第一篇：關(guān)于中國郵遞員問題和歐拉圖應(yīng)用
關(guān)于中國郵遞員問題和歐拉圖應(yīng)用
中國郵遞員問題：
1962年有管梅谷先生提出中國郵遞員問題（簡稱CPP）。一個(gè)郵遞員從郵局出發(fā)，要走完他所管轄的每一條街道，可重復(fù)走一條街道，然后返回郵局。任何選擇一條盡可能短的路線。
這個(gè)問題可以轉(zhuǎn)化為：給定一個(gè)具有非負(fù)權(quán)的賦權(quán)圖G，（1）用添加重復(fù)邊的方法求G的一個(gè)Euler賦權(quán)母圖G*，使得盡可能小。
（2）求G*的Euler 環(huán)游。
人們也開始關(guān)注另一類似問題，旅行商問題（簡稱TSP）。TSP是點(diǎn)路優(yōu)化問題，它是NPC的。而CPP是弧路優(yōu)化問題，該問題有幾種變形，與加權(quán)圖奇點(diǎn)的最小完全匹配或網(wǎng)絡(luò)流等價(jià)，有多項(xiàng)式算法。[1]
歐拉圖：
圖G中經(jīng)過每條邊一次并且僅一次的回路稱作歐拉回路。存在歐拉回路的圖稱為歐拉圖。
無向圖歐拉圖判定：
無向圖G為歐拉圖，當(dāng)且僅當(dāng)G為連通圖且所有頂點(diǎn)的度為偶數(shù)。
有向圖歐拉圖判定：
有向圖G為歐拉圖，當(dāng)且僅當(dāng)G的基圖[2]連通，且所有頂點(diǎn)的入度等于出度。
歐拉回路性質(zhì)：
性質(zhì)1 設(shè)C是歐拉圖G中的一個(gè)簡單回路，將C中的邊從圖G中刪去得到一個(gè)新的圖G’，則G’的每一個(gè)極大連通子圖都有一條歐拉回路。
性質(zhì)2 設(shè)C1、C2是圖G的兩個(gè)沒有公共邊，但有至少一個(gè)公共頂點(diǎn)的簡單回路，我們可以將它們合并成一個(gè)新的簡單回路C’。
歐拉回路算法： 1
在圖G中任意找一個(gè)回路C；
將圖G中屬于回路C的邊刪除；
在殘留圖的各極大連通子圖中分別尋找歐拉回路；
將各極大連通子圖的歐拉回路合并到C中得到圖G的歐拉回路。
由于該算法執(zhí)行過程中每條邊最多訪問兩次，因此該算法的時(shí)間復(fù)雜度為O(|E|)。
如果使用遞歸形式，得注意|E|的問題。使用非遞歸形式防止棧溢出。
如果圖 是有向圖，我們?nèi)匀豢梢允褂靡陨纤惴ā?/p>
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1116 有向圖歐拉圖和半歐拉圖判定
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2337 輸出路徑
中國郵遞員問題①： 一個(gè)郵遞員從郵局出發(fā)，要走完他所管轄的每一條街道，可重復(fù)走一條街道，然后返回郵局。所有街道都是雙向通行的，且每條街道都有一個(gè)長度值。任何選擇一條盡可能短的路線。
分析：
雙向連通，即給定無向圖G。
如果G不連通，則無解。
如果G是歐拉圖，則顯然歐拉回路就是最優(yōu)路線。
如果G連通，但不是歐拉圖，說明圖中有奇點(diǎn)[3]。奇點(diǎn)都是成對(duì)出現(xiàn)的，證明從略。
對(duì)于最簡單情況，即2個(gè)奇點(diǎn)，設(shè)（u，v）。我們可以在G中對(duì)（u，v）求最短路徑R，構(gòu)造出新圖G’ = G ∪ R。此時(shí)G’就是歐拉圖。
證明：u和v加上了一條邊，度加一，改變了奇偶性。而R中其他點(diǎn)度加二，奇偶性不變。
由此可知，加一次R，能夠減少兩個(gè)奇點(diǎn)。推廣到k個(gè)奇點(diǎn)的情況，加k/2個(gè)R就能使度全為偶數(shù)。
接下的問題是求一個(gè)k個(gè)奇點(diǎn)的配對(duì)方案，使得k/2個(gè)路徑總長度最小。
這個(gè)就是無向完全圖最小權(quán)匹配問題。有一種Edmonds算法，時(shí)間復(fù)雜度O（N^3）。[4]
也可轉(zhuǎn)換為二分圖，用松弛優(yōu)化的KM算法，時(shí)間復(fù)雜度也是O（N^3）。
完整的算法流程如下：
如果G是連通圖，轉(zhuǎn)2，否則返回?zé)o解并結(jié)束；
檢查G中的奇點(diǎn)，構(gòu)成圖H的頂點(diǎn)集；
求出G中每對(duì)奇點(diǎn)之間的最短路徑長度，作為圖H對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)間的邊權(quán)；
對(duì)H進(jìn)行最小權(quán)匹配；
把最小權(quán)匹配里的每一條匹配邊代表的路徑，加入到圖G中得到圖G’；
在G’中求歐拉回路，即所求的最優(yōu)路線。
中國郵遞員問題②：
和①相似，只是所有街道都是單向通行的。
分析：
單向連通，即給定有向圖G。
和①的分析一樣，我們來討論如何從G轉(zhuǎn)換為歐拉圖G’。
首先計(jì)算每個(gè)頂點(diǎn)v的入度與出度之差 d’（v）。如果G中所有的v都有d’（v）=0，那么G中已經(jīng)存在歐拉回路。
d’（v）>0 說明得加上出度。d’（v）<0說明得加上入度。
而當(dāng)d’（v）=0，則不能做任何新增路徑的端點(diǎn)。
可以看出這個(gè)模型很像網(wǎng)絡(luò)流模型。
頂點(diǎn)d’（v）>0對(duì)應(yīng)于網(wǎng)絡(luò)流模型中的源點(diǎn)，它發(fā)出d’（v）個(gè)單位的流；頂點(diǎn)d’（v）<0對(duì)應(yīng)于網(wǎng)絡(luò)流模型中的匯點(diǎn)，它接收-d’（v）個(gè)單位的流；而d’（v）=0的頂點(diǎn)，則對(duì)應(yīng)于網(wǎng)絡(luò)流模型中的中間結(jié)點(diǎn)，它接收的流量等于發(fā)出的流量。在原問題中還要求增加的路徑總長度最小，我們可以給網(wǎng)絡(luò)中每條邊的費(fèi)用值 設(shè)為圖 中對(duì)應(yīng)邊的長度。這樣，在網(wǎng)絡(luò)中求最小費(fèi)用最大流，即可使總費(fèi)用最小。
這樣構(gòu)造網(wǎng)絡(luò)N：
其頂點(diǎn)集為圖G的所有頂點(diǎn)，以及附加的超級(jí)源 和超級(jí)匯 ；
對(duì)于圖G中每一條邊(u,v)，在N中連邊(u,v)，容量為∞，費(fèi)用為該邊的長度；
從源點(diǎn) 向所有d’(v)>0的頂點(diǎn)v連邊(s,v)，容量為d’(v)，費(fèi)用為0；
從所有d’(v)<0的頂點(diǎn) 向匯點(diǎn)t連邊(u,t)，容量為-d’(v)，費(fèi)用為0。
完整的算法流程如下：
如果G的基圖連通且所有頂點(diǎn)的入、出度均不為0，轉(zhuǎn)2，否則返回?zé)o解并結(jié)束；
計(jì)算所有頂點(diǎn)v的d’(v)值；
構(gòu)造網(wǎng)絡(luò)N；
在網(wǎng)絡(luò)N中求最小費(fèi)用最大流；
對(duì)N中每一條流量f(u,v)的邊(u,v)，在圖G中增加f(u,v)次得到G’；
在G’中求歐拉回路，即為所求的最優(yōu)路線。
NPC問題：
如果部分街道能夠雙向通行，部分街道只能單向通行。這個(gè)問題已被證明是NPC的。[5]
------------------[1] 大城市郵政投遞問題及其算法研討
[2] 忽略有向圖所有邊的方向，得到的無向圖稱為該有向圖的基圖。
[3] 度為奇數(shù)的頂點(diǎn)稱為奇點(diǎn)。
[4] J.Edmonds, E.Johnson 《Matching, Euler tours, and the Chinese postman》
[5] C.Papadimitriou 《The complexity of edge traversing》
中國郵遞員問題的C++實(shí)現(xiàn)源代碼 //PKU 2337 #include
const int MAX = 1100;char str[MAX][25];int n, in[MAX], out[MAX];vector
int seq[MAX], step;void find_euler(int pos)...{
int i,j;
while(out[pos])...{
for(;vis[pos] < words[pos].size();)...{
string snext = words[pos][ vis[pos] ];
j = snext[snext.length()-1]-'a';
out[pos]--;
vis[pos] ++;
find_euler(j);
}
}
seq[step ++] = pos;} void union_f(int s,int e)...{
int ts = s, te = e;
while(s!=-1 && f[s]!= s)...{
s = f[s];
}
if(s ==-1)...{
f[ts] = s = ts;
}
while(e!=-1 && f[e]!= e)...{
int t = e;
e = f[e];
f[t] = s;
}
if(e >= 0)...{
f[e] = s;
} }
int main()...{
int t,i,j;
scanf(“%d”, &t);
while(t--)...{
scanf(“%d”, &n);
getchar();
for(i=0;i<30;i++)words[i].clear();
memset(in,0,sizeof(in));
memset(out,0,sizeof(out));
memset(f,-1,sizeof(f));
ss = is = os = ps = 0;
for(i=0;i gets(str[i]); int len = strlen(str[i]); int chs = str[i][0]-'a'; int che = str[i][len-1]-'a'; words[chs].push_back(string(str[i])); in[che] ++; out[chs] ++; union_f(chs, che); } bool flag = true; for(i=0;i<30;i++)...{ if(f[i] == i)ss ++; if(in[i] == out[i] +1)os ++; else if(in[i] +1 == out[i])is ++; else if(in[i]!= out[i])flag = false; } if(ss > 1)flag = false; if(!(os==0 && is==0)&&!(os==1 && is==1))flag = false; if(!flag)...{ puts(“***”); } else...{ int spos; if(os == 1 && is == 1)...{ for(i=0;i<30;i++)...{ if(in[i] +1 == out[i])...{ spos = i; break; } } } else...{ for(i=0;i<30;i++)...{ if(f[i]!=-1)...{ spos = i; break; } } } for(i=0;i<30;i++)sort(words[i].begin(), words[i].end()); step = 0; memset(vis, 0, sizeof(vis)); find_euler(spos); //memset(vis, 0, sizeof(vis)); for(i=step-1;i>0;i--)...{ spos = seq[i]; string snext; for(j=0;j snext = words[spos][j]; if(seq[i-1] == snext[snext.length()-1]-'a')...{ words[spos].erase(words[spos].begin()+j); break; } } printf(“%s”, snext.c_str()); if(i>1)putchar('.'); } puts(""); } } } 運(yùn)籌學(xué)第六組 運(yùn)籌學(xué)個(gè)人心得之中國郵遞員問題 我們第六組做的第二次案例就是中國郵遞員問題，這個(gè)問題是運(yùn)籌學(xué)中的經(jīng)典命題。這個(gè)案例講的是：在中國的六個(gè)縣城，每個(gè)縣城都有一個(gè)縣局，縣局下面設(shè)立若干個(gè)郵政所，每天郵遞員的任務(wù)就是從縣局出發(fā)，依次到每一個(gè)郵政所送郵件，要求每個(gè)郵政所都必須去，而且只能去一次。這就涉及到一個(gè)路線的規(guī)劃問題，怎么走才能使得郵遞員走的路最少，而且能夠完成任務(wù)。 在做題之前考慮了很久，真不知道從何著手，國為以前確實(shí)沒有接觸過這個(gè)類型的題，沒有一個(gè)能夠行得通的辦法。后來，我們選定了一個(gè)代表性的區(qū)域，來嘗試求解，國為第六個(gè)區(qū)域的變量最多，所以就選擇這個(gè)區(qū)域作為突破口。只要第六個(gè)區(qū)域求解成功，其它五個(gè)區(qū)域便迎刃而解了。 首先，我們畫了一個(gè)由第六區(qū)域的十七個(gè)點(diǎn)所組成的17*17矩陣，一一對(duì)應(yīng)設(shè)定變量，在去除對(duì)角線的17個(gè)變量之后，我們得到272個(gè)變量。這是一個(gè)非常龐大的變量群體，若按傳統(tǒng)的線性規(guī)劃方法求解，求解過程將會(huì)變得異常艱辛，而且以前的模板，求解工具都不能求解這么多變量。所以我們一度陷入混亂，求解工作停滯不前。后來老師在對(duì)這價(jià)目案例作初步的講解的時(shí)候，提出了用運(yùn)輸模型來對(duì)這個(gè)問題進(jìn)行求解，此話一出，真是如醍醐灌頂，酣暢極了，眼前簡直豁然一亮，真想“拍案而起”。 若用運(yùn)輸模型求解，這個(gè)問題將會(huì)變得非常簡單。一方面由于每行的出發(fā)點(diǎn)只能有一個(gè)，而每列的終點(diǎn)也只能有一個(gè)，這樣看來，郵 運(yùn)籌學(xué)第六組 遞員總是變成了一個(gè)產(chǎn)銷平衡的運(yùn)輸問題，產(chǎn)量和銷量都有是1。這樣我們就完成了求解工作，在第一次求解得出結(jié)論后，我們畫了一個(gè)路線圖，發(fā)現(xiàn)有幾個(gè)兩點(diǎn)循環(huán)，沒有形成一條大通路，于是我們重新加入了兩點(diǎn)循環(huán)約束，進(jìn)行二次求解；在第二次求解完成后，我們又重新畫了路線圖，結(jié)果發(fā)現(xiàn)有四點(diǎn)循環(huán)于是我們又加入四點(diǎn)循環(huán)約束，進(jìn)行第三次求解，在得到第三次求解的結(jié)果后，我們又畫出了路線圖，這次剛好形成了一個(gè)完整的通路，保證了郵遞員每點(diǎn)都走到且行走的路線最合理。 這次案例收獲最大的部分，莫過于知識(shí)的貫通和靈活運(yùn)用在求解模型選擇上的深刻體現(xiàn)。 企業(yè)管理：徐玉飛 大數(shù)學(xué)家歐拉（1707—1783） 近年來，一種名為“數(shù)獨(dú)”的填數(shù)游戲風(fēng)靡全球。這種游戲規(guī)則極其簡單，玩法卻變化多端，令全世界的男女老少為之癡狂。2004年，英國《泰晤士報(bào)》開風(fēng)氣之先，在報(bào)上公布“數(shù)獨(dú)”題目娛樂大眾。從那時(shí)起，短短幾年光景，如今全世界大約有60個(gè)國家的350多家報(bào)紙幾乎天天刊登“數(shù)獨(dú)”游戲題目。近兩年來，中國各地的日?qǐng)?bào)、晚報(bào)后起直追，劃出專門的版面，天天報(bào)道有關(guān)“數(shù)獨(dú)”競(jìng)賽的消息，刊載“數(shù)獨(dú)”題目。各國各大城市紛紛舉辦“數(shù)獨(dú)”競(jìng)賽。在英國，“數(shù)獨(dú)”競(jìng)賽上了電視臺(tái)的黃金檔節(jié)目。2006年在意大利舉行了第一屆世界“數(shù)獨(dú)”錦標(biāo)賽，獲獎(jiǎng)?wù)弑徽J(rèn)為“智商超群”，在全世界備受矚目。 不少“數(shù)獨(dú)”愛好者都知道，這種游戲的普及多虧了一位名叫戈?duì)柕碌男挛魈m人。此人曾在香港擔(dān)任法官15年，1996年退休以后的一次旅行途經(jīng)日本，在機(jī)場(chǎng)偶然發(fā)現(xiàn)介紹“數(shù)獨(dú)”游戲的小冊(cè)子。戈?duì)柕铝⒖讨?，從此專注于“?shù)獨(dú)”游戲的開發(fā)推廣，他也因此而發(fā)了大財(cái)。但鮮為人知的是，“數(shù)獨(dú)”游戲本身雖非數(shù)學(xué)問題，但是其來源卻是一種被稱之為“拉丁方陣”的古老數(shù)學(xué)問題，最先對(duì)它展開研究的是18世紀(jì)傳奇而又高產(chǎn)的大數(shù)學(xué)家萊昂納德·歐拉。 對(duì)于“拉丁方陣”的研究，在歐拉的學(xué)術(shù)范圍內(nèi)并不占據(jù)主要位置。這個(gè)問題源自于當(dāng)年普魯士國王腓特烈為他的儀仗隊(duì)排陣。國王有一支由36名軍官組成的儀仗隊(duì)，軍官分別來自6支部隊(duì)，每支部隊(duì)中都有上校、中校、少校、上尉、中尉、少尉各一名。國王要求這36名軍官排成6行6列的方陣，每一行，每一列的6名軍官必須來自不同的部隊(duì)，并且軍銜各不相同。問題看似簡單，腓特烈絞盡腦汁卻怎么也排列不出來，于是向著名的數(shù)學(xué)家歐拉求教。歐拉研究之后告訴國王，不必枉費(fèi)心機(jī)，因?yàn)檫@個(gè)問題根本無解。歐拉之后，很多數(shù)學(xué)家開始研究“拉丁方陣”，并留下很多這方面的定理。 少年們正在興致勃勃在玩數(shù)獨(dú)游戲 歐拉是一位300年前的人物，可他始終距離我們不遠(yuǎn)，因?yàn)樗麨槿祟悇?chuàng)造的智慧財(cái)富我們每天都在享用。今天所有的中學(xué)生都知道：在幾何中用a、b、c與A,B,C分別表示一個(gè)三角形的三條邊與三個(gè)內(nèi)角，用π表示圓周率；在三角函數(shù)中使用基本的符號(hào)，例如sin A表示A角的正弦函數(shù)等等；在代數(shù)中用i表示虛數(shù)單位，也即是“-1的平方根”，用f(x)表示函數(shù)；在立體幾何中揭示多面體的歐拉公式，即頂點(diǎn)數(shù)-棱數(shù)+面數(shù)=2。這些統(tǒng)統(tǒng)都是歐拉的創(chuàng)造。以歐拉冠名的定理、常數(shù)和公式隨處可見。此外，歐拉還涉足物理、天文、建筑、音樂乃至哲學(xué)，并且成就輝煌。幾乎在每一個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域里都可以看到歐拉的名字和影子。僅以數(shù)論為例，歐拉是“解析數(shù)論”的奠基人，“哥德巴赫猜想”就是在他與哥德巴赫的通信中產(chǎn)生的。更為重要的是他證明的“歐拉恒等式”，影響巨大。黎曼所提的、至今未能解決的世界難題“黎曼猜想”就源自于“數(shù)論”中的“歐拉恒等式”，它依然挑戰(zhàn)著21世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們。 歐拉成就斐然,著作等身，在人類科學(xué)發(fā)展史上的地位極其特殊，能與他相提并論的科學(xué)家只有阿基米德、牛頓和高斯。這四位先哲不僅創(chuàng)建發(fā)展理論，還應(yīng)用他們的理論，跨越學(xué)科界限，解決了大量天文、物理和力學(xué)等方面的問題。因?yàn)樗麄兊哪抗庾⒁暤牟⒎鞘悄切┚唧w問題，而是整個(gè)宇宙，畢生致力于揭示宇宙的奧秘。 后世的數(shù)學(xué)家們無不推崇歐拉。大數(shù)學(xué)家拉普拉斯謙卑地說：“他是我們所有人的導(dǎo)師”；有“數(shù)學(xué)王子”之稱的天才數(shù)學(xué)家高斯崇敬地說“歐拉的研究工作是無可替代的”。各國人民都以不同的方式紀(jì)念這位數(shù)學(xué)大師。瑞士法郎上就印著歐拉的肖像，目前在流通的貨幣上有其肖像的科學(xué)家只有兩位，另一位是英鎊上的牛頓。半個(gè)世紀(jì)前，民主德國和西德、前蘇聯(lián)和瑞士都分別發(fā)行過紀(jì)念郵票，紀(jì)念歐拉誕辰250周年。 2007年，適逢歐拉300年誕辰，瑞士再次發(fā)行了紀(jì)念郵票。中國與瑞士兩國政府在北京 共同舉辦了隆重的紀(jì)念活動(dòng)。這是十分罕見的，也是歐拉當(dāng)之無愧的。瑞士教育與研究國務(wù)秘書查爾斯·克萊伯致詞說：“若是沒有歐拉的眾多科學(xué)發(fā)現(xiàn)，今天的我們將過著完全不一樣的生活?！?/p> 巴塞爾：數(shù)學(xué)與神學(xué) 困難抉擇 歐拉于1707年4月15日出生在巴塞爾，一個(gè)瑞士西北部與法國和德國毗鄰的小城。美麗的萊茵河蜿蜒穿城而過，瑞士最古老的高等學(xué)府巴塞爾大學(xué)就在這里。 歐拉的父親是位專職的傳道牧師，但是非常喜愛數(shù)學(xué)。在這位鄉(xiāng)村牧師的書房里，除了神學(xué)書籍之外，就是數(shù)學(xué)書籍。他給童年的歐拉講過許多有趣的數(shù)學(xué)故事。歐拉后來滿懷深情地回憶父親對(duì)他數(shù)學(xué)的啟蒙，永遠(yuǎn)記得那些令他聽得入迷的故事。例如，印度國王舍罕打算獎(jiǎng)賞那發(fā)明了象棋的大臣，問大臣想要什么。聰明的大臣請(qǐng)求賞賜一些麥粒，要求的數(shù)量是：在棋盤的第一格里放1粒，第二格里放2粒，第三格里放4粒，第四格里放16?！来祟愅疲哑灞P上的64格都放滿。舍罕國王和眾人都未曾料到，國庫內(nèi)的麥子都搬光了以后，棋盤格子的多一半還空著呢！ 為紀(jì)念歐拉誕辰300周年，2007年瑞士發(fā)行的紀(jì)念郵票 這個(gè)“冪級(jí)數(shù)求和”問題的故事，深深震撼了歐拉的心靈，使他感到了數(shù)字的力量與迷人。在父親的書房里，10歲的歐拉自學(xué)了德國數(shù)學(xué)家魯?shù)婪驅(qū)懙摹洞鷶?shù)學(xué)》，做完書里的全部習(xí)題，毫不吃力。輔導(dǎo)歐拉自學(xué)的是學(xué)識(shí)淵博的數(shù)學(xué)家約翰·伯克哈特，歐拉沒齒不忘的啟蒙恩師。 歐拉漸漸展現(xiàn)出他那過人的智慧，那善于解決實(shí)際問題的超級(jí)才能。他的牧師父親不僅“牧人”也牧羊，羊群是他家的主要生活來源，歐拉則是牧童。當(dāng)家里的羊群不斷增多接近百只的時(shí)候，父親決定擴(kuò)大羊圈。他計(jì)劃建造一個(gè)長方形新羊圈，長40米，寬15米，面積正好600平方米。算一下需要110米的材料做圍欄，但他只有100米材料，于是打算縮小羊圈的面積。這時(shí)候，歐拉卻告訴父親，只要改變羊圈樁腳的位置，造一個(gè)25米見方的正方形羊圈，材料足夠，面積還會(huì)增加到625平方米呢！ 牧師認(rèn)為兒子智力非凡，得讓兒子接受優(yōu)良的教育。他當(dāng)然知道，良師益友對(duì)于一個(gè)人的成長何其重要。牧師年輕時(shí)曾在巴塞爾大學(xué)讀神學(xué)，從而結(jié)識(shí)了那里的數(shù)學(xué)與物理教授雅各布·伯努利和約翰·伯努利，這兩兄弟都是著名的大數(shù)學(xué)家。伯努利家族是個(gè)數(shù)學(xué)世家，三代人出了8個(gè)有名的數(shù)學(xué)家。約翰·伯努利有兩個(gè)兒子，名叫尼古拉和丹尼爾，兄弟二人像他們的父親和伯父一樣，酷愛數(shù)學(xué)，日后也都成了世界著名的大數(shù)學(xué)家。他們把聰明的歐拉當(dāng)成小弟弟，經(jīng)常給他繪聲繪色地講那些有趣的數(shù)學(xué)知識(shí)，使歐拉受益匪淺。他們同歐拉的友誼延續(xù)了一生。 約翰·伯努利教授很快就發(fā)現(xiàn)了歐拉的天分，決定加意培養(yǎng)。他推薦歐拉進(jìn)入了巴塞爾大學(xué)，那年歐拉僅僅13歲。歐拉主修神學(xué)，他花很多時(shí)間學(xué)習(xí)希伯來語和希臘語，為的是能念懂圣經(jīng)《舊約全書》和《新約全書》的原文。 巴塞爾大學(xué)聚集著一大批歐洲著名的學(xué)者，例如大哲學(xué)家尼采當(dāng)年在那里講授“古典文獻(xiàn)學(xué)”，他的代表作《悲劇的誕生》就是在巴塞爾大學(xué)任教期間寫出來的。 在必修的神學(xué)課程之外，少年歐拉也學(xué)習(xí)令他入迷的數(shù)學(xué)，成為約翰·伯努利教授的學(xué)生。他在班上年紀(jì)最小，但最聰明。他勤奮好學(xué)，坐在最前一排，聚精會(huì)神地聽講。約翰·伯努利不愧是大數(shù)學(xué)家，講課中盡情揮灑，旁征博引，給學(xué)生剖析展現(xiàn)數(shù)學(xué)的核心思想，還引導(dǎo)學(xué)生們思考當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)家們所關(guān)注的尚未解決的難題。歐拉在大師的課上不僅學(xué)到豐富的知識(shí)，還逐漸認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)的真諦，對(duì)數(shù)學(xué)的興趣與日俱增。印有歐拉肖像的瑞士法郎 歐拉出眾的才華得到進(jìn)一步的展露，他常常成為班上唯一敢于向伯努利教授提出的難題沖鋒，并且提出解決想法的學(xué)生。歐拉鶴立雞群，這令伯努利教授非常驚喜，開始對(duì)歐拉因材施教，單獨(dú)授課。歐拉在自傳中回憶道：“著名的約翰·伯努利教授給了我許多寶貴的指教，引導(dǎo)我獨(dú)立地閱讀那些艱深的數(shù)學(xué)著作，研究其中的問題。他每星期六下午與我見面，和藹地為我解答問題，嚴(yán)格地規(guī)定我必須讀通與牢記的那些最重要的數(shù)學(xué)，指導(dǎo)我一步一步地走向數(shù)學(xué)的前沿。伯努利教授知道訓(xùn)練數(shù)學(xué)家的最好的方法，我受益終生。”歐拉對(duì)恩師的感激之情躍然紙上。順便說一句，在古代數(shù)學(xué)家中間，我們對(duì)于約翰·伯努利的了解最多，這多虧了歐拉勤于寫作，仔細(xì)地記載了許多有關(guān)他的恩師的故事。 1722年，15歲的歐拉在巴塞爾大學(xué)獲得學(xué)士學(xué)位。次年，歐拉又獲得了碩士學(xué)位。他是這所古老大學(xué)有史以來最年輕的碩士。 歐拉的父親是一位虔誠的牧師，自然希望歐拉子承父業(yè)，把精力用在鉆研神學(xué)上，日后能夠成為職業(yè)傳道人。歐拉篤信基督，愿意“為主做工”，何況這是父親的強(qiáng)烈愿望?？伤瑯隅娗閿?shù)學(xué)，實(shí)在難以割舍。歐拉陷入兩難局面，猶豫彷徨。約翰·伯努利教授也是一位虔誠的基督徒，既理解牧師，更了解歐拉，他知道該怎么辦。這位大學(xué)者為此事親自登門拜望牧師，坦誠地說：“親愛的牧師，請(qǐng)相信我的眼力。您的兒子無疑將是瑞士有史以來最偉大的數(shù)學(xué)家。百里挑 一、才氣橫溢的青年，我見過不少，但無人能和您的兒子相比。我來府上是請(qǐng)求您重新考慮您的決定?！?歐拉的父親雖被伯努利教授打動(dòng)了，但對(duì)兒子是否會(huì)因埋頭數(shù)學(xué)而遠(yuǎn)離基督，不無擔(dān)心。伯努利教授明白牧師的心思，繼續(xù)說：“數(shù)學(xué)不會(huì)動(dòng)搖任何人虔敬的信仰，您的兒子應(yīng)該成為數(shù)學(xué)家中的神學(xué)家!” 伯努利教授慧眼識(shí)珠，堅(jiān)信歐拉日后必定是數(shù)學(xué)天空中一顆最明亮的星辰。16歲的歐拉成為伯努利教授的研究助理，從此與數(shù)學(xué)相伴一生。歐拉的恩師約翰·伯努利教授 大師的關(guān)鍵作用就在于此。盡管歐拉天賦過人，但要是沒有伯努利教授慧眼獨(dú)具的賞識(shí)、循循善誘的教育與苦心孤詣的栽培，也許歐拉會(huì)如一顆珍珠，永遠(yuǎn)淹沒在大海里。 巴塞爾大學(xué)在當(dāng)年是醫(yī)藥學(xué)的研究重鎮(zhèn)，興趣廣泛的歐拉又涉獵生物醫(yī)學(xué)，并且運(yùn)用他的數(shù)學(xué)能力去解決生物醫(yī)學(xué)問題。歐拉建立了一個(gè)耳膜結(jié)構(gòu)與聲波共振的數(shù)學(xué)模型，使得醫(yī)學(xué)研究精確化，從而發(fā)展了生物醫(yī)學(xué)理論，令巴塞爾的醫(yī)學(xué)教授們驚嘆。歐拉因其出色的研究工作，連續(xù)12年獲得巴黎科學(xué)院的頭等大獎(jiǎng)。圣彼得堡：高壓下 自由馳騁 在歐拉的時(shí)代，瑞士和大多數(shù)國家一樣，不重視理論數(shù)學(xué)的研究，也不為數(shù)學(xué)家提供生存與發(fā)展的機(jī)會(huì)。除去為數(shù)不多的大學(xué)教職之外，數(shù)學(xué)家能夠賴以謀生并且施展才華的職位很少。而且18世紀(jì)以前的歐洲的大學(xué)也不是主要的學(xué)術(shù)研究機(jī)構(gòu)。那些有才智、有抱負(fù)的數(shù)學(xué)家只好遠(yuǎn)離家鄉(xiāng)，去法國、德國，甚至俄國尋求發(fā)展的空間。這些國家的君王具有遠(yuǎn)見，在他們的推動(dòng)之下，巴黎科學(xué)院、柏林科學(xué)院和彼得堡科學(xué)院相繼成立。拿破侖的數(shù)學(xué)很不錯(cuò)，自稱是位幾何學(xué)家，并與巴黎的許多數(shù)學(xué)家交上了朋友。數(shù)學(xué)史上最活躍的、值得大書特書的輝煌時(shí)期來臨了。 俄國彼得大帝時(shí)代，國家的安定和君王的雄才大略為科學(xué)的發(fā)展創(chuàng)造了春天。葉卡捷琳娜繼位后的兩年內(nèi)，完成了彼得大帝的遺愿，在首都圣彼得堡成立了國家科學(xué)院，在全國乃至歐洲網(wǎng)羅招聘人才。各國杰出的科學(xué)家們慕名前往。1725年約翰·伯努利教授的兩個(gè)兒子丹尼爾·伯努利與尼古拉·伯努利雙雙應(yīng)聘來到俄國科學(xué)院，擔(dān)任專職的數(shù)學(xué)研究員，隨后向女沙皇推薦了他們的年輕朋友，天才數(shù)學(xué)家歐拉。 受歐拉栽培提攜的大數(shù)學(xué)家拉格朗日 1727年，歐拉躊躇滿志地來到圣彼得堡?？墒?，就在歐拉踏上俄羅斯領(lǐng)土的那一天，5月17日，女皇葉卡捷琳娜一世去世了。繼任沙皇瘋狂地殘殺異己，加之貴族紛紛武裝起來，爭(zhēng)權(quán)奪利，互相討伐，俄國隨之陷入長達(dá)20年內(nèi)戰(zhàn)的黑暗歲月。初到圣彼得堡的幾年里，歐拉經(jīng)?？吹降氖菕煸诮g刑架上的“罪犯”，一隊(duì)隊(duì)流放到西伯利亞去的“叛逆”。殘酷內(nèi)戰(zhàn)中的俄國人，不僅袍澤之間彼此無情地殺戮，更加仇視外國人。外國人紛紛逃離俄國，科學(xué)院風(fēng)雨飄搖。歐拉也曾經(jīng)受到秘密警察的監(jiān)視，處境十分艱難?！帮L(fēng)雨如晦，雞鳴不已?！蹦且院蟮?年時(shí)間里，歐拉埋頭于自己的研究，完全沉浸于數(shù)學(xué)王國，新政權(quán)也不再為難他。尼古拉·貝努利在彼得堡溺水身亡，丹尼爾·貝努利在離開故國8年之后，思鄉(xiāng)情切，決定離開俄國，返回瑞士。1733年，俄國進(jìn)入了安娜·伊萬諾夫娜女皇時(shí)代，瘋狂的屠戮雖未結(jié)束，但局面略微好轉(zhuǎn)。歐拉接替了丹尼爾·伯努利在圣彼得堡科學(xué)院的數(shù)學(xué)教授職位，持續(xù)研究數(shù)學(xué)長達(dá)15年之久。 同年，歐拉與格塞爾小姐結(jié)婚。她的父親是位畫師，是彼得大帝游歷西歐國家時(shí)，把他從瑞士請(qǐng)來的。兩家是同病相憐的異鄉(xiāng)異客，歐拉與格塞爾相濡以沫。若干年后，妻子病逝，歐拉續(xù)娶的則是她的同父異母妹妹。兩個(gè)女人一共生了13個(gè)孩子，歐拉常常一邊抱著嬰兒一邊寫論文，稍長的孩子們則圍繞著父親嬉戲。他是在任何地方、任何條件下都能工作的少數(shù)幾位大科學(xué)家之一。 當(dāng)時(shí)彗星軌道的計(jì)算問題是一個(gè)擺在所有天文學(xué)家面前的棘手的難題。為此，法國在1735年設(shè)立了一項(xiàng)天文學(xué)的大獎(jiǎng)。歐洲數(shù)學(xué)家們估計(jì)，解決這個(gè)問題至少要幾個(gè)月的時(shí)間。沒有人想到，歐拉攻克這個(gè)難題僅僅用了三天三夜。他提出了一套計(jì)算彗星軌道的新方法，其計(jì)算的基本原則沿用至今。但歐拉為此付出了慘痛的代價(jià)，他累得病倒了，并從此失去了右眼的視力，那年他才28歲。 歐拉在這段時(shí)間里幾乎與世隔絕，沒有社交酬酢，沒有會(huì)議交流，唯有閉門鉆研，讀書寫作?！稓W拉全集》中的一大部分就是他在這個(gè)時(shí)期的作品。歐拉能如此罕見地筆耕多產(chǎn)，很大程度上是因?yàn)樗麑?duì)數(shù)學(xué)的極度熱愛與眷戀。他說：“數(shù)學(xué)家與藝術(shù)家是一樣的充滿激情。米開朗基羅以對(duì)上帝無比的眷戀，一筆一筆地在大教堂的天花板上描繪出那美輪美奐的圖畫，我則是一筆一筆地描述數(shù)學(xué)，它是上帝的花園中那些美麗迷人的花卉?！?/p> 歐拉雖然在高壓與困苦中孤軍奮戰(zhàn)，但因其學(xué)富五車、著作等身，他的書籍和論文傳遍歐洲，而被當(dāng)世人稱為“數(shù)學(xué)的頂梁柱”。柏林：冷眼中 一往情深 世界科學(xué)的發(fā)展往往由一個(gè)時(shí)代的最重要的科學(xué)家所引領(lǐng)，他們的名字也因此而成為那個(gè)時(shí)代的里程碑。人們說17世紀(jì)是牛頓的時(shí)代，18世紀(jì)無疑屬于歐拉，那時(shí)歐洲各國數(shù)學(xué)家們談?wù)摰亩际恰皻W拉的數(shù)學(xué)”，他的名聲已經(jīng)傳遍歐洲大陸。在伊萬諾夫娜女皇退位后，普魯士國王腓特烈盛情邀請(qǐng)歐拉到柏林科學(xué)院擔(dān)任數(shù)理學(xué)院院長，宮廷數(shù)學(xué)家，并兼任公主安哈特·蒂蘇的老師。 普魯士王太后對(duì)誠懇老實(shí)、穩(wěn)重謙遜、淳樸溫和的歐拉頗具好感，喜歡和歐拉聊聊天，但卻談不起來，因?yàn)闅W拉非常緊張，只是用“是”與“否”回答王太后。王太后不解，這位舉世聞名的大學(xué)者何以如此謹(jǐn)言慎行？歐拉回答說：“我在那樣一個(gè)國家居住了十幾年，那里的人若是說錯(cuò)了話就會(huì)被吊死?！?/p> 歐拉一生能取得偉大的成就原因在于：驚人的記憶力；聚精會(huì)神，從不受嘈雜和喧鬧的干擾；鎮(zhèn)靜自若，孜孜不倦。 1726年，19歲的歐拉由于撰寫了《論桅桿配置的船舶問題》而榮獲巴黎科學(xué)院的資金。這標(biāo)志著歐拉的羽毛已豐滿，從此可以展翅飛翔。 歐拉的成長與他這段歷史是分不開的。當(dāng)然，歐拉的成才還有另一個(gè)重要的因素，就是他那驚人的記憶力！，他能背誦前一百個(gè)質(zhì)數(shù)的前十次冪，能背誦羅馬詩人維吉爾（Virgil）的史詩Aeneil，能背誦全部的數(shù)學(xué)公式。直至晚年，他還能復(fù)述年輕時(shí)的筆記的全部內(nèi)容。高等數(shù)學(xué)的計(jì)算他可以用心算來完成。 盡管他的天賦很高，但如果沒有約翰的教育，結(jié)果也很難想象。由于約翰·伯努利以其豐富的閱歷和對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展?fàn)顩r的深刻的了解，能給歐拉以重要的指點(diǎn)，使歐拉一開始就學(xué)習(xí)那些雖然難學(xué)卻十分必要的書，少走了不少彎路。這段歷史對(duì)歐拉的影響極大，以至于歐拉成為大科學(xué)家之后仍不忘記育新人，這主要體現(xiàn)在編寫教科書和直接培養(yǎng)有才華的數(shù)學(xué)工作者，其中包括后來成為大數(shù)學(xué)家的拉格朗日（J.L.Lagrange,1736.1.25-1813.4.10）。 歐拉本人雖不是教師，但他對(duì)教學(xué)的影響超過任何人。他身為世界上第一流的學(xué)者、教授，肩負(fù)著解決高深課題的重?fù)?dān)，但卻能無視“名流”的非議，熱心于數(shù)學(xué)的普及工作。他編寫的《無窮小分析引論》、《微分法》和《積分法》產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。有的學(xué)者認(rèn)為，自從1784年以后，初等微積分和高等微積分教科書基本上都抄襲歐拉的書，或者抄襲那些抄襲歐拉的書。歐拉在這方面與其它數(shù)學(xué)家如卡爾·弗里德里?！じ咚梗–.F.Gauss,1777.4.30-1855.2.23）、艾薩克·牛頓（I.Newton,1643.1.4-1727.3.31）等都不同，他們所寫的書一是數(shù)量少，二是艱澀難明，別人很難讀懂。而歐拉的文字既輕松易懂，堪稱這方面的典范。他從來不壓縮字句，總是津津有味地把他那豐富的思想和廣泛的興趣寫得有聲有色。他用德、俄、英文發(fā)表過大量的通俗文章，還編寫過大量中小學(xué)教科書。他編寫的初等代數(shù)和算術(shù)的教科書考慮細(xì)致，敘述有條有理。他用許多新的思想的敘述方法，使得這些書既嚴(yán)密又易于理解。歐拉最先把對(duì)數(shù)定義為乘方的逆運(yùn)算，并且最先發(fā)現(xiàn)了對(duì)數(shù)是無窮多值的。他證明了任一非零實(shí)數(shù)R有無窮多個(gè)對(duì)數(shù)。歐拉使三角學(xué)成為一門系統(tǒng)的科學(xué)，他首先用比值來給出三角函數(shù)的定義，而在他以前是一直以線段的長作為定義的。歐拉的定義使三角學(xué)跳出只研究三角表這個(gè)圈子。歐拉對(duì)整個(gè)三角學(xué)作了分析性的研究。在這以前，每個(gè)公式僅從圖中推出，大部分以敘述表達(dá)。歐拉卻從最初幾個(gè)公式解析地推導(dǎo)出了全部三角公式，還獲得了許多新的公式。歐拉用a、b、c 表示三角形的三條邊，用A、B、C表示第個(gè)邊所對(duì)的角，從而使敘述大大地簡化。歐拉得到的著名的公式,又把三角函數(shù)與指數(shù)函聯(lián)結(jié)起來。 在普及教育和科研中，歐拉意識(shí)到符號(hào)的簡化和規(guī)則化既有有助于學(xué)生的學(xué)習(xí)，又有助于數(shù)學(xué)的發(fā)展，所以歐拉創(chuàng)立了許多新的符號(hào)。如用sin、cos 等表示三角函數(shù)，用 e 表示自然對(duì)數(shù)的底，用f(x)表示函數(shù)，用 ∑表示求和，用 i表示虛數(shù)等。圓周率π雖然不是歐拉首創(chuàng)，但卻是經(jīng)過歐拉的倡導(dǎo)才得以廣泛流行。而且，歐拉還把e、π、i 統(tǒng)一在一個(gè)令人叫絕的關(guān)系式中。發(fā)布者：郭玉珍 發(fā)布時(shí)間： 2012-10-19 15:55:26 1、數(shù)學(xué)成就 眾所周知，歐拉是一位了不起的數(shù)學(xué)家，他的數(shù)學(xué)成就令人矚目，為數(shù)學(xué)的發(fā)展做出了諸多貢獻(xiàn)。而且，歐拉的研究領(lǐng)域一直非常廣泛，在數(shù)學(xué)各個(gè)范疇里，都能看到歐拉的身影，其中主要幾方面就有各種數(shù)學(xué)符號(hào)的引入，分析學(xué)的完善，數(shù)論研究，圖論開拓。下面就這幾個(gè)方面做詳細(xì)介紹。 1.1常用數(shù)學(xué)符號(hào)的引入 在歐拉一生中，他引入了不少數(shù)學(xué)符號(hào)和定義，這些符號(hào)至今都被廣泛運(yùn)用，在各類數(shù)學(xué)書籍中，我們能經(jīng)常遇到。首先，我們不得不提的就是用f(x)來表示函數(shù)，歐拉是第一人，x表示參數(shù)，三角函數(shù)的符號(hào)也是他引進(jìn)的。1727年，歐拉開始用小寫字母e來作為自然對(duì)對(duì)數(shù)的底數(shù)，1775年提出用Σ表示加和，1777年提出用i表示虛數(shù)單位，π表示圓周率，Δy和Δ2y的引入也歸功于歐拉……這些符號(hào)的引入為后來的數(shù)學(xué)運(yùn)算及表示帶來了了很多便捷，這是數(shù)學(xué)史上的一大進(jìn)步。 1.2分析學(xué)的研究 在18世紀(jì)的數(shù)學(xué)研究里，微積分發(fā)展最為迅速，作為歐拉朋友的貝努力一家（約翰·貝努力、丹尼爾·貝努力、尼古拉·貝努力）亦是眾多研究者中的一員，受他們的影響，歐拉從一開始就致力于分析學(xué)的研究。與其他人不同的是，歐拉沒有用通常的方法來證明分析問題，他的獨(dú)具一格讓分析學(xué)前進(jìn)了一大步。歐拉在解決分析問題時(shí)，頻繁地使用了冪級(jí)數(shù)以及用函數(shù)的無限求和（the expression of functions as sums of infinitely many terms.） 歐拉在分析學(xué)上的一個(gè)顯著成就就是他直接證明了e的冪級(jí)數(shù)展開和反正切函數(shù)（原本在1670和1680年分別是牛頓和萊布尼茲在用逆冪級(jí)數(shù)間接證明過）。在1735年，他對(duì)冪級(jí)數(shù)的大膽使用讓他解決了著名的貝努力問題，在1741年，他又再次給出了更詳盡的解決方法解答。[9] 歐拉將指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)引入到分析學(xué)的證明中，并且找出很多方法用冪級(jí)數(shù)來表示對(duì)數(shù)函數(shù)。他成功定義了負(fù)數(shù)的對(duì)數(shù)和復(fù)數(shù)，拓展了對(duì)數(shù)函數(shù)的應(yīng)用[10]他給出了復(fù)數(shù)指數(shù)函數(shù)的定義，并且找出它與三角函數(shù)之間的關(guān)系：對(duì)任意實(shí)數(shù)x，等式 成立。 當(dāng)時(shí)，得到是歐拉的公式的特殊情況，就是大家俗稱的歐拉恒等式。歐拉恒等式被理查德·費(fèi)曼（Richard Feynman）稱為“數(shù)學(xué)里最了不起的公式”,因?yàn)樗皇沁\(yùn)用了加法，乘法，取冪和常見的0,1，e,i建立了等式。[11]在1988年，它又當(dāng)選為“數(shù)學(xué)史上最美的公式”。[12]在民意測(cè)評(píng)中，數(shù)學(xué)史上五個(gè)最頂級(jí)的工商公式，其中三個(gè)都源自歐拉。[12] 棣莫弗公式就是由歐拉公式直接推導(dǎo)而來。 在另一方面，歐拉在超越函數(shù)的高級(jí)理論中也有獨(dú)到見解，他在其中引入了γ函數(shù)并且提出一種解決四次方程的新方法。在計(jì)算復(fù)雜的極限上，他找到了一種新的方法，為現(xiàn)代復(fù)變函數(shù)論奠定了基礎(chǔ)，他發(fā)明了變分法，其中就包括著名的歐拉-拉格朗日方程。 歐拉倡導(dǎo)用解析法解決數(shù)論問題，在處理的時(shí)候，他聯(lián)合了兩個(gè)完全不同的數(shù)學(xué)分支，推出了一個(gè)新的領(lǐng)域——解析數(shù)論。在開拓這個(gè)新領(lǐng)域時(shí)，歐拉提出了超幾何級(jí)數(shù)定理和q-級(jí)數(shù)、雙區(qū)三角函數(shù)以及連續(xù)函數(shù)的解析理論。例如，他利用調(diào)和級(jí)數(shù)證明了素?cái)?shù)的無窮性，用解析方法得到了素?cái)?shù)的分散情況。歐拉的這些工作都為后來的素?cái)?shù)定理發(fā)展提供了依據(jù)。 1.3數(shù)論研究 歐拉對(duì)數(shù)論的興趣可以追溯到他圣彼得堡科學(xué)院摯友——哥德巴赫（Christian Goldbach克里斯汀·哥德巴赫）——對(duì)他的影響。歐拉早期的數(shù)論工作是建立在費(fèi)爾馬（Pierre de Fermat）工作的基礎(chǔ)上。歐拉將費(fèi)爾馬的一些觀點(diǎn)加以推廣，同時(shí)也反駁他的一些猜想。 歐拉證明了牛頓恒等式，費(fèi)馬小定理，費(fèi)馬平方和定理，在四方和定理的證明中，歐拉做出了顯著貢獻(xiàn)。在1729年時(shí)，哥德巴赫曾和他討論過費(fèi)爾馬猜想：當(dāng)n=2k（k是自然數(shù)），則2n+1一定是素?cái)?shù)。歐拉運(yùn)算發(fā)現(xiàn)，在n=1,2,4,8,16時(shí)，猜想是正確的，然而，在1732年，歐拉計(jì)算得到232+1=4294967297可以被641整除，因此不是素?cái)?shù)。歐拉對(duì)費(fèi)爾馬其它一些還未證明的猜想也進(jìn)行了深入研究，并在研究的基礎(chǔ)上向世人推出了歐拉?函數(shù)： φ（n）=n(1-p1)(1-p2)……(1-pk),其中，p1，p2……pk(1≤k≤n)是n的質(zhì)因子。他在1749年成功證明了費(fèi)爾馬的另一個(gè)猜想：a和b互素，若m是a2+b2的因子，則不存在自然數(shù)n,使得m=4n-1。 在素?cái)?shù)定理以及二次互反性的規(guī)律上，歐拉也做了不小貢獻(xiàn)，這兩個(gè)定理后來成為數(shù)論基本定理，為后來高斯（Carl Friedrich Gauss卡爾·弗雷德里?！じ咚梗┑难芯康於藞?jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。[2] 在1772年，歐拉證明了231-1=2,147,438,647，俗稱梅森素?cái)?shù)，到1867年為止，它一直是人們所知道的最大的素?cái)?shù)。[11] 1.4圖論研究 歐拉在圖論研究上也有不小的成績，其中最著名的要數(shù)哥尼斯堡七橋問題。 18世紀(jì)初普魯士的哥尼斯堡，普雷格爾河流經(jīng)此鎮(zhèn)，奈發(fā)夫島位于河中，共有7座橋橫跨河上，把全鎮(zhèn)連接起來。當(dāng)?shù)鼐用駸嶂杂谝粋€(gè)難題：是否存在一條路線，可不重復(fù)地走遍七座橋——這就是哥尼斯堡七橋問題。這個(gè)問題一直困擾著大家，于是一些學(xué)生寫信向歐拉求助。而歐拉，也不負(fù)重望的給出了解答，并發(fā)表了論文。歐拉用點(diǎn)表示島和陸地，兩點(diǎn)之間的連線表示連接它們的橋，將河流、小島和橋簡化為一個(gè)網(wǎng)絡(luò)，把七 橋問題化成判斷連通網(wǎng)絡(luò)能否一筆畫的問題。他不僅解決了此問題，且給出了連通網(wǎng)絡(luò)可一筆畫的充要條件是它們是連通的，且奇頂點(diǎn)(通過此點(diǎn)弧的條數(shù)是奇數(shù))的個(gè)數(shù)為0或2.也就是，若想能一筆畫完，幾點(diǎn)個(gè)數(shù)必須是0或2.當(dāng)然他也解說了，從始發(fā)點(diǎn)出發(fā)經(jīng)過七橋分別一次并回到初始位置，這是不可能實(shí)現(xiàn)的的。 歐拉的這個(gè)理論被認(rèn)為是圖論的第一條定理，尤其在作為平面圖形理論中有重要價(jià)值。[13] 除此之外，歐拉還得到了凸多面體的點(diǎn)、線、面公式：V-E+F=2。 [15] [14] 在這個(gè)公式里的常量被稱為圖形中歐拉示性數(shù)，并且與數(shù)學(xué)對(duì)象的類別有很大關(guān)系。這個(gè)公式的出現(xiàn)和概括，柯西[16]和L.赫里爾（L'Huillier） [17] 稱是拓?fù)鋵W(xué)的起源。 1.5應(yīng)用數(shù)學(xué)的研究 在數(shù)學(xué)研究上，歐拉不僅注重理論研究，同時(shí)也希望能實(shí)際問題結(jié)合研究，在這一方面，歐拉的主要成就在于他用了解析的方法解決實(shí)際問題并且論述了貝努力常數(shù)、傅里葉級(jí)數(shù)、維恩圖解、e和π、連續(xù)函數(shù)和積分在實(shí)際問題中的應(yīng)用。他將萊布尼茲的微分學(xué)理論和牛頓的流動(dòng)理論加以結(jié)合，創(chuàng)造了一些新工具，它們使得用微積分解決物理問題更加簡便容易。在數(shù)值逼近積分研究領(lǐng)域，他又再次跨越了一大步，尤其是歐拉近似法的引入，更是令人矚目。值得一提的是，這些近似法是歐拉法，也是麥克勞林求和公式（歐拉和麥克勞林幾乎同時(shí)發(fā)現(xiàn)）。而且他利用微分方程，又將麥克勞林公式簡化了。 歐拉的另一項(xiàng)重要貢獻(xiàn)就是數(shù)學(xué)在音樂上的應(yīng)用。1739年，歐拉發(fā)表《音樂新理論嘗試》一文，關(guān)于音樂學(xué)，歐拉也發(fā)表了一些理論，尤其是他1739年發(fā)表的《音樂新理論的嘗試》，在此書中，他試圖將數(shù)學(xué)與音樂結(jié)合：...part of mathematics and deduce in an orderly manner, from correct principles, everything which can make a fitting together and mingling of tones pleasing.（……按照一些恰當(dāng)?shù)挠行虻臄?shù)學(xué)計(jì)算和推導(dǎo)原則，任何事物都能組合成令人歡愉的音樂。） 然而，他的工作并沒有受到矚目，甚至被評(píng)到：...for musicians too advanced in its mathematics and for mathematicians too musical.（對(duì)音樂家而言，這太過深?yuàn)W了，而對(duì)數(shù)學(xué)二家而言，又太過音樂化。）[18] 物理學(xué)和天文成就 人們?cè)谡劶皻W拉時(shí)，都會(huì)提到他是一位數(shù)學(xué)家，但不要忘記，歐拉也是一位杰出的物理學(xué)家。在數(shù)學(xué)領(lǐng)域上，歐拉的成就讓世人矚目和驚嘆，而在物理學(xué)，尤其是力學(xué)上，他也做出了重要的貢獻(xiàn)，在天體研究上，歐拉也功不可沒。那么在物理學(xué)和天文學(xué)上具體都做了什么，我們一起來看： 歐拉為歐拉-貝努力射線理論的發(fā)展做出了不小的貢獻(xiàn)，這一理論的成功建立為工程學(xué)的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。除了在經(jīng)典力學(xué)中成功引入了解析方法外，歐拉還將這些方法用來接解決天體問題。在天文學(xué)上，歐拉做了很多工作：...determination of the orbits of comets and planets by a few observations, methods of calculation of the parallax of the sun, the theory of refraction, consideration of the physical nature of comets,....His most outstanding works, for which he won many prizes from the Paris Académie des Sciences, are concerned with celestial mechanics, which especially attracted scientists at that time.（……彗星和行星軌道的測(cè)定，太陽視差估計(jì)表，折射理論，彗星物理性質(zhì)的考究。在那個(gè)時(shí)期，天體力學(xué)的研究吸引了許多科學(xué)家，歐拉在這方面的研究最是杰出，因此多次獲[4]得巴黎科學(xué)院的大獎(jiǎng)。） 歐拉的月球運(yùn)動(dòng)理論被托拜厄斯·邁耶（Tobias Mayer）用于構(gòu)造了月球數(shù)據(jù)表，他的數(shù)據(jù)表解決了經(jīng)線測(cè)定這一難題，在1765年，柏林政府獎(jiǎng)勵(lì)了他3000法郎，歐拉也因?yàn)樗睦碚撠暙I(xiàn)而得到300法郎的獎(jiǎng)勵(lì)。 另外，歐拉，在光學(xué)研究上也有重大貢獻(xiàn)。他反對(duì)牛頓的光的微粒說，雖然那個(gè)時(shí)候牛頓的理論得到普遍的附和。在18世紀(jì)40年代，歐拉發(fā)表了多篇論文，為惠更斯（Christian Huygens）后來提出的光的波動(dòng)理論奠定了理論基礎(chǔ)。在光的量子理論出現(xiàn)之前，惠更斯的理論一直都占據(jù)著主導(dǎo)地位。對(duì)歐拉的這一成就和行為，我們不得不感慨，也不得不尊敬佩服。 3邏輯學(xué)成就 和其他領(lǐng)域相比，歐拉在邏輯學(xué)上只能算是小有成就，當(dāng)然，他小有的成就對(duì)他人而言都是令人羨慕的。1768年的時(shí)候，歐拉將三段論推理限制在封閉曲線里。這些圖解都成了后來著名的歐拉圖。[19] 數(shù)學(xué)故事演講 回望歐拉 學(xué)習(xí)歐拉 尊敬的各位老師,親愛的同學(xué)們: 大家好,今天我演講的題目是《回望歐拉 學(xué)習(xí)歐拉》。 在瑞士的錢幣和許多國家的郵票上都有這位偉大科學(xué)家的身影，請(qǐng)大家猜猜他是誰？他就是被數(shù)學(xué)史學(xué)者稱為歷史上最偉大的兩位數(shù)學(xué)家之一——?dú)W拉，1707年4月出生于瑞士，他在數(shù)論、幾何學(xué)、天文數(shù)學(xué)、微積分等好幾個(gè)數(shù)學(xué)的分支領(lǐng)域中都取得了出色的成就。 不過，這個(gè)大數(shù)學(xué)家在孩提時(shí)代卻一點(diǎn)也不討老師的喜歡，他是一個(gè)被學(xué)校開除了的小學(xué)生。 小歐拉在一個(gè)教會(huì)學(xué)校里讀書。有一次，他向老師提問，天上有多少顆星星。其實(shí)，天上的星星數(shù)不清，是無限的。這個(gè)老師不懂裝懂，回答歐拉說：“天上有多少顆星星，這無關(guān)緊要，只要知道天上的星星是上帝鑲嵌上去的就夠了?！睔W拉感到很奇怪：“天那么大，那么高，地上沒有扶梯，上帝是怎么把星星一顆一顆鑲嵌到天幕上的呢？上帝親自把它們一顆一顆地放在天幕，他為什么忘記了星星的數(shù)目呢？上帝會(huì)不會(huì)太粗心了呢？”老師又一次被問住了，漲紅了臉，不知如何回答才好。 在歐拉的年代，對(duì)上帝是絕對(duì)不能懷疑的，人們只能做思想的奴隸，小歐拉沒有與教會(huì)和上帝“保持一致”，學(xué)校便開除了他。但是，在小歐拉心中，上帝是個(gè)窩囊廢，他怎么連天上的星星也記不??？他又想，上帝是個(gè)獨(dú)裁者，連提出問題都成了罪。他又想，上帝也許是個(gè)別人編造出來的家伙，根本就不存在。 歐拉回家后無事，他就幫助爸爸放羊，他一面放羊，一面讀書。他讀的書中，有不少數(shù)學(xué)書。爸爸的羊群漸漸增多了，達(dá)到了100只。原來的羊圈有點(diǎn)小了，爸爸決定建造一個(gè)新的羊圈。他量出了一塊長方形的土地，長40米，寬15米，他一算，面積正好是600平方米，平均每一頭羊占地6平方米。正打算動(dòng)工的時(shí)候，他發(fā)現(xiàn)只有100米的籬笆，還少10米。父親感到很為難，要是縮小面積，每頭羊的面積就會(huì)小于6平方米。小歐拉卻向父親說，不用縮小羊圈，他有辦法。父親不相信小歐拉會(huì)有辦法，聽了沒有理他。小歐拉急了，大聲說，只要稍稍移動(dòng)一下羊圈的樁子就行了。 父親聽了直搖頭，心想：“世界上哪有這樣便宜的事情？”但是，小歐拉卻堅(jiān)持說，他一定能兩全齊美。小歐拉仰頭想了一會(huì)，又在地上用樹枝畫了一些什么，然后對(duì)父親說： “爸爸，您可以把長寬都定為25米，那羊圈面積成了625平方米，比您設(shè)計(jì)的還大了25平方米，但籬笆卻只要100尺，您就不用愁了！” 父親心里感到非常高興，孩子比自己聰明，真會(huì)動(dòng)腦筋，將來一定大有出息。讓這么聰明的孩子放羊?qū)嵲谑翘上Я?。后來，他想辦法讓小歐拉認(rèn)識(shí)了一個(gè)大數(shù)學(xué)家伯努利。在他的推薦下13歲的歐拉靠自己的努力考入了巴塞爾大學(xué)。這在當(dāng)時(shí)是個(gè)奇跡，整個(gè)瑞士大學(xué)校園里年齡最小的學(xué)生，曾轟動(dòng)了整個(gè)數(shù)學(xué)界。 18世紀(jì)，在柯尼斯堡有條河，上面有兩個(gè)小島，從河的兩岸分別有三座橋和它們相連；另外又有一座橋把兩個(gè)小島連接起來。有位愛思考的居民提出來一個(gè)問題，一個(gè)散步的人能不能一次走遍七座橋，而且每座橋只能走一次?這個(gè)問題誰也回答不了。有人說可以，可是走來走去，始終沒有走通；有人說不行，可惜又說不出令人信服的理由。有位小學(xué)老師出來解圍：為什么不寫封信去請(qǐng)教鼎鼎大名的歐拉呢? 歐拉接到問題，先把柯尼斯堡七橋畫成一 個(gè)線條圖，在他的圖形里，小島和河岸變成了點(diǎn)，橋成了連接這些點(diǎn)的線。這樣，問題就成為：從圖上某一點(diǎn)開始，中間任何一條線不得畫兩遍，鉛筆不準(zhǔn)離開紙，能不能把這張圖一筆畫出來?經(jīng)過一番思索，歐拉終于找到一個(gè)徹底而漂亮的答案。七橋問題的圓滿解決使柯尼斯堡人心滿意足。 在兒童游樂場(chǎng)里，大家一定見過滑梯吧。但有誰想過，從頂部A到著地處B，滑梯做成什么樣才最省時(shí)間呢?有人說，這很簡單，把滑梯做成直的就行啦，因?yàn)閮牲c(diǎn)之間線段最短?？墒牵嚯x最短并不等于時(shí)間最省，因?yàn)樗€沒有考慮到速度大小呢。直的滑梯下滑的速度是增加得比較慢的。那么，滑梯該做成什么形狀好呢?早在1696年6月號(hào)的《教師學(xué)報(bào)》上，歐拉的老師約翰·伯努利就把它提出來向其他數(shù)學(xué)家挑戰(zhàn)。 第二年就由牛頓、萊布尼茲、雅各布·伯努利和約翰·伯努利本人先后給出了解答?？上麄兊墓ぷ髦坏竭@里為止。歐拉在1728年開始涉足這個(gè)困難的領(lǐng)域。他開始研究連接曲面上的兩點(diǎn)，什么樣的曲線距離最短?歐拉很快找到了答案。不久，他把最速降線問題加以推廣，并且考慮了摩擦和空氣的阻力。接著，他又致力于尋找解決這類問題的更一般的方法。經(jīng)過前后16年的不懈努力，終于獲得成功。于是他被公認(rèn)為當(dāng)時(shí)最偉大的數(shù)學(xué)家。他倡導(dǎo)的變分法也作為一個(gè)新的數(shù)學(xué)分支誕生了。 他還在物理、天文、建筑以至音樂、哲學(xué)方面取得了輝煌的成就。1735年，歐拉解決了一個(gè)天文學(xué)的難題（計(jì)算彗星軌道），這個(gè)問題經(jīng)幾個(gè)著名數(shù)學(xué)家?guī)讉€(gè)月的努力才得到解決，而歐拉卻用自己發(fā)明的方法，三天便完成了。 歐拉還創(chuàng)設(shè)了許多數(shù)學(xué)符號(hào)，例如π（1736年），i（1777年），e（1748年），sin和cos（1748年），tg（1753年），△x（1755年），∑（1755年），f(x)（1734年），歐拉公式等。 歐拉在他的一生中共著有886種之多，屬于他生前發(fā)表的有530本書和論文，其中不少是教科書。 過度的工作使他得了眼病，在他28歲時(shí)，不幸右眼失明了，1741擔(dān)任科學(xué)院物理數(shù)學(xué)所所長，不料沒有多久，左眼視力衰退，最后完全失明。不幸的事情接踵而來，一場(chǎng)大火災(zāi)把他的書房和大量研究成果全部化為了灰燼。他發(fā)誓要把損失奪回來．歐拉完全失明以后，仍然以驚人的毅力與黑暗搏斗，憑著記憶和心算繼續(xù)進(jìn)行研究，他還口述了幾本書和400篇左右的論文．還解決了使牛頓頭痛的月離問題和很多復(fù)雜的分析問題．1783年9月18日，在不久前才剛計(jì)算完氣球上升定律的歐拉，在興奮中突然停止了呼吸，享年76歲。 正是由于少年時(shí)期的歐拉愛學(xué)習(xí)，愛思考，不懼畏權(quán)威，才為他走向成功的道路打下了良好的基礎(chǔ)。 也正是由于他的嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度和鍥而不舍的探索精神，才為數(shù)學(xué)打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。 也正是由于從細(xì)微的事情中發(fā)掘數(shù)學(xué)的道理、發(fā)現(xiàn)問題的存在，從而產(chǎn)生莫大的興趣與執(zhí)著的研究精神。 也正是由于他頑強(qiáng)的毅力，孜孜不倦的奮斗精神，引領(lǐng)數(shù)學(xué)科學(xué)向前發(fā)展，他永遠(yuǎn)是我們學(xué)習(xí)的榜樣。 讀讀歐拉，他永遠(yuǎn)是我們可敬的老師。 歐拉公式 ei??cos??isin?的證明方法和應(yīng)用 i?摘要：在復(fù)數(shù)域內(nèi)用幾種不同的方法證明歐拉公式e?cos??isin?，舉例說明歐拉公式在數(shù)學(xué)中的幾類應(yīng)用，通過總結(jié)多種方法看問題的思想來解決問題，通過幾種不同種類的問題的解決方案讓讀者更加明白歐拉公式在學(xué)習(xí)中的多方面思想和數(shù)學(xué)中的重要性。關(guān)鍵詞：歐拉公式、微分中值定理、證明、應(yīng)用、三角函數(shù) 1.歐拉公式意義簡說 在我們所學(xué)過的指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)在實(shí)數(shù)域中幾乎沒有什么聯(lián)系，在復(fù)數(shù)域中卻可以相互轉(zhuǎn)換，被e?cos??isin?這簡單的關(guān)系聯(lián)系在一起，這個(gè)一直盤踞在許多研究家心里的歐拉公式，有著很多很多的疑問，特別是當(dāng)???時(shí)，有e??1，即e?1?0，這個(gè)等式將數(shù)學(xué)中的最富有特色的五個(gè)數(shù)0、1、i、e、?聯(lián)系在一起，0，1是實(shí)數(shù)中特殊的數(shù)字，i 是一個(gè)很重要的虛數(shù)單位，e是無理數(shù)它取自瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（Euler,1707-1783）的英文開頭[5]。它們?cè)跀?shù)學(xué)中各自都有發(fā)展的方面。因?是圓周率在公園前就被定義為“周長與直徑的比” 此e+1=0公式充分揭示了數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性、簡潔性和奇異性。了解這些內(nèi)容對(duì)于學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)，對(duì)于我們?cè)谘芯枯^深的數(shù)學(xué)問題上有很大幫助。 i?i?i?i? 2.歐拉公式的證明簡述 在這里，我把幾種證明歐拉公式的方法總結(jié)在一起，對(duì)學(xué)者學(xué)習(xí)歐拉公式提供多方面的題材，并作出知識(shí)的一種綜合理解。 2.1冪級(jí)數(shù)展開式的證明法 引用三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)“冪級(jí)數(shù)展開式”證明歐拉公式e?cos??isin?，2.2復(fù)指數(shù)定義法 用復(fù)指數(shù)定義e?e 2.3類比法求導(dǎo)法 通過實(shí)函數(shù)的性質(zhì)來對(duì)復(fù)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算(附件①)，通過構(gòu)造f(x)? ixzx?iyi??e(cosy?isiny)，證明歐拉公e?cos??isin? xi?ixcosx?isinx，f?(x)?0用lagrange微分中值定理推論[3]，從而證明f(x)?1,使得e?cosx?isinx 2.4分離變量積分法 假設(shè)z?cosx?isinx，求導(dǎo)得dzdz?iz，通過分離變量得?idx,，然后兩邊取積分得dxz Lnz?ix，所以得e?cosx?isinx.3.歐拉公式的證明方法 3.1冪級(jí)數(shù)展開式的證明方法： 3.1.1三角函數(shù)的“麥克勞林級(jí)數(shù)”[1] ： ix sin(z)?z??3!355! 4???(?1)n?12n2n?1(zn?1)!n??, cos(z)?1?22!2?4!???(?1)(2n)!??, 3.1.2指數(shù)函數(shù)的“麥克勞林級(jí)數(shù)”：[1] e ez?1?z?2!???nn!??, 當(dāng)用iz代替 z時(shí)，那么 iz(iz)?1?iz?2!2(iz)???n!n?? ?(1?2 2!?4 4!??)?i(z??3!355!??) ?cosz?isinz 當(dāng)z??時(shí)，得到e?cos??isin?。 3.2復(fù)指數(shù)定義法： 對(duì)于任何復(fù)數(shù)z?x?iy(x,y?R)，有 i?i?（證完）ez?ex?iy?e(cosy?isiny)[2]，當(dāng)x=0時(shí)，另xy??,有e?cos??isin?（證完） 3.3類比求導(dǎo)法： 3.3.1構(gòu)造函數(shù)f(x)? 3.3.2計(jì)算導(dǎo)數(shù) f?(x)? ?i(cosx?isinx)?(?sinx?icosx)(cosx?isinx)2ixixixcosx?isinx x?R,i為虛數(shù) ix(icosx?sinx?sinx?icosx) cos2x?isin2x 3.3.3lagrange微分中值定理的推論 ?0 若函數(shù)f(x)在區(qū)間I上可導(dǎo)，且f(x)的導(dǎo)數(shù)恒等于0，x屬于I，則f(x)為I上的一個(gè)常量函數(shù)[3]。根據(jù)這推論，所以有f(x)?c,c為常量，又因?yàn)閒(0)?1, 所以f(x)?1,有 eix?cosx?isinx.（附件②）（證完） 3.4分離變量積分法 dz?icosx?sinx?i(cosx?isinx)?iz，分離變量得： dx dz1?idx, 所以兩邊同時(shí)積分得??i?dx，即Lnz?ix?c，當(dāng)取x=0時(shí)，zz假設(shè)z?cosx?isinx, 難么 z?co0s?isin0?1，Lz?l1?i0?c?0nn，所以c?0,所以Lz?ixn，Lnz?z?cosx?isinx?ix，所以ix?cosx?isinx。（證完）eee 4.歐拉公式在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用 在對(duì)一些較難以證明和計(jì)算的題上，直接使用歐拉公式很容易就證明了，在高等數(shù)學(xué)中很廣泛的應(yīng)用，比如棣莫弗公式的證明，復(fù)變函數(shù)的求解等。 4.1公式證明和應(yīng)用 4.1.1 證明棣莫弗（de Moivre）公式[4]cosnx?isinnx?(cosx?isin 證明：由歐拉公式e?cosx?isinx可知：ixx)n； ??ix?(cosx?isinenx)即n einx?cosnx?isinnx，所以有cosnx?isinnx?(cosx?isinx)n 4.2.2用歐拉公式和棣弗公式證明[4]：e e zxcosacos(xsina)??cosna;n?0n!?nxcosasin(xsina)??sinnan?on!?n； 證明：令z?cosa?isina,由歐拉公式可知 e?e xz(cosa?isina)?ecosaeisina?ecosa(cos(sina)?isin(sina))xcosa即e?e ?ex(cosa?isina)?excosaeixsina?e(cos(xsina)?isin(xsina))xcosacos(xsina)?e nnxcosaisin(xsina))又由于： exz??n?0?(xz)n!(cosna?isinna)??? n?0 ?n!cosnansinnan?i?n!xn!xn?0n?0 比較實(shí)部和虛部的到 ??? e excosacos(xsina)??cosna;n?0n!??nn sin(xsina)??sinna n?on! 4.2定義證明和應(yīng)用 4.2.1證明復(fù)數(shù)z 的正弦函數(shù)和余弦函數(shù) xcosa sinz?iz?2i?iz,cosz?ixiz?2i?iz.[2] 證明：由歐拉公式eix??e?cosx?isinx?cosx?isinx可得，?，?ix??e?cosx?isinx ix?ix???cosx??2從而得到?.對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x成立，這兩個(gè)公式中的x代以任意復(fù)數(shù)z后，ix?ix??sinx??2i? 由e?ezx?iy?e(cosy?isiny)，右端有意義，而左端尚無意義，因而有： ?izx sinz?iz?2i,cosz?iz?2i?iz.4.2.2求sin(1?2i)的值[2]： 解： sin(1?2i)? ? ?i(1?2i)?2i?i(1?2i)?2(cos1?isin1)?(cos1?isin1)2i ?22 2?22 ?cosh2sin1?isinh2cos1 此式為復(fù)數(shù)解正弦函數(shù)（附件③）sin1?i2??2cos1 5.綜合總結(jié) ix對(duì)于歐拉公式e?cosx?isinx，在這里用了四種不同的方法證明其的成立，也舉了幾個(gè) 列子說明了歐拉公式在高等數(shù)學(xué)中的重要性，在這里，主要是提供給學(xué)生一種多方面學(xué)習(xí)和看問題的思想，比如在證明歐拉公式的方法中，都還有許多不同的證明方法，我所列舉的這幾種方法中，類比求導(dǎo)法是一種很好的證明方法，其的構(gòu)造思想很巧妙，對(duì)于冪級(jí)數(shù)的展開證明方法，較容易弄懂，并且在實(shí)際的題目中，冪級(jí)數(shù)的展開用得比較多。我在下面所舉的兩類應(yīng)用中，都是用到歐拉公式，且歐拉定理在這當(dāng)中就像橋梁一樣，如果不用到歐拉公式，這類問題也能求，但不是那么容易了。通過對(duì)歐拉公式的證明和應(yīng)用的了解，我們對(duì)于e??1i? 也就不那么陌生了。 6.考文獻(xiàn) [1] 數(shù)學(xué)分析 下冊(cè) 第三版 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 編 第十四章 冪級(jí)數(shù) 2001 [2] 復(fù)變函數(shù)論 第三版 鐘玉泉 編 第二章 解析函數(shù) 2004 [3] 數(shù)學(xué)分析 上冊(cè) 第三版 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 編 第六章微分中值定理及應(yīng)用 2001 [4] 數(shù)學(xué)分析 下冊(cè) 華東師大第三版 同步輔導(dǎo)及習(xí)題全解 2006 [5] 生活與科學(xué)文庫 e的奧秘 1991 7.附件 7.1附件① 因?yàn)閷?duì)于實(shí)函數(shù)?ae，dxaxaxd(cosx?asinx)??sinx?acosxdxa為常數(shù)，所以對(duì)于復(fù)函數(shù)有?ie,dxixixd(cosx?isinx)?i(cosx?isinx)dx 7.2附件②對(duì)于構(gòu)造的函數(shù)f(x)?ix cosx?isinx是有意義的，因?yàn)?/p> |cosx?isinx|? 有意義的。因?yàn)閒(x)? ixcos2x?sinx?1所以cosx?isinx?0。因此，函數(shù)f(x)?2ixcosx?isinx是ixcosx?isinx所以 ix f?(x)? ?i(cosx?isinx)?(?sinx?icosx)(cosx?isinx)2ix(icosx?sinx?sinx?icosx) cos2x?isin2x?0 又根據(jù)lagrange中值定理可得 f(x)?cc 為實(shí)常數(shù)，又因?yàn)閒(0)?i0 cos0?isin0=1則有 f(x)?1，所以有f(x)?ix cosx?isinx?1，所以e?cosx?isinx 7.3附件③復(fù)函中規(guī)定：sinhz? zix?2?z,coshz?z?2?z第二篇：中國郵遞員問題
第三篇：大數(shù)學(xué)家歐拉
第四篇：歐拉的故事
第五篇：歐拉公式的證明方法和應(yīng)用
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