第一篇：《相似三角形應(yīng)用舉例》教案

《相似三角形應(yīng)用舉例》教案

一、教學(xué)目標(biāo)

1． 進一步鞏固相似三角形的知識．

2． 能夠運用三角形相似的知識，解決不能直接測量物體的長度和高度（如測量金字塔高度問題、測量河寬問題、盲區(qū)問題）等的一些實際問題．

3． 通過把實際問題轉(zhuǎn)化成有關(guān)相似三角形的數(shù)學(xué)模型，進一步了解數(shù)學(xué)建模的思想，培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力．

二、重點、難點

1．重點：運用三角形相似的知識計算不能直接測量物體的長度和高度．

2．難點：靈活運用三角形相似的知識解決實際問題（如何把實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題）．

三、例題的意圖

相似三角形的應(yīng)用主要有如下兩個方面：（1）測高(不能直接使用皮尺或刻度尺量的)；（2）測距(不能直接測量的兩點間的距離)．本節(jié)課通過教材P49的例3——P50的例5（教材P49例3——是測量金字塔高度問題；P50例4?——是測量河寬問題；P50例5——是盲區(qū)問題）的講解，使學(xué)生掌握測高和測距的方法．知道在實際測量物體的高度、寬度時，關(guān)鍵是要構(gòu)造和實物所在三角形相似的三角形，而且要能測量已知三角形的各條線段的長，運用相似三角形的性質(zhì)列出比例式求解．講課時，可以讓學(xué)生思考用不同的方法解這幾個實際問題，以提高從實際生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題、運用所學(xué)知識解決實際問題的能力． 應(yīng)讓學(xué)生多見些不同類型的有關(guān)相似三角形的應(yīng)用問題，便于學(xué)生理解：世上許多實際問題都可以用數(shù)學(xué)問題來解決，而本節(jié)的應(yīng)用實質(zhì)是：運用相似三角形相似比的相關(guān)知識解決問題，并讓學(xué)生掌握運用這方面的知識解決在自己生活中的一些實際問題的計算方法． 其中P50的例5出現(xiàn)了幾個概念，在講此例題時可以給學(xué)生介紹．（1）視點：觀察者眼睛的位置稱為視點；（2）視線：由視點出發(fā)的線稱為視線；（3）仰角：在進行測量時，從下向上看，視線與水平線的夾角叫做仰角；（4）盲區(qū)：人眼看不到的地方稱為盲區(qū)．

四、課堂引入

問：世界現(xiàn)存規(guī)模最大的金字塔位于哪個國家，叫什么金字塔？

胡夫金字塔是埃及現(xiàn)存規(guī)模最大的金字塔，被喻為“世界古代七大奇觀之一” ．塔的４個斜面正對東南西北四個方向，塔基呈正方形，每邊長約230多米．據(jù)考證，為建成大金字塔，共動用了10萬人花了20年時間．原高146.59米，但由于經(jīng)過幾千年的風(fēng)吹雨打，頂端被風(fēng)化吹蝕，所以高度有所降低．

在古希臘，有一位偉大的科學(xué)家叫泰勒斯．一天，希臘國王阿馬西斯對他說：“聽說你什么都知道，那就請你測量一下埃及金字塔的高度吧！”，這在當(dāng)時條件下是個大難題，因為是很難爬到塔頂?shù)模阒捞├账故窃鯓訙y量大金字塔的高度的嗎？

五、例題講解

例1（教材P49例3——測量金字塔高度問題）

分析：根據(jù)太陽光的光線是互相平行的特點，可知在同一時刻的陽光下，豎直的兩個物體的影子互相平行，從而構(gòu)造相似三角形，再利用相似三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)已知條件，求出金字塔的高度． 解：略（見教材P49）

問：你還可以用什么方法來測量金字塔的高度？（如用身高等）

解法二：用鏡面反射（如圖，點A是個小鏡子，根據(jù)光的反射定律：由入射角等于反射角構(gòu)造相似三角形）．（解法略）

例2（教材P50例4?——測量河寬問題）

分析：設(shè)河寬PQ長為x m，由于此種測量方法構(gòu)造了三角形中的平行截線，故可得到相似三角形，因此有，即 ．再解x的方程可求出河寬． 解：略（見教材P50）

問：你還可以用什么方法來測量河的寬度？

解法二：如圖構(gòu)造相似三角形（解法略）．

例3（教材P50例5——盲區(qū)問題）分析：略（見教材P50）解：略（見教材P51）

六、課堂練習(xí)

1． 在同一時刻物體的高度與它的影長成正比例．在某一時刻，有人測得一高為1.8米的竹竿的影長為3米，某一高樓的影長為60米，那么高樓的高度是多少米? 2． 小明要測量一座古塔的高度，從距他2米的一小塊積水處C看到塔頂?shù)牡褂?，已知小明的眼部離地面的高度DE是1.5米，塔底中心B到積水處C的距離是40米.求塔高?

七、課后練習(xí)

1． 教材P51.練習(xí)1和練習(xí)2．

2． 如圖，小明在打網(wǎng)球時，使球恰好能打過網(wǎng)，而且落在離網(wǎng)5米的位置上，求球拍擊球的高度h．(設(shè)網(wǎng)球是直線運動)3． 小明想利用樹影測量樹高，他在某一時刻測得長為1m的竹竿影長0.9m，但當(dāng)他馬上測量樹影時，因樹靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墻上，如圖，他先測得留在墻上的影高1.2m，又測得地面部分的影長2.7m，他求得的樹高是多少？

第二篇：9下27.6《相似三角形應(yīng)用舉例》教學(xué)反思

課題：相似三角形應(yīng)用舉例教學(xué)反思

本節(jié)課學(xué)生在富有故事性和現(xiàn)實性的數(shù)學(xué)情景問題中學(xué)會運用兩個三角形相似解決實際問題，在解決實際問題中經(jīng)歷從實際問題到建立數(shù)學(xué)模型的過程，發(fā)展學(xué)生的抽象概括能力．在教學(xué)中突出了“審題→畫示意圖→明確數(shù)量關(guān)系→解決問題”的數(shù)學(xué)建模過程，培養(yǎng)了學(xué)生把生活中的實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力，利用圖形的相似解決一些實際問題（如利用相似測量旗桿的高度）．測量某些不能直接度量的物體的高度，是綜合運用相似知識的良好機會，通過本節(jié)知識的學(xué)習(xí)，可以使學(xué)生綜合運用三角形相似的判定和性質(zhì)解決問題，發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識，加深學(xué)生對于相似三角形的理解和認(rèn)識．一節(jié)課上下來基本達到了預(yù)期目標(biāo)，大部分學(xué)生都學(xué)會了建立數(shù)學(xué)模型，利用相似的判定和性質(zhì)來解決實際問題．

教學(xué)過程中充分發(fā)揮學(xué)生主體作用，始終以問題的形式引導(dǎo)學(xué)生主動參與，在師生互動中，做到了分解難點和突出重點，從而使學(xué)生在獲得知識與技能的過程同時成為學(xué)會學(xué)習(xí)和形成正確價值觀的過程．從課堂練習(xí)、回答問題、小組討論可以看出本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)達成度非常高．（真正意義上發(fā)現(xiàn)生活數(shù)學(xué)，喜歡數(shù)學(xué)．）

“數(shù)學(xué)教學(xué)活動應(yīng)該考慮建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識經(jīng)驗基礎(chǔ)之上．激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動的機會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗．讓學(xué)生真正成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動成為一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程．”同時在這樣的潛移默化的過程中學(xué)生同樣地掌握了扎實的數(shù)學(xué)”雙基”，我們是在上有趣的數(shù)學(xué)課，而不是花哨的表演．我想，這就是我們追求的目標(biāo)．

第三篇：10.7相似三角形的應(yīng)用 教案

相似三角形的應(yīng)用(第3課時)備課時間：___________ 上課時間___________ 主備：劉擁軍 審核：

課型：新授 一．教學(xué)目標(biāo)

2教學(xué)重點、平行光線所形成的投影稱為平行投影。

物體的視圖實際上是該物體在平行光線下且光線與投影面垂直時形成的投影。

太陽光線可以看成平行光線，在陽光下，不同時刻，同一物體的影子長度不同；在同一時刻，不同物體的影子長與它們的高度成比例，即兩物體影子之比等于其對應(yīng)的高的比。3.教學(xué)難點：

（1）探照燈、手電筒、路燈和臺燈的光線可以看成是從一點出發(fā)的，像這樣的光線所形成的投影稱為______投影.眼睛所在的位置稱為_________.由視點出發(fā)的線稱為___________.看不到的地方稱為_____________。（2）。物體在光線的照射下，會在地面或墻壁上留下它的影子，這就是投影（projiction）現(xiàn)象。我們主要學(xué)習(xí)了兩種投影：_____投影、____投影。

二．例題講解

例1：一條河的兩岸有一段是平行的，在該河岸的這一段每隔5米有一棵樹，河對岸每隔50米有一根電線桿。在這岸離開岸邊25米處看對岸，看到對岸相鄰d兩根電線桿恰好被這岸的兩棵樹遮住，且這兩棵樹之間還有3棵樹，求河的寬度。

三．小結(jié)與思考

1、當(dāng)進行平行投影時，在同一時刻，甲、乙兩物體的高度之比等于_______________。

太陽光線可以看成平行光線，不同時刻物體在太陽光下形成的影子的大小和方向是______________.2、當(dāng)進行中心投影時，燈光的光線可以看成是從一點發(fā)出的，在同—燈光下物體的影子與物體上對應(yīng)點的連線肯定過光源所在位置。

3、視圖與平行投影的聯(lián)系：視圖實際上就是該物體在某一平行光線下的________．

主視圖（或正視圖）就是一束平行光從正面照射物體產(chǎn)生的投影，左視圖就是一束平行光從左面照射物體產(chǎn)生的投影，俯視圖就是一束平行光從上面照射物體產(chǎn)生的投影．

四．訓(xùn)練鞏固

1、由視點發(fā)出的線稱為 _________，看不到的地方稱為__________。

2、平行投影是由_______光線形成的；皮影戲中的皮影是由 投影得到的.3、張旭在操場上練習(xí)雙杠時，在練習(xí)的過程中他發(fā)現(xiàn)在地上雙杠的兩橫杠的影子（）A、相交 B、平行 C、垂直 D、無法確定

4、劉經(jīng)綸同學(xué)分別于上午8時、9時30分、10時、12時四次到室外的陽光下觀察向日葵隨太陽轉(zhuǎn)動的情況，他發(fā)現(xiàn)這四個時刻向日葵影子的長度各不相同，那么影子最長的時刻為（）A、上午8時 B、上午9時30分 C、上午10時 D、上午12時

5、在太陽光下，轉(zhuǎn)動一個正方體，觀察正方體在地上投下的影子，那么這個影子最多可能是幾邊形（）A、四邊形 B、五邊形 C、六邊形 D、七邊形

6、有兩根木棒AB、CD在同一平面上直立著，其中AB這根木棒在太陽光下的影子BE如圖所示，請你在圖中畫出這時木棒CD的影子.7、陳可建和江悄悄到揚州大劇院觀看張學(xué)友領(lǐng)銜主演的音樂劇《雪狼湖》．(1)坐在二層的陳可建能看到江悄悄嗎?為什么?(2)江悄悄坐在什么位置時，陳可建才能看到她?

8、冬至?xí)r是一年中太陽相對于地球位置最低的時刻，只要此時能采到陽光，一年四季就均能受到陽光照射。此時豎一根a米長的竹桿，其影長為b米，某單位計劃想建m米高的南北兩幢宿舍樓（如圖所示）。試問兩幢樓相距多少米時，后樓的采光一年四季不受影響（用m,a,b表示）

9、我偵察員在距敵方200米的地方發(fā)現(xiàn)敵人的一座建筑物，但不知其高度又不能靠近建筑物測量，機靈的偵察員食指豎直舉在右眼前，閉上左眼，并將食指前后移動，使食指恰好將該建筑物遮住。若此時眼睛到食指的距離約為40cm，食指的長約為8cm,你能根據(jù)上述條件計算出敵方建筑物的高度嗎？

10、加入你想利用樹影測校園內(nèi)的樹高，你在某一時刻測得樹高為1.5米時，其影長為1.2米。當(dāng)他測量教學(xué)樓旁的一棵大樹的影長時，因大樹靠近教學(xué)樓，有一部分影長在墻上。經(jīng)測量，地面部分影長為6.4米，墻上影長為1.4米，那么樹高是多少米？

第四篇：三角形相似教案

相似三角形的判定（1）教學(xué)設(shè)計

一、課題

相似三角形的判定（1）（選自2013年人教版數(shù)學(xué)九年級下冊27.2.1，第1課時）

二、教材分析

1.內(nèi)容要點

本節(jié)課讓學(xué)生利用相似三角形的定義來進一步探索相似三角形的判定條件，從而讓學(xué)生在學(xué)習(xí)新知里發(fā)展思維，加強與前面已學(xué)過的知識：圖形的相似、相似多邊形的主要特征（相似多邊形對應(yīng)的角相等，對應(yīng)邊的比相等），相似比甚至引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系八年級上冊所學(xué)的相等三角形的判定定理和平行從對比探索中增強學(xué)生的推理歸納和類比應(yīng)用的能力。2.地位

本節(jié)課處于承上啟下的位置，既增強了對圖形的相似和相似多邊形定義聯(lián)系和運用，又為下一課時相似三角形的判定2以及以后的幾何證明奠定了基礎(chǔ)。3.作用

從初步認(rèn)識相似三角形到探索如何利用平行線的特點判定兩個三角形相似，從無到有的知識萌發(fā)，讓學(xué)生由探究得到的平行線分線段成比例定理初步返回去嚴(yán)謹(jǐn)?shù)卣J(rèn)識兩個圖形的相似，在探索過程中掌握自主探究、類比、歸納以及轉(zhuǎn)化的思想方法，增強推理能力，進而讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)圖形之美。經(jīng)過對平行線分線段成比例定理以及相似三角形判定定理的探究學(xué)習(xí)，使學(xué)生的合情推理意識和主動探究的學(xué)習(xí)習(xí)慣得到發(fā)展。

三、學(xué)情分析 1.認(rèn)知基礎(chǔ)

學(xué)生在八年級上冊中已經(jīng)全面地認(rèn)識了三角形，并且掌握了全等三角形的判定定理，加上平行線同位角等性質(zhì)，并且在上一節(jié)課已學(xué)過了圖形的相似以及相似多邊形的主要特征，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)相似三角形打下了基礎(chǔ)。學(xué)生在觀察、想象、合作探究、歸納概括等方面有了初步的體驗，再加上學(xué)生會做輔助線，這為本課的學(xué)習(xí)奠定了一定的基礎(chǔ)，但學(xué)生對轉(zhuǎn)化思想，幾何論證推理能力還在初步形成階段，這使本節(jié)課的學(xué)習(xí)還有一定的困難。2.情意基礎(chǔ)

學(xué)生是九年級的學(xué)生，對于新知識有一定的接受能力，且數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化思想都相對成熟，對探索學(xué)習(xí)饒有興趣，但是思維容易固化，對問題看待不夠全面。

四、教學(xué)目標(biāo)

1.理解相似三角形不因位置改變而改變，書寫三角形相似時對應(yīng)角的字母順序?qū)?yīng)；

2.能運用平行線和三角形中線比例關(guān)系證明“A字型”三角形相似，能運用三角形全等的方法將“X字型”三角形轉(zhuǎn)化為“A字型”三角形證明其相似；

3.理解相似三角形概念，能正確找出相似三角形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角； 4.能掌握并運用相似三角形判定的“預(yù)備定理”； 5.讓學(xué)生參與探索，獲取相似三角形判定條件，感受數(shù)學(xué)的魅力，體會到數(shù)學(xué)的充滿探索與創(chuàng)造,在學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的樂趣并在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)生活中形成自主，自信，健康的心理。

五、教學(xué)重難點

1.教學(xué)重點

相似三角形判定的“預(yù)備定理”的探索； 2.教學(xué)難點

探索過程中的各種三角形相似的有關(guān)證明；

六、教學(xué)方法和手段 1.教學(xué)方法 引導(dǎo)探究法 2.教學(xué)媒體 PPT

七、教學(xué)設(shè)計思想

探究式的教學(xué)方法是新課改的一個重要內(nèi)容，布魯納主張學(xué)習(xí)的目的是以發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的方式使學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生頭腦中的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并且指出學(xué)生的知識學(xué)習(xí)是通過類別化信息的加工過程，積極主動地形成認(rèn)知結(jié)構(gòu)。利用學(xué)生的好奇心，設(shè)疑，解疑，組織互動，有效的教學(xué)活動，鼓勵學(xué)生積極參與，大膽猜想，使學(xué)生在自主探究與合作交流中理解和掌握本節(jié)課的內(nèi)容，增強直觀效果，提高課堂效率。其次，數(shù)形結(jié)合思想，化歸思想以及歸納法和分析法的應(yīng)用，讓學(xué)生對新知的認(rèn)識更加透徹，對問題的探索思路更加明確，并從中讓思維得到進一步的提升。

八、教學(xué)過程

（一）復(fù)習(xí)引入（5分鐘）1.復(fù)習(xí)概念性質(zhì)（3分鐘）

T：同學(xué)們還記得相似圖形的概念是什么嗎？ S：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個圖形相似。T：相似的兩個圖形會隨它們位置的改變而改變嗎？ S：不會。

T：很好，大家先記著我們剛剛回憶的內(nèi)容。下面我們來了解一下最簡單的多邊形----三角形的相似情況。

T：剛才我們回憶了相似圖形的一些性質(zhì)，那現(xiàn)在我手頭上有根據(jù)相似圖形性質(zhì)畫出來的兩個相似三角形，不論它們之間的相對位置如何，乃至處于不同的平面，這兩個三角形仍然是相似的。（老師拿出兩個相似三角形并在同一平面變換兩個三角形紙片的位置，然后讓兩紙片處于不同平面變換位置）（老師將兩紙片貼在黑板上并標(biāo)明字母）T：同學(xué)們我們要用字母表示這兩個三角形相似，應(yīng)該怎么寫呢？我們一起來寫，首先把兩個三角形表示出來，分別是?ABC?DEF，同學(xué)在寫的時候還要注意對應(yīng)的頂點字母相對應(yīng)，那中間用什么符號來表示兩個三角形相似呢？有同學(xué)可以告訴我嗎？

S：大寫字母S橫著寫。

T：很好，這跟我們曾經(jīng)學(xué)過的什么符號很像呢？ SSS：全等符號。

T：那課后大家思考全等三角形與相似三角形之間有什么聯(lián)系，下節(jié)課我再叫同學(xué)回答這個問題。2.創(chuàng)設(shè)情境（2分鐘）

（老師利用這組相似三角形紙片，將兩個三角形的一個對應(yīng)頂點重疊，貼在黑板上）

T：同學(xué)們你們看，相似三角形?ABC和?DEF的?ABC的頂點A與?DEF的頂點D重合并且∠BAC與∠EDF重合，那邊EF和邊BC有什么關(guān)系嗎？

S：平行。

T：為什么呢？

S：同位角相等兩直線平行。

T：嗯，AEB三點共線，且∠AEF=∠ABC，所以EF和BC平行。

（二）探索新知（20分鐘）

T：如果平行于?ABCBC邊的直線與其他兩邊AB、AC相交與點E、F，所構(gòu)成的?AEF是否與?ABC相似呢？

S：相似（不相似）。

T：大部分同學(xué)都說相似，接下來我們該做些什么去證明這兩個三角形相似呢？

T：首先我們從我們學(xué)過的類似的圖形出發(fā)，假設(shè)這條平行線是三角形中位線，我們來證明看看。同學(xué)們自行思考，待會來分享思路。[PPT顯示相應(yīng)題目和圖形]（2min過去了，期間教師下臺觀察學(xué)生情況，選一名寫完了的同學(xué)上臺分享思路）

S1：（在黑板上畫△ABC并取分別AB、AC中點D、E，連接DE）∵DE是△ABC的中位線∴DE＝1/2BC（由三角形中位線定理）

∴AB/AD ＝AC/AE ＝BC/DE ＝1/2.又∵兩直線平行同位角相等 ∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∠A=∠A ∴△ADE∽△ABC.T：同學(xué)們覺得S1的解答對嗎？ S：對。

T：S1的解答充分運用了已學(xué)的三角形中位線的知識，找出來隱含在三角形ADE和三角形ABC中邊的比例關(guān)系，依照定義證明出了這兩個三角形相似，證明過程很完整，是對的，讓我們給他一些掌聲鼓勵。（解析S1的做法，并給予肯定）

（老師和學(xué)生一起鼓掌）T：接下來加大難度咯，“如圖過點D作DE∥BC交AC于點E，那么△ADE與△ABC相似嗎？”，請同學(xué)們自行思考，待會請同學(xué)上來分享思路。[PPT顯示相應(yīng)題目和圖形]（4min過去了）

S2：由同位角相等可知三個角對應(yīng)相等，只需證明對應(yīng)邊成比例.因為DE∥BC，所以AD/AB=AE/EC=k, 只需證明DE/BC=k.過點D作DF∥AC交BC于點F，則由兩組對邊分別平行，得四邊形DFCE為平行四邊形.所以DE/BC=FC/BC，∵DF∥AC ∴FC/BC=DA/BA，故DE/BC= DA/BA =k ∴△ADE∽△ABC.T：S2將問題轉(zhuǎn)化為了求三角形的一邊對應(yīng)成比例，通過作輔助線DF，構(gòu)造出了平行四邊形，并靈活運用平行四邊形和相似的性質(zhì)，得到了三邊對應(yīng)相等，從而證明了兩個三角形相似，做的很棒，讓我們把掌聲送給他?。ê屯瑢W(xué)們一起鼓掌）T：以上都是平行線與邊AB和邊AC相交的情況，現(xiàn)在我們延長AB和AC，如圖當(dāng)DE與三角形兩邊延長線交于邊BC下方時，所構(gòu)成的三角形和原三角形是否相似呢？ [PPT顯示相應(yīng)題目和圖形] S：相似。

T：要怎樣證明呢？ S：和上一題一樣。

T:對，沒錯。像這種平行線位于點A下方的，我們統(tǒng)稱為“A字型”，凡是擁有這種形狀的三角形和平行線，都隱藏著相似三角形。那如果DE與三角形兩邊延長線交于邊點A上方時，所構(gòu)成的三角形和原三角形是否相似呢？請同學(xué)們自行思考。[PPT顯示相應(yīng)題目和圖形]（T下臺觀察、指點。2min后）

T：老師剛剛發(fā)現(xiàn)，大部分同學(xué)都不再用定義進行繁瑣的證明了，而是直接由“A字型”的結(jié)論出發(fā)，將新圖形轉(zhuǎn)換為“A字型”加以證明。有哪位同學(xué)愿意上臺分享一下，你是怎樣轉(zhuǎn)化的呢？

S3：分別在邊AB和邊AC作點N’和M’，使AN=AN’，AM=AM’，由對頂角相等和SAS可得

△AMN≌△AM’N’，從而得到“A字型”，故新三角形和原三角形相似。T：S3分析的很好！讓我們給他掌聲鼓勵?。ê屯瑢W(xué)們一起鼓掌）我們稱這種圖形為“X字型”，通過“A字型”和“X字型”的相似三角形探究，我們現(xiàn)在可以總結(jié)得出我們一開始要證明的結(jié)論了，同學(xué)們還記得是什么嗎？

S：逆命題（剛剛的猜想）。

T：沒錯，我們給這個剛剛證明的猜想一個名稱“預(yù)備定理”，大家請看屏幕，一齊朗讀一邊[PPT顯示預(yù)備定理] S：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似；

T：預(yù)備定理比定義要簡便的多，它的幾何語言也是相當(dāng)簡潔 ∵EF∥BC ∴△ADE∽△ABC.（三）知識遷移（7分鐘）（備注：此環(huán)節(jié)題目讓學(xué)生以同桌為單位交流完成，老師再請同學(xué)發(fā)言說明思路）

（四）總結(jié)反思（7分鐘）

定義：??。要求三邊三角滿足對應(yīng)關(guān)系，非常嚴(yán)謹(jǐn)?shù)C明過程過于繁瑣且使用條件有限。

預(yù)備定理：??。只要求有找到原三角形一邊的平行線，構(gòu)成“A字型”或“X字型”，極大簡化了證明過程。

（備注：以上總結(jié)，老師說整體性語言，關(guān)鍵字引導(dǎo)學(xué)生說出）

（五）布置作業(yè)（1分鐘）

1.常規(guī)作業(yè)（第幾頁第幾題）

2.探索作業(yè)：請以本節(jié)課所學(xué)知識，“測量”教室天花板的高度，寫一測量方案。

九、板書設(shè)計

十、反思

第五篇：相似三角形教案

相似三角形

【基礎(chǔ)知識精講】

1．理解相似三角形的意義，會利用定理判定兩個三角形相似，并能掌握相似三角形與全等三角形的關(guān)系．

2．進一步體會數(shù)學(xué)內(nèi)容之間的內(nèi)在聯(lián)系，初步認(rèn)識特殊與一般之間的辯證關(guān)系，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和自信心．

【重點難點解析】

相似三角形的概念及相似三角形的基本定理．

【典型熱點考題】

例1 如圖4-21，□ABCD中，M是AD延長線上一點，BM交AC于點F，交DC于G，則下列結(jié)論中錯誤的是（）

圖4-21 A．△ABM∽△DGM B．△CGB∽△DGM C．△ABM∽△CGB D．△AMF∽△BAF

點悟：用本節(jié)概念和定理直接判斷． 解：應(yīng)選D．

例2 如圖4-22，已知MN∥BC，且與△ABC的邊CA、BA的延長線分別交于點M、N，點P、Q分別在邊AB、AC上，且AP∶PB＝AQ∶QC．

圖4-22 求證：△APQ∽△ANM． 證明：∵ AP∶PB＝AQ∶QC，∴ PQ∥BC，又MN∥BC，∴ MN∥PQ ∴ △APQ∽△ANM．

例3 寫出下列各組相似三角形的對應(yīng)邊的比例式．

(1)如圖4-23(1)，已知：△ADE∽△ABC，且AD與AB是對應(yīng)邊．(2)如圖4-23(2)，已知：△ABC∽△AED，∠B＝∠AED．

圖4-23 點悟：要寫出兩個相似三角形的對應(yīng)邊的比例式，首先要確定兩個相似三角形的對應(yīng)邊．因為相似三角形是全等三角形的推廣，所以要確定兩個相似三角形的各組的對應(yīng)邊，可以參照確定全等三角形對應(yīng)邊的方法，從確定這兩個相似三角形對應(yīng)的頂點出發(fā)．

解：(1)已知△ADE∽△ABC，且AD和AB是對應(yīng)邊，它們所對的頂點E和C為對應(yīng)頂點，而A是兩三角形的公共頂點，∠BAC為公共角，所以兩三角形另兩組對

AD?DEBC?EACA應(yīng)邊為DE和BC，EA和CA，得AB．

(2)已知△ABC∽△AED，且∠ABC＝∠AED，A為公共頂點，另一對應(yīng)頂點為D和C，三組對應(yīng)邊分別是AD和AC，AE和AB，DE和CB．

AD?AEAB?DECB得AC．

本題兩類相似三角形的圖形是相似三角形的基本圖形． 第一類為平行線型．

平行線型是由兩條平行線和其他直線配合構(gòu)成的兩個相似三角形，它的對應(yīng)元素比較明顯，對應(yīng)邊，對應(yīng)角，對應(yīng)頂點有同樣的順序性，對應(yīng)邊平行或重合．基本圖形有兩種(圖4-24)：

圖4-24 第二類是相交線型．

這一類型的對應(yīng)元素不十分明顯，對應(yīng)順序也不一致，對應(yīng)邊相交．它的基本圖形，也有兩種，一種是有一個公共角，另一種是一組對頂角(圖4-25)．

圖4-25 其他類型的相似形多可以分解成這兩種基本類型或轉(zhuǎn)化為這兩種基本類型． 例4 如圖4-26，已知：△ABC的邊AB上有一點D，邊BC的延長線上有一點E，且AD＝CE，DE交AC于F．求證：AB·DF＝BC·EF．

圖4-26 點悟：如果我們把條件和結(jié)論涉及的線段AD，CE，AB，DF，BC，EF在圖中都描成紅線，可以發(fā)現(xiàn)一個完全由紅線構(gòu)成的三角形，即△DBE，還有一條線AC，是△DBE的截線，分別截△DBE的三邊DB，BE，DE(或它們的延長線)于A，C，F(xiàn)．這類問題添輔助線的方法至少有三種，即過紅線三角形任一頂點作對邊的平行線，并與該三角形的截線或其延長線相交(如圖4-27)，在每一種圖形中，雖然只有一對平行線，但與這對平行線有關(guān)的基本圖形都能找到兩對，根據(jù)每一個基本圖形都可以寫出包含輔助線段在內(nèi)的一個比例式．

圖4-27

AD?DFBHEF?CEBC以(2)為例，可以寫出ABBH?AB?DFAD，又可以寫出BH．前兩式均有BH，于是

?BC可得，及

BH?BC?EF，所以，有

AB?DF?EF．又因為ADCEADCE＝CE，于是有AB·DF＝BC·EF．(證略)利用比例線段也可以證明兩直線平行或兩線段相等．

例5 如圖4-28，已知：梯形ABCD中，AD∥BC，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點，AF與BE相交于G，CE和DF相交于H，求證：GH∥AD．

圖4-28 點悟：條件中的AD∥BC，給出了兩個基本圖形，而AE＝ED，BF＝FC，又使從兩

AG?DHHF個基本圖形中給出的比例式有一個公共的比值，從中可以得到GF．所以GH∥AD．

證明：∵ AD∥BC，AE?AGGFED?DHHF∴ BF，F(xiàn)C．

∵ AE＝ED，BF＝FC，AG?DHHF∴ GF，∴ GH∥AD．

例6 如圖4-29，已知：AD平分∠BAC，DE∥AC，EF∥BC，AB＝15cm，AF＝4cm． 求：BE和DE的長．

圖4-29 點悟：題設(shè)中的兩對平行線起著不同的作用．由DE∥AC，AD平分∠BAC，可以得到AE＝DE．這樣已知及欲求的線段BE，AE，AB，AF都在AB和AC這兩條邊上，利用EF∥BC，就可以得到相應(yīng)的比例線段．求得答案． 解：∵ DE∥AC，∴ ∠3＝∠2，又AD平分∠BAC，∴ ∠1＝∠2，∴ ∠1＝∠3，∴ ED＝AE． ∵ EF∥BC，ED∥CF，∴ EDCF為平行四邊形，∴ ED＝CF＝AE．

設(shè)AE＝x，則 CF＝x，BE＝15－x． ∵ EF∥BC，AE?AFCFx?4x∴ BE，即15?x，2∴ x?4x?60?0

解得，x1??10(舍)，x2?6． ∴ DE＝6cm，BE＝9cm．

例7 如圖4-30，已知：在△ABC中，AD和BE相交于G，BD∶DC＝3∶1，AG＝GD． 求BG∶GE．

圖4-30 點悟：按照例4的分析，過點G作GM∥AC，根據(jù)平行線截得比例線段定理，得BG∶GE＝BM∶MC，于是只要求出BM∶MC的值即可． 解：作GM∥AC交BC于M，則 BG∶GE＝BM∶MC． ∵ AG＝GD，DM?MC?12DC∴ ．

BD∵ DCBD1?31，?61BD即2DC，MC?6?11?61．

?71BD?MCMCBM，即MC，∴ BG∶GE＝7∶1．

點撥：以上四例中，我們復(fù)習(xí)了線段成比例和平行線分線段成比例的有關(guān)知識．

【易錯例題分析】

例1 已知：在正方形ABCD中，P是BC上的點，且BP＝3PC，Q是CD的中點． 求證：△ADQ∽△QCP． 證明：在正方形ABCD中，∵ Q是CD的中點，AD?2∴ QCBP，?3BC?4DQ∵ PC，∴ PC．又∵ BC＝2DQ，∴ PC?DQPC，∠C＝∠D＝90°，?2．

AD在△ADQ和△QCP中，QC∴ △ADQ∽△QCP． 警示：證此類題應(yīng)避免沒有目標(biāo)而亂推理的情況．

例2 一塊直角三角形木板的一條直角邊AB長為1.5米，面積為1.5平方米，要把它加工成一個面積最大的正方形桌面，甲、乙兩位同學(xué)的加工方法分別如圖4-31(1)、(2)所示，請你用學(xué)過的知識說明哪位同學(xué)的加工方法符合要求(加工損耗忽略不計，計算結(jié)果中的分?jǐn)?shù)可保留)．

解：由AB＝1.5米，SΔABC?1.5平方米，得BC＝2米．設(shè)甲加工的桌面邊長為x米，∵DE∥AB，Rt△CDE∽Rt△CBA，CD?DEAB672?x?x1.5∴ CB，即2．

解得 x?，過點B作Rt△ABC斜邊AC上的高BH，交DE于P，交AC于H．

由AB＝1.5米，BC＝2米，SΔABC?1.5平方米得AC＝2.5米，BH＝1.2米． 設(shè)乙加工的桌面邊長為y米，∵ DE∥AC，∴ Rt△BDE∽Rt△BAC．

BP?DEAC1.2?y?y2.5∴ BHy?，即1.2

3037303722即x＞y，x?y，解得，6因為7?所以甲同學(xué)的加工方法符合要求． 警示：解此類要避免看不出相似直角三角形而無法解的情況，更要避免看不出對應(yīng)線段造成的比值寫錯而形成的計算錯誤．

例3 如圖4-32，AD是直角△ABC斜邊上的高，DE⊥DF，且DE和DF分別交AB、AF?BEBDAC于E、F．求證：AD．

圖4-32(2002年，安徽)正解：∵ BA⊥AC，AD⊥BC，∴ ∠B＋∠BAD＝∠BAD＋∠DAC＝90°，∴ ∠B＝∠DAC．又∵ ED⊥DF，∴ ∠BDE＋∠EDA＝∠EDA＋∠ADF＝90°，∴ ∠BDE＝∠ADF，∴ △BDE∽△ADF．

BD?BEAFAF?BEBD∴ AD，即 AD．

警示：本例常見的錯誤是不證三角形相似，直接進行線段的比，這是規(guī)范的一種情況．

【同步達綱練習(xí)】

一、選擇題

1．如圖4-33，在△ABC中，AB＝AC，AD是高，EF∥BC，則圖中與△ADC相似的三角形共有（）

A．1個 B．2個 C．3個 D．多于3個

2．某班在布置新年聯(lián)歡晚會會場時，需要將直角三角形彩紙裁成長度不等的矩形彩條，如圖4-34在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝30cm，AB＝50cm，依次裁下寬為1cm的矩形紙條a1、a2、a3…若使裁得的矩形紙條的長都不小于5cm，則每張直角三角形彩紙能裁成的矩形紙條的總數(shù)是（）

A．24 B．25 C．26 D．27

圖4-33 圖4-34

二、填空題

3．如圖4-35，△AED∽△ABC，其中∠1＝∠B，則AD∶________＝________∶BC＝________∶AB．

圖4-35 圖4-36 4．如圖4-36，D、E、F分別是△ABC的邊AB、BC、CA的中點，則圖中與△ABC相似的三角形共有________個，它們是_______________．

5．陽光通過窗口照到室內(nèi)，在地面上留下2.7m寬的亮區(qū)，已知亮區(qū)到窗下的墻腳最遠距離是8.7m，窗口高1.8m，那么窗口底邊離地面的高等于________．

三、解答題

6．如圖4-37，在△ABC中，AB＝AC，AD是中線，P是AD上一點，過C作CF∥AB，延長BP交AC于E，交CF于F．求證：BP2?PE?PF．

7．已知：如圖4-38，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，AE是△ABC的外角平分線，BF是∠ABC的平分線，BF的延長線交AE于E．求證：(1)AF＝BF＝BC；(2)EF∶BF＝BC∶FC．

圖4-37 圖4-38 8．四邊形ABCD是平行四邊形，點E在邊BA的延長線上，CE交AD于F，∠ECA＝∠D．求證：AC·BE＝AD·CE．

參考答案

【同步達綱練習(xí)】

1．C 2．C 3．AC，ED，AE 4．4，△ADF、△DBE、△FEC、△EFD

5.4m 6．連結(jié)PC，先證明△ABP≌△ACP，∴PB＝PC，再證明△PCF∽△PEC，∴PC∶PE＝PF∶PC．∴PC2?PE?PF，∴PB2?PE?PF

7．(1)由已知可求得∠ABF＝∠BAC＝36°，∠C＝∠BFC＝72°，∴BC＝BF＝AF

(2)∵△EAF、△BCF都是底角為72°的等腰三角形，∴△EAF∽△BCF，∴EF∶BF＝AF∶CF，又AF＝BC，∴EF∶BF＝BC∶FC

8．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，∠D＝∠B，∵∠ECA＝∠D，∴∠ECA＝∠B，又∵∠E＝∠E，∴△ECA∽△EBC，∴AC∶BC＝CE∶BE，∴AC∶AD＝CE∶BE，∴AC·BE＝AD·CE