第一篇：解三角形應(yīng)用舉例教案（推薦）

解三角形應(yīng)用舉例教案

●教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能：能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些有關(guān)測(cè)量距離的實(shí)際問(wèn)題，了解常用的測(cè)量相關(guān)術(shù)語(yǔ)

過(guò)程與方法：首先通過(guò)巧妙的設(shè)疑，順利地引導(dǎo)新課，為以后的幾節(jié)課做良好鋪墊。其次結(jié)合學(xué)生的實(shí)際情況，采用“提出問(wèn)題——引發(fā)思考——探索猜想——總結(jié)規(guī)律——反饋訓(xùn)練”的教學(xué)過(guò)程，根據(jù)大綱要求以及教學(xué)內(nèi)容之間的內(nèi)在關(guān)系，鋪開例題，設(shè)計(jì)變式，同時(shí)通過(guò)多媒體、圖形觀察等直觀演示，幫助學(xué)生掌握解法，能夠類比解決實(shí)際問(wèn)題。對(duì)于例2這樣的開放性題目要鼓勵(lì)學(xué)生討論，開放多種思路，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題并進(jìn)行適當(dāng)?shù)闹更c(diǎn)和矯正

情感態(tài)度與價(jià)值觀：激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,并體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值；同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用圖形、數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)題意和應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力 ●教學(xué)重點(diǎn)

實(shí)際問(wèn)題中抽象出一個(gè)或幾個(gè)三角形，然后逐個(gè)解決三角形，得到實(shí)際問(wèn)題的解 ●教學(xué)難點(diǎn)

根據(jù)題意建立數(shù)學(xué)模型，畫出示意圖 ●教學(xué)過(guò)程 Ⅰ.課題導(dǎo)入

1、[復(fù)習(xí)舊知] 復(fù)習(xí)提問(wèn)什么是正弦定理、余弦定理以及它們可以解決哪些類型的三角形？

2、[設(shè)置情境]

請(qǐng)學(xué)生回答完后再提問(wèn)：前面引言第一章“解三角形”中，我們遇到這么一個(gè)問(wèn)題，“遙不可及的月亮離我們地球究竟有多遠(yuǎn)呢？”在古代，天文學(xué)家沒(méi)有先進(jìn)的儀器就已經(jīng)估算出了兩者的距離，是什么神奇的方法探索到這個(gè)奧秘的呢？我們知道，對(duì)于未知的距離、高度等，存在著許多可供選擇的測(cè)量方案，比如可以應(yīng)用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在實(shí)際測(cè)量問(wèn)題的真實(shí)背景下，某些方法會(huì)不能實(shí)施。如因?yàn)闆](méi)有足夠的空間，不能用全等三角形的方法來(lái)測(cè)量，所以，有些方法會(huì)有局限性。于是上面介紹的問(wèn)題是用以前的方法所不能解決的。今天我們開始學(xué)習(xí)正弦定理、余弦定理在科學(xué)實(shí)踐中的重要應(yīng)用，首先研究如何測(cè)量距離。Ⅱ.講授新課

（1）解決實(shí)際測(cè)量問(wèn)題的過(guò)程一般要充分認(rèn)真理解題意，正確做出圖形，把實(shí)際問(wèn)題里的條件和所求轉(zhuǎn)換成三角形中的已知和未知的邊、角，通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型來(lái)求解

[例題講解]

(2)例

1、如圖，設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，要測(cè)量?jī)牲c(diǎn)之間的距離，測(cè)量者在A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點(diǎn)C，測(cè)出AC的距離是55m，?BAC=51?，?ACB=75?。求A、B兩點(diǎn)的距離(精確到0.1m)

啟發(fā)提問(wèn)1：?ABC中，根據(jù)已知的邊和對(duì)應(yīng)角，運(yùn)用哪個(gè)定理比較適當(dāng)？

啟發(fā)提問(wèn)2：運(yùn)用該定理解題還需要那些邊和角呢？請(qǐng)學(xué)生回答。分析：這是一道關(guān)于測(cè)量從一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)到一個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離的問(wèn)題，題目條件告訴了邊AB的對(duì)角，AC為已知邊，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理很容易根據(jù)兩個(gè)已知角算出AC的對(duì)角，應(yīng)用正弦定理算出AB邊。解：根據(jù)正弦定理，得

ABsin?ACB =

ACsin?ABC

AB = ACsin?ACB

sin?ABC = 55sin?ACB

sin?ABC =

55sin75? sin(180??51??75?)= 55sin75?

sin54? ≈ 65.7(m)答:A、B兩點(diǎn)間的距離為65.7米

變式練習(xí)：兩燈塔A、B與海洋觀察站C的距離都等于a km,燈塔A在觀察站C的北偏東30?，燈塔B在觀察站C南偏東60?，則A、B之間的距離為多少？

老師指導(dǎo)學(xué)生畫圖，建立數(shù)學(xué)模型。解略：2a km 例

2、如圖，A、B兩點(diǎn)都在河的對(duì)岸（不可到達(dá)），設(shè)計(jì)一種測(cè)量A、B兩點(diǎn)間距離的方法。

分析：這是例1的變式題，研究的是兩個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離測(cè)量問(wèn)題。首先需要構(gòu)造三角形，所以需要確定C、D兩點(diǎn)。根據(jù)正弦定理中已知三角形的任意兩個(gè)內(nèi)角與一邊既可求出另兩邊的方法，分別求出AC和BC，再利用余弦定理可以計(jì)算出AB的距離。

解：測(cè)量者可以在河岸邊選定兩點(diǎn)C、D，測(cè)得CD=a，并且在C、D兩點(diǎn)分別測(cè)得?BCA=?，? ACD=?，?CDB=?，?BDA =?，在?ADC和?BDC中，應(yīng)用正弦定理得

AC = BC =

asin(???)= asin(???)

sin[180??(?????)]sin(?????)asin? = asin? sin[180??(?????)]sin(?????)計(jì)算出AC和BC后，再在?ABC中，應(yīng)用余弦定理計(jì)算出AB兩點(diǎn)間的距離 AB =

AC2?BC2?2AC?BCcos?

分組討論：還沒(méi)有其它的方法呢？師生一起對(duì)不同方法進(jìn)行對(duì)比、分析。

變式訓(xùn)練：若在河岸選取相距40米的C、D兩點(diǎn)，測(cè)得?BCA=60?，?ACD=30?，?CDB=45?，?BDA =60?

略解：將題中各已知量代入例2推出的公式，得AB=20

評(píng)注：可見，在研究三角形時(shí)，靈活根據(jù)兩個(gè)定理可以尋找到多種解決問(wèn)題的方案，但有些過(guò)程較繁復(fù)，如何找到最優(yōu)的方法，最主要的還是分析兩個(gè)定理的特點(diǎn)，結(jié)合題目條件來(lái)選擇最佳的計(jì)算方式。學(xué)生閱讀課本4頁(yè)，了解測(cè)量中基線的概念，并找到生活中的相應(yīng)例子。Ⅲ.課堂練習(xí)

課本第13頁(yè)練習(xí)第1、2題 Ⅳ.課時(shí)小結(jié)

解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟：

（1）分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖

（2）建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個(gè)解斜三角形的數(shù)學(xué)模型

（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解

（4）檢驗(yàn)：檢驗(yàn)上述所求的解是否符合實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問(wèn)題的解 Ⅴ.課后作業(yè)

課本第19頁(yè)第1、2、3題

第二篇：解三角形應(yīng)用舉例教學(xué)設(shè)計(jì)

解三角形應(yīng)用舉例

教材：普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·人教B版·必修5·1.2

一、教學(xué)目標(biāo) 1 知識(shí)與技能目標(biāo)

初步運(yùn)用正弦定理、余弦定理解決某些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題． 2 過(guò)程與方法目標(biāo)

（1）．通過(guò)解決“測(cè)量一個(gè)底部不能到達(dá)的建筑物的高度”或“測(cè)量平面上兩個(gè)不能到達(dá)的地方之間的距離”的問(wèn)題，初步掌握將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解斜三角形問(wèn)題的方法；

（2）．進(jìn)一步提高應(yīng)用正弦定理、余弦定理解斜三角形的能力，提高運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解

決實(shí)際問(wèn)題的能力． 情感、態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)

（1）．通過(guò)學(xué)生親自實(shí)施對(duì)“測(cè)量” 問(wèn)題的解決，體會(huì)如何將具體的實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題，體驗(yàn)問(wèn)題解決的全過(guò)程；

（2）．發(fā)展學(xué)生搜集和處理信息的能力、獲取新知識(shí)的能力、分析解決問(wèn)題的能力，以及交流與合作的能力，著重學(xué)生多元智能的發(fā)展。

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn) 重點(diǎn)是如何將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，并利用解斜三角形的方法予以解決． 分析、探究并確定將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的思路是難點(diǎn)和關(guān)鍵．

三、教學(xué)方法與手段 教學(xué)方法：運(yùn)用認(rèn)知建構(gòu)教學(xué)理論和多元智能發(fā)展觀，在教學(xué)中采用自主探究與嘗試指導(dǎo)相結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)分析實(shí)踐、自主探究、合作討論得出轉(zhuǎn)化（解決）問(wèn)題的方法． 學(xué)習(xí)方法：在實(shí)踐中體驗(yàn)過(guò)程，在過(guò)程中感受應(yīng)用，在交流中升華知識(shí)。教學(xué)手段：實(shí)際模擬、合作學(xué)習(xí)、多媒體（投影儀）

四、教學(xué)過(guò)程

【教學(xué)環(huán)節(jié)一：復(fù)習(xí)回顧】 教學(xué)內(nèi)容： 完成下列兩個(gè)小題：

① 在△ABC中，已知A=30, B=30, c =

0

0，則a =_______，c =_______。

② 如圖，為了測(cè)量某障礙物兩側(cè)A、B兩點(diǎn)間的距離，給定下列四組數(shù)據(jù)，測(cè)量時(shí)最好選用數(shù)據(jù)（），最好不要選用數(shù)據(jù)（）

(A)

(B)

(C)

(D)

師生互動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立完成上面兩個(gè)小題，并作出回答，回答時(shí)闡明作答依據(jù)。

設(shè)計(jì)意圖：（1）復(fù)習(xí)：①正、余弦定理；②解斜三角形的方法。

（2）為本節(jié)課重點(diǎn)知識(shí)的學(xué)習(xí)做一些知識(shí)準(zhǔn)備。

【教學(xué)環(huán)節(jié)二：?jiǎn)栴}一的提出與解決】

教學(xué)內(nèi)容：怎樣測(cè)量一個(gè)底部不能到達(dá)的建筑物的高度？

<問(wèn)題一> 我?？萍紭琼敶Ａ⒅蛔煳挠^測(cè)臺(tái)，如何通過(guò)測(cè)量，求得天文臺(tái)頂距地面的高度？

師生互動(dòng)：分析、探究、討論、歸納。

① 教師帶領(lǐng)學(xué)生一起分析題目背景――天文臺(tái)頂?shù)降孛娴木嚯x指天文臺(tái)頂（記為點(diǎn)A）到它在地面上的正射影（記為點(diǎn)B）這兩點(diǎn)間的距離，而在這里顯然B點(diǎn)無(wú)法到達(dá)，故不能

直接測(cè)量。

② 發(fā)動(dòng)學(xué)生分組討論解決方案：既然不能直接測(cè)量A、B兩點(diǎn)的距離，我們是否可以考慮利用可測(cè)量的其它數(shù)據(jù)得出所需數(shù)據(jù)？

③ 討論過(guò)程1：可在適當(dāng)?shù)牡胤剑芸吹巾旤c(diǎn)A的可到達(dá)的一點(diǎn)）選取一點(diǎn)C，對(duì)AB進(jìn)行測(cè)量，如圖1－A，設(shè)CC1表示測(cè)量?jī)x器的高，在△AB1C1中只能測(cè)得∠AC1B1（即在C1點(diǎn)測(cè)的點(diǎn)A的仰角，記為）。要求得AB，須再選取另一點(diǎn)D。設(shè)測(cè)得CD = a，∠B1C1D1＝，∠C1D1B1＝,則在本題中可抽象出兩個(gè)空間關(guān)系的三角形，其中△AB1C1是直角三角形。在△B1C1D1中，由、a根據(jù)正弦定理可求得B1C1，在Rt△AB1C1中，由

問(wèn)題得解。即：

和B1C1可求得AB1，在△B1C1D1中，即，所以

在△AB1C1中，AB1＝B1C1·tan，于是，天文臺(tái)頂距地面的高度為AB=AB1＋CC1.④ 實(shí)施方案：學(xué)生用自制的儀器對(duì)天文臺(tái)實(shí)施測(cè)量（可在課下進(jìn)行），得數(shù)據(jù)如下：

測(cè)點(diǎn)距地面1.5m。

在滿足精確度為0.1m的前提下，請(qǐng)同學(xué)們計(jì)算所求距離。

過(guò)程：易解得

所以

因此天文臺(tái)頂距地面的高度約為

⑤ 反思完善：

米。

提問(wèn)：下面請(qǐng)同學(xué)們回顧剛剛我們的實(shí)際操作過(guò)程，有無(wú)問(wèn)題存在？

學(xué)生經(jīng)過(guò)討論，（一般會(huì)）發(fā)現(xiàn)有兩個(gè)問(wèn)題，一是在測(cè)量過(guò)程中的B點(diǎn)或B1點(diǎn)不可到達(dá)，實(shí)際操作時(shí)是大體估計(jì)的位置，準(zhǔn)確度差；二是學(xué)生會(huì)覺(jué)得還有更簡(jiǎn)方法。

<發(fā)動(dòng)學(xué)生討論改善方法> 學(xué)生分組討論，然后發(fā)表討論結(jié)果。

<討論過(guò)程2> 如圖1－B，由于B點(diǎn)或B1點(diǎn)不可到達(dá)，所以不考慮圖1－A中的∠B1C1D1和∠C1D1B1，而點(diǎn)A是可見的，于是我們可以準(zhǔn)確測(cè)量出∠AC1D1＝，∠AD1C1＝, CD = a，這樣，在△AC1D1中，由、a根據(jù)正弦定理可求得AC1，在Rt△AB1C1中，由AC1可求得AB1，問(wèn)題得解。即：

和在△AC1D1中，即，所以

在△AB1C1中，AB1＝AC1·sin

，于是，天文臺(tái)頂距地面的高度為AB=AB1＋CC1

評(píng)：這個(gè)方法應(yīng)該是完全可行的，只是計(jì)算還有些麻煩。具體的測(cè)量和計(jì)算由學(xué)生課

下完成，寫成實(shí)踐報(bào)告。

<討論過(guò)程3> 我們可以做如下測(cè)量，在可到達(dá)的地方取C、D, 使這兩點(diǎn)與點(diǎn)A在地面上的垂線在同一平面內(nèi)（這樣可以保證B、C、D三點(diǎn)共線），如圖2，設(shè)CC1表示測(cè)量?jī)x器的高，在C1點(diǎn)和D1點(diǎn)分別測(cè)得A點(diǎn)仰角為，C1D1＝a，于是，在△AC1D1中，我們可以利用正弦定理求

求出AB1，最后求出AB=AB1＋B1B.得AC1，再在Rt△AB1C1中，利用

評(píng)：此法比較容易操作，但C、D兩點(diǎn)的選取多少需要些技巧。

⑥歸納總結(jié)：學(xué)生對(duì)照問(wèn)題及三種解決方案總結(jié)解決該問(wèn)題的方法及注意事項(xiàng)，并建議學(xué)生閱讀教材問(wèn)題一及處理方法，加深對(duì)上述方法的認(rèn)識(shí)。

設(shè)計(jì)意圖：從獲取數(shù)據(jù)開始，使學(xué)生親身經(jīng)歷并體驗(yàn)如何將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，從而得到解決。在討論過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生利用所學(xué)知識(shí)分三步層層發(fā)掘，探尋解決問(wèn)題的最佳方案，感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值、人文價(jià)值、美學(xué)價(jià)值。在這一環(huán)節(jié)的教學(xué)中，采用認(rèn)知建構(gòu)教學(xué)理論和合作學(xué)習(xí)，在學(xué)生獲取解決問(wèn)題的方法的同時(shí)，注意了學(xué)生多元智能的發(fā)展。

【教學(xué)環(huán)節(jié)三：?jiǎn)栴}二的提出與解決】

教學(xué)內(nèi)容：怎樣測(cè)量平面上兩個(gè)不能到達(dá)的地方之間的距離？ <問(wèn)題二> 設(shè)A、B是兩個(gè)海島，如何在岸邊測(cè)量它們之間的距離？

師生互動(dòng)：

①合作探究：學(xué)生分組討論，探尋解決問(wèn)題的方案。以下是討論內(nèi)容與過(guò)程：與問(wèn)題一類似，如果只選一個(gè)觀測(cè)點(diǎn)C，在△ABC中只能測(cè)得∠ACB的大小，問(wèn)題不能得到解決。因此需要再選擇一個(gè)測(cè)點(diǎn)D，構(gòu)造出一個(gè)能測(cè)出其一條邊長(zhǎng)的△BCD。要求出AB，還應(yīng)先求

出AC和BC，為此應(yīng)先解△ACD和△BCD。

②演練方案：按照上面討論的方案，各組同學(xué)進(jìn)行模擬演練：如圖3，在岸邊適當(dāng)選取點(diǎn)C、D，使A、B、C、D共面（即保持在同一水平面上），測(cè)得

在△BCD中，由正弦定理，可以得到:，同理，在△ACD中也可以得到在△ABC中，由余弦定理，得

.，從而求得AB。

設(shè)計(jì)意圖：深化將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程與方法，加強(qiáng)學(xué)生的合作意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生探尋解決問(wèn)題的方法的思路與策略，提高學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力?！窘虒W(xué)環(huán)節(jié)四：課堂練習(xí)】

練習(xí)內(nèi)容：教材第16頁(yè)，練習(xí)A，1

師生互動(dòng)： ① 學(xué)生獨(dú)立完成練習(xí)

② 教師展示答案：先利用投影儀把有代表性的幾個(gè)學(xué)生的解答過(guò)程展示在大屏幕上，由學(xué)生自由講評(píng)，教師總結(jié)。

設(shè)計(jì)意圖：

通過(guò)反饋矯正，初步了解學(xué)生對(duì)本節(jié)教學(xué)內(nèi)容的掌握情況，并及時(shí)給予調(diào)整。

【教學(xué)環(huán)節(jié)五：教學(xué)評(píng)價(jià)】

1、讓學(xué)生先進(jìn)行分組總結(jié)，思考三個(gè)問(wèn)題：

① 本節(jié)課我們研究了什么？提出了什么問(wèn)題？問(wèn)題解決了嗎？

② 本節(jié)課你學(xué)到了哪些方法？掌握了哪些技能？

③ 你認(rèn)為自己對(duì)本節(jié)課內(nèi)容掌握的好不好？課后打算怎樣進(jìn)一步鞏固？

2、學(xué)生代表發(fā)表討論的課堂總結(jié)，互相補(bǔ)充。

3、教師進(jìn)行總結(jié)，要點(diǎn)如下：

① 兩個(gè)問(wèn)題：怎樣測(cè)量一個(gè)底部不能到達(dá)的建筑物的高度？

怎樣測(cè)量平面上兩個(gè)不能到達(dá)的地方之間的距離？

② 運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的基本思路：首先要在理解題意的基礎(chǔ)上將實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化，然后再利用有關(guān)定理、性質(zhì)、公式解決之。步驟如下：

③ 提高實(shí)踐能力（如測(cè)量的精確度）。

【課后作業(yè)】

1、教材P16，練習(xí)A，2； 教材P16，練習(xí)B，1、2

2、各小組利用自制的儀器，在我們周圍選一較高建筑物用本節(jié)學(xué)習(xí)的方法測(cè)量其高度。

寫出測(cè)量報(bào)告。附：教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明

一、教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)及處理

根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)，這一課時(shí)的教學(xué)重點(diǎn)是解決兩個(gè)與測(cè)量有關(guān)的問(wèn)題。在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，對(duì)教學(xué)的每一個(gè)環(huán)節(jié)都強(qiáng)調(diào)了學(xué)生的主體地位。對(duì)每一個(gè)問(wèn)題的解決，從問(wèn)題的分析、方案的討論、數(shù)據(jù)的獲取、信息的分析、結(jié)論的得出、方法的總結(jié)，無(wú)一不是由學(xué)生親自參與，合作完成的，而教師很好的充當(dāng)了指導(dǎo)者和合作伙伴的角色，形成了一個(gè)自由的、開放的生態(tài)化課堂。

二、教學(xué)目標(biāo)的確定

根據(jù)本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容的實(shí)踐性強(qiáng)的特點(diǎn)，在確定教學(xué)目標(biāo)時(shí)注重了三方面的要求：一是初步運(yùn)用正弦定理、余弦定理解決某些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題這一知識(shí)與技能的要求；二是強(qiáng)調(diào)了學(xué)生從實(shí)踐過(guò)程中發(fā)現(xiàn)積累知識(shí)這一認(rèn)知建構(gòu)主義教學(xué)模式；三是明確提出了學(xué)生要從經(jīng)歷問(wèn)題解決的全過(guò)程中學(xué)習(xí)這一體驗(yàn)性目標(biāo)。

三、教學(xué)方法的選擇

根據(jù)上述分析，本節(jié)課就特別適用建構(gòu)主義教學(xué)模式下的分析實(shí)踐、自主探究、合作學(xué)習(xí)這一十分有利于學(xué)生多元智能發(fā)展的教學(xué)方法。

四、教學(xué)過(guò)程的說(shuō)明

高中新課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)教師要在教學(xué)中幫助學(xué)生形成積極主動(dòng)的學(xué)習(xí)態(tài)度，要將學(xué)習(xí)過(guò)程變?yōu)閷W(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、學(xué)會(huì)合作、學(xué)會(huì)生存、學(xué)會(huì)做人的過(guò)程。

在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，我把教材中的問(wèn)題一做了小小的改變：測(cè)量故宮的角樓改為測(cè)量本校天文臺(tái)頂?shù)降孛娴木嚯x。這樣，學(xué)生可以直接參與方案的探尋、數(shù)據(jù)的獲取與分析、結(jié)論的得出全過(guò)程，可以“從實(shí)踐中直接獲取知識(shí)”，在獲得真實(shí)的過(guò)程體驗(yàn)同時(shí)，掌握了解決測(cè)量問(wèn)題的方法。而且，這樣的實(shí)踐，學(xué)生非常樂(lè)于參加，自然有了積極主動(dòng)的學(xué)習(xí)態(tài)度。通過(guò)對(duì)問(wèn)題一解決方案的不斷優(yōu)化，使每一個(gè)參與者都深深地感受到了數(shù)學(xué)應(yīng)用的靈活性、開放性和數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)單化原則。當(dāng)解決了方案一的瓶頸后，當(dāng)?shù)玫搅撕?jiǎn)單的方案三后，我們從精神上得到了徹底的滿足，數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值和美學(xué)價(jià)值在這一刻獲得了清晰地體現(xiàn)。

第三篇：《相似三角形應(yīng)用舉例》教案

《相似三角形應(yīng)用舉例》教案

一、教學(xué)目標(biāo)

1． 進(jìn)一步鞏固相似三角形的知識(shí)．

2． 能夠運(yùn)用三角形相似的知識(shí)，解決不能直接測(cè)量物體的長(zhǎng)度和高度（如測(cè)量金字塔高度問(wèn)題、測(cè)量河寬問(wèn)題、盲區(qū)問(wèn)題）等的一些實(shí)際問(wèn)題．

3． 通過(guò)把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成有關(guān)相似三角形的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)一步了解數(shù)學(xué)建模的思想，培養(yǎng)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．

二、重點(diǎn)、難點(diǎn)

1．重點(diǎn)：運(yùn)用三角形相似的知識(shí)計(jì)算不能直接測(cè)量物體的長(zhǎng)度和高度．

2．難點(diǎn)：靈活運(yùn)用三角形相似的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題（如何把實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題）．

三、例題的意圖

相似三角形的應(yīng)用主要有如下兩個(gè)方面：（1）測(cè)高(不能直接使用皮尺或刻度尺量的)；（2）測(cè)距(不能直接測(cè)量的兩點(diǎn)間的距離)．本節(jié)課通過(guò)教材P49的例3——P50的例5（教材P49例3——是測(cè)量金字塔高度問(wèn)題；P50例4?——是測(cè)量河寬問(wèn)題；P50例5——是盲區(qū)問(wèn)題）的講解，使學(xué)生掌握測(cè)高和測(cè)距的方法．知道在實(shí)際測(cè)量物體的高度、寬度時(shí)，關(guān)鍵是要構(gòu)造和實(shí)物所在三角形相似的三角形，而且要能測(cè)量已知三角形的各條線段的長(zhǎng)，運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)列出比例式求解．講課時(shí)，可以讓學(xué)生思考用不同的方法解這幾個(gè)實(shí)際問(wèn)題，以提高從實(shí)際生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題、運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力． 應(yīng)讓學(xué)生多見些不同類型的有關(guān)相似三角形的應(yīng)用問(wèn)題，便于學(xué)生理解：世上許多實(shí)際問(wèn)題都可以用數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)解決，而本節(jié)的應(yīng)用實(shí)質(zhì)是：運(yùn)用相似三角形相似比的相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題，并讓學(xué)生掌握運(yùn)用這方面的知識(shí)解決在自己生活中的一些實(shí)際問(wèn)題的計(jì)算方法． 其中P50的例5出現(xiàn)了幾個(gè)概念，在講此例題時(shí)可以給學(xué)生介紹．（1）視點(diǎn)：觀察者眼睛的位置稱為視點(diǎn)；（2）視線：由視點(diǎn)出發(fā)的線稱為視線；（3）仰角：在進(jìn)行測(cè)量時(shí)，從下向上看，視線與水平線的夾角叫做仰角；（4）盲區(qū)：人眼看不到的地方稱為盲區(qū)．

四、課堂引入

問(wèn)：世界現(xiàn)存規(guī)模最大的金字塔位于哪個(gè)國(guó)家，叫什么金字塔？

胡夫金字塔是埃及現(xiàn)存規(guī)模最大的金字塔，被喻為“世界古代七大奇觀之一” ．塔的４個(gè)斜面正對(duì)東南西北四個(gè)方向，塔基呈正方形，每邊長(zhǎng)約230多米．據(jù)考證，為建成大金字塔，共動(dòng)用了10萬(wàn)人花了20年時(shí)間．原高146.59米，但由于經(jīng)過(guò)幾千年的風(fēng)吹雨打，頂端被風(fēng)化吹蝕，所以高度有所降低．

在古希臘，有一位偉大的科學(xué)家叫泰勒斯．一天，希臘國(guó)王阿馬西斯對(duì)他說(shuō)：“聽說(shuō)你什么都知道，那就請(qǐng)你測(cè)量一下埃及金字塔的高度吧！”，這在當(dāng)時(shí)條件下是個(gè)大難題，因?yàn)槭呛茈y爬到塔頂?shù)模阒捞├账故窃鯓訙y(cè)量大金字塔的高度的嗎？

五、例題講解

例1（教材P49例3——測(cè)量金字塔高度問(wèn)題）

分析：根據(jù)太陽(yáng)光的光線是互相平行的特點(diǎn)，可知在同一時(shí)刻的陽(yáng)光下，豎直的兩個(gè)物體的影子互相平行，從而構(gòu)造相似三角形，再利用相似三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)已知條件，求出金字塔的高度． 解：略（見教材P49）

問(wèn)：你還可以用什么方法來(lái)測(cè)量金字塔的高度？（如用身高等）

解法二：用鏡面反射（如圖，點(diǎn)A是個(gè)小鏡子，根據(jù)光的反射定律：由入射角等于反射角構(gòu)造相似三角形）．（解法略）

例2（教材P50例4?——測(cè)量河寬問(wèn)題）

分析：設(shè)河寬PQ長(zhǎng)為x m，由于此種測(cè)量方法構(gòu)造了三角形中的平行截線，故可得到相似三角形，因此有，即 ．再解x的方程可求出河寬． 解：略（見教材P50）

問(wèn)：你還可以用什么方法來(lái)測(cè)量河的寬度？

解法二：如圖構(gòu)造相似三角形（解法略）．

例3（教材P50例5——盲區(qū)問(wèn)題）分析：略（見教材P50）解：略（見教材P51）

六、課堂練習(xí)

1． 在同一時(shí)刻物體的高度與它的影長(zhǎng)成正比例．在某一時(shí)刻，有人測(cè)得一高為1.8米的竹竿的影長(zhǎng)為3米，某一高樓的影長(zhǎng)為60米，那么高樓的高度是多少米? 2． 小明要測(cè)量一座古塔的高度，從距他2米的一小塊積水處C看到塔頂?shù)牡褂?，已知小明的眼部離地面的高度DE是1.5米，塔底中心B到積水處C的距離是40米.求塔高?

七、課后練習(xí)

1． 教材P51.練習(xí)1和練習(xí)2．

2． 如圖，小明在打網(wǎng)球時(shí)，使球恰好能打過(guò)網(wǎng)，而且落在離網(wǎng)5米的位置上，求球拍擊球的高度h．(設(shè)網(wǎng)球是直線運(yùn)動(dòng))3． 小明想利用樹影測(cè)量樹高，他在某一時(shí)刻測(cè)得長(zhǎng)為1m的竹竿影長(zhǎng)0.9m，但當(dāng)他馬上測(cè)量樹影時(shí)，因樹靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墻上，如圖，他先測(cè)得留在墻上的影高1.2m，又測(cè)得地面部分的影長(zhǎng)2.7m，他求得的樹高是多少？

第四篇：【數(shù)學(xué)】1.2.4《解三角形應(yīng)用舉例》教案(新人教A版必修5)

知識(shí)改變命運(yùn)，學(xué)習(xí)成就未來(lái)

課題: §1.2.4解三角形應(yīng)用舉例

授課類型：新授課

●教學(xué)目標(biāo) 知識(shí)與技能：能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法進(jìn)一步解決有關(guān)三角形的問(wèn)題, 掌握三角形的面積公式的簡(jiǎn)單推導(dǎo)和應(yīng)用

過(guò)程與方法：本節(jié)課補(bǔ)充了三角形新的面積公式，巧妙設(shè)疑，引導(dǎo)學(xué)生證明，同時(shí)總結(jié)出該公式的特點(diǎn)，循序漸進(jìn)地具體運(yùn)用于相關(guān)的題型。另外本節(jié)課的證明題體現(xiàn)了前面所學(xué)知識(shí)的生動(dòng)運(yùn)用，教師要放手讓學(xué)生摸索，使學(xué)生在具體的論證中靈活把握正弦定理和余弦定理的特點(diǎn)，能不拘一格，一題多解。只要學(xué)生自行掌握了兩定理的特點(diǎn)，就能很快開闊思維，有利地進(jìn)一步突破難點(diǎn)。情感態(tài)度與價(jià)值觀：讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固所學(xué)的知識(shí)，加深對(duì)所學(xué)定理的理解，提高創(chuàng)新能力；進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生研究和發(fā)現(xiàn)能力，讓學(xué)生在探究中體驗(yàn)愉悅的成功體驗(yàn) ●教學(xué)重點(diǎn)

推導(dǎo)三角形的面積公式并解決簡(jiǎn)單的相關(guān)題目 ●教學(xué)難點(diǎn)

利用正弦定理、余弦定理來(lái)求證簡(jiǎn)單的證明題 ●教學(xué)過(guò)程 Ⅰ.課題導(dǎo)入 [創(chuàng)設(shè)情境] 師：以前我們就已經(jīng)接觸過(guò)了三角形的面積公式，今天我們來(lái)學(xué)習(xí)它的另一個(gè)表達(dá)公式。在

?ABC中，邊BC、CA、AB上的高分別記為ha、hb、hc，那么它們?nèi)绾斡靡阎吅徒潜硎荆?/p>

生：ha=bsinC=csinB

hb=csinA=asinC hc=asinB=bsinaA

1ah,應(yīng)用以上求出的高的公式如ha=bsinC代入，21可以推導(dǎo)出下面的三角形面積公式，S=absinC，大家能推出其它的幾個(gè)公式嗎？

211生：同理可得，S=bcsinA, S=acsinB 22師：根據(jù)以前學(xué)過(guò)的三角形面積公式S=師：除了知道某條邊和該邊上的高可求出三角形的面積外，知道哪些條件也可求出三角形的面積呢？

生：如能知道三角形的任意兩邊以及它們夾角的正弦即可求解 Ⅱ.講授新課 [范例講解] 例

1、在?ABC中，根據(jù)下列條件，求三角形的面積S（精確到0.1cm2）（1）已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5?;歡迎各位老師踴躍投稿，稿酬豐厚 郵箱：zxjkw@163.com

知識(shí)改變命運(yùn)，學(xué)習(xí)成就未來(lái)

（2）已知B=62.7?,C=65.8?,b=3.16cm;（3）已知三邊的長(zhǎng)分別為a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm

分析：這是一道在不同已知條件下求三角形的面積的問(wèn)題，與解三角形問(wèn)題有密切的關(guān)系，我們可以應(yīng)用解三角形面積的知識(shí)，觀察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面積。解：（1）應(yīng)用S=

S=1acsinB，得 21?14.8?23.5?sin148.5?≈90.9(cm2)2b = c

sinCsinBsinB(2)根據(jù)正弦定理，c = bsinC

S = 11bcsinA = b2sinCsinA 22sinBA = 180?-(B + C)= 180?-(62.7?+ 65.8?)=51.5?

sin65.8?sin51.5?1S = ?3.16?≈4.0(cm2)?sin62.72(3)根據(jù)余弦定理的推論，得

c2?a2?b2cosB =

2ca38.72?41.42?27.32

=

2?38.7?41.≈0.7697 sinB = 1?cos2B≈1?0.76972≈0.6384 應(yīng)用S=S ≈1acsinB，得 21?41.4?38.7?0.6384≈511.4(cm2)2例

2、如圖,在某市進(jìn)行城市環(huán)境建設(shè)中,要把一個(gè)三角形的區(qū)域改造成室內(nèi)公園,經(jīng)過(guò)測(cè)量得到這個(gè)三角形區(qū)域的三條邊長(zhǎng)分別為68m,88m,127m,這個(gè)區(qū)域的面積是多少？（精確到0.1cm2）？

師：你能把這一實(shí)際問(wèn)題化歸為一道數(shù)學(xué)題目嗎？

生：本題可轉(zhuǎn)化為已知三角形的三邊，求角的問(wèn)題，再利用三角形的面積公式求解。由學(xué)生解答，老師巡視并對(duì)學(xué)生解答進(jìn)行講評(píng)小結(jié)。解：設(shè)a=68m,b=88m,c=127m,根據(jù)余弦定理的推論，歡迎各位老師踴躍投稿，稿酬豐厚 郵箱：zxjkw@163.com

知識(shí)改變命運(yùn)，學(xué)習(xí)成就未來(lái)

c2?a2?b2cosB=

2ca1272?682?88

2=≈0.7532 2?127?68sinB=1?0.75322?0.6578 1acsinB 21 S ≈?68?127?0.6578≈2840.38(m2)

2應(yīng)用S=答：這個(gè)區(qū)域的面積是2840.38m2。例

3、在?ABC中，求證：

a2?b2sin2A?sin2B?;（1）c2sin2C（2）a2+b2+c2=2（bccosA+cacosB+abcosC）

分析：這是一道關(guān)于三角形邊角關(guān)系恒等式的證明問(wèn)題，觀察式子左右兩邊的特點(diǎn)，聯(lián)想到用正弦定理來(lái)證明

證明：（1）根據(jù)正弦定理，可設(shè)

a = b = c = k sinAsinBsinC顯然 k?0，所以

a2?b2k2sin2A?k2sin2B? 左邊= c2k2sin2Csin2A?sin2B ==右邊 2sinC（2）根據(jù)余弦定理的推論，b2?c2?a2a2?b2?c2c2?a2?b2 右邊=2(bc+ca+ab)

2bc2ca2ab

=(b2+c2-a2)+(c2+a2-b2)+(a2+b2-c2)

=a2+b2+c2=左邊

變式練習(xí)1：已知在?ABC中，?B=30?,b=6,c=63,求a及?ABC的面積S 提示：解有關(guān)已知兩邊和其中一邊對(duì)角的問(wèn)題，注重分情況討論解的個(gè)數(shù)。答案：a=6,S=93;a=12,S=183

歡迎各位老師踴躍投稿，稿酬豐厚 郵箱：zxjkw@163.com

知識(shí)改變命運(yùn)，學(xué)習(xí)成就未來(lái)

變式練習(xí)2：判斷滿足下列條件的三角形形狀，（1）acosA = bcosB（2）sinC =sinA?sinB

cosA?cosB提示：利用正弦定理或余弦定理，“化邊為角”或“化角為邊”（1）師：大家嘗試分別用兩個(gè)定理進(jìn)行證明。

生1：（余弦定理）得

b2?c2?a2c2?a2?b2a?=b?

2bc2ca?c2(a2?b2)?a4?b4=(a2?b2)(a2?b2)?a2?b2或c2?a2?b2

?根據(jù)邊的關(guān)系易得是等腰三角形或直角三角形

生2：（正弦定理）得 sinAcosA=sinBcosB, ?sin2A=sin2B, ?2A=2B, ?A=B ?根據(jù)邊的關(guān)系易得是等腰三角形

師：根據(jù)該同學(xué)的做法，得到的只有一種情況，而

第五篇：【數(shù)學(xué)】1.2.2《解三角形應(yīng)用舉例》教案(新人教A版必修5)

知識(shí)改變命運(yùn)，學(xué)習(xí)成就未來(lái)

課題: §1.2.2解三角形應(yīng)用舉例

知識(shí)改變命運(yùn)，學(xué)習(xí)成就未來(lái)

AB = AE + h = ACsin?+ h

=

asin?sin? + h sin(???)例

2、如圖，在山頂鐵塔上B處測(cè)得地面上一點(diǎn)A的俯角?=54?40?，在塔底C處測(cè)得A處的俯角?=50?1?。已知鐵塔BC部分的高為27.3 m,求出山高CD(精確到1 m)

師:根據(jù)已知條件,大家能設(shè)計(jì)出解題方案嗎？（給時(shí)間給學(xué)生討論思考）若在?ABD中求CD，則關(guān)鍵需要求出哪條邊呢？ 生：需求出BD邊。師：那如何求BD邊呢？

生：可首先求出AB邊，再根據(jù)?BAD=?求得。

解:在?ABC中, ?BCA=90?+?,?ABC =90?-?,?BAC=?-?,?BAD =?.根據(jù)正弦定理，BCAB =

sin(???)sin(90???)BCsin(90???)BCcos? 所以 AB ==

sin(???)sin(???)解Rt?ABD中,得 BD =ABsin?BAD=將測(cè)量數(shù)據(jù)代入上式,得

BCcos?sin?

sin(???)27.3cos50?1?sin54?40? BD =

sin(54?40??50?1?)27.3cos50?1?sin54?40? =

sin4?39?歡迎各位老師踴躍投稿，稿酬豐厚 郵箱：zxjkw@163.com

知識(shí)改變命運(yùn)，學(xué)習(xí)成就未來(lái)

≈177(m)

CD =BD-BC≈177-27.3=150(m)答:山的高度約為150米.師：有沒(méi)有別的解法呢？

生：若在?ACD中求CD，可先求出AC。

師：分析得很好，請(qǐng)大家接著思考如何求出AC？ 生：同理，在?ABC中，根據(jù)正弦定理求得。（解題過(guò)程略）

例

3、如圖,一輛汽車在一條水平的公路上向正東行駛,到A處時(shí)測(cè)得公路南側(cè)遠(yuǎn)處一山頂D在東偏南15?的方向上,行駛5km后到達(dá)B處,測(cè)得此山頂在東偏南25?的方向上,仰角為8?,求此山的高度CD.師：欲求出CD，大家思考在哪個(gè)三角形中研究比較適合呢？ 生：在?BCD中

師：在?BCD中，已知BD或BC都可求出CD,根據(jù)條件,易計(jì)算出哪條邊的長(zhǎng)？ 生：BC邊

解:在?ABC中, ?A=15?,?C= 25?-15?=10?,根據(jù)正弦定理，BCAB = , sinAsinCABsinA5sin15? BC == ?sin10sinC ≈ 7.4524(km)

CD=BC?tan?DBC≈BC?tan8?≈1047(m)答:山的高度約為1047米

Ⅲ.課堂練習(xí)

課本

知識(shí)改變命運(yùn)，學(xué)習(xí)成就未來(lái)

測(cè)得塔基B的俯角為45?，則塔AB的高度為多少m？

203(m)3●板書設(shè)計(jì) ●授后記 答案：20+歡迎各位老師踴躍投稿，稿酬豐厚 郵箱：zxjkw@163.com