第一篇：同濟(jì)第六版《高等數(shù)學(xué)》教案WORD版-第12章 微分方程
高等數(shù)學(xué)教案
§12 微分方程
第十二章
微分方程
教學(xué)目的：
1．了解微分方程及其解、階、通解，初始條件和特等概念。2．熟練掌握變量可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法。
3．會(huì)解齊次微分方程、伯努利方程和全微分方程，會(huì)用簡(jiǎn)單的變量代換解某些微分方程。4． 會(huì)用降階法解下列微分方程：y(n)?f(x)，y???f(x,y?)和y???f(y,y?)5． 理解線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理。
6．掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法，并會(huì)解某些高于二階的常系數(shù)齊次線性微分方程。
7.求自由項(xiàng)為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、余弦函數(shù)，以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解和通解。
8.會(huì)解歐拉方程，會(huì)解包含兩個(gè)未知函數(shù)的一階常系數(shù)線性微分方程組。9．會(huì)解微分方程組（或方程組）解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問題。教學(xué)重點(diǎn)：
1、可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法
(n)
2、可降階的高階微分方程y?f(x)，y???f(x,y?)和y???f(y,y?)
3、二階常系數(shù)齊次線性微分方程；
4、自由項(xiàng)為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、余弦函數(shù)，以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程；
教學(xué)難點(diǎn)：
1、齊次微分方程、伯努利方程和全微分方程；
2、線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理；
3、自由項(xiàng)為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、余弦函數(shù)，以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解。
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§12 微分方程
4、歐拉方程
§12? 1 微分方程的基本概念
函數(shù)是客觀事物的內(nèi)部聯(lián)系在數(shù)量方面的反映? 利用函數(shù)關(guān)系又可以對(duì)客觀事物的規(guī)律性進(jìn)行研究? 因此如何尋找出所需要的函數(shù)關(guān)系? 在實(shí)踐中具有重要意義? 在許多問題中? 往往不能直接找出所需要的函數(shù)關(guān)系? 但是根據(jù)問題所提供的情況? 有時(shí)可以列出含有要找的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式? 這樣的關(guān)系就是所謂微分方程? 微分方程建立以后? 對(duì)它進(jìn)行研究? 找出未知函數(shù)來? 這就是解微分方程?
例1 一曲線通過點(diǎn)(1? 2)? 且在該曲線上任一點(diǎn)M(x? y)處的切線的斜率為2x? 求這曲線的方程?
解 設(shè)所求曲線的方程為y?y(x)? 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義? 可知未知函數(shù)y?y(x)應(yīng)滿足關(guān)系式(稱為微分方程)
dy?2x?
(1)
dx此外? 未知函數(shù)y?y(x)還應(yīng)滿足下列條件?
x?1時(shí)? y?2? 簡(jiǎn)記為y|x?1?2?
(2)把(1)式兩端積分? 得(稱為微分方程的通解)
y?2xdx? 即y?x2?C?
(3)其中C是任意常數(shù)?
把條件“x?1時(shí)? y?2”代入(3)式? 得
2?12?C?
由此定出C?1? 把C?1代入(3)式? 得所求曲線方程(稱為微分方程滿足條件y|x?1?2的解)?
y?x2?1?
例2 列車在平直線路上以20m/s(相當(dāng)于72km/h)的速度行駛? 當(dāng)制動(dòng)時(shí)列車獲得加速度?0?4m/s2? 問開始制動(dòng)后多少時(shí)間列車才能停住? 以及列車在這段時(shí)間里行駛了多少路程?
解 設(shè)列車在開始制動(dòng)后t秒時(shí)行駛了s米? 根據(jù)題意? 反映制動(dòng)階段列車運(yùn)動(dòng)規(guī)律的函數(shù)s?s(t)應(yīng)滿足關(guān)系式
?d2s??0.4?
(4)dt2內(nèi)蒙古財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院公共數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案
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此外? 未知函數(shù)s?s(t)還應(yīng)滿足下列條件?
t?0時(shí)? s?0? v?ds?20? 簡(jiǎn)記為s|=0? s?|=20?
(5)
t?0t?0dt
把(4)式兩端積分一次? 得
v?ds??0.4t?C?
(6)1dt再積分一次? 得
s??0?2t2 ?C1t ?C2?
(7)這里C1? C2都是任意常數(shù)?
把條件v|t?0?20代入(6)得
20?C1?
把條件s|t?0?0代入(7)得0?C2?
把C1? C2的值代入(6)及(7)式得
v??0?4t ?20?
(8)
s??0?2t2?20t?
(9)在(8)式中令v?0? 得到列車從開始制動(dòng)到完全停住所需的時(shí)間
t?20?50(s)?
0.4再把t?50代入(9)? 得到列車在制動(dòng)階段行駛的路程
s??0?2?502?20?50?500(m)?
解 設(shè)列車在開始制動(dòng)后t秒時(shí)行駛了s米?
s????0?4? 并且s|t?0=0? s?|t?0=20?
把等式s????0?4兩端積分一次? 得
s???0?4t?C1? 即v??0?4t?C1(C1是任意常數(shù))?
再積分一次? 得
s??0?2t2 ?C1t ?C2(C1? C2都C1是任意常數(shù))?
由v|t?0?20得20?C1? 于是v??0?4t ?20?
由s|t?0?0得0?C2? 于是s??0?2t2?20t?
令v?0? 得t?50(s)? 于是列車在制動(dòng)階段行駛的路程
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s??0?2?502?20?50?500(m)?
幾個(gè)概念?
微分方程? 表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量之間的關(guān)系的方程? 叫微分方程?
常微分方程? 未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程? 叫常微分方程?
偏微分方程? 未知函數(shù)是多元函數(shù)的微分方程? 叫偏微分方程?
微分方程的階? 微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)? 叫微分方程的階?
x3 y????x2 y???4xy??3x2 ?
y(4)?4y????10y???12y??5y?sin2x?
y(n)?1?0?
一般n階微分方程?
F(x? y? y??
? ? ? ? y(n))?0?
y(n)?f(x? y? y??
? ? ? ? y(n?1))?
微分方程的解? 滿足微分方程的函數(shù)(把函數(shù)代入微分方程能使該方程成為恒等式)叫做該微分方程的解? 確切地說? 設(shè)函數(shù)y??(x)在區(qū)間I上有n階連續(xù)導(dǎo)數(shù)? 如果在區(qū)間I上?
F[x? ?(x)? ??(x)? ? ? ?? ?(n)(x)]?0?
那么函數(shù)y??(x)就叫做微分方程F(x? y? y?? ? ? ?? y(n))?0在區(qū)間I上的解?
通解? 如果微分方程的解中含有任意常數(shù)? 且任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同? 這樣的解叫做微分方程的通解?
初始條件? 用于確定通解中任意常數(shù)的條件? 稱為初始條件? 如
x?x0 時(shí)? y?y0 ? y?? y?0 ?
一般寫成
??
yx?x0?y0? y?x?x0?y0
特解? 確定了通解中的任意常數(shù)以后? 就得到微分方程的特解? 即不含任意常數(shù)的解?
初值問題? 求微分方程滿足初始條件的解的問題稱為初值問題?
如求微分方程y??f(x?
y)滿足初始條件yx?x0?y0的解的問題? 記為
?y??f(x,y)
?? yx?x0?y0?內(nèi)蒙古財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院公共數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案
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積分曲線? 微分方程的解的圖形是一條曲線? 叫做微分方程的積分曲線?
例3 驗(yàn)證? 函數(shù)
x?C1cos kt?C2 sin kt 是微分方程
d2x?k2x?0
dt2的解?
解 求所給函數(shù)的導(dǎo)數(shù)?
dx??kCsinkt?kCcoskt? 12dtd2x??k2Ccoskt?k2Csinkt??k2(Ccoskt?Csinkt)
?
1212dt2d2x將2及x的表達(dá)式代入所給方程? 得 dt
?k2(C1cos kt?C2sin kt)? k2(C1cos kt?C2sin kt)?0?
d2x?k2x?0
這表明函數(shù)x?C1coskt?C2sinkt 滿足方程2? 因此所給函數(shù)是所給方程的解?
dtd2x?k2x?0
例4 已知函數(shù)x?C1coskt?C2sinkt(k?0)是微分方程2的通解? 求滿足初始條件
dt
x| t?0 ?A? x?| t?0 ?0 的特解?
解
由條件x| t?0 ?A及x?C1 cos kt?C2 sin kt? 得
C1?A?
再由條件x?| t?0 ?0? 及x?(t)??kC1sin kt?kC2cos kt? 得
C2?0?
把C1、C2的值代入x?C1cos kt?C2sin kt中? 得
x?Acos kt?
§12? 2 可分離變量的微分方程
觀察與分析?
1? 求微分方程y??2x的通解? 為此把方程兩邊積分? 得
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y?x2?C?
一般地? 方程y??f(x)的通解為y?f(x)dx?C(此處積分后不再加任意常數(shù))?
2? 求微分方程y??2xy2 的通解?
因?yàn)閥是未知的? 所以積分2xy2dx無法進(jìn)行? 方程兩邊直
??接積分不能求出通解?
為求通解可將方程變?yōu)?/p>
?1dy?2xdx? 兩邊積分? 得
y21?x2?C1? ? 或y??2yx?C可以驗(yàn)證函數(shù)y??1是原方程的通解?
x2?C
一般地? 如果一階微分方程y???(x, y)能寫成 g(y)dy?f(x)dx
形式? 則兩邊積分可得一個(gè)不含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方程
G(y)?F(x)?C?
由方程G(y)?F(x)?C所確定的隱函數(shù)就是原方程的通解
對(duì)稱形式的一階微分方程?
一階微分方程有時(shí)也寫成如下對(duì)稱形式?
P(x? y)dx?Q(x? y)dy?0 在這種方程中? 變量x與y 是對(duì)稱的?
若把x看作自變量、y看作未知函數(shù)? 則當(dāng)Q(x,y)?0時(shí)? 有
dyP(x,y)???
dxQ(x,y)dx??Q(x,y)?
dyP(x,y)若把y看作自變量、x看作未知函數(shù)? 則當(dāng)P(x,y)?0時(shí)? 有
可分離變量的微分方程?
如果一個(gè)一階微分方程能寫成
g(y)dy?f(x)dx(或?qū)懗蓎???(x)?(y))的形式? 就是說? 能把微分方程寫成一端只含y的函數(shù)和dy? 另一端只含x的函數(shù)和dx? 那么原內(nèi)蒙古財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院公共數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案
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方程就稱為可分離變量的微分方程?
討論? 下列方程中哪些是可分離變量的微分方程？(1)y??2xy?
是? ?y?1dy?2xdx ?(2)3x2?5x?y??0?
是? ?dy?(3x2?5x)dx?(3)(x2?y2)dx?xydy=0?
不是?
(4)y??1?x?y2?xy2? 是? ?y??(1?x)(1?y2)?(5)y??10x?y?
是? ?10?ydy?10xdx?(6)y??x?y?
不是?
yx
可分離變量的微分方程的解法?
第一步
分離變量? 將方程寫成g(y)dy ?f(x)dx的形式?
第二步
兩端積分?g(y)dy?f(x)dx? 設(shè)積分后得G(y)?F(x)?C?
第三步
求出由G(y)?F(x)?C所確定的隱函數(shù)y??(x)或x??(y)G(y)?F(x)?C ? y??(x)或x??(y)都是方程的通解? 其中G(y)?F(x)?C稱為隱式(通)解?
例1 求微分方程??dy?2xy的通解?
dx
解
此方程為可分離變量方程? 分離變量后得
1dy?2xdx?
y1兩邊積分得
?ydy??2xdx?
2即
ln|y|?x2?C1?
從而
y??ex?C1??eC1ex? 2因?yàn)?eC1仍是任意常數(shù)? 把它記作C? 便得所給方程的通解
y?Cex?
解
此方程為可分離變量方程? 分離變量后得
21dy?2xdx?
y內(nèi)蒙古財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院公共數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案
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兩邊積分得
1dy?2xdx?
?y?即
ln|y|?x2?lnC? 從而
y?Cex?
例2 鈾的衰變速度與當(dāng)時(shí)未衰變的原子的含量M成正比? 已知t?0時(shí)鈾的含量為M0? 求在衰變過程中鈾含量M(t)隨時(shí)間t變化的規(guī)律?
解 鈾的衰變速度就是M(t)對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)2dM?
dt
由于鈾的衰變速度與其含量成正比? 故得微分方程
dM???M?
dtdM?0?
dt其中?(?>0)是常數(shù)? ?前的曲面號(hào)表示當(dāng)t增加時(shí)M單調(diào)減少? 即由題意? 初始條件為
M|t?0?M0?
將方程分離變量得
dM???dt?
MdM?(??)dt?
?M?兩邊積分? 得即
lnM???t?lnC? 也即M?Ce??t?
由初始條件? 得M0?Ce0?C?
所以鈾含量M(t)隨時(shí)間t變化的規(guī)律M?M0e??t ?
例3 設(shè)降落傘從跳傘塔下落后? 所受空氣阻力與速度成正比? 并設(shè)降落傘離開跳傘塔時(shí)速度為零? 求降落傘下落速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系?
解
設(shè)降落傘下落速度為v(t)? 降落傘所受外力為F?mg?kv(k為比例系數(shù))? 根據(jù)牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律F?ma? 得函數(shù)v(t)應(yīng)滿足的方程為
mdv?mg?kv?
dt內(nèi)蒙古財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院公共數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案
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初始條件為
v|t?0?0?
方程分離變量? 得
dv?dt?
mg?kvm兩邊積分? 得?mg?kv??m?
t?C?
m1dvdt
?ln(mg?kv)?1k?kC1?ktmg?Cem(C??e即
v?)?
kkmg將初始條件v|t?0?0代入通解得C???
k?ktmg(1?em)?
于是降落傘下落速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為v?kdy?1?x?y2?xy2的通解?
例4 求微分方程dx
解 方程可化為
dy?(1?x)(1?y2)?
dx分離變量得
1dy?(1?x)dx?
1?y21dy?(1?x)dx? 即1x2?x?C?
arctany??1?y2?2兩邊積分得
于是原方程的通解為y?tan(x2?x?C)?
例4 有高為1m的半球形容器? 水從它的底部小孔流出? 小孔橫截面面積為1cm2? 開始時(shí)容器內(nèi)盛滿了水? 求水從小孔流出過程中容器里水面高度h隨時(shí)間t變化的規(guī)律?
解 由水力學(xué)知道? 水從孔口流出的流量Q可用下列公式計(jì)算?
Q?12dV?0.62S2gh?
dt內(nèi)蒙古財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院公共數(shù)學(xué)教研室 其中0? 62為流量系數(shù)? S為孔口橫截面面積? g為重力加速度? 現(xiàn)在孔口橫截面面積S?1cm2? 故 高等數(shù)學(xué)教案
§12 微分方程
dV?0.622gh? 或dV?0.622ghdt?
dt
另一方面? 設(shè)在微小時(shí)間間隔[t? t?dt]內(nèi)? 水面高度由h降至h?dh(dh?0)? 則又可得到
dV???r2dh?
其中r是時(shí)刻t的水面半徑? 右端置負(fù)號(hào)是由于dh?0而dV?0的緣故? 又因
r?1002?(100?h)2?200h?h2?
所以
dV???(200h?h2)dh?
通過比較得到
0.622ghdt???(200h?h2)dh?
這就是未知函數(shù)h?h(t)應(yīng)滿足的微分方程?
此外? 開始時(shí)容器內(nèi)的水是滿的? 所以未知函數(shù)h?h(t)還應(yīng)滿足下列初始條件?
h|t?0?100?
將方程0.622ghdt???(200h?h2)dh分離變量后得
dt??兩端積分? 得
t???0.622g132(200h?h2)dh?
?0.622g?13(200h2?h2)dh?
即
t??(400h2?2h2)?C?
50.622g3其中C是任意常數(shù)?
由初始條件得
t??(400?1002?2?1002)?C?
50.622gC??35?35?(400000?200000)??14?105?
350.622g0.622g15內(nèi)蒙古財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院公共數(shù)學(xué)教研室 ?高等數(shù)學(xué)教案
§12 微分方程
因此
t??0.622g(7?1053532?10h?3h2)?
上式表達(dá)了水從小孔流出的過程中容器內(nèi)水面高度h與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系?
§12? 3 齊次方程
齊次方程?
如果一階微分方程dy?f(x,y)中的函數(shù)f(x, y)可寫成 dxyy的函數(shù)? 即f(x,y)??()? 則稱這方程為齊次方程?
xx
下列方程哪些是齊次方程？
dyy?y2?x2dyyy
(1)xy??y?y?x?0是齊次方程??????()2?1?
dxxdxxx22dy1?y
2(2)1?xy??1?y不是齊次方程???
?dx1?x222dyx2?y2dyxy?????
(3)(x?y)dx?xydy?0是齊次方程? ?dxxydxyx22
(4)(2x?y?4)dx?(x?y?1)dy?0不是齊次方程??
(5)(2xshdy2x?y?4???
dxx?y?1yyy?3ych)dx?3xchdy?0是齊次方程?
xxxyy2xsh?3ychdyxx?dy?2thy?y ?
?ydxdx3xx3xchx
齊次方程的解法?
在齊次方程
ydyy??()中? 令u?? 即y?ux? 有 dxxx內(nèi)蒙古財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院公共數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案
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u?x分離變量? 得
du??(u)?
dxdu?dx? ?(u)?uxdu?dx??(u)?u?x? 兩端積分? 得
求出積分后? 再用y代替u? 便得所給齊次方程的通解?
xdydy?xy?
dxdx
例
1解方程y2?x2
解
原方程可寫成
y2()dyyx??
?
dxxy?x2y?1x2因此原方程是齊次方程? 令
y?ux? 于是原方程變?yōu)?/p>
2duu?
u?x?
dxu?1y?u? 則 xdy?u?xdu?
dxdx即
xdu?u?
dxu?1分離變量? 得
(1?)du?1udx?
x兩邊積分? 得u?ln|u|?C?ln|x|?
或?qū)懗蒷n|xu|?u?C?
以y代上式中的u? 便得所給方程的通解 x
ln|y|?y?C?
x內(nèi)蒙古財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院公共數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案
§12 微分方程
例2 有旋轉(zhuǎn)曲面形狀的凹鏡? 假設(shè)由旋轉(zhuǎn)軸上一點(diǎn)O發(fā)出的一切光線經(jīng)此凹鏡反射后都與旋轉(zhuǎn)軸平行? 求這旋轉(zhuǎn)曲面的方程?
解 設(shè)此凹鏡是由xOy面上曲線L? y?y(x)(y>0)繞x軸旋轉(zhuǎn)而成? 光源在原點(diǎn)? 在L上任取一點(diǎn)M(x, y)? 作L的切線交x軸于A? 點(diǎn)O發(fā)出的光線經(jīng)點(diǎn)M反射后是一條平行于x軸射線? 由光學(xué)及幾何原理可以證明OA?OM?
因?yàn)?/p>
OA?AP?OP?PMcot??OP?而
OM?x2?y2?
于是得微分方程
y?x?
y?y?x?x2?y2? y?整理得dx?x?(x)2?1? 這是齊次方程?
dyyydx?x?(x)2?1?
dyyy
問題歸結(jié)為解齊次方程
令即
yx?vdv?v?v2?1? 即x?yv? 得v?y?
dyydv?v2?1? dy分離變量? 得dv?dy?
v2?1yyy, ?(?v)2?v2?1, CC兩邊積分? 得 ln(v?v2?1)?lny?lnC, ?v?v2?1?y22yv??1?
C2C以yv?x代入上式? 得y2?2C(x?C)?
2這是以x軸為軸、焦點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線? 它繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程為
y2?z2?2C(x?C)? 2這就是所求的旋轉(zhuǎn)曲面方程?
內(nèi)蒙古財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院公共數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案
§12 微分方程
例3 設(shè)河邊點(diǎn)O的正對(duì)岸為點(diǎn)A? 河寬OA?h? 兩岸為平行直線? 水流速度為a? 有一鴨子從點(diǎn)A游向點(diǎn)O? 設(shè)鴨子的游速為b(b>a)? 且鴨子游動(dòng)方向始終朝著點(diǎn) O? 求鴨子游過的跡線的方程?
例3 設(shè)一條河的兩岸為平行直線? 水流速度為a? 有一鴨子從岸邊點(diǎn)A游向正對(duì)岸點(diǎn)O? 設(shè)鴨子的游速為b(b>a)? 且鴨子游動(dòng)方向始終朝著點(diǎn)O? 已知OA?h? 求鴨子游過的跡線的方程?
解 取O為坐標(biāo)原點(diǎn)? 河岸朝順?biāo)较驗(yàn)閤軸? y 軸指向?qū)Π? 設(shè)在時(shí)刻t鴨子位于點(diǎn)P(x, y)? 則鴨子運(yùn)動(dòng)速度
v?(vx, vy)?(dx, dy)? 故有dx?vx?
dyvydtdt?x, ?y)? v?(a?bx, ?by)?
x2?y2x2?y2x2?y2x2?y2另一方面? v?a?b?(a, 0)?b(因此dx?vx??a(x)2?1?x? 即dx??a(x)2?1?x?
dybyydyvybyydx??a(x)2?1?x?
dybyy
問題歸結(jié)為解齊次方程
令
yx?u? 即x?yu? 得 ydu??au2?1? dyb分離變量? 得du??ady?
u2?1by兩邊積分? 得 arshu??(lny?lnC)? bax1[(Cy)1?b?(Cy)1?b]?
將u?代入上式并整理? 得x?y2C以x|y?h?0代入上式? 得C?aa1? 故鴨子游過的軌跡方程為
haay1?by1?bh?()]? 0?y?h?
x?[()2hh內(nèi)蒙古財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院公共數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案
§12 微分方程
將u?x代入arshu??(lny?lnC)后的整理過程?
yabarshx??b(lny?lnC)ya???x?shln(Cy)a?x?1[(Cy)a?(Cy)a] yy2b?by1?b1?b1aaa?x?[(Cy)?(Cy)]?x?[(Cy)?(Cy)a]?
2C2bbb
§12.4 線性微分方程
一、線性方程
線性方程?
方程dy?P(x)y?Q(x)叫做一階線性微分方程? ?dxdydy?P(x)y?0叫做對(duì)應(yīng)于非齊次線性方程?P(x)y?Q(x)的齊次線性方程?
dxdxdydy?y??1y?0是齊次線性方程? dxdxx?2如果Q(x)?0 ? 則方程稱為齊次線性方程? 否則方程稱為非齊次線性方程?
方程
下列方程各是什么類型方程？
(1)(x?2)
(2)3x2?5x?5y??0?y??3x2?5x ? 是非齊次線性方程?
(3)y??y cos x?e?sin x ? 是非齊次線性方程?
(4)dy?10x?y? 不是線性方程? dx23dy3(y?1)2dydxx?x?0???0或?
(5)(y?1)? 不是線性方程?
dxdydx(y?1)2x
3齊次線性方程的解法?
齊次線性方程
dy?P(x)y?0是變量可分離方程? 分離變量后得 dxdy??P(x)dx?
y內(nèi)蒙古財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院公共數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案
§12 微分方程
兩邊積分? 得
ln|y|??P(x)dx?C1?
?P(x)dx(C??eC1)?
或
y?Ce??這就是齊次線性方程的通解（積分中不再加任意常數(shù)）?
例
1求方程(x?2)dy?y的通解?
dx
解
這是齊次線性方程? 分離變量得
dydx??
yx?2兩邊積分得
ln|y|?ln|x?2|?lnC?
方程的通解為
y?C(x?2)?
非齊次線性方程的解法?
將齊次線性方程通解中的常數(shù)換成x的未知函數(shù)u(x)? 把
?P(x)dx
y?u(x)e?
設(shè)想成非齊次線性方程的通解? 代入非齊次線性方程求得
?P(x)dx?P(x)dx?P(x)dx?u(x)e?P(x)?P(x)u(x)e??Q(x)?
u?(x)e?化簡(jiǎn)得
u?(x)?Q(x)e?P(x)dx?
u(x)?Q(x)e??P(x)dxdx?C?
于是非齊次線性方程的通解為
?P(x)dxP(x)dx[Q(x)e?dx?C]?
y?e???P(x)dx?P(x)dxP(x)dx或
y?Ce??e?Q(x)e?dx? ?非齊次線性方程的通解等于對(duì)應(yīng)的齊次線性方程通解與非齊次線性方程的一個(gè)特解之和?
內(nèi)蒙古財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院公共數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案
§12 微分方程
5dy2y??(x?1)2的通解?
例2 求方程dxx?1
解
這是一個(gè)非齊次線性方程?
先求對(duì)應(yīng)的齊次線性方程分離變量得
dy2y??0的通解?
dxx?1dy2dx??
yx?1兩邊積分得
ln y?2ln(x?1)?ln C?
齊次線性方程的通解為
y?C(x?1)2?
用常數(shù)變易法? 把C換成u? 即令y?u?(x?1)2? 代入所給非齊次線性方程? 得
52u?(x?1)2?(x?1)2
u??(x?1)?2u?(x?1)?x?1 1u??(x?1)2?
兩邊積分? 得 u?(x?1)2?C?
3再把上式代入y?u(x?1)2中? 即得所求方程的通解為 32
y?(x?1)[(x?1)2?C]?
3232? Q(x)?(x?1)2??
解? 這里P(x)??x?12)dx??2ln(x?1)? ?因?yàn)?/p>
?P(x)dx??(?x?1?P(x)dx?e2ln(x?1)?(x?1)2??
e?5P(x)dxdx??(x?1)2(x?1)?2dx??(x?1)2dx?2(x?1)2??
?Q(x)e?3513所以通解為?
y?e??P(x)dxP(x)dx[?Q(x)e?dx?C]?(x?1)2[2(x?1)2?C]?
33內(nèi)蒙古財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院公共數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案
§12 微分方程
例3 有一個(gè)電路如圖所示? 其中電源電動(dòng)勢(shì)為E?Emsin?t(Em、?都是常數(shù))? 電阻R和電感L都是常量? 求電流i(t)?
解
由電學(xué)知道? 當(dāng)電流變化時(shí)? L上有感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)?L
E?L即
di? 由回路電壓定律得出
dtdi?iR?0?
dtdi?Ri?E?
dtLLdi?Ri?Emsin? t?
dtLL
把E?Emsin? t代入上式? 得
初始條件為
i|t?0?0?
di?Ri?Emsin? t為非齊次線性方程? 其中
dtLLER? t?
P(t)?? Q(t)?msinLL
方程由通解公式? 得
i(t)?e??P(t)dt[?Q(t)e?P(t)dtdt?C]??Rdt?eL(RdtEm??Lsin? teLdt?C)
RttEm?RLe(?sin?teLdt?C)
?L?RtEm(Rsin? t?? Lcos? t)?CeL?
?222R??L其中C為任意常數(shù)?
將初始條件i|t?0?0代入通解? 得C?因此? 所求函數(shù)i(t)為
t? LEm?REmL?e(Rsin? t?? Lcos? t)?
i(t)?2R??2L2R2??2L2? LEm?
R2??2L
2二、伯努利方程
伯努利方程? 方程
dy?P(x)y?Q(x)yn(n?0? 1)dx內(nèi)蒙古財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院公共數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案
§12 微分方程
叫做伯努利方程?
下列方程是什么類型方程？
(1)
(2)dy1?y?1(1?2x)y4? 是伯努利方程? dx33dydy?y?xy5? ??y?xy5? 是伯努利方程? dxdxxy
1(3)y???? ?y??y?xy?1? 是伯努利方程? yxx
(4)dy?2xy?4x? 是線性方程? 不是伯努利方程? dxdy?P(x)y1?n?Q(x)dx
伯努利方程的解法? 以yn除方程的兩邊? 得
y?n令z ?y1?n ? 得線性方程
dz?(1?n)P(x)z?(1?n)Q(x)?
dxdyy??a(lnx)y2的通解?
例4 求方程dxx
解 以y2除方程的兩端? 得
y?2dy1?1?y?alnx?
dxxd(y?1)1?1?y?alnx?
即
?dxx令z?y?1? 則上述方程成為
dz?1z??alnx?
dxxa2這是一個(gè)線性方程? 它的通解為
z?x[C?(lnx)2]?
以y?1代z ? 得所求方程的通解為
yx[C?(lnx)2]?1?
經(jīng)過變量代換? 某些方程可以化為變量可分離的方程? 或化為已知其求解方法的方程? a2內(nèi)蒙古財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院公共數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案
§12 微分方程
例5 解方程dy?1?
dxx?y
解
若把所給方程變形為
dx?x?y?
dy即為一階線性方程? 則按一階線性方程的解法可求得通解? 但這里用變量代換來解所給方程?
令x?y?u? 則原方程化為
du?1?1? 即du?u?1?
dxudxuudu?dx?
u?1分離變量? 得
兩端積分得
u?ln|u?1|?x?ln|C|?
以u(píng)?x?y代入上式? 得
y?ln|x?y?1|??ln|C|? 或x?Cey?y?1?
§12? 5 全微分方程
全微分方程? 一個(gè)一階微分方程寫成 P(x, y)dx?Q(x, y)dy?0
形式后? 如果它的左端恰好是某一個(gè)函數(shù)u?u(x, y)的全微分?
du(x, y)?P(x, y)dx?Q(x, y)dy?
那么方程P(x, y)dx?Q(x, y)dy?0就叫做全微分方程? 這里
?u?P(x,y)? ?u?Q(x,y)?
?y?x而方程可寫為
du(x, y)?0?
全微分方程的判定? 若P(x, y)、Q(x, y)在單連通域G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)? 且
?P??Q?
?y?x內(nèi)蒙古財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院公共數(shù)學(xué)教研室 則方程P(x, y)dx?Q(x, y)dy?0是全微分方程? 高等數(shù)學(xué)教案
§12 微分方程
全微分方程的通解?
若方程P(x, y)dx?Q(x, y)dy?0是全微分方程? 且
du(x, y)?P(x, y)dx?Q(x, y)dy 則
u(x, y)?C?
即
?xx0P(x,y)dx??Q(x0,y)dx?C((x0,y0)?G)?
y0y是方程P(x, y)dx?Q(x, y)dy?0的通解
例1 求解(5x4?3xy2?y3)dx?(3x2y?3xy2?y2)dy?0?
解 這里
?P?6xy?3y2??Q?
?y?xxy所以這是全微分方程? 取(x0, y0)?(0, 0)? 有
u(x,y)??0(5x4?3xy2?y3)dx??y2dy
0
?x5?x2y2?xy3?y3?
于是? 方程的通解為
x5?x2y2?xy3?y3?C?
積分因子? 若方程P(x, y)dx?Q(x, y)dy?0不是全微分方程? 但存在一函數(shù)
???(x, y)(?(x, y)?0)? 使方程
?(x, y)P(x, y)dx??(x, y)Q(x, y)dy?0 是全微分方程? 則函數(shù)?(x, y)叫做方程P(x, y)dx?Q(x, y)dy?0的積分因子?
例2 通過觀察求方程的積分因子并求其通解:
(1)ydx?xdy?0?
(2)(1?xy)ydx?(1?xy)xdy?0?
解(1)方程ydx?xdy?0不是全微分方程?
因?yàn)?/p>
d()?32133213xyydx?xdy?
y2內(nèi)蒙古財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院公共數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案
§12 微分方程
所以1是方程ydx?xdy?0的積分因子? 于是
y2ydx?xdyx?C是全微分方程? 所給方程的通解為?
?0yy
2(2)方程(1?xy)ydx?(1?xy)xdy?0不是全微分方程?
將方程的各項(xiàng)重新合并? 得
(ydx?xdy)?xy(ydx?xdy)?0?
再把它改寫成 d(xy)?x2y2(這時(shí)容易看出dx?dy)?0?
xy1為積分因子? 乘以該積分因子后? 方程就變?yōu)?xy)2
d(xy)dxdy???0?
2xy(xy)積分得通解
1xx
??ln||?lnC? 即?Cexy?
xyyy
我們也可用積分因子的方法來解一階線性方程y??P(x)y?Q(x)?
可以驗(yàn)證?(x)?e?兩邊乘以?(x)?e?
y?e?即
y?e?亦即
[ye?P(x)dx1是一階線性方程y??P(x)y?Q(x)的一個(gè)積分因子? 在一階線性方程的P(x)dx得
P(x)dxP(x)dx?yP(x)e??y[e??Q(x)e?P(x)dx?
P(x)dxP(x)dxP(x)dx]??Q(x)e??
P(x)dxP(x)dx]??Q(x)e??
兩邊積分? 便得通解
ye?P(x)dx??Q(x)e?P(x)dxdx?C?
內(nèi)蒙古財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院公共數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案
§12 微分方程
?P(x)dxP(x)dx或
y?e?[Q(x)e?dx?C]? ?
例3用積分因子求dy?2xy?4x的通解?
dx
解 方程的積分因子為
?(x)?e?22xdx?ex? 2方程兩邊乘以ex得
y?ex?2xexy?4xex? 即(exy)??4xex?
于是
exy?4xexdx?2ex?C? 222222?22因此原方程的通解為y?4xexdx?2?Ce?x? ?22
§12? 6 可降階的高階微分方程
一、y(n)?f(x)型的微分方程
解法? 積分n 次
y(n?1)?f(x)dx?C1? ?
y(n?2)?[f(x)dx?C1]dx?C2? ??
? ? ??
例1 求微分方程y????e2x?cos x 的通解?
解 對(duì)所給方程接連積分三次? 得
y???e2x?sinx?C1?
y??e2x?cosx?C1x?C2?
y?e2x?sinx?C1x2?C2x?C3?
這就是所給方程的通解?
內(nèi)蒙古財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院公共數(shù)學(xué)教研室 12141812高等數(shù)學(xué)教案
§12 微分方程
或
y???e2x?sinx?2C1?
y??e2x?cosx?2C1x?C2?
y?e2x?sinx?C1x2?C2x?C3?
這就是所給方程的通解?
例2 質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)受力F的作用沿Ox軸作直線運(yùn)動(dòng)? 設(shè)力F僅是時(shí)間t的函數(shù)?F?F(t)? 在開始時(shí)刻t?0時(shí)F(0)?F0? 隨著時(shí)間t的增大? 此力F均勻地減小? 直到t?T時(shí)? F(T)?0? 如果開始時(shí)質(zhì)點(diǎn)位于原點(diǎn)? 且初速度為零? 求這質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律?
解 設(shè)x?x(t)表示在時(shí)刻t時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位置? 根據(jù)牛頓第二定律? 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的微分方程為
2dx
m2?F(t)?
dt121418由題設(shè)? 力F(t)隨t增大而均勻地減小? 且t?0時(shí)? F(0)?F0? 所以F(t)?F0?kt? 又當(dāng)t?T時(shí)? F(T)?0? 從而
F(t)?F0(1?)?
于是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的微分方程又寫為 tTd2x?F0(1?t)?
2mTdtdx|?0? 其初始條件為x|t?0?0?
dtt?0
把微分方程兩邊積分? 得
dx?F0(t?t2)?C
1?
dtm2T再積分一次? 得
x?F012t3(t?)?C1t?C2?
m26T由初始條件x|t?0?0? 得C1?C2?0? dx|?0?
dtt?0于是所求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為
F012t x?(t?)? 0?t?T?
m26T
解 設(shè)x?x(t)表示在時(shí)刻t時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位置?
根據(jù)牛頓第二定律? 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的微分方程為
內(nèi)蒙古財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院公共數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案
§12 微分方程
mx???F(t)?
由題設(shè)? F(t)是線性函數(shù)? 且過點(diǎn)(0? F0)和(T? 0)?
故
F(t)t??1? 即F(t)?F0(1?t)? F0TTF0(1?t)?
mT于是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的微分方程又寫為
x???其初始條件為x|t?0?0? x?|t?0?0?
把微分方程兩邊積分? 得
x??2F0(t?t)?C1? m2T再積分一次? 得
F012t3
x?(t?)?C2?
m26T由初始條件x|t?0?0? x?|t?0?0?
得C1?C2?0?
于是所求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為
x?
二、y??? f(x? y?)型的微分方程
解法? 設(shè)y??p則方程化為
p??f(x? p)?
設(shè)p??f(x? p)的通解為p??(x?C1)? 則
F012t3(t?)? 0?t?T? m26Tdy??(x,C1)?
dx原方程的通解為
y??(x,C1)dx?C2?
例3 求微分方程
(1?x2)y???2xy? 滿足初始條件
y|x?0?1? y?|x?0?3 的特解?
解 所給方程是y???f(x? y?)型的? 設(shè)y??p? 代入方程并分離變量后? 有 ?內(nèi)蒙古財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院公共數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案
§12 微分方程
dp2x?dx?
p1?x2兩邊積分? 得
ln|p|?ln(1?x2)?C?
即
p?y??C1(1?x2)(C1??eC)?
由條件y?|x?0?3? 得C1?3?
所以
y??3(1?x2)?
兩邊再積分? 得 y?x3?3x?C2?
又由條件y|x?0?1? 得C2?1?
于是所求的特解為
y?x3?3x?1?
例4 設(shè)有一均勻、柔軟的繩索? 兩端固定? 繩索僅受重力的作用而下垂? 試問該繩索在平衡狀態(tài)時(shí)是怎樣的曲線?
三、y???f(y? y?)型的微分方程
解法? 設(shè)y??p?有
y???原方程化為 dpdpdydp???p?
dxdydxdydp?f(y,p)?
dydp?f(y,p)的通解為y??p??(y? C1)? 則原方程的通解為 設(shè)方程pdy
p
dy??(y,C1)?x?C2?
dp?
dy
例5 求微分yy???y?2?0的通解?
解 設(shè)y??p? 則y???p代入方程? 得
ypdp2?p?0?
dy
在y?0、p?0時(shí)? 約去p并分離變量? 得
dpdy??
py兩邊積分得
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§12 微分方程
ln|p|?ln|y|?lnc?
即
p?Cy或y??Cy(C??c)?
再分離變量并兩邊積分? 便得原方程的通解為
ln|y|?Cx?lnc1?
或
y?C1eCx(C1??c1)?
例5 求微分yy???y?2?0的通解?
解 設(shè)y??p? 則原方程化為
ypdp2?p?0?
dy當(dāng)y?0、p?0時(shí)? 有
dp1?p?0?
dyy1?ydy于是
p?e?C1y?
即
y??C1y?0?
從而原方程的通解為
y?C2e?
例6 一個(gè)離地面很高的物體?受地球引力的作用由靜止開始落向地面? 求它落 到地面時(shí)的速度和所需的時(shí)間（不計(jì)空氣阻力）?
§12? 7 高階線性微分方程 一、二階線性微分方程舉例
例1 設(shè)有一個(gè)彈簧? 上端固定? 下端掛一個(gè)質(zhì)量為m 的物體? 取x 軸鉛直向下? 并取物體的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)?
給物體一個(gè)初始速度v0?0后? 物體在平衡位置附近作上下振動(dòng)? 在振動(dòng)過程中? 物體的位置x是t的函數(shù)? x?x(t)?
設(shè)彈簧的彈性系數(shù)為c? 則恢復(fù)力f??cx?
又設(shè)物體在運(yùn)動(dòng)過程中受到的阻力的大小與速度成正比? 比例系數(shù)為?? 則
R??C1dx?C2eC1x?
dx?
dt
由牛頓第二定律得
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§12 微分方程
md2x??cx??dx?
2dtdt
移項(xiàng)? 并記2n??c? k2??
mmd2x?2ndx?k2x?0則上式化為
?
dtdt2這就是在有阻尼的情況下? 物體自由振動(dòng)的微分方程?
如果振動(dòng)物體還受到鉛直擾力
F?Hsin pt 的作用? 則有
d2x?2ndx?k2x?hsinpt
?
dtdt2H其中h?? 這就是強(qiáng)迫振動(dòng)的微分方程?
m
例2 設(shè)有一個(gè)由電阻R、自感L、電容C和電源E串聯(lián)組成的電路? 其中R、L、及C為常數(shù)? 電源電動(dòng)勢(shì)是時(shí)間t的函數(shù)? E?Emsin?t? 這里Em及?也是常數(shù)?
設(shè)電路中的電流為i(t)? 電容器極板上的電量為q(t)? 兩極板間的電壓為uc? 自感電動(dòng)勢(shì)為EL ? 由電學(xué)知道
i?qdqdi? uc?? EL??L?
Cdtdtdi?q?Ri?0?
dtC根據(jù)回路電壓定律? 得
E?Ld2ucduc?RC?uc?Emsin?t?
即
LCdtdt2或?qū)懗?/p>
d2ucducEm2?2???u?sin?t?
0cdtLCdt2R? ??1? 這就是串聯(lián)電路的振蕩方程? 其中??02LLC
如果電容器經(jīng)充電后撤去外電源(E?0)? 則上述成為
d2ucduc2?2???uc?0?
0dtdt2內(nèi)蒙古財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院公共數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案
§12 微分方程
二階線性微分方程? 二階線性微分方程的一般形式為
y???P(x)y??Q(x)y?f(x)?
若方程右端f(x)?0時(shí)? 方程稱為齊次的? 否則稱為非齊次的?
二、線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)
先討論二階齊次線性方程
d2ydy?Q(x)y?0?
y???P(x)y??Q(x)y?0? 即2?P(x)dxdx
定理1 如果函數(shù)y1(x)與y2(x)是方程
y???P(x)y??Q(x)y?0?的兩個(gè)解? 那么
y?C1y1(x)?C2y2(x)也是方程的解? 其中C1、C2是任意常數(shù)?
齊次線性方程的這個(gè)性質(zhì)表明它的解符合疊加原理?
證明 [C1y1?C2y2]??C1 y1??C2 y2??
[C1y1?C2y2]???C1 y1???C2 y2???
因?yàn)閥1與y2是方程y???P(x)y??Q(x)y?0? 所以有
y1???P(x)y1??Q(x)y1?0及y2???P(x)y2??Q(x)y2?0?
從而
[C1y1?C2y2]???P(x)[ C1y1?C2y2]??Q(x)[ C1y1?C2y2]
?C1[y1???P(x)y1??Q(x)y1]?C2[y2???P(x)y2??Q(x)y2]?0?0?0?
這就證明了y?C1y1(x)?C2y2(x)也是方程y???P(x)y??Q(x)y?0的解
函數(shù)的線性相關(guān)與線性無關(guān)?
設(shè)y1(x)? y2(x)? ? ? ? ? yn(x)為定義在區(qū)間I上的n個(gè)函數(shù)? 如果存在n個(gè)不全為零的常數(shù)k1? k2? ? ? ? ? kn? 使得當(dāng)x?I 時(shí)有恒等式
k1y1(x)?k2y2(x)?
? ? ? ? knyn(x)?0 成立? 那么稱這n個(gè)函數(shù)在區(qū)間I上線性相關(guān)? 否則稱為線性無關(guān)?
判別兩個(gè)函數(shù)線性相關(guān)性的方法?
對(duì)于兩個(gè)函數(shù)? 它們線性相關(guān)與否? 只要看它們的比是否為常數(shù)? 如果比為常數(shù)? 那么它們就線性相關(guān)? 否則就線性無關(guān)?
例如? 1? cos2x ? sin2x 在整個(gè)數(shù)軸上是線性相關(guān)的? 函數(shù)1? x? x2在任何區(qū)間(a, b)內(nèi)是線性無內(nèi)蒙古財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院公共數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案
§12 微分方程
關(guān)的?
定理2 如果如果函數(shù)y1(x)與y2(x)是方程
y???P(x)y??Q(x)y?0 的兩個(gè)線性無關(guān)的解? 那么
y?C1y1(x)?C2y2(x)(C1、C2是任意常數(shù))是方程的通解?
例3 驗(yàn)證y1?cos x與y2?sin x是方程y???y?0的線性無關(guān)解? 并寫出其通解?
解 因?yàn)?/p>
y1???y1??cos x?cos x?0?
y2???y2??sin x?sin x?0?
所以y1?cos x與y2?sin x都是方程的解?
因?yàn)閷?duì)于任意兩個(gè)常數(shù)k1、k2? 要使
k1cos x?k2sin x?0?
只有k1?k2?0? 所以cos x與sin x在(??, ??)內(nèi)是線性無關(guān)的?
因此y1?cos x與y2?sin x是方程y???y?0的線性無關(guān)解?
方程的通解為y?C1cos x?C2sin x?
例4 驗(yàn)證y1?x與y2?ex是方程(x?1)y???xy??y?0的線性無關(guān)解? 并寫出其通解?
解 因?yàn)?/p>
(x?1)y1???xy1??y1?0?x?x?0?
(x?1)y2???xy2??y2?(x?1)ex?xex?ex?0?
所以y1?x與y2?ex都是方程的解?
因?yàn)楸戎礶 x/x 不恒為常數(shù)? 所以y1?x與y2?ex在(??, ??)內(nèi)是線性無關(guān)的?
因此y1?x 與y2?ex是方程(x?1)y???xy??y?0的線性無關(guān)解?
方程的通解為y?C1x?C2e x?
推論 如果y1(x)? y2(x)? ? ? ?? yn(x)是方程
y(n)?a1(x)y(n?1)? ? ? ? ?an?1(x)y?? an(x)y?0 的n個(gè)線性無關(guān)的解? 那么? 此方程的通解為
y?C1y1(x)?C2y2(x)? ? ? ? ? Cnyn(x)?
其中C1? C2? ? ? ?? Cn為任意常數(shù)?
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§12 微分方程
二階非齊次線性方程解的結(jié)構(gòu)?
我們把方程
y???P(x)y??Q(x)y?0 叫做與非齊次方程
y???P(x)y??Q(x)y?f(x)對(duì)應(yīng)的齊次方程?
定理3 設(shè)y*(x)是二階非齊次線性方程
y???P(x)y??Q(x)y?f(x)的一個(gè)特解? Y(x)是對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解? 那么
y?Y(x)?y*(x)是二階非齊次線性微分方程的通解?
證明提示? [Y(x)?y*(x)]???P(x)[ Y(x)?y*(x)]??Q(x)[ Y(x)?y*(x)]
? [Y ???P(x)Y ??Q(x)Y ]?[ y* ???P(x)y* ??Q(x)y*]
?0? f(x)? f(x)?
例如? Y?C1cos x?C2sin x 是齊次方程y???y?0的通解? y*?x2?2是y???y?x2 的一個(gè)特解? 因此
y?C1cos x?C2sin x?x2?2 是方程y???y?x2的通解?
定理4 設(shè)非齊次線性微分方程 y???P(x)y??Q(x)y?f(x)的右端f(x)幾個(gè)函數(shù)之和? 如
y???P(x)y??Q(x)y?f1(x)? f2(x)?
而y1*(x)與y2*(x)分別是方程
y???P(x)y??Q(x)y?f1(x)與y???P(x)y??Q(x)y?f2(x)的特解? 那么y1*(x)?y2*(x)就是原方程的特解?
證明提示?
[y1?y2*]???P(x)[ y1*?y2*]??Q(x)[ y1*?y2*]
?[ y1*???P(x)y1*??Q(x)y1*]?[ y2*???P(x)y2*??Q(x)y2*]
?f1(x)?f2(x)?
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§12 微分方程
§12? 9 二階常系數(shù)齊次線性微分方程
二階常系數(shù)齊次線性微分方程? 方程
y???py??qy?0 稱為二階常系數(shù)齊次線性微分方程? 其中p、q均為常數(shù)?
如果y1、y2是二階常系數(shù)齊次線性微分方程的兩個(gè)線性無關(guān)解? 那么y?C1y1?C2y2就是它的通解?
我們看看?
能否適當(dāng)選取r? 使y?erx
滿足二階常系數(shù)齊次線性微分方程? 為此將y?erx代入方程
y???py??qy?0 得
(r 2?pr?q)erx ?0?
由此可見? 只要r滿足代數(shù)方程r2?pr?q?0? 函數(shù)y?erx就是微分方程的解?
特征方程? 方程r2?pr?q?0叫做微分方程y???py??qy?0的特征方程? 特征方程的兩個(gè)根r1、r2可用公式
?p??p2?4q
r 1,2?2求出?
特征方程的根與通解的關(guān)系?
(1)特征方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根r1、r2時(shí)? 函數(shù)y1?er1x、y2?er2x是方程的兩個(gè)線性無關(guān)的解?
這是因?yàn)?
函數(shù)y1?er1x、y2?er2xy1er1x(r1?r2)x??e是方程的解? 又不是常數(shù)?
y2er2x因此方程的通解為
y?C1er1x?C2er2x?
(2)特征方程有兩個(gè)相等的實(shí)根r1?r2時(shí)? 函數(shù)y1?er1x、y2?xer1x是二階常系數(shù)齊次線性微分內(nèi)蒙古財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院公共數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案
§12 微分方程
方程的兩個(gè)線性無關(guān)的解?
這是因?yàn)? y1?er1x是方程的解? 又
r1xr1x2r1x
(xer1x)???p(xer1x)??q(xer1x)?(2r1?xr1?xr1)e?p(1)e?qxe r1x
2?er1x(2r1?p)?xe(r1?pr1?q)?0?
y2xer1x所以y2?xe也是方程的解? 且??x不是常數(shù)?
y1er1xr1x
因此方程的通解為
y?C1er1x?C2xer1x?
(3)特征方程有一對(duì)共軛復(fù)根r1, 2???i?時(shí)? 函數(shù)y?e(??i?)x、y?e(??i?)x是微分方程的兩個(gè)線性無關(guān)的復(fù)數(shù)形式的解? 函數(shù)y?e?xcos?x、y?e?xsin?x是微分方程的兩個(gè)線性無關(guān)的實(shí)數(shù)形式的解?
函數(shù)y1?e(??i?)x和y2?e(??i?)x都是方程的解? 而由歐拉公式? 得
y1?e(??i?)x?e?x(cos?x?isin?x)?
y2?e(??i?)x?e?x(cos?x?isin?x)?
1y1?y2?2e?xcos?x? e?xcos?x?(y1?y2)?
21y1?y2?2ie?xsin?x? e?xsin?x?(y1?y2)?
2i故e?xcos?x、y2?e?xsin?x也是方程解?
可以驗(yàn)證? y1?e?xcos?x、y2?e?xsin?x是方程的線性無關(guān)解?
因此方程的通解為
y?e?x(C1cos?x?C2sin?x)?
求二階常系數(shù)齊次線性微分方程y???py??qy?0的通解的步驟為?
第一步
寫出微分方程的特征方程
r2?pr?q?0 第二步
求出特征方程的兩個(gè)根r1、r2?
第三步
根據(jù)特征方程的兩個(gè)根的不同情況? 寫出微分方程的通解?
例1 求微分方程y???2y??3y?0的通解?
內(nèi)蒙古財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院公共數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案
§12 微分方程
解 所給微分方程的特征方程為
r2?2r?3?0? 即(r?1)(r?3)?0?
其根r1??1? r2?3是兩個(gè)不相等的實(shí)根? 因此所求通解為
y?C1e?x?C2e3x?
例2 求方程y???2y??y?0滿足初始條件y|x?0?
4、y?| x?0??2的特解?
解 所給方程的特征方程為
r2?2r?1?0? 即(r?1)2?0?
其根r1?r2??1是兩個(gè)相等的實(shí)根? 因此所給微分方程的通解為
y?(C1?C2x)e?x?
將條件y|x?0?4代入通解? 得C1?4? 從而
y?(4?C2x)e?x?
將上式對(duì)x求導(dǎo)? 得
y??(C2?4?C2x)e?x?
再把條件y?|x?0??2代入上式? 得C2?2? 于是所求特解為
x?(4?2x)e?x?
例 3 求微分方程y???2y??5y? 0的通解?
解 所給方程的特征方程為
r2?2r?5?0?
特征方程的根為r1?1?2i? r2?1?2i? 是一對(duì)共軛復(fù)根?
因此所求通解為
y?ex(C1cos2x?C2sin2x)?
n 階常系數(shù)齊次線性微分方程? 方程
y(n)?p1y(n?1)?p2 y(n?2)? ? ? ? ? pn?1y??pny?0?
稱為n 階常系數(shù)齊次線性微分方程? 其中 p1?
p2 ? ? ? ? ? pn?1? pn都是常數(shù)?
二階常系數(shù)齊次線性微分方程所用的方法以及方程的通解形式? 可推廣到n 階常系數(shù)齊次線性微分方程上去?
引入微分算子D? 及微分算子的n次多項(xiàng)式?
L(D)=Dn ?p1Dn?1?p2 Dn?2 ? ? ? ? ? pn?1D?pn? 則n階常系數(shù)齊次線性微分方程可記作
內(nèi)蒙古財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院公共數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案
§12 微分方程
(Dn ?p1Dn?1?p2 Dn?2 ? ? ? ? ? pn?1D?pn)y?0或L(D)y?0? 注? D叫做微分算子D0y?y? Dy?y?? D2y?y??? D3y?y???? ? ? ??Dny?y(n)?
分析? 令y?erx? 則
L(D)y?L(D)erx?(rn ?p1rn?1?p2 rn?2 ? ? ? ? ? pn?1r?pn)erx?L(r)erx?
因此如果r是多項(xiàng)式L(r)的根? 則y?erx是微分方程L(D)y?0的解?
n 階常系數(shù)齊次線性微分方程的特征方程?
L(r)?rn ?p1rn?1?p2 rn?2 ? ? ? ? ? pn?1r?pn?0 稱為微分方程L(D)y?0的特征方程?
特征方程的根與通解中項(xiàng)的對(duì)應(yīng)?
單實(shí)根r 對(duì)應(yīng)于一項(xiàng)? Cerx ?
一對(duì)單復(fù)根r1? 2?? ?i? 對(duì)應(yīng)于兩項(xiàng)? e?x(C1cos?x?C2sin?x)?
k重實(shí)根r對(duì)應(yīng)于k項(xiàng)? erx(C1?C2x? ? ? ? ?Ck xk?1)?
一對(duì)k 重復(fù)根r1? 2?? ?i? 對(duì)應(yīng)于2k項(xiàng)?
e?x[(C1?C2x? ? ? ? ?Ck xk?1)cos?x?(D1?D2x? ? ? ? ?Dk xk?1)sin?x]?
例4 求方程y(4)?2y????5y???0 的通解?
解
這里的特征方程為
r4?2r3?5r2?0? 即r2(r2?2r?5)?0?
它的根是r1?r2?0和r3? 4?1?2i?
因此所給微分方程的通解為
y?C1?C2x?ex(C3cos2x?C4sin2x)?
例5 求方程y(4)?? 4y?0的通解? 其中??0?
解
這里的特征方程為
r4?? 4?0?
它的根為r1,2??2?(1?i)? r3,4???2(1?i)?
因此所給微分方程的通解為
y?e
內(nèi)蒙古財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院公共數(shù)學(xué)教研室 2x(C1cos?2x?C2sin?2x)?e? ?2x(C3cos?2x?C4sin?2x)? 高等數(shù)學(xué)教案
§12 微分方程
§12? 10 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程
二階常系數(shù)非齊次線性微分方程? 方程
y???py??qy?f(x)稱為二階常系數(shù)非齊次線性微分方程? 其中p、q是常數(shù)?
二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的通解是對(duì)應(yīng)的齊次方程 的通解y?Y(x)與非齊次方程本身的一個(gè)特解y?y*(x)之和?
y?Y(x)? y*(x)?
當(dāng)f(x)為兩種特殊形式時(shí)? 方程的特解的求法?
一、f(x)?Pm(x)e?x 型
當(dāng)f(x)?Pm(x)e?x時(shí)? 可以猜想? 方程的特解也應(yīng)具有這種形式? 因此? 設(shè)特解形式為y*?Q(x)e?x? 將其代入方程? 得等式
Q??(x)?(2??p)Q?(x)?(?2?p??q)Q(x)?Pm(x)?
(1)如果?不是特征方程r2?pr?q?0 的根? 則?2?p??q?0? 要使上式成立? Q(x)應(yīng)設(shè)為m 次多項(xiàng)式?
Qm(x)?b0xm?b1xm?1? ? ? ? ?bm?1x?bm ?
通過比較等式兩邊同次項(xiàng)系數(shù)? 可確定b0? b1? ? ? ? ? bm? 并得所求特解
y*?Qm(x)e?x?
(2)如果?是特征方程 r2?pr?q?0 的單根? 則?2?p??q?0? 但2??p?0? 要使等式
Q??(x)?(2??p)Q?(x)?(?2?p??q)Q(x)?Pm(x)?
成立? Q(x)應(yīng)設(shè)為m?1 次多項(xiàng)式?
Q(x)?xQm(x)?
Qm(x)?b0xm ?b1xm?1? ? ? ?
?bm?1x?bm ?
通過比較等式兩邊同次項(xiàng)系數(shù)? 可確定b0? b1? ? ? ?
? bm? 并得所求特解
y*?xQm(x)e?x?
(3)如果?是特征方程 r2?pr?q?0的二重根? 則?2?p??q?0? 2??p?0? 要使等式
Q??(x)?(2??p)Q?(x)?(?2?p??q)Q(x)?Pm(x)?
成立? Q(x)應(yīng)設(shè)為m?2次多項(xiàng)式?
Q(x)?x2Qm(x)?
Qm(x)?b0xm?b1xm?1? ? ? ? ?bm?1x?bm ?
內(nèi)蒙古財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院公共數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案
§12 微分方程
通過比較等式兩邊同次項(xiàng)系數(shù)? 可確定b0? b1? ? ? ? ? bm ? 并得所求特解
y*?x2Qm(x)e?x?
綜上所述? 我們有如下結(jié)論? 如果f(x)?Pm(x)e?x? 則二階常系數(shù)非齊次線性微分方程y???py??qy ?f(x)有形如
y*?xk Qm(x)e?x 的特解? 其中Qm(x)是與Pm(x)同次的多項(xiàng)式? 而k 按?不是特征方程的根、是特征方程的單根或是特征方程的的重根依次取為0、1或2?
例1 求微分方程y???2y??3y?3x?1的一個(gè)特解?
解 這是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程? 且函數(shù)f(x)是Pm(x)e?x型(其中Pm(x)?3x?1? ??0)?
與所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為
y???2y??3y?0?
它的特征方程為
r2?2r?3?0?
由于這里??0不是特征方程的根? 所以應(yīng)設(shè)特解為
y*?b0x?b1?
把它代入所給方程? 得
?3b0x?2b0?3b1?3x?1?
比較兩端x同次冪的系數(shù)? 得
???3b0?3? ?3b0?3? ?2b0?3b1?1? ?2b?3b?1?01由此求得b0??1? b1?? 于是求得所給方程的一個(gè)特解為
y*??x??
例2 求微分方程y???5y??6y?xe2x的通解?
解 所給方程是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程? 且f(x)是Pm(x)e?x型(其中Pm(x)?x? ??2)?
與所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為
y???5y??6y?0?
它的特征方程為
內(nèi)蒙古財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院公共數(shù)學(xué)教研室 1313高等數(shù)學(xué)教案
§12 微分方程
r2?5r ?6?0?
特征方程有兩個(gè)實(shí)根r1?2? r2?3? 于是所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為
Y?C1e2x?C2e3x ?
由于??2是特征方程的單根? 所以應(yīng)設(shè)方程的特解為
y*?x(b0x?b1)e2x?
把它代入所給方程? 得
?2b0x?2b0?b1?x?
比較兩端x同次冪的系數(shù)? 得
???2b0?1? ?2b0?1? 2b0?b1?0? 2b?b?0?01由此求得b0??1? b??1? 于是求得所給方程的一個(gè)特解為 1 y*?x(?x?1)e2x?
從而所給方程的通解為
y?C1e2x?C2e3x?(x2?2x)e2x?
提示?
y*?x(b0x?b1)e2x?(b0x2?b1x)e2x?
[(b0x2?b1x)e2x]??[(2b0x?b1)?(b0x2?b1x)?2]e2x?
[(b0x2?b1x)e2x]???[2b0?2(2b0x?b1)?2?(b0x2?b1x)?22]e2x?
y*???5y*??6y*?[(b0x2?b1x)e2x]???5[(b0x2?b1x)e2x]??6[(b0x2?b1x)e2x] ?[2b0?2(2b0x?b1)?2?(b0x2?b1x)?22]e2x?5[(2b0x?b1)?(b0x2?b1x)?2]e2x?6(b0x2?b1x)e2x ?[2b0?4(2b0x?b1)?5(2b0x?b1)]e2x?[?2b0x?2b0?b1]e2x?
方程y???py??qy?e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]的特解形式
應(yīng)用歐拉公式可得
e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x] 1212內(nèi)蒙古財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院公共數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案
§12 微分方程
?e?x[Pl(x)ei? x?e?i? x?P(x)ei? x?e?i? x] n22i
?[Pe(??i?)x?[Pe(??i?)x
l(x)?iPn(x)]l(x)?iPn(x)]
?P(x)e(??i?)x?P(x)e(??i?)x?
其中P(x)?(Pl?Pni)? P(x)?(Pl?Pni)? 而m?max{l? n}?
設(shè)方程y???py??qy?P(x)e(??i?)x的特解為y1*?xkQm(x)e(??i?)x?
則y1*?xkQm(x)e(??i?)必是方程y???py??qy?P(x)e(??i?)的特解?
其中k按??i?不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1?
于是方程y???py??qy?e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]的特解為
y*?xkQm(x)e(??i?)x?xkQm(x)e(??i?)x
?xke?x[Qm(x)(cos?x?isin?x)?Qm(x)(cos?x?isin?x)
?xk e?x[R(1)m(x)cos?x?R(2)m(x)sin?x]?
綜上所述? 我們有如下結(jié)論?
如果f(x)?e?x [Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]? 則二階常系數(shù)非齊次線性微分方程
y???py??qy?f(x)的特解可設(shè)為
y*?xk e?x[R(1)m(x)cos?x?R(2)m(x)sin?x]?
其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次多項(xiàng)式? m?max{l? n}? 而k 按??i?(或??i?)不是特征方程的根或是特征方程的單根依次取0或1?
例3 求微分方程y???y?xcos2x的一個(gè)特解?
解 所給方程是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程?
且f(x)屬于e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]型(其中??0? ??2? Pl(x)?x? Pn(x)?0）?
與所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為
y???y?0?
它的特征方程為
r2?1?0?
內(nèi)蒙古財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院公共數(shù)學(xué)教研室 12121212高等數(shù)學(xué)教案
§12 微分方程
由于這里??i??2i 不是特征方程的根? 所以應(yīng)設(shè)特解為
y*?(ax?b)cos2x?(cx?d)sin2x?
把它代入所給方程? 得
(?3ax?3b?4c)cos2x?(3cx?3d?4a)sin2x?xcos2x?
比較兩端同類項(xiàng)的系數(shù)? 得 a??? b?0? c?0? d?于是求得一個(gè)特解為 y*??xcos2x?sin2x?
提示?
y*?(ax?b)cos2x?(cx?d)sin2x?
y*??acos2x?2(ax?b)sin2x?csin2x?2(cx?d)cos2x?
?(2cx?a?2d)cos2x?(?2ax?2b?c)sin2x?
y*???2ccos2x?2(2cx?a?2d)sin2x?2asin2x?2(?2ax?2b?c)cos2x
?(?4ax?4b?4c)cos2x?(?4cx?4a?4d)sin2x?
y*??? y*?(?3ax?3b?4c)cos2x?(?3cx?4a?3d)sin2x? 134?
91349??3a?1??3b?4c?014由?? 得a??? b?0? c?0? d?? ?3c?039???4a?3d?0
§12? 12 微分方程的冪級(jí)數(shù)解法
當(dāng)微分方程的解不能用初等函數(shù)或其積分表達(dá)時(shí)? 我們就要尋求其它解法? 常用的有冪級(jí)數(shù)解法和數(shù)值解法? 本節(jié)我們簡(jiǎn)單地介紹微分方程的冪級(jí)數(shù)解法?
求一階微分方程的多項(xiàng)式?
f(x? y)?a00?a10(x?x0)?a01(y?y0)? ? ? ? ?aim(x?x0)l(y?y0)m?
這時(shí)我們可以設(shè)所求特解可展開為x?x0的冪級(jí)數(shù)?
內(nèi)蒙古財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院公共數(shù)學(xué)教研室 dy?f(x,y)滿足初始條件y|x?x0?y0的特解? 其中函數(shù)f(x? y)是(x?x0)、(y?y0)dx高等數(shù)學(xué)教案
§12 微分方程
y?y0?a1(x?x0)?a2(x?x0)2? ? ? ? ?an(x?x0)n? ? ? ? ?
其中a1? a2? ? ? ? ? an? ? ? ? ? 是待定的系數(shù)? 把所設(shè)特解代入微分方程中? 便得一恒等式? 比較這恒等式兩端x?x0的同次冪的系數(shù)? 就可定出常數(shù)a1? a2? ? ? ? ? 從而得到所求的特解?
例1 求方程dy?x?y2滿足y|x?0?0的特解?
dx
解 這時(shí)x0?0? y0?0? 故設(shè)
y?a1x?a2x2?a3x3?a4x4? ? ? ? ?
把y及y?的冪級(jí)數(shù)展開式代入原方程? 得
a1?2a2x?3a3x2?4a4x3?5a5x4? ? ? ?
?x?(a1x?a2x2?a3x3?a4x4? ? ? ?)2
?x?a12x2?2a1a2x3?(a22?2a1a3)x4? ? ? ? ?
由此? 比較恒等式兩端x的同次冪的系數(shù)? 得
a1?0? a2?? a3?0? a4?0? a5?121? ? ? ? ?
20于是所求解的冪級(jí)數(shù)展開式的開始幾項(xiàng)為
y?x2?121x5? ? ? ? ?
定理 如果方程
y???P(x)y??Q(x)y?0 中的系數(shù)P(x)與Q(x)可在?R y??anxn n?0?的解? 例2 求微分方程y???xy ?0的滿足初始條件y|x?0?0? y?|x?0?1的特解? 解 這里P(x)?0? Q(x)??x在整個(gè)數(shù)軸上滿足定理的條件? 因此所求的解可在整個(gè)數(shù)軸上展開成x的冪級(jí)數(shù) y?a0?a1x?a2x2?a3x3?a4x4? ? ? ? ??anxn? n?0?由條件y|x?0?0? 得a0?0? 由y??a1?2a2x?3a3x2?4a4x3? ? ? ?及y?|x?0?1? 得a1?1? 于是 y?x?a2x2?a3x3?a4x4? ? ? ? ?x??anxn n?2?內(nèi)蒙古財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院公共數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案 §12 微分方程 y??1?2a2x?3a3x?4a4x? ? ? ? ?1??nanxn?1? n?223? y???2a2?3?2a3x?4?3a4x2? ? ? ? ??n(n?1)anxn?2 ? n?2? y?x?a2x?a3x?a4x? ? ? ??x??anxn 234 ?n?2 y??1?2a2x?3a3x?4a4x? ? ? ??1??nanxn?1? 23 ?n?2 y???2a2x?3?2a3x?4?3a4x? ? ? ? ??n(n?1)anxn?2 ? 2 ?n?2 把y及y??代入方程y???xy ?0? 得 2a2?3?2a3x?4?3a4x2? ? ? ? ?n(n?1)anxn?2?? ? ? ?x(x?a2x2?a3x3?a4x4?? ? ??anxn?? ? ?)?0? 即 2a2?3?2a3x?(4?3a4?1)x2?(5?4a5?a 2)x3? ?(6?5a6?a3)x4? ? ? ? ?[(n?2)(n?1)an?2?an?1]xn? ? ? ? ?0? 于是有 a2?0, a3?0, a4?一般地 an?2?1, a?0, a?0, ? ? ? ? 64?35an?1(n?3? 4? ? ? ?)? (n?2)(n?1)由遞推公式可得 aa41?1, a8?0, a9?0, a10?7?, ? ? ? ? 7?67?6?4?310?910?9?7?6?4?31一般地 a3m?1?(m?1? 2? ? ? ?)? (3m?1)(3m)? ? ? 7?6?4?3 a7?所求的特解為 y?x? 1x4?1x7?1x10? ? ? ? ? 4?37?6?4?310?9?7?6?4?3內(nèi)蒙古財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院公共數(shù)學(xué)教研室 習(xí)題課 I 教學(xué)目的與要求： 1.掌握好導(dǎo)數(shù)的定義，會(huì)用導(dǎo)數(shù)的定義解決函數(shù)的可導(dǎo)性;2.熟練掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，熟練掌握隱函數(shù)的求導(dǎo)方法;3.熟練掌握參數(shù)方程的求導(dǎo)方法.II 典型方法與例題: 1.用導(dǎo)數(shù)的定義求極限 例1 設(shè) f(x)在x?a的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，則f(x)在x?a處可導(dǎo)的一個(gè)充分條件是（） 1h???hf(a?2h)?f(a?h)（B）lim h?0hf(a?h)?f(a?h)（C）lim h?02hf(a)?f(a?h)（D）lim h?0h（A）limh[f(a?)?f(a)] 分析 （D） 2.用導(dǎo)數(shù)定義解函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù) 例2 設(shè)f(x)??(a?bx)??(a?bx)，其中的?(x)在x?a處可導(dǎo)，求f?(0)解 知f(0)??(a)??(a)?0 因?yàn)橹徽f明的?(x)在x?a處可導(dǎo)，沒說明的?(x)在x?0處是否可導(dǎo)，解f?(0)時(shí)必須用導(dǎo)數(shù)的定義 f(x)?f(0)?(a?bx)??(a?bx)?limx?0x?0x?0x?0[?(a?bx)??(a)]?[?(a?bx)??(a)]?limx?0x?(a?bx)??(a) ?lim ?b?x?0bx?(a?bx)??(a)lim?bx?0?bx?b??(a)?b??(a)?2b??(a)f?(0)?lim3.用導(dǎo)數(shù)定義解函數(shù)方程 設(shè)f(x)在(0,??)的上有定義，且f?(1)?a(?0)，又?x,y?(0,??)，有f(xy)?f(x)?f(y)，解f(x) 解 在f(xy)?f(x)?f(y)讓y?1，得 f(x)?f(x)?f(1) f(1)?0 f(x?xy)?f(x)f(x)?f(1?y)?f(x)?limy?0y?0xyxy f(1?y)f(1?y)?f(1)11?lim?lim??f?(1)?y?0y?0xyyxxf?(x)?lim即 f?(x)?a(?f?(1)?a)xf(x)?alnx?C 讓x?1，得 f(1)?aln1?C 因此 f(x)?alnx 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵是分析復(fù)合函數(shù)的復(fù)合關(guān)系，從處層到里層一層一層地求導(dǎo)，既不重復(fù)，又不遺漏 1??xsin,x?0,例4 討論函數(shù)f(x)?? x??0,x?0在x?0處的連續(xù)性與可導(dǎo)性 解 知 limxsinx?01?0?f(0)x函數(shù)xsin又有 1在x?0的處連續(xù)的 xf?(0)?limx?0f(x)?f(0)x?0 1xsin?01x?lim?limsinx?0x?0xx而 limsinx?01不存在 x函數(shù)f(x)在x?0處不可導(dǎo) 函數(shù)f(x)在x?0處連續(xù)，不可導(dǎo) 3??x?acos?,例5 求函數(shù)? 3??y?asin?;dyd2y的一階導(dǎo)數(shù)及二階導(dǎo)數(shù)2 dxdx解 函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)dy??tan? dxd2y1sec4?csc? 函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)2?3adxIII 課外作業(yè)： P124 9（1）11 12 15 高等數(shù)學(xué)教案 微分方程 第七章 微分方程 教學(xué)目的： 1．了解微分方程及其解、階、通解，初始條件和特等概念。2．熟練掌握變量可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法。 3．會(huì)解齊次微分方程、伯努利方程和全微分方程，會(huì)用簡(jiǎn)單的變量代換解某些微分方程。4． 會(huì)用降階法解下列微分方程：y(n)?f(x)，y???f(x,y?)和y???f(y,y?) 5． 理解線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理。 6．掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法，并會(huì)解某些高于二階的常系數(shù)齊次線性微分方程。 7.求自由項(xiàng)為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、余弦函數(shù)，以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解和通解。 8.會(huì)解歐拉方程，會(huì)解包含兩個(gè)未知函數(shù)的一階常系數(shù)線性微分方程組。9．會(huì)解微分方程組（或方程組）解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問題。教學(xué)重點(diǎn)： 1、可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法 (n) 2、可降階的高階微分方程y?f(x)，y???f(x,y?)和y???f(y,y?) 3、二階常系數(shù)齊次線性微分方程； 4、自由項(xiàng)為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、余弦函數(shù)，以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程； 教學(xué)難點(diǎn)： 1、齊次微分方程、伯努利方程和全微分方程； 2、線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理； 3、自由項(xiàng)為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、余弦函數(shù)，以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解。 三峽大學(xué)高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 微分方程 §7? 1 微分方程的基本概念 函數(shù)是客觀事物的內(nèi)部聯(lián)系在數(shù)量方面的反映? 利用函數(shù)關(guān)系又可以對(duì)客觀事物的規(guī)律性進(jìn)行研究? 因此如何尋找出所需要的函數(shù)關(guān)系? 在實(shí)踐中具有重要意義? 在許多問題中? 往往不能直接找出所需要的函數(shù)關(guān)系? 但是根據(jù)問題所提供的情況? 有時(shí)可以列出含有要找的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式? 這樣的關(guān)系就是所謂微分方程? 微分方程建立以后? 對(duì)它進(jìn)行研究? 找出未知函數(shù)來? 這就是解微分方程? 例1 一曲線通過點(diǎn)(1? 2)? 且在該曲線上任一點(diǎn)M(x? y)處的切線的斜率為2x? 求這曲線的方程? 解 設(shè)所求曲線的方程為y?y(x)? 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義? 可知未知函數(shù)y?y(x)應(yīng)滿足關(guān)系式(稱為微分方程) dy?2x? (1) dx此外? 未知函數(shù)y?y(x)還應(yīng)滿足下列條件? x?1時(shí)? y?2? 簡(jiǎn)記為y|x?1?2? (2)把(1)式兩端積分? 得(稱為微分方程的通解) y?2xdx? 即y?x2?C? (3)其中C是任意常數(shù)? 把條件“x?1時(shí)? y?2”代入(3)式? 得 2?12?C? 由此定出C?1? 把C?1代入(3)式? 得所求曲線方程(稱為微分方程滿足條件y|x?1?2的解)? y?x2?1? 例2 列車在平直線路上以20m/s(相當(dāng)于72km/h)的速度行駛? 當(dāng)制動(dòng)時(shí)列車獲得加速度?0?4m/s2? 問開始制動(dòng)后多少時(shí)間列車才能停住? 以及列車在這段時(shí)間里行駛了多少路程? 解 設(shè)列車在開始制動(dòng)后t秒時(shí)行駛了s米? 根據(jù)題意? 反映制動(dòng)階段列車運(yùn)動(dòng)規(guī)律的函數(shù)s?s(t)應(yīng)滿足關(guān)系式 ?d2s??0.? (4)dt2此外? 未知函數(shù)s?s(t)還應(yīng)滿足下列條件? 三峽大學(xué)高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 微分方程 t?0時(shí)? s?0? v?ds?20? 簡(jiǎn)記為s|=0? s?|=20? (5) t?0t?0dt 把(4)式兩端積分一次? 得 v?ds??0.4t?C? (6)1dt再積分一次? 得 s??0?2t2 ?C1t ?C2? (7)這里C1? C2都是任意常數(shù)? 把條件v|t?0?20代入(6)得 20?C1? 把條件s|t?0?0代入(7)得0?C2? 把C1? C2的值代入(6)及(7)式得 v??0?4t ?20? (8) s??0?2t2?20t? (9)在(8)式中令v?0? 得到列車從開始制動(dòng)到完全停住所需的時(shí)間 t?20?50(s)? 0.4再把t?50代入(9)? 得到列車在制動(dòng)階段行駛的路程 s??0?2?502?20?50?500(m)? 幾個(gè)概念? 微分方程? 表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量之間的關(guān)系的方程? 叫微分方程? 常微分方程? 未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程? 叫常微分方程? 偏微分方程? 未知函數(shù)是多元函數(shù)的微分方程? 叫偏微分方程? 微分方程的階? 微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)? 叫微分方程的階? x3 y????x2 y???4xy??3x2 ? y(4)?4y????10y???12y??5y?sin2x? y(n)?1?0? 一般n階微分方程? F(x? y? y?? ? ? ? ? y(n))?0? y(n)?f(x? y? y?? ? ? ? ? y(n?1))? 三峽大學(xué)高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 微分方程 微分方程的解? 滿足微分方程的函數(shù)(把函數(shù)代入微分方程能使該方程成為恒等式)叫做該微分方程的解? 確切地說? 設(shè)函數(shù)y??(x)在區(qū)間I上有n階連續(xù)導(dǎo)數(shù)? 如果在區(qū)間I上? F[x? ?(x)? ??(x)? ? ? ?? ?(n)(x)]?0? 那么函數(shù)y??(x)就叫做微分方程F(x? y? y?? ? ? ?? y(n))?0在區(qū)間I上的解? 通解? 如果微分方程的解中含有任意常數(shù)? 且任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同? 這樣的解叫做微分方程的通解? 初始條件? 用于確定通解中任意常數(shù)的條件? 稱為初始條件? 如 x?x0 時(shí)? y?y0 ? y?? y?0 ? 一般寫成 ?? yx?x0?y0? y?x?x0?y0 特解? 確定了通解中的任意常數(shù)以后? 就得到微分方程的特解? 即不含任意常數(shù)的解? 初值問題? 求微分方程滿足初始條件的解的問題稱為初值問題? 如求微分方程y??f(x? y)滿足初始條件yx?x0?y0的解的問題? 記為 ?y??f(x,y) ?? yx?x0?y0? 積分曲線? 微分方程的解的圖形是一條曲線? 叫做微分方程的積分曲線? d2x?k2x?0 例3 驗(yàn)證? 函數(shù) x?C1cos kt?C2 sin kt是微分方程 的解? dt 2解 求所給函數(shù)的導(dǎo)數(shù)? dx??kCsinkt?kCcoskt? 12dtd2x??k2Ccoskt?k2Csinkt??k2(Ccoskt?Csinkt) ? 1212dt2d2x將2及x的表達(dá)式代入所給方程? 得 dt ?k2(C1cos kt?C2sin kt)? k2(C1cos kt?C2sin kt)?0? d2x?k2x?0 這表明函數(shù)x?C1coskt?C2sinkt 滿足方程2? 因此所給函數(shù)是所給方程的解? dt三峽大學(xué)高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 微分方程 例4 已知函數(shù)x?C1coskt?C2sinkt(k?0)是微分方程 x| t?0 ?A? x?| t?0 ?0 的特解? 解 由條件x| t?0 ?A及x?C1 cos kt?C2 sin kt? 得 C1?A? 再由條件x?| t?0 ?0? 及x?(t)??kC1sin kt?kC2cos kt? 得 C2?0? 把C1、C2的值代入x?C1cos kt?C2sin kt中? 得 x?Acos kt? 作業(yè)：P298：4 d2x?k2x?0的通解? 求滿足初始條件 2dt §7? 2 可分離變量的微分方程 觀察與分析? 1? 求微分方程y??2x的通解? 為此把方程兩邊積分? 得 y?x2?C? 一般地? 方程y??f(x)的通解為y?f(x)dx?C(此處積分后不再加任意常數(shù))? 2? 求微分方程y??2xy2 的通解? 因?yàn)閥是未知的? 所以積分2xy2dx無法進(jìn)行? 方程兩邊直 ??接積分不能求出通解? 為求通解可將方程變?yōu)?/p> ? 1dy?2xdx? 兩邊積分? 得 y21?x2?C1? ? 或y??2yx?C三峽大學(xué)高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 微分方程 可以驗(yàn)證函數(shù)y??1是原方程的通解? x2?C 一般地? 如果一階微分方程y???(x, y)能寫成 g(y)dy?f(x)dx 形式? 則兩邊積分可得一個(gè)不含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方程 G(y)?F(x)?C? 由方程G(y)?F(x)?C所確定的隱函數(shù)就是原方程的通解 對(duì)稱形式的一階微分方程? 一階微分方程有時(shí)也寫成如下對(duì)稱形式? P(x? y)dx?Q(x? y)dy?0 在這種方程中? 變量x與y 是對(duì)稱的? 若把x看作自變量、y看作未知函數(shù)? 則當(dāng)Q(x,y)?0時(shí)? 有 dyP(x,y)??? dxQ(x,y)dx??Q(x,y)? dyP(x,y)若把y看作自變量、x看作未知函數(shù)? 則當(dāng)P(x,y)?0時(shí)? 有 可分離變量的微分方程? 如果一個(gè)一階微分方程能寫成 g(y)dy?f(x)dx(或?qū)懗蓎???(x)?(y))的形式? 就是說? 能把微分方程寫成一端只含y的函數(shù)和dy? 另一端只含x的函數(shù)和dx? 那么原方程就稱為可分離變量的微分方程? 討論? 下列方程中哪些是可分離變量的微分方程？(1)y??2xy? 是? ?y?1dy?2xdx ?(2)3x2?5x?y??0? 是? ?dy?(3x2?5x)dx?(3)(x2?y2)dx?xydy=0? 不是? (4)y??1?x?y2?xy2? 是? ?y??(1?x)(1?y2)?(5)y??10x?y? 是? ?10?ydy?10xdx?(6)y??x?y? 不是? yx三峽大學(xué)高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 微分方程 可分離變量的微分方程的解法? 第一步 分離變量? 將方程寫成g(y)dy ?f(x)dx的形式? 第二步 兩端積分?g(y)dy?f(x)dx? 設(shè)積分后得G(y)?F(x)?C? 第三步 求出由G(y)?F(x)?C所確定的隱函數(shù)y??(x)或x??(y)G(y)?F(x)?C ? y??(x)或x??(y)都是方程的通解? 其中G(y)?F(x)?C稱為隱式(通)解? 例1 求微分方程??dy?2xy的通解? dx 解 此方程為可分離變量方程? 分離變量后得 1dy?2xdx? y1dy?2xdx? ?y?兩邊積分得 即 ln|y|?x2?C1? 從而 y??ex2?C1??eC1ex? 2因?yàn)?eC1仍是任意常數(shù)? 把它記作C? 便得所給方程的通解 y?Cex? 例2 鈾的衰變速度與當(dāng)時(shí)未衰變的原子的含量M成正比? 已知t?0時(shí)鈾的含量為M0? 求在衰變過程中鈾含量M(t)隨時(shí)間t變化的規(guī)律? 解 鈾的衰變速度就是M(t)對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)2dM? dtdM???M? dtdM?0? dt 由于鈾的衰變速度與其含量成正比? 故得微分方程其中?(?>0)是常數(shù)? ?前的曲面號(hào)表示當(dāng)t增加時(shí)M單調(diào)減少? 即由題意? 初始條件為 M|t?0?M0? 將方程分離變量得 dM???dt? M三峽大學(xué)高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 微分方程 兩邊積分? 得dM?(??)dt? ?M?即 lnM???t?lnC? 也即M?Ce??t? 由初始條件? 得M0?Ce0?C? 所以鈾含量M(t)隨時(shí)間t變化的規(guī)律M?M0e??t ? 例3 設(shè)降落傘從跳傘塔下落后? 所受空氣阻力與速度成正比? 并設(shè)降落傘離開跳傘塔時(shí)速度為零? 求降落傘下落速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系? 解 設(shè)降落傘下落速度為v(t)? 降落傘所受外力為F?mg?kv(k為比例系數(shù))? 根據(jù)牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律F?ma? 得函數(shù)v(t)應(yīng)滿足的方程為 mdv?mg?kv? dt初始條件為 v|t?0?0? 方程分離變量? 得 dv?dt? mg?kvm兩邊積分? 得?mg?kv??m? t?C? m1dvdt ?ln(mg?kv)?1k?kC1?ktmg?Cem(C??e即 v?)? kkmg將初始條件v|t?0?0代入通解得C??? k?ktmg(1?em)? 于是降落傘下落速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為v?kdy?1?x?y2?xy2的通解? 例4 求微分方程dx 解 方程可化為 dy?(1?x)(1?y2)? dx分離變量得 三峽大學(xué)高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 微分方程 1dy?(1?x)dx? 1?y21dy?(1?x)dx? 即1x2?x?C? arctany??1?y2?2兩邊積分得 于是原方程的通解為y?tan(x2?x?C)? 作業(yè)：P304：1（1）（2）（3）（7）（9）（10），2（2）（4），3 §7? 3 齊次方程 齊次方程? 如果一階微分方程12dy?f(x,y)中的函數(shù)f(x, y)可寫成 dxyy的函數(shù)? 即f(x,y)??()? 則稱這方程為齊次方程? xx 下列方程哪些是齊次方程？ dyy?y2?x2dyyy (1)xy??y?y?x?0是齊次方程??????()2?1? dxxdxxx22dy1?y 2(2)1?xy??1?y不是齊次方程??? ?dx1?x222dyx2?y2dyxy????? (3)(x?y)dx?xydy?0是齊次方程? ?dxxydxyx22 (4)(2x?y?4)dx?(x?y?1)dy?0不是齊次方程?? (5)(2xshdy2x?y?4??? dxx?y?1yyy?3ych)dx?3xchdy?0是齊次方程? xxx三峽大學(xué)高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 微分方程 yy2xsh?3ychdyxx?dy?2thy?y ? ?ydxdx3xx3xchx 齊次方程的解法? 在齊次方程 u?x分離變量? 得 ydyy??()中? 令u?? 即y?ux? 有 dxxxdu??(u)? dxdu?dx? ?(u)?uxdu?dx??(u)?u?x? 兩端積分? 得 求出積分后? 再用y代替u? 便得所給齊次方程的通解? xdydy?xy? dxdx 例1 解方程y2?x2 解 原方程可寫成 y2()dyyx?? ? 2ydxxy?x?1x2因此原方程是齊次方程? 令 y?ux? 于是原方程變?yōu)?/p> u?x即 xy?u? 則 xdy?u?xdu? dxdxdu?u2? dxu?1du?u? dxu?1分離變量? 得 三峽大學(xué)高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 微分方程 (1?)du?1udx? x兩邊積分? 得u?ln|u|?C?ln|x|? 或?qū)懗蒷n|xu|?u?C? 以y代上式中的u? 便得所給方程的通解 x ln|y|?y?C? x 例2 有旋轉(zhuǎn)曲面形狀的凹鏡? 假設(shè)由旋轉(zhuǎn)軸上一點(diǎn)O發(fā)出的一切光線經(jīng)此凹鏡反射后都與旋轉(zhuǎn)軸平行? 求這旋轉(zhuǎn)曲面的方程? 解 設(shè)此凹鏡是由xOy面上曲線L? y?y(x)(y>0)繞x軸旋轉(zhuǎn)而成? 光源在原點(diǎn)? 在L上任取一點(diǎn)M(x, y)? 作L的切線交x軸于A? 點(diǎn)O發(fā)出的光線經(jīng)點(diǎn)M反射后是一條平行于x軸射線? 由光學(xué)及幾何原理可以證明OA?OM? 因?yàn)?/p> OA?AP?OP?PMcot??OP?而 OM?x2?y2? 于是得微分方程 y?x? y?y?x?x2?y2? y?整理得dx?x?(x)2?1? 這是齊次方程? dyyydx?x?(x)2?1? dyyy 問題歸結(jié)為解齊次方程 令即 yx?vdv?v?v2?1? 即x?yv? 得v?y? dyydv?v2?1? dy分離變量? 得dv?dy? v2?1yyy, ?(?v)2?v2?1, CC兩邊積分? 得 ln(v?v2?1)?lny?lnC, ?v?v2?1?三峽大學(xué)高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 微分方程 y22yv??1? C2C以yv?x代入上式? 得y2?2C(x?C)? 2這是以x軸為軸、焦點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線? 它繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程為 y2?z2?2C(x?C)? 2這就是所求的旋轉(zhuǎn)曲面方程? 例3 設(shè)一條河的兩岸為平行直線? 水流速度為a? 有一鴨子從岸邊點(diǎn)A游向正對(duì)岸點(diǎn)O? 設(shè)鴨子的游速為b(b>a)? 且鴨子游動(dòng)方向始終朝著點(diǎn)O? 已知OA?h? 求鴨子游過的跡線的方程? 解 取O為坐標(biāo)原點(diǎn)? 河岸朝順?biāo)较驗(yàn)閤軸? y 軸指向?qū)Π? 設(shè)在時(shí)刻t鴨子位于點(diǎn)P(x, y)? 則鴨子運(yùn)動(dòng)速度 v?(vx, vy)?(dx, dy)? 故有dx?vx? dyvydtdt?x, ?y)? v?(a?bx, ?by)? x2?y2x2?y2x2?y2x2?y2另一方面? v?a?b?(a, 0)?b(因此dx?vx??a(x)2?1?x? 即dx??a(x)2?1?x? dybyydyvybyydx??a(x)2?1?x? dybyy 問題歸結(jié)為解齊次方程 令 yx?u? 即x?yu? 得 ydu??au2?1? dyb分離變量? 得du??ady? u2?1by兩邊積分? 得 arshu??(lny?lnC)? bax1[(Cy)1?b?(Cy)1?b]? 將u?代入上式并整理? 得x?y2C三峽大學(xué)高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 aa高等數(shù)學(xué)教案 微分方程 以x|y?h?0代入上式? 得C?1? 故鴨子游過的軌跡方程為 haay1?by1?bh?()]? 0?y?h? x?[()2hhb將u?x代入arshu??(lny?lnC)后的整理過程? yaarshx??b(lny?lnC) ya???x?shln(Cy)a?x?1[(Cy)a?(Cy)a] yy2b?by1?b1?b1aa?x?[(Cy)?(Cy)]?x?[(Cy)a?(Cy)a]? 2C2bbb作業(yè)：P309：1（1）（3）（5），2 §7.4 線性微分方程 一、線性方程 線性方程? 方程dy?P(x)y?Q(x)叫做一階線性微分方程? ?dxdydy?P(x)y?0叫做對(duì)應(yīng)于非齊次線性方程?P(x)y?Q(x)的齊次線性方程? dxdxdydy?y??1y?0是齊次線性方程? dxdxx?2如果Q(x)?0 ? 則方程稱為齊次線性方程? 否則方程稱為非齊次線性方程? 方程 下列方程各是什么類型方程？ (1)(x?2) (2)3x2?5x?5y??0?y??3x2?5x ? 是非齊次線性方程? (3)y??y cos x?e?sin x ? 是非齊次線性方程? (4)dy?10x?y? 不是線性方程? dx三峽大學(xué)高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 微分方程 3dy3(y?1)2dydxx?x?0???0或? (5)(y?1)? 不是線性方程? dxdydx(y?1)2x 32齊次線性方程的解法? 齊次線性方程 dy?P(x)y?0是變量可分離方程? 分離變量后得 dxdy??P(x)dx? y兩邊積分? 得 ln|y|??P(x)dx?C1? ?P(x)dx(C??eC1)? 或 y?Ce??這就是齊次線性方程的通解（積分中不再加任意常數(shù)）? 例 1求方程(x?2)dy?y的通解? dx 解 這是齊次線性方程? 分離變量得 dydx?? yx?2兩邊積分得 ln|y|?ln|x?2|?lnC? 方程的通解為 y?C(x?2)? 非齊次線性方程的解法? 將齊次線性方程通解中的常數(shù)換成x的未知函數(shù)u(x)? 把 ?P(x)dx y?u(x)e? 設(shè)想成非齊次線性方程的通解? 代入非齊次線性方程求得 ?P(x)dx?P(x)dx?P(x)dx?u(x)e?P(x)?P(x)u(x)e??Q(x)? u?(x)e?化簡(jiǎn)得 u?(x)?Q(x)e?P(x)dx? 三峽大學(xué)高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 微分方程 u(x)?Q(x)e??P(x)dxdx?C? 于是非齊次線性方程的通解為 ?P(x)dxP(x)dx y?e?[Q(x)e?dx?C]? ??P(x)dx?P(x)dxP(x)dx或 y?Ce??e?Q(x)e?dx? ?非齊次線性方程的通解等于對(duì)應(yīng)的齊次線性方程通解與非齊次線性方程的一個(gè)特解之和? 5dy2y??(x?1)2的通解? 例2 求方程dxx?1 解 這是一個(gè)非齊次線性方程? 先求對(duì)應(yīng)的齊次線性方程分離變量得 dy2y??0的通解? dxx?1dy2dx?? yx?1兩邊積分得 ln y?2ln(x?1)?ln C? 齊次線性方程的通解為 y?C(x?1)2? 用常數(shù)變易法? 把C換成u? 即令y?u?(x?1)2? 代入所給非齊次線性方程? 得 52u?(x?1)2?(x?1)2 u??(x?1)?2u?(x?1)?x?12 1u??(x?1)2? 兩邊積分? 得 u?(x?1)2?C? 3再把上式代入y?u(x?1)2中? 即得所求方程的通解為 32 y?(x?1)[(x?1)2?C]? 323 例3 有一個(gè)電路如圖所示? 其中電源電動(dòng)勢(shì)為E?Emsin?t(Em、?都是常數(shù))? 電阻R和電感L都是常量? 求電流i(t)? 三峽大學(xué)高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 微分方程 解 由電學(xué)知道? 當(dāng)電流變化時(shí)? L上有感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)?L E?L即 di? 由回路電壓定律得出 dtdi?iR?0? dtdi?Ri?E? dtLLdi?Ri?Emsin? t? dtLL 把E?Emsin? t代入上式? 得 初始條件為 i|t?0?0? di?Ri?Emsin? t為非齊次線性方程? 其中 dtLLER? t? P(t)?? Q(t)?msinLL 方程由通解公式? 得 i(t)?e??P(t)dt?dtdtEP(t)dt[?Q(t)e?dt?C]?e?L(?msin? te?Ldt?C) LRRRttEm?ReL(?sin?teLdt?C) ?L?RtEm(Rsin? t?? Lcos? t)?CeL? ?222R??L其中C為任意常數(shù)? 將初始條件i|t?0?0代入通解? 得C?因此? 所求函數(shù)i(t)為 t? LEm?REmL?e(Rsin? t?? Lcos? t)? i(t)?2R??2L2R2??2L2? LEm? R2??2L 2二、伯努利方程 伯努利方程? 方程 dy?P(x)y?Q(x)yn(n?0? 1)dx叫做伯努利方程? 三峽大學(xué)高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 微分方程 下列方程是什么類型方程？ (1) (2)dy1?y?1(1?2x)y4? 是伯努利方程? dx33dydy?y?xy5? ??y?xy5? 是伯努利方程? dxdxxy 1(3)y???? ?y??y?xy?1? 是伯努利方程? yxx (4)dy?2xy?4x? 是線性方程? 不是伯努利方程? dxdy?P(x)y1?n?Q(x)dx 伯努利方程的解法? 以yn除方程的兩邊? 得 y?n令z ?y1?n ? 得線性方程 dz?(1?n)P(x)z?(1?n)Q(x)? dxdyy??a(lnx)y2的通解? 例4 求方程dxx 解 以y2除方程的兩端? 得 y?2dy1?1?y?alnx? dxxd(y?1)1?1?y?alnx? 即 ?dxx令z?y?1? 則上述方程成為 dz?1z??alnx? dxxa2這是一個(gè)線性方程? 它的通解為 z?x[C?(lnx)2]? 以y?1代z ? 得所求方程的通解為 yx[C?(lnx)2]?1? 經(jīng)過變量代換? 某些方程可以化為變量可分離的方程? 或化為已知其求解方法的方程? 例 5解方程 a2dy?1? dxx?y三峽大學(xué)高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 微分方程 解 若把所給方程變形為 dx?x?y? dy即為一階線性方程? 則按一階線性方程的解法可求得通解? 但這里用變量代換來解所給方程? 令x?y?u? 則原方程化為 du?1?1? 即du?u?1? dxudxu分離變量? 得 udu?dx? u?1兩端積分得 u?ln|u?1|?x?ln|C|? 以u(píng)?x?y代入上式? 得 y?ln|x?y?1|??ln|C|? 或x?Cey?y?1? 作業(yè)：P315：1（1）（3）（5）（7）（9），2（1）（3）（5），7（1）（2） §7? 5可降階的高階微分方程 一、y(n)?f(x)型的微分方程 解法? 積分n 次 y(n?1)?f(x)dx?C1? ? y(n?2)?[f(x)dx?C1]dx?C2? ?? ? ? ?? 例1 求微分方程y????e2x?cos x 的通解? 解 對(duì)所給方程接連積分三次? 得 y???e2x?sinx?C1? 三峽大學(xué)高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 12高等數(shù)學(xué)教案 微分方程 y??e2x?cosx?C1x?C2? y?e2x?sinx?C1x2?C2x?C3? 這就是所給方程的通解? 或 y???e2x?sinx?2C1? y??e2x?cosx?2C1x?C2? y?e2x?sinx?C1x2?C2x?C3? 這就是所給方程的通解? 例2 質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)受力F的作用沿Ox軸作直線運(yùn)動(dòng)? 設(shè)力F僅是時(shí)間t的函數(shù)?F?F(t)? 在開始時(shí)刻t?0時(shí)F(0)?F0? 隨著時(shí)間t的增大? 此力F均勻地減小? 直到t?T時(shí)? F(T)?0? 如果開始時(shí)質(zhì)點(diǎn)位于原點(diǎn)? 且初速度為零? 求這質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律? 解 設(shè)x?x(t)表示在時(shí)刻t時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位置? 根據(jù)牛頓第二定律? 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的微分方程為 2dx m2?F(t)? dt141812121418由題設(shè)? 力F(t)隨t增大而均勻地減小? 且t?0時(shí)? F(0)?F0? 所以F(t)?F0?kt? 又當(dāng)t?T時(shí)? F(T)?0? 從而 F(t)?F0(1?)? 于是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的微分方程又寫為 tTd2x?F0(1?t) ? Tdt2mdx|?0? 其初始條件為x|t?0?0? dtt?0 把微分方程兩邊積分? 得 dx?F0(t?t2)?C 1? dtm2T再積分一次? 得 F012t x?(t?)?C1t?C2? m26T由初始條件x|t?0?0? 得C1?C2?0? 三峽大學(xué)高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 dx|?0? dtt?0高等數(shù)學(xué)教案 微分方程 于是所求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為 x? 二、y??? f(x? y?)型的微分方程 解法? 設(shè)y??p則方程化為 p??f(x? p)? 設(shè)p??f(x? p)的通解為p??(x?C1)? 則 F012t3(t?)? 0?t?T? m26Tdy??(x,C1)? dx原方程的通解為 y??(x,C1)dx?C2? 例3 求微分方程 (1?x2)y???2xy? 滿足初始條件 y|x?0?1? y?|x?0?3 的特解? 解 所給方程是y???f(x? y?)型的? 設(shè)y??p? 代入方程并分離變量后? 有 ?dp2x?dx? p1?x2兩邊積分? 得 ln|p|?ln(1?x2)?C? 即 p?y??C1(1?x2)(C1??eC)? 由條件y?|x?0?3? 得C1?3? 所以 y??3(1?x2)? 兩邊再積分? 得 y?x3?3x?C2? 又由條件y|x?0?1? 得C2?1? 于是所求的特解為 y?x3?3x?1? 例4 設(shè)有一均勻、柔軟的繩索? 兩端固定? 繩索僅受重力的作用而下垂? 試問該繩索在平衡狀態(tài)時(shí)是怎樣的曲線? 三、y???f(y? y?)型的微分方程 解法? 設(shè)y??p?有 三峽大學(xué)高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 微分方程 y???原方程化為 dpdpdydp???p? dxdydxdydp?f(y,p)? dydp?f(y,p)的通解為y??p??(y? C1)? 則原方程的通解為 設(shè)方程pdy p dy??(y,C1)?x?C2? dp? dy 例5 求微分yy???y?2?0的通解? 解 設(shè)y??p? 則y???p代入方程? 得 ypdp2?p?0? dy 在y?0、p?0時(shí)? 約去p并分離變量? 得 dpdy?? py兩邊積分得 ln|p|?ln|y|?lnc? 即 p?Cy或y??Cy(C??c)? 再分離變量并兩邊積分? 便得原方程的通解為 ln|y|?Cx?lnc1? 或 y?C1eCx(C1??c1)? 作業(yè)：P323：1（1）（3）（5）（7）（9），2（1）（3）（5） 三峽大學(xué)高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 微分方程 §7? 6 高階線性微分方程 一、二階線性微分方程舉例 例1 設(shè)有一個(gè)彈簧? 上端固定? 下端掛一個(gè)質(zhì)量為m 的物體? 取x 軸鉛直向下? 并取物體的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)? 給物體一個(gè)初始速度v0?0后? 物體在平衡位置附近作上下振動(dòng)? 在振動(dòng)過程中? 物體的位置x是t的函數(shù)? x?x(t)? 設(shè)彈簧的彈性系數(shù)為c? 則恢復(fù)力f??cx? 又設(shè)物體在運(yùn)動(dòng)過程中受到的阻力的大小與速度成正比? 比例系數(shù)為?? 則 R??dx? dt 由牛頓第二定律得 md2x??cx??dx? 2dtdt 移項(xiàng)? 并記2n??c? k2?? mmd2x?2ndx?k2x?0則上式化為 ? dtdt2這就是在有阻尼的情況下? 物體自由振動(dòng)的微分方程? 如果振動(dòng)物體還受到鉛直擾力 F?Hsin pt 的作用? 則有 d2x?2ndx?k2x?hsinpt ? dtdt2H其中h?? 這就是強(qiáng)迫振動(dòng)的微分方程? m 例2 設(shè)有一個(gè)由電阻R、自感L、電容C和電源E串聯(lián)組成的電路? 其中R、L、及C為常數(shù)? 電源電動(dòng)勢(shì)是時(shí)間t的函數(shù)? E?Emsin?t? 這里Em及?也是常數(shù)? 設(shè)電路中的電流為i(t)? 電容器極板上的電量為q(t)? 兩極板間的電壓為uc? 自感電動(dòng)勢(shì)為EL ? 由電學(xué)知道 i?qdqdi? uc?? EL??L? Cdtdt三峽大學(xué)高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 微分方程 根據(jù)回路電壓定律? 得 E?Ldi?q?Ri?0? dtCd2ucduc?RC?uc?Emsin?t? 即 LC2dtdt或?qū)懗?/p> d2ucducEm2?2???u?sin?t? 0c2dtLCdtR? ??1? 這就是串聯(lián)電路的振蕩方程? 其中??02LLC 如果電容器經(jīng)充電后撤去外電源(E?0)? 則上述成為 d2ucduc2?2???0uc?0? 2dtdt 二階線性微分方程? 二階線性微分方程的一般形式為 y???P(x)y??Q(x)y?f(x)? 若方程右端f(x)?0時(shí)? 方程稱為齊次的? 否則稱為非齊次的? 二、線性微分方程的解的結(jié)構(gòu) 先討論二階齊次線性方程 d2ydy?Q(x)y?0? y???P(x)y??Q(x)y?0? 即2?P(x)dxdx 定理 1如果函數(shù)y1(x)與y2(x)是方程 y???P(x)y??Q(x)y?0?的兩個(gè)解? 那么 y?C1y1(x)?C2y2(x)也是方程的解? 其中C1、C2是任意常數(shù)? 齊次線性方程的這個(gè)性質(zhì)表明它的解符合疊加原理? 證明 [C1y1?C2y2]??C1 y1??C2 y2?? [C1y1?C2y2]???C1 y1???C2 y2??? 因?yàn)閥1與y2是方程y???P(x)y??Q(x)y?0? 所以有 y1???P(x)y1??Q(x)y1?0及y2???P(x)y2??Q(x)y2?0? 從而 [C1y1?C2y2]???P(x)[ C1y1?C2y2]??Q(x)[ C1y1?C2y2] 三峽大學(xué)高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 微分方程 ?C1[y1???P(x)y1??Q(x)y1]?C2[y2???P(x)y2??Q(x)y2]?0?0?0? 這就證明了y?C1y1(x)?C2y2(x)也是方程y???P(x)y??Q(x)y?0的解 函數(shù)的線性相關(guān)與線性無關(guān)? 設(shè)y1(x)? y2(x)? ? ? ? ? yn(x)為定義在區(qū)間I上的n個(gè)函數(shù)? 如果存在n個(gè)不全為零的常數(shù)k1? k2? ? ? ? ? kn? 使得當(dāng)x?I 時(shí)有恒等式 k1y1(x)?k2y2(x)? ? ? ? ? knyn(x)?0 成立? 那么稱這n個(gè)函數(shù)在區(qū)間I上線性相關(guān)? 否則稱為線性無關(guān)? 判別兩個(gè)函數(shù)線性相關(guān)性的方法? 對(duì)于兩個(gè)函數(shù)? 它們線性相關(guān)與否? 只要看它們的比是否為常數(shù)? 如果比為常數(shù)? 那么它們就線性相關(guān)? 否則就線性無關(guān)? 例如? 1? cos2x ? sin2x 在整個(gè)數(shù)軸上是線性相關(guān)的? 函數(shù)1? x? x2在任何區(qū)間(a, b)內(nèi)是線性無關(guān)的? 定理2 如果如果函數(shù)y1(x)與y2(x)是方程 y???P(x)y??Q(x)y?0 的兩個(gè)線性無關(guān)的解? 那么 y?C1y1(x)?C2y2(x)(C1、C2是任意常數(shù))是方程的通解? 例3 驗(yàn)證y1?cos x與y2?sin x是方程y???y?0的線性無關(guān)解? 并寫出其通解? 解 因?yàn)?/p> y1???y1??cos x?cos x?0? y2???y2??sin x?sin x?0? 所以y1?cos x與y2?sin x都是方程的解? 因?yàn)閷?duì)于任意兩個(gè)常數(shù)k1、k2? 要使 k1cos x?k2sin x?0? 只有k1?k2?0? 所以cos x與sin x在(??, ??)內(nèi)是線性無關(guān)的? 因此y1?cos x與y2?sin x是方程y???y?0的線性無關(guān)解? 方程的通解為y?C1cos x?C2sin x? 例4 驗(yàn)證y1?x與y2?ex是方程(x?1)y???xy??y?0的線性無關(guān)解? 并寫出其通解? 解 因?yàn)?/p> 三峽大學(xué)高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 微分方程 (x?1)y1???xy1??y1?0?x?x?0? (x?1)y2???xy2??y2?(x?1)ex?xex?ex?0? 所以y1?x與y2?ex都是方程的解? 因?yàn)楸戎礶 x/x 不恒為常數(shù)? 所以y1?x與y2?ex在(??, ??)內(nèi)是線性無關(guān)的? 因此y1?x 與y2?ex是方程(x?1)y???xy??y?0的線性無關(guān)解? 方程的通解為y?C1x?C2e x? 推論 如果y1(x)? y2(x)? ? ? ?? yn(x)是方程 y(n)?a1(x)y(n?1)? ? ? ? ?an?1(x)y?? an(x)y?0 的n個(gè)線性無關(guān)的解? 那么? 此方程的通解為 y?C1y1(x)?C2y2(x)? ? ? ? ? Cnyn(x)? 其中C1? C2? ? ? ?? Cn為任意常數(shù)? 二階非齊次線性方程解的結(jié)構(gòu)? 我們把方程 y???P(x)y??Q(x)y?0 叫做與非齊次方程 y???P(x)y??Q(x)y?f(x)對(duì)應(yīng)的齊次方程? 定理3 設(shè)y*(x)是二階非齊次線性方程 y???P(x)y??Q(x)y?f(x)的一個(gè)特解? Y(x)是對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解? 那么 y?Y(x)?y*(x)是二階非齊次線性微分方程的通解? 證明提示? [Y(x)?y*(x)]???P(x)[ Y(x)?y*(x)]??Q(x)[ Y(x)?y*(x)] ? [Y ???P(x)Y ??Q(x)Y ]?[ y* ???P(x)y* ??Q(x)y*] ?0? f(x)? f(x)? 例如? Y?C1cos x?C2sin x 是齊次方程y???y?0的通解? y*?x2?2是y???y?x2 的一個(gè)特解? 因此 y?C1cos x?C2sin x?x2?2 是方程y???y?x2的通解? 定理4 設(shè)非齊次線性微分方程 y???P(x)y??Q(x)y?f(x)的右端f(x)幾個(gè)函數(shù)之和? 如 三峽大學(xué)高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 微分方程 y???P(x)y??Q(x)y?f1(x)? f2(x)? 而y1*(x)與y2*(x)分別是方程 y???P(x)y??Q(x)y?f1(x)與y???P(x)y??Q(x)y?f2(x)的特解? 那么y1*(x)?y2*(x)就是原方程的特解? 證明提示? [y1?y2*]???P(x)[ y1*?y2*]??Q(x)[ y1*?y2*] ?[ y1*???P(x)y1*??Q(x)y1*]?[ y2*???P(x)y2*??Q(x)y2*] ?f1(x)?f2(x)? 作業(yè)：P331：1（1）（3）（5）（7），4（1）（3）（5） §7? 7 二階常系數(shù)齊次線性微分方程 二階常系數(shù)齊次線性微分方程? 方程 y???py??qy?0 稱為二階常系數(shù)齊次線性微分方程? 其中p、q均為常數(shù)? 如果y1、y2是二階常系數(shù)齊次線性微分方程的兩個(gè)線性無關(guān)解? 那么y?C1y1?C2y2就是它的通解? 我們看看? 能否適當(dāng)選取r? 使y?erx 滿足二階常系數(shù)齊次線性微分方程? 為此將y?erx代入方程 y???py??qy?0 得 (r 2?pr?q)erx ?0? 由此可見? 只要r滿足代數(shù)方程r2?pr?q?0? 函數(shù)y?erx就是微分方程的解? 特征方程? 方程r2?pr?q?0叫做微分方程y???py??qy?0的特征方程? 特征方程的兩個(gè)根r1、r2可用公式 ?p??p2?4q r 1,2?2求出? 三峽大學(xué)高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 微分方程 特征方程的根與通解的關(guān)系? (1)特征方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根r1、r2時(shí)? 函數(shù)y1?er1x、y2?er2x是方程的兩個(gè)線性無關(guān)的解? 這是因?yàn)? 函數(shù)y1?er1x、y2?er2x是方程的解? 又因此方程的通解為 y?C1er1x?C2er2x? (2)特征方程有兩個(gè)相等的實(shí)根r1?r2時(shí)? 函數(shù)y1?er1x、y2?xer1x是二階常系數(shù)齊次線性微分方程的兩個(gè)線性無關(guān)的解? 這是因?yàn)? y1?er1x是方程的解? 又 r1xr1x2r1x (xer1x)???p(xer1x)??q(xer1x)?(2r1?xr1?xr1)e?p(1)e?qxe r1x 2?er1x(2r1?p)?xe(r1?pr1?q)?0? y1er1x(r1?r2)x不是常數(shù)? ??ey2er2xy2xer1x??x不是常數(shù)? 所以y2?xe也是方程的解? 且y1er1xr1x 因此方程的通解為 y?C1er1x?C2xer1x? (3)特征方程有一對(duì)共軛復(fù)根r1, 2???i?時(shí)? 函數(shù)y?e(??i?)x、y?e(??i?)x是微分方程的兩個(gè)線性無關(guān)的復(fù)數(shù)形式的解? 函數(shù)y?e?xcos?x、y?e?xsin?x是微分方程的兩個(gè)線性無關(guān)的實(shí)數(shù)形式的解? 函數(shù)y1?e(??i?)x和y2?e(??i?)x都是方程的解? 而由歐拉公式? 得 y1?e(??i?)x?e?x(cos?x?isin?x)? y2?e(??i?)x?e?x(cos?x?isin?x)? 1y1?y2?2e?xcos?x? e?xcos?x?(y1?y2)? 2三峽大學(xué)高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 微分方程 1y1?y2?2ie?xsin?x? e?xsin?x?(y1?y2)? 2i故e?xcos?x、y2?e?xsin?x也是方程解? 可以驗(yàn)證? y1?e?xcos?x、y2?e?xsin?x是方程的線性無關(guān)解? 因此方程的通解為 y?e?x(C1cos?x?C2sin?x)? 求二階常系數(shù)齊次線性微分方程y???py??qy?0的通解的步驟為? 第一步 寫出微分方程的特征方程 r2?pr?q?0 第二步 求出特征方程的兩個(gè)根r1、r2? 第三步 根據(jù)特征方程的兩個(gè)根的不同情況? 寫出微分方程的通解? 例1 求微分方程y???2y??3y?0的通解? 解 所給微分方程的特征方程為 r2?2r?3?0? 即(r?1)(r?3)?0? 其根r1??1? r2?3是兩個(gè)不相等的實(shí)根? 因此所求通解為 y?C1e?x?C2e3x? 例2 求方程y???2y??y?0滿足初始條件y|x?0? 4、y?| x?0??2的特解? 解 所給方程的特征方程為 r2?2r?1?0? 即(r?1)2?0? 其根r1?r2??1是兩個(gè)相等的實(shí)根? 因此所給微分方程的通解為 y?(C1?C2x)e?x? 將條件y|x?0?4代入通解? 得C1?4? 從而 y?(4?C2x)e?x? 將上式對(duì)x求導(dǎo)? 得 y??(C2?4?C2x)e?x? 再把條件y?|x?0??2代入上式? 得C2?2? 于是所求特解為 x?(4?2x)e?x? 例 3 求微分方程y???2y??5y? 0的通解? 解 所給方程的特征方程為 三峽大學(xué)高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 微分方程 r2?2r?5?0? 特征方程的根為r1?1?2i? r2?1?2i? 是一對(duì)共軛復(fù)根? 因此所求通解為 y?ex(C1cos2x?C2sin2x)? n 階常系數(shù)齊次線性微分方程? 方程 y(n)?p1y(n?1)?p2 y(n?2)? ? ? ? ? pn?1y??pny?0? 稱為n 階常系數(shù)齊次線性微分方程? 其中 p1? p2 ? ? ? ? ? pn?1? pn都是常數(shù)? 二階常系數(shù)齊次線性微分方程所用的方法以及方程的通解形式? 可推廣到n 階常系數(shù)齊次線性微分方程上去? 引入微分算子D? 及微分算子的n次多項(xiàng)式? L(D)=Dn ?p1Dn?1?p2 Dn?2 ? ? ? ? ? pn?1D?pn? 則n階常系數(shù)齊次線性微分方程可記作 (Dn ?p1Dn?1?p2 Dn?2 ? ? ? ? ? pn?1D?pn)y?0或L(D)y?0? 注? D叫做微分算子D0y?y? Dy?y?? D2y?y??? D3y?y???? ? ? ??Dny?y(n)? 分析? 令y?erx? 則 L(D)y?L(D)erx?(rn ?p1rn?1?p2 rn?2 ? ? ? ? ? pn?1r?pn)erx?L(r)erx? 因此如果r是多項(xiàng)式L(r)的根? 則y?erx是微分方程L(D)y?0的解? n 階常系數(shù)齊次線性微分方程的特征方程? L(r)?rn ?p1rn?1?p2 rn?2 ? ? ? ? ? pn?1r?pn?0 稱為微分方程L(D)y?0的特征方程? 特征方程的根與通解中項(xiàng)的對(duì)應(yīng)? 單實(shí)根r 對(duì)應(yīng)于一項(xiàng)? Cerx ? 一對(duì)單復(fù)根r1? 2?? ?i? 對(duì)應(yīng)于兩項(xiàng)? e?x(C1cos?x?C2sin?x)? k重實(shí)根r對(duì)應(yīng)于k項(xiàng)? erx(C1?C2x? ? ? ? ?Ck xk?1)? 一對(duì)k 重復(fù)根r1? 2?? ?i? 對(duì)應(yīng)于2k項(xiàng)? e?x[(C1?C2x? ? ? ? ?Ck xk?1)cos?x?(D1?D2x? ? ? ? ?Dk xk?1)sin?x]? 例4 求方程y(4)?2y????5y???0 的通解? 解 這里的特征方程為 r4?2r3?5r2?0? 即r2(r2?2r?5)?0? 三峽大學(xué)高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 微分方程 它的根是r1?r2?0和r3? 4?1?2i? 因此所給微分方程的通解為 y?C1?C2x?ex(C3cos2x?C4sin2x)? 例5 求方程y(4)?? 4y?0的通解? 其中??0? 解 這里的特征方程為 r4?? 4?0? 它的根為r1,2??2?(1?i)? r3,4???2(1?i)? 因此所給微分方程的通解為 y?e2x(C1cos?2x?C2sin?2x)?e? ?2x(C3cos?2x?C4sin?2x)? 作業(yè)：P340：1（1）（3）（2）（4）（5）（6）（8），2（2）（4）（6） §7? 8 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程? 方程 y???py??qy?f(x)稱為二階常系數(shù)非齊次線性微分方程? 其中p、q是常數(shù)? 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的通解是對(duì)應(yīng)的齊次方程 的通解y?Y(x)與非齊次方程本身的一個(gè)特解y?y*(x)之和? y?Y(x)? y*(x)? 當(dāng)f(x)為兩種特殊形式時(shí)? 方程的特解的求法? 一、f(x)?Pm(x)e?x 型 當(dāng)f(x)?Pm(x)e?x時(shí)? 可以猜想? 方程的特解也應(yīng)具有這種形式? 因此? 設(shè)特解形式為y*?Q(x)e?x? 將其代入方程? 得等式 三峽大學(xué)高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 微分方程 Q??(x)?(2??p)Q?(x)?(?2?p??q)Q(x)?Pm(x)? (1)如果?不是特征方程r2?pr?q?0 的根? 則?2?p??q?0? 要使上式成立? Q(x)應(yīng)設(shè)為m 次多項(xiàng)式? Qm(x)?b0xm?b1xm?1? ? ? ? ?bm?1x?bm ? 通過比較等式兩邊同次項(xiàng)系數(shù)? 可確定b0? b1? ? ? ? ? bm? 并得所求特解 y*?Qm(x)e?x? (2)如果?是特征方程 r2?pr?q?0 的單根? 則?2?p??q?0? 但2??p?0? 要使等式 Q??(x)?(2??p)Q?(x)?(?2?p??q)Q(x)?Pm(x)? 成立? Q(x)應(yīng)設(shè)為m?1 次多項(xiàng)式? Q(x)?xQm(x)? Qm(x)?b0xm ?b1xm?1? ? ? ? ?bm?1x?bm ? 通過比較等式兩邊同次項(xiàng)系數(shù)? 可確定b0? b1? ? ? ? ? bm? 并得所求特解 y*?xQm(x)e?x? (3)如果?是特征方程 r2?pr?q?0的二重根? 則?2?p??q?0? 2??p?0? 要使等式 Q??(x)?(2??p)Q?(x)?(?2?p??q)Q(x)?Pm(x)? 成立? Q(x)應(yīng)設(shè)為m?2次多項(xiàng)式? Q(x)?x2Qm(x)? Qm(x)?b0xm?b1xm?1? ? ? ? ?bm?1x?bm ? 通過比較等式兩邊同次項(xiàng)系數(shù)? 可確定b0? b1? ? ? ? ? bm ? 并得所求特解 y*?x2Qm(x)e?x? 綜上所述? 我們有如下結(jié)論? 如果f(x)?Pm(x)e?x? 則二階常系數(shù)非齊次線性微分方程y???py??qy ?f(x)有形如 y*?xk Qm(x)e?x 的特解? 其中Qm(x)是與Pm(x)同次的多項(xiàng)式? 而k 按?不是特征方程的根、是特征方程的單根或是特征方程的的重根依次取為0、1或2? 例1 求微分方程y???2y??3y?3x?1的一個(gè)特解? 解 這是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程? 且函數(shù)f(x)是Pm(x)e?x型(其中Pm(x)?3x?1? ??0)? 與所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為 y???2y??3y?0? 三峽大學(xué)高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 微分方程 它的特征方程為 r2?2r?3?0? 由于這里??0不是特征方程的根? 所以應(yīng)設(shè)特解為 y*?b0x?b1? 把它代入所給方程? 得 ?3b0x?2b0?3b1?3x?1? 比較兩端x同次冪的系數(shù)? 得 ???3b0?3? ?3b0?3? ?2b0?3b1?1? ?2b?3b?101?由此求得b0??1? b1?? 于是求得所給方程的一個(gè)特解為 y*??x?? 例2 求微分方程y???5y??6y?xe2x的通解? 解 所給方程是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程? 且f(x)是Pm(x)e?x型(其中Pm(x)?x? ??2)? 與所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為 y???5y??6y?0? 它的特征方程為 r2?5r ?6?0? 特征方程有兩個(gè)實(shí)根r1?2? r2?3? 于是所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為 Y?C1e2x?C2e3x ? 由于??2是特征方程的單根? 所以應(yīng)設(shè)方程的特解為 y*?x(b0x?b1)e2x? 把它代入所給方程? 得 ?2b0x?2b0?b1?x? 比較兩端x同次冪的系數(shù)? 得 ?1313??2b0?1? ?2b0?1? 2b0?b1?0? 2b?b?0?01三峽大學(xué)高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 微分方程 由此求得b0??1? b??1? 于是求得所給方程的一個(gè)特解為 121 y*?x(?x?1)e2x? 從而所給方程的通解為 y?C1e2x?C2e3x?(x2?2x)e2x? 提示? y*?x(b0x?b1)e2x?(b0x2?b1x)e2x? [(b0x2?b1x)e2x]??[(2b0x?b1)?(b0x2?b1x)?2]e2x? [(b0x2?b1x)e2x]???[2b0?2(2b0x?b1)?2?(b0x2?b1x)?22]e2x? y*???5y*??6y*?[(b0x2?b1x)e2x]???5[(b0x2?b1x)e2x]??6[(b0x2?b1x)e2x] ?[2b0?2(2b0x?b1)?2?(b0x2?b1x)?22]e2x?5[(2b0x?b1)?(b0x2?b1x)?2]e2x?6(b0x2?b1x)e2x ?[2b0?4(2b0x?b1)?5(2b0x?b1)]e2x?[?2b0x?2b0?b1]e2x? 方程y???py??qy?e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]的特解形式 應(yīng)用歐拉公式可得 e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x] ?e?x[Pl(x)12ei? x?e?i? x?P(x)ei? x?e?i? x] n22i ?[Pe(??i?)x?[Pe(??i?)x l(x)?iPn(x)]l(x)?iPn(x)] ?P(x)e(??i?)x?P(x)e(??i?)x? 其中P(x)?(Pl?Pni)? P(x)?(Pl?Pni)? 而m?max{l? n}? 設(shè)方程y???py??qy?P(x)e(??i?)x的特解為y1*?xkQm(x)e(??i?)x? 則y1*?xkQm(x)e(??i?)必是方程y???py??qy?P(x)e(??i?)的特解? 其中k按??i?不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1? 于是方程y???py??qy?e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]的特解為 三峽大學(xué)高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 12121212高等數(shù)學(xué)教案 微分方程 y*?xkQm(x)e(??i?)x?xkQm(x)e(??i?)x ?xke?x[Qm(x)(cos?x?isin?x)?Qm(x)(cos?x?isin?x) ?xk e?x[R(1)m(x)cos?x?R(2)m(x)sin?x]? 綜上所述? 我們有如下結(jié)論? 如果f(x)?e?x [Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]? 則二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 y???py??qy?f(x)的特解可設(shè)為 y*?xk e?x[R(1)m(x)cos?x?R(2)m(x)sin?x]? 其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次多項(xiàng)式? m?max{l? n}? 而k 按??i?(或??i?)不是特征方程的根或是特征方程的單根依次取0或1? 例3 求微分方程y???y?xcos2x的一個(gè)特解? 解 所給方程是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程? 且f(x)屬于e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]型(其中??0? ??2? Pl(x)?x? Pn(x)?0）? 與所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為 y???y?0? 它的特征方程為 r2?1?0? 由于這里??i??2i 不是特征方程的根? 所以應(yīng)設(shè)特解為 y*?(ax?b)cos2x?(cx?d)sin2x? 把它代入所給方程? 得 (?3ax?3b?4c)cos2x?(3cx?3d?4a)sin2x?xcos2x? 比較兩端同類項(xiàng)的系數(shù)? 得 a??? b?0? c?0? d?于是求得一個(gè)特解為 y*??xcos2x?sin2x? 提示? y*?(ax?b)cos2x?(cx?d)sin2x? y*??acos2x?2(ax?b)sin2x?csin2x?2(cx?d)cos2x? 三峽大學(xué)高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 134? 91349高等數(shù)學(xué)教案 微分方程 ?(2cx?a?2d)cos2x?(?2ax?2b?c)sin2x? y*???2ccos2x?2(2cx?a?2d)sin2x?2asin2x?2(?2ax?2b?c)cos2x ?(?4ax?4b?4c)cos2x?(?4cx?4a?4d)sin2x? y*??? y*?(?3ax?3b?4c)cos2x?(?3cx?4a?3d)sin2x? ??3a?1??3b?4c?014由?? 得a??? b?0? c?0? d?? ?3c?039???4a?3d?0作業(yè)：P347：1（1）（2）（5）（9）2（2）（3）（4） 三峽大學(xué)高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)組 高等數(shù)學(xué)教案 第五章 定積分 第五章 定積分 教學(xué)目的： 1、理解定積分的概念。 2、掌握定積分的性質(zhì)及定積分中值定理，掌握定積分的換元積分法與分部積分法。 3、理解變上限定積分定義的函數(shù)，及其求導(dǎo)數(shù)定理，掌握牛頓—萊布尼茨公式。 4、了解廣義積分的概念并會(huì)計(jì)算廣義積分。 教學(xué)重點(diǎn)： 1、定積分的性質(zhì)及定積分中值定理 2、定積分的換元積分法與分部積分法。 3、牛頓—萊布尼茨公式。 教學(xué)難點(diǎn)： 1、定積分的概念 2、積分中值定理 3、定積分的換元積分法分部積分法。 4、變上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)?！?? 1 定積分概念與性質(zhì) 一、定積分問題舉例 1? 曲邊梯形的面積 曲邊梯形? 設(shè)函數(shù)y?f(x)在區(qū)間[a? b]上非負(fù)、連續(xù)? 由直線x?a、x?b、y?0及曲線y?f(x)所圍成的圖形稱為曲邊梯形? 其中曲線弧稱為曲邊? 求曲邊梯形的面積的近似值? 將曲邊梯形分割成一些小的曲邊梯形? 每個(gè)小曲邊梯形都用一個(gè)等寬的小矩形代替? 每個(gè)小曲邊梯形的面積都近似地等于小矩形的面積? 則所有小矩形面積的和就是曲邊梯形面積的近似值? 具體方法是? 在區(qū)間[a? b]中任意插入若干個(gè)分點(diǎn) a?x0? x1? x2? ? ? ?? xn?1? xn ?b? 把[a? b]分成n個(gè)小區(qū)間 [x0? x1]? [x1? x2]? [x2? x3]? ? ? ? ? [xn?1? xn ]? 它們的長(zhǎng)度依次為?x1? x1?x0 ? ??x2? x2?x1 ? ? ? ? ? ?xn ? xn ?xn?1 ? 經(jīng)過每一個(gè)分點(diǎn)作平行于y 軸的直線段? 把曲邊梯形分成n個(gè)窄曲邊梯形? 在每個(gè)小區(qū)間 [xi?1? xi ]上任取一點(diǎn)??i ? 以[xi?1? xi ]為底、f(??i)為高的窄矩形近似替代第i個(gè)窄曲邊梯形(i?1? 2? ? ? ? ? n)? 把這樣得到的n個(gè)窄矩陣形面積之和作為所求曲邊梯形面積A的近似值? 即 A?f(??1)?x1? f(??2)?x2?? ? ?? f(??n)?xn??f(?i)?xi? i?1n 求曲邊梯形的面積的精確值? 顯然? 分點(diǎn)越多、每個(gè)小曲邊梯形越窄? 所求得的曲邊梯形面積A的近似值就越接近曲邊梯天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案 第五章 定積分 形面積A的精確值? 因此? 要求曲邊梯形面積A的精確值? 只需無限地增加分點(diǎn)? 使每個(gè)小曲邊梯形的寬度趨于零? 記 ??max{?x1? ?x2?? ? ?? ?xn }? 于是? 上述增加分點(diǎn)? 使每個(gè)小曲邊梯形的寬度趨于零? 相當(dāng)于令??0? 所以曲邊梯形的面積為 A?lim?f(?i)?xi? ??0i?1n 2? 變速直線運(yùn)動(dòng)的路程 設(shè)物體作直線運(yùn)動(dòng)? 已知速度v?v(t)是時(shí)間間隔[T 1? T 2]上t的連續(xù)函數(shù)? 且v(t)?0? 計(jì)算在這段時(shí)間內(nèi)物體所經(jīng)過的路程S ? 求近似路程? 我們把時(shí)間間隔[T 1? T 2]分成n 個(gè)小的時(shí)間間隔?ti ? 在每個(gè)小的時(shí)間間隔?ti內(nèi)? 物體運(yùn)動(dòng)看成是均速的? 其速度近似為物體在時(shí)間間隔?ti內(nèi)某點(diǎn)??i的速度v(??i)? 物體在時(shí)間間隔?ti內(nèi) 運(yùn)動(dòng)的距離近似為?Si? v(??i)??ti ? 把物體在每一小的時(shí)間間隔?ti內(nèi) 運(yùn)動(dòng)的距離加起來作為物體在時(shí)間間隔[T 1 ? T 2]內(nèi)所經(jīng)過的路程S 的近似值? 具體做法是? 在時(shí)間間隔[T 1 ? T 2]內(nèi)任意插入若干個(gè)分點(diǎn) T 1?t 0? t 1? t 2?? ? ?? t n?1? t n?T 2? 把[T 1 ? T 2]分成n個(gè)小段 [t 0? t 1]? [t 1? t 2]? ? ? ?? [t n?1? t n] ? 各小段時(shí)間的長(zhǎng)依次為 ?t 1?t 1?t 0? ?t 2?t 2?t 1?? ? ?? ?t n ?t n ?t n?1? 相應(yīng)地? 在各段時(shí)間內(nèi)物體經(jīng)過的路程依次為 ?S 1? ?S 2? ? ? ?? ?S n? 在時(shí)間間隔[t i?1? t i]上任取一個(gè)時(shí)刻? i(t i?1?? i? t i)? 以? i時(shí)刻的速度v(? i)來代替[t i?1? t i]上各個(gè)時(shí)刻的速度? 得到部分路程?S i的近似值? 即 ?S i? v(? i)??t i (i?1? 2? ? ? ? ? n)? 于是這n段部分路程的近似值之和就是所求變速直線運(yùn)動(dòng)路程S 的近似值? 即 S??v(?i)?ti? i?1n 求精確值? 記? ? max{?t 1? ?t 2?? ? ?? ?t n}? 當(dāng)??0時(shí)? 取上述和式的極限? 即得變速直線運(yùn)動(dòng)的路程 S?lim?v(?i)?ti? ??0i?1n 設(shè)函數(shù)y?f(x)在區(qū)間[a? b]上非負(fù)、連續(xù)? 求直線x?a、x?b、y?0 及曲線y?f(x)所圍成的曲邊梯形的面積? (1)用分點(diǎn)a?x0?x1?x2? ? ? ??xn?1?xn ?b把區(qū)間[a? b]分成n個(gè)小區(qū)間? [x0? x1]? [x1? x2]? [x2? x3]? ? ? ? ? [xn?1? xn ]? 記?xi?xi?xi?1(i?1? 2? ? ? ? ? n)? (2)任取??i?[xi?1? xi]? 以[xi?1? xi]為底的小曲邊梯形的面積可近似為 天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案 第五章 定積分 f(?i)?xi(i?1? 2? ? ? ? ? n)? 所求曲邊梯形面積A的近似值為 A??f(?)?x? iii?1nn (3)記??max{?x1? ?x2?? ? ?? ?xn }? 所以曲邊梯形面積的精確值為 A?lim??0?f(?)?x? iii?1 設(shè)物體作直線運(yùn)動(dòng)? 已知速度v?v(t)是時(shí)間間隔[T 1? T 2]上t的連續(xù)函數(shù)? 且v(t)?0? 計(jì)算在這段時(shí)間內(nèi)物體所經(jīng)過的路程S ? (1)用分點(diǎn)T1?t0?t1?t2?? ? ??t n?1?tn?T2把時(shí)間間隔[T 1 ? T 2]分成n個(gè)小時(shí)間 段? [t0? t1]? [t1? t2]? ? ? ?? [tn?1? tn] ? 記?ti ?ti?ti?1(i?1? 2? ? ? ? ? n)? (2)任取?i?[ti?1? ti]? 在時(shí)間段[ti?1? ti]內(nèi)物體所經(jīng)過的路程可近似為v(?i)?ti (i?1? 2? ? ? ? ? n)? 所求路程S 的近似值為 S??v(?)?tii?1nni? (3)記??max{?t1? ?t2?? ? ?? ?tn}? 所求路程的精確值為 S?lim??0?v(?)?t? iii? 1二、定積分定義 拋開上述問題的具體意義? 抓住它們?cè)跀?shù)量關(guān)系上共同的本質(zhì)與特性加以概括? 就抽象出下述定積分的定義? 定義 設(shè)函數(shù)f(x)在[a? b]上有界? 在[a? b]中任意插入若干個(gè)分點(diǎn) a ?x0? x1? x2? ? ? ?? xn?1? xn?b? 把區(qū)間[a? b]分成n個(gè)小區(qū)間 [x0? x1]? [x1? x2]? ? ? ?? [xn?1? xn] ? 各小段區(qū)間的長(zhǎng)依次為 ?x1?x1?x0? ?x2?x2?x1?? ? ?? ?xn ?xn ?xn?1? 在每個(gè)小區(qū)間[xi?1? xi]上任取一個(gè)點(diǎn)? i(xi?1? ? i ? xi)? 作函數(shù)值f(? i)與小區(qū)間長(zhǎng)度?xi的乘積 天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案 第五章 定積分 f(? i)??xi(i?1? 2?? ? ?? n)? 并作出和 S??f(?i)?xi? i?1n記? ? max{?x1? ?x2?? ? ?? ?xn}? 如果不論對(duì)[a? b]怎樣分法? 也不論在小區(qū)間[xi?1? xi]上點(diǎn)? i 怎樣取法? 只要當(dāng)??0時(shí)? 和S 總趨于確定的極限I? 這時(shí)我們稱這個(gè)極限I為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a? b]上的定積分? 記作?af(x)dx? 即 lim?f(?i)?xi? ?af(x)dx???0i?1bnb其中f(x)叫做被積函數(shù)? f(x)dx叫做被積表達(dá)式? x叫做積分變量? a 叫做積分下限? b 叫做積分上限? [a? b]叫做積分區(qū)間? 定義 設(shè)函數(shù)f(x)在[a? b]上有界? 用分點(diǎn)a?x0?x1?x2? ? ? ??xn?1?xn?b把[a? b]分成n個(gè)小區(qū)間? [x0? x1]? [x1? x2]? ? ? ?? [xn?1? xn] ? 記?xi?xi?xi?1(i?1? 2?? ? ?? n)? 任? i?[xi?1? xi](i?1? 2?? ? ?? n)? 作和 S??f(?)?xii?1ni? 記??max{?x1? ?x2?? ? ?? ?xn}? 如果當(dāng)??0時(shí)? 上述和式的極限存在? 且極限值與區(qū)間[a? b]的分法和? i的取法無關(guān)? 則稱這個(gè)極限為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a? b]上的定積分? 記作即 根據(jù)定積分的定義? 曲邊梯形的面積為A??af(x)dx? 變速直線運(yùn)動(dòng)的路程為S??T2v(t)dt? 1?baf(x)dx? ?baf(x)dx?lim?f(?i)?xi? ??0i?1nbT 說明? (1)定積分的值只與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān)? 而與積分變量的記法無關(guān)? 即 ?af(x)dx??af(t)dt??af(u)du? (2)和?f(?i)?xi通常稱為f(x)的積分和? i?1nbbb (3)如果函數(shù)f(x)在[a? b]上的定積分存在? 我們就說f(x)在區(qū)間[a? b]上可積? 函數(shù)f(x)在[a? b]上滿足什么條件時(shí)? f(x)在[a? b]上可積呢？ 定理 1設(shè)f(x)在區(qū)間[a? b]上連續(xù)? 則f(x)在[a? b]上可積? 天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案 第五章 定積分 定理2 設(shè)f(x)在區(qū)間[a? b]上有界? 且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)? 則f(x)在[a? b]上可積? 定積分的幾何意義? 在區(qū)間[a? b]上? 當(dāng)f(x)?0時(shí)? 積分?af(x)dx在幾何上表示由曲線y?f(x)、兩條直線x?a、x?b 與x軸所圍成的曲邊梯形的面積? 當(dāng)f(x)?0時(shí)? 由曲線y ?f(x)、兩條直線x?a、x?b 與x軸所圍成的曲邊梯形位于x軸的下方? 定義分在幾何上表示上述曲邊梯形面積的負(fù)值? b?abf(x)dx?lim?f(?i)?xi??lim?[?f(?i)]?xi???a[?f(x)]dx? ??0i?1??0i?1nnb 當(dāng)f(x)既取得正值又取得負(fù)值時(shí)? 函數(shù)f(x)的圖形某些部分在x軸的上方? 而其它部分在x軸的下方? 如果我們對(duì)面積賦以正負(fù)號(hào)? 在x軸上方的圖形面積賦以正號(hào)? 在x軸下方的圖形面積賦以負(fù)號(hào)? 則在一般情形下? 定積分?af(x)dx的幾何意義為? 它是介于x軸、函數(shù)f(x)的圖形及兩條直線x?a、x?b之間的各部分面積的代數(shù)和? b用定積分的定義計(jì)算定積分? 例1.利用定義計(jì)算定積分?0x2dx? 解 把區(qū)間[0? 1]分成n等份??分點(diǎn)為和小區(qū)間長(zhǎng)度為 xi?i(i?1? 2?? ? ?? n?1)? ?xi?1(i?1? 2?? ? ?? n)? nn 取?i?i(i?1? 2?? ? ?? n)??作積分和 n 1?f(?i)?xi??i?1i?1nn?i2?xi??(i)2?1 ni?1nnn1?i2?13?1n(n?1)(2n?1)?1(1?1)(2?1)? 3?ni?1n66nn 因?yàn)??1? 當(dāng)??0時(shí)? n??? 所以?n ?n12xdx?lim0??0i?11(1?1)(2?1)?1???f(?i)?xi?nlim??6nn 3利定積分的幾何意義求積分: 例2??用定積分的幾何意義求?0(1?x)dx?? 解: 函數(shù)y?1?x在區(qū)間[0? 1]上的定積分是以y?1?x為曲邊??以區(qū)間[0? 1]為底的曲邊梯形的面積? 因?yàn)橐詙?1?x為曲邊??以區(qū)間[0? 1]為底的曲邊梯形是一直角三角形? 其底邊長(zhǎng)及高均為1? 所以 1天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案 第五章 定積分 ??0(1?x)dx?2?1?1?2??11 1三、定積分的性質(zhì) 兩點(diǎn)規(guī)定? (1)當(dāng)a?b時(shí)? (2)當(dāng)a?b時(shí)? ?af(x)dx?0? ?af(x)dx???bf(x)dx? bbbab 性質(zhì) 1函數(shù)的和(差)的定積分等于它們的定積分的和(差)即 ?a[f(x)?g(x)]dx??af(x)dx??ag(x)dx? bb 證明:?a[f(x)?g(x)]dx?lim?[f(?i)?g(?i)]?xi ??0i?1nnn ?lim?f(?i)?xi?lim?g(?i)?xi ??0i?1b??0i?1 ??af(x)dx??ag(x)dx? 性質(zhì)2 被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分號(hào)外面 即 b?akf(x)dx?k?af(x)dx??bnnbbb 這是因?yàn)?akf(x)dx?lim?kf(?i)?xi?klim?f(?i)?xi?k?af(x)dx? ??0i?1??0i?1????????性質(zhì)???如果將積分區(qū)間分成兩部分?則在整個(gè)區(qū)間上的定積分等于這兩部分區(qū)間上定積分之和?即?? ?af(x)dx??af(x)dx??cbcbf(x)dx? 這個(gè)性質(zhì)表明定積分對(duì)于積分區(qū)間具有可加性? 值得注意的是不論a ?b ?c的相對(duì)位置如何總有等式 ?af(x)dx??af(x)dx??cf(x)dx ?af(x)dx??af(x)dx??bf(x)dx? 天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 cbcbcb成立? 例如? 當(dāng)a 高等數(shù)學(xué)教案 第五章 定積分 于是有 ?af(x)dx??af(x)dx??bf(x)dx??af(x)dx??c?a1dx??adx?b?a? ?af(x)dx?0(a?b)? ?af(x)dx??ag(x)dx(a?b)? ?ag(x)dx??af(x)dx??a[g(x)?f(x)]dx?0? ?af(x)dx??ag(x)dx? bbbbbbbbbbbbbcccbf(x)dx? 性質(zhì) 4如果在區(qū)間[a b]上f(x)?1 則 性質(zhì) 5如果在區(qū)間[a??b]上 f(x)?0? 則 推論 1如果在區(qū)間[a??b]上 f(x)? g(x)則 這是因?yàn)間(x)?f(x)?0? 從而 所以 推論2 |?af(x)dx|??a|f(x)|dx(a?b)? 這是因?yàn)?|f(x)| ? f(x)? |f(x)|???所以 ??a|f(x)|dx??af(x)dx??a|f(x)|dx? 即 |?af(x)dx|??a|f(x)|dx|?? 性質(zhì)6 設(shè)M 及m 分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間[a??b]上的最大值及最小值? 則 m(b?a)??af(x)dx?M(b?a)(a?b)? 證明 因?yàn)?m? f(x)? M ? 所以 從而 m(b?a)??af(x)dx?M(b?a)? 性質(zhì)7(定積分中值定理) 如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a??b]上連續(xù)? 則在積分區(qū)間[a??b]上至少存在一個(gè)點(diǎn)??? 使下式成立? bbbbbbb? ?amdx??af(x)dx??aMdxbbb天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案 第五章 定積分 ?af(x)dx?f(?)(b?a)? b這個(gè)公式叫做積分中值公式? 證明 由性質(zhì)6 m(b?a)??af(x)dx?M(b?a)? 各項(xiàng)除以b?a 得 b m?1?af(x)dx?M? b?ab再由連續(xù)函數(shù)的介值定理? 在[a??b]上至少存在一點(diǎn)? ? 使 b f(?)?1?af(x)dx? b?a于是兩端乘以b?a得中值公式 ?af(x)dx?f(?)(b?a)? b 積分中值公式的幾何解釋? 應(yīng)注意? 不論a 天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案 第五章 定積分 §5? 2 微積分基本公式 一、變速直線運(yùn)動(dòng)中位置函數(shù)與速度函數(shù)之間的聯(lián)系 設(shè)物體從某定點(diǎn)開始作直線運(yùn)動(dòng)? 在t時(shí)刻所經(jīng)過的路程為S(t)? 速度為v?v(t)?S?(t)(v(t)?0)? 則在時(shí)間間隔[T1? T2]內(nèi)物體所經(jīng)過的路程S可表示為 S(T2)?S(T1)及?T2v(t)dt? 1T即 ?T2v(t)dt?S(T2)?S(T1)? 1T 上式表明? 速度函數(shù)v(t)在區(qū)間[T1? T2]上的定積分等于v(t)的原函數(shù)S(t)在區(qū)間[T1? T2]上的增量? 這個(gè)特殊問題中得出的關(guān)系是否具有普遍意義呢？ 二、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù) 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a? b]上連續(xù)? 并且設(shè)x為[a? b]上的一點(diǎn)??我們把函數(shù)f(x)在部分區(qū)間[a? x]上的定積分 ?af(x)dx xx稱為積分上限的函數(shù)? 它是區(qū)間[a? b]上的函數(shù)? 記為 ?(x)??af(x)dx? 或?(x)??af(t)dt? 定理1 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a? b]上連續(xù)? 則函數(shù) ?(x)??af(x)dx 在[a? b]上具有導(dǎo)數(shù)? 并且它的導(dǎo)數(shù)為 x ??(x)?d?af(t)dt?f(x)(a?x dxxx 簡(jiǎn)要證明 若x?(a? b)? 取?x使x??x?(a? b)? ????(x??x)??(x)??a ??af(t)dt??xxx??xx??xf(t)dt??af(t)dt xf(t)dt??af(t)dt x天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案 第五章 定積分 ??xx??xf(t)dt?f(?)?x? 應(yīng)用積分中值定理? 有???f(?)?x? 其中?在x 與x??x之間? ?x?0時(shí)? ??x ? 于是 ??(x)?lim???limf(?)?limf(?)?f(x)? ?x?0?x?x?0??x 若x?a ? 取?x>0? 則同理可證???(x)? f(a)? 若x?b ? 取?x<0? 則同理可證???(x)? f(b)? 定理 2如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a? b]上連續(xù)? 則函數(shù) ?(x)??af(x)dx 就是f(x)在[a? b]上的一個(gè)原函數(shù)? 定理的重要意義? 一方面肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的? 另一方面初步地揭示了積分學(xué)中的定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系? 三、牛頓??萊布尼茨公式 定理 3如果函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a? b]上的一個(gè)原函數(shù)? 則 x?af(x)dx?F(b)?F(a)? xb此公式稱為牛頓??萊布尼茨公式? 也稱為微積分基本公式? 這是因?yàn)镕(x)和?(x)??af(t)dt都是f(x)的原函數(shù)? ?所以存在常數(shù)C? 使 F(x)??(x)?C(C為某一常數(shù))? 由F(a)??(a)?C及?(a)?0? 得C?F(a)? F(x)??(x)?F(a)? 由F(b)??(b)?F(a)? 得?(b)?F(b)?F(a)? 即 ?af(x)dx?F(b)?F(a)? xb 證明? 已知函數(shù)F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)? 又根據(jù)定理2? 積分上限函數(shù) ?(x)??af(t)dt 也是f(x)的一個(gè)原函數(shù)? 于是有一常數(shù)C? 使 F(x)??(x)?C(a?x?b)? 當(dāng)x?a時(shí)? 有F(a)??(a)?C? 而?(a)?0? 所以C?F(a)? 當(dāng)x?b 時(shí)? F(b)??(b)?F(a)? 所以?(b)?F(b)?F(a)? 即 ?af(x)dx?F(b)?F(a)? b 為了方便起見? 可把F(b)?F(a)記成[F(x)]ba? 于是天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案 第五章 定積分 a?F(b)?F(a)? ?af(x)dx?[F(x)]bb 進(jìn)一步揭示了定積分與被積函數(shù)的原函數(shù)或不定積分之間的聯(lián)系? 例1.計(jì)算?0x2dx? 解? 由于1x3是x2的一個(gè)原函數(shù)? 所以 1?1213131xdx?[1x3]10??1??0?? 03333 3例2 計(jì)算??1dx2? 1?x 解 由于arctan x是12的一個(gè)原函數(shù)? 所以 1?x ??13 ??(? ?)?7?? dx?[arctanx]3??arctan3?arctan(?1)?134121?x2? 1例3.計(jì)算??21dx? x 解? 1?2?ln 1?ln 2??ln 2????2xdx?[ln|x|]??11 例4.計(jì)算正弦曲線y?sin x在[0? ?]上與x軸所圍成的平面圖形的面積? 解? 這圖形是曲邊梯形的一個(gè)特例? 它的面積 A??0sinxdx?[?cosx]?0??(?1)?(?1)?2?? 例5.汽車以每小時(shí)36km速度行駛? 到某處需要減速停車?設(shè)汽車以等加速度a??5m/s2剎車? 問從開始剎車到停車? 汽車走了多少距離？ 解 從開始剎車到停車所需的時(shí)間? 當(dāng)t?0時(shí)? 汽車速度 v0?36km/h?36?1000m/s?10m/s? 3600剎車后t時(shí)刻汽車的速度為 v(t)?v0?at ?10?5t ? 當(dāng)汽車停止時(shí)? 速度v(t)?0? 從 v(t)?10?5t ?0 得? t?2(s)? 于是從開始剎車到停車汽車所走過的距離為 2?10(m)? s??0v(t)dt??0(10?5t)dt?[10t?5?1t2]0222?天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案 第五章 定積分 即在剎車后? 汽車需走過10m才能停住? 例6.設(shè)f(x)在[0, ??)內(nèi)連續(xù)且f(x)>0? 證明函數(shù)F(x)?在(0? ??)內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù)? xx 證明? d?0 tf(t)dt?xf(x)? d?0f(t)dt?f(x)? 故 dxdx?0tf(t)dt x?0f(t)dtxF?(x)?xf(x)?0f(t)dt?f(x)?0tf(t)dt(?0f(t)dt)xx2xx?f(x)?0(x?t)f(t)dt(?0f(t)dt)x2x? 按假設(shè)? 當(dāng)0?t?x時(shí)f(t)>0?(x?t)f(t)? 0 ? 所以 ?0f(t)dt?0? x?0(x?t)f(t)dt?0? ?cosxe?tdtx212從而F ?(x)>0(x>0)? 這就證明了F(x)在(0? ??)內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù)? 例7.求limx?0? 解? 這是一個(gè)零比零型未定式? 由羅必達(dá)法則? limx?0?cosxe?tdtx2x212limx?0??1cosx?t2edtx2?cosx?limsinxe?1? x?02x2e2提示? 設(shè)?(x)??1e?tdt? 則?(cosx)??1cosx?t2edt? dcosxe?t2dt?d?(cosx)?d?(u)?du?e?u2?(?sinx)??sinx?e?cos2x? dx?1dxdudx 天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案 第五章 定積分 §5? 3 定積分的換元法和分部積分法 一、換元積分法 定理 假設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a? b]上連續(xù)? 函數(shù)x??(t)滿足條件? (1)?(??)?a ? ?(?)?b? (2)?(t)在[?? ?](或[?? ?])上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)? 且其值域不越出[a? b]? 則有 ?af(x)dx???f[?(t)]??(t)dt? 這個(gè)公式叫做定積分的換元公式? 證明 由假設(shè)知? f(x)在區(qū)間[a? b]上是連續(xù)? 因而是可積的? f [?(t)]??(t)在區(qū)間[?? ?](或[?? ?])上也是連續(xù)的? 因而是可積的? 假設(shè)F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù)? 則 b??af(x)dx?F(b)?F(a)? 另一方面? 因?yàn)閧F[?(t)]}??F ?[?(t)]??(t)? f [?(t)]??(t)? 所以F[?(t)]是f [?(t)]??(t)的一個(gè)原函數(shù)? 從而 b??f[?(t)]??(t)dt?F[?(?)]?F[?(?)]?F(b)?F(a)? 因此 ?af(x)dx???f[?(t)]??(t)dt? 例1 計(jì)算?0a2?x2dx(a>0)? 解 ab???0aa2?x2dx 令x?asint ?02acost?acostdt ? ?2?a2222(?a0costdt?1?cos2t)dt 20??天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案 第五章 定積分 22?1?a2? ?a[t?1sin2t]0224?提示? a2?x2?a2?a2sin2t?acost? dx?a cos t ? 當(dāng)x?0時(shí)t?0? 當(dāng)x?a時(shí)t???? 例2 計(jì)算?02cos5xsinxdx? 解 令t?cos x? 則 ???20cosxsinxdx???02cos5xdcosx 011 ??1t5dt??0t5dt?[1t6]0?1? 令cosx?t提示? 當(dāng)x?0時(shí)t?1? 當(dāng)x??時(shí)t?0? 2或 ?20?cosxsinxdx???02cos5xdcosx 5??2??1cos6??1cos60?1? ??[1cos6x]066266 例3 計(jì)算?0sin3x?sin5xdx? 解 ??0?sin3x?sin5xdx??0sin2x|cosx|dx ?3? ??2sin2xcosxdx???sin2xcosxdx 02?3 ??32sin20?xdsinx??3?2?sin2xdsinx ?55?222 ?[sinx]0?[sin2x]??2?(?2)?4? 555525提示? sinx?sinx?sinx(1?sin35323x)?sin2x|cosx|? 在[0, ?]上|cos x|?cos x? 在[?, ?]上|cos x|??cos x? 4例4 計(jì)算?x?2dx? 02x? 1解 ?04x?2dx 令2x?1t2?1?232x?1?t32 ?1?tdt?1?1(t2?3)dt t2312711122? ?[t3?3t]1?[(?9)?(?3)]?232333天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案 第五章 定積分 2t提示? x??1? dx?tdt? 當(dāng)x?0時(shí)t?1? 當(dāng)x?4時(shí)t?3? 2例5 證明? 若f(x)在[?a? a]上連續(xù)且為偶函數(shù)? 則 ??af(x)dx?2?0aaaf(x)dx? 0a 證明 因?yàn)??af(x)dx???af(x)dx??0f(x)dx? 而 所以 ??af(x)dx a0令x??t ??af(?t)dt??0f(?t)dt??0f(?x)dx? a0aa??af(x)dx??0aaf(?x)dx??0f(x)dx aa ??0[f(?x)?f(x)]dx???a2f(x)dx?2?0f(x)dx? 討論? 若f(x)在[?a? a]上連續(xù)且為奇函數(shù)? 問??af(x)dx?？ 提示? 若f(x)為奇函數(shù)? 則f(?x)?f(x)?0? 從而 a??af(x)dx??0[f(?x)?f(x)]dx?0? ??aa 例6 若f(x)在[0? 1]上連續(xù)? 證明 (1)?02f(sinx)dx??02f(cosx)dx?(2)?0xf(sinx)dx? ?2??0?f(sinx)dx? 證明(1)令x???t? 則 ?02f(sinx)dx????2??0f[sin(??t)]dt 2? ??2f[sin(??t)]dt??2f(cosx)dx? 002(2)令x???t? 則 ?0?0xf(sinx)dx????(??t)f[sin(??t)]dt ????t)]dt??0(??t)f(sint)dt ??0(??t)f[sin（???0f(sint)dt??0tf(sint)dt 天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 ??高等數(shù)學(xué)教案 第五章 定積分 ???0f(sinx)dx??0xf(sinx)dx? 所以 ???0xf(sinx)dx?2?0? ??f(sinx)dx? ?x2?4?xe x?0 例7 設(shè)函數(shù)f(x)??1? 計(jì)算?1f(x?2)dx?? ?1?x?0??1?cosx 解 設(shè)x?2?t? 則 ?14f(x?2)dx???1f(t)dt???1201dt?2te?t2dt ?01?cost220 ?[tant]?1?[1e?t]0?tan1?1e?4?1? 22222提示? 設(shè)x?2?t? 則dx?dt? 當(dāng)x?1時(shí)t??1? 當(dāng)x?4時(shí)t?2? 二、分部積分法 設(shè)函數(shù)u(x)、v(x)在區(qū)間[a? b]上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)u?(x)、v?(x)? 由 (uv)??u?v ?u v?得u v??u v?u?v ? 式兩端在區(qū)間[a? b]上積分得 ba??au?vdx? 或?audv?[uv]a??avdu? ?auv?dx?[uv]bbbbb這就是定積分的分部積分公式? 分部積分過程? ba??avdu?[uv]a??au?vdx? ? ? ? ? ?auv?dx??audv?[uv]bbbbb 例1 計(jì)算? 解 12arcsinxdx? 0 ?12arcsinxdx0112?[xarcsinx]0??12xdarcsinx0 ?1????02xdx 261?x21? ???021221d(1?x2) 1?x21?22???3?1? ??[1?x]012122 例2 計(jì)算?0exdx? 解 令x?t? 則 1?0e1xdx?2?0ettdt 天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 1高等數(shù)學(xué)教案 第五章 定積分 ?2?0tdet ?2[tet] 0 ?2?0etdt ?2e?2[et] 0 ?2? 例3 設(shè)In??02sinnxdx? 證明 (1)當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)? In?n?1?n?3???3?1??? nn?242 2(2)當(dāng)n為大于1的正奇數(shù)時(shí)? In?n?1?n?3???4?2? nn?2 53證明 In??2sinnxdx01111?????02sinn?1xdcosx n?1 ?2x] 0? ??[cosxsin???02cosxdsinn?1x ?? ?(n?1)?02cos2xsinn?2xdx?(n?1)?02(sinn?2x?sinnx)dx ?(n?1)?02sinn?2xdx?(n?1)?02sinnxdx ?(n?1)I n? 2?(n?1)I n ? 由此得 In?n?1In?2? n I2m?2m?1?2m?3?2m?5???3?1I0? 2m2m?22m?442 I2m?1?2m?2m?2?2m?4???4?2I1? 2m?12m?12m?353而I0??02dx??? I1??02sinxdx?1? 2因此 I2m?2m?1?2m?3?2m?5???3?1??? 2m2m?22m?4422 I2m?1?2m?2m?2?2m?4???4?2??2m?12m?12m?353? 例3 設(shè)In??02sinnxdx(n為正整數(shù))? 證明 天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 ?????高等數(shù)學(xué)教案 第五章 定積分 I2m?2m?1?2m?3?2m?5???3?1??? 2m2m?22m?442 I2m?1?2m?2m?2?2m?4???4?2? 2m?12m?12m?353 證明 In??02sinnxdx???02sinn?1xdcosx ??[cosxsin?n?1 ?2x] 0???(n?1)?02cos2xsinn?2xdx ? ?(n?1)?02(sinn?2x?sinnx)dx ?(n?1)?02sinn?2xdx?(n?1)?02sinnxdx ?(n?1)I n? 2?(n?1)I n ? 由此得 In?n?1In?2? n I2m?2m?1?2m?3?2m?5???3?1?I0? 2m2m?22m?442 I2m?1?2m?2m?2?2m?4???4?2?I1? 2m?12m?12m?353特別地 I0??2dx??02???? I1??02sinxdx?1? ?因此 I2m?2m?1?2m?3?2m?5???3?1??? 2m2m?22m?4422 I2m?1?2m?2m?2?2m?4???4?2? 2m?12m?12m?3 53天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案 第五章 定積分 §5? 4 反常積分 一、無窮限的反常積分 定義1 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a? ??)上連續(xù)? 取b>a ? 如果極限 b???lim?af(x)dx ??b存在? 則稱此極限為函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間[a? ??)上的反常積分? 記作?af(x)dx? 即 ?a這時(shí)也稱反常積分?af(x)dx收斂???????f(x)dx?lim?af(x)dx? b???b 如果上述極限不存在? 函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間[a? ??)上的反常積分?af(x)dx就沒有意義? 此時(shí)稱反常積分?af(x)dx發(fā)散? 類似地? 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(??? b ]上連續(xù)? 如果極限 a???????lim?af(x)dx(a bb存在? 則稱此極限為函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間(??? b ]上的反常積分? 記作???f(x)dx? 即 天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案 第五章 定積分 ???f(x)dx?alim?f(x)dx? ???a這時(shí)也稱反常積分???f(x)dx收斂??如果上述極限不存在? 則稱反常積分???f(x)dx發(fā)散? 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(??? ??)上連續(xù)? 如果反常積分 bbbb???f(x)dx和?0f(x)dx 都收斂? 則稱上述兩個(gè)反常積分的和為函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間(??? ??)上的反常積分? 記作 0?????f(x)dx? 即 ???f(x)dx????f(x)dx??00a???????0??f(x)dx b ?lim?af(x)dx?lim?0f(x)dx? b???這時(shí)也稱反常積分???f(x)dx收斂? 如果上式右端有一個(gè)反常積分發(fā)散? 則稱反常積分???f(x)dx發(fā)散? 定義1? 連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a? ??)上的反常積分定義為 ?????a??f(x)dx?lim?af(x)dx? b???b 在反常積分的定義式中? 如果極限存在? 則稱此反常積分收斂???否則稱此反常積分發(fā)散? 類似地? 連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間(??? b]上和在區(qū)間(??? ??)上的反常積分定義為 ???f(x)dx?lim?af(x)dx? a???bb???f(x)dx?lim?af(x)dx?lim?0f(x)dx? a???b?????0b 反常積分的計(jì)算? 如果F(x)是f(x)的原函數(shù)? 則 ?a??f(x)dx?lim?af(x)dx?lim[F(x)]ba b???b???b ?limF(b)?F(a)?limF(x)?F(a)? b???x???可采用如下簡(jiǎn)記形式? 類似地 ?a???f(x)dx?[F(x)]?a?limF(x)?F(a)? x??????F(b)?limF(x)? ???f(x)dx?[F(x)]bx???b天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案 第五章 定積分 ????limF(x)?limF(x)? ???f(x)dx?[F(x)]?x???x??????? 例1 計(jì)算反常積分???12dx? 1?x 解 ??? ???1?1x2dx?[arctanx]??? ?limarctanx?limarctanx x???x??? ? ??(? ?)??? 例2 計(jì)算反常積分?0te?ptdt(p是常數(shù)? 且p>0)? 解 ???0??????te?ptdt?[?te?ptdt]0?[?1?tde?pt]0 p?? ?[?1te?pt?1?e?ptdt]0pp?? ?[?1te?pt?12e?pt]0pp ?lim[?1te?pt?12e?pt]?12?12? t???pppp提示? limte?pt?limtpt?lim1pt?0? t???t???et???pe 例3 討論反常積分?a 解 當(dāng)p?1時(shí)? 當(dāng)p<1時(shí)? 當(dāng)p>1時(shí)? ??1dx(a>0)的斂散性? xp?a??1dx???1dx?[lnx] ?????? a?axxp?a??1dx?[1x1?p] ?????? a1?pxp?a??1dx?[1x1?p] ???a1?p? a1?pp?1xp1?p 因此? 當(dāng)p>1時(shí)? 此反常積分收斂? 其值為a? 當(dāng)p?1時(shí)? 此反常積分發(fā)散? p? 1二、無界函數(shù)的反常積分 定義 2設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a? b]上連續(xù)? 而在點(diǎn)a的右鄰域內(nèi)無界? 取?>0? 如果極限 t?alimf(x)dx ??tbb存在? 則稱此極限為函數(shù)f(x)在(a? b]上的反常積分? 仍然記作?af(x)dx? 即 天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案 第五章 定積分 ?af(x)dx?tlim??at?bbf(x)dx? 這時(shí)也稱反常積分?af(x)dx收斂? 如果上述極限不存在? 就稱反常積分?af(x)dx發(fā)散? 類似地? 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a? b)上連續(xù)? 而在點(diǎn)b 的左鄰域內(nèi)無界? 取?>0? 如果極限 t?bbblimf(x)dx ??abt存在? 則稱此極限為函數(shù)f(x)在[a? b)上的反常積分? 仍然記作?af(x)dx? 即 f(x)dx? ?af(x)dx?lim??at?bbt這時(shí)也稱反常積分?af(x)dx收斂? 如果上述極限不存在? 就稱反常積分?af(x)dx發(fā)散? 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a? b]上除點(diǎn)c(a 都收斂? 則定義 cb?af(x)dx??af(x)dx??cf(x)dx? 否則? 就稱反常積分?af(x)dx發(fā)散? 瑕點(diǎn)? 如果函數(shù)f(x)在點(diǎn)a的任一鄰域內(nèi)都無界? 那么點(diǎn)a稱為函數(shù)f(x)的瑕點(diǎn)? 也稱為無界 定義2? 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a? b]上連續(xù)? 點(diǎn)a為f(x)的瑕點(diǎn)? 函數(shù)f(x)在(a? b]上的反常積分定義為 bbcb?af(x)dx?tlim??at?bbf(x)dx? 在反常積分的定義式中? 如果極限存在? 則稱此反常積分收斂???否則稱此反常積分發(fā)散? 類似地?函數(shù)f(x)在[a? b)(b為瑕點(diǎn))上的反常積分定義為 f(x)dx? ?af(x)dx?lim??at?bbt 函數(shù)f(x)在[a? c)?(c? b](c為瑕點(diǎn))上的反常積分定義為 ?af(x)dx?tlim??ca?btf(x)dx?limf(x)dx? ??tt?cb反常積分的計(jì)算? 如果F(x)為f(x)的原函數(shù)? 則有 天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案 第五章 定積分 ?af(x)dx?tlim??at?bbf(x)dx?lim[F(x)]bt ?t?a ?F(b)?limF(t)?F(b)?limF(x)? ??t?ax?a可采用如下簡(jiǎn)記形式? a?F(b)?limF(x)? ?af(x)dx?[F(x)]bx?a?b類似地? 有 a?limF(x)?F(a)? ?af(x)dx?[F(x)]bx?b?b當(dāng)a為瑕點(diǎn)時(shí)??af(x)dx?[F(x)]bF(x)? a?F(b)?lim?x?ab當(dāng)b為瑕點(diǎn)時(shí)??af(x)dx?[F(x)]bF(x)?F(a)? a?lim?x?bb當(dāng)c(a?c?b)為瑕點(diǎn)時(shí)? F(x)?F(a)]?[F(b)?limF(x)]? ?af(x)dx??af(x)dx??cf(x)dx?[xlim?cx?c??bcb 例4 計(jì)算反常積分? 解 因?yàn)閘im?x?aa01dx? 2a?x21???? 所以點(diǎn)a為被積函數(shù)的瑕點(diǎn)? a2?x ?0a1a?limarcsinx?0??? dx?[arcsinx] 0a2x?a?aa2?x2 1例5 討論反常積分??112dx的收斂性? x 解 函數(shù)12在區(qū)間[?1? 1]上除x?0外連續(xù)? 且lim12??? x?0xx0 0 由于??112dx?[?1]??lim(?1)?1???? 1?xxx?0x01即反常積分??112dx發(fā)散? 所以反常積分??112dx發(fā)散? xx 例6 討論反常積分?a 解 當(dāng)q?1時(shí)? 當(dāng)q?1時(shí)? bbbdx的斂散性? (x?a)qdx?bdx?[ln(x?a)] b???? a?a(x?a)q?ax?adx?[1(x?a)1?q] b???? a?a(x?a)q1?q天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案 第五章 定積分 當(dāng)q?1時(shí)? dx?[1(x?a)1?q] b?1(b?a)1?q? a?a(x?1?qa)q1?qb 因此? 當(dāng)q<1時(shí)? 此反常積分收斂? 其值為1(b?a)1?q? 當(dāng)q?1時(shí)? 此反常積分發(fā)散? 1?q 天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案 第五章 定積分 天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 高等數(shù)學(xué)教案 第五章 定積分 天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室 第一章函數(shù)與極限(4課時(shí))Ⅰ 授課題目（章節(jié)） 1.1 映射與函數(shù) Ⅱ 教學(xué)目的與要求： 1.理解集合、區(qū)間、鄰域等基本概念，掌握集合的運(yùn)算及構(gòu)造法 2.理解函數(shù)的概念；明確函數(shù)定義有兩個(gè)要素；依賴關(guān)系、定義域；掌握函數(shù)表達(dá)式的運(yùn)用 3.了解函數(shù)的基本性質(zhì)；知道判定諸性質(zhì)的思路 4.掌握將復(fù)合函數(shù)由外及里分解為簡(jiǎn)單函數(shù)的方法 Ⅲ 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn) 重點(diǎn)：理解集合、鄰域的概念 難點(diǎn)：函數(shù)的性質(zhì) Ⅳ 講授內(nèi)容 一.集合 1． 集合概念 集合是指具有某種特定性質(zhì)的事物的總體，組成這個(gè)集合的事物稱為該集合的元素（簡(jiǎn)稱：元） 注：本課程中所有說的集合必須具有明確的界定，即對(duì)任何一個(gè)對(duì)象都可以按標(biāo)準(zhǔn)判斷其是否屬于所說的“總體” 介紹子集、真子集、空集、集合的相等，等概念 2.集合的運(yùn)算 集合的基本運(yùn)算有以下幾種：并、交、差、直積 介紹全集（基本集）與余集（補(bǔ)集）的概念 3.區(qū)間和鄰域 設(shè)?＞0，點(diǎn)X0的?領(lǐng)域是指滿足X?X0??的一切實(shí)數(shù)X的集合。X0稱為改鄰域的中心，?成為該鄰域的半徑 二.映射 1.定義：設(shè)X，Y是兩個(gè)非空集合，如果存在一個(gè)法則f，使得對(duì)X中每個(gè)元素x，按法則f，在Y中有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，則稱f為從X到Y(jié)的映射，記作f:X?Y、其中y稱為元素x（在映射f下）的像，并記作f(x),即y?f（x），而元素x稱為元素y（在映射f下）的一個(gè)原像 注：映射是指兩個(gè)集合之間的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系。判斷兩集合之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系是否構(gòu)成一個(gè)映射，關(guān)鍵是抓住兩個(gè)要點(diǎn)：第一，對(duì)于第一個(gè)集合中的每一個(gè)元素，按照規(guī)則能否在另一個(gè)集合中找到一個(gè)與之對(duì)應(yīng)的元素；第二，對(duì)于第一個(gè)集合中的每一個(gè)元素，第二個(gè)集合與之對(duì)應(yīng)的元素是不是唯一的 2.逆映射 定義：設(shè)fX到Y(jié)的單射，則由定義，對(duì)每個(gè)y?Rf，有唯一的x?X,適合f（x）?y。于是，我們可定義一個(gè)從Rf到X的新映射g，即?x，這x滿足f（x）?y。這個(gè)映g：Rf?X，對(duì)每個(gè)y?Rf，規(guī)定g（y）射g稱為f的逆映射，記作f2． 復(fù)合映射： 定義：設(shè)有兩個(gè)映射g:X?Y1,f:Y2?Z，其中Y1?Y2，則由映射g和f可以定出一個(gè)從X到Z的對(duì)應(yīng)法則，它將每個(gè)x?X映成f?g（x）??Z。顯然，這個(gè)對(duì)應(yīng)法則確定了一個(gè)從X到Z的映射，這個(gè)映射稱為映射g和f構(gòu)成的復(fù)合映射，記作f?g,即f?g：X?Z，（f?g）（x）?，x?X ?f?g（x）三.函數(shù) 1.函數(shù)的概念 定義：設(shè)數(shù)集D?R，則稱映射f：D?R為定義在D上的函數(shù)，通常簡(jiǎn)記為 y?f（x），x?D，其中x稱為自變量，y稱為因變量，D稱為定義域，記作Df，即Df?D 函數(shù)定義中，對(duì)每個(gè)x?D，按對(duì)應(yīng)法則f，總有唯一確定的值y與之對(duì)應(yīng)，這個(gè)值稱為函數(shù)f在x出的函數(shù)值，記作f（x），即y?f（x）。因變量y與自變量x之間的這種依賴關(guān)系，通常稱為函數(shù)關(guān)系。函數(shù)值y?f（x）的全體所構(gòu)成的集合稱為函數(shù) f的值域，記作Rf或f（D)，即 Rf?f(D)?yy?f(x),x?D 注：函數(shù)的概念中涉及五個(gè)因素：（1）自變量（2）定義域（3）應(yīng)變量（4）對(duì)應(yīng)規(guī)律（5）值域；在這五個(gè)因素中最重要的是定義域和因變量關(guān)于自變量的對(duì)應(yīng)規(guī)律，這兩者常稱為函數(shù)的二要素 介紹單值函數(shù)與多值函數(shù)的概念 例.判斷下列各對(duì)函數(shù)是否相同 （1）f(x)=lnx2 g(x)=2lnx(2)f(x)=1 g(x)=sin2x+cos2x(3)f(x)=|x| g(u)=u2 ?1,其定義域Df?1?Rf，值域Rf?1?X ??解：（2）中的f（x）與g（x)相同，（3）中的f（x）與g（x)相同 例.求下列函數(shù)的定義域 （1）f(x)?x?13?4x?1 2x?5x?6x(2)f(x)?log2log4log7 (3)f(x)?1x?2?1 x解：（1）Df?xx?2且x?3 （2）Df?xx?7 （3）Df?xx?0且x??2 2.函數(shù)的幾種特性 （1）函數(shù)的有界性（2）函數(shù)的單調(diào)性(3)函數(shù)的奇偶性 定義：教材P12?P13 例：判斷f(x)?ln???????x2?1?x的奇偶性 1x?1?x2?解：f(?x)?ln((?x)2?1?x?ln ?f(x)為奇函數(shù)（4）數(shù)的周期性 3．反函數(shù)于復(fù)合函數(shù) ??f(x) （5）反函數(shù)定義：設(shè)函數(shù)f:D?f(D)是單射，則它存在逆映射f?1:f(D)?D，稱此映射f?1為函數(shù)f的反函數(shù)。 按此定義，對(duì)每個(gè)y?f(D),有唯一的x?D，使得f（x）=y，于 1是有f?（y）?x。這就是說，反函數(shù)f?1的對(duì)應(yīng)法則是完全由函數(shù)f的對(duì)應(yīng)法則所確定的 與反函數(shù)問題有關(guān)的題型主要有兩類：判斷給定函數(shù)是否存在反函數(shù)或求給定函數(shù)的反函數(shù) 對(duì)嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)有以下結(jié)論 嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)必存在反函數(shù)（6）復(fù)合函數(shù)有關(guān)的問題大致可分為兩類：一是判斷若干個(gè)函數(shù)能否構(gòu)成復(fù)合函數(shù);二是將一個(gè)復(fù)合函數(shù)分解為若干個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù) 復(fù)合函數(shù)的定義：設(shè)函數(shù)y?f(u)的定義域?yàn)镈1，函數(shù)u?g（x）在D上有定義，且g（D）?D1，則由下式確定的函數(shù) 構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)，它的?，x?D稱為由函數(shù)u?g（x）和函數(shù)y?f（u）y?f?g（x）定義域?yàn)镈，變量u稱為中間變量。函數(shù)g與函數(shù)f構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)通常記為 ? f?g,即（f?g）（x）?f?g（x）3.函數(shù)的運(yùn)算 4.初等函數(shù) 定義：由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和有限次的函數(shù)復(fù)合步驟所構(gòu)成并可用一個(gè)式子表示的函數(shù)，稱為初等函數(shù) 5.雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù) Ⅴ小結(jié)與提問： 小結(jié)：本講內(nèi)容十分重要，特別是缺點(diǎn)函數(shù)的兩個(gè)要素務(wù)必弄懂；分段函數(shù)也須引起重視；函數(shù)的幾種特性直接通過論證來判斷；函數(shù)的反函數(shù)的存在性需重視。復(fù)合函數(shù)是本講重點(diǎn)之一，掌握它，對(duì)學(xué)好微分與積分有很大的作用；要善于分析一個(gè)初等函數(shù)的結(jié)構(gòu) 提問：是否y?f（u），u?g（x）一定能復(fù)合成y為x的函數(shù)？ Ⅴ 課外作業(yè) P21 6(4)(6)7(3)8.12.14（3）17第二篇：高等數(shù)學(xué)教案Word版(同濟(jì))第二章8
第三篇：第七章 微分方程(三峽大學(xué)高等數(shù)學(xué)教案)
第四篇：同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)教案第五章 定積分
第五篇：高等數(shù)學(xué)教案Word版第一章1
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