第一篇：高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第三講—數(shù)形結(jié)合

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高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第三講：數(shù)形結(jié)合

一、專題概述---什么是數(shù)形結(jié)合的思想

數(shù)形結(jié)合的思想，就是把問題的數(shù)量關(guān)系和空間形式結(jié)合起來(lái)加以考察的思想．

恩格斯說(shuō)：“純數(shù)學(xué)的對(duì)象是現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系．”“數(shù)”和“形”是數(shù)學(xué)中兩個(gè)最基本的概念，它們既是對(duì)立的，又是統(tǒng)一的，每一個(gè)幾何圖形中都蘊(yùn)含著與它們的形狀、大小、位置密切相關(guān)的數(shù)量關(guān)系；反之，數(shù)量關(guān)系又常?？梢酝ㄟ^幾何圖形做出直觀地反映和描述，數(shù)形結(jié)合的實(shí)質(zhì)就是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形結(jié)合起來(lái)，使抽象思維和形象思維結(jié)合起來(lái)，在解決代數(shù)問題時(shí)，想到它的圖形，從而啟發(fā)思維，找到解題之路；或者在研究圖形時(shí)，利用代數(shù)的性質(zhì)，解決幾何的問題．實(shí)現(xiàn)抽象概念與具體形象的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，化難為易，化抽象為直觀．

數(shù)形結(jié)合包括：函數(shù)與圖象、方程與曲線、復(fù)數(shù)與幾何的結(jié)合；幾何語(yǔ)言敘述與幾何圖形的結(jié)合等．

二、例題分析

1．善于觀察圖形，以揭示圖形中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系．

觀察是人們認(rèn)識(shí)客觀事物的開始，直觀是圖形的基本特征，觀察圖形的形狀、大小和相互位置關(guān)系，并在此基礎(chǔ)上揭示圖形中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，是認(rèn)識(shí)、掌握數(shù)形結(jié)合的重要進(jìn)程．

例1．函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸方程是：

（A）（B）（C）（D）

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分析：通過畫出函數(shù)的圖象，然后分別畫出上述四條直線，逐一觀察，可以找出正確的答案，如果對(duì)函數(shù)的圖象做深入的觀察，就可知，凡直線x=a通過這一曲線的一個(gè)最高點(diǎn)或一個(gè)最低點(diǎn)，必為曲線的一條對(duì)稱軸，因此，解這個(gè)問題可以分別將代入函數(shù)的解析式，算得對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別是：其中只有–1是這一函數(shù)的最小值，由此可知，應(yīng)選（A）2．正確繪制圖形，以反映圖形中相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系．，觀察圖形，既要定性也要定量，借助圖形來(lái)完成某些題時(shí)，僅畫圖示“意”是不夠的，還必須反映出圖形中的數(shù)量關(guān)系．

例2．問：圓個(gè)？

分析 由平面幾何知：到定直線L：的距離為的點(diǎn)的軌跡是平行L的兩

上到直線的距離為的點(diǎn)共有幾條直線．因此問題就轉(zhuǎn)化為判定這兩條直線與已知圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．

將圓方程變形為：心到定直線L的距離為，知其圓心是C(-1,-2)，半徑，由此判定平行于直線L且距離為，而圓的兩條直線中，一條通過圓心C，另一條與圓C相切，所以這兩條直線與圓C共有3個(gè)公共點(diǎn)（如圖1）

啟示：正確繪制圖形，一定要注意把圖形與計(jì)算結(jié)合起來(lái)，以求既定性，又定量，才能充分發(fā)揮圖形的判定作用．

3．切實(shí)把握“數(shù)”與“形”的對(duì)應(yīng)關(guān)系，以圖識(shí)性以性識(shí)圖．

數(shù)形結(jié)合的核心是“數(shù)”與“形”的對(duì)應(yīng)關(guān)系，熟知這些對(duì)應(yīng)關(guān)系，溝通兩者的聯(lián)系，才能把握住每一個(gè)研究對(duì)象在數(shù)量關(guān)系上的性質(zhì)與相應(yīng)的圖形的特征之間的關(guān)聯(lián)，以求相輔相

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成，相互轉(zhuǎn)化．

例3．判定下列圖中，哪個(gè)是表示函數(shù)圖象．

分析 由=，可知函數(shù)

是偶函數(shù)，其圖象應(yīng)關(guān)于y軸對(duì)稱，因而否定（B）、（C），又，的圖象應(yīng)當(dāng)是上凸的，（在第Ⅰ象限，函數(shù)y單調(diào)增，但變化趨勢(shì)比較平緩），因而（A）應(yīng)是函數(shù)圖象．

例4．如圖，液體從一圓錐形漏斗注入一圓柱形桶中，開始時(shí)，漏斗盛滿液體，經(jīng)過3分鐘注完．已知圓柱中液面上升的速度是一個(gè)常量，H是圓錐形漏斗中液面下落的距離，則H與下落時(shí)間t（分）的函數(shù)關(guān)系用圖象表示只可能是（）．

分析 由于圓柱中液面上升的速度是一個(gè)常量，所以H與t的關(guān)系不是（B），下落時(shí)間t越大，液面下落的距離H應(yīng)越大，這種變化趨勢(shì)應(yīng)是越來(lái)越快，圖象應(yīng)當(dāng)是下凸的，所以只可能是（D）．

例5．若復(fù)數(shù)z滿足，且，則在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的圖形面積是

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多少？

分析 滿足的復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)的圖形是：以C(1,1)為圓心，為半徑的圓面，該圓面與圖形的公共部分為圖中所示陰影部分（要注意到∠AOC=45°）

因此所求圖形的面積為： 4．靈活應(yīng)用“數(shù)”與“形”的轉(zhuǎn)化，提高思維的靈活性和創(chuàng)造性．

在中學(xué)數(shù)學(xué)中，數(shù)形結(jié)合的思想和方法體現(xiàn)最充分的是解析幾何，此外，函數(shù)與圖象之間，復(fù)數(shù)與幾何之間的相互轉(zhuǎn)化也充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想和方法．通過聯(lián)想找到數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系是實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的先決條件，而強(qiáng)化這種轉(zhuǎn)化的訓(xùn)練則是提高思維的靈活性和創(chuàng)造性的重要手段．

例6．已知C<0，試比較的大?。?/p>

分析 這是比較數(shù)值大小問題，用比較法會(huì)在計(jì)算中遇到一定困難，在同一坐標(biāo)系中，畫出三個(gè)函數(shù)：的圖象位于y軸左側(cè)的部分，（如圖）很快就可以從三個(gè)圖象的上、下位置關(guān)系得出正確的結(jié)論：

例7 解不等式

解法一（用代數(shù)方法求解），此不等式等價(jià)于：

解得

故原不等式的解集是

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解法二（采用圖象法）設(shè)即

對(duì)應(yīng)的曲線是以是一直線．（如圖）

為頂點(diǎn)，開口向右的拋物線的上半支．而函數(shù)y=x+1的圖象 解方程可求出拋物線上半支與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，取拋物線位于直線上方的部分，故得原不等式的解集是．

借助于函數(shù)的圖象或方程的曲線，引入解不等式（或方程）的圖象法，可以有效地審清題意，簡(jiǎn)化求解過程，并檢驗(yàn)所得的結(jié)果．

例8 討論方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)．

分析：作出函數(shù)的圖象，保留其位于x軸上方的部分，將位于x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方，便可得到函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可． 的圖象．（如圖）再討論它與直線y=a的 ∴當(dāng)a＜0時(shí)，解的個(gè)數(shù)是0；

當(dāng)a=0時(shí)或a＞4時(shí)，解的個(gè)數(shù)是2；

當(dāng)0＜a＜4時(shí)，解的個(gè)數(shù)是4；

當(dāng)a=4時(shí)，解的個(gè)數(shù)是3．

9．已知直線和雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則k的不同取值有（）

（A）1個(gè)（B）2個(gè)（C）3個(gè)（D）4個(gè)

分析：作出雙曲線的圖象，并注意到直線是過定點(diǎn)（）的直線系，雙曲線的漸近線方程為

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∴過（外，過（）點(diǎn)且和漸近線平行的直線與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)k取兩個(gè)不同值，此）點(diǎn)且和雙曲線相切的直線與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)k取兩個(gè)不同的值，故

正確答案為（D）

例9．已知直線和雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則k的不同取值有（）

（A）1個(gè)（B）2個(gè)（C）3個(gè)（D）4個(gè)

分析：作出雙曲線的圖象，并注意到直線是過定點(diǎn)（）的直線系，雙曲線的漸近線方程為

∴過（外，過（正確答案為（D））點(diǎn)且和漸近線平行的直線與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)k取兩個(gè)不同值，此）點(diǎn)且和雙曲線相切的直線與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)k取兩個(gè)不同的值，故例10．設(shè)點(diǎn)P(x,y)在曲線 解 曲線

上移動(dòng)，求

是中心在（3，3），長(zhǎng)軸為的最大值和最小值．，短軸為的橢圓．設(shè)，即y=kx為過原點(diǎn)的直線系，問題轉(zhuǎn)化為：求過原點(diǎn)的直線與橢圓相切時(shí)的斜率．（如圖所示）

消去y得

解得：

故的最大值為，最小值為

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例11．求函數(shù)值．

分析 采用代數(shù)方法求解是十分困難的，剖析函數(shù)解析式的特征，兩個(gè)根式均可視為平面上兩點(diǎn)間的距離，故設(shè)法借助于幾何圖形求解．如圖

（其中a,b,c是正常數(shù)）的最小

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設(shè)A(0,a),B(b,-c)為兩定點(diǎn)，P(x,0)為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，則

其中的等號(hào)在P為線段AB與x軸的交點(diǎn)外，即 故y的最小值為時(shí)成立．

例12．P是橢圓上任意一點(diǎn)，以O(shè)P為一邊作矩形O P Q R（O,P,Q,R依逆時(shí)針方向排列）使|OR|=2|OP|，求動(dòng)點(diǎn)R的軌跡的普通方程．

分析 在矩形O P Q R中（如圖），由∠POR=90°，|OR|=2|OP|可知，OR是OP逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，并將長(zhǎng)度擴(kuò)大為原來(lái)的2倍得到的．這一圖形變換恰是復(fù)數(shù)乘法的幾何意義，因此，可轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的運(yùn)算，找到R和P的兩點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，以求得問題的解決．

解，設(shè)R點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為： 則，P點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為

故即由點(diǎn)在橢圓上可知有：

整理得：原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上

就是R點(diǎn)的軌跡方程，表示半長(zhǎng)軸為2a，半短軸為2b，中心在的橢圓．

三解題訓(xùn)練

1．求下列方程實(shí)根的個(gè)數(shù)：

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（1）

（2）

（3）

2．無(wú)論m取任何實(shí)數(shù)值，方程（A）1個(gè)（B）2個(gè)（C）3個(gè)（D）不確定 3．已知函數(shù)（A）b∈(-∞,0)（B）b∈(0,1)（C）b∈(1,2)（D）b∈(2,+ ∞)的實(shí)根個(gè)數(shù)都是（）的圖象如右圖則（）

4．不等式的解集是（）

（A）（0，+∞）（B）（0，1）（C）（1，+∞）（D）（–∞，0）5．不等式

一定有解，則a的取值范圍是（）

（A）（1，+∞）（B）[1,+ ∞]（C）(-∞,1)（D）(0,1] 6．解下列不等式：

（1）（2）

7．復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)A、B分別對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)2，2+i，向量，則點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是_______．

繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至向量 8．若復(fù)數(shù)z滿足|z|<2，則arg(z-4)的最大值為___________ 9．若復(fù)數(shù)z滿足

10．函數(shù)的圖象是平面上兩定點(diǎn)距離之差的絕對(duì)值等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡，則這兩

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定點(diǎn)的坐標(biāo)是()（A）（–（C）（–2，–，2）（）（2，2）（B）（–）（D）（2，）（，–2，–），2））（–2 11．曲線與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）．

（A）0（B）1（C）2（D）3 12．曲線（）

與直線

有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值是（A）13．已知集合（B）（C），（D）

滿足，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

14．函數(shù)的值域是（）

（A）（B）

（C）（D）

四、練習(xí)答案

1．（1）2個(gè)（2）63個(gè)（3）2個(gè)

提示：分別作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，看交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

2．B、提示：注意到方程右式，是過定點(diǎn)（，0）的直線系．

3．A、提示：由圖象知f(x)=0的三個(gè)實(shí)根是0，1，2這樣，函數(shù)解析式可變形

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f(x)=ax(x-1)(x-2)，又從圖象中可以看出當(dāng)x∈(0,1)∪(2,+∞)時(shí)，f(x)>0．而當(dāng)x>2時(shí)，x,(x-1),(x-2)均大于0，所以a>0，而3a<0，故選（A）4．A 5．A 6．（可以利用圖象法求解）（1）x≤-1或0

可知b=-14．A 提示：f(x)可以視作：A(cosx,sinx),B(1,2)，則f(x)=kAB，而A點(diǎn)為圓x2+y2=1上的動(dòng)點(diǎn)

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第二篇：高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第三講：數(shù)形結(jié)合

高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第三講：數(shù)形結(jié)合

一、專題概述---什么是數(shù)形結(jié)合的思想

數(shù)形結(jié)合的思想，就是把問題的數(shù)量關(guān)系和空間形式結(jié)合起來(lái)加以考察的思想．

恩格斯說(shuō)：“純數(shù)學(xué)的對(duì)象是現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系．”“數(shù)”和“形”是數(shù)學(xué)中兩個(gè)最基本的概念，它們既是對(duì)立的，又是統(tǒng)一的，每一個(gè)幾何圖形中都蘊(yùn)含著與它們的形狀、大小、位置密切相關(guān)的數(shù)量關(guān)系；反之，數(shù)量關(guān)系又常?？梢酝ㄟ^幾何圖形做出直觀地反映和描述，數(shù)形結(jié)合的實(shí)質(zhì)就是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形結(jié)合起來(lái)，使抽象思維和形象思維結(jié)合起來(lái)，在解決代數(shù)問題時(shí)，想到它的圖形，從而啟發(fā)思維，找到解題之路；或者在研究圖形時(shí)，利用代數(shù)的性質(zhì)，解決幾何的問題．實(shí)現(xiàn)抽象概念與具體形象的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，化難為易，化抽象為直觀．

數(shù)形結(jié)合包括：函數(shù)與圖象、方程與曲線、復(fù)數(shù)與幾何的結(jié)合；幾何語(yǔ)言敘述與幾何圖形的結(jié)合等．

二、例題分析

1．善于觀察圖形，以揭示圖形中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系．

觀察是人們認(rèn)識(shí)客觀事物的開始，直觀是圖形的基本特征，觀察圖形的形狀、大小和相互位置關(guān)系，并在此基礎(chǔ)上揭示圖形中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，是認(rèn)識(shí)、掌握數(shù)形結(jié)合的重要進(jìn)程．

例1．函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸方程是：

（A）（B）（C）（D）

分析：通過畫出函數(shù)的圖象，然后分別畫出上述四條直線，逐一觀察，可以找出正確的答案，如果對(duì)函數(shù)的圖象做深入的觀察，就可知，凡直線x=a通過這一曲線的一個(gè)最高點(diǎn)或一個(gè)最低點(diǎn)，必為曲線的一條對(duì)稱軸，因此，解這個(gè)問題可以分別將代入函數(shù)的解析式，算得對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別是：其中只有–1是這一函數(shù)的最小值，由此可知，應(yīng)選（A）2．正確繪制圖形，以反映圖形中相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系．，觀察圖形，既要定性也要定量，借助圖形來(lái)完成某些題時(shí)，僅畫圖示“意”是不夠的，還必須反映出圖形中的數(shù)量關(guān)系．

例2．問：圓個(gè)？

分析 由平面幾何知：到定直線L：的距離為的點(diǎn)的軌跡是平行L的兩

上到直線的距離為的點(diǎn)共有幾條直線．因此問題就轉(zhuǎn)化為判定這兩條直線與已知圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．

將圓方程變形為：心到定直線L的距離為，知其圓心是C(-1,-2)，半徑，由此判定平行于直線L且距離為，而圓的兩條直線中，一條通過圓心C，另一條與圓C相切，所以這兩條直線與圓C共有3個(gè)公共點(diǎn)（如圖1）

啟示：正確繪制圖形，一定要注意把圖形與計(jì)算結(jié)合起來(lái)，以求既定性，又定量，才能充分發(fā)揮圖形的判定作用．

3．切實(shí)把握“數(shù)”與“形”的對(duì)應(yīng)關(guān)系，以圖識(shí)性以性識(shí)圖．

數(shù)形結(jié)合的核心是“數(shù)”與“形”的對(duì)應(yīng)關(guān)系，熟知這些對(duì)應(yīng)關(guān)系，溝通兩者的聯(lián)系，才能把握住每一個(gè)研究對(duì)象在數(shù)量關(guān)系上的性質(zhì)與相應(yīng)的圖形的特征之間的關(guān)聯(lián)，以求相輔相

成，相互轉(zhuǎn)化．

例3．判定下列圖中，哪個(gè)是表示函數(shù)圖象．

分析 由=，可知函數(shù)

是偶函數(shù)，其圖象應(yīng)關(guān)于y軸對(duì)稱，因而否定（B）、（C），又，的圖象應(yīng)當(dāng)是上凸的，（在第Ⅰ象限，函數(shù)y單調(diào)增，但變化趨勢(shì)比較平緩），因而（A）應(yīng)是函數(shù)圖象．

例4．如圖，液體從一圓錐形漏斗注入一圓柱形桶中，開始時(shí)，漏斗盛滿液體，經(jīng)過3分鐘注完．已知圓柱中液面上升的速度是一個(gè)常量，H是圓錐形漏斗中液面下落的距離，則H與下落時(shí)間t（分）的函數(shù)關(guān)系用圖象表示只可能是（）．

分析 由于圓柱中液面上升的速度是一個(gè)常量，所以H與t的關(guān)系不是（B），下落時(shí)間t越大，液面下落的距離H應(yīng)越大，這種變化趨勢(shì)應(yīng)是越來(lái)越快，圖象應(yīng)當(dāng)是下凸的，所以只可能是（D）．

例5．若復(fù)數(shù)z滿足，且，則在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的圖形面積是

多少？

分析 滿足的復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)的圖形是：以C(1,1)為圓心，為半徑的圓面，該圓面與圖形的公共部分為圖中所示陰影部分（要注意到∠AOC=45°）

因此所求圖形的面積為： 4．靈活應(yīng)用“數(shù)”與“形”的轉(zhuǎn)化，提高思維的靈活性和創(chuàng)造性．

在中學(xué)數(shù)學(xué)中，數(shù)形結(jié)合的思想和方法體現(xiàn)最充分的是解析幾何，此外，函數(shù)與圖象之間，復(fù)數(shù)與幾何之間的相互轉(zhuǎn)化也充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想和方法．通過聯(lián)想找到數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系是實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的先決條件，而強(qiáng)化這種轉(zhuǎn)化的訓(xùn)練則是提高思維的靈活性和創(chuàng)造性的重要手段．

例6．已知C<0，試比較的大?。?/p>

分析 這是比較數(shù)值大小問題，用比較法會(huì)在計(jì)算中遇到一定困難，在同一坐標(biāo)系中，畫出三個(gè)函數(shù)：的圖象位于y軸左側(cè)的部分，（如圖）很快就可以從三個(gè)圖象的上、下位置關(guān)系得出正確的結(jié)論：

例7 解不等式

解法一（用代數(shù)方法求解），此不等式等價(jià)于：

解得

故原不等式的解集是

解法二（采用圖象法）設(shè)即

對(duì)應(yīng)的曲線是以是一直線．（如圖）

為頂點(diǎn)，開口向右的拋物線的上半支．而函數(shù)y=x+1的圖象 解方程可求出拋物線上半支與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，取拋物線位于直線上方的部分，故得原不等式的解集是．

借助于函數(shù)的圖象或方程的曲線，引入解不等式（或方程）的圖象法，可以有效地審清題意，簡(jiǎn)化求解過程，并檢驗(yàn)所得的結(jié)果．

例8 討論方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)．

分析：作出函數(shù)的圖象，保留其位于x軸上方的部分，將位于x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方，便可得到函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可． 的圖象．（如圖）再討論它與直線y=a的 ∴當(dāng)a＜0時(shí)，解的個(gè)數(shù)是0；

當(dāng)a=0時(shí)或a＞4時(shí)，解的個(gè)數(shù)是2； 當(dāng)0＜a＜4時(shí)，解的個(gè)數(shù)是4；

當(dāng)a=4時(shí)，解的個(gè)數(shù)是3．

9．已知直線和雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則k的不同取值有（）

（A）1個(gè)（B）2個(gè)（C）3個(gè)（D）4個(gè)

分析：作出雙曲線的圖象，并注意到直線是過定點(diǎn)（）的直線系，雙曲線的漸近線方程為

∴過（外，過（）點(diǎn)且和漸近線平行的直線與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)k取兩個(gè)不同值，此）點(diǎn)且和雙曲線相切的直線與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)k取兩個(gè)不同的值，故

正確答案為（D）

例9．已知直線和雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則k的不同取值有（）

（A）1個(gè)（B）2個(gè)（C）3個(gè)（D）4個(gè)

分析：作出雙曲線的圖象，并注意到直線是過定點(diǎn)（）的直線系，雙曲線的漸近線方程為

∴過（外，過（正確答案為（D））點(diǎn)且和漸近線平行的直線與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)k取兩個(gè)不同值，此）點(diǎn)且和雙曲線相切的直線與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)k取兩個(gè)不同的值，故例10．設(shè)點(diǎn)P(x,y)在曲線 解 曲線

上移動(dòng)，求

是中心在（3，3），長(zhǎng)軸為的最大值和最小值．，短軸為的橢圓．設(shè)，即y=kx為過原點(diǎn)的直線系，問題轉(zhuǎn)化為：求過原點(diǎn)的直線與橢圓相切時(shí)的斜率．（如圖所示）

消去y得

解得：

故的最大值為，最小值為

例11．求函數(shù)值．

（其中a,b,c是正常數(shù)）的最小 分析 采用代數(shù)方法求解是十分困難的，剖析函數(shù)解析式的特征，兩個(gè)根式均可視為平面上兩點(diǎn)間的距離，故設(shè)法借助于幾何圖形求解．如圖

設(shè)A(0,a),B(b,-c)為兩定點(diǎn)，P(x,0)為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，則

其中的等號(hào)在P為線段AB與x軸的交點(diǎn)外，即 故y的最小值為時(shí)成立．

例12．P是橢圓上任意一點(diǎn)，以O(shè)P為一邊作矩形O P Q R（O,P,Q,R依逆時(shí)針方向排列）使|OR|=2|OP|，求動(dòng)點(diǎn)R的軌跡的普通方程．

分析 在矩形O P Q R中（如圖），由∠POR=90°，|OR|=2|OP|可知，OR是OP逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，并將長(zhǎng)度擴(kuò)大為原來(lái)的2倍得到的．這一圖形變換恰是復(fù)數(shù)乘法的幾何意義，因此，可轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的運(yùn)算，找到R和P的兩點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，以求得問題的解決． 解，設(shè)R點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為： 則，P點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為

故即由點(diǎn)在橢圓上可知有：

整理得：原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上

就是R點(diǎn)的軌跡方程，表示半長(zhǎng)軸為2a，半短軸為2b，中心在的橢圓．

三解題訓(xùn)練

1．求下列方程實(shí)根的個(gè)數(shù)：

（1）

（2）

（3）

2．無(wú)論m取任何實(shí)數(shù)值，方程（A）1個(gè)（B）2個(gè)（C）3個(gè)（D）不確定 3．已知函數(shù)（A）b∈(-∞,0)（B）b∈(0,1)

（C）b∈(1,2)（D）b∈(2,+ ∞)的實(shí)根個(gè)數(shù)都是（）的圖象如右圖則（）

4．不等式的解集是（）

（A）（0，+∞）（B）（0，1）（C）（1，+∞）（D）（–∞，0）5．不等式

一定有解，則a的取值范圍是（）

（A）（1，+∞）（B）[1,+ ∞]（C）(-∞,1)（D）(0,1] 6．解下列不等式：

（1）（2）

7．復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)A、B分別對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)2，2+i，向量，則點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是_______．

繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至向量 8．若復(fù)數(shù)z滿足|z|<2，則arg(z-4)的最大值為___________ 9．若復(fù)數(shù)z滿足

10．函數(shù)的圖象是平面上兩定點(diǎn)距離之差的絕對(duì)值等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡，則這兩

定點(diǎn)的坐標(biāo)是()（A）（–（C）（–2，–，2）（）（2，2）（B）（–）（D）（2，）（，–），2），–2）（–2 11．曲線與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）．

（A）0（B）1（C）2（D）3 12．曲線（）

與直線

有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值是（A）13．已知集合（B）（C），（D）

滿足，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

14．函數(shù)的值域是（）

（A）（B）

（C）（D）

四、練習(xí)答案

1．（1）2個(gè)（2）63個(gè)（3）2個(gè)

提示：分別作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，看交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

2．B、提示：注意到方程右式，是過定點(diǎn)（，0）的直線系．

3．A、提示：由圖象知f(x)=0的三個(gè)實(shí)根是0，1，2這樣，函數(shù)解析式可變形

f(x)=ax(x-1)(x-2)，又從圖象中可以看出當(dāng)x∈(0,1)∪(2,+∞)時(shí)，f(x)>0．而當(dāng)x>2時(shí)，x,(x-1),(x-2)均大于0，所以a>0，而3a<0，故選（A）4．A 5．A 6．（可以利用圖象法求解）

（1）x≤-1或0

可知b=-14．A 提示：f(x)可以視作：A(cosx,sinx),B(1,2)，則f(x)=kAB，而A點(diǎn)為圓x2+y2=1上的動(dòng)點(diǎn)

第三篇：高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)：數(shù)形結(jié)合思想

高考沖刺：數(shù)形結(jié)合

編稿：林景飛

審稿：張揚(yáng)

責(zé)編：辛文升 熱點(diǎn)分析 高考動(dòng)向

數(shù)形結(jié)合應(yīng)用廣泛，不僅在解答選擇題、填空題中顯示出它的優(yōu)越性，而且在解決一些抽象數(shù)學(xué)問題中常起到事半功倍的效果。高考中利用數(shù)形結(jié)合的思想在解決選、填題中十分方便，而在解答題中書寫應(yīng)以代數(shù)推理論證為主，幾何方法可作為思考的方法。數(shù)形結(jié)合的重點(diǎn)是研究“以形助數(shù)”，但“以數(shù)解形”在近年高考試題中也得到了加強(qiáng)，其發(fā)展趨勢(shì)不容忽視。歷年的高考都有關(guān)于數(shù)形結(jié)合思想方法的考查，且占比例較大。

知識(shí)升華

數(shù)形結(jié)合是通過“以形助數(shù)”（將所研究的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為研究其對(duì)應(yīng)的幾何圖形）或“以數(shù)助形”（借助數(shù)的精確性來(lái)闡明形的某種屬性），把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形結(jié)合起來(lái)思考，也就是將抽象思維與形象思維有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，是解決問題的一種數(shù)學(xué)思想方法。它能使抽象問題具體化，復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，在數(shù)學(xué)解題中具有極為獨(dú)特的策略指導(dǎo)與調(diào)節(jié)作用。

具體地說(shuō)，數(shù)形結(jié)合的基本思路是：根據(jù)數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造出與之相應(yīng)的幾何圖形，并利用圖形的特性和規(guī)律，解決數(shù)的問題；或?qū)D形信息全部轉(zhuǎn)化成代數(shù)信息，使解決形的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的討論。

選擇題，填空題等客觀性題型，由于不要求解答過程，就某些題目而言，這給學(xué)生創(chuàng)造了靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，尋找快速思路的空間。但在解答題中，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想時(shí)，要注意輔之以嚴(yán)格的邏輯推理，“形”上的直觀是不夠嚴(yán)密的。1．高考試題對(duì)數(shù)形結(jié)合的考查主要涉及的幾個(gè)方面：

（1）集合問題中Venn圖（韋恩圖）的運(yùn)用；

（2）數(shù)軸及直角坐標(biāo)系的廣泛應(yīng)用；

（3）函數(shù)圖象的應(yīng)用；

（4）數(shù)學(xué)概念及數(shù)學(xué)表達(dá)式幾何意義的應(yīng)用；

（5）解析幾何、立體幾何中的數(shù)形結(jié)合。

2．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析解決問題時(shí)，要遵循三個(gè)原則：

（1）等價(jià)性原則。要注意由于圖象不能精確刻畫數(shù)量關(guān)系所帶來(lái)的負(fù)面效應(yīng)；

（2）雙方性原則。既要進(jìn)行幾何直觀分析，又要進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)抽象探求，僅對(duì)代數(shù)問題進(jìn)行幾何分

析容易出錯(cuò)；

（3）簡(jiǎn)單性原則。不要為了“數(shù)形結(jié)合”而數(shù)形結(jié)合，具體運(yùn)用時(shí)，一要考慮是否可行和是否有利；

二要選擇好突破口，恰當(dāng)設(shè)參、用參、建立關(guān)系，做好轉(zhuǎn)化；三要挖掘隱含條件，準(zhǔn)確界定參變

量的取值范圍，特別是運(yùn)用函數(shù)圖象時(shí)應(yīng)設(shè)法選擇動(dòng)直線與定二次曲線為佳。

3．進(jìn)行數(shù)形結(jié)合的信息轉(zhuǎn)換，主要有三個(gè)途徑：

（1）建立坐標(biāo)系，引入?yún)⒆償?shù)，化靜為動(dòng)，以動(dòng)求解，如解析幾何；

（2）構(gòu)造成轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)模型，利用函數(shù)圖象求解；

（3）構(gòu)造成轉(zhuǎn)化為熟悉的幾何模型，利用圖形特征求解。4．常見的“以形助數(shù)”的方法有：

（1）借助于數(shù)軸、文氏圖，樹狀圖，單位圓；

（2）借助于函數(shù)圖象、區(qū)域(如線性規(guī)劃)、向量本身的幾何背景；

（3）借助于方程的曲線，由方程代數(shù)式，聯(lián)想其幾何背景，并用幾何知識(shí)解決問題，如點(diǎn)，直線，斜

率，距離，圓及其他曲線，直線和曲線的位置關(guān)系等，對(duì)解決代數(shù)問題都有重要作用，應(yīng)充分予

以重視。

5．常見的把數(shù)作為手段的數(shù)形結(jié)合：

主要體現(xiàn)在解析幾何中，歷年高考的解答題都有這方面的考查.經(jīng)典例題透析

類型一：利用數(shù)形結(jié)合思想解決函數(shù)問題 1．(2010全國(guó)Ⅰ·理)已知函數(shù)a+2b的取值范圍是

A．

解析：畫出

由題設(shè)有，B．的示意圖.，若，且，則

C．

D．

∴，令，則

∵

∴，∴ 在，.上是增函數(shù).∴

舉一反三：

【變式1】已知函數(shù)

.選C.在0≤x≤1時(shí)有最大值2，求a的值。

解析：∵

∴拋物線，的開口向下，對(duì)稱軸是，如圖所示：

（1）

（2）

（3）

（1）當(dāng)a＜0時(shí)，如圖（1）所示，當(dāng)x=0時(shí)，y有最大值，即

∴1―a=2。即a=―1，適合a＜0。

（2）當(dāng)0≤a≤1時(shí)，如圖（2）所示，當(dāng)x=a時(shí)，y有最大值，即

。

∴a―a+1=2，解得

2。

∵0≤a≤1，∴不合題意。

（3）當(dāng)a＞1時(shí)，如圖（3）所示。

當(dāng)x=1時(shí)，y有最大值，即

綜合（1）（2）（3）可知，a的值是―1或2

【變式2】已知函數(shù)

（Ⅰ）寫出

（Ⅱ）設(shè)的單調(diào)區(qū)間；，求

在[0，a]上的最大值。

?！郺=2。

解析：

如圖：

（1）的單調(diào)增區(qū)間：

，；單調(diào)減區(qū)間：（1，2）

時(shí)。

（2）當(dāng)a≤1時(shí)，當(dāng)

當(dāng)

【變式3】已知

()

（1）若，在上的最大值為，最小值為，求證：；

（2）當(dāng)]時(shí)，都

，時(shí)，對(duì)于給定的負(fù)數(shù)，有一個(gè)最大的正數(shù)，使得x∈[0，有|f(x)|≤5，問a為何值時(shí)，M(a)最大？并求出這個(gè)最大值。

解析：

（1）若a=0，則c=0，∴f(x)=2bx

當(dāng)-2≤x≤2時(shí)，f(x)的最大值與最小值一定互為相反數(shù)，與題意不符合，∴a≠0；

若a≠0，假設(shè)，∴區(qū)間[-2,2]在對(duì)稱軸的左外側(cè)或右外側(cè)，∴f(x)在[-2，2]上是單調(diào)函數(shù)，（這是不可能的）

（2）當(dāng)，時(shí)，∵，所以，（圖1）

（圖2）

(1)當(dāng)

所以

即是方程，時(shí)（如圖1），則的較小根，即

(2)當(dāng)

所以

即是方程，時(shí)（如圖2），則的較大根，即

（當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)，等號(hào)成立），由于，因此當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最大值

類型二：利用數(shù)形結(jié)合思想解決方程中的參數(shù)問題 2．若關(guān)于x的方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

思路點(diǎn)撥：將方程的左右兩邊分別看作兩個(gè)函數(shù)，畫出函數(shù)的圖象，借助圖象間的關(guān)系后求解，可簡(jiǎn)化運(yùn)算。

解析：畫出

和的圖象，當(dāng)直線過點(diǎn)，即時(shí)，兩圖象有兩個(gè)交點(diǎn)。

又由當(dāng)曲線

與曲線

相切時(shí)，二者只有一個(gè)交點(diǎn)，設(shè)切點(diǎn)

又直線，則過切點(diǎn)，即，得，解得切點(diǎn)，∴當(dāng)時(shí)，兩函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程有兩個(gè)不等實(shí)根。

誤區(qū)警示：作圖時(shí)，圖形的相對(duì)位置關(guān)系不準(zhǔn)確，易造成結(jié)果錯(cuò)誤。

總結(jié)升華：

1．解決這類問題時(shí)要準(zhǔn)確畫出函數(shù)圖象，注意函數(shù)的定義域。

2．用圖象法討論方程（特別是含參數(shù)的方程）解的個(gè)數(shù)是一種行之有效的方法，值得注意的是首先把

方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式（有時(shí)可能先作適當(dāng)調(diào)整，以便于作圖），然后作出兩

個(gè)函數(shù)的圖象，由圖求解。

3．在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析問題和解決問題時(shí)，需做到以下四點(diǎn)：

①要準(zhǔn)確理解一些概念和運(yùn)算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征；

②要恰當(dāng)設(shè)參，合理用參，建立關(guān)系，做好轉(zhuǎn)化；

③要正確確定參數(shù)的取值范圍，以防重復(fù)和遺漏；

④精心聯(lián)想“數(shù)”與“形”，使一些較難解決的代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化，便于問題求解.舉一反三：

【變式1】若關(guān)于x的方程在（－1，1）內(nèi)有1個(gè)實(shí)根，則k的取值范圍是。

解析：把方程左、右兩側(cè)看作兩個(gè)函數(shù)，利用函數(shù)圖象公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)確定方程根的個(gè)數(shù)。

設(shè)（x∈－1，1）

如圖：當(dāng)內(nèi)有1個(gè)實(shí)根。

或時(shí)，關(guān)于x的方程在（－1，1）

【變式2】若0＜θ＜2π，且方程取值范圍及這兩個(gè)實(shí)根的和。

有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的解析：將原方程

與直線

轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的圖象

有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，求a的范圍及α+β的值。

設(shè)，在同一坐標(biāo)中作出這兩個(gè)函數(shù)的圖象

由圖可知，當(dāng)

或

時(shí)，y1與y2的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn)，即對(duì)應(yīng)方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，若，設(shè)原方程的一個(gè)根為，則另一個(gè)根為.∴.若，設(shè)原方程的一個(gè)根為，則另一個(gè)根為，∴.所以這兩個(gè)實(shí)根的和為或.且由對(duì)稱性可知，這兩個(gè)實(shí)根的和為或。

類型三：依據(jù)式子的結(jié)構(gòu)，賦予式子恰當(dāng)?shù)膸缀我饬x，數(shù)形結(jié)合解答

3．(北京2010·理)如圖放置的邊長(zhǎng)為1的正方形PABC沿x軸滾動(dòng)，設(shè)頂點(diǎn)，則函數(shù)的最小正周期為________；

在其兩個(gè)相鄰的軌跡方程是零點(diǎn)間的圖象與x軸所圍成的區(qū)域的面積為________.解析：為便于觀察，不妨先將正方形PABC向負(fù)方向滾動(dòng)，使P點(diǎn)落在x軸上的點(diǎn)，此點(diǎn)即是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)（圖1）.（一）以A為中心，將正方形沿x軸正方向滾動(dòng)90°，此時(shí)頂點(diǎn)B位于x軸上，頂點(diǎn)P畫出了A為圓心，1為半徑的個(gè)圓周（圖2）；

（二）繼續(xù)以B為中心，將正方形沿x軸正方向滾動(dòng)90°，此時(shí)頂點(diǎn)C位于x軸上，頂點(diǎn)P畫出B為圓心，為半徑的個(gè)圓周（圖3）；

（三）繼續(xù)以C為中心，將正方形沿x軸正方向滾動(dòng)90°，此時(shí)，頂點(diǎn)P位于x軸上，為點(diǎn)，它畫出了C為圓心，1為半徑的個(gè)圓周（圖4）.為又一個(gè)零點(diǎn).∴ 函數(shù)的周期為4.相鄰兩個(gè)零點(diǎn)間的圖形與x軸圍成的圖形由兩個(gè)半徑為1的圓、半徑為的圓和兩個(gè)直角邊長(zhǎng)為1的直角三角形，其面積是

.舉一反三：

2【變式1】已知圓C：(x+2)+y=1，P（x，y）為圓C上任一點(diǎn)。

（1）求的最大、最小值；

（2）求的最大、最小值；

（3）求x―2y的最大、最小值。

解析：聯(lián)想所求代數(shù)式的幾何意義，再畫出草圖，結(jié)合圖象求解。

（1）

表示點(diǎn)（x，y）與原點(diǎn)的距離，由題意知P（x，y）在圓C上，又C（―2，0），半徑r=1。

∴|OC|=2。的最大值為2+r=2+1=3，的最小值為2―r=2―1=1。

（2）表示點(diǎn)（x，y）與定點(diǎn)（1，2）兩點(diǎn)連線的斜率，設(shè)Q（1，2），過Q點(diǎn)作圓C的兩條切線，如圖：

將整理得kx―y+2―k=0。

∴，解得，所以的最大值為，最小值為。

（3）令x―2y=u，則可視為一組平行線系，當(dāng)直線與圓C有公共點(diǎn)時(shí)，可求得u的范圍，最值必在直線與圓C相切時(shí)取得。這時(shí)

∴

。，最小值為

。，∴x―2y的最大值為

【變式2】求函數(shù)

解析：的最小值。

則y看作點(diǎn)P（x，0）到點(diǎn)A（1，1）與B（3，2）距離之和

如圖，點(diǎn)A（1，1）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A＇（1，－1），則 即為P到A，B距離之和的最小值，∴

【變式3】若方程x+(1+a)x+1+a+b=0的兩根分別為橢圓、雙曲線的離心率，則值范圍是（）

2的取

A．

B．或

C．

D．或

解析：如圖

由題知方程的根，一個(gè)在（0，1）之間，一個(gè)在（1，2）之間，則，即

下面利用線性規(guī)劃的知識(shí)，則斜率

可看作可行域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)O（0，0）連線的 則，選C。

第四篇：高考復(fù)習(xí)數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合

定義：數(shù)形結(jié)合是一個(gè)數(shù)學(xué)思想方法，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面。

應(yīng)用：大致可以分為兩種情形：或者是借助形的生動(dòng)和直觀性來(lái)闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)為目的，比如應(yīng)用函數(shù)的圖像來(lái)直觀地說(shuō)明函數(shù)的性質(zhì)；或者是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來(lái)闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應(yīng)用曲線的方程來(lái)精確地闡明曲線的幾何性質(zhì)。Ⅰ、再現(xiàn)題組：

1.設(shè)命題甲：0

B.必要非充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

2.若loga2

B.0

C.a>b>1

D.b>a>1 π23.如果|x|≤4,那么函數(shù)f(x)＝cosx＋sinx的最小值是_____。(89年全國(guó)文)A.2?12?11?2B.－2

C.－1

D.2

4.如果奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[3,7]上是增函數(shù)且最小值是5，那么f(x)的[-7,-3]上是____。(91年全國(guó))A.增函數(shù)且最小值為－5

B.增函數(shù)且最大值為－5 C.減函數(shù)且最小值為－5

D.減函數(shù)且最大值為－5

y?35.設(shè)全集I＝{(x,y)|x,y∈R}，集合M＝{(x,y)| x?2＝1}，N＝{(x,y)|y≠x＋1}，那么M∪N等于_____。

(90年全國(guó))A.φ

B.{(2,3)}

C.(2,3)

D.{(x,y)|y＝x＋1

θθθ6.如果θ是第二象限的角，且滿足cos2－sin2＝1?sinθ,那么2是_____。

A.第一象限角

B.第三象限角

C.可能第一象限角，也可能第三象限角

D.第二象限角

7.已知集合E＝{θ|cosθ

3π3π5πππ3πA.(2,π)

B.(4,4)

C.(π, 2)

D.(4,4)

5π8.若復(fù)數(shù)z的輻角為6，實(shí)部為－23，則z＝_____。

A.－23－2ｉ

B.－23＋2ｉ

C.－23＋23ｉ

D.－23－23ｉ

y229.如果實(shí)數(shù)x、y滿足等式(x－2)＋y＝3，那么x的最大值是_____。

(90年全國(guó)理)133A.B.3C.2

D.10.滿足方程|z＋3－3ｉ|＝3的輻角主值最小的復(fù)數(shù)z是_____。

【注】 以上各題是歷年的高考客觀題，都可以借助幾何直觀性來(lái)處理與數(shù)有關(guān)的問題，即借助數(shù)軸（①題）、圖像（②、③、④、⑤題）、單位圓（⑥、⑦題）、復(fù)平面（⑧、⑩題）、方程曲線（⑨題）。Ⅱ、示范性題組：

例1.若方程lg(－x＋3x－m)＝lg(3－x)在x∈(0,3)內(nèi)有唯一解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。2z1例2.設(shè)|z1|＝5，|z2|＝2, |z1－z2|＝13，求z2的值。

pp例3.直線L的方程為：x＝－

2(p>0),橢圓中心D(2＋2,0)，焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)半軸為2，短半軸為1，它的左頂點(diǎn)為A。問p在什么范圍內(nèi)取值，橢圓上有四個(gè)不同的點(diǎn)，它們中每一個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)A的距離等于該點(diǎn)到直線L的距離？

Ⅲ、鞏固性題組：

1.已知5x＋12y＝60，則x2?y2的最小值是_____。A.60 B.13 C.13 D.1 135122.已知集合P＝{(x,y)|y＝9?x2}、Q＝{(x,y)|y＝x＋b}，若P∩Q≠φ，則b的取值范圍是____。

A.|b|<3 B.|b|≤32 C.－3≤b≤32 D.－3

A.1 B.2 C.3 D.以上都不對(duì) 4.方程x＝10sinx的實(shí)根的個(gè)數(shù)是_______。

5.若不等式m>|x－1|＋|x＋1|的解集是非空數(shù)集，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是_________。6.設(shè)z＝cosα＋1ｉ且|z|≤1,那么argz的取值范圍是____________。

2x27.若方程x－3ax＋2a＝0的一個(gè)根小于1，而另一根大于1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______。

8.sin20°＋cos80°＋3sin20°·cos80°＝____________。22229.解不等式： ?x2?2x>b－x

?x?2x?a≤0的解集，試確定a、b10.設(shè)A＝{x|<1x<3}，又設(shè)B是關(guān)于x的不等式組??2??x?2bx?5≤02的取值范圍，使得A?B。（90年高考副題）

11.定義域內(nèi)不等式2?x〉x＋a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

12.已知函數(shù)y＝(x?1)2?1＋(x?5)2?9，求函數(shù)的最小值及此時(shí)x的值。13.已知z∈C，且|z|＝1，求|(z＋1)(z－ｉ)|的最大值。

14.若方程lg(kx)＝2lg(x＋1)只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，求常數(shù)k的取值范圍。

第五篇：初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)數(shù)形結(jié)合談數(shù)軸

數(shù)形結(jié)合談數(shù)軸

一、閱讀與思考

數(shù)學(xué)是研究數(shù)和形的學(xué)科，在數(shù)學(xué)里數(shù)和形是有密切聯(lián)系的。我們常用代數(shù)的方法來(lái)處理幾何問題；反過來(lái)，也借助于幾何圖形來(lái)處理代數(shù)問題，尋找解題思路，這種數(shù)與形之間的相互作用叫數(shù)形結(jié)合，是一種重要的數(shù)學(xué)思想。

運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題的關(guān)鍵是建立數(shù)與形之間的聯(lián)系，現(xiàn)階段數(shù)軸是數(shù)形結(jié)合的有力工具，主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

1、利用數(shù)軸能形象地表示有理數(shù)；

2、利用數(shù)軸能直觀地解釋相反數(shù)；

3、利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小；

4、利用數(shù)軸解決與絕對(duì)值相關(guān)的問題。

二、知識(shí)點(diǎn)反饋

1、利用數(shù)軸能形象地表示有理數(shù)；

例1：已知有理數(shù)在數(shù)軸上原點(diǎn)的右方，有理數(shù)在原點(diǎn)的左方，那么（）

A．

B．

C．

D．

拓廣訓(xùn)練：

1、如圖為數(shù)軸上的兩點(diǎn)表示的有理數(shù)，在中，負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)有（）

（“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題）

A．1

B．2

C．3

D．43、把滿足中的整數(shù)表示在數(shù)軸上，并用不等號(hào)連接。

2、利用數(shù)軸能直觀地解釋相反數(shù)；

例2：如果數(shù)軸上點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離為3，點(diǎn)B到原點(diǎn)的距離為5，那么A、B兩點(diǎn)的距離為。

拓廣訓(xùn)練：

1、在數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為3，則

2、已知數(shù)軸上有A、B兩點(diǎn)，A、B之間的距離為1，點(diǎn)A與原點(diǎn)O的距離為3，那么所有滿足條件的點(diǎn)B與原點(diǎn)O的距離之和等于

。（北京市“迎春杯”競(jìng)賽題）

3、利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大?。?/p>

例3：已知且，那么有理數(shù)的大小關(guān)系是

。（用“”號(hào)連接）（北京市“迎春杯”競(jìng)賽題）

拓廣訓(xùn)練：

1、若且，比較的大小，并用“”號(hào)連接。

例4：已知比較與4的大小

拓廣訓(xùn)練：

1、已知，試討論與3的大小

2、已知兩數(shù)，如果比大，試判斷與的大小

4、利用數(shù)軸解決與絕對(duì)值相關(guān)的問題。

例5：

有理數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，式子化簡(jiǎn)結(jié)果為（）

A．

B．

C．

D．

拓廣訓(xùn)練：

1、有理數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡(jiǎn)的結(jié)果為。

2、已知，在數(shù)軸上給出關(guān)于的四種情況如圖所示，則成立的是。

①

②

③

④

3、已知有理數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)的位置如下圖：則化簡(jiǎn)后的結(jié)果是（）

（湖北省初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽選撥賽試題）

A．

B．

C．

D．

三、培優(yōu)訓(xùn)練

1、已知是有理數(shù)，且，那以的值是（）

A．

B．

C．或

D．或

0

A

B

C2、（07樂山）如圖，數(shù)軸上一動(dòng)點(diǎn)向左移動(dòng)2個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)，再向右移動(dòng)5個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)．若點(diǎn)表示的數(shù)為1，則點(diǎn)表示的數(shù)為（）

Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．

3、如圖，數(shù)軸上標(biāo)出若干個(gè)點(diǎn)，每相鄰兩點(diǎn)相距1個(gè)單位，點(diǎn)A、B、C、D對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是整數(shù)且，那么數(shù)軸的原點(diǎn)應(yīng)是（）

A．A點(diǎn)

B．B點(diǎn)

C．C點(diǎn)

D．D點(diǎn)

4、數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)A，B，C，D在數(shù)軸上的位置如圖所示，那么與的大小關(guān)系是（）

A．

B．

C．

D．不確定的5、不相等的有理數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A，B，C，若，那么點(diǎn)B（）

A．在A、C點(diǎn)右邊

B．在A、C點(diǎn)左邊

C．在A、C點(diǎn)之間

D．以上均有可能

6、設(shè)，則下面四個(gè)結(jié)論中正確的是（）（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題）

A．沒有最小值

B．只一個(gè)使取最小值

C．有限個(gè)（不止一個(gè)）使取最小值

D．有無(wú)窮多個(gè)使取最小值

7、在數(shù)軸上，點(diǎn)A，B分別表示和，則線段AB的中點(diǎn)所表示的數(shù)是。

8、若，則使成立的的取值范圍是。

9、是有理數(shù)，則的最小值是。

10、已知為有理數(shù)，在數(shù)軸上的位置如圖所示：

且求的值。

11、（南京市中考題）(1)閱讀下面材料：

點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示實(shí)數(shù)，A、B兩點(diǎn)這間的距離表示為，當(dāng)A、B兩點(diǎn)中有一點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，不妨設(shè)點(diǎn)A在原點(diǎn)，如圖1，；當(dāng)A、B兩點(diǎn)都不在原點(diǎn)時(shí)，①如圖2，點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)的右邊；

②如圖3，點(diǎn)A、B都在原點(diǎn)的左邊；

③如圖4，點(diǎn)A、B在原點(diǎn)的兩邊。

綜上，數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離。

（2）回答下列問題：

①數(shù)軸上表示2和5兩點(diǎn)之間的距離是，數(shù)軸上表示-2和-5的兩點(diǎn)之間的距離是，數(shù)軸上表示1和-3的兩點(diǎn)之間的距離是；

②數(shù)軸上表示和-1的兩點(diǎn)A和B之間的距離是，如果，那么為；

③當(dāng)代數(shù)式取最小值時(shí)，相應(yīng)的的取值范圍是；

④求的最小值。