第一篇：小學(xué)六年級奧數(shù)教案—29運(yùn)籌學(xué)初步三

小學(xué)六年級奧數(shù)教案—29運(yùn)籌學(xué)初步三

本教程共30講

運(yùn)籌學(xué)初步

（三）本講主要講統(tǒng)籌安排問題、排隊(duì)問題、最短路線問題、場地設(shè)置問題等。這些都是人們?nèi)粘Ｉ?、工作中?jīng)常碰到的問題，怎樣才能把它們安排得更合理，多快好省地辦事，就是這講涉及的問題。當(dāng)然，限于現(xiàn)有的知識水平，我們僅僅是初步探索一下。

1.統(tǒng)籌安排問題

例1 星期天媽媽要做好多事情。擦玻璃要20分鐘，收拾廚房要15分鐘，洗臟衣服的領(lǐng)子、袖口要10分鐘，打開全自動洗衣機(jī)洗衣服要40分鐘，晾衣服要10分鐘。媽媽干完所有這些事情最少用多長時(shí)間？

分析與解：如果按照題目告訴的幾件事，一件一件去做，要95分鐘。要想節(jié)約時(shí)間，就要想想在哪段時(shí)間里閑著，能否利用閑著的時(shí)間做其它事。最合理的安排是：先洗臟衣服的領(lǐng)子和袖口，接著打開全自動洗衣機(jī)洗衣服，在洗衣服的40分鐘內(nèi)擦玻璃和收拾廚房，最后晾衣服，共需60分鐘（見下圖）。

例1 告訴我們，當(dāng)有許多事要做時(shí)，科學(xué)地安排好先后順序，就能用較少的時(shí)間完成較多的事情。

2.排隊(duì)問題

例2 理發(fā)室里有甲、乙兩位理發(fā)師，同時(shí)來了五位顧客，根據(jù)他們所要理的發(fā)型，分別需要10，12，15，20和24分鐘。怎樣安排他們的理發(fā)順序，才能使這五人理發(fā)和等候所用時(shí)間的總和最少？最少要用多少時(shí)間？

分析與解：一人理發(fā)時(shí)，其他人需等待，為使總的等待時(shí)間盡量短，應(yīng)讓理發(fā)所需時(shí)間少的人先理。甲先給需10分鐘的人理發(fā)，然后15分鐘的，最后24分鐘的；乙先給需12分鐘的人理發(fā)，然后20分鐘的。甲給需10分鐘的人理發(fā)時(shí)，有2人等待，占用三人的時(shí)間和為（10×3）分；然后，甲給需 15分鐘的人理發(fā)，有 1人等待，占用兩人的時(shí)間和為（15×2）分；最后，甲給需 24分鐘的人理發(fā)，無人等待。

甲理發(fā)的三個(gè)人，共用（10×3＋15×2＋24）分，乙理發(fā)的兩個(gè)人，共用（12×2＋20）分?？偟恼加脮r(shí)間為

（10×3＋15×2＋24）＋（12×2＋20）=128（分）。

按照上面的安排，從第一人開始理發(fā)到五個(gè)人全部理完，用了 10＋15＋24＝49（分）。如果題目中再要求從第一人開始理發(fā)到五人全部理完的時(shí)間最短，那么做個(gè)調(diào)整，甲依次給需10，12，20分鐘的人理發(fā)，乙依次給需15，24分鐘的人理發(fā)，總的占用時(shí)間仍是128分鐘，而五人全部理完所用時(shí)間為

10＋12＋20＝42（分）。

例3 車間里有五臺車床同時(shí)出現(xiàn)故障，已知第一臺到第五臺修復(fù)時(shí)間依次為18，30，17，25，20分鐘，每臺車床停產(chǎn)一分鐘造成經(jīng)濟(jì)損失5元?，F(xiàn)有兩名工作效率相同的修理工，怎樣安排才能使得修復(fù)的時(shí)間最短且經(jīng)濟(jì)損失最少？

分析與解：因?yàn)椋?8＋30＋17＋25＋20）÷2=55（分），經(jīng)過組合，一人修需18，17和20分鐘的三臺，另一人修需30和25分鐘的兩臺，修復(fù)時(shí)間最短，為55分鐘。

上面只考慮修復(fù)時(shí)間，沒考慮經(jīng)濟(jì)損失，要使經(jīng)濟(jì)損失少，就要使總停產(chǎn)時(shí)間盡量短，顯然應(yīng)先修理修復(fù)時(shí)間短的。第一人按需17，18，20分鐘的順序修理，第2人按需25，30分鐘的順序修理，經(jīng)濟(jì)損失為

5×［（17×3＋18×2＋20）＋（25×2＋30）］=935（元）。

3.最短路線問題

例4 右圖是一張道路示意圖，每段路上的數(shù)字表示小明走這段路所需要的時(shí)間（單位：分）。小明從A到B最快要幾分鐘？

分析與解：我們采用分析排除法，將道路圖逐步簡化。

從A到O有兩條路，A→C→O用6分鐘，A→F→O用7分鐘，排除后者，可將FO抹去，但AF不能抹去，因?yàn)閺腁到B還有其它路線經(jīng)過AF，簡化為左下圖。

從A到E還剩兩條路，A→C→G→E用12分鐘，A→C→O→E用10分鐘，排除前者，可將CG，GE抹去，簡化為右上圖。

從A到D還剩兩條路，A→C→O→D用12分鐘，A→H→D用13分鐘，排除后者，可將AH，HD抹去，簡化為左下圖。

從A到B還剩兩條路，A→C→O→E→B用17分鐘，A→C→O→D→B用16分鐘，排除前者，可將OE，EB抹去，簡化為右上圖。

小明按A→C→O→D→B走最快，用16分鐘。

4.場地設(shè)置問題

例5 下圖是A，B，C，D，E五個(gè)村之間的道路示意圖，○中數(shù)字是各村要上學(xué)的學(xué)生人數(shù)，道路上的數(shù)表示兩村之間的距離（單位：千米）?，F(xiàn)在要在五村之中選一個(gè)村建立一所小學(xué)。為使所有學(xué)生到學(xué)校的總距離最短，試確定最合理的方案。

分析與解：我們采用比較學(xué)校設(shè)在相鄰兩村的差別的方法。例如比較 A和 C，若設(shè)在 A村，則在 C村一側(cè)將集結(jié) 20＋20＋35＋50=125（人），這些人都要走 AC這段路；若設(shè)在C村，則只有40人走AC這段路。對這兩種方案，走其余各段路的人數(shù)完全相同，所以設(shè)在C村比設(shè)在A村好。

從上面比較A和C的過程可以看出，場地設(shè)置問題不必考慮場地之間的距離，只需比較兩個(gè)場地集結(jié)的人數(shù)多少，哪個(gè)場地集結(jié)的人數(shù)越多，就應(yīng)設(shè)在哪。

同理，經(jīng)比較得到C比B好，D比E好。最后比較C和D。若設(shè)在 C村，則在 D村一側(cè)將集結(jié) 35＋ 50= 85（人）；若設(shè)在 D村，則在C村一側(cè)將集結(jié) 40＋20＋20=80（人）。因?yàn)樵贒村集結(jié)的人數(shù)比C村多，所以設(shè)在D村比C村好。

經(jīng)過上面的比較，最合理的方案是設(shè)在D村。

不難發(fā)現(xiàn)，本題的解法與第27講例2的解法十分類似。

例6 某天然氣站要安裝天然氣管道通往位于一條環(huán)形線上的A～G七個(gè)居民區(qū)，每兩個(gè)居民區(qū)間的距離如下圖所示（單位：千米）。管道有粗細(xì)兩種規(guī)格，粗管可供所有7個(gè)居民區(qū)用氣，每千米8000元，細(xì)管只能供1個(gè)居民區(qū)用氣，每千米3000元。粗、細(xì)管的轉(zhuǎn)接處必須在居民區(qū)中。問：應(yīng)怎樣搭配使用這兩種管道，才能使費(fèi)用最??？

分析與解：在長度相同的情況下，每根粗管的費(fèi)用大于2根細(xì)管的費(fèi)用，小于3根細(xì)管的費(fèi)用，所以安裝管道時(shí)，只要后面需要供氣的居民區(qū)多于2個(gè)，這一段就應(yīng)選用粗管。從天然氣站開始，分成順時(shí)針與逆時(shí)針兩條線路安裝，因?yàn)槊織l線路的后面至多有兩個(gè)居民區(qū)由細(xì)管通達(dá)，共有7個(gè)居民區(qū)，所以至少有3個(gè)居民區(qū)由粗管通達(dá)。因?yàn)殚L度相同時(shí)，2根或1根細(xì)管的費(fèi)用都低于1根粗管的費(fèi)用，所以由粗管通達(dá)的幾個(gè)居民區(qū)的距離越短越好，而順時(shí)針與逆時(shí)針兩條線路未銜接部份的距離越長越好。經(jīng)過計(jì)算比較，得到最佳方案：

（1）天然氣站經(jīng)G，F(xiàn)，E到D安裝粗管，D到C安裝2根細(xì)管，C到B安裝1根細(xì)管；

（2）天然氣站到A安裝1根細(xì)管。

此時(shí)總費(fèi)用最少，為

8000×（3+12+8+6）+3000×2×5+3000×（9+10）=319000（元）。

練習(xí)29

1.早飯前媽媽要干好多的事：燒開水要15分鐘，擦桌椅要8分鐘，準(zhǔn)備暖瓶要1分鐘，灌開水要2分鐘，買油條要10分鐘，煮牛奶要7分鐘。如果灶具上只有一個(gè)火，那么全部做完這些工作最少需要多少時(shí)間？怎樣安排？

2.甲、乙、丙三名車工準(zhǔn)備在同樣效率的3個(gè)車床上加工七個(gè)零件，各零件加工所需時(shí)間分別為4，5，6，6，8，9，9分鐘，三人同時(shí)開始工作。問：加工完七個(gè)零件最少需多長時(shí)間？

3.車間里有5臺車床同時(shí)出現(xiàn)故障。已知第一臺至第五臺修復(fù)的時(shí)間依次為15，8，29，7，10分鐘，每臺車床停產(chǎn)一分鐘造成經(jīng)濟(jì)損失5元。問：（1）如果只有一名修理工，那么怎樣安排修理順序才能使經(jīng)濟(jì)損失最少？（2）如果有兩名修理工，那么修復(fù)時(shí)間最少需多少分鐘？

4.下頁左上圖是一張道路圖，每條路上的數(shù)是小王走這段路所需的時(shí)間（單位：分）。小王從A到B，最快需要幾分鐘？

5.東升鄉(xiāng)有8個(gè)行政村。分布如右上圖所示，點(diǎn)表示村莊，線表示道路，數(shù)字表示道路的長（單位：千米）?，F(xiàn)在這個(gè)鄉(xiāng)要建立有線廣播網(wǎng)，沿道路架設(shè)電線。問：電線至少要架多長？

6.有七個(gè)村莊A1，A2，?，A7分布在公路兩側(cè)（見下圖），由一些小路與公路相連，要在公路上設(shè)一個(gè)汽車站，要使汽車站到各村莊的距離和最小，車站應(yīng)設(shè)在哪里？

7.有一個(gè)水塔要供應(yīng)某條公路旁的A～F六個(gè)居民點(diǎn)用水（見下圖，單位：千米），要安裝水管，有粗細(xì)兩種水管，粗管足夠供應(yīng)6個(gè)居民點(diǎn)用水，細(xì)管只能供應(yīng)1個(gè)居民點(diǎn)用水，粗管每千米要7000元，細(xì)管每千米要2000元，粗細(xì)管怎樣互相搭配，才能使費(fèi)用最?。抠M(fèi)用應(yīng)是多少？

答案與提示練習(xí)29

1.22分。

提示：先燒開水后煮牛奶共需22分，其它事情可以在這個(gè)期間做，順序是買油條，準(zhǔn)備暖瓶，擦桌椅（水開時(shí)暫停，煮上奶），灌開水，繼續(xù)擦桌椅。

2.17分。

3.（1）780元；（2）36分。

提示：（1）按修復(fù)時(shí)間需7，8，10，15，29分的順序修理；（2）一人修需7分和29分的，另一人修需8，10，15分的。

4.48分。

提示：A→E→O→G→B。

5.50千米。

提示：架設(shè)的線路如下圖。

6.D。

提示：本題可簡化為“B，C，D，E，F(xiàn)處分別站著1，1，2，2，1個(gè)人（見下頁圖），求一點(diǎn)，使所有人走到這一點(diǎn)的距離和最小”。

7.從水塔到C點(diǎn)鋪粗管，最后三個(gè)居民點(diǎn)鋪細(xì)管，總費(fèi)用為297000元。

提示：當(dāng)長度相同時(shí)，四根細(xì)管的費(fèi)用超過一根粗管，所以最后三個(gè)居民點(diǎn)用細(xì)管。

第二篇：小學(xué)六年級奧數(shù)教案—28運(yùn)籌學(xué)初步二

小學(xué)六年級奧數(shù)教案—28運(yùn)籌學(xué)初步二

本教程共30講

運(yùn)籌學(xué)初步

（二）本講主要研究分配工作問題。

實(shí)際工作中經(jīng)常會碰到分配工作的問題。由于工作任務(wù)的性質(zhì)不同，每個(gè)人的工作能力不同，因而完成這些任務(wù)所需的時(shí)間和花費(fèi)的代價(jià)也不同。我們希望通過合理分配工作，使所用時(shí)間最少或花費(fèi)代價(jià)最小。

例1 甲、乙兩廠生產(chǎn)同一規(guī)格的上衣和褲子，甲廠每月用16天生產(chǎn)上衣，14天做褲子，共生產(chǎn)448套衣服（每套上衣、褲子各一件）；乙廠每月用12天生產(chǎn)上衣，18天生產(chǎn)褲子，共生產(chǎn)720套衣服。兩廠合并后，每月（按30天計(jì)算）最多能生產(chǎn)多少套衣服？

分析與解：應(yīng)讓善于生產(chǎn)上衣或褲子的廠充分發(fā)揮特長。甲廠生產(chǎn)上衣和褲子的時(shí)間比為8∶7，乙廠為2∶3，可見甲廠善于生產(chǎn)褲子，乙廠善于生產(chǎn)上衣。

因?yàn)榧讖S 30天可生產(chǎn)褲子 448÷14×30＝960（條），乙廠30天可生產(chǎn)上衣720÷12×30=1800（件），960＜1800，所以甲廠應(yīng)專門生產(chǎn)褲子，剩下的衣褲由乙廠生產(chǎn)。

設(shè)乙廠用x天生產(chǎn)褲子，用（30-x）天生產(chǎn)上衣。由甲、乙兩廠生產(chǎn)的上衣與褲子一樣多，可得方程

960＋720÷18×x=720÷12×（30-x），960＋40x＝1800-60x，100x＝840，x=8.4（天）。

兩廠合并后每月最多可生產(chǎn)衣服

960＋40×8.4＝1296（套）。

例2 某縣農(nóng)機(jī)廠金工車間共有77個(gè)工人。已知每天每個(gè)工人平均可加工甲種部件5個(gè)，或乙種部件4個(gè)，或丙種部件3個(gè)。每3個(gè)甲種部件、1個(gè)乙種部件和9個(gè)丙種部件恰好配成一套。問：分別安排多少人加工甲、乙、丙三種部件時(shí)，才能使生產(chǎn)出來的甲、乙、丙三種部件恰好都配套？

分析與解：如果采用直接假設(shè)，那么就要用三個(gè)字母分別代替加工甲、乙、丙三種部件的人數(shù)，這已經(jīng)超出了我們的知識范圍。由題目條件看出，每套成品中，甲、乙、丙三種部件的件數(shù)之比是3∶1∶9，因?yàn)槭桥涮咨a(chǎn)，所以生產(chǎn)出的甲、乙、丙三種部件的數(shù)量之比也應(yīng)是3∶1∶9。

設(shè)每天加工乙種部件x個(gè)，則加工甲種部件3x個(gè)，丙種部件9x個(gè)。從而

加工甲、乙、丙三種部件應(yīng)分別安排12人、5人和60人。

例3 有4輛汽車要派往五個(gè)地點(diǎn)運(yùn)送貨物，右圖○中的數(shù)字分別表示五個(gè)地點(diǎn)完成任務(wù)需要的裝卸工人數(shù)，五個(gè)地點(diǎn)共需裝卸工20人。如果有些裝卸工可以跟車走，那么應(yīng)如何安排跟車人數(shù)及各點(diǎn)的裝卸工人數(shù)，使完成任務(wù)所用的裝卸工總?cè)藬?shù)最少？

分析與解：可用試探法。因?yàn)槲鍌€(gè)地點(diǎn)中需裝卸工最多的是5個(gè)人，所以如果每輛車跟5個(gè)工人，那么每輛車到達(dá)任何一個(gè)地點(diǎn)，都能正常進(jìn)行裝卸。由此得到，跟車人數(shù)的試探范圍是1～5個(gè)人。

若每車跟車5人，則各點(diǎn)不用安排人，共需20人；

若每車跟車4人，則原來需5人的點(diǎn)還需各安排1人，共需18人；

若每車跟車3人，則原來需5人的點(diǎn)還需各安排2人，原來需4人的點(diǎn)還需各安排1人，共需17人；

同理可求出，每車跟車2人，共需18人；每車跟車1人，共需19人。

可見，安排每車跟車3人，原來需5人的兩個(gè)點(diǎn)各安排2人，原來需4人的點(diǎn)安排1人，這時(shí)所用的裝卸工總?cè)藬?shù)最少，需17人。

在例3中，我們采用試探法，逐一試算，比較選優(yōu)。事實(shí)上，此類題目有更簡捷的解法。假設(shè)有m個(gè)地點(diǎn)n輛車（n≤m），m個(gè)地點(diǎn)需要的人數(shù)按從多到少排列為

A1≥A2≥A3≥…≥Am，則需要的最少總?cè)藬?shù)就是前n個(gè)數(shù)之和，即

A1＋A2＋…＋An。

這時(shí)每車的跟車人數(shù)可以是An＋1 至An 之間的任一數(shù)。具體到例3，5個(gè)點(diǎn)4輛車，5個(gè)點(diǎn)中需要人數(shù)最多的4個(gè)數(shù)之和，即5＋5＋4＋3=17（人）就是需要的最少總?cè)藬?shù)，因?yàn)锳4=A5=3，所以每車跟車3人。若在例3中只有2輛車，其它條件不變，則最少需要 5＋5=10（人），因?yàn)锳2=5，A3=4，所以每車跟車5人或4人。當(dāng)每車跟車5人時(shí)，所有點(diǎn)不再安排人；當(dāng)每車跟車4人時(shí)，需要5人的兩個(gè)點(diǎn)各安排1人，其余點(diǎn)不安排人。

注：如果車輛數(shù)大于地點(diǎn)數(shù)，即n＞m，則跟車人數(shù)是0，各點(diǎn)需要人數(shù)之和就是總共需要的最少人數(shù)。

例4 有17根11.1米長的鋼管，要截成1.0米和0.7米的甲、乙兩種長度的管子，要求截成的甲、乙兩種管子的數(shù)量一樣多。問：最多能截出甲、乙兩種管子各多少根？

分析與解：要想盡量多地截出甲、乙兩種管子，殘料應(yīng)當(dāng)盡量少。一根鋼管全部截成1.0米的，余下0.1米，全部截成0.7米的，余下0.6米。如果這樣截，再要求甲、乙管數(shù)量相等，那么殘料較多。

怎樣才能減少殘料，甚至無殘料呢？我們可以將1.0米的和0.7米的在一根鋼管上搭配著截，所得殘料長度（單位：米）見下表：

由上表看出，方法3和方法10沒有殘料，如果能把這兩種方法配合起來，使截出的甲、乙兩種管子數(shù)量相等，那么就是殘料最少的下料方案了。

設(shè)按方法3截x根鋼管，按方法 10截 y根鋼管。這樣共截得甲管（9x＋2y）根，乙管（3x＋13y）根。由甲、乙管數(shù)量相等，得到

9x＋2y＝3x＋13y，9x-3x＝13y-2y，6x=11y。

由此得到x∶y= 11∶6。用方法3截11根鋼管，用方法10截6根鋼管是符合題意的截法，共可截得甲、乙管各

9×11＋2×6=111（根），或3×11＋13×6=111（根）。

例5 給甲、乙二人分配A，B兩項(xiàng)工作，他們完成這兩項(xiàng)工作所需要的時(shí)間如下表：

怎樣分配工作才能使完成這兩項(xiàng)工作所需的總時(shí)間最少？

分析與解：因?yàn)椴煌娜艘霾煌墓ぷ?，所以上表中不同行、不同列的兩?shù)之和對應(yīng)一種方案，共兩種：

（1）甲做 A、乙做 B，需要 7＋6=13（時(shí)）；

（2）甲做 B、乙做 A，需要 4＋8=12（時(shí)）。

顯然后一種方案優(yōu)于前一種方案。

為了能夠處理更復(fù)雜的問題，我們將上例的數(shù)量關(guān)系盡量簡化。

如果把表中第一行的兩數(shù)都減去該行的最小數(shù)7，變成0和1，那么上面（1）（2）各式也各減少7，不影響它們之間的大小關(guān)系，即不影響最優(yōu)方案的確定。

同理，第二行都減去該行的最小數(shù)4，變成0和2，也不影響最優(yōu)方案的確定。

經(jīng)上述變換后，原表變成左下表：

此時(shí)，再將第二列都減去該列的最小數(shù)1，變成0和1，同樣不影響最優(yōu)方案的確定，原表變?yōu)橛疑媳怼?/p>

不同行、不同列的兩個(gè)數(shù)之和代表一種方案，因?yàn)?/p>

0＋0＜0+1，所以最優(yōu)方案為乙做A、甲做B。上面的化簡過程可表示為：

總結(jié)上面的方法：對于n個(gè)人n項(xiàng)工作的合理分配問題：

（1）先將各行都減去該行中最小的數(shù)；

（2）再將各列都減去該列中最小的數(shù)；

（3）最后選擇不在同一行，也不在同一列的n個(gè)0即可。

在實(shí)施上述變換后，如果仍選不出n個(gè)不同行也不同列的0，因?yàn)槲覀兊哪康氖沁x取一組不同行、不同列的n個(gè)數(shù)，使這n個(gè)數(shù)之和盡量小，既然得不到n個(gè)0，可用表中最小的數(shù)代替0（見例6）。

例6 給甲、乙、丙三人分配A，B，C三項(xiàng)工作，他們完成這三項(xiàng)工作的時(shí)間如下表：

完成這三項(xiàng)工作所需總時(shí)間最少是多少？

分析與解：

因?yàn)闆]有三個(gè)不同行也不同列的0，我們用右下角的1代替0，此時(shí)，○內(nèi)的三個(gè)數(shù)就是我們要找的最佳方案，即甲做B、乙做A、丙做C。所需總時(shí)間為

9＋7＋9=25（時(shí)）。

練習(xí)28

1.某種健身球由一個(gè)黑球和一個(gè)白球組成一套。已知兩個(gè)車間都生產(chǎn)這種

現(xiàn)在兩個(gè)車間聯(lián)合起來生產(chǎn)，每月最多能生產(chǎn)多少套健身球？

2.某車間有銑床5臺、車床3臺、自動機(jī)床1臺，生產(chǎn)一種由甲、乙兩種零件各1個(gè)組成的產(chǎn)品。每臺銑床每天生產(chǎn)甲零件10個(gè)，或者生產(chǎn)乙零件20個(gè)；每臺車床每天生產(chǎn)甲零件20個(gè)，或者生產(chǎn)乙零件30個(gè)；每臺自動機(jī)床每天生產(chǎn)甲零件30個(gè)，或者生產(chǎn)乙零件80個(gè)。這些機(jī)器每天最多可生產(chǎn)多少套產(chǎn)品？

3.車過河交渡費(fèi)3元，馬過河交渡費(fèi)2元，人過河交渡費(fèi)1元。某天過河的車、馬數(shù)目的比為2∶9，馬、人數(shù)目的比為3∶7，共收得渡費(fèi)945元。問：這天渡河的車、馬、人的數(shù)目各多少？

4.有4輛汽車要派往七個(gè)地點(diǎn)運(yùn)送貨物，右圖中的數(shù)字分別表示這七個(gè)地點(diǎn)完成任務(wù)需要的裝卸工人數(shù)。如果裝卸工可以跟車，那么最少要安排多少名裝卸工才能完成任務(wù)？

5.有一批長4.3米的條形鋼材，要截成0.7米和0.4米的甲、乙兩種毛坯，要求截出的甲、乙兩種毛坯數(shù)量相同。如何下料才能使殘料最少？

6.用10米長的鋼筋做原材料，截取3米和4米長的鋼筋各100根，至少要用多少根原材料？

7.給甲、乙、丙分配A，B，C三項(xiàng)工作，他們完成這三項(xiàng)工作的時(shí)間如下表。怎樣分配工作才能使完成這三項(xiàng)工作所需總時(shí)間最少？最少用多少時(shí)間？

答案與提示 練習(xí)28

1.600套。

因?yàn)?50＜900，所以應(yīng)安排甲車間專門生產(chǎn)黑球，剩下的由乙車間生產(chǎn)。乙車間生產(chǎn)450個(gè)白球后，剩下的時(shí)間還能生產(chǎn)白球900-450=450（個(gè)），因?yàn)橐臆囬g生產(chǎn)1個(gè)黑球與生產(chǎn)2個(gè)白球的時(shí)間相同，450÷（1＋2）=150，所以這段時(shí)間還能生產(chǎn)黑、白球各150個(gè)。

兩車間聯(lián)合生產(chǎn)每月最多生產(chǎn)（450＋150）=600（套）。

2.100套。

甲零件。安排自動車床專門生產(chǎn)乙零件，車床專門生產(chǎn)甲零件，銑床兩種零件都生產(chǎn)，并使其配套。

自動車床一天生產(chǎn)乙零件80個(gè)，車床一天生產(chǎn)甲零件20×3=60（個(gè)）。銑床一天可生產(chǎn)10×5=50（個(gè)）甲零件，補(bǔ)上車床與自動車床的差后，還有生產(chǎn)50-20=30（個(gè)）甲零件的時(shí)間，這個(gè)時(shí)間可生產(chǎn)甲、乙零件各20個(gè)。

所以，每天最多生產(chǎn)80＋20=100（套）產(chǎn)品。

3.42輛車，189匹馬，441個(gè)人。

解：這天過河的車、馬、人的數(shù)量之比是2∶9∶21。以2車9馬21人為一組，每組收渡費(fèi)

3×2＋2×9＋1×21=45（元）。

這天共渡河945÷45=21（組），由此得到，這天渡河的數(shù)量為

車：2×21=42（輛）；

馬：9×21=189（匹）；

人：21×21=441（個(gè)）。

4.26人。提示：每車跟5人。

5.解：每根鋼材有下表所示的7種截法：

無殘料的有第2和第6兩種方法。用第2種方法的條形鋼材數(shù)量與用第6種方法的條形鋼材數(shù)量之比是8∶3，就可使截出的甲、乙兩種毛坯的數(shù)量相同，且無殘料。

6.75根。

解：有三種截法：

（1）截成3米、3米、4米，無殘料；

（2）截成3米、3米、3米，殘料1米；

（3）截成4米、4米，殘料2米。

盡量用方法（1）。50根用方法（1），截出3米的100根，4米的50根，還差50根4米的。再用方法（2）截25根原材料，截出50根4米的。共用原材料50＋25=75（根）。

7.20時(shí)。

解：

由此得到，丙做A，甲做B，乙做C。所需時(shí)間為6＋6＋8=20（時(shí)）。

第三篇：小學(xué)六年級奧數(shù)教案

小學(xué)六年級奧數(shù)教案：行程問題

第一講 行程問題

走路、行車、一個(gè)物體的移動，總是要涉及到三個(gè)數(shù)量： 距離走了多遠(yuǎn)，行駛多少千米，移動了多少米等等;速度在單位時(shí)間內(nèi)(例如1小時(shí)內(nèi))行走或移動的距離;時(shí)間行走或移動所花時(shí)間.這三個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系，可以用下面的公式來表示： 距離=速度×?xí)r間

很明顯，只要知道其中兩個(gè)數(shù)量，就馬上可以求出第三個(gè)數(shù)量.從數(shù)學(xué)上說，這是一種最基本的數(shù)量關(guān)系，在小學(xué)的應(yīng)用題中，這樣的數(shù)量關(guān)系也是最常見的，例如

總量=每個(gè)人的數(shù)量×人數(shù).工作量=工作效率×?xí)r間.因此，我們從行程問題入手，掌握一些處理這種數(shù)量關(guān)系的思路、方法和技巧，就能解其他類似的問題.當(dāng)然，行程問題有它獨(dú)自的特點(diǎn)，在小學(xué)的應(yīng)用題中，行程問題的內(nèi)容最豐富多彩，饒有趣味.它不僅在小學(xué)，而且在中學(xué)數(shù)學(xué)、物理的學(xué)習(xí)中，也是一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容.因此，我們非常希望大家能學(xué)好這一講，特別是學(xué)會對一些問題的思考方法和處理技巧.這一講，用5千米/小時(shí)表示速度是每小時(shí)5千米，用3米/秒表示速度是每秒3米

一、追及與相遇

有兩個(gè)人同時(shí)在行走，一個(gè)走得快，一個(gè)走得慢，當(dāng)走得慢的在前，走得快的過了一些時(shí)間就能追上他.這就產(chǎn)生了“追及問題”.實(shí)質(zhì)上，要算走得快的人在某一段時(shí)間內(nèi)，比走得慢的人多走的距離，也就是要計(jì)算兩人走的距離之差.如果設(shè)甲走得快，乙走得慢，在相同時(shí)間內(nèi)，甲走的距離-乙走的距離

= 甲的速度×?xí)r間-乙的速度×?xí)r間 =(甲的速度-乙的速度)×?xí)r間.通常，“追及問題”要考慮速度差.例1 小轎車的速度比面包車速度每小時(shí)快6千米，小轎車和面包車同時(shí)從學(xué)校開出，沿著同一路線行駛，小轎車比面包車早10分鐘到達(dá)城門，當(dāng)面包車到達(dá)城門時(shí)，小轎車已離城門9千米，問學(xué)校到城門的距離是多少千米? 解：先計(jì)算，從學(xué)校開出，到面包車到達(dá)城門用了多少時(shí)間.此時(shí)，小轎車比面包車多走了9千米，而小轎車與面包車的速度差是6千米/小時(shí)，因此

所用時(shí)間=9÷6=1.5(小時(shí)).小轎車比面包車早10分鐘到達(dá)城門，面包車到達(dá)時(shí)，小轎車離城門9千米，說明小轎車的速度是

面包車速度是 54-6=48(千米/小時(shí)).城門離學(xué)校的距離是 48×1.5=72(千米).答：學(xué)校到城門的距離是72千米.例2 小張從家到公園，原打算每分種走50米.為了提早10分鐘到，他把速度加快，每分鐘走75米.問家到公園多遠(yuǎn)? 解一：可以作為“追及問題”處理.假設(shè)另有一人，比小張?jiān)?0分鐘出發(fā).考慮小張以75米/分鐘速度去追趕，追上所需時(shí)間是

×10÷(75-50)= 20(分鐘)? 因此，小張走的距離是 75× 20= 1500(米).答：從家到公園的距離是1500米.還有一種不少人采用的方法.家到公園的距離是

一種解法好不好，首先是“易于思考”，其次是“計(jì)算方便”.那么你更喜歡哪一種解法呢?對不同的解法進(jìn)行比較，能逐漸形成符合你思維習(xí)慣的解題思路.例3 一輛自行車在前面以固定的速度行進(jìn)，有一輛汽車要去追趕.如果速度是30千米/小時(shí)，要1小時(shí)才能追上;如果速度是 35千米/小時(shí)，要 40分鐘才能追上.問自行車的速度是多少? 解一：自行車1小時(shí)走了 30×1-已超前距離，自行車40分鐘走了

自行車多走20分鐘，走了

因此，自行車的速度是

答：自行車速度是20千米/小時(shí).解二：因?yàn)樽飞纤钑r(shí)間=追上距離÷速度差

1小時(shí)與40分鐘是3∶2.所以兩者的速度差之比是2∶3.請看下面示意圖：

馬上可看出前一速度差是15.自行車速度是 35-15= 20(千米/小時(shí)).解二的想法與第二講中年齡問題思路完全類同.這一解法的好處是，想清楚后，非常便于心算.例4 上午8點(diǎn)8分，小明騎自行車從家里出發(fā)，8分鐘后，爸爸騎摩托車去追他，在離家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回頭去追小明，再追上小明的時(shí)候，離家恰好是8千米，這時(shí)是幾點(diǎn)幾分? 解：畫一張簡單的示意圖：

圖上可以看出，從爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了 8-4=4(千米).而爸爸騎的距離是 4+ 8= 12(千米).這就知道，爸爸騎摩托車的速度是小明騎自行車速度的 12÷4=3(倍).按照這個(gè)倍數(shù)計(jì)算，小明騎8千米，爸爸可以騎行8×3=24(千米).但事實(shí)上，爸爸少用了8分鐘，騎行了 4+12=16(千米).少騎行24-16=8(千米).摩托車的速度是1千米/分，爸爸騎行16千米需要16分鐘.8+8+16=32.答：這時(shí)是8點(diǎn)32分.下面講“相遇問題”.小王從甲地到乙地，小張從乙地到甲地，兩人在途中相遇，實(shí)質(zhì)上是小王和小張一起走了甲、乙之間這段距離.如果兩人同時(shí)出發(fā)，那么 甲走的距離+乙走的距離 =甲的速度×?xí)r間+乙的速度×?xí)r間 =(甲的速度+乙的速度)×?xí)r間.“相遇問題”，常常要考慮兩人的速度和.例5 小張從甲地到乙地步行需要36分鐘，小王騎自行車從乙地到甲地需要12分鐘.他們同時(shí)出發(fā)，幾分鐘后兩人相遇? 解：走同樣長的距離，小張花費(fèi)的時(shí)間是小王花費(fèi)時(shí)間的 36÷12=3(倍)，因此自行車的速度是步行速度的3倍，也可以說，在同一時(shí)間內(nèi)，小王騎車走的距離是小張步行走的距離的3倍.如果把甲地乙地之間的距離分成相等的4段，小王走了3段，小張走了1段，小張花費(fèi)的時(shí)間是 36÷(3+1)=9(分鐘).答：兩人在9分鐘后相遇.例6 小張從甲地到乙地，每小時(shí)步行5千米，小王從乙地到甲地，每小時(shí)步行4千米.兩人同時(shí)出發(fā)，然后在離甲、乙兩地的中點(diǎn)1千米的地方相遇，求甲、乙兩地間的距離.解：畫一張示意圖

離中點(diǎn)1千米的地方是A點(diǎn)，從圖上可以看出，小張走了兩地距離的一半多1千米，小王走了兩地距離的一半少1千米.從出發(fā)到相遇，小張比小王多走了2千米

小張比小王每小時(shí)多走(5-4)千米，從出發(fā)到相遇所用的時(shí)間是 2÷(5-4)=2(小時(shí)).因此，甲、乙兩地的距離是(5+ 4)×2=18(千米).本題表面的現(xiàn)象是“相遇”，實(shí)質(zhì)上卻要考慮“小張比小王多走多少?”豈不是有“追及”的特點(diǎn)嗎?對小學(xué)的應(yīng)用題，不要簡單地說這是什么問題.重要的是抓住題目的本質(zhì)，究竟考慮速度差，還是考慮速度和，要針對題目中的條件好好想一想.千萬不要“兩人面對面”就是“相遇”，“兩人一前一后”就是“追及”.請?jiān)倏匆粋€(gè)例子.例7 甲、乙兩車分別從A，B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，6小時(shí)后相遇于C點(diǎn).如果甲車速度不變，乙車每小時(shí)多行5千米，且兩車還從A，B兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，則相遇地點(diǎn)距C點(diǎn)12千米;如果乙車速度不變，甲車每小時(shí)多行5千米，且兩車還從A，B兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，則相遇地點(diǎn)距C點(diǎn)16千米.求A，B兩地距離.解：先畫一張行程示意圖如下

設(shè)乙加速后與甲相遇于D點(diǎn)，甲加速后與乙相遇于E點(diǎn).同時(shí)出發(fā)后的相遇時(shí)間，是由速度和決定的.不論甲加速，還是乙加速，它們的速度和比原來都增加5千米，因此，不論在D點(diǎn)相遇，還是在E點(diǎn)相遇，所用時(shí)間是一樣的，這是解決本題的關(guān)鍵.下面的考慮重點(diǎn)轉(zhuǎn)向速度差.在同樣的時(shí)間內(nèi)，甲如果加速，就到E點(diǎn)，而不加速，只能到 D點(diǎn).這兩點(diǎn)距離是 12+ 16= 28(千米)，加速與不加速所形成的速度差是5千米/小時(shí).因此，在D點(diǎn)

(或E點(diǎn))相遇所用時(shí)間是 28÷5= 5.6(小時(shí)).比C點(diǎn)相遇少用 6-5.6=0.4(小時(shí)).甲到達(dá)D，和到達(dá)C點(diǎn)速度是一樣的，少用0.4小時(shí)，少走12千米，因此甲的速度是

12÷0.4=30(千米/小時(shí)).同樣道理，乙的速度是 16÷0.4=40(千米/小時(shí)).A到 B距離是(30+ 40)×6= 420(千米).答： A，B兩地距離是 420千米.很明顯，例7不能簡單地說成是“相遇問題”.例8 如圖，從A到B是1千米下坡路，從B到C是3千米平路，從C到D是2.5千米上坡路.小張和小王步行，下坡的速度都是6千米/小時(shí)，平路速度都是4千米/小時(shí)，上坡速度都是2千米/小時(shí).問：(1)小張和小王分別從A，D同時(shí)出發(fā)，相向而行，問多少時(shí)間后他們相遇?(2)相遇后，兩人繼續(xù)向前走，當(dāng)某一個(gè)人達(dá)到終點(diǎn)時(shí)，另一人離終點(diǎn)還有多少千米? 解：(1)小張從 A到 B需要 1÷6×60= 10(分鐘);小王從 D到 C也是下坡，需要 2.5÷6×60= 25(分鐘);當(dāng)小王到達(dá) C點(diǎn)時(shí)，小張已在平路上走了 25-10=15(分鐘)，走了

因此在 B與 C之間平路上留下 3-1= 2(千米)由小張和小王共同相向而行，直到相遇，所需時(shí)間是 2 ÷(4+ 4)×60= 15(分鐘).從出發(fā)到相遇的時(shí)間是 25+ 15= 40(分鐘).(2)相遇后，小王再走30分鐘平路，到達(dá)B點(diǎn)，從B點(diǎn)到 A點(diǎn)需要走 1÷2×60=30分鐘，即他再走 60分鐘到達(dá)終點(diǎn).小張走15分鐘平路到達(dá)D點(diǎn)，45分鐘可走

小張離終點(diǎn)還有2.5-1.5=1(千米).答：40分鐘后小張和小王相遇.小王到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，小張離終點(diǎn)還有1千米.二、環(huán)形路上的行程問題

人在環(huán)形路上行走，計(jì)算行程距離常常與環(huán)形路的周長有關(guān).例9 小張和小王各以一定速度，在周長為500米的環(huán)形跑道上跑步.小王的速度是180米/分.(1)小張和小王同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā)，反向跑步，75秒后兩人第一次相遇，小張的速度是多少米/分?(2)小張和小王同時(shí)從同一點(diǎn)出發(fā)，同一方向跑步，小張跑多少圈后才能第一次追上小王? 解：(1)75秒-1.25分.兩人相遇，也就是合起來跑了一個(gè)周長的行程.小張的速度是 500÷1.25-180=220(米/分).(2)在環(huán)形的跑道上，小張要追上小王，就是小張比小王多跑一圈(一個(gè)周長)，因此需要的時(shí)間是

500÷(220-180)=12.5(分).220×12.5÷500=5.5(圈).答：(1)小張的速度是220米/分;(2)小張跑5.5圈后才能追上小王.例10 如圖，A、B是圓的直徑的兩端，小張?jiān)贏點(diǎn)，小王在B點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向行走，他們在C點(diǎn)第一次相遇，C離A點(diǎn)80米;在D點(diǎn)第二次相遇，D點(diǎn)離B點(diǎn)6O米.求這個(gè)圓的周長.解：第一次相遇，兩人合起來走了半個(gè)周長;第二次相遇，兩個(gè)人合起來又走了一圈.從出發(fā)開始算，兩個(gè)人合起來走了一周半.因此，第二次相遇時(shí)兩人合起來所走的行程是第一次相遇時(shí)合起來所走的行程的3倍，那么從A到D的距離，應(yīng)該是從A到C距離的3倍，即A到D是 80×3=240(米).240-60=180(米).180×2=360(米).答：這個(gè)圓的周長是360米.在一條路上往返行走，與環(huán)行路上行走，解題思考時(shí)極為類似，因此也歸入這一節(jié).例11 甲村、乙村相距6千米，小張與小王分別從甲、乙兩村同時(shí)出發(fā)，在兩村之間往返行走(到達(dá)另一村后就馬上返回).在出發(fā)后40分鐘兩人第一次相遇.小王到達(dá)甲村后返回，在離甲村2千米的地方兩人第二次相遇.問小張和小王的速度各是多少? 解：畫示意圖如下：

如圖，第一次相遇兩人共同走了甲、乙兩村間距離，第二次相遇兩人已共同走了甲、乙兩村間距離的3倍，因此所需時(shí)間是 40×3÷60=2(小時(shí)).從圖上可以看出從出發(fā)至第二次相遇，小張已走了 6×2-2=10(千米).小王已走了 6+2=8(千米).因此，他們的速度分別是 小張 10÷2=5(千米/小時(shí))，小王 8÷2=4(千米/小時(shí)).答：小張和小王的速度分別是5千米/小時(shí)和4千米/小時(shí).例12 小張與小王分別從甲、乙兩村同時(shí)出發(fā)，在兩村之間往返行走(到達(dá)另一村后就馬上返回)，他們在離甲村3.5千米處第一次相遇，在離乙村2千米處第二次相遇.問他們兩人第四次相遇的地點(diǎn)離乙村多遠(yuǎn)(相遇指迎面相遇)? 解：畫示意圖如下.第二次相遇兩人已共同走了甲、乙兩村距離的3倍，因此張走了 3.5×3=10.5(千米).從圖上可看出，第二次相遇處離乙村2千米.因此，甲、乙兩村距離是 10.5-2=8.5(千米).每次要再相遇，兩人就要共同再走甲、乙兩村距離2倍的路程.第四次相遇時(shí)，兩人已共同走了兩村距離(3+2+2)倍的行程.其中張走了 3.5×7=24.5(千米)，24.5=8.5+8.5+7.5(千米).就知道第四次相遇處，離乙村 8.5-7.5=1(千米).答：第四次相遇地點(diǎn)離乙村1千米.下面仍回到環(huán)行路上的問題.例13 繞湖一周是24千米，小張和小王從湖邊某一地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向而行.小王以4千米/小時(shí)速度每走1小時(shí)后休息5分鐘;小張以6千米/小時(shí)速度每走50分鐘后休息10分鐘.問：兩人出發(fā)多少時(shí)間第一次相遇? 解：小張的速度是6千米/小時(shí)，50分鐘走5千米我們可以把他們出發(fā)后時(shí)間與行程列出下表：

12+15=27比24大，從表上可以看出，他們相遇在出發(fā)后2小時(shí)10分至3小時(shí)15分之間.出發(fā)后2小時(shí)10分小張已走了

此時(shí)兩人相距 24-(8+11)=5(千米).由于從此時(shí)到相遇已不會再休息，因此共同走完這5千米所需時(shí)間是 5÷(4+6)=0.5(小時(shí)).2小時(shí)10分再加上半小時(shí)是2小時(shí)40分.答：他們相遇時(shí)是出發(fā)后2小時(shí)40分.例14 一個(gè)圓周長90厘米，3個(gè)點(diǎn)把這個(gè)圓周分成三等分，3只爬蟲A，B，C分別在這3個(gè)點(diǎn)上.它們同時(shí)出發(fā)，按順時(shí)針方向沿著圓周爬行.A的速度是10厘米/秒，B的速度是5厘米/秒，C的速度是3厘米/秒，3只

爬蟲出發(fā)后多少時(shí)間第一次到達(dá)同一位置? 解：先考慮B與C這兩只爬蟲，什么時(shí)候能到達(dá)同一位置.開始時(shí)，它們相差30厘米，每秒鐘B能追上C(5-3)厘米0.30÷(5-3)=15(秒).因此15秒后B與C到達(dá)同一位置.以后再要到達(dá)同一位置，B要追上C一圈，也就是追上90厘米，需要 90÷(5-3)=45(秒).B與C到達(dá)同一位置，出發(fā)后的秒數(shù)是 15，105，150，195，…… 再看看A與B什么時(shí)候到達(dá)同一位置.第一次是出發(fā)后 30÷(10-5)=6(秒)，以后再要到達(dá)同一位置是A追上B一圈.需要 90÷(10-5)=18(秒)，A與B到達(dá)同一位置，出發(fā)后的秒數(shù)是 6，24，42，78，96，…

對照兩行列出的秒數(shù)，就知道出發(fā)后60秒3只爬蟲到達(dá)同一位置.答：3只爬蟲出發(fā)后60秒第一次爬到同一位置.請思考，3只爬蟲第二次到達(dá)同一位置是出發(fā)后多少秒? 例15 圖上正方形ABCD是一條環(huán)形公路.已知汽車在AB上的速度是90千米/小時(shí)，在BC上的速度是120千米/小時(shí)，在CD上的速度是60千米/小時(shí)，在DA上的速度是80千米/小時(shí).從CD上一點(diǎn)P，同時(shí)反向各發(fā)出一輛汽車，它們將在AB中點(diǎn)相遇.如果從PC中點(diǎn)M，同時(shí)反向各發(fā)出一輛汽車，它們將在AB上一點(diǎn)N處相遇.求

解：兩車同時(shí)出發(fā)至相遇，兩車行駛的時(shí)間一樣多.題中有兩個(gè)“相遇”，解題過程就是時(shí)間的計(jì)算.要計(jì)算方便，取什么作計(jì)算單位是很重要的.設(shè)汽車行駛CD所需時(shí)間是1.根據(jù)“走同樣距離，時(shí)間與速度成反比”，可得出

分?jǐn)?shù)計(jì)算總不太方便，把這些所需時(shí)間都乘以24.這樣，汽車行駛CD，BC，AB，AD所需時(shí)間分別是24，12，16，18.從P點(diǎn)同時(shí)反向各發(fā)一輛車，它們在AB中點(diǎn)相遇.P→D→A與 P→C→B所用時(shí)間相等.PC上所需時(shí)間-PD上所需時(shí)間 =DA所需時(shí)間-CB所需時(shí)間 =18-12 =6.而(PC上所需時(shí)間+PD上所需時(shí)間)是CD上所需時(shí)間24.根據(jù)“和差”計(jì)算得 PC上所需時(shí)間是(24+6)÷2=15，PD上所需時(shí)間是24-15=9.現(xiàn)在兩輛汽車從M點(diǎn)同時(shí)出發(fā)反向而行，M→P→D→A→N與M→C→B→N所用時(shí)間相等.M是PC中點(diǎn).P→D→A→N與C→B→N時(shí)間相等，就有 BN上所需時(shí)間-AN上所需時(shí)間 =P→D→A所需時(shí)間-CB所需時(shí)間 =(9+18)-12 = 15.BN上所需時(shí)間+AN上所需時(shí)間=AB上所需時(shí)間 =16.立即可求BN上所需時(shí)間是15.5，AN所需時(shí)間是0.5.從這一例子可以看出，對要計(jì)算的數(shù)作一些準(zhǔn)備性處理，會使問題變得簡單些.三、稍復(fù)雜的問題

在這一節(jié)希望讀者逐漸掌握以下兩個(gè)解題技巧：(1)在行程中能設(shè)置一個(gè)解題需要的點(diǎn);(2)靈活地運(yùn)用比例.例16 小王的步行速度是4.8千米/小時(shí)，小張的步行速度是5.4千米/小時(shí)，他們兩人從甲地到乙地去.小李騎自行車的速度是10.8千米/小時(shí)，從乙地到甲地去.他們3人同時(shí)出發(fā)，在小張與小李相遇后5分鐘，小王又與小李相遇.問：小李騎車從乙地到甲地需要多少時(shí)間? 解：畫一張示意圖：

圖中A點(diǎn)是小張與小李相遇的地點(diǎn)，圖中再設(shè)置一個(gè)B點(diǎn)，它是張、李兩人相遇時(shí)小王到達(dá)的地點(diǎn).5分鐘后小王與小李相遇，也就是5分鐘的時(shí)間，小王和小李共同走了B與A之間這段距離，它等于

這段距離也是出發(fā)后小張比小王多走的距離，小王與小張的速度差是(5.4-4.8)千米/小時(shí).小張比小王多走這段距離，需要的時(shí)間是 1.3÷(5.4-4.8)×60=130(分鐘).這也是從出發(fā)到張、李相遇時(shí)已花費(fèi)的時(shí)間.小李的速度10.8千米/小時(shí)是小張速度5.4千米/小時(shí)的2倍.因此小李從A到甲地需要 130÷2=65(分鐘).從乙地到甲地需要的時(shí)間是 130+65=195(分鐘)=3小時(shí)15分.答：小李從乙地到甲地需要3小時(shí)15分.上面的問題有3個(gè)人，既有“相遇”，又有“追及”，思考時(shí)要分幾個(gè)層次，弄清相互間的關(guān)系，問題也就迎刃而解了.在圖中設(shè)置一個(gè)B點(diǎn)，使我們的思考直觀簡明些.例17 小玲和小華姐弟倆正要從公園門口沿馬路向東去某地，而他們的家要從公園門口沿馬路往西.小華問姐姐：“是先向西回家取了自行車，再騎車向東去，還是直接從公園門口步行向東去快”?姐姐算了一下說：“如果騎車與步行的速度比是4∶1，那么從公園門口到目的地的距離超過2千米時(shí)，回家取車才合算.”請推算一下，從公園到他們家的距離是多少米? 解：先畫一張示意圖

設(shè)A是離公園2千米處，設(shè)置一個(gè)B點(diǎn)，公園離B與公園離家一樣遠(yuǎn).如果從公園往西走到家，那么用同樣多的時(shí)間，就能往東走到B點(diǎn).現(xiàn)在問題就轉(zhuǎn)變成： 騎車從家開始，步行從B點(diǎn)開始，騎車追步行，能在A點(diǎn)或更遠(yuǎn)處追上步行.具體計(jì)算如下：

不妨設(shè)B到A的距離為1個(gè)單位，因?yàn)轵T車速度是步行速度的4倍，所以從家到A的距離是4個(gè)單位，從家到B的距離是3個(gè)單位.公園到B是1.5個(gè)單位.從公園到A是 1+1.5=2.5(單位).每個(gè)單位是 2000÷2.5=800(米).因此，從公園到家的距離是 800×1.5=1200(米).答：從公園門口到他們家的距離是1200米.這一例子中，取計(jì)算單位給計(jì)算帶來方便，是值得讀者仿照采用的.請?jiān)倏匆焕?例18 快車和慢車分別從A，B兩地同時(shí)開出，相向而行.經(jīng)過5小時(shí)兩車相遇.已知慢車從B到A用了12.5小時(shí)，慢車到A停留半小時(shí)后返回.快車到B停留1小時(shí)后返回.問：兩車從第一次相遇到再相遇共需多少時(shí)間? 解：畫一張示意圖：

設(shè)C點(diǎn)是第一次相遇處.慢車從B到C用了5小時(shí)，從C到A用了12.5-5=7.5(小時(shí)).我們把慢車半小時(shí)行程作為1個(gè)單位.B到C10個(gè)單位，C到A15個(gè)單位.慢車每小時(shí)走2個(gè)單位，快車每小時(shí)走3個(gè)單位.有了上面“取單位”準(zhǔn)備后，下面很易計(jì)算了.慢車從C到A，再加停留半小時(shí)，共8小時(shí).此時(shí)快車在何處呢?去掉它在B停留1小時(shí).快車行駛7小時(shí)，共行駛3×7=21(單位).從B到C再往前一個(gè)單位到D點(diǎn).離A點(diǎn)15-1=14(單位).現(xiàn)在慢車從A，快車從D，同時(shí)出發(fā)共同行走14單位，相遇所需時(shí)間是 14÷(2+3)=2.8(小時(shí)).慢車從C到A返回行駛至與快車相遇共用了 7.5+0.5+2.8=10.8(小時(shí)).答：從第一相遇到再相遇共需10小時(shí)48分.例19 一只小船從A地到B地往返一次共用2小時(shí).回來時(shí)順?biāo)?，比去時(shí)的速度每小時(shí)多行駛8千米，因此第二小時(shí)比第一小時(shí)多行駛6千米.求A至B兩地距離.解：1小時(shí)是行駛?cè)痰囊话霑r(shí)間，因?yàn)槿r(shí)逆水，小船到達(dá)不了B地.我們在B之前設(shè)置一個(gè)C點(diǎn)，是小船逆水行駛1小時(shí)到達(dá)處.如下圖

第二小時(shí)比第一小時(shí)多行駛的行程，恰好是C至B距離的2倍，它等于6千米，就知C至B是3千米.為了示意小船順?biāo)俣缺饶嫠俣让啃r(shí)多行駛8千米，在圖中再設(shè)置D點(diǎn)，D至C是8千米.也就是D至A順?biāo)旭倳r(shí)間是1小時(shí).現(xiàn)在就一目了然了.D至B是5千米順?biāo)旭?，與C至B逆水行駛3千米時(shí)間一樣多.因此 順?biāo)俣取媚嫠俣?5∶3.由于兩者速度差是8千米.立即可得出

A至B距離是 12+3=15(千米).答：A至B兩地距離是15千米.例20 從甲市到乙市有一條公路，它分成三段.在第一段上，汽車速度是每小時(shí)40千米，在第二段上，汽車速度是每小時(shí)90千米，在第三段上，汽車速度是每小時(shí)50千米.已知第一段公路的長恰好是第三段的2倍.現(xiàn)有兩輛汽車分別從甲、乙兩市同時(shí)出發(fā)，相向而行.1小時(shí)20分后，在第二段的

解一：畫出如下示意圖：

當(dāng)從乙城出發(fā)的汽車走完第三段到C時(shí)，從甲城出發(fā)的汽車走完第一段的

到達(dá)D處，這樣，D把第一段分成兩部分

時(shí)20分相當(dāng)于

因此就知道，汽車在第一段需要

第二段需要 30×3=90(分鐘);

甲、乙兩市距離是

答：甲、乙兩市相距185千米.把每輛車從出發(fā)到相遇所走的行程都分成三段，而兩車逐段所用時(shí)間都相應(yīng)地一樣.這樣通過“所用時(shí)間”使各段之間建立了換算關(guān)系.這是一種典型的方法.例

8、例13也是類似思路，僅僅是問題簡單些.還可以用“比例分配”方法求出各段所用時(shí)間.第一段所用時(shí)間∶第三段所用時(shí)間=5∶2.時(shí)間一樣.第一段所用時(shí)間∶第二段所用時(shí)間=5∶9.因此，三段路程所用時(shí)間的比是 5∶9∶2.汽車走完全程所用時(shí)間是 80×2=160(分種).例21 一輛車從甲地開往乙地.如果車速提高20%，可以比原定時(shí)間提前一小時(shí)到達(dá);如果以原速行駛120千米后，再將速度提高25%，則可提前40分鐘到達(dá).那么甲、乙兩地相距多少千米? 解：設(shè)原速度是1.%后，所用時(shí)間縮短到原時(shí)間的

這是具體地反映：距離固定，時(shí)間與速度成反比.用原速行駛需要

同樣道理，車速提高25%，所用時(shí)間縮短到原來的

如果一開始就加速25%，可少時(shí)間

現(xiàn)在只少了40分鐘，72-40=32(分鐘).說明有一段路程未加速而沒有少這個(gè)32分鐘，它應(yīng)是這段路程所用時(shí)間

真巧，320-160=160(分鐘)，原速的行程與加速的行程所用時(shí)間一樣.因此全程長

答：甲、乙兩地相距270千米.十分有意思，按原速行駛120千米，這一條件只在最后用上.事實(shí)上，其他條件已完全確定了“原速”與“加速”兩段行程的時(shí)間的比例關(guān)系，當(dāng)然也確定了距離的比例關(guān)系.全程長還可以用下面比例式求出，設(shè)全程長為x，就有 x∶120=72∶32

第四篇：六年級奧數(shù)教案

思源學(xué)校第二課堂（第六周）

判斷與推理 2 授課人：雍堯

教學(xué)要求:(1)理解邏輯推理的四條基本規(guī)律，學(xué)會運(yùn)用分析、推理方法解決問題。

(2)培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力.教學(xué)重點(diǎn):學(xué)會運(yùn)用分析、推理方法解決問題。

教學(xué)難點(diǎn): 理解、掌握分析、推理方法。

教學(xué)方法:講解法、圖表法、練習(xí)法。

（一）教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)。

上節(jié)課的習(xí)題例2

二、教學(xué)新課 教學(xué)例3

甲乙丙三人被蒙上眼睛，告訴他們每個(gè)人頭上都戴了一頂帽子，帽子的顏色不是紅的就是綠的。然后，就去掉蒙眼睛的布，要求每個(gè)人如果看見別人（一個(gè)或兩個(gè)）戴的是紅帽子就舉手，并且誰能斷定自己頭上帽子的顏色，誰就馬上離開房間。三人碰巧戴的都是紅帽子，因此三個(gè)人都舉了手，幾分鐘后，丙首先走開了，他是怎么推導(dǎo)出自己頭上帽子的顏色的？

（1）學(xué)生審題，理解題意。（2）同座位討論。

（3）分析：此題關(guān)鍵：注意到甲乙兩人沒有立即離開房間這個(gè)事實(shí)。丙推理，我的帽子如果是綠的，甲根據(jù)乙舉手立即知道自己的帽子是紅的，那他應(yīng)走出房間，乙會做同樣的推理離開房間。甲乙不能很快判斷自己帽子的顏色，說明我的帽子不是綠的，而是紅的。（4）說說你的推理過程。

3、比較前面例2例3有什么相同不同之處。

三、鞏固練習(xí)。教學(xué)例4 學(xué)田小學(xué)舉行科技知識競賽，同學(xué)們對一貫刻苦學(xué)習(xí)愛好讀書的四名學(xué)生的成績作了如下估計(jì)：（1）丙得第一，乙得第二；

（2）丙得第二，丁得第三；（3）甲得第二，丁得第四。

比賽結(jié)果一公布，果然是這四名學(xué)生獲得前四名。但以上三種估計(jì)，每一種都對了一半錯(cuò)一半。他們各得第幾名？（1）學(xué)生審題，理解題意。（2）同座位討論。（3）分析：利用圖表幫助學(xué)生去推理判斷。

第一種假定“丙第一錯(cuò)，乙第二對”出現(xiàn)矛盾。照此推理“丙第一對，乙第二錯(cuò)”沒有出

現(xiàn)矛盾。所以丙第一，甲第二，丁第三，乙第四。（4）每人口述推理過程。

四、小結(jié)。

這節(jié)課你學(xué)會了什么？

第五篇：小學(xué)六年級奧數(shù)教案幾何類

小學(xué)六年級奧數(shù)教案：圖形面積

簡單的面積計(jì)算是小學(xué)數(shù)學(xué)的一項(xiàng)重要內(nèi)容.要會計(jì)算面積，首先要能識別一些特別的圖形：正方形、三角形、平行四邊形、梯形等等，然后會計(jì)算這些圖形的面積.如果我們把

這些圖形畫在方格紙上，不但容易識別，而且容易計(jì)算.上面左圖是邊長為 4的正方形，它的面積是 4×4= 16(格);右圖是 3×5的長方形，它的面積是 3×5= 15(格).上面左圖是一個(gè)銳角三角形，它的底是5，高是4，面積是 5×4÷2= 10(格);右圖是一個(gè)鈍角三角形，底是4，高也是4，它的面積是4×4÷2=8(格).這里特別說明，這兩個(gè)三角

形的高線一樣長，鈍角三角形的高線有可能在三角形的外面.上面左圖是一個(gè)平行四邊形，底是5，高是3，它的面積是 5× 3= 15(格);右圖是一個(gè)梯形，上底是 4，下底是7，高是4，它的面積是

(4+7)×4÷2=22(格).上面面積計(jì)算的單位用“格”，一格就是一個(gè)小正方形.如果小正方形邊長是1厘米，1格就是1平方厘米;如果小正方形邊長是1米，1格就是1平方米.也就是說我們設(shè)定一個(gè)方格的邊長是1個(gè)長度單位，1格就是一個(gè)面積單位.在這一講中，我們直接用數(shù)表示長度或面積，省略了相應(yīng)的長度單位和面積單位.一、三角形的面積

用直線組成的圖形，都可以劃分成若干個(gè)三角形來計(jì)算面積.三角形面積的計(jì)算公式是：

三角形面積= 底×高÷2.這個(gè)公式是許多面積計(jì)算的基礎(chǔ).因此我們不僅要掌握這一公式，而且要會靈活運(yùn)用.例1 右圖中BD長是4，DC長是2，那么三角形ABD的面積是三角形ADC面積的多少倍呢?

解：三角形ABD與三角形ADC的高相同.三角形ABD面積=4×高÷2.三角形 ADC面積=2×高÷2.因此三角形ABD的面積是三角形ADC面積的2倍.注意：三角形的任意一邊都可以看作是底，這條邊上的高就是三角形的高，所以每個(gè)三角形都可看成有三個(gè)底，和相應(yīng)的三條高.例2 右圖中，BD，DE，EC的長分別是2，4，2.F是線段AE的中點(diǎn)，三角形ABC的高為4.求三角形DFE的面積.解： BC= 2+ 4+ 2= 8.三角形 ABC面積= 8× 4÷2=16.我們把A和D連成線段，組成三角形ADE，它與三角形ABC的高相同，而DE長是4，也是BC的一半，因此三角形ADE面積是三角形ABC面積的一半.同樣道理，EF是AE的一半，三角形DFE面積是三角形ADE面積的一半.三角形 DFE面積= 16÷4=4.例3 右圖中長方形的長是20，寬是12，求它的內(nèi)部陰影部分面積.解：ABEF也是一個(gè)長方形，它內(nèi)部的三個(gè)三角形陰影部分高都與BE一樣長.而三個(gè)三角形底邊的長加起來，就是FE的長.因此這三個(gè)三角形的面積之和是

FE×BE÷2，它恰好是長方形ABEF面積的一半.同樣道理，F(xiàn)ECD也是長方形，它內(nèi)部三個(gè)三角形(陰影部分)面積之和是它的面積的一半.因此所有陰影的面積是長方形ABCD面積的一半，也就是

20×12÷2=120.通過方格紙，我們還可以從另一個(gè)途徑來求解.當(dāng)我們畫出中間兩個(gè)三角形的高線，把每個(gè)三角形分成兩個(gè)直角三角形后，圖中每個(gè)直角三角形都是某個(gè)長方形的一半，而長方形ABCD是由這若干個(gè)長方形拼成.因此所有這些直角三角形(陰影部分)的面積之和是長方形ABCD面積的的一半.例4 右圖中，有四條線段的長度已經(jīng)知道，還有兩個(gè)角是直角，那么四邊形ABCD(陰影部分)的面積是多少?

解：把A和C連成線段，四邊形ABCD就分成了兩個(gè)，三角形ABC和三角形ADC.對三角形ABC來說，AB是底邊，高是10，因此

面積=4×10÷2= 20.對三角形 ADC來說，DC是底邊，高是 8，因此

面積=7×8÷2=28.四邊形 ABCD面積= 20+ 28= 48.這一例題再一次告訴我們，鈍角三角形的高線有可能是在三角形的外面.例5 在邊長為6的正方形內(nèi)有一個(gè)三角形BEF，線段AE=3，DF=2，求三角形BEF的面積.解：要直接求出三角形BEF的面積是困難的，但容易求出下面列的三個(gè)直角三角形的面積

三角形 ABE面積=3×6×2= 9.三角形 BCF面積= 6×(6-2)÷2= 12.三角形 DEF面積=2×(6-3)÷2= 3.我們只要用正方形面積減去這三個(gè)直角三角形的面積就能算出：

三角形 BEF面積=6×6-9-12-3=12.例6 在右圖中，ABCD是長方形，三條線段的長度如圖所示，M是線段DE的中點(diǎn)，求四邊形ABMD(陰影部分)的面積.解：四邊形ABMD中，已知的太少，直接求它面積是不可能的，我們設(shè)法求出三角形DCE與三角形MBE的面積，然后用長方形ABCD的面積減去它們，由此就可以求得四邊形ABMD的面積.把M與C用線段連起來，將三角形DCE分成兩個(gè)三角形.三角形 DCE的面積是 7×2÷2=7.因?yàn)镸是線段DE的中點(diǎn)，三角形DMC與三角形MCE面積相等，所以三角形MCE面積是 7÷2=3.5.因?yàn)?BE= 8是 CE= 2的 4倍，三角形 MBE與三角形MCE高一樣，因此三角形MBE面積是

3.5×4=14.長方形 ABCD面積=7×(8+2)=70.四邊形 ABMD面積=70-7-14= 49.二、有關(guān)正方形的問題

先從等腰直角三角形講起.一個(gè)直角三角形，它的兩條直角邊一樣長，這樣的直角三角形，就叫做等腰直角三角形.它有一個(gè)直角(90度)，還有兩個(gè)角都是45度，通常在一副三角尺中.有一個(gè)就是等腰直角三角形.兩個(gè)一樣的等腰直角三角形，可以拼成一個(gè)正方形，如圖(a).四個(gè)一樣的等腰直角三角形，也可以拼成一個(gè)正方形，如圖(b).一個(gè)等腰直角三角形，當(dāng)知道它的直角邊長，從圖(a)知，它的面積是

直角邊長的平方÷2.當(dāng)知道它的斜邊長，從圖(b)知，它的面積是

斜邊的平方÷4

例7 右圖由六個(gè)等腰直角三角形組成.第一個(gè)三角形兩條直角邊長是8.后一個(gè)三角形的直角邊長，恰好是前一個(gè)斜邊長的一半，求這個(gè)圖形的面積.解：從前面的圖形上可以知道，前一個(gè)等腰直角三角形的兩個(gè)拼成的正方形，等于后一個(gè)等腰直角三角形四個(gè)拼成的正方形.因此后一個(gè)三角形面積是前一個(gè)三角形面積的一半，第一個(gè)等腰直角三角形的面積是8×8÷2=32.這一個(gè)圖形的面積是

32+16+ 8+ 4 + 2+1= 63.例8 如右圖，兩個(gè)長方形疊放在一起，小長形的寬是2，A點(diǎn)是大長方形一邊的中點(diǎn)，并且三角形ABC是等腰直角三角形，那么圖中陰影部分的總面積是多少?

解：為了說明的方便，在圖上標(biāo)上英文字母 D，E，F(xiàn)，G.三角形ABC的面積=2×2÷2=2.三角形ABC，ADE，EFG都是等腰直角三角形.三角形ABC的斜邊，與三角形ADE的直角邊一樣長，因此三角形 ADE面積=ABC面積×2=4.三角形EFG的斜邊與三角形ABC的直角邊一樣長.因此三角形EFG面積=ABC面積÷2=1.陰影部分的總面積是 4+1=5.例9 如右圖，已知一個(gè)四邊形ABCD的兩條邊的長度AD=7，BC=3，三個(gè)角的度數(shù)：角 B和D是直角，角A是45°.求這個(gè)四邊形的面積.解：這個(gè)圖形可以看作是一個(gè)等腰直角三角形ADE，切掉一個(gè)等腰直角三角形BCE.因?yàn)?/p>

A是45°，角D是90°，角E是

180°-45°-90°= 45°，所以ADE是等腰直角三角形，BCE也是等腰直角三角形.四邊形ABCD的面積，是這兩個(gè)等腰直角三角形面積之差，即

7×7÷2-3×3÷2=20.這是1994小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克決賽試題.原來試題圖上并沒有畫出虛線三角形.參賽同學(xué)是不大容易想到把圖形補(bǔ)全成為等腰直角三角形.因此做對這道題的人數(shù)不多.但是有一些同學(xué)，用直線AC把圖形分成兩個(gè)直角三角形，并認(rèn)為這兩個(gè)直角三角形是一樣的，這就大錯(cuò)特錯(cuò)了.這樣做，角 A是 45°，這一條件還用得上嗎?圖形上線段相等，兩個(gè)三角形相等，是不能靠眼睛來測定的，必須從幾何學(xué)上找出根據(jù)，小學(xué)同學(xué)尚未學(xué)過幾何，千萬不要隨便對圖形下結(jié)論.我們應(yīng)該從題目中已有的條件作為思考的線索.有45°和直角，你應(yīng)首先考慮等腰直角三角形.現(xiàn)在我們轉(zhuǎn)向正方形的問題.例10 在右圖 11×15的長方形內(nèi)，有四對正方形(標(biāo)號相同的兩個(gè)正方形為一對)，每一對是相同的正方形，那么中間這個(gè)小正方形(陰影部分)面積是多少?

解：長方形的寬，是“一”與“二”兩個(gè)正方形的邊長之和，長方形的長，是“一”、“三”與“二”三個(gè)正方形的邊長之和.長-寬 =15-11=4

是“三”正方形的邊長.寬又是兩個(gè)“三”正方形與中間小正方形的邊長之和，因此

中間小正方形邊長=11-4×2=3.中間小正方形面積=3×3= 9.如果把這一圖形，畫在方格紙上，就一目了然了.例11 從一塊正方形土地中，劃出一塊寬為1米的長方形土地(見圖)，剩下的長方形土地面積是15.75平方米.求劃出的長方形土地的面積.解：剩下的長方形土地，我們已知道

長-寬=1(米).還知道它的面積是15.75平方米，那么能否從這一面積求出長與寬之和呢?

如果能求出，那么與上面“差”的算式就形成和差問題了.我們把長和寬拼在一起，如右圖.從這個(gè)圖形還不能算出長與寬之和，但是再拼上同樣的兩個(gè)正方形，如下圖就拼成一個(gè)

大正方形，這個(gè)正方形的邊長，恰好是長方形的長與寬之和.可是這個(gè)大正方形的中間還有一個(gè)空洞.它也是一個(gè)正方形，仔細(xì)觀察一下，就會發(fā)現(xiàn)，它的邊長，恰好是長方形的長與寬之差，等于1米.現(xiàn)在，我們就可以算出大正方形面積：

15.75×4+1×1= 64(平方米).64是8×8，大正方形邊長是 8米，也就是說長方形的 長+寬=8(米).因此 長=(8+1)÷2= 4.5(米).寬=8-4.5=3.5(米).那么劃出的長方形面積是

4.5×1=4.5(平方米).例12 如右圖.正方形ABCD與正方形EFGC并放在一起.已知小正方形EFGC的邊長是6，求三角形AEG(陰影部分)的面積.解：四邊形AECD是一個(gè)梯形.它的下底是AD，上底是EC，高是CD，因此

四邊形AECD面積=(小正方形邊長+大正方形邊長)×大正方形邊長÷2

三角形ADG是直角三角形，它的一條直角邊長DG=(小正方形邊長+大正方形邊長)，因此

三角形ADG面積=(小正方形邊長+大正方形邊長)×大正方形邊長÷2.四邊形 AECD與三角形 ADG面積一樣大.四邊形AHCD是它們兩者共有，因此，三角形AEH與三角形HCG面積相等，都加上三角形EHG面積后，就有

陰影部分面積=三角形ECG面積

=小正方形面積的一半

= 6×6÷2=18.十分有趣的是，影陰部分面積，只與小正方形邊長有關(guān)，而與大正方形邊長卻沒有關(guān)系.三、其他的面積

這一節(jié)將著重介紹求面積的常用思路和技巧.有些例題看起來不難，但可以給你啟發(fā)的內(nèi)容不少，請讀者仔細(xì)體會.例13 畫在方格紙上的一個(gè)用粗線圍成的圖形(如右圖)，求它的面積.解：直接計(jì)算粗線圍成的面積是困難的，我們通過扣除周圍正方形和直角三角形來計(jì)算.周圍小正方形有3個(gè)，面積為1的三角形有5個(gè)，面積為1.5的三角形有1個(gè)，因此圍成面積是

4×4-3-5-1.5=6.5.例6與本題在解題思路上是完全類同的.例14 下圖中 ABCD是 6×8的長方形，AF長是4，求陰影部分三角形AEF的面積.解：三角形AEF中，我們知道一邊AF，但是不知道它的高多長，直接求它的面積是困難的.如果把它擴(kuò)大到三角形AEB，底邊AB，就是長方形的長，高是長方形的寬，即BC的長，面積就可以求出.三角形AEB的面積是長方形面積的一半，而擴(kuò)大的三角形AFB是直角三角形，它的兩條直角邊的長是知道的，很容易算出它的面積.因此

三角形AEF面積=(三角形 AEB面積)-(三角形 AFB面積)

=8×6÷2-4×8÷2

= 8.這一例題告訴我們，有時(shí)我們把難求的圖形擴(kuò)大成易求的圖形，當(dāng)然擴(kuò)大的部分也要容易求出，從而間接地解決了問題.前面例9的解法，也是這種思路.例15 下左圖是一塊長方形草地，長方形的長是16，寬是10.中間有兩條道路，一條是長方形，一條是平行四邊形，那么有草部分的面積(陰影部分)有多大?

解：我們首先要弄清楚，平行四邊形面積有多大.平行四邊形的面積是底×高.從圖上可以看出，底是2，高恰好是長方形的寬度.因此這個(gè)平行四邊形的面積與 10×2的長方形面積相等.可以設(shè)想，把這個(gè)平行四邊形換成 10×2的長方形，再把橫豎兩條都移至邊上(如前頁右圖)，草地部分面積(陰影部分)還是與原來一樣大小，因此

草地面積=(16-2)×(10-2)= 112.例16 右圖是兩個(gè)相同的直角三角形疊在一起，求陰影部分的面積.解：實(shí)際上，陰影部分是一個(gè)梯形，可是它的上底、下底和高都不知道，不能直接來求它的面積.陰影部分與三角形BCE合在一起，就是原直角三角形.你是否看出，ABCD也是梯形，它和三角形BCE合在一起，也是原直角三角形.因此，梯形ABCD的面積與陰影部分面積一樣大.梯形ABCD的上底BC，是直角邊AD的長減去3，高就是DC的長.因此陰影部分面積等于

梯形 ABCD面積=(8+8-3)×5÷2= 32.5.上面兩個(gè)例子都啟發(fā)我們，如何把不容易算的面積，換成容易算的面積，數(shù)學(xué)上這叫等積變形.要想有這種“換”的本領(lǐng)，首先要提高對圖形的觀察能力.例17 下圖是兩個(gè)直角三角形疊放在一起形成的圖形.已知 AF，F(xiàn)E，EC都等于3，CB，BD都等于 4.求這個(gè)圖形的面積.解：兩個(gè)直角三角形的面積是很容易求出的.三角形ABC面積=(3+3+3)×4÷2=18.三角形CDE面積=(4+4)× 3÷2=12.這兩個(gè)直角三角形有一個(gè)重疊部分--四邊形BCEG，只要減去這個(gè)重疊部分，所求圖形的面積立即可以得出.因?yàn)?AF= FE= EC=3，所以 AGF，F(xiàn)GE，EGC是三個(gè)面積相等的三角形.因?yàn)镃B=BD=4，所以CGB，BGD是兩個(gè)面積相等的三角形.2×三角形DEC面積

= 2×2×(三角形 GBC面積)+2×(三角形 GCE面積).三角形ABC面積

=(三角形 GBC面積)+3×(三角形GCE面積).四邊形BCEG面積

=(三角形GBC面積)+(三角形GCE面積)

=(2×12+18)÷5

=8.4.所求圖形面積=12+ 18-8.4=21.6.例18 如下頁左圖，ABCG是4×7長方形，DEFG是 2×10長方形.求三角形 BCM與三角形 DEM面積之差.解：三角形BCM與非陰影部分合起來是梯形ABEF.三角形DEM與非陰影部分合起來是兩個(gè)長方形的和.(三角形BCM面積)-(三角形DEM面積)

=(梯形ABEF面積)-(兩個(gè)長方形面積之和

=(7+10)×(4+2)÷2-(4×7 + 2×10)

=3.例19 上右圖中，在長方形內(nèi)畫了一些直線，已知邊上有三塊面積分別是13，35，49.那么圖中陰影部分的面積是多少?

解：所求的影陰部分，恰好是三角形ABC與三角形CDE的公共部分，而面積為13，49，35這三塊是長方形中沒有被三角形ABC與三角形CDE蓋住的部分，因此

(三角形 ABC面積)+(三角形CDE面積)+(13+49+35)

=(長方形面積)+(陰影部分面積).三角形ABC，底是長方形的長，高是長方形的寬;三角形CDE，底是長方形的寬，高是長方形的長.因此，三角形ABC面積，與三角形CDE面積，都是長方形面積的一半，就有

陰影部分面積=13 + 49+ 35= 97.1.甲、乙兩地相距465千米，一輛汽車從甲地開往乙地，以每小時(shí)60千米的速度行駛一段后，每小時(shí)加速15千米，共用了7小時(shí)到達(dá)乙地。每小時(shí)60千米的速度行駛了幾小時(shí)?

答案：1.解：設(shè)每小時(shí)60千米的速度行駛了x小時(shí)。

60x+(60+15)(7-x)=465

60x+525-75x=465

525-15x=465

15x=60

x=4

答：每小時(shí)60千米的速度行駛了4小時(shí)。

某班42個(gè)同學(xué)參加植樹，男生平均每人種3棵，女生平均每人種2棵，已知男生比女生多種56棵，男、女生各有多少人？

解：設(shè)男生x人，女生(42-x)人。

3x-2(42-x)=56

3x+2x-84=56

5x=140

x=28