第一篇：數(shù)與形結(jié)合在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的運用
數(shù)與形結(jié)合在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的運用
“空間與圖形”是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要內(nèi)容之一，在以后的學(xué)習(xí)中體現(xiàn)得更為明顯。數(shù)形結(jié)合帶給教學(xué)以蓬勃之生命，賦予教學(xué)以持續(xù)性的活力，使有效教學(xué)的策略更豐富，更清晰。
1以童真喚起興趣，營造樂學(xué)的有效教學(xué)情境
著名教育家皮亞杰說過：“兒童是具有主動性的人，所教的東西要能引起兒童的興趣，符合他們的需要，才能有效地促使他的發(fā)展?！痹谖覀兊耐甑挠洃浿?，好的動畫片和童話書總會給人一種最美好的的印象，那種感覺揮之不去，抹之不滅。新課改教材里各種鮮艷逼真的情境圖，各種平移、旋轉(zhuǎn)、對稱的美麗圖案，可以讓學(xué)生真切地體會到了數(shù)學(xué)的美，受到美的熏陶。因此，在教學(xué)《分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識》時，與學(xué)生互相問好后，筆者設(shè)計了“分?jǐn)?shù)樂園”這個孩子特別喜歡的卡通畫面，可是“智慧大門”卻關(guān)閉著。生動形象的動畫謎語，一下子就吸引了孩子們的目光。成功地激發(fā)學(xué)生的挑戰(zhàn)精神和戰(zhàn)勝困難的斗志。學(xué)生猜對后，引出生活中分東西的經(jīng)驗，自然而然地導(dǎo)出課題“認(rèn)識幾分之一”。筆者利用信息技術(shù)資源，創(chuàng)設(shè)了一個生動有趣的故事情境，引出孩子們特別熟悉和喜歡的———“分?jǐn)?shù)樂園里智勇闖三關(guān)”的游戲，使學(xué)生們的自主參與意識自然而然的產(chǎn)生，主動探索，學(xué)習(xí)新知。
2看圖說話，鼓勵多提問；先學(xué)后導(dǎo)，作圖更有效
陶行知先生說過：“創(chuàng)造始于問題”。學(xué)生沒將題目讀懂時，他是沒有問題的，這與他沒讀題效果一樣。只有鉆研之后，才會生出“看似絕壁，卻辟小徑”之感。在《分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識》學(xué)習(xí)過程中，要引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，分析問題，解決問題。因此，在新授部分，筆者利用多媒體展開教學(xué)，分三次展示課件“分?jǐn)?shù)樂園”，從易到難，由淺入深地逐層深入地讓學(xué)生觀看直觀的感性材料，啟發(fā)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)信息，提出問題，自主學(xué)習(xí)與合作探究相結(jié)合地學(xué)習(xí)新知。課件出示：兩個小朋友，和一些食物（包括：兩瓶水，四個蘋果和一塊月餅。）讓學(xué)生根據(jù)生活經(jīng)驗分蘋果和水后，引導(dǎo)只有一塊月餅，要分給兩個小朋友，該怎么辦呢？隨之“半塊”的答案就悄然產(chǎn)生，緊接著讓學(xué)生說說自己是怎么想的，那么把一個月餅平均分成2份，一份就是半塊？”那半塊是怎么樣的呢？經(jīng)過動態(tài)展示比較平均分與不平均分的“一半”月餅，讓學(xué)生形象充分地理解平均分，在突出平均分的基礎(chǔ)上，介紹二分之一的意義，從而自然引出1/2的寫法和讀法。
3數(shù)形結(jié)合，不忘操作 根據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，筆者在本課中設(shè)計了“折一折”這個游戲環(huán)節(jié)。讓學(xué)生通過自己動手操作折紙，來突破難點，完成“把一個整體平均分成幾份，一份就是它的幾分之一”的轉(zhuǎn)化過程。學(xué)生興致勃勃地在“折一折”中玩起了折紙游戲，使他們在玩中發(fā)現(xiàn)問題，開動腦筋想辦法解決問題。同時，筆者還設(shè)置了“快樂猜猜猜”的小游戲，讓孩子們在玩中體驗數(shù)學(xué)知識，運用數(shù)學(xué)知識。
3.1強化認(rèn)識，完整敘述
由平均分實物導(dǎo)出，圖形也可以平均分成2份，其中一份就是它的1/2。要求學(xué)生利用自己喜歡的圖形（包括長方形、正方形和圓）折出它的1/2。引導(dǎo)學(xué)生動手操作，在小組合作中解決疑難。通過進行比較交流，說一說：你拿的是什么圖形？如何得到它的二分之一？哪部分是它的二分之一。使學(xué)生能夠完整敘述1/2的含義，提高表達能力。這個過程不但培養(yǎng)了學(xué)生的自主學(xué)習(xí)的能力，激發(fā)了學(xué)生主動參與的意識，還讓他們明白數(shù)學(xué)無處不在，源于我們的生活。最后，在共同交流，檢查所學(xué)習(xí)的新知識，達到鍛煉學(xué)生語言表達能力的目的。
3.2動手操作，促進內(nèi)化
緊接著，順勢引導(dǎo)：你能繼續(xù)折出這個圖形的1/4嗎？引發(fā)學(xué)生繼續(xù)探索新知的欲望，逐層深入的誘導(dǎo)新知。交流匯報意義后，課件引出長方形的4種不同的折法，引導(dǎo)學(xué)生思考：為什么涂色部分都可以用1/4來表示呢？讓學(xué)生體會到：雖然紙的形狀不同、折法不同，但把這張紙都“平均分”成了4份，所以每一份就表示這張紙的四分之一。這個過程由淺入深地逐層深入，學(xué)生自主探索，欲望強烈，解決了疑難問題，使他們充分地體驗到了成功。
3.3順勢引路，巧妙遷移
認(rèn)識了二分之一和四分之一，你還想認(rèn)識幾分之一呢？讓孩子們乘勝追擊，繼續(xù)研究各種幾分之一。順勢教師要求：你能試著折一折，涂一涂表示出你想認(rèn)識的幾分之一嗎？拿出學(xué)具袋中的材料，每人選擇一樣試一試。經(jīng)過折涂，學(xué)生之間的交流介紹，讓學(xué)生展示并解說成果。通過變換板書的數(shù)字，引導(dǎo)學(xué)生討論：你發(fā)現(xiàn)了什么？師提示：把一個圖形平均分成3份，每一份是它的三分之一，那平均分成5份、6份、100份呢？學(xué)生總結(jié)出：把一個整體平均分成幾份，一份就是它的幾分之一。鍛煉他們語言能力的同時，培養(yǎng)了學(xué)生們的邏輯思維能力。
4“形→數(shù)”、“數(shù)→形”，分階段把握數(shù)形結(jié)合知識難度，制定相應(yīng)的教學(xué)策略 低段學(xué)生及圖形建構(gòu)差的的學(xué)生適宜“形→數(shù)”的直觀思維，其教學(xué)大多以觀察、操作等活動開始，在感知和積累了大量空間圖形的具體形象及抽象化圖形后，自然過渡到復(fù)雜、抽象的圖形學(xué)習(xí)。高段的學(xué)生適宜“數(shù)→形”、“數(shù)→數(shù)”的抽象思維，因其數(shù)形知識有了一定積累后，幾何直觀圖形感知能力，邏輯思維能力已有一定程度的發(fā)展。他們在觀察、分析、思考題目后，對于簡單的圖，不一定每次都要畫出來。數(shù)量關(guān)系式、圖形能用“腦圖”表現(xiàn)出來再好不過，“腦圖”才是我們最美好的追求。我們要做的，就是將數(shù)與形的知識結(jié)合起來，降低學(xué)生的認(rèn)知難度，使問題迎刃而解。對于學(xué)習(xí)有困難的學(xué)生，應(yīng)視其情況，降低層次，回溯到相應(yīng)的基礎(chǔ)上再予以教學(xué)。
第二篇：數(shù)形結(jié)合在小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的運用
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數(shù)形結(jié)合在小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的運用
徐永加
（浙江省永康市石柱小學(xué) 浙江 永康 321300）
摘 要：在小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，運用數(shù)形結(jié)合的方法，實際上就是借助于直觀形象模型理解抽象的數(shù)學(xué)概念以及抽象的數(shù)量關(guān)系，來幫助學(xué)生感知、生成、深化概念。
關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合 小學(xué)數(shù)學(xué) 概念教學(xué)
中圖分類號： G623.5 文獻標(biāo)識碼： C 文章編號： 1671-8437（2009)1-0103-01 數(shù)形結(jié)合不是真正數(shù)學(xué)意義上的數(shù)形結(jié)合思想，這里的“數(shù)”指的是小學(xué)數(shù)學(xué)的概念、定義、規(guī)律等數(shù)學(xué)知識，而不是代數(shù)式、函數(shù)解析式、方程；“形”則主要是指有形的數(shù)學(xué)學(xué)具、數(shù)學(xué)模型，而不是幾何圖形與直角坐標(biāo)系下的函數(shù)圖象。因而本文所說的數(shù)形結(jié)合指的是借助于直觀形象模型理解抽象的數(shù)學(xué)概念以及抽象的數(shù)量關(guān)系，它是“數(shù)形結(jié)合”思想方法的雛形。本文結(jié)合教學(xué)實際，談?wù)勑W(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)中如何運用數(shù)形結(jié)合的方法來幫助學(xué)生感知、生成、深化概念的。圖形演示，注重概念引入
概念的引入將直接關(guān)系到學(xué)生對概念的理解和接受，在概念的引入過程中，要注意使學(xué)生建立清晰的表象。而表象的建立，是以對所感知材料的觀察和分析為基礎(chǔ)的。圖形演示是小學(xué)數(shù)學(xué)概念引入教學(xué)中最常用的方法，因為小學(xué)生的思維還停留在形象思維的階段，他們對抽象的概念的理解需要借助豐富的感性材料。在小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，如果能夠建立抽象的數(shù)學(xué)概念與形象的圖形之間的聯(lián)系，把數(shù)學(xué)概念中最本質(zhì)的屬性用恰當(dāng)?shù)膱D形演示出來，把數(shù)和形結(jié)合起來，就可以豐富學(xué)生的感性材料，為建構(gòu)數(shù)學(xué)概念奠定基礎(chǔ)。學(xué)生對所學(xué)數(shù)學(xué)概念就容易理解和掌握。
如小學(xué)應(yīng)用題中常常涉及到“求一個數(shù)的幾倍是多少”，學(xué)生最不易理解的是“倍”的概念，如何把“倍”的數(shù)學(xué)概念深入淺出地教授給學(xué)生，使他們能對“倍”有個深刻的印象？筆者認(rèn)為用圖形演示的方法是最簡單又最有效的方法?？梢岳枚嗝襟w技術(shù)在第一行排出3根一組的紅色小木棒，再在第二行排出3根一組的藍色的小木棒，第二行一共排4組藍色小木棒。結(jié)合演示，讓學(xué)生觀察比較第一行和第二行小木棒的數(shù)量特征，通過教師啟發(fā)，學(xué)生小組合作討論和交流，使學(xué)生清晰地認(rèn)識到：藍色小木棒與紅色小木棒比較，紅色小木棒是1個3根，藍色小木棒是4個3根；把一個3根當(dāng)作一份，則紅色小木棒是1份，而藍色小木棒就有4份。用數(shù)學(xué)語言：藍色小木棒與紅色小木棒比，把紅色小木棒當(dāng)作1倍，藍色小木棒的根數(shù)就是紅色小木棒的4倍。這樣，從演示圖形中讓學(xué)生看到從“個數(shù)”到“份數(shù)”，再引出倍數(shù)，很快就觸及了概念的本質(zhì)。
有些教師為了增強刺激效果，值得注意的是在數(shù)形結(jié)合的圖形演示中，一味在圖形的豐富性上下功夫，把圖形本身搞得色彩斑斕，其效果適得其反。因為過度的無關(guān)刺激會發(fā)散學(xué)生的注意力，干擾學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，從而妨礙對概念的理解。圖形演示，目的不在于形，形只是手段，這里數(shù)形結(jié)合的目的在于更好地理解數(shù)學(xué)概念。因此用作演示的圖形本身要求簡潔明了。2 借形設(shè)問，探究形成過程
數(shù)學(xué)概念一般都有一個形成過程，在進行概念教學(xué)時如果能借助有形物體或圖形，設(shè)置一些步步深入的誘導(dǎo)性問題，就可以經(jīng)歷從感知表象到認(rèn)識的思維過程，學(xué)生在探究概念的形成過程中不僅理解概念，而且能夠運用概念。這里的數(shù)形結(jié)合，其中“數(shù)”是我們要探究的數(shù)學(xué)概念知識，具體體現(xiàn)在環(huán)環(huán)相扣，步步遞進的問題上；其中的“形”是問題的背景，教師借助學(xué)生熟知的能夠觸摸和直接感知的有形物體，作為問題的情境，增強問題的形象性，便于啟迪學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。在教師引導(dǎo)下，學(xué)生通過觀察、比較、分析、抽象概括的過程，逐步形成新的概念。
如，教學(xué)“體積”概念。教師可以借助形象物體設(shè)問，引導(dǎo)學(xué)生分析比較。首先觀察物體，初步感知。讓學(xué)生觀察一塊橡皮和黑板擦，問學(xué)生：哪個大，哪個??？又出示兩個邊長分別為2厘米和5厘米的正方形，問：哪個大，哪個?。客ㄟ^觀察物體，讓學(xué)生對物體的大小有個感性認(rèn)識。接著在一個盛有半杯水的玻璃杯里慢慢加入小石子，學(xué)生可以觀察到，隨著小石子投入的增多，杯中的水位不斷上升。問：玻璃杯里的水位為什么會上升？學(xué)生從這一具體事例中獲得了物體占有空間的表象。在教師的引導(dǎo)下，對“為什么玻璃杯里的水位會隨著小石子放入的增多而升高”這一問題進行深入討論，通過討論交流學(xué)生能夠很自然地領(lǐng)悟“物體所占空間的大小叫體積”這一概念。為了進一步使概念在應(yīng)用中得到鞏固，繼續(xù)在盛滿水的玻璃杯里放石子，學(xué)生觀察到水溢了出來，教師啟發(fā)學(xué)生：從觀察到的現(xiàn)象中你們發(fā)現(xiàn)了什么問題？學(xué)生思考后提出：杯里溢出的水的多少與放進去的石子有什么關(guān)系？經(jīng)過討論得出：從杯里溢出水的體積等于石子的體積。至此，學(xué)生不僅認(rèn)識了概念，而且能夠應(yīng)用概念。
在利用實物創(chuàng)設(shè)問題情境時，教師要特別注意數(shù)與形的有機結(jié)合，以問題引導(dǎo)學(xué)生觀察，不僅要用誘導(dǎo)性問題，更要用一些啟發(fā)性問題，激疑性問題，讓學(xué)生在觀察中發(fā)現(xiàn)問題，自己提出問題和解決問題。教師除了提供充分的形象感性材料讓學(xué)生形成鮮明的表象外，還必須在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生分析和比較，及時抽象出概念的本質(zhì)屬性，使學(xué)生在主動參與中完成概念的建構(gòu)。畫圖體驗，揭示概念本質(zhì) 小學(xué)生由于生活經(jīng)歷少，常常不能借生活經(jīng)驗把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，從而來理解數(shù)學(xué)概念。因此教師要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的實際情況，引導(dǎo)學(xué)生利用直尺、三角板和圓規(guī)等作圖工具畫出已學(xué)過的圖形，通過動手作圖，幫助學(xué)生建立表象，從畫圖體驗中領(lǐng)悟概念。通過作圖觀察、比較分析，可以發(fā)展學(xué)生的空間觀念，培養(yǎng)學(xué)生分析、綜合、抽象、概括的能力。
如，講三角形的“高”和“底”，如果離開圖形來講解，是很難講清楚的，既使學(xué)生聽懂了也不會有深刻的理解。而讓學(xué)生自己動手作圖，親自經(jīng)歷一個發(fā)現(xiàn)的過程，學(xué)生對“高”和“底”的理解就會深刻得多。教師可以讓學(xué)生先作圖：（1）過直線上的一點畫一條和這條直線垂直的直線；（2)過直線外一點畫一條和這條直線垂直的直線；（3）給出三個不同的三角形，要求學(xué)生作一條過頂點和頂點所對的邊垂直的線段。在大量作圖的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生觀察比較，分析討論，學(xué)生就能概括出“高”和“底”的概念。新課程理念倡導(dǎo)發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)，通過作圖來概括“高”和“底”的概念的知識，實際是引導(dǎo)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)知識的過程。讓學(xué)生在作圖過程中自己去探索，去發(fā)現(xiàn)這個圖形所具有的特征，充分調(diào)動自身原有的生活經(jīng)驗，培養(yǎng)他們的觀察和操作能力，讓學(xué)生更加深刻的體會到“高”和“底”的存在,深刻理解“高”和“底”的本質(zhì)屬性。
畫圖體驗最重要的是要引導(dǎo)學(xué)生在作圖過程中體驗和領(lǐng)悟、探究和發(fā)現(xiàn)、把握和發(fā)展數(shù)學(xué)概念。讓作圖過程成為促使學(xué)生獲得成功的體驗，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的過程，讓學(xué)生在“再發(fā)現(xiàn)”中學(xué)會“再創(chuàng)造”。
第三篇：數(shù)形結(jié)合在小學(xué)數(shù)學(xué)解決問題中的運用
數(shù)形結(jié)合在小學(xué)數(shù)學(xué)解決問題中的運用 【摘要】數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，數(shù)與形是數(shù)學(xué)的基本研究對象，數(shù)是形的抽象概括，形是數(shù)的直觀表現(xiàn)。數(shù)形結(jié)合是小學(xué)數(shù)學(xué)教材編排的重要原則，也是小學(xué)數(shù)學(xué)教材的一個重要特點，更是解決問題時常用的方法。它包含 “以形助教”、“以數(shù)解形”和“數(shù)形互譯”三個方面。
本文將結(jié)合小學(xué)數(shù)學(xué)中的教學(xué)實例，闡述數(shù)形結(jié)合思想在解決問題這個方面教學(xué)中的運用。
[關(guān)鍵詞]數(shù)形結(jié)合；解決問題；小學(xué)數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)是以現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系作為自己特定的研究對象，也就是說，數(shù)學(xué)是研究“數(shù)”與“形”及其相互關(guān)系的一門科學(xué)。數(shù)形結(jié)合的思想是數(shù)學(xué)的重要思想之一。
［1］ 數(shù)形結(jié)合就是通過數(shù)(數(shù)量關(guān)系)與形(空間形式)的相互轉(zhuǎn)化、互相作用來解決數(shù)學(xué)問題的一種思想方法。其實質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形、位置關(guān)系結(jié)合起來，使得抽象的數(shù)學(xué)概念或復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系直觀化、形象化、簡單化。
[2] 數(shù)形結(jié)合是指在數(shù)學(xué)問題解決過程中，結(jié)合問題中各要素間的本質(zhì)聯(lián)系，根據(jù)實際需要，將數(shù)量關(guān)系與幾何圖形相結(jié)合，依據(jù)數(shù)與形的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形相互轉(zhuǎn)化的方式使問題得到巧妙解決的一種思想方法。在解決問題中，其策略具體表現(xiàn)為把有關(guān)數(shù)量關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化成圖形性質(zhì)的問題進行分析，或者將有關(guān)圖形性質(zhì)的問題轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系的問題加以討論，最終解決問題。這種思想方法不僅分析問題的代數(shù)含義，而且還要揭示其幾何意義，把抽象的數(shù)學(xué)運算和直觀的幾何圖形緊密地聯(lián)系起來。這種思想方法具備了數(shù)的精確性和形的直觀性的雙重優(yōu)勢，以數(shù)精確地分析形，或以形直觀地表示數(shù)，正如數(shù)學(xué)家華羅庚所說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”。故而，數(shù)形結(jié)合是小學(xué)數(shù)學(xué)教材編排的重要原則，也是小學(xué)數(shù)學(xué)教材的一個重要特點，更是解決問題時常用的方法。它包含 “以形助教”、“以數(shù)解形”和“數(shù)形互譯”三個方面。
數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提出了“通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本技能和思想方法。”其實在上海二期課改時關(guān)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的內(nèi)容的界定上，也指出數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識不僅指有關(guān)的數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、公式等，還包括其中隱含的數(shù)學(xué)思想方法，以及學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和運用數(shù)學(xué)知識解決問題等。所以在教材編寫上注重把數(shù)學(xué)思想方法貫穿在知識領(lǐng)域中，使每部分的數(shù)學(xué)知識不再孤立、零碎，組成一個有機的整體。
數(shù)學(xué)思想方法有許多，我們小學(xué)一般用到的如符號化、化歸、數(shù)形結(jié)合、極限、模型、推理、幾何變化、方程和函數(shù)、分類討論、統(tǒng)計概率等思想。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，有意識地對學(xué)生進行數(shù)學(xué)思想方法的滲透，可以讓學(xué)生不再感覺數(shù)學(xué)是一門枯燥的學(xué)科，而初步了解數(shù)學(xué)的價值，從而感受數(shù)學(xué)思考的條理性、數(shù)學(xué)結(jié)論的明確性以及數(shù)學(xué)的美。下面就“數(shù)形結(jié)合”思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用談些粗淺的想法。
一、數(shù)形結(jié)合思想的概念
數(shù)與形是數(shù)學(xué)中的兩個最古老，也是最基本的研究對象，我們中小學(xué)數(shù)學(xué)研究的對象就分為數(shù)和形兩大部分，數(shù)與形是有聯(lián)系的，這個聯(lián)系稱之為數(shù)形結(jié)合，或形數(shù)結(jié)合。作為一種數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用大致又可分為兩種情形：
1、借助于數(shù)的精確性來闡明形的某些屬性，即“以數(shù)解形”；
2、借助形的幾何直觀性來闡明數(shù)之間某種關(guān)系，即“以形助數(shù)”。
所謂數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的思想。數(shù)形結(jié)合思想是一種可使復(fù)雜問題簡單化、抽象問題具體化的常用的數(shù)學(xué)思想方法，具體地說就是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀圖形對應(yīng)起來，使抽象思維與形象思維結(jié)合起來，通過“數(shù)”與“形”之間的對應(yīng)和轉(zhuǎn)換來解決數(shù)學(xué)問題。
二、數(shù)形結(jié)合的三種應(yīng)用方式
一般來說，數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用方式主要有三種類型：以數(shù)化形、以形變數(shù)和數(shù)形結(jié)合。
（1）以數(shù)化形
由于“數(shù)”和“形”是一種對應(yīng)的關(guān)系，“數(shù)”比較抽象，而“形”具有形象，直觀的優(yōu)點，能表達較多具體的思維。在低年級教學(xué)中，我們常常會把數(shù)的認(rèn)識與計算通過形（學(xué)具）的演示，讓學(xué)生初步建立起數(shù)的概念，認(rèn)識數(shù)、學(xué)習(xí)
數(shù)的加減乘除法；而高年級有些數(shù)量也較復(fù)雜，我們難以把握，于是就可以把“數(shù)”的對應(yīng)——“形”找出來，利用圖形來解決問題。畫線段圖的方法是每一個數(shù)學(xué)老師都把它當(dāng)作學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一項基本技能加以訓(xùn)練的，大家都知道，在教學(xué)應(yīng)用題時，常可以借助形象的畫線段圖的方法，將問題迎刃而解。特別是行程問題的應(yīng)用題，老師們總是不忘借助線段圖進行講解；還如我們在教五年級“時間的計算”這一課，雖然很多同學(xué)通過計算就能解決問題，但知其然還要知其所然，我們就可以把時間點、時間段通過線段圖來表示，學(xué)生就更容易理解，這種把數(shù)量問題轉(zhuǎn)化為圖形問題，并通過對圖形的分析、推理最終解決數(shù)量問題的方法，就是圖形分析法。
（2）以形變數(shù)
雖然形有形象、直觀的優(yōu)點，但在定量方面還必須借助代數(shù)的計算，特別是對于較復(fù)雜的“形”，不但要正確的把圖形數(shù)字化，而且還要留心觀察圖形的特點，發(fā)掘題目中的隱含條件，充分利用圖形的性質(zhì)或幾何意義，把“形”正確表示成“數(shù)”的形式，進行分析計算，最典型的就是二年級教材中的“點圖與數(shù)”，那正方形點圖所表示的就是每行與每列的圓點個數(shù)都相同，寫成算式是兩個相同的因數(shù)，于是它們的乘積就是平方數(shù)；由此在高年級拓展三角形數(shù)時有這么個小故事：古希臘畢達哥拉斯學(xué)派認(rèn)為“萬物皆數(shù)”，他們常把數(shù)描繪成沙灘上的點子或小石子，根據(jù)點子或小石子排列的形狀把整數(shù)進行分類，如：1、3、6、10、??這些數(shù)叫做三角形數(shù)（如下圖）。
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· 那么，判斷一下45、456、1830、5050這四個數(shù)中，哪一個不是三角形數(shù)。中高年級學(xué)生通過觀察，可以利用等差數(shù)列求和的方法可以找出這個數(shù)；也可以發(fā)現(xiàn)如果把一個三角形數(shù)去乘2，就可以寫成兩個相鄰自然數(shù)的積，那么高年級的同學(xué)就可以利用分解素因數(shù)的方法來判斷一個數(shù)是否是三角形數(shù)了。如此以形變數(shù)，提高了學(xué)生的思維能力。
（3）形數(shù)互變
形數(shù)互變是指在有些數(shù)學(xué)問題中不僅僅是簡單的以數(shù)變形或以形變數(shù)，而是需要形數(shù)互相變換，不但要想到由“形”的直觀變?yōu)椤皵?shù)”的嚴(yán)密，還要由“數(shù)”的嚴(yán)密聯(lián)系到“形”的直觀。解決這類問題往往需要從已知和結(jié)論同時出發(fā)，認(rèn)真分析找出內(nèi)在的形數(shù)互變。一般方法是看形思數(shù)、見數(shù)想形。實質(zhì)就是以數(shù)化
形、以形變數(shù)的結(jié)合。例如，“近似數(shù)”一課中，讓學(xué)生掌握用“四舍五入法”求一個數(shù)的近似數(shù)是本節(jié)課的教學(xué)重點。通常我們會直接告訴學(xué)生“四舍五入法”這一概念，然后通過大量的練習(xí)強化求近似數(shù)的方法。那么我們不妨反思：學(xué)生做對了是否表明學(xué)生已經(jīng)很好地理解了“四舍五入法”的含義呢？是否有部分學(xué)生的解題活動完全建立在對概念的機械模仿上呢？事實上，這種機械模仿的情況是客觀存在的。如何幫助學(xué)生從本質(zhì)上理解“四要舍、五要入”的意義呢？我們可以想到把直觀的數(shù)軸引進這節(jié)課，在數(shù)軸上找最近的路，把四舍五入放到數(shù)軸上展開學(xué)習(xí)，利用數(shù)形結(jié)合幫助學(xué)生建立一個形象的數(shù)學(xué)模型，從而加深了學(xué)生對“四舍五入法”的理解。
又如在解決問題過程中，經(jīng)常要用到“數(shù)”與“形”互譯的數(shù)形結(jié)合思想，即把問題中的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)譯成圖形，把抽象的數(shù)量關(guān)系形象化，再根據(jù)對圖形的觀察、分析、聯(lián)想，逐步譯成算式，以達到問題的解決。最常用的如“雞兔同籠”一課：雞兔同籠，有10個頭、28條腿，雞、兔各幾只?本課的解決問題教學(xué)策略書上采用列表嘗試法。如果采用數(shù)形互譯的畫圖法解，二年級的學(xué)生都能解答，并且可以從畫圖法引出數(shù)量關(guān)系，列式解答。有幾個頭就畫幾個圓（表示動物的頭），然后每個頭下加兩條腿（表示雞有兩條腿），剩余幾條腿就再添在小動物身上，每個添2條（原來的雞就變成了兔）。這樣從圖上可知兔有4只，雞有6只。引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)量關(guān)系：首先假設(shè)10只全是雞，每只雞身上長2條腿，共10×2＝20（條）腿，還剩余28-20＝8（條）腿，雞身上再長2條腿變成兔子，直到8條腿長完為止。這樣就得到兔子有8÷(4-2)＝4（只），雞有10-4=6（只）。而對高年級學(xué)生借助于畫示意圖來分析數(shù)量之間的關(guān)系，是我們經(jīng)常使用的辦法。由此不難看出：“數(shù)”“形”互譯的過程，既是問題解決的過程，又是學(xué)生的形象思維與抽象思維協(xié)同運用、互相促進、共同發(fā)展的過程。由于抽象思維有形象思維作支持，從而使解法變得十分簡明扼要且巧妙。
所以，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合能不失時機地為學(xué)生提供恰當(dāng)?shù)男蜗蟛牧?，可以將抽象的?shù)量關(guān)系具體化，把無形的解題思路形象化，不僅有利于學(xué)生順利的、高效的學(xué)好數(shù)學(xué)知識，更有利于學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的培養(yǎng)、數(shù)學(xué)思維的發(fā)展、知識應(yīng)用能力的增強，使教學(xué)收到事半功倍之效。
三、發(fā)揮數(shù)形結(jié)合思想方法對知識獲得的引領(lǐng)作用
1、要善于挖掘教材中含有數(shù)形結(jié)合思想的內(nèi)容
教師在教學(xué)中要有滲透數(shù)形結(jié)合思想的意識，引導(dǎo)學(xué)生主動有效地利用課本中的圖形，從圖中讀懂重要信息并整理信息，提出問題、分析問題、解決問題，即讓學(xué)生通過“形”找出“數(shù)”。在小學(xué)“數(shù)與代數(shù)”、“空間與圖形”、“統(tǒng)計與概率”、“實踐與綜合應(yīng)用”這四個學(xué)習(xí)領(lǐng)域中，都能應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想進行教學(xué)，我們通過對教材的分析，初步整理了小學(xué)數(shù)形結(jié)合思想方法在各教學(xué)領(lǐng)域的滲透點：（1）“數(shù)與代數(shù)”：數(shù)的認(rèn)識及計算，都能借助小棒圖、計數(shù)圖來理解算理、法則和方法；（2）“空間與圖形”：可以借助數(shù)的知識及數(shù)量關(guān)系進行各平面圖形的周長和面積的計算；（3）“實踐與綜合應(yīng)用”：從所給問題的情境中辨認(rèn)出數(shù)與形的一種特定關(guān)系或結(jié)構(gòu)，運用畫線段圖、畫分析圖、畫示意圖等方法分析理解；（4）“統(tǒng)計與概率”：通過圖形演示移多補少來理解平均數(shù)的含義。
2、教學(xué)時讓學(xué)生在探索中感受數(shù)形結(jié)合思想
布魯納指出：“掌握基本的數(shù)學(xué)思想方法，能使數(shù)學(xué)更易于理解和記憶，領(lǐng)會基本的數(shù)學(xué)思想和方法是通向遷移大道的‘光明之路’?！痹诮虒W(xué)中，要讓學(xué)生自主探索，感受數(shù)形結(jié)合思想，增強對數(shù)形結(jié)合思維模式的認(rèn)知，體會圖形對數(shù)學(xué)知識形成的意義。如果教師在教學(xué)中教師充分利用學(xué)生形象思維的特點，大量地用“形”解釋、演現(xiàn)，經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)與形結(jié)合起來，借助形象的圖形理解算理，提煉算法，就能降低學(xué)習(xí)難度，有效地改善突破教學(xué)難點的方法，提高課堂教學(xué)效率。
3、課后延伸時讓學(xué)生在解決問題中體驗數(shù)形結(jié)合思想
數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，而數(shù)形結(jié)合思想貫穿于整個數(shù)學(xué)領(lǐng)域，我們可以將復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系和抽象的數(shù)學(xué)概念通過圖形、圖像變得形象、直觀。同樣，復(fù)雜的幾何形體可以用數(shù)量關(guān)系、公式、法則等手段，轉(zhuǎn)化為簡單的數(shù)量關(guān)系。在課后的知識延伸中，經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生通過數(shù)形結(jié)合來解決生活中的實際問題，從而體驗數(shù)形結(jié)合的好處。
數(shù)形結(jié)合是小學(xué)階段的一個重要手段，而這一手段對學(xué)生們今后在初、高中的學(xué)習(xí)構(gòu)建空間思維起著關(guān)鍵作用。今天我所講的只是一些初步的、淺顯的認(rèn)識，思維作為一個認(rèn)知過程，總是與個體的動機、興趣情感等密切聯(lián)系并受其制約的，相信只要不斷激發(fā)學(xué)生的興趣，啟迪學(xué)生的動機，就能夠有效地增強學(xué)生的邏輯思維能力和空間想象能力。巧妙地滲透、應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，既能為小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)開辟一片廣闊的天地，又能為學(xué)生的終身學(xué)習(xí)和可持續(xù)發(fā)展奠定扎實的基礎(chǔ)。
參考文獻：
[1]文志君.數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].考試周刊.2009,（30）:75-76.[2]夏志新.“數(shù)形結(jié)合”就是妙[J].新課程改革與實踐.2010,（7）:57.[3]黃曉波.數(shù)形結(jié)合思想專題精講[J].中學(xué)生數(shù)理化·中考版[J].2010,（6）:17.[4]林振興.“數(shù)形結(jié)合”思想在解題過程中的妙用[J].小學(xué)教學(xué)參考.2010,（5）:43.[5]王彥偉,丁雁玲.數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].中小學(xué)數(shù)學(xué):小學(xué)版.2008，（11）:13.
第四篇：數(shù)形結(jié)合在小學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用范文
“數(shù)形結(jié)合”思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透與應(yīng)用
數(shù)學(xué)思想有許多，數(shù)形結(jié)合思想就是其中一種重要的思想?！皵?shù)”和“形”是緊密聯(lián)系的。我們在研究“數(shù)”的時候，往往要借助于“形”，在探討“形”的性質(zhì)時，又往往離不開“數(shù)”。
新課標(biāo)的修訂，從原來的“雙基”拓展到“四基”，即增加了基本思想、基本活動經(jīng)驗。知識和技能是數(shù)學(xué)的“雙基”，而數(shù)學(xué)思想方法則是數(shù)學(xué)的靈魂。以數(shù)與形相結(jié)合的原則進行教學(xué)，這就要求我們切實掌握數(shù)形結(jié)合的思想方法，以數(shù)形相結(jié)合的觀點鉆研教材，努力挖掘教材中可以進行數(shù)形結(jié)合思想方法滲透的各種因素,都要考慮如何結(jié)合具體內(nèi)容進行數(shù)形結(jié)合思想方法滲透。小學(xué)數(shù)學(xué)中雖然不像初中數(shù)學(xué)那樣,將數(shù)形結(jié)合的思想系統(tǒng)化, 但作為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的啟蒙和基礎(chǔ)階段，數(shù)形結(jié)合的思想已經(jīng)漸漸滲透其中，為更好的學(xué)習(xí)數(shù)與代數(shù)、空間與圖形兩方面的知識做鋪墊，同時也在培養(yǎng)抽象思維，解決實際問題方面起了較大的作用。
一、運用圖形，建立表象，理解本質(zhì)
在低年級教學(xué)中學(xué)生都是從直觀、形象的圖形開始入門學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。從人類發(fā)展史來看，具體的事物是出現(xiàn)在抽象的文字、符號之前的，人類一開始用小石子、貝殼、木棍、骨頭記事，慢慢的發(fā)展成為用形象的符號記事，最后才有了數(shù)字。這個過程和小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的階段和過程有著很大的相似之處。一年級的小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，也是從具體的物體開始認(rèn)數(shù)，很多知識都是從具體形象逐步向抽象邏輯思維過渡，但這時的邏輯思維是初步的，且在很大程度上仍具有具體形象性。
如小學(xué)應(yīng)用題中常常涉及到“求一個數(shù)的幾倍是多少”，學(xué)生最難理解的是“倍”的概念，如何把“倍”的數(shù)學(xué)概念深入淺出地教授給學(xué)生，使他們能對“倍”有自己的理解，并內(nèi)化稱自己的東西？我認(rèn)為用圖形演示的方法是最簡單又最有效的方法。就利用書上的主題圖。在第一行排出3根一組的紅色小棒，再在第二行排出3根一組的綠色的小棒，第二行一共排4組綠色小棒。結(jié)合演示，讓學(xué)生觀察比較第一行和第二行小棒的數(shù)量特征，通過教師啟發(fā)，學(xué)生小組合作討論和交流，使學(xué)生清晰地認(rèn)識到：綠色小棒與紅色小木棒比較，紅色小棒是1個3根，綠色小棒是4個3根；把一個3根當(dāng)作一份，則紅色小棒是1份，而綠色小棒就有4份。用數(shù)學(xué)語言：綠色小棒與紅色小棒比，把紅色小棒當(dāng)作1倍，綠色小棒的根數(shù)就是紅色小棒的4倍。這樣，從演示圖形中讓學(xué)生看到從“個數(shù)”到“份數(shù)”，再引出倍數(shù)，很快就觸及了概念的本質(zhì)。
這方面的例子很多，如低年級開始學(xué)習(xí)認(rèn)數(shù)、學(xué)習(xí)加減法、乘除法，到中年級的分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識、高年級的認(rèn)識負(fù)數(shù)等都是以具體的事物或圖形為依據(jù)，學(xué)生根據(jù)已有的生活經(jīng)驗，在具體的表象中抽象出數(shù)，算理等等。
在小學(xué)中高年級的教學(xué)中，我們要注重運用直觀圖形，巧妙地把數(shù)和形結(jié)合起來，把抽象的數(shù)學(xué)概念直觀化，幫助學(xué)生形成概念。
例如：如，教學(xué)“體積”概念。教師可以借助形象物體設(shè)問，引導(dǎo)學(xué)生分析比較。首先觀察物體，初步感知。讓學(xué)生觀察一塊橡皮和鉛筆盒，提問：哪個大，哪個??？又出示一個魔方和一個骰子，提問：那個大，那個??？通過觀察物體，讓學(xué)生對物體的大小有個感性認(rèn)識。接著在一個盛有半杯水的玻璃杯里慢慢加入一塊石頭，學(xué)生可以觀察到，隨著石頭的投入，杯中的水位不斷上升。問：玻璃杯里的水位為什么會上升？學(xué)生從這一具體事例中獲得了物體占有空間的表象。在教師的引導(dǎo)下，對“為什么玻璃杯里的水位會隨著石頭放入而升高”這一問題進行深入討論，通過討論交流學(xué)生能夠很自然地領(lǐng)悟“物體所占空間的大小叫體積”
這一概念。為了進一步使概念在應(yīng)用中得到鞏固，繼續(xù)在盛滿水的玻璃杯里放石子，學(xué)生觀察到水溢了出來，教師啟發(fā)學(xué)生：從觀察到的現(xiàn)象中你們發(fā)現(xiàn)了什么問題？學(xué)生思考后提出：杯里溢出的水的多少與放進去的石子有什么關(guān)系？經(jīng)過討論得出：從杯里溢出水的體積等于石子的體積。至此，學(xué)生不僅認(rèn)識了概念，而且能夠應(yīng)用概念。
在利用實物創(chuàng)設(shè)問題情境時，教師要特別注意數(shù)與形的有機結(jié)合，以問題引導(dǎo)學(xué)生觀察，不僅要用誘導(dǎo)性問題，更要用一些啟發(fā)性問題，激疑性問題，讓學(xué)生在觀察中發(fā)現(xiàn)問題，自己提出問題和解決問題。教師除了提供充分的形象感性材料讓學(xué)生形成鮮明的表象外，還必須在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生分析和比較，及時抽象出概念的本質(zhì)屬性，使學(xué)生在主動參與中完成概念的建構(gòu)。
二、畫出圖形，表達數(shù)量，揭示本質(zhì) 小學(xué)生由于生活經(jīng)歷少，常常不能借生活經(jīng)驗把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，從而來理解數(shù)學(xué)概念。因此教師要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的實際情況，引導(dǎo)學(xué)生利用直尺、三角板和圓規(guī)等作圖工具畫出已學(xué)過的圖形，通過動手作圖，幫助學(xué)生建立表象，從畫圖體驗中領(lǐng)悟概念。通過作圖觀察、比較分析，可以發(fā)展學(xué)生的空間觀念，培養(yǎng)學(xué)生分析、綜合、抽象、概括的能力。例如，在教學(xué)“學(xué)校六月份用水210噸，比五月份節(jié)約了。五月份用水多少噸？”這一例題時，筆者沒有急著和學(xué)生一起畫線段圖，而是讓學(xué)生在認(rèn)真讀題和初步思考后匯報算式并說明列式的理由。這樣做的目的有：一，注重學(xué)生的直覺思維，學(xué)生的直覺思維是學(xué)生真實水平的體現(xiàn)，根據(jù)學(xué)生的回答教師可以隨時調(diào)整教學(xué)方案；二，在沒有教師的任何提示下，學(xué)生的匯報與交流是學(xué)生邏輯思維水平發(fā)展的重要手段；三，當(dāng)學(xué)生交流出現(xiàn)矛盾時，迫使學(xué)生產(chǎn)生驗證的需要。當(dāng)學(xué)生有需要時，教師就要及時引導(dǎo)學(xué)生畫線，當(dāng)線段圖完成的時候，學(xué)生的爭論也就戛然而止了。因為有了線段圖的合理支撐，學(xué)生對210÷ 這一算式已堅信不疑了?？梢?，通過畫線段圖即數(shù)形結(jié)合的方法能有效將題目中抽象的數(shù)量關(guān)系直觀形象地表示出來，從而降低解題難度。而根據(jù)學(xué)生的實際情況適當(dāng)采取先數(shù)后形的策略，可以使學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性大大增強，同時使學(xué)生的邏輯思維能力不斷得到鍛煉。
三、數(shù)形結(jié)合，為建立函數(shù)思想打好基礎(chǔ)。
在實際教學(xué)中，數(shù)和形往往是緊密結(jié)合在一起，相互并存的。因此，在實際教學(xué)中教師要把數(shù)和形結(jié)合起來考察，根據(jù)問題的具體情形，把圖形的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的問題，或者把數(shù)量關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為圖形的問題，使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，使數(shù)與形相得益彰。
用形的直觀來分析數(shù)據(jù)中的關(guān)系,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想方法的優(yōu)點,在數(shù)學(xué)整個發(fā)展過程中,人們也總是利用數(shù)形結(jié)合或數(shù)形的轉(zhuǎn)化來研究數(shù)學(xué)問題，可見數(shù)形結(jié)合思想的重要性。
小學(xué)數(shù)學(xué)中雖然沒有學(xué)習(xí)函數(shù)，但還是慢慢的開始滲透函數(shù)的思想。總之，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合能不失時機地為學(xué)生提供恰當(dāng)?shù)男蜗蟛牧希梢詫⒊橄蟮臄?shù)量關(guān)系具體化，把無形的解題思路形象化，不僅有利于學(xué)生順利地、高效率地學(xué)好數(shù)學(xué)知識，更用于學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的培養(yǎng)、智力的開發(fā)、能力的增強，為學(xué)生今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ)。參考文獻：
第五篇：數(shù)形結(jié)合在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用
安 陽 師 范 學(xué) 院
數(shù)形結(jié)合在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用
甘世軍
(安陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 河南 安陽 455002)
摘 要：數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)教學(xué)中的一種非常重要的思想方法，“數(shù)”與“形”按照一定條件相互轉(zhuǎn)化.本文通過圖形對于解決函數(shù)的最值、不等式、軌跡等問題來掌握數(shù)形結(jié)合方法,有助于增強學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng),提高學(xué)生分析問題解決問題的能力,對于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識具有促進作用.關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合;方法;數(shù)學(xué)教學(xué);應(yīng)用
引 言：數(shù)與形是現(xiàn)實世界中客觀事物的抽象和反映,是數(shù)學(xué)的基石.在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中,處處滲透著數(shù)形結(jié)合的思想．從數(shù)和形兩個側(cè)面對問題進行分析,以培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性與批判性，構(gòu)成了數(shù)學(xué)教學(xué)的主要任務(wù).以數(shù)助形、以形助數(shù)、數(shù)形互助，構(gòu)成了數(shù)形結(jié)合的基本途徑． 1 與函數(shù)有關(guān)的問題
函數(shù)的圖像及性質(zhì)常常是解決問題的突破口,函數(shù)的圖象是函數(shù)解析式的“形”的表象,它以圖形的方式來刻劃函數(shù)中變量之間的變化關(guān)系.通過函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì),是中學(xué)階段學(xué)習(xí)函數(shù)理論的重要方法，既有助于理解和記憶函數(shù)的性質(zhì),也有助于應(yīng)用函數(shù)的性質(zhì)分析問題和解決問題.例1 實系數(shù)方程x2+ax+2b=0的一根在(0,1)之間,另一根在(1,2)之間,求范圍.分析 若直接利用求根公式或根與系數(shù)的關(guān)系,則步履維艱;若把數(shù)的關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖
?f(0)?0,?b?0,??像,則條件便轉(zhuǎn)化到圖像上.令f(x)= x2+ax+2b,可得?f(1)?0, 即?1?a?2b?0，?2?a?b?0.?f(2)?0,??b?2a?1的第1頁
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圖1 圖2 它是(a,b)所要滿足的條件,用圖像表示點(a,b)的區(qū)域為△ABC的內(nèi)部,可理解的幾何意義為過點(a,b)與(1,2)的直線的斜率,顯然有
14b?2a?1=kAD<
b?2a?1 x1A.1個 B.2個 C.3個 D.4個 解 若直觀通過解方程來求其實根的個數(shù),則比較麻煩．可在同一直角坐標(biāo)系中畫出 第2頁 安 陽 師 范 學(xué) 院 函數(shù)y=以方程1x1x和y= x2-2x+1的圖像,通過觀察可知,這兩個函數(shù)的圖像有且只有一個交點,所=x2-2x+1只有一個實根,應(yīng)選A.2 與不等式有關(guān)的問題 不等式所涉及到的復(fù)雜變換技巧和過于形式化的知識特點,使不等式的學(xué)習(xí)便得抽象和難于理解．如果方程或不等式兩邊的表達式有明顯的幾何意義,或通過某種方式可以與圖形建立聯(lián)系,可將方程或不等式所表達的抽象數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形的位置或度量關(guān)系加以解決，使得原問題直觀且易于理解，從而所討論問題得到解決． 設(shè)f1(x)和f2(x)是[a,b]上的連續(xù)函數(shù),以曲線y= f2(x)為下界,以曲線y= f2(x)為上界,以平行于y軸的直線x=a為左界,以平行于y軸的直線x=b為右界所圍成的圖形是一個點的集合.如果圖形不包括界線在內(nèi),那么這個點集可以用下列不等式描述：a 安 陽 師 范 學(xué) 院 圖5 我們把形如a 則（y-x+1）(2x-y-3)>0?(x,y)?(M?N)?(M'? N'),從原不等式的區(qū)域(下圖)可?知,所求解為: E= ?(x,y)|- ? 1? ?(x,y)|2 圖6 第4頁 安 陽 師 范 學(xué) 院 例5 已知正數(shù)a、b、c、x、y、z,且滿足條件a+x=b+y=c+z=k>0 求證：ay+bz+cx 如圖,作邊長為k的正三角形ABC,在其三邊上分別取P、Q、R,使AP=a,CR=b,BQ=c．則 BP=x,AR=y,CQ=z,S?APR=S?ABC=1212aysin60?，S?PBQ= 12cxsin60?，S?CRQ= 12bzsin60?，k2sin60?．顯然有：S?APR+ S?PBQ +S?CRQ x2?103x?80+x2?103x?80=20.分析 要解這個方程,按一般解法,就是先化簡,經(jīng)過兩次平方后脫去根號,再求解.但過程非常繁冗,容易出錯,因此不是個好解法.觀察一下這個方程的形式,就會聯(lián)想到橢圓第一定義的數(shù)學(xué)表達式,配方后再令(x?53)?y225=y 2,即可得?(x?53)?y22=20,且20>10 3.由橢圓第一定義可知,點(x,y)的軌跡為一個以(-53,0)、(53,0)為焦點、長軸為20的橢圓.這樣的話,解原方程就等價于已知橢圓上點的縱坐標(biāo)去求它的橫坐標(biāo)，因此問題得以簡潔明快地解決.第5頁 安 陽 師 范 學(xué) 院 解 原方程?(x?53)?y222?2(x?53)?y22=20 22??(x?53)?y???2??y?5(x?53)?y =20 2?x2y22??1yx???100???1.2510025?y2?5?故原方程的解為x=?45.3 與拋物線有關(guān)的問題 拋物線是平面內(nèi)到一定點和到一條不過此點的定直線的距離相等的點的軌跡.這一定點叫做拋物線的焦點,定直線叫做拋物線的準(zhǔn)線.利用圖像常能找到解決與拋物線有關(guān)問題便捷的解題途徑.在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中,掌握圓錐曲線的圖像是很重要的內(nèi)容,它直觀反映了曲線的特點靈活應(yīng)用圖像解題是一種很重要的方法,它不但可以使問題得到簡化,還能提高學(xué)習(xí)效率． 例7 已知拋物線C:y2=2x-1即定點A(2,0),試問:是否存在過A點的直線L,使得能在拋物線上找到不同的兩點關(guān)于直線L對稱?若存在,請求出直線L的斜率的范圍；不存在,請說明理由.解 設(shè)直線L的方程為y=k(x-2).當(dāng)k=0時,顯然成立.當(dāng)k≠0時,設(shè)拋物線上關(guān)于直線L對稱的兩點為:P(x1,y2)、Q(x1,y2),PQ的中點為R(x0,y0).由y12=2x1-1,y2=2x2-1,兩式相減,得y0=-k.又因直線L過點R,所以y0=k(x0-2),得x0=1.2如圖,過R作x軸的平行線交拋物線于N,則yN=-k,得xN=k2k2?12,結(jié)合圖像易知xN< x0,即?12<1,得-1 安 陽 師 范 學(xué) 院 圖8 4 與軌跡有關(guān)的問題 求曲線的軌跡方程是解析幾何的兩個基本問題之一.一方面求軌跡方程的實質(zhì)是將“形”轉(zhuǎn)化為“數(shù)”,將“曲線”轉(zhuǎn)化為“方程”,通過對方程的研究來認(rèn)識曲線的性質(zhì)；另一方面求軌跡方程是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形轉(zhuǎn)化的思想、方法以及技巧的極好教材,也是解析幾何的主要課題．該內(nèi)容不僅貫穿于“圓錐曲線”的教學(xué)的全過程,而且在建構(gòu)思想、函數(shù)方程思想、化歸轉(zhuǎn)化思想等方面均有體現(xiàn)和滲透.軌跡問題是高考中的一個熱點和重點,在歷年高考中出現(xiàn)的頻率較高,巧妙的運用數(shù)形結(jié)合思想有事半功倍的效果.例8 已知圓x2+y2=4和點C(4,0),A,B為圓周上的兩個動點,且滿足∠ACB=90?,求弦AB的中點P的軌跡方程.分析 巧用平面幾何知識,避免運算.利解析幾何的知識與方法,一般設(shè)P(x,y)，2A(x1,y1),B(x2y2).x12+y12=4, x2+y=4,x1+x2=2x,y1+y2=2y,y1y2=-(x1-1)(x2-1).22通過這五個式x1,x2,y1,y2，得x,y的方程,眾多未知數(shù)的消元過程是大部分學(xué)生手足無措,但是若能想到初中幾何中的直線與圓的關(guān)系,此問題的簡便解法就在情理之中了.解 連AO,PO,CO.因為P為弦AB的中點,故OP⊥AB.因為AO=2,設(shè)P點的坐標(biāo)為(x,y),又因為在Rt△ACB中, |PC|= 12|AB|，（|AB||PC|）2=|PA|2=|AO|2-|PO|2 ,又C(1,0), 所以軌跡方程為:2x2+2y2-2x-3=0.第7頁 安 陽 師 范 學(xué) 院 圖9 5 與最值問題有關(guān)的問題 中學(xué)數(shù)學(xué)中求函數(shù)的最值問題是研究函數(shù)性質(zhì)的一個極其重要的方面,所涉及的知識面寬,方法靈活,應(yīng)用廣泛．在高考和數(shù)學(xué)競賽中占有相當(dāng)重要的地位.而數(shù)形結(jié)合思想是求解數(shù)學(xué)問題的一種常用思想,它不僅對于溝通代數(shù)、幾何與三角形的內(nèi)在聯(lián)系具有指導(dǎo)意義,并把數(shù)式的準(zhǔn)確刻化與幾何圖形的直觀描述有機地結(jié)合起來,而且更重要的是對開發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性思維,完善學(xué)生的思維品質(zhì)有著特殊的重要作用.如果只是從”數(shù)”到”數(shù)”的解題,不僅運算非常繁難,也激發(fā)不了學(xué)生的積極思維,如果用數(shù)形結(jié)合的思想進行開拓,會輕松解決此類問題.例9 當(dāng)s和t取遍所有實數(shù)時,求(s+5-3|cost|)2+(s-2|sint|2)的最小值.解 由P(s+5,s),消去S得點P的軌跡為:y=x-5,由Q(3|cost|,2|sint|)．消去t得Q的軌跡為： x29+y24=1（0 安 陽 師 范 學(xué) 院 例10 已知復(fù)數(shù)Z和w同時滿足（1）Z+w+3=0,(2)|Z|,2,|w|成等差數(shù),試問cos(angZ-angw)有沒有最大值,如果有,求出這個最大值.解 本題若用代數(shù)法或三角法,解題過程比較繁瑣．由z+w+3=0可知,在復(fù)平面內(nèi)與z、w、3對應(yīng)的向量構(gòu)成首尾相連的三角形或共線的三條線段這樣即使三個向量共線,與復(fù)數(shù)z和w對應(yīng)的向量的方向也不能相同,當(dāng)然只能相反.在?AOB中,由余弦定理得： cos(180-a)=3?|z|?|w|222?|z||w| =1- 72|z||w|?1- 72(|z|?|w|2)2= 81當(dāng)且僅當(dāng)|z|=|w|=2時,等號成立.6 結(jié)束語 綜上所述,所舉各例若零散放置,只能感受到各自獨立的解題方法，但進行合理的歸納分析，就能從中總結(jié)出很重要的解題方法．用數(shù)形結(jié)合的思想求解各種數(shù)學(xué)問題，既能激發(fā)對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣,又能培養(yǎng)和發(fā)展數(shù)學(xué)的創(chuàng)造性思維.參考文獻 第9頁 安 陽 師 范 學(xué) 院 [1]張雄、李得虎著,《數(shù)學(xué)方法論與解題研究》[ M].高等教育出版社,2004,112-114.[2]莫紅梅.談數(shù)形結(jié)合在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J].教育實踐與研究 , 2003,75-77.[3]趙玲.數(shù)形結(jié)合思想及其應(yīng)用[J].山西煤炭管理干部學(xué)院學(xué)報 , 2007,102-103.[4]施獻慧.數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].云南教育 , 2003年7月：68-70.[5]王銀篷.淺談數(shù)形結(jié)合的方法[J].中學(xué)數(shù)學(xué) , 2006年12月第3版：25-27 [6]盧丙仁.數(shù)形結(jié)合的思想方法在函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用[J].開封教育學(xué)院學(xué)報 , 2003，（20）：39-41.[7]劉煥芬.巧用數(shù)形結(jié)合思想解題[J].數(shù)學(xué)通報 , 2005年4月：66-69.[8] 袁桂珍.數(shù)形結(jié)合思想方法及其運用[J].廣西教育 , 2004,(15):44-45.The combination of the number and shape at middle school math teaching Gan Shijun(School of Mathematics & Statistics, Anyang Normal University, Anyang, Henan455002） Abstract: For combining the number and shape is an important way of thinking in teaching of mathematics, “number” and “shape” according to certain conditions can be transformed.This paper, by mutual transformation to solve the function of the graphics, inequality, track, etc.To master the method of combining the number and shape is helpful for students to improve mathematics connotation and improve the students' ability to analyze and solve problems and to cultivate students' innovation consciousness has stimulative effect.Keywords: Combining the number and shape;Methods;Mathematics teaching;application 第10頁
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