第一篇：高中數(shù)學(xué)教案：二面角復(fù)習(xí)課

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二面角復(fù)習(xí)課

一、教學(xué)目標(biāo)：

1．使學(xué)生進(jìn)一步掌握好二面角及二面角的平面角的概念；

2．使學(xué)生掌握求二面角平面角的基本方法，不斷提高分析問題和解決問題的能力．

二、重點(diǎn)和難點(diǎn)：使學(xué)生能夠作出二面角的平面角；根據(jù)題目的條件，作出二面角的平面角．

三、教學(xué)過程

1．復(fù)習(xí)二面角的平面角的定義．

空間圖形的位置關(guān)系是立體幾何的重要內(nèi)容．解決立體幾何問題的關(guān)鍵在于做好：定性分

析，定位作圖，定量計算，其中定性是定位、定量的基礎(chǔ)，而定量則是定位，定性的深化．在

面面關(guān)系中，二面角是其中的重要概念之一，它的度量歸結(jié)為平面上角的度量，一般說來，對其平面角的定位是問題解決的關(guān)鍵一步．可是學(xué)生往往把握不住其定位的基本思路而導(dǎo)

致思維混亂，甚至錯誤地定位，使問題的解決徒勞無益．

看右圖．

如圖1：α，β是由l出發(fā)的兩個半平面，O是l上任 意一點(diǎn)，OC α，且OC⊥l；OD β，且OD⊥l． 這就是二面角的平面角的環(huán)境背景，即∠COD是二面 角α-l-β的平面角．從中我們可以得到下列特征：（1）過棱上任意一點(diǎn)，其平面角是唯一的；（2）其平面角所在平面與其兩個半平面均垂直；

另外，如果在OC上任取一點(diǎn)A，作AB⊥OD，垂足為B，那么由特征（2）可知AB⊥β．突出l，OC，OD，AB，這便是另一特征．（3）體現(xiàn)出一完整的三垂線定理（或逆定理）的條件背景． 特征（1）表明，其平面角的定位可先在棱上取一“點(diǎn)”．耐人尋味的是這一點(diǎn)可以隨便取，但又總是不隨便取定的，它必須與問題的條件背景互相溝通，給計算提供方便．

例1 已知：如圖2，四面體V-ABC中，VA=VB=VC=a，AB=BC=CA=b，VH⊥面ABC，垂足為H，求側(cè)面與底面所成的角的大?。?/p>

分析：由已知條件可知，頂點(diǎn)V在底面ABC上的射影H是底面的中心，所以連結(jié)CH交AB于O，且OC⊥AB，由三垂線定理可知，VO⊥AB，則∠VOC為側(cè)面與底面所成二面角的平面角．（圖2）

正因為此四面體的特性，解決此問題，可以取AB的中點(diǎn)O為其平面角的頂點(diǎn)，而且使得題設(shè)背影突出在面VOC上，給 進(jìn)一步定量創(chuàng)造了得天獨(dú)厚的條件． 特征（2）指出，如果二面角α-l-β的棱l 垂直某一平面γ，那么l必垂直γ與α，β 的交線，而交線所成的角就是α-l-β的平面角．（如圖3）由此可見，二面角的平面角的定位可以考慮找“垂平面”．

例2 矩形ABCD，AB=3，BC=4，沿對角線BD把△ABD折起，使點(diǎn)A在平面BCD上的射影歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚。004km.cn

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A′落在BC上，求二面角A-BD-C的大小的余弦值．

這是一道由平面圖形折疊成立體 圖形的問題，解決問題的關(guān)鍵在于搞 清折疊前后的“變”與“不變”．

如果在平面圖形中過A作 AE⊥BD交BD于O、交BC于E，則折疊后OA，OE與BD的垂直關(guān) 系不變．但OA與OE此時變成相交

兩線并確定一平面，此平面必與棱垂直．

由特征（2）可知，面AOE與面ABD、面CBD的交線OA與OE所成的角，即為所求二面角的平面角．

另外，A在面BCD上的射影必在OE所在的直線上，又題設(shè)射影落在BC上，所以E點(diǎn)就是A′，這樣的定位給下面的定量提供了可能．

在Rt△AA′O中，∠AA′O=90°，通過對例2的定性分析、定位作圖和定量計算，特征（2）從另一角度告訴我們：要確定二面角的平面角，我們可以把構(gòu)成二面角的兩個半平面“擺平”，然后，在棱上選取一適當(dāng)?shù)拇咕€段，即可確定其平面角．“平面圖形”與“立體圖形”相映生輝，不僅便于定性、定位，更利于定量．

特征（3）顯示，如果二面角α-l-β的兩個半平面之一，存在垂線段AB，那么過垂足B作l的垂線交l于O，連結(jié)AO，由三垂線定理可知OA⊥l；或者由A作l的垂線交l于O，連 結(jié)OB，由三垂線定理的逆定理可知OB⊥l．此時，∠AOB就 是二面角α-l-β的平面角．（如圖6），由此可見，二面角的平面角的定位可以找“垂線段”．

課堂練習(xí)

1．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長為2，E為BC的中點(diǎn)，求面B1D1E與面BB1C1C所成的二面角的大小的正切值．

練習(xí)1的條件背景表明，面B1D1E

與面BB1C1C構(gòu)成兩個二面角，由特

征（2）可知，這兩個二面角的大小

必定互補(bǔ)．

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為創(chuàng)造一完整的三垂線定理的環(huán)境背

景，線段C1D1會讓我們眼睛一亮，我們只須由C1（或D1）作B1E的垂線交

B1E于O，然后連結(jié)OD1（或OC1）即得面

D1B1E與面CC1B1E所成二面角的平面角∠C1OD1，2．將棱長為a的正四面體的一個面與棱長為a的正四棱錐的一個側(cè)面吻合，則吻合后的幾何

體呈現(xiàn)幾個面？

分析：這道題，學(xué)生答“7個面”的占99.9％，少數(shù)應(yīng)服從多數(shù)嗎？

從例題中三個特征提供的思路在解決問題時各具特色，它們的目標(biāo)分別是找“點(diǎn)”、“垂面”、“垂線段”．事實(shí)上，我們只要找到其中一個，另兩個就接踵而來．掌握這種關(guān)系對提高解

題技能和培養(yǎng)空間想象能力非常重要．

本題如果能融合三個特征對思維的監(jiān)控，可有效地克服、抑制思維的消極作用，培養(yǎng)思維

的廣闊性和批判性．

如圖9，過兩個幾何體的高線VP，VQ的垂足

P，Q分別作BC的垂線，則垂足重合于O，且O為

BC的中點(diǎn)．OP延長過A，OQ延長交ED于R，考

慮到三垂線定理的環(huán)境背影，∠AOR為二面角

A-BC-R的平面角，結(jié)合特征（1），（2），可得VAOR

為平行四邊形，VA∥BE，所以V，A，B，E共面．同

理V，A，C，D共面．所以這道題的正確答案應(yīng)該

是5個面．

例3 如圖10，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)在AA1上，且A1F∶FA=1∶2，求平面B1EF與底面A1C1所成的二面角大小的正切值．

分析：在給定的平面B1EF與底面A1C1所成的二面角中，沒有出現(xiàn)二面角的棱，我們可以設(shè)法在二面角的兩個面內(nèi)找出兩個面的共點(diǎn)，則這兩個公共點(diǎn)的連線即為二面角的棱，最后借助這條棱作出二面角的平面角．

略解：如圖10．在面BB1CC1內(nèi)，作EH⊥B1C1于H，連結(jié)HA1，顯然直線EF在底面A1C1的射影為HA1．

延長EF，HA1交于G，過G，B1的直線為所求二面角的棱． 在平面A1B1C1D1內(nèi)，作HK⊥GB1于K，連EK，則∠HKE為所求二面角的平面角．

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在平面A1B1C1D1內(nèi)，作B1L⊥GH于L，利用Rt△GLB1∽Rt△GKH，可求得KH．

又在Rt△EKH中，設(shè)EH=a，容易得到：所求二面角大小的正切值

注：我們也可以不直接作出二面角的平面角，而通過等價變換或具體的計算得出其平面角的大小．我們可以使用平移法．由兩平面平行的性質(zhì)可知，若兩平行平面同時與第三個平面相交，那么這兩個平行平面與第三個平面所成的二面角相等或互補(bǔ)．因而例3中的二面角不易直接作出其平面角時，可利用此結(jié)論平移二面角的某一個面到合適的位置，以便等價地作出該二面角的平面角．

略解：過F作A′B′的平行線交BB′于G，過G作B′C′的平行線交B′E于H，連FH．

顯見平面FGH∥平面A′B′C′D′． 則二面角B′-FH-G的平面角度數(shù)等于

所求二面角的度數(shù)．

過G作GM⊥HF，垂足為M，連B′M，由三垂線定理知 B′M⊥HF．所以∠B′MG為二面角 B′-FH-G的平面角，其大小等于所求 二面角平面角的大?。?/p>

例4 已知：如圖12，P是正方形ABCD所在

平面外一點(diǎn)，PA=PB=PC=PD=a，AB=a．

求：平面APB與平面CPD相交所成較大的二面角的余弦值． 分析：為了找到二面角及其平面角，必須依據(jù)題目的條件，找出

兩個平面的交線． 解：因為 AB∥CD，CD

平面CPD，AB

平面CPD．

所以 AB∥平面CPD．又 P∈平面APB，且P∈平面CPD，因此平面APB∩平面CPD=l，且P∈l．

所以 二面角B-l-C就是平面APB和平面CPD相交所得到的一個二面角． 因為 AB∥平面CPD，AB平面APB，平面CPD∩平面APB=l，所以 AB∥l．過P作PE⊥AB，PE⊥CD．因為 l∥AB∥CD，因此 PE⊥l，PF⊥l，所以 ∠EPF是二面角B-l-C的平面角．

因為 PE是正三角形APB的一條高線，且AB=a，因為 E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，所以 EF=BC=a． 在△EFP中，歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚。004km.cn

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小結(jié)：二面角及其平面角的正確而合理的定位，要在正確理解其定義的基礎(chǔ)上，掌握其基本特征，并靈活運(yùn)用它們考察問題的背景．我們已經(jīng)看到，定位是為了定量，求角的大小往往要化歸到一個三角形中去解，因此尋找“垂線段”，把問題化歸是十分重要的．

四、作業(yè)：

1．120°二面角α-l-β內(nèi)有一點(diǎn)P，若P到兩個面α，β的距離分別為3和1，求P到l的距

離．

2．正方體ABCD-A1B1C1D1中，求以BD1為棱，B1BD1與C1BD1為面的二面角的度數(shù)．

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第二篇：復(fù)習(xí)講義—二面角復(fù)習(xí)課

復(fù)習(xí)講義（4）二面角復(fù)習(xí)課

一、教學(xué)目標(biāo)：1．使學(xué)生進(jìn)一步掌握好二面角及二面角的平面角的概念；

2．使學(xué)生掌握求二面角平面角的基本方法，不斷提高分析問題和解決問題的能力．

二、重點(diǎn)和難點(diǎn)：使學(xué)生能夠作出二面角的平面角；根據(jù)題目的條件，作出二面角的平面角．

三、教學(xué)過程

1．復(fù)習(xí)二面角的平面角的定義．

空間圖形的位置關(guān)系是立體幾何的重要內(nèi)容．解決立體幾何問題的關(guān)鍵在于做好：定性分析，定位作圖，定量計算，其中定性是定位、定量的基礎(chǔ)，而定量則是定位，定性的深化．在面面關(guān)系中，二面角是其中的重要概念之一，它的度量歸結(jié)為平面上角的度量，一般說來，對其平面角的定位是問題解決的關(guān)鍵一步．可是學(xué)生往往把握不住其定位的基本思路而導(dǎo)致思維混亂，甚至錯誤地定位，使問題的解決徒勞無益． 看右圖．

如圖1：α，β是由l出發(fā)的兩個半平面，O是l上任意一點(diǎn)，OC α，且OC⊥l；OD β，且OD⊥l．這就是二面角的平面角的環(huán)境背景，即∠COD是二面角α-l-β的平面角．從中我們可以得到下列特征：

（1）過棱上任意一點(diǎn)，其平面角是唯一的；（2）其平面角所在平面與其兩個半平面均垂直；

另外，如果在OC上任取一點(diǎn)A，作AB⊥OD，垂足為B，那么由特征（2）可知AB⊥β．突出l，OC，OD，AB，這便是另一特征．

（3）體現(xiàn)出一完整的三垂線定理（或逆定理）的條件背景． 特征（1）表明，其平面角的定位可先在棱上取一“點(diǎn)”．耐人尋味的是這一點(diǎn)可以隨便取，但又總是不隨便取定的，它必須與問題的條件背景互相溝通，給計算提供方便． 例1 已知：如圖2，四面體V-ABC中，VA=VB=VC=a，AB=BC=CA=b，VH⊥面ABC，垂足為H，求側(cè)面與底面所成的角的大?。?/p>

分析：由已知條件可知，頂點(diǎn)V在底面ABC上的射影H是底面的中心，所以連結(jié)CH交AB于O，且OC⊥AB，由三垂線定理可知，VO⊥AB，則∠VOC為側(cè)面與底面所成二面角的平面角．（圖2）

正因為此四面體的特性，解決此問題，可以取AB的中點(diǎn)O為其平面角的頂點(diǎn)，而且使得題設(shè)背影突出在面VOC上，給進(jìn)一步定量創(chuàng)造了得天獨(dú)厚的條件． 特征（2）指出，如果二面角α-l-β的棱l垂直某一平面γ，那么l必垂直γ與α，β的交線，而交線所成的角就是α-l-β的平面角．（如圖3）

由此可見，二面角的平面角的定位可以考慮找“垂平面”． 例2 矩形ABCD，AB=3，BC=4，沿對角線BD把△ABD折起，使點(diǎn)A在平面BCD上的射影A′落在BC上，求二面角A-BD-C的大小的余弦值．

這是一道由平面圖形折疊成立體圖形的問題，解決問題的關(guān)鍵在于搞清折疊前后的“變”與“不變”．

如果在平面圖形中過A作AE⊥BD交BD于O、交BC于E，則折疊后OA，OE與BD的垂直關(guān)系不變．但OA與OE此時變成相交兩線并確定一平面，此平面必與棱垂直．

由特征（2）可知，面AOE與面ABD、面CBD的交線OA與OE所成的角，即為所求二面角的平面角． 另外，A在面BCD上的射影必在OE所在的直線上，又題設(shè)射影落在BC上，所以E點(diǎn)就是A′，這樣的定位給下面的定量提供了可能．

在Rt△AA′O中，∠AA′O=90°，通過對例2的定性分析、定位作圖和定量計算，特征（2）從另一角度告訴我們：要確定二面角的平面角，我們可以把構(gòu)成二面角的兩個半平面“擺平”，然后，在棱上選取一適當(dāng)?shù)拇咕€段，即可確定其平面角．“平面圖形”與“立體圖形”相映生輝，不僅便于定性、定位，更利于定量．

特征（3）顯示，如果二面角α-l-β的兩個半平面之一，存在垂線段AB，那么過垂足B作l的垂線交l于O，連結(jié)AO，由三垂線定理可知OA⊥l；或者由A作l的垂線交l于O，連結(jié)OB，由三垂線定理的逆定理可知OB⊥l．此時，∠AOB就是二面角α-l-β的平面角．（如圖6），由此可見，二面角的平面角的定位可以找“垂線段”． 課堂練習(xí)

1．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長為2，E為BC的中點(diǎn)，求面B1D1E與面BB1C1C所成的二面角的大小的正切值．

練習(xí)1的條件背景表明，面B1D1E與面BB1C1C構(gòu)成兩個二面角，由特征（2）可知，這兩個二面角的大小必定互補(bǔ)．

為創(chuàng)造一完整的三垂線定理的環(huán)境背景，線段C1D1會讓我們眼睛一亮，我們只須由C1（或D1）作B1E的垂線交B1E于O，然后連結(jié)OD1（或OC1）即得面D1B1E與面CC1B1E所成二面角的平面角∠C1OD1，2．將棱長為a的正四面體的一個面與棱長為a的正四棱錐的一個側(cè)面吻合，則吻合后的幾何體呈現(xiàn)幾個面？

分析：這道題，學(xué)生答“7個面”的占99.9％，少數(shù)應(yīng)服從多數(shù)嗎？

從例題中三個特征提供的思路在解決問題時各具特色，它們的目標(biāo)分別是找“點(diǎn)”、“垂面”、“垂線段”．事實(shí)上，我們只要找到其中一個，另兩個就接踵而來．掌握這種關(guān)系對提高解題技能和培養(yǎng)空間想象能力非常重要．

本題如果能融合三個特征對思維的監(jiān)控，可有效地克服、抑制思維的消極作用，培養(yǎng)思維的廣闊性和批判性．

如圖9，過兩個幾何體的高線VP，VQ的垂足P，Q分別作BC的垂線，則垂足重合于O，且O為BC的中點(diǎn)．OP延長過A，OQ延長交ED于R，考慮到三垂線定理的環(huán)境背影，∠AOR為二面角A-BC-R的平面角，結(jié)合特征（1），（2），可得VAOR為平行四邊形，VA∥BE，所以V，A，B，E共面．同理V，A，C，D共面．所以這道題的正確答案應(yīng)該是5個面．

例3 如圖10，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)在AA1上，且A1F∶FA=1∶2，求平面B1EF與底面A1C1所成的二面角大小的正切值．

分析：在給定的平面B1EF與底面A1C1所成的二面角中，沒有出現(xiàn)二面角的棱，我們可以設(shè)法在二面角的兩個面內(nèi)找出兩個面的共點(diǎn)，則這兩個公共點(diǎn)的連線即為二面角的棱，最后借助這條棱作出二面角的平面角．

略解：如圖10．在面BB1CC1內(nèi)，作EH⊥B1C1于H，連結(jié)HA1，顯然直線EF在底面A1C1的射影為HA1．

延長EF，HA1交于G，過G，B1的直線為所求二面角的棱． 在平面A1B1C1D1內(nèi)，作HK⊥GB1于K，連EK，則∠HKE為所求二面角的平面角．

在平面A1B1C1D1內(nèi)，作B1L⊥GH于L，利用Rt△GLB1∽Rt△GKH，可求得KH． 又在Rt△EKH中，設(shè)EH=a，容易得到：所求二面角大小的正切值

注：我們也可以不直接作出二面角的平面角，而通過等價變換或具體的計算得出其平面角的大?。覀兛梢允褂闷揭品ǎ蓛善矫嫫叫械男再|(zhì)可知，若兩平行平面同時與第三個平面相交，那么這兩個平行平面與第三個平面所成的二面角相等或互補(bǔ)．因而例3中的二面角不易直接作出其平面角時，可利用此結(jié)論平移二面角的某一個面到合適的位置，以便等價地作出該二面角的平面角．

略解：過F作A′B′的平行線交BB′于G，過G作B′C′的平行線交B′E于H，連FH． 顯見平面FGH∥平面A′B′C′D′．則二面角B′-FH-G的平面角度數(shù)等于所求二面角的度數(shù)．過G作GM⊥HF，垂足為M，連B′M，由三垂線定理知B′M⊥HF．

所以∠B′MG為二面角B′-FH-G的平面角，其大小等于所求二面角平面角的大?。?例4 已知：如圖12，P是正方形ABCD所在平面外一點(diǎn)，PA=PB=PC=PD=a，AB=a． 求：平面APB與平面CPD相交所成較大的二面角的余弦值．

分析：為了找到二面角及其平面角，必須依據(jù)題目的條件，找出兩個平面的交線． 解：因為 AB∥CD，CD平面CPD，AB平面CPD．

所以 AB∥平面CPD．又 P∈平面APB，且P∈平面CPD，因此平面APB∩平面CPD=l，且P∈l．

所以 二面角B-l-C就是平面APB和平面CPD相交所得到的一個二面角． 因為 AB∥平面CPD，AB平面APB，平面CPD∩平面APB=l，所以 AB∥l．過P作PE⊥AB，PE⊥CD．因為 l∥AB∥CD，因此 PE⊥l，PF⊥l，所以 ∠EPF是二面角B-l-C的平面角．

因為 PE是正三角形APB的一條高線，且AB=a，因為 E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，所以 EF=BC=a． 在△EFP中，小結(jié)：二面角及其平面角的正確而合理的定位，要在正確理解其定義的基礎(chǔ)上，掌握其基本特征，并靈活運(yùn)用它們考察問題的背景．我們已經(jīng)看到，定位是為了定量，求角的大小往往要化歸到一個三角形中去解，因此尋找“垂線段”，把問題化歸是十分重要的．

四、作業(yè)：

1．120°二面角α-l-β內(nèi)有一點(diǎn)P，若P到兩個面α，β的距離分別為3和1，求P到l的距離．

2．正方體ABCD-A1B1C1D1中，求以BD1為棱，B1BD1與C1BD1為面的二面角的度數(shù)．

第三篇：復(fù)習(xí)講義—二面角復(fù)習(xí)課

復(fù)習(xí)講義（4）

二面角復(fù)習(xí)課

一、教學(xué)目標(biāo)：1．使學(xué)生進(jìn)一步掌握好二面角及二面角的平面角的概念；

2．使學(xué)生掌握求二面角平面角的基本方法，不斷提高分析問題和解決問題的能力．

二、重點(diǎn)和難點(diǎn)：使學(xué)生能夠作出二面角的平面角；根據(jù)題目的條件，作出二面角的平面角．

三、教學(xué)過程

1．復(fù)習(xí)二面角的平面角的定義．

空間圖形的位置關(guān)系是立體幾何的重要內(nèi)容．解決立體幾何問題的關(guān)鍵在于做好：定性分析，定位作圖，定量計算，其中定性是定位、定量的基礎(chǔ)，而定量則是定位，定性的深化．在面面關(guān)系中，二面角是其中的重要概念之一，它的度量歸結(jié)為平面上角的度量，一般說來，對其平面角的定位是問題解決的關(guān)鍵一步．可是學(xué)生往往把握不住其定位的基本思路而導(dǎo)致思維混亂，甚至錯誤地定位，使問題的解決徒勞無益．

看右圖．

如圖1：α，β是由l出發(fā)的兩個半平面，O是l上任意一點(diǎn)，OC α，且OC⊥l；OD

β，且OD⊥l．這就是二面角的平面角的環(huán)境背景，即∠COD是二面角α-l-β的平面角．從中我們可以得到下列特征：

（1）過棱上任意一點(diǎn)，其平面角是唯一的；（2）其平面角所在平面與其兩個半平面均垂直；

另外，如果在OC上任取一點(diǎn)A，作AB⊥OD，垂足為B，那么由特征（2）可知AB⊥β．突出l，OC，OD，AB，這便是另一特征．

（3）體現(xiàn)出一完整的三垂線定理（或逆定理）的條件背景．

特征（1）表明，其平面角的定位可先在棱上取一“點(diǎn)”．耐人尋味的是這一點(diǎn)可以隨便取，但又總是不隨便取定的，它必須與問題的條件背景互相溝通，給計算提供方便．

例1 已知：如圖2，四面體V-ABC中，VA=VB=VC=a，AB=BC=CA=b，VH⊥面ABC，垂足為H，求側(cè)面與底面所成的角的大?。?/p>

分析：由已知條件可知，頂點(diǎn)V在底面ABC上的射影H是底面的中心，所以連結(jié)CH交AB于O，且OC⊥AB，由三垂線定理可知，VO⊥AB，則∠VOC為側(cè)面與底面所成二面角的平面角．（圖2）

正因為此四面體的特性，解決此問題，可以取AB的中點(diǎn)O為其平面角的頂點(diǎn)，而

且使得題設(shè)背影突出在面VOC上，給進(jìn)一步定量創(chuàng)造了得天獨(dú)厚的條件．

特征（2）指出，如果二面角α-l-β的棱l垂直某一平面γ，那么l必垂直γ與α，β的交線，而交線所成的角就是α-l-β的平面角．（如圖3）

由此可見，二面角的平面角的定位可以考慮找“垂平面”．

例2 矩形ABCD，AB=3，BC=4，沿對角線BD把△ABD折起，使點(diǎn)A在平面BCD上的射影A′落在BC上，求二面角A-BD-C的大小的余弦值．

這是一道由平面圖形折疊成立體圖形的問題，解決問題的關(guān)鍵在于搞清折疊前后的“變”與“不變”．

如果在平面圖形中過A作AE⊥BD交BD于O、交BC于E，則折疊后OA，OE與BD的垂直關(guān)系不變．但OA與OE此時變成相交兩線并確定一平面，此平面必與棱垂直．

由特征（2）可知，面AOE與面ABD、面CBD的交線OA與OE所成的角，即為所求二面角的平面角．

另外，A在面BCD上的射影必在OE所在的直線上，又題設(shè)射影落在BC上，所以E點(diǎn)就是A′，這樣的定位給下面的定量提供了可能．

在Rt△AA′O中，∠AA′O=90°，通過對例2的定性分析、定位作圖和定量計算，特征（2）從另一角度告訴我們：要確定二面角的平面角，我們可以把構(gòu)成二面角的兩個半平面“擺平”，然后，在棱上選取一適當(dāng)?shù)拇咕€段，即可確定其平面角．“平面圖形”與“立體圖形”相映生輝，不僅便于定性、定位，更利于定量．

特征（3）顯示，如果二面角α-l-β的兩個半平面之一，存在垂線段AB，那么過垂足B作l的垂線交l于O，連結(jié)AO，由三垂線定理可知OA⊥l；或者由A作l的垂線交l于O，連結(jié)OB，由三垂線定理的逆定理可知OB⊥l．此時，∠AOB就是二面角α-l-β的平面角．（如

圖6），由此可見，二面角的平面角的定位可以找“垂線段”．

課堂練習(xí)

1．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長為2，E為BC的中點(diǎn)，求面B1D1E與面BB1C1C所成的二面角的大小的正切值．

練習(xí)1的條件背景表明，面B1D1E與面BB1C1C構(gòu)成兩個二面角，由特征（2）可知，這兩個二面角的大小必定互補(bǔ)．

為創(chuàng)造一完整的三垂線定理的環(huán)境背景，線段C1D1會讓我們眼睛一亮，我們只須由C1（或D1）作B1E的垂線交B1E于O，然后連結(jié)OD1（或OC1）即得面D1B1E與面CC1B1E所成二面角的平面角∠C1OD1，2．將棱長為a的正四面體的一個面與棱長為a的正四棱錐的一個側(cè)面吻合，則吻合后的幾何體呈現(xiàn)幾個面？

分析：這道題，學(xué)生答“7個面”的占99.9％，少數(shù)應(yīng)服從多數(shù)嗎？

從例題中三個特征提供的思路在解決問題時各具特色，它們的目標(biāo)分別是找“點(diǎn)”、“垂面”、“垂線段”．事實(shí)上，我們只要找到其中一個，另兩個就接踵而來．掌握這種關(guān)系對提高解題技能和培養(yǎng)空間想象能力非常重要．

本題如果能融合三個特征對思維的監(jiān)控，可有效地克服、抑制思維的消極作用，培養(yǎng)思維的廣闊性和批判性．

如圖9，過兩個幾何體的高線VP，VQ的垂足P，Q分別作BC的垂線，則垂足重合于O，且O為BC的中點(diǎn)．OP延長過A，OQ延長交ED于R，考慮到三垂線定理的環(huán)境背影，∠AOR為二面角A-BC-R的平面角，結(jié)合特征（1），（2），可得VAOR為平行四邊形，VA∥BE，所以V，A，B，E共面．同理V，A，C，D共面．所以這道題的正確答案應(yīng)該是5個面．

例3 如圖10，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)在AA1上，且A1F∶

FA=1∶2，求平面B1EF與底面A1C1所成的二面角大小的正切值．

分析：在給定的平面B1EF與底面A1C1所成的二面角中，沒有出現(xiàn)二面角的棱，我們可以設(shè)法在二面角的兩個面內(nèi)找出兩個面的共點(diǎn)，則這兩個公共點(diǎn)的連線即為二面角的棱，最后借助這條棱作出二面角的平面角．

略解：如圖10．在面BB1CC1內(nèi)，作EH⊥B1C1于H，連結(jié)HA1，顯然直線EF在底面A1C1的射影為HA1．

延長EF，HA1交于G，過G，B1的直線為所求二面角的棱． 在平面A1B1C1D1內(nèi)，作HK⊥GB1于K，連EK，則∠HKE為所求二面角的平面角．

在平面A1B1C1D1內(nèi)，作B1L⊥GH于L，利用Rt△GLB1∽Rt△GKH，可求得KH． 又在Rt△EKH中，設(shè)EH=a，容易得到：所求二面角大小的正切值

注：我們也可以不直接作出二面角的平面角，而通過等價變換或具體的計算得出其平面角的大小．我們可以使用平移法．由兩平面平行的性質(zhì)可知，若兩平行平面同時與 到的一個二面角．

因為 AB∥平面CPD，AB

平面APB，平面CPD∩平面APB=l，所以 AB∥l．過P作PE⊥AB，PE⊥CD．因為 l∥AB∥CD，因此 PE⊥l，PF⊥l，所以 ∠EPF是二面角B-l-C的平面角．

因為 PE是正三角形APB的一條高線，且AB=a，因為 E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，所以 EF=BC=a． 在△EFP中，小結(jié)：二面角及其平面角的正確而合理的定位，要在正確理解其定義的基礎(chǔ)上，掌握其基本特征，并靈活運(yùn)用它們考察問題的背景．我們已經(jīng)看到，定位是為了定量，求角的大小往往要化歸到一個三角形中去解，因此尋找“垂線段”，把問題化歸是十分重要的．

四、作業(yè)：

1．120°二面角α-l-β內(nèi)有一點(diǎn)P，若P到兩個面α，β的距離分別為3和1，求P到l的距離．

2．正方體ABCD-A1B1C1D1中，求以BD1為棱，B1BD1與C1BD1為面的二面角的度數(shù)．

第四篇：二面角練習(xí)課

二面角練習(xí)課

教學(xué)目標(biāo)

1．使學(xué)生進(jìn)一步掌握好二面角及二面角的平面角的概念；

2．使學(xué)生掌握求二面角平面角的基本方法，不斷提高分析問題和解決問題的能力． 教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

重點(diǎn)：使學(xué)生能夠作出二面角的平面角；

難點(diǎn)：根據(jù)題目的條件，作出二面角的平面角． 教學(xué)設(shè)計過程

重溫二面角的平面角的定義．

（本節(jié)課設(shè)計的出發(fā)點(diǎn)：空間圖形的位置關(guān)系是立體幾何的重要內(nèi)容．解決立體幾何問題的關(guān)鍵在于做好：定性分析，定位作圖，定量計算，其中定性是定位、定量的基礎(chǔ)，而定量則是定位，定性的深化．在面面關(guān)系中，二面角是其中的重要概念之一，它的度量歸結(jié)為平面上角的度量，一般說來，對其平面角的定位是問題解決的關(guān)鍵一步．可是學(xué)生往往把握不住其定位的基本思路而導(dǎo)致思維混亂，甚至錯誤地定位，使問題的解決徒勞無益．這正是本節(jié)課要解決的問題．）

教師：二面角是怎樣定義的？

學(xué)生：從空間一直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫二面角． 教師：二面角的平面角是怎樣定義的？

學(xué)生：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角．

教師：請同學(xué)們看右圖．

如圖1：α，β是由l出發(fā)的兩個半平面，O是l上任意一點(diǎn)，OC α，且OC⊥l；OD β，且OD⊥l．這就是二面角的平面角的環(huán)境背景，即∠COD是二面角α-l-β的平面角．從中我們可以得到下列特征：

（1）過棱上任意一點(diǎn)，其平面角是唯一的；（2）其平面角所在平面與其兩個半平面均垂直；

另外，如果在OC上任取一點(diǎn)A，作AB⊥OD，垂足為B，那么由特征（2）可知AB⊥β．突出l，OC，OD，AB，這便是另一特征．

（3）體現(xiàn)出一完整的三垂線定理（或逆定理）的環(huán)境背影．

由于二面角的平面角是由一點(diǎn)和兩條射線構(gòu)成，所以二面角的定位可化歸為“定點(diǎn)”或“定線”的問題．

特征（1）表明，其平面角的定位可先在棱上取一“點(diǎn)”．耐人尋味的是這一點(diǎn)可以隨便取，但又總是不隨便取定的，它必須與問題背影互相溝通，給計算提供方便．

例1 已知：如圖2，四面體V-ABC中，VA=VB=VC=a，AB=BC=CA=b，VH⊥面ABC，垂足為H，求側(cè)面與底面所成的角的大?。?/p>

分析：由已知條件可知，頂點(diǎn)V在底面ABC上的射影H是底面的中心，所以連結(jié)CH交AB于O，且OC⊥AB，由三垂線定理可知，VO⊥AB，則∠VOC為側(cè)面與底面所成二面角的平面角．（圖2）

正因為此四面體的特性，解決此問題，可以取AB的中點(diǎn)O為其平面角的頂點(diǎn)，而且使得題設(shè)背影突出在面VOC上，給進(jìn)一步定量創(chuàng)造了得天獨(dú)厚的條件．

特征（2）指出，如果二面角α-l-β的棱l垂直某一平面γ，那么l必垂直γ與α，β的交線，而交線所成的角就是α-l-β的平面角．（如圖3）

由此可見，二面角的平面角的定位可以考慮找“垂平面”．

例2 矩形ABCD，AB=3，BC=4，沿對角線BD把△ABD折起，使點(diǎn)A在平面BCD上的射影A′落在BC上，求二面角A-BD-C的大小的余弦值．

在Rt△AA′O中，∠AA′O=90°，課堂練習(xí)

1．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長為2，E為BC的中點(diǎn)，求面B1D1E與面BB1C1C所成的二面角的大小的正切值．

練習(xí)1的環(huán)境背景表明，面B1D1E與面BB1C1C構(gòu)成兩個二面角，由特征（2）可知，這兩個二面角的大小必定互補(bǔ)．

為創(chuàng)造一完整的三垂線定理的環(huán)境背景，線段C1D1會讓我們眼睛一亮，我們只須由C1（或D1）作B1E的垂線交B1E于O，然后連結(jié)OD1（或OC1）即得面D1B1E與面CC1B1E所成二面角的平面角∠C1OD1，2．將棱長為a的正四面體的一個面與棱長為a的正四棱錐的一個側(cè)面吻合，則吻合后的幾何體呈現(xiàn)幾個面？

分析：這道題，考生答“7個面”的占99.9％，少數(shù)應(yīng)服從多數(shù)嗎？

從例題中三個特征提供的思路在解決問題時各具特色，它們的目標(biāo)分別是找“點(diǎn)”、“垂面”、“垂線段”．事實(shí)上，我們只要找到其中一個，另兩個就接踵而來．掌握這種關(guān)系對提高解題技能和培養(yǎng)空間想象能力非常重要．

本題如果能融合三個特征對思維的監(jiān)控，可有效地克服、抑制思維的消極作用，培養(yǎng)思維的廣闊性和批判性．

如圖9，過兩個幾何體的高線VP，VQ的垂足P，Q分別作BC的垂線，則垂足重合于O，且O為BC的中點(diǎn)．

OP延長過A，OQ延長交ED于R，考慮到三垂線定理的環(huán)境背影，∠AOR為二面角A-BC-R的平面角，結(jié)合特征（1），（2），可得VAOR為平行四邊形，VA∥BE，所以V，A，B，E共面．

同理V，A，C，D共面．

所以這道題的正確答案應(yīng)該是5個面．

（這一階段的教學(xué)主要是通過教師精心設(shè)計的一組例題與練習(xí)題，或邊練邊評，或由學(xué)生一鼓作氣練完后再逐題講評，達(dá)到練習(xí)的目的．其間要以學(xué)生“練”為主，教師“評”為輔）

由例

1、例2和課堂練習(xí)，我們已經(jīng)看到二面角的平面角有三個特征，這三個特征互相聯(lián)系，客觀存在，但在許多問題中卻表現(xiàn)得含糊而冷漠，三個特征均藏而不露，在這種形勢下，需認(rèn)真探索．探索體現(xiàn)出一完整的三垂線定理的環(huán)境背景，有了“垂線段”，便可以定位．

例3 如圖10，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)在AA1上，且A1F∶FA=1∶2，求平面B1EF與底面A1C1所成的二面角大小的正切值．

分析：在給定的平面B1EF與底面A1C1所成的二面角中，沒有出現(xiàn)二面角的棱，我們可以設(shè)法在二面角的兩個面內(nèi)找出兩個面的共點(diǎn)，則這兩個公共點(diǎn)的連線即為二面角的棱，最后借助這條棱作出二面角的平面角．

略解：如圖10．

在面BB1CC1內(nèi)，作EH⊥B1C1于H，連結(jié)HA1，顯然直線EF在底面A1C1的射影為HA1． 延長EF，HA1交于G，過G，B1的直線為所求二面角的棱． 在平面A1B1C1D1內(nèi)，作HK⊥GB1于K，連EK，則∠HKE為所求二面角的平面角．

在平面A1B1C1D1內(nèi)，作B1L⊥GH于L，利用Rt△GLB1∽Rt△GKH，可求得KH． 又在Rt△EKH中，設(shè)EH=a，容易得到：所求二面角大小的正切值

教師：有時我們也可以不直接作出二面角的平面角，而通過等價變換或具體的計算得出其平面角的大?。?/p>

例如我們可以使用平移法．由兩平面平行的性質(zhì)可知，若兩平行平面同時與

顯見平面FGH∥平面A′B′C′D′．

則二面角B′-FH-G的平面角度數(shù)等于所求二面角的度數(shù)．

過G作GM⊥HF，垂足為M，連B′M，由三垂線定理知B′M⊥HF．

所以∠B′MG為二面角B′-FH-G的平面角，其大小等于所求二面角平面角的大?。?例4 已知：如圖12，P是正方形ABCD所在平面外一點(diǎn)，PA=PB=PC=PD=a，AB=a． 求：平面APB與平面CPD相交所成較大的二面角的余弦值．

分析：為了找到二面角及其平面角，必須依據(jù)題目的條件，找出兩個平面的交線． 解：因為 AB∥CD，CD平面CPD，AB平面CPD． 所以 AB∥平面CPD．

又 P∈平面APB，且P∈平面CPD，因此平面APB∩平面CPD=l，且P∈l．

所以 二面角B-l-C就是平面APB和平面CPD相交所得到的一個二面角．

因為 AB∥平面CPD，AB平面APB，平面CPD∩平面APB=l，所以 AB∥l． 過P作PE⊥AB，PE⊥CD．

因為 l∥AB∥CD，因此 PE⊥l，PF⊥l，所以 ∠EPF是二面角B-l-C的平面角． 因為 PE是正三角形APB的一條高線，且AB=a，因為 E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，所以 EF=BC=a． 在△EFP中，小結(jié)：二面角及其平面角的正確而合理的定位，要在正確理解其定義的基礎(chǔ)上，掌握其基本特征，并靈活運(yùn)用它們考察問題的背景．

我們已經(jīng)看到，定位是為了定量，求角的大小往往要化歸到一個三角形中去解，因此尋找“垂線段”，把問題化歸是十分重要的．

作業(yè)

1．120°二面角α-l-β內(nèi)有一點(diǎn)P，若P到兩個面α，β的距離分別為3和1，求P到l的距離．

2．正方體ABCD-A1B1C1D1中，求以BD1為棱，B1BD1與C1BD1為面的二面角的度數(shù)．

第五篇：高中數(shù)學(xué)教案

高中數(shù)學(xué)教案

高中數(shù)學(xué)教案1

1.教學(xué)目標(biāo)

(1)知識目標(biāo): 1.在平面直角坐標(biāo)系中,探索并掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

2.會由圓的方程寫出圓的半徑和圓心,能根據(jù)條件寫出圓的方程.

(2)能力目標(biāo): 1.進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生用解析法研究幾何問題的能力;

2.使學(xué)生加深對數(shù)形結(jié)合思想和待定系數(shù)法的理解;

3.增強(qiáng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識.

(3)情感目標(biāo):培養(yǎng)學(xué)生主動探究知識、合作交流的意識,在體驗數(shù)學(xué)美的過程中激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

2.教學(xué)重點(diǎn).難點(diǎn)

(1)教學(xué)重點(diǎn):圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法及其應(yīng)用.

(2)教學(xué)難點(diǎn):會根據(jù)不同的已知條件,利用待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及選擇恰

當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系解決與圓有關(guān)的實(shí)際問題.

3.教學(xué)過程

(一)創(chuàng)設(shè)情境(啟迪思維)

問題一:已知隧道的截面是半徑為4m的半圓,車輛只能在道路中心線一側(cè)行駛,一輛寬為2.7m,高為3m的貨車能不能駛?cè)脒@個隧道?

[引導(dǎo)] 畫圖建系

[學(xué)生活動]:嘗試寫出曲線的方程(對求曲線的方程的步驟及圓的定義進(jìn)行提示性復(fù)習(xí))

解:以某一截面半圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn),半圓的直徑ab所在直線為x軸,建立直角坐標(biāo)系,則半圓的方程為x2 y2=16(y≥0)

將x=2.7代入,得 .

即在離隧道中心線2.7m處,隧道的高度低于貨車的高度,因此貨車不能駛?cè)脒@個隧道。

(二)深入探究(獲得新知)

問題二:1.根據(jù)問題一的探究能不能得到圓心在原點(diǎn),半徑為 的圓的方程?

答:x2 y2=r2

2.如果圓心在 ,半徑為 時又如何呢?

[學(xué)生活動] 探究圓的方程。

[教師預(yù)設(shè)] 方法一:坐標(biāo)法

如圖,設(shè)m(x,y)是圓上任意一點(diǎn),根據(jù)定義點(diǎn)m到圓心c的距離等于r,所以圓c就是集合p={m||mc|=r}

由兩點(diǎn)間的距離公式,點(diǎn)m適合的條件可表示為 ①

把①式兩邊平方,得(x―a)2 (y―b)2=r2

方法二:圖形變換法

方法三:向量平移法

(三)應(yīng)用舉例(鞏固提高)

i.直接應(yīng)用(內(nèi)化新知)

問題三:1.寫出下列各圓的方程(課本p77練習(xí)1)

(1)圓心在原點(diǎn),半徑為3;

(2)圓心在 ,半徑為 ;

(3)經(jīng)過點(diǎn) ,圓心在點(diǎn) .

2.根據(jù)圓的方程寫出圓心和半徑

(1) ; (2) .

ii.靈活應(yīng)用(提升能力)

問題四:1.求以 為圓心,并且和直線 相切的圓的方程.

[教師引導(dǎo)]由問題三知:圓心與半徑可以確定圓.

2.已知圓的方程為 ,求過圓上一點(diǎn) 的切線方程.

[學(xué)生活動]探究方法

[教師預(yù)設(shè)]

方法一:待定系數(shù)法(利用幾何關(guān)系求斜率-垂直)

方法二:待定系數(shù)法(利用代數(shù)關(guān)系求斜率-聯(lián)立方程)

方法三:軌跡法(利用勾股定理列關(guān)系式) [多媒體課件演示]

方法四:軌跡法(利用向量垂直列關(guān)系式)

3.你能歸納出具有一般性的結(jié)論嗎?

已知圓的方程是 ,經(jīng)過圓上一點(diǎn) 的切線的方程是: .

iii.實(shí)際應(yīng)用(回歸自然)

問題五:如圖是某圓拱橋的一孔圓拱的示意圖,該圓拱跨度ab=20m,拱高op=4m,在建造時每隔4m需用一個支柱支撐,求支柱 的長度(精確到0.01m).

[多媒體課件演示創(chuàng)設(shè)實(shí)際問題情境]

(四)反饋訓(xùn)練(形成方法)

問題六:1.求以c(-1,-5)為圓心,并且和y軸相切的圓的方程.

2.已知點(diǎn)a(-4,-5),b(6,-1),求以ab為直徑的圓的方程.

3.求圓x2 y2=13過點(diǎn)(-2,3)的切線方程.

4.已知圓的方程為 ,求過點(diǎn) 的切線方程.

高中數(shù)學(xué)教案2

教學(xué)目標(biāo)

(1)了解算法的含義，體會算法思想。

(2)會用自然語言和數(shù)學(xué)語言描述簡單具體問題的算法;

(3)學(xué)習(xí)有條理地、清晰地表達(dá)解決問題的步驟，培養(yǎng)邏輯思維能力與表達(dá)能力。

教學(xué)重難點(diǎn)

重點(diǎn)：算法的含義、解二元一次方程組的算法設(shè)計。

難點(diǎn)：把自然語言轉(zhuǎn)化為算法語言。

情境導(dǎo)入

電影《神槍手》中描述的凌靖是一個天生的狙擊手，他百發(fā)百中，最難打的位置對他來說也是輕而易舉，是香港警察狙擊手隊伍的第一神槍手、作為一名狙擊手，要想成功地完成一次狙擊任務(wù)，一般要按步驟完成以下幾步：

第一步：觀察、等待目標(biāo)出現(xiàn)(用望遠(yuǎn)鏡或瞄準(zhǔn)鏡);

第二步：瞄準(zhǔn)目標(biāo);

第三步：計算(或估測)風(fēng)速、距離、空氣濕度、空氣密度;

第四步：根據(jù)第三步的結(jié)果修正彈著點(diǎn);

第五步：開槍;

第六步：迅速轉(zhuǎn)移(或隱蔽)

以上這種完成狙擊任務(wù)的方法、步驟在數(shù)學(xué)上我們叫算法。

課堂探究

預(yù)習(xí)提升

1、定義：算法可以理解為由基本運(yùn)算及規(guī)定的運(yùn)算順序所構(gòu)成的完整的解題步驟，或者看成按照要求設(shè)計好的有限的確切的計算序列，并且這樣的步驟或序列能夠解決一類問題。

2、描述方式

自然語言、數(shù)學(xué)語言、形式語言(算法語言)、框圖。

3、算法的要求

(1)寫出的算法，必須能解決一類問題，且能重復(fù)使用;

(2)算法過程要能一步一步執(zhí)行，每一步執(zhí)行的操作，必須確切，不能含混不清，而且經(jīng)過有限步后能得出結(jié)果。

4、算法的特征

(1)有限性：一個算法應(yīng)包括有限的操作步驟，能在執(zhí)行有窮的操作步驟之后結(jié)束。

(2)確定性：算法的計算規(guī)則及相應(yīng)的計算步驟必須是唯一確定的。

(3)可行性：算法中的每一個步驟都是可以在有限的時間內(nèi)完成的基本操作，并能得到確定的結(jié)果。

(4)順序性：算法從初始步驟開始，分為若干個明確的步驟，前一步是后一步的前提，后一步是前一步的后續(xù)，且除了最后一步外，每一個步驟只有一個確定的后續(xù)。

(5)不唯一性：解決同一問題的算法可以是不唯一的

課堂典例講練

命題方向1對算法意義的理解

例1、下列敘述中，

①植樹需要運(yùn)苗、挖坑、栽苗、澆水這些步驟;

②按順序進(jìn)行下列運(yùn)算：1+1=2，2+1=3，3+1=4，…99+1=100;

③從青島乘動車到濟(jì)南，再從濟(jì)南乘飛機(jī)到倫敦觀看奧運(yùn)會開幕式;

④3x>x+1;

⑤求所有能被3整除的正數(shù)，即3，6，9，12。

能稱為算法的個數(shù)為()

A、2

B、3

C、4

D、5

【解析】根據(jù)算法的含義和特征：①②③都是算法;④⑤不是算法、其中④，3x>x+1不是一個明確的步驟，不符合明確性;⑤的步驟是無窮的，與算法的有限性矛盾。

【答案】B

[規(guī)律總結(jié)]

1、正確理解算法的概念及其特點(diǎn)是解決問題的關(guān)鍵、

2、針對判斷語句是否是算法的問題，要看它的步驟是否是明確的和有效的，而且能在有限步驟之內(nèi)解決這一問題、

【變式訓(xùn)練】下列對算法的理解不正確的是________

①一個算法應(yīng)包含有限的步驟，而不能是無限的

②算法可以理解為由基本運(yùn)算及規(guī)定的運(yùn)算順序構(gòu)成的完整的解題步驟

③算法中的每一步都應(yīng)當(dāng)有效地執(zhí)行，并得到確定的結(jié)果

④一個問題只能設(shè)計出一個算法

【解析】由算法的有限性指包含的步驟是有限的故①正確;

由算法的明確性是指每一步都是確定的故②正確;

由算法的每一步都是確定的，且每一步都應(yīng)有確定的結(jié)果故③正確;

由對于同一個問題可以有不同的算法故④不正確。

【答案】④

命題方向2解方程(組)的算法

例2、給出求解方程組的一個算法。

[思路分析]解線性方程組的常用方法是加減消元法和代入消元法，這兩種方法沒有本質(zhì)的差別，為了適用于解一般的線性方程組，以便于在計算機(jī)上實(shí)現(xiàn)，我們用高斯消元法(即先將方程組化為一個三角形方程組，再通過回代方程求出方程組的解)解線性方程組、

[規(guī)范解答]方法一：算法如下：

第一步，①×(-2)+②，得(-2+5)y=-14+11

即方程組可化為

第二步，解方程③，可得y=-1，④

第三步，將④代入①，可得2x-1=7，x=4

第四步，輸出4，-1

方法二：算法如下：

第一步，由①式可以得到y(tǒng)=7-2x，⑤

第二步，把y=7-2x代入②，得x=4

第三步，把x=4代入⑤，得y=-1

第四步，輸出4，-1

[規(guī)律總結(jié)]1、本題用了2種方法求解，對于問題的求解過程，我們既要強(qiáng)調(diào)對“通法、通解”的理解，又要強(qiáng)調(diào)對所學(xué)知識的靈活運(yùn)用。

2、設(shè)計算法時，經(jīng)常遇到解方程(組)的問題，一般是按照數(shù)學(xué)上解方程(組)的方法進(jìn)行設(shè)計，但應(yīng)注意全面考慮方程解的情況，即先確定方程(組)是否有解，有解時有幾個解，然后根據(jù)求解步驟設(shè)計算法步驟。

【變式訓(xùn)練】

【解】算法如下：S1，①+2×②得5x=1;③

S2，解③得x=;

S3，②-①×2得5y=3;④

S4，解④得y=;

命題方向3篩選問題的算法設(shè)計

例3、設(shè)計一個算法，對任意3個整數(shù)a、b、c，求出其中的最小值、

[思路分析]比較a，b比較m與c―→最小數(shù)

[規(guī)范解答]算法步驟如下：

1、比較a與b的大小，若a

2、比較m與c的大小，若m

[規(guī)律總結(jié)]求最小(大)數(shù)就是從中篩選出最小(大)的一個，篩選過程中的每一步都是比較兩個數(shù)的大小，保證了篩選的可行性，這種方法可以推廣到從多個不同數(shù)中篩選出滿足要求的一個。

【變式訓(xùn)練】在下列數(shù)字序列中，寫出搜索89的算法：

21,3,0,9,15,72,89,91,93

[解析]1、先找到序列中的第一個數(shù)m，m=21;

2、將m與89比較，是否相等，如果相等，則搜索到89;

3、如果m與89不相等，則往下執(zhí)行;

4、繼續(xù)將序列中的其他數(shù)賦給m，重復(fù)第2步，直到搜索到89。

命題方向4非數(shù)值性問題的算法

例4、一個人帶三只狼和三只羚羊過河，只有一條船，同船可以容一個人和兩只動物，沒有人在的時候，如果狼的數(shù)量不少于羚羊的數(shù)量，狼就會吃掉羚羊。

(1)設(shè)計安全渡河的算法;

(2)思考每一步算法所遵循的共同原則是什么?

高中數(shù)學(xué)教案3

教學(xué)目標(biāo)：

1。通過生活中優(yōu)化問題的學(xué)習(xí)，體會導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的作用，促進(jìn)

學(xué)生全面認(rèn)識數(shù)學(xué)的科學(xué)價值、應(yīng)用價值和文化價值。

2。通過實(shí)際問題的研究，促進(jìn)學(xué)生分析問題、解決問題以及數(shù)學(xué)建模能力的提高。

教學(xué)重點(diǎn)：

如何建立實(shí)際問題的目標(biāo)函數(shù)是教學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn)。

教學(xué)過程：

一、問題情境

問題1把長為60cm的鐵絲圍成矩形，長寬各為多少時面積最大？

問題2把長為100cm的鐵絲分成兩段，各圍成正方形，怎樣分法，能使兩個正方形面積之各最??？

問題3做一個容積為256L的方底無蓋水箱，它的高為多少時材料最??？

二、新課引入

導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)求最值的方法，可以求出實(shí)際生活中的某些最值問題。

1。幾何方面的應(yīng)用（面積和體積等的最值）。

2。物理方面的應(yīng)用（功和功率等最值）。

3。經(jīng)濟(jì)學(xué)方面的應(yīng)用（利潤方面最值）。

三、知識建構(gòu)

例1在邊長為60cm的正方形鐵片的四角切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起(如圖)，做成一個無蓋的方底箱子，箱底的邊長是多少時，箱底的容積最大？最大容積是多少？

說明1解應(yīng)用題一般有四個要點(diǎn)步驟：設(shè)——列——解——答。

說明2用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值，與求函數(shù)極值方法類似，加一步與幾個極

值及端點(diǎn)值比較即可。

例2圓柱形金屬飲料罐的容積一定時，它的高與底與半徑應(yīng)怎樣選取，才

能使所用的材料最省？

變式當(dāng)圓柱形金屬飲料罐的表面積為定值S時，它的高與底面半徑應(yīng)怎樣選取，才能使所用材料最省？

說明1這種在定義域內(nèi)僅有一個極值的函數(shù)稱單峰函數(shù)。

說明2用導(dǎo)數(shù)法求單峰函數(shù)最值，可以對一般的求法加以簡化，其步驟為：

S1列：列出函數(shù)關(guān)系式。

S2求：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

S3述：說明函數(shù)在定義域內(nèi)僅有一個極大（小）值，從而斷定為函數(shù)的最大（?。┲担匾獣r作答。

例3在如圖所示的電路中，已知電源的內(nèi)阻為，電動勢為。外電阻為

多大時，才能使電功率最大？最大電功率是多少？

說明求最值要注意驗證等號成立的條件，也就是說取得這樣的值時對應(yīng)的自變量必須有解。

例4強(qiáng)度分別為a，b的兩個光源A，B，它們間的距離為d，試問：在連接這兩個光源的線段AB上，何處照度最??？試就a＝8，b＝1，d＝3時回答上述問題（照度與光的強(qiáng)度成正比，與光源的距離的平方成反比）。

例5在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，生產(chǎn)單位產(chǎn)品的成本稱為成本函數(shù)，記為；出售單位產(chǎn)品的收益稱為收益函數(shù)，記為；稱為利潤函數(shù)，記為。

（1）設(shè)，生產(chǎn)多少單位產(chǎn)品時，邊際成本最低？

（2）設(shè)，產(chǎn)品的單價，怎樣的定價可使利潤最大？

四、課堂練習(xí)

1。將正數(shù)a分成兩部分，使其立方和為最小，這兩部分應(yīng)分成____和___。

2。在半徑為R的圓內(nèi)，作內(nèi)接等腰三角形，當(dāng)?shù)走吷细邽? 時，它的面積最大。

3。有一邊長分別為8與5的長方形，在各角剪去相同的小正方形，把四邊折起做成一個無蓋小盒，要使紙盒的容積最大，問剪去的小正方形邊長應(yīng)為多少？

4。一條水渠，斷面為等腰梯形，如圖所示，在確定斷面尺寸時，希望在斷面ABCD的面積為定值S時，使得濕周l＝AB＋BC＋CD最小，這樣可使水流阻力小，滲透少，求此時的高h(yuǎn)和下底邊長b。

五、回顧反思

（1）解有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實(shí)際問題，需要分析問題中各個變量之間的關(guān)系，找出適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系式，并確定函數(shù)的定義區(qū)間；所得結(jié)果要符合問題的實(shí)際意義。

（2）根據(jù)問題的實(shí)際意義來判斷函數(shù)最值時，如果函數(shù)在此區(qū)間上只有一個極值點(diǎn)，那么這個極值就是所求最值，不必再與端點(diǎn)值比較。

（3）相當(dāng)多有關(guān)最值的實(shí)際問題用導(dǎo)數(shù)方法解決較簡單。

六、課外作業(yè)

課本第38頁第1，2，3，4題。

高中數(shù)學(xué)教案4

教學(xué)目標(biāo)：

1．了解復(fù)數(shù)的幾何意義，會用復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)和向量來表示復(fù)數(shù)；了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算的幾何意義．

2．通過建立復(fù)平面上的點(diǎn)與復(fù)數(shù)的一一對應(yīng)關(guān)系，自主探索復(fù)數(shù)加減法的幾何意義．

教學(xué)重點(diǎn)：

復(fù)數(shù)的幾何意義，復(fù)數(shù)加減法的幾何意義．

教學(xué)難點(diǎn)：

復(fù)數(shù)加減法的幾何意義．

教學(xué)過程：

一 、問題情境

我們知道，實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)是一一對應(yīng)的，實(shí)數(shù)可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來表示．那么，復(fù)數(shù)是否也能用點(diǎn)來表示呢？

二、學(xué)生活動

問題1 任何一個復(fù)數(shù)a＋bi都可以由一個有序?qū)崝?shù)對（a，b）惟一確定，而有序?qū)崝?shù)對（a，b）與平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)是一一對應(yīng)的，那么我們怎樣用平面上的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù)呢？

問題2平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)A與以原點(diǎn)O為起點(diǎn)，A為終點(diǎn)的向量是一一對應(yīng)的，那么復(fù)數(shù)能用平面向量表示嗎？

問題3 任何一個實(shí)數(shù)都有絕對值，它表示數(shù)軸上與這個實(shí)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離．任何一個向量都有模，它表示向量的長度，那么相應(yīng)的，我們可以給出復(fù)數(shù)的模（絕對值）的概念嗎？它又有什么幾何意義呢？

問題4 復(fù)數(shù)可以用復(fù)平面的向量來表示，那么，復(fù)數(shù)的加減法有什么幾何意義呢？它能像向量加減法一樣，用作圖的方法得到嗎？兩個復(fù)數(shù)差的模有什么幾何意義？

三、建構(gòu)數(shù)學(xué)

1．復(fù)數(shù)的幾何意義：在平面直角坐標(biāo)系中，以復(fù)數(shù)a＋bi的實(shí)部a為橫坐標(biāo)，虛部b為縱坐標(biāo)就確定了點(diǎn)Z（a，b），我們可以用點(diǎn)Z（a，b）來表示復(fù)數(shù)a＋bi，這就是復(fù)數(shù)的幾何意義．

2．復(fù)平面：建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面．其中x軸為實(shí)軸，y軸為虛軸．實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)，除原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)．

3．因為復(fù)平面上的點(diǎn)Z（a，b）與以原點(diǎn)O為起點(diǎn)、Z為終點(diǎn)的向量一一對應(yīng)，所以我們也可以用向量來表示復(fù)數(shù)z＝a＋bi，這也是復(fù)數(shù)的幾何意義．

6．復(fù)數(shù)加減法的幾何意義可由向量加減法的平行四邊形法則得到，兩個復(fù)數(shù)差的模就是復(fù)平面內(nèi)與這兩個復(fù)數(shù)對應(yīng)的兩點(diǎn)間的距離．同時，復(fù)數(shù)加減法的法則與平面向量加減法的坐標(biāo)形式也是完全一致的．

四、數(shù)學(xué)應(yīng)用

例1 在復(fù)平面內(nèi)，分別用點(diǎn)和向量表示下列復(fù)數(shù)4，2＋i，－i，－1＋3i，3－2i．

練習(xí)課本P123練習(xí)第3，4題（口答）．

思考

1．復(fù)平面內(nèi)，表示一對共軛虛數(shù)的兩個點(diǎn)具有怎樣的位置關(guān)系？

2．如果復(fù)平面內(nèi)表示兩個虛數(shù)的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，那么它們的實(shí)部和虛部分別滿足什么關(guān)系？

3．“a＝0”是“復(fù)數(shù)a＋bi（a，b∈R）是純虛數(shù)”的__________條件．

4．“a＝0”是“復(fù)數(shù)a＋bi（a，b∈R）所對應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上”的_____條件．

例2 已知復(fù)數(shù)z＝（m2＋m－6）＋（m2＋m－2）i在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，求實(shí)數(shù)m允許的取值范圍．

例3 已知復(fù)數(shù)z1＝3＋4i，z2＝－1＋5i，試比較它們模的大?。?/p>

思考 任意兩個復(fù)數(shù)都可以比較大小嗎？

例4 設(shè)z∈C，滿足下列條件的點(diǎn)Z的集合是什么圖形？

（1）│z│＝2；（2）2＜│z│＜3．

變式：課本P124習(xí)題3．3第6題．

五、要點(diǎn)歸納與方法小結(jié)

本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容：

1．復(fù)數(shù)的幾何意義．

2．復(fù)數(shù)加減法的幾何意義．

3．?dāng)?shù)形結(jié)合的思想方法．

高中數(shù)學(xué)教案5

一、教學(xué)目標(biāo)：

掌握向量的概念、坐標(biāo)表示、運(yùn)算性質(zhì)，做到融會貫通，能應(yīng)用向量的有關(guān)性質(zhì)解決諸如平面幾何、解析幾何等的問題。

二、教學(xué)重點(diǎn)：

向量的性質(zhì)及相關(guān)知識的綜合應(yīng)用。

三、教學(xué)過程：

（一）主要知識：

1、掌握向量的概念、坐標(biāo)表示、運(yùn)算性質(zhì)，做到融會貫通，能應(yīng)用向量的有關(guān)性質(zhì)解決諸如平面幾何、解析幾何等的問題。

（二）例題分析：略

四、小結(jié)：

1、進(jìn)一步熟練有關(guān)向量的運(yùn)算和證明；能運(yùn)用解三角形的知識解決有關(guān)應(yīng)用問題，

2、滲透數(shù)學(xué)建模的思想，切實(shí)培養(yǎng)分析和解決問題的能力。

五、作業(yè)：

略

高中數(shù)學(xué)教案6

一、自我介紹

我姓x，是你們的數(shù)學(xué)老師，因為是數(shù)學(xué)老師所以在自我介紹的時候喜歡給出自己的數(shù)字特征，也是希望通過這些方式能拓寬與大家交流的平臺，希望能與大家在課堂中相識，在生活中相知，不僅能成為你們知識的傳授者，方法的指引者，更希望成為你們情感上的依賴者。

二、相信大家對于高中學(xué)習(xí)都充滿著好奇，和初中相比，高中課程與初中課程有很大的不同。今天這節(jié)課我們不急于上新課，我想和大家聊一聊數(shù)學(xué)，一起來思考為什么要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)及如何學(xué)好數(shù)學(xué)這兩個問題。

(一)為什么要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)

相信高一的第一節(jié)課是各位科任老師各顯神通的時候，通過各種有趣的方式來突出每門課的重要性，作為數(shù)學(xué)老師我表達(dá)上不如文科老師迂回婉轉(zhuǎn)和風(fēng)趣幽默，我們更喜歡用數(shù)字說明問題。大家知道北大最的院系是什么系嗎?早在蔡元培先生任北大校長時，就列數(shù)學(xué)系為北大第一系，這種傳統(tǒng)一直保持到現(xiàn)在。為什么數(shù)學(xué)系在高校中有如此重要的地位?課本主編寄語是這樣描述的：數(shù)學(xué)是有用的，數(shù)學(xué)有助于提高能力。

數(shù)學(xué)家華羅庚在《人民日報》精彩描述了數(shù)學(xué)在“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁”等方面無處不有重要貢獻(xiàn)。

問題1：大家知道海王星是怎么發(fā)現(xiàn)的，冥王星又是怎么被請出十大行星行列的?

海王星的發(fā)現(xiàn)是在數(shù)學(xué)計算過程中發(fā)現(xiàn)的，天文望遠(yuǎn)鏡的觀測只是驗證了人們的推論。

18，法國人布瓦德在計算天王星的運(yùn)動軌道時，發(fā)現(xiàn)理論計算值同觀測資料發(fā)生了一系列誤差。這使許多天文學(xué)家紛紛致力這個問題的研究，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)天王星的脫軌與一個未知的引力的存在相關(guān)。也就是說有一個未知的天體作用于天王星。1846年9月23日。柏林天文臺收到來自法國巴黎的一封快信。發(fā)信人就是勒威耶。信中，勒威耶預(yù)告了一顆以往沒有發(fā)現(xiàn)的新星：在摩羯座8星東約5度的地方，有一顆8等小星，每天退行69角秒。當(dāng)夜，柏林天文臺的加勒把巨大的天文望遠(yuǎn)鏡對準(zhǔn)摩羯座，果真在那里發(fā)現(xiàn)了一顆新的8等星。又過了-天，再次找到了這顆8等星，它的位置比前一天后退了70角秒。這與勒威耶預(yù)告的相差甚微。全世界都震動了。人們依照勒威耶的建議，按天文學(xué)慣例，用神話里的名字把這顆星命名為“海王星”。

1930年美國天文學(xué)家湯博發(fā)現(xiàn)冥王星，當(dāng)時錯估了冥王星的質(zhì)量，以為冥王星比地球還大，所以命名為大行星。然而，經(jīng)過近30年的進(jìn)一步觀測和計算，發(fā)現(xiàn)它的直徑只有2300公里，比月球還要小，等到冥王星的大小被確認(rèn)，“冥王星是大行星”早已被寫入教科書，以后也就將錯就錯了。經(jīng)過多年的爭論，國際天文學(xué)聯(lián)合會通過投票表決做出最終決定，取消冥王星的行星資格。8月24日據(jù)國際天文學(xué)聯(lián)合會宣布，冥王星將被排除在行星行列之外，從而太陽系行星的數(shù)量將由九顆減為八顆。事實(shí)上，位居太陽系九大行星末席70多年的冥王星，自發(fā)現(xiàn)之日起地位就備受爭議。

馬克思說：“一種科學(xué)只有在成功運(yùn)用數(shù)學(xué)時，才算達(dá)到了真正完善的地步?！闭驗閿?shù)學(xué)是日常生活和進(jìn)一步學(xué)習(xí)必不可少的基礎(chǔ)和工具，一切科學(xué)到了最后都?xì)w結(jié)為數(shù)學(xué)問題。

其實(shí)在我們的周圍有很多事情都是可以用數(shù)學(xué)可以來解決的，無非很多人都沒有用數(shù)學(xué)的眼光來看待。

問題2：徒認(rèn)為上帝是萬能的。你們認(rèn)為呢?如何來證明你的結(jié)論呢?(讓同學(xué)發(fā)言)

我的觀點(diǎn)：上帝不是萬能的。為什么呢?仔細(xì)聽我講來。

證明：(反證法)假如上帝是萬能的

那么他能夠制作出一塊無論什么力量都搬不動的石頭

根據(jù)假設(shè)，既然上帝是萬能的，那么他一定能夠搬的動他自己制造的那石頭

這與“無論什么力量都搬不動的石頭”相矛盾

所以假設(shè)不成立

所以上帝不是萬能的。問題3：抓鬮對個人來說公平嗎?5張票中有一張獎票，那么先抽還是后抽對個人還說公平嗎?

當(dāng)然，我們學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)只是數(shù)學(xué)學(xué)科體系中很基礎(chǔ)，很小的一部分?，F(xiàn)在課本上學(xué)的未必能直接應(yīng)用于生活，主要是為以后學(xué)習(xí)更高層次的理科打好基礎(chǔ)，同時，也為了掌握一些數(shù)學(xué)的思考方法以及分析問題解決問題的思維方式。哲學(xué)家培根說過：“讀詩使人靈秀，讀歷史使人明智，學(xué)邏輯使人周密，學(xué)哲學(xué)使人善辯，學(xué)數(shù)學(xué)使人聰明…”，也有人形象地稱數(shù)學(xué)是思維的體操。下面我們通過具體的例子來體驗一下某些數(shù)學(xué)思想方法和思維方式。

故事一：據(jù)說國際象棋是古印度的一位宰相發(fā)明的。國王很欣賞他的這項發(fā)明，問他的宰相要什么賞賜。聰明的宰相說，“我所要的從一粒谷子(沒錯，是1粒，不是1兩或1斤)開始。在這個有64格的棋盤上，第一格里放1粒谷子，第二格里放2粒，第三格里放4粒，即每下一格粒數(shù)加倍，……如此下去，一直放滿到棋盤上的64格。這就是我所要的賞賜?！眹跤X得宰相要的實(shí)在不多，就叫人按宰相的要求賞賜。但后來發(fā)現(xiàn)即使把全國所有的谷子抬來也遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠。

人們通常憑借自己掌握的數(shù)學(xué)知識耍些小聰明，使問題妙不可言。

數(shù)學(xué)游戲：兩人相繼輪流往長方形桌子上放同樣大小的硬幣，硬幣一定要平放在桌面上，后放的硬幣不能壓在先放的硬幣上，放最后一顆的硬幣的人算贏。應(yīng)該先放還是后放才有必勝的把握。

數(shù)學(xué)思想：退到最簡單、最特殊的`地方。

故事二：聰明的渡邊：20世紀(jì)40年代末，手寫工具突破性進(jìn)展-圓珠筆問世，它以價廉、方便、書寫流利在社會上廣泛流傳，但寫到20萬字時就會因圓珠磨小而漏油，影響了銷售。工程師們從圓珠質(zhì)量入手，從改進(jìn)油墨性能入手進(jìn)行改良，但收效甚微。于是廠家打出廣告：解決此問題獲獎金50萬元。當(dāng)時山地制筆廠的青年工人渡邊看到女兒把圓珠筆用到快漏油時就德育不用這一現(xiàn)象中受到啟發(fā)，很好地解決了這一問題，你認(rèn)為他會怎么做呢?

渡邊的成功之處就在于思維角度新，從問題的側(cè)面輕巧取勝。也正體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中經(jīng)常用到的發(fā)散式思維。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，既要有集中式思維又要有發(fā)散式思維。集中式思維是一種常用思維渠道，即為對問題的歸納，聯(lián)系思維方式，表現(xiàn)為對解題方法的模仿和繼承;而發(fā)散式思維即對問題開拓、創(chuàng)新，表現(xiàn)為對問題舉一反三，觸類旁通。在解決具體問題中，我們應(yīng)該將兩種思維方式相結(jié)合。

學(xué)數(shù)學(xué)有利于培養(yǎng)人的思維品質(zhì)：結(jié)構(gòu)意識、整體意識、抽象意識、化歸意識、優(yōu)化意識、反思意識，盡管數(shù)學(xué)在培養(yǎng)學(xué)生的這些思維品質(zhì)方面和其他學(xué)科存在著交集，但數(shù)學(xué)在其中的地位是無法被代替的。總之，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)可以使人思考問題更合乎邏輯，更有條理，更嚴(yán)密精確，更深入簡潔，更善于創(chuàng)造……

(二)如何學(xué)好數(shù)學(xué)

高中數(shù)學(xué)的內(nèi)容多，抽象性、理論性強(qiáng)，高中很注重自學(xué)能力的培養(yǎng)的，高中不會像初中那樣老師一天到晚盯著你，在高中一定要注重自學(xué)能力的培養(yǎng)，誰的自學(xué)能力強(qiáng)，那么在一定的程度上影響著你的成績以及你將來你發(fā)展的前途。同時要注意以下幾點(diǎn)：

第一：對數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)有清楚的認(rèn)識

主編寄語里是這樣描述數(shù)學(xué)的特征的：數(shù)學(xué)是自然的。數(shù)學(xué)的概念、方法、思想都是人類長期實(shí)踐中自然發(fā)展形成的，以數(shù)域的發(fā)展為例，從自然數(shù)到有理數(shù)到實(shí)數(shù)再到復(fù)數(shù)，都是由自然的認(rèn)知沖突引起的。因此，在學(xué)習(xí)過程中我們有必要了解知識產(chǎn)生的背景，它的形成過程以及它的應(yīng)用，讓數(shù)學(xué)顯得合情合理，渾然天成。數(shù)學(xué)中沒有含糊不清的詞，對錯分明，凡事都要講個為什么，只要按照數(shù)學(xué)規(guī)則去學(xué)去想就能融會貫通，但是如果不把來龍去脈想清楚而是“想當(dāng)然”的話，那就學(xué)不下去了。

第二：要改變一個觀念。

有人會說自己的基礎(chǔ)不好。那我問下什么是基礎(chǔ)?今天所學(xué)的知識就是明天的基礎(chǔ)。明天學(xué)習(xí)的知識就是后天的基礎(chǔ)。所以要學(xué)好每一天的內(nèi)容，那么你打的基礎(chǔ)就是最扎實(shí)的了。所以現(xiàn)在你們是在同一個起跑線上的，無所謂基礎(chǔ)好不好。過去的幾年里我分別帶過五十一中和一中的學(xué)生，兩邊學(xué)生的課堂感覺差不多，應(yīng)該說接受能力不相上下，有的時候我會選擇在五十一中開公開課，因為課堂氣氛活躍、輕松，但是成績差異卻是很大，原因在于我們同學(xué)外課自主時間的投入太少，學(xué)習(xí)習(xí)慣不太好。

第三：學(xué)數(shù)學(xué)要摸索自己的學(xué)習(xí)方法

學(xué)習(xí)、掌握并能靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)的途徑有千萬條，每個人都可以有與眾不同的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法。做習(xí)題、用數(shù)學(xué)解決各種問題是必需的，理解、學(xué)會證明、領(lǐng)會思想、掌握方法也是必需的。此外，還要發(fā)揮問題的作用，學(xué)會提問，熱心幫助別人解決問題，用自己的問題和別人的問題帶動自己的學(xué)習(xí)。同時，注意前后知識的銜接，類比地學(xué)、聯(lián)系地學(xué)，既要從概念中看到它的具體背景，又要在具體的例子中想到它蘊(yùn)含的一般概念。

第四：養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣(與一中學(xué)生相比較)

㈠課前預(yù)習(xí)。怎樣預(yù)習(xí)呢?就是自己在上課之前把內(nèi)容先看一邊，把自己不懂的地方做個記號或者打個問號，以至于上課的時候重點(diǎn)聽，這樣才能夠很快提高自己的水平。但是預(yù)習(xí)不是很隨便的把課本看一邊，預(yù)習(xí)有個目標(biāo)，那就是通過預(yù)習(xí)可以把書本后面的練習(xí)題可以自己獨(dú)立的完成。一中的同學(xué)預(yù)習(xí)就已經(jīng)有好幾個層次了，先是課本，再是精編，再是高考題典，上課對于他們來說是第一輪高考復(fù)習(xí)。

㈡上課認(rèn)真聽講。上課的時候準(zhǔn)備課本，一只筆，一本草稿。做不做筆記你們自己決定，不過我不大提倡數(shù)學(xué)課做筆記的。不過有一點(diǎn)，有些知識點(diǎn)比較重要，課本上又沒有的，我要求你們把它寫在課本上的相應(yīng)的空白地方。還有如果你覺得某個例題比較新或者比較重要，也可以把它記在書本的相應(yīng)位置上，這樣以后復(fù)習(xí)起來就一目了然了。那么草稿要來干什么的呢?課堂上你可以自己演算還有做課堂練習(xí)。

㈢關(guān)于作業(yè)。絕對不允許有抄作業(yè)的情況發(fā)生。如果我發(fā)現(xiàn)有誰抄作業(yè)，那么既然他這樣喜歡抄，我就要你把當(dāng)天的作業(yè)多抄幾遍給我。那有人會問，碰到不會做的題目怎么辦?有兩個辦法：一、向同學(xué)請教，請教做題目的思路，而不是整個過程和答案。同學(xué)之間也要相互幫助，如果你讓他抄襲你的作業(yè)這樣不是幫助他而是害他，這個道理大家應(yīng)該明白吧。我非常提倡同學(xué)之間的相互討論問題的，這樣才能夠相互促進(jìn)提高。二、向老師請教，要養(yǎng)成多想多問的習(xí)慣。我的辦公室在二樓二號，歡迎大家前來交流

㈣準(zhǔn)備一本筆記本，作為自己的問題集。把平時自己不懂的和不大理解的還有易錯的記錄下來，并且要及時的消化，不懂的地方問老師。這是一個很好的辦法，到考試的時候就可以有重點(diǎn)、有針對性的自己復(fù)習(xí)了。我高中的時候就是采用這樣的方法把數(shù)學(xué)成績提高。

好的開始是成功的一半，新的學(xué)期開始了，請大家調(diào)整好自己的思想，找到學(xué)習(xí)的原動力。播種一種思想，收獲一種行為;播種一種行為，收獲一種習(xí)慣;播種一種習(xí)慣，收獲一種性格;播種一種性格，收獲一種命運(yùn)。愿每位同學(xué)都有個好的開始。

高中數(shù)學(xué)教案7

教學(xué)目標(biāo)：

1、理解并掌握曲線在某一點(diǎn)處的切線的概念；

2、理解并掌握曲線在一點(diǎn)處的切線的斜率的定義以及切線方程的求法；

3、理解切線概念實(shí)際背景，培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力和培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化

問題的能力及數(shù)形結(jié)合思想。

教學(xué)重點(diǎn)：

理解并掌握曲線在一點(diǎn)處的切線的斜率的定義以及切線方程的求法。

教學(xué)難點(diǎn)：

用“無限逼近”、“局部以直代曲”的思想理解某一點(diǎn)處切線的斜率。

教學(xué)過程：

一、問題情境

1、問題情境。

如何精確地刻畫曲線上某一點(diǎn)處的變化趨勢呢？

如果將點(diǎn)P附近的曲線放大，那么就會發(fā)現(xiàn)，曲線在點(diǎn)P附近看上去有點(diǎn)像是直線。

如果將點(diǎn)P附近的曲線再放大，那么就會發(fā)現(xiàn)，曲線在點(diǎn)P附近看上去幾乎成了直線。事實(shí)上，如果繼續(xù)放大，那么曲線在點(diǎn)P附近將逼近一條確定的直線，該直線是經(jīng)過點(diǎn)P的所有直線中最逼近曲線的一條直線。

因此，在點(diǎn)P附近我們可以用這條直線來代替曲線，也就是說，點(diǎn)P附近，曲線可以看出直線（即在很小的范圍內(nèi)以直代曲）。

2、探究活動。

如圖所示，直線l1，l2為經(jīng)過曲線上一點(diǎn)P的兩條直線，

（1）試判斷哪一條直線在點(diǎn)P附近更加逼近曲線；

（2）在點(diǎn)P附近能作出一條比l1，l2更加逼近曲線的直線l3嗎？

（3）在點(diǎn)P附近能作出一條比l1，l2，l3更加逼近曲線的直線嗎？

二、建構(gòu)數(shù)學(xué)

切線定義： 如圖，設(shè)Q為曲線C上不同于P的一點(diǎn)，直線PQ稱為曲線的割線。 隨著點(diǎn)Q沿曲線C向點(diǎn)P運(yùn)動，割線PQ在點(diǎn)P附近逼近曲線C，當(dāng)點(diǎn)Q無限逼近點(diǎn)P時，直線PQ最終就成為經(jīng)過點(diǎn)P處最逼近曲線的直線l，這條直線l也稱為曲線在點(diǎn)P處的切線。這種方法叫割線逼近切線。

思考：如上圖，P為已知曲線C上的一點(diǎn)，如何求出點(diǎn)P處的切線方程？

三、數(shù)學(xué)運(yùn)用

例1 試求在點(diǎn)（2，4）處的切線斜率。

解法一 分析：設(shè)P（2，4），Q（xQ，f（xQ）），

則割線PQ的斜率為：

當(dāng)Q沿曲線逼近點(diǎn)P時，割線PQ逼近點(diǎn)P處的切線，從而割線斜率逼近切線斜率；

當(dāng)Q點(diǎn)橫坐標(biāo)無限趨近于P點(diǎn)橫坐標(biāo)時，即xQ無限趨近于2時，kPQ無限趨近于常數(shù)4。

從而曲線f（x）＝x2在點(diǎn)（2，4）處的切線斜率為4。

解法二 設(shè)P（2，4），Q（xQ，xQ2），則割線PQ的斜率為：

當(dāng)？x無限趨近于0時，kPQ無限趨近于常數(shù)4，從而曲線f（x）＝x2，在點(diǎn)（2，4）處的切線斜率為4。

練習(xí)試求在x＝1處的切線斜率。

解：設(shè)P（1，2），Q（1＋Δx，（1＋Δx）2＋1），則割線PQ的斜率為：

當(dāng)？x無限趨近于0時，kPQ無限趨近于常數(shù)2，從而曲線f（x）＝x2＋1在x＝1處的切線斜率為2。

小結(jié) 求曲線上一點(diǎn)處的切線斜率的一般步驟：

（1）找到定點(diǎn)P的坐標(biāo)，設(shè)出動點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

（2）求出割線PQ的斜率；

（3）當(dāng)時，割線逼近切線，那么割線斜率逼近切線斜率。

思考 如上圖，P為已知曲線C上的一點(diǎn)，如何求出點(diǎn)P處的切線方程？

解 設(shè)

所以，當(dāng)無限趨近于0時，無限趨近于點(diǎn)處的切線的斜率。

變式訓(xùn)練

1。已知，求曲線在處的切線斜率和切線方程；

2。已知，求曲線在處的切線斜率和切線方程；

3。已知，求曲線在處的切線斜率和切線方程。

課堂練習(xí)

已知，求曲線在處的切線斜率和切線方程。

四、回顧小結(jié)

1、曲線上一點(diǎn)P處的切線是過點(diǎn)P的所有直線中最接近P點(diǎn)附近曲線的直線，則P點(diǎn)處的變化趨勢可以由該點(diǎn)處的切線反映（局部以直代曲）。

2、根據(jù)定義，利用割線逼近切線的方法， 可以求出曲線在一點(diǎn)處的切線斜率和方程。

五、課外作業(yè)

高中數(shù)學(xué)教案8

一.教材分析：

集合概念及其基本理論，稱為集合論，是近、現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個重要的基礎(chǔ)，一方面，許多重要的數(shù)學(xué)分支，都建立在集合理論的基礎(chǔ)上。另一方面，集合論及其所反映的數(shù)學(xué)思想，在越來越廣泛的領(lǐng)域種得到應(yīng)用。

二.目標(biāo)分析：

教學(xué)重點(diǎn).難點(diǎn)

重點(diǎn)：集合的含義與表示方法.

難點(diǎn)：表示法的恰當(dāng)選擇.

教學(xué)目標(biāo)

l.知識與技能

(1)通過實(shí)例，了解集合的含義，體會元素與集合的屬于關(guān)系;

(2)知道常用數(shù)集及其專用記號; (3)了解集合中元素的確定性.互異性.無序性;

(4)會用集合語言表示有關(guān)數(shù)學(xué)對象;

2.過程與方法

(1)讓學(xué)生經(jīng)歷從集合實(shí)例中抽象概括出集合共同特征的過程，感知集合的含義.

(2)讓學(xué)生歸納整理本節(jié)所學(xué)知識.

3.情感.態(tài)度與價值觀

使學(xué)生感受到學(xué)習(xí)集合的必要性，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的積極性.

三.教法分析

1.教學(xué)方法：學(xué)生通過閱讀教材，自主學(xué)習(xí).思考.交流.討論和概括，從而更好地完成本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo).2.教學(xué)手段：在教學(xué)中使用投影儀來輔助教學(xué).

四.過程分析

(一)創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題

1.教師首先提出問題：(1)介紹自己的家庭、原來就讀的學(xué)校、現(xiàn)在的班級。

(2)問題：像“家庭”、“學(xué)?！薄ⅰ鞍嗉墶钡?，有什么共同特征?

引導(dǎo)學(xué)生互相交流.與此同時，教師對學(xué)生的活動給予評價.

2.活動：(1)列舉生活中的集合的例子;(2)分析、概括各實(shí)例的共同特征

由此引出這節(jié)要學(xué)的內(nèi)容。

設(shè)計意圖:既激發(fā)了學(xué)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣，又為新知作好鋪墊

(二)研探新知，建構(gòu)概念

1.教師利用多媒體設(shè)備向?qū)W生投影出下面7個實(shí)例：

(1)1—20以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù);(2)我國古代的四大發(fā)明;

(3)所有的安理會常任理事國; (4)所有的正方形;

(5)海南省在20xx年9月之前建成的所有立交橋;

(6)到一個角的兩邊距離相等的所有的點(diǎn);

(7)國興中學(xué)20xx年9月入學(xué)的高一學(xué)生的全體.

2.教師組織學(xué)生分組討論：這7個實(shí)例的共同特征是什么?

3.每個小組選出——位同學(xué)發(fā)表本組的討論結(jié)果，在此基礎(chǔ)上，師生共同概括出7個實(shí)例的特征，并給出集合的含義.一般地，指定的某些對象的全體稱為集合(簡稱為集).集合中的每個對象叫作這個集合的元素.

4.教師指出：集合常用大寫字母A，B，C，D，?表示，元素常用小寫字母a,b,c,d?表示.

設(shè)計意圖:通過實(shí)例讓學(xué)生感受集合的概念，激發(fā)學(xué)習(xí)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生樂于求索的精神

(三)質(zhì)疑答辯，發(fā)展思維

1.教師引導(dǎo)學(xué)生閱讀教材中的相關(guān)內(nèi)容，思考：集合中元素有什么特點(diǎn)?并注意個別輔導(dǎo)，解答學(xué)生疑難.使學(xué)生明確集合元素的三大特性，即:確定性.互異性和無序性.只要構(gòu)成兩個集合的元素是一樣的,我們就稱這兩個集合相等.

2.教師組織引導(dǎo)學(xué)生思考以下問題：

判斷以下元素的全體是否組成集合，并說明理由：

(1)大于3小于11的偶數(shù);(2)我國的小河流.讓學(xué)生充分發(fā)表自己的建解.

3.讓學(xué)生自己舉出一些能夠構(gòu)成集合的例子以及不能構(gòu)成集合的例子，并說明理由.教師對學(xué)生的學(xué)習(xí)活動給予及時的評價.

4.教師提出問題，讓學(xué)生思考

b是(1)如果用A表示高—(3)班全體學(xué)生組成的集合，用a表示高一(3)班的一位同學(xué)，

高一(4)班的一位同學(xué)，那么a,b與集合A分別有什么關(guān)系?由此引導(dǎo)學(xué)生得出元素與集合的關(guān)系有兩種：屬于和不屬于.

如果a是集合A的元素，就說a屬于集合A，記作a?A.

如果a不是集合A的元素，就說a不屬于集合A，記作a?A.

(2)如果用A表示“所有的安理會常任理事國”組成的集合，則中國.日本與集合A的關(guān)系分別是什么?請用數(shù)學(xué)符號分別表示.

(3)讓學(xué)生完成教材第6頁練習(xí)第1題.

5.教師引導(dǎo)學(xué)生回憶數(shù)集擴(kuò)充過程，然后閱讀教材中的相交內(nèi)容，寫出常用數(shù)集的記號.并讓學(xué)生完成習(xí)題1.1A組第1題.

6.教師引導(dǎo)學(xué)生閱讀教材中的相關(guān)內(nèi)容，并思考.討論下列問題：

(1)要表示一個集合共有幾種方式?

(2)試比較自然語言.列舉法和描述法在表示集合時，各自的特點(diǎn)?適用的對象是什么?

(3)如何根據(jù)問題選擇適當(dāng)?shù)募媳硎痉?

使學(xué)生弄清楚三種表示方式的優(yōu)缺點(diǎn)和體會它們存在的必要性和適用對象。

設(shè)計意圖:明確集合元素的三大特性，使學(xué)生弄清楚三種表示方式的優(yōu)缺點(diǎn)，從而突破難點(diǎn)。

(四)鞏固深化，反饋矯正

教師投影學(xué)習(xí)：

(1)用自然語言描述集合{1，3，5，7，9}; (2)用例舉法表示集合A?{x?N|1?x?8}

(3)試選擇適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希航滩牡?頁練習(xí)第2題.

設(shè)計意圖:使學(xué)生及時鞏固所學(xué)新知，體會三種表示方式存在的必要性和適用對象

(五)歸納小結(jié)，布置作業(yè)

小結(jié)：在師生互動中，讓學(xué)生了解或體會下例問題：

1.本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些知識內(nèi)容? 2.你認(rèn)為學(xué)習(xí)集合有什么意義?

3.選擇集合的表示法時應(yīng)注意些什么?

設(shè)計意圖:通過回顧，對概念的發(fā)生與發(fā)展過程有清晰的認(rèn)識，回顧集合元素的三大特性及集合的三種表示方式。

作業(yè)：1.課后書面作業(yè)：第13頁習(xí)題1.1A組第4題.

2.元素與集合的關(guān)系有多少種?如何表示?類似地集合與集合間的關(guān)系又有多少種

呢?如何表示?請同學(xué)們通過預(yù)習(xí)教材.

五.板書分析

高中數(shù)學(xué)教案9

各位評委、各位專家，大家好！今天，我說課的內(nèi)容是人民教育出版社全日制普通高級中學(xué)教科書(必修)《數(shù)學(xué)》第一章第五節(jié)“一元二次不等式解法”。

下面從教材分析、教學(xué)目標(biāo)分析、教學(xué)重難點(diǎn)分析、教法與學(xué)法、課堂設(shè)計、效果評價六方面進(jìn)行說課。

一、教材分析

（一）教材的地位和作用

“一元二次不等式解法”既是初中一元一次不等式解法在知識上的延伸和發(fā)展，又是本章集合知識的運(yùn)用與鞏固，也為下一章函數(shù)的定義域和值域教學(xué)作鋪墊，起著鏈條的作用。同時，這部分內(nèi)容較好地反映了方程、不等式、函數(shù)知識的內(nèi)在聯(lián)系和相互轉(zhuǎn)化，蘊(yùn)含著歸納、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等豐富的數(shù)學(xué)思想方法，能較好地培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、概括能力、探究能力及創(chuàng)新意識。

（二）教學(xué)內(nèi)容

本節(jié)內(nèi)容分2課時學(xué)習(xí)。本課時通過二次函數(shù)的圖象探索一元二次不等式的解集。通過復(fù)習(xí)“三個一次”的關(guān)系，即一次函數(shù)與一元一次方程、一元一次不等式的關(guān)系；以舊帶新尋找“三個二次”的關(guān)系，即二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式的關(guān)系；采用“畫、看、說、用”的思維模式，得出一元二次不等式的解集，品味數(shù)學(xué)中的和諧美，體驗成功的樂趣。

二、教學(xué)目標(biāo)分析

根據(jù)教學(xué)大綱的要求、本節(jié)教材的特點(diǎn)和高一學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)確定為：

知識目標(biāo)——理解“三個二次”的關(guān)系；掌握看圖象找解集的方法，熟悉一元二次不等式的解法。

能力目標(biāo)——通過看圖象找解集，培養(yǎng)學(xué)生“從形到數(shù)”的轉(zhuǎn)化能力，“從具體到抽象”、“從特殊到一般”的歸納概括能力。

情感目標(biāo)——創(chuàng)設(shè)問題情景，激發(fā)學(xué)生觀察、分析、探求的學(xué)習(xí)激情、強(qiáng)化學(xué)生參與意識及主體作用。

三、重難點(diǎn)分析

一元二次不等式是高中數(shù)學(xué)中最基本的不等式之一，是解決許多數(shù)學(xué)問題的重要工具。本節(jié)課的重點(diǎn)確定為：一元二次不等式的解法。

要把握這個重點(diǎn)。關(guān)鍵在于理解并掌握利用二次函數(shù)的圖象確定一元二次不等式解集的方法——圖象法，其本質(zhì)就是要能利用數(shù)形結(jié)合的思想方法認(rèn)識方程的解，不等式的解集與函數(shù)圖象上對應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)的內(nèi)在聯(lián)系。由于初中沒有專門研究過這類問題，高一學(xué)生比較陌生，要真正掌握有一定的難度。因此，本節(jié)課的難點(diǎn)確定為：“三個二次”的關(guān)系。要突破這個難點(diǎn)，讓學(xué)生歸納“三個一次”的關(guān)系作鋪墊。

四、教法與學(xué)法分析

（一）學(xué)法指導(dǎo)

教學(xué)矛盾的主要方面是學(xué)生的學(xué)。學(xué)是中心，會學(xué)是目的。因此在教學(xué)中要不斷指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)。本節(jié)課主要是教給學(xué)生“動手畫、動眼看、動腦想、動口說、善提煉、勤鉆研”的研討式學(xué)習(xí)方法，這樣做增加了學(xué)生自主參與，合作交流的機(jī)會，教給了學(xué)生獲取知識的途徑、思考問題的方法，使學(xué)生真正成了教學(xué)的主體；只有這樣做，才能使學(xué)生“學(xué)”有新“思”，“思”有新“得”，“練”有新“獲”，學(xué)生也才會逐步感受到數(shù)學(xué)的美，會產(chǎn)生一種成功感，從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣；也只有這樣做，課堂教學(xué)才富有時代特色，才能適應(yīng)素質(zhì)教育下培養(yǎng)“創(chuàng)新型”人才的需要。

（二）教法分析

本節(jié)課設(shè)計的指導(dǎo)思想是：現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)——建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論。

建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為：應(yīng)把學(xué)習(xí)看成是學(xué)生主動的建構(gòu)活動，學(xué)生應(yīng)與一定的知識背景即情景相聯(lián)系，在實(shí)際情景下進(jìn)行學(xué)習(xí)，可以使學(xué)生利用已有知識與經(jīng)驗同化和索引出當(dāng)前要學(xué)習(xí)的新知識，這樣獲取的知識，不但便于保持，而且易于遷移到陌生的問題情景中。

本節(jié)課采用“誘思引探教學(xué)法”。把問題作為出發(fā)點(diǎn)，指導(dǎo)學(xué)生“畫、看、說、用”。較好地探求一元二次不等式的解法。

五、課堂設(shè)計

本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計充分體現(xiàn)以學(xué)生發(fā)展為本，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、概括和探究能力，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，體現(xiàn)理論聯(lián)系實(shí)際、循序漸進(jìn)和因材施教的教學(xué)原則，通過問題情境的創(chuàng)設(shè)，激發(fā)興趣，使學(xué)生在問題解決的探索過程中，由學(xué)會走向會學(xué)，由被動答題走向主動探究。

（一）創(chuàng)設(shè)情景，引出“三個一次”的關(guān)系

本節(jié)課開始，先讓學(xué)生解一元二次方程x2-x-6=0，如果我把“=”改成“”則變成一元二次不等式x2-x-60讓學(xué)生解，學(xué)生肯定感到很突然。但是“思維往往是從驚奇和疑問開始”，這樣直奔主題，目的在于構(gòu)造懸念，激活學(xué)生的思維興趣。

為此，我設(shè)計了以下幾個問題：

1、請同學(xué)們解以下方程和不等式：

①2x-7=0；②2x-70；③2x-70

學(xué)生回答，我板書。

2、我指出：2x-70和2x-70的解實(shí)際上只需利用不等式基本性質(zhì)就容易得到。

3、接著我提出：我們能否利用不等式的基本性質(zhì)來解一元二次不等式呢？學(xué)生可能感到很困惑。

4、為此，我引入一次函數(shù)y=2x-7，借助動畫從圖象上直觀認(rèn)識方程和不等式的解，得出以下三組重要關(guān)系：

①2x-7=0的解恰是函數(shù)y=2x-7的圖象與x軸

交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

②2x-70的解集正是函數(shù)y=2x-7的圖象

在x軸的上方的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的集合。

③2x-70的解集正是函數(shù)y=2x-7的圖象

在x軸的下方的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的集合。

三組關(guān)系的得出，實(shí)際上讓學(xué)生找到了利用“一次函數(shù)的圖象”來解一元一次方程和一元一次不等式的方法。讓學(xué)生看到了解決一元二次不等式的希望，大大激發(fā)了學(xué)生解決新問題的興趣。此時，學(xué)生很自然聯(lián)想到利用函數(shù)y=x2-x-6的圖象來求不等式x2-x-60的解集。

（二）比舊悟新，引出“三個二次”的關(guān)系

為此我引導(dǎo)學(xué)生作出函數(shù)y=x2-x-6的圖象，按照“看一看 說一說 問一問”的思路進(jìn)行探究。

看函數(shù)y=x2-x-6的圖象并說出：

①方程x2-x-6=0的解是

x=-2或x=3 ；

②不等式x2-x-60的解集是

{x|x-2,或x3}；

③不等式x2-x-60的解集是

{x|-23}。

此時，學(xué)生已經(jīng)沖出了困惑，找到了利用二次函數(shù)的圖象來解一元二次不等式的方法。

學(xué)生沉浸在成功的喜悅中,不妨趁熱打鐵問一問:如果把函數(shù)y=x2-x-6變?yōu)閥=ax2+bx+c(a0)，那么圖象與x軸的位置關(guān)系又怎樣呢？(學(xué)生回答：△0時，圖象與x軸有兩個交點(diǎn)；△=0時，圖象與x軸只有一個交點(diǎn)；△0時，圖象與x輛沒有交點(diǎn)。)請同學(xué)們討論：ax2+bx+c0與ax2+bx+c0的解集與函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象有怎樣的關(guān)系？

（三）歸納提煉，得出“三個二次”的關(guān)系

1、引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)圖象與x軸的相對位置關(guān)系，寫出相關(guān)不等式的解集。

2、此時提出：若a0時，怎樣求解不等式ax2+bx+c0及ax2+bx+c0？(經(jīng)討論之后，有的學(xué)生得出：將二次項系數(shù)由負(fù)化正，轉(zhuǎn)化為上述模式求解，教師應(yīng)予以強(qiáng)調(diào)；也有的學(xué)生提出畫出相應(yīng)的二次函數(shù)圖象，根據(jù)圖象寫出解集，教師應(yīng)給予肯定。)

（四）應(yīng)用新知，熟練掌握一元二次不等式的解集

借助二次函數(shù)的圖象，得到一元二次不等式的解集，學(xué)生形成了感性認(rèn)識，為鞏固所學(xué)知識，我們一起來完成以下例題：

例1、解不等式2x2－3x－20

解：因為Δ0，方程2x2－3x－2=0的解是

x1= ，x2=2

所以，不等式的解集是

{ x| x ，或x2}

例1的解決達(dá)到了兩個目的：一是鞏固了一元二次不等式解集的應(yīng)用；二是規(guī)范了一元二次不等式的解題格式。

下面我們接著學(xué)習(xí)課本例2。

例2 解不等式－3x2+6x2

課本例2的出現(xiàn)恰當(dāng)好處，一方面突出了“對于二次項系數(shù)是負(fù)數(shù)(即a0)的一元二次不等式，可以先把二次項系數(shù)化為正數(shù)，再求解”；另一方面，學(xué)生對此例的解答極易出現(xiàn)寫錯解集(如出現(xiàn)“或”與“且”的錯誤)。

通過例1、例2的解決，學(xué)生與我一起總結(jié)了解一元二次不等式的一般步驟：一化正—二算△—三求根—四寫解集。

例3 解不等式4x2－4x+10

例4 解不等式－x2+2x－30

分別突出了“△=0”、“△0”對不等式解集的影響。這兩例由學(xué)生練習(xí)，教師巡視、指導(dǎo)，講評學(xué)生完成情況，尋找學(xué)生中的閃光點(diǎn)，給予熱情表揚(yáng)。

4道例題，具有典型性、層次性和學(xué)生的可接受性。為了避免學(xué)生學(xué)后“一團(tuán)亂麻”、“一盤散沙”的局面,我和學(xué)生一起總結(jié)。

（五）總結(jié)

解一元二次不等式的“四部曲”：

(1)把二次項的系數(shù)化為正數(shù)

(2)計算判別式Δ

(3)解對應(yīng)的一元二次方程

(4)根據(jù)一元二次方程的根，結(jié)合圖像(或口訣)，寫出不等式的解集。概括為：一化正→二算Δ→三求根→四寫解集

（六）作業(yè)布置

為了使所有學(xué)生鞏固所學(xué)知識，我布置了“必做題”；又為學(xué)有余力者留有自由發(fā)展的空間，我布置了“探究題”。

（1）必做題：習(xí)題1.5的1、3題

（2）探究題：①若a、b不同時為零，記ax2+bx+c=0的解集為P，ax2+bx+c0的解集為M，ax2+bx+c0的解集為N，那么P∪M∪N=______________；②已知不等式(k2+4k-5)x2+4(1-k)x+30的解集是R，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。

（七）板書設(shè)計

一元二次不等式解法（1）

五、教學(xué)效果評價

本節(jié)課立足課本，著力挖掘，設(shè)計合理，層次分明。以“三個一次關(guān)系→三個二次關(guān)系→一元二次不等式解法”為主線，以“從形到數(shù)，從具體到抽象，從特殊到一般”為靈魂，以“畫、看、說、用”為特色，把握重點(diǎn)，突破難點(diǎn)。在教學(xué)思想上既注重知識形成過程的教學(xué)，還特別突出學(xué)生學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)，探究能力的訓(xùn)練，創(chuàng)新精神的培養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的美，體驗求知的樂趣。

高中數(shù)學(xué)教案10

教學(xué)目標(biāo)

1．了解映射的概念，象與原象的概念，和一一映射的概念．

（1）明確映射是特殊的對應(yīng)即由集合 ，集合 和對應(yīng)法則f三者構(gòu)成的一個整體，知道映射的特殊之處在于必須是多對一和一對一的對應(yīng)；

（2）能準(zhǔn)確使用數(shù)學(xué)符號表示映射， 把握映射與一一映射的區(qū)別；

（3）會求給定映射的指定元素的象與原象，了解求象與原象的方法．

2．在概念形成過程中，培養(yǎng)學(xué)生的觀察，比較和歸納的能力．

3．通過映射概念的學(xué)習(xí)，逐步提高學(xué)生對知識的探究能力．

教學(xué)建議

教材分析

（1）知識結(jié)構(gòu)

映射是一種特殊的對應(yīng)，一一映射又是一種特殊的映射，而且函數(shù)也是特殊的映射，它們之間的關(guān)系可以通過下圖表示出來，如圖：

由此我們可從集合的包含關(guān)系中幫助我們把握相關(guān)概念間的區(qū)別與聯(lián)系．

（2）重點(diǎn)，難點(diǎn)分析

本節(jié)的教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)是映射和一一映射概念的形成與認(rèn)識．

①映射的概念是比較抽象的概念，它是在初中所學(xué)對應(yīng)的基礎(chǔ)上發(fā)展而來．教學(xué)中應(yīng)特別強(qiáng)調(diào)對應(yīng)集合 B中的唯一這點(diǎn)要求的理解；

映射是學(xué)生在初中所學(xué)的對應(yīng)的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的，對應(yīng)本身就是由三部分構(gòu)成的整體，包括集 合A和集合B及對應(yīng)法則f，由于法則的不同，對應(yīng)可分為一對一，多對一，一對多和多對多． 其中只有一對一和多對一的能構(gòu)成映射，由此可以看到映射必是“對B中之唯一”，而只要是對應(yīng)就必須保證讓A中之任一與B中元素相對應(yīng)，所以滿足一對一和多對一的對應(yīng)就能體現(xiàn)出“任一對唯一”．

②而一一映射又在映射的基礎(chǔ)上增加新的要求，決定了它在學(xué)習(xí)中是比較困難的．

教法建議

（1）在映射概念引入時，可先從學(xué)生熟悉的對應(yīng)入手， 選擇一些具體的生活例子，然后再舉一些數(shù)學(xué)例子，分為一對多、多對一、多對一、一對一四種情況，讓學(xué)生認(rèn)真觀察，比較，再引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中一對一和多對一的對應(yīng)是映射，逐步歸納概括出映射的基本特征，讓學(xué)生的認(rèn)識從感性認(rèn)識到理性認(rèn)識．

（2）在剛開始學(xué)習(xí)映射時，為了能讓學(xué)生看清映射的構(gòu)成，可以選擇用圖形表示映射，在集合的選擇上可選擇能用列舉法表示的有限集，法則盡量用語言描述，這樣的表示方法讓學(xué)生可以比較直觀的認(rèn)識映射，而后再選擇用抽象的數(shù)學(xué)符號表示映射，比如：

（3）對于學(xué)生層次較高的學(xué)校可以在給出定義后讓學(xué)生根據(jù)自己的理解舉出映射的例子，教師也給出一些映射的例子，讓學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)映射的特點(diǎn)，并用自己的語言描述出來，最后教師加以概括，再從中引出一一映射概念；對于學(xué)生層次較低的學(xué)校，則可以由教師給出一些例子讓學(xué)生觀察，教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)映射的特點(diǎn)，一起概括．最后再讓學(xué)生舉例，并逐步增加要求向一一映射靠攏，引出一一映射概念．

（4）關(guān)于求象和原象的問題，應(yīng)在計算的過程中總結(jié)方法，特別是求原象的方法是解方程或方程組，還可以通過方程組解的不同情況(有唯一解，無解或有無數(shù)解)加深對映射的認(rèn)識．

（5）在教學(xué)方法上可以采用啟發(fā)，討論的形式，讓學(xué)生在實(shí)例中去觀察，比較，啟發(fā)學(xué)生尋找共性，共同討論映射的特點(diǎn)，共同舉例，計算，最后進(jìn)行小結(jié)，教師要起到點(diǎn)撥和深化的作用．

教學(xué)設(shè)計方案

2.1映射

教學(xué)目標(biāo)(1)了解映射的概念，象與原象及一一映射的概念．

(2)在概念形成過程中，培養(yǎng)學(xué)生的觀察，分析對比，歸納的能力．

(3)通過映射概念的學(xué)習(xí)，逐步提高學(xué)生的探究能力．

教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)：:映射概念的形成與認(rèn)識．

教學(xué)用具：實(shí)物投影儀

教學(xué)方法：啟發(fā)討論式

教學(xué)過程：

一、引入

在初中，我們已經(jīng)初步探討了函數(shù)的定義并研究了幾類簡單的常見函數(shù)．在高中，將利用前面集合有關(guān)知識，利用映射的觀點(diǎn)給出函數(shù)的定義．那么映射是什么呢?這就是我們今天要詳細(xì)的概念．

二、新課

在前一章集合的初步知識中，我們學(xué)習(xí)了元素與集合及集合與集合之間的關(guān)系，而映射是重點(diǎn)研究兩個集合的元素與元素之間的對應(yīng)關(guān)系．這要先從我們熟悉的對應(yīng)說起(用投影儀打出一些對應(yīng)關(guān)系，共6個)

我們今天要研究的是一類特殊的對應(yīng)，特殊在什么地方呢?

提問1：在這些對應(yīng)中有哪些是讓A中元素就對應(yīng)B中唯一一個元素?

讓學(xué)生仔細(xì)觀察后由學(xué)生回答，對有爭議的，或漏選，多選的可詳細(xì)說明理由進(jìn)行討論．最后得出(1)，(2)，(5)，(6)是符合條件的(用投影儀將這幾個集中在一起)

提問2：能用自己的語言描述一下這幾個對應(yīng)的共性嗎？

經(jīng)過師生共同推敲，將映射的定義引出．(主體內(nèi)容由學(xué)生完成，教師做必要的補(bǔ)充)

高中數(shù)學(xué)教案11

（一）教學(xué)具準(zhǔn)備

直尺，投影儀．

（二）教學(xué)目標(biāo)

1．掌握，的定義域、值域、最值、單調(diào)區(qū)間．

2．會求含有、的三角式的定義域．

（三）教學(xué)過程

1．設(shè)置情境

研究函數(shù)就是要討論一些性質(zhì)，，是函數(shù)，我們當(dāng)然也要探討它的一些屬性．本節(jié)課，我們就來研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的最基本的兩條性質(zhì)．

2．探索研究

師：同學(xué)們回想一下，研究一個函數(shù)常要研究它的哪些性質(zhì)？

生：定義域、值域，單調(diào)性、奇偶性、等等．

師：很好，今天我們就來探索，兩條最基本的性質(zhì)定義域、值域．（板書課題正、余弦函數(shù)的定義域、值域．）

師：請同學(xué)看投影，大家仔細(xì)觀察一下正弦、余弦曲線的圖像．

師：請同學(xué)思考以下幾個問題：

（1）正弦、余弦函數(shù)的定義域是什么？

（2）正弦、余弦函數(shù)的值域是什么？

（3）他們最值情況如何？

（4）他們的正負(fù)值區(qū)間如何分？

（5）的解集如何？

師生一起歸納得出：

（1）正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域都是．

（2）正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值域都是即，，稱為正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的有界性．

（3）取最大值、最小值情況：

正弦函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)值取最大值1，當(dāng)時，（）函數(shù)值取最小值－1．

余弦函數(shù)，當(dāng)，（）時，函數(shù)值取最大值1，當(dāng)，（）時，函數(shù)值取最小值－1．

（4）正負(fù)值區(qū)間：

（）

（5）零點(diǎn)：（）

（）

3．例題分析

【例1】求下列函數(shù)的定義域、值域：

（1）；（2）；（3）．

解：（1），

（2）由（）

又∵，∴

∴定義域為（），值域為．

（3）由（），又由

∴

∴定義域為（），值域為．

指出：求值域應(yīng)注意用到或有界性的條件．

【例2】求下列函數(shù)的最大值，并求出最大值時的集合：

（1），；（2），；

（3）（4）．

解：（1）當(dāng)，即（）時，取得最大值

∴函數(shù)的最大值為2，取最大值時的集合為．

（2）當(dāng)時，即（）時，取得最大值．

∴函數(shù)的最大值為1，取最大值時的集合為．

（3）若，，此時函數(shù)為常數(shù)函數(shù)．

若時，∴時，即（）時，函數(shù)取最大值，

∴時函數(shù)的最大值為，取最大值時的集合為．

（4）若，則當(dāng)時，函數(shù)取得最大值．

若，則，此時函數(shù)為常數(shù)函數(shù)．

若，當(dāng)時，函數(shù)取得最大值．

∴當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，取得最大值時的集合為；當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，取得最大值時的集合為，當(dāng)時，函數(shù)無最大值．

指出：對于含參數(shù)的最大值或最小值問題，要對或的系數(shù)進(jìn)行討論．

思考：此例若改為求最小值，結(jié)果如何？

【例3】要使下列各式有意義應(yīng)滿足什么條件？

（1）；（2）．

解：（1）由，

∴當(dāng)時，式子有意義．

（2）由，即

∴當(dāng)時，式子有意義．

4．演練反饋（投影）

（1）函數(shù)，的簡圖是（）

（2）函數(shù)的最大值和最小值分別為（）

A．2，－2 B．4，0 C．2，0 D．4，－4

（3）函數(shù)的最小值是（）

A．B．－2 C．D．

（4）如果與同時有意義，則的取值范圍應(yīng)為（）

A．B．C．D．或

（5）與都是增函數(shù)的區(qū)間是（）

A．，B．，

C．，D．，

（6）函數(shù)的定義域________，值域________，時的集合為_________．

參考答案：1．B 2．B 3．A 4．C 5．D

6．；；

5．總結(jié)提煉

（1），的定義域均為．

（2）、的值域都是

（3）有界性：

（4）最大值或最小值都存在，且取得極值的集合為無限集．

（5）正負(fù)敬意及零點(diǎn)，從圖上一目了然．

（6）單調(diào)區(qū)間也可以從圖上看出．

（四）板書設(shè)計

1．定義域

2．值域

3．最值

4．正負(fù)區(qū)間

5．零點(diǎn)

例1

例2

例3

課堂練習(xí)

課后思考題：求函數(shù)的最大值和最小值及取最值時的集合

提示：

高中數(shù)學(xué)教案12

=

=425a0b0=425.

點(diǎn)評：化簡這類式子一般有兩種辦法，一是首先用負(fù)指數(shù)冪的定義把負(fù)指數(shù)化成正指數(shù)，另一個方法是采用分式的基本性質(zhì)把負(fù)指數(shù)化成正指數(shù)。

(3)5-26+7-43-6-42

=(3-2)2+(2-3)2-(2-2)2

=3-2+2-3-2+2=0.

點(diǎn)評：考慮根號里面的數(shù)是一個完全平方數(shù)，千萬注意方根的性質(zhì)的運(yùn)用。

例3已知，n∈正整數(shù)集，求(x+1+x2)n的值。

活動：學(xué)生思考，觀察題目的特點(diǎn)，從整體上看，應(yīng)先化簡，然后再求值，要有預(yù)見性，與具有對稱性，它們的積是常數(shù)1，為我們解題提供了思路，教師引導(dǎo)學(xué)生考慮問題的思路，必要時給予提示。

= 。

這時應(yīng)看到1+x2=，

這樣先算出1+x2，再算出1+x2，代入即可。

解：將代入1+x2，得1+x2=，

所以(x+1+x2)n=

=

= =5.

點(diǎn)評：運(yùn)用整體思想和完全平方公式是解決本題的關(guān)鍵，要深刻理解這種做法。

知能訓(xùn)練

課本習(xí)題2.1A組3.

利用投影儀投射下列補(bǔ)充練習(xí)：

1、化簡：的結(jié)果是（）

A. B.

C. D.

解析：根據(jù)本題的特點(diǎn)，注意到它的整體性，特別是指數(shù)的規(guī)律性，我們可以進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃巍?/p>

因為，所以原式的分子分母同乘以。

依次類推，所以。

答案：A

2、計算2790.5+0.1-2+ -3π0+9-0.5+490.5×2-4.

解：原式=

=53+100+916-3+13+716=100.

3、計算a+2a-1+a-2a-1(a≥1)。

解：原式=(a-1+1)2+(a-1-1)2=a-1+1+|a-1-1|(a≥1)。

本題可以繼續(xù)向下做，去掉絕對值，作為思考留作課下練習(xí)。

4、設(shè)a>0，，則(x+1+x2)n的值為__________.

解析：1+x2= 。

這樣先算出1+x2，再算出1+x2，

將代入1+x2，得1+x2= 。

所以(x+1+x2)n=

= =a.

答案：a

拓展提升

參照我們說明無理數(shù)指數(shù)冪的意義的過程，請你說明無理數(shù)指數(shù)冪的意義。

活動：教師引導(dǎo)學(xué)生回顧無理數(shù)指數(shù)冪的意義的過程，利用計算器計算出3的近似值，取它的過剩近似值和不足近似值，根據(jù)這些近似值計算的過剩近似值和不足近似值，利用逼近思想，“逼出”的意義，學(xué)生合作交流，在投影儀上展示自己的探究結(jié)果。

解：3=1.732 050 80…，取它的過剩近似值和不足近似值如下表。

3的過剩近似值

的過剩近似值

3的不足近似值

的不足近似值

1.8 3.482 202 253 1.7 3.249 009 585

1.74 3.340 351 678 1.73 3.317 278 183

1.733 3.324 183 446 1.731 3.319 578 342

1.732 1 3.322 110 36 1.731 9 3.321 649 849

1.732 06 3.322 018 252 1.732 04 3.321 972 2

1.732 051 3.321 997 529 1.732 049 3.321 992 923

1.732 050 9 3.321 997 298 1.732 050 7 3.321 996 838

1.732 050 81 3.321 997 091 1.732 050 79 3.321 997 045

… … … …

我們把用2作底數(shù)，3的不足近似值作指數(shù)的各個冪排成從小到大的一列數(shù)

21.7,21.72,21.731,21.731 9，…，

同樣把用2作底數(shù)，3的過剩近似值作指數(shù)的各個冪排成從大到小的一列數(shù)：

21.8,21.74,21.733,21.732 1，…，不難看出3的過剩近似值和不足近似值相同的位數(shù)越多，即3的近似值精確度越高，以其過剩近似值和不足近似值為指數(shù)的冪2α?xí)絹碓节吔谕粋€數(shù)，我們把這個數(shù)記為，

即21.7<21.73<21.731<21.731 9<…< <…<21.732 1<21.733<21.74<21.8.

也就是說是一個實(shí)數(shù)，=3.321 997 …也可以這樣解釋：

當(dāng)3的過剩近似值從大于3的方向逼近3時，23的近似值從大于的方向逼近；

當(dāng)3的不足近似值從小于3的方向逼近3時，23的近似值從小于的方向逼近。

所以就是一串有理指數(shù)冪21.7,21.73,21.731,21.731 9，…，和另一串有理指數(shù)冪21.8,21.74,21.733,21.732 1，…，按上述規(guī)律變化的結(jié)果，即≈3.321 997.

課堂小結(jié)

（1）無理指數(shù)冪的意義。

一般地，無理數(shù)指數(shù)冪aα（a>0，α是無理數(shù)）是一個確定的實(shí)數(shù)。

（2）實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：

對任意的實(shí)數(shù)r，s，均有下面的運(yùn)算性質(zhì)：

①ar?as=ar+s(a>0，r，s∈R)。

②(ar)s=ars(a>0，r，s∈R)。

③(a?b)r=arbr(a>0，b>0，r∈R)。

（3）逼近的思想，體會無限接近的含義。

作業(yè)

課本習(xí)題2.1 B組2.

設(shè)計感想

無理數(shù)指數(shù)是指數(shù)概念的又一次擴(kuò)充，教學(xué)中要讓學(xué)生通過多媒體的演示，理解無理數(shù)指數(shù)冪的意義，教學(xué)中也可以讓學(xué)生自己通過實(shí)際情況去探索，自己得出結(jié)論，加深對概念的理解，本堂課內(nèi)容較為抽象，又不能進(jìn)行推理，只能通過多媒體的教學(xué)手段，讓學(xué)生體會，特別是逼近的思想、類比的思想，多作練習(xí)，提高學(xué)生理解問題、分析問題的能力。

備課資料

【備用習(xí)題】

1、以下各式中成立且結(jié)果為最簡根式的是（）

A.a?5a3a?10a7=10a4

B.3xy2(xy)2=y?3x2

C.a2bb3aab3=8a7b15

D.(35-125)3=5+125125-235?125

答案：B

2、對于a>0，r，s∈Q，以下運(yùn)算中正確的是（）

A.ar?as=ars B.(ar)s=ars

C.abr=ar?bs D.arbs=(ab)r+s

答案：B

3、式子x-2x-1=x-2x-1成立當(dāng)且僅當(dāng)（）

A.x-2x-1≥0 B.x≠1 C.x<1 D.x≥2

解析：方法一：

要使式子x-2x-1=x-2x-1成立，需x-1>0，x-2≥0，即x≥2.

若x≥2，則式子x-2x-1=x-2x-1成立。

故選D.

方法二：

對A，式子x-2x-1≥0連式子成立也保證不了，尤其x-2≤0，x-1<0時式子不成立。

對B，x-1<0時式子不成立。

對C，x<1時x-1無意義。

對D正確。

答案：D

4、化簡b-(2b-1)(1

解：b-(2b-1)=(b-1)2=b-1(1

5、計算32+5+32-5.

解：令x=32+5+32-5，

兩邊立方得x3=2+5+2-5+332+5?32-5?(32+5+32-5)，即x3=4-3x，x3+3x-4=0.∴(x-1)(x2+x+4)=0.

∵x2+x+4=x+122+154>0，∴x-1=0，即x=1.

∴32+5+32-5=1.

高中數(shù)學(xué)教案13

教學(xué)目的：掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并能解決與之有關(guān)的問題

教學(xué)重點(diǎn)：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及有關(guān)運(yùn)用

教學(xué)難點(diǎn)：標(biāo)準(zhǔn)方程的靈活運(yùn)用

教學(xué)過程：

一、導(dǎo)入新課，探究標(biāo)準(zhǔn)方程

二、掌握知識，鞏固練習(xí)

練習(xí)：⒈說出下列圓的方程

⑴圓心（3，-2）半徑為5⑵圓心（0，3）半徑為3

⒉指出下列圓的圓心和半徑

⑴（x-2）2+(y+3)2=3

⑵x2+y2=2

⑶x2+y2-6x+4y+12=0

⒊判斷3x-4y-10=0和x2+y2=4的位置關(guān)系

⒋圓心為（1，3），并與3x-4y-7=0相切，求這個圓的方程

三、引伸提高，講解例題

例1、圓心在y=-2x上，過p(2，-1)且與x-y=1相切求圓的方程（突出待定系數(shù)的數(shù)學(xué)方法）

練習(xí)：1、某圓過(-2，1)、(2，3)，圓心在x軸上，求其方程。

2、某圓過A(-10，0)、B(10，0)、C(0，4)，求圓的方程。

例2：某圓拱橋的跨度為20米，拱高為4米，在建造時每隔4米加一個支柱支撐，求A2P2的長度。

例3、點(diǎn)M(x0，y0)在x2+y2=r2上，求過M的圓的切線方程(一題多解，訓(xùn)練思維)

四、小結(jié)練習(xí)P771，2，3，4

五、作業(yè)P811，2，3，4

高中數(shù)學(xué)教案14

1.1．1 任意角

教學(xué)目標(biāo)

（一） 知識與技能目標(biāo)

理解任意角的概念(包括正角、負(fù)角、零角) 與區(qū)間角的概念.

（二） 過程與能力目標(biāo)

會建立直角坐標(biāo)系討論任意角,能判斷象限角,會書寫終邊相同角的集合；掌握區(qū)間角的集合的書寫．

（三） 情感與態(tài)度目標(biāo)

1． 提高學(xué)生的推理能力；

2．培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用意識． 教學(xué)重點(diǎn)

任意角概念的理解；區(qū)間角的集合的書寫． 教學(xué)難點(diǎn)

終邊相同角的集合的表示；區(qū)間角的集合的書寫．

教學(xué)過程

一、引入：

1．回顧角的定義

①角的第一種定義是有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角.

②角的第二種定義是角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所形成的圖形．

二、新課：

1．角的有關(guān)概念：

①角的定義：

角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所形成的圖形．

②角的名稱：

③角的分類： A

正角：按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角 零角：射線沒有任何旋轉(zhuǎn)形成的角

負(fù)角：按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角

④注意：

⑴在不引起混淆的情況下，“角α ”或“∠α ”可以簡化成“α ”；

⑵零角的終邊與始邊重合，如果α是零角α =0°；

⑶角的概念經(jīng)過推廣后，已包括正角、負(fù)角和零角．

⑤練習(xí)：請說出角α、β、γ各是多少度?

2．象限角的概念：

①定義：若將角頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么角的終邊(端點(diǎn)除外)在第幾象限，我們就說這個角是第幾象限角．

例1．在直角坐標(biāo)系中，作出下列各角，并指出它們是第幾象限的角．

⑴ 60°； ⑵ 120°； ⑶ 240°； ⑷ 300°； ⑸ 420°； ⑹ 480°；

答：分別為1、2、3、4、1、2象限角．

3．探究：教材P3面

終邊相同的角的表示：

所有與角α終邊相同的角，連同α在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合S＝{ β | β = α +

k·360° ，

k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整個周角的和． 注意： ⑴ k∈Z

⑵ α是任一角；

⑶ 終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同．終邊相同的角有無限個，它們相差

360°的整數(shù)倍；

⑷ 角α + k·720°與角α終邊相同，但不能表示與角α終邊相同的所有角．

例2．在0°到360°范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相等的角，并判斷它們是第幾象限角．

⑴－120°；

⑵640°；

⑶－950°12’．

答：⑴240°,第三象限角；

⑵280°,第四象限角；

⑶129°48’,第二象限角；

例4．寫出終邊在y軸上的角的集合(用0°到360°的角表示) ． 解:{α | α = 90°+ n·180°,n∈Z}．

例5．寫出終邊在y?x上的角的集合S,并把S中適合不等式－360°≤β＜720°的元素β寫出來．

4．課堂小結(jié)

①角的定義；

②角的分類：

正角：按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角 零角：射線沒有任何旋轉(zhuǎn)形成的角

負(fù)角：按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角

③象限角；

④終邊相同的角的表示法．

5．課后作業(yè)：

①閱讀教材P2-P5；

②教材P5練習(xí)第1-5題；

③教材P.9習(xí)題1.1第1、2、3題 思考題：已知α角是第三象限角，則2α，

解：??角屬于第三象限，

? k·360°+180°＜α＜k·360°+270°(k∈Z)

因此，2k·360°+360°＜2α＜2k·360°+540°(k∈Z) 即(2k +1)360°＜2α＜(2k +1)360°+180°(k∈Z)

故2α是第一、二象限或終邊在y軸的非負(fù)半軸上的角． 又k·180°+90°＜

各是第幾象限角？

＜k·180°+135°(k∈Z) ．

＜n·360°+135°(n∈Z) ，

當(dāng)k為偶數(shù)時，令k=2n(n∈Z)，則n·360°+90°＜此時，

屬于第二象限角

＜n·360°+315°(n∈Z) ，

當(dāng)k為奇數(shù)時，令k=2n+1 (n∈Z)，則n·360°+270°＜此時，

屬于第四象限角

因此

屬于第二或第四象限角．

1.1.2弧度制

（一）

教學(xué)目標(biāo)

（二） 知識與技能目標(biāo)

理解弧度的意義；了解角的集合與實(shí)數(shù)集R之間的可建立起一一對應(yīng)的關(guān)系；熟記特殊角的弧度數(shù)．

（三） 過程與能力目標(biāo)

能正確地進(jìn)行弧度與角度之間的換算，能推導(dǎo)弧度制下的弧長公式及扇形的面積公式，并能運(yùn)用公式解決一些實(shí)際問題

（四） 情感與態(tài)度目標(biāo)

通過新的度量角的單位制(弧度制)的引進(jìn)，培養(yǎng)學(xué)生求異創(chuàng)新的精神；通過對弧度制與角度制下弧長公式、扇形面積公式的對比，讓學(xué)生感受弧長及扇形面積公式在弧度制下的簡潔美． 教學(xué)重點(diǎn)

弧度的概念．弧長公式及扇形的面積公式的推導(dǎo)與證明． 教學(xué)難點(diǎn)

“角度制”與“弧度制”的區(qū)別與聯(lián)系．

教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)角度制：

初中所學(xué)的角度制是怎樣規(guī)定角的度量的? 規(guī)定把周角的作為1度的角,用度做單位來度量角的制度叫做角度制．

二、新課：

1．引 入：

由角度制的定義我們知道,角度是用來度量角的, 角度制的度量是60進(jìn)制的,運(yùn)用起來不太方便.在數(shù)學(xué)和其他許多科學(xué)研究中還要經(jīng)常用到另一種度量角的制度—弧度制，它是如何定義呢？

2．定 義

我們規(guī)定,長度等于半徑的弧所對的圓心角叫做1弧度的角；用弧度來度量角的單位制叫做弧度制．在弧度制下, 1弧度記做1rad．在實(shí)際運(yùn)算中，常常將rad單位省略．

3．思考：

（1）一定大小的圓心角?所對應(yīng)的弧長與半徑的比值是否是確定的？與圓的半徑大小有關(guān)嗎？

（2）引導(dǎo)學(xué)生完成P6的探究并歸納： 弧度制的性質(zhì)：

①半圓所對的圓心角為

②整圓所對的圓心角為

③正角的弧度數(shù)是一個正數(shù)．

④負(fù)角的弧度數(shù)是一個負(fù)數(shù)．

⑤零角的弧度數(shù)是零．

⑥角α的弧度數(shù)的絕對值|α|= .

4．角度與弧度之間的轉(zhuǎn)換：

①將角度化為弧度：

②將弧度化為角度：

5．常規(guī)寫法：

① 用弧度數(shù)表示角時,常常把弧度數(shù)寫成多少π 的形式, 不必寫成小數(shù)．

② 弧度與角度不能混用．

弧長等于弧所對應(yīng)的圓心角(的弧度數(shù))的絕對值與半徑的積．

例1．把67°30’化成弧度．

例2．把? rad化成度．

例3．計算：

(1)sin4

(2)tan1.5．

8．課后作業(yè)：

①閱讀教材P6 –P8；

②教材P9練習(xí)第1、2、3、6題；

③教材P10面7、8題及B2、3題．

高中數(shù)學(xué)教案15

三維目標(biāo)：

1、知識與技能：正確理解隨機(jī)抽樣的概念，掌握抽簽法、隨機(jī)數(shù)表法的一般步驟;

2、過程與方法：

(1)能夠從現(xiàn)實(shí)生活或其他學(xué)科中提出具有一定價值的統(tǒng)計問題;

(2)在解決統(tǒng)計問題的過程中，學(xué)會用簡單隨機(jī)抽樣的方法從總體中抽取樣本。

3、情感態(tài)度與價值觀：通過對現(xiàn)實(shí)生活和其他學(xué)科中統(tǒng)計問題的提出，體會數(shù)學(xué)知識與現(xiàn)實(shí)世界及各學(xué)科知識之間的聯(lián)系，認(rèn)識數(shù)學(xué)的重要性。

4、重點(diǎn)與難點(diǎn)：正確理解簡單隨機(jī)抽樣的概念，掌握抽簽法及隨機(jī)數(shù)法的步驟，并能靈活應(yīng)用相關(guān)知識從總體中抽取樣本。

教學(xué)方法：

講練結(jié)合法

教學(xué)用具：

多媒體

課時安排：

1課時

教學(xué)過程：

一、問題情境

假設(shè)你作為一名食品衛(wèi)生工作人員，要對某食品店內(nèi)的一批小包裝餅干進(jìn)行衛(wèi)生達(dá)標(biāo)檢驗，你準(zhǔn)備怎樣做?顯然，你只能從中抽取一定數(shù)量的餅干作為檢驗的樣本。(為什么?)那么，應(yīng)當(dāng)怎樣獲取樣本呢?

二、探究新知

1、統(tǒng)計的有關(guān)概念：總體：在統(tǒng)計學(xué)中,所有考察對象的全體叫做總體、個體：每一個考察的對象叫做個體、樣本：從總體中抽取的一部分個體叫做總體的一個樣本、樣本容量：樣本中個體的數(shù)目叫做樣本的容量、統(tǒng)計的基本思想：用樣本去估計總體、

2、簡單隨機(jī)抽樣的概念一般地，設(shè)一個總體含有N個個體，從中逐個不放回地抽取n個個體作為樣本(n≤N),如果每次抽取時總體內(nèi)的各個個體被抽到的機(jī)會都相等，就把這種抽樣方法叫做簡單隨機(jī)抽樣，這樣抽取的樣本，叫做簡單隨機(jī)樣本。

下列抽樣的方式是否屬于簡單隨機(jī)抽樣?為什么?

(1)從無限多個個體中抽取50個個體作為樣本。

(2)箱子里共有100個零件，從中選出10個零件進(jìn)行質(zhì)量檢驗，在抽樣操作中，從中任意取出一個零件進(jìn)行質(zhì)量檢驗后，再把它放回箱子。

(3)從8臺電腦中，不放回地隨機(jī)抽取2臺進(jìn)行質(zhì)量檢查(假設(shè)8臺電腦已編好號，對編號隨機(jī)抽取)

3、常用的簡單隨機(jī)抽樣方法有：

(1)抽簽法的定義。一般地，抽簽法就是把總體中的N個個體編號，把號碼寫在號簽上，將號簽放在一個容器中，攪拌均勻后，每次從中抽取一個號簽，連續(xù)抽取n次，就得到一個容量為n的樣本。

思考?你認(rèn)為抽簽法有什么優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)：當(dāng)總體中的個體數(shù)很多時，用抽簽法方便嗎?例1、若已知高一(6)班總共有57人，現(xiàn)要抽取8位同學(xué)出來做游戲，請設(shè)計一個抽取的方法，要使得每位同學(xué)被抽到的機(jī)會相等。

分析：可以把57位同學(xué)的學(xué)號分別寫在大小，質(zhì)地都相同的紙片上，折疊或揉成小球，把紙片集中在一起并充分?jǐn)嚢韬?，在從中個抽出8張紙片，再選出紙片上的學(xué)號對應(yīng)的同學(xué)即可、基本步驟：第一步：將總體的所有N個個體從1至N編號;第二步：準(zhǔn)備N個號簽分別標(biāo)上這些編號，將號簽放在容器中攪拌均勻后每次抽取一個號簽，不放回地連續(xù)取n次;第三步：將取出的n個號簽上的號碼所對應(yīng)的n個個體作為樣本。

(2)隨機(jī)數(shù)法的定義：利用隨機(jī)數(shù)表、隨機(jī)數(shù)骰子或計算機(jī)產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)進(jìn)行抽樣，叫隨機(jī)數(shù)表法，這里僅介紹隨機(jī)數(shù)表法。怎樣利用隨機(jī)數(shù)表產(chǎn)生樣本呢?下面通過例子來說明，假設(shè)我們要考察某公司生產(chǎn)的500克袋裝牛奶的質(zhì)量是否達(dá)標(biāo)，現(xiàn)從800袋牛奶中抽取60袋進(jìn)行檢驗，利用隨機(jī)數(shù)表抽取樣本時，可以按照下面的步驟進(jìn)行。第一步，先將800袋牛奶編號，可以編為000，001，799。

第二步，在隨機(jī)數(shù)表中任選一個數(shù)，例如選出第8行第7列的數(shù)7(為了便于說明，下面摘取了附表1的第6行至第10行)。 16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 57 60 86 32 44 09 47 27 96 54 49 17 46 09 62 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 90 52 84 77 27 08 02 73 43 28第三步，從選定的數(shù)7開始向右讀(讀數(shù)的方向也可以是向左、向上、向下等)，得到一個三位數(shù)785，由于785<799，說明號碼785在總體內(nèi)，將它取出;

繼續(xù)向右讀，得到916，由于916>799，將它去掉，按照這種方法繼續(xù)向右讀，又取出567，199，507，依次下去，直到樣本的60個號碼全部取出，這樣我們就得到一個容量為60的樣本。

三、課堂練習(xí)

四、課堂小結(jié)

1、簡單隨機(jī)抽樣的概念一般地，設(shè)一個總體的個體數(shù)為N，如果通過逐個抽取的方法從中抽取一個樣本，且每次抽取時各個個體被抽到的概率相等，就稱這樣的抽樣為簡單隨機(jī)抽樣。

2、簡單隨機(jī)抽樣的方法：抽簽法隨機(jī)數(shù)表法

五、課后作業(yè)

P57練習(xí)1、2

六、板書設(shè)計

1、統(tǒng)計的有關(guān)概念

2、簡單隨機(jī)抽樣的概念

3、常用的簡單隨機(jī)抽樣方法有：(1)抽簽法(2)隨機(jī)數(shù)表法

4、課堂練習(xí)