第一篇：高中數(shù)學(xué)必修5高中數(shù)學(xué)必修5《1.2應(yīng)用舉例(三)》教案

1.2解三角形應(yīng)用舉例 第三課時(shí)

一、教學(xué)目標(biāo)

1、能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些有關(guān)計(jì)算角度的實(shí)際問(wèn)題

2、通過(guò)綜合訓(xùn)練強(qiáng)化學(xué)生的相應(yīng)能力，讓學(xué)生有效、積極、主動(dòng)地參與到探究問(wèn)題的過(guò)程中來(lái)，逐步讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)規(guī)律，舉一反三。

3、培養(yǎng)學(xué)生提出問(wèn)題、正確分析問(wèn)題、獨(dú)立解決問(wèn)題的能力，并激發(fā)學(xué)生的探索精神。

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：能根據(jù)正弦定理、余弦定理的特點(diǎn)找到已知條件和所求角的關(guān)系 難點(diǎn)：靈活運(yùn)用正弦定理和余弦定理解關(guān)于角度的問(wèn)題

三、教學(xué)過(guò)程 Ⅰ.課題導(dǎo)入 [創(chuàng)設(shè)情境] 提問(wèn)：前面我們學(xué)習(xí)了如何測(cè)量距離和高度，這些實(shí)際上都可轉(zhuǎn)化已知三角形的一些邊和角求其余邊的問(wèn)題。然而在實(shí)際的航海生活中,人們又會(huì)遇到新的問(wèn)題，在浩瀚無(wú)垠的海面上如何確保輪船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？今天我們接著探討這方面的測(cè)量問(wèn)題。Ⅱ.講授新課 [范例講解] 例

1、如圖，一艘海輪從A出發(fā)，沿北偏東75?的方向航行67.5 n mile后到達(dá)海島B,然后從B出發(fā),沿北偏東32?的方向航行54.0 n mile后達(dá)到海島C.如果下次航行直接從A出發(fā)到達(dá)C,此船應(yīng)該沿怎樣的方向航行,需要航行多少距離?(角度精確到0.1?,距離精確到0.01n mile)

學(xué)生看圖思考并講述解題思路

分析：首先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出AC邊所對(duì)的角?ABC，即可用余弦定理算出AC邊，再根據(jù)正弦定理算出AC邊和AB邊的夾角?CAB。

解：在?ABC中，?ABC=180?-75?+ 32?=137?，根據(jù)余弦定理，AC=AB2?BC2?2AB?BC?cos?ABC =67.52?54.02?2?67.5?54.0?cos137? ≈113.15 54.0sin137根據(jù)正弦定理,BC = AC sin?CAB = BCsin?ABC = ≈0.3255，113.15ACsin?CABsin?ABC?

所以 ?CAB =19.0?, 75?-?CAB =56.0?

答:此船應(yīng)該沿北偏東56.1?的方向航行,需要航行113.15n mile 例

2、在某點(diǎn)B處測(cè)得建筑物AE的頂端A的仰角為?，沿BE方向前進(jìn)30m，至點(diǎn)C處測(cè)得頂端A的仰角為2?，再繼續(xù)前進(jìn)103m至D點(diǎn)，測(cè)得頂端A的仰角為4?，求?的大小和建筑物AE的高。

解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在?ACD中，AC=BC=30，AD=DC=103，?ADC =180?-4?，?103=sin2?30。因?yàn)?sin4?=2sin2?cos2? ?sin(180?4?)cos2?=? 3,得 2?=30? ? ?=15?，?在Rt?ADE中，AE=ADsin60?=15 2答：所求角?為15?，建筑物高度為15m 解法二：（設(shè)方程來(lái)求解）設(shè)DE= x，AE=h 在 Rt?ACE中,(103+ x)2 + h2=302 在 Rt?ADE中,x2+h2=(103)

2兩式相減，得x=53,h=15 ?在 Rt?ACE中,tan2?=

h103?x=3?2?=30?,?=15?

答：所求角?為15?，建筑物高度為15m 解法三：（用倍角公式求解）設(shè)建筑物高為AE=8，由題意，得

?BAC=?，?CAD=2?，AC = BC =30m , AD = CD =103m 在Rt?ACE中，sin2?=

x4------① 在Rt?ADE中，sin4?=,----② 301033,2?=30?,?=15?，AE=ADsin60?=15 2 ②?① 得 cos2?=答：所求角?為15?，建筑物高度為15m 例

3、某巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)北偏東45?相距9海里的C處有一艘走私船，正沿南偏東75?的方向以10海里/小時(shí)的速度向我海岸行駛，巡邏艇立即以14海里/小時(shí)的速度沿著直線方向追去，問(wèn)巡邏艇應(yīng)該沿什么方向去追？需要多少時(shí)間才追趕上該走私船？

師：你能根據(jù)題意畫(huà)出方位圖？教師啟發(fā)學(xué)生做圖建立數(shù)學(xué)模型

分析：這道題的關(guān)鍵是計(jì)算出三角形的各邊，即需要引入時(shí)間這個(gè)參變量。

解：如圖，設(shè)該巡邏艇沿AB方向經(jīng)過(guò)x小時(shí)后在B處追上走私船，則CB=10x, AB=14x,AC=9, ?ACB=75?+45?=120?

?(14x)2= 92+(10x)2-2?9?10xcos120? 39?化簡(jiǎn)得32x2-30x-27=0，即x=,或x=-(舍去)

216所以BC = 10x =15,AB =14x =21, BCsin120?15353又因?yàn)閟in?BAC === ?AB21421，??BAC =38?13?,或?BAC =141?47?（鈍角不合題意，舍去）?38?13?+45?=83?13?

答：巡邏艇應(yīng)該沿北偏東83?13?方向去追，經(jīng)過(guò)1.4小時(shí)才追趕上該走私船.評(píng)注：在求解三角形中，我們可以根據(jù)正弦函數(shù)的定義得到兩個(gè)解，但作為有關(guān)現(xiàn)實(shí)生活的應(yīng)用題，必須檢驗(yàn)上述所求的解是否符合實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問(wèn)題的解 Ⅲ.課堂練習(xí)

課本第16頁(yè)練習(xí)Ⅳ.課時(shí)小結(jié)

解三角形的應(yīng)用題時(shí)，通常會(huì)遇到兩種情況：

（1）已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。

（2）已知量與未知量涉及兩個(gè)或幾個(gè)三角形，這時(shí)需要選擇條件足夠的三角形優(yōu)先研究，再逐步在其余的三角形中求出問(wèn)題的解。

Ⅴ.課后作業(yè)

《習(xí)案》作業(yè)六

第二篇：高中數(shù)學(xué)必修5高中數(shù)學(xué)必修5《1.2應(yīng)用舉例(一)》教案

1.2解三角形應(yīng)用舉例 第一課時(shí)

一、教學(xué)目標(biāo)

1、能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些有關(guān)測(cè)量距離的實(shí)際問(wèn)題，了解常用的測(cè)量相關(guān)術(shù)語(yǔ)

2、激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,并體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值；同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用圖形、數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)題意和應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：由實(shí)際問(wèn)題中抽象出一個(gè)或幾個(gè)三角形，然后逐個(gè)解決三角形，得到實(shí)際問(wèn)題的解 教學(xué)難點(diǎn)：根據(jù)題意建立數(shù)學(xué)模型，畫(huà)出示意圖

三、教學(xué)設(shè)想

1、復(fù)習(xí)舊知 復(fù)習(xí)提問(wèn)什么是正弦定理、余弦定理以及它們可以解決哪些類(lèi)型的三角形？

2、設(shè)置情境

請(qǐng)學(xué)生回答完后再提問(wèn)：前面引言第一章“解三角形”中，我們遇到這么一個(gè)問(wèn)題，“遙不可及的月亮離我們地球究竟有多遠(yuǎn)呢？”在古代，天文學(xué)家沒(méi)有先進(jìn)的儀器就已經(jīng)估算出了兩者的距離，是什么神奇的方法探索到這個(gè)奧秘的呢？我們知道，對(duì)于未知的距離、高度等，存在著許多可供選擇的測(cè)量方案，比如可以應(yīng)用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在實(shí)際測(cè)量問(wèn)題的真實(shí)背景下，某些方法會(huì)不能實(shí)施。如因?yàn)闆](méi)有足夠的空間，不能用全等三角形的方法來(lái)測(cè)量，所以，有些方法會(huì)有局限性。于是上面介紹的問(wèn)題是用以前的方法所不能解決的。今天我們開(kāi)始學(xué)習(xí)正弦定理、余弦定理在科學(xué)實(shí)踐中的重要應(yīng)用，首先研究如何測(cè)量距離。

3、新課講授

（1）解決實(shí)際測(cè)量問(wèn)題的過(guò)程一般要充分認(rèn)真理解題意，正確做出圖形，把實(shí)際問(wèn)題里的條件和所求轉(zhuǎn)換成三角形中的已知和未知的邊、角，通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型來(lái)求解

(2)例

1、如圖，設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，要測(cè)量?jī)牲c(diǎn)之間的距離，測(cè)量者在A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點(diǎn)C，測(cè)出AC的距離是55m，?BAC=51?，?ACB=75?。求A、B兩點(diǎn)的距離(精確到0.1m)

提問(wèn)1：?ABC中，根據(jù)已知的邊和對(duì)應(yīng)角，運(yùn)用哪個(gè)定理比較適當(dāng)？ 提問(wèn)2：運(yùn)用該定理解題還需要那些邊和角呢？請(qǐng)學(xué)生回答。

分析：這是一道關(guān)于測(cè)量從一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)到一個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離的問(wèn)題，題目條件告訴了邊AB的對(duì)角，AC為已知邊，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理很容易根據(jù)兩個(gè)已知角算出AC的對(duì)角，應(yīng)用正弦定理算出AB邊。解：根據(jù)正弦定理，得 AB = AC sin?ACBsin?ABCsin?ABC55sin75? = 55sin75? ≈ 65.7(m)

sin(180??51??75?)sin54? AB = ACsin?ACB= 55sin?ACB= sin?ABC答:A、B兩點(diǎn)間的距離為65.7米

變式練習(xí)：兩燈塔A、B與海洋觀察站C的距離都等于a km,燈塔A在觀察站C的北偏東30?，燈塔B在觀察站C南偏東60?，則A、B之間的距離為多少？

老師指導(dǎo)學(xué)生畫(huà)圖，建立數(shù)學(xué)模型。解略：2a km 例

2、如圖，A、B兩點(diǎn)都在河的對(duì)岸（不可到達(dá)），設(shè)計(jì)一種測(cè)量A、B兩點(diǎn)間距離的方法。

分析：這是例1的變式題，研究的是兩個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離測(cè)量問(wèn)題。首先需要構(gòu)造三角形，所以需要確定C、D兩點(diǎn)。根據(jù)正弦定理中已知三角形的任意兩個(gè)內(nèi)角與一邊既可求出另兩邊的方法，分別求出AC和BC，再利用余弦定理可以計(jì)算出AB的距離。

解：測(cè)量者可以在河岸邊選定兩點(diǎn)C、D，測(cè)得CD=a，并且在C、D兩點(diǎn)分別測(cè)得?BCA=?，? ACD=?，?CDB=?，?BDA =?，在?ADC和?BDC中，應(yīng)用正弦定理得

AC = BC =

asin(???)= asin(???)sin[180??(?????)]sin(?????)asin?asin? = sin[180??(?????)]sin(?????)計(jì)算出AC和BC后，再在?ABC中，應(yīng)用余弦定理計(jì)算出AB兩點(diǎn)間的距離 AB = AC2?BC2?2AC?BCcos?

分組討論：還沒(méi)有其它的方法呢？師生一起對(duì)不同方法進(jìn)行對(duì)比、分析。

變式訓(xùn)練：若在河岸選取相距40米的C、D兩點(diǎn)，測(cè)得?BCA=60?，=60? ?ACD=30?，?CDB=45?，?BDA 略解：將題中各已知量代入例2推出的公式，得AB=206

評(píng)注：可見(jiàn)，在研究三角形時(shí)，靈活根據(jù)兩個(gè)定理可以尋找到多種解決問(wèn)題的方案，但有些過(guò)程較繁復(fù)，如何找到最優(yōu)的方法，最主要的還是分析兩個(gè)定理的特點(diǎn)，結(jié)合題目條件來(lái)選擇最佳的計(jì)算方式。

4、學(xué)生閱讀課本4頁(yè)，了解測(cè)量中基線的概念，并找到生活中的相應(yīng)例子。

5、課堂練習(xí)：課本第14頁(yè)練習(xí)第1、2題

6、歸納總結(jié)

解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟：

（1）分析：理解題意，分清已知與未知，畫(huà)出示意圖

（2）建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個(gè)解斜三角形的數(shù)學(xué)模型

（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解（4）檢驗(yàn)：檢驗(yàn)上述所求的解是否符合實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問(wèn)題的解

四、課后作業(yè)

1、課本第22頁(yè)第1、2、3題

2、思考題：某人在M汽車(chē)站的北偏西20?的方向上的A處，觀察到點(diǎn)C處有一輛汽車(chē)沿公路向M站行駛。公路的走向是M站的北偏東40?。開(kāi)始時(shí)，汽車(chē)到A的距離為31千米，汽車(chē)前進(jìn)20千米后，到A的距離縮短了10千米。問(wèn)汽車(chē)還需行駛多遠(yuǎn)，才能到達(dá)M汽車(chē)站？

解：由題設(shè)，畫(huà)出示意圖，設(shè)汽車(chē)前進(jìn)20千米后到達(dá)B處。在?ABC中，AC=31，BC=20，AB=21，由余弦定理得

AC2?BC2?AB223cosC==，2AC?BC31432則sin2C =1-cos2C =2，31sinC =

123, 31353 62所以 sin?MAC = sin（120?-C）= sin120?cosC-cos120?sinC =在?MAC中，由正弦定理得 MC =ACsin?MAC31353==35 ?62sin?AMC32從而有MB= MC-BC=15 答：汽車(chē)還需要行駛15千米才能到達(dá)M汽車(chē)站。

作業(yè)：《習(xí)案》作業(yè)三

第三篇：高中數(shù)學(xué) 1.2應(yīng)用舉例教案教案 新人教A版必修5

課題: §1.2解三角形應(yīng)用舉例

●教學(xué)目標(biāo) 知識(shí)與技能：能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法進(jìn)一步解決有關(guān)三角形的問(wèn)題, 掌握三角形的面積公式的簡(jiǎn)單推導(dǎo)和應(yīng)用 過(guò)程與方法：本節(jié)課補(bǔ)充了三角形新的面積公式，巧妙設(shè)疑，引導(dǎo)學(xué)生證明，同時(shí)總結(jié)出該公式的特點(diǎn)，循序漸進(jìn)地具體運(yùn)用于相關(guān)的題型。另外本節(jié)課的證明題體現(xiàn)了前面所學(xué)知識(shí)的生動(dòng)運(yùn)用，教師要放手讓學(xué)生摸索，使學(xué)生在具體的論證中靈活把握正弦定理和余弦定理的特點(diǎn)，能不拘一格，一題多解。只要學(xué)生自行掌握了兩定理的特點(diǎn)，就能很快開(kāi)闊思維，有利地進(jìn)一步突破難點(diǎn)。

情感態(tài)度與價(jià)值觀：讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固所學(xué)的知識(shí)，加深對(duì)所學(xué)定理的理解，提高創(chuàng)新能力；進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生研究和發(fā)現(xiàn)能力，讓學(xué)生在探究中體驗(yàn)愉悅的成功體驗(yàn) ●教學(xué)重點(diǎn)

推導(dǎo)三角形的面積公式并解決簡(jiǎn)單的相關(guān)題目 ●教學(xué)難點(diǎn)

利用正弦定理、余弦定理來(lái)求證簡(jiǎn)單的證明題 ●教學(xué)過(guò)程 Ⅰ.課題導(dǎo)入 [創(chuàng)設(shè)情境] 師：以前我們就已經(jīng)接觸過(guò)了三角形的面積公式，今天我們來(lái)學(xué)習(xí)它的另一個(gè)表達(dá)公式。在

?ABC中，邊BC、CA、AB上的高分別記為ha、hb、hc，那么它們?nèi)绾斡靡阎吅徒潜硎荆?/p>

生：ha=bsinC=csinB hb=csinA=asinC hc=asinB=bsinaA 師：根據(jù)以前學(xué)過(guò)的三角形面積公式S=下面的三角形面積公式，S=

1ah,應(yīng)用以上求出的高的公式如ha=bsinC代入，可以推導(dǎo)出21absinC，大家能推出其它的幾個(gè)公式嗎？ 211生：同理可得，S=bcsinA, S=acsinB 22師：除了知道某條邊和該邊上的高可求出三角形的面積外，知道哪些條件也可求出三角形的面積呢？

生：如能知道三角形的任意兩邊以及它們夾角的正弦即可求解 Ⅱ.講授新課 [范例講解] 例

1、在?ABC中，根據(jù)下列條件，求三角形的面積S（精確到0.1cm2）（1）已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5?;（2）已知B=62.7?,C=65.8?,b=3.16cm;（3）已知三邊的長(zhǎng)分別為a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm

用心

愛(ài)心

專(zhuān)心

分析：這是一道在不同已知條件下求三角形的面積的問(wèn)題，與解三角形問(wèn)題有密切的關(guān)系，我們可以應(yīng)用解三角形面積的知識(shí)，觀察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面積。解：（1）應(yīng)用S= S=1acsinB，得 21?14.8?23.5?sin148.5?≈90.9(cm2)2c sinC(2)根據(jù)正弦定理，b = sinB c = bsinC

sinBS = 11bcsinA = b2sinCsinA 22sinBA = 180?-(B + C)= 180?-(62.7?+ 65.8?)=51.5?

sin65.8?sin51.5?122 S = ?3.16?≈4.0(cm)?sin62.72(3)根據(jù)余弦定理的推論，得

c2?a2?b2cosB =

2ca38.72?41.42?27.32 =

2?38.7?41.4 ≈0.7697 sinB = 1?cos2B≈1?0.76972≈0.6384 應(yīng)用S=S ≈1acsinB，得 21?41.4?38.7?0.6384≈511.4(cm2)2例

2、如圖,在某市進(jìn)行城市環(huán)境建設(shè)中,要把一個(gè)三角形的區(qū)域改造成室內(nèi)公園,經(jīng)過(guò)測(cè)量得到這個(gè)三角形區(qū)域的三條邊長(zhǎng)分別為68m,88m,127m,這個(gè)區(qū)域的面積是多少？（精確到0.1cm2）？ 師：你能把這一實(shí)際問(wèn)題化歸為一道數(shù)學(xué)題目嗎？

生：本題可轉(zhuǎn)化為已知三角形的三邊，求角的問(wèn)題，再利用三角形的面積公式求解。由學(xué)生解答，老師巡視并對(duì)學(xué)生解答進(jìn)行講評(píng)小結(jié)。解：設(shè)a=68m,b=88m,c=127m,根據(jù)余弦定理的推論，c2?a2?b2cosB=

2ca1272?682?882 =≈0.7532 2?127?68sinB=1?0.75322?0.6578

用心

愛(ài)心

專(zhuān)心

1acsinB 21 S ≈?68?127?0.6578≈2840.38(m2)2應(yīng)用S=答：這個(gè)區(qū)域的面積是2840.38m2。例

3、在?ABC中，求證：

a2?b2sin2A?sin2B?;（1）22csinC（2）a2+b2+c2=2（bccosA+cacosB+abcosC）

分析：這是一道關(guān)于三角形邊角關(guān)系恒等式的證明問(wèn)題，觀察式子左右兩邊的特點(diǎn)，聯(lián)想到用正弦定理來(lái)證明

證明：（1）根據(jù)正弦定理，可設(shè)

a = b = c = k sinAsinBsinC顯然 k?0，所以

a2?b2k2sin2A?k2sin2B? 左邊= 222cksinCsin2A?sin2B ==右邊

sin2C（2）根據(jù)余弦定理的推論，b2?c2?a2a2?b2?c2c2?a2?b2 右邊=2(bc+ca+ab)

2bc2ca2ab

=(b2+c2-a2)+(c2+a2-b2)+(a2+b2-c2)=a2+b2+c2=左邊

變式練習(xí)1：已知在?ABC中，?B=30?,b=6,c=63,求a及?ABC的面積S 提示：解有關(guān)已知兩邊和其中一邊對(duì)角的問(wèn)題，注重分情況討論解的個(gè)數(shù)。答案：a=6,S=93;a=12,S=183

變式練習(xí)2：判斷滿(mǎn)足下列條件的三角形形狀，（1）acosA = bcosB（2）sinC =sinA?sinB

cosA?cosB提示：利用正弦定理或余弦定理，“化邊為角”或“化角為邊”

用心

愛(ài)心

專(zhuān)心

（1）師：大家嘗試分別用兩個(gè)定理進(jìn)行證明。

生1：（余弦定理）得

b2?c2?a2c2?a2?b2a?=b?

2bc2ca?c2(a2?b2)?a4?b4=(a2?b2)(a2?b2)?a2?b2或c2?a2?b2

?根據(jù)邊的關(guān)系易得是等腰三角形或直角三角形

生2：（正弦定理）得 sinAcosA=sinBcosB, ?sin2A=sin2B, ?2A=2B, ?A=B ?根據(jù)邊的關(guān)系易得是等腰三角形

師：根據(jù)該同學(xué)的做法，得到的只有一種情況，而第一位同學(xué)的做法有兩種，請(qǐng)大家思考，誰(shuí)的正確呢？ 生：第一位同學(xué)的正確。第二位同學(xué)遺漏了另一種情況，因?yàn)閟in2A=sin2B,有可能推出2A與2B兩個(gè)角互補(bǔ)，即2A+2B=180?，A+B=90?

(2)（解略）直角三角形

Ⅲ.課堂練習(xí)

課本第21頁(yè)練習(xí)第1、2題 Ⅳ.課時(shí)小結(jié)

利用正弦定理或余弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為只含邊的式子或只含角的三角函數(shù)式，然后化簡(jiǎn)并考察邊或角的關(guān)系，從而確定三角形的形狀。特別是有些條件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以?xún)烧呋煊谩?/p>

Ⅴ.課后作業(yè)

課本第23頁(yè)練習(xí)第12、14、15題 ●板書(shū)設(shè)計(jì) ●授后記

用心

愛(ài)心

專(zhuān)心 4

第四篇：高中數(shù)學(xué) 等差數(shù)列教案 蘇教版必修5

等差數(shù)列（2）

一、創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題

1．復(fù)習(xí)等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式（1）等差數(shù)列定義

（2）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：an?a1?(n?1)d(an?am?(n?m)d或an?dn?p(p是常數(shù)))（3）公差d的求法：① d?an-an?1 ②d?2．等差數(shù)列的性質(zhì)：

（1）在等差數(shù)列?an?中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)是它相鄰二項(xiàng)的等差中項(xiàng)；（2）在等差數(shù)列?an?中，相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列是AP

如：a1，a3，a5，a7，……；a3，a8，a13，a18，……；

an?a1a?am ③d?n n?1n?man?am(m?n)；

n?m（4）在等差數(shù)列?an?中，若m，n，p，q?N?且m?n?p?q，則am?an?ap?aq（3）在等差數(shù)列?an?中，對(duì)任意m，n?N?，an?am?(n?m)d，d?3．問(wèn)題：（1）已知a1,a2,a3?,an,an?1,?,a2n是公差為d的等差數(shù)列。①an,an?1,?,a2,a1也成等差數(shù)列嗎？如果是，公差是多少？ ②a2,a4,a6?,a2n也成等差數(shù)列嗎？如果是，公差是多少？（2）已知等差數(shù)列?an?的首項(xiàng)為a1，公差為d。

①將數(shù)列?an?中的每一項(xiàng)都乘以常數(shù)a，所得的新數(shù)列仍是等差數(shù)列嗎？如果是，公差是多少？

②由數(shù)列?an?中的所有奇數(shù)項(xiàng)按原來(lái)的順序組成的新數(shù)列?cn?是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)和公差分別是多少？

（3）已知數(shù)列?an?是等差數(shù)列，當(dāng)m?n?p?q時(shí)，是否一定有am?an?ap?aq？（4）如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)A，使得a，A，b成等差數(shù)列，那么A應(yīng)滿(mǎn)足什么條件？

二、研探新知

1.等差中項(xiàng)的概念：

如果a，A，b成等差數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項(xiàng)。其中A? a，A，b成等差數(shù)列?A?2.一個(gè)有用的公式：

（1）已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列

①2a5?a3?a7是否成立？2a5?a1?a9呢？為什么？ ②2an?an?1?an?1(n?1)是否成立？據(jù)此你能得到什么結(jié)論？ ③2an?an?k?an?k(n?k?0)是否成立？？你又能得到什么結(jié)論？ 求證：①am?an?ap?aq ②ap?aq?(p?q)d 證明：①設(shè)首項(xiàng)為a1，則（2）在等差數(shù)列?an?中，d為公差，若m,n,p,q?N?且m?n?p?q

a?b 2a?b． 2am?an?a1?(m?1)d?a1?(n?1)d?2a1?(m?n?2)dap?aq?a1?(p?1)d?a1?(q?1)d?2a1?(p?q?2)d

∵ m?n?p?q ∴am?an?ap?aq

五、歸納整理，整體認(rèn)識(shí)

本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容：

a?b?a,A,b,成等差數(shù)列，等差中項(xiàng)的有關(guān)性質(zhì)意義 22．在等差數(shù)列中，m?n?p?q?am?an?ap?aq（m，n，p，q?N?）1．A?3．等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用；掌握證明等差數(shù)列的方法。

六、承上啟下，留下懸念

1.在等差數(shù)列{an}中, 已知a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450, 求a2＋a8及前9項(xiàng)和S9.解：由等差中項(xiàng)公式：a3＋a7＝2a5，a4＋a6＝2a5由條件a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450, 得5a5＝450, a5＝90, ∴a2＋a8＝2a5＝180.S9＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9

＝(a1＋a9)＋(a2＋a8)＋(a3＋a7)＋(a4＋a6)＋a5＝9a5＝810.七、板書(shū)設(shè)計(jì)（略）

八、課后記：

判斷一個(gè)數(shù)列是否成等差數(shù)列的常用方法 1．定義法：即證明 an?an?1?d(常數(shù))

例：已知數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和Sn?3n2?2n，求證數(shù)列?an?成等差數(shù)列，并求其首項(xiàng)、公差、通項(xiàng)公式。解：

n?2a1?S1?3?2?1 當(dāng)時(shí)

an?Sn?Sn?1?3n2?2n?[3(n?1)2?2(n?1)]?6n?5

n?1時(shí) 亦滿(mǎn)足

∴ an?6n?5

首項(xiàng)a1?1

an?an?1?6n?5?[6(n?1)?5]?6(常數(shù))

∴?an?成AP且公差為6 2．中項(xiàng)法： 即利用中項(xiàng)公式，若2b?a?c 則a,b,c成AP。

111b?cc?aa?b 例：已知，成AP，求證，也成AP。

abcabc111211 證明： ∵，成AP ∴?? 化簡(jiǎn)得：2ac?b(a?c)

abcbacb?ca?bbc?c2?a2?abb(a?c)?a2?c22ac?a2?c2

????acacacac(a?c)2(a?c)2a?cb?cc?aa?b= ∴，也成AP ??2?b(a?c)acbabc2 3．通項(xiàng)公式法：利用等差數(shù)列得通項(xiàng)公式是關(guān)于n的一次函數(shù)這一性質(zhì)。

例：設(shè)數(shù)列?an?其前n項(xiàng)和Sn?n2?2n?3，問(wèn)這個(gè)數(shù)列成AP嗎？

解：n?1時(shí) a1?S1?2

n?2時(shí) an?Sn?Sn?1?2n?3,?a1不滿(mǎn)足an?2n?3

n?1?2 ∴ an??

∴ 數(shù)列?an?不成AP 但從第2項(xiàng)起成AP。

n?2?2n?3

第五篇：高中數(shù)學(xué)必修5高中數(shù)學(xué)必修5《等差數(shù)列復(fù)習(xí)》教案

等差數(shù)列復(fù)習(xí)

知識(shí)歸納

1.等差數(shù)列這單元學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？

定等差數(shù)列通義項(xiàng)前n項(xiàng)和主要性質(zhì)

2.等差數(shù)列的定義、用途及使用時(shí)需注意的問(wèn)題: n≥2，an －an－1＝d(常數(shù))3.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式如何？結(jié)構(gòu)有什么特點(diǎn)？ an＝a1＋(n－1)d

an＝An＋B(d＝A∈R)4.等差數(shù)列圖象有什么特點(diǎn)？單調(diào)性如何確定？

d＜0annannd＞05.用什么方法推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的?公式內(nèi)容? 使用時(shí)需注意的問(wèn)題? 前n 項(xiàng)和公式結(jié)構(gòu)有什么特點(diǎn)? n(a1?an)n(n?1)d ?na1?22Sn?Sn＝An2＋Bn(A∈R)注意: d＝2A!6.你知道等差數(shù)列的哪些性質(zhì)? 等差數(shù)列{an}中，(m、n、p、q∈N+): ①an＝am＋(n－m)d ；

②若 m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq ； ③由項(xiàng)數(shù)成等差數(shù)列的項(xiàng)組成的數(shù)列仍是等差數(shù)列；

④ 每n項(xiàng)和Sn , S2n－Sn ，S3n－S2n …組成的數(shù)列仍是等差數(shù)列.知識(shí)運(yùn)用 1.下列說(shuō)法:(1)若{an}為等差數(shù)列,則{an2}也為等差數(shù)列(2)若{an} 為等差數(shù)列,則{an＋an＋1}也為等差數(shù)列(3)若an＝1－3n,則{an}為等差數(shù)列.(4)若{an}的前n和Sn＝n2＋2n＋1, 則{an}為等差數(shù)列.其中正確的有（(2)(3))2.等差數(shù)列{an}前三項(xiàng)分別為a－1,a＋2，2a＋3, 則an＝ 3n－2.3.等差數(shù)列{an}中, a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33, 則a3＋a6＋a9＝27.4.等差數(shù)列{an}中, a5＝10, a10＝5, a15＝0.5.等差數(shù)列{an}, a1－a5＋a9－a13＋a17＝10，a3＋a15＝ 20.6.等差數(shù)列{an}, S15＝90, a8＝.7.等差數(shù)列{an}, a1= －5, 前11項(xiàng)平均值為5, 從中抽去一項(xiàng),余下的平均值為4, 則抽取的項(xiàng)為

（A)

A.a11

B.a10

C.a9

D.a8 8.等差數(shù)列{an}，Sn＝3n－2n2, 則(B)A.na1＜Sn＜nan

B.nan＜Sn ＜na1

C.nan＜na1＜Sn

D.Sn＜nan＜na1 能力提高

1.等差數(shù)列{an}中, S10＝100, S100＝10, 求 S110.2.等差數(shù)列{an}中, a1＞0, S12＞0, S13＜0, S1、S2、… S12哪一個(gè)最大？

課后作業(yè)《習(xí)案》作業(yè)十九.