第一篇：橢圓的簡單的幾何性質(zhì)教學(xué)設(shè)計[小編推薦]

橢圓的簡單的幾何性質(zhì)教學(xué)設(shè)計

北師大大興附中數(shù)學(xué)組

韓穎 1、指導(dǎo)思想與理論依據(jù)：

以“培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實踐能力”，“倡導(dǎo)自主探索，動手實踐，合作交流，教 育教學(xué)理念”，采用“以學(xué)生為主體，以問題為中心，以活動為基礎(chǔ)，以培養(yǎng)學(xué)生提出問 題分析問題和解決問題能力”的合自主探究、體驗式教學(xué)模式，通過創(chuàng)設(shè)符合學(xué)生認(rèn)知 規(guī)律的問題情景，挖掘?qū)W生內(nèi)在的研究問題的巨大潛能，使學(xué)生在做的過程中學(xué)習(xí)，在 學(xué)的過程中思考，親身體會創(chuàng)造過程，充分展示思維差異，培養(yǎng)學(xué)生的自主探究能力，邏輯推理能力，提高學(xué)生的思維層次，掌握獲取知識的方法和途徑，真正體現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)知識過程中的主體地位。讓教師落實：授人于魚不如授人于漁。讓學(xué)生做到：臨淵羨魚 不如退而結(jié)網(wǎng)。2

、教學(xué)背景分析：

學(xué)習(xí)內(nèi)容分析：

利用已知條件求曲線的方程，利用方程研究曲線的性質(zhì)和畫圖是解析幾何的兩大任務(wù)，利用方程研究橢圓的

第二篇：橢圓幾何性質(zhì)教學(xué)設(shè)計流程圖

篇一：教學(xué)設(shè)計-橢圓的簡單幾何性質(zhì)

《橢圓的簡單幾何性質(zhì)》說教學(xué)設(shè)計

一.教材分析 1.地位和作用

本節(jié)課是普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)（選修2-1）第二章第2節(jié)，橢圓的簡單幾何性質(zhì)。在此之前，學(xué)生已經(jīng)掌握了橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程，這節(jié)課是結(jié)合橢圓圖形發(fā)現(xiàn)幾何性質(zhì),再利用橢圓的方程探討橢圓的幾何性質(zhì),是數(shù)與形的完美結(jié)合，讓學(xué)生在了解如何用曲線的方程研究曲線的性質(zhì)的基礎(chǔ)上，充分認(rèn)識到“由數(shù)到形，由形到數(shù)”的轉(zhuǎn)化，體會了數(shù)與形的辨證統(tǒng)一，也從中體驗了數(shù)學(xué)的對稱美，受到了數(shù)學(xué)文化熏陶，為后繼研究解析幾何中其它曲線的幾何性質(zhì)奠定了重要基礎(chǔ)。2.教材的內(nèi)容安排和處理

考慮到橢圓的性質(zhì)有較多拓展，我將本節(jié)內(nèi)容分為兩課時來完成，本課為第一課時，主要介紹橢圓的簡單幾何性質(zhì)（范圍、對稱性、頂點、離心率）及其初步運用，在解析幾何中，利用曲線的方程討論曲線的幾何性質(zhì)對學(xué)生來說是第一次，因此可根據(jù)學(xué)生實際情況及認(rèn)知特點，改變了教材中原有研究順序，引導(dǎo)學(xué)生先從觀察課前預(yù)習(xí)所作的具體圖形入手，按照通過圖形先發(fā)現(xiàn)性質(zhì)，在利用方程去說明性質(zhì)的研究思路，循序漸近進(jìn)行探究。在教學(xué)中不僅要注重對橢圓幾何性質(zhì)的理解和運用，而且更應(yīng)重視對學(xué)生進(jìn)行這種研究方法的思想滲透，通過教師合理的情境創(chuàng)設(shè)，師生的共同討論研究，學(xué)生的親身實踐體驗，使學(xué)生真正意義上理解在解析幾何中，怎樣用代數(shù)方法研究曲線的性質(zhì)，鞏固數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，達(dá)到切實地用數(shù)學(xué)分析解決問題的能力。3.重點、難點：

教學(xué)重點：知識上，要掌握如何利用橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的結(jié)構(gòu)特征研究橢圓的幾何性質(zhì)；學(xué)生的體驗上，需要關(guān)注學(xué)生在探究橢圓性質(zhì)的過程中思維的過程展現(xiàn)，如思維角度和思維方法。

教學(xué)難點；利用曲線方程研究曲線幾何性質(zhì)的基本方法和離心率定義的給出過程。

二.學(xué)生的學(xué)情心理分析

我的任教班是普班,大多數(shù)學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較為薄弱, 獨立分析問題，解決問題的能力不是很強(qiáng), 但是他們的思維活躍，參與意識強(qiáng)烈,又具備了高一學(xué)習(xí)階段的知識基礎(chǔ)，因此依據(jù)以上特點,在教學(xué) 設(shè)計方面，我打算借助多媒體手段，創(chuàng)設(shè)問題情境，結(jié)合圖形啟發(fā)引導(dǎo)，組織學(xué)生合作探究等形式，都符合我班學(xué)生的認(rèn)知特點，為他們創(chuàng)設(shè)了一個自然和諧的課堂氛圍。

三.教學(xué)目標(biāo)

本著新課程標(biāo)準(zhǔn)的貫徹原則,結(jié)合我的學(xué)生的實際情況，我制定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)如下：

知識與技能：

掌握橢圓的簡單幾何性質(zhì),并能初步運用其探索方法研究問題。

過程與方法：

通過學(xué)生親身的實踐體驗，利用橢圓的方程討論橢圓的幾何性質(zhì)，經(jīng)歷由形到數(shù),由數(shù)到形的

思想跨越，感知用代數(shù)的方法探究幾何性質(zhì)的過程，感受“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微”的數(shù)學(xué)真諦，進(jìn)一步體會“數(shù)形結(jié)合”思想在數(shù)學(xué)中的重要地位。

情感、態(tài)度與價值觀：

在自然和諧的教學(xué)氛圍中，通過師生間的、生生間的平等交流，塑造學(xué)生團(tuán)結(jié)協(xié)作，鉆研探究的品質(zhì)和態(tài)度，培養(yǎng)學(xué)生研究問題的能力；通過對橢圓幾何性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)，學(xué)生得到美的感受，體驗到探究之后的成功與喜悅。四.教學(xué)方法與手段

課堂教學(xué)應(yīng)有利于學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)的形成與發(fā)展，使學(xué)生扎實地學(xué)會學(xué)習(xí)，真正的學(xué)以置用，為此我制定了本節(jié)課的教學(xué)方法和手段如下：

教學(xué)方法：

我采用的教學(xué)方法主要是情境激趣法、引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法、合作探究法等等。

（一）情境激趣法：注重數(shù)學(xué)知識與實際的聯(lián)系，同時也發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識，開闊他們的視野。

（二）引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法：符合教學(xué)原則，充分調(diào)動學(xué)生的主動性與積極性。

（三）合作探究法：1.體驗數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過程，發(fā)展他們的創(chuàng)新意識 2.使學(xué)生體驗到團(tuán)結(jié)協(xié)作的力量以及探索發(fā)現(xiàn)的成就，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律

教學(xué)手段：

新課標(biāo)要求,立體幾何的教學(xué)要直觀感知,操作確認(rèn)。對于本節(jié)內(nèi)容,我也采用了這樣的思路。

本節(jié)借助多媒體輔助手段及實物投影，創(chuàng)設(shè)問題情境，并通過圖形引導(dǎo)學(xué)生形象直觀地體驗由數(shù)到形的過渡，便于學(xué)生觀察、認(rèn)知、探求、發(fā)現(xiàn)、歸納。

五.學(xué)法指導(dǎo)

根據(jù)本節(jié)課的教學(xué)難點，教師應(yīng)注意指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行研究式學(xué)習(xí)和體驗式學(xué)習(xí)（興趣是前提）。例如導(dǎo)入，通過“神六”號這樣一個人們關(guān)注的話題引入，有利于激發(fā)學(xué)生的興趣。再如，這節(jié)課是學(xué)生第一次利用曲線方程研究曲線性質(zhì)，為了解決這一難點，在課前設(shè)計中改變了教材中原有研究順序，讓學(xué)生從觀察一個具體橢圓圖形入手，從觀察到對稱性這一宏觀特征開始研究，符合學(xué)生的認(rèn)知特點，調(diào)動了學(xué)生主動參與教學(xué)的積極性，使他們進(jìn)行自主探究與合作交流，親身體驗幾何性質(zhì)的形成與論證過程，變靜態(tài)數(shù)學(xué)為動態(tài)數(shù)學(xué)。

教學(xué)中也突出多媒體輔助知識產(chǎn)生、發(fā)展和突破重、難點的優(yōu)勢，從而強(qiáng)化學(xué)生對知識的過程與方法的掌握，有利于學(xué)生對知識的理解和應(yīng)用。

六.教學(xué)過程

這是本節(jié)課教學(xué)過程的流程圖,我將本節(jié)課的教學(xué)過程設(shè)計為五大環(huán)節(jié),特點是以知識與技能為載體，過程與方法為主線，情感、態(tài)度與價值觀為目標(biāo)的設(shè)計原則，突出多媒體這一教學(xué)手段在本節(jié)課輔助知識產(chǎn)生，發(fā)展和突破重難點的優(yōu)勢。

篇二：橢圓的簡單幾何性質(zhì)教學(xué)設(shè)計

《橢圓的簡單幾何性質(zhì)》教學(xué)設(shè)計

哈工大附中 閆曉麗

教材： 人民教育出版社a版選修1—1 【教學(xué)目標(biāo)】 1.知識目標(biāo)：

(1).使學(xué)生掌握橢圓的性質(zhì)，能根據(jù)性質(zhì)正確地作出橢圓草圖；掌握橢圓中 a、b、c的幾何意義及相互關(guān)系；

(2)通過對橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的討論，使學(xué)生知道在解析幾何中是怎樣用代數(shù)方法研究曲線性質(zhì)的，逐步領(lǐng)會解析法（坐標(biāo)法）的思想。(3)能利用橢圓的性質(zhì)解決實際問題。2.能力目標(biāo)：

培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、抽象、概括的邏輯思維能力和運用數(shù)形結(jié)合思想解決 實際問題的能力。

3.德育目標(biāo)：(1)通過對問題的探究活動，親歷知識的建構(gòu)過程，使學(xué)生領(lǐng)悟其中所蘊(yùn)涵 的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，體驗探索中的成功和快樂，使學(xué)生在探索中喜歡數(shù)學(xué)、欣賞數(shù)學(xué)。(2)通過“神舟7號”飛天圓夢，激發(fā)學(xué)生愛國之情。

(3)培養(yǎng)學(xué)生既能獨立思考，又能積極與他人合作交流的意識和勇于探索創(chuàng)新的精神。

【教學(xué)重點】橢圓性質(zhì)的探索過程及性質(zhì)的運用。

【教學(xué)難點】利用曲線方程研究橢圓性質(zhì)的方法及離心率的概念。

【教學(xué)方法】發(fā)現(xiàn)探究式

【教學(xué)組織方式】學(xué)生獨立思考、合作交流、師生共同探究相結(jié)合。

【教學(xué)工具】多媒體課件、實物投影儀。

【教學(xué)過程】

一．創(chuàng)設(shè)情境

教師：請同學(xué)們看大屏幕（課件展示“神舟 七號”飛船在變軌前繞地球運 行的模擬圖）： 2008.9.25，是我國航天史上一個非常重要的日子，“神舟 七號”載人飛船成功發(fā)射，實現(xiàn)了幾代中國人遨游太空的夢想,這是我們中華民族的驕傲。我們知道，飛船繞地運行了十四圈，在變軌前的四圈中，是沿著以地球中 心為一個焦點的橢圓軌道運行的。如果告訴你飛船飛離地球表面最近和最遠(yuǎn)的距 離，即近地點距地面的距離和遠(yuǎn)地點距地面的距離，如何確定飛船運行的軌道方 程？要想解決這一實際問題，就有必要對橢圓做深入的研究，這節(jié)課我們就一起 探求橢圓的性質(zhì)。（引出課題）

教師：前面我們學(xué)習(xí)了橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，誰能說說橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（學(xué)生回答）。

二．探索研究 1.范圍

教師：同學(xué)們繼續(xù)觀察橢圓，如果分別過a1、a2作y軸的平行線，過b1、b2作x軸的平行線（課件展示），同學(xué)們能發(fā)現(xiàn)什么？

學(xué)生能答出：橢圓圍在一個矩形內(nèi)。

教師補(bǔ)充完整：橢圓位于四條直線x=±a, y=±b所圍成的矩形里，說明橢圓 是有范圍的。x2y2 教師：下面我們想辦法再用方程2+2=1(a>b>0)來證明這一結(jié)論的正確ab 性。啟發(fā)學(xué)生，用方程討論圖形的范圍就是確定方程中x、y的取值范圍。

從方程的結(jié)構(gòu)特點出發(fā)，師生共同分析，給出證明過程。x2y2 由2+2=1，利用兩個實數(shù)的平方和為1，結(jié)合不等式知識得，ab x2≤a2且y2≤b2,則有｜x｜≤a,｜y｜≤b, 所以-a≤x≤a,-b≤y≤b。2．對稱性的發(fā)現(xiàn)與證明

教師：橢圓的圖形給人們以視覺上的美感（課件展示橢圓），如果我們沿焦 點所在的直線上下對折，沿兩焦點連線的垂直平分線左右對折，大家猜想橢圓可能有什么性質(zhì)？（學(xué)生動手折紙，課前教師要求學(xué)生把上節(jié)學(xué)習(xí)橢圓定義時畫的橢圓拿來。）

學(xué)生們基本上能發(fā)現(xiàn)橢圓的軸對稱性。

教師：除了軸對稱性外，還可能有什么對稱性呢？

稍作提示容易發(fā)現(xiàn)中心對稱性。

教師：這僅僅是由觀察、猜想得到的結(jié)果，怎樣用方程證明它的對稱性？ 師生討論后，需要建立坐標(biāo)系，確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。不妨建立焦點在xx2y2 軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系，它的方程就是2+2=1。ab 教師：這節(jié)課就以焦點在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為例來研究橢圓的性質(zhì)。教師：這樣建立的坐標(biāo)系對稱軸恰好重合于坐標(biāo)軸，我們先證橢圓關(guān)于y軸對稱。

為了證明對稱性，先作如下鋪墊：（一起回顧）教師：在第一冊學(xué)過，曲線關(guān)于y軸對稱是指什么呢？

學(xué)生：曲線上的每一點關(guān)于y軸的對稱點仍在曲線上。

教師：要證曲線上每一點關(guān)于y軸的對稱點仍在曲線上，只要證明-----學(xué)生：曲線上任意一點關(guān)于y軸的對稱點仍在曲線上。

在學(xué)生嘗試進(jìn)行問題解決的過程中，當(dāng)他們難以把握問題解決的思維方向，難以建立起新舊知識的聯(lián)系時，這就需要教師適時進(jìn)行啟發(fā)點撥。

教師：同學(xué)們閱讀教材中橢圓對稱性的證明過程，仔細(xì)體會并思考“為什么把x換成-x時，方程不變，則橢圓關(guān)于y軸對稱”。

請一位學(xué)生講解橢圓對稱性的證明過程，以此來訓(xùn)練學(xué)生表述的邏輯性、完整性和推理的嚴(yán)謹(jǐn)性。

教師對學(xué)生的證明進(jìn)行評價。

教師：用類似的方法可以證明橢圓關(guān)于x軸對稱,關(guān)于原點對稱。課件展示x2y2 對稱性并總結(jié)：方程2+2=1表示的橢圓，坐標(biāo)軸是其對稱軸，原點是其對稱ab 中心.從而橢圓有兩條互相垂直的對稱軸,有一個對稱中心(簡稱中心).教師引導(dǎo)學(xué)生對這一環(huán)節(jié)進(jìn)行反思，即通過建立坐標(biāo)系，用橢圓的方程研究橢圓的性質(zhì)，這種方法我們今后經(jīng)常用到。

投影顯示下圖及問題

問題：圖中的橢圓有對稱軸和中心嗎？

指導(dǎo)學(xué)生思考討論后獲取共識：坐標(biāo)系是用來研究曲線的重要工具，而橢圓的對稱性是橢圓本身固有的性質(zhì)，無論橢圓在坐標(biāo)系的什么位置，它都有兩條互相垂直的對稱軸，有一個中心，與坐標(biāo)系的選取無關(guān)。（此問題也為后面研究平移變換埋下伏筆）。3.頂點的發(fā)現(xiàn)與確定

教師：我們研究曲線，常常需要根據(jù)曲線上特殊點的位置來確定曲線的位置。教師提問：你認(rèn)為橢圓上哪幾個點比較特殊？

由學(xué)生觀察容易發(fā)現(xiàn)，橢圓上存在著四個特殊點，這四個點就是橢圓與坐標(biāo) 軸的交點，同時也是橢圓與它的對稱軸的交點。

教師啟發(fā)學(xué)生與一元二次函數(shù)的圖像（拋物線）的頂點作類比，并給出橢圓的頂點定義。

教師：能根據(jù)方程確定這四個頂點的坐標(biāo)嗎？

由學(xué)生自主探究,求出四個頂點坐標(biāo)。即令x=0,得 y=±b，因此b1(0,-b), b2(0,b)，令y=0，得x=±a，因此a1(-a,0), a2(a,0)。

結(jié)合圖形指出長軸、短軸、長軸長、短軸長、長半軸長、短半軸長，半焦距，點明方程中a、b和c的幾何意義和數(shù)量關(guān)系。

由學(xué)生探究得出橢圓的一個焦點f2到長軸兩端點a1 , a2的距離分別為a+c 和a-c。教師指出，這在解決天體運行中的有關(guān)實際問題時經(jīng)常用到。4．離心率

教師：我們在學(xué)習(xí)橢圓定義時，用同樣長的一條細(xì)繩畫出的橢圓形狀一樣 嗎？

同學(xué)們能回答出：不一樣，有的圓一些，有的扁一些。

請同學(xué)們思考：橢圓的圓扁程度究竟與哪些量有關(guān)呢？

課件動畫演示

此時學(xué)生展開討論，可能有的說與a、c有關(guān)，也可能說與a、b有關(guān)等等。通過觀察演示實驗，化抽象為具體，引導(dǎo)學(xué)生思考。

教師引導(dǎo)學(xué)生從演示實驗觀察到由于橢圓位于直線x=±a,y=±b圍成的矩形 里，矩形的變化對橢圓形狀的影響。

矩形越狹長，橢圓越扁；矩形越接近于正方形，橢圓越接近于圓；當(dāng)矩形變?yōu)檎叫螘r，即a=b時,橢圓變?yōu)閳A。

即當(dāng)比值bb越小，橢圓越扁；比值越大，橢圓越接近于圓。aa bcbc2a2?c2a2?c2 由于 ===，所以當(dāng)越大時，越小，橢圓?()aaaaaa2 cbc越小時，越大，橢圓越接近于圓。把比值e=叫橢圓的離心率，aaa 分析出離心率的范圍：0＜e＜1。

結(jié)論：橢圓在-a＜x＜a，-b＜x＜b內(nèi)，離心率e越大，它就越扁；離心率e越接近于0，它就越接近于圓。所以說離心率是描述橢圓圓扁程度的量。

bc由上面的分析可以看到，比值、的大小都能反映橢圓的圓扁程度，為什aa c么定義是橢圓的離心率呢？因為a、c這兩個量是橢圓定義中固有的，是決定a c橢圓形狀最關(guān)鍵的要素，隨著今后的學(xué)習(xí)可以看到還有更重要的幾何意義。a 三．鞏固與創(chuàng)新應(yīng)用 越扁；當(dāng)

例1求橢圓 16x2?25y2?400 的長軸長、短軸長、離心率和頂點，并畫出它的草圖。

本題采用講練結(jié)合的方式。前一部分由學(xué)生口述求解過程，后一部分由教師 介紹畫橢圓草圖的方法（考慮到畫草圖對學(xué)生來說比較實用）。

解：由于a=5, b=4，c=25?16=3 橢圓的長軸長2a=10，短軸長2b=8 c3 離心率e== a5 因為焦點在x軸上，所以橢圓的四個頂點的坐標(biāo)是(-5,0)、(5,0)、(0,-4)、(0,4)教師：根據(jù)橢圓的性質(zhì)，可以快捷地畫出反映橢圓基本形狀和大小的草圖，方法如下：（課件展示）

首先確定橢圓的四個頂點，其次畫出表示范圍的矩形框，然后畫出橢圓在第一象限的部分，最后根據(jù)對稱性用平滑的曲線將四個頂點連成一個橢圓的基本圖形。

教師提醒學(xué)生：畫圖時注意橢圓的對稱性和頂點附近的平滑性。

學(xué)生根據(jù)畫草圖的方法畫出上述方程表示的橢圓。

教師說明，如果需要比較準(zhǔn)確地畫出橢圓，可以按教材例1那樣，用描點法 畫出橢圓在第一象限的部分，再根據(jù)對稱性畫出整個橢圓（要求學(xué)生課下閱讀教材中的描點法作圖）。x2y2 練習(xí)：如果把例1中的橢圓方程改為+=1，則長軸長、短軸長、離心1625 率和頂點有什么變化。

此處是一個創(chuàng)新點，培養(yǎng)學(xué)生用類比的思想解決問題的能力，也通過與上題

做比較，使學(xué)生體會到橢圓的性質(zhì)是其本身固有的，是客觀存在的，與坐標(biāo)系的選取無關(guān)。

學(xué)生的回答可能會因為長軸位置發(fā)生變化而導(dǎo)致頂點坐標(biāo)出錯，教師要予以糾正。（此題用實物投影展示或由學(xué)生到黑板板書）

例2 我國發(fā)射的“神舟七號”飛船在變軌前是沿以地球的中心f2為一個焦 點的橢圓軌道運行的。已知它的近地點a（離地面最近的點）距地面約為200km,遠(yuǎn)地點b（離地面最遠(yuǎn)的點）距地面約為350km，地球半徑為6371km并且f2、a、b在同一直線上，求飛船運行的軌道方程。（結(jié)果精確到0.01km）

設(shè)置本題的主要意圖是:第一,為增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力；第二，為滿足中等及中等以上層次學(xué)生的學(xué)習(xí)需求。

師生共同分析：先把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。（求神舟五號飛船的軌道方程，就是求橢圓的方程）。

教師：求橢圓的方程又需要先做什么呢？（建立坐標(biāo)系）。怎樣建系？（以過a、b的直線為x軸，f2為橢圓的右焦點，記f1為左焦點x2y2 建立如圖所示的直角坐標(biāo)系（課件上作圖、建系）則它的標(biāo)準(zhǔn)方程為2+2=1 ab(a>b>0)。

下面確定a、b的值，題中提供的信息是近地點、遠(yuǎn)地點到地面的距離以及地球的半徑，由這些條件我們可以知道些什么呢？

學(xué)生對照圖形認(rèn)真思考，相互討論由學(xué)生得出解法。

｜f2 a｜=6371+200，｜f2 b｜=6371+350 又∵｜f2 a｜=｜o a｜-｜of2｜=a-c 因此,有 a-c=｜o a｜-｜of2｜=｜f2 a｜=6371+200=6571 同理,得 a+c=｜o b｜+｜of2｜=｜f2b｜=6371+350=6721 解得 a=6646，c=75 b2=a2-c2=(a+c)(a-c)=44163691≈6645.582 x2y2 因此，飛船的軌道方程為+=1 664626645.582 學(xué)生可能出現(xiàn)的另一種解法：

由2a =｜ab｜=｜bn｜+｜nm｜+｜ma｜ =350+2×6371+200 ∴ a =6646 c =｜of2｜=｜o a｜-｜f2 a｜ =6646-6371-200=75 以下做法同上。

計算過程由學(xué)生用計算器求得。

教師最后課件展示：用計算機(jī)畫出飛船運行的軌跡。

四．總結(jié)提煉

教師：通過這節(jié)課學(xué)習(xí)，你學(xué)到了什么？（教師引導(dǎo)學(xué)生從知識和方法兩方面進(jìn)行歸納總結(jié)，培養(yǎng)學(xué)生反思自己學(xué)習(xí)過程的意識）

篇三：橢圓的簡單幾何性質(zhì)教案

課題：橢圓的簡單幾何性質(zhì)

設(shè)計意圖：本節(jié)內(nèi)容是橢圓的簡單幾何性質(zhì)，是在學(xué)習(xí)了橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程之后展開的，它是繼續(xù)學(xué)習(xí)雙曲線、拋物線的幾何性質(zhì)的基礎(chǔ)。因此本節(jié)內(nèi)容起到一個鞏固舊知，熟練方法，拓展新知的承上啟下的作用，是發(fā)展學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力，培養(yǎng)創(chuàng)新能力的好素材。本教案的設(shè)計遵循啟發(fā)式的教學(xué)原則，以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的思想方法，培養(yǎng)學(xué)生觀察、實驗、探究、驗證與交流等數(shù)學(xué)活動能力。

教學(xué)目標(biāo)：了解用方程的方法研究圖形的對稱性；理解橢圓的范圍、對稱性及對稱軸，對稱中心、離心率、頂點的概念；掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、會用橢圓的定義解決實際問題；通過例題了解橢圓的第二定義，準(zhǔn)線及焦半徑的概念，利用信息技術(shù)初步了解橢圓的第二定義． 培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的思想方法。

教學(xué)重點：橢圓的簡單幾何性質(zhì)的應(yīng)用。

教學(xué)難點：橢圓的簡單幾何性質(zhì)的應(yīng)用。

二過程與方法目標(biāo)

（1）復(fù)習(xí)與引入過程

引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)由函數(shù)的解析式研究函數(shù)的性質(zhì)或其圖像的特點，在本節(jié)中不僅要注意通過對橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的討論，研究橢圓的幾何性質(zhì)的理解和應(yīng)用，而且還注意對這種研究方法的培養(yǎng)．①由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和非負(fù)實數(shù)的概念能得到橢圓的范圍；②由方程的性質(zhì)得到橢圓的對稱性；③先定義圓錐曲線頂點的概念，容易得出橢圓的頂點的坐標(biāo)及長軸、短軸的概念；④通過p48的思考問題，探究橢圓的扁平程度量橢圓的離心率．

〖板書〗橢圓的簡單幾何性質(zhì)．

（2）新課講授過程

（i）通過復(fù)習(xí)和預(yù)習(xí)，知道對橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的討論來研究橢圓的幾何性質(zhì)． 提問：研究曲線的幾何特征有什么意義？從哪些方面來研究？

通過對曲線的范圍、對稱性及特殊點的討論，可以從整體上把握曲線的形狀、大小和位置．要從范圍、對稱性、頂點及其他特征性質(zhì)來研究曲線的幾何性質(zhì)．

（ii）橢圓的簡單幾何性質(zhì) y2x2 ①范圍：由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得，2?1?2?0，進(jìn)一步得：?a?x?a，同理可ba 得：?b?y?b，即橢圓位于直線x??a和y??b所圍成的矩形框圖里；

②對稱性：由以?x代x，以?y代y和?x代x，且以?y代y這三個方面來研究橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程發(fā)生變化沒有，從而得到橢圓是以x軸和y軸為對稱軸，原點為對稱中心；

③頂點：先給出圓錐曲線的頂點的統(tǒng)一定義，即圓錐曲線的對稱軸與圓錐曲線的交點叫做圓錐曲線的頂點．因此橢圓有四個頂點，由于橢圓的對稱軸有長短之分，較長的對稱軸叫做長軸，較短的叫做短軸；

④離心率： 橢圓的焦距與長軸長的比e?c叫做橢圓的離心率（0?e?1），a，b?當(dāng)e?1時，c?a，?圓圖形越扁?橢?0?當(dāng)e?0時，c?0，b?a；? ． ?橢圓越接近于 圓

（iii）例題講解與引申、擴(kuò)展

例1 求橢圓16x?25y?400的長軸和短軸的長、離心率、焦點和頂點的坐標(biāo)． 分析：由橢圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，容易求出a,b,c．引導(dǎo)學(xué)生

用橢圓的長軸、短軸、離心率、焦點和頂點的定義即可求相關(guān)量．

擴(kuò)展：已知橢圓mx?5y?5m?m? 0?的離心率為e?22225 求m的值．

解法剖析：依題意，m?0,m?5，但橢圓的焦點位置沒有確定，應(yīng)分類討論：①當(dāng)焦點在x軸上，即0?m? 5時，有a?b?c?，∴?，得

m?3；②當(dāng)焦點在y軸上，即m?5時，有a?b?c?，∴?25?m?． 3 例2 如圖，一種電影放映燈的反射鏡面是旋轉(zhuǎn)橢圓面的一部分．過對對稱的截口bac是橢圓的一部分，燈絲位于橢圓的一個焦點f1上，片門位于另一個焦點f2上，由橢圓一個焦點f1發(fā)出的光線，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)橢圓面反射后集中到另一個焦點f2．已知bc?f1f2，f1b?2.8cm，f1f2?4.5cm．建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求截口bac所在橢圓的方程． x2y2 解法剖析：建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為2?2?1，算出a,b,c的ab 值；此題應(yīng)注意兩點：①注意建立直角坐標(biāo)系的兩個原則；②關(guān)于a,b,c的近似值，原則上在沒有注意精確度時，看題中其他量給定的有效數(shù)字來決定．

引申：如圖所示，“神舟”截人飛船發(fā)射升空，進(jìn)入預(yù)定

軌道開始巡天飛行，其軌道是以地球的中心f2為一個焦點的橢 圓，近地點a距地面200km，遠(yuǎn)地點b距地面350km，已知

地球的半徑r?6371km．建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求出橢圓的軌跡方程．

例3如圖，設(shè)m?x,y?與定點f?4,0?的距離和它到直線l：x?25的距離的比是常數(shù)4 4，求點m的軌跡方程． 5 分析：若設(shè)點m?x,y?，則

mf?，到直線l：x?25的距離4d?x?25，則容易得點m的軌跡方程． 4 引申：（用《幾何畫板》探究）若點m?x,y?與定點f?c,0? a2 的距離和它到定直線l：x?的距離比是常數(shù)c a2cx?則點m的軌跡方程是橢圓．其中定點f?c,0?是焦點，定直線l：e??a?c?0?，ca a2 x??．相應(yīng)于f的準(zhǔn)線；由橢圓的對稱性，另一焦點f???c,0?，相應(yīng)于f?的準(zhǔn)線l?：(3)c 小結(jié)

1．知識總結(jié)：橢圓的幾何性質(zhì) 2．思想方法總結(jié)：

教師根據(jù)學(xué)生的總結(jié)做適當(dāng)補(bǔ)充、歸納、點評。

第三篇：橢圓的簡單幾何性質(zhì)教學(xué)設(shè)計

<<橢圓的幾何性質(zhì)>>教學(xué)設(shè)計

山西省運城中學(xué)

趙彥明

一、教學(xué)分析：

（一）教學(xué)內(nèi)容分析

橢圓是生活中常見的曲線，是學(xué)生學(xué)習(xí)第二章所接觸到的第一個重要的圓錐曲線，研究它的幾何性質(zhì)，對于后續(xù)學(xué)習(xí)圓錐曲線有著重要的指導(dǎo)作用，也為研究雙曲線和拋物線奠定了基礎(chǔ)。

（二）教學(xué)對象分析

本節(jié)課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程的基礎(chǔ)上，根據(jù)方程研究曲線的性質(zhì)。按照學(xué)生的認(rèn)知特點，改變了教材中原有安排順序，引導(dǎo)學(xué)生從觀察課前預(yù)習(xí)所作的圖形入手，從分析對稱開始，循序漸進(jìn)進(jìn)行探究。

（三）教學(xué)環(huán)境分析

因為本節(jié)內(nèi)容比較抽象，再者學(xué)校條件的有限所以利用電腦模擬動點運動,增強(qiáng)直觀性,激勵學(xué)生的學(xué)習(xí)動機(jī),培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、數(shù)學(xué)想像能力和抽象思維能力。

二、教學(xué)目標(biāo)

（一）知識與技能

掌握橢圓的簡單的幾何性質(zhì)，學(xué)會由已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求橢圓的幾何性質(zhì)的一般方法與步驟。

（二）過程與方法

通過實際活動培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、觀察、歸納的能力；培養(yǎng)分析、抽象、概括的能力，加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)；經(jīng)歷幾何問題代數(shù)化的過程，感受解析幾何研究問題的思路和方法。

（三）情感與態(tài)度

通過有關(guān)橢圓幾何性質(zhì)的實際應(yīng)用的介紹，激發(fā)學(xué)生研究橢圓的幾何性質(zhì)的積極性。

三、教學(xué)重難點及教具

（一）教學(xué)重點：由標(biāo)準(zhǔn)方程分析出橢圓的幾何性質(zhì)

（二）教學(xué)難點：橢圓離心率幾何意義的理解

（三）教學(xué)用具：電腦，課件（媒體資料），投影儀，幻燈片，學(xué)生每人一個橢圓形紙板（同桌相同），直尺

四、教學(xué)方法過程及整合點

（一）教學(xué)方法：講授法、啟發(fā)法、討論法、情境教學(xué)法、小組合作交流

（二）教學(xué)過程： １.創(chuàng)設(shè)情境，欣賞傾聽

這節(jié)課我們繼續(xù)研究有關(guān)橢圓的相關(guān)知識，在進(jìn)入本節(jié)課的知識之前，我們先看一段視頻短片：

（整合點：播放中央電視臺新聞中關(guān)于國家大劇院外部景觀介紹的視頻短片）﹝設(shè)計意圖:提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣﹞

提出問題：為什么國家大劇院最終會選擇了橢球形設(shè)計呢？ ﹝設(shè)計意圖:激發(fā)學(xué)生的求知欲，引入課題﹞

教師指出其根本原因是橢球形非常美觀，這源于橢圓的美！那么橢圓到底美在何處？它又具有哪些特性？讓我們一起來研究一下——橢圓的幾何性質(zhì)，以方程x2y2??1(a?b?0)為研究對象。a2b2（板書）12.1.2 橢圓的幾何性質(zhì)

2．探究問題，觀察發(fā)現(xiàn)

從哪幾方面研究研究橢圓的幾何性質(zhì)呢?學(xué)生紛紛討論之后老師確定從橢圓的 2

對稱性、頂點、范圍、離心率來探究。探究一：橢圓的對稱性

問題1：你能找到橢圓紙板的中心嗎？

﹝設(shè)計意圖:讓學(xué)生直觀感知，操作確認(rèn)，更深入認(rèn)識橢圓的對稱性﹞

學(xué)生活動:用手中的紙板折紙——把橢圓紙板折疊，使兩部分完全重合，兩條折痕的交點，即為橢圓紙板的中心，兩條折痕為對稱軸。實物演示部分可以由學(xué)生同桌兩兩一組共同完成（整合點：學(xué)生通過實物投影儀展示活動成果，教師通過幾何畫板演示 “橢圓的對稱性.gsp”）

得出結(jié)論：橢圓具有對稱性。

①兩條折痕為對稱軸——橢圓是軸對稱圖形，它關(guān)于x軸和y軸對稱； ②實物演示：橢圓繞中心旋轉(zhuǎn)180?后與原橢圓重合——橢圓也是中心對稱圖形，這時坐標(biāo)軸是橢圓的對稱軸，原點是橢圓的對稱中心，橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心。

問題2：從方程看如何判斷橢圓的對稱性？

﹝設(shè)計意圖:經(jīng)歷幾何問題代數(shù)化的過程，感受解析幾何研究問題的思路和方法。﹞

學(xué)生討論：設(shè)P（x，y），則P點關(guān)于x軸、y軸和坐標(biāo)原點的對稱點分別是（x，-y）、（-x，y）、（-x，-y）若曲線關(guān)于x軸對稱，則P點關(guān)于x軸對稱點也在曲線上，即（x，-y）滿足方程。同理可以推出另外兩種情況。問題3：通過上面研究同學(xué)們歸納出方程要滿足什么條件曲線才具有這些對稱性？

﹝設(shè)計意圖: 為培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納問題的能力。為進(jìn)一步的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)。﹞

學(xué)生討論得出：以-x代x，方程不變，則曲線關(guān)于y軸對稱；以-y代y，方程不變，則曲線關(guān)于x軸對稱；同時以-x代x、以-y代 y，方程不變，則曲線關(guān)于原點對稱。

（板書）橢圓的對稱性：橢圓關(guān)于x軸，y軸和原點對稱。探究二：橢圓的頂點

問題4：橢圓與它的對稱軸有交點嗎？若有，那么橢圓與它的對稱軸有幾個交點？你能求出交點的坐標(biāo)嗎?

學(xué)生易得：橢圓與對稱軸有交點，有四個交點。問題5：從方程看如何求出橢圓的頂點？ ﹝設(shè)計意圖:體驗用代數(shù)的方法研究幾何問題過程﹞ 令x=0則有y=b或y=-b;同理可得x=a或x=-a

22教師指出：其實，我們把橢圓x2?y2?1(a?b?0)與坐標(biāo)軸的交點

abA1(?a,0),A2(a,0),B1(0,?b),B2(0,b)就叫做橢圓的頂點。

其中線段A1A2、B1B2分別叫做橢圓的長軸和短軸。顯然長軸長|A1A2|＝2a，短軸長|B1B2|＝2b，a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長，此時長軸在x 軸上。（整合點：教師通過ppt演示 “橢圓的頂點”）

（板書）橢圓的頂點：A1(?a,0),A2(a,0),B1(0,?b),B2(0,b)。探究三：橢圓的范圍

問題6：請同學(xué)們拿起手中的作業(yè)紙，思考如果在一張矩形紙上作橢圓，要求所作橢圓盡可能最大，應(yīng)如何做？

﹝設(shè)計意圖: 讓學(xué)生通過動手操作更深入認(rèn)識橢圓的范圍﹞

學(xué)生活動:分小組討論，并動手解決本問題，盡量使回答準(zhǔn)確、精練。得出結(jié)論：橢圓是有范圍的。

教師引導(dǎo)學(xué)生動手動腦，將具體實例抽象成數(shù)學(xué)圖形，數(shù)學(xué)問題，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)來研究：如下圖，﹝設(shè)計意圖:利用“橢圓的頂點.ppt”課件展示，使學(xué)生直觀

感性認(rèn)識橢圓范圍所在區(qū)域﹞

學(xué)生得出：橢圓位于直線x??a,y??b所圍成的矩形內(nèi)。

問題7：如何從數(shù)的角度（也就是方程）來驗證我們剛才從直觀（也就是形）得來的結(jié)論呢？

﹝設(shè)計意圖:體驗用代數(shù)的方法研究幾何問題過程，體會數(shù)形結(jié)合的思想﹞

（整合點：用多種方法探究，匯報研究成果并用實物投影展示或到黑板板書。）學(xué)生可能有如下方法: 方法1：由且，則有

利用兩個實數(shù)的平方和為1，結(jié)合不等式知識得

。那么它的范圍就是直線所圍成的區(qū)域。

方法2：從中解出，利用可得y的取值范圍，同樣可得x的取值范圍。

方法3：把和分別看作是一個函數(shù)，只需求范圍。的定義域、值域即可，然后利用對稱性可得(板書)教師指出橢圓的范圍：-a≤x≤a,-b≤y≤b 5

探究四：橢圓的離心率

橢圓的簡單的幾何性質(zhì)中，比較抽象的難于理解的就是橢圓的離心率問題。為了能將抽象的問題形象化，利于學(xué)生的理解與接受，設(shè)計如下的課堂活動，讓全體學(xué)生參與到課堂中來，在自己的探究中獲得學(xué)習(xí)的樂趣，學(xué)習(xí)的快樂，并且可以使不同程度的學(xué)生都有所收獲。

問題8：請同學(xué)們舉起手中的橢圓，大家觀察它們的形狀有何不同？圓的形狀都是相同的，而橢圓卻有些比較“扁”，有些比較“圓”，用什么樣的量來刻畫橢圓“扁”的程度呢？

﹝設(shè)計意圖:在同學(xué)們參與到課堂活動中的時候，在自己舉起自己手的橢圓的時候希望得到大家的關(guān)注想與大家交流，同時，在其他同學(xué)們舉起手中的橢圓的時候，他們也會更加去關(guān)注其他同學(xué)手中的橢圓的形狀，進(jìn)而與自己手中的橢圓進(jìn)行比較。在比較的過程中就會發(fā)現(xiàn)橢圓形狀的變化，引起思考。﹞

有的同學(xué)手中的橢圓形紙板扁長，有的同學(xué)手中的橢圓形紙板稍圓，有的同學(xué)手中的橢圓更接近于圓形。

本過程中，由具體的同學(xué)們的手中的橢圓形狀的變化到抽象的平面直角坐標(biāo)系中橢圓形狀的變化的過程中，幾何畫板的強(qiáng)大功能會發(fā)揮巨大的作用。在幾何畫板中展示橢圓的形狀變化的同時，還可以讓學(xué)生觀察到橢圓中a,b,c三個參量的變化，進(jìn)而對橢圓的離心率充分了解。觀看課件演示，加深對離心率問題的直觀認(rèn)識。

(整合點：展示“橢圓的離心率.gsp”幾何畫板，取橢圓的長軸長不變，拖動兩焦點改變它們之間的距離，再畫橢圓，由學(xué)生觀察出橢圓形狀的變化。)

教師指出：在剛才的演示中，我們發(fā)現(xiàn)在橢圓長軸長不變的前提下，兩個焦點離開中心的程度不一樣，可以用離心率來描述

1）概念：橢圓焦距與長軸長之比。2）定義式：問題9：那么離心率與橢圓的扁圓程度有什么關(guān)系呢？

﹝設(shè)計意圖:學(xué)生通過觀察動畫更容易找出橢圓圖形隨e的變化而變化的規(guī)律，他到突破難點的效果﹞

再一次演示幾何畫板。學(xué)生發(fā)現(xiàn)不變時，c變大，即離心率變大時，橢圓越扁；c變小即離心率變小時，橢圓越圓。

從式子上看：，橢圓變圓，直至成為極限位置圓，此時

時的特例。，此時也可認(rèn)為線段為橢圓也可認(rèn)為圓為橢圓在橢圓變扁，直至成為極限位置線段在時的特例。

(板書)橢圓的離心率：3．反思構(gòu)建，性質(zhì)應(yīng)用，1）求橢圓9x2＋25y2＝225的長軸和短軸的長，離心率、交點和頂點的坐標(biāo)。2）下列各組橢圓中，哪一個更接近于圓？

x2y2(1)4x?9y?36與??12520x2y222(2)9x?4y?36與??11216223）請你動手用尺子測量一下你手中的橢圓的長軸長和短軸長，寫出該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

由于每個同學(xué)手里的橢圓長軸與短軸長度不一樣，因此在這個過程中學(xué)生都熱情非常高的參與到這個測量的活動中來，進(jìn)而寫出其手中的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

本過程兩個方面考察學(xué)生對于橢圓及其幾何性質(zhì)的掌握,應(yīng)用2)更是突出了對學(xué)生的實際動手能力和觀察能力的培養(yǎng)。4．課堂小結(jié)，競爭合作

請你談?wù)勍ㄟ^這節(jié)課的學(xué)習(xí),你學(xué)習(xí)到了什么?并且請各組成員互相評價。5．首尾呼應(yīng), 解決問題

我們對于橢圓的幾何性質(zhì)的探索由來已久，現(xiàn)在橢圓的幾何性質(zhì)也正在被廣泛的應(yīng)用于各種設(shè)計中，國家大劇院是其中最典型的代表之一。當(dāng)然,國家大劇 7

院之所以會選擇了橢球形的設(shè)計，還有其他方面的考慮，例如很多科技方面的因素,感興趣的同學(xué)可以自己課下查找一些資料,對這個問題全面了解。6．課后作業(yè)，鞏固提高

1）求出你的橢圓的焦點、頂點的坐標(biāo)，離心率，并通過測量將焦點坐標(biāo)標(biāo)在你的橢圓上；

2）完成焦點在y軸上的橢圓的幾何性質(zhì)的研究。

探究活動：課后查閱資料嘗試找到橢圓的幾何性質(zhì)在現(xiàn)實生活中的其他應(yīng)用。

第四篇：2、橢圓的簡單幾何性質(zhì)復(fù)習(xí)教案

橢圓的簡單幾何性質(zhì)

一、知識歸納：

1、幾何性質(zhì)：

2、橢圓的

三、強(qiáng)化訓(xùn)練：

1、求下列各橢圓的長軸和短軸的長、離心率、焦點坐標(biāo)、頂點坐標(biāo)，并畫出草圖。（1）4x2?y2?16

（2）9x2?y2?4

2、求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）橢圓經(jīng)過兩點P(?22,0),Q(0,5)；（2）長軸是短軸的3倍，橢圓經(jīng)過P(3,0)；（3）離心率等于0.8，焦距是8。

3、若直線4x?3y?12?0過橢圓b2x2?a2y2?a2b2(a?b?0)的一個焦點，離心率e?35，求該橢圓的方程。

225xy4、橢圓，那么P到右焦點的距離??1上有一點P，它到左準(zhǔn)線的距離等于

2259是。

5、在橢圓x225為

。?y29?1上有一點P，它到左焦點的距離等于它到右焦點距離的3倍，則P的坐標(biāo)

6、過橢圓4x2?2y2?1的一個焦點F1的直線與橢圓交于A、B兩點，則A、B與橢圓的另一焦點F2構(gòu)成?ABF2，那么?ABF2的周長是

（）A.2B.2

C.2

D.1

7、若橢圓兩準(zhǔn)線間的距離等于焦距的4倍，則這個橢圓的離心率為

A．14（）

xB．222 ?1和

x2C．?y224 D．

8、已知k＜4，則曲線

9?k4?k94A.相同的準(zhǔn)線

B.相同的焦點

C.相同的離心率

D.相同的長軸

x2?y2?1有

（）

9、若點P在橢圓2積是

（）?y2?1上，F(xiàn)1、F2分別是橢圓的兩焦點，且?F1PF2?90，則?F1PF2的面

?A.2

B.1

C.22

D.10、方程2(x?1)?(y?1)?|x?y?2|的曲線是（）A.橢圓 B.線段 C.拋物線 D.無法確定

?x?3cos?

11、曲線?（?為參數(shù)）的準(zhǔn)線方程是。

y?sin??

12、若實數(shù)x,y滿足

13、橢圓x2x216?y225?1，則y?3x的最大值為。

128?m?2y29?1的離心率是2，則兩準(zhǔn)線間的距離是。

14、已知橢圓x?8y?8，在橢圓上求一點P，使P導(dǎo)直線x?y?4?0的距離最小并求出最小值。

第五篇：橢圓的基本性質(zhì)教學(xué)設(shè)計

《橢圓的幾何性質(zhì)（1）》教學(xué)設(shè)計

信豐二中

鄧麗華

一、教學(xué)目標(biāo)：、知識掌握目標(biāo)：通過橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的討論，使學(xué)生掌握橢圓的幾何性質(zhì)，并能正確作出圖形。、基本技能和一般能力培養(yǎng)目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、抽象、概括的邏輯思維能力和運用數(shù)形結(jié)合思想解決實際問題的能力。、創(chuàng)新素質(zhì)和創(chuàng)新人格的培養(yǎng)目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新思維，培養(yǎng)學(xué)生的合作意識。、德育目標(biāo)：通過數(shù)與形的辨證統(tǒng)一，對學(xué)生進(jìn)行辯證唯物主義教育，通過對橢圓對稱美的感受，激發(fā)學(xué)生對美好事物的追求。

二、教學(xué)重點：橢圓的簡單幾何性質(zhì)及其探究過程。

三、教學(xué)難點：利用橢圓方程研究曲線幾何性質(zhì)的基本方法和離心率定義的給出過程。

四、教材分析：

德育點：在研究性質(zhì)的過程中，培養(yǎng)學(xué)生大膽猜想，敢于發(fā)表個人見解，培養(yǎng)學(xué)生喜歡探究的情感和態(tài)度。過對橢圓對稱性的體驗，使學(xué)生得到美的感受。

創(chuàng)新點：①教學(xué)中不拘泥于教材，改變教材的安排，有利于學(xué)生進(jìn)行探究。在范圍這一性質(zhì)的教學(xué)中，鼓勵用多種方法推倒，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維；②在反饋訓(xùn)練中，讓學(xué)生自己編擬方程并研究其性質(zhì)。③留研究性作業(yè)，鼓勵學(xué)生進(jìn)一步探索。

空白點：①研究性過程中多處留白，鼓勵學(xué)生大膽猜想并根據(jù)方程給予論證②反思性小結(jié)中設(shè)計表格留空白，調(diào)動學(xué)生積極參與。

五、教學(xué)過程、創(chuàng)設(shè)情境引導(dǎo)目標(biāo)與內(nèi)容

教師： 2003 年 10 月 15 日是每一個中國人為之驕傲的日子（課件展示飛船繞地球運行模擬圖），大家還記得這一天嗎？

學(xué)生：神州五號飛船發(fā)射成功。通過前面的學(xué)習(xí)我們知道，飛船在變軌前是沿著地球中心為一個焦點的橢圓軌道運行的，如果告訴你飛船的軌道方程，你怎樣作出飛船的軌跡呢？這個問題的實質(zhì)是什么？

學(xué)生：已知一個橢圓的方程，畫出這個橢圓。

教師：讓學(xué)生拿出預(yù)習(xí)中用描點法畫出 所示的圖形，同時計算機(jī)給出作圖過程，糾正學(xué)生作圖中存在的問題后給出：這種作圖方法雖然比較準(zhǔn)確，同學(xué)們通過作圖體會到了什么？

學(xué)生：麻煩。

教師：有簡單的方法嗎？如果有，需要知道什么呢？ 學(xué)生：研究曲線的特點。

教師：對，如果我們能根據(jù)橢圓的方程，探討出它的幾何特征，那么作圖就很方便了。這節(jié)課我們就一起來學(xué)習(xí)橢圓的簡單幾何性質(zhì)（引出課題）

教師：前面我們學(xué)習(xí)了橢圓的哪些知識？ 學(xué)生：學(xué)習(xí)了定義和標(biāo)準(zhǔn)方程。教師：你還記得標(biāo)準(zhǔn)方程嗎？ 學(xué)生： 或

教師：這節(jié)課就以（a ＞ b ＞ 0）為例來研究。2、教師點撥、指導(dǎo)，學(xué)生研究、合作、體驗（1）對稱性

教師：（大屏幕展示所示的圖形）請同學(xué)們觀察這個圖形在 x 軸的上方、下方，y 軸的左側(cè)、右側(cè)有怎樣的關(guān)系呢？（此處是空白點，激發(fā)學(xué)生思考）

學(xué)生：有對稱性，關(guān)于 x 軸、y 軸、原點都對稱。

教師：正確。那么一般的橢圓 是否也具有這種對稱性，你能根據(jù)方程得到結(jié)論嗎？

學(xué)生： A ：（充分討論后）也有同樣的對稱性。在 上任取一點 P（x,y）則 P 點關(guān)于 x 軸、y 軸和坐標(biāo)原點的對稱點分別是（x,-y）（-x，y）、（-x，-y），而代入方程知這三個對稱點都適合方程，即點 P 關(guān)于 x 軸、y 軸和坐標(biāo)原點的對稱點仍然在橢圓上，可得結(jié)論。

教師：回答得非常正確。

課件展示對稱過程后總結(jié)： 所表示的橢圓，坐標(biāo)軸是其對稱軸，坐標(biāo)原點是其對稱中心，對稱中心也叫橢圓的中心，橢圓是有心曲線。做人應(yīng)向橢圓學(xué)習(xí)，做一個有心之人。

（2）頂點

教師：（大屏幕展示 所表示的圖形）請同學(xué)們繼續(xù)觀察這個橢圓與坐標(biāo)軸有幾個交點呢？

學(xué)生 B ：與坐標(biāo)軸有四個交點。

教師：對，一般的橢圓 與坐標(biāo)軸有幾個交點呢？ 學(xué)生 B ：同樣是四個。

教師：你能根據(jù)方程求得四個交點的坐標(biāo)嗎？（計算機(jī)給出圖形，橢圓與 x 抽的交點分別是、，與 y 軸的交點分別是、）

學(xué)生 B ：分別令 x=0,y=0，得(-a,0)、（a,0）、（0,-b）（0,b）.教師：回答得很好。這四個點是橢圓與坐標(biāo)軸的交點，也是橢圓與其對稱點的交點。

及時總結(jié)并給出頂點的定義（強(qiáng)調(diào)是與對稱軸的交點）。結(jié)合圖形指出長軸、短軸、長軸長、短軸長半軸長、短半軸長，點明方程中 a、b 的幾何意義。

教師：（根據(jù)課件中的圖）如果過、、分別作 y 軸的平行線，過、分別做 x 軸的平行線，則這四條直線將構(gòu)成----？

學(xué)生：一個矩形。

教師：橢圓在矩形----？ 學(xué)生：內(nèi)部

教師：正確，這說明了什么？

學(xué)生：有的說有界，有的說有范圍。

教師：指出橢圓是有范圍的，根據(jù)前面求得的、、、的坐標(biāo)，你能說出 x、y 的范圍嗎？

學(xué)生 C ：-a ≤ x ≤ a，-b ≤ y ≤ b.教師：完全正確。那么你根據(jù)方程 研究 x、y 的取值范圍嗎？請同學(xué)們想一想，并互相討論討論。（此處既是空白點、又是創(chuàng)新點，學(xué)生能夠動腦思考，動手實踐，親身體驗，積極地投入到“創(chuàng)新性研究”中，把數(shù)學(xué)的重點放在了學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，而不是獲得一個簡單的結(jié)果）

（3）范圍

引導(dǎo)學(xué)生用多種方法探究，匯報研究成果并用實物投影展示或到黑板板書。學(xué)生 D ：由 利用兩個實數(shù)的平方和為 1，結(jié)合不等式知識得 ≤ 且 ≤，則有-a ≤ x ≤ a，-b ≤ y ≤ b.教師：很好，誰還有不同意見？

學(xué)生 E ：利用三角換元，令 θ，θ，θ∈ R。由弦函數(shù)有界可得范圍。教師：這個想法也不錯，誰還有不同見解？

學(xué)生 F ：從 中解出，利用 ≥ 0 可得 y 的取值范圍，同樣可得 x 的取值范圍。

教師：這種想法也不錯，誰還有不同見解？ 此時學(xué)生陷入深思中，教師及時點撥，前面我們學(xué)習(xí)過函數(shù)的定義域、植域，這對你研究橢圓的范圍有何啟示呢？

學(xué)生議論紛紛，有的開始動筆推導(dǎo)，有的幾個人一起在商量。

教師：誰研究出來了，或哪個小組研究出來了？請到前面給大家講一講。學(xué)生 G ：（實物展臺展示）由 則 y= ±，可通過求這個函數(shù)的定義域、值域得范圍。

教師： y= ± 是函數(shù)嗎？

學(xué)生 G ：（思考后）說不是。教師：怎么處理呢？

學(xué)生 G ：把 y= 和 y=-分別看作是一個函數(shù)。教師：正確。往下怎么研究呢？

學(xué)生 G ：先求函數(shù) y= 的定義域、值域。利用前面學(xué)習(xí)過的代數(shù)函數(shù)求定義域、值域的方法，可得-a ≤ x ≤ a，0 ≤ y ≤ b，同樣得 y= 中-a ≤ x ≤ a，-b ≤ y ≤ 0，于是得到范圍。（課堂響起一片掌聲，表示對這位同學(xué)的支持、肯定與鼓勵

教師：前面我們研究了橢圓的對稱性，誰能簡化學(xué)生 G 的推導(dǎo)過程呢？ 學(xué)生 H ：老師，我想只需求 y=(0 ≤ x ≤ a)的定義域、值域即可，然后利用對稱性可得范圍。

教師：很好。教師：通過前面的探討，我們知道橢圓是有范圍的，即它圍在一個矩形框內(nèi)。有了前面這幾個性質(zhì)，我們就可以很快地作出焦點在 x 軸上的橢圓的草圖了教師在黑板上示范作圖（先找到標(biāo)準(zhǔn)方程所表示的橢圓與坐標(biāo)軸的四個交點，畫出矩形框，光滑曲線連接，并注意對稱性）

教師：請同學(xué)們根據(jù)這種作圖方法，在同一坐標(biāo)系下畫出方程 和 所示的橢圓，并思考這兩個橢圓的形狀有何不同？

學(xué)生 M ：實物展臺展示畫圖，指出一個扁一些，一個圓一些。教師：（追問）圓扁與什么有關(guān)系？（提示學(xué)生注意兩個方程）學(xué)生 M ：與 b 有關(guān)系。教師：是這樣嗎？

學(xué)生 N ：在 a 不變的情況下與 b 有關(guān)系，b 大則圓，b 小則扁，因此與 a、b 有關(guān)系。教師課件動畫展示（a 不變，隨 b 變化，橢圓形狀的變化）印證學(xué)生的猜測是正確的，同時提出問題：在推導(dǎo)方程中曾令，這又意味著形狀還與什么有關(guān)系呢？

學(xué)生有的說與 b、c 有關(guān)，有的說與 a、b、c 有關(guān)。（鼓勵學(xué)生大膽猜測）

教師：在給出橢圓的定義中，大家還記得嗎？影響橢圓形狀的最關(guān)鍵的要素是什么？

學(xué)生：是 a 和 c 教師：下面我們就一起看一下在 a 不變的情況下，隨 b 的變化 c 是如何變化的（動畫演示）。從而引出離心率。

（4）離心率

教師在動畫演示過程中，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn) a 不變，b 大則 c 小，橢圓較圓，b 小則 c 大，橢圓較扁，特別當(dāng) a=b 時，c=0 橢圓為圓。教師指出：當(dāng) a 不變，b 大則 c 小，此時 也變小，學(xué)生通過觀察指出此時橢圓較圓，反之較扁，c=0 時變成了圓。及時總結(jié)并給出離心率的定義、符號和范圍及特例。（強(qiáng)調(diào)離心率是焦距與長軸長之比，與坐標(biāo)系選取無關(guān)，并引導(dǎo)學(xué)生分析出：固定 a、b、c 中任何一個量，改變另外兩個量可得到同樣的結(jié)論，即 e 大則扁，e 小則圓，特別 e=0 時為圓）

因此離心率是一個刻畫橢圓圓扁程度的量。（此處是難點，教學(xué)中借助動畫演示，結(jié)合教師啟發(fā)引導(dǎo)，幫助學(xué)生理解離心率的定義及離心率對橢圓形狀的影響）、鞏固與創(chuàng)新應(yīng)用

請你自己設(shè)計一個焦點在 x 軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并指出它的幾何性質(zhì)。（此題把主要權(quán)交給學(xué)生，提高學(xué)生的參與意識）

利用本節(jié)所學(xué)的知識，說出橢圓 的簡單幾何性質(zhì)。（此處也是一個創(chuàng)新點，培養(yǎng)學(xué)生運用類比化歸的思想解決實際問題的能力，也通過本題使學(xué)生體驗這節(jié)課所學(xué)的性質(zhì)是橢圓自身固有的性質(zhì)與坐標(biāo)系的選取無關(guān)）

橢圓(k ＞ 0)的長軸是短軸的 2 倍，則 k= 如果一個橢圓短軸上的一個頂點與兩個焦點構(gòu)成一個三角形，求橢圓的離心率，（通過第（3）（4）兩題鞏固本節(jié)所學(xué)知識）、反思與小結(jié)

教師引導(dǎo)學(xué)生從知識、思想方法和研究問題的方法三個方面進(jìn)行總結(jié)。教師：通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你學(xué)到了什么？體驗到了什么？掌握了什么？ 學(xué)生討論、反思。師生合作：

（1）知識總結(jié)：教師設(shè)計關(guān)于性質(zhì)的表格，學(xué)生填表，并總結(jié)：記住這些性質(zhì)的關(guān)鍵是抓住兩條線（對稱軸），一個框（范圍），七個點（一個中心、兩個焦點、四個頂點）和用 e 刻畫圓扁。思想方法總結(jié)：本節(jié)課主要利用了數(shù)形結(jié)合的思想和類比化歸的思想研究性質(zhì)的，平時學(xué)習(xí)中要注意數(shù)學(xué)思想方法的運用。

（2）掌握利用曲線方程研究曲線性質(zhì)的基本方法，即通過研究曲線的對稱性、頂點、范圍、離心率等，這樣就可以從整體上把握曲線了。

六、板書設(shè)計：

橢圓的簡單幾何性質(zhì) 1、對稱性； 4、離心率、頂點； 5、板書學(xué)生推導(dǎo) 3、范圍； 6、作圖

七、教后反思 ：

1、滲透教學(xué)思想方法重在平時 當(dāng)學(xué)生有一天不再學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)了，我們給學(xué)生留下的是什么？我想應(yīng)該是學(xué)生遇到具體問題時那種思考問題的方式和解決問題的方法。本節(jié)課始終是引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形后研究方程，即數(shù)形結(jié)合的思想。華羅庚先生曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微。”因此在平時教學(xué)中，要注意滲透數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)。、信息技術(shù)走進(jìn)課堂 在離心率這一性質(zhì)的教學(xué)中，充分利用多媒體手段，以輕松愉悅的動畫演示，化解了知識的難點。

不足：在對具體例子 的觀察分析中，設(shè)計的問題過于具體，可能束縛了學(xué)生的思維，還沒有放開。還有就是少講多學(xué)方面也是我今后教學(xué)中努力的方向。

感悟：新課堂是活動的課堂，討論、合作交流可課堂，德育教育的課堂，應(yīng)用現(xiàn)代技術(shù)的課堂，因此新教育理念、新課改下的新課堂需要教師和學(xué)生一起來培育。面對新課改教師惟有主動適應(yīng)，創(chuàng)造新生。

現(xiàn)代教育技術(shù)既作為教的工具，也作為學(xué)的工具。