第一篇：四年級奧數(shù) 奇數(shù)與偶數(shù)(教師用含答案)

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第二講：奇數(shù)與偶數(shù)

教學(xué)目標(biāo)

本講知識點(diǎn)屬于數(shù)論大板塊內(nèi)的“定性分析”部分，小學(xué)生的數(shù)學(xué)思維模式大多為“純粹的定量計(jì)算，拿到一個題就先去試數(shù)，或者是找規(guī)律，在性質(zhì)分析層面幾乎為0，本講力求實(shí)現(xiàn)的一個主要目標(biāo)是提高孩子對數(shù)學(xué)的嚴(yán)密分析能力，培養(yǎng)孩子明白做題前有時要“先看能不能這么做，再去動手做”的思維模式。無論是小升初還是杯賽會經(jīng)常遇到，但不會單獨(dú)出題，而是結(jié)合其他知識點(diǎn)來考察學(xué)生綜合能力。

知識點(diǎn)撥

一、奇數(shù)和偶數(shù)的定義

整數(shù)可以分成奇數(shù)和偶數(shù)兩大類.能被2整除的數(shù)叫做偶數(shù)，不能被2整除的數(shù)叫做奇數(shù)。通常偶數(shù)可以用2k（k為整數(shù)）表示，奇數(shù)則可以用2k+1（k為整數(shù)）表示。

特別注意，因?yàn)?能被2整除，所以0是偶數(shù)。

二、奇數(shù)與偶數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

性質(zhì)1：偶數(shù)〒偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)〒奇數(shù)=偶數(shù) 性質(zhì)2：偶數(shù)〒奇數(shù)=奇數(shù)

性質(zhì)3：偶數(shù)個奇數(shù)的和或差是偶數(shù) 性質(zhì)4：奇數(shù)個奇數(shù)的和或差是奇數(shù)

性質(zhì)5：偶數(shù)〓奇數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)〓奇數(shù)=奇數(shù)，偶數(shù)〓偶數(shù)=偶數(shù)

三、兩個實(shí)用的推論：

推論1：在加減法中偶數(shù)不改變運(yùn)算結(jié)果奇偶性，奇數(shù)改變運(yùn)算結(jié)果的奇偶性。推論2：對于任意2個整數(shù)a,b ,有a+b與a-b同奇或同偶

例題精講

模塊一：奇數(shù)偶數(shù)基本概念及基本加減法運(yùn)算性質(zhì)

【例 1】 1?2?3?……?1993的和是奇數(shù)還是偶數(shù)？ 雅智教育 立德樹人 傳道解惑 啟發(fā)思維 成就英才

【解析】 在1至1993中，共有1993個連續(xù)自然數(shù)，其中997個奇數(shù)，996個偶數(shù)，即共有奇數(shù)個奇數(shù)，那么原式的計(jì)算結(jié)果為奇數(shù)

【鞏固】 1?2?3?4?5?6?7???99?100?99?98?97?96???7?6?5?4?3?2?1的和是奇數(shù)還是偶數(shù)？為什么？

【解析】 在算式中，1~99都出現(xiàn)了次，所以21?2?3?4???99?99?98?97?96???4?3?2?1是偶數(shù)，而100也是偶數(shù)，所以1?2?3?4?5?6?7???99?100?99?98?97?96???7?6 ?5?4?3?2?1的和是偶數(shù)．

【鞏固】 29?30?31?……?87?88得數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？ 【解析】 偶數(shù)。原式中共有60個連續(xù)自然數(shù)，奇數(shù)開頭偶數(shù)結(jié)尾說明有30個奇數(shù)，為偶數(shù)個。

【例 2】(200?201?202?……?288）得數(shù)是奇數(shù)還?（151?152?153?……?233）是偶數(shù)？

【解析】 200至288共89個數(shù)，其中偶數(shù)比奇數(shù)多1，44個奇數(shù)的和是偶數(shù)；151至233共83個數(shù)，奇數(shù)比偶數(shù)多1，42個奇數(shù)，為偶數(shù)；偶數(shù)減去偶數(shù)仍為偶數(shù)。

【例 3】 1?2?3?4?5?6?7???98?99的計(jì)算結(jié)果是奇數(shù)還是偶數(shù)，為什么？ 【解析】 特殊數(shù)字：“1”．在這個算式中，所有做乘法運(yùn)算的都是奇數(shù)?偶數(shù)，所以它們的乘積都是偶數(shù)，這些偶數(shù)相加的結(jié)果還是偶數(shù)，只有1是奇數(shù)，又因?yàn)槠鏀?shù)?偶數(shù)=奇數(shù)，所以這個題的計(jì)算結(jié)果是奇數(shù)．

【例 4】 能否在下式的“□”內(nèi)填入加號或減號，使等式成立，若能請?zhí)钊敕枺荒苷堈f明理由

（1）1 □ 2 □ 3 □ 4 □ 5 □ 6 □ 7 □ 8 □ 9＝10（2）1 □ 2 □ 3 □ 4 □ 5 □ 6 □ 7 □ 8 □ 9＝27 不能。很多學(xué)生拿到這個題就開始試數(shù)，試了半天也試不出來因?yàn)椋@時給他講解，原式有5個奇數(shù)，無論經(jīng)加、減運(yùn)算后結(jié)果一定是奇數(shù)。本小題是一個典型的奇偶性質(zhì)“先定性分析后定量計(jì)算的題目”（2）可以。1?2?3?4?5?6?7?8?9?27或1?2?3?4?5?6?7?8?9?27

模塊二：奇偶運(yùn)算性質(zhì)綜合及代數(shù)分析法

【例 5】 是否存在自然數(shù)a和b，使得ab(a＋b)=115? 【解析】 不存在。此類問題引導(dǎo)學(xué)生接觸分類討論的基本思想，即2個自然數(shù)在奇偶性的組合上只有3種情況，“2奇0偶，1奇1偶，0奇2偶”，可以分別討論發(fā)現(xiàn)均不成立。

【鞏固】 是否存在自然數(shù)a、b、c，使得(a-b)(b-c)(a-c)=45327？ 【解析】 不存在。可以分情況來討論：3奇0偶，2奇1偶，1奇2偶，0奇3偶。但是比較繁瑣，可以根據(jù)45327是一個奇數(shù)，只有奇數(shù)乘以奇數(shù)才能得到，所以a-b、b-c、a-c都為奇數(shù)，再根據(jù)奇偶性進(jìn)行判斷。

【鞏固】 已知a,b,c中有一個是511，一個是622，一個是793。求證：(a?1)(b?2)(c?3)是一個偶數(shù)

【解析】 因?yàn)樵赼,b,c中有2個是奇數(shù)，1個是偶數(shù)，那么說明a,c兩個數(shù)中至少有一個是 雅智教育 立德樹人 傳道解惑 啟發(fā)思維 成就英才

奇數(shù)，那么(a?1)和(c?3)中至少有一個是偶數(shù)，所以(a?1)(b?2)(c?3)中至少有一個因數(shù)是偶數(shù)，結(jié)果為偶數(shù)

模塊

三、奇偶模型與應(yīng)用題

【例 6】 沿著河岸長著8叢植物，相鄰兩叢植物上所結(jié)的漿果數(shù)目相差1個．問：8叢植物上能否一共結(jié)有225個漿果?說明理由．

【解析】 不能。本題為俄羅斯小學(xué)生奧數(shù)競賽題，可以給學(xué)生介紹。相鄰的兩個植物果實(shí)數(shù)目差1個意味著相鄰2個植物的奇偶性不同，所以一定有4棵植物的果實(shí)為奇數(shù)個，總和一定為偶數(shù)，不能為225.【例 7】 試找出兩個整數(shù)，使大數(shù)與小數(shù)之和加上大數(shù)與小數(shù)之差，再加上1000等于1999．如果找得出來，請寫出這兩個數(shù)，如果找不出來，請說明理由．

【解析】 因?yàn)閮蓚€數(shù)的和a?b與兩個數(shù)的差a?b的奇偶性相同，所以的和（a?b）?（a?b）是偶數(shù)．由結(jié)論三可知，這兩數(shù)之和與這兩數(shù)之差的和為偶數(shù)，再加1000還是偶數(shù)，所以它們的和不能等于奇數(shù)1999．

模塊四：整數(shù)的奇偶性分析法

【例 8】 一個圖書館分東西兩個閱覽室．東閱覽室里每張桌子上有2盞燈．西閱覽室里每張桌子上有3盞燈．現(xiàn)在知道兩個閱覽室里的總的桌子數(shù)和燈數(shù)都是奇數(shù)．問：哪個閱覽室的桌子數(shù)是奇數(shù)？

【解析】 根據(jù)兩個閱覽室里總的桌子數(shù)和燈數(shù)都是奇數(shù)，想一想可以確定哪個閱覽室桌子數(shù)、燈數(shù)的奇偶性呢？由于東閱覽室里每張桌子上有2盞燈，因此東閱覽室的燈的總數(shù)一定是偶數(shù)．由于兩個閱覽室里燈的總數(shù)是奇數(shù)，因此西閱覽室的燈的總數(shù)一定是奇數(shù)．又因?yàn)槲鏖営[室里每張桌子上有3盞燈，可知西閱覽室的桌子數(shù)是奇數(shù)．由于兩個閱覽室里的總的桌子數(shù)是奇數(shù)，因此東閱覽室的桌子數(shù)是偶數(shù)．所以，只有西閱覽室的桌子數(shù)是奇數(shù)．

【例 9】 師傅與徒弟加工同一種零件，各人把產(chǎn)品放在自己的籮筐里，師傅的產(chǎn)量是徒弟的2倍，師傅的產(chǎn)品放在4只籮筐中，徒弟的產(chǎn)品放在2只籮筐中，每只籮筐都標(biāo)明了產(chǎn)品的只數(shù)：78只，94只，86只，87只，82只，80只．根據(jù)上面的條件，你能找出哪兩只筐的產(chǎn)品是徒弟制造的嗎？

【解析】 注意到所給出的6個數(shù)只有一個為奇數(shù)，它肯定是徒弟制造的．原因是：師傅的產(chǎn)量是徒弟的2倍，一定是偶數(shù)，它是4只籮筐中產(chǎn)品數(shù)的和，在題目條件下只能為四個偶數(shù)的和．徒弟的另一筐產(chǎn)品可以利用求解“和倍問題”的方法來得出，求出徒弟加工零件總數(shù)為：（78?94?86?87?82?80）?（2?1）?169，那另一筐放有產(chǎn)品169?87?82(只)．所以，標(biāo)明“82只”和“87只”這兩筐中的產(chǎn)品是徒弟制造的．

課后練習(xí)

練習(xí)1.東東在做算術(shù)題時，寫出了如下一個等式：1038?13?75?64，他做得對嗎？ 【解析】 等式左邊是偶數(shù)，13?75是奇數(shù)，64是偶數(shù)，根據(jù)奇數(shù)?偶數(shù)?奇數(shù)，等式右邊是奇數(shù)，偶數(shù)不等于奇數(shù)，因此東東寫出的等式是不對的．

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練習(xí)2.a、b、c三個數(shù)的和與它們的積的和為奇數(shù)，問這三個數(shù)中最多可以有幾個奇數(shù)？（★★★）

【解析】 根據(jù)題目內(nèi)容，可以列出所要討論的式子為a?b?c?abc。則接下來可以分類討論3奇0偶，2奇1偶，1奇2偶，0奇3偶四種情況。經(jīng)驗(yàn)證如果要滿足上式結(jié)果為奇數(shù)，那么可以發(fā)現(xiàn)最多只能有1個奇數(shù)。

練習(xí)3.黑板上寫著兩個數(shù)1和2，按下列規(guī)則增寫新數(shù)，若黑板有兩個數(shù)a和b，則增寫a×b＋a＋b這個數(shù)，比如可增寫5（因?yàn)?×2＋1＋2＝5）增寫11（因?yàn)?×5＋1＋5＝11），一直寫下去，問能否得到2008，若不能，說明理由，若能則說出最少需要寫幾次得到？

【解析】 黑板上的數(shù)起初為一奇一偶，按照規(guī)則增寫出的第三個數(shù)一定是一個奇數(shù)，第四個數(shù)如果選擇仍由一奇一偶寫出來的，那么仍然是奇數(shù)；另一種可以選擇兩個奇數(shù)開始，那么“奇×奇＋奇＋奇=奇”，所以不論如何增寫，新增的數(shù)一定是奇數(shù)，所以不可能出現(xiàn)2008。

第二篇：四年級奧數(shù)奇數(shù)與偶數(shù)(學(xué)生用)

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第二講：奇數(shù)與偶數(shù)

教學(xué)目標(biāo)

本講知識點(diǎn)屬于數(shù)論大板塊內(nèi)的“定性分析”部分，小學(xué)生的數(shù)學(xué)思維模式大多為“純粹的定量計(jì)算，拿到一個題就先去試數(shù)，或者是找規(guī)律，在性質(zhì)分析層面幾乎為0，本講力求實(shí)現(xiàn)的一個主要目標(biāo)是提高孩子對數(shù)學(xué)的嚴(yán)密分析能力，培養(yǎng)孩子明白做題前有時要“先看能不能這么做，再去動手做”的思維模式。無論是小升初還是杯賽會經(jīng)常遇到，但不會單獨(dú)出題，而是結(jié)合其他知識點(diǎn)來考察學(xué)生綜合能力。

知識點(diǎn)撥

一、奇數(shù)和偶數(shù)的定義

整數(shù)可以分成奇數(shù)和偶數(shù)兩大類.能被2整除的數(shù)叫做偶數(shù)，不能被2整除的數(shù)叫做奇數(shù)。通常偶數(shù)可以用2k（k為整數(shù)）表示，奇數(shù)則可以用2k+1（k為整數(shù)）表示。

特別注意，因?yàn)?能被2整除，所以0是偶數(shù)。

二、奇數(shù)與偶數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

性質(zhì)1：偶數(shù)〒偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)〒奇數(shù)=偶數(shù) 性質(zhì)2：偶數(shù)〒奇數(shù)=奇數(shù)

性質(zhì)3：偶數(shù)個奇數(shù)的和或差是偶數(shù) 性質(zhì)4：奇數(shù)個奇數(shù)的和或差是奇數(shù)

性質(zhì)5：偶數(shù)〓奇數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)〓奇數(shù)=奇數(shù)，偶數(shù)〓偶數(shù)=偶數(shù)

三、兩個實(shí)用的推論：

推論1：在加減法中偶數(shù)不改變運(yùn)算結(jié)果奇偶性，奇數(shù)改變運(yùn)算結(jié)果的奇偶性。推論2：對于任意2個整數(shù)a,b ,有a+b與a-b同奇或同偶

例題精講

模塊一：奇數(shù)偶數(shù)基本概念及基本加減法運(yùn)算性質(zhì)

【例 1】 1?2?3?……?1993的和是奇數(shù)還是偶數(shù)？ 雅智教育 立德樹人 傳道解惑 啟發(fā)思維 成就英才

【鞏固】 1?2?3?4?5?6?7???99?100?99?98?97?96???7?6?5?4?3?2?1的和是奇數(shù)還是偶數(shù)？為什么？

．

【鞏固】 29?30?31?……?87?88得數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？

【例 2】(200?201?202?……?288）得數(shù)是奇數(shù)還?（151?152?153?……?233）是偶數(shù)？

【例 3】 1?2?3?4?5?6?7???98?99的計(jì)算結(jié)果是奇數(shù)還是偶數(shù)，為什么？

【例 4】 能否在下式的“□”內(nèi)填入加號或減號，使等式成立，若能請?zhí)钊敕?，不能請說明理由

（1）1 □ 2 □ 3 □ 4 □ 5 □ 6 □ 7 □ 8 □ 9＝10（2）1 □ 2 □ 3 □ 4 □ 5 □ 6 □ 7 □ 8 □ 9＝27

模塊二：奇偶運(yùn)算性質(zhì)綜合及代數(shù)分析法

【例 5】 是否存在自然數(shù)a和b，使得ab(a＋b)=115?

【鞏固】 是否存在自然數(shù)a、b、c，使得(a-b)(b-c)(a-c)=45327？

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【鞏固】 已知a,b,c中有一個是511，一個是622，一個是793。求證：(a?1)(b?2)(c?3)是一個偶數(shù)

模塊

三、奇偶模型與應(yīng)用題

【例 6】 沿著河岸長著8叢植物，相鄰兩叢植物上所結(jié)的漿果數(shù)目相差1個．問：8叢植物上能否一共結(jié)有225個漿果?說明理由．

【例 7】 試找出兩個整數(shù)，使大數(shù)與小數(shù)之和加上大數(shù)與小數(shù)之差，再加上1000等于1999．如果找得出來，請寫出這兩個數(shù)，如果找不出來，請說明理由．

模塊四：整數(shù)的奇偶性分析法

【例 8】 一個圖書館分東西兩個閱覽室．東閱覽室里每張桌子上有2盞燈．西閱覽室里每張桌子上有3盞燈．現(xiàn)在知道兩個閱覽室里的總的桌子數(shù)和燈數(shù)都是奇數(shù)．問：哪個閱覽室的桌子數(shù)是奇數(shù)？

【例 9】 師傅與徒弟加工同一種零件，各人把產(chǎn)品放在自己的籮筐里，師傅的產(chǎn)量是徒弟的2倍，師傅的產(chǎn)品放在4只籮筐中，徒弟的產(chǎn)品放在2只籮筐中，每只籮筐都標(biāo)明了產(chǎn)品的只數(shù)：78只，94只，86只，87只，82只，80只．根據(jù)上面的條件，你能找出哪兩只筐的產(chǎn)品是徒弟制造的嗎？

雅智教育 立德樹人 傳道解惑 啟發(fā)思維 成就英才

課后練習(xí)

練習(xí)1.東東在做算術(shù)題時，寫出了如下一個等式：1038?13?75?64，他做得對嗎？

練習(xí)2.黑板上寫著兩個數(shù)1和2，按下列規(guī)則增寫新數(shù)，若黑板有兩個數(shù)a和b，則增寫a×b＋a＋b這個數(shù)，比如可增寫5（因?yàn)?×2＋1＋2＝5）增寫11（因?yàn)?×5＋1＋5＝11），一直寫下去，問能否得到2008，若不能，說明理由，若能則說出最少需要寫幾次得到？

第三篇：奇數(shù)和偶數(shù)奧數(shù)教案

1、練習(xí)：找2的倍數(shù)

特征：個位上是02468的數(shù)都是2的倍數(shù)。

2、奇偶數(shù)的意義：自然數(shù)中，是2的倍數(shù)的數(shù)叫做偶數(shù)0也是偶數(shù)，不是2的倍數(shù)的數(shù)叫做奇數(shù)。判斷一個數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)關(guān)鍵就看這個數(shù)是不是2的倍數(shù)。自然數(shù)的個數(shù)是無限的，所以偶數(shù)和奇數(shù)的個數(shù)是無限的，沒有最大的技術(shù)和偶數(shù)，最小的奇數(shù)是1最小的偶數(shù)時2.3、奧數(shù)班要研究的知識： 奇數(shù)偶數(shù)的特征：

一個自然數(shù)不是奇數(shù)就是偶數(shù)、相鄰兩個自然數(shù)的差與和一定是奇數(shù)，積一定是偶數(shù)。

1、三十六只羊，七天來宰光，宰單不宰雙，每天各宰幾只羊？

答：此題不可能，因?yàn)槠咛熘忻刻煸籽虻闹粩?shù)都是奇數(shù)，那么7個奇數(shù)相加永遠(yuǎn)是奇數(shù)，不可能是36.2、1+2+3+4+5+6+............+3001的和是奇數(shù)還是偶數(shù)？

方法一:1+2+3+.......+3001

=(1+3001)÷2×3001

=1501×3001(結(jié)果一定是奇數(shù))方法二：1到3001中共有1500個偶數(shù)1501個奇數(shù)，結(jié)果一定是奇數(shù)。

3、三個連續(xù)偶數(shù)的和，比其中最大的偶數(shù)大18，這三個連續(xù)偶數(shù)分別是多少？

解：最小的偶數(shù)時：（18-2）÷2=8 其余偶數(shù)就是10和12

4、九個連續(xù)的偶數(shù)，最大的數(shù)是最小的數(shù)的3倍，求這九個連續(xù)偶數(shù)分別是多少？ 九個連續(xù)偶數(shù)中

九個連續(xù)的偶數(shù)中，最大數(shù)與最小數(shù)的差是16,16對應(yīng)的倍數(shù)是2所以最小偶數(shù)是8.5、有七個連 續(xù)的奇數(shù)，從小到大排列，第二個數(shù)與第六個數(shù)的和是38，求這七個連續(xù)的奇數(shù)。

中間數(shù)是19,***3256、101個連續(xù)的自然數(shù)相加，其和是奇數(shù)還是偶數(shù)？

最小為奇數(shù)

7、一個班上的同學(xué)上閱讀課時，每人手中都拿著一本書，如果其中拿連環(huán)畫的比拿故事書的人多3個，而拿故事書的人又比拿科技書的多1人，如果拿科技書的人的人數(shù)是奇數(shù)，那么這個班的同學(xué)人數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？

8、某校畢業(yè)班的同學(xué)在離校前，相互之間交換照片，做留念，有人說：無論人數(shù)多少，那么用來交換的照片總張數(shù)一定是偶數(shù)，這句話對嗎？為什么？

9、七只小碗倒扣在桌子上，現(xiàn)在每次翻轉(zhuǎn)其中兩個。經(jīng)過若干次翻轉(zhuǎn)后，能否使所有的小碗碗口朝上？

10、有11名同學(xué)面向黑板站成一排，聽到口令只能有4個人向后轉(zhuǎn)，問經(jīng)過若干次口令后能否使11位同學(xué)都背向黑板？

11、一個班的同學(xué)參加一次數(shù)學(xué)競賽，一共要做40道題，評分標(biāo)準(zhǔn)如下：答對一題給3分，不答或者答錯一題倒扣1分，那么這個班同學(xué)所得總分?jǐn)?shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？

12、一次奧數(shù)競賽共20道題，規(guī)定答對一題得2分，答錯扣1分，未答的題不得分也不扣分，小明得了23分。已知他未答的題目是偶數(shù)，他答錯了幾道題？

13、現(xiàn)在桌子上放了8只杯子，杯子的口都朝下，每次他只允許同時翻動7只杯子，那么最少要翻動幾次才能使所有杯子的杯口都朝上？

14、有這樣一列數(shù)：1、2、3、5、8、13、21、34、...........從第三個數(shù)開始，每個數(shù)都是前兩個數(shù)的和，那么前105個數(shù)中（包括105個）一共多少個奇數(shù)？

第四篇：初一奧數(shù)數(shù)學(xué)競賽第十五講 奇數(shù)與偶數(shù)

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初一奧數(shù)數(shù)學(xué)競賽第十五講 奇數(shù)與偶數(shù)

通常我們所說的“單數(shù)”、“雙數(shù)”，也就是奇數(shù)和偶數(shù)，即±1，±3，±5，?是奇數(shù)，0，±2，±4，±6，?是偶數(shù)．

用整除的術(shù)語來說就是：能被2整除的整數(shù)是偶數(shù)，不能被2整除的整數(shù)是奇數(shù)．通常奇數(shù)可以表示為2k+1(或2k-1)的形式，其中k為整數(shù)，偶數(shù)可以表示為2k的形式，其中k是整數(shù)．

奇數(shù)和偶數(shù)有以下基本性質(zhì)：

性質(zhì)1 奇數(shù)≠偶數(shù)．

性質(zhì)2 奇數(shù)±奇數(shù)=偶數(shù)，偶數(shù)±偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)±偶數(shù)=奇數(shù)．

性質(zhì)3 奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù)，偶數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)．

性質(zhì)4 奇數(shù)個奇數(shù)之和是奇數(shù)；偶數(shù)個奇數(shù)之和是偶數(shù)；任意有限個偶數(shù)之和為偶數(shù)．

性質(zhì)5 若干個奇數(shù)的乘積是奇數(shù)，偶數(shù)與整數(shù)的乘積是偶數(shù)．

性質(zhì)6 如果若干個整數(shù)的乘積是奇數(shù)，那么其中每一個因子都是奇數(shù)；如果若干個整數(shù)的乘積是偶數(shù)，那么其中至少有一個因子是偶數(shù)．

性質(zhì)7 如果兩個整數(shù)的和(或差)是偶數(shù)，那么這兩個整數(shù)的奇偶性相同；如果兩個整數(shù)的和(或差)是奇數(shù)，那么這兩個整數(shù)一定是一奇一偶．

性質(zhì)8 兩個整數(shù)的和與差的奇偶性相同．

性質(zhì)9 奇數(shù)的平方除以8余1，偶數(shù)的平方是4的倍數(shù).性質(zhì)1至性質(zhì)6的證明是很容易的，下面我們給出性質(zhì)7至性質(zhì)9的證明．

性質(zhì)7的證明 設(shè)兩個整數(shù)的和是偶數(shù)，如果這兩個整數(shù)為一奇一偶，那么由性質(zhì)2知，它們的和為奇數(shù)，因此它們同為奇數(shù)或同為偶數(shù)．

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同理兩個整數(shù)的和(或差)是奇數(shù)時，這兩個數(shù)一定是一奇一偶．

性質(zhì)8的證明 設(shè)兩個整數(shù)為X，y．因?yàn)?/p>

(x+y)+(x-y)=2x

為偶數(shù)，由性質(zhì)7便知，x+y與x-y同奇偶．

性質(zhì)9的證明 若x是奇數(shù)，設(shè)x=2k+1，其中k為整數(shù)，于是

x2=(2k+1)2=4k3+4k+1=4k(k+1)+1．

因?yàn)閗與k+1是兩個連續(xù)的整數(shù)，它們必定一奇一偶，從而它們的乘積是偶數(shù)．于是，x2除以8余1．

若y是偶數(shù)，設(shè)y=2t，其中t為整數(shù)，于是

y2=(2t)2=4t2

所以，y2是4的倍數(shù)．

例1 在1，2，3，?，1998中的每一個數(shù)的前面，任意添上一個“+”或“-”，那么最后運(yùn)算的結(jié)果是奇數(shù)還是偶數(shù)？

解 由性質(zhì)8知，這最后運(yùn)算所得的奇偶性同

1+2+3+?+1998=999×1999 的奇偶性是相同的，即為奇數(shù)．

例2 設(shè)1，2，3，?，9的任一排列為a1，a2，?，a9.求證：(a1-1)(a2-2)?(a9-9)是一個偶數(shù)．

證法1 因?yàn)?/p>

(a1-1)+(a2-2)+(a3-3)+?+(a9-9)回瀾閣教育 004km.cn 免費(fèi)的教育資源庫

＝(a1+a2+?+a9)-(1+2+?+9)

=0

是偶數(shù)，所以，(a1-1)，(a2-2)，?，(a9-9)這9個數(shù)中必定有一個是偶數(shù)(否則，便得奇數(shù)個(9個)奇數(shù)的和為偶數(shù)，與性質(zhì)4矛盾)，從而由性質(zhì)5知

(a1-1)(a2-2)?(a9-9)是偶數(shù)．

證法2 由于1，2，?，9中只有4個偶數(shù)，所以a1，a3，a5，a7，a9中至少有一個是奇數(shù)，于是，a1-1，a3-3，a5-5，a7-7，a9-9至少有一個是偶數(shù)，從而(a1-1)(a2-2)?(a9-9)是偶數(shù)．

例3 有n個數(shù)x1，x2，?，xn，它們中的每一個數(shù)或者為1，或者為-1．如果

x1x2+x2x3+?+xn-1xn+xnx1=0，求證：n是4的倍數(shù)．

證 我們先證明n=2k為偶數(shù)，再證k也是偶數(shù)．

由于x1，x2，?，xn。的絕對值都是1，所以，x1x2，x2x3，?，xnx1的絕對值也都是1，即它們或者為+1，或者為-1．設(shè)其中有k個-1，由于總和為0，故+1也有k個，從而n=2k．

下面我們來考慮(x1x2)·(x2x3)?(xnx1)．一方面，有(x1x2)·(x2x3)?(xnx1)＝(-1)k，另一方面，有

(x1x2)·(x2x3)?(xnx1)=(x1x2?xn)2=1．

所以(-1)k=1，故k是偶數(shù)，從而n是4的倍數(shù)．

例4 設(shè)a，b是自然數(shù)，且滿足關(guān)系式

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(11111+a)(11111-b)=123456789．

求證：a-b是4的倍數(shù)．

證 由已知條件可得11111+a與11111-b均為奇數(shù)，所以a，b均為偶數(shù)．又由已知條件

11111(a-b)=ab+2468，①

ab是4的倍數(shù)，2468=4×617也是4的倍數(shù)，所以11111×(a-b)是4的倍數(shù)，故a-b是4的倍數(shù).例5 某次數(shù)學(xué)競賽，共有40道選擇題，規(guī)定答對一題得5分，不答得1分，答錯倒扣1分．證明：不論有多少人參賽，全體學(xué)生的得分總和一定是偶數(shù)．

證 我們證明每一個學(xué)生的得分都是偶數(shù)．

設(shè)某個學(xué)生答對了a道題，答錯了b道題，那么還有40-a-b道題沒有答．于是此人的得分是

5a+(40-a-b)-b=4a-2b+40，這是一個偶數(shù)．

所以，不論有多少人參賽，全體學(xué)生的得分總和一定是偶數(shù)．

例6 證明15塊4×1的矩形骨牌和1塊2×2的正方形骨牌不能蓋住8×8的正方形.證 將8×8正方形的小方格用黑、白色涂色(如圖1－62)．每一塊4×1骨牌不論怎么鋪設(shè)都恰好蓋住兩個白格，因此15塊4×1的骨牌能蓋住偶數(shù)個白格．一塊2×2的骨牌只能蓋住一個白格或三個白格，總之能蓋住奇數(shù)個白格．于是15塊4×1骨牌和一塊2×2骨牌在圖上蓋住的白格是奇數(shù)個．事實(shí)上圖上的白格數(shù)恰為偶數(shù)個，故不能蓋住8×8的正方形．

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練習(xí)十五

1．設(shè)有101個自然數(shù)，記為a1，a2，?，a101．已知a1+2a2+3a3+?+100a100+101a101=s是偶數(shù)，求證：a1+a3+a5+?+a9９+a101是偶數(shù)．

2．設(shè)x1，x2，?，x1998都是+1或者-1．求證：

x1+2x2+3x3+?+1998x1998≠0．

3．設(shè)x1，x2，?，xn(n＞4)為1或-1，并且

x1x2x3x4+x2x3x4x5+?+xnx1x2x3=0．

求證：n是4的倍數(shù)．

4．(1)任意重排某一自然數(shù)的所有數(shù)字，求證：所得數(shù)與原數(shù)之和不等于99?9(共n個9，n是奇數(shù))；

(2)重排某一數(shù)的所有數(shù)字，并把所得數(shù)與原數(shù)相加，求證：如果這個和等于1010，那么原數(shù)能被10整除．

5．(1)有n個整數(shù)，其和為零，其積為n．求證：n是4的倍數(shù)；

(2)設(shè)n是4的倍數(shù)，求證：可以找到n個整數(shù)，其積為n，其和為零．

6．7個杯子杯口朝下放在桌子上，每次翻轉(zhuǎn)4個杯子(杯口朝下的翻為杯口朝上，杯口朝上的翻為杯口朝下)，問經(jīng)過若干次這樣的翻動，是否能把全部杯子翻成杯口朝上？

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7．能否把1，1，2，2，3，3，4，4，5，5這10個數(shù)排成一行，使得兩個1中間夾著1個數(shù)，兩個2之間夾著2個數(shù)，?，兩個5之間夾著5個數(shù)？

第五篇：四年級奧數(shù) 統(tǒng)籌規(guī)劃問題(教師用)

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小學(xué)四年級奧數(shù)題：統(tǒng)籌規(guī)劃

（一）【試題】

1、燒水沏茶時，洗水壺要用1分鐘，燒開水要用10分鐘，洗茶壺要用2分鐘，洗茶杯用2分鐘，拿茶葉要用1分鐘，如何安排才能盡早喝上茶。

【分析】：先洗水壺 然后燒開水，在燒水的時候去洗茶壺、洗茶杯、拿茶葉。共需要1+10=11分鐘。

【試題】

2、有137噸貨物要從甲地運(yùn)往乙地，大卡車的載重量是5噸，小卡車的載重量是2噸，大卡車與小卡車每車次的耗油量分別是10公升和5公升，問如何選派車輛才能使運(yùn)輸耗油量最少？這時共需耗油多少升？

【分析】：依題意，大卡車每噸耗油量為10÷5=2(公升)；小卡車每噸耗油量為5÷2=2.5(公升)。為了節(jié)省汽油應(yīng)盡量選派大卡車運(yùn)貨，又由于

137=5×27+2，因此，最優(yōu)調(diào)運(yùn)方案是：選派27車次大卡車及1車次小卡車即可將貨物全部運(yùn)完，且這時耗油量最少，只需用油

10×27+5×1=275(公升)

【試題】

3、用一只平底鍋烙餅，鍋上只能放兩個餅，烙熟餅的一面需要2分鐘，兩面共需4分鐘，現(xiàn)在需要烙熟三個餅，最少需要幾分鐘？

【分析】：一般的做法是先同時烙兩張餅，需要4分鐘，之后再烙第三張餅，還要用4分鐘，共需8分鐘，但我們注意到，在單獨(dú)烙第三張餅的時候，另外一個烙餅的位置是空的，這說明可能浪費(fèi)了時間，怎么解決這個問題呢？

我們可以先烙第一、二兩張餅的第一面，2分鐘后，拿下第一張餅，放上第三張餅，并給第二張餅翻面，再過兩分鐘，第二張餅烙好了，這時取下第二張餅，并將第三張餅翻過來，同時把第一張餅未烙的一面放上。兩分鐘后，第一張和第三張餅也烙好了，整個過程用了6分鐘。

統(tǒng)籌規(guī)劃問題

（二）【試題】

4、甲、乙、丙、丁四人同時到一個小水龍頭處用水，甲洗拖布需要3分鐘，乙洗抹布需要2分鐘，丙用桶接水需要1分鐘，丁洗衣服需要10分鐘，怎樣安排四人的用水順序，才能使他們所花的總時間最少，并求出這個總時間。

【分析】：所花的總時間是指這四人各自所用時間與等待時間的總和，由于各自用水時間是固定的，所以只能想辦法減少等待的時間，即應(yīng)該安排用水時間少的人先用。雅智教育 立德樹人 傳道解惑 啟發(fā)思維 成就英才

解：應(yīng)按丙，乙，甲，丁順序用水。

丙等待時間為0，用水時間1分鐘，總計(jì)1分鐘

乙等待時間為丙用水時間1分鐘，乙用水時間2分鐘，總計(jì)3分鐘

甲等待時間為丙和乙用水時間3分鐘，甲用水時間3分鐘，總計(jì)6分鐘

丁等待時間為丙、乙和甲用水時間共6分鐘，丁用水時間10分鐘，總計(jì)16分鐘，總時間為1＋3＋6＋16＝26分鐘。

統(tǒng)籌規(guī)劃問題

（三）【試題】

5、甲、乙、丙、丁四個人過橋，分別需要1分鐘，2分鐘，5分鐘，10分鐘。因?yàn)樘旌?，必須借助于手電筒過橋，可是他們總共只有一個手電筒，并且橋的載重能力有限，最多只能承受兩個人的重量，也就是說，每次最多過兩個人?，F(xiàn)在希望可以用最短的時間過橋，怎樣才能做到最短呢？你來幫他們安排一下吧。最短時間是多少分鐘呢？

【分析】：大家都很容易想到，讓甲、乙搭配，丙、丁搭配應(yīng)該比較節(jié)省時間。而他們只有一個手電筒，每次又只能過兩個人，所以每次過橋后，還得有一個人返回送手電筒。為了節(jié)省時間，肯定是盡可能讓速度快的人承擔(dān)往返送手電筒的任務(wù)。那么就應(yīng)該讓甲和乙先過橋，用時2分鐘，再由甲返回送手電筒，需要1分鐘，然后丙、丁搭配過橋，用時10分鐘。接下來乙返回，送手電筒，用時2分鐘，再和甲一起過橋，又用時2分鐘。所以花費(fèi)的總時間為：2＋1＋10＋2＋2＝17分鐘。

解：2＋1＋10＋2＋2＝17分鐘

【試題】

6、小明騎在牛背上趕牛過河，共有甲乙丙丁四頭牛，甲牛過河需1分鐘，乙牛需2分鐘，丙牛需5分鐘，丁牛需6分鐘，每次只能騎一頭牛，趕一頭牛過河。

【分析】：要使過河時間最少，應(yīng)抓住以下兩點(diǎn)：(1)同時過河的兩頭牛過河時間差要盡可能小(2)過河后應(yīng)騎用時最少的牛回來。

解：小明騎在甲牛背上趕乙牛過河后，再騎甲牛返回，用時2＋1＝3分鐘

然后騎在丙牛背上趕丁牛過河后，再騎乙牛返回，用時6＋2＝8分鐘

最后騎在甲牛背上趕乙牛過河，不用返回，用時2分鐘。

總共用時(2＋1)＋(6＋2)＋2＝13分鐘。