第一篇：基本不等式與余弦定理綜合求解三角形面積的最值探究

基本不等式與余弦定理綜合求解三角形面積的最值探究

建水縣第二中學(xué)：

賈雪光

 從最近幾年高考試題的考查情況看，解三角形部分的考查中主要是對(duì)用正、余弦定理來求解三角形、實(shí)際應(yīng)用問題，這兩種常見考法中，靈活應(yīng)用正余弦定理并結(jié)合三角形中的內(nèi)角和定理，大邊對(duì)大角，等在三角形中進(jìn)行邊角之間的相互轉(zhuǎn)化，以及與誘導(dǎo)公式特別是sin(A?B)?sinC、cosA?B2?sinC的聯(lián)系是關(guān)鍵。

于是多數(shù)教師在復(fù)習(xí)備考過程中，往往都會(huì)將大量的時(shí)間和精力花在對(duì)正余弦定理的變形，轉(zhuǎn)化，變式應(yīng)用上，當(dāng)然這也無可厚非，但是我在高考備考復(fù)習(xí)教學(xué)中發(fā)現(xiàn)了這樣一類題目，如：

1、在銳角△ABC中，a, b, c分別為內(nèi)角A, B, C的對(duì)邊，且cos2A?1212?sin2A，a?7求△ABC的面積的最大值；

2、已知向量M?(sinA,)與N?(3,sinA?3cosA)共線，其中A是△ABC的內(nèi)角，（1）求角A的大??；（2）若BC=2，求△ABC的面積S的最大值。

3、△ABC中，a, b, c分別為內(nèi)角A, B, C的對(duì)邊，向量M?(4,?1),N?(cos2A2,cos2A)，M?N?72，（1）求角A的大??；（2）若a?3是判斷當(dāng)b?c取得最大值時(shí)△ABC的形狀。面對(duì)這樣的問題，我們?nèi)绾蝸硪龑?dǎo)學(xué)生很自然的過度，用一種近乎水到渠成的方法來求解呢？

實(shí)際上我們?cè)诮虒W(xué)和學(xué)習(xí)的過程中往往會(huì)忽略一個(gè)很明顯的問題，那就是余弦定理與基本不等式的綜合，如果我們?cè)谥v授正余弦定理的時(shí)候能在引入正課時(shí)多下一點(diǎn)功夫，我們就會(huì)有意外的收獲哦。

我在教學(xué)中是這樣處理的：實(shí)際上在余弦定理中我們總有這樣一組公式：

a2?b?c?2bc?cosA, 2

2b2?a2?c2?2ac?cosB，c2?a2?b2?2ab?cosC

同時(shí)在基本不等式中我們總有這樣一組公式：b2?c2?2bc，a2?c2?2ac，b2?a2?2ab在三角形中各邊都是正數(shù)，所以上面三個(gè)式子在a、b是三角形的三邊時(shí)總是成立的，如果我們將兩組公式綜合后會(huì)發(fā)現(xiàn)這樣的一組公式即：a2?2bc?(1?cosA),b2?2ac?(1?cosC)

c2?2ab?(1?cosc)于是我們就有方程等式，得到了一組不等式，而在涉及到最值得求解時(shí)，我們常用的處理方法是，一求函數(shù)值域；

二、導(dǎo)函數(shù)；

三、基本不等式即均值定理；但是前兩種方法顯然都不可能用于求解上面兩個(gè)題目類型的求解，于是在涉及到與解三角形有關(guān)的三角形的面積的最大值時(shí)我們就只能考慮用均值定理了，自然也就要用到上面我們推導(dǎo)得出的這一組公式羅。

于是我沒有：

例1：在銳角△ABC中，a, b, c分別為內(nèi)角A, B, C的對(duì)邊，且cos2A?12?sin2A，a?7求△ABC的面積的最大值。

解析：由已知條件cos2A?得A=?312?sin2A有cos2A?sin2A??12即cos2A??212所以知道2A=

?32?3解，同時(shí)由于a2?b2?c2?2bc?cosA、b2?c2?2bc知7?b2?c2?2bc?cos1212 即有：7?2bc?bc也就是有bc?7 同時(shí)又因?yàn)镾?ABC?734734bcsinA?bcsin?3?12?7?32于是有：S?ABC?即△ABC的面積的最大值是

例2：已知向量M?(sinA,)與N?(3,sinA?3cosA)共線，其中A是△ABC的內(nèi)角，（1）求

2角A的大??；（2）若BC=2，求△ABC的面積S的最大值。

解析：由兩向量共線知：2sin2A?3cosAsinA?3即：1?cos2A?3sin2A?3也就是說

3sin2A?cos2A?2有輔助角公式可知2sin(2A??6)?2即有sin(2A??6)?1解得角A??3，又由于：a2?b2?c2?2bc?cosA、b2?c2?2bc知22?b2?c2?2bc?cos即有：4?2bc?bc也就是有bc?4 同時(shí)又因?yàn)镾?ABC?4341212?3

1232bcsinA?bcsin?3??4?

于是有：S?ABC? ?3即△ABC的面積的最大值是3

3、△ABC中，a, b, c分別為內(nèi)角A, B, C的對(duì)邊，向量M?(4,?1),N?(cos2A2,cos2A)，M?N?72，（1）求角A的大小；（2）若a?3是判斷當(dāng)b?c取得最大值時(shí)△ABC的形狀。

解析：（1）由M?N?72解得cosA?12所以A??3

3A?222（2）在△ABC 中a?b?c?2bc?cosA且a??3b?c?2bc22所以有32?b?c?2bc?cos22?3?b?c?bc22即有bc?3當(dāng)且僅當(dāng)b?c時(shí)取等號(hào)，此時(shí)有a?b?c所以當(dāng)

△ABC面積最大時(shí)，三角形式正三角形。

從以上三個(gè)例子中我們可以發(fā)現(xiàn)，在解三角形的過程中，如果涉及到要求三角形面積的最大值時(shí)，可以考慮余弦定理與基本不等式綜合，用基本不等式來構(gòu)造不等關(guān)系，從而求解最值，以上是我在教學(xué)實(shí)踐中所發(fā)現(xiàn)的點(diǎn)滴規(guī)律，展示出來供各位奮斗在教學(xué)一線的數(shù)學(xué)教師參考，與各位辛勤的同仁分享，希望能對(duì)你的教學(xué)有所幫助。

第二篇：84正弦、余弦定理綜合——三角形形狀、三角函數(shù)最值、解三角形

江蘇省淮陰中學(xué)2009高一數(shù)學(xué)學(xué)案NO5編制：上官志薇 正弦、余弦定理綜合——三角形形狀、三角函數(shù)最值、解三角形

【典例練講】

例1：?ABC中，AB=1,AC=2，?A的平分線AD=1，（1）求?ABC的面積；

（2）求BC邊上的中線長(zhǎng).例

2、如圖，半圓O的直徑為2，A為直徑延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，OA=2，B為半圓上任意一點(diǎn)，以AB為一邊作等邊三角形ABC，問：點(diǎn)B在什么位置時(shí)，四邊形OACB的面積最大？

例

3、在△ABC中,根據(jù)下列條件，判定三角形形狀。

（1）?B?60o,2b?a?c

（2）(a?b?c)(a?b?c)?3ab,sinAsinB?3

4例

4、求證：頂點(diǎn)在單位圓上的銳角三角形各角的余弦和小于該三角形的周長(zhǎng)之半。

第三篇：不等式證明與最值問題

不等式證明與最值問題

（一）均值不等式的運(yùn)用(1)

均值不等式的運(yùn)用：a2 + b2≥ 2ab；當(dāng)a＞0，b＞0時(shí)，a+b ≥2√ab 附： 完全的均值不等式：√[(a2+ b2)/2] ≥(a+b)/2 ≥√ab ≥2/(1/a+1/b)（二次冪平均≥算術(shù)平均≥幾何平均≥調(diào)和平均）

注意：利用均值不等式，注意“一正二定三相等”；注意“1”的添加；注意拆項(xiàng)補(bǔ)項(xiàng)；可以先假設(shè)成立，然后逆推，看逆推出的式子是否成立；注意代換。

（1）注意“1”的代換：已知x＞0，y＞0，滿足4/x+16/y=1。求x+y的最小值 解：x+y=(x+y)(4/x+16/y)=20+4y/x+16x/y≥20+2√[(4y/x)·(16x/y)]=36

注意：千萬不可：1=4/x+16/y≥16/√(xy)，√(xy)≥16,故：x+y≥2√(xy)＝32 歸納： x,y a,b都是正數(shù)且(a/x)+(b/y)=1,求x+y的最小值。

解：因?yàn)?a/x)+(b/y)=

1故：x+y=(x+y)[(a/x)+(b/y)]=a+b+xb/y+ya/x≥a+b+2√(xb/y·ya/x)=a+b+2√(ab)練習(xí)：

1、已知x,y＞0,1/x+2/y=1，求x+y的最小值。（答案：3＋2√2）

2、已知x，y＞0，1/x+9/y=1，求x+y的最小值。（答案：16）

（2）

1、已知a＞0，b＞0，求證：(1/a+1/b)(1/a2+1/b2)(a3+b3)≥8

解：(1/a+1/b)(1/a2+1/b2)(a3+b3)≥2√[1/(ab)]·2√[1/(a2b2)]·2√(a3b3)=82、已知a+b+c=1,a,b,c為不全相等的實(shí)數(shù)，求證：a2+b2+c2＞1/3 解：a2+b2≥2ab, a2+ c2≥2ac, b2+c2≥2bc

因?yàn)閍,b,c為不全相等的實(shí)數(shù)，故：上面三式不能同時(shí)取等號(hào)。故：2(a2+b2+c2)≥2ab+2bc+2ac

故：3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2=

1故：a2+b2+c2＞1/

3練習(xí)：

1、已知x＞0，y＞0，3x+2y=12，求lgx+lgy的最大值。（答案：lg6）

2、若x，y＞0,且2x2+y2/3=8，求x√(6+2y2)的最大值.[答案：9√3/2,提示：先把x√(6+2y2)平方]

（3）a＞0，b＞0，c＞0，求證：(a+b)/c+(a+c)/b+(b+c)/a≥6 解：(a+b)/c+(a+c)/b+(b+c)/a

=a/c+b/c+a/b+c/b+b/a+c/a

=(a/c+c/a)+(b/c+c/b)+(a/b+b/a)≥2+2+2=6

（4）a＞0，b＞0，c＞0，求證：bc/a+ac/b+ab/c≥a+b+c

解：bc/a+ac/b+ab/c=2bc/(2a)+2ac/(2b)+2ab/(2c)

=[bc/(2a)+ac/(2b)]+[ac/(2b)+ab/(2c)]+[ab/(2c)+bc/(2a)] ≥a+b+c

（5）已知a＞0，b＞0，c＞0，求證：a/√b+b/√c+c/√a≥√a+√b+√c 證明：a/√b+√b≥2√a；b/√c+√c≥2√b；c/√a+√a≥2√c 故：a/√b+√b+ b/√c+√c+ c/√a+√a≥2√a+2√b+2√c

故：a/√b+b/√c+c/√a≥√a+√b+√c

（6）已知x＜0，求y=x+1/x的最大值

解：因?yàn)閤＜0，故：-x＞o

故：(-x)+(-1/x)≥

2故：y=x+1/x≤-2

(7)

1、已知a＞b＞0，求a+1/[(a-b)b]的最小值

解：a+1/[(a-b)b]=(a-b)+b+1/[(a-b)b] ≥3，此時(shí)a=2,b=

12、若0＜x＜1,求證：a2/x+b2/(1-x)≥(a-b)2

解：∵0＜x＜1,∴0＜1-x＜

1∴a2/x+b2/(1-x)=a2/x·[x+(1-x)]+b2/(1-x)[x+(1-x)]

=a2+a2(1-x)/x+b2+b2x/(1-x)≥a2+b2+2ab=(a+b)2

當(dāng)a2(1-x)/x=b2x/(1-x)時(shí)，取等號(hào)。

練習(xí)：當(dāng)a＞1時(shí)，4/(a-1)+a的最小值是（）。（答案：5）

（一）均值不等式的運(yùn)用(2)

均值不等式的運(yùn)用：a2 + b2≥ 2ab；當(dāng)a＞0，b＞0時(shí)，a+b ≥2√ab

附： 完全的均值不等式：√[(a2+ b2)/2] ≥(a+b)/2 ≥√ab ≥2/(1/a+1/b)

（二次冪平均≥算術(shù)平均≥幾何平均≥調(diào)和平均）

注意：利用均值不等式，注意“一正二定三相等”；注意“1”的添加；注意拆項(xiàng)補(bǔ)項(xiàng)；可以先假設(shè)成立，然后逆推，看逆推出的式子是否成立；注意代換。

(8)已知二次函數(shù)f(x)=ax2-bx+c，且f(x)=0的兩根為x1，x2都在(0,1)內(nèi)，求證：f(0)·f(1)≤a2/16

證明：因?yàn)閒(x)=0的兩根為x1，x2，故：可設(shè)f(x)=a(x-x1)(x-x2)，因?yàn)?＜x1＜1, 0＜x2＜1

故：f(0)·f(1)=a·x1·x2·a(1-x1)(1-x2)=a2·x1(1-x1)·x2(1-x2)≤a2·[(x1+1-x1)/2] 2 ·[(x2+1-x2)] 2= a2/16

(9)已知a,b＞0,a+b=1，求證：√(a+1/2)+√(b+1/2)≤

2證明：√(a+1/2)=√[1·(a+1/2)]≤(1+a+1/2)/2=3/4+a/2

同理：√(b+1/2)≤3/4+b/2

故：√(a+1/2)+√(b+1/2)≤3/2+(a+b)/2=2

（10）a,b,c＞0,比較a3+b3+c3與a2b+b2c+c2a的大小

解： a2+b2≥2ab

故：a2-ab+b2≥ab

不等式兩邊同乘以a+b,不等號(hào)方向不變。

可得:a3+b3≥a2b+b2a(1)

同理可得:b3+c3≥b2c+c2b(2)

c3+a3≥c2a+a2c(3)

(1)+(2)+(3)得：

2(a3+b3+c3)≥2(a2b+b2c+c2a)

a3+b3+c3≥a2b+b2c+c2a

（11）設(shè)a、b、c都是正數(shù)，求證1/2a+1/2b+1/2c≥1/（b+c）+1/（c+a）+1/（a+b）證明：因?yàn)?a-b)2≥0

故：a2-2ab+b2≥0

故：a2+2ab+b2≥4ab

故：(a+b)2≥4ab[兩邊同時(shí)除以4ab/(a+b)]

故：(a+b)/4ab≥1/(a+b)

故：1/(4a)+a/(4b)≥1/(a+b)

同理：1/(4a)+1/(4c)≥1/(a+c)；1/(4b)+1/(4c)≥1/(b+c)

故：1/(4a)+a/(4b)+ 1/(4a)+1/(4c)+ 1/(4b)+1/(4c)≥1/（b+c）+1/（c+a）+1/（a+b）

故：1/(2a)+1/(2b)+1/(2c)≥1/（b+c）+1/（c+a）+1/（a+b）

（12）均值代換：已知a+b=1,a,b∈R,求證：(a+2)2+(b+2)2≥25/2 解；∵a+b=1,設(shè)a=1/2+t,b=1/2-t

故：(a+2)2+(b+2)2=2t2+25/2≥25/

2(13)已知：x, y＞0, 2x+y=1,求證：1/x+1/y≥3+2√2

證明：設(shè)2x=m/(m+n)，y=n/(m+n)(m, n＞0)

故：1/x+1/y=3+2n/m+m/n≥3+2√2

（二）利用判別式“△=b2-4ac”及一元二次方程

1、若x2+xy+y2=1,且x，y為實(shí)數(shù)，則x2+y2的取值范圍？

解：令t=x2+y2＞0

故： y2=t-x2

故：y=±√(t-x2)

故：t±x√(t-x2)=

1故：x2(t-x2)=(1-t)2

故：x^4-tx2+(1-t)2=0

故：△=t2-4(1-t)2≥0

故：2/3≤t≤

2即：2/3≤x2+y2≤22、設(shè)a＞1，b＞1，且ab-(a+b)=1,求ab、a+b的最小值

解：ab≤[(a+b)/2] 2，故：[(a+b)/2] 2-(a+b)-1≥0

故：a+b≥2√2+2 [其中a+b≥－2√2+2舍去]

故：a+b的最小值是2√2+2，此時(shí)a=b=√2+

1因?yàn)閍b=1+(a+b)≥2√2+3,故ab的最小值是2√2+

33、設(shè)a+b+c=1, a2+b2+c2=1且a＞b＞c,求證：-1/3＜c＜0

證明：因?yàn)閍+b+c=1，故：(a+b+c)2=1，即：a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=1 因?yàn)閍2+b2+c2=1，故：ab+ac+bc=0，故：a、b、c中至少一個(gè)負(fù)數(shù)

因?yàn)閍＞b＞c，故：c＜0

因?yàn)閍+b+c=1，ab+ac+bc=0

故：a+b=1-c，ab=c(1-c)

故：a、b可以看作方程x2+(c-1)x+c(1-c)=0兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

故：△=(c-1)2-4c(c-1)＞0

故：(c-1)(c-1-4c)＞0

故：-1/3＜c＜

1故：-1/3＜c＜04、已知X>0,Y>0且XY-X-Y=1,求X+Y的最小值

解：設(shè)X+Y=t，因?yàn)閄>0,Y>0

故：t>0

因?yàn)閄Y-X-Y=

1故：XY＝1+t

故：X、Y可以看作方程z2-tz+(1+t)＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根

故：△=t2-4(1+t)≥0

故：t2-4t-4≥0

(t-2)2≥8

故：t≥2√2＋2,或t≤－2√2＋2（因?yàn)閠>0）

故：t≥2√2＋

2故：X+Y的最小值是2√2＋2，此時(shí)X＝Y(jié)＝√2＋

15、.已知正數(shù)ab滿足a+b=1，求ab+1/ab的最小值

解： ∵正數(shù)ab

∴ab+1/ab≥

2令ab+1/ab=t≥2

故：ab=[t±√(t2-4)]/2

故：a、b可以看作方程x-x+[t±√(t2-4)]/2=0的兩根

故：△=1-4×[t±√(t2-4)]/2≥0

故：±√(t2-4)≥t-1/

2因?yàn)閠-1/2＞0

故：√(t2-4)≥t-1/2＞0

故：t≥17/

4故：ab+1/ab的最小值是17/4，此時(shí)a=b=1/2

（三）利用幾何意義求極值

1、求下面函數(shù)的極小值：y=√(x2+4)+√[(12-x)2+9]

解：√(x2+4)+√[(12-x)2+9]可以看作點(diǎn)(x,0)到點(diǎn)(0,2)和(12,3)的距離之和 而點(diǎn)(0,2)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是(0,-2)

故：最小值就是(0,-2)和(12,3)之間的距離，即：132、a,b,c分別為直角三角形的三邊，c為斜邊，若（m,n)在直線ax+by+2c=0上，求m2+n2的最小值

解：因?yàn)閍,b,c分別為直角三角形的三邊，c為斜邊

故：a2+b2=c2

因?yàn)椤?m2+n2)=√[(m-0)2+(n-0)2]，即：√(m2+n2)表示點(diǎn)（m,n)到原點(diǎn)距離，因?yàn)椋╩,n)在直線ax+by+2c=0上

而原點(diǎn)到直線的距離是∣a×0+b×0+2c∣/√(a2+b2)=2c/c=2

故：m2+n2的最小值是22=4，此時(shí)n=-2b/c，m=-2a/c

第四篇：中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)練習(xí)二次函數(shù)與三角形面積最值

二次函數(shù)與面積的關(guān)系

如圖①,過△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別作出與水平線垂直的三條直線,外側(cè)兩條直線之間的距離叫△ABC的“水平寬”(),中間的這條直線在內(nèi)部的部分的長(zhǎng)度叫△ABC的“鉛垂高”().我們可得出一種計(jì)算三角形面積的新方法:,即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半.【例題1】如圖②,已知拋物線經(jīng)過A(-4,0),B(0,-4),C(2,0)三點(diǎn).(1)

求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式;

(2)

若點(diǎn)M為第三象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn),其橫坐標(biāo)為,的面積為,求關(guān)于的函數(shù)解析式,并求出的最大值.【變式訓(xùn)練1-1】如圖，拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

（1）求點(diǎn)，點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）在拋物線的對(duì)稱軸上有一動(dòng)點(diǎn)，求的值最小時(shí)的點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）若點(diǎn)是直線下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，求四邊形面積的最大值．

【拓展總結(jié)】若拋物線上y1＝ax2+bx+c，它與y軸交于C（0，4），與x軸交于A（﹣1，0）、B（k，0），P是拋物線上B、C之間的一點(diǎn)．

（1）當(dāng)k＝4時(shí)，求拋物線的方程，并求出當(dāng)△BPC面積最大時(shí)的P的橫坐標(biāo)；

（2）當(dāng)a＝1時(shí)，求拋物線的方程及B的坐標(biāo)，并求當(dāng)△BPC面積最大時(shí)P的橫坐標(biāo)；

（3）根據(jù)（1）、（2）推斷P的橫坐標(biāo)與B的橫坐標(biāo)有何關(guān)系？

【練習(xí)】如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+5經(jīng)過A（﹣5，0），B（﹣4，﹣3）兩點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，頂點(diǎn)為D，連接CD．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)P為該拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B，C不重合），設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t．當(dāng)點(diǎn)P在直線BC的下方運(yùn)動(dòng)時(shí)，求△PBC的面積的最大值．

【練習(xí)】如圖,二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A.B兩點(diǎn),且A點(diǎn)坐標(biāo)為(?2,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,3).(1)求出這個(gè)二次函數(shù)的解析式；

(2)直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)為___；

(3)在x軸是否存在一點(diǎn)P，使△ACP是等腰三角形?若存在，求出滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

(4)在第一象限中的拋物線上是否存在一點(diǎn)Q，使得四邊形ABQC的面積最大?若存在，請(qǐng)求出Q點(diǎn)坐標(biāo)及面積的最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由。

【練習(xí)】已知一次函數(shù)y＝kx+3與二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為A（3，0），另一個(gè)交點(diǎn)B在y軸上，點(diǎn)P為y軸右側(cè)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)．

（1）求此二次函數(shù)的解析式；

（2）當(dāng)點(diǎn)P位于直線AB上方的拋物線上時(shí)，求△ABP面積的最大值；

（3）當(dāng)此拋物線在點(diǎn)B與點(diǎn)P之間的部分（含點(diǎn)B和點(diǎn)P）的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差為9時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)和△ABP的面積．

1．如圖，拋物線W的圖象與x軸交于A、O兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為點(diǎn)B（﹣1，﹣1）．

（1）求拋物線W的表達(dá)式；

（2）將拋物線W繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線V，使拋物線V的頂點(diǎn)為E，試通過計(jì)算判斷拋物線V是否過點(diǎn)B；

（3）在拋物線W或V的圖象上是否存在點(diǎn)D，使S△EBD＝S△EBO？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．

1．如圖拋物線y＝ax2+bx+6的開口向下與x軸交于點(diǎn)A（﹣6，0）和點(diǎn)B（2，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合）

（1）求拋物線的解析式；

（2）當(dāng)點(diǎn)P是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若△PCA的面積為12，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

第五篇：二次函數(shù)與實(shí)際問題(面積最值問題)教學(xué)設(shè)計(jì)解讀

[教學(xué)設(shè)計(jì) ] 二次數(shù)學(xué)的實(shí)際運(yùn)用 ——圖形面積的最值問題

【知識(shí)與技能】 :通過復(fù)習(xí)讓學(xué)生系統(tǒng)性地掌握并認(rèn)識(shí)如何用函數(shù)的思想解決幾何問題中面積最值問題, 培養(yǎng)其 整體性思想。

【過程與方法】 :能通過設(shè)置的三個(gè)問題, 概括出二次函數(shù)解決這類問題的基本思路和基本方法, 并學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué) 問題的結(jié)論,分析是否是實(shí)際問題的解,掌握類比的數(shù)學(xué)思想方法。

【情感態(tài)度與價(jià)值觀】 :體會(huì)函數(shù)建模思想的同時(shí), 體會(huì)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的緊密聯(lián)系, 培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真觀察, 不斷 反思,主動(dòng)糾錯(cuò)的能力和樂于思考,認(rèn)真嚴(yán)謹(jǐn)、細(xì)心的好習(xí)慣。感受多媒體的直觀性和愉悅感。

【重點(diǎn)】 :如何利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決實(shí)際問題——圖形面積的最值問題 【難點(diǎn)】 :如何探究在自變量取值范圍內(nèi)求出實(shí)際問題的解 【教學(xué)過程】 【活動(dòng) 1】 :導(dǎo)入引言: 二次函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用常見類型有拋物線形問題和最值問題。而最值問題考試類型有兩類

(1利潤(rùn)最大問題;(2幾何圖形中的最值問題:面積的最值,用料的最佳方案等,本節(jié)課,我們學(xué)習(xí)如何用二次函數(shù)解決實(shí)際 問題中圖形面積的最值問題。

【活動(dòng) 2】 :師生互動(dòng),合作學(xué)習(xí)我們來看一道簡(jiǎn)單的例題

例 1:李大爺要借助院墻圍成一個(gè)矩形菜園 ABCD ,用籬笆圍成的另外三邊總長(zhǎng)為 24米,則矩形的長(zhǎng)寬分別為 多少時(shí),圍成的矩形面積最大?

師(讓學(xué)生思考 :題目中已知量是什么? 未知量是什么?如何理解“矩形面積最大”問題?是什么影響了矩 形面積的變化呢?我們一起來看下面的動(dòng)畫演示(通過動(dòng)畫演示,讓學(xué)生感受量的變化

師:在演示中你們看到了什么?想到了什么?你能列出函數(shù)解析式嗎? 學(xué)生解決:若設(shè)矩形一邊長(zhǎng)為 X ,當(dāng) X 在變長(zhǎng)時(shí),另一邊變短,當(dāng) X 變短時(shí),另一邊變長(zhǎng),則面積 S 也隨之發(fā) 生了變化;設(shè)寬 AB 為 X 米,則長(zhǎng)為 24-2X(m 所以 面積 S=X(24-2X=-2X2+24X=-2(X-122 +288 師:分析歸納解函數(shù)問題的一般步驟是什么?(板書 : 第一步,正確理解題意 , 分析問題中的常量和重量;第二步,巧設(shè)未知數(shù),用未知數(shù)表示已知量和未知量,列二次函數(shù)解析式表示它們的關(guān)系;第三步,計(jì)算,將一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式,求出數(shù)學(xué)問題的最值。

師:請(qǐng)問這時(shí)解出的數(shù)學(xué)問題的解是不是實(shí)際問題的解,如何檢驗(yàn)?zāi)?(在師生共同研討的過程中找出計(jì)算中 學(xué)生容易犯的錯(cuò)誤,分析解答是否符合實(shí)際問題

小結(jié):求解完答案后,我們要善于檢查,分析,反思數(shù)學(xué)問題的解是否是實(shí)際問題的解。

活動(dòng) 3:變式訓(xùn)練,鞏固應(yīng)用。

師:如果我們?cè)趫D形中再加一個(gè)“豎道” ,請(qǐng)問剛才的問題中,什么量在變化,什么量不變化?是否影響面積的 變化?

師生共同總結(jié)得出:AB 不變而 BC 在變, BC 表示時(shí)要考慮豎道的個(gè)數(shù)。師:請(qǐng)大家看下面的中考題,這個(gè)問題中涉及的是方程的思想還是函數(shù)的思想? 一題多變 1: 要利用一面墻(墻長(zhǎng)為 25米 建羊圈, 用 100米的圍欄圍成總面積為 400平方米的三個(gè)大小相同的矩形羊圈, 求羊圈的邊長(zhǎng) AB,BC 各為多少米?

學(xué)生自主探究問題并解答(引導(dǎo)學(xué)生分析討論如何舍去方程的根,獲得實(shí)際問題的解

師:問題中面積是否由“ 400”可以改為“ 500” “ 600” “ 700”呢?面積是否可以取一個(gè)任意大的數(shù)值 呢? 生:不可以, x 受墻長(zhǎng)的影響,圍欄長(zhǎng)度的影響,面積不能超過一個(gè)最大值。師:引導(dǎo)利用函數(shù)的思想解決下面的問題?；顒?dòng) 4:深入探究,設(shè)疑激趣 一題多變 2: 師:請(qǐng)大家仔細(xì)閱讀下面的例題,分析問題中的已知條件又作了哪些變化?

如圖所示, 有長(zhǎng)為 30m 的籬笆, 一面利用墻(墻的最大可用長(zhǎng)度為 10m , 圍成中間隔有一道籬笆(平行于 AB 的矩形花圃,設(shè)花圃的一邊 AB =xm ,面積為 ym 2.(1求 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式;(2 y 是否有最大值?若有,求出 y 的最大值。

學(xué)生互學(xué),師生共同總結(jié):師:利用函數(shù)的思想解決實(shí)際問題時(shí),要考慮自變量的取值范圍,要在自變量范圍 內(nèi) 求出最大值, 要學(xué)會(huì)檢驗(yàn)數(shù)學(xué)問題的解是否是實(shí)際問題的解。利用函數(shù)解決實(shí)際問題, 我們?cè)诤竺娴膶W(xué)習(xí)中 還要繼續(xù)探究。

【活動(dòng) 4】歸納小結(jié) :(1 利用函數(shù)思想解決實(shí)際問題的一般步驟是什么?(2 本節(jié)課你的收獲是什么?你的疑問是什么? 活動(dòng) 6】作業(yè)布置。