第一篇：高中數(shù)學(xué)《余弦定理》教案2 蘇教版必修5

第2課時(shí)余弦定理

【學(xué)習(xí)導(dǎo)航】

知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

余弦定理?航運(yùn)問(wèn)題中的應(yīng)用

?

?判斷三角形的形狀

學(xué)習(xí)要求

1．能把一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題；

2．余弦定理的教學(xué)要達(dá)到“記熟公式”和“運(yùn)算正確”這兩個(gè)目標(biāo)；

3．初步利用定理判斷三角形的形狀。【課堂互動(dòng)】

自學(xué)評(píng)價(jià)

1．余弦定理：

(1)_______________________，_______________________，_______________________.(2)變形：____________________，_____________________，_____________________.2．利用余弦定理，可以解決以下兩類(lèi)解斜三角形的問(wèn)題：（１）_______________________________；（２）______________________________． 【精典范例】

【例1】在長(zhǎng)江某渡口處，江水以5km/h的速度向東流，一渡船在江南岸的A碼頭出發(fā)，預(yù)定要在0.1h后到達(dá)江北岸B碼頭，????

設(shè)AN為正北方向，已知B碼頭在A碼頭的北偏東150，并與A碼頭相距1.2km．該渡船應(yīng)按什么方向航行？速度是多少（角度

精確到0.10，速度精確到0.1km/h）？

【解】

用心愛(ài)心 聽(tīng)課隨筆

【例2】在?ABC中，已知

sinA?2sinBcosC，試判斷該三角形的形狀． 【解】

【例3】如圖，AM是?ABC中BC

中線，求證：

AM?

．

【證明】

追蹤訓(xùn)練一

1.在△ＡＢＣ中，如果sinA:sinB:sinC＝２∶３∶４，那么ｃｏｓＣ等于（Ａ．Ｂ．?2 Ｃ．?1 Ｄ．?13

2.如圖，長(zhǎng)７ｍ的梯子ＢＣ靠在斜壁上，梯腳與壁基相距１．５ｍ，梯頂在沿著壁向上

專(zhuān)心

６ｍ的地方，求壁面和地面所成的角α（精確到０.１°）．

3.在△ＡＢＣ中，已知ａ＝２，ｂ＝３，Ｃ＝６０°，試證明此三角形為銳角三角形．

【選修延伸】

3【例4】在△ABC中，設(shè)

a?b3?c3

a?b?c

?c2，且sinAsinB?34，請(qǐng)判斷三角形的形狀。

【解】

用心愛(ài)心聽(tīng)課隨筆

專(zhuān)心

第二篇：高中數(shù)學(xué)《余弦定理》教案1 蘇教版必修5

1.2余弦定理 第1課時(shí)

知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

三角形中的向量關(guān)系→余弦定理 學(xué)習(xí)要求

1． 掌握余弦定理及其證明； 2． 體會(huì)向量的工具性；

3． 能初步運(yùn)用余弦定理解斜三角形． 【課堂互動(dòng)】

自學(xué)評(píng)價(jià)

1．余弦定理：

(1)a2?b2?c2?2bc?cosA，______________________，______________________.(2)變形：cosA?

b

2?c

2?a

2，2bc

___________________，___________________.2．利用余弦定理，可以解決以下兩類(lèi)解斜三角形的問(wèn)題：

（１）_______________________________；（２）_______________________________． 【精典范例】

【例1】在?ABC中，（1）已知b?3，c?1，A?600，求a；（2）已知a?4，b?5，c?6，求A（精確到0.10）． 【解】

點(diǎn)評(píng): 利用余弦定理，可以解決以下兩類(lèi)解斜三角形的問(wèn)題：（１）已知三邊，求三個(gè)

用心愛(ài)心角；（２）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角．

【例2】A,B兩地之間隔著一個(gè)水塘，聽(tīng)課隨筆

擇另一點(diǎn)C，測(cè)CA?182m,CB?126m,?ACB?630，求A,B兩地之間的距離確到1m）．

【解】

【例3】用余弦定理證明：在?ABCC為銳角時(shí)，a2?b2?c2；當(dāng)Ca2?b2?c2

．

【證】

點(diǎn)評(píng):余弦定理可以看做是勾股定理的推廣． 追蹤訓(xùn)練一

１．在△ＡＢＣ中，求a；

（２）已知a＝７，ｂ＝５，ｃ＝３，２．若三條線段的長(zhǎng)為５，６，７，則用這

三條線段（）Ａ．能組成直角三角形 Ｂ．能組成銳角三角形 Ｃ．能組成鈍角三角形

專(zhuān)心

Ｄ．不能組成三角形

３．在△ＡＢＣ中，已知a2?b2?ab?c2，試求∠Ｃ的大?。?/p>

４．兩游艇自某地同時(shí)出發(fā)，一艇以１０ｋｍ／ｈ的速度向正北行駛，另一艇以７ｋｍ／ｈ的速度向北偏東４５°的方向行駛，問(wèn)：經(jīng)過(guò)４０ｍｉｎ，兩艇相距多遠(yuǎn)？

【選修延伸】

【例4】在△ABC中，BC=a，AC=b，且a，b是方程x2

?23x?2?0的兩根，2cos?A?B??1。

（1）求角C的度數(shù)；

（2）求AB的長(zhǎng)；（3）求△ABC的面積。【解】

用心愛(ài)心

【例5】在△ABC中，角A、B、C聽(tīng)課隨筆

分別為a，b，c，證明： a

2?b2

?A?B?。

c

2?

sinsinC

追蹤訓(xùn)練二

1．在△ABC中，已知b?2，c?1，B=450則a?（）A2B

6?2C

6?2

6?22

D2

2．在△ABC中，已知AB=5，AC=6，BC=31則A=（）

A?2???

B

3C6D

43．在△ABC中，若b?10，c?15，C=?

6則此三角形有解。

4、△ABC中，若a2

?c2

?bc?b2，則A=_______.專(zhuān)心

【師生互動(dòng)】

用心愛(ài)心 專(zhuān)心3

第三篇：2014年高中數(shù)學(xué) 1.1.2余弦定理教案 新人教A版必修5

1.1.2余弦定理 教材分析

三維目標(biāo)

知識(shí)與技能：掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法，并會(huì)運(yùn)用余弦定理解決兩類(lèi)基本的解三角形問(wèn)題。

過(guò)程與方法：利用向量的數(shù)量積推出余弦定理及其推論，并通過(guò)實(shí)踐演算掌握運(yùn)用余弦定理解決兩類(lèi)基本的解三角形問(wèn)題

情感態(tài)度與價(jià)值觀：培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問(wèn)題的運(yùn)算能力；通過(guò)三角函數(shù)、余弦定理、向量的數(shù)量積等知識(shí)間的關(guān)系，來(lái)理解事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。

教學(xué)重點(diǎn)

余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過(guò)程及其基本應(yīng)用；

教學(xué)難點(diǎn)

勾股定理在余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過(guò)程中的作用。

教學(xué)建議

課本在引入余弦定理內(nèi)容時(shí)，首先提出探究性問(wèn)題“如果已知三角形的兩條邊及其所夾的角,根據(jù)三角形全等的判定方法，這個(gè)三角形是大小、形狀完全確定的三角形.我們?nèi)匀粡牧炕慕嵌葋?lái)研究這個(gè)問(wèn)題，也就是研究如何從已知的兩邊和它們的夾角計(jì)算出三角形的另一邊和兩個(gè)角的問(wèn)題”．這樣，用聯(lián)系的觀點(diǎn)，從新的角度看過(guò)去的問(wèn)題，使學(xué)生對(duì)過(guò)去的知識(shí)有了新的認(rèn)識(shí)，同時(shí)使新知識(shí)建立在已有知識(shí)的堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)上，使學(xué)生能夠形成良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)．設(shè)置這樣的問(wèn)題，是為了更好地加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)．比如對(duì)于余弦定理的證明，常用的方法是借助于三角的方法，需要對(duì)三角形進(jìn)行討論，方法不夠簡(jiǎn)潔，通過(guò)向量知識(shí)給予證明,引起學(xué)生對(duì)向量知識(shí)的學(xué)習(xí)興趣,同時(shí)感受向量法證明余弦定理的簡(jiǎn)便之處.教科書(shū)就是用了向量的方法，發(fā)揮了向量方法在解決問(wèn)題中的威力．

在證明了余弦定理及其推論以后，教科書(shū)從余弦定理與勾股定理的比較中，提出了一個(gè)思考問(wèn)題“勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關(guān)系，如何看這兩個(gè)定理之間的關(guān)系？”并進(jìn)而指出，“從余弦定理以及余弦函數(shù)的性質(zhì)可知，如果一個(gè)三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么第三邊所對(duì)的角是直角；如果小于第三邊的平方，那么第三邊所對(duì)的角是鈍角；如果大于第三邊的平方，那么第三邊所對(duì)的角是銳角.由上可知，余弦定理是勾股定理的推廣”．還要啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生注意余弦定理的各種變形式,并總結(jié)余弦定理的適用題型的特點(diǎn),在解題時(shí)正確選用余弦定理達(dá)到求解、求證目的 啟發(fā)學(xué)生在證明余弦定理時(shí)能與向量數(shù)量積的知識(shí)產(chǎn)生聯(lián)系,在應(yīng)用向量知識(shí)的同時(shí),注意使學(xué)生體會(huì)三角函數(shù)、正弦定理、向量數(shù)量積等多處知識(shí)之間的聯(lián)系.導(dǎo)入一

提問(wèn)1：上節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了正弦定理，解決了有關(guān)三角形的兩類(lèi)問(wèn)題：已知兩角和任意一邊；②已知兩邊和其中一邊的對(duì)角.三角形中還有怎樣的問(wèn)題沒(méi)有解決？

已知兩邊和夾角；已知三邊.首先分析最特殊的三角形——直角.如圖1.已知兩邊a,b及夾角?C?90，能否求第三邊？

勾股定理c2?a2?b

2提問(wèn)2：在斜三角形中邊和角有怎樣的關(guān)系？

在△ABC中，當(dāng)?C?90時(shí)，有c2?a2?b2．

實(shí)驗(yàn)：若a,b邊的長(zhǎng)短不變，?C的大小變化,c2與a2?b2有怎樣的大小關(guān)系呢？

如圖2，若?C?90時(shí)，由于b邊與a邊的長(zhǎng)度不變，所以c邊的長(zhǎng)度變短，即c2?a2?b2.如圖3，若?C?90時(shí)，由于b邊與a邊的長(zhǎng)度不變，所以c邊的長(zhǎng)度變長(zhǎng)，即c2?a2?b2.當(dāng)?C?90時(shí)，c2?a2?b2，那么c2與a2?b2到底相差多少呢？與怎樣的角有關(guān)呢？顯然應(yīng)與∠C的大小有關(guān).圖1 圖2 圖

3導(dǎo)入新課二

師 上一節(jié),我們一起研究了正弦定理及其應(yīng)用,在體會(huì)向量應(yīng)用的同時(shí),解決了在三角形已知兩角、一邊和已知兩邊與其中一邊對(duì)角這兩類(lèi)解三角形問(wèn)題.當(dāng)時(shí)對(duì)于已知兩邊夾角求第三邊問(wèn)題未能解決,下面我們來(lái)看如圖(1)，在直角三角形中,根據(jù)兩直角邊及直角可表示斜邊,即勾股定理,那么對(duì)于任意三角形,能否根據(jù)已知兩邊及夾角來(lái)表示第三邊呢?下面我們根據(jù)初中所學(xué)的平面幾何的有關(guān)知識(shí)來(lái)研究這一問(wèn)題

在△ABC中,設(shè)BC=A,AC=B,AB=C,試根據(jù)B、C、A來(lái)表示

A

師 由于初中平面幾何所接觸的是解直角三角形問(wèn)題，所以應(yīng)添加輔助線構(gòu)成直角三角形，在直角三角形內(nèi)通過(guò)邊角關(guān)系作進(jìn)一步的轉(zhuǎn)化工作，故作CD垂直于AB于D，那么在Rt△BDC中，邊A可利用勾股定理用CD、DB表示,而CD可在Rt△ADC中利用邊角關(guān)系表示,DB可利用AB-AD轉(zhuǎn)化為AD,進(jìn)而在Rt△ADC內(nèi)求解

解：過(guò)C作CD⊥AB,垂足為D,則在Rt△CDB中,根據(jù)勾股定理可得

A2=CD2+BD

∵在Rt△ADC中,CD2=B2-AD

又∵BD2=(C-AD)2=C2-2C·AD+AD

∴A2=B2-AD2+C2-2C·AD+AD2=B2+C2-2C·AD.又∵在Rt△ADC中,AD=B·COs

A

∴a2=b2+c2-2abcosA

.類(lèi)似地可以證明b2=c2+a2-2cacosB

c2=a2+b2-2abcos

C

另外,當(dāng)A為鈍角時(shí)也可證得上述結(jié)論,當(dāng)A為直角時(shí)，a2+b2=c2也符合上述結(jié)論,這也正是我們這一節(jié)將要研究的余弦定理,下面我們給出余弦定理的具體內(nèi)容.

第四篇：北師大版高中數(shù)學(xué)必修5余弦定理

北師大版高中數(shù)學(xué)必修

52.1.2《余弦定理》教學(xué)設(shè)計(jì)

一、教學(xué)目標(biāo)

認(rèn)知目標(biāo)：引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)余弦定理，掌握余弦定理的證明，會(huì)運(yùn)用余弦定解三角形中的兩類(lèi)

基本問(wèn)題。

能力目標(biāo)：創(chuàng)設(shè)情境，構(gòu)筑問(wèn)題串，在引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并探究余弦定理過(guò)程中,培養(yǎng)學(xué)生觀察、類(lèi)比、聯(lián)想、遷移、歸納等能力；在證明定理過(guò)程中，體會(huì)向量的思想方法；在解決實(shí)際問(wèn)題過(guò)程中，逐步培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力。

情感目標(biāo)：通過(guò)自主探究、合作交流，使學(xué)生體會(huì)到“發(fā)現(xiàn)”和“創(chuàng)造”的樂(lè)趣，培養(yǎng)學(xué)生

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣和熱愛(ài)科學(xué)、勇于創(chuàng)新的精神。

二、教學(xué)重難點(diǎn)

重點(diǎn)：探究和證明余弦定理；初步掌握余弦定理的應(yīng)用。

難點(diǎn)：探究余弦定理，利用向量法證明余弦定理。

三、學(xué)情分析和教法設(shè)計(jì)：

本節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn)是余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明，教學(xué)中，我采取“情境—問(wèn)題”教學(xué)法,從情境中提出數(shù)學(xué)問(wèn)題,以“問(wèn)題”為主線組織教學(xué),從特殊到一般，引導(dǎo)學(xué)生在解決問(wèn)題串的過(guò)程中，既歸納出余弦定理，又完成了用幾何法對(duì)余弦定理的證明，以分散難點(diǎn)；用向量證明余弦定理時(shí)，我首先引導(dǎo)學(xué)生利用向量證明勾股定，讓學(xué)生體會(huì)向量解題基本思路、感受到向量方法的便捷，然后鼓勵(lì)學(xué)生證明余弦定理，最后通過(guò)二組例題加深學(xué)生對(duì)余弦定理的理解，體會(huì)余弦定理的實(shí)際應(yīng)用。

四、教學(xué)過(guò)程

環(huán)節(jié)一 【創(chuàng)設(shè)情境】

1、復(fù)習(xí)引入

讓學(xué)生回答正弦定理的內(nèi)容和能用這個(gè)定理解決哪些類(lèi)型的問(wèn)題。

2、情景引入

浙江杭州淳安千島湖(圖片來(lái)自于http://image.baidu.com)，A、B、C三島位置如圖所示，根據(jù)圖中所給的數(shù)據(jù)，你能求出A、B兩島之間的距離嗎？

啟發(fā)學(xué)生積極思考，嘗試轉(zhuǎn)化為直角三角形,利用已學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題解決問(wèn)題。在三角形ABC中，作AD⊥BC，交BC延長(zhǎng)線于D，由∠ACB=120o，則∠ACD=60o，在RtΔADC中，∠CAD=30o，AC=6則CD=3,AD=3.在RtΔADB中,由勾股定理得:

AB2=AD2+BD2，AB2=67.96AB≈8.24km

答：島嶼A與島嶼B的距離為8.24 km

探究2:若把上面這個(gè)問(wèn)題變?yōu)椋?/p>

在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，已知a，b，∠C（∠C為鈍角）求 c.在探究1的解法基礎(chǔ)上，把具體數(shù)字用字母替換，結(jié)合三角函數(shù)知識(shí)，不難得出 c2= a2+b2－2abcosC．

探究3:若把上面這個(gè)問(wèn)題變?yōu)椋?/p>

在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，已知a，b，∠C（∠C為銳角）求 c.如右圖，當(dāng)∠C為銳角時(shí)，作AD⊥BC于D，BD把△ABC分成兩個(gè)直角三角形： A 在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2；

在Rt△ADC中，AD=AC·sinC=bsinC，DC=AC·cosC=bcosC．

容易求得：c2=a2+b2－2abcosC．

探究4: :若把上面這個(gè)問(wèn)題變?yōu)椋?C

B

在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，已知a，b，∠C（∠C為直角）求 c.結(jié)合前面的探究，你有新的發(fā)現(xiàn)嗎？

222此時(shí)，△ABC為直角三角形，由勾股定理得c=a+b;也可以寫(xiě)成c2=a2+b2－2abcos900

環(huán)節(jié)三【總結(jié)規(guī)律，發(fā)現(xiàn)新知】

探究1：總結(jié)規(guī)律。

結(jié)合前面的探究，我們?nèi)菀装l(fā)現(xiàn)，在△ABC中，無(wú)論∠C是銳角、直角還是鈍角，都有

c2=a2+b2－2abcosC

同理可以得到a2=b2+c2－2bccosA．

b2=c2+a2－2accosB．

這就是余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余

弦的積的兩倍。

探究2：余弦定理的證明：

余弦定理是三角學(xué)中一個(gè)重要的定理，上一環(huán)節(jié)中的探究2—探究4是該定理的一種傳統(tǒng)的方法——幾何證法，歷史上有很多人對(duì)余弦定理的證明方法進(jìn)行研究，建議同學(xué)們登陸，在百度文庫(kù)中查閱有關(guān)三角學(xué)的歷史，了解余弦定理證明的一些經(jīng)典方法，如愛(ài)因斯坦的證法、坐標(biāo)法、用物理的方法以及張景中的《繞來(lái)繞去的向量法》和《仁者無(wú)敵面積法》等等。其中向量法是最簡(jiǎn)潔、最明了的方法之一。

問(wèn)題①:用向量的方法能證明勾股定理嗎?

222在△ABC中已知∠A=900，BC=a，AB=c,CA=b, 求證：a=b+c B ????????????????證明：如右圖，在△ABC中，設(shè)AC?b,AB?c,CB?a.???????????????由向量的減法運(yùn)算法則可得，AB?AC?CB,即c?b?a

???????????A

222 等式兩邊平方得，c?b?2c?b?a，??????2202222由向量的運(yùn)算性質(zhì)得c?b?2c?b?Cos90?a即c?b?a

所以a2=b2+c

2問(wèn)題②:如何用向量的方法證明余弦定理？

0把問(wèn)題①的證明中Cos90換為CosA即可。

教師點(diǎn)評(píng)：利用向量來(lái)證明勾股定理,讓學(xué)生體會(huì)向量解題基本思路、感受到向量方法的便捷，激發(fā)學(xué)生興趣，在此基礎(chǔ)上，可以很簡(jiǎn)單的證明余弦定理，讓學(xué)生切身體會(huì)到向量作為一種工具在證明一些數(shù)學(xué)問(wèn)題中的作用。

探究3：余弦定理的分析

問(wèn)題①：在△ABC中，當(dāng)∠C=90°時(shí)，有c2=a2+b2．若a，b邊的長(zhǎng)度不變，變換∠C的大小時(shí)，c2與a2+b2有什么大小關(guān)系呢？請(qǐng)同學(xué)們思考。

首先，可借助于多媒體動(dòng)畫(huà)演示，讓學(xué)生直觀感受，a，b邊的長(zhǎng)度不變時(shí)，∠C越小，AB的長(zhǎng)度越短，∠C越大，AB的長(zhǎng)度越長(zhǎng)

222其后，引導(dǎo)學(xué)生，由余弦定理分析： c=a+b－2abcosC。

當(dāng)∠C=90°時(shí)，cosC=0，則有c2=a2+b2，這是勾股定理，它是余弦定理的特例。當(dāng)∠C為銳角時(shí)，cosC>0，則有c2

2當(dāng)∠C為鈍角時(shí)，cosC<0，則有c2＞a2+b2

問(wèn)題②余弦定理作用？

從以上的公式中解出cosA,cosB,cosC,則可以得到余弦定理的另外一種形式： b2?c2?a2

cosA?2bca2?c2?b2cosB?2aca2?b2?c2cosC?2ab

即已知三角形的兩邊和它們的夾角，可求另一邊；

知三求一已知三角形的三條邊，求角。

已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角，可求另一邊；（方程的思想）環(huán)節(jié)四【及時(shí)練習(xí)，鞏固提高】

下面，請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)余弦定理的這兩種應(yīng)用，來(lái)解決以下例題。O例1①在△ABC中，已知a=5,b=4,∠C=120,求c.②在△ABC中，已知a=3,b=2,c=,求此三角形三個(gè)內(nèi)角的大小及其

面積。Q 環(huán)節(jié)五【應(yīng)用拓展，提高能力】

例2：如圖所示，有兩條直線AB和CD相交成800角，交點(diǎn)是O，甲、乙兩人同是從點(diǎn)O分別沿OA，OC方向出發(fā)，速度分別是4km/h、4.5km/h，B O P 3小時(shí)后兩個(gè)相距多遠(yuǎn)（結(jié)果精確到0.1km）? 分析：經(jīng)過(guò)3時(shí)，甲到達(dá)點(diǎn)P，OP=4?3=12（12km）乙到達(dá)點(diǎn)Q，OQ=4.5?3=13.5(km).問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在△OPQ，已知OP=12km.，OQ=13.5km,∠POQ=800,求PQ的長(zhǎng)。

例3 下圖是公元前約400 ┅的圖形（可登陸http://math.100xuexi.com 查閱詳細(xì)資料），試計(jì)算圖中線

段BD的長(zhǎng)度及∠DAB的大小.1B A 環(huán)節(jié)六 【課堂反思總結(jié)】 通過(guò)以上的研究過(guò)程，同學(xué)們主要學(xué)到了那些知識(shí)和方法？你對(duì)此

有何體會(huì)？（先由學(xué)生回答總結(jié)，教師適時(shí)的補(bǔ)充完善）

1、余弦定理的發(fā)現(xiàn)從直角三角形入手，分別討論了銳角三角形和鈍角的三角形情況，體現(xiàn)了由特殊到一般的認(rèn)識(shí)過(guò)程，運(yùn)用了分類(lèi)討

論的數(shù)學(xué)思想； D C2、用向量證明了余弦定理，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用以及數(shù)形結(jié)合數(shù)

學(xué)思想的應(yīng)用；

3、余弦定理表述了三角形的邊與對(duì)角的關(guān)系，勾股定理是它的一種特例。用這個(gè)定理可以解決已知三角形的兩邊及夾角求第三邊和已知三角形的三邊求內(nèi)角的兩類(lèi)問(wèn)題。環(huán)節(jié)七 【布置課后作業(yè)】

1、若三角形ABC的三條邊長(zhǎng)分別為a?2，b?3，c?4，則2bccosA?2cacosB?2abcosC?。

2、在△ABC中,若a＝7,b＝8,cosC?13,則最大內(nèi)角的余弦值為 143、已知△ABC中，acosB=bcos A，請(qǐng)判斷三角形的形狀（用兩種不同的方法）。

4、p52教材習(xí)題2-1第6,7題。

五、教學(xué)反思

1、余弦定理是解三角形的重要依據(jù)。本節(jié)內(nèi)容安排兩節(jié)課適宜。第一節(jié)，余弦定理的引出、證明和簡(jiǎn)單應(yīng)用；第二節(jié)復(fù)習(xí)定理內(nèi)容，加強(qiáng)定理的應(yīng)用。

2、當(dāng)已知兩邊及一邊對(duì)角需要求第三邊時(shí)，可利用方程的思想，引出含第三邊為未知量的方程，間接利用余弦定理解決問(wèn)題，此時(shí)應(yīng)注意解的不唯一性。但是這個(gè)問(wèn)題在本節(jié)課講給學(xué)生，學(xué)生不易理解，可以放在第二課時(shí)處理。

3、本節(jié)課的重點(diǎn)首先是定理的發(fā)現(xiàn)和證明，教學(xué)中，我采取“情境—問(wèn)題”教學(xué)模式,沿著“設(shè)置情境—提出問(wèn)題—解決問(wèn)題—總結(jié)規(guī)律---應(yīng)用規(guī)律”這條主線,從情境中提出數(shù)學(xué)問(wèn)題,以“問(wèn)題”為主線組織教學(xué),形成以提出問(wèn)題與解決問(wèn)題攜手并進(jìn)的“情境—問(wèn)題”學(xué)習(xí)鏈,目的使學(xué)生真正成為提出問(wèn)題和解決問(wèn)題的主體,成為知識(shí)的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”,使教學(xué)過(guò)程成為學(xué)生主動(dòng)獲取知識(shí),發(fā)展能力,體驗(yàn)數(shù)學(xué)的過(guò)程.5、合理的應(yīng)用多媒體教學(xué)，起到畫(huà)龍點(diǎn)睛。

6、在實(shí)際的教學(xué)中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)于所學(xué)的知識(shí)（例如向量）不能很好的應(yīng)用，學(xué)生的數(shù)學(xué)思想（如分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合）也不能靈活的應(yīng)用，這在以后的教學(xué)中還應(yīng)該加強(qiáng)。

第五篇：高中數(shù)學(xué) 《余弦定理》教案1 蘇教版必修5（模版）

第 3 課時(shí)：§1.2余弦定理（1）

【三維目標(biāo)】：

一、知識(shí)與技能

1.通過(guò)對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探索，掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法，并會(huì)運(yùn)用余弦定理解決兩類(lèi)基本的解三角形問(wèn)題。

2.能夠運(yùn)用余弦定理理解解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題

3.通過(guò)三角函數(shù)、余弦定理、向量數(shù)量積等多處知識(shí)間聯(lián)系來(lái)體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一.二、過(guò)程與方法

利用向量的數(shù)量積推出余弦定理及其推論，并通過(guò)實(shí)踐演算掌握運(yùn)用余弦定理解決兩類(lèi)基本的解三角形問(wèn)題

三、情感、態(tài)度與價(jià)值觀

1.培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問(wèn)題的運(yùn)算能力；

2.通過(guò)三角函數(shù)、余弦定理、向量的數(shù)量積等知識(shí)間的關(guān)系，來(lái)理解事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。

【教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)】：

重點(diǎn)：余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過(guò)程及其基本應(yīng)用；

難點(diǎn)：向量方法證明余弦定理.【學(xué)法與教學(xué)用具】：

1.學(xué)法：

2.教學(xué)用具：多媒體、實(shí)物投影儀.【授課類(lèi)型】：新授課

【課時(shí)安排】：1課時(shí)

【教學(xué)思路】：

一、創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題

1.正弦定理的內(nèi)容？

2.由正弦定理可解決哪幾類(lèi)斜三角形的問(wèn)題？

二、研探新知

1．余弦定理的向量證明：

方法1：如圖，在?ABC中，AB、BC、CA的長(zhǎng)分別為c、a、b．∵AC?AB?BC，?????????

∴AC?AC?(AB?BC)?(AB?BC)?AB?????????????????????2?2AB?BC?BC?????????

2B?AB???2?2|AB|?|BC|cos(1800?B)+BC222?????????2?c2?2accosB?a2 即b?c?a?2accosB；

同理可證：a?b?c?2bccosA，c?a?b?2abcosC． 222222

方法2：建立直角坐標(biāo)系，則A(0,0),B(ccosA,csinA),C(b,0)．所以

a2?(ccosA?b)2?(csinA)2?c2cos2A?c2sin2A?2bccosA?b2?b2?c2?2bccosA，同理可證

1b2?c2?a2?2accosB，c2?a2?b2?2abcosC

注意：此法的優(yōu)點(diǎn)在于不必對(duì)A是銳角、直角、鈍角進(jìn)行分類(lèi)討論．

于是得到以下定理

余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，即

b2?c2?a

2a?b?c?2bccosA?cosA? 2bc222

c2?a2?b2

b?c?a?2accosB?cosB? 2ca222

a2?b2?c2

c?a?b?2abcosC?cosC? 2ab222

思考：這個(gè)式子中有幾個(gè)量？從方程的角度看已知其中三個(gè)量，可以求出第四個(gè)量，能否由三邊求出一角？

語(yǔ)言敘述：三角形任何一邊的平方等于其它兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。用符號(hào)語(yǔ)言表示：a2?b2?c2?2bccosA，?等；

2.理解定理

注意：（1）熟悉定理的結(jié)構(gòu)，注意“平方”“夾角”“余弦”等

（2）余弦定理的應(yīng)用：①已知三邊，求三個(gè)角；②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角

（3）當(dāng)夾角為90?時(shí)，即三角形為直角三角形時(shí)即為勾股定理（特例）

b2?c2?a2a2?c2?b2a2?b2?c2

（4）變形：cosA?cosB?cosC? 2bc2ac2ac

思考：勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關(guān)系，如何看這兩個(gè)定理之間的關(guān)系？

（由學(xué)生總結(jié)）若?ABC中，C=900，則cosC?0，這時(shí)c2?a2?b2，由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例。

三、質(zhì)疑答辯，排難解惑，發(fā)展思維

例1（教材P在?ABC中，（1）已知b?3,c?1,A?600，求a；（2）已知a?4,b?5,c?6，14例1）

求A

7，8的三角形中，求最大角與最小角的和 例2 邊長(zhǎng)為5，例3 在?ABC中，最大角A為最小角C的2倍，且三邊a、b、c為三個(gè)連續(xù)整數(shù)，求a、b、c的值

例4 在?ABC中，a、b是方程x?23x?2?0的兩根，又2cos(A?B)?1，求：（1）角C的度數(shù)；（2）求AB的長(zhǎng)；（3）?ABC的面積

四、鞏固深化，反饋矯正

1．在?ABC中，sinA:sinB:sinC?3:5:7，那么這個(gè)三角形的最大角是_____

22.在?ABC中，(a?c)(a?c)?b(b?c)，則A?______

在?ABC中，S?a2?b2?c2

3.4，則角C的度數(shù)是______

4.在?ABC中，已知a?7,b?8,cosC?1

314，則最大角的余弦值是______

5.已知銳角三角形的邊長(zhǎng)分別是1、3、a，則a的取值范圍是_______

6.用余弦定理證明：在?ABC中，當(dāng)C為銳角時(shí)，a2?b2?c2；當(dāng)C為鈍角時(shí)，a2?b2?c2．

五、歸納整理，整體認(rèn)識(shí)

1.余弦定理是任何三角形邊角之間存在的共同規(guī)律，勾股定理是余弦定理的特例；

2.余弦定理的應(yīng)用范圍：①已知三邊求三角；②已知兩邊及它們的夾角，求第三邊。

六、承上啟下，留下懸念

1．書(shū)面作業(yè)

七、板書(shū)設(shè)計(jì)（略）

八、課后記：