第一篇：《高等數(shù)學.同濟五版》講稿WORD版-第09章 重積分

高等數(shù)學教案

§9 重積分

第九章

重積分

教學目的：

1.理解二重積分、三重積分的概念，了解重積分的性質(zhì)，知道二重積分的中值定理。2.掌握二重積分的（直角坐標、極坐標）計算方法。

3.掌握計算三重積分的（直角坐標、柱面坐標、球面坐標）計算方法。

8、會用重積分求一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、體積、重心、轉(zhuǎn)動慣量、引力等）。教學重點：

1、二重積分的計算（直角坐標、極坐標）；

2、三重積分的（直角坐標、柱面坐標、球面坐標）計算。

3、二、三重積分的幾何應用及物理應用。教學難點：

1、利用極坐標計算二重積分；

2、利用球坐標計算三重積分；

3、物理應用中的引力問題。

§9? 1 二重積分的概念與性質(zhì) 一、二重積分的概念

1? 曲頂柱體的體積

設有一立體? 它的底是xOy面上的閉區(qū)域D? 它的側(cè)面是以D的邊界曲線為準線而母線平行于z軸的柱面? 它的頂是曲面z?f(x? y)? 這里f(x? y)?0且在D上連續(xù)? 這種立體叫做曲頂柱體? 現(xiàn)在我們來討論如何計算曲頂柱體的體積?

首先? 用一組曲線網(wǎng)把D分成n個小區(qū)域

?? 1? ?? 2? ? ? ? ? ?? n ?

分別以這些小閉區(qū)域的邊界曲線為準線? 作母線平行于z軸的柱面? 這些柱面把原來的曲頂柱體分為n個細曲頂柱體? 在每個?? i中任取一點(? i ? ? i)? 以f(? i ? ? i)為 高而底為?? i的平頂柱體的體積為

f(? i ? ? i)??i(i?1? 2? ? ? ? ? n)?

這個平頂柱體體積之和

n

V??f(?i,?i)??i?

i?1高等數(shù)學課程建設組 高等數(shù)學教案

§9 重積分

可以認為是整個曲頂柱體體積的近似值? 為求得曲頂柱體體積的精確值? 將分割加密? 只需取極限? 即

n

V?lim?f(?i,?i)??i?

??0i?1其中?是個小區(qū)域的直徑中的最大值?

2?平面薄片的質(zhì)量?

設有一平面薄片占有xOy面上的閉區(qū)域D? 它在點(x? y)處的面密度為?(x? y)? 這里?(x? y)?0且在D上連續(xù)? 現(xiàn)在要計算該薄片的質(zhì)量M?

用一組曲線網(wǎng)把D分成n個小區(qū)域

?? 1? ?? 2? ? ? ? ? ?? n ?

把各小塊的質(zhì)量近似地看作均勻薄片的質(zhì)量?

?(? i ? ? i)?? i ?

各小塊質(zhì)量的和作為平面薄片的質(zhì)量的近似值?

n

M???(?i,?i)??i?

i?

1將分割加細? 取極限? 得到平面薄片的質(zhì)量

n

M?lim??(?i,?i)??i?

??0i?1其中?是個小區(qū)域的直徑中的最大值?

定義 設f(x? y)是有界閉區(qū)域D上的有界函數(shù)? 將閉區(qū)域D任意分成n個小閉區(qū)域

?? 1? ?? 2? ? ? ? ? ?? n ?

其中?? i表示第i個小區(qū)域? 也表示它的面積? 在每個?? i上任取一點(? i? ?i)? 作和

n

?f(?i,?i)??i?

i?1如果當各小閉區(qū)域的直徑中的最大值?趨于零時? 這和的極限總存在? 則稱此極限為函數(shù)f(x? y)在閉區(qū)域D上的二重積分? 記作??f(x,y)d?? 即

D高等數(shù)學課程建設組 高等數(shù)學教案

§9 重積分

??Df(x,y)d??lim??0i?1?f(?i,?i)??i? nf(x? y)被積函數(shù)? f(x? y)d?被積表達式? d?面積元素? x? y積分變量? D積分區(qū)域? 積分和?

直角坐標系中的面積元素?

如果在直角坐標系中用平行于坐標軸的直線網(wǎng)來劃分D? 那么除了包含邊界點的一些小閉區(qū)域外? 其余的小閉區(qū)域都是矩形閉區(qū)域? 設矩形閉區(qū)域??i的邊長為?xi和?yi? 則??i??xi?yi? 因此在直角坐標系中? 有時也把面積元素d? 記作dxdy? 而把二重積分記作

??Df(x,y)dxdy

其中dxdy叫做直角坐標系中的面積元素?

二重積分的存在性? 當f(x? y)在閉區(qū)域D上連續(xù)時? 積分和的極限是存在的?

也就是說函數(shù)f(x? y)在D上的二重積分必定存在? 我們總假定函數(shù)f(x? y)在閉區(qū)域D上連續(xù)? 所以f(x? y)在D上的二重積分都是存在的?

二重積分的幾何意義? 如果f(x? y)?0? 被積函數(shù)f(x? y)可解釋為曲頂柱體的在點(x? y)處的豎坐標? 所以二重積分的幾何意義就是柱體的體積? 如果f(x? y)是負的? 柱體就在xOy 面的下方? 二重積分的絕對值仍等于柱體的體積? 但二重積分的值是負的?

二?

二重積分的性質(zhì)

性質(zhì)1 設c1、c2為常數(shù)? 則

??[c1f(x,y)?c2g(x,y)]d?D?c1??f(x,y)d??c2??g(x,y)d??

DD

性質(zhì)2如果閉區(qū)域D被有限條曲線分為有限個部分閉區(qū)域? 則在D上的二重積分等于在各部分閉區(qū)域上的二重積分的和? 例如D分為兩個閉區(qū)域D1與D2? 則

??Df(x,y)d????f(x,y)d????f(x,y)d??

D1D

2性質(zhì)3 ??1?d????d???DD(?為D的面積)?

性質(zhì)4 如果在D上? f(x? y)?g(x? y)? 則有不等式

??Df(x,y)d????g(x,y)d??

D

特殊地有

高等數(shù)學課程建設組 高等數(shù)學教案

§9 重積分

|??f(x,y)d?|???|f(x,y)|d??

DD

性質(zhì)5 設M、m分別是f(x? y)在閉區(qū)域D上的最大值和最小值? ?為D的面積? 則有

m????f(x,y)d??M??

D

性質(zhì)6(二重積分的中值定理)設函數(shù)f(x? y)在閉區(qū)域D上連續(xù)? ? 為D的面積? 則在D上至少存在一點(?? ?)使得

§9? 2 二重積分的計算法

一、利用直角坐標計算二重積分

X??型區(qū)域?

D ?

?1(x)?y??2(x)? a?x?b ?

Y ??型區(qū)域?

D ?

?1(x)?y??2(x)? c?y?d ?

混合型區(qū)域?

設f(x? y)?0?

D?{(x? y)| ?1(x)?y??2(x)? a?x?b}?

此時二重積分??f(x,y)d?在幾何上表示以曲面z?f(x? y)為頂? 以區(qū)域D為底的曲頂D??Df(x,y)d??f(?,?)??

柱體的體積?

對于x0?[a? b]?

曲頂柱體在x?x0的截面面積為以區(qū)間[?1(x0)? ?2(x0)]為底、以曲線z?f(x0? y)為曲邊的曲邊梯形? 所以這截面的面積為

A(x0)???2(x0)?1(x0)f(x0,y)dy?

根據(jù)平行截面面積為已知的立體體積的方法? 得曲頂柱體體積為

V??A(x)dx??[?aabbb?2(x)?1(x)?2(x)f(x,y)dy]dx?

f(x,y)dy]dx? 即

V???f(x,y)d???[?Da?1(x)可記為

高等數(shù)學課程建設組 高等數(shù)學教案

§9 重積分

??Df(x,y)d???dx?ab?2(x)?1(x)f(x,y)dy?

類似地? 如果區(qū)域D為Y ??型區(qū)域?

D ? ?1(x)?y??2(x)? c?y?d ?

則有

??Df(x,y)d???dy?cd?2(y)?1(y)f(x,y)dx?

例1? 計算??xyd?? 其中D是由直線y?

1、x?2及y?x所圍成的閉區(qū)域?

D

解? 畫出區(qū)域D?

方法一?

可把D看成是X??型區(qū)域? 1?x?2? 1?y?x ? 于是

??xyd??D21[?xydy]dx??12x21y2x1x4x229123?]1??

[x?]1dx??(x?x)dx?[12224282x注? 積分還可以寫成??xyd???dx?xydy??xdx?ydy?

D1111x

解法2? 也可把D看成是Y??型區(qū)域? 1?y?2? y?x?2 ? 于是

??xyd??D21[?xydx]dy??y2212y3y429x222]1??

[y?]ydy??(2y?)dy?[y?1882

2例2? 計算??y1?x2?y2d?? 其中D是由直線y?

1、x??1及y?x所圍成的閉區(qū)域?

D

解

畫出區(qū)域D? 可把D看成是X??型區(qū)域? ?1?x?1? x?y?1? 于是

??D11112221y1?x?yd???dx?y1?x?ydy???[(1?x?y)]xdx???(|x|3?1)dx

?1x3?13?1222211321

???(x?1)dx??

2也可D看成是Y??型區(qū)域：?1?y?1? ?1?x

高等數(shù)學課程建設組 高等數(shù)學教案

§9 重積分

??Dy1?x2?y2d???ydy?11??1y1?x2?y2dx?

例3 計算??xyd?? 其中D是由直線y?x?2及拋物線y2?x所圍成的閉區(qū)域?

D

解 積分區(qū)域可以表示為D?D1+D2?

其中D1: 0?x?1, ?x?y?

x? D2: 1?x?4, 2?y?x? 于是

??Dxyd???dx?01xx?xydy??dx?12

4xx?2xydy?

積分區(qū)域也可以表示為D? ?1?y?2? y?x?y?2? 于是

??xyd????1dy?yD2y?221x2y?2xydx??[y]y2dy??1222??1[y(y?2)22?y5]dy

4y621y4352

?[?y?2y?]?1?5?

24368討論積分次序的選擇?

例

4求兩個底圓半徑都等于?的直交圓柱面所圍成的立體的體積?

解

設這兩個圓柱面的方程分別為

x2?y2?? 2及x2?z2?? 2?

利用立體關(guān)于坐標平面的對稱性? 只要算出它在第一卦限部分的體積V1? 然后再乘以8就行了?

第一卦限部分是以D?{(x? y)| 0?y?R2?x2, 0?x??}為底? 以z?R2?x2頂?shù)那斨w?

于是

V?8??DR?xd??8?dx?0R22RR2?x20R2?x2dy?8?[R2?x2y]0R0R2?x2dx

?8?(R2?x2)dx?0163R?

3二?

利用極坐標計算二重積分

有些二重積分? 積分區(qū)域D 的邊界曲線用極坐標方程來表示比較方便? 且被積函數(shù)用極坐標變量?、? 表達比較簡單?

這時我們就可以考慮利用極坐標來計算二重積分

高等數(shù)學課程建設組 高等數(shù)學教案

§9 重積分

??Df(x,y)d??

n按二重積分的定義??f(x,y)d??limD???0f(?i,?i)??i?

i?

1下面我們來研究這個和的極限在極坐標系中的形式?

以從極點O出發(fā)的一族射線及以極點為中心的一族同心圓構(gòu)成的網(wǎng)將區(qū)域D分為n個小閉區(qū)域? 小閉區(qū)域的面積為?

??i?1(?i???i)2???i?1??i2???i?1(2?i???i)??i???i ??i?(?i???i)2???i???i??i??i??i?

其中?i表示相鄰兩圓弧的半徑的平均值?

在??i內(nèi)取點(?i , ?i)? 設其直角坐標為(? i? ? i)?

則有 ?i??i cos?i? ?i??i sin?i?

nn于是 lim即

??0?i?1f(?i,?i)??i?lim??0?i?1f(?i cos?i,?i sin?i)?i ??i??i?

??Df(x,y)d???,?sin?)?d?d???f(?cosD?

若積分區(qū)域D可表示為

? 1(?)???? 2(?)?

??????

則

??Df(?cos?,?sin?)?d?d???d?????2(?)?1(?)f(?cos?,?sin?)?d??

討論?如何確定積分限?

??Df(?cos?,?sin?)?d?d???d???2???(?)0f(?cos?,?sin?)?d??

??Df(?cos?,?sin?)?d?d???20d???(?)0f(?cos?,?sin?)?d??

例5? 計算??e?xD?y2dxdy? 其中D是由中心在原點、半徑為a 的圓周所圍成的閉區(qū)

高等數(shù)學課程建設組 高等數(shù)學教案

§9 重積分

域?

解

在極坐標系中? 閉區(qū)域D可表示為

0???a ? 0?? ?2? ?

于是 ?x??eD2?y2dxdy?????e?d?d???D22?0[?e???d?]d? ??0a22?0[?1??2ae]0d? ?

注? 此處積分??e?xD22?221(1?e?a)?d???(1?e?a)?

02?x??e2?y2dxdy也常寫成?y2dxdy?

x2?y2?a2

利用x2?y2?a2?x??e2?y2dxdy??(1?e?a)計算廣義積分?22

2?? 0e?xdx?

2設D1?{(x? y)|x?y?R? x?0? y?0}?

D2?{(x? y)|x2?y2?2R2? x?0? y?0}?

S?{(x? y)|0?x?R? 0?y?R}?

顯然D1?S?D2? 由于e?x

?x??eD1222?y2?0? 從則在這些閉區(qū)域上的二重積分之間有不等式

2?y2dxdy???e?xS?y2dxdy???e?xD22?y2dxdy?

因為

?xe??S2?y2dxdy??e?xdx??e?ydy?(?e?xdx)2?

000R2R2R2又應用上面已得的結(jié)果有

?x??eD12?y2dxdy??4(1?e?R)?

2?x??eD22?y2dxdy??4(1?e?2R)?

2于是上面的不等式可寫成?4(1?e?R)?(?e?xdx)2?02R2?4(1?e?2R)?

2令R???? 上式兩端趨于同一極限

?4? 從而??? 0e?xdx?2?2?

例6 求球體x2?y2?z2?4a2被圓柱面x2?y2?2ax所截得的（含在圓柱面內(nèi)的部分）立體的體積?

解

由對稱性? 立體體積為第一卦限部分的四倍?

高等數(shù)學課程建設組 高等數(shù)學教案

§9 重積分

V?4??D4a2?x2?y2dxdy?

其中D為半圓周y?2ax?x2及x軸所圍成的閉區(qū)域?

在極坐標系中D可表示為

0???2a cos? ? 0??? ??

2?2acos?于是

V?4??4a???d?d??4?2d??D02204a2??2?d?

3222322?2

?a?(1?sin3?)d??a(?)?

03323?

§9?3

三重積分 一、三重積分的概念

定義 設f(x? y? z)是空間有界閉區(qū)域?上的有界函數(shù)? 將?任意分成n個小閉區(qū)域

?v1? ?v2? ? ? ? ? ?vn

其中?vi表示第i個小閉區(qū)域? 也表示它的體積? 在每個?vi上任取一點(?i? ?i? ?i)? 作乘積f(?

i? ? i? ? i)?vi(i?1? 2? ? ? ?? n)并作和?f(?i,?i,?i)?vi? 如果當各小閉區(qū)域的直徑中的最大值?i?1n趨于零時?

這和的極限總存在?

則稱此極限為函數(shù)f(x? y? z)在閉區(qū)域?上的三重積分? 記作???f(x,y,z)dv?

即

?n

????f(x,y,z)dv?lim??0i?1?f(?i,?i,?i)?vi?

——積分號?

f(x? y? z)——被積函數(shù)?

f(x? y? z)dv——被

三重積分中的有關(guān)術(shù)語? ????積表達式?

dv體積元素?

x? y? z——積分變量?

?——積分區(qū)域?

在直角坐標系中? 如果用平行于坐標面的平面來劃分?? 則?vi??xi ?yi?zi ? 因此也把體積元素記為dv ?dxdydz? 三重積分記作

高等數(shù)學課程建設組 高等數(shù)學教案

§9 重積分

???f(x,y,z)dv????f(x,y,z)dxdyd?z

??n

當函數(shù)f(x? y? z)在閉區(qū)域?上連續(xù)時? 極限lim?f(?i,?i,?i)?vi是存在的?

??0i?1因此f(x? y? z)在?上的三重積分是存在的? 以后也總假定f(x? y? z)在閉區(qū)域?上是連續(xù)的?

三重積分的性質(zhì)? 與二重積分類似?

比如

???[c1f(x,y,z)?c2g(x,y,z)]dv?c1?????f(x,y,z)dv?c2???g(x,y,z)dv?

?

???f(x,y,z)dv????f(x,y,z)dv????f(x,y,z)dv?

?1?2?1?? ???dv?V?? 其中V為區(qū)域?的體積? 二、三重積分的計算

1? 利用直角坐標計算三重積分

三重積分的計算? 三重積分也可化為三次積分來計算? 設空間閉區(qū)域?可表為

z1(x? y)?z?z2(x? y)? y1(x)?y?y2(x)? a?x?b?

則

????f(x,y,z)dv???[?Dz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]d?

??dx?aby2(x)y1(x)y2(x)y1(x)[?z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]dy f(x,y,z)dz?

f(x,y,z)dz?

??dx?abdy?z2(x,y)z1(x,y)即 ???f(x,y,z)dv??dx??aby2(x)y1(x)dy?z2(x,y)z1(x,y)其中D : y1(x)? y? y2(x)? a?x?b? 它是閉區(qū)域?在xOy面上的投影區(qū)域?

提示?

設空間閉區(qū)域?可表為

z1(x? y)?z?z2(x? y)? y1(x)?y?y2(x)? a?x?b?

計算???f(x,y,z)dv?

?基本思想?

高等數(shù)學課程建設組 高等數(shù)學教案

§9 重積分

對于平面區(qū)域D?

y1(x)?y?y2(x)? a?x?b內(nèi)任意一點(x? y)? 將f(x? y? z)只看作z的函數(shù)? 在區(qū)間[z1(x? y)?

z2(x? y)]上對z積分? 得到一個二元函數(shù)F(x? y)?

F(x,y)??z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz?

然后計算F(x? y)在閉區(qū)域D上的二重積分? 這就完成了f(x? y? z)在空間閉區(qū)域?上的三重積分?

??DF(x,y)d????[?Dz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]d???dx?aby2(x)y1(x)[?z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]dy?

則 ????f(x,y,z)dv???[?Dz2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]d?

??dx?aby2(x)y1(x)y2(x)y1(x)b[?z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz]dy f(x,y,z)dz?

??dx?abdy?z2(x,y)z1(x,y)即

???f(x,y,z)dv??adx?y(x)?1y2(x)dy?z2(x,y)z1(x,y)f(x,y,z)dz?

其中D : y1(x)? y? y2(x)? a?x?b? 它是閉區(qū)域?在xOy面上的投影區(qū)域?

例1 計算三重積分???xdxdydz? 其中?為三個坐標面及平面x?2y?z?1所圍成的閉區(qū)?域?

解 作圖? 區(qū)域?可表示為:

0?z?1?x?2y? 0?y?11(1?x)? 0?x?1?

2于是

???xdxdydz ??dx??101?x20dy?1?x?2y0xdz

??xdx?01?x20(1?x?2y)dy ?4?0(x?2x1?x3)dx?1?

討論? 其它類型區(qū)域呢?

有時? 我們計算一個三重積分也可以化為先計算一個二重積分、再計算一個定積分? 設空間閉區(qū)域??{(x? y? z)|(x? y)?Dz? c1? z?c2}? 其中Dz是豎坐標為z 的平面截空間閉區(qū)域?

高等數(shù)學課程建設組 高等數(shù)學教案

§9 重積分

所得到的一個平面閉區(qū)域? 則有

????f(x,y,z)dv??dz??f(x,y,z)dxdy?

c1Dz2x2yz2zdxdydz? 其中?是由橢球面2?2?2?1所圍成的空間閉

abc2c

2例2 計算三重積分????區(qū)域?

解 空間區(qū)域?可表為: 2x2yz2

2?2?1?2? ?c? z?c?

abc于是

????2czdxdydz ??z2dz??dxdy??ab(1?z)z2dz?4?abc3?

?22c?cDz?cc1

5練習

1? 將三重積分I????f(x,y,z)dxdydz化為三次積分? 其中

?

(1)?是由曲面z?1?x2?y2? z?0所圍成的閉區(qū)域?

(2)?是雙曲拋物面xy?z及平面x?y?1?0? z?0所圍成的閉區(qū)域?

(3)其中?是由曲面z?x2?2y2及z?2?x2所圍成的閉區(qū)域?

2? 將三重積分I????f(x,y,z)dxdydz化為先進行二重積分再進行定積分的形式? 其?中?由曲面z?1?x2?y2? z?0所圍成的閉區(qū)域?

2? 利用柱面坐標計算三重積分

設M(x? y? z)為空間內(nèi)一點? 并設點M在xOy面上的投影P 的極坐標為P(?? ?)? 則這樣的三個數(shù)?、?、z就叫做點M的柱面坐標? 這里規(guī)定?、?、z的變化范圍為?

0??

坐標面???0? ? ?? 0? z?z0的意義?

點M 的直角坐標與柱面坐標的關(guān)系?

?x??cos??

x??cos?? y??sin?? z?z ? ?y??sin?

??z?z

柱面坐標系中的體積元素? dv??d?d?dz?

簡單來說? dxdy??d?d? ? dxdydz?dxdy?dz??d?d? dz?

高等數(shù)學課程建設組 高等數(shù)學教案

§9 重積分

柱面坐標系中的三重積分?

???f(x,y,z)dxdydz?????f(?cos?,?sin?,z)?d?d?dz???

例3 利用柱面坐標計算三重積分???zdxdydz? 其中?是由曲面z?x2?y2與平面z?4所圍成的閉區(qū)域?

解 閉區(qū)域?可表示為?

?2?z?4? 0???2? 0???2??

于是

????zdxdydz?????z?d?d?dz

24212?d??(16??4)d? ??020

??

?2?0d???d??0?zdz?21164?2?[8?2??6]2???

026

33? 利用球面坐標計算三重積分

設M(x? y? z)為空間內(nèi)一點? 則點M也可用這樣三個有次序的數(shù)r、?、? 來確定? 其中

?r為原點O與點M間的距離? ?為OM與z軸正向所夾的角? ?為從正z軸來看自x軸按逆時?針方向轉(zhuǎn)到有向線段OP的角? 這里P為點M在xOy面上的投影? 這樣的三個數(shù)r、?、? 叫做點M的球面坐標? 這里r、?、? 的變化范圍為

0?r

坐標面r?r0? ???0? ???0的意義?

點M的直角坐標與球面坐標的關(guān)系?

?x?rsin?cos??

x?rsin?cos?? y?rsin?sin?? z?rcos? ? ?y?rsin?sin?

??z?rcos?

球面坐標系中的體積元素?

dv?r2sin?drd?d? ?

球面坐標系中的三重積分?

f(x,y,z)dv????f(rsin?cos?,rsin?sin?,rcos?)r2sin?drd?d??

?????

例4 求半徑為a的球面與半頂角?為的內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積?

解 該立體所占區(qū)域?可表示為?

0?r?2acos?? 0????? 0???2??

高等數(shù)學課程建設組 高等數(shù)學教案

§9 重積分

于是所求立體的體積為

V????dxdyd?z???r2sin?drd?d?????2?0d??d??0?2aco?s0r2sin?dr

?2??sin?d??0?2aco?s0r2dr

16?a ?32?0?4?a34cos?sin?d??(1?cosa)?

332

222

2提示? 球面的方程為x?y?(z?a)?a? 即x?y?z?2az? 在球面坐標下此球面的方程為r?2arcos?? 即r?2acos??

§9? 4 重積分的應用

元素法的推廣?

有許多求總量的問題可以用定積分的元素法來處理? 這種元素法也可推廣到二重積分的應用中? 如果所要計算的某個量U對于閉區(qū)域D具有可加性(就是說? 當閉區(qū)域D分成許多小閉區(qū)域時? 所求量U相應地分成許多部分量? 且U等于部分量之和)? 并且在閉區(qū)域D內(nèi)任取一個直徑很小的閉區(qū)域d?時? 相應的部分量可近似地表示為f(x? y)d? 的形式? 其中(x? y)在d?內(nèi)? 則稱f(x? y)d? 為所求量U的元素? 記為dU? 以它為被積表達式? 在閉區(qū)域D上積分?

U???f(x,y)d??

D這就是所求量的積分表達式?

一、曲面的面積

設曲面S由方程 z?f(x? y)給出? D為曲面S在xOy面上的投影區(qū)域? 函數(shù)f(x? y)在D上具有連續(xù)偏導數(shù)fx(x? y)和fy(x? y)? 現(xiàn)求曲面的面積A ?

在區(qū)域D內(nèi)任取一點P(x? y)? 并在區(qū)域D內(nèi)取一包含點P(x? y)的小閉區(qū)域d?? 其面積也記為d?? 在曲面S上點M(x? y? f(x? y))處做曲面S的切平面T? 再做以小區(qū)域d?的邊界曲線為準線、母線平行于z軸的柱面? 將含于柱面內(nèi)的小塊切平面的面積作為含于柱面內(nèi)的小塊曲面面積的近似值? 記為dA? 又設切平面T的法向量與z軸所成的角為? ? 則

dA?d??1?fx2(x,y)?fy2(x,y)d??

cos?這就是曲面S的面積元素?

高等數(shù)學課程建設組 高等數(shù)學教案

§9 重積分

于是曲面S 的面積為

A???1?fx2(x,y)?fy2(x,y)d??

D或

A???1?(?z)2?(?z)2dxdy?

?x?yD

設dA為曲面S上點M處的面積元素? dA在xOy面上的投影為小閉區(qū)域d?? M在xOy面上的投影為點P(x? y)? 因為曲面上點M處的法向量為n?(?fx? ?fy? 1)? 所以

dA?|n|d??1?fx2(x,y)?fy2(x,y)d??

提示? dA與xOy面的夾角為(n?^ k)? dAcos(n?^ k)?d??

n?k?|n|cos(n?^ k)?1? cos(n?^ k)?|n|?

討論? 若曲面方程為x?g(y? z)或y?h(z? x)? 則曲面的面積如何求？

A??1??Dyz1?(?x2?x)?()2dydz?

?y?z?y?x或

A???Dzx1?(?y?z)2?()2dzdx?

其中Dyz是曲面在yOz面上的投影區(qū)域?

Dzx是曲面在zOx面上的投影區(qū)域?

例1 求半徑為R的球的表面積?

解 上半球面方程為z?R2?x2?y2? x?y?R?

因為z對x和對y的偏導數(shù)在D? x?y?R上無界? 所以上半球面面積不能直接求出? 因此先求在區(qū)域D1? x2?y2?a2(a?R)上的部分球面面積? 然后取極限?

222

2x2?y2?a2??RR?x?y222dxdy?R?02?d??ardrR?r220

?2?R(R?R2?a2)?

于是上半球面面積為lim2?R(R?R2?a2)?2?R2?

a?R整個球面面積為

A?2A1?4?R?

提示?

高等數(shù)學課程建設組 高等數(shù)學教案

§9 重積分

?z??x?xR?x?y222? ?z??y?yR?x?y222?

1?(?z2?z)?()2??x?yRR?x?y222?

解 球面的面積A為上半球面面積的兩倍?

上半球面的方程為z?R2?x2?y2? 而

?z??x?xR?x?y222?

?z??y?yR?x?y222?

所以

A?2x2?y2?R2??1?(?z2?z2)?()?x?yR2?R

?2x2?y2?R2??R?x?y2R0222dxdy?2R?0d???d?R??220

??4?RR?? ?4?R2?

例2設有一顆地球同步軌道通訊衛(wèi)星? 距地面的高度為h?36000km? 運行的角速度與地球自轉(zhuǎn)的角速度相同? 試計算該通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積的比值(地球半徑R?6400km)?

解 取地心為坐標原點? 地心到通訊衛(wèi)星中心的連線為z軸? 建立坐標系?

通訊衛(wèi)星覆蓋的曲面?是上半球面被半頂角為?的圓錐面所截得的部分? ?的方程為

z?R2?x2?y2? x2?y2?R2sin2??

于是通訊衛(wèi)星的覆蓋面積為

A?2??Dxy1?(?z2?z2)?()dxdy??x?y??DxyRR?x?y222dxdy?

其中Dxy?{(x? y)| x2?y2?R2sin2?}是曲面?在xOy面上的投影區(qū)域?

利用極坐標? 得

A??由于cos??2?0d??Rsi?nRR2??20?d??2?R?Rsi?n?R2??20d??2?R2(1?cos?)?

R? 代入上式得 R?h

A?2?R2(1?Rh?)?2?R2R?hR?h高等數(shù)學課程建設組 高等數(shù)學教案

§9 重積分

由此得這顆通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積之比為 Ah36?106

???42.5%?

4?R22(R?h)2(36?6.4)?106

由以上結(jié)果可知? 衛(wèi)星覆蓋了全球三分之一以上的面積? 故使用三顆相隔2?角度的3通訊衛(wèi)星就可以覆蓋幾乎地球全部表面?

二、質(zhì)心

設有一平面薄片? 占有xOy 面上的閉區(qū)域D? 在點P(x? y)處的面密度為?(x? y)? 假定?(x? y)在D上連續(xù)? 現(xiàn)在要求該薄片的質(zhì)心坐標?

在閉區(qū)域D上任取一點P(x? y)? 及包含點P(x? y)的一直徑很小的閉區(qū)域d?(其面積也記為d?)? 則平面薄片對x軸和對y軸的力矩(僅考慮大小)元素分別為

dMx?y?(x? y)d?? dMy?x?(x? y)d??

平面薄片對x軸和對y軸的力矩分別為

Mx???y?(x,y)d?? My???x?(x,y)d??

DD

設平面薄片的質(zhì)心坐標為(x, y)?平面薄片的質(zhì)量為M? 則有

x?M?My? y?M?Mx ?

于是

MM

x?y??x?(x,y)d??D???(x,y)d?D? y?MxM??y?(x,y)d??D???(x,y)d?D?

在閉區(qū)域D上任取包含點P(x? y)小的閉區(qū)域d?(其面積也記為d?)? 則

平面薄片對x軸和對y軸的力矩元素分別為

dMx?y?(x? y)d?? dMy?x?(x? y)d??

平面薄片對x軸和對y軸的力矩分別為

Mx???y?(x,y)d?? My???x?(x,y)d??

DD

設平面薄片的質(zhì)心坐標為(x, y)?平面薄片的質(zhì)量為M? 則有

x?M?My? y?M?Mx ?

高等數(shù)學課程建設組 高等數(shù)學教案

§9 重積分

于是

MM

x?y??x?(x,y)d??D???(x,y)d?D? y?MxM??y?(x,y)d??D???(x,y)d?D?

提示? 將P(x? y)點處的面積元素d?看成是包含點P的直徑得小的閉區(qū)域? D上任取一點P(x? y)? 及包含的一直徑很小的閉區(qū)域d?(其面積也記為d?)? 則平面薄片對x軸和對y軸的力矩(僅考慮大小)元素分別為

討論? 如果平面薄片是均勻的? 即面密度是常數(shù)? 則平面薄片的質(zhì)心(稱為形心)如何求？

求平面圖形的形心公式為

??xd?

x?D??yd?? y?D??d?D??d?D?

例3 求位于兩圓??2sin? 和??4sin? 之間的均勻薄片的質(zhì)心?

解 因為閉區(qū)域D對稱于y軸? 所以質(zhì)心C(x, y)必位于y軸上? 于是x?0?

因為

??yd??D??D?d???2sin?d?d???sin02?4si?n2si?n?2d??7??

??d????2D???12?3??

??yd?所以y?D??d?D?7?77?? 所求形心是C(0,)?

33?

3類似地? 占有空間閉區(qū)域?、在點(x? y? z)處的密度為?(x? y? z)(假寬?(x? y? z)在?上連續(xù))的物體的質(zhì)心坐標是

x?1M???x?(x,y,z)dv? y??1M????y?(x,y,z)dv? z?1M???z?(x,y,z)dv?

?

其中M?????(x,y,z)dv?

?

例4 求均勻半球體的質(zhì)心?

高等數(shù)學課程建設組 高等數(shù)學教案

§9 重積分

解 取半球體的對稱軸為z軸? 原點取在球心上? 又設球半徑為a? 則半球體所占空間閉區(qū)可表示為

??{(x? y? z)| x2?y2?z2?a2? z?0}

顯然? 質(zhì)心在z軸上? 故x?y?0?

???z?dv???zdv

z??????dv??????dv??3a?

8故質(zhì)心為(0, 0, 3a)?

8提示? ?? 0?r?a? 0????? 0???2??

2?2?

????dv??2d??00d??r2sin?dr??2sin?d??00a?2?0d??r2dr?0a2?a3?

3????zdv??02d??0?2?d??a02?a1a41223?

rcos??rsin?dr??sin2?d??d??rdr??2??002420?

三、轉(zhuǎn)動慣量

設有一平面薄片? 占有xOy面上的閉區(qū)域D? 在點P(x? y)處的面密度為?(x? y)? 假定?(x? y)在D上連續(xù)? 現(xiàn)在要求該薄片對于x軸的轉(zhuǎn)動慣量和y軸的轉(zhuǎn)動慣量?

在閉區(qū)域D上任取一點P(x? y)? 及包含點P(x? y)的一直徑很小的閉區(qū)域d?(其面積也記為d?)? 則平面薄片對于x軸的轉(zhuǎn)動慣量和y軸的轉(zhuǎn)動慣量的元素分別為

dIx?y2?(x? y)d? ? dI y?x2?(x? y)d? ?

整片平面薄片對于x軸的轉(zhuǎn)動慣量和y軸的轉(zhuǎn)動慣量分別為

Ix???y2?(x,y)d?? Iy???x2?(x,y)d??

DD

例5 求半徑為a 的均勻半圓薄片(面密度為常量?)對于其直徑邊的轉(zhuǎn)動慣量?

解 取坐標系如圖? 則薄片所占閉區(qū)域D可表示為

D?{(x? y)| x?y?a? y?0} 而所求轉(zhuǎn)動慣量即半圓薄片對于x軸的轉(zhuǎn)動慣量Ix ? 22

2高等數(shù)學課程建設組 高等數(shù)學教案

§9 重積分

Ix????y2d??????2sin2???d?d?

DD

???sin2? d???3d????00?aa44?0sin? d?

?2

?1?a4???1Ma2?

424其中M?1?a2?為半圓薄片的質(zhì)量?

2類似地? 占有空間有界閉區(qū)域?、在點(x? y? z)處的密度為?(x? y? z)的物體對于x、y、z軸的轉(zhuǎn)動慣量為

Ix????(y2?z2)?(x,y,z)dv?

?

Iy????(z2?x2)?(x,y,z)dv?

?

Iz????(x2?y2)?(x,y,z)dv?

?

例6 求密度為?的均勻球體對于過球心的一條軸l的轉(zhuǎn)動慣量?

解 取球心為坐標原點? z軸與軸l重合? 又設球的半徑為a? 則球體所占空間閉區(qū)域

??{(x? y? z)| x2?y2?z2?a2}?

所求轉(zhuǎn)動慣量即球體對于z軸的轉(zhuǎn)動慣量Iz ?

Iz????(x2?y2)? dv

?

2?????(r2sin2? cos??r2sin2? sin2?)r2sin?drd?d?

?

?????r4sin3?drd?d?????2?0d??sin3? d??r4dr?00?a82?a5??a2M?

155其中M??a3?為球體的質(zhì)量?

提示?

x2?y2?r2sin2?cos2??r2sin2? sin2??r2sin2??

四、引力

我們討論空間一物體對于物體外一點P0(x0? y0? z0)處的單位質(zhì)量的質(zhì)點的引力問題?

設物體占有空間有界閉區(qū)域?? 它在點(x? y? z)處的密度為?(x? y? z)? 并假定?(x? y? z)在?上連續(xù)?

高等數(shù)學課程建設組 43高等數(shù)學教案

§9 重積分

在物體內(nèi)任取一點(x? y? z)及包含該點的一直徑很小的閉區(qū)域dv(其體積也記為dv)? 把這一小塊物體的質(zhì)量?dv近似地看作集中在點(x? y? z)處? 這一小塊物體對位于P0(x0? y0? z0)處的單位質(zhì)量的質(zhì)點的引力近似地為

dF?(dFx,dFy,dFz)

?(G其中r??(x,y,z)(x?x0)r3dv,G?(x,y,z)(y?y0)r3dv,G?(x,y,z)(z?z0)r3dv)?

dFx、dFy、dFz為引力元素

dF在三個坐標軸上的分量?

dFy、dFz在?上分別積分? 即可(x?x0)2?(y?y0)2?(z?z0)2? G為引力常數(shù)? 將dFx、得Fx、Fy、Fz? 從而得F?(Fx、Fy、Fz)?

例7設半徑為R的勻質(zhì)球占有空間閉區(qū)域??{(x? y? z)|x2?y2?z2?R2)? 求它對于位于點M0(0? 0? a)(a>R)處的單位質(zhì)量的質(zhì)點的引力?

解 設球的密度為?0? 由球體的對稱性及質(zhì)量分布的均勻性知Fx=Fy=0, 所求引力沿z軸的分量為

Fz????G?0?z?adv

2223/2[x?y?(z?a)]

?G?0?R?R(z?a)dzx2?y2?R2?z??dxdy[x2?y2?(z?a)2]3/22

?G?0?(z?a)dz??RR2?0d??R2?z2?d?[?2?(z?a)2]3/20

?2?G?0?(z?a)(?RR1?a?zR1R?2az?a22)dz

?2?G?0[?2R?1a??R(z?a)dR2?2az?a2]

2R3

?2G??0(?2R?2R?2)

3a4?R31M?0?2??G2?

??G?3aa4?R3?0為球的質(zhì)量?

其中M?3高等數(shù)學課程建設組 高等數(shù)學教案

§9 重積分

上述結(jié)果表明? 勻質(zhì)球?qū)η蛲庖毁|(zhì)點的引力如同球的質(zhì)量集中于球心時兩質(zhì)點間的引力?

高等數(shù)學課程建設組 高等數(shù)學教案

§9 重積分

高等數(shù)學課程建設組 高等數(shù)學教案

§9 重積分

高等數(shù)學課程建設組

第二篇：高等數(shù)學第九章重積分教案

第九章 重積分

第一節(jié) 二重積分的概念與性質(zhì)

9.1.1 二重積分的概念

為引出二重積分的概念，我們先來討論兩個實際問題。

設有一平面薄片占有xOy>面上的閉區(qū)域D>，它在點（x>，y>）處的面密度為ρ（x>，y>），這里ρ（x>，y>）> 0>且在D>上連續(xù)?，F(xiàn)在要計算該薄片的質(zhì)量M>。

>由于面密度ρ（x>，y>）是變量，薄片的質(zhì)量不能直接用密度公式（M =>ρS>）來計算。但ρ（x>，y>）是連續(xù)的，利用積分的思想，把薄片分成許多小塊后，只要小塊所占的小閉區(qū)域D s i>的直徑很小，這些小塊就可以近似地看作均勻薄片。在D s i>（這小閉區(qū)域的面積也記作D s i

>）上任取一點（x i>，h i>），則ρ（x i>，h i>）D s i>（i = 1>，2>，?，n）可看作第i>個小塊的質(zhì)量的近似值。通過求和，再令n個小區(qū)域的直徑中的最大值（記作λ）趨于零，取和的極限，便自然地得出薄片的質(zhì)量M>，即 >。

>再設有一立體，它的底是xOy>面上的閉區(qū)域D>，它的側(cè)面是以D>的邊界曲線為準線而母線平行于z>軸的柱面，它的頂是曲面z = f>（x>，y>），這里f>（x>，y>）≥ 0>且在D>上連續(xù)。這種立體叫做曲頂柱體?，F(xiàn)在要計算上述曲頂柱體的體積V>。

>由于曲頂柱體的高f>（x>，y>）是變量，它的體積不能直接用體積公式來計算。但仍可采用上面的思想方法，用一組曲線網(wǎng)把D>分成n個小閉區(qū)域D s 1，D s 2>，?，D s n>，在每個D s i>上任取一點（x i>，h i>），則f>（x i>，h i>）D s i>（i = 1>，2>，?，n）可看作以f>（x i>，h i>）為高而底為D s i>的平頂柱體的體積>。通過求和，取極限，便得出 >。

上面兩個問題所要求的，都歸結(jié)為同一形式的和的極限。在其他學科中，由許多物理量和幾何量也可歸結(jié)為這一形式的和的極限。因此我們要一般地研究這種和的極限，并抽象出下述二重積分的定義。> 定義 >設f>（x>，y>）是有界閉區(qū)域D>上的有界函數(shù)。將閉區(qū)域D>任意分成n>個小閉區(qū)域

>D s 1，D s 2>，?，D s n>，>其中D s 也表示它的面積。在每個D s（x h，i>表示第i>個小閉區(qū)域，i>上任取一點i>，i>）作乘積 f>（x i>，h i>）D s i>（i = 1, 2, >?, n,>），并作和。如果當各小閉區(qū)域的直徑中的最大值l 趨于零時，這和的極限總存在，則稱此極限為函數(shù)f>（x>，y>）在閉區(qū)域D>上的二重積分，記作，即

>。（*>）

>其中f>（x>，y>）叫做被積函數(shù)，f>（x>，y>）ds >叫做被積表達式，ds >叫做面積元素，x>與y>叫做積分變量，D>叫做積分區(qū)域，叫做積分和。

>在二重積分的定義中對閉區(qū)域D>的劃分是任意的，如果在直角坐標系中用平行于坐標軸的直線網(wǎng)來劃分D>，那末除了包含邊界點的一些小閉區(qū)域外，其余的小閉區(qū)域都是矩形閉區(qū)域。設矩形閉區(qū)域D s i>的邊長為D xj>和D yk>，則D s = D xj>·D yk>。因此在直角坐標系中，有時也把面積元素ds >記作dxdy>，而把二重積分記作 >

>其中dxdy>叫做直角坐標系中的面積元素。

>這里我們要指出，當f>（x>，y>）在閉區(qū)域D>上連續(xù)時，（*>）式右端的和的極限必定存在，也就是說，函數(shù)f>（x>，y>）在D>上的二重積分必定存在。> 9.1.2 二重積分的性質(zhì)

二重積分與定積分有類似的性質(zhì)：

>性質(zhì)1 >被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到二重積分號的外面，即 > >（k>為常數(shù)）。

>性質(zhì)2 >函數(shù)的和（或差）的二重積分等于各個函數(shù)的二重積分的和（或差）。例如 >。

>性質(zhì)3 >如果閉區(qū)域D>被有限條曲線分為有限個部分閉區(qū)域，則在D>上的二重積分等于在各部分閉區(qū)域上的二重積分的和。例如D>分為兩個閉區(qū)域D1>與 D2>，則 >。

此性質(zhì)表示二重積分對于積分區(qū)域具有可加性。

>性質(zhì)4 >如果在D>上，f>（x>，y>）= 1>，s 為D>的面積，則 >。

>此性質(zhì)的幾何意義很明顯，因為高為1>的平頂柱體的體積在數(shù)值上就等于柱體的底面積。>性質(zhì)5 >如果在D>上，f>（x>，y>）≤ j >（x>，y>），則有不等式 >。

特殊地，由于

>-| f>（x>，y>）| >≤ f>（x>，y>）≤ | f>（x>，y>）|>，> 又有不等式。

>性質(zhì)6 >設M>，m>分別是f>（x>，y>）在閉區(qū)域D>上的最大值和最小值，s 是D>的面積，則有 >。

上述不等式是對二重積分估值的不等式。

>性質(zhì)7>（二重積分的中值定理）>設函數(shù)f>（x>，y>）在閉區(qū)域D>上連續(xù)，s 是D>的面積，則在D>上至少存在一點（x，h）使得下式成立： >。

第二節(jié) 二重積分的計算法（直角坐標，極坐標）

按照二重積分的定義來計算二重積分，對少數(shù)特別簡單的被積函數(shù)和積分區(qū)域來說是可行的，但對一般的函數(shù)和積分區(qū)域來說，這不是一種切實可行的方法。這里介紹一種方法，把二重積分化為兩次單積分（即兩次定積分）來計算。9.2.1 利用直角坐標計算二重積分

下面用幾何的觀點來討論二重積分的計算問題。

在討論中我們假定f（x，y）≥ 0。并設積分區(qū)域D可以用不等式 j 1（x）≤ y ≤ j 2（x），a≤x≤b

來表示，其中函數(shù)j 1（x）、j 2（x）在區(qū)間 [a，b] 上連續(xù)。

我們應用“平行截面面積為已知的立體的體積”的方法，來計算這個曲頂柱體的體積。為計算截面面積，在區(qū)間 [a，b] 上任意取定一點x0，作平行于yOz面的平面x=x0。這平面截曲頂柱體所得截面是一個以區(qū)間 [j 1（x0），j 2（x0）] 為底、曲線z = f（x0，y）為曲邊的曲邊梯形，所以這截面的面積為。

一般的，過區(qū)間 [a，b] 上任一點x且平行于yOz面的平面截曲頂柱體所得截面的面積為，于是，得曲頂柱體的體積為。

這個體積也就是所求二重積分的值，從而有等式

。（1）

上式右端的積分叫做先對y、后對x的二次積分。就是說，先把x看作常數(shù)，把f（x，y）只看作y的函數(shù)，并對y計算從j 1（x）到j 2（x）的定積分；然后把算得的結(jié)果（是x的函數(shù)）再對x計算在區(qū)間 [a，b] 上的定積分。這個先對y、后對x的二次積分也常記作。

因此，等式（1）也寫成，（1’）

在上述討論中，我們假定f（x，y）≥ 0，但實際上公式（1）的成立并不受此條件限制。類似地，如果積分區(qū)域D可以用不等式 ψ1（y）≤ x ≤ ψ2（y），c≤y≤d

來表示，其中函數(shù)ψ1（y）、ψ2（y）在區(qū)間 [c，d] 上連續(xù)，那末就有。

上式右端的積分叫做先對x、后對y的二次積分，這個積分也常記作。

因此，等式（2）也寫成，（2’）

這就是把二重積分化為先對x、后對y的二次積分的公式。

我們稱圖9-2-1所示的積分區(qū)域為X-型區(qū)域，圖9-2-3所示的積分區(qū)域為Y-型區(qū)域。對不同的區(qū)域，可以應用不同的公式。如果積分區(qū)域D既不是X-型的，也不是Y-型的，我們可以把D分成幾個部分，使每個部分是X-型區(qū)域或是Y-型區(qū)域。如果積分區(qū)域D既是X-型的，又是Y-型的，則由公式（1’）及（2’）就得。

上式表明，這兩個不同次序的二次積分相等，因為它們都等于同一個二重積分。

二重積分化為二次積分時，確定積分限是一個關(guān)鍵。而積分限是根據(jù)積分區(qū)域D的類型來確定的。

例1 計算，其中D是由直線y =

1、x = 2及y = x所圍成的閉區(qū)域。

解法1 首先畫出積分區(qū)域D。D是X-型的，D上的點的橫坐標的變動范圍是區(qū)間[1，2]。在區(qū)間[1，2]上任意取定一個x值，則D上以這個x值為橫坐標的點在一段直線上，這段直線平行于y軸，該線段上點的縱坐標從y = 1變到y(tǒng) = x。利用公式（1）得。

解法2 把積分區(qū)域D看成是Y-型的。同學們可作為練習，驗證解出的答案是否與解法1的相一致。

對于較復雜的積分區(qū)域，在化二重積分為二次積分時，為了計算簡便，需要選擇恰當?shù)亩畏e分的次序。這時，既要考慮積分區(qū)域D的形狀，又要考慮被積函數(shù)f（x，y）的特性。例2 求量各底圓半徑都等于R的直交圓柱面所圍成的立體的體積。解 設這兩個圓柱面的方程分別為 x + y = R及x + z = R

利用立體關(guān)于坐標平面的對稱性，只要算出它在第一卦限部分的體積V1，然后再乘以9就行了。

所求立體在第一卦限部分可以看成是一個曲頂柱體，它的底為 2222

22，如圖9-2-5（b）所示。它的頂是柱面。于是。

利用公式（1）得

從而所求立體體積為。

9.2.2 利用極坐標計算二重積分

有些二重積分，積分區(qū)域D的邊界曲線用極坐標方程來表示比較方便，且被積函數(shù)用極坐標變量r，θ比較簡單。這時，我們就可以考慮利用極坐標來計算二重積分按二重積分的定義有

。，下面將推導出這個和的極限在極坐標系中的形式。

假定從極點O出發(fā)且穿過閉區(qū)域D內(nèi)部的射線與D的邊界曲線相交不多于兩點。我們用以極點為中心的一族同心圓：r=常數(shù)，以及從極點出發(fā)的一族射線：θ=常數(shù)，把D分成n個小閉區(qū)域。除了包含邊界點的一些小閉區(qū)域外，小閉區(qū)域的面積D s i可計算如下：

其中表示相鄰兩圓弧的半徑的平均值。在這小閉區(qū)域內(nèi)取圓周點的直角坐標設為x i，h i，則由直角坐標與極坐標之間的關(guān)系有

。于是

上的一點，該，即。

由于在直角坐標系中也常記作，所以上式又可寫成

。（4）

這就是二重積分的變量從直角坐標變換為極坐標的變換公式，其中rdrdθ就是極坐標系中的面積元素。公式（4）表明，要把二重積分中的變量從直角坐標變換為極坐標，只要把被積函數(shù)中的x、y分別換成rcosθ、rsinθ，并把直角坐標系中的面積元素dxdy換成極坐標系中的面積元素rdrdθ。

極坐標系中的二重積分，同樣可以化為二次積分來計算。，二重積分化為二次積分的公式為

。（5）

上式也寫成

。（5'）

特別地，如果積分區(qū)域D是所示的曲邊扇形，那末相當于圖9-2-7（a）中φ1（θ）≡0，φ2（θ）=φ（θ）。這時閉區(qū)域D可以用不等式 0≤r≤φ（θ），α≤θ≤β 來表示，而公式（5'）成為。

如果積分區(qū)域D如圖）所示，極點在D的內(nèi)部，那末相當于圖9-2-9中α= 0、β= 2π。這時閉區(qū)域D可以用不等式 0≤r≤φ（θ），0≤θ≤2π 來表示，而公式（5'）成為。

由二重積分的性質(zhì)4，閉區(qū)域D的面積s 可以表示為。

在極坐標系中，面積元素ds = rdrdθ，上式成為。

如果閉區(qū)域D如圖9-2-7（a）所示，這由公式（5'）有。

特別地，如果閉區(qū)域D如圖9-2-9所示，則φ1（θ）≡0，φ2（θ）=φ（θ）。于是。

例3 計算，其中D是由中心在原點、半徑為a的圓周所圍成的閉區(qū)域。

解 在極坐標系中，閉區(qū)域D可表示為 0≤r≤a，0≤θ≤2π。由公式（4）及（5）有

例4 求球體x+y+z≤4a圓柱面x+y=2ax（a>0）所截得的（含在圓柱面內(nèi)的部分）立體的體積。解 由對稱性，22

222

2，其中D為半圓周式

及x軸所圍成的閉區(qū)域。在極坐標系中，閉區(qū)域D可用不等0≤r≤2acos（θ），0≤θ≤π/2 來表示。于是。

第三節(jié) 二重積分的應用實例

在二重積分的應用中，由許多求總量的問題可以用定積分的元素法來處理。如果所要計算的某個量對于閉區(qū)域D具有可加性（就是說，當閉區(qū)域D分成許多小閉區(qū)域時，所求量U相應地分成許多部分量，且U等于部分量之和），并且在閉區(qū)域D內(nèi)任取一個直徑很小的閉區(qū)域dσ時，相應的部分量可近似地表示為f（x，y）dσ的形式，其中（x，y）在dσ內(nèi)。這個f（x，y）dσ稱為所求量U的元素而記作dU，以它為被積表達式，在閉區(qū)域D上積分：，這就是所求量的積分表達式。9.3.1 曲面的面積 設曲面S由方程 z = f（x，y）

給出，D為曲面S在xOy面上的投影區(qū)域，函數(shù)f（x，y）在D上具有連續(xù)偏導數(shù)fx（x，y）和fy（x，y）。我們要計算曲面S的面積A。

在閉區(qū)域D上任取一直徑很小的閉區(qū)域dσ（這小閉區(qū)域的面積也記作dσ）。在dσ上取一點P（x，y），對應地曲面S上有一點M（x，y，f（x，y）），點M在xOy面上的投影即點P。點M處曲面S的切平面設為T。以小閉區(qū)域dσ的邊界為準線作母線平行于z軸的柱面，這柱面在曲面S上截下一小片曲面，在切平面T上截下一小片平面。由于dσ的直徑很小，切平面T上的那一小片平面的面積dA可以近似代替相應的那一小片面積的面積。設點M處曲面S上的法線（指向朝上）于z軸所成的角為γ，則

。因為，所以。

這就是曲面S的面積元素，以它為被積表達式在閉區(qū)域D上積分，得。

上式也可寫為這就是計算曲面面積的公式。

設曲面的方程為x=g（x，y）或y=h（z，x），可分別把曲面投影到xOy面上（投影區(qū)域記作Dyz）或zOx面上（投影區(qū)域記作Dzx），類似地可得，或例1 求半徑為a的球的表面積。

解：取上半球面的方程為x+y≤a。222，則它在xOy面上的投影區(qū)域D可表示為由，得。因為這函數(shù)在閉區(qū)域D上無界，我們不能直接應用曲面面積公式。所以先取區(qū)域D1：x+y≤b（0

222，利用極坐標，得

于是。

這就是半個球面的面積，因此整個球面的面積為

A = 4πa2。

9.3.2平面薄片的重心

設有一平面薄片，占有xOy面上的閉區(qū)域D，在點（x，y）處的面密度ρ（x，y），假定ρ（x，y）在D上連續(xù)?，F(xiàn)在要找該薄片的重心的坐標。

在閉區(qū)域D上任取一直徑很小的閉區(qū)域dσ（這小閉區(qū)域的面積也記作dσ），（x，y）是這小閉區(qū)域上的一個點。由于dσ的直徑很小，且ρ（x，y）在D上連續(xù)，所以薄片中相應于dσ的部分的質(zhì)量近似等于ρ（x，y）dσ，這部分質(zhì)量可近似看作集中在點（x，y）上，于是可寫出靜矩元素dMy及dMx：

dMy = xρ（x，y）dσ，dMx =yρ（x，y）dσ。以這些元素為被積表達式，在閉區(qū)域D上積分，便得。

又由第一節(jié)知道，薄片的質(zhì)量為。

所以，薄片的重心的坐標為。

如果薄片是均勻的，即面密度為常量，則上式中可把ρ提到積分記號外面并從分子、分母中約去，這樣便得均勻薄片重心的坐標為

（1）

其中為閉區(qū)域D的面積。這時薄片的重心完全由閉區(qū)域D的形狀所決定。我們把均勻平面薄片的重心叫做這平面薄片所占的平面圖形的形心。因此，平面圖形D的形心，就可用公式（1）計算。

例2 求位于兩圓r = 2sinθ和r = 4sinθ之間的均勻薄片的重心

解 因為閉區(qū)域D對稱于y軸，所以重心再按公式

必位于y軸上，于是。

計算。由于閉區(qū)域D位于半徑為1與半徑為2的兩圓之間，所以它的面積等于這兩個圓的面積之差，即A = 3π。再利用極坐標計算積分：。

因此，所求重心是C（0，7/3）。

三、平面薄片的轉(zhuǎn)動慣量

設有一薄片，占有xOy面上的閉區(qū)域D，在點（x，y）處的面密度ρ（x，y），假定ρ（x，y）在D上連續(xù)?，F(xiàn)在要求該薄片對于x軸的轉(zhuǎn)動慣量Ix以及對于y軸的轉(zhuǎn)動慣量Iy。應用元素法，在閉區(qū)域D上任取一直徑很小的閉區(qū)域dσ（這小閉區(qū)域的面積也記作dσ），（x，y）是這小閉區(qū)域上的一個點。由于dσ的直徑很小，且ρ（x，y）在D上連續(xù)，所以薄片中相應于dσ的部分的質(zhì)量近似等于ρ（x，y）dσ，這部分質(zhì)量可近似看作集中在點（x，y）上，于是可寫出薄片對于x軸以及對于y軸的轉(zhuǎn)動慣量元素： dIx = yρ（x，y）dσ,dIy = xρ（x，y）dσ。以這些元素為被積表達式，在閉區(qū)域D上積分，便得

22。

例3 求半徑為a的均勻半圓薄片（面密度為常量ρ）對于其直徑邊的轉(zhuǎn)動慣量。解：取坐標系如圖所示，則薄片所占閉區(qū)域D可表示為 x+y≤a，y≥0；

而所求轉(zhuǎn)動慣量即半圓薄片對于x軸的轉(zhuǎn)動慣量Ix。222

其中 為半圓薄片的質(zhì)量。

第四節(jié) 利用柱面坐標和球面坐標計算三重積分

與二重積分的計算類似，三重積分有時也要利用柱面坐標或球面坐標來進行計算。9.4.1 利用柱面坐標計算三重積分

設M（x，y，z）為空間內(nèi)一點，并設點M在xOy面上的投影P的極坐標為r，θ，則這樣的三個數(shù)r，θ，z就叫做點M的柱面坐標，這里規(guī)定r、θ、z的變化范圍為： 0 ≤ r < +∞, 0 ≤θ≤ 2π,-∞ < z < +∞。三組坐標面分別為

r = 常數(shù)，即以z軸為軸的圓柱面； θ=常數(shù)，即過z軸的半平面； z = 常數(shù)，即與xOy面平行的平面。顯然，點M的直角坐標與柱面坐標的關(guān)系為

（1）

現(xiàn)在要把三重積分中的變量變換為柱面坐標。為此，用三組坐標面r = 常數(shù)，θ=常數(shù)，z = 常數(shù)把Ω分成許多小閉區(qū)域，除了含Ω的邊界的一些不規(guī)則小閉區(qū)域外，這種小閉區(qū)域都是柱體?？紤]由r，θ，z各取得微小增量dr，dθ，dz所成的柱體的體積。柱體的高為dz、底面積在不計高階無窮小時為r dr dθ（即極坐標系中的面積元素），于是得

dv = r dr dθdz，這就是柱面坐標中的體積元素。再注意到關(guān)系式（1），就有

（2）

其中F（r，θ，z）= f（r cosθ，r sinθ，z）。（2）式就是把三重積分的變量從直角坐標變換為柱面坐標的公式。至于變量變換為柱面坐標后的三重積分的計算，則可化為三次積分來進行?；癁槿畏e分時，積分限是根據(jù)r，θ，z在積分區(qū)域Ω中的變化范圍來確定的，下面通過例子來說明。例1 利用柱面坐標計算三重積分圍成的閉區(qū)域。，其中Ω是由曲面z = x+y與平面z = 4所

22解 把閉區(qū)域Ω投影到xOy面上，得半徑為2的圓形閉區(qū)域D：0≤r≤2，0≤θ≤2π。在D22內(nèi)任取一點（r，θ），過此點作平行于z軸的直線，此直線通過曲面z = x+y穿入Ω內(nèi)，然后通過平面z = 4穿出Ω外。因此閉區(qū)域Ω可用不等式 r2≤z≤4，0≤r≤2，0≤θ≤2π 來表示。于是

9.4.2 利用球面坐標計算三重積分

設M（x，y，z）為空間內(nèi)一點，則點M也可用這樣三個有次序的數(shù)r，φ，θ來確定，其中r為原點O與點M間的距離，φ為有向線段看自x軸按逆時針方向轉(zhuǎn)到有向線段

與z軸正向所夾的角，θ為從正z軸來的角，這里P為點M在xOy面上的投影。這樣的三個數(shù)r，φ，θ叫做點M的球面坐標，這里r，φ，θ的變化范圍為 0 ≤ r < +∞, 0 ≤φ≤ π, 0 ≤θ≤ 2π.r = 常數(shù)，即以原點為心的球面；

φ= 常數(shù)，即以原點為頂點、z軸為軸的圓錐面； θ = 常數(shù)，即過z軸的半平面。點M的直角坐標與球面坐標的關(guān)系為

（3）

為了把三重積分中的變量從直角坐標變換為球面坐標，用三組坐標面r = 常數(shù)，φ=常數(shù)，θ= 常數(shù)把積分區(qū)域Ω分成許多小閉區(qū)域?？紤]由r，φ，θ各取得微小增量dr，dφ，dθ所成的六面體的體積。不計高階無窮小，可把這個六面體看作長方體，其經(jīng)線方向的長為rdφ，緯線方向的寬為r sinφdθ，向徑方向的高為dr，于是得 dv = r sinφdrdφdθ，這就是球面坐標系中的體積元素。再注意到關(guān)系式（3），就有 2,（4）

其中F（r，φ，θ）= f（r sinφcosθ，r sinφsinθ，r cosφ）。（4）式就是把三重積分的變量從直角坐標變換為球面坐標的公式。

要計算變量變換為球面坐標后的三重積分，可把它化為對r對φ及對θ的三次積分。若積分區(qū)域Ω的邊界曲面是一個包圍原點在內(nèi)的閉曲面，其球面坐標方程為r = r（φ，θ），則。

當積分區(qū)域Ω為球面r = a所圍成時，則。

特別地，當F（r，φ，θ）= 1時，由上式即得球的體積，這是我們所熟知的。

例2 求半徑為a的球面與半頂角為α的內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積。解 設球面通過原點O，球心在z軸上，又內(nèi)接錐面的頂點在原點O，其軸與z軸重合，則球面方程為r = 2acosφ，錐面方程為φ=α。因為立體所占有的空間閉區(qū)域Ω可用不等式 0≤r≤2acosφ, 0≤φ≤α, 0≤θ≤2π 來表示，所以

在三重積分的應用中也可采用元素法。

設物體占有空間閉區(qū)域Ω，在點（x，y，z）處的密度為ρ（x，y，z），假定這函數(shù)在Ω上連續(xù)，求該物體的重心的坐標和轉(zhuǎn)動慣量。與第三節(jié)中關(guān)于平面薄片的這類問題一樣，應用元素法可寫出

等，其中為物體的質(zhì)量。

例3 求均勻半球體的重心。

解 取半球體的對稱軸為z軸，原點取在球心上，又設球半徑為a，則半球體所占空間閉區(qū)域Ω可用不等式 x+y+z≤a，z≥0 來表示。2222顯然，重心在z軸上，故。，其中為半球體的體積。

因此，重心為。

第三篇：《高等數(shù)學.同濟五版》講稿WORD版-第08章 多元函數(shù)微分學及其應用

高等數(shù)學教案

§8

多元函數(shù)微分法及其應用

第八章 多元函數(shù)微分法及其應用

教學目的：

1、理解多元函數(shù)的概念和二元函數(shù)的幾何意義。

2、了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念，以及有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

3、理解多元函數(shù)偏導數(shù)和全微分的概念，會求全微分，了解全微分存在的必要條件和充分條件，了解全微分形式的不變性。

4、理解方向?qū)?shù)與梯度的概念并掌握其計算方法。

5、掌握多元復合函數(shù)偏導數(shù)的求法。

6、會求隱函數(shù)（包括由方程組確定的隱函數(shù)）的偏導數(shù)。

7、了解曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線的概念，會求它們的方程。

8、了解二元函數(shù)的二階泰勒公式。

9、理解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件，了解二元函數(shù)極值存在的充分條件，會求二元函數(shù)的極值，會用拉格郎日乘數(shù)法求條件極值，會求簡多元函數(shù)的最大值和最小值，并會解決一些簡單的應用問題。教學重點：

1、二元函數(shù)的極限與連續(xù)性；

2、函數(shù)的偏導數(shù)和全微分；

3、方向?qū)?shù)與梯度的概念及其計算；

4、多元復合函數(shù)偏導數(shù)；

5、隱函數(shù)的偏導數(shù)

6、曲線的切線和法平面及曲面的切平面和法線；

7、多元函數(shù)極值和條件極值的求法。教學難點：

1、二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念；

2、全微分形式的不變性；

3、復合函數(shù)偏導數(shù)的求法；

4、二元函數(shù)的二階泰勒公式；

5、隱函數(shù)（包括由方程組確定的隱函數(shù)）的偏導數(shù)；

6、拉格郎日乘數(shù)法；

7、多元函數(shù)的最大值和最小值。

高等數(shù)學課程建設組 高等數(shù)學教案

§8

多元函數(shù)微分法及其應用

§8? 1 多元函數(shù)的基本概念

一、平面點集n維空間

1．平面點集

由平面解析幾何知道? 當在平面上引入了一個直角坐標系后?平面上的點P與有序二元實數(shù)組(x? y)之間就建立了一一對應? 于是? 我們常把有序?qū)崝?shù)組(x? y)與平面上的點P視作是等同的? 這種建立了坐標系的平面稱為坐標平面?

二元的序?qū)崝?shù)組(x? y)的全體? 即R2?R?R?{(x? y)|x? y?R}就表示坐標平面?

坐標平面上具有某種性質(zhì)P的點的集合? 稱為平面點集? 記作

E?{(x? y)|(x? y)具有性質(zhì)P}?

例如?平面上以原點為中心、r為半徑的圓內(nèi)所有點的集合是

C?{(x? y)| x2?y2?r2}?

如果我們以點P表示(x? y)? 以|OP|表示點P到原點O的距離? 那么集合C可表成 C?{P| |OP|?r}?

鄰域?

設P0(x0? y0)是xOy平面上的一個點? ?是某一正數(shù)? 與點P0(x0? y0)距離小于?的點P(x? y)的全體? 稱為點P0的?鄰域? 記為U(P0? ??? 即

U(P0,?)?{P| |PP0|??}或U(P0,?)?{(x, y)|(x?x0)2?(y?y0)2?? }?

鄰域的幾何意義? U(P0? ?)表示xOy平面上以點P0(x0? y0)為中心、? >0為半徑的圓的內(nèi)部的點P(x? y)的全體? ??

點P0的去心?鄰域? 記作U(P0, ?)? 即

?

U(P0, ?)?{P| 0?|P0P|??}?

注? 如果不需要強調(diào)鄰域的半徑?? 則用U(P0)表示點P0的某個鄰域? 點P0的去心鄰域記作?U(P0)?

點與點集之間的關(guān)系?

任意一點P?R2與任意一個點集E?R2之間必有以下三種關(guān)系中的一種?

(1)內(nèi)點? 如果存在點P的某一鄰域U(P)? 使得U(P)?E? 則稱P為E的內(nèi)點?

(2)外點? 如果存在點P的某個鄰域U(P)? 使得U(P)?E??? 則稱P為E的外點?

(3)邊界點? 如果點P的任一鄰域內(nèi)既有屬于E的點? 也有不屬于E的點? 則稱P點為E的邊點?

E的邊界點的全體? 稱為E的邊界? 記作?E?

E的內(nèi)點必屬于E? E的外點必定不屬于E? 而E的邊界點可能屬于E? 也可能不屬于E ?

聚點?

高等數(shù)學課程建設組 高等數(shù)學教案

§8

多元函數(shù)微分法及其應用

如果對于任意給定的??0? 點P的去心鄰域U(P,?)內(nèi)總有E中的點? 則稱P是E的聚點?

由聚點的定義可知? 點集E的聚點P本身? 可以屬于E? 也可能不屬于E ?

例如? 設平面點集

E?{(x? y)|1?x2?y2?2}?

2222滿足1?x?y?2的一切點(x? y)都是E的內(nèi)點? 滿足x?y?1的一切點(x? y)都是E的邊界點? 它們22都不屬于E? 滿足x?y?2的一切點(x? y)也是E的邊界點? 它們都屬于E? 點集E以及它的界邊?E上的一切點都是E的聚點?

開集? 如果點集E 的點都是內(nèi)點? 則稱E為開集?

閉集? 如果點集的余集E c為開集? 則稱E為閉集?

開集的例子? E?{(x? y)|1

閉集的例子? E?{(x? y)|1?x2?y2?2}?

集合{(x? y)|1?x2?y2?2}既非開集? 也非閉集?

連通性? 如果點集E內(nèi)任何兩點? 都可用折線連結(jié)起來? 且該折線上的點都屬于E? 則稱E為連通集?

區(qū)域(或開區(qū)域)? 連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域? 例如E?{(x? y)|1?x2?y2?2}?

閉區(qū)域? 開區(qū)域連同它的邊界一起所構(gòu)成的點集稱為閉區(qū)域? 例如E ? {(x? y)|1?x2?y2?2}?

有界集? 對于平面點集E? 如果存在某一正數(shù)r? 使得

E?U(O? r)?

其中O是坐標原點? 則稱E為有界點集?

無界集? 一個集合如果不是有界集? 就稱這集合為無界集?

例如? 集合{(x? y)|1?x2?y2?2}是有界閉區(qū)域? 集合{(x? y)| x?y?1}是無界開區(qū)域?

集合{(x? y)| x?y?1}是無界閉區(qū)域?

2? n維空間

設n為取定的一個自然數(shù)? 我們用Rn表示n元有序數(shù)組(x1? x2? ? ? ? ? xn)的全體所構(gòu)成的集合? 即

Rn?R?R???????R?{(x1? x2? ? ? ? ? xn)| xi?R? i?1? 2? ?????? n}?

Rn中的元素(x1? x2? ? ? ? ? xn)有時也用單個字母x來表示? 即x?(x1? x2? ? ? ? ? xn)? 當所有的xi(i?1? 2? ?????? n)都為零時? 稱這樣的元素為R中的零元? 記為0或O ? 在解析幾何中? 通過直角坐標? R2(或R3)中的元素分別與平面(或空間)中的點或向量建立一一對應? 因而Rn中的元素x?(x1? x2? ? ? ? ? xn)也稱為Rn中的一個點或一個n維向量? xi稱為點x的第i個坐標或n維向量x的第i個分量? 特別地? Rn中的零元0稱為Rn中的坐標原點或n維零向量?

為了在集合Rn中的元素之間建立聯(lián)系? 在Rn中定義線性運算如下?

設x?(x1? x2? ? ? ? ? xn)? y?(y1? y2? ? ? ? ? yn)為Rn中任意兩個元素? ??R? 規(guī)定

x?y?(x1? y1? x2? y2? ? ? ? ? xn? yn)? ?x?(?x1? ?x2? ? ? ? ? ?xn)?

這樣定義了線性運算的集合Rn稱為n維空間?

n

R中點x?(x1? x2? ? ? ? ? xn)和點 y?(y1? y2? ? ? ? ? yn)間的距離? 記作?(x? y)? 規(guī)定

?(x,y)?(x1?y1)2?(x2?y2)2? ? ? ? ?(xn?yn)2?

高等數(shù)學課程建設組

n

?高等數(shù)學教案

§8

多元函數(shù)微分法及其應用

顯然? n?1? 2? 3時? 上術(shù)規(guī)定與數(shù)軸上、直角坐標系下平面及空間中兩點間的距離一至?

Rn中元素x?(x1? x2? ? ? ? ? xn)與零元0之間的距離?(x? 0)記作||x||(在R1、R2、R3中? 通常將||x||記作|x|)? 即

||x||?22?

x12?x2? ? ? ? xn采用這一記號? 結(jié)合向量的線性運算? 便得

||x?y||?(x1?y1)2?(x2?y2)2? ? ? ? ?(xn?yn)2??(x,y)?

在n維空間Rn中定義了距離以后? 就可以定義Rn中變元的極限?

設x?(x1? x2? ? ? ? ? xn)? a?(a1? a2? ? ? ? ? an)?R?

如果

||x?a||?0?

則稱變元x在Rn中趨于固定元a? 記作x?a ?

顯然?

x?a ? x1?a1? x2?a2? ? ? ? ? xn?an ?

在Rn中線性運算和距離的引入? 使得前面討論過的有關(guān)平面點集的一系列概念? 可以方便地引入到n(n?3)維空間中來? 例如?

設a?(a1? a2? ? ? ? ? an)?R? ?是某一正數(shù)? 則n維空間內(nèi)的點集

U(a? ?)?{x| x? R? ?(x? a)??} 就定義為Rn中點a的?鄰域? 以鄰域為基礎(chǔ)? 可以定義點集的內(nèi)點、外點、邊界點和聚點? 以及開集、閉集、區(qū)域等一系列概念?

二? 多元函數(shù)概念

例１ 圓柱體的體積V 和它的底半徑r、高h之間具有關(guān)系

V ??r2h??這里? 當r、h在集合{(r ? h)| r>0? h>0}內(nèi)取定一對值(r ? h)時? V對應的值就隨之確定??

例2 一定量的理想氣體的壓強p、體積V和絕對溫度T之間具有關(guān)系

p?RT??Vnn

n其中R為常數(shù)? 這里? 當V、T在集合{(V ?T)| V>0? T>0}內(nèi)取定一對值(V? T)時? p的對應值就隨之確定?

例3 設R 是電阻R1、R2并聯(lián)后的總電阻? 由電學知道? 它們之間具有關(guān)系

R?R1R2R1?R2?

這里? 當R1、R2在集合{(R1? R2)| R1>0? R2>0}內(nèi)取定一對值(R1 ? R2)時? R的對應值就隨之確定? ?

定義1 設D是R2的一個非空子集? 稱映射f ? D?R為定義在D上的二元函數(shù)? 通常記為

z?f(x? y)?(x? y)?D(或z?f(P)? P?D)

高等數(shù)學課程建設組 高等數(shù)學教案

§8

多元函數(shù)微分法及其應用

其中點集D稱為該函數(shù)的定義域? x? y稱為自變量? z稱為因變量?

上述定義中? 與自變量x、y的一對值(x? y)相對應的因變量z的值? 也稱為f在點(x? y)處的函數(shù)值? 記作f(x? y)? 即z?f(x? y)?

值域? f(D)?{z| z?f(x? y)?(x? y)?D}?

函數(shù)的其它符號? z?z(x? y)? z?g(x? y)等?

類似地可定義三元函數(shù)u?f(x? y? z)?(x? y? z)?D以及三元以上的函數(shù)?

一般地? 把定義1中的平面點集D換成n維空間R內(nèi)的點集D? 映射f ? D?R就稱為定義在D上的n元函數(shù)? 通常記為

u?f(x1? x2? ? ? ? ? xn)?(x1? x2? ? ? ? ? xn)?D?

或簡記為

u?f(x)? x?(x1? x2? ? ? ? ? xn)?D?

也可記為

u?f(P)? P(x1? x2? ? ? ? ? xn)?D ?

關(guān)于函數(shù)定義域的約定? 在一般地討論用算式表達的多元函數(shù)u?f(x)時? 就以使這個算式有意義的變元x的值所組成的點集為這個多元函數(shù)的自然定義域? 因而? 對這類函數(shù)? 它的定義域不再特別標出? 例如?

函數(shù)z?ln(x?y)的定義域為{(x? y)|x?y>0}(無界開區(qū)域)?

函數(shù)z?arcsin(x?y)的定義域為{(x? y)|x?y?1}(有界閉區(qū)域)?

二元函數(shù)的圖形? 點集{(x? y? z)|z?f(x? y)?(x? y)?D}稱為二元函數(shù)z?f(x? y)的圖形? 二元函數(shù)的圖形是一張曲面?

例如 z?ax?by?c是一張平面? 而函數(shù)z=x2+y2的圖形是旋轉(zhuǎn)拋物面?

三? 多元函數(shù)的極限

與一元函數(shù)的極限概念類似? 如果在P(x? y)?P0(x0? y0)的過程中? 對應的函數(shù)值f(x? y)無限接近于一個確定的常數(shù)A? 則稱A是函數(shù)f(x? y)當(x? y)?(x0? y0)時的極限?

定義2

設二元函數(shù)f(P)?f(x? y)的定義域為D? P0(x0? y0)是D的聚點? 如果存在常數(shù)A? 對于任意給定

?n2222的正數(shù)?總存在正數(shù)?? 使得當P(x,y)?D?U(P0,?)時? 都有

|f(P)?A|?|f(x? y)?A|??

成立? 則稱常數(shù)A為函數(shù)f(x? y)當(x? y)?(x0? y0)時的極限? 記為

也記作

limf(P)?A或f(P)?A(P?P0)?

P?P0(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)?A? 或f(x? y)?A((x? y)?(x0? y0))?

上述定義的極限也稱為二重極限?

高等數(shù)學課程建設組 高等數(shù)學教案

§8

多元函數(shù)微分法及其應用

例4.設f(x,y)?(x2?y2)sin

證

因為

1? 求證limf(x,y)?0?

(x,y)?(0,0)x2?y21122?0| ?|x?y|?|sin| ?x2?y2?

2222x?yx?y

|f(x,y)?0|?|(x2?y2)sin可見?? >0? 取???? 則當

0?(x?0)2?(y?0)2???

?即P(x,y)?D?U(O,?)時? 總有

|f(x? y)?0|???

因此lim(x,y)?(0,0)f(x,y)?0?

必須注意? ?

(1)二重極限存在? 是指P以任何方式趨于P0時? 函數(shù)都無限接近于A?

(2)如果當P以兩種不同方式趨于P0時? 函數(shù)趨于不同的值? 則函數(shù)的極限不存在?

討論?

?xy22 x?y?0?2 函數(shù)f(x,y)??x?y2在點(0? 0)有無極限？ ?22??0 x?y?0

提示? 當點P(x? y)沿x軸趨于點(0? 0)時?

lim(x,y)?(0,0)f(x,y)?limf(x, 0)?lim0?0?

x?0x?0當點P(x? y)沿y軸趨于點(0? 0)時?

lim(x,y)?(0,0)f(x,y)?limf(0, y)?lim0?0?

y?0y?0當點P(x? y)沿直線y?kx有

lim(x,y)?(0,0)y ? kxkx2k?lim?? ?x2?y2x?0x2?k2x21?k2xy因此? 函數(shù)f(x? y)在(0? 0)處無極限?

極限概念的推廣? 多元函數(shù)的極限?

多元函數(shù)的極限運算法則?

與一元函數(shù)的情況類似?

例5 求 lim(x,y)?(0,2)sin(xy)x?

高等數(shù)學課程建設組 高等數(shù)學教案

§8

多元函數(shù)微分法及其應用

解?

sin(xy)sin(xy)sin(xy)?lim?y?lim?limy?1?2?2?

xxy(x,y)?(0,2)(x,y)?(0,2)xy(x,y)?(0,2)(x,y)?(0,2)lim

四? 多元函數(shù)的連續(xù)性

定義3 設二元函數(shù)f(P)?f(x? y)的定義域為D? P0(x0? y0)為D的聚點? 且P0?D ? 如果

lim(x,y)?(x0,y0)f(x,y)?f(x0,y0)?

則稱函數(shù)f(x? y)在點P0(x0? y0)連續(xù)?

如果函數(shù)f(x? y)在D的每一點都連續(xù)? 那么就稱函數(shù)f(x? y)在D上連續(xù)? 或者稱f(x? y)是D上的連續(xù)函數(shù)?

二元函數(shù)的連續(xù)性概念可相應地推廣到n元函數(shù)f(P)上去?

例6設f(x,y)?sin x? 證明f(x? y)是R2上的連續(xù)函數(shù)?

證 設P0(x0? y0)? R2? ???0? 由于sin x在x0處連續(xù)? 故???0? 當|x?x0|??時? 有

|sin x?sin x0|???

以上述?作P0的?鄰域U(P0? ?)? 則當P(x? y)?U(P0? ?)時? 顯然

|f(x? y)?f(x0? y0)|?|sin x?sin x0|???

2即f(x? y)?sin x在點P0(x0? y0)連續(xù)? 由P0的任意性知? sin x作為x? y的二元函數(shù)在R上連續(xù)?

證 對于任意的P0(x0? y0)?R2? 因為

lim(x,y)?(x0,y0)f(x,y)?lim(x,y)?(x0,y0)sinx?sinx0?f(x0,y0)?

所以函數(shù)f(x,y)?sin x在點P0(x0? y0)連續(xù)? 由P0的任意性知? sin x作為x? y的二元函數(shù)在R2上連續(xù)?

類似的討論可知? 一元基本初等函數(shù)看成二元函數(shù)或二元以上的多元函數(shù)時? 它們在各自的定義域內(nèi)都是連續(xù)的?

定義4設函數(shù)f(x? y)的定義域為D? P0(x0? y0)是D的聚點? 如果函數(shù)f(x? y)在點P0(x0? y0)不連續(xù)? 則稱P0(x0? y0)為函數(shù)f(x? y)的間斷點?

例如

?xy22 x?y?0?2 函數(shù)f(x,y)??x?y2?

22??0 x?y?0其定義域D?R2? O(0? 0)是D的聚點? f(x? y)當(x? y)?(0? 0)時的極限不存在? 所以點O(0? 0)是該函數(shù)的一個間斷點?

又如? 函數(shù)z?sin1? 其定義域為D?{(x? y)|x2?y2?1}? 圓周C?{(x? y)|x2?y2?1}上的點2x?y?12都是D的聚點? 而f(x? y)在C上沒有定義? 當然f(x? y)在C上各點都不連續(xù)? 所以圓周C上各點都是該函數(shù)的間斷點?

注? 間斷點可能是孤立點也可能是曲線上的點?

高等數(shù)學課程建設組 高等數(shù)學教案

§8

多元函數(shù)微分法及其應用

可以證明? 多元連續(xù)函數(shù)的和、差、積仍為連續(xù)函數(shù)? 連續(xù)函數(shù)的商在分母不為零處仍連續(xù)? 多元連續(xù)函數(shù)的復合函數(shù)也是連續(xù)函數(shù)?

多元初等函數(shù)? 與一元初等函數(shù)類似? 多元初等函數(shù)是指可用一個式子所表示的多元函數(shù)? 這個式子是由常數(shù)及具有不同自變量的一元基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和復合運算而得到的?

例如x?x2?y21?y2? sin(x?y)? ex2?y2?z2都是多元初等函數(shù)?

一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的? 所謂定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域?

由多元連續(xù)函數(shù)的連續(xù)性? 如果要求多元連續(xù)函數(shù)f(P)在點P0處的極限? 而該點又在此函數(shù)的定義區(qū)域內(nèi)? 則

lim 例7 求p?p0f(P)?f(P0)?

lim(x,y)?(1,2)x?y? ?xy 解?

函數(shù)f(x,y)?x?yxy是初等函數(shù)? 它的定義域為

D?{(x? y)|x?0? y?0}?

P0(1? 2)為D的內(nèi)點? 故存在P0的某一鄰域U(P0)?D? 而任何鄰域都是區(qū)域? 所以U(P0)是f(x? y)的一個定義區(qū)域? 因此

lim(x,y)?(1,2)f(x,y)?f(1,2)?3?

2一般地? 求limf(P)時? 如果f(P)是初等函數(shù)? 且P0是f(P)的定義域的內(nèi)點? 則f(P)在點P0P?P0處連續(xù)? 于是

limf(P)?f(P0)?

P?P0 例8 求lim(x,y)?(0, 0)xy?1?1xy?

(xy?1?1)(xy?1?1)xy(xy?1?1)解? lim(x,y)?(0, 0)xy?1?1xy?lim(x,y)?(0, 0)?lim(x,y)?(0, 0)1xy?1?1?1?

多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)?

性質(zhì)1(有界性與最大值最小值定理)在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)? 必定在D上有界? 且能取得它的最大值和最小值?

高等數(shù)學課程建設組 高等數(shù)學教案

§8

多元函數(shù)微分法及其應用

性質(zhì)1就是說? 若f(P)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)? 則必定存在常數(shù)M?0? 使得對一切P?D? 有|f(P)|?M? 且存在P1、P 2?D? 使得

f(P1)?max{f(P)|P?D}?

f(P2)?min{f(P)|P?D}?

性質(zhì)2(介值定理)在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)必取得介于最大值和最小值之間的任何值?

§8? 2

偏導數(shù)

一、偏導數(shù)的定義及其計算法

對于二元函數(shù)z?f(x? y)? 如果只有自變量x 變化? 而自變量y固定? 這時它就是x的一元函數(shù)? 這函數(shù)對x的導數(shù)? 就稱為二元函數(shù)z?f(x? y)對于x的偏導數(shù)?

定義

設函數(shù)z?f(x? y)在點(x0? y0)的某一鄰域內(nèi)有定義? 當y固定在y0而x在x0處有增量?x時? 相應地函數(shù)有增量

f(x0??x? y0)?f(x0? y0)?

如果極限

lim?x?0f(x0??x,y0)?f(x0,y0)?x

存在? 則稱此極限為函數(shù)z?f(x? y)在點(x0? y0)處對x的偏導數(shù)? 記作

?z?xx?x0y?y0?

?f?xx?x0y?y0? zxx?x0y?y0? 或fx(x0,y0)?

例如

fx(x0,y0)?limf(x0??x,y0)?f(x0,y0)?x?

?x?0類似地? 函數(shù)z?f(x? y)在點(x0? y0)處對y 的偏導數(shù)定義為

lim?y?0f(x0,y0??y)?f(x0,y0)?y?

記作 ?z?yx?x0y?y0? ?f?yx?x0y?y0? zyx?x0y?y0? 或fy(x0? y0)?

偏導函數(shù)?

如果函數(shù)z?f(x? y)在區(qū)域D內(nèi)每一點(x? y)處對x的偏導數(shù)都存在? 那么這個偏導數(shù)就是x、y的函數(shù)? 它就稱為函數(shù)z?f(x? y)對自變量x的偏導函數(shù)? 記作

高等數(shù)學課程建設組 高等數(shù)學教案

§8

多元函數(shù)微分法及其應用

偏導函數(shù)的定義式? fx(x,y)?lim?f?z? ? zx? 或fx(x,y)? ?x?xf(x??x,y)?f(x,y)?x?0?x?

類似地? 可定義函數(shù)z?f(x? y)對y的偏導函數(shù)? 記為

?f?z? ? zy ? 或fy(x,y)?

?y?yf(x,y??y)?f(x,y)?

?y偏導函數(shù)的定義式? fy(x,y)?lim

求導數(shù)? ?f?x?y?0時? 只要把y暫時看作常量而對x求導數(shù)? 求

?f?y時? 只要把x暫時看作常量而對y求

討論? 下列求偏導數(shù)的方法是否正確？?

fx(x0,y0)?fx(x,y)x?x0? fy(x0,y0)?fy(x,y)x?x0? ?y?y0y?y0

fx(x0,y0)?[ddf(x0,y)]y?y?

? fy(x0,y0)?[f(x,y0)]0x?x0dydx

偏導數(shù)的概念還可推廣到二元以上的函數(shù)??例如三元函數(shù)u?f(x? y? z)在點(x? y? z)處對x的偏導數(shù)定義為

fx(x,y,z)?lim?x?0f(x??x,y,z)?f(x,y,z)?

?x其中(x? y? z)是函數(shù)u?f(x? y? z)的定義域的內(nèi)點? 它們的求法也仍舊是一元函數(shù)的微分法問題?

例1 求z?x?3xy?y在點(1? 2)處的偏導數(shù)?

解 ?z?z?z?3x?2y? ?2x?3y? ?y?x?xx?1?2?1?3?2?8? y?22

2?z?yx?1y?2?3?1?2?2?7?

例2 求z?x2sin 2y的偏導數(shù)?

解 ?z?z?2x2cos2y?

?2xsin2y? ?y?xx?z1?z??2z?

y?xlnx?y 例3 設z?xy(x?0,x?1)? 求證?

證 ?z?yx?xy?1? ?z?xylnx???y 高等數(shù)學課程建設組 高等數(shù)學教案

§8

多元函數(shù)微分法及其應用

x?z1?zx??yxy?xlnx?yyy?1?1xylnx?xy?xy?2z?

lnx 例4 求r?x2?y2?z2的偏導數(shù)?

解 ?r??xxx?y?z222?x?r? ??yryx?y?z222?yr?

例5 已知理想氣體的狀態(tài)方程為pV=RT(R為常數(shù))? ?求證? ?p?V?T????1?

?V?T?p?pRTRT? ??2? ??VVVRT?VR??

V??

p?Tp 證 因為p?

T?pV?TV??

?

?pRR所以?p?V?TRTRVRT????2??????1?

?V?T?ppRpVV

例5 說明的問題? 偏導數(shù)的記號是一個整體記號? 不能看作分子分母之商?

二元函數(shù)z?f(x? y)在點(x0? y0)的偏導數(shù)的幾何意義? ?

fx(x0? y0)?[f(x? y0)]x?是截線z?f(x? y0)在點M0處切線Tx對x軸的斜率?

fy(x0? y0)?[f(x0? y)]y?是截線z?f(x0? y)在點M0處切線Ty對y軸的斜率?

偏導數(shù)與連續(xù)性? 對于多元函數(shù)來說? 即使各偏導數(shù)在某點都存在? 也不能保證函數(shù)在該點連續(xù)? 例如

?xy x 2 ?y2?0?22

f(x,y)??x?y

? 2 ? y2?0?0 x在點(0? 0)有? fx(0? 0)?0? fy(0? 0)?0? 但函數(shù)在點(0? 0)并不連續(xù)?

提示?

f(x, 0)?0? f(0, y)?0?

高等數(shù)學課程建設組 高等數(shù)學教案

§8

多元函數(shù)微分法及其應用

d[f(0, y)]?0?

fx(0, 0)?d[f(x, 0)]?0? fy(0, 0)?dxdy

當點P(x? y)沿x軸趨于點(0? 0)時? 有

lim(x,y)?(0,0)f(x,y)?limf(x, 0)?lim0?0?

x?0x?0

當點P(x? y)沿直線y?kx趨于點(0? 0)時? 有

lim(x,y)?(0,0)y?kxxyx2?y2?limx?0kx2k? ??2222x?kx1?k因此? lim(x,y)?(0,0)f(x,y)不存在? 故函數(shù)f(x? y)在(0? 0)處不連續(xù)?

類似地? 可定義函數(shù)z?f(x? y)對y的偏導函數(shù)? 記為

?f?z? ? zy ? 或fy(x,y)?

?y?yf(x,y??y)?f(x,y)?

?y偏導函數(shù)的定義式? fy(x,y)?lim

二?

高階偏導數(shù) ?y?0

設函數(shù)z?f(x? y)在區(qū)域D內(nèi)具有偏導數(shù)

?z?z?fy(x,y)?

?fx(x,y)? ?y?x那么在D內(nèi)fx(x? y)、fy(x? y)都是x? y 的函數(shù)? 如果這兩個函數(shù)的偏導數(shù)也存在? 則稱它們是函數(shù)z?f(x? y)的二偏導數(shù)? 按照對變量求導次序的為同有下列四個二階偏導數(shù)

如果函數(shù)z?f(x? y)在區(qū)域D內(nèi)的偏導數(shù)fx(x? y)、fy(x? y)也具有偏導數(shù)?

則它們的偏導數(shù)稱為函數(shù)z?f(x? y)的二階偏導數(shù)? 按照對變量求導次序的 不同有下列四個二階偏導數(shù)

??z?2z??z?2z()??fxy(x,y)?

()?2?fxx(x,y)?

?y?x?x?y?x?x?x??z?2z??z?2z()??fyx(x,y)?

()?2?fyy(x,y)?

?x?y?y?x?y?y?y

??z?2z??z?2z()??fxy(x,y)?()??fyx(x,y)稱為混合偏導數(shù)? ?其中?y?x?x?y?x?y?y?x

高等數(shù)學課程建設組 高等數(shù)學教案

§8

多元函數(shù)微分法及其應用

??z?2z??z?2z??z?2z??z?2z? ?()?()?()?2?()?2?

??y?x?x?y?x?y?y?x?y?y?x?x?x?y 同樣可得三階、四階、以及n 階偏導數(shù)? ? 二階及二階以上的偏導數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導數(shù)?

?2z?2z?2z?3z

例6 設z?xy?3xy?xy?1? 求2、3、和?

?y?x?x?y?x?x323?z?2x3y?9xy2?x?

解 ?z?3x2y2?3y3?y?

?x?y?2z?3z ?6xy? ?6y2?

32?x?x?2z?2z22?6xy?9y?1? ?6x2y?9y2?1? ?

?x?y?y?x

?2z?2z?由例6觀察到的問題?

?y?x?x?y?2z?2z

定理 如果函數(shù)z?f(x? y)的兩個二階混合偏導數(shù)及在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)? 那么在該區(qū)

?y?x?x?y域內(nèi)這兩個二階混合偏導數(shù)必相等?

類似地可定義二元以上函數(shù)的高階偏導數(shù)?

例7 驗證函數(shù)z?ln?2z?2zx?y滿足方程2?2?0?

?x?y22 證 因為z?lnx2?y2?1ln(x2?y2)? 所以 2

y?z?zx?2? ?

??xx?y2?yx2?y222y2?x2?2z(x?y)?x?2x

?

??2?x2(x2?y2)2(x?y2)2 高等數(shù)學課程建設組 高等數(shù)學教案

§8

多元函數(shù)微分法及其應用

22x2?y2?2z(x?y)?y?2y

?

??2?y2(x2?y2)2(x?y2)2x2?y2y2?x2?2z?2z因此 2?2?2?2?0?

2222?x?y(x?y)(x?y)?2u?2u?2u 例8．證明函數(shù)u?1滿足方程2?2?2?0?

r?x?y?z其中r?x2?y2?z2?

證? ?u??12??r??12?x??x3?

?xr?xrrr

?2u13x?r13x2???????5?

2343?x?xrrrr2?2u13z2?2u13y同理

??3?5?

??3?5?

?z2rr?y2rr2?2u?2u?2u13x213y13z2因此2?2?2?(?3?5)?(?3?5)?(?3?5)

?x?y?zrrrrrr22233(x?y?z)33r2

??3???3?5?0?

rr5rr提示?

?u?x?(?)???x2?xr32r3?x??3?r(r)r3?x?3r2?x?x?

??r6r6 §8? 3全微分及其應用

一、全微分的定義

根據(jù)一元函數(shù)微分學中增量與微分的關(guān)系??有

偏增量與偏微分?

f(x??x? y)?f(x? y)?fx(x? y)?x?

f(x??x? y)?f(x? y)為函數(shù)對x的偏增量? f x(x? y)?x為函數(shù)對x的偏微分?

f(x? y??y)?f(x? y)?fy(x? y)?y??

高等數(shù)學課程建設組 高等數(shù)學教案

§8

多元函數(shù)微分法及其應用

f(x? y??y)?f(x? y)為函數(shù))對y的偏增量? f y(x? y)?y為函數(shù)對y的偏微分?

全增量?

?z? f(x??x? y??y)?f(x? y)?

計算全增量比較復雜?

我們希望用?x、?y的線性函數(shù)來近似代替之?

定義

如果函數(shù)z?f(x? y)在點(x? y)的全增量

?z? f(x??x? y??y)?f(x? y)可表示為

?z?A?x?B?y?o(?)(??(?x)2?(?y)2)?

其中A、B不依賴于?x、?y 而僅與x、y 有關(guān)? 則稱函數(shù)z?f(x? y)在點(x? y)可微分? 而稱A?x?B?y為函數(shù)z?f(x? y)在點(x? y)的全微分? 記作dz? 即

dz?A?x?B?y?

如果函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)各點處都可微分? 那么稱這函數(shù)在D內(nèi)可微分?

可微與連續(xù)? 可微必連續(xù)? 但偏導數(shù)存在不一定連續(xù)?

這是因為?? 如果z?f(x? y)在點(x? y)可微??則

?z? f(x??x? y??y)?f(x? y)?A?x?B?y?o(?)??于是 lim?z?0?

??0從而 lim(?x,?y)?(0,0)f(x??x,y??y)?lim[f(x,y)??z]?f(x,y)??

??0因此函數(shù)z?f(x? y)在點(x? y)處連續(xù)??

可微條件?

定理1(必要條件)

如果函數(shù)z?f(x? y)在點(x? y)可微分? 則函數(shù)在該點的偏導數(shù)y)在點(x? y)的全微分為

dz??z?z?x??y?

?x?y?z?z、必定存在? 且函數(shù)z?f(x? ?y?x

證 設函數(shù)z?f(x? y)在點P(x? y)可微分? 于是? 對于點P的某個鄰域內(nèi)的任意一點P ?(x??x? y??y)? 有?z?A?x?B?y?o(?)? 特別當?y?0時有

f(x??x? y)?f(x? y)?A?x?o(|?x|)?

上式兩邊各除以?x? 再令?x?0而取極限? 就得

lim從而偏導數(shù) ?x?0f(x??x,y)?f(x,y)?A?

?x?z?z?z?z?B? 所以 ?A??同理可證偏導數(shù)存在? 且存在? 且

?y?y?x?x高等數(shù)學課程建設組 高等數(shù)學教案

§8

多元函數(shù)微分法及其應用

dz??z?z?x??y?

?x?y

簡要證明??設函數(shù)z?f(x? y)在點(x? y)可微分? 于是有?z?A?x?B?y?o(?)? 特別當?y?0時有

f(x??x? y)?f(x? y)?A?x?o(|?x|)?

上式兩邊各除以?x? 再令?x?0而取極限? 就得

lim?x?0f(x??x,y)?f(x,y)o(|?x|)?lim[A?]?A?

?x?x?x?0從而?z?z?z?z?z?z?B? 所以dz??x??y?

存在? 且存在? 且?A??同理?y?y?x?y?x?x?z?z、存在是可微分的必要條件? 但不是充分條件???y?x 偏導數(shù)

例如???xy? x2?y2?0? 函數(shù)f(x,y)??x2?y2在點(0??0)處雖然有f x(0? 0)?0及f y(0? 0)?0??但函數(shù)在?0 x2?y2?0?(0??0)不可微分??即?z?[fx(0? 0)?x?fy(0? 0)?y]不是較?高階的無窮小?? 這是因為當(?x? ?y)沿直線y?x趨于(0? 0)時??

定理2(充分條件)

如果函數(shù)z?f(x? y)的偏導數(shù)

?z?z、在點(x? y)連續(xù)? 則函數(shù)在該點可微分?

?y?x?z?[fx(0, 0)??x?fy(0, 0)??y]???x??y(?x)2?(?y)2??x??x1??0?? 222(?x)?(?x)

定理1和定理2的結(jié)論可推廣到三元及三元以上函數(shù)?

按著習慣???x、?y分別記作dx、dy? 并分別稱為自變量的微分??則函數(shù)z?f(x? y)的全微分可寫作?

dz??z?zdx?dy?

?x?y

二元函數(shù)的全微分等于它的兩個偏微分之和這件事稱為二元函數(shù)的微分符合疊加原理?

疊加原理也適用于二元以上的函數(shù)? 例如函數(shù)u?f(x? y? z)的全微分為

du??u?u?udx?dy?dz?

?x?y?z

例1 計算函數(shù)z?x2y ?y2的全微分?

高等數(shù)學課程建設組 高等數(shù)學教案

§8

多元函數(shù)微分法及其應用

解 因為?z?z?x2?2y?

?2xy? ?y?x所以dz?2xydx?(x2?2y)dy ?

例2 計算函數(shù)z?exy在點(2? 1)處的全微分?

解 因為?z?z?xexy?

?yexy? ?y?x

?z?xx?2y?12?e2?

2?z?yx?2y?1?2e2??

所以

dz?edx?2edy ?

例3 計算函數(shù)u?x?siny?eyz的全微分?解 因為y?u1?u?u?cos?zeyz? ?yeyz?

?1?

?y22?z?xy1所以

du?dx?(cos?zeyz)dy?yeyzdz?

2*

二、全微分在近似計算中的應用

當二元函數(shù)z?f(x? y)在點P(x? y)的兩個偏導數(shù)f x(x? y)? f y(x? y)連續(xù)? 并且|?x|? |?y|都較小時? 有近似等式

?z ?dz? f x(x? y)?x?f y(x? y)?y ?

即

f(x??x? y??y)? f(x? y)?f x(x? y)?x?f y(x? y)?y ?

我們可以利用上述近似等式對二元函數(shù)作近似計算?

例4 有一圓柱體? 受壓后發(fā)生形變? 它的半徑由20cm增大到20? 05cm? 高度由100cu減少到99cm? 求此圓柱體體積變化的近似值?

解

設圓柱體的半徑、高和體積依次為r、h和V? 則有

V?? r 2h ?

已知r?20? h?100? ?r?0? 05? ?h??1? 根據(jù)近似公式? 有

?V?dV?Vr?r?Vh?h?2?rh?r??r2?h

?2??20?100?0? 05???20?(?1)??200?(cm)?

即此圓柱體在受壓后體積約減少了200? cm3?

例5 計算(1? 04)2??02的近似值?

解

設函數(shù)f(x? y)?x y ? 顯然? 要計算的值就是函數(shù)在x?1?04? y?2?02時的函數(shù)值f(1?04? 2?02)?

取x?1? y?2? ?x?0?04? ?y?0?02? 由于

高等數(shù)學課程建設組

23高等數(shù)學教案

§8

多元函數(shù)微分法及其應用

f(x??x? y??y)? f(x? y)?f x(x? y)?x?f y(x? y)?y

?x?yx?x?xln x ?y ?

所以

(1?04)2??02?12?2?12?1?0?04?12?ln1?0?02?1?08?

例6 利用單擺擺動測定重力加速度g的公式是

g?4?2l? 2T y

y?y現(xiàn)測得單擺擺長l與振動周期T分別為l=100±0.1cm、T=2±0.004s.?問由于測定l與T的誤差而引起g的絕對誤差和相對誤差各為多少？

解 如果把測量l與T所產(chǎn)生的誤差當作|Δl|與|ΔT|, 則利用上述計算公式所產(chǎn)生的誤差就是4?2l二元函數(shù)g?2的全增量的絕對值|Δg|.?由于|Δl|??|ΔT|都很小??因此我們可以用dg來近似地代替TΔg??這樣就得到g的誤差為

|?g|?|dg|?|

?|?g?l?g?l?l??g?T?g?T?T|

|??l?||??T

?4?2(12l???T)? lT2T3其中?l與?T為l與T的絕對誤差? 把l=100? T=2, ?l=0.1, δT=0.004代入上式? 得g的絕對誤差約為

?g?4?2(0.12?100??0.004)232?0.5?2?4.93(cm/s2).0.5?2??0.500??

2g4??10022?g???從上面的例子可以看到??對于一般的二元函數(shù)z=f(x, y), 如果自變量x、y 的絕對誤差分別為?x、?y, 即

|Δx |??x，|Δy |??y，則z的誤差

|?z|?|dz|?|

?| ?z?z?x??y|

?x?y?z?z|?|?x|?||?|?y| ?x?y高等數(shù)學課程建設組 高等數(shù)學教案

§8

多元函數(shù)微分法及其應用

?|從而得到z的絕對誤差約為 ?z?z|??x?||??y? ?x?y

?z?|z的相對誤差約為 ?z?z|??x?||??y? ?x?y?z?z??y?y?

z??x?x?|z|zz

§8? 4 多元復合函數(shù)的求導法則

設z?f(u? v)? 而u??(t)? v??(t)? 如何求dz？

dt

設z?f(u? v)? 而u??(x? y)? v??(x? y)? 如何求

?z?z和？ ?y?x

1? 復合函數(shù)的中間變量均為一元函數(shù)的情形

定理1 如果函數(shù)u??(t)及v??(t)都在點t可導? 函數(shù)z?f(u? v)在對應點(u? v)具有連續(xù)偏導數(shù)? 則復合函數(shù)z?f[?(t)? ?(t)]在點t可導? 且有

dz?zdu?zdv?

????dt?udt?vdt

簡要證明1? 因為z?f(u? v)具有連續(xù)的偏導數(shù)? 所以它是可微的? 即有

dz??z?zdu?dv? ?u?v又因為u??(t)及v??(t)都可導? 因而可微? 即有

du?代入上式得

dz?從而

?zdu?zdv?zdu?zdv?dt??dt?(???)dt?

?udt?vdt?udt?vdtdudvdt? dv?dt?

dtdtdz?zdu?zdv?????

dt?udt?vdt

簡要證明2? 當t取得增量?t時? u、v及z相應地也取得增量?u、?v及?z ? 由z?f(u? v)、u??(t)及v??(t)的可微性? 有

?z? ?z?z?zdu?zdv?u??v?o(?)?[?t?o(?t)]?[?t?o(?t)]?o(?)?u?v?udt?vdt高等數(shù)學課程建設組 高等數(shù)學教案

§8

多元函數(shù)微分法及其應用

?（?zdu?zdv?z?z???)?t?(?)o(?t)?o(?)?

?udt?vdt?u?v?z?zdu?zdv?z?zo(?t)o(?)?

?????(?)??t?udt?vdt?u?v?t?t令?t?0? 上式兩邊取極限? 即得

dz?zdu?zdv?

????dt?udt?vdt?lim?t?0注?lim?t?0o(?)?to(?)??(?u)2?(?v)2?t?0?(du2dv)?()2?0?

dtdt推廣? 設z?f(u? v? w)? u??(t)? v??(t)? w??(t)? 則z?f[?(t)? ?(t)? ?(t)]對t 的導數(shù)為?

dz??zdu??zdv??zdw?

dt?udt?vdt?wdt上述dz稱為全導數(shù)?

dt

2? 復合函數(shù)的中間變量均為多元函數(shù)的情形

定理2 如果函數(shù)u??(x? y)? v??(x? y)都在點(x? y)具有對x及y的偏導數(shù)? 函數(shù)z?f(u? v)在對應點(u? v)具有連續(xù)偏導數(shù)? 則復合函數(shù)z?f [?(x? y)? ?(x? y)]在點(x? y)的兩個偏導數(shù)存在? 且有

?z?z?u?z?v?z??z??u??z??v? ? ?????x?u?x?v?x?y?u?y?v?y?z?z?u?z?v?z?w?z?z?u?z?v?z?w??????? ?

???????y?u?y?v?y?w?y?x?u?x?v?x?w?x

推廣? 設z?f(u? v? w)? u??(x? y)? v??(x? y)? w??(x? y)? 則

討論?

(1)設z?f(u? v)? u??(x? y)? v??(y)? 則

提示?

?z?z?？ ?？

?y?x?z?z?u?zdv?z?z?u????? ?

???y?u?y?vdy?x?u?x

(2)設z?f(u? x? y)? 且u??(x? y)? 則

?z?z?？

?？

?y?x

提示? ?z?f?u?f?z?f?u?f????? ?

?y?u?y?y?x?u?x?x這里?f?f?z?z與是不同的? 是把復合函數(shù)z?f[?(x? y)? x? y]中的y看作不變而對x的偏導數(shù)? ?x?x?x?x 高等數(shù)學課程建設組 高等數(shù)學教案

§8

多元函數(shù)微分法及其應用

是把f(u? x? y)中的u及y看作不變而 對x的偏導數(shù)?

?f?z與也朋類似的區(qū)別?

?y?y

3．復合函數(shù)的中間變量既有一元函數(shù)? 又有多元函數(shù)的情形

定理3 如果函數(shù)u??(x? y)在點(x? y)具有對x及對y的偏導數(shù)? 函數(shù)v??(y)在點y可導? 函數(shù)z?f(u? v)在對應點(u? v)具有連續(xù)偏導數(shù)? 則復合函數(shù)z?f[?(x? y)? ?(y)]在點(x? y)的兩個偏導數(shù)存在? 且有

?z?z?u?zdv????

?z??z??u? ?

?x?u?x?y?u?y?vdy

例1 設z?eusin v? u?xy? v?x?y? 求?z和

?x?z?

?y

解 ?z??z??u??z??v

?x?u?xx y?v?x

?eusin v?y?eucos v?1

?e[y sin(x?y)?cos(x?y)]?

?z?z?u?z?v???? ?y?u?y?v?yuu

?esin v?x?ecos v?1

?exy[x sin(x?y)?cos(x?y)]?

例2 設u?f(x,y,z)?ex

解 ?u?f?f?z ????x?x?z?x22?y2?z2? 而z?x2siny? 求

?u?u和?

?y?x

?2xex?y2?z2?2zex2?y2?z2?2xsiny

?2x?(1?2x2sin2y)ex?u?f?f?z??? ?y?y?z?y222?y2?x4siny?

?2yex?y2?z2?2zex2?y2?z2?x2cosy

?2(y?x4sinycosy)ex22?y2?x4siny?

dz?

dt

例3 設z?uv?sin t ? 而u?et? v?cos t? 求全導數(shù) 高等數(shù)學課程建設組 高等數(shù)學教案

§8

多元函數(shù)微分法及其應用

解 dz??z?du??z?dv??z

dt?udt?vdt?t

?v?et?u?(?sin t)?cos t

?etcos t?e tsin t?cos t

?e(cos t?sin t)?cos t ?

?2w?w

例4 設w?f(x?y?z? xyz)? f具有二階連續(xù)偏導數(shù)? 求及?

?x?z?xt

解 令u?x?y?z? v?xyz ? 則w?f(u? v)?

引入記號? f1??

?f(u,v)?u??? f12?f(u,v)?u?v???f22??等?

? 同理有f2??f11?w?f?u?f?v?????f1??yzf2??

?x?u?x?v?x?f??f??2w?

?(f1??yzf2?)?1?yf2??yz2

?x?z?z?z?z???xyf12???yf2??yzf21???xy2zf22??

?f11???y(x?z)f12???yf2??xy2zf22???

?f1

1注? ?f1??f1??u?f1??v?f??f??u?f2??v???xyf12??? 2?2????xyf22??? ?????f11???f21?z?u?z?v?z?z?u?z?v?z

例5 設u?f(x? y)的所有二階偏導數(shù)連續(xù)? 把下列表達式轉(zhuǎn)換成極坐標系中的形式?

?u2?u2?2u?2u(1)()?()?

(2)2?2?

?x?y?x?y解 由直角坐標與極坐標間的關(guān)系式得

u?f(x? y)?f(?cosθ? ?sinθ)?F(?? θ)?

其中x??cosθ? y??sinθ? ??應用復合函數(shù)求導法則? 得

??u?u???u???u?uysin?ux?uy???cos???

???x???x???x?????????2???u?ucos??u?u???u???uy?ux?sin????? ???y???y???y?????????2??x2?y2? ??arctanyx?

兩式平方后相加? 得

高等數(shù)學課程建設組 高等數(shù)學教案

§8

多元函數(shù)微分法及其應用

(?u)2?(?u)2?(?u)2?12(?u)2?

?x?y?????再求二階偏導數(shù)? 得

?2u??u????u??

?()??()??x2???x?x???x?x

???u?usin?(cos??)?cos? ?????????u?usin?sin?(cos??)? ????????

?

??2u?2usin?cos??2usin?2 2cos??2????????2??2?2?u2sin?cos??usin2?

?? ???????2同理可得

?2u?2u?2usin?cos??2ucos?22 ?sin??2?2222??????y?????2?u2sin?cos??ucos?

?? ???????2兩式相加? 得

?2u?2u?2u11?2u ?????22222??x?y?????1??u?2u

?2[?(?)?]?

???????2

全微分形式不變性?

設z?f(u? v)具有連續(xù)偏導數(shù)? 則有全微分

dz??z?zdu?dv?

?u?v如果z?f(u? v)具有連續(xù)偏導數(shù)? 而u??(x? y)? v??(x? y)也具有連續(xù)偏導數(shù)? 則

dz? ?z?zdx?dy

?x?y高等數(shù)學課程建設組 高等數(shù)學教案

§8

多元函數(shù)微分法及其應用

?（??z?u?z?v?z?u?z?v?)dx?(?)dy

?u?x?v?x?u?y?v?y?z?u?u?z?v?v(dx?dy)?(dx?dy)

?u?x?y?v?x?y

??zdu??zdv?

?u?v由此可見? 無論z 是自變量u、v的函數(shù)或中間變量u、v的函數(shù)? 它的全微分形式是一樣的? 這個性質(zhì)叫做全微分形式不變性?

例6 設z?e usin v? u?x y? v?x?y? 利用全微分形式不變性求全微分?

解 dz??zdu??zdv? e usin vdu? e ucos v dv ?u?v

? e usin v(y dx?x dy)? e ucos v(dx?dy)

?(ye usin v? e ucos v)dx?(xe usin v? e ucos v)dy

?e xy [y sin(x?y)?cos(x?y)]dx? e xy [x sin(x?y)?cos(x?y)]dy ?

§8?隱函數(shù)的求導法則 一、一個方程的情形

隱函數(shù)存在定理1

設函數(shù)F(x? y)在點P(x0? y0)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導數(shù)? F(x0? y0)?0? Fy(x0? y0)?0? 則方程F(x? y)?0在點(x0? y0)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個連續(xù)且具有連續(xù)導數(shù)的函數(shù)y?f(x)? 它滿足條件y0?f(x0)? 并有

dydx??FxFy?

?

求導公式證明? 將y?f(x)代入F(x? y)?0? 得恒等式

F(x? f(x))?0?

等式兩邊對x求導得

?F?Fdy???0?

?x?ydx由于F y連續(xù)? 且Fy(x0? y0)?0? 所以存在(x0? y0)的一個鄰域? 在這個鄰域同F(xiàn)y ?0? 于是得

高等數(shù)學課程建設組 高等數(shù)學教案

§8

多元函數(shù)微分法及其應用

dydx??FxFy?

例1 驗證方程x2?y2?1?0在點(0? 1)的某一鄰域內(nèi)能唯一確定一個有連續(xù)導數(shù)、當x?0時y?1的隱函數(shù)y?f(x)? 并求這函數(shù)的一階與二階導數(shù)在x?0的值?

解 設F(x? y)?x?y?1? 則Fx?2x? Fy?2y? F(0? 1)?0? Fy(0? 1)?2?0? 因此由定理1可知? 方程x2?y2?1?0在點(0? 1)的某一鄰域內(nèi)能唯一確定一個有連續(xù)導數(shù)、當x?0時y?1的隱函數(shù)y?f(x)?

dydx??FxFy??22dyx? ydx?0?

x?0

d2ydx2d2ydx2??y?xy?y2y?x(???y2x)y??y2?x2y3??1?

3y

??1?

x?0

隱函數(shù)存在定理還可以推廣到多元函數(shù)? 一個二元方程F(x? y)?0可以確定一個一元隱函數(shù)? 一個三元方程F(x? y? z)?0可以確定一個二元隱函數(shù)?

隱函數(shù)存在定理2

設函數(shù)F(x? y? z)在點P(x0? y0? z0)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導數(shù)? 且F(x0? y0? z0)?0? Fz(x0? y0? z0)?0 ? 則方程F(x? y? z)?0在點(x0? y0? z0)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個連續(xù)且具有連續(xù)偏導數(shù)的函數(shù)z?f(x? y)? 它滿足條件z0?f(x0? y0)? 并有

FyFx?z?z??? ?

????yFz?xFz

公式的證明? 將z?f(x? y)代入F(x? y? z)?0? 得F(x? y? f(x? y))?0?

將上式兩端分別對x和y求導? 得

Fx?Fz??z?z?0? ??0? Fy?Fz??y?x因為F z連續(xù)且F z(x0? y0? z0)?0? 所以存在點(x0? y0? z0)的一個鄰域? 使F z?0? 于是得 FyFx?z?z??

? ?

???yFz?xFz

例2.設x2?y2?z2?4z?0? 求 ?2z?

2?x高等數(shù)學課程建設組 高等數(shù)學教案

§8

多元函數(shù)微分法及其應用

解

設F(x? y? z)? x?y?z?4z? 則Fx?2x? Fy?2z?4?

F?z2xx?

??x????xFz2z?42?z22 ?2z?2?x(2?x)?x?zx(2?x)?x()22?x?2?z?(2?x)?x?

(2?z)2(2?z)2(2?z)

3二、方程組的情形

在一定條件下? 由個方程組F(x? y? u? v)?0? G(x? y? u? v)?0可以確定一對二元函數(shù)u?u(x? y)? v?v(x? y)? 例如方程xu?yv?0和yu?xv?1可以確定兩個二元函數(shù)u?yx2?y2? v?x?

x2?y2 事實上?

xu?yv?0 ?v?yxxu?yu?x?u?1?u?? ?

yyx2?y2v?yxx?

?2?yx?y2x2?y

2如何根據(jù)原方程組求u? v的偏導數(shù)？

隱函數(shù)存在定理隱函數(shù)存在定理3

設F(x? y? u? v)、G(x? y? u? v)在點P(x0? y0? u0? v0)的某一鄰域內(nèi)具有對各個變量的連續(xù)偏導數(shù)? 又F(x0? y0? u0? v0)?0? G(x0? y0? u0? v0)?0? 且偏導數(shù)所組成的函數(shù)行列式?

?F?(F,G)?u

J???G?(u,v)?u?F?v ?G?v在點P(x0? y0? u0? v0)不等于零? 則方程組F(x? y? u? v)?0? G(x? y? u? v)?0在點P(x0? y0? u0? v0)的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一組連續(xù)且具有連續(xù)偏導數(shù)的函數(shù)u?u(x? y)? v?v(x? y)? 它們滿足條件u0?u(x0? y0)? v0?v(x0? y0)? 并有

?u1?(F,G)?????

?xJ?(x,v)FuFvGuGvFxFvGxGv

高等數(shù)學課程建設組 高等數(shù)學教案

§8

多元函數(shù)微分法及其應用

?v1?(F,G)?????

?xJ?(u,x)FuFvGuGvFyFvGyGvFuFxGuGx

?u1?(F,G)?????

?yJ?(y,v)FuFvGuGvFuFyGuGy

?v1?(F,G)?????

?yJ?(u,y)FuFvGuGv

隱函數(shù)的偏導數(shù): 設方程組F(x? y? u? v)?0? G(x? y? u? v)?0確定一對具有連續(xù)偏導數(shù)的 二元函數(shù)u?u(x? y)? v?v(x? y)? 則

?F?F?u?F?v?0,uv?x?u?v?x?x 偏導數(shù)? 由方程組?確定? ?u?v?x?x?Gv?0.?Gx?Gu?x?x??F?F?u?F?v?0,uv?y?y?y?u?v 偏導數(shù)? 由方程組?確定?

?u?v?y?y?Gv?0.?Gy?Gu?y?y? 例3 設xu?yv?0? yu?xv?1? 求

?v?u?u?v? ? 和?

?y?y?x?x 解 兩個方程兩邊分別對x 求偏導? 得關(guān)于

?u?v和的方程組 ?x?x?u?x?u?y?v?0??x?x? ??u?v?v?x?0?y?x??x當x2?y2 ?0時? 解之得xu?yv?vyu?xv?u? ?

???2?xx2?y2?xx?y2 高等數(shù)學課程建設組 高等數(shù)學教案

§8

多元函數(shù)微分法及其應用

兩個方程兩邊分別對x 求偏導? 得關(guān)于

?u?v和的方程組 ?y?y?x?u?v?y?v?0??y?y? ??u?v?x?0?u?y?y?y?當x2?y2 ?0時? 解之得?u??yxv?yux2?y2xu?yv? ?v???

22?yx?y

另解 將兩個方程的兩邊微分得

??udx?xdu?vdy?ydv?0?xdu?ydv?vdy?udx? 即??

udy?ydu?vdx?xdv?0ydu?xdv??udy?vdx??解之得 du??xu?yvx2?y2dx?xv?yux2?y2dy?

dv?yu?xvx?y22dx?xu?yvx?y22dy?

xu?yv?uxv?yu于是

?u??2? ?

?222?xx?y?yx?y

xu?yv?vyu?xv?v? ? ??2??22?xx?y2?yx?y

例? 設函數(shù)x?x(u? v)? y?y(u? v)在點(u? v)的某一領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)且有連續(xù)偏導數(shù)? 又

(1)證明方程組

??x?x(u,v)

y?y(u,v)??(x,y)?(u,v)?0?

在點(x? y? u? v)的某一領(lǐng)域內(nèi)唯一確定一組單值連續(xù)且有連續(xù)偏導數(shù)的反函數(shù)u?u(x? y)? v?v(x? y)?

(2)求反函數(shù)u?u(x? y)? v?v(x? y)對x? y的偏導數(shù)?

解(1)將方程組改寫成下面的形式

高等數(shù)學課程建設組 高等數(shù)學教案

§8

多元函數(shù)微分法及其應用

??F(x,y,u,v)?x?x(u,v)?0?

G(x,y,u,v)?y?y(u,v)?0?則按假設

J??(F,G)?(u,v)??(x,y)?(u,v)?0.由隱函數(shù)存在定理3? 即得所要證的結(jié)論?

(2)將方程組(7)所確定的反函數(shù)u?u(x? y)?v?v(x? y)代入(7)? 即得

??x?x[u(x,y),v(x,y)]?

y?y[u(x,y),v(x,y)]?將上述恒等式兩邊分別對x求偏導數(shù)?得

?1??x??u??x??v?

??u?x?v?x?

?y?u?y?v?0?????u?x?v?x?由于J?0? 故可解得

同理? 可得

§8? 6多元函數(shù)微分學的幾何應用

一?

空間曲線的切線與法平面

設空間曲線?的參數(shù)方程為

x??(t)? y??(t)? z??(t)這里假定?(t)? ?(t)? ?(t)都在[?? ?]上可導?

在曲線?上取對應于t?t0的一點M0(x0? y0? z0)及對應于t?t0??t的鄰近一點M(x0+?x? y0+?y? z0+?z)? 作曲線的割線MM0? 其方程為

x?x0?x?y?y0?y?z?z0?z?u1?x?v1?x???? ?

?yJ?v?yJ?u?u1?y?v1?y? ?

????xJ?u?xJ?v? ?當點M沿著?趨于點M0時割線MM0的極限位置就是曲線在點M0處的切線? 考慮

高等數(shù)學課程建設組 高等數(shù)學教案

§8

多元函數(shù)微分法及其應用

x?x0y?y0z?z0? ???x?y?z?t?t?t當M?M0? 即?t?0時? 得曲線在點M0處的切線方程為

x?x0y?y0z?z0? ????(t0)??(t0)??(t0)

曲線的切向量? 切線的方向向量稱為曲線的切向量? 向量

T?(??(t0)? ??(t0)? ??(t0))就是曲線?在點M0處的一個切向量?

法平面? 通過點M0而與切線垂直的平面稱為曲線?在點M0 處的法平面? 其法平面方程為

??(t0)(x?x0)???(t0)(y?y0)???(t0)(z?z0)?0?

例1 求曲線x?t? y?t2? z?t3在點(1? 1? 1)處的切線及法平面方程?

解

因為xt??1? yt??2t? zt??3t2? 而點(1? 1? 1)所對應的參數(shù)t?1? 所以

T ?(1? 2? 3)?

于是? 切線方程為

法平面方程為

(x?1)?2(y?1)?3(z?1)?0? 即x?2y?3z?6?

討論?

1? 若曲線?的方程為

y??(x)? z??(x)?

問其切線和法平面方程是什么形式?

提示? 曲線方程可看作參數(shù)方程? x?x? y??(x)? z??(x)? 切向量為T?(1? ??(x)? ??(x))?

2? 若曲線?的方程為

F(x? y? z)?0? G(x? y? z)?0?

問其切線和法平面方程又是什么形式??

提示? 兩方程確定了兩個隱函數(shù)?

y??(x)? z??(x)? 曲線的參數(shù)方程為

x?x? y??(x)? z??(x)? ?x?1y?1z?1?

??123 高等數(shù)學課程建設組 高等數(shù)學教案

§8

多元函數(shù)微分法及其應用

dy?dzFx?Fy?Fz?0?dydxdx由方程組?可解得和dz??

dydxdxdz?Gx?Gy?Gz?0dxdx?切向量為T?(1, dydz,)? dxdx22

2例2 求曲線x?y?z?6? x?y?z?0在點(1? ?2? 1)處的切線及法平面方程? ?

解 為求切向量? 將所給方程的兩邊對x求導數(shù)? 得

dy?dz2x?2y?2z?0?dxdx

???dydz?1???0?dxdx解方程組得dydx?z?xdzx?y?? ? ?y?zdxy?zdydx?0? dz??1? dx在點(1? ?2? 1)處?

從而T ?(1? 0? ?1)?

所求切線方程為

法平面方程為

(x?1)?0?(y?2)?(z?1)?0? 即x?z?0?

解 為求切向量? 將所給方程的兩邊對x求導數(shù)? 得

dy?dz2x?2y?2z?0?dxdx

????dydz?1???0?dxdxx?1y?2z?1?

??10?1方程組在點(1? ?2? 1)處化為

?dydz2??1?dxdx

???

dydz????1?dxdx解方程組得dydx?0? dz??1? dx從而T ?(1? 0? ?1)?

所求切線方程為

高等數(shù)學課程建設組 高等數(shù)學教案

§8

多元函數(shù)微分法及其應用

法平面方程為 x?1y?2z?1?

??10?(x?1)?0?(y?2)?(z?1)?0? 即x?z?0?

二? 曲面的切平面與法線

設曲面?的方程為

F(x? y? z)?0?

M0(x0? y0? z0)是曲面?上的一點?

并設函數(shù)F(x? y? z)的偏導數(shù)在該點連續(xù)且不同時為零? 在曲面?上? 通過點M0任意引一條曲線?? 假定曲線?的參數(shù)方程式為

x??(t)? y??(t)? z??(t)?

t?t0對應于點M0(x0? y0? z0)? 且??(t0)? ??(t0)? ??(t0)不全為零? 曲線在點的切向量為

T ?(??(t0)? ??(t0)? ??(t0))?

考慮曲面方程F(x? y? z)?0兩端在t?t0的全導數(shù)?

Fx(x0? y0? z0)??(t0)?Fy(x0? y0? z0)??(t0)?Fz(x0? y0? z0)??(t0)?0?

引入向量

n?(Fx(x0? y0? z0)? Fy(x0? y0? z0)? Fz(x0? y0? z0))?

易見T與n是垂直的? 因為曲線?是曲面?上通過點M0的任意一條曲線? 它們在點M0的切線都與同一向量n垂直? 所以曲面上通過點M0的一切曲線在點M0的切線都在同一個平面上? 這個平面稱為曲面?在點M0的切平面? 這切平面的方程式是

Fx(x0? y0? z0)(x?x0)?Fy(x0? y0? z0)(y?y0)?Fz(x0? y0? z0)(z?z0)?0?

曲面的法線? 通過點M0(x0? y0? z0)而垂直于切平面的直線稱為曲面在該點的法線? 法線方程為

x?x0Fx(x0, y0, z0)?y?y0Fy(x0, y0, z0)?z?z0Fz(x0, y0, z0)?

曲面的法向量? 垂直于曲面上切平面的向量稱為曲面的法向量? 向量

n?(Fx(x0? y0? z0)? Fy(x0? y0? z0)? Fz(x0? y0? z0))就是曲面?在點M0處的一個法向量?

例3 求球面x?y?z?14在點(1? 2? 3)處的切平面及法線方程式?

解

F(x? y? z)? x?y?z?14?

Fx?2x? Fy?2y ? Fz?2z ?

Fx(1? 2? 3)?2? Fy(1? 2? 3)?4? Fz(1? 2? 3)?6?

高等數(shù)學課程建設組 222222高等數(shù)學教案

§8

多元函數(shù)微分法及其應用

法向量為n?(2? 4? 6)? 或n?(1? 2? 3)?

所求切平面方程為

2(x?1)?4(y?2)?6(z?3)?0? 即x?2y?3z?14?0?

法線方程為x?1y?2z?3?

??12

3討論? 若曲面方程為z?f(x? y)? 問曲面的切平面及法線方程式是什么形式?

提示?

此時F(x? y? z)?f(x? y)?z ?

n?(fx(x0? y0)? fy(x0? y0)? ?1)

例4 求旋轉(zhuǎn)拋物面z?x2?y2?1在點(2? 1? 4)處的切平面及法線方程?

解

f(x? y)?x?y?1?

n?(fx? fy? ?1)?(2x? 2y? ?1)?

n|(2? 1? 4)?(4? 2? ?1)?

所以在點(2? 1? 4)處的切平面方程為

4(x?2)?2(y?1)?(z?4)?0? 即4x?2y?z?6?0?

法線方程為

§8? 7 方向?qū)?shù)與梯度

一、方向?qū)?shù)

現(xiàn)在我們來討論函數(shù)z?f(x? y)在一點P沿某一方向的變化率問題?

設l是xOy平面上以P0(x0? y0)為始點的一條射線? el?(cos ?? cos ?)是與l同方向的單位向量? 射線l的參數(shù)方程為

x?x0?t cos ?? y?y0?t cos ?(t?0)?

設函數(shù)z?f(x? y)在點P0(x0? y0)的某一鄰域U(P0)內(nèi)有定義? P(x0?t cos ?? y0?t cos ?)為l上另一點? 且P?U(P0)? 如果函數(shù)增量f(x0?t cos ?? y0?t cos ?)?f(x0? y0)與P到P0的距離|PP0|?t的比值

f(x0?tcos?, y0?tcos?)?f(x0,y0)tx?2y?1z?4?

??42?12

2當P沿著l趨于P0(即t?t0?)時的極限存在?

則稱此極限為函數(shù)f(x? y)在點P0沿方向l的方向?qū)?shù)? 記作?f?l(x0,y0)? 即

高等數(shù)學課程建設組 高等數(shù)學教案

§8

多元函數(shù)微分法及其應用

?f?l?lim(x0,y0)t?0f(x0?tcos?, y0?tcos?)?f(x0,y0)?t?

從方向?qū)?shù)的定義可知? 方向?qū)?shù)率?

方向?qū)?shù)的計算?

?f?l(x0,y0)就是函數(shù)f(x? y)在點P0(x0? y0)處沿方向l的變化

定理

如果函數(shù)z?f(x? y)在點P0(x0? y0)可微分? 那么函數(shù)在該點沿任一方向l 的方向?qū)?shù)都存在? 且有

?f?l?fx(x0,y0)cos??fy(x0,y0)cos??

(x0,y0)其中cos ?? cos ?是方向l 的方向余弦?

簡要證明? 設?x?t cos ?? ?y?t cos ?? 則

f(x0?tcos?? y0?tcos?)?f(x0? y0)?f x(x0? y0)tcos??f y(x0? y0)tcos??o(t)?

所以

limf(x0?tcos?, y0?tcos?)?f(x0,y0)tt?0??fx(x0,y0)cos??fy(x0,y0)sin??

這就證明了方向?qū)?shù)的存在? 且其值為

?f?l?fx(x0,y0)cos??fy(x0,y0)cos???(x0,y0)提示? f(x0??x,y0??y)?f(x0,y0)?fx(x0,y0)?x?fy(x0,y0)?y?o((?x)2?(?y)2)?

?x?t cos ?? ?y?t cos ??(?x)2?(?y)2?t?

討論? 函數(shù)z?f(x? y)在點P 沿x軸正向和負向?

沿y軸正向和負向的方向?qū)?shù)如何? 提示?

沿x軸正向時? cos???? cos??0?

沿x軸負向時? cos???1? cos??0?

?f?l??f?x?

?f?f??? ??l?x

例1 求函數(shù)z?xe2y在點P(1? 0)沿從點P(1? 0)到點Q(2? ?1)的方向的方向?qū)?shù)?

?

解 這里方向l即向量PQ?(1, ?1)的方向? 與l同向的單位向量為

高等數(shù)學課程建設組 高等數(shù)學教案

§8

多元函數(shù)微分法及其應用

el?(12, ?12)?

因為函數(shù)可微分? 且所以所求方向?qū)?shù)為

?z?l?1?12?z?x(1,0)?e2y(1,0)?1?

?z?y(1,0)?2xe2y(1,0)?2??(1,0)?2?(?12)??2? 2

對于三元函數(shù)f(x? y? z)來說? 它在空間一點P0(x0? y0? z0)沿el?(cos ??? cos ??? cos ?)的方向?qū)?shù)為?

?f?l?lim(x0,y0,z0)f(x0?tcos?, y0?tcos?,z0?tcos?)?f(x0,y0,z0)tt?0??

如果函數(shù)f(x? y? z)在點(x0? y0? z0)可微分? 則函數(shù)在該點沿著方向el?(cos ??? cos ??? cos ??的方向?qū)?shù)為

?f?l(x0,y0,z0)?fx(x0? y0? z0)cos??fy(x0? y0? z0)cos??fz(x0? y0? z0)cos??

例2求f(x? y? z)?xy?yz?zx在點(1? 1? 2)沿方向l的方向?qū)?shù)? 其中l(wèi)的方向角分別為60?? 45?? 60??

解 與l同向的單位向量為

el?(cos60?? cos 45?? cos60???(, ????因為函數(shù)可微分??且

fx(1? 1? 2)?(y?z)|(1? 1? 2)?3?

fy(1? 1? 2)?(x?z)|(1? 1? 2)?3?

fz(1? 1? 2)?(y?x)|(1? 1? 2)?2? 所以

二? 梯度

設函數(shù)z?f(x? y)在平面區(qū)域D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導數(shù)? 則對于每一點P0(x0? y0)?D? 都可確定一個向量

高等數(shù)學課程建設組

1221,)???22?f?l1211?3??3??2??(5?32)?

2222(1,1,2)高等數(shù)學教案

§8

多元函數(shù)微分法及其應用

fx(x0? y0)i?fy(x0? y0)j?

這向量稱為函數(shù)f(x? y)在點P0(x0? y0)的梯度? 記作grad f(x0? y0)? 即

grad f(x0? y0)? fx(x0? y0)i?fy(x0? y0)j?

梯度與方向?qū)?shù)? ?

如果函數(shù)f(x? y)在點P0(x0? y0)可微分? el?(cos ??? cos ??)是與方向l同方向的單位向量? 則

?f?l?fx(x0,y0)cos??fy(x0,y0)cos??

(x0,y0)

? grad f(x0? y0)?el

?| grad f(x0? y0)|?cos(grad f(x0? y0)?el)?

這一關(guān)系式表明了函數(shù)在一點的梯度與函數(shù)在這點的方向?qū)?shù)間的關(guān)系? 特別? 當向量el與grad f(x0? y0)的夾角??0? 即沿梯度方向時? 方向?qū)?shù)

?f?l^

取得最大值? 這個最大值就是梯度

(x0,y0)的模|grad f(x0? y0)|? 這就是說? 函數(shù)在一點的梯度是個向量? 它的方向是函數(shù)在這點的方向?qū)?shù)取得最大值的方向? 它的模就等于方向?qū)?shù)的最大值?

討論? ?f?l的最大值?

?

結(jié)論? 函數(shù)在某點的梯度是這樣一個向量? 它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致? 而它的模為方向?qū)?shù)的最大值?

我們知道? 一般說來二元函數(shù)z?f(x? y)在幾何上表示一個曲面? 這曲面被平面z?c(c是常數(shù))所截得的曲線L的方程為

??z?f(x,y)?

z?c?這條曲線L在xOy面上的投影是一條平面曲線L*? 它在xOy平面上的方程為

f(x? y)?c?

對于曲線L*上的一切點? 已給函數(shù)的函數(shù)值都是c? 所以我們稱平面曲線L*為函數(shù)z?f(x? y)的等值線?

若f x? f y不同時為零? 則等值線f(x? y)?c上任一點P0(x0? y0)處的一個單位法向量為

n?1fx2(x0,y0)?fy2(x0,y0)(fx(x0,y0),fy(x0,y0))?

這表明梯度grad f(x0? y0)的方向與等值線上這點的一個法線方向相同? 而沿這個方向的方向?qū)?shù)

高等數(shù)學課程建設組 高等數(shù)學教案

§8

多元函數(shù)微分法及其應用

?f就等于|grad f(x0? y0)|? 于是 ?n

gradf(x0,y0)??fn?

?n

這一關(guān)系式表明了函數(shù)在一點的梯度與過這點的等值線、方向?qū)?shù)間的關(guān)系? 這說是說? 函數(shù)在一點的梯度方向與等值線在這點的一個法線方向相同? 它的指向為從數(shù)值較低的等值線指向數(shù)值較高的等值線? 梯度的模就等于函數(shù)在這個法線方向的方向?qū)?shù)?

梯度概念可以推廣到三元函數(shù)的情形? 設函數(shù)f(x? y? z)在空間區(qū)域G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導數(shù)? 則對于每一點P0(x0? y0? z0)?G? 都可定出一個向量

fx(x0? y0? z0)i?fy(x0? y0? z0)j?fz(x0? y0? z0)k?

這向量稱為函數(shù)f(x? y? z)在點P0(x0? y0? z0)的梯度? 記為grad f(x0? y0? z0)? 即

grad f(x0? y0? z0)?fx(x0? y0? z0)i?fy(x0? y0? z0)j?fz(x0? y0? z0)k?

結(jié)論? 三元函數(shù)的梯度也是這樣一個向量? 它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致? 而它的模為方向?qū)?shù)的最大值?

如果引進曲面

f(x? y? z)?c

為函數(shù)的等量面的概念? 則可得函數(shù)f(x? y? z)在點P0(x0? y0? z0)的梯度的方向與過點P0的等量面 f(x? y? z)?c在這點的法線的一個方向相同? 且從數(shù)值較低的等量面指向數(shù)值較高的等量面? 而梯度的模等于函數(shù)在這個法線方向的方向?qū)?shù)?

例3 求grad 1?

x?y22 解 這里f(x,y)?1?

x?y2

2因為 ?f?f2y2x? ?

??2???x?y(x?y2)2(x2?y2)22y2x1??i?j?

222222x2?y2(x?y)(x?y)所以

grad

例4 設f(x? y? z)?x2?y2?z2? 求grad f(1? ?1? 2)?

解 grad f?(fx? fy? fz)?(2x? 2y? 2z)?

于是

grad f(1? ?1? 2)?(2? ?2? 4)?

數(shù)量場與向量場? 如果對于空間區(qū)域G內(nèi)的任一點M? 都有一個確定的數(shù)量f(M)? 則稱在這空間區(qū)域G內(nèi)確定了一個數(shù)量場(例如溫度場、密度場等)? 一個數(shù)量場可用一個數(shù)量函數(shù)f(M)來

高等數(shù)學課程建設組 高等數(shù)學教案

§8

多元函數(shù)微分法及其應用

確定? 如果與點M相對應的是一個向量F(M)? 則稱在這空間區(qū)域G內(nèi)確定了一個向量場(例如力場、速度場等)? 一個向量場可用一個向量函數(shù)F(M)來確定? 而

F(M)?P(M)i?Q(M)j?R(M)k?

其中P(M)? Q(M)? R(M)是點M的數(shù)量函數(shù)?

利用場的概念? 我們可以說向量函數(shù)grad f(M)確定了一個向量場——梯度場? 它是由數(shù)量場f(M)產(chǎn)生的? 通常稱函數(shù)f(M)為這個向量場的勢? 而這個向量場又稱為勢場? 必須注意? 任意一個向量場不一定是勢場? 因為它不一定是某個數(shù)量函數(shù)的梯度場??

例5 試求數(shù)量場m所產(chǎn)生的梯度場? 其中常數(shù)m>0?

r?r?x2?y2?z2為原點O與點M(x? y? z)間的距離?

?rmx 解 ?(m)??m? ??23?xrr?xrmy?m?mmz()??3? 同理

()??3? ?yrr?zrrymmxz從而

grad??2(i?j?k)?

rrrrr?yxz記er?i?j?k? 它是與OM同方向的單位向量? 則?rrr

grad??mrmer? r

2上式右端在力學上可解釋為? 位于原點O 而質(zhì)量為m 質(zhì)點對位于點M而質(zhì)量為l的質(zhì)點的引力? 這引力的大小與兩質(zhì)點的質(zhì)量的乘積成正比、而與它們的距平方成反比? 這引力的方向由點M指向原點? 因此數(shù)量場

§8? 多元函數(shù)的極值及其求法

一、多元函數(shù)的極值及最大值、最小值

定義

設函數(shù)z?f(x? y)在點(x0? y0)的某個鄰域內(nèi)有定義? 如果對于該鄰域內(nèi)任何異于(x0? y0)的點(x? y)? 都有

f(x? y)f(x0? y0))?

高等數(shù)學課程建設組 mmm的勢場即梯度場grad稱為引力場? 而函數(shù)稱為引力勢? rrr高等數(shù)學教案

§8

多元函數(shù)微分法及其應用

則稱函數(shù)在點(x0? y0)有極大值(或極小值)f(x0? y0)?

極大值、極小值統(tǒng)稱為極值? 使函數(shù)取得極值的點稱為極值點?

例1 函數(shù)z?3x2?4y2在點(0? 0)處有極小值?

?

當(x? y)?(0? 0)時? z?0? 而當(x? y)?(0? 0)時? z?0? 因此z?0是函數(shù)的極小值?

例2 函數(shù)z??x2?y2在點(0? 0)處有極大值?

?

當(x? y)?(0? 0)時? z?0? 而當(x? y)?(0? 0)時? z?0? 因此z?0是函數(shù)的極大值?

例3 函數(shù)z?xy在點(0? 0)處既不取得極大值也不取得極小值?

?

因為在點(0? 0)處的函數(shù)值為零? 而在點(0? 0)的任一鄰域內(nèi)? 總有使函數(shù)值為正的點? 也有使函數(shù)值為負的點?

以上關(guān)于二元函數(shù)的極值概念? 可推廣到n元函數(shù)?

設n元函數(shù)u?f(P)在點P0的某一鄰域內(nèi)有定義? 如果對于該鄰域內(nèi)任何異于P0的點P? 都有

f(P)f(P 0))?

則稱函數(shù)f(P)在點P0有極大值(或極小值)f(P0)?

定理1(必要條件)設函數(shù)z?f(x? y)在點(x0? y0)具有偏導數(shù)? 且在點(x0? y0)處有極值? 則有

fx(x0? y0)?0? fy(x0? y0)?0?

證明 不妨設z?f(x? y)在點(x0? y0)處有極大值? 依極大值的定義? 對于點(x0? y0)的某鄰域內(nèi)異于(x0? y0)的點(x? y)? 都有不等式

f(x? y)

特殊地? 在該鄰域內(nèi)取y?y0而x?x0的點? 也應有不等式

f(x? y0)

這表明一元函數(shù)f(x? y0)在x?x0處取得極大值? 因而必有

fx(x0? y0)?0?

類似地可證

fy(x0? y0)?0?

從幾何上看? 這時如果曲面z?f(x? y)在點(x0? y0? z0)處有切平面? 則切平面

z?z0?fx(x0? y0)(x?x0)? fy(x0? y0)(y?y0)成為平行于xOy坐標面的平面z?z0?

類似地可推得? 如果三元函數(shù)u?f(x? y? z)在點(x0? y0? z0)具有偏導數(shù)? 則它在點(x0? y0? z0)具有極值的必要條件為

fx(x0? y0? z0)?0? fy(x0? y0? z0)?0? fz(x0? y0? z0)?0?

仿照一元函數(shù)? 凡是能使fx(x? y)?0? fy(x? y)?0同時成立的點(x0? y0)稱為函數(shù)z?f(x? y)的駐點?

從定理1可知? 具有偏導數(shù)的函數(shù)的極值點必定是駐點? 但函數(shù)的駐點不一定是極值點?

?

高等數(shù)學課程建設組 高等數(shù)學教案

§8

多元函數(shù)微分法及其應用

例如? 函數(shù)z?xy在點(0? 0)處的兩個偏導數(shù)都是零? 函數(shù)在(0? 0)既不取得極大值也不取得極小值?

?

定理2(充分條件)

設函數(shù)z?f(x? y)在點(x0? y0)的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導數(shù)? 又fx(x0? y0)?0? fy(x0? y0)?0? 令

fxx(x0? y0)?A? fxy(x0? y0)?B? fyy(x0? y0)?C?

則f(x? y)在(x0? y0)處是否取得極值的條件如下?

(1)AC?B2>0時具有極值? 且當A<0時有極大值? 當A>0時有極小值?

(2)AC?B2<0時沒有極值?

(3)AC?B?0時可能有極值? 也可能沒有極值?

??

在函數(shù)f(x? y)的駐點處如果 fxx? fyy?fxy2>0? 則函數(shù)具有極值? 且當fxx<0時有極大值? 當fxx>0時有極小值?

極值的求法?

第一步 解方程組

fx(x? y)?0? fy(x? y)?0?

求得一切實數(shù)解? 即可得一切駐點?

第二步 對于每一個駐點(x0? y0)? 求出二階偏導數(shù)的值A(chǔ)、B和C?

第三步 定出AC?B的符號? 按定理2的結(jié)論判定f(x0? y0)是否是極值、是極大值 還是極小值?

例4 求函數(shù)f(x? y)?x3?y3?3x2?3y2?9x 的極值?

?fx(x,y)?3x2?6x?9?0 解 解方程組??

2f(x,y)??3y?6y?0?y22求得x?1? ?3? y?0? 2? 于是得駐點為(1? 0)、(1? 2)、(?3? 0)、(?3? 2)?

再求出二階偏導數(shù)

fxx(x? y)?6x?6? fxy(x? y)?0? fyy(x? y)??6y?6?

在點(1? 0)處? AC?B2?12?6>0? 又A>0? 所以函數(shù)在(1? 0)處有極小值f(1? 0)??5?

在點(1? 2)處? AC?B2?12?(?6)<0? 所以f(1? 2)不是極值?

在點(?3? 0)處? AC?B??12?6<0? 所以f(?3? 0)不是極值?

在點(?3? 2)處? AC?B2??12?(?6)>0? 又A<0? 所以函數(shù)的(?3? 2)處有極大值f(?3? 2)?31?

應注意的問題?

不是駐點也可能是極值點?

高等數(shù)學課程建設組 2高等數(shù)學教案

§8

多元函數(shù)微分法及其應用

例如? ? 函數(shù)z??x2?y2在點(0? 0)處有極大值? 但(0? 0)不是函數(shù)的駐點? 因此? 在考慮函數(shù)的極值問題時? 除了考慮函數(shù)的駐點外? 如果有偏導數(shù)不存在的點? 那么對這些點也應當考慮?

最大值和最小值問題? 如果f(x? y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)? 則f(x? y)在D上必定能取得最大值和最小值? 這種使函數(shù)取得最大值或最小值的點既可能在D的內(nèi)部? 也可能在D的邊界上? 我們假定? 函數(shù)在D上連續(xù)、在D內(nèi)可微分且只有有限個駐點? 這時如果函數(shù)在D的內(nèi)部取得最大值(最小值)? 那么這個最大值(最小值)也是函數(shù)的極大值(極小值)? 因此? 求最大值和最小值的一般方法是? 將函數(shù)f(x? y)在D內(nèi)的所有駐點處的函數(shù)值及在D的邊界上的最大值和最小值相互比較? 其中最大的就是最大值? 最小的就是最小值? 在通常遇到的實際問題中? 如果根據(jù)問題的性質(zhì)? 知道函數(shù)f(x? y)的最大值(最小值)一定在D的內(nèi)部取得? 而函數(shù)在D內(nèi)只有一個駐點? 那么可以肯定該駐點處的函數(shù)值就是函數(shù)f(x? y)在D上的最大值(最小值)?

例5 某廠要用鐵板做成一個體積為8m3的有蓋長方體水箱? 問當長、寬、高各取多少時? 才能使用料最省?

解 設水箱的長為xm? 寬為ym? 則其高應為A?2(xy?y?8m? 此水箱所用材料的面積為 xy8888?x?)?2(xy??)(x?0, y?0)?

xyxyxy令Ax?2(y?88? A?2(x?)?0? 得x?2? y?2?)?0y22yx

根據(jù)題意可知? 水箱所用材料面積的最小值一定存在? 并在開區(qū)域D?{(x? y)|x>0? y>0}內(nèi)取得? 因為函數(shù)A在D內(nèi)只有一個駐點? 所以 此駐點一定是A的最小值點? 即當水箱的長為2m、寬為2m、高為? 因此A在D內(nèi)的唯一駐點(2? 2)處取得最小值? ?即長為2m、寬為2m、高為

從這個例子還可看出?

在體積一定的長方體中? 以立方體的表面積為最小??

例6 有一寬為24cm的長方形鐵板? 把它兩邊折起來做成一斷面為等腰梯形的水槽? 問怎樣折法才能使斷面的面積最大？?

解 設折起來的邊長為xcm? 傾角為?? 那末梯形斷面的下底長為24?2x? 上底長為24?2x?cos?? 高為x?sin?? 所以斷面面積

高等數(shù)學課程建設組 8?2m時? 水箱所用的材料最省?

?2?28?2m時? 所用材料最省? ?2?2高等數(shù)學教案

§8

多元函數(shù)微分法及其應用

A?1(24?2x?2xcos??24?2x)?xsin??

2即A?24x?sin??2x2sin??x2sin? cos?(0

可見斷面面積A是x和?的二元函數(shù)? 這就是目標函數(shù)? 面求使這函數(shù)取得最大值的點(x? ?)?

令Ax?24sin??4xsin??2xsin? cos??0?

A??24xcos??2x2 cos??x2(cos2??sin2?)?0?

由于sin? ?0? x?0? 上述方程組可化為

??12?2x?xcos??0?

22??2xcos??x(cos??sin?)?0?24cos解這方程組? 得??60?? x?8cm?

根據(jù)題意可知斷面面積的最大值一定存在? 并且在D?{(x? y)|0

二、條件極值

拉格朗日乘數(shù)法

對自變量有附加條件的極值稱為條件極值?

例如? 求表面積為a而體積為最大的長方體的體積問題? 設長方體的三棱的長為x? y? z? 則體積V?xyz? 又因假定表面積為a2? 所以自變量x? y? z還必須滿足附加條件2(xy?yz?xz)?a?

?

這個問題就是求函數(shù)V?xyz在條件2(xy?yz?xz)?a2下的最大值問題? 這是一個條件極值問題?

對于有些實際問題? 可以把條件極值問題化為無條件極值問題?

?

例如上述問題? ? 由條件2(xy?yz?

V?xz)?a22

2? 解得z?a2?2xy2(x?y)? 于是得

xya2?2xy()?

2(x?y)只需求V的無條件極值問題?

在很多情形下? 將條件極值化為無條件極值并不容易? 需要另一種求條件極值的專用方法? 這就是拉格朗日乘數(shù)法?

現(xiàn)在我們來尋求函數(shù)z?f(x? y)在條件?(x? y)?0下取得極值的必要條件?

如果函數(shù)z?f(x? y)在(x0? y0)取得所求的極值? 那么有

?(x0? y0)?0?

假定在(x0? y0)的某一鄰域內(nèi)f(x? y)與?(x? y)均有連續(xù)的一階偏導數(shù)? 而?y(x0? y0)?0?

由隱函數(shù)存在定理? 由方程?(x? y)?0確定一個連續(xù)且具有連續(xù)導數(shù)的函數(shù)y??(x)? 將其代入目標函數(shù)z?f(x? y)?

高等數(shù)學課程建設組 高等數(shù)學教案

§8

多元函數(shù)微分法及其應用

得一元函數(shù)

z?f [x? ?(x)]?

于是x?x0是一元函數(shù)z?f [x? ?(x)]的極值點? 由取得極值的必要條件? 有

dzdxx?x0?fx(x0,y0)?fy(x0,y0)dydxx?x0?0?

即

fx(x0,y0)?fy(x0,y0)?x(x0,y0)?0?

?y(x0,y0)從而函數(shù)z?f(x? y)在條件?(x? y)?0下在(x0? y0)取得極值的必要條件是

fx(x0,y0)?fy(x0,y0)?x(x0,y0)?0與?(x0? y0)?0同時成立?

?y(x0,y0)

設fy(x0,y0)?y(x0,y0)???? 上述必要條件變?yōu)?/p>

?fx(x0,y0)???x(x0,y0)?0?

?fy(x0,y0)???y(x0,y0)?0?

??(x,y)?000?

拉格朗日乘數(shù)法? 要找函數(shù)z?f(x? y)在條件?(x? y)?0下的可能極值點? 可以先構(gòu)成輔助函數(shù)

F(x? y)?f(x? y)???(x? y)?

其中?為某一常數(shù)?

然后解方程組

?Fx(x,y)?fx(x,y)???x(x,y)?0?

?Fy(x,y)?fy(x,y)???y(x,y)?0?

??(x,y)?0?由這方程組解出x? y及?? 則其中(x? y)就是所要求的可能的極值點?

這種方法可以推廣到自變量多于兩個而條件多于一個的情形?

至于如何確定所求的點是否是極值點? 在實際問題中往往可根據(jù)問題本身的性質(zhì)來判定?

例7 求表面積為a而體積為最大的長方體的體積?

解 設長方體的三棱的長為x? y? z? 則問題就是在條件

2(xy?yz?xz)?a2

下求函數(shù)V?xyz的最大值?

構(gòu)成輔助函數(shù)

F(x? y? z)?xyz??(2xy ?2yz ?2xz ?a2)?

解方程組

高等數(shù)學課程建設組 2高等數(shù)學教案

§8

多元函數(shù)微分法及其應用

?Fx(x,y,z)?yz?2?(y?z)?0??Fy(x,y,z)?xz?2?(x?z)?0?

?Fz(x,y,z)?xy?2?(y?x)?0?2??2xy?2yz?2xz?a得x?y?z?6a?

6這是唯一可能的極值點?

因為由問題本身可知最大值一定存在? ?所以最大值就在這個可能的值點處取得? 此時V?

高等數(shù)學課程建設組

63a?

36高等數(shù)學教案

§8

多元函數(shù)微分法及其應用

高等數(shù)學課程建設組 高等數(shù)學教案

§8

多元函數(shù)微分法及其應用

高等數(shù)學課程建設組

第四篇：同濟第六版《高等數(shù)學》教案WORD版-第12章 微分方程

高等數(shù)學教案

§12 微分方程

第十二章

微分方程

教學目的：

1．了解微分方程及其解、階、通解，初始條件和特等概念。2．熟練掌握變量可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法。

3．會解齊次微分方程、伯努利方程和全微分方程，會用簡單的變量代換解某些微分方程。4． 會用降階法解下列微分方程：y(n)?f(x)，y???f(x,y?)和y???f(y,y?)5． 理解線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理。

6．掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法，并會解某些高于二階的常系數(shù)齊次線性微分方程。

7.求自由項為多項式、指數(shù)函數(shù)、余弦函數(shù)，以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解和通解。

8.會解歐拉方程，會解包含兩個未知函數(shù)的一階常系數(shù)線性微分方程組。9．會解微分方程組（或方程組）解決一些簡單的應用問題。教學重點：

1、可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法

(n)

2、可降階的高階微分方程y?f(x)，y???f(x,y?)和y???f(y,y?)

3、二階常系數(shù)齊次線性微分方程；

4、自由項為多項式、指數(shù)函數(shù)、余弦函數(shù)，以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程；

教學難點：

1、齊次微分方程、伯努利方程和全微分方程；

2、線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理；

3、自由項為多項式、指數(shù)函數(shù)、余弦函數(shù)，以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解。

內(nèi)蒙古財經(jīng)大學統(tǒng)計與數(shù)學學院公共數(shù)學教研室 高等數(shù)學教案

§12 微分方程

4、歐拉方程

§12? 1 微分方程的基本概念

函數(shù)是客觀事物的內(nèi)部聯(lián)系在數(shù)量方面的反映? 利用函數(shù)關(guān)系又可以對客觀事物的規(guī)律性進行研究? 因此如何尋找出所需要的函數(shù)關(guān)系? 在實踐中具有重要意義? 在許多問題中? 往往不能直接找出所需要的函數(shù)關(guān)系? 但是根據(jù)問題所提供的情況? 有時可以列出含有要找的函數(shù)及其導數(shù)的關(guān)系式? 這樣的關(guān)系就是所謂微分方程? 微分方程建立以后? 對它進行研究? 找出未知函數(shù)來? 這就是解微分方程?

例1 一曲線通過點(1? 2)? 且在該曲線上任一點M(x? y)處的切線的斜率為2x? 求這曲線的方程?

解 設所求曲線的方程為y?y(x)? 根據(jù)導數(shù)的幾何意義? 可知未知函數(shù)y?y(x)應滿足關(guān)系式(稱為微分方程)

dy?2x?

(1)

dx此外? 未知函數(shù)y?y(x)還應滿足下列條件?

x?1時? y?2? 簡記為y|x?1?2?

(2)把(1)式兩端積分? 得(稱為微分方程的通解)

y?2xdx? 即y?x2?C?

(3)其中C是任意常數(shù)?

把條件“x?1時? y?2”代入(3)式? 得

2?12?C?

由此定出C?1? 把C?1代入(3)式? 得所求曲線方程(稱為微分方程滿足條件y|x?1?2的解)?

y?x2?1?

例2 列車在平直線路上以20m/s(相當于72km/h)的速度行駛? 當制動時列車獲得加速度?0?4m/s2? 問開始制動后多少時間列車才能停住? 以及列車在這段時間里行駛了多少路程?

解 設列車在開始制動后t秒時行駛了s米? 根據(jù)題意? 反映制動階段列車運動規(guī)律的函數(shù)s?s(t)應滿足關(guān)系式

?d2s??0.4?

(4)dt2內(nèi)蒙古財經(jīng)大學統(tǒng)計與數(shù)學學院公共數(shù)學教研室 高等數(shù)學教案

§12 微分方程

此外? 未知函數(shù)s?s(t)還應滿足下列條件?

t?0時? s?0? v?ds?20? 簡記為s|=0? s?|=20?

(5)

t?0t?0dt

把(4)式兩端積分一次? 得

v?ds??0.4t?C?

(6)1dt再積分一次? 得

s??0?2t2 ?C1t ?C2?

(7)這里C1? C2都是任意常數(shù)?

把條件v|t?0?20代入(6)得

20?C1?

把條件s|t?0?0代入(7)得0?C2?

把C1? C2的值代入(6)及(7)式得

v??0?4t ?20?

(8)

s??0?2t2?20t?

(9)在(8)式中令v?0? 得到列車從開始制動到完全停住所需的時間

t?20?50(s)?

0.4再把t?50代入(9)? 得到列車在制動階段行駛的路程

s??0?2?502?20?50?500(m)?

解 設列車在開始制動后t秒時行駛了s米?

s????0?4? 并且s|t?0=0? s?|t?0=20?

把等式s????0?4兩端積分一次? 得

s???0?4t?C1? 即v??0?4t?C1(C1是任意常數(shù))?

再積分一次? 得

s??0?2t2 ?C1t ?C2(C1? C2都C1是任意常數(shù))?

由v|t?0?20得20?C1? 于是v??0?4t ?20?

由s|t?0?0得0?C2? 于是s??0?2t2?20t?

令v?0? 得t?50(s)? 于是列車在制動階段行駛的路程

內(nèi)蒙古財經(jīng)大學統(tǒng)計與數(shù)學學院公共數(shù)學教研室 高等數(shù)學教案

§12 微分方程

s??0?2?502?20?50?500(m)?

幾個概念?

微分方程? 表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導數(shù)與自變量之間的關(guān)系的方程? 叫微分方程?

常微分方程? 未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程? 叫常微分方程?

偏微分方程? 未知函數(shù)是多元函數(shù)的微分方程? 叫偏微分方程?

微分方程的階? 微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導數(shù)的階數(shù)? 叫微分方程的階?

x3 y????x2 y???4xy??3x2 ?

y(4)?4y????10y???12y??5y?sin2x?

y(n)?1?0?

一般n階微分方程?

F(x? y? y??

? ? ? ? y(n))?0?

y(n)?f(x? y? y??

? ? ? ? y(n?1))?

微分方程的解? 滿足微分方程的函數(shù)(把函數(shù)代入微分方程能使該方程成為恒等式)叫做該微分方程的解? 確切地說? 設函數(shù)y??(x)在區(qū)間I上有n階連續(xù)導數(shù)? 如果在區(qū)間I上?

F[x? ?(x)? ??(x)? ? ? ?? ?(n)(x)]?0?

那么函數(shù)y??(x)就叫做微分方程F(x? y? y?? ? ? ?? y(n))?0在區(qū)間I上的解?

通解? 如果微分方程的解中含有任意常數(shù)? 且任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同? 這樣的解叫做微分方程的通解?

初始條件? 用于確定通解中任意常數(shù)的條件? 稱為初始條件? 如

x?x0 時? y?y0 ? y?? y?0 ?

一般寫成

??

yx?x0?y0? y?x?x0?y0

特解? 確定了通解中的任意常數(shù)以后? 就得到微分方程的特解? 即不含任意常數(shù)的解?

初值問題? 求微分方程滿足初始條件的解的問題稱為初值問題?

如求微分方程y??f(x?

y)滿足初始條件yx?x0?y0的解的問題? 記為

?y??f(x,y)

?? yx?x0?y0?內(nèi)蒙古財經(jīng)大學統(tǒng)計與數(shù)學學院公共數(shù)學教研室 高等數(shù)學教案

§12 微分方程

積分曲線? 微分方程的解的圖形是一條曲線? 叫做微分方程的積分曲線?

例3 驗證? 函數(shù)

x?C1cos kt?C2 sin kt 是微分方程

d2x?k2x?0

dt2的解?

解 求所給函數(shù)的導數(shù)?

dx??kCsinkt?kCcoskt? 12dtd2x??k2Ccoskt?k2Csinkt??k2(Ccoskt?Csinkt)

?

1212dt2d2x將2及x的表達式代入所給方程? 得 dt

?k2(C1cos kt?C2sin kt)? k2(C1cos kt?C2sin kt)?0?

d2x?k2x?0

這表明函數(shù)x?C1coskt?C2sinkt 滿足方程2? 因此所給函數(shù)是所給方程的解?

dtd2x?k2x?0

例4 已知函數(shù)x?C1coskt?C2sinkt(k?0)是微分方程2的通解? 求滿足初始條件

dt

x| t?0 ?A? x?| t?0 ?0 的特解?

解

由條件x| t?0 ?A及x?C1 cos kt?C2 sin kt? 得

C1?A?

再由條件x?| t?0 ?0? 及x?(t)??kC1sin kt?kC2cos kt? 得

C2?0?

把C1、C2的值代入x?C1cos kt?C2sin kt中? 得

x?Acos kt?

§12? 2 可分離變量的微分方程

觀察與分析?

1? 求微分方程y??2x的通解? 為此把方程兩邊積分? 得

內(nèi)蒙古財經(jīng)大學統(tǒng)計與數(shù)學學院公共數(shù)學教研室 高等數(shù)學教案

§12 微分方程

y?x2?C?

一般地? 方程y??f(x)的通解為y?f(x)dx?C(此處積分后不再加任意常數(shù))?

2? 求微分方程y??2xy2 的通解?

因為y是未知的? 所以積分2xy2dx無法進行? 方程兩邊直

??接積分不能求出通解?

為求通解可將方程變?yōu)?/p>

?1dy?2xdx? 兩邊積分? 得

y21?x2?C1? ? 或y??2yx?C可以驗證函數(shù)y??1是原方程的通解?

x2?C

一般地? 如果一階微分方程y???(x, y)能寫成 g(y)dy?f(x)dx

形式? 則兩邊積分可得一個不含未知函數(shù)的導數(shù)的方程

G(y)?F(x)?C?

由方程G(y)?F(x)?C所確定的隱函數(shù)就是原方程的通解

對稱形式的一階微分方程?

一階微分方程有時也寫成如下對稱形式?

P(x? y)dx?Q(x? y)dy?0 在這種方程中? 變量x與y 是對稱的?

若把x看作自變量、y看作未知函數(shù)? 則當Q(x,y)?0時? 有

dyP(x,y)???

dxQ(x,y)dx??Q(x,y)?

dyP(x,y)若把y看作自變量、x看作未知函數(shù)? 則當P(x,y)?0時? 有

可分離變量的微分方程?

如果一個一階微分方程能寫成

g(y)dy?f(x)dx(或?qū)懗蓎???(x)?(y))的形式? 就是說? 能把微分方程寫成一端只含y的函數(shù)和dy? 另一端只含x的函數(shù)和dx? 那么原內(nèi)蒙古財經(jīng)大學統(tǒng)計與數(shù)學學院公共數(shù)學教研室 高等數(shù)學教案

§12 微分方程

方程就稱為可分離變量的微分方程?

討論? 下列方程中哪些是可分離變量的微分方程？(1)y??2xy?

是? ?y?1dy?2xdx ?(2)3x2?5x?y??0?

是? ?dy?(3x2?5x)dx?(3)(x2?y2)dx?xydy=0?

不是?

(4)y??1?x?y2?xy2? 是? ?y??(1?x)(1?y2)?(5)y??10x?y?

是? ?10?ydy?10xdx?(6)y??x?y?

不是?

yx

可分離變量的微分方程的解法?

第一步

分離變量? 將方程寫成g(y)dy ?f(x)dx的形式?

第二步

兩端積分?g(y)dy?f(x)dx? 設積分后得G(y)?F(x)?C?

第三步

求出由G(y)?F(x)?C所確定的隱函數(shù)y??(x)或x??(y)G(y)?F(x)?C ? y??(x)或x??(y)都是方程的通解? 其中G(y)?F(x)?C稱為隱式(通)解?

例1 求微分方程??dy?2xy的通解?

dx

解

此方程為可分離變量方程? 分離變量后得

1dy?2xdx?

y1兩邊積分得

?ydy??2xdx?

2即

ln|y|?x2?C1?

從而

y??ex?C1??eC1ex? 2因為?eC1仍是任意常數(shù)? 把它記作C? 便得所給方程的通解

y?Cex?

解

此方程為可分離變量方程? 分離變量后得

21dy?2xdx?

y內(nèi)蒙古財經(jīng)大學統(tǒng)計與數(shù)學學院公共數(shù)學教研室 高等數(shù)學教案

§12 微分方程

兩邊積分得

1dy?2xdx?

?y?即

ln|y|?x2?lnC? 從而

y?Cex?

例2 鈾的衰變速度與當時未衰變的原子的含量M成正比? 已知t?0時鈾的含量為M0? 求在衰變過程中鈾含量M(t)隨時間t變化的規(guī)律?

解 鈾的衰變速度就是M(t)對時間t的導數(shù)2dM?

dt

由于鈾的衰變速度與其含量成正比? 故得微分方程

dM???M?

dtdM?0?

dt其中?(?>0)是常數(shù)? ?前的曲面號表示當t增加時M單調(diào)減少? 即由題意? 初始條件為

M|t?0?M0?

將方程分離變量得

dM???dt?

MdM?(??)dt?

?M?兩邊積分? 得即

lnM???t?lnC? 也即M?Ce??t?

由初始條件? 得M0?Ce0?C?

所以鈾含量M(t)隨時間t變化的規(guī)律M?M0e??t ?

例3 設降落傘從跳傘塔下落后? 所受空氣阻力與速度成正比? 并設降落傘離開跳傘塔時速度為零? 求降落傘下落速度與時間的函數(shù)關(guān)系?

解

設降落傘下落速度為v(t)? 降落傘所受外力為F?mg?kv(k為比例系數(shù))? 根據(jù)牛頓第二運動定律F?ma? 得函數(shù)v(t)應滿足的方程為

mdv?mg?kv?

dt內(nèi)蒙古財經(jīng)大學統(tǒng)計與數(shù)學學院公共數(shù)學教研室 高等數(shù)學教案

§12 微分方程

初始條件為

v|t?0?0?

方程分離變量? 得

dv?dt?

mg?kvm兩邊積分? 得?mg?kv??m?

t?C?

m1dvdt

?ln(mg?kv)?1k?kC1?ktmg?Cem(C??e即

v?)?

kkmg將初始條件v|t?0?0代入通解得C???

k?ktmg(1?em)?

于是降落傘下落速度與時間的函數(shù)關(guān)系為v?kdy?1?x?y2?xy2的通解?

例4 求微分方程dx

解 方程可化為

dy?(1?x)(1?y2)?

dx分離變量得

1dy?(1?x)dx?

1?y21dy?(1?x)dx? 即1x2?x?C?

arctany??1?y2?2兩邊積分得

于是原方程的通解為y?tan(x2?x?C)?

例4 有高為1m的半球形容器? 水從它的底部小孔流出? 小孔橫截面面積為1cm2? 開始時容器內(nèi)盛滿了水? 求水從小孔流出過程中容器里水面高度h隨時間t變化的規(guī)律?

解 由水力學知道? 水從孔口流出的流量Q可用下列公式計算?

Q?12dV?0.62S2gh?

dt內(nèi)蒙古財經(jīng)大學統(tǒng)計與數(shù)學學院公共數(shù)學教研室 其中0? 62為流量系數(shù)? S為孔口橫截面面積? g為重力加速度? 現(xiàn)在孔口橫截面面積S?1cm2? 故 高等數(shù)學教案

§12 微分方程

dV?0.622gh? 或dV?0.622ghdt?

dt

另一方面? 設在微小時間間隔[t? t?dt]內(nèi)? 水面高度由h降至h?dh(dh?0)? 則又可得到

dV???r2dh?

其中r是時刻t的水面半徑? 右端置負號是由于dh?0而dV?0的緣故? 又因

r?1002?(100?h)2?200h?h2?

所以

dV???(200h?h2)dh?

通過比較得到

0.622ghdt???(200h?h2)dh?

這就是未知函數(shù)h?h(t)應滿足的微分方程?

此外? 開始時容器內(nèi)的水是滿的? 所以未知函數(shù)h?h(t)還應滿足下列初始條件?

h|t?0?100?

將方程0.622ghdt???(200h?h2)dh分離變量后得

dt??兩端積分? 得

t???0.622g132(200h?h2)dh?

?0.622g?13(200h2?h2)dh?

即

t??(400h2?2h2)?C?

50.622g3其中C是任意常數(shù)?

由初始條件得

t??(400?1002?2?1002)?C?

50.622gC??35?35?(400000?200000)??14?105?

350.622g0.622g15內(nèi)蒙古財經(jīng)大學統(tǒng)計與數(shù)學學院公共數(shù)學教研室 ?高等數(shù)學教案

§12 微分方程

因此

t??0.622g(7?1053532?10h?3h2)?

上式表達了水從小孔流出的過程中容器內(nèi)水面高度h與時間t之間的函數(shù)關(guān)系?

§12? 3 齊次方程

齊次方程?

如果一階微分方程dy?f(x,y)中的函數(shù)f(x, y)可寫成 dxyy的函數(shù)? 即f(x,y)??()? 則稱這方程為齊次方程?

xx

下列方程哪些是齊次方程？

dyy?y2?x2dyyy

(1)xy??y?y?x?0是齊次方程??????()2?1?

dxxdxxx22dy1?y

2(2)1?xy??1?y不是齊次方程???

?dx1?x222dyx2?y2dyxy?????

(3)(x?y)dx?xydy?0是齊次方程? ?dxxydxyx22

(4)(2x?y?4)dx?(x?y?1)dy?0不是齊次方程??

(5)(2xshdy2x?y?4???

dxx?y?1yyy?3ych)dx?3xchdy?0是齊次方程?

xxxyy2xsh?3ychdyxx?dy?2thy?y ?

?ydxdx3xx3xchx

齊次方程的解法?

在齊次方程

ydyy??()中? 令u?? 即y?ux? 有 dxxx內(nèi)蒙古財經(jīng)大學統(tǒng)計與數(shù)學學院公共數(shù)學教研室 高等數(shù)學教案

§12 微分方程

u?x分離變量? 得

du??(u)?

dxdu?dx? ?(u)?uxdu?dx??(u)?u?x? 兩端積分? 得

求出積分后? 再用y代替u? 便得所給齊次方程的通解?

xdydy?xy?

dxdx

例

1解方程y2?x2

解

原方程可寫成

y2()dyyx??

?

dxxy?x2y?1x2因此原方程是齊次方程? 令

y?ux? 于是原方程變?yōu)?/p>

2duu?

u?x?

dxu?1y?u? 則 xdy?u?xdu?

dxdx即

xdu?u?

dxu?1分離變量? 得

(1?)du?1udx?

x兩邊積分? 得u?ln|u|?C?ln|x|?

或?qū)懗蒷n|xu|?u?C?

以y代上式中的u? 便得所給方程的通解 x

ln|y|?y?C?

x內(nèi)蒙古財經(jīng)大學統(tǒng)計與數(shù)學學院公共數(shù)學教研室 高等數(shù)學教案

§12 微分方程

例2 有旋轉(zhuǎn)曲面形狀的凹鏡? 假設由旋轉(zhuǎn)軸上一點O發(fā)出的一切光線經(jīng)此凹鏡反射后都與旋轉(zhuǎn)軸平行? 求這旋轉(zhuǎn)曲面的方程?

解 設此凹鏡是由xOy面上曲線L? y?y(x)(y>0)繞x軸旋轉(zhuǎn)而成? 光源在原點? 在L上任取一點M(x, y)? 作L的切線交x軸于A? 點O發(fā)出的光線經(jīng)點M反射后是一條平行于x軸射線? 由光學及幾何原理可以證明OA?OM?

因為

OA?AP?OP?PMcot??OP?而

OM?x2?y2?

于是得微分方程

y?x?

y?y?x?x2?y2? y?整理得dx?x?(x)2?1? 這是齊次方程?

dyyydx?x?(x)2?1?

dyyy

問題歸結(jié)為解齊次方程

令即

yx?vdv?v?v2?1? 即x?yv? 得v?y?

dyydv?v2?1? dy分離變量? 得dv?dy?

v2?1yyy, ?(?v)2?v2?1, CC兩邊積分? 得 ln(v?v2?1)?lny?lnC, ?v?v2?1?y22yv??1?

C2C以yv?x代入上式? 得y2?2C(x?C)?

2這是以x軸為軸、焦點在原點的拋物線? 它繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程為

y2?z2?2C(x?C)? 2這就是所求的旋轉(zhuǎn)曲面方程?

內(nèi)蒙古財經(jīng)大學統(tǒng)計與數(shù)學學院公共數(shù)學教研室 高等數(shù)學教案

§12 微分方程

例3 設河邊點O的正對岸為點A? 河寬OA?h? 兩岸為平行直線? 水流速度為a? 有一鴨子從點A游向點O? 設鴨子的游速為b(b>a)? 且鴨子游動方向始終朝著點 O? 求鴨子游過的跡線的方程?

例3 設一條河的兩岸為平行直線? 水流速度為a? 有一鴨子從岸邊點A游向正對岸點O? 設鴨子的游速為b(b>a)? 且鴨子游動方向始終朝著點O? 已知OA?h? 求鴨子游過的跡線的方程?

解 取O為坐標原點? 河岸朝順水方向為x軸? y 軸指向?qū)Π? 設在時刻t鴨子位于點P(x, y)? 則鴨子運動速度

v?(vx, vy)?(dx, dy)? 故有dx?vx?

dyvydtdt?x, ?y)? v?(a?bx, ?by)?

x2?y2x2?y2x2?y2x2?y2另一方面? v?a?b?(a, 0)?b(因此dx?vx??a(x)2?1?x? 即dx??a(x)2?1?x?

dybyydyvybyydx??a(x)2?1?x?

dybyy

問題歸結(jié)為解齊次方程

令

yx?u? 即x?yu? 得 ydu??au2?1? dyb分離變量? 得du??ady?

u2?1by兩邊積分? 得 arshu??(lny?lnC)? bax1[(Cy)1?b?(Cy)1?b]?

將u?代入上式并整理? 得x?y2C以x|y?h?0代入上式? 得C?aa1? 故鴨子游過的軌跡方程為

haay1?by1?bh?()]? 0?y?h?

x?[()2hh內(nèi)蒙古財經(jīng)大學統(tǒng)計與數(shù)學學院公共數(shù)學教研室 高等數(shù)學教案

§12 微分方程

將u?x代入arshu??(lny?lnC)后的整理過程?

yabarshx??b(lny?lnC)ya???x?shln(Cy)a?x?1[(Cy)a?(Cy)a] yy2b?by1?b1?b1aaa?x?[(Cy)?(Cy)]?x?[(Cy)?(Cy)a]?

2C2bbb

§12.4 線性微分方程

一、線性方程

線性方程?

方程dy?P(x)y?Q(x)叫做一階線性微分方程? ?dxdydy?P(x)y?0叫做對應于非齊次線性方程?P(x)y?Q(x)的齊次線性方程?

dxdxdydy?y??1y?0是齊次線性方程? dxdxx?2如果Q(x)?0 ? 則方程稱為齊次線性方程? 否則方程稱為非齊次線性方程?

方程

下列方程各是什么類型方程？

(1)(x?2)

(2)3x2?5x?5y??0?y??3x2?5x ? 是非齊次線性方程?

(3)y??y cos x?e?sin x ? 是非齊次線性方程?

(4)dy?10x?y? 不是線性方程? dx23dy3(y?1)2dydxx?x?0???0或?

(5)(y?1)? 不是線性方程?

dxdydx(y?1)2x

3齊次線性方程的解法?

齊次線性方程

dy?P(x)y?0是變量可分離方程? 分離變量后得 dxdy??P(x)dx?

y內(nèi)蒙古財經(jīng)大學統(tǒng)計與數(shù)學學院公共數(shù)學教研室 高等數(shù)學教案

§12 微分方程

兩邊積分? 得

ln|y|??P(x)dx?C1?

?P(x)dx(C??eC1)?

或

y?Ce??這就是齊次線性方程的通解（積分中不再加任意常數(shù)）?

例

1求方程(x?2)dy?y的通解?

dx

解

這是齊次線性方程? 分離變量得

dydx??

yx?2兩邊積分得

ln|y|?ln|x?2|?lnC?

方程的通解為

y?C(x?2)?

非齊次線性方程的解法?

將齊次線性方程通解中的常數(shù)換成x的未知函數(shù)u(x)? 把

?P(x)dx

y?u(x)e?

設想成非齊次線性方程的通解? 代入非齊次線性方程求得

?P(x)dx?P(x)dx?P(x)dx?u(x)e?P(x)?P(x)u(x)e??Q(x)?

u?(x)e?化簡得

u?(x)?Q(x)e?P(x)dx?

u(x)?Q(x)e??P(x)dxdx?C?

于是非齊次線性方程的通解為

?P(x)dxP(x)dx[Q(x)e?dx?C]?

y?e???P(x)dx?P(x)dxP(x)dx或

y?Ce??e?Q(x)e?dx? ?非齊次線性方程的通解等于對應的齊次線性方程通解與非齊次線性方程的一個特解之和?

內(nèi)蒙古財經(jīng)大學統(tǒng)計與數(shù)學學院公共數(shù)學教研室 高等數(shù)學教案

§12 微分方程

5dy2y??(x?1)2的通解?

例2 求方程dxx?1

解

這是一個非齊次線性方程?

先求對應的齊次線性方程分離變量得

dy2y??0的通解?

dxx?1dy2dx??

yx?1兩邊積分得

ln y?2ln(x?1)?ln C?

齊次線性方程的通解為

y?C(x?1)2?

用常數(shù)變易法? 把C換成u? 即令y?u?(x?1)2? 代入所給非齊次線性方程? 得

52u?(x?1)2?(x?1)2

u??(x?1)?2u?(x?1)?x?1 1u??(x?1)2?

兩邊積分? 得 u?(x?1)2?C?

3再把上式代入y?u(x?1)2中? 即得所求方程的通解為 32

y?(x?1)[(x?1)2?C]?

3232? Q(x)?(x?1)2??

解? 這里P(x)??x?12)dx??2ln(x?1)? ?因為

?P(x)dx??(?x?1?P(x)dx?e2ln(x?1)?(x?1)2??

e?5P(x)dxdx??(x?1)2(x?1)?2dx??(x?1)2dx?2(x?1)2??

?Q(x)e?3513所以通解為?

y?e??P(x)dxP(x)dx[?Q(x)e?dx?C]?(x?1)2[2(x?1)2?C]?

33內(nèi)蒙古財經(jīng)大學統(tǒng)計與數(shù)學學院公共數(shù)學教研室 高等數(shù)學教案

§12 微分方程

例3 有一個電路如圖所示? 其中電源電動勢為E?Emsin?t(Em、?都是常數(shù))? 電阻R和電感L都是常量? 求電流i(t)?

解

由電學知道? 當電流變化時? L上有感應電動勢?L

E?L即

di? 由回路電壓定律得出

dtdi?iR?0?

dtdi?Ri?E?

dtLLdi?Ri?Emsin? t?

dtLL

把E?Emsin? t代入上式? 得

初始條件為

i|t?0?0?

di?Ri?Emsin? t為非齊次線性方程? 其中

dtLLER? t?

P(t)?? Q(t)?msinLL

方程由通解公式? 得

i(t)?e??P(t)dt[?Q(t)e?P(t)dtdt?C]??Rdt?eL(RdtEm??Lsin? teLdt?C)

RttEm?RLe(?sin?teLdt?C)

?L?RtEm(Rsin? t?? Lcos? t)?CeL?

?222R??L其中C為任意常數(shù)?

將初始條件i|t?0?0代入通解? 得C?因此? 所求函數(shù)i(t)為

t? LEm?REmL?e(Rsin? t?? Lcos? t)?

i(t)?2R??2L2R2??2L2? LEm?

R2??2L

2二、伯努利方程

伯努利方程? 方程

dy?P(x)y?Q(x)yn(n?0? 1)dx內(nèi)蒙古財經(jīng)大學統(tǒng)計與數(shù)學學院公共數(shù)學教研室 高等數(shù)學教案

§12 微分方程

叫做伯努利方程?

下列方程是什么類型方程？

(1)

(2)dy1?y?1(1?2x)y4? 是伯努利方程? dx33dydy?y?xy5? ??y?xy5? 是伯努利方程? dxdxxy

1(3)y???? ?y??y?xy?1? 是伯努利方程? yxx

(4)dy?2xy?4x? 是線性方程? 不是伯努利方程? dxdy?P(x)y1?n?Q(x)dx

伯努利方程的解法? 以yn除方程的兩邊? 得

y?n令z ?y1?n ? 得線性方程

dz?(1?n)P(x)z?(1?n)Q(x)?

dxdyy??a(lnx)y2的通解?

例4 求方程dxx

解 以y2除方程的兩端? 得

y?2dy1?1?y?alnx?

dxxd(y?1)1?1?y?alnx?

即

?dxx令z?y?1? 則上述方程成為

dz?1z??alnx?

dxxa2這是一個線性方程? 它的通解為

z?x[C?(lnx)2]?

以y?1代z ? 得所求方程的通解為

yx[C?(lnx)2]?1?

經(jīng)過變量代換? 某些方程可以化為變量可分離的方程? 或化為已知其求解方法的方程? a2內(nèi)蒙古財經(jīng)大學統(tǒng)計與數(shù)學學院公共數(shù)學教研室 高等數(shù)學教案

§12 微分方程

例5 解方程dy?1?

dxx?y

解

若把所給方程變形為

dx?x?y?

dy即為一階線性方程? 則按一階線性方程的解法可求得通解? 但這里用變量代換來解所給方程?

令x?y?u? 則原方程化為

du?1?1? 即du?u?1?

dxudxuudu?dx?

u?1分離變量? 得

兩端積分得

u?ln|u?1|?x?ln|C|?

以u?x?y代入上式? 得

y?ln|x?y?1|??ln|C|? 或x?Cey?y?1?

§12? 5 全微分方程

全微分方程? 一個一階微分方程寫成 P(x, y)dx?Q(x, y)dy?0

形式后? 如果它的左端恰好是某一個函數(shù)u?u(x, y)的全微分?

du(x, y)?P(x, y)dx?Q(x, y)dy?

那么方程P(x, y)dx?Q(x, y)dy?0就叫做全微分方程? 這里

?u?P(x,y)? ?u?Q(x,y)?

?y?x而方程可寫為

du(x, y)?0?

全微分方程的判定? 若P(x, y)、Q(x, y)在單連通域G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導數(shù)? 且

?P??Q?

?y?x內(nèi)蒙古財經(jīng)大學統(tǒng)計與數(shù)學學院公共數(shù)學教研室 則方程P(x, y)dx?Q(x, y)dy?0是全微分方程? 高等數(shù)學教案

§12 微分方程

全微分方程的通解?

若方程P(x, y)dx?Q(x, y)dy?0是全微分方程? 且

du(x, y)?P(x, y)dx?Q(x, y)dy 則

u(x, y)?C?

即

?xx0P(x,y)dx??Q(x0,y)dx?C((x0,y0)?G)?

y0y是方程P(x, y)dx?Q(x, y)dy?0的通解

例1 求解(5x4?3xy2?y3)dx?(3x2y?3xy2?y2)dy?0?

解 這里

?P?6xy?3y2??Q?

?y?xxy所以這是全微分方程? 取(x0, y0)?(0, 0)? 有

u(x,y)??0(5x4?3xy2?y3)dx??y2dy

0

?x5?x2y2?xy3?y3?

于是? 方程的通解為

x5?x2y2?xy3?y3?C?

積分因子? 若方程P(x, y)dx?Q(x, y)dy?0不是全微分方程? 但存在一函數(shù)

???(x, y)(?(x, y)?0)? 使方程

?(x, y)P(x, y)dx??(x, y)Q(x, y)dy?0 是全微分方程? 則函數(shù)?(x, y)叫做方程P(x, y)dx?Q(x, y)dy?0的積分因子?

例2 通過觀察求方程的積分因子并求其通解:

(1)ydx?xdy?0?

(2)(1?xy)ydx?(1?xy)xdy?0?

解(1)方程ydx?xdy?0不是全微分方程?

因為

d()?32133213xyydx?xdy?

y2內(nèi)蒙古財經(jīng)大學統(tǒng)計與數(shù)學學院公共數(shù)學教研室 高等數(shù)學教案

§12 微分方程

所以1是方程ydx?xdy?0的積分因子? 于是

y2ydx?xdyx?C是全微分方程? 所給方程的通解為?

?0yy

2(2)方程(1?xy)ydx?(1?xy)xdy?0不是全微分方程?

將方程的各項重新合并? 得

(ydx?xdy)?xy(ydx?xdy)?0?

再把它改寫成 d(xy)?x2y2(這時容易看出dx?dy)?0?

xy1為積分因子? 乘以該積分因子后? 方程就變?yōu)?xy)2

d(xy)dxdy???0?

2xy(xy)積分得通解

1xx

??ln||?lnC? 即?Cexy?

xyyy

我們也可用積分因子的方法來解一階線性方程y??P(x)y?Q(x)?

可以驗證?(x)?e?兩邊乘以?(x)?e?

y?e?即

y?e?亦即

[ye?P(x)dx1是一階線性方程y??P(x)y?Q(x)的一個積分因子? 在一階線性方程的P(x)dx得

P(x)dxP(x)dx?yP(x)e??y[e??Q(x)e?P(x)dx?

P(x)dxP(x)dxP(x)dx]??Q(x)e??

P(x)dxP(x)dx]??Q(x)e??

兩邊積分? 便得通解

ye?P(x)dx??Q(x)e?P(x)dxdx?C?

內(nèi)蒙古財經(jīng)大學統(tǒng)計與數(shù)學學院公共數(shù)學教研室 高等數(shù)學教案

§12 微分方程

?P(x)dxP(x)dx或

y?e?[Q(x)e?dx?C]? ?

例3用積分因子求dy?2xy?4x的通解?

dx

解 方程的積分因子為

?(x)?e?22xdx?ex? 2方程兩邊乘以ex得

y?ex?2xexy?4xex? 即(exy)??4xex?

于是

exy?4xexdx?2ex?C? 222222?22因此原方程的通解為y?4xexdx?2?Ce?x? ?22

§12? 6 可降階的高階微分方程

一、y(n)?f(x)型的微分方程

解法? 積分n 次

y(n?1)?f(x)dx?C1? ?

y(n?2)?[f(x)dx?C1]dx?C2? ??

? ? ??

例1 求微分方程y????e2x?cos x 的通解?

解 對所給方程接連積分三次? 得

y???e2x?sinx?C1?

y??e2x?cosx?C1x?C2?

y?e2x?sinx?C1x2?C2x?C3?

這就是所給方程的通解?

內(nèi)蒙古財經(jīng)大學統(tǒng)計與數(shù)學學院公共數(shù)學教研室 12141812高等數(shù)學教案

§12 微分方程

或

y???e2x?sinx?2C1?

y??e2x?cosx?2C1x?C2?

y?e2x?sinx?C1x2?C2x?C3?

這就是所給方程的通解?

例2 質(zhì)量為m的質(zhì)點受力F的作用沿Ox軸作直線運動? 設力F僅是時間t的函數(shù)?F?F(t)? 在開始時刻t?0時F(0)?F0? 隨著時間t的增大? 此力F均勻地減小? 直到t?T時? F(T)?0? 如果開始時質(zhì)點位于原點? 且初速度為零? 求這質(zhì)點的運動規(guī)律?

解 設x?x(t)表示在時刻t時質(zhì)點的位置? 根據(jù)牛頓第二定律? 質(zhì)點運動的微分方程為

2dx

m2?F(t)?

dt121418由題設? 力F(t)隨t增大而均勻地減小? 且t?0時? F(0)?F0? 所以F(t)?F0?kt? 又當t?T時? F(T)?0? 從而

F(t)?F0(1?)?

于是質(zhì)點運動的微分方程又寫為 tTd2x?F0(1?t)?

2mTdtdx|?0? 其初始條件為x|t?0?0?

dtt?0

把微分方程兩邊積分? 得

dx?F0(t?t2)?C

1?

dtm2T再積分一次? 得

x?F012t3(t?)?C1t?C2?

m26T由初始條件x|t?0?0? 得C1?C2?0? dx|?0?

dtt?0于是所求質(zhì)點的運動規(guī)律為

F012t x?(t?)? 0?t?T?

m26T

解 設x?x(t)表示在時刻t時質(zhì)點的位置?

根據(jù)牛頓第二定律? 質(zhì)點運動的微分方程為

內(nèi)蒙古財經(jīng)大學統(tǒng)計與數(shù)學學院公共數(shù)學教研室 高等數(shù)學教案

§12 微分方程

mx???F(t)?

由題設? F(t)是線性函數(shù)? 且過點(0? F0)和(T? 0)?

故

F(t)t??1? 即F(t)?F0(1?t)? F0TTF0(1?t)?

mT于是質(zhì)點運動的微分方程又寫為

x???其初始條件為x|t?0?0? x?|t?0?0?

把微分方程兩邊積分? 得

x??2F0(t?t)?C1? m2T再積分一次? 得

F012t3

x?(t?)?C2?

m26T由初始條件x|t?0?0? x?|t?0?0?

得C1?C2?0?

于是所求質(zhì)點的運動規(guī)律為

x?

二、y??? f(x? y?)型的微分方程

解法? 設y??p則方程化為

p??f(x? p)?

設p??f(x? p)的通解為p??(x?C1)? 則

F012t3(t?)? 0?t?T? m26Tdy??(x,C1)?

dx原方程的通解為

y??(x,C1)dx?C2?

例3 求微分方程

(1?x2)y???2xy? 滿足初始條件

y|x?0?1? y?|x?0?3 的特解?

解 所給方程是y???f(x? y?)型的? 設y??p? 代入方程并分離變量后? 有 ?內(nèi)蒙古財經(jīng)大學統(tǒng)計與數(shù)學學院公共數(shù)學教研室 高等數(shù)學教案

§12 微分方程

dp2x?dx?

p1?x2兩邊積分? 得

ln|p|?ln(1?x2)?C?

即

p?y??C1(1?x2)(C1??eC)?

由條件y?|x?0?3? 得C1?3?

所以

y??3(1?x2)?

兩邊再積分? 得 y?x3?3x?C2?

又由條件y|x?0?1? 得C2?1?

于是所求的特解為

y?x3?3x?1?

例4 設有一均勻、柔軟的繩索? 兩端固定? 繩索僅受重力的作用而下垂? 試問該繩索在平衡狀態(tài)時是怎樣的曲線?

三、y???f(y? y?)型的微分方程

解法? 設y??p?有

y???原方程化為 dpdpdydp???p?

dxdydxdydp?f(y,p)?

dydp?f(y,p)的通解為y??p??(y? C1)? 則原方程的通解為 設方程pdy

p

dy??(y,C1)?x?C2?

dp?

dy

例5 求微分yy???y?2?0的通解?

解 設y??p? 則y???p代入方程? 得

ypdp2?p?0?

dy

在y?0、p?0時? 約去p并分離變量? 得

dpdy??

py兩邊積分得

內(nèi)蒙古財經(jīng)大學統(tǒng)計與數(shù)學學院公共數(shù)學教研室 高等數(shù)學教案

§12 微分方程

ln|p|?ln|y|?lnc?

即

p?Cy或y??Cy(C??c)?

再分離變量并兩邊積分? 便得原方程的通解為

ln|y|?Cx?lnc1?

或

y?C1eCx(C1??c1)?

例5 求微分yy???y?2?0的通解?

解 設y??p? 則原方程化為

ypdp2?p?0?

dy當y?0、p?0時? 有

dp1?p?0?

dyy1?ydy于是

p?e?C1y?

即

y??C1y?0?

從而原方程的通解為

y?C2e?

例6 一個離地面很高的物體?受地球引力的作用由靜止開始落向地面? 求它落 到地面時的速度和所需的時間（不計空氣阻力）?

§12? 7 高階線性微分方程 一、二階線性微分方程舉例

例1 設有一個彈簧? 上端固定? 下端掛一個質(zhì)量為m 的物體? 取x 軸鉛直向下? 并取物體的平衡位置為坐標原點?

給物體一個初始速度v0?0后? 物體在平衡位置附近作上下振動? 在振動過程中? 物體的位置x是t的函數(shù)? x?x(t)?

設彈簧的彈性系數(shù)為c? 則恢復力f??cx?

又設物體在運動過程中受到的阻力的大小與速度成正比? 比例系數(shù)為?? 則

R??C1dx?C2eC1x?

dx?

dt

由牛頓第二定律得

內(nèi)蒙古財經(jīng)大學統(tǒng)計與數(shù)學學院公共數(shù)學教研室 高等數(shù)學教案

§12 微分方程

md2x??cx??dx?

2dtdt

移項? 并記2n??c? k2??

mmd2x?2ndx?k2x?0則上式化為

?

dtdt2這就是在有阻尼的情況下? 物體自由振動的微分方程?

如果振動物體還受到鉛直擾力

F?Hsin pt 的作用? 則有

d2x?2ndx?k2x?hsinpt

?

dtdt2H其中h?? 這就是強迫振動的微分方程?

m

例2 設有一個由電阻R、自感L、電容C和電源E串聯(lián)組成的電路? 其中R、L、及C為常數(shù)? 電源電動勢是時間t的函數(shù)? E?Emsin?t? 這里Em及?也是常數(shù)?

設電路中的電流為i(t)? 電容器極板上的電量為q(t)? 兩極板間的電壓為uc? 自感電動勢為EL ? 由電學知道

i?qdqdi? uc?? EL??L?

Cdtdtdi?q?Ri?0?

dtC根據(jù)回路電壓定律? 得

E?Ld2ucduc?RC?uc?Emsin?t?

即

LCdtdt2或?qū)懗?/p>

d2ucducEm2?2???u?sin?t?

0cdtLCdt2R? ??1? 這就是串聯(lián)電路的振蕩方程? 其中??02LLC

如果電容器經(jīng)充電后撤去外電源(E?0)? 則上述成為

d2ucduc2?2???uc?0?

0dtdt2內(nèi)蒙古財經(jīng)大學統(tǒng)計與數(shù)學學院公共數(shù)學教研室 高等數(shù)學教案

§12 微分方程

二階線性微分方程? 二階線性微分方程的一般形式為

y???P(x)y??Q(x)y?f(x)?

若方程右端f(x)?0時? 方程稱為齊次的? 否則稱為非齊次的?

二、線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)

先討論二階齊次線性方程

d2ydy?Q(x)y?0?

y???P(x)y??Q(x)y?0? 即2?P(x)dxdx

定理1 如果函數(shù)y1(x)與y2(x)是方程

y???P(x)y??Q(x)y?0?的兩個解? 那么

y?C1y1(x)?C2y2(x)也是方程的解? 其中C1、C2是任意常數(shù)?

齊次線性方程的這個性質(zhì)表明它的解符合疊加原理?

證明 [C1y1?C2y2]??C1 y1??C2 y2??

[C1y1?C2y2]???C1 y1???C2 y2???

因為y1與y2是方程y???P(x)y??Q(x)y?0? 所以有

y1???P(x)y1??Q(x)y1?0及y2???P(x)y2??Q(x)y2?0?

從而

[C1y1?C2y2]???P(x)[ C1y1?C2y2]??Q(x)[ C1y1?C2y2]

?C1[y1???P(x)y1??Q(x)y1]?C2[y2???P(x)y2??Q(x)y2]?0?0?0?

這就證明了y?C1y1(x)?C2y2(x)也是方程y???P(x)y??Q(x)y?0的解

函數(shù)的線性相關(guān)與線性無關(guān)?

設y1(x)? y2(x)? ? ? ? ? yn(x)為定義在區(qū)間I上的n個函數(shù)? 如果存在n個不全為零的常數(shù)k1? k2? ? ? ? ? kn? 使得當x?I 時有恒等式

k1y1(x)?k2y2(x)?

? ? ? ? knyn(x)?0 成立? 那么稱這n個函數(shù)在區(qū)間I上線性相關(guān)? 否則稱為線性無關(guān)?

判別兩個函數(shù)線性相關(guān)性的方法?

對于兩個函數(shù)? 它們線性相關(guān)與否? 只要看它們的比是否為常數(shù)? 如果比為常數(shù)? 那么它們就線性相關(guān)? 否則就線性無關(guān)?

例如? 1? cos2x ? sin2x 在整個數(shù)軸上是線性相關(guān)的? 函數(shù)1? x? x2在任何區(qū)間(a, b)內(nèi)是線性無內(nèi)蒙古財經(jīng)大學統(tǒng)計與數(shù)學學院公共數(shù)學教研室 高等數(shù)學教案

§12 微分方程

關(guān)的?

定理2 如果如果函數(shù)y1(x)與y2(x)是方程

y???P(x)y??Q(x)y?0 的兩個線性無關(guān)的解? 那么

y?C1y1(x)?C2y2(x)(C1、C2是任意常數(shù))是方程的通解?

例3 驗證y1?cos x與y2?sin x是方程y???y?0的線性無關(guān)解? 并寫出其通解?

解 因為

y1???y1??cos x?cos x?0?

y2???y2??sin x?sin x?0?

所以y1?cos x與y2?sin x都是方程的解?

因為對于任意兩個常數(shù)k1、k2? 要使

k1cos x?k2sin x?0?

只有k1?k2?0? 所以cos x與sin x在(??, ??)內(nèi)是線性無關(guān)的?

因此y1?cos x與y2?sin x是方程y???y?0的線性無關(guān)解?

方程的通解為y?C1cos x?C2sin x?

例4 驗證y1?x與y2?ex是方程(x?1)y???xy??y?0的線性無關(guān)解? 并寫出其通解?

解 因為

(x?1)y1???xy1??y1?0?x?x?0?

(x?1)y2???xy2??y2?(x?1)ex?xex?ex?0?

所以y1?x與y2?ex都是方程的解?

因為比值e x/x 不恒為常數(shù)? 所以y1?x與y2?ex在(??, ??)內(nèi)是線性無關(guān)的?

因此y1?x 與y2?ex是方程(x?1)y???xy??y?0的線性無關(guān)解?

方程的通解為y?C1x?C2e x?

推論 如果y1(x)? y2(x)? ? ? ?? yn(x)是方程

y(n)?a1(x)y(n?1)? ? ? ? ?an?1(x)y?? an(x)y?0 的n個線性無關(guān)的解? 那么? 此方程的通解為

y?C1y1(x)?C2y2(x)? ? ? ? ? Cnyn(x)?

其中C1? C2? ? ? ?? Cn為任意常數(shù)?

內(nèi)蒙古財經(jīng)大學統(tǒng)計與數(shù)學學院公共數(shù)學教研室 高等數(shù)學教案

§12 微分方程

二階非齊次線性方程解的結(jié)構(gòu)?

我們把方程

y???P(x)y??Q(x)y?0 叫做與非齊次方程

y???P(x)y??Q(x)y?f(x)對應的齊次方程?

定理3 設y*(x)是二階非齊次線性方程

y???P(x)y??Q(x)y?f(x)的一個特解? Y(x)是對應的齊次方程的通解? 那么

y?Y(x)?y*(x)是二階非齊次線性微分方程的通解?

證明提示? [Y(x)?y*(x)]???P(x)[ Y(x)?y*(x)]??Q(x)[ Y(x)?y*(x)]

? [Y ???P(x)Y ??Q(x)Y ]?[ y* ???P(x)y* ??Q(x)y*]

?0? f(x)? f(x)?

例如? Y?C1cos x?C2sin x 是齊次方程y???y?0的通解? y*?x2?2是y???y?x2 的一個特解? 因此

y?C1cos x?C2sin x?x2?2 是方程y???y?x2的通解?

定理4 設非齊次線性微分方程 y???P(x)y??Q(x)y?f(x)的右端f(x)幾個函數(shù)之和? 如

y???P(x)y??Q(x)y?f1(x)? f2(x)?

而y1*(x)與y2*(x)分別是方程

y???P(x)y??Q(x)y?f1(x)與y???P(x)y??Q(x)y?f2(x)的特解? 那么y1*(x)?y2*(x)就是原方程的特解?

證明提示?

[y1?y2*]???P(x)[ y1*?y2*]??Q(x)[ y1*?y2*]

?[ y1*???P(x)y1*??Q(x)y1*]?[ y2*???P(x)y2*??Q(x)y2*]

?f1(x)?f2(x)?

內(nèi)蒙古財經(jīng)大學統(tǒng)計與數(shù)學學院公共數(shù)學教研室 高等數(shù)學教案

§12 微分方程

§12? 9 二階常系數(shù)齊次線性微分方程

二階常系數(shù)齊次線性微分方程? 方程

y???py??qy?0 稱為二階常系數(shù)齊次線性微分方程? 其中p、q均為常數(shù)?

如果y1、y2是二階常系數(shù)齊次線性微分方程的兩個線性無關(guān)解? 那么y?C1y1?C2y2就是它的通解?

我們看看?

能否適當選取r? 使y?erx

滿足二階常系數(shù)齊次線性微分方程? 為此將y?erx代入方程

y???py??qy?0 得

(r 2?pr?q)erx ?0?

由此可見? 只要r滿足代數(shù)方程r2?pr?q?0? 函數(shù)y?erx就是微分方程的解?

特征方程? 方程r2?pr?q?0叫做微分方程y???py??qy?0的特征方程? 特征方程的兩個根r1、r2可用公式

?p??p2?4q

r 1,2?2求出?

特征方程的根與通解的關(guān)系?

(1)特征方程有兩個不相等的實根r1、r2時? 函數(shù)y1?er1x、y2?er2x是方程的兩個線性無關(guān)的解?

這是因為?

函數(shù)y1?er1x、y2?er2xy1er1x(r1?r2)x??e是方程的解? 又不是常數(shù)?

y2er2x因此方程的通解為

y?C1er1x?C2er2x?

(2)特征方程有兩個相等的實根r1?r2時? 函數(shù)y1?er1x、y2?xer1x是二階常系數(shù)齊次線性微分內(nèi)蒙古財經(jīng)大學統(tǒng)計與數(shù)學學院公共數(shù)學教研室 高等數(shù)學教案

§12 微分方程

方程的兩個線性無關(guān)的解?

這是因為? y1?er1x是方程的解? 又

r1xr1x2r1x

(xer1x)???p(xer1x)??q(xer1x)?(2r1?xr1?xr1)e?p(1)e?qxe r1x

2?er1x(2r1?p)?xe(r1?pr1?q)?0?

y2xer1x所以y2?xe也是方程的解? 且??x不是常數(shù)?

y1er1xr1x

因此方程的通解為

y?C1er1x?C2xer1x?

(3)特征方程有一對共軛復根r1, 2???i?時? 函數(shù)y?e(??i?)x、y?e(??i?)x是微分方程的兩個線性無關(guān)的復數(shù)形式的解? 函數(shù)y?e?xcos?x、y?e?xsin?x是微分方程的兩個線性無關(guān)的實數(shù)形式的解?

函數(shù)y1?e(??i?)x和y2?e(??i?)x都是方程的解? 而由歐拉公式? 得

y1?e(??i?)x?e?x(cos?x?isin?x)?

y2?e(??i?)x?e?x(cos?x?isin?x)?

1y1?y2?2e?xcos?x? e?xcos?x?(y1?y2)?

21y1?y2?2ie?xsin?x? e?xsin?x?(y1?y2)?

2i故e?xcos?x、y2?e?xsin?x也是方程解?

可以驗證? y1?e?xcos?x、y2?e?xsin?x是方程的線性無關(guān)解?

因此方程的通解為

y?e?x(C1cos?x?C2sin?x)?

求二階常系數(shù)齊次線性微分方程y???py??qy?0的通解的步驟為?

第一步

寫出微分方程的特征方程

r2?pr?q?0 第二步

求出特征方程的兩個根r1、r2?

第三步

根據(jù)特征方程的兩個根的不同情況? 寫出微分方程的通解?

例1 求微分方程y???2y??3y?0的通解?

內(nèi)蒙古財經(jīng)大學統(tǒng)計與數(shù)學學院公共數(shù)學教研室 高等數(shù)學教案

§12 微分方程

解 所給微分方程的特征方程為

r2?2r?3?0? 即(r?1)(r?3)?0?

其根r1??1? r2?3是兩個不相等的實根? 因此所求通解為

y?C1e?x?C2e3x?

例2 求方程y???2y??y?0滿足初始條件y|x?0?

4、y?| x?0??2的特解?

解 所給方程的特征方程為

r2?2r?1?0? 即(r?1)2?0?

其根r1?r2??1是兩個相等的實根? 因此所給微分方程的通解為

y?(C1?C2x)e?x?

將條件y|x?0?4代入通解? 得C1?4? 從而

y?(4?C2x)e?x?

將上式對x求導? 得

y??(C2?4?C2x)e?x?

再把條件y?|x?0??2代入上式? 得C2?2? 于是所求特解為

x?(4?2x)e?x?

例 3 求微分方程y???2y??5y? 0的通解?

解 所給方程的特征方程為

r2?2r?5?0?

特征方程的根為r1?1?2i? r2?1?2i? 是一對共軛復根?

因此所求通解為

y?ex(C1cos2x?C2sin2x)?

n 階常系數(shù)齊次線性微分方程? 方程

y(n)?p1y(n?1)?p2 y(n?2)? ? ? ? ? pn?1y??pny?0?

稱為n 階常系數(shù)齊次線性微分方程? 其中 p1?

p2 ? ? ? ? ? pn?1? pn都是常數(shù)?

二階常系數(shù)齊次線性微分方程所用的方法以及方程的通解形式? 可推廣到n 階常系數(shù)齊次線性微分方程上去?

引入微分算子D? 及微分算子的n次多項式?

L(D)=Dn ?p1Dn?1?p2 Dn?2 ? ? ? ? ? pn?1D?pn? 則n階常系數(shù)齊次線性微分方程可記作

內(nèi)蒙古財經(jīng)大學統(tǒng)計與數(shù)學學院公共數(shù)學教研室 高等數(shù)學教案

§12 微分方程

(Dn ?p1Dn?1?p2 Dn?2 ? ? ? ? ? pn?1D?pn)y?0或L(D)y?0? 注? D叫做微分算子D0y?y? Dy?y?? D2y?y??? D3y?y???? ? ? ??Dny?y(n)?

分析? 令y?erx? 則

L(D)y?L(D)erx?(rn ?p1rn?1?p2 rn?2 ? ? ? ? ? pn?1r?pn)erx?L(r)erx?

因此如果r是多項式L(r)的根? 則y?erx是微分方程L(D)y?0的解?

n 階常系數(shù)齊次線性微分方程的特征方程?

L(r)?rn ?p1rn?1?p2 rn?2 ? ? ? ? ? pn?1r?pn?0 稱為微分方程L(D)y?0的特征方程?

特征方程的根與通解中項的對應?

單實根r 對應于一項? Cerx ?

一對單復根r1? 2?? ?i? 對應于兩項? e?x(C1cos?x?C2sin?x)?

k重實根r對應于k項? erx(C1?C2x? ? ? ? ?Ck xk?1)?

一對k 重復根r1? 2?? ?i? 對應于2k項?

e?x[(C1?C2x? ? ? ? ?Ck xk?1)cos?x?(D1?D2x? ? ? ? ?Dk xk?1)sin?x]?

例4 求方程y(4)?2y????5y???0 的通解?

解

這里的特征方程為

r4?2r3?5r2?0? 即r2(r2?2r?5)?0?

它的根是r1?r2?0和r3? 4?1?2i?

因此所給微分方程的通解為

y?C1?C2x?ex(C3cos2x?C4sin2x)?

例5 求方程y(4)?? 4y?0的通解? 其中??0?

解

這里的特征方程為

r4?? 4?0?

它的根為r1,2??2?(1?i)? r3,4???2(1?i)?

因此所給微分方程的通解為

y?e

內(nèi)蒙古財經(jīng)大學統(tǒng)計與數(shù)學學院公共數(shù)學教研室 2x(C1cos?2x?C2sin?2x)?e? ?2x(C3cos?2x?C4sin?2x)? 高等數(shù)學教案

§12 微分方程

§12? 10 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程

二階常系數(shù)非齊次線性微分方程? 方程

y???py??qy?f(x)稱為二階常系數(shù)非齊次線性微分方程? 其中p、q是常數(shù)?

二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的通解是對應的齊次方程 的通解y?Y(x)與非齊次方程本身的一個特解y?y*(x)之和?

y?Y(x)? y*(x)?

當f(x)為兩種特殊形式時? 方程的特解的求法?

一、f(x)?Pm(x)e?x 型

當f(x)?Pm(x)e?x時? 可以猜想? 方程的特解也應具有這種形式? 因此? 設特解形式為y*?Q(x)e?x? 將其代入方程? 得等式

Q??(x)?(2??p)Q?(x)?(?2?p??q)Q(x)?Pm(x)?

(1)如果?不是特征方程r2?pr?q?0 的根? 則?2?p??q?0? 要使上式成立? Q(x)應設為m 次多項式?

Qm(x)?b0xm?b1xm?1? ? ? ? ?bm?1x?bm ?

通過比較等式兩邊同次項系數(shù)? 可確定b0? b1? ? ? ? ? bm? 并得所求特解

y*?Qm(x)e?x?

(2)如果?是特征方程 r2?pr?q?0 的單根? 則?2?p??q?0? 但2??p?0? 要使等式

Q??(x)?(2??p)Q?(x)?(?2?p??q)Q(x)?Pm(x)?

成立? Q(x)應設為m?1 次多項式?

Q(x)?xQm(x)?

Qm(x)?b0xm ?b1xm?1? ? ? ?

?bm?1x?bm ?

通過比較等式兩邊同次項系數(shù)? 可確定b0? b1? ? ? ?

? bm? 并得所求特解

y*?xQm(x)e?x?

(3)如果?是特征方程 r2?pr?q?0的二重根? 則?2?p??q?0? 2??p?0? 要使等式

Q??(x)?(2??p)Q?(x)?(?2?p??q)Q(x)?Pm(x)?

成立? Q(x)應設為m?2次多項式?

Q(x)?x2Qm(x)?

Qm(x)?b0xm?b1xm?1? ? ? ? ?bm?1x?bm ?

內(nèi)蒙古財經(jīng)大學統(tǒng)計與數(shù)學學院公共數(shù)學教研室 高等數(shù)學教案

§12 微分方程

通過比較等式兩邊同次項系數(shù)? 可確定b0? b1? ? ? ? ? bm ? 并得所求特解

y*?x2Qm(x)e?x?

綜上所述? 我們有如下結(jié)論? 如果f(x)?Pm(x)e?x? 則二階常系數(shù)非齊次線性微分方程y???py??qy ?f(x)有形如

y*?xk Qm(x)e?x 的特解? 其中Qm(x)是與Pm(x)同次的多項式? 而k 按?不是特征方程的根、是特征方程的單根或是特征方程的的重根依次取為0、1或2?

例1 求微分方程y???2y??3y?3x?1的一個特解?

解 這是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程? 且函數(shù)f(x)是Pm(x)e?x型(其中Pm(x)?3x?1? ??0)?

與所給方程對應的齊次方程為

y???2y??3y?0?

它的特征方程為

r2?2r?3?0?

由于這里??0不是特征方程的根? 所以應設特解為

y*?b0x?b1?

把它代入所給方程? 得

?3b0x?2b0?3b1?3x?1?

比較兩端x同次冪的系數(shù)? 得

???3b0?3? ?3b0?3? ?2b0?3b1?1? ?2b?3b?1?01由此求得b0??1? b1?? 于是求得所給方程的一個特解為

y*??x??

例2 求微分方程y???5y??6y?xe2x的通解?

解 所給方程是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程? 且f(x)是Pm(x)e?x型(其中Pm(x)?x? ??2)?

與所給方程對應的齊次方程為

y???5y??6y?0?

它的特征方程為

內(nèi)蒙古財經(jīng)大學統(tǒng)計與數(shù)學學院公共數(shù)學教研室 1313高等數(shù)學教案

§12 微分方程

r2?5r ?6?0?

特征方程有兩個實根r1?2? r2?3? 于是所給方程對應的齊次方程的通解為

Y?C1e2x?C2e3x ?

由于??2是特征方程的單根? 所以應設方程的特解為

y*?x(b0x?b1)e2x?

把它代入所給方程? 得

?2b0x?2b0?b1?x?

比較兩端x同次冪的系數(shù)? 得

???2b0?1? ?2b0?1? 2b0?b1?0? 2b?b?0?01由此求得b0??1? b??1? 于是求得所給方程的一個特解為 1 y*?x(?x?1)e2x?

從而所給方程的通解為

y?C1e2x?C2e3x?(x2?2x)e2x?

提示?

y*?x(b0x?b1)e2x?(b0x2?b1x)e2x?

[(b0x2?b1x)e2x]??[(2b0x?b1)?(b0x2?b1x)?2]e2x?

[(b0x2?b1x)e2x]???[2b0?2(2b0x?b1)?2?(b0x2?b1x)?22]e2x?

y*???5y*??6y*?[(b0x2?b1x)e2x]???5[(b0x2?b1x)e2x]??6[(b0x2?b1x)e2x] ?[2b0?2(2b0x?b1)?2?(b0x2?b1x)?22]e2x?5[(2b0x?b1)?(b0x2?b1x)?2]e2x?6(b0x2?b1x)e2x ?[2b0?4(2b0x?b1)?5(2b0x?b1)]e2x?[?2b0x?2b0?b1]e2x?

方程y???py??qy?e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]的特解形式

應用歐拉公式可得

e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x] 1212內(nèi)蒙古財經(jīng)大學統(tǒng)計與數(shù)學學院公共數(shù)學教研室 高等數(shù)學教案

§12 微分方程

?e?x[Pl(x)ei? x?e?i? x?P(x)ei? x?e?i? x] n22i

?[Pe(??i?)x?[Pe(??i?)x

l(x)?iPn(x)]l(x)?iPn(x)]

?P(x)e(??i?)x?P(x)e(??i?)x?

其中P(x)?(Pl?Pni)? P(x)?(Pl?Pni)? 而m?max{l? n}?

設方程y???py??qy?P(x)e(??i?)x的特解為y1*?xkQm(x)e(??i?)x?

則y1*?xkQm(x)e(??i?)必是方程y???py??qy?P(x)e(??i?)的特解?

其中k按??i?不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1?

于是方程y???py??qy?e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]的特解為

y*?xkQm(x)e(??i?)x?xkQm(x)e(??i?)x

?xke?x[Qm(x)(cos?x?isin?x)?Qm(x)(cos?x?isin?x)

?xk e?x[R(1)m(x)cos?x?R(2)m(x)sin?x]?

綜上所述? 我們有如下結(jié)論?

如果f(x)?e?x [Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]? 則二階常系數(shù)非齊次線性微分方程

y???py??qy?f(x)的特解可設為

y*?xk e?x[R(1)m(x)cos?x?R(2)m(x)sin?x]?

其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次多項式? m?max{l? n}? 而k 按??i?(或??i?)不是特征方程的根或是特征方程的單根依次取0或1?

例3 求微分方程y???y?xcos2x的一個特解?

解 所給方程是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程?

且f(x)屬于e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]型(其中??0? ??2? Pl(x)?x? Pn(x)?0）?

與所給方程對應的齊次方程為

y???y?0?

它的特征方程為

r2?1?0?

內(nèi)蒙古財經(jīng)大學統(tǒng)計與數(shù)學學院公共數(shù)學教研室 12121212高等數(shù)學教案

§12 微分方程

由于這里??i??2i 不是特征方程的根? 所以應設特解為

y*?(ax?b)cos2x?(cx?d)sin2x?

把它代入所給方程? 得

(?3ax?3b?4c)cos2x?(3cx?3d?4a)sin2x?xcos2x?

比較兩端同類項的系數(shù)? 得 a??? b?0? c?0? d?于是求得一個特解為 y*??xcos2x?sin2x?

提示?

y*?(ax?b)cos2x?(cx?d)sin2x?

y*??acos2x?2(ax?b)sin2x?csin2x?2(cx?d)cos2x?

?(2cx?a?2d)cos2x?(?2ax?2b?c)sin2x?

y*???2ccos2x?2(2cx?a?2d)sin2x?2asin2x?2(?2ax?2b?c)cos2x

?(?4ax?4b?4c)cos2x?(?4cx?4a?4d)sin2x?

y*??? y*?(?3ax?3b?4c)cos2x?(?3cx?4a?3d)sin2x? 134?

91349??3a?1??3b?4c?014由?? 得a??? b?0? c?0? d?? ?3c?039???4a?3d?0

§12? 12 微分方程的冪級數(shù)解法

當微分方程的解不能用初等函數(shù)或其積分表達時? 我們就要尋求其它解法? 常用的有冪級數(shù)解法和數(shù)值解法? 本節(jié)我們簡單地介紹微分方程的冪級數(shù)解法?

求一階微分方程的多項式?

f(x? y)?a00?a10(x?x0)?a01(y?y0)? ? ? ? ?aim(x?x0)l(y?y0)m?

這時我們可以設所求特解可展開為x?x0的冪級數(shù)?

內(nèi)蒙古財經(jīng)大學統(tǒng)計與數(shù)學學院公共數(shù)學教研室 dy?f(x,y)滿足初始條件y|x?x0?y0的特解? 其中函數(shù)f(x? y)是(x?x0)、(y?y0)dx高等數(shù)學教案

§12 微分方程

y?y0?a1(x?x0)?a2(x?x0)2? ? ? ? ?an(x?x0)n? ? ? ? ?

其中a1? a2? ? ? ? ? an? ? ? ? ? 是待定的系數(shù)? 把所設特解代入微分方程中? 便得一恒等式? 比較這恒等式兩端x?x0的同次冪的系數(shù)? 就可定出常數(shù)a1? a2? ? ? ? ? 從而得到所求的特解?

例1 求方程dy?x?y2滿足y|x?0?0的特解?

dx

解 這時x0?0? y0?0? 故設

y?a1x?a2x2?a3x3?a4x4? ? ? ? ?

把y及y?的冪級數(shù)展開式代入原方程? 得

a1?2a2x?3a3x2?4a4x3?5a5x4? ? ? ?

?x?(a1x?a2x2?a3x3?a4x4? ? ? ?)2

?x?a12x2?2a1a2x3?(a22?2a1a3)x4? ? ? ? ?

由此? 比較恒等式兩端x的同次冪的系數(shù)? 得

a1?0? a2?? a3?0? a4?0? a5?121? ? ? ? ?

20于是所求解的冪級數(shù)展開式的開始幾項為

y?x2?121x5? ? ? ? ?

定理 如果方程

y???P(x)y??Q(x)y?0 中的系數(shù)P(x)與Q(x)可在?R

y??anxn

n?0?的解?

例2 求微分方程y???xy ?0的滿足初始條件y|x?0?0? y?|x?0?1的特解?

解 這里P(x)?0? Q(x)??x在整個數(shù)軸上滿足定理的條件? 因此所求的解可在整個數(shù)軸上展開成x的冪級數(shù)

y?a0?a1x?a2x2?a3x3?a4x4? ? ? ? ??anxn?

n?0?由條件y|x?0?0? 得a0?0? 由y??a1?2a2x?3a3x2?4a4x3? ? ? ?及y?|x?0?1? 得a1?1? 于是

y?x?a2x2?a3x3?a4x4? ? ? ? ?x??anxn

n?2?內(nèi)蒙古財經(jīng)大學統(tǒng)計與數(shù)學學院公共數(shù)學教研室 高等數(shù)學教案

§12 微分方程

y??1?2a2x?3a3x?4a4x? ? ? ? ?1??nanxn?1?

n?223?

y???2a2?3?2a3x?4?3a4x2? ? ? ? ??n(n?1)anxn?2 ?

n?2?

y?x?a2x?a3x?a4x? ? ? ??x??anxn 234

?n?2

y??1?2a2x?3a3x?4a4x? ? ? ??1??nanxn?1? 23

?n?2

y???2a2x?3?2a3x?4?3a4x? ? ? ? ??n(n?1)anxn?2 ? 2

?n?2

把y及y??代入方程y???xy ?0? 得

2a2?3?2a3x?4?3a4x2? ? ? ? ?n(n?1)anxn?2?? ? ?

?x(x?a2x2?a3x3?a4x4?? ? ??anxn?? ? ?)?0?

即

2a2?3?2a3x?(4?3a4?1)x2?(5?4a5?a 2)x3?

?(6?5a6?a3)x4? ? ? ? ?[(n?2)(n?1)an?2?an?1]xn? ? ? ? ?0?

于是有

a2?0, a3?0, a4?一般地 an?2?1, a?0, a?0, ? ? ? ?

64?35an?1(n?3? 4? ? ? ?)?

(n?2)(n?1)由遞推公式可得

aa41?1, a8?0, a9?0, a10?7?, ? ? ? ?

7?67?6?4?310?910?9?7?6?4?31一般地 a3m?1?(m?1? 2? ? ? ?)?

(3m?1)(3m)? ? ? 7?6?4?3

a7?所求的特解為

y?x? 1x4?1x7?1x10? ? ? ? ?

4?37?6?4?310?9?7?6?4?3內(nèi)蒙古財經(jīng)大學統(tǒng)計與數(shù)學學院公共數(shù)學教研室

第五篇：高等數(shù)學積分總結(jié)[推薦]

?問題引例：曲邊梯形的面積、變速直線運動的路程?n?積分定義：bf?x?dx?lim?f????xii?a??0?i?1?b?計算方法:?f?x?dx?F?b??F?a?a??一元定積分?幾何意義:連續(xù)曲線與x軸所圍曲邊梯形面積的代數(shù)和?物理意義：變力沿直線做功??應用?幾何?：平面圖形的面積?直角坐標、極坐標?、體積?已知平行截面、旋轉(zhuǎn)體體積??平面曲線的弧長?直角坐標、極坐標、參數(shù)方程?、旋轉(zhuǎn)曲面的面積????應用?物理?：水壓力、質(zhì)量與引力、邊際成本

一元不定積分：解決定積分的計算問題，將積分問題與求導問題聯(lián)系起來

?問題引例：曲頂柱體的體積、平面薄片的質(zhì)量?n?積分定義：f?x,y?d??lim?f??,????iii????0?i?1D??計算方法:關(guān)鍵問題是定限，在直角坐標下d?=dxdy，在極坐標下d?=rdrd??二重積分?幾何意義:以D為底，f?x,y?為曲頂柱體的體積的代數(shù)和??物理意義：?應用?幾何?：求平面圖形的面積d????D??應用?物理???問題引例：四維空間中曲頂柱體的體積問題?n?積分定義：f?x,y,z?dv?lim?f??,?,???viiii?????0?i?1???計算方法:直角坐標 dv=dxdydz?柱面坐標x?rcos?,y?rsin?,z?z,dv=rdrd?dz??三重積分?球面坐標x?rsin?cos?,y?rsin?sin?,z?rcos?,dv=r2sin?drd?d??定限的方法參考二重積分 ??幾何意義、物理意義??應用?幾何???應用?物理???

?問題引例：曲線形構(gòu)件的質(zhì)量?nn?積分定義：f?x,y?ds?lim?f??,???s,f?x,y,z?ds?lim?f??,?,???siii?iiii???0??0?i?1i?1LL??計算方法:用路徑函數(shù)L化簡f?x,y?,化為一元定積分?弧長元素ds=dx2?dy2??2?ds=1+??y'?x???dx?對弧長的曲線積分?2ds=1+?x'y??????dy?第一型曲線積分??22?ds=??t+?'t???????????dt?22?ds=r?+r'??????????????d???幾何意義、物理意義?應用?幾何???應用?物理???n?問題引例:曲面不均勻薄片的質(zhì)量?n?積分定義：f?x,y,z?dS?lim?f??,?,???Siiii????0?i?1??對面積的曲面積分?計算方法:

1、投影，2、代入，3、轉(zhuǎn)換22?第一型曲面積分??f?x,y,z?dS???f???x,y,z?x,y???1?zx?zydxdy????Dxy??應用?幾何?：計算曲面面積?應用物理???

????P??i,?i??xi?Q??i,?i??yi???問題引例：變力沿曲線作功W?lim??0i?1?nn??

1、定義：如果一階微分方程P?x,y?dx?Q?x,y?dy?0的左端恰好是某一個二元積分定義：Px,ydx?limP?,??x,Qx,ydy?limQ??i,?i??yi?ii?i?L?????L????0???0?i?1i?1??函數(shù)u的全微分，此時方程的通解為u=C,因此全微分方程的關(guān)鍵就是求u?積分的定義可推廣到空間的情況，并可簡寫成?P?x,y?dx?Q?x,y?dy?

2、求解方法：L對坐標的曲線積分????計算方法：本質(zhì)是將其化為一元定積分?用參數(shù)方程、將y化為x?'全微分方程?u?u???第二型曲線積分???①不定積分法：?P,u?Pdx??y,?Pdx??y??????Q???x?y???兩種曲線積分的關(guān)系：???②湊微分法???Pdx?Qdy????Pcos??Qcos??ds??③積分因子法：見筆記?Pdx?Qdy?Rdz???Pcos??Qcos??Rcos??ds???? ?其中cos?，cos?，cos?是曲線在一點的與有向曲線同向的切向量的方向余弦?? ?問題引例：曲面的側(cè)的定義?指明了曲面是有方向的??????曲面的投影，流體力學中流量問題?=??v?dS???n?積分定義：lim?P??i,?i,?i??Szy?Q??i,?i,?i??Sxz?R??i,?i,?i??Sxy????Pcos??Qcos??Rcos??dS??0?i?1?對坐標的曲面積分??n?limP??i,?i,?i??Szy?Q??i,?i,?i??Sxz?R??i,?i,?i??Sxy???Pdydz?Qdxdz?Rdxdy??第二型曲面積分????0i?1??第一式將定義以第一型曲面積分的形式給出；第二式是我們普遍用的第二型曲面積分??兩個式子反應的是一個東西，也就闡明了兩類曲面積分的聯(lián)系??計算方法：投影、代入、轉(zhuǎn)換???應用：流量的計算

???Q?P? ??格林定理：①曲線正向的定義；②???dxdy,L為D的取正向的邊界曲線?LPdx?Qdy????x?y?D? ???Q?P應用格林公式應注意：1?曲線L必須封閉；2?、在D內(nèi)每點具有一階連續(xù)偏導；3?L為正向曲線 ??x?y?

A?格林公式?曲線積分的路徑無關(guān)性：概念，積分值只與初始點的坐標有關(guān)?Pdx?Qdy B? ?四個等價命題：在一個單連通區(qū)域內(nèi)，函數(shù)P?x,y?、Q?x,y?在G內(nèi)有一階連續(xù)偏導? 則下面四個命題等價：???Q?P ①=；②Pdx?Qdy?0；③Pdx?Qdy與路徑無關(guān)；④存在函數(shù)ux,y,使du?Pdx?Qdy?????L??L ??x?y ?高斯公式：?是閉曲面?圍成的區(qū)域，函數(shù)P、Q、R在?上具有一階連續(xù)偏導，則???P?Q?R??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy?++?dV?????????x?y?z????????P?Q?R?Pcos??Qcos??Rcos?dS?++?dV????????高斯公式?通量散度????x?y?z?????其中?是?的外側(cè)，cos?、cos?、cos?是點出法向量的方向余弦?????????P?Q?R?通量與散度：?=?A?dS,divA?++????x?y?z??

?斯托克斯公式：設?是以?為邊界的有向曲面，?的正向與?的側(cè)符合右手規(guī)則,P,Q,R具有一階連續(xù)偏導 ? ??R?Q???Q?P???P?R??Pdx?Qdy?Rdz??dydz??dzdx??dxdy????????L??? ?y?z?z?x?x?y???????????????斯托克斯公式?環(huán)流量與旋度?

?環(huán)流量與旋度：向量場A沿有向閉曲線?的曲線積分???A?ds稱為A沿?的環(huán)流量 ?????R?Q????P?R????Q?P???旋度：rotA= ?????i???k?j????y?z?z?x?x?y???????

積分應用歸納幾何應用：

1、求曲邊梯形的面積：用一元定積分可做

2、求曲頂柱體的體積：用二重積分可做，用三重積分可做

3、曲面的面積:??1dS???dS ?????柱面面積=f?x,y?ds——?牟合方蓋的表面積???Lfy,zds,fx,zds???????LL?該柱面以L為準線，母線平行于z軸，介于z?0與曲面z?f?x,y?之間的部分?

4、平面的面積：其實就是曲面面積的特殊情況，用一元定積分可做，用二重積分可做

物理應用：

1、質(zhì)量??平面直線桿?一元定積分?????線狀質(zhì)量?線密度?長度??平面曲線桿?對弧長的曲線積分??這也就解釋了為什么對弧長的積分化為定積分??空間曲線桿被積函數(shù)為三元函數(shù)的對弧長的曲線積分????????平面面片?二重積分?面狀質(zhì)量?面密度?面積????空間面片?對曲面的面積積分?立體快質(zhì)量?體密度?體積??三重積分????解釋了為什么對曲面的面積積分化為二重積分???=f?P?;M??f?P?d??

2、質(zhì)心?物理重心——質(zhì)心——幾何中心——形心?概念解釋:物理重心——是在重力場中，物體處于任何方位時所有各組成質(zhì)點的重力的合力都通過的那一點。規(guī)則而密度均勻物體的重心就是它的幾何中心。質(zhì)心——質(zhì)量中心簡稱質(zhì)心，指物質(zhì)系統(tǒng)上被認為質(zhì)量集中于此的一個假想點。與重心不同的是，質(zhì)心不一定要在有重力場的系統(tǒng)中。值得注意的是，除非重力場是均勻的，否則同一物質(zhì)系統(tǒng)的質(zhì)心與重心不通常在同一假想點上。形心——面的形心就是截面圖形的幾何中心，質(zhì)心是針對實物體而言的,而形心是針對抽象幾何體而言的，對于密度均勻的實物體，質(zhì)心和形心重合。質(zhì)心的計算：?引入了靜力矩的概念?????x??x,y?d?y??x,y??薄片:x?D???x,y?d?,y???d?D??x,y?d?平面????D??D?x??x,y??dsy??x,曲線桿:x??L?y?ds??????x,y?ds,y?L??x,y?dsL?L3、轉(zhuǎn)動慣量：定義：I?Mr2Ix???y2??x,y?d?DIy???x2??x,y?d?DI0????x2?y2???x,y?d? D

??

?塊：x??x?dv,y??y?dv???dv??dv空間??面片:x??x?d?,y??y??d????d???d????曲桿:x??x?ds,y??y?ds????ds??ds