第一篇：高中數(shù)學 2.1.2《橢圓的簡單幾何性質(zhì)》教案 湘教版選修1-1

2.1.2橢圓的簡單幾何性質(zhì)

◆ 知識與技能目標

了解用方程的方法研究圖形的對稱性；理解橢圓的范圍、對稱性及對稱軸，對稱中心、離心率、頂點的概念；掌握橢圓的標準方程、會用橢圓的定義解決實際問題；通過例題了解橢圓的第二定義，準線及焦半徑的概念，利用信息技術(shù)初步了解橢圓的第二定義．

◆ 過程與方法目標

（1）復習與引入過程

引導學生復習由函數(shù)的解析式研究函數(shù)的性質(zhì)或其圖像的特點，在本節(jié)中不僅要注意通過對橢圓的標準方程的討論，研究橢圓的幾何性質(zhì)的理解和應用，而且還注意對這種研究方法的培養(yǎng)．①由橢圓的標準方程和非負實數(shù)的概念能得到橢圓的范圍；②由方程的性質(zhì)得到橢圓的對稱性；③先定義圓錐曲線頂點的概念，容易得出橢圓的頂點的坐標及長軸、短軸的概念；④通過P48的思考問題，探究橢圓的扁平程度量橢圓的離心率．〖板書〗§2．1．2橢圓的簡單幾何性質(zhì)．

（2）新課講授過程

（i）通過復習和預習，知道對橢圓的標準方程的討論來研究橢圓的幾何性質(zhì)． 提問：研究曲線的幾何特征有什么意義？從哪些方面來研究？

通過對曲線的范圍、對稱性及特殊點的討論，可以從整體上把握曲線的形狀、大小和位置．要從范圍、對稱性、頂點及其他特征性質(zhì)來研究曲線的幾何性質(zhì)．（ii）橢圓的簡單幾何性質(zhì)

①范圍：由橢圓的標準方程可得，yb22?1?xa22?0，進一步得：?a?x?a，同理可得：?b?y?b，即橢圓位于直線x??a和y??b所圍成的矩形框圖里；

②對稱性：由以?x代x，以?y代y和?x代x，且以?y代y這三個方面來研究橢圓的標準方程發(fā)生變化沒有，從而得到橢圓是以x軸和y軸為對稱軸，原點為對稱中心； ③頂點：先給出圓錐曲線的頂點的統(tǒng)一定義，即圓錐曲線的對稱軸與圓錐曲線的交點叫做圓錐曲線的頂點．因此橢圓有四個頂點，由于橢圓的對稱軸有長短之分，較長的對稱軸叫做長軸，較短的叫做短軸；

④離心率： 橢圓的焦距與長軸長的比e?，b?當e?1時，c?a，?圓圖形越扁?橢?0ca叫做橢圓的離心率（0?e?1），．

；??當e?0時，c?0，b?a?橢圓越接近于圓（iii）例題講解與引申、擴展

例4 求橢圓16x?25y?400的長軸和短軸的長、離心率、焦點和頂點的坐標． 分析：由橢圓的方程化為標準方程，容易求出a,b,c．引導學生用橢圓的長軸、短軸、離心率、焦點和頂點的定義即可求相關(guān)量．

擴展：已知橢圓mx?5y?5m?m?0?的離心率為

2222

的距離和它到定直線l：x?a2c的距離比是常數(shù)e?ca?a?c?0?，則點M的軌跡方程是橢圓．其中定點F?c,0?是焦點，定直線l：x?a2ca2相應于F的準線；由橢圓的對稱性，另一焦點F???c,0?，相應于F?的準線l?：x??◆ 情感、態(tài)度與價值觀目標

c．

在合作、互動的教學氛圍中，通過師生之間、學生之間的交流、合作、互動實現(xiàn)共同探究，教學相長的教學活動情境，結(jié)合教學內(nèi)容，培養(yǎng)學生科學探索精神、審美觀和科學世界觀，激勵學生創(chuàng)新．必須讓學生認同和掌握：橢圓的簡單幾何性質(zhì)，能由橢圓的標準方程能直接得到橢圓的范圍、對稱性、頂點和離心率；必須讓學生認同與理解：已知幾何圖形建立直角坐標系的兩個原則，①充分利用圖形對稱性，②注意圖形的特殊性和一般性；必須讓學生認同與熟悉：取近似值的兩個原則：①實際問題可以近似計算，也可以不近似計算，②要求近似計算的一定要按要求進行計算，并按精確度要求進行，沒有作說明的按給定的有關(guān)量的有效數(shù)字處理；讓學生參與并掌握利用信息技術(shù)探究點的軌跡問題，培養(yǎng)學生學習數(shù)學的興趣和掌握利用先進教學輔助手段的技能．

◆能力目標

（1）分析與解決問題的能力：通過學生的積極參與和積極探究,培養(yǎng)學生的分析問題和解決問題的能力．

（2）思維能力：會把幾何問題化歸成代數(shù)問題來分析，反過來會把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題來思考；培養(yǎng)學生的會從特殊性問題引申到一般性來研究，培養(yǎng)學生的辯證思維能力．（3）實踐能力：培養(yǎng)學生實際動手能力，綜合利用已有的知識能力．

（4）創(chuàng)新意識能力：培養(yǎng)學生思考問題、并能探究發(fā)現(xiàn)一些問題的能力，探究解決問題的一般的思想、方法和途徑． 練習：

作業(yè)：

第二篇：高中數(shù)學 2.1.2《橢圓的幾何性質(zhì)》教案 湘教版選修1-1

第五課時 橢圓的簡單幾何性質(zhì)

教學目標

1、掌握橢圓的幾何性質(zhì)，掌握用坐標法研究直線與橢圓的位置關(guān)系

2、熟練地求弦長、面積、對稱等問題

3、培養(yǎng)對數(shù)學的理解能力及分析問題、解決問題的能力

教學過程

1、復習回顧

橢圓的定義、幾何性質(zhì)

判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法

2、探索研究

直線與橢圓的位置關(guān)系：坐標法(圍繞直線與橢圓的公共點展開的)，將直線方程與橢圓方程組成方程組，消元后得到一個一元二次方程，當Δ＝0時，直線與橢圓相切；當Δ＞0時，直線與橢圓相交；當Δ＜0時，直線與橢圓相離。

3、反思應用

例1 當m為何值時，直線l：y＝x＋m與橢圓9x2＋16y2＝144相切、相交、相離？ 分析：將直線方程y＝x＋m代入橢圓9x＋16y＝144中，得9x＋16(x＋m)＝144，整理，得25x2＋32mx＋16m2－144＝0，∵Δ＝(32m)2―4·25(16m2―144)＝－576m2＋14400 當Δ＝0即m＝±5時，直線與橢圓相切； 當Δ＞0即－5＜m＜5時，直線與橢圓相交；

當Δ＜0即m＜－5或m＞5時，直線與橢圓相離。

例2 已知斜率為1的直線l經(jīng)過橢圓x＋4y＝4的右焦點交橢圓于A、B兩點，求弦長|AB|。分析：設A(x1,y1),B(x2,y2)，由橢圓方程知：a=4,b=1,∴c=3,∴右焦點F(3,0), ∴直線l的方程為y?x?8353，代入橢圓得5x?83x?8?0

222

2?x1?x2?,x1x2?85,?|AB|?2|x2?x1|?2(x1?x2)?8x1x2?285

小結(jié)：弦長公式|AB|?1?k2|x2?x1|

例3 過橢圓x2/16＋y2/4＝1內(nèi)一點M(2,1)引一條弦AB，使AB被點M平分，求弦AB所在直線的方程。

解一：當弦AB的斜率不存在時，弦AB的方程為x=2，不合題意舍去

設弦AB所在直線的方程為：y－1＝k(x－2)，代入橢圓方程并整理得

(4k2＋1)x2―8(2k2―k)x＋4(k2―1)2―16＝0，又設A(x1,y1),B(x2,y2)，則x1、x2為方程的兩個根，于是x1?x2?4(2k4k22?k)?1，又M為AB的中點，?x1?x22?2(2k4k22?k)?1?2，解之得k＝－1/2，故所求弦AB的方程是x＋2y－4＝0 解二：設A(x1,y1),B(x2,y2)，∵M(2,1)為AB的中點，∴x1＋x2＝4,y1＋y2＝2 又∵A、B兩點在橢圓上，∴x12＋4y12＝16，x,22＋4y22＝16，兩式相減得x12－x22＋4(y12－y22)＝0，

2?83kt?x1?x2??2?1?4k ??22212kt?4t?x1x2?2?1?4k?∵OP⊥OQ，∴x1x2＋y1y2＝0，即x1x2?k(x1?整理得：(1?k2)x1x2??(1?k)(12kt?4t)1?4k222223t)?k(x2?223t)?0

3kt(x1?x2)?3kt2?0

?24kt1?4k422?3kt22?0，整理得k＝4/11，2?323tx?x???12?27此時?

24t?x1x2??9?∵|PQ|＝20/9，?1?k411323t272|x2?x1|?2209

即(1?)[(?)?216t9]?209,?t?1

所以所求橢圓方程為x2/4＋y2＝1

4、歸納總結(jié)

數(shù)學思想：數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程

知識點：直線與橢圓的位置關(guān)系、弦長公式、中點弦問題、對稱問題 作業(yè)：

1、直線l與橢圓方程為4x2＋9y2＝36交于A、B兩點，并且AB的中點M(1,1)，求直線l的方程。

2、求焦點F(0,52)，截直線l：y＝2x－1所得弦中點的橫坐標為2/7的橢圓的標準方程。答案：4x＋9y－13＝0； x2/75＋y2/25＝1

第三篇：【數(shù)學】2.1.2《橢圓的簡單幾何性質(zhì)(二)》教案(新人教A.

2.1.2 橢圓的簡單幾何性質(zhì)(二

教學目標: 橢圓的范圍、對稱性、對稱中心、離心率及頂點(截距.重點難點分析

教學重點:橢圓的簡單幾何性質(zhì).教學難點:橢圓的簡單幾何性質(zhì).教學設計: 【復習引入】

1.橢圓81922=+y x 的長軸長為 18 ,短軸長為 6 ,半焦距為 26 ,離心率為 3 2 2 ,焦點坐標為26,0(± ,頂點坐標為9,0(±,0,3(±.【講授新課】

例1 如圖,設M(x ,y 與定點F(4,0的距離和它到直線l :425=x 的距離的比是常數(shù) 5 4 , 求點M 的軌跡方程.練習1 1.求下列橢圓焦點坐標和準線方程:

16421 16 251222 2=+=+y x y x((2.橢圓 116 252 2=+y x 上的點M 到左準線的距離是5,求M 到右焦點的距離..15 25.32 2的連線互相垂直,使這點與橢圓兩焦點上求一點在橢圓P y x =+

例2.1,(22 2200=+b y a x y x P 是橢圓設.0(1為其左焦點上任意一點,F b a >>求|PF 1| 的最小值和最大值.練習2 1.點P 與定點F(2,0的距離與它到定直線x=8的距離之比為1:2,求點P 的軌跡方程.2.點P 與定點F(2,0的距離與它到定直線x=2的距離之比為1:2,求點P 的軌跡方程.例3 如圖,一種電影放映燈的反射鏡面是旋轉(zhuǎn)橢圓面的一部分.過對稱的截口BAC 是橢圓的一部分,燈絲位于橢圓的一個焦點F 1上,片門位于另一個焦點F 2上,由橢圓一個焦點F 1發(fā)出的光線,經(jīng)過旋轉(zhuǎn)橢圓面反射后集中到另一個焦點F 2.已知,21F F BC ⊥

cm F F cm B F 5.4||8.2||211==,.建立適當?shù)淖鴺讼?求截口BAC 所在橢圓的方程.例4如圖所示,我國發(fā)射的第一顆人造地球衛(wèi)星運行軌道是以地心(地球的中心F 2為一個焦點的橢圓,已知它的近地點A(離地面最近的點距地面439km ,遠地點B(離地面最遠的點距地面2384km ,并且F

2、A、B 在同一直線上,地球半徑約為6371km ,求衛(wèi)星運行的軌道方程(精確到1km.例5 求適合下列條件的橢圓的離心率.(1 從短軸端點看兩個焦點,所成視角為直角;

(2 兩個焦點間的距離等于長軸的端點與短軸的端點間的距離.練習3 1.已知橢圓mx 2+5y 2=5m 的離心率.5 10

m e ,求= ,求其標準方程。且,橢圓經(jīng)過點(2 3 324.2= e 思考 F

1、F 2 為橢圓的兩個焦點,過F 2的直線交橢圓于P、Q 兩點,PF 1⊥PQ ,且|PF 1|=|PQ |,求橢圓的離心率.【課后作業(yè)】

《習案》學案十一,習案十二1、2.備講題 例6 已知點M 為橢圓 116 252 2=+y x 的上任意一點,F

1、F 2分別為左右焦點;A 點坐標為(1,2 ,求||3 5 ||1MF MA + 的最小值.變式1:求||5||31MF MA +的最小值;變式2:求||||5 3 1MF MA +的最小值;

第四篇：高中數(shù)學 2.1橢圓的簡單幾何性質(zhì)教案 文 新人教版選修1-1

課題：橢圓的簡單幾何性質(zhì)

課時：09 課型：新授課 教學目標：

(1)通過對橢圓標準方程的討論,理解并掌握橢圓的幾何性質(zhì);(2)能夠根據(jù)橢圓的標準方程求焦點、頂點坐標、離心率并能根據(jù)其性質(zhì)畫圖;(3)培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力,并為學習其它圓錐曲線作方法上的準備.教學重點:橢圓的幾何性質(zhì).通過幾何性質(zhì)求橢圓方程并畫圖 教學難點:橢圓離心率的概念的理解.教學方法：啟發(fā)式教學 教學準備：多媒體教室

一、復習：

1.橢圓的定義，橢圓的焦點坐標，焦距.2.橢圓的標準方程.二、講授新課：

（一）探索橢圓的幾何性質(zhì)

通過提出問題、分析問題、解決問題激發(fā)學生的學習興趣,在掌握新知識的同時培養(yǎng)能力.[在解析幾何里，是利用曲線的方程來研究曲線的幾何性質(zhì)的，我們現(xiàn)在利用焦點在x軸上的橢圓的標準方程來研究其幾何性質(zhì).]

x2y2已知橢圓的標準方程為：2?2?1(a?b?0)

ab1.范圍

[我們要研究橢圓在直角坐標系中的范圍，就是研究橢圓在哪個區(qū)域里，只要討論方程中x，y的范圍就知道了.] 問題1 方程中x、y的取值范圍是什么? 由橢圓的標準方程可知，橢圓上點的坐標(x,y)都適合不等式

y2x2≤1, 2≤1 2ab2222 即 x≤a, y≤b所以 |x|≤a，|y|≤b 即 －a≤x≤a, －b≤y≤b 這說明橢圓位于直線x＝±a, y＝±b所圍成的矩形里。2.對稱性

復習關(guān)于x軸，y軸，原點對稱的點的坐標之間的關(guān)系：

點（x,y）關(guān)于x軸對稱的點的坐標為(x,－y)；

點（x,y）關(guān)于y軸對稱的點的坐標為(－x, y)； 點（x,y）關(guān)于原點對稱的點的坐標為(－x,－y)；

問題2 在橢圓的標準方程中①以－y代y②以－x代x③同時以－x代x、以－y代y,你有什么發(fā)現(xiàn)?（1）在曲線的方程里，如果以－y代y方程不變，那么當點P(x,y)在曲線上時，它關(guān)于x的軸對稱點P’(x,－y)也在曲線上，所以曲線關(guān)于x軸對稱。

（2）如果以－x代x方程方程不變，那么說明曲線的對稱性怎樣呢？[曲線關(guān)于y軸對稱。]（3）如果同時以－x代x、以－y代y，方程不變，這時曲線又關(guān)于什么對稱呢？[曲線關(guān)于原點對稱。] 歸納提問：從上面三種情況看出，橢圓具有怎樣的對稱性？

橢圓關(guān)于x軸，y軸和原點都是對稱的。這時，橢圓的對稱軸是什么？[坐標軸] 橢圓的對稱中心是什么？[原點] 橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心。

3.頂點

[研究曲線的上的某些特殊點的位置，可以確定曲線的位置。要確定曲線在坐標系中的位置，常常需要求出曲線與x軸，y軸的交點坐標.] 問題3 怎樣求曲線與x軸、y軸的交點? 在橢圓的標準方程里，令x=0,得y=±b。這說明了B1(0,－b),B2(0,b)是橢圓與y軸的兩個交點。

令y=0,得x=±a。這說明了A1(－a,0),A2(a,0)是橢圓與x軸的兩個交點。

因為x軸，y軸是橢圓的對稱軸，所以橢圓和它的對稱軸有四個交點，這四個交點叫做橢圓的頂點。

線段A1A2,B1B2分別叫做橢圓的長軸和短軸。

它們的長|A1A2|=2a,|B1B2|=2b(a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長)觀察圖形，由橢圓的對稱性可知，橢圓短軸的端點到兩個焦點的距離相等，且等于長半軸長，即

|B1F1|=|B1F2|=|B2F1|=|B2F2|= a 在Rt△OB2F2中，由勾股定理有

222222 |OF2|=|B2F2|－|OB2|，即c＝a－b

222這就是在前面一節(jié)里，我們令a－c＝b的幾何意義。4.離心率

定義：橢圓的焦距與長軸長的比e＝

c，叫做橢圓的離心率。a 因為a>c>0,所以0

(2)e越接近0時，則c越接近0，從而b越接近于a，這時橢圓就越接近于圓。當且僅當a＝b時，c＝0，這時兩個焦點重合于橢圓的中心，圖形變成圓。當e＝1時，圖形變成了一條線段。[為什么？留給學生課后思考]

（二）例題選講

22例1：求橢圓16x+25y=400的長軸和短軸的長、離心率、焦點和頂點的坐標,并用描點法畫出它的圖形.[根據(jù)剛剛學過的橢圓的幾何性質(zhì)知，橢圓長軸長2a，短軸長2b，該方程中的a＝？b＝？c＝？因為題目給出的橢圓方程不是標準方程，所以必須先把它轉(zhuǎn)化為標準方程，再討論它的幾何性質(zhì)]

x2y2解：把已知方程化為標準方程2?2?1, 這里a＝5，b＝4，所以c＝25?16＝3

54因此，橢圓的長軸和短軸長分別是2a＝10，2b＝8 離心率e＝c3＝ a5兩個焦點分別是F1(－3,0),F2(3,0)，四個頂點分別是A1(－5,0)A1(5,0)A1(0,－4)F1(0,4).[提問：怎樣用描點法畫出橢圓的圖形呢？我們可以根據(jù)橢圓的對稱性，先畫出第一象限內(nèi)的圖形。] 說明：本題在畫圖時，利用了橢圓的對稱性。利用圖形的幾何性質(zhì)，可以簡化畫圖過程，保證圖形的準確性。

[畫圖時要注意它們的對稱性及頂點附近的平滑性]

22練習： 填空：已知橢圓的方程是9x+25y=225,(1)將其化為標準方程是_________________.(2)a=___,b=___,c=___.(3)橢圓位于直線________和________所圍成的________區(qū)域里.橢圓的長軸、短軸長分別是____和____,離心率e＝_____,兩個焦點分別是_______、______,四個頂點分別是______、______、______、_______.例2：求符合下列條件的橢圓的標準方程:(1)經(jīng)過點(-3,0)、(0,-2);(2)長軸的長等于20,離心率等于0.6 例3 ：點M?x,y?與定點F?4,0?的距離和它到直線l:x?425的距離之比是常數(shù)，求點

54M的軌跡.（教師分析——示范書寫）

例4：如圖，一種電影放映燈泡的反射鏡面是旋轉(zhuǎn)橢圓面（橢圓繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面）的一部分。過對稱軸的截口ABC是橢圓的一部分，燈絲位于橢圓的一個焦點F1上，片門位于另一個焦點F2上，由橢圓一個焦點F1發(fā)出的光線，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)橢圓面反射后集中到另一個焦點F2。已知AC?F1F2，|F1A|=2.8cm，|F1F2|=4.5cm,求截口ABC所在橢圓的方程。焦點在x軸、y軸上的橢圓的幾何性質(zhì)對比.三、小結(jié)

(1)理解橢圓的簡單幾何性質(zhì)，給出方程會求橢圓的焦點、頂點和離心率;(2)了解離心率變化對橢圓形狀的影響;(3)通過曲線的方程研究曲線的幾何性質(zhì)并畫圖是解析幾何的基本方法.五、布置作業(yè)

課本習題2.1 的6、7、8題

六、課后思考：

1、橢圓上到焦點和中心距離最大和最小的點在什么地方？

2、點M（x，y）與定點F（c，0）的距離和它到定直線l：x= 的距離的比是常數(shù)（a＞c＞0），求點M軌跡，并判斷曲線的形狀。

3、接本學案例3，問題2，若過焦點F2作直線與AB垂直且與該橢圓相交于M、N兩點，當△F1MN的面積為70時，求該橢圓的方程。

第五篇：2、橢圓的簡單幾何性質(zhì)復習教案

橢圓的簡單幾何性質(zhì)

一、知識歸納：

1、幾何性質(zhì)：

2、橢圓的

三、強化訓練：

1、求下列各橢圓的長軸和短軸的長、離心率、焦點坐標、頂點坐標，并畫出草圖。（1）4x2?y2?16

（2）9x2?y2?4

2、求適合下列條件的橢圓的標準方程：（1）橢圓經(jīng)過兩點P(?22,0),Q(0,5)；（2）長軸是短軸的3倍，橢圓經(jīng)過P(3,0)；（3）離心率等于0.8，焦距是8。

3、若直線4x?3y?12?0過橢圓b2x2?a2y2?a2b2(a?b?0)的一個焦點，離心率e?35，求該橢圓的方程。

225xy4、橢圓，那么P到右焦點的距離??1上有一點P，它到左準線的距離等于

2259是。

5、在橢圓x225為

。?y29?1上有一點P，它到左焦點的距離等于它到右焦點距離的3倍，則P的坐標

6、過橢圓4x2?2y2?1的一個焦點F1的直線與橢圓交于A、B兩點，則A、B與橢圓的另一焦點F2構(gòu)成?ABF2，那么?ABF2的周長是

（）A.2B.2

C.2

D.1

7、若橢圓兩準線間的距離等于焦距的4倍，則這個橢圓的離心率為

A．14（）

xB．222 ?1和

x2C．?y224 D．

8、已知k＜4，則曲線

9?k4?k94A.相同的準線

B.相同的焦點

C.相同的離心率

D.相同的長軸

x2?y2?1有

（）

9、若點P在橢圓2積是

（）?y2?1上，F(xiàn)1、F2分別是橢圓的兩焦點，且?F1PF2?90，則?F1PF2的面

?A.2

B.1

C.22

D.10、方程2(x?1)?(y?1)?|x?y?2|的曲線是（）A.橢圓 B.線段 C.拋物線 D.無法確定

?x?3cos?

11、曲線?（?為參數(shù)）的準線方程是。

y?sin??

12、若實數(shù)x,y滿足

13、橢圓x2x216?y225?1，則y?3x的最大值為。

128?m?2y29?1的離心率是2，則兩準線間的距離是。

14、已知橢圓x?8y?8，在橢圓上求一點P，使P導直線x?y?4?0的距離最小并求出最小值。