數(shù)組(x? y)之間就建立了一一對應(yīng)? 于是? 我們常把有序?qū)崝?shù)組(x? y)與平面上的點P視作是等同的? 這種建立了坐標系的平面稱為坐標平面?

二元的序?qū)崝?shù)組(x? y)的全體? 即R2?R?R?{(x? y)|x? y?R}就表示坐標平面?

坐標平面上具有某種性質(zhì)P的點的集合? 稱為平面點集? 記作

E?{(x? y)|(x? y)具有性質(zhì)P}?

例如?平面上以原點為中心、r為半徑的圓內(nèi)所有點的集合是

C?{(x? y)| x2?y2?r2}?

如果我們以點P表示(x? y)? 以|OP|表示點P到原點O的距離? 那么集合C可表成 C?{P| |OP|?r}?

鄰域?

設(shè)P0(x0? y0)是xOy平面上的一個點? ?是某一正數(shù)? 與點P0(x0? y0)距離小于?的點P(x? y)的全體? 稱為點P0的?鄰域? 記為U(P0? ??? 即

2U(P0,?)?{(x, y)|(x?x0)?(y?y0)?? }?

0,?)?{P| |PP0|??}或U(P鄰域的幾何意義?

U(P0? ?)表示xOy平面上以點P0(x0? y0)為中心、? >0為半徑的圓的內(nèi)部的點P(x? y)的全體? ?

點P0的去心?鄰域? 記作U(P0, ?)? 即

U(P0, ?)?{P| 0?|P0P|??}?

注? 如果不需要強調(diào)鄰域的半徑?? 則用U(P0)表示點P0的某個鄰域? 點P0的去心鄰域記作???U(P0)?

點與點集之間的關(guān)系?

任意一點P?R2與任意一個點集E?R2之間必有以下三種關(guān)系中的一種?

(1)內(nèi)點? 如果存在點P的某一鄰域U(P)? 使得U(P)?E? 則稱P為E的內(nèi)點?

(2)外點? 如果存在點P的某個鄰域U(P)? 使得U(P)?E??? 則稱P為E的外點?

(3)邊界點? 如果點P的任一鄰域內(nèi)既有屬于E的點? 也有不屬于E的點? 則稱P點為E的邊點?

E的邊界點的全體? 稱為E的邊界? 記作?E?

E的內(nèi)點必屬于E? E的外點必定不屬于E? 而E的邊界點可能屬于E? 也可能不屬于E ?

聚點?

如果對于任意給定的??0? 點P的去心鄰域U(P,?)內(nèi)總有E中的點? 則稱P是E的聚點

?

多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

?

由聚點的定義可知? 點集E的聚點P本身? 可以屬于E? 也可能不屬于E ?

例如? 設(shè)平面點集

E?{(x? y)|1?x2?y2?2}?

滿足1?x2?y2?2的一切點(x? y)都是E的內(nèi)點? 滿足x2?y2?1的一切點(x? y)都是E的邊界點? 它們都不屬于E? 滿足x2?y2?2的一切點(x? y)也是E的邊界點? 它們都屬于E? 點集E以及它的界邊?E上的一切點都是E的聚點?

開集? 如果點集E 的點都是內(nèi)點? 則稱E為開集?

閉集? 如果點集的余集E c為開集? 則稱E為閉集?

開集的例子? E?{(x? y)|1

閉集的例子? E?{(x? y)|1?x2?y2?2}?

集合{(x? y)|1?x2?y2?2}既非開集? 也非閉集?

連通性? 如果點集E內(nèi)任何兩點? 都可用折線連結(jié)起來? 且該折線上的點都屬于E? 則稱E為連通集?

區(qū)域(或開區(qū)域)? 連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域? 例如E?{(x? y)|1?x2?y2?2}?

閉區(qū)域? 開區(qū)域連同它的邊界一起所構(gòu)成的點集稱為閉區(qū)域? 例如E ? {(x? y)|1?x2?y2?2}?

有界集? 對于平面點集E? 如果存在某一正數(shù)r? 使得

E?U(O? r)?

其中O是坐標原點? 則稱E為有界點集?

無界集? 一個集合如果不是有界集? 就稱這集合為無界集?

例如? 集合{(x? y)|1?x2?y2?2}是有界閉區(qū)域? 集合{(x? y)| x?y?1}是無界開區(qū)域?

集合{(x? y)| x?y?1}是無界閉區(qū)域?

2? n維空間

設(shè)n為取定的一個自然數(shù)? 我們用Rn表示n元有序數(shù)組(x1? x2? ? ? ? ? xn)的全體所構(gòu)成的集合? 即

Rn?R?R???????R?{(x1? x2? ? ? ? ? xn)| xi?R? i?1? 2? ?????? n}?

Rn中的元素(x1? x2? ? ? ? ? xn)有時也用單個字母x來表示? 即x?(x1? x2? ? ? ? ? xn)? 當所有的xi(i?1? 2? ?????? n)都為零時? 稱這樣的元素為Rn中的零元? 記為0或O ? 在解析幾何中? 通過直角坐標? R2(或R3)中的元素分別與平面(或空間)中的點或向量建立一一對應(yīng)? 因而Rn中的元素x?(x1? x2? ? ? ? ? xn)也稱為Rn中的一個點或一個n維向量? xi稱為點x的第i個坐標或n維向量x的第i個分量? 特別地? Rn中的零元0稱為Rn中的坐標原點或n維零向量?

二? 多元函數(shù)概念

例１ 圓柱體的體積V 和它的底半徑r、高h之間具有關(guān)系

V ??r2h??這里? 當r、h在集合{(r ? h)| r>0? h>0}內(nèi)取定一對值(r ? h)時? V對應(yīng)的值就隨之確定??

例2 一定量的理想氣體的壓強p、體積V和絕對溫度T之間具有關(guān)系

p?RT??V其中R為常數(shù)? 這里? 當V、T在集合{(V ?T)| V>0? T>0}內(nèi)取定一對值(V? T)時? p的對應(yīng)值就隨之

多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

確定?

定義

1設(shè)D是R2的一個非空子集? 稱映射f ? D?R為定義在D上的二元函數(shù)? 通常記為

z?f(x? y)?(x? y)?D(或z?f(P)? P?D)其中點集D稱為該函數(shù)的定義域? x? y稱為自變量? z稱為因變量?

上述定義中? 與自變量x、y的一對值(x? y)相對應(yīng)的因變量z的值? 也稱為f在點(x? y)處的函數(shù)值? 記作f(x? y)? 即z?f(x? y)?

值域? f(D)?{z| z?f(x? y)?(x? y)?D}?

函數(shù)的其它符號? z?z(x? y)? z?g(x? y)等?

類似地可定義三元函數(shù)u?f(x? y? z)?(x? y? z)?D以及三元以上的函數(shù)?

一般地? 把定義1中的平面點集D換成n維空間Rn內(nèi)的點集D? 映射f ? D?R就稱為定義在D上的n元函數(shù)? 通常記為

u?f(x1? x2? ? ? ? ? xn)?(x1? x2? ? ? ? ? xn)?D?

或簡記為

u?f(x)? x?(x1? x2? ? ? ? ? xn)?D?

也可記為

u?f(P)? P(x1? x2? ? ? ? ? xn)?D ?

關(guān)于函數(shù)定義域的約定? 在一般地討論用算式表達的多元函數(shù)u?f(x)時? 就以使這個算式有意義的變元x的值所組成的點集為這個多元函數(shù)的自然定義域? 因而? 對這類函數(shù)? 它的定義域不再特別標出? 例如?

函數(shù)z?ln(x?y)的定義域為{(x? y)|x?y>0}(無界開區(qū)域)?

函數(shù)z?arcsin(x2?y2)的定義域為{(x? y)|x2?y2?1}(有界閉區(qū)域)?

二元函數(shù)的圖形? 點集{(x? y? z)|z?f(x? y)?(x? y)?D}稱為二元函數(shù)z?f(x? y)的圖形? 二元函數(shù)的圖形是一張曲面?

三? 多元函數(shù)的極限

與一元函數(shù)的極限概念類似? 如果在P(x? y)?P0(x0? y0)的過程中? 對應(yīng)的函數(shù)值f(x? y)無限接近于一個確定的常數(shù)A? 則稱A是函數(shù)f(x? y)當(x? y)?(x0? y0)時的極限?

定義2 ：設(shè)二元函數(shù)f(P)?f(x? y)的定義域為D? P0(x0? y0)是D的聚點? 如果存在常數(shù)A? 對于任意給定的正數(shù)?總存在正數(shù)?? 使得當P(x,y)?D?U(P0,?)時? 都有

|f(P)?A|?|f(x? y)?A|??

成立? 則稱常數(shù)A為函數(shù)f(x? y)當(x? y)?(x0? y0)時的極限? 記為

(x,y)?(x0,y0)?limf(x,y)?A? 或f(x? y)?A((x? y)?(x0? y0))?

P?P0也記作

limf(P)?A或f(P)?A(P?P0)?

上述定義的極限也稱為二重極限?

例4.設(shè)f(x,y)?(x2?y2)sin

證

因為

1? 求證limf(x,y)?0?

(x,y)?(0,0)x2?y多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

|f(x,y)?0|?|(x2?y2)sin可見?? >0? 取??1?0| ?|x2?y2|?|sin1| ?x2?y2?

x2?y2x2?y222??? 則當0?(x?0)?(y?0)??? 即P(x,y)?D?U(O,?)時? 總有

|f(x? y)?0|???

因此

必須注意?(x,y)?(0,0)limf(x,y)?0?

?

(1)二重極限存在? 是指P以任何方式趨于P0時? 函數(shù)都無限接近于A?

(2)如果當P以兩種不同方式趨于P0時? 函數(shù)趨于不同的值? 則函數(shù)的極限不存在?

討論?

?xy x2?y2?0? 函數(shù)f(x,y)??x2?y2在點(0? 0)有無極限？ ?22??0 x?y?0

提示? 當點P(x? y)沿x軸趨于點(0? 0)時?

(x,y)?(0,0)limf(x,y)?limf(x, 0)?lim0?0?

x?0x?0當點P(x? y)沿y軸趨于點(0? 0)時?

(x,y)?(0,0)limf(x,y)?limf(0, y)?lim0?0?

y?0y?0當點P(x? y)沿直線y?kx有

2xykxk? ?lim?lim?

(x,y)?(0,0)x2?y2x?0x2?k2x21?k2 y?kx因此? 函數(shù)f(x? y)在(0? 0)處無極限?

極限概念的推廣? 多元函數(shù)的極限?

多元函數(shù)的極限運算法則?

與一元函數(shù)的情況類似?

例5 求sin(xy)?

x(x,y)?(0,2)lim 解? sin(xy)sin(xy)sin(xy)?lim?y?lim?limy?1?2?2?

xxy(x,y)?(0,2)(x,y)?(0,2)xy(x,y)?(0,2)(x,y)?(0,2)lim

四? 多元函數(shù)的連續(xù)性

定義3 設(shè)二元函數(shù)f(P)?f(x? y)的定義域為D? P0(x0? y0)為D的聚點? 且P0?D ? 如果

多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)?f(x0,y0)?

則稱函數(shù)f(x? y)在點P0(x0? y0)連續(xù)?

如果函數(shù)f(x? y)在D的每一點都連續(xù)? 那么就稱函數(shù)f(x? y)在D上連續(xù)? 或者稱f(x? y)是D上的連續(xù)函數(shù)?

二元函數(shù)的連續(xù)性概念可相應(yīng)地推廣到n元函數(shù)f(P)上去?

例6設(shè)f(x,y)?sin x? 證明f(x? y)是R2上的連續(xù)函數(shù)?

證 設(shè)P0(x0? y0)? R2? ???0? 由于sin x在x0處連續(xù)? 故???0? 當|x?x0|??時? 有

|sin x?sin x0|???

以上述?作P0的?鄰域U(P0? ?)? 則當P(x? y)?U(P0? ?)時? 顯然

|f(x? y)?f(x0? y0)|?|sin x?sin x0|???

即f(x? y)?sin x在點P0(x0? y0)連續(xù)? 由P0的任意性知? sin x作為x? y的二元函數(shù)在R2上連續(xù)?

類似的討論可知? 一元基本初等函數(shù)看成二元函數(shù)或二元以上的多元函數(shù)時? 它們在各自的定義域內(nèi)都是連續(xù)的?

定義4設(shè)函數(shù)f(x? y)的定義域為D? P0(x0? y0)是D的聚點? 如果函數(shù)f(x? y)在點P0(x0? y0)不連續(xù)? 則稱P0(x0? y0)為函數(shù)f(x? y)的間斷點?

例如

?xy x2?y2?0? 函數(shù)f(x,y)??x2?y2?

?x2?y2?0?0 其定義域D?R2? O(0? 0)是D的聚點? f(x? y)當(x? y)?(0? 0)時的極限不存在? 所以點O(0? 0)是該函數(shù)的一個間斷點?

又如? 函數(shù)z?sin1? 其定義域為D?{(x? y)|x2?y2?1}? 圓周C?{(x? y)|x2?y2?1}上的點2x?y?12都是D的聚點? 而f(x? y)在C上沒有定義? 當然f(x? y)在C上各點都不連續(xù)? 所以圓周C上各點都是該函數(shù)的間斷點?

注? 間斷點可能是孤立點也可能是曲線上的點?

可以證明? 多元連續(xù)函數(shù)的和、差、積仍為連續(xù)函數(shù)? 連續(xù)函數(shù)的商在分母不為零處仍連續(xù)? 多元連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)也是連續(xù)函數(shù)?

多元初等函數(shù)? 與一元初等函數(shù)類似? 多元初等函數(shù)是指可用一個式子所表示的多元函數(shù)? 這個式子是由常數(shù)及具有不同自變量的一元基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和復(fù)合運算而得到的?

x?x2?y2x2?y2?z2e

例如? sin(x?y)? 都是多元初等函數(shù)?

1?y

2一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的? 所謂定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域?

多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

例7 求 x?y? ?(x,y)?(1,2)xylim

一般地? 求limf(P)時? 如果f(P)是初等函數(shù)? 且P0是f(P)的定義域的內(nèi)點? 則f(P)在點P0P?P0處連續(xù)? 于是

limf(P)?f(P0)?

P?P0 例8 求(x,y)?(0, 0)limxy?1?1?

xy

五、多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)?

性質(zhì)1(有界性與最大值最小值定理)在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)? 必定在D上有界? 且能取得它的最大值和最小值?

性質(zhì)1就是說? 若f(P)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)? 則必定存在常數(shù)M?0? 使得對一切P?D? 有|f(P)|?M? 且存在P1、P 2?D? 使得

f(P1)?max{f(P)|P?D}?

f(P2)?min{f(P)|P?D}?

性質(zhì)2(介值定理)在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)必取得介于最大值和最小值之間的任何值?

小結(jié)

1.區(qū)域的概念； 2.多元函數(shù)的定義；

3.多元函數(shù)的極限及其求解； 4.多元函數(shù)的連續(xù)性。

教學(xué)方式及教學(xué)過程中應(yīng)注意的問題

在教學(xué)過程中要注意區(qū)域的定義和多元函數(shù)的定義，多元函數(shù)的極限和連續(xù)性的理解是本節(jié)的重點，要結(jié)合實例，反復(fù)講解。

師生活動設(shè)計

課后習(xí)題：7，8，9 講課提綱、板書設(shè)計 作業(yè) P63: 5（2）（4）（6），6（2）（3）（5）（6）

§9? 2

偏導(dǎo)數(shù)

一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計算法

對于二元函數(shù)z?f(x? y)? 如果只有自變量x 變化? 而自變量y固定? 這時它就是x的一元函數(shù)?

多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

這函數(shù)對x的導(dǎo)數(shù)? 就稱為二元函數(shù)z?f(x? y)對于x的偏導(dǎo)數(shù)?

定義

設(shè)函數(shù)z?f(x? y)在點(x0? y0)的某一鄰域內(nèi)有定義? 當y固定在y0而x在x0處有增量?x時? 相應(yīng)地函數(shù)有增量

f(x0??x? y0)?f(x0? y0)?

如果極限

?x?0limf(x0??x,y0)?f(x0,y0)

?x存在? 則稱此極限為函數(shù)z?f(x? y)在點(x0? y0)處對x的偏導(dǎo)數(shù)? 記作

?f?zx?x0? x?x? z?xy?y0?xy?y00x例如

x?x0y?y0? 或fx(x0,y0)?

fx(x0,y0)?lim?x?0f(x0??x,y0)?f(x0,y0)?

?x類似地? 函數(shù)z?f(x? y)在點(x0? y0)處對y 的偏導(dǎo)數(shù)定義為

?y?0limf(x0,y0??y)?f(x0,y0)?

?y記作 ?f?z? ?x0?yx?yy?y0x?x0?

y?y0zyx?x0y?y0? 或fy(x0? y0)?

偏導(dǎo)函數(shù)?

如果函數(shù)z?f(x? y)在區(qū)域D內(nèi)每一點(x? y)處對x的偏導(dǎo)數(shù)都存在? 那么這個偏導(dǎo)數(shù)就是x、y的函數(shù)? 它就稱為函數(shù)z?f(x? y)對自變量x的偏導(dǎo)函數(shù)? 記作

?z? ?f? z? 或f(x,y)?

xx?x?xf(x??x,y)?f(x,y)偏導(dǎo)函數(shù)的定義式? fx(x,y)?lim?

?x?x?0

類似地? 可定義函數(shù)z?f(x? y)對y的偏導(dǎo)函數(shù)? 記為

?z?f? ? zy ? 或fy(x,y)?

?y?y?y?0偏導(dǎo)函數(shù)的定義式? fy(x,y)?limf(x,y??y)?f(x,y)?

?y

討論? 下列求偏導(dǎo)數(shù)的方法是否正確？?

fx(x0,y0)?fx(x,y)x?x0? fy(x0,y0)?fy(x,y)x?x0? ?y?y0y?y0

多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

fx(x0,y0)?[df(x,y)]df(x,y)]f(x,y)?[? y000y?y0?

0x?x0dydx

偏導(dǎo)數(shù)的概念還可推廣到二元以上的函數(shù)??例如三元函數(shù)u?f(x? y? z)在點(x? y? z)處對x的偏導(dǎo)數(shù)定義為

fx(x,y,z)?lim?x?0f(x??x,y,z)?f(x,y,z)?

?x其中(x? y? z)是函數(shù)u?f(x? y? z)的定義域的內(nèi)點? 它們的求法也仍舊是一元函數(shù)的微分法問題?

例1 求z?x2?3xy?y2在點(1? 2)處的偏導(dǎo)數(shù)?

例2 求z?x2sin 2y的偏導(dǎo)數(shù)?

例3 設(shè)z?xy(x?0,x?1)? 求證?

x?z?1?z?2z?

y?xlnx?y 例4 求r?x2?y2?z2的偏導(dǎo)數(shù)?

例5 已知理想氣體的狀態(tài)方程為pV=RT(R為常數(shù))? ?求證? ?p?V?T????1?

?V?T?pRT? ?p??RT? ??VV2VRT?V?R

V?? ?

p?TppV?TV??

T?? ?pRR 證 因為p?所以?p?V?TR?V??RT??1?

????RT??V?T?ppVV2pR

例5 說明的問題? 偏導(dǎo)數(shù)的記號是一個整體記號? 不能看作分子分母之商?

二元函數(shù)z?f(x? y)在點(x0? y0)的偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義? ?

fx(x0? y0)?[f(x? y0)]x?是截線z?f(x? y0)在點M0處切線Tx對x軸的斜率?

fy(x0? y0)?[f(x0? y)]y?是截線z?f(x0? y)在點M0處切線Ty對y軸的斜率?

偏導(dǎo)數(shù)與連續(xù)性? 對于多元函數(shù)來說? 即使各偏導(dǎo)數(shù)在某點都存在? 也不能保證函數(shù)在該點連續(xù)? 例如

?xy x2?y2?0?

f(x,y)??x2?y2

?x2?y2?0?0 在點(0? 0)有? fx(0? 0)?0? fy(0? 0)?0? 但函數(shù)在點(0? 0)并不連續(xù)?

多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

提示?

f(x, 0)?0? f(0, y)?0?

fx(0, 0)?d[f(x, 0)]?0? f(0, 0)?d[f(0, y)]?0?

ydydxf(x,y)?limf(x, 0)?lim0?0?

x?0x?0

當點P(x? y)沿x軸趨于點(0? 0)時? 有

(x,y)?(0,0)lim

當點P(x? y)沿直線y?kx趨于點(0? 0)時? 有

2xykxk? ?lim?lim?

(x,y)?(0,0)x2?y2x?0x2?k2x21?k2 y?kx因此?(x,y)?(0,0)limf(x,y)不存在? 故函數(shù)f(x? y)在(0? 0)處不連續(xù)?

類似地? 可定義函數(shù)z?f(x? y)對y的偏導(dǎo)函數(shù)? 記為

?z?f? ? zy ? 或fy(x,y)?

?y?y?y?0偏導(dǎo)函數(shù)的定義式? fy(x,y)?lim

二?

高階偏導(dǎo)數(shù)

f(x,y??y)?f(x,y)?

?y

設(shè)函數(shù)z?f(x? y)在區(qū)域D內(nèi)具有偏導(dǎo)數(shù)

?z?f(x,y)? ?z?f(x,y)?

?yy?xx那么在D內(nèi)fx(x? y)、fy(x? y)都是x? y 的函數(shù)? 如果這兩個函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)也存在? 則稱它們是函數(shù)z?f(x? y)的二偏導(dǎo)數(shù)? 按照對變量求導(dǎo)次序的為同有下列四個二階偏導(dǎo)數(shù)

如果函數(shù)z?f(x? y)在區(qū)域D內(nèi)的偏導(dǎo)數(shù)fx(x? y)、fy(x? y)也具有偏導(dǎo)數(shù)?

則它們的偏導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)z?f(x? y)的二階偏導(dǎo)數(shù)? 按照對變量求導(dǎo)次序的 不同有下列四個二階偏導(dǎo)數(shù)

?(?z)??2z?f(x,y)?(?z)??2z?f(x,y)? ?

?x?x?x2xx?y?x?x?yxy22??z?z??z?()??fyx(x,y)?()?z?fyy(x,y)?

?x?y?y?x?y?y?y2

多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

22??z?z??z?()??fxy(x,y)?()?z?fyx(x,y)稱為混合偏導(dǎo)數(shù)? ?其中?y?x?x?y?x?y?y?x22?(?z)??2z?(?z)??2z??z?z??z?z?

?

()?? ? ?()??x?x?x2?y?x?x?y?x?y?y?x?y?y?y2 同樣可得三階、四階、以及n 階偏導(dǎo)數(shù)? ? 二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)?

22?2z?3z?z?z?

例6 設(shè)z?xy?3xy?xy?1? 求2、3、和

?y?x?x?y?x?x323由例6觀察到的問題? ?2z??2z

?y?x?x?y22?z?z在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)? 那么在該區(qū)

定理 如果函數(shù)z?f(x? y)的兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)及

?y?x?x?y域內(nèi)這兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)必相等?

類似地可定義二元以上函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)?

例7 驗證函數(shù)z?lnx2?y2滿足方程

?2z??2z?0?

?x2?y2 證 因為z?lnx2?y2?ln(x2?y2)? 所以

12?z?x? ?z?y?

?xx2?y2?yx2?y22(x2?y2)?x?2xy2?x2?z

??222?

2222?x(x?y)(x?y)2(x2?y2)?y?2yx2?y2?z

??222?

?y2(x2?y2)2(x?y)22x2?y2y2?x2?z?z因此 2?2?2?222?0?

22?x?y(x?y)(x?y)222?u?u?u1 例8．證明函數(shù)u?滿足方程2?2?2?0?

r?x?y?z

多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

其中r?x2?y2?z2?

?u??1??r??1?x??x?

?xr2?xr2rr3?2u??1?3x??r??1?3x?

234?x35?xrrrr 證?

23y2?2u??1?3z2?u1同理

?

??3?5? 2?zr3r5?y2rr22223y2?u?u?u13x113z2因此2?2?2?(?3?5)?(?3?5)?(?3?5)

?x?y?zrrrrrr3(x2?y2?z2)33?3r2?0??

??3?? 535rrrrr3?x??(r3)r3?x?3r2?r2?u??(?x)???x?x?

??提示?

?x2?xr3r6r6

小結(jié)

1.偏導(dǎo)數(shù)的概念及有關(guān)結(jié)論：定義，記號，幾何意義，偏導(dǎo)數(shù)的存在與連續(xù)性； 2.偏導(dǎo)數(shù)的計算方法：求導(dǎo)的先后順序。

教學(xué)方式及教學(xué)過程中應(yīng)注意的問題

在教學(xué)過程中要注意偏導(dǎo)數(shù)的定義以及偏導(dǎo)數(shù)的求法，特別是求導(dǎo)先后順序問題是本節(jié)的重點，要結(jié)合實例，反復(fù)講解。

師生活動設(shè)計

1.設(shè)z?f(u)，方程u??(u)??xyp(t)dt確定u是x,y的函數(shù)，其中f(u),?(u)可微，?z?z?p(x)。?x?yp(t),??(u)連續(xù)，且??(u)?1，求p(y)2.課后習(xí)題：5，6 講課提綱、板書設(shè)計

作業(yè) P69: 1（4）（6）（8）,4，6（3），8

多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

§9? 3全微分及其應(yīng)用

一、全微分的定義

根據(jù)一元函數(shù)微分學(xué)中增量與微分的關(guān)系??有

偏增量與偏微分?

f(x??x? y)?f(x? y)?fx(x? y)?x?

f(x??x? y)?f(x? y)為函數(shù)對x的偏增量? f x(x? y)?x為函數(shù)對x的偏微分?

f(x? y??y)?f(x? y)?fy(x? y)?y??

f(x? y??y)?f(x? y)為函數(shù))對y的偏增量? f y(x? y)?y為函數(shù)對y的偏微分?

全增量?

?z? f(x??x? y??y)?f(x? y)?

計算全增量比較復(fù)雜?

我們希望用?x、?y的線性函數(shù)來近似代替之?

定義

如果函數(shù)z?f(x? y)在點(x? y)的全增量

?z? f(x??x? y??y)?f(x? y)可表示為

?z?A?x?B?y?o(?)(??(?x)2?(?y)2)?

其中A、B不依賴于?x、?y 而僅與x、y 有關(guān)? 則稱函數(shù)z?f(x? y)在點(x? y)可微分? 而稱A?x?B?y為函數(shù)z?f(x? y)在點(x? y)的全微分? 記作dz? 即

dz?A?x?B?y?

如果函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)各點處都可微分? 那么稱這函數(shù)在D內(nèi)可微分?

可微與連續(xù)? 可微必連續(xù)? 但偏導(dǎo)數(shù)存在不一定連續(xù)?

這是因為?? 如果z?f(x? y)在點(x? y)可微??則

?z? f(x??x? y??y)?f(x? y)?A?x?B?y?o(?)??

多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

于是 lim?z?0?

??0從而

(?x,?y)?(0,0)limf(x??x,y??y)?lim[f(x,y)??z]?f(x,y)??

??0因此函數(shù)z?f(x? y)在點(x? y)處連續(xù)??

定理1(必要條件)

如果函數(shù)z?f(x? y)在點(x? y)可微分? 則函數(shù)在該點的偏導(dǎo)數(shù)y)在點(x? y)的全微分為

dz??z、?z必定存在? 且函數(shù)z?f(x? ?x?y?z?x??z?y?

?x?y

證 設(shè)函數(shù)z?f(x? y)在點P(x? y)可微分? 于是? 對于點P的某個鄰域內(nèi)的任意一點P ?(x??x? y??y)? 有?z?A?x?B?y?o(?)? 特別當?y?0時有

f(x??x? y)?f(x? y)?A?x?o(|?x|)?

上式兩邊各除以?x? 再令?x?0而取極限? 就得

f(x??x,y)?f(x,y)?A?

?x?x?0?z存在? 且?z?A??同理可證偏導(dǎo)數(shù)?z存在? 且?z?B? 所以 從而偏導(dǎo)數(shù)

?y?y?x?x?z?z?y?

dz??x??x?y

lim

簡要證明??設(shè)函數(shù)z?f(x? y)在點(x? y)可微分? 于是有?z?A?x?B?y?o(?)? 特別當?y?0時有

f(x??x? y)?f(x? y)?A?x?o(|?x|)?

上式兩邊各除以?x? 再令?x?0而取極限? 就得

f(x??x,y)?f(x,y)o(|?x|)?lim[A?]?A?

?x?x?x?0?x?0?z存在? 且?z?A??同理?z存在? 且?z?B? 所以dz??z?x??z?y?

從而

?y?x?y?y?x?x?z、?z存在是可微分的必要條件? 但不是充分條件?? 偏導(dǎo)數(shù)?x?y

lim

例如????xy x2?y2?0? 函數(shù)f(x,y)??x2?y2在點(0??0)處雖然有f x(0? 0)?0及f y(0? 0)?0??但函數(shù)在?0 x2?y2?0?(0??0)不可微分??即?z?[fx(0? 0)?x?fy(0? 0)?y]不是較?高階的無窮小?? 這是因為當(?x? ?y)沿直線y?x趨于(0? 0)時??

多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

?z?[fx(0, 0)??x?fy(0, 0)??y]???x??y??2x??x2?1?0?? 22(?x)?(?y)(?x)?(?x)2 定理2(充分條件)

如果函數(shù)z?f(x? y)的偏導(dǎo)數(shù)?z、?z在點(x? y)連續(xù)? 則函數(shù)在該點可微分?

?x?y

定理1和定理2的結(jié)論可推廣到三元及三元以上函數(shù)?

按著習(xí)慣???x、?y分別記作dx、dy? 并分別稱為自變量的微分??則函數(shù)z?f(x? y)的全微分可寫作?

dz??zdx??zdy?

?x?y

二元函數(shù)的全微分等于它的兩個偏微分之和這件事稱為二元函數(shù)的微分符合疊加原理?

疊加原理也適用于二元以上的函數(shù)? 例如函數(shù)u?f(x? y? z)的全微分為

du??udx??udy??udz?

?x?y?z

例1 計算函數(shù)z?x2y ?y2的全微分?

例2 計算函數(shù)z?exy在點(2? 1)處的全微分?

例3 計算函數(shù)u?x?sinyyz?e的全微分?

2小結(jié)

1.全微分的定義；

2.可微、可導(dǎo)、連續(xù)性之間的關(guān)系。

教學(xué)方式及教學(xué)過程中應(yīng)注意的問題

在教學(xué)過程中要注意全微分的定義，可微、可導(dǎo)、連續(xù)性之間的關(guān)系是本節(jié)的重點，要結(jié)合實例，反復(fù)講解。

師生活動設(shè)計

1.函數(shù)z?f(x,y)在(x0,y0)可微的充分條件是（）

(A)f(x,y)在(x0,y0)連續(xù);

(B)fx?(x,y),fy?(x,y)在(x0,在y0()x0,y0)的某領(lǐng)域內(nèi)存在；(C)?z?fx?(x,y)?x?fy?(x,y)?y

當(?x)2?(?y)2?0時是無窮小量；

時是無窮小量(D)?z?fx?(x,y)?x?fy?(x,y)?y(?x)?(?y)22

當(?x)2?(?y)2?0

多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

2.課后習(xí)題：5 講課提綱、板書設(shè)計 作業(yè) P75: 1（1）（3），3

§9? 4 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

dz？

dt?z和?z？

設(shè)z?f(u? v)? 而u??(x? y)? v??(x? y)? 如何求

?x?y

設(shè)z?f(u? v)? 而u??(t)? v??(t)? 如何求

1? 復(fù)合函數(shù)的中間變量均為一元函數(shù)的情形

定理1 如果函數(shù)u??(t)及v??(t)都在點t可導(dǎo)? 函數(shù)z?f(u? v)在對應(yīng)點(u? v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 則復(fù)合函數(shù)z?f[?(t)? ?(t)]在點t可導(dǎo)? 且有

dz??z?du??z?dv?

dt?udt?vdt

簡要證明1? 因為z?f(u? v)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)? 所以它是可微的? 即有

dz??zdu??zdv? ?u?v又因為u??(t)及v??(t)都可導(dǎo)? 因而可微? 即有

du?代入上式得 dudt? dv?dvdt?

dtdt?z?dudt??z?dvdt?(?z?du??z?dv)dt?

?udt?vdt?udt?vdtdz??z?du??z?dv?

從而

dt?udt?vdt

dz?

簡要證明2? 當t取得增量?t時? u、v及z相應(yīng)地也取得增量?u、?v及?z ? 由z?f(u? v)、u??(t)及v??(t)的可微性? 有

?z?u??z?v?o(?)??z[du?t?o(?t)]??z[dv?t?o(?t)]?o(?)

?u?v?udt?vdt?zdu??z?dv)?t?(?z??z)o(?t)?o(?)?

?(??udt?vdt?u?v

?z?

多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

?z??z?du??z?dv?(?z??z)o(?t)?o(?)?

?t?udt?vdt?u?v?t?t令?t?0? 上式兩邊取極限? 即得

dz??z?du??z?dv?

dt?udt?vdto(?)o(?)(?u)2?(?v)2注?lim?lim??0?(du)2?(dv)2?0?

?tdtdt?t?0?t?t?0?推廣? 設(shè)z?f(u? v? w)? u??(t)? v??(t)? w??(t)? 則z?f[?(t)? ?(t)? ?(t)]對t 的導(dǎo)數(shù)為?

上述dz??zdu??zdv??zdw?

dt?udt?vdt?wdtdz稱為全導(dǎo)數(shù)?

dt2? 復(fù)合函數(shù)的中間變量均為多元函數(shù)的情形

定理2 如果函數(shù)u??(x? y)? v??(x? y)都在點(x? y)具有對x及y的偏導(dǎo)數(shù)? 函數(shù)z?f(u? v)在對應(yīng)點(u? v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 則復(fù)合函數(shù)z?f [?(x? y)? ?(x? y)]在點(x? y)的兩個偏導(dǎo)數(shù)存在? 且有

?z??z??u??z??v? ?z??z??u??z??v? ?x?u?x?v?x?y?u?y?v?y?z??z??u??z??v??z??w? ?z??z??u??z??v??z??w?

?x?u?x?v?x?w?x?y?u?y?v?y?w?y

推廣? 設(shè)z?f(u? v? w)? u??(x? y)? v??(x? y)? w??(x? y)? 則

討論?

?z?？?z?？

?y?x?z??z??u? ?z??z??u??z?dv?

提示?

?x?u?x?y?u?y?vdy?z?？?z?？

(2)設(shè)z?f(u? x? y)? 且u??(x? y)? 則

?y?x?z??f?u??f? ?z??f?u??f?

提示?

?x?u?x?x?y?u?y?y?z與?f是不同的? ?z是把復(fù)合函數(shù)z?f[?(x? y)? x? y]中的y看作不變而對x的偏導(dǎo)數(shù)? ?f這里?x?x?x?x?z?f是把f(u? x? y)中的u及y看作不變而 對x的偏導(dǎo)數(shù)? 與也朋類似的區(qū)別?

?y?y

(1)設(shè)z?f(u? v)? u??(x? y)? v??(y)? 則

3．復(fù)合函數(shù)的中間變量既有一元函數(shù)? 又有多元函數(shù)的情形

定理3 如果函數(shù)u??(x? y)在點(x? y)具有對x及對y的偏導(dǎo)數(shù)? 函數(shù)v??(y)在點y可導(dǎo)? 函數(shù)z?f(u? v)在對應(yīng)點(u? v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 則復(fù)合函數(shù)z?f[?(x? y)? ?(y)]在點(x? y)的兩個偏導(dǎo)數(shù)存在?

多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

且有

?z??z??u? ?z??z??u??z?dv? ?x?u?x?y?u?y?vdy?z和?z? 例1 設(shè)z?eusin v? u?xy? v?x?y? 求

?x?y

2例2 設(shè)u?f(x,y,z)?ex?y2?z2? 而z?x2siny? 求

?u和?u?

?x?y

例3 設(shè)z?uv?sin t ? 而u?et? v?cos t? 求全導(dǎo)數(shù)

dz?

dt?2w?w

例4 設(shè)w?f(x?y?z? xyz)? f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 求及? ?x?x?z

例5 設(shè)u?f(x? y)的所有二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)? 把下列表達式轉(zhuǎn)換成極坐標系中的形式?

22?u?u?u?u22(1)()?()?

(2)2?2?

?x?y?x?y解 由直角坐標與極坐標間的關(guān)系式得

u?f(x? y)?f(?cosθ? ?sinθ)?F(?? θ)?

其中x??cosθ? y??sinθ? ??x2?y2? ??arctany? x應(yīng)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則? 得

?u??u????u????ux??uy??ucos???uysin??

?x???x???x??????2??????u??u????u????uy??ux??usin???ucos??

????y???y???y??????2??

兩式平方后相加? 得

(?u)2?(?u)2?(?u)2?1(?u)2?

?x?y???2??再求二階偏導(dǎo)數(shù)? 得

?2u??(?u)?????(?u)??? ?x2???x?x???x?x?(?ucos???usin?)?cos? ????????(?ucos???usin?)?sin?

? ????????

?

多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

??2ucos2??2?2usin?cos???2usin?2

???????2??2?22?u2sin?cos??usin??

????????2同理可得

22222?u?u?usin?cos??ucos?2

?sin??2?2??????y2??2???22?u2sin?cos??ucos??

????????2兩式相加? 得

2222?u?u?u11??2?2???2u

2?x?y??????221??u?(?)?u]?

?2[???????2?全微分形式不變性?

設(shè)z?f(u? v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 則有全微分

dz??zdu??zdv?

?u?v如果z?f(u? v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 而u??(x? y)? v??(x? y)也具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 則

?zdx??zdy

?x?y?z?u??z?v)dx?(?z?u??z?v)dy

?（?u?x?v?x?u?y?v?y?z(?udx??udy)??z(?vdx??vdy)

?

?u?x?y?v?x?y

dz?

??zdu??zdv?

?u?v由此可見? 無論z 是自變量u、v的函數(shù)或中間變量u、v的函數(shù)? 它的全微分形式是一樣的? 這個性質(zhì)叫做全微分形式不變性?

例6 設(shè)z?e usin v? u?x y? v?x?y? 利用全微分形式不變性求全微分?

解 dz??zdu??zdv? e usin vdu? e ucos v dv ?u?v

多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

? e usin v(y dx?x dy)? e ucos v(dx?dy)

?(ye usin v? e ucos v)dx?(xe usin v? e ucos v)dy

?e xy [y sin(x?y)?cos(x?y)]dx? e xy [x sin(x?y)?cos(x?y)]dy ?

小結(jié)

1.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈式法則“分段用乘，分叉用加，單路全導(dǎo)，叉路偏導(dǎo)”； 2.全微分形式不變性。

教學(xué)方式及教學(xué)過程中應(yīng)注意的問題

在教學(xué)過程中要注意復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈式法則“分段用乘，分叉用加，單路全導(dǎo)，叉路偏導(dǎo)”，全微分形式不變性，要結(jié)合實例，反復(fù)講解。

師生活動設(shè)計

1.已知f(x,y)|y?x2?1，f1(x,y)|y?x2?2x，求f2(x,y)|y?x2 2.設(shè)函數(shù)z?f(x,y)在點(1,1)處可微，且f(1,1)?1，???f?f|(1,1)?2，|(1,1)?3，?x?y?(x)?f(x,f(x,x))，求d3?(x)|x?1 dx講課提綱、板書設(shè)計

作業(yè) P82: 2，4，6，9，10

§9? 5 隱函數(shù)的求導(dǎo)法則 一、一個方程的情形

隱函數(shù)存在定理1

設(shè)函數(shù)F(x? y)在點P(x0? y0)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? F(x0? y0)?0? Fy(x0? y0)?0? 則方程F(x? y)?0在點(x0? y0)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)y?f(x)? 它滿足條件y0?f(x0)? 并有

Fdy??x?

?dxFy

求導(dǎo)公式證明? 將y?f(x)代入F(x? y)?0? 得恒等式F(x? f(x))?0?

多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

等式兩邊對x求導(dǎo)得

?F??F?dy?0?

?x?ydx由于F y連續(xù)? 且Fy(x0? y0)?0? 所以存在(x0? y0)的一個鄰域? 在這個鄰域同F(xiàn)y ?0? 于是得

Fdy??x?

dxFy

例1 驗證方程x2?y2?1?0在點(0? 1)的某一鄰域內(nèi)能唯一確定一個有連續(xù)導(dǎo)數(shù)、當x?0時y?1的隱函數(shù)y?f(x)? 并求這函數(shù)的一階與二階導(dǎo)數(shù)在x?0的值?

解 設(shè)F(x? y)?x2?y2?1? 則Fx?2x? Fy?2y? F(0? 1)?0? Fy(0? 1)?2?0? 因此由定理1可知? 方程x2?y2?1?0在點(0? 1)的某一鄰域內(nèi)能唯一確定一個有連續(xù)導(dǎo)數(shù)、當x?0時y?1的隱函數(shù)y?f(x)?

Fdydy??x??x? ?0?

dxFyydxx?0x)y?x(?d2yy?xy?yy2?x2????????13?

2223dxyyyy

d2y??1?

dx2x?0

隱函數(shù)存在定理還可以推廣到多元函數(shù)? 一個二元方程F(x? y)?0可以確定一個一元隱函數(shù)? 一個三元方程F(x? y? z)?0可以確定一個二元隱函數(shù)?

隱函數(shù)存在定理2

設(shè)函數(shù)F(x? y? z)在點P(x0? y0? z0)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)? 且F(x0? y0? z0)?0? Fz(x0? y0? z0)?0 ? 則方程F(x? y? z)?0在點(x0? y0? z0)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)z?f(x? y)? 它滿足條件z0?f(x0? y0)? 并有

FyFx?z?z???

???

?

?xFz?yFz

公式的證明? 將z?f(x? y)代入F(x? y? z)?0? 得F(x? y? f(x? y))?0?

將上式兩端分別對x和y求導(dǎo)? 得

Fx?Fz??z?0? F?F??z?0?

?yz?y?x因為F z連續(xù)且F z(x0? y0? z0)?0? 所以存在點(x0? y0? z0)的一個鄰域? 使F z?0? 于是得

多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

FyFx?z?z

??? ???

?xFz?yFz?2z

例2.設(shè)x?y?z?4z?0? 求2?

?x22

2解

設(shè)F(x? y? z)? x2?y2?z2?4z? 則Fx?2x? Fy?2z?4?

?z??Fx??2x?x?

?xFz2z?42?z

?z(2?x)?x(x)(2?x)?x22?2z??x?2?z?(2?x)?x?

?x2(2?z)2(2?z)2(2?z)

3二、方程組的情形

在一定條件下? 由個方程組F(x? y? u? v)?0? G(x? y? u? v)?0可以確定一對二元函數(shù)u?u(x? y)? v?v(x? y)? 例如方程xu?yv?0和yu?xv?1可以確定兩個二元函數(shù)u?yx?

v??

x2?y2x2?y2 事實上?

xu?yv?0 ?v?yxuyu?x?xu?1x?y?x? ?

v???u?2?

yyyx2?y2x2?y2x?y

2如何根據(jù)原方程組求u? v的偏導(dǎo)數(shù)？

隱函數(shù)存在定理

3設(shè)F(x? y? u? v)、G(x? y? u? v)在點P(x0? y0? u0? v0)的某一鄰域內(nèi)具有對各個變量的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 又F(x0? y0? u0? v0)?0? G(x0? y0? u0? v0)?0? 且偏導(dǎo)數(shù)所組成的函數(shù)行列式?

?F?(F,G)?u

J???(u,v)?G?u?F?v ?G?v在點P(x0? y0? u0? v0)不等于零? 則方程組F(x? y? u? v)?0? G(x? y? u? v)?0在點P(x0? y0? u0? v0)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一組連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)u?u(x? y)? v?v(x? y)? 它們滿足條件u0?u(x0? y0)? v0?v(x0? y0)? 并有

Fx?u??1?(F,G)??Gx

?xJ?(x,v)FuGuFvFuGv?v??1?(F,G)??Gu?

Fv?xJ?(u,x)FuGvGuFxGx?

FvGv

多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

?u??1?(F,G)???v??1?(F,G)???

?

?yJ?(y,v)?yJ?(u,y)FuFvFuFvGuGvGuGvFyFvGyGvFuFyGuGy

隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù): 設(shè)方程組F(x? y? u? v)?0? G(x? y? u? v)?0確定一對具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的 二元函數(shù)u?u(x? y)? v?v(x? y)? 則

?F?F?u?F?v?0,?xu?xv?x?u?v 偏導(dǎo)數(shù)? 由方程組?確定?

?u?v?x?x?Gx?Gu?Gv?0.?x?x??F?F?u?F?v?0,?yu?yv?y?v?u 偏導(dǎo)數(shù)? 由方程組?確定?

?u?v?y?y?Gy?Gu?Gv?0.?y?y??u? ?v? ?u和?v?

例3 設(shè)xu?yv?0? yu?xv?1? 求?x?x?y?y?u和?v的方程組 解 兩個方程兩邊分別對x 求偏導(dǎo)? 得關(guān)于

?x?x?u?x?u?y?v?0??x?x? ??u?v?y?v?x?0?x??x當x2?y2 ?0時? 解之得?u??xu?yv? ?v?yu?xv?

?xx2?y2?xx2?y2?u和?v的方程組

?y?y

兩個方程兩邊分別對x 求偏導(dǎo)? 得關(guān)于

?x?u?v?y?v?0??y?y? ??u?v?u?y?x?0?y?y?當x2?y2 ?0時? 解之得?u?xv?yu? ?v??xu?yv?

?yx2?y2?yx2?y例? 設(shè)函數(shù)x?x(u? v)? y?y(u? v)在點(u? v)的某一領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)且有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 又

多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

(1)證明方程組

??(x,y)?0? ?(u,v)?x?x(u,v)y?y(u,v)?在點(x? y? u? v)的某一領(lǐng)域內(nèi)唯一確定一組單值連續(xù)且有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的反函數(shù)u?u(x? y)? v?v(x? y)?

(2)求反函數(shù)u?u(x? y)? v?v(x? y)對x? y的偏導(dǎo)數(shù)?

解(1)將方程組改寫成下面的形式

??F(x,y,u,v)?x?x(u,v)?0?

G(x,y,u,v)?y?y(u,v)?0??(F,G)?(x,y)??0.?(u,v)?(u,v)則按假設(shè)

J?由隱函數(shù)存在定理3? 即得所要證的結(jié)論?

(2)將方程組(7)所確定的反函數(shù)u?u(x? y)?v?v(x? y)代入(7)? 即得

??x?x[u(x,y),v(x,y)]? y?y[u(x,y),v(x,y)]?將上述恒等式兩邊分別對x求偏導(dǎo)數(shù)?得

?1??x??u??x??v?

??u?x?v?x? ?y?y?0???u???v??u?x?v?x由于J?0? 故可解得

同理? 可得

?u?1?y?v??1?y? ?

?xJ?v?xJ?u?u??1?x?v?1?x? ? ?yJ?v?yJ?u小結(jié)

1.隱函數(shù)（組）存在定理；

2.隱函數(shù)（組）求導(dǎo)方法：方法（1）利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接計算；（2）利用微分形式不變性；（3）代公式。

教學(xué)方式及教學(xué)過程中應(yīng)注意的問題

多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

在教學(xué)過程中要注意隱函數(shù)（組）存在定理和求導(dǎo)方法，要結(jié)合實例，反復(fù)講解。

師生活動設(shè)計

1.設(shè)函數(shù)u?f(x,y,z)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，又函數(shù)y?y(x)及z?z(x)分別由下列兩式確定：exy?xy?2，e?x?x?z0dusintdt，求。

dxt2.設(shè)y?y(x)，z?z(x)由方程z?xf(x?y)和F(x,y,z)?0所確定的函數(shù)，求

dz。dx講課提綱、板書設(shè)計

作業(yè) P89: 3，4，6，7，10（2）（4）

§9? 6多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用

一.一元向量值函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)

?x??(t)?空間曲線?的參數(shù)方程為：?y??(t)，t?[?,?]

?z??(t)?此方程也可以寫成向量形式。若記

????????r?xi?yj?zk，f(t)??(t)i??(t)j??(t)k，于是

??r?f(t)，t?[?,?]，這就確定了一個從實數(shù)到向量的一個映射。

?定義1：設(shè)數(shù)集D?R，則映射f:D?Rn為一元向量值函數(shù)，記作

多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

??

r?f(t)，t?D

其中數(shù)集D稱為函數(shù)的定義域，t稱為自變量，r稱為因變量。

在R中，f(t)可表示為： 3??

???f(t)?f1(t)i?f2(t)j?f3(t)k，t?D ?或者

f(t)?(f1(t),f2(t),f3(t))，t?D 下面研究向量值函數(shù)的極限，連續(xù)性，導(dǎo)數(shù)。1.向量值函數(shù)極限：

定義2：設(shè)向量值函數(shù)f(t)在點t0的某一去心領(lǐng)域內(nèi)有定義，若存在一個常向量r0，對于任意給定的正數(shù)?，總存在正數(shù)?，使得當t滿足0?|t?t0|??時，對應(yīng)的函數(shù)值f(t)都滿足不等式

??????

|f(t)?r0|??

??則稱常向量r0為向量值函數(shù)f(t)當t?t0時的極限，記作

??limf(t)?r0

?等價于limf(t)?(limf1(t),limf2(t),limf3(t))

t?t0t?t0t?t0t?t0t?t02.向量值函數(shù)連續(xù)：

???設(shè)向量值函數(shù)f(t)在點t0的某一領(lǐng)域內(nèi)有定義，若limf(t)?f(t0)，則稱向量值函數(shù)f(t)?

t?t0在點t0處連續(xù)。

等價于f1(t),f2(t),f3(t)都在點t0處連續(xù)。

向量值函數(shù)f(t)，t?D，若f(t)在D上每一點都連續(xù)，則稱f(t)是D上的連續(xù)函數(shù)。3.向量值函數(shù)導(dǎo)數(shù)：

定義3：設(shè)向量值函數(shù)f(t)在點t0的某一領(lǐng)域內(nèi)有定義，如果 ??

?

?

???f(t0??t)?f(t0)?rlim?lim存在，?t?0?t?t?0?t

多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

?

??dr|t?t。則稱此極限向量為向量值函數(shù)f(t)在點t0處的導(dǎo)數(shù)或?qū)蛄?，記作f?(t0)或

dt0???向量值函數(shù)f(t)，t?D，若f(t)在D上每一點都可導(dǎo)，則稱f?(t)是D上的導(dǎo)函數(shù)。???????等價于：f1(t),f2(t),f3(t)都在點t處可導(dǎo)，即f?(t)?f1(t)i?f2(t)j?f3(t)k。

4.導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)。

5.導(dǎo)函數(shù)的幾何意義：向量值函數(shù)f(t)在點t0處的導(dǎo)數(shù)表示在此處的一個切向量。

?

????例1.設(shè)f(t)?(cost)i?(sint)j?tk，求limf(t)。?t???42例2.空間曲線?的向量方程為f(t)?(t?1,4t?3,2t?6t)，t?R，求曲線?在與點

2t0?2相應(yīng)的點處的單位且向量。

二.空間曲線的切線與法平面

設(shè)空間曲線?的參數(shù)方程為

?x??(t)?

?y??(t)，t?[?,?]

?z??(t)?這里假定?(t)? ?(t)? ?(t)都在[?? ?]上可導(dǎo)?

記：f(t)?(?(t),?(t),?(t))，t?[?,?]。由向量值函數(shù)的導(dǎo)向量的幾何意義知： ???向量T?f?(t0)?(??(t0),??(t0),??(t0))，于是

曲線?在點M0處的切線方程為

x?x0y?y0z?z0??? ??(t0)??(t0)??(t0)

法平面? 通過點M0而與切線垂直的平面稱為曲線?在點M0 處的法平面? 其法平面方程為

??(t0)(x?x0)???(t0)(y?y0)???(t0)(z?z0)?0?

例3 求曲線x?t? y?t2? z?t3在點(1? 1? 1)處的切線及法平面方程?

解

因為xt??1? yt??2t? zt??3t2? 而點(1? 1? 1)所對應(yīng)的參數(shù)t?1? 所以

T ?(1? 2? 3)?

于是? 切線方程為

多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

法平面方程為 x?1?y?1?z?1?

12(x?1)?2(y?1)?3(z?1)?0? 即x?2y?3z?6?

討論?

1? 若曲線?的方程為

y??(x)? z??(x)?

問其切線和法平面方程是什么形式?

提示? 曲線方程可看作參數(shù)方程? x?x? y??(x)? z??(x)? 切向量為T?(1? ??(x)? ??(x))?

2? 若曲線?的方程為

F(x? y? z)?0? G(x? y? z)?0?

問其切線和法平面方程又是什么形式??

提示? 兩方程確定了兩個隱函數(shù)?

y??(x)? z??(x)? 曲線的參數(shù)方程為

x?x? y??(x)? z??(x)? ?dy?dz?0F?F?Fxyz?dydzdxdx由方程組?可解得和?? dydxdx?Gx?Gy?Gzdz?0dxdx?切向量為T?(1, dydz,)? dxdx

例4 求曲線x2?y2?z2?6? x?y?z?0在點(1? ?2? 1)處的切線及法平面方程? ?

解 為求切向量? 將所給方程的兩邊對x求導(dǎo)數(shù)? 得

dy?dz?02x?2y?2z?dxdx??

?dy?1??dz?0?dxdx解方程組得

dydyz?xdzx?y?0? dz??1????? ? 在點(1? ?2? 1)處? dxdxy?zdxy?zdx從而T ?(1? 0? ?1)?

所求切線方程為

法平面方程為

(x?1)?0?(y?2)?(z?1)?0? 即x?z?0? x?1?y?2?z?1?

10?多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

三? 曲面的切平面與法線

設(shè)曲面?的方程為

F(x? y? z)?0?

M0(x0? y0? z0)是曲面?上的一點?

并設(shè)函數(shù)F(x? y? z)的偏導(dǎo)數(shù)在該點連續(xù)且不同時為零? 在曲面?上? 通過點M0任意引一條曲線?? 假定曲線?的參數(shù)方程式為

x??(t)? y??(t)? z??(t)?

t?t0對應(yīng)于點M0(x0? y0? z0)? 且??(t0)? ??(t0)? ??(t0)不全為零? 曲線在點的切向量為

T ?(??(t0)? ??(t0)? ??(t0))?

考慮曲面方程F(x? y? z)?0兩端在t?t0的全導(dǎo)數(shù)?

Fx(x0? y0? z0)??(t0)?Fy(x0? y0? z0)??(t0)?Fz(x0? y0? z0)??(t0)?0?

引入向量

n?(Fx(x0? y0? z0)? Fy(x0? y0? z0)? Fz(x0? y0? z0))?

易見T與n是垂直的? 因為曲線?是曲面?上通過點M0的任意一條曲線? 它們在點M0的切線都與同一向量n垂直? 所以曲面上通過點M0的一切曲線在點M0的切線都在同一個平面上? 這個平面稱為曲面?在點M0的切平面? 這切平面的方程式是

Fx(x0? y0? z0)(x?x0)?Fy(x0? y0? z0)(y?y0)?Fz(x0? y0? z0)(z?z0)?0?

曲面的法線? 通過點M0(x0? y0? z0)而垂直于切平面的直線稱為曲面在該點的法線? 法線方程為

x?x0y?y0z?z0?

??Fx(x0, y0, z0)Fy(x0, y0, z0)Fz(x0, y0, z0)

曲面的法向量? 垂直于曲面上切平面的向量稱為曲面的法向量? 向量

n?(Fx(x0? y0? z0)? Fy(x0? y0? z0)? Fz(x0? y0? z0))就是曲面?在點M0處的一個法向量?

例5 求球面x2?y2?z2?14在點(1? 2? 3)處的切平面及法線方程式?

解

F(x? y? z)? x2?y2?z2?14?

Fx?2x? Fy?2y ? Fz?2z ?

Fx(1? 2? 3)?2? Fy(1? 2? 3)?4? Fz(1? 2? 3)?6?

法向量為n?(2? 4? 6)? 或n?(1? 2? 3)?

所求切平面方程為

2(x?1)?4(y?2)?6(z?3)?0? 即x?2y?3z?14?0?

多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

法線方程為x?1?y?2?z?3?

123

討論? 若曲面方程為z?f(x? y)? 問曲面的切平面及法線方程式是什么形式?

提示?

此時F(x? y? z)?f(x? y)?z ?

n?(fx(x0? y0)? fy(x0? y0)? ?1)

例6.求旋轉(zhuǎn)拋物面z?x2?y2?1在點(2? 1? 4)處的切平面及法線方程?

小結(jié)

1.一元向量值函數(shù)的定義以及極限，連續(xù)性，導(dǎo)數(shù)；

2.空間曲線的切線與法平面； 3.曲面的切平面與法線。

教學(xué)方式及教學(xué)過程中應(yīng)注意的問題

在教學(xué)過程中要注意一元向量值函數(shù)的定義以及極限，連續(xù)性，導(dǎo)數(shù)，空間曲線的切線與法平面、曲面的切平面與法線的定義及其求解方法，要結(jié)合實例，反復(fù)講解。

師生活動設(shè)計

1.證明曲面F(x?my,z?ny)?0的所有切平面恒與定直線平行，其中F(u,v)可微。

?x2?y2?z2?3x?02.求曲線?在點(1,1,1)的切線與法平面。

?2z?3y?5z?4?0講課提綱、板書設(shè)計

作業(yè) P100: 3，4，5，8，9，10

§9? 7 方向?qū)?shù)與梯度

一、方向?qū)?shù)

現(xiàn)在我們來討論函數(shù)z?f(x? y)在一點P沿某一方向的變化率問題?

設(shè)l是xOy平面上以P0(x0? y0)為始點的一條射線? el?(cos ?? cos ?)是與l同方向的單位向量? 射線l的參數(shù)方程為

多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

x?x0?t cos ?? y?y0?t cos ?(t?0)?

設(shè)函數(shù)z?f(x? y)在點P0(x0? y0)的某一鄰域U(P0)內(nèi)有定義? P(x0?t cos ?? y0?t cos ?)為l上另一點? 且P?U(P0)? 如果函數(shù)增量f(x0?t cos ?? y0?t cos ?)?f(x0? y0)與P到P0的距離|PP0|?t的比值

f(x0?tcos?, y0?tcos?)?f(x0,y0)

t當P沿著l趨于P0(即t?t0?)時的極限存在?

則稱此極限為函數(shù)f(x? y)在點P0沿方向l的方向?qū)?shù)? 記作?f?l(x0,y0)? 即

?f?l(x0,y0)?lim?t?0f(x0?tcos?, y0?tcos?)?f(x0,y0)?

t

從方向?qū)?shù)的定義可知? 方向?qū)?shù)率?

方向?qū)?shù)的計算?

?f?l(x0,y0)就是函數(shù)f(x? y)在點P0(x0? y0)處沿方向l的變化

定理

如果函數(shù)z?f(x? y)在點P0(x0? y0)可微分? 那么函數(shù)在該點沿任一方向l 的方向?qū)?shù)都存在? 且有

?f?l(x0,y0)?fx(x0,y0)cos??fy(x0,y0)cos??

其中cos ?? cos ?是方向l 的方向余弦?

簡要證明? 設(shè)?x?t cos ?? ?y?t cos ?? 則

f(x0?tcos?? y0?tcos?)?f(x0? y0)?f x(x0? y0)tcos??f y(x0? y0)tcos??o(t)?

所以

lim?t?0f(x0?tcos?, y0?tcos?)?f(x0,y0)?fx(x0,y0)cos??fy(x0,y0)sin??

t這就證明了方向?qū)?shù)的存在? 且其值為

?f?l(x0,y0)?fx(x0,y0)cos??fy(x0,y0)cos???提示? f(x0??x,y0??y)?f(x0,y0)?fx(x0,y0)?x?fy(x0,y0)?y?o((?x)2?(?y)2)?

?x?t cos ?? ?y?t cos ??(?x)2?(?y)2?t?

討論? 函數(shù)z?f(x? y)在點P 沿x軸正向和負向?

沿y軸正向和負向的方向?qū)?shù)如何?

多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

提示?

?f?f??

?l?x?f?f 沿x軸負向時? cos???1? cos??0? ??? ?

?l?x 沿x軸正向時? cos???? cos??0?

例1 求函數(shù)z?xe2y在點P(1? 0)沿從點P(1? 0)到點Q(2? ?1)的方向的方向?qū)?shù)?

解 這里方向l即向量PQ?(1, ?1)的方向? 與l同向的單位向量為 ?el?(1, ?1)? 因為函數(shù)可微分? 且所以所求方向?qū)?shù)為

?z?x(1,0)?e2y?1? ?z(1,0)?y(1,0)?2xe2y(1,0)?2???z?1?1?2?(?1)??2?

?l(1,0)22

2對于三元函數(shù)f(x? y? z)來說? 它在空間一點P0(x0? y0? z0)沿el?(cos ??? cos ??? cos ?)的方向?qū)?shù)為?

?f?l(x0,y0,z0)?lim?t?0f(x0?tcos?, y0?tcos?,z0?tcos?)?f(x0,y0,z0)?

t

如果函數(shù)f(x? y? z)在點(x0? y0? z0)可微分? 則函數(shù)在該點沿著方向el?(cos ??? cos ??? cos ??的方向?qū)?shù)為

?f?l(x0,y0,z0)?fx(x0? y0? z0)cos??fy(x0? y0? z0)cos??fz(x0? y0? z0)cos??

例2求f(x? y? z)?xy?yz?zx在點(1? 1? 2)沿方向l的方向?qū)?shù)? 其中l(wèi)的方向角分別為60?? 45?? 60??

二? 梯度

設(shè)函數(shù)z?f(x? y)在平面區(qū)域D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 則對于每一點P0(x0? y0)?D? 都可確定一個向量

fx(x0? y0)i?fy(x0? y0)j?

這向量稱為函數(shù)f(x? y)在點P0(x0? y0)的梯度? 記作grad f(x0? y0)? 即

grad f(x0? y0)? fx(x0? y0)i?fy(x0? y0)j?

梯度與方向?qū)?shù)? ?

多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

如果函數(shù)f(x? y)在點P0(x0? y0)可微分? el?(cos ??? cos ??)是與方向l同方向的單位向量? 則

?f?l(x0,y0)?fx(x0,y0)cos??fy(x0,y0)cos??

? grad f(x0? y0)?el

?| grad f(x0? y0)|?cos(grad f(x0? y0)?^ el)?

這一關(guān)系式表明了函數(shù)在一點的梯度與函數(shù)在這點的方向?qū)?shù)間的關(guān)系? 特別? 當向量el與grad f(x0? y0)的夾角??0? 即沿梯度方向時? 方向?qū)?shù)

?f?l取得最大值? 這個最大值就是梯度

(x0,y0)的模|grad f(x0? y0)|? 這就是說? 函數(shù)在一點的梯度是個向量? 它的方向是函數(shù)在這點的方向?qū)?shù)取得最大值的方向? 它的模就等于方向?qū)?shù)的最大值?

討論? ?f的最大值?

??l

結(jié)論? 函數(shù)在某點的梯度是這樣一個向量? 它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致? 而它的模為方向?qū)?shù)的最大值?

我們知道? 一般說來二元函數(shù)z?f(x? y)在幾何上表示一個曲面? 這曲面被平面z?c(c是常數(shù))所截得的曲線L的方程為

??z?f(x,y)?

?z?c這條曲線L在xOy面上的投影是一條平面曲線L*? 它在xOy平面上的方程為

f(x? y)?c?

對于曲線L*上的一切點? 已給函數(shù)的函數(shù)值都是c? 所以我們稱平面曲線L*為函數(shù)z?f(x? y)的等值線?

若f x? f y不同時為零? 則等值線f(x? y)?c上任一點P0(x0? y0)處的一個單位法向量為

n?1(fx(x0,y0),fy(x0,y0))?

22fx(x0,y0)?fy(x0,y0)這表明梯度grad f(x0? y0)的方向與等值線上這點的一個法線方向相同? 而沿這個方向的方向?qū)?shù)?f就等于|grad f(x0? y0)|? 于是 ?n?f

gradf(x0,y0)?n?

?n

這一關(guān)系式表明了函數(shù)在一點的梯度與過這點的等值線、方向?qū)?shù)間的關(guān)系? 這說是說? 函數(shù)在一點的梯度方向與等值線在這點的一個法線方向相同? 它的指向為從數(shù)值較低的等值線指

多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

向數(shù)值較高的等值線? 梯度的模就等于函數(shù)在這個法線方向的方向?qū)?shù)?

梯度概念可以推廣到三元函數(shù)的情形? 設(shè)函數(shù)f(x? y? z)在空間區(qū)域G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 則對于每一點P0(x0? y0? z0)?G? 都可定出一個向量

fx(x0? y0? z0)i?fy(x0? y0? z0)j?fz(x0? y0? z0)k?

這向量稱為函數(shù)f(x? y? z)在點P0(x0? y0? z0)的梯度? 記為grad f(x0? y0? z0)? 即

grad f(x0? y0? z0)?fx(x0? y0? z0)i?fy(x0? y0? z0)j?fz(x0? y0? z0)k?

結(jié)論? 三元函數(shù)的梯度也是這樣一個向量? 它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致? 而它的模為方向?qū)?shù)的最大值?

如果引進曲面

f(x? y? z)?c

為函數(shù)的等量面的概念? 則可得函數(shù)f(x? y? z)在點P0(x0? y0? z0)的梯度的方向與過點P0的等量面 f(x? y? z)?c在這點的法線的一個方向相同? 且從數(shù)值較低的等量面指向數(shù)值較高的等量面? 而梯度的模等于函數(shù)在這個法線方向的方向?qū)?shù)?

例3 求grad 1?

x2?y2 例4 設(shè)f(x? y? z)?x2?y2?z2? 求grad f(1? ?1? 2)?

數(shù)量場與向量場? 如果對于空間區(qū)域G內(nèi)的任一點M? 都有一個確定的數(shù)量f(M)? 則稱在這空間區(qū)域G內(nèi)確定了一個數(shù)量場(例如溫度場、密度場等)? 一個數(shù)量場可用一個數(shù)量函數(shù)f(M)來確定? 如果與點M相對應(yīng)的是一個向量F(M)? 則稱在這空間區(qū)域G內(nèi)確定了一個向量場(例如力

?場、速度場等)? 一個向量場可用一個向量函數(shù)F(M)來確定? 而

F(M)?P(M)i?Q(M)j?R(M)k?

其中P(M)? Q(M)? R(M)是點M的數(shù)量函數(shù)?

利用場的概念? 我們可以說向量函數(shù)grad f(M)確定了一個向量場——梯度場? 它是由數(shù)量場f(M)產(chǎn)生的? 通常稱函數(shù)f(M)為這個向量場的勢? 而這個向量場又稱為勢場? 必須注意? 任意一個向量場不一定是勢場? 因為它不一定是某個數(shù)量函數(shù)的梯度場??

例5 試求數(shù)量場間的距離?

m所產(chǎn)生的梯度場? 其中常數(shù)m>0? r?x2?y2?z2為原點O與點M(x? y? z)r小結(jié)

1.方向?qū)?shù)的定義，幾何意義以及求法； 2.梯度的定義及物理意義。

教學(xué)方式及教學(xué)過程中應(yīng)注意的問題

多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

在教學(xué)過程中要注意方向?qū)?shù)和梯度的定義，幾何意義以及求法，要結(jié)合實例，反復(fù)講解。

師生活動設(shè)計

1.函數(shù)u?ln(x2?y2?z2)在點M(1,2,?2)處的梯度gradu|M? 2.函數(shù)u?ln(x?（96考研）y2?z2)在點A(1,0,1)處沿點A指向B(3,?2,2)方向的方向?qū)?shù)是多少？講課提綱、板書設(shè)計

作業(yè) P108: 1，4，6，7，8

§9? 8 多元函數(shù)的極值及其求法

一、多元函數(shù)的極值及最大值、最小值

定義

設(shè)函數(shù)z?f(x? y)在點(x0? y0)的某個鄰域內(nèi)有定義? 如果對于該鄰域內(nèi)任何異于(x0? y0)的點(x? y)? 都有

f(x? y)f(x0? y0))?

則稱函數(shù)在點(x0? y0)有極大值(或極小值)f(x0? y0)?

極大值、極小值統(tǒng)稱為極值? 使函數(shù)取得極值的點稱為極值點?

例1 函數(shù)z?3x2?4y2在點(0? 0)處有極小值?

?

當(x? y)?(0? 0)時? z?0? 而當(x? y)?(0? 0)時? z?0? 因此z?0是函數(shù)的極小值?

例2 函數(shù)z??x2?y2在點(0? 0)處有極大值?

?

當(x? y)?(0? 0)時? z?0? 而當(x? y)?(0? 0)時? z?0? 因此z?0是函數(shù)的極大值?

例3 函數(shù)z?xy在點(0? 0)處既不取得極大值也不取得極小值?

?

因為在點(0? 0)處的函數(shù)值為零? 而在點(0? 0)的任一鄰域內(nèi)? 總有使函數(shù)值為正的點? 也有使函數(shù)值為負的點?

以上關(guān)于二元函數(shù)的極值概念? 可推廣到n元函數(shù)?

設(shè)n元函數(shù)u?f(P)在點P0的某一鄰域內(nèi)有定義? 如果對于該鄰域內(nèi)任何異于P0的點P? 都有

f(P)f(P 0))?

則稱函數(shù)f(P)在點P0有極大值(或極小值)f(P0)?

定理1(必要條件)設(shè)函數(shù)z?f(x? y)在點(x0? y0)具有偏導(dǎo)數(shù)? 且在點(x0? y0)處有極值? 則有

fx(x0? y0)?0? fy(x0? y0)?0?

證明 不妨設(shè)z?f(x? y)在點(x0? y0)處有極大值? 依極大值的定義? 對于點(x0? y0)的某鄰域內(nèi)異

多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

于(x0? y0)的點(x? y)? 都有不等式

f(x? y)

特殊地? 在該鄰域內(nèi)取y?y0而x?x0的點? 也應(yīng)有不等式

f(x? y0)

這表明一元函數(shù)f(x? y0)在x?x0處取得極大值? 因而必有

fx(x0? y0)?0?

類似地可證

fy(x0? y0)?0?

從幾何上看? 這時如果曲面z?f(x? y)在點(x0? y0? z0)處有切平面? 則切平面

z?z0?fx(x0? y0)(x?x0)? fy(x0? y0)(y?y0)成為平行于xOy坐標面的平面z?z0?

類似地可推得? 如果三元函數(shù)u?f(x? y? z)在點(x0? y0? z0)具有偏導(dǎo)數(shù)? 則它在點(x0? y0? z0)具有極值的必要條件為

fx(x0? y0? z0)?0? fy(x0? y0? z0)?0? fz(x0? y0? z0)?0?

仿照一元函數(shù)? 凡是能使fx(x? y)?0? fy(x? y)?0同時成立的點(x0? y0)稱為函數(shù)z?f(x? y)的駐點?

從定理1可知? 具有偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的極值點必定是駐點? 但函數(shù)的駐點不一定是極值點?

?

例如? 函數(shù)z?xy在點(0? 0)處的兩個偏導(dǎo)數(shù)都是零? 函數(shù)在(0? 0)既不取得極大值也不取得極小值?

?

定理2(充分條件)

設(shè)函數(shù)z?f(x? y)在點(x0? y0)的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 又fx(x0? y0)?0? fy(x0? y0)?0? 令

fxx(x0? y0)?A? fxy(x0? y0)?B? fyy(x0? y0)?C?

則f(x? y)在(x0? y0)處是否取得極值的條件如下?

(1)AC?B2>0時具有極值? 且當A<0時有極大值? 當A>0時有極小值?

(2)AC?B2<0時沒有極值?

(3)AC?B2?0時可能有極值? 也可能沒有極值?

??在函數(shù)f(x? y)的駐點處如果 fxx? fyy?fxy2>0? 則函數(shù)具有極值? 且當fxx<0時有極大值? 當fxx>0時有極小值?

極值的求法?

第一步 解方程組

fx(x? y)?0? fy(x? y)?0?

多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

求得一切實數(shù)解? 即可得一切駐點?

第二步 對于每一個駐點(x0? y0)? 求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值A(chǔ)、B和C?

第三步 定出AC?B2的符號? 按定理2的結(jié)論判定f(x0? y0)是否是極值、是極大值 還是極小值?

例4 求函數(shù)f(x? y)?x3?y3?3x2?3y2?9x 的極值?

?fx(x,y)?3x2?6x?9?0 解 解方程組??

2f(x,y)??3y?6y?0?y求得x?1? ?3? y?0? 2? 于是得駐點為(1? 0)、(1? 2)、(?3? 0)、(?3? 2)?

再求出二階偏導(dǎo)數(shù)

fxx(x? y)?6x?6? fxy(x? y)?0? fyy(x? y)??6y?6?

在點(1? 0)處? AC?B2?12?6>0? 又A>0? 所以函數(shù)在(1? 0)處有極小值f(1? 0)??5?

在點(1? 2)處? AC?B2?12?(?6)<0? 所以f(1? 2)不是極值?

在點(?3? 0)處? AC?B2??12?6<0? 所以f(?3? 0)不是極值?

在點(?3? 2)處? AC?B2??12?(?6)>0? 又A<0? 所以函數(shù)的(?3? 2)處有極大值f(?3? 2)?31?

應(yīng)注意的問題?

不是駐點也可能是極值點?

例如? ? 函數(shù)z??x2?y2在點(0? 0)處有極大值? 但(0? 0)不是函數(shù)的駐點? 因此? 在考慮函數(shù)的極值問題時? 除了考慮函數(shù)的駐點外? 如果有偏導(dǎo)數(shù)不存在的點? 那么對這些點也應(yīng)當考慮?

最大值和最小值問題? 如果f(x? y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)? 則f(x? y)在D上必定能取得最大值和最小值? 這種使函數(shù)取得最大值或最小值的點既可能在D的內(nèi)部? 也可能在D的邊界上? 我們假定? 函數(shù)在D上連續(xù)、在D內(nèi)可微分且只有有限個駐點? 這時如果函數(shù)在D的內(nèi)部取得最大值(最小值)? 那么這個最大值(最小值)也是函數(shù)的極大值(極小值)? 因此? 求最大值和最小值的一般方法是? 將函數(shù)f(x? y)在D內(nèi)的所有駐點處的函數(shù)值及在D的邊界上的最大值和最小值相互比較? 其中最大的就是最大值? 最小的就是最小值? 在通常遇到的實際問題中? 如果根據(jù)問題的性質(zhì)? 知道函數(shù)f(x? y)的最大值(最小值)一定在D的內(nèi)部取得? 而函數(shù)在D內(nèi)只有一個駐點? 那么可以肯定該駐點處的函數(shù)值就是函數(shù)f(x? y)在D上的最大值(最小值)?

例5 某廠要用鐵板做成一個體積為8m3的有蓋長方體水箱? 問當長、寬、高各取多少時? 才能使用料最省?

解 設(shè)水箱的長為xm? 寬為ym? 則其高應(yīng)為

8m? 此水箱所用材料的面積為 xy

多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

A?2(xy?y?8?x?8)?2(xy?8?8)(x?0, y?0)?

xyxyxy88令A(yù)x?2(y?2)?0? Ay?2(x?2)?0? 得x?2? y?2?

yx

根據(jù)題意可知? 水箱所用材料面積的最小值一定存在? 并在開區(qū)域D?{(x? y)|x>0? y>0}內(nèi)取得? 因為函數(shù)A在D內(nèi)只有一個駐點? 所以 此駐點一定是A的最小值點? 即當水箱的長為2m、8?2m時? 水箱所用的材料最省?

因此A在D內(nèi)的唯一駐點(2? 2)處取得最小2?28?2m時? 所用材料最省??值? 即長為2m、寬為2m、高為2?2寬為2m、高為

例6 有一寬為24cm的長方形鐵板? 把它兩邊折起來做成一斷面為等腰梯形的水槽? 問怎樣折法才能使斷面的面積最大？?

解 設(shè)折起來的邊長為xcm? 傾角為?? 那末梯形斷面的下底長為24?2x? 上底長為24?2x?cos?? 高為x?sin?? 所以斷面面積

A?(24?2x?2xcos??24?2x)?xsin??

即A?24x?sin??2x2sin??x2sin? cos?(0

可見斷面面積A是x和?的二元函數(shù)? 這就是目標函數(shù)? 面求使這函數(shù)取得最大值的點(x? ?)? 令A(yù)x?24sin??4xsin??2xsin? cos??0?

A??24xcos??2x2 cos??x2(cos2??sin2?)?0?

由于sin? ?0? x?0? 上述方程組可化為

?12?12?2x?xcos??0?

2224cos??2xcos??x(cos??sin?)?0?解這方程組? 得??60?? x?8cm?

根據(jù)題意可知斷面面積的最大值一定存在? 并且在D?{(x? y)|0

二、條件極值

拉格朗日乘數(shù)法

對自變量有附加條件的極值稱為條件極值?

例如? 求表面積為a2而體積為最大的長方體的體積問題? 設(shè)長方體的三棱的長為x? y? z? 則體積V?xyz? 又因假定表面積為a2? 所以自變量x? y? z還必須滿足附加條件2(xy?yz?xz)?a2?

?

這個問題就是求函數(shù)V?xyz在條件2(xy?yz?xz)?a2下的最大值問題? 這是一個條件極值問題?

對于有些實際問題? 可以把條件極值問題化為無條件極值問題?

?

多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

例如上述問題? 由條件2(xy?yz?xz)?a2?

a2?2xyxya2?2xy解得z?? 于是得V?()? ?

2(x?y)2(x?y)只需求V的無條件極值問題?

在很多情形下? 將條件極值化為無條件極值并不容易? 需要另一種求條件極值的專用方法? 這就是拉格朗日乘數(shù)法?

現(xiàn)在我們來尋求函數(shù)z?f(x? y)在條件?(x? y)?0下取得極值的必要條件?

如果函數(shù)z?f(x? y)在(x0? y0)取得所求的極值? 那么有

?(x0? y0)?0?

假定在(x0? y0)的某一鄰域內(nèi)f(x? y)與?(x? y)均有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)? 而?y(x0? y0)?0?

由隱函數(shù)存在定理? 由方程?(x? y)?0確定一個連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)y??(x)? 將其代入目標函數(shù)z?f(x? y)? 得一元函數(shù)

z?f [x? ?(x)]?

于是x?x0是一元函數(shù)z?f [x? ?(x)]的極值點? 由取得極值的必要條件? 有

dzdxx?x0?fx(x0,y0)?fy(x0,y0)dydxx?x0?0?

即

fx(x0,y0)?fy(x0,y0)?x(x0,y0)?0?

?y(x0,y0)從而函數(shù)z?f(x? y)在條件?(x? y)?0下在(x0? y0)取得極值的必要條件是

fx(x0,y0)?fy(x0,y0)?x(x0,y0)?0與?(x0? y0)?0同時成立?

?y(x0,y0)

設(shè)fy(x0,y0)???? 上述必要條件變?yōu)??y(x0,y0)?fx(x0,y0)???x(x0,y0)?0?

?fy(x0,y0)???y(x0,y0)?0?

???(x0,y0)?0

拉格朗日乘數(shù)法? 要找函數(shù)z?f(x? y)在條件?(x? y)?0下的可能極值點? 可以先構(gòu)成輔助函數(shù)

F(x? y)?f(x? y)???(x? y)?

其中?為某一常數(shù)?

然后解方程組

?Fx(x,y)?fx(x,y)???x(x,y)?0?

?Fy(x,y)?fy(x,y)???y(x,y)?0?

???(x,y)?0

多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

由這方程組解出x? y及?? 則其中(x? y)就是所要求的可能的極值點?

這種方法可以推廣到自變量多于兩個而條件多于一個的情形?

至于如何確定所求的點是否是極值點? 在實際問題中往往可根據(jù)問題本身的性質(zhì)來判定?

例7 求表面積為a2而體積為最大的長方體的體積?

解 設(shè)長方體的三棱的長為x? y? z? 則問題就是在條件

2(xy?yz?xz)?a2

下求函數(shù)V?xyz的最大值?

構(gòu)成輔助函數(shù)

F(x? y? z)?xyz??(2xy ?2yz ?2xz ?a2)?

解方程組

?Fx(x,y,z)?yz?2?(y?z)?0??Fy(x,y,z)?xz?2?(x?z)?0?F(x,y,z)?xy?2?(y?x)?0?

?z2??2xy?2yz?2xz?a得x?y?z?6a?

66a3?

36這是唯一可能的極值點?

因為由問題本身可知最大值一定存在? ?所以最大值就在這個可能的值點處取得? 此時V?小結(jié)

1.函數(shù)的極值問題：第一步，在定義域內(nèi)找到所有的駐點，第二步，判斷駐點是否為極值點；

2.函數(shù)的條件極值問題； 3.函數(shù)的最值問題。

教學(xué)方式及教學(xué)過程中應(yīng)注意的問題

在教學(xué)過程中要注意函數(shù)的條件極值及最值問題：第一步，在定義域內(nèi)找到所有的駐點，第二步，判斷駐點是否為極值點，進而確定最值，要結(jié)合實例，反復(fù)講解。

師生活動設(shè)計

x2y2??1(x?0,y?0)圓周上求一點C，使1.已知平面上兩定點A(1,3),B(4,2)，試在橢圓94得?ABC面積S?最大。

2.求平面上以a,b,c,d為邊的面積最大的四邊形。

講課提綱、板書設(shè)計

作業(yè) P118: 3，4，8，9，10

多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

習(xí)題課

一、基本概念

1.多元函數(shù)的定義、極限、連續(xù)（1）定義域及對應(yīng)規(guī)律

（2）判斷極限不存在及求極限的方法（3）函數(shù)的連續(xù)性及其性質(zhì) 2.幾個基本概念的關(guān)系

連續(xù)??可微??偏導(dǎo)數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)?可微

?方向?qū)?shù)存在?

二、多元函數(shù)微分法 1.分析復(fù)合結(jié)構(gòu)??顯示結(jié)構(gòu)

?隱式結(jié)構(gòu)自變量個數(shù) = 變量總個數(shù) – 方程總個數(shù) 自變量與因變量由所求對象判定 2.正確使用求導(dǎo)法則

“分段用乘,分叉用加,單路全導(dǎo),叉路偏導(dǎo)” 注意正確使用求導(dǎo)符號

3.利用一階微分形式不變性

三、多元函數(shù)微分法的應(yīng)用 1.在幾何中的應(yīng)用

求曲線在切線及法平面(關(guān)鍵: 抓住切向量)求曲面的切平面及法線(關(guān)鍵: 抓住法向量)2.極值與最值問題

（1）極值的必要條件與充分條件

多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

（2）求條件極值的方法

(消元法, 拉格朗日乘數(shù)法)（3）求解最值問題

3.在微分方程變形等中的應(yīng)用

四、例題 xy1.討論二重極限 limx?0x?yy?0

22?xy ,x2?y2?0?2322.證明： f(x,y)??(x?y)2?0,x2?y2?0 ?在點(0,0)處連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在 , 但不可微.3.設(shè)z?xf(x?y)，F(xiàn)(x,y,z)?0，其中f與F分別 具有一階導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)，求

2dz dx?u?2u4.設(shè)u?f(x,y,z)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且z?xsint，t?ln(x?y)，求 ,?x?x?y5.求旋轉(zhuǎn)拋物面z?x2?y2與平面x?y?2z?2之間的最短距離.6.在曲面z?xy上求一點 , 使該點處的法線垂直于平面x?3y?z?9，并寫出該法線方程.作業(yè)：P73： 5，6，10，15，17

第二篇：第八章多元函數(shù)的微分法及其應(yīng)用

第八章多元函數(shù)的微分法及其應(yīng)用

§ 1多元函數(shù)概念

一、設(shè).二、求下列函數(shù)的定義域：

1、2、三、求下列極限：

1、（0）

2、()

四、證明極限不存在.證明：當沿著x軸趨于（0，0）時，極限為零，當沿著 趨于（0，0）時，極限為 ,二者不相等，所以極限不存在五、證明函數(shù)在整個xoy面上連續(xù)。

證明：當 時。當 時，所以函數(shù)在（0，0）也連續(xù)。所以函數(shù)

在整個xoy面上連續(xù)。

六、設(shè) 且當y=0時，求f(x)及z的表達式.解：f(x)=，z

§ 2偏導(dǎo)數(shù)

1、設(shè)z=,驗證

證明：，2、求空間曲線 在點（）處切線與y軸正向夾角()

3、設(shè) ,求(1)

4、設(shè) , 求，解：，5、設(shè)，證明 :

6、判斷下面的函數(shù)在(0,0)處是否連續(xù)？是否可導(dǎo)（偏導(dǎo)）？說明理由

連續(xù)；不存在，7、設(shè)函數(shù) f(x,y)在點（a,b）處的偏導(dǎo)數(shù)存在，求

（2fx(a,b)）

§ 3全微分

1、單選題

（1）二元函數(shù)f(x,y)在點(x,y)處連續(xù)是它在該點處偏導(dǎo)數(shù)存在的__________

(A)必要條件而非充分條件（B）充分條件而非必要條件

（C）充分必要條件（D）既非充分又非必要條件

（2）對于二元函數(shù)f(x,y)，下列有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)與全微分關(guān)系中正確的是___

(A)偏導(dǎo)數(shù)不連續(xù)，則全微分必不存在（B）偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則全微分必存在（C）全微分存在，則偏導(dǎo)數(shù)必連續(xù)（D）全微分存在，而偏導(dǎo)數(shù)不一定存在2、求下列函數(shù)的全微分：

1）

2）解：

3）解：

3、設(shè)，求

解：

=

4、設(shè)求：

5、討論函數(shù) 在（0，0）點處的連續(xù)性、偏導(dǎo)數(shù)、可微性

解：所以 在（0，0）點處連續(xù)。，所以可微。

§4多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

1、設(shè)，求

解： =

2、設(shè)，求

3、設(shè)，可微，證明

4、設(shè)，其中 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求，解：，=,5、設(shè)，其中 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)、具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求

解：，6、設(shè)，，求

解：。

7、設(shè)，且變換可把方程=0化為，其中 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求常數(shù) 的值

證明：

得：a=

38、設(shè)函數(shù)f(x,y)具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，f(1,1)=1, ,又，求和(1),(a+ab+ab2+b3)

§ 5隱函數(shù)的求導(dǎo)公式

1、設(shè)，求

解：令，2、設(shè) 由方程 確定，其中 可微，證明

3、設(shè) 由方程 所確定，其中 可微，求

4、設(shè)，求，(，)

5、設(shè) 由方程 所確定，可微，求

解：令，則

6、設(shè) 由方程 所確定，求()

7、設(shè)z=z(x,y)由方程所確定，求 ，,§ 6微分法在幾何中的應(yīng)用

1、求螺旋線在對應(yīng)于 處的切線及法平面方程

解：切線方程為

法平面方程

2、求曲線在（3，4，5）處的切線及法平面方程

解：切線方程為，法平面方程：

3、求曲面 在（1，-1，2）處的切平面及法線方程

解：切平面方程為

及法線方程

4、設(shè) 可微，證明由方程 所確定的曲面在任一點處的切平面與一定向量平行

證明：令，則，所以在（）處的切平面與定向量（）平行。

5、證明曲面）上任意一點處的切平面在三個坐標軸上的截距的平方和為

證明：令，則

在任一點 處的切平面方程為

在在三個坐標軸上的截距分別為 在三個坐標軸上的截距的平方和為

證明曲面 上任意一點 處的切平面都通過原點

7、設(shè)F(x,y,z)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且對任意實數(shù)t, 總有

k為自然數(shù)，試證：曲面F(x,y,z)=0上任意一點的切平面都相交于一定點

證明 ：兩邊對t 求導(dǎo)，并令t=

1設(shè)是曲面上任意一點，則過這點的切平面為：

+ + =0

此平面過原點（0，0，0）

§ 7方向?qū)?shù)與梯度

1、設(shè)函數(shù)，1）求該函數(shù)在點（1，3）處的梯度。

2）在點（1，3）處沿著方向 的方向?qū)?shù)，并求方向?qū)?shù)達到最大和最小的方向

解：梯度為, 方向?qū)?shù)達到最大值的方向為，方向?qū)?shù)達到

最小值的方向為。

2、求函數(shù) 在（1，2，-1）處沿方向角為 的方向?qū)?shù)，并求在該點處方向?qū)?shù)達到最大值的方向及最大方向?qū)?shù)的值。

解：：方向?qū)?shù)為，該點處方向?qū)?shù)達到最大值的方向即為梯度的方向，此時最大值為

3、求函數(shù) 在（1，1，-1）處沿曲線 在（1，1，1）處的切線正方向（對應(yīng)于t增大的方向）的方向?qū)?shù)。

解：：，該函數(shù)在點（1，1，-1）處的方

向?qū)?shù)為，4、求函數(shù) 在（1，1，-1）處的梯度。

解：：，§ 8多元函數(shù)的極值及求法

1、求函數(shù) 的極值。

答案：（，）極小值點

2．求函數(shù) 的極值

答案：極小值

3.函數(shù) 在點（1，1）處取得極值，求常數(shù)a(-5)

4、求函數(shù) 在條件 下的條件極值

解：，極小值為

5、欲造一個無蓋的長方體容器，已知底部造價為3元/平方，側(cè)面造價均為1元/平方，現(xiàn)想用36元造一個容積最大的容器，求它的尺寸。

（長和寬2米，高3米）

6、在球面（）上求一點，使函數(shù)達到極大值，并求此時的極大值。利用此極大值證明有

證明：令

令，解得駐點。所以函數(shù) 在 處達到極大值。極大值為。即，令 得。

7、求橢球面 被平面x+y+z=0截得的橢圓的長半軸與短半軸的長度

解：，長半軸，短半軸

第八章自測題

一、選擇題：（每題2分，共14分）

1、設(shè)有二元函數(shù)則[]

A、存在；

B、不存在；

C、存在，且 在(0,0)處不連續(xù)；

D、存在，且 在(0,0)處連續(xù)。

2、函數(shù) 在 各一階偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)是 在 連續(xù)的[]

A、必要條件；B、充分條件；

C、充要條件；D、既非必要也非充分條件。

3、函數(shù)在(0,0)點處[]

A、極限值為1；B、極限值為-1；

C、連續(xù)；D、無極限。

4、在 處，存在是函數(shù)在該點可微分的[]

（A）必要條件；（B）充分條件；

（C）充要條件；（D）既非必要亦非充分條件。

5、點 是函數(shù) 的[]

（A）極小值點；（B）駐點但非極值點；

（C）極大值點；（D）最大值點。

6、曲面 在點P(2,1,0)處的切平面方程是[]

（A）；（B）；

（C）；（D）

7、已知函數(shù) 均有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，那么 []

(A);(B);

(C);(D)

二、填空題：（每題３分，共18分）

1、（0）

２、設(shè)，則（）

３、設(shè) 則(0)

４、設(shè)，則在點 處的全微分.５、曲線 在點 處的切線方程為(６、曲線 在點(1,1,1)處的切線方程為()

三、計算題（每題6分）

1、設(shè)，求 的一階偏導(dǎo)數(shù)。

2、設(shè)，求此函數(shù)在點 處的全微分。并求該函數(shù)在該點處沿著從P 到 方向的方向?qū)?shù)(，)

３、設(shè) 具有各二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求

解：

４、設(shè)求 和。

不存在，故 不存在，同理，也不存在。

當 時，有

５、設(shè) 由方程 所確定，求()

６、設(shè)，具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，可導(dǎo)，求

７、設(shè) 確定函數(shù)，求。

８、設(shè)，式中 二階可導(dǎo)，求

解：記，則，)

類似地，有

四、（１０分）試分解正數(shù) 為三個正數(shù)之和，而使它們的倒數(shù)和為最小。設(shè)三個正數(shù)為，則，記，令

則由

解出。

五、證明題：（１０分）

試證：曲面 上任一點處的切平面都平行于一條直線，式中 連續(xù)可導(dǎo)。證明：曲面在任一點 處的切平面的法向量為

定直線L的方向向量若為，則，即

則曲面上任一點的切平面平行于以(1,1,1)為方向的定直線。

第三篇：第十一章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

第十一章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

教學(xué)目標：

1、理解鄰域、內(nèi)點、聚點、邊界點和區(qū)域的概念，二元函數(shù)的概念，掌握多元函數(shù)極限和連續(xù)性的概念；

2、理解偏導(dǎo)數(shù)的概念和幾何意義，掌握偏導(dǎo)數(shù)的計算方法，理解函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系；

3、理解全微分的概念，可微分的充分條件和必要條件，可微和連續(xù)的關(guān)系；

4、了解二元函數(shù)的泰勒公式；

5、掌握多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則；

6、掌握隱函數(shù)的求導(dǎo)法則；

7、掌握空間曲線的切線和法平面，空間曲線的法線和切平面的求法；

8、會求二元函數(shù)的無條件極值及利用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值。

教學(xué)重點：

1、偏導(dǎo)數(shù)的計算方法；

2、多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則；

3、隱函數(shù)的求導(dǎo)法則；

4、掌握空間曲線的切線和法平面，空間曲面的法線和切平面的求法；

5、會求二元函數(shù)的無條件極值及利用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值。

教學(xué)難點：

1、函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系；

2、二元函數(shù)的泰勒公式；

3、二元函數(shù)的無條件極值及利用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值。

教學(xué)方法

講授法與多媒體相結(jié)合。

教學(xué)內(nèi)容

§1 多元函數(shù)的基本功能

一、平面點集

1、平面點集

平面解析幾何使二元實數(shù)組?x,y?與平面上的點P一一對應(yīng)，于是二元有序?qū)崝?shù)組?x,y?的全體：R2?R?R???x,y??x,y?R?就表示坐標平面。

坐標平面上具有某種性質(zhì)P的點的集合，稱為平面點集，記為E?

??x,y??x,y具有性質(zhì)P?。例如，xoy平面上以原點為中心、r為半徑的圓內(nèi)所有點的

第四篇：高等數(shù)學(xué)教案ch 8 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用

§8? 4 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

設(shè)z?f(u? v)? 而u??(t)? v??(t)? 如何求dz？

dt

設(shè)z?f(u? v)? 而u??(x? y)? v??(x? y)? 如何求?z和?z？

?x?y

1? 復(fù)合函數(shù)的中間變量均為一元函數(shù)的情形

定理1 如果函數(shù)u??(t)及v??(t)都在點t可導(dǎo)? 函數(shù)z?f(u? v)在對應(yīng)點(u? v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 則復(fù)合函數(shù)z?f[?(t)? ?(t)]在點t可導(dǎo)? 且有

dz??z?du??z?dv?

dt?udt?vdt

簡要證明1? 因為z?f(u? v)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)? 所以它是可微的? 即有

dz??zdu??zdv?

?u?v又因為u??(t)及v??(t)都可導(dǎo)? 因而可微? 即有

du?dudt? dv?dvdt?

dtdt代入上式得

dz??z?dudt??z?dvdt?(?z?du??z?dv)dt?

?udt?vdt?udt?vdt從而

dz??z?du??z?dv?

dt?udt?vdt

簡要證明2? 當t取得增量?t時? u、v及z相應(yīng)地也取得增量?u、?v及?z ? 由z?f(u? v)、u??(t)及v??(t)的可微性? 有

?z??z?u??z?v?o(?)??z[du?t?o(?t)]??z[dv?t?o(?t)]?o(?)

?u?v?udt?vdt

?(?z?du??z?dv)?t?(?z??z)o(?t)?o(?)?

?udt?vdt?u?vo(?t)o(?)?

?z??z?du??z?dv?(?z??z)?

?t?udt?vdt?u?v?t?t令?t?0? 上式兩邊取極限? 即得

注?limdz?zdu?zdv?????

dt?udt?vdt?lim?t?0o(?)?to(?)?t?0??(?u)2?(?v)2?t?0?(du2dv)?()2?0dtdt?

推廣? 設(shè)z?f(u? v? w)? u??(t)? v??(t)? w??(t)? 則z?f[?(t)? ?(t)? ?(t)]對t 的導(dǎo)數(shù)為?

dz??zdu??zdv??zdw?

dt?udt?vdt?wdt上述dz稱為全導(dǎo)數(shù)?

dt

2? 復(fù)合函數(shù)的中間變量均為多元函數(shù)的情形

定理2 如果函數(shù)u??(x? y)? v??(x? y)都在點(x? y)具有對x及y的偏導(dǎo)數(shù)? 函數(shù)z?f(u? v)在對應(yīng)點(u? v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 則復(fù)合函數(shù)z?f [?(x? y)? ?(x? y)]在點(x? y)的兩個偏導(dǎo)數(shù)存在? 且有

?z??z??u??z??v? ?z??z??u??z??v?

?x?u?x?v?x?y?u?y?v?y

推廣? 設(shè)z?f(u? v? w)? u??(x? y)? v??(x? y)? w??(x? y)? 則

?z?z?u?z?v?z?w??????

?z??z??u??z??v??z??w? ?

?x?u?x?v?x?w?x?y?u?y?v?y?w?y

討論?

(1)設(shè)z?f(u? v)? u??(x? y)? v??(y)? 則?z?？

?x?z?z?u?zdv????

提示? ?z??z??u? ?

?z?？ ?y?x?u?x?y?u?y?vdy

(2)設(shè)z?f(u? x? y)? 且u??(x? y)? 則?z?？

?x?z?？ ?y

?f?u?f?z?f?u?f??

提示? ?z?? ?

??x?u?x?x?y?u?y?y這里?z與?x?f是不同的? ?z是把復(fù)合函數(shù)z?f[?(x? y)? x? y]中的y看作不變而對x的?x?x偏導(dǎo)數(shù)?

?f?f?z是把f(u? x? y)中的u及y看作不變而 對x的偏導(dǎo)數(shù)? 與也朋類似

?y?y?x的區(qū)別?

3．復(fù)合函數(shù)的中間變量既有一元函數(shù)? 又有多元函數(shù)的情形

定理3 如果函數(shù)u??(x? y)在點(x? y)具有對x及對y的偏導(dǎo)數(shù)? 函數(shù)v??(y)在點y可導(dǎo)? 函數(shù)z?f(u? v)在對應(yīng)點(u? v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 則復(fù)合函數(shù)z?f[?(x? y)? ?(y)]在點(x? y)的兩個偏導(dǎo)數(shù)存在? 且有

?z?z?u?zdv????

?z??z??u? ?

?x?u?x?y?u?y?vdy

例1 設(shè)z?eusin v? u?xy? v?x?y? 求?z和

?x?z?y?

解 ?z??z??u??z??v

?x?u?x?v?x

?eusin v?y?eucos v?1

?ex y[y sin(x?y)?cos(x?y)]?

?z??z??u??z??v

?y?u?y?v?y

?eusin v?x?eucos v?1

?exy[x sin(x?y)?cos(x?y)]?

例2 設(shè)u?f(x,y,z)?ex?f?f

解 ?u????z

?x?x?z?x22?y2?z2? 而z?x2siny? 求?u和

?x?u?y?

?2xex?y2?z2?2zex2?y2?z2?2xsiny ? ?2x?(1?2x2siny)ex2?y2?x4si2ny

?u?f?f?z??? ?y?y?z?y?2yex?y2?z2?2zex2?y2?z2?x2cosy

?2(y?x4sinycosy)ex2?y2?x4si2ny?

dt

例3 設(shè)z?uv?sin t ? 而u?et? v?cos t? 求全導(dǎo)數(shù)dz?

解 dz??z?du??z?dv??z

dt?udt?vdt?t

?v?et?u?(?sin t)?cos t

?etcos t?e tsin t?cos t

?et(cos t?sin t)?cos t ?

例4 設(shè)w?f(x?y?z? xyz)? f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)?

解 令u?x?y?z? v?xyz ? 則w?f(u? v)?

引入記號? f1???x?u?x?f(u,v)?u?v?x求?w?x?2w及?x?z?

??? f12?f(u,v)?u?v??等?

???f22? 同理有f2??f11?f?f

?w???u???v?f1??yzf2??

?f??f??2w??(f1??yzf2?)?1?yf2??yz2?x?z?z?z?z

???xyf12???yf2??yzf21???xy2zf22??

?f11???y(x?z)f12???yf2??xy2zf22???

?f1

1注? ?f1??f1??u?f1??v?f2??f2??u?f2??v???xyf12??? ???xyf22???????f11?????f21?z?u?z?v?z?z?u?z?v?z?

例5 設(shè)u?f(x? y)的所有二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)? 把下列表達式轉(zhuǎn)換成極坐標系中的形式?

(1)(?u2?u)?()2? ?x?y2?2u(2)?u?

?22?x?y解 由直角坐標與極坐標間的關(guān)系式得

u?f(x? y)?f(?cosθ? ?sinθ)?F(?? θ)?

其中x??cosθ? y??sinθ? ??x2?y2? ??arctan應(yīng)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則? 得

??u?u???u???u?uysin?ux?uy???co?s????x???x???x?????????2???u?uco?s?u?u???u???uy?ux?sin???????y???y???y?????????2??yx?

?

?

兩式平方后相加? 得

(?u)2?(?u)2?(?u)2?12(?u)2?

?x?y?????再求二階偏導(dǎo)數(shù)? 得

?2u??u????u??()??()?

2? ???x?x???x?x?x??u?usin???u?usin?sin?(co?s?)?co?s?(co?s?)?

?

???????????????2?2u?2usin?co?s?2usin?2?u2sin?co?s?usin?2

?2cos??2? ?????????????????2?2?2同理可得

2?2u?2u?2usin?co?s?2uco?s2?u2sin?co?s?ucos?? 2

2?2sin??2??????????????y????2?2?2兩式相加? 得

2?2u?2u11?2u1??u?2u

?u??????[?(?)?]? 2222222?x?y?????????????

全微分形式不變性?

設(shè)z?f(u? v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 則有全微分

dz??zdu??zdv?

?u?v如果z?f(u? v)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 而u??(x? y)? v??(x? y)也具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 則

?z?z

dz?dx?dy

?x?y?z?u?z?v?z?u?z?v?)dx?(?)dy

?(?u?x?y?v?x?u?y?y?v?y?z?u?u?z?v?v

?(dx?dy)?(dx?dy)

?u?x?v?x

??zdu??zdv?

?u?v由此可見? 無論z 是自變量u、v的函數(shù)或中間變量u、v的函數(shù)? 它的全微分形式是一樣的? 這個性質(zhì)叫做全微分形式不變性?

例6 設(shè)z?e usin v? u?x y? v?x?y? 利用全微分形式不變性求全微分?

解 dz??zdu??zdv? e usin vdu? e ucos v dv ?u?v

? e usin v(y dx?x dy)? e ucos v(dx?dy)

?(ye usin v? e ucos v)dx?(xe usin v? e ucos v)dy

?e xy [y sin(x?y)?cos(x?y)]dx? e xy [x sin(x?y)?cos(x?y)]dy ?

§8? 5

隱函數(shù)的求導(dǎo)法則 一、一個方程的情形

隱函數(shù)存在定理1

設(shè)函數(shù)F(x? y)在點P(x0? y0)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? F(x0? y0)?0? Fy(x0? y0)?0? 則方程F(x? y)?0在點(x0? y0)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)y?f(x)? 它滿足條件y0?f(x0)? 并有

dydx??FxFy?

?

求導(dǎo)公式證明? 將y?f(x)代入F(x? y)?0? 得恒等式 F(x? f(x))?0?

等式兩邊對x求導(dǎo)得 ?F?Fdy???0?

?x?ydx由于F y連續(xù)? 且Fy(x0? y0)?0? 所以存在(x0? y0)的一個鄰域? 在這個鄰域同F(xiàn)y ?0? 于是得 dydx??FxFy?

例1 驗證方程x2?y2?1?0在點(0? 1)的某一鄰域內(nèi)能唯一確定一個有連續(xù)導(dǎo)數(shù)、當x?0時y?1的隱函數(shù)y?f(x)? 并求這函數(shù)的一階與二階導(dǎo)數(shù)在x?0的值?

解 設(shè)F(x? y)?x2?y2?1? 則Fx?2x? Fy?2y? F(0? 1)?0? Fy(0? 1)?2?0? 因此由定理1可知? 方程x2?y2?1?0在點(0? 1)的某一鄰域內(nèi)能唯一確定一個有連續(xù)導(dǎo)數(shù)、當x?0時y?1的隱函數(shù)y?f(x)?

dydx??FxFy??xy? dydxx?0?0?

d2ydx2??y?xy?y2y?x(???y2x)y??y2?x2y3d2y1??3；

dx2y??1?

x?0

隱函數(shù)存在定理還可以推廣到多元函數(shù)? 一個二元方程F(x? y)?0可以確定一個一元隱函數(shù)? 一個三元方程F(x? y? z)?0可以確定一個二元隱函數(shù)?

隱函數(shù)存在定理2

設(shè)函數(shù)F(x? y? z)在點P(x0? y0? z0)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)? 且F(x0? y0? z0)?0? Fz(x0? y0? z0)?0 ? 則方程F(x? y? z)?0在點(x0? y0? z0)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)z?f(x? y)? 它滿足條件z0?f(x0? y0)? 并有

FF

?z??x? ?z??y?

?

?xFz?yFz

公式的證明? 將z?f(x? y)代入F(x? y? z)?0? 得F(x? y? f(x? y))?0?

將上式兩端分別對x和y求導(dǎo)? 得

Fx?Fz??z?0? Fy?Fz??z?0? ??x?y因為F z連續(xù)且F z(x0? y0? z0)?0? 所以存在點(x0? y0? z0)的一個鄰域? 使F z?0? 于是得

FF

?z??x? ?z??y?

?xFz?yFz

例2.設(shè)x?y?z?4z?0? 22

2解

設(shè)F(x? y? z)? x2?y2?z2?4z? 則Fx?2x? Fy?2z?4?

F?z2xx?

??x????xFz2z?42?z2?2z求2?x?

?z??x2(2?x)?x?zx(2?x)?x()22?x?2?z?(2?x)?x?

(2?z)2(2?z)2(2?z)

3二、方程組的情形

在一定條件下? 由個方程組F(x? y? u? v)?0? G(x? y? u? v)?0可以確定一對二元函數(shù)u?u(x? y)? v?v(x? y)? 例如方程xu?yv?0和yu?xv?1可以確定兩個二元函數(shù)u?yx2?y2? v?xx2?y2?

yx2?y2xx 事實上?

xu?yv?0 ?v?u?yu?x?u?1?u?yy? ?v?yxx?

?2?yx?y2x2?y

2如何根據(jù)原方程組求u? v的偏導(dǎo)數(shù)？

隱函數(shù)存在定理設(shè)F(x? y? u? v)、G(x? y? u? v)在點P(x0? y0? u0? v0)的某一鄰域內(nèi)具有對各個變量的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 又F(x0? y0? u0? v0)?0? G(x0? y0? u0? v0)?0? 且偏導(dǎo)數(shù)所組成的函數(shù)行列

?F?(F,G)?u式：

J???G?(u,v)?u?F?v ?G?v在點P(x0? y0? u0? v0)不等于零? 則方程組F(x? y? u? v)?0? G(x? y? u? v)?0在點P(x0? y0? u0? v0)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一組連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)u?u(x? y)? v?v(x? y)? 它們滿足條件u0?u(x0? y0)? v0?v(x0? y0)? 并有

?(F,G)??

?u??1?xJ?(x,v)FxFvGxGvFuFvGuGvFyFvGyGv?(F,G)???

?v??1?xJ?(u,x)FuFxGuGxFuFvGuGvFuFyGuGy?

?u1?(F,G)?????yJ?(y,v)FuFvGuGv?

?v1?(F,G)?????yJ?(u,y)FuFvGuGv?

隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù): 設(shè)方程組F(x? y? u? v)?0? G(x? y? u? v)?0確定一對具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的 二元函數(shù)u?u(x? y)? v?v(x? y)? 則

?F?F?u?F?v?0,uv?x?x?x 偏導(dǎo)數(shù)?u? ?v由方程組?確定? ?u?v?x?x?Gv?0.?Gx?Gu?x?x??F?F?u?F?v?0,uv?y?y?y?u?v 偏導(dǎo)數(shù)? 由方程組?確定?

?u?v?y?y?Gv?0.?Gy?Gu?y?y??v 例3 設(shè)xu?yv?0? yu?xv?1? 求?u? ?v? ?u和?

?x?x?y?y 解 兩個方程兩邊分別對x 求偏導(dǎo)? 得關(guān)于?u和?v的方程組

?x?x?u?x?u?y?v?0??x?x? ??u?v?v?x?0?y?x??x

?yv?vyu?xv當x2?y2 ?0時? 解之得?u??xu? ?

?2222?xx?y?xx?y

兩個方程兩邊分別對x 求偏導(dǎo)? 得關(guān)于?u和?v的方程組

?y?y?x?u?v?y?v?0??y?y? ??u?v?x?0?u?y?y?y??yuxu?yv?v當x2?y2 ?0時? 解之得?u?xv? ?

??2222?yx?y?yx?y

另解 將兩個方程的兩邊微分得

udx?xdu?vdy?ydv?0xdu?ydv?vdy?udx

?? 即????xdv?0?udy?ydu?vdx?ydu?xdv??udy?vdx?

解之得 du??xu?yvx2?y2dx?xv?yux2?y2dy?

dv?yu?xvx2?y2dx?xu?yvx2?y2dy?

xu?yvxv?yu于是

?u??22? ?u?22?

?xx?y?yx?yyu?xvxu?yv

?v?22? ?v??22? ??xx?y?yx?y

例? 設(shè)函數(shù)x?x(u? v)? y?y(u? v)在點(u? v)的某一領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)且有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)?

又

?(x,y)?(u,v)?0?

x?x(u,v)

(1)證明方程組

? ??y?y(u,v)在點(x? y? u? v)的某一領(lǐng)域內(nèi)唯一確定一組單值連續(xù)且有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的反函數(shù)u?u(x? y)? v?v(x? y)?

(2)求反函數(shù)u?u(x? y)? v?v(x? y)對x? y的偏導(dǎo)數(shù)?

解(1)將方程組改寫成下面的形式

F(x,y,u,v)?x?x(u,v)?0

??

??G(x,y,u,v)?y?y(u,v)?0則按假設(shè)

J??(F,G)?(u,v)??(x,y)?(u,v)?0.由隱函數(shù)存在定理3? 即得所要證的結(jié)論?

(2)將方程組(7)所確定的反函數(shù)u?u(x? y)?v?v(x? y)代入(7)? 即得

x?x[u(x,y),v(x,y)]

??

??y?y[u(x,y),v(x,y)]將上述恒等式兩邊分別對x求偏導(dǎo)數(shù)?得

由于J?0? 故可解得

?y?y

?u?1? ?v??1?

?xJ?v?xJ?u?1??x??u??x??v??u?x?v?x??y?u?y?v?0?????u?x?v?x??

同理? 可得

?u1?x???yJ?v?

?v1?x??yJ?u? §8? 6

多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用

一?

空間曲線的切線與法平面

設(shè)空間曲線?的參數(shù)方程為

x??(t)? y??(t)? z??(t)這里假定?(t)? ?(t)? ?(t)都在[?? ?]上可導(dǎo)?

在曲線?上取對應(yīng)于t?t0的一點M0(x0? y0? z0)及對應(yīng)于t?t0??t的鄰近一點M(x0+?x? y0+?y? z0+?z)? 作曲線的割線MM0? 其方程為

x?x0?x?y?y0?y?z?z0?z? ?當點M沿著?趨于點M0時割線MM0的極限位置就是曲線在點M0處的切線? 考慮

x?x0y?y0z?z0??? ?x?y?z?t?t?t當M?M0? 即?t?0時? 得曲線在點M0處的切線方程為

x?x0y?y0z?z0? ????(t0)??(t0)??(t0)

曲線的切向量? 切線的方向向量稱為曲線的切向量? 向量

T?(??(t0)? ??(t0)? ??(t0))就是曲線?在點M0處的一個切向量?

法平面? 通過點M0而與切線垂直的平面稱為曲線?在點M0 處的法平面? 其法平面方程為

??(t0)(x?x0)???(t0)(y?y0)???(t0)(z?z0)?0?

例1 求曲線x?t? y?t2? z?t3在點(1? 1? 1)處的切線及法平面方程?

解

因為xt??1? yt??2t? zt??3t2? 而點(1? 1? 1)所對應(yīng)的參數(shù)t?1? 所以

T ?(1? 2? 3)?

于是? 切線方程為

y?1z?1?

x?1??

123法平面方程為

(x?1)?2(y?1)?3(z?1)?0? 即x?2y?3z?6?

討論?

1? 若曲線?的方程為

y??(x)? z??(x)?

問其切線和法平面方程是什么形式?

提示? 曲線方程可看作參數(shù)方程? x?x? y??(x)? z??(x)? 切向量為T?(1? ??(x)? ??(x))?

2? 若曲線?的方程為

F(x? y? z)?0? G(x? y? z)?0?

問其切線和法平面方程又是什么形式??

提示? 兩方程確定了兩個隱函數(shù)?

y??(x)? z??(x)? 曲線的參數(shù)方程為

x?x? y??(x)? z??(x)? ?dy?dzFx?Fy?Fz?0?dydxdx由方程組?可解得dydxdz?Gx?Gy?Gz?0dxdx?和dz??

dx切向量為T?(1, dydz,)? dxdxdy?dz2x?2y?2z?0?dxdx得?dydz?1???0?dxdx

例2 求曲線x2?y2?z2?6? x?y?z?0在點(1? ?2? 1)處的切線及法平面方程? ?

解 為求切向量? 將所給方程的兩邊對x求導(dǎo)數(shù)?

??解方程組得dydx?z?xdzx?y?? ? ?y?zdxy?zdydx?0在點(1? ?2? 1)處?

? dz??1?

dx從而T ?(1? 0? ?1)?

所求切線方程為

y?2z?1?

x?1??

10?1法平面方程為

(x?1)?0?(y?2)?(z?1)?0? 即x?z?0?

二? 曲面的切平面與法線

設(shè)曲面?的方程為

F(x? y? z)?0?

M0(x0? y0? z0)是曲面?上的一點?

并設(shè)函數(shù)F(x? y? z)的偏導(dǎo)數(shù)在該點連續(xù)且不同時為零? 在曲面?上? 通過點M0任意引一條曲線?? 假定曲線?的參數(shù)方程式為

x??(t)? y??(t)? z??(t)?

t?t0對應(yīng)于點M0(x0? y0? z0)? 且??(t0)? ??(t0)? ??(t0)不全為零? 曲線在點的切向量為

T ?(??(t0)? ??(t0)? ??(t0))?

考慮曲面方程F(x? y? z)?0兩端在t?t0的全導(dǎo)數(shù)?

Fx(x0? y0? z0)??(t0)?Fy(x0? y0? z0)??(t0)?Fz(x0? y0? z0)??(t0)?0?

引入向量

n?(Fx(x0? y0? z0)? Fy(x0? y0? z0)? Fz(x0? y0? z0))?

易見T與n是垂直的? 因為曲線?是曲面?上通過點M0的任意一條曲線? 它們在點M0的切線都與同一向量n垂直? 所以曲面上通過點M0的一切曲線在點M0的切線都在同一個平面上? 這個平面稱為曲面?在點M0的切平面? 這切平面的方程式是

Fx(x0? y0? z0)(x?x0)?Fy(x0? y0? z0)(y?y0)?Fz(x0? y0? z0)(z?z0)?0?

曲面的法線? 通過點M0(x0? y0? z0)而垂直于切平面的直線稱為曲面在該點的法線? 法線方程為

x?x0Fx(x0, y0, z0)?y?y0Fy(x0, y0, z0)?z?z0Fz(x0, y0, z0)?

曲面的法向量? 垂直于曲面上切平面的向量稱為曲面的法向量? 向量

n?(Fx(x0? y0? z0)? Fy(x0? y0? z0)? Fz(x0? y0? z0))就是曲面?在點M0處的一個法向量?

例3 求球面x2?y2?z2?14在點(1? 2? 3)處的切平面及法線方程式?

解

F(x? y? z)? x2?y2?z2?14?

Fx?2x? Fy?2y ? Fz?2z ?

Fx(1? 2? 3)?2? Fy(1? 2? 3)?4? Fz(1? 2? 3)?6?

法向量為n?(2? 4? 6)? 或n?(1? 2? 3)?

所求切平面方程為

2(x?1)?4(y?2)?6(z?3)?0? 即x?2y?3z?14?0?

法線方程為x?1?1y?22?z?33?

討論? 若曲面方程為z?f(x? y)? 問曲面的切平面及法線方程式是什么形式?

提示?

此時F(x? y? z)?f(x? y)?z ?

n?(fx(x0? y0)? fy(x0? y0)? ?1)

例4 求旋轉(zhuǎn)拋物面z?x2?y2?1在點(2? 1? 4)處的切平面及法線方程?

解

f(x? y)?x2?y2?1?

n?(fx? fy? ?1)?(2x? 2y? ?1)?

n|(2? 1? 4)?(4? 2? ?1)?

所以在點(2? 1? 4)處的切平面方程為

4(x?2)?2(y?1)?(z?4)?0? 即4x?2y?z?6?0?

y?1z?4?法線方程為 x?2??

42?1 §8? 7

方向?qū)?shù)與梯度

一、方向?qū)?shù)

現(xiàn)在我們來討論函數(shù)z?f(x? y)在一點P沿某一方向的變化率問題?

設(shè)l是xOy平面上以P0(x0? y0)為始點的一條射線? el?(cos ?? cos ?)是與l同方向的單位向量? 射線l的參數(shù)方程為

x?x0?t cos ?? y?y0?t cos ?(t?0)?

設(shè)函數(shù)z?f(x? y)在點P0(x0? y0)的某一鄰域U(P0)內(nèi)有定義? P(x0?t cos ?? y0?t cos ?)為l上另一點? 且P?U(P0)? 如果函數(shù)增量f(x0?t cos ?? y0?t cos ?)?f(x0? y0)與P到P0的距離|PP0|?t的比值

f(x0?tco?s, y0?tcos?)?f(x0,y0)t

當P沿著l趨于P0(即t?t0?)時的極限存在?

則稱此極限為函數(shù)f(x? y)在點P0沿方向l的方向?qū)?shù)? 記作?f?l?f?l(x0,y0)? 即

?lim(x0,y0)f(x0?tco?s, y0?tcos?)?f(x0,y0)tt?0??

從方向?qū)?shù)的定義可知? 方向?qū)?shù)

?f?l(x0,y0)就是函數(shù)f(x? y)在點P0(x0? y0)處沿方向l的變化率?

方向?qū)?shù)的計算?

定理

如果函數(shù)z?f(x? y)在點P0(x0? y0)可微分? 那么函數(shù)在該點沿任一方向l 的方向?qū)?shù)都存在? 且有

?f?l(x0,y0)?fx(x0,y0)co?s?fy(x0,y0)cos??

其中cos ?? cos ?是方向l 的方向余弦?

簡要證明? 設(shè)?x?t cos ?? ?y?t cos ?? 則

f(x0?tcos?? y0?tcos?)?f(x0? y0)?f x(x0? y0)tcos??f y(x0? y0)tcos??o(t)?

所以

limf(x0?tco?s, y0?tcos?)?f(x0,y0)?t?0t?fx(x0,y0)cos??fy(x0,y0)sin??

這就證明了方向?qū)?shù)的存在? 且其值為

?f?l(x0,y0)?fx(x0,y0)co?s?fy(x0,y0)cos???提示? f(x0??x,y0??y)?f(x0,y0)?fx(x0,y0)?x?fy(x0,y0)?y?o((?x)2?(?y)2)?

?x?t cos ?? ?y?t cos ??(?x)2?(?y)2?t?

討論? 函數(shù)z?f(x? y)在點P 沿x軸正向和負向?

沿y軸正向和負向的方向?qū)?shù)如何? 提示?

沿x軸正向時? cos???? cos??0?

?f?l??f?x?

沿x軸負向時? cos???1? cos??0?

?f?f? ????l?x

例1 求函數(shù)z?xe2y在點P(1? 0)沿從點P(1? 0)到點Q(2? ?1)的方向的方向?qū)?shù)?

解 這里方向l即向量PQ?(1, ?1)的方向? 與l同向的單位向量為

el?(12, ?12)??

?e2y?1?

?z?y?2xe2y?2 因為函數(shù)可微分? 且?z所以所求方向?qū)?shù)為

?z?l(1,0)?x(1,0)(1,0)(1,0)(1,0)???1?12?2?(?12)??2?

2對于三元函數(shù)f(x? y? z)來說? 它在空間一點P0(x0? y0? z0)沿el?(cos ??? cos ??? cos ?)的方向?qū)?shù)為?

?f?l?lim(x0,y0,z0)f(x0?tco?s, y0?tcos?,z0?tcos?)?f(x0,y0,z0)tt?0??

如果函數(shù)f(x? y? z)在點(x0? y0? z0)可微分? 則函數(shù)在該點沿著方向el?(cos ??? cos ??? cos ??的方向?qū)?shù)為

?f?l(x0,y0,z0)?fx(x0? y0? z0)cos??fy(x0? y0? z0)cos??fz(x0? y0? z0)cos??

例2求f(x? y? z)?xy?yz?zx在點(1? 1? 2)沿方向l的方向?qū)?shù)? 其中l(wèi)的方向角分

別為60?? 45?? 60??

解 與l同向的單位向量為

el?(cos60?? cos 45?? cos60???(1, 2, 1)???

222????因為函數(shù)可微分??且

fx(1? 1? 2)?(y?z)|(1? 1? 2)?3?

fy(1? 1? 2)?(x?z)|(1? 1? 2)?3?

fz(1? 1? 2)?(y?x)|(1? 1? 2)?2? 所以

?f?l1211?3??3??2??(5?32)2222(1,1,2)?

二? 梯度

設(shè)函數(shù)z?f(x? y)在平面區(qū)域D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 則對于每一點P0(x0? y0)?D? 都可確定一個向量

fx(x0? y0)i?fy(x0? y0)j?

這向量稱為函數(shù)f(x? y)在點P0(x0? y0)的梯度? 記作grad f(x0? y0)? 即

grad f(x0? y0)? fx(x0? y0)i?fy(x0? y0)j?

梯度與方向?qū)?shù)? ?

如果函數(shù)f(x? y)在點P0(x0? y0)可微分? el?(cos ??? cos ??)是與方向l同方向的單位向量? 則

?f?l(x0,y0)?fx(x0,y0)co?s?fy(x0,y0)cos??

? grad f(x0? y0)?el

?| grad f(x0? y0)|?cos(grad f(x0? y0)?^ el)?

這一關(guān)系式表明了函數(shù)在一點的梯度與函數(shù)在這點的方向?qū)?shù)間的關(guān)系? 特別? 當向量el與grad f(x0? y0)的夾角??0? 即沿梯度方向時? 方向?qū)?shù)

?f?l取得

(x0,y0)最大值? 這個最大值就是梯度的模|grad f(x0? y0)|? 這就是說? 函數(shù)在一點的梯度是個向量? 它的方向是函數(shù)在這點的方向?qū)?shù)取得最大值的方向? 它的模就等于方向?qū)?shù)的最大值?

討論? ?f?l的最大值?

?

結(jié)論? 函數(shù)在某點的梯度是這樣一個向量? 它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的 方向一致? 而它的模為方向?qū)?shù)的最大值?

我們知道? 一般說來二元函數(shù)z?f(x? y)在幾何上表示一個曲面? 這曲面被平面z?c(c是常數(shù))所截得的曲線L的方程為

z?f(x,y)

??

??z?c這條曲線L在xOy面上的投影是一條平面曲線L*? 它在xOy平面上的方程為

f(x? y)?c?

對于曲線L*上的一切點? 已給函數(shù)的函數(shù)值都是c? 所以我們稱平面曲線L*為函數(shù)z?f(x? y)的等值線?

若f x? f y不同時為零? 則等值線f(x? y)?c上任一點P0(x0? y0)處的一個單位法向量為

n?1fx2(x0,y0)?fy2(x0,y0)(fx(x0,y0),fy(x0,y0))?

這表明梯度grad f(x0? y0)的方向與等值線上這點的一個法線方向相同? 而沿這個方向的方向?qū)?shù)?f就等于|grad f(x0? y0)|? 于是 ?n?fn?

?n

gradf(x0,y0)?

這一關(guān)系式表明了函數(shù)在一點的梯度與過這點的等值線、方向?qū)?shù)間的關(guān)系? 這說是說? 函數(shù)在一點的梯度方向與等值線在這點的一個法線方向相同? 它的指向為從數(shù)值較低的等值線指向數(shù)值較高的等值線? 梯度的模就等于函數(shù)在這個法線方向的方向?qū)?shù)?

梯度概念可以推廣到三元函數(shù)的情形? 設(shè)函數(shù)f(x? y? z)在空間區(qū)域G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 則對于每一點P0(x0? y0? z0)?G? 都可定出一個向量

fx(x0? y0? z0)i?fy(x0? y0? z0)j?fz(x0? y0? z0)k?

這向量稱為函數(shù)f(x? y? z)在點P0(x0? y0? z0)的梯度? 記為grad f(x0? y0? z0)? 即

grad f(x0? y0? z0)?fx(x0? y0? z0)i?fy(x0? y0? z0)j?fz(x0? y0? z0)k?

結(jié)論? 三元函數(shù)的梯度也是這樣一個向量? 它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致? 而它的模為方向?qū)?shù)的最大值?

如果引進曲面

f(x? y? z)?c

為函數(shù)的等量面的概念? 則可得函數(shù)f(x? y? z)在點P0(x0? y0? z0)的梯度的方向與過點P0的等量面 f(x? y? z)?c在這點的法線的一個方向相同? 且從數(shù)值較低的等量面指向數(shù)值較高的等量面? 而梯度的模等于函數(shù)在這個法線方向的方向?qū)?shù)?

例3 求grad 1x2?y2?

? 解 這里f(x,y)?

因為 1x2?y2?f?f2y2x? ?

??2??22222?x?y(x?y)(x?y)2y2xi?j?

(x2?y2)2(x2?y2)21所以

grad 2x?y2??

例4 設(shè)f(x? y? z)?x2?y2?z2? 求grad f(1? ?1? 2)?

解 grad f?(fx? fy? fz)?(2x? 2y? 2z)?

于是

grad f(1? ?1? 2)?(2? ?2? 4)?

數(shù)量場與向量場? 如果對于空間區(qū)域G內(nèi)的任一點M? 都有一個確定的數(shù)量f(M)? 則稱在這空間區(qū)域G內(nèi)確定了一個數(shù)量場(例如溫度場、密度場等)? 一個數(shù)量場可用一個數(shù)量函數(shù)f(M)來確定? 如果與點M相對應(yīng)的是一個向量F(M)? 則稱在這空間區(qū)域G內(nèi)確定了一個向量場(例如力場、速度場等)? 一個向量場可用一個?向量函數(shù)F(M)來確定? 而

F(M)?P(M)i?Q(M)j?R(M)k?

其中P(M)? Q(M)? R(M)是點M的數(shù)量函數(shù)?

利用場的概念? 我們可以說向量函數(shù)grad f(M)確定了一個向量場——梯度場? 它是由數(shù)量場f(M)產(chǎn)生的? 通常稱函數(shù)f(M)為這個向量場的勢? 而這個向量場又稱為勢場? 必須注意? 任意一個向量場不一定是勢場? 因為它不一定是某個數(shù)量函數(shù)的梯度場??

例5 試求數(shù)量場m所產(chǎn)生的梯度場? 其中常數(shù)m>0?

rr?x2?y2?z2為原點O與點M(x? y? z)間的距離?

?rmx 解 ?(m)??m? ??23?xrr?xr同理

my?m()??3?yrr? ?(m)??mz? 3?zrrymmxz??2(i?j?k)? 從而

gradrrrrr?yxz記er?i?j?k? 它是與OM同方向的單位向量? 則gradm??mer?

rrrrr2

上式右端在力學(xué)上可解釋為? 位于原點O 而質(zhì)量為m 質(zhì)點對位于點M而質(zhì)量為l的質(zhì)點的引力? 這引力的大小與兩質(zhì)點的質(zhì)量的乘積成正比、而與它們的距平方成反比? 這引力的方向由點M指向原點? 因此數(shù)量場m的勢場即梯度場

rgradm稱為引力場? 而函數(shù)m稱為引力勢?

r

r §8?8

多元函數(shù)的極值及其求法

一、多元函數(shù)的極值及最大值、最小值

定義

設(shè)函數(shù)z?f(x? y)在點(x0? y0)的某個鄰域內(nèi)有定義? 如果對于該鄰域內(nèi)任何異于(x0? y0)的點(x? y)? 都有

f(x? y)f(x0? y0))?

則稱函數(shù)在點(x0? y0)有極大值(或極小值)f(x0? y0)?

極大值、極小值統(tǒng)稱為極值? 使函數(shù)取得極值的點稱為極值點?

例1 函數(shù)z?3x2?4y2在點(0? 0)處有極小值?

?

當(x? y)?(0? 0)時? z?0? 而當(x? y)?(0? 0)時? z?0? 因此z?0是函數(shù)的極小值?

例2 函數(shù)z??x2?y2在點(0? 0)處有極大值?

?

當(x? y)?(0? 0)時? z?0? 而當(x? y)?(0? 0)時? z?0? 因此z?0是函數(shù)的極大值?

例3 函數(shù)z?xy在點(0? 0)處既不取得極大值也不取得極小值?

?

因為在點(0? 0)處的函數(shù)值為零? 而在點(0? 0)的任一鄰域內(nèi)? 總有使函數(shù)值為正的點? 也有使函數(shù)值為負的點?

以上關(guān)于二元函數(shù)的極值概念? 可推廣到n元函數(shù)?

設(shè)n元函數(shù)u?f(P)在點P0的某一鄰域內(nèi)有定義? 如果對于該鄰域內(nèi)任何異于P0的點P? 都有

f(P)f(P 0))?

則稱函數(shù)f(P)在點P0有極大值(或極小值)f(P0)?

定理1(必要條件)設(shè)函數(shù)z?f(x? y)在點(x0? y0)具有偏導(dǎo)數(shù)? 且在點(x0? y0)處有極值? 則有

fx(x0? y0)?0? fy(x0? y0)?0?

證明 不妨設(shè)z?f(x? y)在點(x0? y0)處有極大值? 依極大值的定義? 對于點(x0? y0)的某鄰域內(nèi)異于(x0? y0)的點(x? y)? 都有不等式

f(x? y)

特殊地? 在該鄰域內(nèi)取y?y0而x?x0的點? 也應(yīng)有不等式

f(x? y0)

這表明一元函數(shù)f(x? y0)在x?x0處取得極大值? 因而必有

fx(x0? y0)?0?

類似地可證

fy(x0? y0)?0?

從幾何上看? 這時如果曲面z?f(x? y)在點(x0? y0? z0)處有切平面? 則切平面

z?z0?fx(x0? y0)(x?x0)? fy(x0? y0)(y?y0)成為平行于xOy坐標面的平面z?z0?

類似地可推得? 如果三元函數(shù)u?f(x? y? z)在點(x0? y0? z0)具有偏導(dǎo)數(shù)? 則它在點

(x0? y0? z0)具有極值的必要條件為

fx(x0? y0? z0)?0? fy(x0? y0? z0)?0? fz(x0? y0? z0)?0?

仿照一元函數(shù)? 凡是能使fx(x? y)?0? fy(x? y)?0同時成立的點(x0? y0)稱為函數(shù)z?f(x? y)的駐點?

從定理1可知? 具有偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的極值點必定是駐點? 但函數(shù)的駐點不一定是極值點?

?

例如? 函數(shù)z?xy在點(0? 0)處的兩個偏導(dǎo)數(shù)都是零? 函數(shù)在(0? 0)既不取得極大值也不取得極小值?

?

定理2(充分條件)

設(shè)函數(shù)z?f(x? y)在點(x0? y0)的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 又fx(x0? y0)?0? fy(x0? y0)?0? 令

fxx(x0? y0)?A? fxy(x0? y0)?B? fyy(x0? y0)?C?

則f(x? y)在(x0? y0)處是否取得極值的條件如下?

(1)AC?B2>0時具有極值? 且當A<0時有極大值? 當A>0時有極小值?

(2)AC?B2<0時沒有極值?

(3)AC?B2?0時可能有極值? 也可能沒有極值?

??

在函數(shù)f(x? y)的駐點處如果 fxx? fyy?fxy2>0? 則函數(shù)具有極值? 且當fxx<0時有極大值? 當fxx>0時有極小值?

極值的求法?

f(?3? 2)?31?

應(yīng)注意的問題?

不是駐點也可能是極值點?

例如? ? 函數(shù)z??x2?y2在點(0? 0)處有極大值? 但(0? 0)不是函數(shù)的駐點? 因此? 在考慮函數(shù)的極值問題時? 除了考慮函數(shù)的駐點外? 如果有偏導(dǎo)數(shù)不存在的點? 那么對這些點也應(yīng)當考慮?

最大值和最小值問題? 如果f(x? y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)? 則f(x? y)在D上必定能取得最大值和最小值? 這種使函數(shù)取得最大值或最小值的點既可能在D的內(nèi)部? 也可能在D的邊界上? 我們假定? 函數(shù)在D上連續(xù)、在D內(nèi)可微分且只有有限個駐點? 這時如果函數(shù)在D的內(nèi)部取得最大值(最小值)? 那么這個最大值(最小值)也是函數(shù)的極大值(極小值)? 因此? 求最大值和最小值的一般方法是? 將函數(shù)f(x? y)在D內(nèi)的所有駐點處的函數(shù)值及在D的邊界上的最大值和最小值相互比較? 其中最大的就是最大值? 最小的就是最小值? 在通常遇到的實際問題中? 如果根據(jù)問題的性質(zhì)? 知道函數(shù)f(x? y)的最大值(最小值)一定在D的內(nèi)部取得? 而函數(shù)在D內(nèi)只有一個駐點? 那么可以肯定該駐點處的函數(shù)值就是函數(shù)f(x? y)在D上的最大值(最小值)?

例5 某廠要用鐵板做成一個體積為8m3的有蓋長方體水箱? 問當長、寬、高各取多少時? 才能使用料最省?

解 設(shè)水箱的長為xm? 寬為ym? 則其高應(yīng)為A?2(xy?y?8xym? 此水箱所用材料的面積為

8888?x?)?2(xy??)(x?0, y?0)? xyxyxyy令A(yù)x?2(y?82)?0? Ay?2(x?82)?0? 得x?2? y?2?

x

根據(jù)題意可知? 水箱所用材料面積的最小值一定存在? 并在開區(qū)域D?{(x?

y)|x>0? y>0}內(nèi)取得? 因為函數(shù)A在D內(nèi)只有一個駐點? 所以 此駐點一定是A的最小值點? 即當水箱的長為2m、寬為2m、高為8?2m時? 水箱所用的材料最省?

?

2?2? 因此A在D內(nèi)的唯一駐點(2? 2)處取得最小值? ?即長為2m、寬為2m、高為8?2m時? 所用材料最省? ?

2?從這個例子還可看出?

在體積一定的長方體中? 以立方體的表面積為最小??

例6 有一寬為24cm的長方形鐵板? 把它兩邊折起來做成一斷面為等腰梯形的水槽? 問怎樣折法才能使斷面的面積最大？?

解 設(shè)折起來的邊長為xcm? 傾角為?? 那末梯形斷面的下底長為24?2x? 上底長為24?2x?cos?? 高為x?sin?? 所以斷面面積

A?1(24?2x?2xcos??24?2x)?xsin??

2即A?24x?sin??2x2sin??x2sin? cos?(0

可見斷面面積A是x和?的二元函數(shù)? 這就是目標函數(shù)? 面求使這函數(shù)取得最大值的點(x? ?)?

令A(yù)x?24sin??4xsin??2xsin? cos??0?

A??24xcos??2x2 cos??x2(cos2??sin2?)?0?

由于sin? ?0? x?0? 上述方程組可化為

??

2224co?s?2xco?s?x(cos??sin?)?0?解這方程組? 得??60?? x?8cm?

根據(jù)題意可知斷面面積的最大值一定存在? 并且在D?{(x? y)|0

二、條件極值

拉格朗日乘數(shù)法

對自變量有附加條件的極值稱為條件極值?

例如? 求表面積為a2而體積為最大的長方體的體積問題? 設(shè)長方體的三棱的長為x? y? z? 則體積V?xyz? 又因假定表面積為a2? 所以自變量x? y? z還必須滿足附加條件2(xy?yz?xz)?a2?

?

這個問題就是求函數(shù)V?xyz在條件2(xy?yz?xz)?a2下的最大值問題? 這是一個條件極值問題?

對于有些實際問題? 可以把條件極值問題化為無條件極值問題?

?

例如上述問題? ? 由條件2(xy?yz?xz)?a2? 解得z?

V?xya2?2xy()? 2(x?y)a2?2xy2(x?y)?12?2x?xcos??0? 于是得

只需求V的無條件極值問題?

在很多情形下? 將條件極值化為無條件極值并不容易? 需要另一種求條件極值的專用方法? 這就是拉格朗日乘數(shù)法?

現(xiàn)在我們來尋求函數(shù)z?f(x? y)在條件?(x? y)?0下取得極值的必要條件?

如果函數(shù)z?f(x? y)在(x0? y0)取得所求的極值? 那么有

?(x0? y0)?0?

假定在(x0? y0)的某一鄰域內(nèi)f(x? y)與?(x? y)均有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)? 而?y(x0? y0)?0?

由隱函數(shù)存在定理? 由方程?(x? y)?0確定一個連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)y??(x)? 將其代入目標函數(shù)z?f(x? y)? 得一元函數(shù)

z?f [x? ?(x)]?

于是x?x0是一元函數(shù)z?f [x? ?(x)]的極值點? 由取得極值的必要條件? 有

dzdxx?x0?fx(x0,y0)?fy(x0,y0)dydxx?x0?0?

即

fx(x0,y0)?fy(x0,y0)?x(x0,y0)?0?

?y(x0,y0)從而函數(shù)z?f(x? y)在條件?(x? y)?0下在(x0? y0)取得極值的必要條件是

fx(x0,y0)?fy(x0,y0)?x(x0,y0)?0與?(x0? y0)?0同時成立?

?y(x0,y0)

設(shè)fy(x0,y0)?y(x0,y0)???? 上述必要條件變?yōu)?/p>

?fx(x0,y0)???x(x0,y0)?0??fy(x0,y0)???y(x0,y0)?0??(x,y)?000??

拉格朗日乘數(shù)法? 要找函數(shù)z?f(x? y)在條件?(x? y)?0下的可能極值點? 可以先構(gòu)成輔助函數(shù)

F(x? y)?f(x? y)???(x? y)?

其中?為某一常數(shù)?

然后解方程組

?Fx(x,y)?fx(x,y)???x(x,y)?0??Fy(x,y)?fy(x,y)???y(x,y)?0? ??(x,y)?0?

由這方程組解出x? y及?? 則其中(x? y)就是所要求的可能的極值點?

這種方法可以推廣到自變量多于兩個而條件多于一個的情形?

至于如何確定所求的點是否是極值點? 在實際問題中往往可根據(jù)問題本身的性質(zhì)來判定?

例7 求表面積為a2而體積為最大的長方體的體積?

解 設(shè)長方體的三棱的長為x? y? z? 則問題就是在條件

2(xy?yz?xz)?a2

下求函數(shù)V?xyz的最大值?

構(gòu)成輔助函數(shù)

F(x? y? z)?xyz??(2xy ?2yz ?2xz ?a2)?

解方程組

?Fx(x,y,z)?yz?2?(y?z)?0??Fy(x,y,z)?xz?2?(x?z)?0?

?Fz(x,y,z)?xy?2?(y?x)?0?2??2xy?2yz?2xz?a得x?y?z?6a?

6這是唯一可能的極值點?

因為由問題本身可知最大值一定存在? ?所以最大值就在這個可能的值點處取得? 此時V?6a3?

第五篇：多元函數(shù)的基本概念教案

§8? 1 多元函數(shù)的基本概念

一、平面點集

n維空間

1．平面點集

由平面解析幾何知道? 當在平面上引入了一個直角坐標系后?平面上的點P與有序二元實數(shù)組(x? y)之間就建立了一一對應(yīng)? 于是? 我們常把有序?qū)崝?shù)組(x? y)與平面上的點P視作是等同的? 這種建立了坐標系的平面稱為坐標平面?

二元的序?qū)崝?shù)組(x? y)的全體? 即R2?R?R?{(x? y)|x? y?R}就表示坐標平面?

坐標平面上具有某種性質(zhì)P的點的集合? 稱為平面點集? 記作

E?{(x? y)|(x? y)具有性質(zhì)P}?

例如?平面上以原點為中心、r為半徑的圓內(nèi)所有點的集合是

C?{(x? y)| x2?y2?r2}?

如果我們以點P表示(x? y)? 以|OP|表示點P到原點O的距離? 那么集合C可表成 C?{P| |OP|?r}?

鄰域?

設(shè)P0(x0? y0)是xOy平面上的一個點? ?是某一正數(shù)? 與點P0(x0? y0)距離小于?的點P(x? y)的全體? 稱為點P0的?鄰域? 記為U(P0? ??? 即

U(P0,?)?{P| |PP0|??}或U(P0,?)?{(x, y)|(x?x0)2?(y?y0)2?? }?

鄰域的幾何意義? U(P0? ?)表示xOy平面上以點P0(x0? y0)為中心、? >0為半徑的圓的內(nèi)部的點P(x? y)的全體? ?

點P0的去心?鄰域? 記作U(P0, ?)? 即

U(P0, ?)?{P| 0?|P0P|??}?

注? 如果不需要強調(diào)鄰域的半徑?? 則用U(P0)表示點P0的某個鄰域? 點P0的去心鄰域記作U(P0)?

點與點集之間的關(guān)系?

任意一點P?R2與任意一個點集E?R2之間必有以下三種關(guān)系中的一種?

(1)內(nèi)點? 如果存在點P的某一鄰域U(P)? 使得U(P)?E? 則稱P為E的內(nèi)點?

(2)外點? 如果存在點P的某個鄰域U(P)? 使得U(P)?E??? 則稱P為E的外點?

(3)邊界點? 如果點P的任一鄰域內(nèi)既有屬于E的點? 也有不屬于E的點? 則稱P點為E的邊點?

E的邊界點的全體? 稱為E的邊界? 記作?E?

???

E的內(nèi)點必屬于E? E的外點必定不屬于E? 而E的邊界點可能屬于E? 也可能不屬于E ?

聚點? 如果對于任意給定的??0? 點P的去心鄰域U(P,?)內(nèi)總有E中的點? 則稱P是E的聚點?

由聚點的定義可知? 點集E的聚點P本身? 可以屬于E? 也可能不屬于E ?

例如? 設(shè)平面點集

E?{(x? y)|1?x2?y2?2}?

滿足1?x2?y2?2的一切點(x? y)都是E的內(nèi)點? 滿足x2?y2?1的一切點(x? y)都是E的邊界點? 它們都不屬于E? 滿足x2?y2?2的一切點(x? y)也是E的邊界點? 它們都屬于E? 點集E以及它的界邊?E上的一切點都是E的聚點?

開集? 如果點集E 的點都是內(nèi)點? 則稱E為開集?

閉集? 如果點集的余集E c為開集? 則稱E為閉集?

開集的例子? E?{(x? y)|1

閉集的例子? E?{(x? y)|1?x2?y2?2}?

集合{(x? y)|1?x2?y2?2}既非開集? 也非閉集?

連通性? 如果點集E內(nèi)任何兩點? 都可用折線連結(jié)起來? 且該折線上的點都屬于E? 則稱E為連通集?

區(qū)域(或開區(qū)域)? 連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域? 例如E?{(x? y)|1?x2?y2?2}?

閉區(qū)域? 開區(qū)域連同它的邊界一起所構(gòu)成的點集稱為閉區(qū)域? 例如E ? {(x? y)|1?x2?y2?2}?

有界集? 對于平面點集E? 如果存在某一正數(shù)r? 使得 E?U(O? r)?

其中O是坐標原點? 則稱E為有界點集?

無界集? 一個集合如果不是有界集? 就稱這集合為無界集?

例如? 集合{(x? y)|1?x2?y2?2}是有界閉區(qū)域? 集合{(x? y)| x?y?1}是無界開區(qū)域?

集合{(x? y)| x?y?1}是無界閉區(qū)域?

2? n維空間

設(shè)n為取定的一個自然數(shù)? 我們用Rn表示n元有序數(shù)組(x1? x2? ? ? ? ? xn)的全體所構(gòu)成的集合? 即

Rn?R?R???????R?{(x1? x2? ? ? ? ? xn)| xi?R? i?1? 2? ?????? n}?

Rn中的元素(x1? x2? ? ? ? ? xn)有時也用單個字母x來表示? 即x?(x1? x2? ? ? ? ? xn)? 當所有的xi(i?1? 2? ?????? n)都為零時? 稱這樣的元素為Rn中的零元? 記為0或O ? 在解析幾何中? 通過直角坐標? R2(或R3)中的元素分別與平面(或空間)中的點或向量建立一一對應(yīng)? 因而Rn中的元素x?(x1? x2? ? ? ? ? xn)也稱為Rn中的一個點或一個n維向量? xi稱為點x的

?

設(shè)x?(x1? x2? ? ? ? ? xn)? y?(y1? y2? ? ? ? ? yn)為Rn中任意兩個元素? ??R? 規(guī)定

x?y?(x1? y1? x2? y2? ? ? ? ? xn? yn)? ?x?(?x1? ?x2? ? ? ? ? ?xn)?

這樣定義了線性運算的集合Rn稱為n維空間?

Rn中點x?(x1? x2? ? ? ? ? xn)和點 y?(y1? y2? ? ? ? ? yn)間的距離? 記作?(x? y)? 規(guī)定

?(x,y)?(x1?y1)2?(x2?y2)2? ? ? ? ?(xn?yn)2?

顯然? n?1? 2? 3時? 上述規(guī)定與數(shù)軸上、直角坐標系下平面及空間中兩點間的距離一至?

Rn中元素x?(x1? x2? ? ? ? ? xn)與零元0之間的距離?(x? 0)記作||x||(在R1、R2、R3中? 通常將||x||記作|x|)? 即

||x||?x12?x2?

? ? ? ? xn采用這一記號? 結(jié)合向量的線性運算? 便得

||x?y||?(x1?y1)2?(x2?y2)2? ? ? ? ?(xn?yn)2??(x,y)?

在n維空間Rn中定義了距離以后? 就可以定義Rn中變元的極限?

設(shè)x?(x1? x2? ? ? ? ? xn)? a?(a1? a2? ? ? ? ? an)?Rn?

如果

||x?a||?0?

則稱變元x在Rn中趨于固定元a? 記作x?a ?

顯然?

x?a ? x1?a1? x2?a2? ? ? ? ? xn?an ?

在Rn中線性運算和距離的引入? 使得前面討論過的有關(guān)平面點集的一系列概念? 可以方便地引入到n(n?3)維空間中來? 例如?

設(shè)a?(a1? a2? ? ? ? ? an)?Rn? ?是某一正數(shù)? 則n維空間內(nèi)的點集

U(a? ?)?{x| x? Rn? ?(x? a)??} 就定義為Rn中點a的?鄰域? 以鄰域為基礎(chǔ)? 可以定義點集的內(nèi)點、外點、邊界點和聚點? 以及開集、閉集、區(qū)域等一系列概念?

二? 多元函數(shù)概念

例１ 圓柱體的體積V 和它的底半徑r、高h之間具有關(guān)系

V ??r2h??這里? 當r、h在集合{(r ? h)| r>0? h>0}內(nèi)取定一對值(r ? h)時? V對應(yīng)的值就隨之確定??

例2 一定量的理想氣體的壓強p、體積V和絕對溫度T之間具有關(guān)系

P?RTV??

其中R為常數(shù)? 這里? 當V、T在集合{(V ?T)| V>0? T>0}內(nèi)取定一對值(V? T)時? p的對應(yīng)值就隨之確定?

例3 設(shè)R 是電阻R1、R2并聯(lián)后的總電阻? 由電學(xué)知道? 它們之間具有關(guān)系

R?R1R2R1?R2?

這里? 當R1、R2在集合{(R1? R2)| R1>0? R2>0}內(nèi)取定一對值(R1 ? R2)時? R的對應(yīng)值就隨之確定? ?

定義1 設(shè)D是R2的一個非空子集? 稱映射f ? D?R為定義在D上的二元函數(shù)? 通常記為

z?f(x? y)?(x? y)?D(或z?f(P)? P?D)其中點集D稱為該函數(shù)的定義域? x? y稱為自變量? z稱為因變量?

上述定義中? 與自變量x、y的一對值(x? y)相對應(yīng)的因變量z的值? 也稱為f在點(x? y)處的函數(shù)值? 記作f(x? y)? 即z?f(x? y)?

值域? f(D)?{z| z?f(x? y)?(x? y)?D}?

函數(shù)的其它符號? z?z(x? y)? z?g(x? y)等?

類似地可定義三元函數(shù)u?f(x? y? z)?(x? y? z)?D以及三元以上的函數(shù)?

一般地? 把定義1中的平面點集D換成n維空間Rn內(nèi)的點集D? 映射f ? D?R就稱為定義在D上的n元函數(shù)? 通常記為

u?f(x1? x2? ? ? ? ? xn)?(x1? x2? ? ? ? ? xn)?D?

或簡記為

u?f(x)? x?(x1? x2? ? ? ? ? xn)?D?

也可記為

u?f(P)? P(x1? x2? ? ? ? ? xn)?D ?

關(guān)于函數(shù)定義域的約定? 在一般地討論用算式表達的多元函數(shù)u?f(x)時? 就以使這個算式有意義的變元x的值所組成的點集為這個多元函數(shù)的自然定義域? 因而? 對這類函數(shù)? 它的定義域不再特別標出? 例如?

函數(shù)z?ln(x?y)的定義域為{(x? y)|x?y>0}(無界開區(qū)域)?

函數(shù)z?arcsin(x2?y2)的定義域為{(x? y)|x2?y2?1}(有界閉區(qū)域)?

二元函數(shù)的圖形? 點集{(x? y? z)|z?f(x? y)?(x? y)?D}稱為二元函數(shù)z?f(x? y)的圖形? 二元函數(shù)的圖形是一張曲面?

例如 z?ax?by?c是一張平面? 而函數(shù)z=x2+y2的圖形是旋轉(zhuǎn)拋物面?

三? 多元函數(shù)的極限

與一元函數(shù)的極限概念類似? 如果在P(x? y)?P0(x0? y0)的過程中? 對應(yīng)的函數(shù)

值f(x? y)無限接近于一個確定的常數(shù)A? 則稱A是函數(shù)f(x? y)當(x? y)?(x0? y0)時的極限?

定義2 設(shè)二元函數(shù)f(P)?f(x? y)的定義域為D? P0(x0? y0)是D的聚點? 如果存在常數(shù)A? 對于任意給定的正數(shù)?總存在正數(shù)?? 使得當P(x,y)?D?U(P0,?)時? 都有 |f(P)?A|?|f(x? y)?A|??

成立? 則稱常數(shù)A為函數(shù)f(x? y)當(x? y)?(x0? y0)時的極限? 記為

(x,y)?(x0,y0)?limf(x,y)?A? 或f(x? y)?A((x? y)?(x0? y0))?

也記作

limf(P)?A或f(P)?A(P?P0)?

P?P0

上述定義的極限也稱為二重極限?

例4.設(shè)f(x,y)?(x2?y2)sin

證

因為 |f(x,y)?0|?|(x2?y2)sin21?0| ?|x2?y2|?|sin2| ?x2?y2? 2x?yx?y21x?y22? 求證lim(x,y)?(0,0)f(x,y)?0?

可見?? >0? 取???? 則當

0?(x?0)2?(y?0)2???

即P(x,y)?D?U(O,?)時? 總有

|f(x? y)?0|???

因此lim(x,y)?(0,0)?f(x,y)?0?

必須注意? ?

(1)二重極限存在? 是指P以任何方式趨于P0時? 函數(shù)都無限接近于A?

(2)如果當P以兩種不同方式趨于P0時? 函數(shù)趨于不同的值? 則函數(shù)的極限不存在?

?xy x2?y2?0?2

2討論?

函數(shù)f(x,y)??x?y在點(0? 0)有無極限？ ?

22??0 x?y?0

提示? 當點P(x? y)沿x軸趨于點(0? 0)時?

lim(x,y)?(0,0)f(x,y)?limf(x, 0)?lim0?0?

x?0x?0 當點P(x? y)沿y軸趨于點(0? 0)時?

lim(x,y)?(0,0)f(x,y)?limf(0, y)?lim0?0y?0y?0?

當點P(x? y)沿直線y?kx有

lim(x,y)?(0,0)y?kxkx2k?lim?x2?y2x?0x2?k2x21?k2xy??因此? 函數(shù)f(x? y)在(0? 0)處無極限?

極限概念的推廣? 多元函數(shù)的極限?

多元函數(shù)的極限運算法則?

與一元函數(shù)的情況類似?

例5 求lim(x,y)?(0,2)sin(xy)x?

解?

sin(xy)sin(xy)sin(xy)?lim?y?lim?limyxxy(x,y)?(0,2)(x,y)?(0,2)xy(x,y)?(0,2)(x,y)?(0,2)lim?1?2?2?

四? 多元函數(shù)的連續(xù)性

定義3 設(shè)二元函數(shù)f(P)?f(x? y)的定義域為D? P0(x0? y0)為D的聚點? 且P0?D ?

如果

lim(x,y)?(x0,y0)f(x,y)?f(x0,y0)?

則稱函數(shù)f(x? y)在點P0(x0? y0)連續(xù)?

如果函數(shù)f(x? y)在D的每一點都連續(xù)? 那么就稱函數(shù)f(x? y)在D上連續(xù)? 或者稱f(x? y)是D上的連續(xù)函數(shù)?

二元函數(shù)的連續(xù)性概念可相應(yīng)地推廣到n元函數(shù)f(P)上去?

例6設(shè)f(x,y)?sin x? 證明f(x? y)是R2上的連續(xù)函數(shù)?

證 設(shè)P0(x0? y0)? R2? ???0? 由于sin x在x0處連續(xù)? 故???0? 當|x?x0|??時? 有

|sin x?sin x0|???

以上述?作P0的?鄰域U(P0? ?)? 則當P(x? y)?U(P0? ?)時? 顯然

|f(x? y)?f(x0? y0)|?|sin x?sin x0|???

即f(x? y)?sin x在點P0(x0? y0)連續(xù)? 由P0的任意性知? sin x作為x? y的二元函數(shù)在R2上連續(xù)?

證 對于任意的P0(x0? y0)?R2? 因為

lim(x,y)?(x0,y0)f(x,y)?lim(x,y)?(x0,y0)sinx?sinx0?f(x0,y0)?

所以函數(shù)f(x,y)?sin x在點P0(x0? y0)連續(xù)? 由P0的任意性知? sin x作為x? y的二元函數(shù)在R2上連續(xù)?

類似的討論可知? 一元基本初等函數(shù)看成二元函數(shù)或二元以上的多元函數(shù)時? 它們在各自的定義域內(nèi)都是連續(xù)的?

定義4設(shè)函數(shù)f(x? y)的定義域為D? P0(x0? y0)是D的聚點? 如果函數(shù)f(x? y)在點P0(x0? y0)不連續(xù)? 則稱P0(x0? y0)為函數(shù)f(x? y)的間斷點?

?xy x2?y2?0?22

例如：函數(shù)f(x,y)??x?y?

22??0 x?y?0其定義域D?R2? O(0? 0)是D的聚點? f(x? y)當(x? y)?(0? 0)時的極限不存在? 所以點O(0? 0)是該函數(shù)的一個間斷點?

又如? 函數(shù)z?sin1x2?y2?1? 其定義域為D?{(x? y)|x2?y2?1}? 圓周C?{(x?

y)|x2?y2?1}上的點都是D的聚點? 而f(x? y)在C上沒有定義? 當然f(x? y)在C上各點都不連續(xù)? 所以圓周C上各點都是該函數(shù)的間斷點?

注? 間斷點可能是孤立點也可能是曲線上的點?

可以證明? 多元連續(xù)函數(shù)的和、差、積仍為連續(xù)函數(shù)? 連續(xù)函數(shù)的商在分母不為零處仍連續(xù)? 多元連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)也是連續(xù)函數(shù)?

多元初等函數(shù)? 與一元初等函數(shù)類似? 多元初等函數(shù)是指可用一個式子所表示的多元函數(shù)? 這個式子是由常數(shù)及具有不同自變量的一元基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和復(fù)合運算而得到的?

例如x?x2?y21?y2? sin(x?y)? ex2?y2?z2都是多元初等函數(shù)?

一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的? 所謂定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域?

由多元連續(xù)函數(shù)的連續(xù)性? 如果要求多元連續(xù)函數(shù)f(P)在點P0處的極限? 而該點又在此函數(shù)的定義區(qū)域內(nèi)? 則limf(P)?f(P0)?

p?p0 例7 求lim(x,y)?(1,2)x?yxy? ?

是初等函數(shù)? 它的定義域為：D?{(x? y)|x?0? y?0}? 解?

函數(shù)f(x,y)?x?yxyP0(1? 2)為D的內(nèi)點? 故存在P0的某一鄰域U(P0)?D? 而任何鄰域都是區(qū)域? 所以U(P0)是f(x? y)的一個定義區(qū)域? 因此

lim(x,y)?(1,2)f(x,y)?f(1,2)?32?

一般地? 求limf(P)時? 如果f(P)是初等函數(shù)? 且P0是f(P)的定義域的內(nèi)點? 則P?P0f(P)在點P0處連續(xù)? 于是

limf(P)?f(P0)?

P?P0 例8 求lim(x,y)?(0, 0)xy?1?1xy?

(xy?1?1)(xy?1?1)xy(xy?1?1)解? lim(x,y)?(0, 0)xy?1?1xy?lim(x,y)?(0, 0)?lim(x,y)?(0, 0)1xy?1?1?1?

2多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)?

性質(zhì)1(有界性與最大值最小值定理)在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)? 必定在D上有界? 且能取得它的最大值和最小值?

性質(zhì)1就是說? 若f(P)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)? 則必定存在常數(shù)M?0? 使得對一切P?D? 有|f(P)|?M? 且存在P1、P 2?D? 使得

f(P1)?max{f(P)|P?D}?

f(P2)?min{f(P)|P?D}?

性質(zhì)2(介值定理)在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)必取得介于最大值和最小值之間的任何值?