第一篇：下載高一數(shù)學(xué)55線(xiàn)段的定比分點(diǎn)教案

5.4平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

【基礎(chǔ)知識(shí)精講】

1.平面向量的坐標(biāo)表示：在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，分別取與x軸、y軸正方向相同的兩個(gè)單位向量i、j作為基底，對(duì)任一向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)(x,y)，使得a=xi+yj,則實(shí)數(shù)對(duì)(x,y)叫做向量a的直角坐標(biāo)(簡(jiǎn)稱(chēng)坐標(biāo))，記作a=(x,y)，其中x和y分別稱(chēng)為向量a的x軸上的坐標(biāo)與y軸上的坐標(biāo)，而a=(x,y)稱(chēng)為向量的坐標(biāo)表示.相等的向量其坐標(biāo)相同.同樣，坐標(biāo)相同的向量是相等的向量.顯然i=(1,0), j=(0,1), 0=(0,0)

2.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：

(1)兩個(gè)向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差：

a±b=(x1±x2,y1±y2)(其中a=(x1,y2)、b=(x2,y2)).(2)一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線(xiàn)段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo).如果A(x1，y1)、(x2,y2)，則AB=(x1-x2,y1-y2)(3)實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量的相應(yīng)坐標(biāo).若a=(x,y),則λa=(λx,λy)

3.向量平行的坐標(biāo)表示

已知向量a、b(b≠0)，則a∥b的充要條件為存在實(shí)數(shù)λ，使a=λb.如果a=(x1,y1), b=(x2,y2)(b≠0)則a∥b的充要條件為：x1y2-x2y1=0.平面向量的坐標(biāo)表示，實(shí)際是向量的代數(shù)表示，此入向量的坐標(biāo)表示以后，可以使向量運(yùn)算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密地結(jié)合起來(lái)，這樣很多的幾何問(wèn)題的證明，就可以轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟悉的數(shù)量的運(yùn)算.兩個(gè)向量相加減，是這兩個(gè)向量的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)相加減，這個(gè)結(jié)論可以推廣到有限個(gè)向量相加減.【重點(diǎn)難點(diǎn)解析】

1.向量a的坐標(biāo)與表示該向量的有向線(xiàn)段的起始點(diǎn)的具體位置沒(méi)有關(guān)系，只與其相對(duì)位置有關(guān)系，即兩個(gè)向量不論它們的起始點(diǎn)坐標(biāo)是否相同，只要這兩個(gè)向量的坐標(biāo)相同，那么它們就是相等向量.兩個(gè)向量如果是相等的，那么它們的坐標(biāo)也應(yīng)該是相同的.2.向量AB的坐標(biāo)是終點(diǎn)的坐標(biāo)減去始點(diǎn)的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)，而不是始點(diǎn)的坐標(biāo)減去終點(diǎn)的坐

標(biāo).3.實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算時(shí)，λ應(yīng)與a的相應(yīng)坐標(biāo)相乘，以下的結(jié)論都是錯(cuò)誤的.設(shè)λ∈R，a=(x,y)λa=λ(x,y)=(λx,y)或λa=λ(x,y)=(x,λy)

例1 若向量a=(x+3,x-3x-4)與AB相等，其中A(1，2)，B(3，2)，則x=

2解：∵A(1,2),B(3,2)則有AB=(2,0).又∵a=AB，∴它們的坐標(biāo)一定相同.∴應(yīng)填：-1

例2 已知a=(3x+4y,-2x-y), b=(2x-3y+1,-3x+值.分析：這里可以根據(jù)條件2a=3b建立關(guān)于x,y的方程組，通過(guò)解方程組即可求得x與y的值.解：∵a=(3x+4y,-2x-y)，16y+3)，若2a=3b,試求x與y的9b=(2x-3y+1,-3x+16y+3)9∴由2a=3b可得：

(6x+8y,-4x-2y)=(6x-9y+3,-9x+

16y+9)3

b同向，說(shuō)明：這里的題設(shè)條件2a=3b，其實(shí)它反應(yīng)了向量a，并且2｜a｜=3｜b｜，3｜b｜,所以a，b的坐標(biāo)應(yīng)成比例，即a的橫、縱坐標(biāo)分別與b的橫縱坐標(biāo)之23比相等且都等于.2即｜a｜=

例3 已知平行四邊形三個(gè)頂點(diǎn)是(3，-2)，(5，2)，(-1，4)，求第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo).解：如圖，設(shè)OA=(3,-2), OB=(5,-2), OC=(-1,4), OD =(x,y)依題意，AB=DC或AC=DB或AB=CD 由AB=DC，可得：OB-OA=OC-OD

即(5,2)-(3,2)=(-1,4)-(x,y)?(2,4)=(-1-x,4-y)

∴D(-3，0)同理，若AC=DB可得：(-4，6)=(5-x,2-y).∴x=9,y=-4, ∴D(9,4)若AB=CD可得：(2，4)=(x+1,y-4)∴x=1,y=8.∴D(1,8)∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-3，0)或(9，-4)或(1，8)

例4 已知｜a｜=10, b=(3,-4),且a∥b,求a.解：設(shè)a=(x,y)，則有

或??x??6

?y?8

∴a=(6,-8)或(-6，8)

例5 已知a=(3,2), b=(-2,1), c=(7,-4),用a，b表示c.解：設(shè)c=ma+nb,即(7，-4)=m(3,-2)+n(-2,1)∴ ??m?1?3m?2m?7 解得：?

?n??2??2m?n??4∴c =a-2b

例6 如圖，已知凸四邊形ABCD中，E、F分別是AB與CD的中點(diǎn)，試證：2EF=AD+BC 分析：本例是實(shí)數(shù)與向量積，但用向量的坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行論證，其思路明確，過(guò)程簡(jiǎn)單.證明：設(shè)A(x1，y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)于是AD=(x4，y4)-(x1，y1)=(x4-x1,y4-y1)BC=(x3,y3)-(x2,y2)=(x3-x2,y3-y2)又22OE=OA+OB

∴22OE=(x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,y1+y2)22OF=(x3+x4,y3+y4)2EF=2(OF-OE)=(x3+x4-x1-x2,y3+y4-y1-y2)AD+BC=(x4-x1,y4-y1)+(x3-x2,y3-y2)=(x3+x4-x1-x2,y3+y4-y1-y2)∴2EF=AD+BC

【難題巧解點(diǎn)拔】

例1 已知：點(diǎn)A(2，3)、B(5，4)，C(7，10)若AP=AB+λ2AC(λ∈R),試求λ為何值時(shí)，點(diǎn)P在一、三象限角平分線(xiàn)上?點(diǎn)P在第三象限內(nèi)? 分析：由題設(shè)條件可用λ分別表示點(diǎn)P的橫、縱坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)P在一、三象限角平分線(xiàn)上的充要條件是它的橫、縱坐標(biāo)相等，點(diǎn)P在第三象限內(nèi)的充要條件是它的橫、縱坐標(biāo)均為負(fù)，就能求出相應(yīng)的λ值.解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y)則AP=(x,y)-(2,3)=(x-2,y-3)AB+λ2AC=(5,4)-(2,3)+λ［(7,10)-(2,3)］

=(3,1)+λ(5,7)=(3,1)+(5λ,7λ)=(3+5λ,1+7λ)∵AP=AB+λAC ∴(x-2,y-3)=(3+5λ,1+7λ)?x?2?3?5??x?5?5?∴? ∴?

y?3?1?7?y?4?7???∴P(5+5λ，4+7λ)(1)若點(diǎn)P在一、三象限角平分線(xiàn)上，則5+4λ=4+7λ ∴λ=1 2?5?5??0(2)若點(diǎn)P在第三象限內(nèi)，則?

4?7??0?????1?∴?4 ∴λ＜-1 ????7?即只要λ＜-1時(shí)，點(diǎn)P就在第三象限內(nèi).例2 如圖已知OA=a,OB=b, OC=c,求證A、B、C三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上的充要條件是：有不全為0的實(shí)數(shù)m,n,l，使得la+mb+nc=0且l+m+n=0

解：過(guò)A、B的直線(xiàn)方程是p =a+t(b-a)1°必要性：若A、B、C在同一直線(xiàn)上，則c=a+t(b-a)=(1-t)a+tb-c=0 令1-t=l,t=m,-1=n, 則有ta+mb+lc且m+n+l=0 2°充分性：由l+m+n=0 la+mb+mc=0

? m(c-b)=-l(c-a)即mBC=-lAC?BC∥AC且有公共點(diǎn)?A、B、C三點(diǎn)共線(xiàn).評(píng)析：證明充要條件一定要證兩個(gè)方面，即充分性和必要性?xún)蓚€(gè)部分.例3 已知：a=(cosα,sinα), b=(cosβ,sinβ), a+b=(求(1)(cos(α-β),sin(α-β))(2)tan解：(1)依題意，可得：

43,)55???2

①+②得2+2cos(α-β)=-1 ∴cos(α-β)=-221，2從而sin(α-β)=±213,±)22∴(cos(α-β),sin(α-β))=(-

(2)由①得：2cos由②得：2sin???22cos

???22=

=③ 5 ④ ???2 2cos

???35④???3得：tan= ③24

【課本難題解答】

課本第112頁(yè)習(xí)題5.4第8題：

設(shè)b=λa即：(x,-6)=λ(2,3)?(x,-6)=(2λ,3λ)∴ ??x?2? 得λ=-2, x=-4, ∴x=-4 ?6?3??第9題：

AB=(2,1)-(-2,-3)=(4,4)CD=(-7,-4)-(1,4)=(-8.-8)顯然CD=-2AB ∴AB與CD共線(xiàn).【命題趨勢(shì)分析】

向量的坐標(biāo)表示，實(shí)際是向量的代數(shù)表示形式，引入向量的坐標(biāo)表示后，就可以使向量的運(yùn)算完全代數(shù)化，實(shí)現(xiàn)了形向數(shù)的轉(zhuǎn)化，將數(shù)與形緊密聯(lián)系起來(lái)了.本節(jié)考查學(xué)生是否會(huì)求向量的坐標(biāo)，能否正確利用向量的坐標(biāo)表示進(jìn)行向量的線(xiàn)性運(yùn)算.利用向量共線(xiàn)的充要條件解證相關(guān)的問(wèn)題，本節(jié)是高考的熱點(diǎn).【典型熱點(diǎn)考題】

例1 若向量a=(1,2), b=(x,1), u=a+2b,v=2a-b,且u∥v，則x=.解：u=(1,2)+2(x,1)=(1,2)+(2x,2)=(2x+1,4)v =2(1,2)-(x,1)=(2,4)-(x,1)=(2-x,3)由u∥v,一定存在λ∈R，使u=λv 則有(2x+1,4)=((2-x)λ,3λ)

4?????2x?1?(2?x)??3

解得：???4?3??x?1?2?∴應(yīng)填

例2 若點(diǎn)A(-1，2)，B(2，3)，C(3，-1)，且AD=2AB-3BC，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為.解：∵A(-1，2)，B(2，3)，C(3，-1)∴AB=(3,1), BC=(1,-4)∴AD=23(3,1)-33（1,-4）=(6,2)-(3,-12)=(3,14)設(shè)點(diǎn)D(x,y)則AD=(x+1,y-2)1.2?x?2?x?1?3故? ∴ ?

y?16y?2?14??∴D的坐標(biāo)為(2，16)∴應(yīng)填：(2，16)

例3 若A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(2，-4)，(0，6)，(-8，10)，則AB+2BC，BC-的坐標(biāo)分別為、.分析：本題主要考查向量的坐標(biāo)表示及向量的坐標(biāo)運(yùn)算.解：AB=(-2,10), BC=(-8,4), AC=(-10,14)∴AB+2BC=(-2,10)+2(-8.4)=(-2,10)+(-16,8)=(-18,18)

1AC2BC-11AC=(-8,4)-(-10,14)=(-8,4)-(-5,7)=(-3,-3)22∴應(yīng)填：(-18，18)，(-3，3)

例4 已知a≠0，b≠0, a不平行于b,求證：a+b不平行于a-b.證明：令a=(x1,y1), b=(x2,y2),有a+b=(x1+x2,y1+y2)a-b=(x1-x2,y1-y2)假設(shè)a+b∥a-a

則(x1+x2)(y1-y2)-(y1+y2)(x1-x2)=0 整理得x2y1-x1y2=0.因?yàn)閍≠0, b≠0所以a∥b)這與已知矛盾，∴a+b不平行于a-b

本周強(qiáng)化練習(xí)：

【同步達(dá)綱練習(xí)】

一、選擇題

1.若a，b是不共線(xiàn)的兩個(gè)向量，且AB=λ1a+b, AC=a+λ2b(λ1,λ2∈R)，則A、B、C三點(diǎn)共線(xiàn)的充要條件是()A.λ1=λ2=-1 B.λ1=λ2=1

C.λ1λ2+1=0

D.λ1λ2-1=0 2.已知a=(3,-1), b=(-1,2)，則-3a-2b的坐標(biāo)是()A.(7，1)

3.已知a=(-1,3), b=(x,-1)，且a∥b，則x等于()A.3

4.已知平行四邊形ABCD中，AD=(3,7), AB=(-2,3),對(duì)角線(xiàn)AC、BD交于O，則CO的坐標(biāo)是()A.(-

5.若向量a=(x-2,3)與向量b=(1,y+2)相等，則：()A.x=1,y=3

B.x=3,y=1 D.x=5,y=-1 C.x=1,y=-5 B.B.(-7，-1)

C.(-7，1)

D.(7，-1)C.-3

D.-31，5)2B.(-

1，-5)2C.（1)，-5)2 D.（1，5)26.三點(diǎn)A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)共線(xiàn)的充要條件是()A.x1y2-x2y1=0

C.(x2-x1)(y3-y1)=(x3-x1)(y2-y1)7.設(shè)a=（B.x1y3-x3y1=0

D.(x2-x1)(x3-x1)=(y2-y1)(y3-y1)31,sinα), b=(cosα,)且a∥b，則銳角α為()23 B.60°

C.45°

D.75° A.30°

8.已知向量AB=(6,1), BC=(x,y), CD=(-2,3),則DA=()A.(x+4,2-y)B.(x-4,2-y)

C.(x-4,y-2)

D.(-4-x,-y+2)9.已知a=(1,2), b=(x,1)，當(dāng)a+2b與2a-b共線(xiàn)時(shí)，x值為()A.1

10.如果e1、e2是平面α內(nèi)所有向量的一組基底，那么()A.若實(shí)數(shù)λ

1、λ2，使λ1e1+λ2e2)=0,λ1=λ2=0 B.空間任一向量a可以表示為a=λ1e1+λ2e2,這里λ

1、λ2是實(shí)數(shù) C.對(duì)實(shí)數(shù)λ

1、λ2，λ1e1+λ2e2)不一定在平面α內(nèi)

D.對(duì)平面α內(nèi)的任一向量a，使a=λ1e1+λ2e2的實(shí)數(shù)λ

1、λ2有無(wú)數(shù)對(duì).二、填空題：

1.已知e1、e2是一對(duì)不共線(xiàn)的非零向量，若a=e1+λe2, a=-2λe1-e2,且a、b共線(xiàn)，則λ=.2.已知a=(1,2), b=(2,1), c=(3,-2),且c=λa+μb，則實(shí)數(shù)λ= ,μ=.3.若向量a=(1，-2)的終點(diǎn)在原點(diǎn)，那么這個(gè)向量的始點(diǎn)坐標(biāo)是.4.在△ABC中，已知AB=a,CA=c，O是△ABC的重心，則OB+OC=.5.已知a、b是兩非零向量，且｜a｜=m,｜b｜=n，c=a+b，當(dāng)m＜n時(shí)，｜c(diǎn)｜的最小值是.三、解答題：

1.已知a=AB,B(1,0), b=(-3,4), c=(-1,1)，且a=3b-2c，求點(diǎn)A的坐標(biāo).2.已知△ABC，A(7，8)、B(3，5)、C(4，3)，M、N是AB、AC的中點(diǎn)，D是BC中點(diǎn)，MN B.2

C.D.2

與AD交于F，求DF.3.已知A(1，-2)，B(2，1)，C(3，2)和D(-2，3)，以AB、AC為一組基底來(lái)表示AD+BD+CD.【素質(zhì)優(yōu)化訓(xùn)練】

一、判斷題

1.已知：a=(1,3), b=(-3,-6),則｜a-b｜=｜a｜+｜b｜()

2.已知：i =(1,0), j=(0,1).a=(3,4)，則a=3i-4j()

3.已知：a=(5，-4),則2.5a=(12.5,-10)()

4.已知：a=(3.14,π), b=(314,100π),則a∥b()

5.若A(-1，-1)，B(1，3)，C(2，5)，則｜AB｜+｜BC｜＞｜AC｜()

6.已知：a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，若x1y2+x2y1=0則a∥b()

7.若a與b不平行，m、n∈R*,c1=ma+nb,c2=ma-nb，則c1與c2不平行()

8.若a=(x,y)，則-a=(y,x)()

9.已知：A(1，1)、B(3，2)、C(0，-1)、D(2，0)則AB=CD()

二、1.已知點(diǎn)A(-1，2)，B(2，8)，及AC=

11AB,DA=-BA,求C、D的坐標(biāo).33

2.已知ABCD的正方形，BE∥AC，AC=CE,EC的延長(zhǎng)線(xiàn)交BA的延長(zhǎng)于F，求證：AF=AE.3.正方形ABCO，按順時(shí)針?lè)较蛞来螢锳→B→C→O，O為坐標(biāo)原點(diǎn)OB=(1,3)，求向量OA，OC的坐標(biāo).【生活實(shí)際運(yùn)用】

如圖所示，一條河的兩岸平行，河的寬度d=500m，一艘船從A處出發(fā)航行到河的正對(duì)岸B處，船航行的速度｜V1｜=10km/h，水流速度｜V2｜=4km/h，那么V1與V2的夾角θ(精確到1°)多大時(shí)，船才能垂直到達(dá)對(duì)岸B處?船行駛多少時(shí)間(精確到0.1min)? 解：如果水是靜止的，則船只要取垂直于河岸的方向行駛就行了.由于水流動(dòng)的作用，船要被水沖向下游，因此要使船垂直到達(dá)對(duì)岸，就要使V1與V2的合速度的方向正好垂直于河岸方向(如圖所示).根據(jù)向量的平行四邊形法則和解直角三角形的知識(shí)，可以算出 ｜V｜=9.2km/h, θ=114°, t=3.3min.【知識(shí)探究學(xué)習(xí)】

在很大的一湖岸邊(可視湖岸為直線(xiàn))停放著一只小船，由于纜繩突然斷開(kāi)，小船被風(fēng)刮跑，其方向與河岸成15°，速度為v=2.5km/h，同時(shí)岸上有一人，從同一地點(diǎn)追趕小船，已知他在岸上跑的速度為v1=4km/h，在水中游的速度為v2=2km/h，問(wèn)此人能否追上小船，小船能被人追上的最大速度是多少? 解析：用向量合成法來(lái)求解這個(gè)問(wèn)題.由于人在水中游的速度小于船的速度，人只有先沿岸跑一段路程后再游水追趕船，這樣才有可能追上.所以本題討論的問(wèn)題不是同一直線(xiàn)上 的追及問(wèn)題，只有當(dāng)人沿岸跑的軌跡和人游水的軌跡以及船在水中行駛的軌跡它們?nèi)呓M成一個(gè)封閉的三角形時(shí)，人才能追上小船.設(shè)人在岸上跑的時(shí)間t1內(nèi)到達(dá)A點(diǎn)，然后人在水中沿AE方向游水追船，如圖所示，以船在B點(diǎn)時(shí)為參照物，則人在水中船的速度v3應(yīng)為v3=v2-v，要追上船，不管v2方向如何，相對(duì)速度v3方向不變，只要在α＞θ，人就能追上船，由v2，-v, v3組成的向量三角形，其中v3，v的方向不變(圖中∠ADE恒定)，而v2大小是恒定的，要DE邊最長(zhǎng)(即v的大小最大)，AE必與AD相互垂直.AF∥DE∥OB，CE∥AB，∵△AFC∽△OAB ∴AFOBv==, ACOAv1又∵AF=v,∴AC=v1.在Rt△AEC中有sin∠ACE=sinβ=

v21=,所以β=30°,∠EAC=α=60°,∠AED=45°，v12即△AED為等腰直角三角形，因此有vmax=2v2=22km/h.∴當(dāng)船速為2.5km/h時(shí)，人可以追上小船.參考答案

【同步達(dá)綱練習(xí)】

一、1.D 2.B 3.B 4.B 5.B 6.C 7.C 8.B 9.D 10.A

二、1.±

7812 2.λ=-,μ= 3.(-1，2)4.(a-c)5.n-m

333217 AD=(,2)3.32AB-22AC 2

4三、1.(8，-10)2.DF=-【素質(zhì)優(yōu)化訓(xùn)練】

一、1.3 2.3 3.√ 4.√ 5.3 6.3 7.√ 8.3 9.√

二、1.C(0，4)，D(-2，0)2.先求E的坐標(biāo)(1?31?3，)F的坐標(biāo)(-2-3，1)再證：｜AF｜=｜AE｜ 22

3.OA=（2?62?61?31?3,), OC=2(,)

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第二篇：2012屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教案：5.3 兩點(diǎn)間距離公式、線(xiàn)段的定比分點(diǎn)與圖形的平移

5.3 兩點(diǎn)間距離公式、線(xiàn)段的定比分點(diǎn)與圖形的平移

●知識(shí)梳理 1.設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則AB=（x2－x1，y2－y1）.22∴|AB|=（x2?x1）?（y2?y1）.2.線(xiàn)段的定比分點(diǎn)是研究共線(xiàn)的三點(diǎn)P1，P，P2坐標(biāo)間的關(guān)系.應(yīng)注意：（1）點(diǎn)P是不同于P1，P2的直線(xiàn)P1P2上的點(diǎn)；（2）實(shí)數(shù)λ是P分有向線(xiàn)段P1P2所成的比，即P1→P，P→P

2x1??x2?x?，??1??的順序，不能搞錯(cuò)；（3）定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式?（λ≠－1）.y??y2?y?1?1???3.點(diǎn)的平移公式描述的是平移前、后點(diǎn)的坐標(biāo)與平移向量坐標(biāo)三者之間的關(guān)系，?x??x?h，??y?y?k.?特別提示

1.定比分點(diǎn)的定義：點(diǎn)P為P1P2所成的比為λ，用數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)即為P1P=λPP2.當(dāng)λ＞0時(shí)，P為內(nèi)分點(diǎn)；λ＜0時(shí)，P為外分點(diǎn).2.定比分點(diǎn)的向量表達(dá)式：

P點(diǎn)分P1P2成的比為λ，則OP=

11??OP1+

?1??OP2（O為平面內(nèi)任一點(diǎn)）.3.定比分點(diǎn)的應(yīng)用：利用定比分點(diǎn)可證共線(xiàn)問(wèn)題.●點(diǎn)擊雙基

1.（2004年?yáng)|北三校聯(lián)考題）若將函數(shù)y=f（x）的圖象按向量a平移，使圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)由（1，0）變?yōu)椋?，2），則平移后的圖象的解析式為

A.y=f（x+1）－2

B.y=f（x－1）－2 C.y=f（x－1）+2

D.y=f（x+1）+2 解析：由平移公式得a=（1，2），則平移后的圖象的解析式為y=f（x－1）+2.答案：C 2.（2004年湖北八校第二次聯(lián)考）將拋物線(xiàn)y=4x沿向量a平移得到拋物線(xiàn)y－4y=4x，則向量a為

A.（－1，2）C.（－4，2）

B.（1，－2）D.（4，－2）

2?x??x?h?x?x??h，解析：設(shè)a=（h，k），由平移公式得? ????y?y?ky?y?k，??代入y2=4x得

（y?－k）2=4（x?－h(huán)），y?2－2ky?=4x?－4h－k2，第1頁(yè)（共10頁(yè)）

即y－2ky=4x－4h－k，∴k=2，h=－1.∴a=（－1，2）.答案：A 22思考討論

本題不用平移公式代入配方可以嗎? 提示：由y2－4y=4x，配方得（y－2）=4（x+1），∴h=－1，k=2.（知道為什么嗎?）

3.設(shè)A、B、C三點(diǎn)共線(xiàn)，且它們的縱坐標(biāo)分別為2、5、10，則A點(diǎn)分BC所得的比為 A.382

3B.83

8C.－

8D.－

35?10????解析：設(shè)A點(diǎn)分BC所得的比為λ，則由2=答案：C，得λ=－.834.若點(diǎn)P分AB所成的比是λ（λ≠0），則點(diǎn)A分BP所成的比是____________.解析：∵AP=λPB，∴AP=λ（－AP+AB）.∴（1+λ）AP=λAB.∴AB=1??AP.∴BA=－

1?????AP.答案：－1??

5.（理）若△ABC的三邊的中點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1）、（－3，4）、（－1，－1），則△ABC的重心坐標(biāo)為_(kāi)___________.解析：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），?x1?x2?2，?2??y1?y2?1，?2??x1?x3??3，??x?x2?x3??2242則?

∴?1∴重心坐標(biāo)為（－，）.33?y1?y2?y3?4?y1?y3?4，?2?x?x3?2??1，?2?y?y3?2??1.2?答案：（－23，43）

（文）已知點(diǎn)M1（6，2）和M2（1，7），直線(xiàn)y=mx－7與線(xiàn)段M1M2的交點(diǎn)M分有向線(xiàn)段M1M2的比為3∶2，則m的值為_(kāi)___________.第2頁(yè)（共10頁(yè)）

6?3232解析：設(shè)M（x，y），則x=

1?=

1552?7?32=3，y=

1?32=

4?215=5，即M（3，5），代入y=mx－7得5=3m－7，∴m=4.答案：4 ●典例剖析

【例1】 已知點(diǎn)A（－1，6）和B（3，0），在直線(xiàn)AB上求一點(diǎn)P，使|AP|=|AB|.31剖析：|AP|=|AB|，則AP=3113AB或AP=

13BA.設(shè)出P（x，y），向量轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算即可.解：設(shè)P的坐標(biāo)為（x，y），若AP=41???x?1?，?x?，3解得?3此時(shí)??y?6??2.?y?4.??13AB，則由（x+1，y－6）=

13（4，－6），得

P點(diǎn)坐標(biāo)為（，4）.3131若AP=－13AB，則由（x+1，y－6）=－（4，－6）得

47??7?x?1??，?x??，3解得?3∴P（－?3?y?6?2.?y?8.??，8）.綜上所述，P（，4）或（－3173，8）.深化拓展

本題亦可轉(zhuǎn)化為定比分點(diǎn)處理.由AP=λ=1213AB，得AP=

12PB，則P為AB的定比分點(diǎn)，代入公式即可；若AP=－1413AB，則AP=－

14PB，則P為AB的定比分點(diǎn)，λ=－.由兩種方法比較不難得出向量的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算，是解決向量問(wèn)題的一般方法.【例2】 已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是A（4，1），B（3，4），C（－1，2），BD是∠ABC的平分線(xiàn)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)及BD的長(zhǎng).剖析：∵A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)為已知，∴要求點(diǎn)D的坐標(biāo)，只要能求出D分AC所成的比即可.解：∵|BC|=25，|AB|=10，∴D分AC所成的比λ=由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式，得

ADDC?ABBC?22.第3頁(yè)（共10頁(yè)）

?24??（?1）?2?xD??9?52，?21??∴D2??1?2?y??2.D?21??2?點(diǎn)坐標(biāo)為（9－52，2）.22?（2?4）=104?682.∴|BD|=（9?52?3）評(píng)述：本題給出了三點(diǎn)坐標(biāo)，因此三邊長(zhǎng)度易知，由角平分線(xiàn)的性質(zhì)通過(guò)定比分點(diǎn)可解出D點(diǎn)坐標(biāo)，適當(dāng)利用平面幾何知識(shí)，可以使有些問(wèn)題得以簡(jiǎn)化.深化拓展

本題也可用如下解法：設(shè)D（x，y），∵BD是∠ABC的平分線(xiàn)，∴〈BA，BD〉=〈BC，BD〉.∴BA?BD|BA||BD|BC?BD|BC|?|BD|?，即BA?BD|BA|=BC?BD|BC|.又BA=（1，－3），BD=（x－3，y－4），BC=（－4，－2），∴x?3?3y?1210=?4x?12?2y?820.① ∴（4+2）x+（2－32）y+92－20=0.又A、D、C三點(diǎn)共線(xiàn)，∴AD，AC共線(xiàn).又AD=（x－4，y－1），AC=（x+1，y－2），∴（x－4）（y－2）=（x+1）（y－1）.??x?9?52，由①②可解得?

??y?2.②

∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（9－52，2），|BD|=104?682.思考討論

若BD是AC邊上的高，或BD把△ABC分成面積相等的兩部分，本題又如何求解?請(qǐng)讀者思考.【例3】 已知在□ABCD中，點(diǎn)A（1，1），B（2，3），CD的中點(diǎn)為E（4，1），將 □ABCD按向量a平移，使C點(diǎn)移到原點(diǎn)O.（1）求向量a；

（2）求平移后的平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo).解：（1）由□ABCD可得AB=DC，設(shè)C（x3，y3），D（x4，y4），第4頁(yè)（共10頁(yè)）

則?，?x3?x4?1?y3?y4?2.?x42?y4292①②

?x3??又CD的中點(diǎn)為E（4，1），則??y3??9?7??x4?，?x3?，由①－④得?2?2即?y?2，?y?0，?4?3?4，?1.③

④C（，2），D（72，0）.∴a=（－92，－2）.72（2）由平移公式得A′（－●闖關(guān)訓(xùn)練

夯實(shí)基礎(chǔ)，－1），B′（－

52，1），C′（0，0），D′（－1，－2）.1.（2004年福州質(zhì)量檢查題）將函數(shù)y=sinx按向量a=（－式為

A.y=sin（x－C.y=sin（x+π4π4，3）平移后的函數(shù)解析）+3

B.y=sin（x－D.y=sin（x+

π4）－3 π4）+3

π4）－3

π??x?x??h，?x?x??，π解析：由?得?4∴y?－3=sin（x?+）.4?y?y??k，?y?y??3.?∴y?=sin（x?+答案：C π4）+3，即y=sin（x+

π4）+3.2.（2003年河南調(diào)研題）將函數(shù)y=2sin2x的圖象按向量a平移，得到函數(shù)y=2sin（2x++1的圖象，則a等于

A.（－C.（π3π3π3），1）

π3

B.（－D.（π6π6π6，1），－1），1）

π6解析：由y=2sin（2x+答案：B）+1得y=2sin2（x+）+1，∴a=（－，1）.3.（2004年?yáng)|城區(qū)模擬題）已知點(diǎn)P是拋物線(xiàn)y=2x+1上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)A（0，－1），若點(diǎn)M分PA所成的比為2，則點(diǎn)M的軌跡方程是____________，它的焦點(diǎn)坐標(biāo)是____________.解析：設(shè)P（x0，y0），M（x，y）.第5頁(yè)（共10頁(yè)）

x0?x???x0?3x，?3代入y0=2x02+1得3y+2=18x2+1，即18x2=3y+1，????y0?3y?2，?y?y0?2?3?x2=16y+118=162（y+），∴p=31611112，焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，－

724724）.答案：x=（y+）

（0，－

32）

24.把函數(shù)y=2x－4x+5的圖象按向量a平移后，得到y(tǒng)=2x的圖象，且a⊥b，c=（1，－1），b·c=4，則b=____________.解析：a=（0，0）－（1，3）=（－1，－3）.設(shè)b=（x，y），由題意得?則b=（3，－1）.答案：（3，－1）

5.已知向量OA=（3，1），（－1，2），OB=OC⊥OB，BC∥OA.試求滿(mǎn)足OD+OA=OC的OD的坐標(biāo).解：設(shè)OD=（x，y），則OC=（x，y）+（3，1）=（x+3，y+1），BC=OC－OB=（x+3，y+1）－（－1，2）=（x+4，y－1），（x?3）?（2y?1）?0，????x?3y?0，?x?3，?x?y?4，y??1，??則?（?（3y?1）?0.?x?4），?x?11?y?6，所以? OD=（11，6）.13146.已知A（2，3），B（－1，5），且滿(mǎn)足AC=D、E的坐標(biāo).AB，AD=3AB，AE=－

AB，求C、解：用向量相等或定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式均可，讀者可自行求解.C（1，E（114113），D（－7，9），52）.培養(yǎng)能力

7.（2004年福建，17）設(shè)函數(shù)f（x）=a·b，其中a=（2cosx，1），b=（cosx，3sin2x），x∈R.（1）若f（x）=1－3，且x∈［－

π3，π3］，求x；

π2（2）若y=2sin2x的圖象按向量c=（m，n）（|m|＜）平移后得到函數(shù)y=f（x）的圖象，第6頁(yè)（共10頁(yè)）

求實(shí)數(shù)m、n的值.解：（1）依題設(shè)f（x）=2cos2x+3sin2x=1+2sin（2x+由1+2sin（2x+∵|x|≤π3π6π6），）=1－3，得sin（2x+≤2x+

π6π6）=－

π332.π4，∴－π2≤

5π6.∴2x+

π6=－，即x=－.（2）函數(shù)y=2sin2x的圖象按向量c=（m，n）平移后得到函數(shù)y=2sin2（x－m）+n的圖象，即y=f（x）的圖象.由（1）得f（x）=2sin2（x+8.有點(diǎn)難度喲！

（2004年廣州綜合測(cè)試）已知曲線(xiàn)x+2y+4x+4y+4=0按向量a=（2，1）平移后得到曲線(xiàn)C.（1）求曲線(xiàn)C的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)D（0，2）的直線(xiàn)與曲線(xiàn)C相交于不同的兩點(diǎn)M、N，且M在D、N之間，設(shè)DM=λMN，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.解：（1）原曲線(xiàn)即為（x+2）2+2（y+1）2=2，則平移后的曲線(xiàn)C為x2+2y2=2，即x2π12）+1.又|m|＜

π2，∴m=－

π12，n=1.222+y=1.2（2）設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則

?x2?x?，221????x1?2y1?2，1??22由于點(diǎn)M、N在橢圓x+2y=2上，則? ?222??y2??y??x2?2y2?2，.1?1???2??y22??x22（）?（2）?2，?1??1??即?消去22?x?2y?2.2?22??34?x2得，2λ+8λy2+8=2λ+4λ+2，即y2=

2.∵－1≤y2≤1，∴－1≤又∵λ＞0，故解得λ≥故λ的取值范圍為［

122??34?12≤1..，+∞）.思考討論

本題若設(shè)出直線(xiàn)l的方程y=kx+2，然后與x2+2y2=2聯(lián)立，利用韋達(dá)定理能求解嗎?（不要忘記討論斜率不存在的情況）讀者可嘗試一下.探究創(chuàng)新

9.甲船由A島出發(fā)向北偏東45°的方向做勻速直線(xiàn)航行，速度為152 n mile/h，在甲船從A島出發(fā)的同時(shí)，乙船從A島正南40 n mile處的B島出發(fā)，朝北偏東θ（θ=arctan

12）

第7頁(yè)（共10頁(yè)）的方向作勻速直線(xiàn)航行，速度為105 n mile/h.（如下圖所示）

（1）求出發(fā)后3 h兩船相距多少海里?（2）求兩船出發(fā)后多長(zhǎng)時(shí)間相距最近?最近距離為多少海里? 解：以A為原點(diǎn)，BA所在直線(xiàn)為y軸建立如下圖所示的坐標(biāo)系.設(shè)在t時(shí)刻甲、乙兩船分別在P（x1，y1），Q（x2，y2），則?12??x1?152tcos45??15t，??y1?x1?15t.由θ=arctan，可得cosθ=

255，sinθ=

55，x2=105tsinθ=10t，y2=105tcosθ－40=20t－40.（1）令t=3，P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（45，45），（30，20）.22?（45－20）=850=534，|PQ|=（45?30）即兩船出發(fā)后3 h時(shí)，兩船相距534 n mile.2?（y2?y1）（2）由（1）的解法過(guò)程易知|PQ|=（x2?x12）222210t?15t）?（20t?40?15t）=50t?400t?1600=50（t?4）?800≥202.=（∴當(dāng)且僅當(dāng)t=4時(shí)，|PQ|的最小值為202，即兩船出發(fā)4 h時(shí)，相距202 n mile為兩船最近距離.●思悟小結(jié)

1.理解線(xiàn)段的定比分點(diǎn)公式時(shí)應(yīng)注意以下問(wèn)題：（1）弄清起點(diǎn)、分點(diǎn)、終點(diǎn)，并由此決定定比λ；

（2）在計(jì)算點(diǎn)分有向線(xiàn)段所成比時(shí)，首先要確定是內(nèi)分點(diǎn)，還是外分點(diǎn)，然后相應(yīng)地把數(shù)量之比轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)度之比.也可直接由定義P1P=λPP2獲解.2.線(xiàn)段的定比分點(diǎn)的坐標(biāo)表示，強(qiáng)化了坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用，確定λ的值是公式應(yīng)用的關(guān)鍵.3.關(guān)于平面圖形的平移，主要確定的是平移向量.注意公式正、逆使用，并特別注意分清

第8頁(yè)（共10頁(yè)）

新舊函數(shù)解析式.4.配湊法、待定系數(shù)法、對(duì)應(yīng)點(diǎn)代入法是確定平移向量的重要方法.●教師下載中心

教學(xué)點(diǎn)睛

1.線(xiàn)段的定比分點(diǎn)公式P1P=λPP2，該式中已知P1、P2及λ可求分點(diǎn)P的坐標(biāo)，并且還要注意公式的變式在P1、P2、P、λ中知三可求第四個(gè)量.2.定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式要用活不要死記.可設(shè)出坐標(biāo)利用向量相等列方程組.該解法充分體現(xiàn)了向量（形）與數(shù)之間的轉(zhuǎn)化具有一般性.3.平移前后坐標(biāo)之間的關(guān)系極易出錯(cuò)，要引導(dǎo)學(xué)生弄清知識(shí)的形成過(guò)程不要死記硬背.拓展題例

【例1】（2004年豫南三市聯(lián)考）已知f（A，B）=sin22A+cos22B－3sin2A－cos2B+2.（1）設(shè)△ABC的三內(nèi)角為A、B、C，求f（A，B）取得最小值時(shí)，C的值；（2）當(dāng)A+B=π2且A、B∈R時(shí)，y=f（A，B）的圖象按向量p平移后得到函數(shù)y=2cos2A的圖象，求滿(mǎn)足上述條件的一個(gè)向量p.解：（1）f（A，B）=（sin2A－

32）2+（cos2B－

12）2+1，?ππ?3，?A?或A?，?sin2A?2π?632得?由題意?∴C=?3?cos2B?1，?B?π.??6?2?或C=

π2.（2）∵A+B=π2，∴2B=π－2A，cos2B=－cos2A.π3∴f（A，B）=cos2A－3sin2A+3=2cos（2A+從而p=（π6）+3=2cos2（A+

π6）+3.，－3）（只要寫(xiě)出一個(gè)符合條件的向量p即可）.3【例2】 設(shè)曲線(xiàn)C的方程是y=x－x，將C沿x軸、y軸正向分別平移t、s單位長(zhǎng)度后，得到曲線(xiàn)C1.（1）寫(xiě)出曲線(xiàn)C1的方程；（2）證明：曲線(xiàn)C與C1關(guān)于點(diǎn)A（t2s2，）對(duì)稱(chēng).t2（1）解：C1：y－s=（s－t）3－（x－t）.（2）分析：要證明曲線(xiàn)C1與C關(guān)于點(diǎn)A（s2

①，）對(duì)稱(chēng)，只需證明曲線(xiàn)C1上任意一個(gè)點(diǎn)關(guān)于A點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)都在曲線(xiàn)C上，反過(guò)來(lái)，曲線(xiàn)C上任意一個(gè)點(diǎn)關(guān)于A點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)都在曲線(xiàn)C1上即可.證明：設(shè)P1（x1，y1）為曲線(xiàn)C1上任意一點(diǎn)，它關(guān)于點(diǎn)A（t2s2，）的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為

P（t－x1，s－y1），把P點(diǎn)坐標(biāo)代入曲線(xiàn)C的方程，左=s－y1，右=（t－x1）3－（t－x1）.由于P1在曲線(xiàn)C1上，∴y1－s=（x1－t）3－（x1－t）.∴s－y1=（t－x1）3－（t－x1），即點(diǎn)P（t－x1，s－y1）在曲線(xiàn)C上.同理可證曲線(xiàn)C上任意一點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)都在曲線(xiàn)C1上.第9頁(yè)（共10頁(yè)）

從而證得曲線(xiàn)C與C1關(guān)于點(diǎn)A（t2，s2）對(duì)稱(chēng).第10頁(yè)（共10頁(yè)）

第三篇：示范教案一4.1.1 線(xiàn)段的比

第四章 相似圖形

●課時(shí)安排 14課時(shí)

第一課時(shí)

●課 題

§4.1.1 線(xiàn)段的比

（一）●教學(xué)目標(biāo)

（一）教學(xué)知識(shí)點(diǎn) 1.知道線(xiàn)段比的概念.2.會(huì)計(jì)算兩條線(xiàn)段的比.（二）能力訓(xùn)練要求 會(huì)求兩條線(xiàn)段的比.（三）情感與價(jià)值觀要求

通過(guò)有關(guān)比例尺的計(jì)算，讓學(xué)生懂得數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中的作用，從而增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心.●教學(xué)重點(diǎn)

會(huì)求兩條線(xiàn)段的比.●教學(xué)難點(diǎn)

會(huì)求兩條線(xiàn)段的比，注意線(xiàn)段長(zhǎng)度的單位要統(tǒng)一.●教學(xué)方法 自主探索法 ●教具準(zhǔn)備

投影片一張：例題（記作§4.1.1 A）●教學(xué)過(guò)程

Ⅰ.創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引入新課

［師］同學(xué)們，大家見(jiàn)到過(guò)形狀相同的圖形嗎？請(qǐng)舉出例子來(lái)說(shuō)明.［生］課本P38中兩張圖片；

同一底片洗印出來(lái)的大小不同的照片； 兩個(gè)大小不同的正方形，等等.［師］對(duì)，大家舉出的這些例子都是形狀相同、大小不同的圖形，即為相似圖形.本章我們就要研究相似圖形以及與之有關(guān)的問(wèn)題.從兩個(gè)大小不同的正方形來(lái)看，它們之所以大小不同，是因?yàn)樗鼈兊倪呴L(zhǎng)的長(zhǎng)度不同，因此相似圖形與對(duì)應(yīng)線(xiàn)段的長(zhǎng)度有關(guān)，所以我們首先從線(xiàn)段的比開(kāi)始學(xué)習(xí).Ⅱ.新課講解

1.兩條線(xiàn)段的比的概念

［師］大家先回憶什么叫兩個(gè)數(shù)的比？怎樣度量線(xiàn)段的長(zhǎng)度？怎樣比較兩線(xiàn)段的大?。?/p>

［生］兩個(gè)數(shù)相除又叫兩個(gè)數(shù)的比，如a÷b記作

ab；度量線(xiàn)段時(shí)要選用同一個(gè)長(zhǎng)度單位，比較線(xiàn)段的大小就是比較兩條線(xiàn)段長(zhǎng)度的大小.［師］由比較線(xiàn)段的大小就是比較兩條線(xiàn)段長(zhǎng)度的大小，大家能猜想線(xiàn)段的比嗎？ ［生］兩條線(xiàn)段的比就是兩條線(xiàn)段長(zhǎng)度的比.［師］對(duì).比如：線(xiàn)段a的長(zhǎng)度為3厘米，線(xiàn)段b的長(zhǎng)度為6米，所以?xún)删€(xiàn)段a,b的比為3∶6=1∶2,對(duì)嗎？

［生］對(duì).［師］大家同意他的觀點(diǎn)嗎？

［生］不同意，因?yàn)閍、b的長(zhǎng)度單位不一致，所以不對(duì).［師］那么，應(yīng)怎樣定義兩條線(xiàn)段的比，以及求比時(shí)應(yīng)注意什么問(wèn)題呢？

［生］如果選用同一個(gè)長(zhǎng)度單位量得兩條線(xiàn)段AB、CD的長(zhǎng)度分別是m、n，那么就說(shuō)

第四篇：初中數(shù)學(xué)《線(xiàn)段的比》課例分析

初中數(shù)學(xué)《線(xiàn)段的比》課例分析

一、課堂實(shí)錄 S：解分式方程1＝21（學(xué)生爬黑板），相互校正。x?1x?1T：這節(jié)課我們學(xué)習(xí)第4章第一節(jié)《線(xiàn)段的比》，請(qǐng)同學(xué)們回憶一下學(xué)習(xí)幾何的 思想方法，學(xué)過(guò)哪些幾何定義、定理？首先看學(xué)習(xí)目標(biāo)，一齊讀一下。

[評(píng)析]一節(jié)課流程應(yīng)該具有流暢性，知識(shí)點(diǎn)與知識(shí)點(diǎn)之間銜接自然、舒暢，老師的導(dǎo)至關(guān)重要，本節(jié)課老師在學(xué)生復(fù)習(xí)舊知識(shí)與講新課之間的銜接顯得不太流暢?；蛟S有簡(jiǎn)單導(dǎo)語(yǔ)，效果會(huì)好些。

S：齊讀學(xué)習(xí)目標(biāo)1和目標(biāo)2。

T：目標(biāo)和重點(diǎn)都是：

1、理解兩條線(xiàn)段的比的概念；

2、成比例線(xiàn)段的概念。閱 讀教材101—105頁(yè)，請(qǐng)一位同學(xué)回答學(xué)案上的問(wèn)題。S：量得AB=4.8cm，CD=1cm，則AB＝4.8cm

CD1T：有沒(méi)有問(wèn)題？

S1：有！4.8不能帶單位，因?yàn)闀?shū)上說(shuō)比值不帶單位。S2：4.8是錯(cuò)的，應(yīng)該是整數(shù)比24。

15T：好！再請(qǐng)一位同學(xué)回答第二個(gè)問(wèn)題。

S：用同一個(gè)長(zhǎng)度單位去量?jī)蓷l線(xiàn)段，AB、CD的長(zhǎng)度分別是m、n，那么就說(shuō) 這兩條線(xiàn)段的比AB∶CD=m∶n或?qū)懗蒼ABm?CDn，其中AB、CD分別叫這兩條

AB?KCD線(xiàn)段比的前項(xiàng)和后項(xiàng)，如果把m表示成比值k，那么T：有沒(méi)有問(wèn)題？

或AB=k∶CD。

S：有問(wèn)題，最后一空應(yīng)為K·CD，而不是k∶CD。T：為什么？ S：因?yàn)锳B?KCD，去分母得AB=K·CD。

T：對(duì)！就是才學(xué)的去分母，非常好！下面齊讀兩條線(xiàn)段的比。S：齊讀。

T：（板書(shū)）AB∶CD=m∶n，AB?KCD

請(qǐng)思考AB、CD表示什么？m、n表示什么？ S：AB、CD表示線(xiàn)段，m、n表示長(zhǎng)度。

T：AB比CD的結(jié)果是比值，說(shuō)明線(xiàn)段的比是一個(gè)比值，是一個(gè)數(shù)，現(xiàn)在看學(xué)案上的挖掘教材：

1、求線(xiàn)段的比一定要統(tǒng)一單位，如學(xué)過(guò)的比例尺，要將圖上距離和實(shí)際距離的單位統(tǒng)一；

2、兩條線(xiàn)段的比是指長(zhǎng)度比，是一個(gè)沒(méi)有單位的正數(shù)。為什么？

S：因?yàn)榫€(xiàn)段的長(zhǎng)是正數(shù)。T：看即時(shí)練習(xí)1~5，誰(shuí)來(lái)講？ S1~S4講練習(xí)1~4，S5板書(shū)練習(xí)5。

T：（點(diǎn)評(píng)）練習(xí)1中，AB=5，BC=2，所以AC=3；練習(xí)2中，比值不是長(zhǎng)度，只能說(shuō)占的份數(shù)；練習(xí)3中，AB=5m化為AB=500cm，還有沒(méi)有其它方法？ S：可以將CD=200cm化為CD=2m，更簡(jiǎn)單。

T和S：練習(xí)4中，兩直角邊為3和4，根據(jù)勾股定理算出斜邊為5，設(shè)斜邊上 的高為x，用等積法1?3?4?1?5x，得x?12，則斜邊比斜邊上的高為

2255∶12=25∶12。

5S：讀題并板書(shū)練習(xí)5。同一時(shí)刻，小明的身高1.6m，影長(zhǎng)2m，古塔的影長(zhǎng)18m，求古塔的高為多少米？2∶1.6=10∶8 T：是不是最簡(jiǎn)單的？

S5：改2∶1.6=5∶4（而后出現(xiàn)思維障礙）

[評(píng)析]當(dāng)教師發(fā)現(xiàn)學(xué)生有困難時(shí)，應(yīng)給一定時(shí)間，引導(dǎo)學(xué)生思考，不要急于講解。

T：古塔的高怎樣算？小明影長(zhǎng)＝5＝K，K又等于古塔影長(zhǎng)。

小明身高x44古塔的高S5：設(shè)古塔的高為xm，18＝5，所以x＝14.4米

T：老師再簡(jiǎn)單敘述一下解題格式，根據(jù)Ｋ值相等列分式方程，再代值計(jì)算，分 式方程要檢驗(yàn)，寫(xiě)答語(yǔ)。

[評(píng)析]老師從線(xiàn)段的比過(guò)渡到成比例線(xiàn)段顯得較生硬。不妨打個(gè)小總結(jié)：剛才我們一起探究 2

了兩條線(xiàn)段的比，那么四條線(xiàn)段的比又是怎么回事呢？讓我們一起來(lái)分析這個(gè)問(wèn)題。這樣導(dǎo)入下個(gè)知識(shí)點(diǎn)可能會(huì)好一點(diǎn)。

Ｔ：看解讀教材，請(qǐng)同學(xué)來(lái)回答。Ｓ：量得a、b、c、d的長(zhǎng)為…… Ｓ：則a?1，cb2d?12，即a?c，則a、b、c、d叫成比例線(xiàn)段。

bdＴ：有沒(méi)有問(wèn)題，有沒(méi)有其他說(shuō)法？

Ｓ：有，如果a∶b＝1∶2，即a∶ b等于c∶ d，則a、b、c、d叫成比例線(xiàn)段。Ｔ：分?jǐn)?shù)就是比，1就是1比2，凡是滿(mǎn)足關(guān)系a?c，那么a、b、c、d就是成2bd比例線(xiàn)段，注意對(duì)這四條線(xiàn)段有一些規(guī)定，請(qǐng)同學(xué)們看一下。Ｔ和Ｓ：a、d叫比例外項(xiàng)，b、c叫比例內(nèi)項(xiàng)，d叫第四比例項(xiàng)。

Ｔ：先寫(xiě)a、d一前一后兩項(xiàng)，再寫(xiě)中間兩項(xiàng)，或先寫(xiě)分子再寫(xiě)分母，與分?jǐn)?shù)寫(xiě) 法相反。如果兩內(nèi)項(xiàng)相同，即a∶b＝b∶d，則b叫a、d的比例中項(xiàng)，在后 面學(xué)黃金分割時(shí)要用到。提醒同學(xué)們比例的項(xiàng)的次序不能隨意改變，請(qǐng)同學(xué) 們找關(guān)鍵詞，并勾畫(huà)出來(lái)。

[評(píng)析]老師對(duì)概念的闡述很到位，利于學(xué)生掌握。如果能在學(xué)完a、b、c、d成比例線(xiàn)段，寫(xiě)作ac?后，馬上提問(wèn)一下學(xué)生：m、n、e、f成比例線(xiàn)段，該怎樣寫(xiě)呢？這樣對(duì)中差生有bd幫助。

Ｔ：下面即時(shí)練習(xí)誰(shuí)來(lái)講？

Ｓ：練習(xí)１，因?yàn)閍、b、c、d成比例，所以a?c，因?yàn)閍＝5，b＝3，c＝2，所

bd以5?2，解出d?6。

3d5Ｓ：練習(xí)２，用比例中項(xiàng)來(lái)算，4?c，所以c2=36，c＝±6，因?yàn)榫€(xiàn)段不能為負(fù)，c9所以c=6。

T：（板書(shū)），還可用b2=ad來(lái)算。

S：第3題下列四條線(xiàn)段中，不能成比例的是c。T：這道題中a、b、c、d的順序可不可以調(diào)換？ S：不可以！

T：可以調(diào)換，如果已知a、b、c、d成比例，順序不能調(diào)，但判斷四條能否成比

例順序可以調(diào)換，可以用a比b，也可以用a比c。T：第4題，請(qǐng)同學(xué)上黑板來(lái)講，誰(shuí)來(lái)講？ S：（板書(shū)）mpnp?，mx=np，x?nxm。

T：x為什么不放在上面！S：因?yàn)閤為第四比例項(xiàng)。

T：誰(shuí)來(lái)講第5題。（有點(diǎn)兒生氣）今天第3組的同學(xué)表現(xiàn)不太好，一會(huì)兒我要 給每組打分，可能得分也不會(huì)高！

[評(píng)析]在這種情境下，老師不應(yīng)急于求成，而應(yīng)想法激起學(xué)生的積極性。

S：（板書(shū)）口述，因?yàn)锽D?3，設(shè)BD=3x，DC=5x，3x+5x=5.6，x=0.7，BD=3x=2.1，DC5DC=5x=3.5 T：這樣寫(xiě)不行，但思路清楚。請(qǐng)同學(xué)們將第6題寫(xiě)在作業(yè)本上，思考比例線(xiàn)段 與成比例線(xiàn)段有什么區(qū)別和聯(lián)系，并作達(dá)標(biāo)測(cè)試。下課！

[評(píng)析]課堂結(jié)束應(yīng)該對(duì)整節(jié)課的知識(shí)內(nèi)容有個(gè)精練總結(jié)。

二、課例分析

今天聽(tīng)了李富林老師的《線(xiàn)段的比》一課，深受啟發(fā)，感悟頗多。在新課程改革的今天，要求教師的教要主動(dòng)去適應(yīng)學(xué)生的學(xué)，提高課堂教學(xué)中學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)的有效性。在新的教育教學(xué)觀念推行的今天，要求我們教師徹底轉(zhuǎn)變觀念，把課堂還給學(xué)生，在課堂上充分發(fā)揮學(xué)生的主動(dòng)性，教師做好“主導(dǎo)”角色……李老師這節(jié)課充分體現(xiàn)了學(xué)生的自主學(xué)習(xí)，合作學(xué)習(xí)，探究學(xué)習(xí)，讓聽(tīng)課者受益匪淺。

1、將數(shù)學(xué)與生活實(shí)際相聯(lián)系，感到數(shù)學(xué)就在我們身邊。在線(xiàn)段的比的應(yīng)用中，已知小明的影長(zhǎng)與身高，古塔的影長(zhǎng)，求古塔的高這一題中，讓學(xué)生從生活情境中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題，分析問(wèn)題，并用同一時(shí)刻物高與影長(zhǎng)的比值不變，解決了求古塔高的問(wèn)題，讓學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)學(xué)知識(shí)形成的過(guò)程，使抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題和具體的生活實(shí)際相聯(lián)系，讓學(xué)生切實(shí)感到數(shù)學(xué)就在我們身邊。

2、采用小組合作學(xué)習(xí)，實(shí)現(xiàn)小組同學(xué)互助。每個(gè)學(xué)生都有自己的生活經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)基礎(chǔ)，不同學(xué)生解決問(wèn)題的策略有所不同。李老師采用6人小組合作學(xué)習(xí)，組內(nèi)相互討論交流，并請(qǐng)小組代表發(fā)言或板書(shū)，交流解題方法，板書(shū)解題過(guò)程，促進(jìn)了學(xué)生間的相互學(xué)習(xí)和相互幫助，從而達(dá)到共同進(jìn)步。

3、教學(xué)中注意細(xì)節(jié)，讓學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解到位。在教學(xué)兩條線(xiàn)段的比時(shí)，強(qiáng)調(diào)比值K是一個(gè)沒(méi)有單位的正數(shù)。在計(jì)算時(shí)，兩條線(xiàn)段的長(zhǎng)度單位要統(tǒng)一；在教學(xué)成比例線(xiàn)段時(shí)，特別注意與比例線(xiàn)段相區(qū)別。在即時(shí)練習(xí)中，強(qiáng)調(diào)比值是指份數(shù)，而不能當(dāng)成具體長(zhǎng)度。對(duì)這些細(xì)節(jié)的處理，充分說(shuō)明老師對(duì)教學(xué)十分專(zhuān)注，十分投入，對(duì)學(xué)生特別是中差生的學(xué)習(xí)有較大幫助。

當(dāng)然，這節(jié)課也還有一些值得思考的地方，比如如何更加有效地發(fā)揮教師的導(dǎo)向功能，讓學(xué)生學(xué)得更輕松，讓課堂效果更高呢？我認(rèn)為可以從以下方面加以努力。

1、從知識(shí)基礎(chǔ)和基本技能著手對(duì)學(xué)生加強(qiáng)指導(dǎo)。在教學(xué)時(shí)，注重比例線(xiàn)段與成比例線(xiàn)段的區(qū)別與聯(lián)系，將這兩個(gè)概念進(jìn)行對(duì)比教學(xué)，選用一組恰當(dāng)習(xí)題對(duì)比練習(xí)；在求古塔的高時(shí)，由生活經(jīng)驗(yàn)得出物高與影長(zhǎng)的關(guān)系，將兩條線(xiàn)段的比和成比例線(xiàn)段的兩種書(shū)寫(xiě)形式并用，既解決了學(xué)什么，又解決了怎樣學(xué)的問(wèn)題。

2、從過(guò)程與方法著手加強(qiáng)指導(dǎo)，新課程觀下的教學(xué)注重過(guò)程與方法的學(xué)習(xí)與過(guò)手，以此增強(qiáng)學(xué)生的思維能力和探究能力，從而提高解決問(wèn)題的能力，在教學(xué)中，可以提供一些開(kāi)放題和變式題，讓學(xué)生自主探究，體會(huì)一題多解，一題多變，從而培養(yǎng)良好的思維品質(zhì)，實(shí)現(xiàn)能力的真正提高。

3、從興趣、動(dòng)機(jī)等非智力因素著手加強(qiáng)指導(dǎo)。愛(ài)因斯坦說(shuō)：“興趣是最好的老師”。興趣是直接推動(dòng)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的心理動(dòng)機(jī)，有了興趣，學(xué)生就能較好地集中注意力。在本課教學(xué)中，教師可創(chuàng)設(shè)一些有關(guān)度量的問(wèn)題情境，讓學(xué)生從生活經(jīng)驗(yàn)入手，從身邊的數(shù)學(xué)入手，過(guò)度到抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)，實(shí)現(xiàn)從直觀到抽象的自然過(guò)度。這種良好的情境創(chuàng)設(shè)，會(huì)激起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激起探究的欲望，對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)有著較好的促進(jìn)作用。

4、老師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行適時(shí)歸納總結(jié)。總結(jié)反思可以使學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)有更深入的認(rèn)識(shí)與理解，對(duì)知識(shí)過(guò)手更有效。例如：師生一起探討完即時(shí)練習(xí)：如果a、b、c、d是成比例線(xiàn)段，其中a=5cm,b=3cm,c=2cm，則線(xiàn)段d=

cm后，可引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)，以后遇上這類(lèi)題，我們應(yīng)先把數(shù)學(xué)文字a、b、c、d成比例線(xiàn)段，翻譯成數(shù)學(xué)等式a?c，再代值計(jì)算，此類(lèi)題就迎刃而解，有了歸

bd納總結(jié)，有了反思，定會(huì)促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的提高。

第五篇：線(xiàn)段的比教學(xué)設(shè)計(jì)

4.1《線(xiàn)段的比》第二課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)

教學(xué)目標(biāo)：

知識(shí)與技能：1.知道比例線(xiàn)段的概念.2.熟記比例的基本性質(zhì)，并能進(jìn)行證明和運(yùn)用.過(guò)程與方法：1.通過(guò)變化的魚(yú)來(lái)推導(dǎo)成比例線(xiàn)段，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力.2.通過(guò)例題的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的靈活運(yùn)用能力.情感與能力：認(rèn)識(shí)變化的魚(yú)，建立初步的空間觀念，發(fā)展形象思維；并通過(guò)有趣的圖形，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.教學(xué)重點(diǎn)：成比例線(xiàn)段的定義，比例的基本性質(zhì)及運(yùn)用.教學(xué)難點(diǎn)：比例的基本性質(zhì)及運(yùn)用.教學(xué)過(guò)程

一、創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引入新課

多媒體課件顯示：

你還記得八年級(jí)上冊(cè)中“變化的魚(yú)”嗎？如果將點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都乘以（或除以）同一個(gè)非零數(shù)，那么用線(xiàn)段連接這些點(diǎn)所圍成的圖形的邊長(zhǎng)如何變化？

下圖（1）中的魚(yú)是將坐標(biāo)為（0，0），（5，4），（3，0），（5，1），（5，－1），（3，0），（4，－2），（0，0）的點(diǎn)O，A，B，C，D，B，E，O用線(xiàn)段依次連接而成的；（2）中的魚(yú)是將（1）中魚(yú)上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)都乘以2得到的。

（1）線(xiàn)段CD與HL，OA與OF，BE與GM的長(zhǎng)度分別是多少？

（2）線(xiàn)段CD與HL的比，OA與OF的比，BE與GM的比分別是多少？它們相等嗎？

（3）在圖（2）中，你還能找到比相等的其他線(xiàn)段嗎？

［學(xué)生解決］（1）CD=2，HL=4，OA=42?52?41,OF=102?82?241 BE=12?22?5,GM=22?42?25（2）CD21OA411BE51??,?2?,??.HL42OF412GM252

所以，CDOABE1???.HLOFGM2（3）其他比相等的線(xiàn)段還有

OEABBCBD1????.OMFGGHGL

2二、概念講解：

1．由上面的探究過(guò)程給出“比例線(xiàn)段”的定義：

四條線(xiàn)段a,b,c,d中，如果a與b的比等于c與d的比，即

ac?,那么這四bd條線(xiàn)段a,b,c,d叫做成比例線(xiàn)段，簡(jiǎn)稱(chēng)比例線(xiàn)段（proportional segments）.2．比例的基本性質(zhì)

回顧小學(xué)學(xué)的比例的基本性質(zhì)：如果a,b,c,d四個(gè)數(shù)滿(mǎn)足

ac?嗎？ bdac【學(xué)生自主探究】若?,則有ad=bc.bdac?,那么ad=bc嗎？bd反過(guò)來(lái)，如果ad=bc,那么因?yàn)楦鶕?jù)等式的基本性質(zhì)，兩邊同時(shí)乘以bd,得ad=bc,同理可知 若ad=bc（a,b,c,d都不等于0），那么

ac?.bd3．線(xiàn)段的比和比例線(xiàn)段的區(qū)別和聯(lián)系

線(xiàn)段的比是指兩條線(xiàn)段之間的比的關(guān)系，比例線(xiàn)段是指四條線(xiàn)段間的關(guān)系.若兩條線(xiàn)段的比等于另兩條線(xiàn)段的比，則這四條線(xiàn)段叫做成比例線(xiàn)段.線(xiàn)段的比有順序性，四條線(xiàn)段成比例也有順序性.如比例，而不是線(xiàn)段a、c、b、d成比例.4．例題

ac?是線(xiàn)段a、b、c、d成bd

圖4－5

aca?bc?d和;?=3,求

bdbdaca?bc?d（2）如果?=k（k為常數(shù)），那么成立嗎？為什么？ ?bdbdac解：（1）由?=3,得a=3b,c=3d.bda?b3b?bc?d3d?d∴=4

=4 ??bbdda?bc?d（2）成立.?bd（1）如圖，已知

ac?=k,得a=bk,c=dk.bda?bbk?bc?ddk?d∴=k+1，=k+1.??bbdda?bc?d∴.（合比性質(zhì)）?bd∵有5.想一想

aca?bc?d成立嗎？為什么？ ?,那么?bdbdacea?c?ea?成立嗎？為什么？（2）如果??,那么bdfb?d?fb（1）如果aca?bc?d成立嗎？為什么.?,那么?bdbdacma?c???ma（4）如果?=?=（b+d+?+n≠0）,那么?成立嗎？為

b?d???nbbdn（3）如果什么.aca?bc?d.?,那么?bdbdacac∵?

∴?1?－1 bdbda?bc?d∴.?bdacea?c?ea?（2）如果??,那么bdfb?d?fbace設(shè)??=k bdf解：（1）如果∴a=bk,c=dk,e=fk ∴a?c?ebk?dk?fkk(b?d?f)a???k?

b?d?fb?d?fb?d?fbaca?bc?d ?,那么?bdbdacac∵?

∴?1?+1 bdbda?bc?d∴ ?bda?bc?d由（1）得

?bda?bc?d∴.?bdacm（4）如果?=?=（b+d+?+n≠0）

bdna?c???ma那么?

（等比性質(zhì)）

b?d???nb（3）如果

設(shè)acm?=?==k bdna?c???mbk?dk???nkk(b?d???m)a???k?.b?d???nb?d???nb?d???nb∴a=bk,c=dk,?,m=nk ∴

三、課堂練習(xí)

aca?bc?da?bc?d和, =成立嗎？ ?=3,求bdbdbda?c?eace2.已知?==2,求（b+d+f≠0）

b?d?ffbd1.已知

四、課時(shí)小結(jié)

1.熟記成比例線(xiàn)段的定義.2.掌握比例的基本性質(zhì)，并能靈活運(yùn)用.五、活動(dòng)與探究

ace?==2（b+d+f≠0）bdfa?c?ea?c?ea?2c?3ea?5e求：（1）;（2）;（3）;（4）.b?d?fb?d?fb?2d?3fb?5f1.已知：2.已知a∶b∶c=4∶3∶2,且a+3b－3c=14.（1）求a,b,c

（2）求4a－3b+c的值.六、課后作業(yè)