第一篇：2013高考沖刺2：數(shù)形結合

高考沖刺：數(shù)形結合熱點分析 高考動向

數(shù)形結合應用廣泛，不僅在解答選擇題、填空題中顯示出它的優(yōu)越性，而且在解決一些抽象數(shù)學問題中常起到事半功倍的效果。高考中利用數(shù)形結合的思想在解決選、填題中十分方便，而在解答題中書寫應以代數(shù)推理論證為主，幾何方法可作為思考的方法。數(shù)形結合的重點是研究“以形助數(shù)”，但“以數(shù)解形”在近年高考試題中也得到了加強，其發(fā)展趨勢不容忽視。歷年的高考都有關于數(shù)形結合思想方法的考查，且占比例較大。

知識升華

數(shù)形結合是通過“以形助數(shù)”（將所研究的代數(shù)問題轉化為研究其對應的幾何圖形）或“以數(shù)助形”（借助數(shù)的精確性來闡明形的某種屬性），把抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形結合起來思考，也就是將抽象思維與形象思維有機地結合起來，是解決問題的一種數(shù)學思想方法。它能使抽象問題具體化，復雜問題簡單化，在數(shù)學解題中具有極為獨特的策略指導與調節(jié)作用。

具體地說，數(shù)形結合的基本思路是：根據(jù)數(shù)的結構特征，構造出與之相應的幾何圖形，并利用圖形的特性和規(guī)律，解決數(shù)的問題；或將圖形信息全部轉化成代數(shù)信息，使解決形的問題轉化為數(shù)量關系的討論。

選擇題，填空題等客觀性題型，由于不要求解答過程，就某些題目而言，這給學生創(chuàng)造了靈活運用數(shù)形結合思想，尋找快速思路的空間。但在解答題中，運用數(shù)形結合思想時，要注意輔之以嚴格的邏輯推理，“形”上的直觀是不夠嚴密的。1．高考試題對數(shù)形結合的考查主要涉及的幾個方面：

（1）集合問題中Venn圖（韋恩圖）的運用；

（2）數(shù)軸及直角坐標系的廣泛應用；

（3）函數(shù)圖象的應用；

（4）數(shù)學概念及數(shù)學表達式幾何意義的應用；

（5）解析幾何、立體幾何中的數(shù)形結合。

2．運用數(shù)形結合思想分析解決問題時，要遵循三個原則：

（1）等價性原則。要注意由于圖象不能精確刻畫數(shù)量關系所帶來的負面效應；

（2）雙方性原則。既要進行幾何直觀分析，又要進行相應的代數(shù)抽象探求，僅對代數(shù)問題進行幾何分

析容易出錯；

（3）簡單性原則。不要為了“數(shù)形結合”而數(shù)形結合，具體運用時，一要考慮是否可行和是否有利；

二要選擇好突破口，恰當設參、用參、建立關系，做好轉化；三要挖掘隱含條件，準確界定參變

量的取值范圍，特別是運用函數(shù)圖象時應設法選擇動直線與定二次曲線為佳。

3．進行數(shù)形結合的信息轉換，主要有三個途徑：

（1）建立坐標系，引入?yún)⒆償?shù)，化靜為動，以動求解，如解析幾何；

（2）構造成轉化為熟悉的函數(shù)模型，利用函數(shù)圖象求解；

（3）構造成轉化為熟悉的幾何模型，利用圖形特征求解。

4．常見的“以形助數(shù)”的方法有：

(1)借助于數(shù)軸、文氏圖，樹狀圖，單位圓；

(2)借助于函數(shù)圖象、區(qū)域(如線性規(guī)劃)、向量本身的幾何背景；

(3)借助于方程的曲線，由方程代數(shù)式，聯(lián)想其幾何背景，并用幾何知識解決問題，如點，直線，斜

率，距離，圓及其他曲線，直線和曲線的位置關系等，對解決代數(shù)問題都有重要作用，應充分予以

重視。

5．常見的把數(shù)作為手段的數(shù)形結合：

主要體現(xiàn)在解析幾何中，歷年高考的解答題都有這方面的考查.經典例題透析

類型一：利用數(shù)形結合思想解決函數(shù)問題

1．已知的表達式。

思路點撥：依據(jù)函數(shù)定在，若的最小值記為，寫出的對稱軸與區(qū)間的位置關系，結合函數(shù)圖象確上的增減情況，進而可以明確在何處取最小值。

解析：由于，所以拋物線的對稱軸為，開口向上，①當，即時，最小，即

在[t，t+1]上單調遞增（如圖①所示）。

∴當x=t時，②當，即時，在上遞減，在上遞增（如圖②）。

∴當時，最小，即。

③當，即時，在[t，t+1]上單調遞減（如圖③）。

∴當x=t+1時，最小，即，圖①

圖②

圖③

綜合①②③得。

總結升華：通過二次函數(shù)的圖象確定解題思路，直觀、清晰，體現(xiàn)了數(shù)形結合的優(yōu)越性。應特別注意，對于二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，應抓住對稱軸與所給區(qū)間的相對位置關系進行討論解決。首先確定其對稱軸與區(qū)間的位置關系，結合函數(shù)圖象確定在閉區(qū)間上的增減情況，然后再確定在何處取最值。

舉一反三：

【變式1】已知函數(shù)

解析：∵

∴拋物線，的開口向下，對稱軸是，如圖所示：

在0≤x≤1時有最大值2，求a的值。

（1）

（2）

（3）

（1）當a＜0時，如圖（1）所示，當x=0時，y有最大值，即

∴1―a=2。即a=―1，適合a＜0。

（2）當0≤a≤1時，如圖（2）所示，當x=a時，y有最大值，即。

。

∴a―a+1=2，解得

2。

∵0≤a≤1，∴不合題意。

（3）當a＞1時，如圖（3）所示。

當x=1時，y有最大值，即

綜合（1）（2）（3）可知，a的值是―1或2

【變式2】已知函數(shù)

（Ⅰ）寫出

（Ⅱ）設的單調區(qū)間；，求

在[0，a]上的最大值。

?！郺=2。

解析：

如圖：

（1）的單調增區(qū)間：，；單調減區(qū)間：（1，2）

（2）當a≤1時，當

當，時。

【變式3】已知()

(1)若，在上的最大值為，最小值為，求證：；

(2)當時，都有，時，對于給定的負數(shù)，有一個最大的正數(shù)，使得x∈[0, ]

|f(x)|≤5，問a為何值時，M(a)最大？并求出這個最大值。

解析：

(1)若a=0，則c=0，∴f(x)=2bx

當-2≤x≤2時，f(x)的最大值與最小值一定互為相反數(shù)，與題意不符合，∴a≠0；

若a≠0，假設，∴區(qū)間[-2,2]在對稱軸的左外側或右外側，∴f(x)在[-2，2]上是單調函數(shù)，（這是不可能的）

(2)當，時，∵，所以，（圖1）

（圖2）

(1)當即，時（如圖1），則

所以是方程的較小根，即

(2)當

所以

即是方程，時（如圖2），則的較大根，即

時,等號成立），（當且僅當

由于，因此當且僅當

時，取最大值

類型二：利用數(shù)形結合思想解決方程中的參數(shù)問題 2．若關于x的方程

有兩個不同的實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍。

思路點撥：將方程的左右兩邊分別看作兩個函數(shù)，畫出函數(shù)的圖象，借助圖象間的關系后求解，可簡化運算。

解析：畫出

和的圖象，當直線過點，即時，兩圖象有兩個交點。

又由當曲線

與曲線

相切時，二者只有一個交點，設切點

又直線，則過切點，即，得，解得切點，∴當時，兩函數(shù)圖象有兩個交點，即方程有兩個不等實根。

誤區(qū)警示：作圖時，圖形的相對位置關系不準確，易造成結果錯誤。

總結升華：

1．解決這類問題時要準確畫出函數(shù)圖象，注意函數(shù)的定義域。

2．用圖象法討論方程（特別是含參數(shù)的方程）解的個數(shù)是一種行之有效的方法，值得注意的是首先把

方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個函數(shù)的表達式（有時可能先作適當調整，以便于作圖），然后作出兩

個函數(shù)的圖象，由圖求解。

3．在運用數(shù)形結合思想分析問題和解決問題時，需做到以下四點：

①要準確理解一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征；

②要恰當設參，合理用參，建立關系，做好轉化；

③要正確確定參數(shù)的取值范圍，以防重復和遺漏；

④精心聯(lián)想“數(shù)”與“形”，使一些較難解決的代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化,便于問題求解。

舉一反三：

【變式1】若關于x的方程在（－1，1）內有1個實根，則k的取值范圍是。

解析：把方程左、右兩側看作兩個函數(shù)，利用函數(shù)圖象公共點的個數(shù)來確定方程根的個數(shù)。

設（x∈－1，1）

如圖：當內有1個實根。

或時，關于x的方程在（－1，1）

【變式2】若0＜θ＜2π，且方程的取值范圍及這兩個實根的和。

有兩個不同的實數(shù)根，求實數(shù)m

解析：將原方程有兩個不同的

轉化為三角函數(shù)的圖象與直線

交點時，求a的范圍及α+β的值。

設，在同一坐標中作出這兩個函數(shù)的圖象

由圖可知，當

或

時，y1與y2的圖象有兩個不同交點，即對應方程有兩個不同的實數(shù)根，若，設原方程的一個根為，則另一個根為.∴.若，設原方程的一個根為，則另一個根為，∴.所以這兩個實根的和為或.且由對稱性可知，這兩個實根的和為

或。

類型三：依據(jù)式子的結構，賦予式子恰當?shù)膸缀我饬x，數(shù)形結合解答

3．求函數(shù)的最大值和最小值

思路點撥：可變形為，故可看作是兩點和的連線斜率的解求解。

方法一：數(shù)形結合 如圖，倍，只需求出范圍即可；也可以利用三角函數(shù)的有界性，反

可看作是單位圓上的動點，為圓外一點，由圖可知：

設直線的方程：，顯然，，解得，∴

方法二：令

，的幾何意義：

（1），總結升華：一些代數(shù)式所表示的幾何意義往往是解題的關鍵，故要熟練掌握一些代數(shù)式

表示動點（x，y）與定點（a，b）兩點間的距離；

（2）表示動點（x，y）與定點（a，b）兩點連線的斜率；

（3）求ax+by的最值，就是求直線ax+by=t在y軸上的截距的最值。

舉一反三：

【變式1】已知圓C：(x+2)2+y2=1，P（x，y）為圓C上任一點。

（1）求的最大、最小值；

（2）求的最大、最小值；

（3）求x―2y的最大、最小值。

解析：聯(lián)想所求代數(shù)式的幾何意義，再畫出草圖，結合圖象求解。

（1）

表示點（x，y）與原點的距離，由題意知P（x，y）在圓C上，又C（―2，0），半徑r=1。

∴|OC|=2。的最大值為2+r=2+1=3，的最小值為2―r=2―1=1。

（2）表示點（x，y）與定點（1，2）兩點連線的斜率，設Q（1，2），過Q點作圓C的兩條切線，如圖：

將整理得kx―y+2―k=0。

∴，解得，所以的最大值為，最小值為。

（3）令x―2y=u，則可視為一組平行線系，當直線與圓C有公共點時，可求得u的范圍，最值必在直線與圓C相切時取得。這時

∴

。，最小值為

。，∴x―2y的最大值為

【變式2】求函數(shù)

解析：的最小值。

則y看作點P（x，0）到點A（1，1）與B（3，2）距離之和

如圖，點A（1，1）關于x軸的對稱點A＇（1，－1），則 即為P到A，B距離之和的最小值，∴

【變式3】若方程x2+(1+a)x+1+a+b=0的兩根分別為橢圓、雙曲線的離心率，則值范圍是（）的取

A．

B．或

C．

D．或

解析：如圖

由題知方程的根，一個在（0，1）之間，一個在（1，2）之間，則，即

下面利用線性規(guī)劃的知識，則斜率

可看作可行域內的點與原點O（0，0）連線的 則，選C。

第二篇：高考復習數(shù)形結合思想

數(shù)形結合

定義：數(shù)形結合是一個數(shù)學思想方法，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個方面。

應用：大致可以分為兩種情形：或者是借助形的生動和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)為目的，比如應用函數(shù)的圖像來直觀地說明函數(shù)的性質；或者是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質。Ⅰ、再現(xiàn)題組：

1.設命題甲：0

B.必要非充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

2.若loga2

B.0

C.a>b>1

D.b>a>1 π23.如果|x|≤4,那么函數(shù)f(x)＝cosx＋sinx的最小值是_____。(89年全國文)A.2?12?11?2B.－2

C.－1

D.2

4.如果奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[3,7]上是增函數(shù)且最小值是5，那么f(x)的[-7,-3]上是____。(91年全國)A.增函數(shù)且最小值為－5

B.增函數(shù)且最大值為－5 C.減函數(shù)且最小值為－5

D.減函數(shù)且最大值為－5

y?35.設全集I＝{(x,y)|x,y∈R}，集合M＝{(x,y)| x?2＝1}，N＝{(x,y)|y≠x＋1}，那么M∪N等于_____。

(90年全國)A.φ

B.{(2,3)}

C.(2,3)

D.{(x,y)|y＝x＋1

θθθ6.如果θ是第二象限的角，且滿足cos2－sin2＝1?sinθ,那么2是_____。

A.第一象限角

B.第三象限角

C.可能第一象限角，也可能第三象限角

D.第二象限角

7.已知集合E＝{θ|cosθ

3π3π5πππ3πA.(2,π)

B.(4,4)

C.(π, 2)

D.(4,4)

5π8.若復數(shù)z的輻角為6，實部為－23，則z＝_____。

A.－23－2ｉ

B.－23＋2ｉ

C.－23＋23ｉ

D.－23－23ｉ

y229.如果實數(shù)x、y滿足等式(x－2)＋y＝3，那么x的最大值是_____。

(90年全國理)133A.B.3C.2

D.10.滿足方程|z＋3－3ｉ|＝3的輻角主值最小的復數(shù)z是_____。

【注】 以上各題是歷年的高考客觀題，都可以借助幾何直觀性來處理與數(shù)有關的問題，即借助數(shù)軸（①題）、圖像（②、③、④、⑤題）、單位圓（⑥、⑦題）、復平面（⑧、⑩題）、方程曲線（⑨題）。Ⅱ、示范性題組：

例1.若方程lg(－x＋3x－m)＝lg(3－x)在x∈(0,3)內有唯一解，求實數(shù)m的取值范圍。2z1例2.設|z1|＝5，|z2|＝2, |z1－z2|＝13，求z2的值。

pp例3.直線L的方程為：x＝－

2(p>0),橢圓中心D(2＋2,0)，焦點在x軸上，長半軸為2，短半軸為1，它的左頂點為A。問p在什么范圍內取值，橢圓上有四個不同的點，它們中每一個點到點A的距離等于該點到直線L的距離？

Ⅲ、鞏固性題組：

1.已知5x＋12y＝60，則x2?y2的最小值是_____。A.60 B.13 C.13 D.1 135122.已知集合P＝{(x,y)|y＝9?x2}、Q＝{(x,y)|y＝x＋b}，若P∩Q≠φ，則b的取值范圍是____。

A.|b|<3 B.|b|≤32 C.－3≤b≤32 D.－3

A.1 B.2 C.3 D.以上都不對 4.方程x＝10sinx的實根的個數(shù)是_______。

5.若不等式m>|x－1|＋|x＋1|的解集是非空數(shù)集，那么實數(shù)m的取值范圍是_________。6.設z＝cosα＋1ｉ且|z|≤1,那么argz的取值范圍是____________。

2x27.若方程x－3ax＋2a＝0的一個根小于1，而另一根大于1，則實數(shù)a的取值范圍是______。

8.sin20°＋cos80°＋3sin20°·cos80°＝____________。22229.解不等式： ?x2?2x>b－x

?x?2x?a≤0的解集，試確定a、b10.設A＝{x|<1x<3}，又設B是關于x的不等式組??2??x?2bx?5≤02的取值范圍，使得A?B。（90年高考副題）

11.定義域內不等式2?x〉x＋a恒成立，求實數(shù)a的取值范圍。

12.已知函數(shù)y＝(x?1)2?1＋(x?5)2?9，求函數(shù)的最小值及此時x的值。13.已知z∈C，且|z|＝1，求|(z＋1)(z－ｉ)|的最大值。

14.若方程lg(kx)＝2lg(x＋1)只有一個實數(shù)解，求常數(shù)k的取值范圍。

第三篇：中考沖刺：數(shù)形結合問題(基礎)

中考沖刺：數(shù)形結合問題(基礎)

一、選擇題

1．（2016?棗莊）如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，給出以下四個結論：

①abc=0，②a+b+c＞0，③a＞b，④4ac﹣b2＜0；其中正確的結論有（）

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

2.從邊長為a的大正方形紙板中挖去一個邊長為b的小正方形紙板后，將其裁成四個相同的等腰梯形（如圖甲）然后拼成一個平行四邊形（如圖乙）.那么通過計算兩個圖形陰影部分的面積,可以驗證成立的公式為（）

A、B、C、D、二、填空題

3.實數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的對應點的位置如圖所示，下列式子中正確的序號為____________.①b+c＞0

②a+b>a+c

③ac＜bc

④ab＞ac

4.（2016?通遼）如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的一部分，圖象過點A（﹣3，0），對稱軸為直線x=﹣1，給出以下結論：

①abc＜0

②b2﹣4ac＞0

③4b+c＜0

④若B（﹣，y1）、C（﹣，y2）為函數(shù)圖象上的兩點，則y1＞y2

⑤當﹣3≤x≤1時，y≥0，其中正確的結論是（填寫代表正確結論的序號）______．

三、解答題

5.某醫(yī)藥研究所開發(fā)了一種新藥,在試驗藥效時發(fā)現(xiàn),如果成人按規(guī)定劑量服用,那么2個小時時血液中含藥最高,達每毫升6微克(1微克=10-3毫克),接著逐步衰減,10小時時血液中含藥量為每毫升3微克,每毫升血液中含藥量y(微克)隨時間x(小時)的變化如圖所示.當成人按規(guī)定劑量服藥后.（1）分別求出x≤2和x≥2時y與x的函數(shù)解析式；

（2）如果每毫升血液中含量為4微克或4微克以上時,在治療疾病時是有效的,那么這個有效時間有多長?

6．圖1是一個長為2m、寬為2n的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長方形，然后按圖2的形狀拼成一個正方形．

（1）你認為圖2中的陰影部分的正方形的邊長等于

_____；

（2）請用兩種不同的方法求圖2中陰影部分的面積．①

______②_______；

（3）觀察圖2你能寫出下列三個代數(shù)式之間的等量關系嗎？

（4）運用你所得到的公式，計算若mn=-2，m-n=4，求（m+n）2的值．

（5）用完全平方公式和非負數(shù)的性質求代數(shù)式x2+2x+y2-4y+7的最小值．

7.為發(fā)展電信事業(yè)，方便用戶，電信公司對移動電話采取不同的收費方式，其中，所使用的“便民卡”與“如意卡”在某市范圍內每月（30天）的通話時間x（min）與通話費y（元）的關系如圖所示：

（1）分別求出通話費y1，y2與通話時間x之間的函數(shù)關系式；

（2）請幫用戶計算，在一個月內使用哪一種卡便宜．

8.（長寧區(qū)二模）如圖，一次函數(shù)y=ax﹣1（a≠0）的圖象與反比例函數(shù)y=（k≠0）的圖象相交于A、B兩點且點A的坐標為（2，1），點B的坐標（﹣1，n）．

（1）分別求兩個函數(shù)的解析式；

（2）求△AOB的面積．

9.請同學們仔細閱讀如圖所示的計算機程序框架圖，回答下列問題：

（1）如果輸入值為2，那么輸出值是多少？

（2）若要使輸入的x的值只經過一次運行就能輸出結果，求x的取值范圍；

（3）若要使開始輸入的x的值經過兩次運行才能輸出結果，那么x的取值范圍又是多少？

10.觀察如圖所包含規(guī)律（圖中三角形均是直角三角形，且一條直角邊始終為1，四邊形均為正方形．S1，S2，S3，…Sn依次表示正方形的面積，每個正方形邊長與它左邊相鄰的直角三角形斜邊相等），再回答下列問題．

（1）填表：

直角邊

A1B1

A2B2

A3B3

A4B4

…

AnBn

長度

…

（2）當s1+s2+s3+s4+…+sn=465時，求n．

11.某報社為了了解讀者對該報社一種報紙四個版面的認可情況，對讀者做了一次問卷凋查，要求讀者選出自己最喜歡的一個版面，并將調查結果繪制成如下的統(tǒng)計圖，請你根據(jù)圖中提供的信息解答下列問題．

（1）在這次活動中一共調查了多少讀者？

（2）在扇形統(tǒng)計圖中，計算第一版所在扇形的圓心角度數(shù)；

（3）請你求出喜歡第四版的人數(shù)，并將條形統(tǒng)計圖補充完整．

答案與解析

【答案與解析】　　一、選擇題

1．【答案】C；

【解析】∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象經過原點，∴c=0，∴abc=0∴①正確；

∵x=1時，y＜0，∴a+b+c＜0，∴②不正確；

∵拋物線開口向下，∴a＜0，∵拋物線的對稱軸是x=﹣，∴﹣，b＜0，∴b=3a，又∵a＜0，b＜0，∴a＞b，∴③正確；

∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象與x軸有兩個交點，∴△＞0，∴b2﹣4ac＞0，4ac﹣b2＜0，∴④正確；

綜上可得，正確結論有3個：①③④．

2．【答案】D；

二、填空題

3．【答案】②③④；

4．【答案】②③⑤；

【解析】由圖象可知，a＜0，b＜0，c＞0，∴abc＞0，故①錯誤．

∵拋物線與x軸有兩個交點，∴b2﹣4ac＞0，故②正確．

∵拋物線對稱軸為x=﹣1，與x軸交于A（﹣3，0），∴拋物線與x軸的另一個交點為（1，0），∴a+b+c=0，﹣=﹣1，∴b=2a，c=﹣3a，∴4b+c=8a﹣3a=5a＜0，故③正確．

∵B（，y1）、C（，y2）為函數(shù)圖象上的兩點，點C離對稱軸近，∴y1＜y2，故④錯誤，由圖象可知，﹣3≤x≤1時，y≥0，故⑤正確．

∴②③⑤正確.三、解答題

5．【答案與解析】

解：

（1）當x≤2時，設y=kx，把（2，6）代入上式，得k=3，∴x≤2時，y=3x；

當

x≥2時，設y=kx+b，把（2，6），（10，3）代入上式，得

k=，b=

∴x≥2時，y=x+

（2）把y=4代入y=3x，得x1=

把y=4代入y=x+

得x2=

則x2-x1=6（小時）．

答：這個有效時間為6小時．

6．【答案與解析】

解：

（1）由圖可知，陰影部分小正方形的邊長為：m-n；

（2）根據(jù)正方形的面積公式，陰影部分的面積為（m-n）2，還可以表示為（m+n）2-4mn；

（3）根據(jù)陰影部分的面積相等，（m-n）2=（m+n）2-4mn；

（4）∵mn=-2，m-n=4，∴（m+n）2=（m-n）2+4mn=42+4×（-2）=16-8=8；

（5）x2+2x+y2-4y+7，=x2+2x+1+y2-4y+4+2，=（x+1）2+（y-2）2+2，∵（x+1）2≥0，（y-2）2≥0，∴（x+1）2+（y-2）2≥2，∴當x=-1，y=2時，代數(shù)式x2+2x+y2-4y+7的最小值是2．

故答案為：（1）m-n；（2）（m-n）2，（m+n）2-4mn；（3）（m-n）2=（m+n）2-4mn．（4）8

（5）

最小值是2.7.【答案與解析】

解：

（1）設y1=kx+b，將（0，29），（30，35）代入，解得k=，b=29，∴y1=x+29，又24×60×30=43200（min）（屬于隱含條件）

∴y1=x+29

（0≤x≤43200），同樣求得y2=x

(0≤x≤43200)；

（2）當y1=y2時，x+29=x，x=；

當y1＜y2時，x+29＜x，x＞．

所以，當通話時間等于min時，兩種卡的收費一致，當通話時間小于?min時，“如意卡便宜”，當通話時間大于?min時，“便民卡”便宜．

8.【答案與解析】

解：（1）一次函數(shù)y=ax﹣1（a≠0）的圖象與反比例函數(shù)y=（k≠0）的圖象相交于A、B兩點且點A的坐標為（2，1），解得

一次函數(shù)的解析式是y=x﹣1，反比例函數(shù)的解析式是y=；

（2）當x=0時，y=﹣1，S三角形AOB=|﹣1|×2+|﹣1|×|﹣1|

=1+

=．

9.【答案與解析】

解：

（1）依據(jù)題中的計算程序列出算式：3×2+1，∵3×2+1=7，7＜9，∴應該按照計算程序繼續(xù)計算，3×7+1=22＞9，∴如果輸入值為2，那么輸出值是22．

（2）依題意，有3x+1＞9，解得

x＞；

（3）依題意，有

解得＜x≤.10.【答案與解析】

解：

（1），直角邊

A1B1

A2B2

A3B3

A4B4

…

AnBn

長度

…

（2）S1=（）2=2，S2=（）2=3，S3=22=4，S4=（）2=5，……..Sn=（）2=n+1；

由

s1+s2+s3+s4+…+sn=465可得：1+2+3+4+5+…+n=465，(1+n)

×n=465

解得：n=-31（不合題意舍去）或n=30，故：

n=30．

11.【答案與解析】

解：

（1）這次活動中一共調查了500÷10%=5000（人）；

（2）第一版所在扇形的圓心角度數(shù)=360°×（1-20%-40%-10%）=108°；

（3）喜歡第四版的人數(shù)是：5000×20%=1000（人），如下圖所示：

第四篇：中考沖刺：數(shù)形結合問題(提高)

中考沖刺：數(shù)形結合問題(提高)

一、選擇題

1．（2016?黃岡模擬）如圖1為深50cm的圓柱形容器，底部放入一個長方體的鐵塊，現(xiàn)在以一定的速度向容器內注水，圖2為容器頂部離水面的距離y（cm）隨時間t（分鐘）的變化圖象，則（）

A．注水的速度為每分鐘注入cm高水位的水

B．放人的長方體的高度為30cm

C．該容器注滿水所用的時間為21分鐘

D．此長方體的體積為此容器的體積的2.若用(a)、(b)、(c)、(d)四幅圖像分別表示變量之間的關系，請按圖像所給順序，將下面的①、②、③、④對應順序.①

小車從光滑的斜面上滑下(小車的速度與時間的關系)

②

一個彈簧不掛重物到逐漸掛重物(彈簧長度與所掛重物的重量的關系)

③

運動員推出去的鉛球(鉛球的高度與時間的關系)

④

小楊從A到B后，停留一段時間，然后按原速度返回(路程與時間的關系)

正確的順序是

（）

A．③④②①

B．①②③④　　　C．②③①④

D．④①③②

二

填空題

3.如圖，一種電子游戲，電子屏幕上有一正六邊形ABCDEF，點P沿直線AB從右向左移動，當出現(xiàn)點P與正六邊形六個頂點中的至少兩個頂點距離相等時，就會發(fā)出警報，則直線AB上會發(fā)出警報的點P有______個.4.（2015秋?江陰市期中）如圖1，圓的周長為4個單位．在該圓的4等分點處分別標上字母m、n、p、q．如圖2，先將圓周上表示p的點與數(shù)軸原點重合，然后將該圓沿著數(shù)軸的負方向滾動，則數(shù)軸上表示﹣2014的點與圓周上重合的點對應的字母是______．

5.（2016?鄂州一模）如圖（1）所示，E為矩形ABCD的邊AD上一點，動點P、Q同時從點B出發(fā)，點P沿折線BE﹣ED﹣DC運動到點C時停止，點Q沿BC運動到點C時停止，它們運動的速度都是1cm/秒，設P、Q同時出發(fā)t秒時，△BPQ的面積為ycm2，已知y與t的函數(shù)關系圖象如圖（2），當t=____________時，△ABE與△BQP相似．

三、解答題

6.將如圖所示的長方體石塊（a＞b＞c）放入一圓柱形水槽內，并向水槽內勻速注水，速度為v?cm3/s，直至注滿水槽為止．石塊可以用三種不同的方式完全放入水槽內，如圖所示．

在這三種情況下,水槽內的水深h（cm）與注水時間?t（s）的函數(shù)關系如上圖1-6所示,根據(jù)圖象完成下列問題

（1）請分別將三種放置方式的示意圖和與之相對應的函數(shù)關系圖象用線連接起來；

（2）水槽的高h=______cm；石塊的長a=______cm；寬b=______cm；高c=______cm；

（3）求圖5中直線CD的函數(shù)關系式；

（4）求圓柱形水槽的底面積S．

7.在數(shù)學活動中，小明為了求的值（結果用n表示），設計如圖1所示的幾何圖形．

（1）請你利用這個幾何圖形求的值為_______；

（2）請你利用圖2，再設計一個能求的值的幾何圖形．

8.（2015秋?北京校級期中）如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，△ABC的頂點B是y軸正半軸上一個定點，D是BO的中點．點C在x軸上，A在第一象限，且滿足AB=AO，N是x軸負半軸上一點，∠BCN=∠BAO=α．

（1）當點C在x軸正半軸上移動時，求∠BCA；（結果用含α的式子表示）

（2）當某一時刻A（20，17）時，求OC+BC的值；

（3）當點C沿x軸負方向移動且與點O重合時，α=______，此時

以AO為斜邊在坐標平面內作一個Rt△AOE（E不與D重合），則∠AED的度數(shù)的所有可能值有______．（直接寫出結果）

9．閱讀材料，解答問題．

利用圖象法解一元二次不等式：x2﹣2x﹣3＞0．

解：設y=x2﹣2x﹣3，則y是x的二次函數(shù)．∵a=1＞0，∴拋物線開口向上．

又∵當y=0時，x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3．

∴由此得拋物線y=x2﹣2x﹣3的大致圖象如圖所示．

觀察函數(shù)圖象可知：當x＜﹣1或x＞3時，y＞0．

∴x2﹣2x﹣3＞0的解集是：x＜﹣1或x＞3．

（1）觀察圖象，直接寫出一元二次不等式：x2﹣2x﹣3＜0的解集是　_________??；

（2）仿照上例，用圖象法解一元二次不等式：x2﹣1＞0（畫出草圖）.10．（1）夜晚，小明在路燈下散步．已知小明身高1.5米，路燈的燈柱高4.5米．①如圖1，若小明在相距10米的兩路燈AB、CD之間行走（不含兩端），他前后的兩個影子長分別為FM=x米，F(xiàn)N=y米，試求y與x之間的函數(shù)關系式，并指出自變量x的取值范圍？

②有言道：形影不離．其原意為：人的影子與自己緊密相伴，無法分離．但在燈光下，人的速度與影子的速度卻不是一樣的！如圖2，若小明在燈柱PQ前，朝著影子的方向（如圖箭頭），以0.8米/秒的速度勻速行走，試求他影子的頂端R在地面上移動的速度．

（2）我們知道，函數(shù)圖象能直觀地刻畫因變量與自變量之間的變化關系．相信，大家都聽說過龜兔賽跑的故事吧．現(xiàn)有一新版龜兔賽跑的故事：由于兔子上次比賽過后不服氣，于是單挑烏龜再來另一場比賽，不過這次路線由烏龜確定…比賽開始，在同一起點出發(fā)，按照規(guī)定路線，兔子飛馳而出，極速奔跑，直至跑到一條小河邊，遙望著河對岸的終點，兔子呆坐在那里，一時不知怎么辦．過了許久，烏龜一路跚跚而來，跳入河中，以比在陸地上更快的速度游到對岸，抵達終點，再次獲勝．根據(jù)新版龜兔賽跑的故事情節(jié)，請在同一坐標系內（如圖3），畫出烏龜、兔子離開終點的距離s與出發(fā)時間t的函數(shù)圖象示意圖（實線表示烏龜，虛線表示兔子）.答案與解析

【答案與解析】　　一、選擇題

1.【答案】C；

【解析】設AB的解析式為y=k1t+b1，BC的解析式為y=k2t+b2，由題意得，解得：，∴y=，A、當0≤t≤3時，注水的速度為每分鐘注入cm高水位的水，當3＜t≤21時，注水的速度為每分鐘注入cm高水位的水；

B、由圖象知，那樣放置在圓柱體容器內的長方體的高為50﹣30=20cm；

C、令y=0，則﹣x+35=0，解得：x=21，∴該容器注滿水的時間為21秒．

D、設每秒鐘的注水量為mcm3．

則下底面中未被長方體覆蓋部分的面積是：m÷=（cm2），圓柱體的底面積為：m÷=cm2．

二者比為：=1：4，∴長方體底面積：圓柱體底面積=3：4．

∵圓柱高：長方體高=20：50=2：5，∴長方體體積：圓柱體體積=6：20=3：10，∴圓柱體的體積為長方體容器體積的；

故選C．

2.【答案】A；

二、填空題

3.【答案】5.【解析】如圖，分別以一頂點為定點，連接其與另一頂點的連線，在此圖形中根據(jù)平行線分線段成比例定理

可知，CD∥BE∥AF，ED∥FC∥AB，EF∥AD∥BC，EC∥FB，AE∥BD，AC∥FD，根據(jù)垂直平分線的性質及正六邊形的性質可知,相互平行的一組線段的垂直平分線相等，在這五組

平行線段

中AE、BD與AB垂直，其中垂直平分線必與AB平行，故無交點．

故直線

AB上會發(fā)出警報的點P有：CD、ED、EF、EC、AC的垂直平分線與直線AB的交點，共五個．

4.【答案】m

【解析】∵由題意可得，q、m、n、p第一次在數(shù)軸上對應的點為﹣1、﹣2、﹣3、﹣4，即每四個為一個循環(huán)，∴2014÷4=503…2

∴數(shù)軸上表示﹣2014的點與圓周上重合的點對應的字母是m．

故答案為：m．

5.【答案】秒；

【解析】由圖象可知，BC=BE=5，AB=4，AE=3，DE=2，∵△ABE與△BQP相似，∴點E只有在CD上，且滿足=，∴=，∴CQ=．

∴t=（BE+ED+DQ）÷1=5+2+（4﹣）=．

三、解答題

6.【答案與解析】

（1）（1）圖1與圖4相對應，圖2與圖6相對應，圖3與圖5相對應；

（2）10；

a=10；

b=9；

c=6.（3）由題意可知C點的坐標為（45，9），D點的坐標為（53，10），設直線CD的函數(shù)關系式為h=kt+b，∴

解得

∴直線CD的函數(shù)關系式為h=；

（4）石塊的體積為abc=540cm3，根據(jù)圖4和圖6可得：.解得S=160（cm2）.7.【答案與解析】

（1）設總面積為：1，最后余下的面積為：，故幾何圖形的值為：的值為.故答案為：.8.【答案與解析】

解：（1）過A分別作AM⊥BC于E，AF⊥x軸于F，則∠AMB=∠AFO=90°，設AO與BC交于點P，在△ABP和△COP中，∠BAO=∠BCN，∠BPA=∠CPO，∴∠ABP=∠COP，即∠ABM=∠AOF，在△ABM和△AOF中，∴△ABM≌△AOF（AAS），∴AM=AF，∴CA平分∠BCF，∴．

∵∠BCN=α，∴∠BCM=180°﹣α，∴；

（2）∵△ABM≌△AOF，△ACM≌△ACF，∴BM=OF，CM=CF，∵OC+BC=OC+BM+CM，∴OC+BC=OC+OF+CF=2OF，∵A（20，17），∴OF=20，∴OC+BC=40；

（3）當點C沿x軸負方向移動且與點O重合時，∵x軸與y軸垂直，∴α=90°，此時

以AO為斜邊在坐標平面內作一個Rt△AOE（E不與D重合），則∠AED的度數(shù)的所有可能值有∠AED=45°或135°．

故答案為：90°；45°或135°．

9．【答案與解析】

解：（1）-1＜x＜3；

（2）設y=x2-1，則y是x的二次函數(shù)，∵a=1＞0，∴拋物線開口向上．

又

∵當y=0時，x2-1=0，解得

x1=-1，x2=1．

∴由此得拋物線y=x2-1的大致圖象如圖所示．

觀察函數(shù)圖象可知：當

x＜-1或x＞1時，y＞0．

∴x2-1＞0的解集是：x＜-1或x＞1．

10.【答案與解析】

解：（1）∵EF∥AB，∴∠MEF=∠A，∠MFE=∠B．

∴△MEF∽△MAB．

①?===．

∴=，MB=3x

BF=3x-x=2x．

同理，DF=2y．

∵BD=10，∴2x+2y=10，∴y=-x+5，∵當EF接近AB時，影長FM接近0；

當EF接近CD時，影長FM接近5，∴0＜x＜，②如圖2所示，設運動時間為t秒，則EE′=FF′=0.8t,∵EF∥PQ,∴∠REF=∠RPQ，∠RFE=∠RQP,∴△REF∽△RPQ,∴

∴

∵EE′∥RR′,∴∠PEE＇=∠PRR＇，∠PE′E=∠PR′R,∴△PEE′∽△PRR′,∴

∴

∴RR＇=1.2t

∴.（2）如圖3所示．

第五篇：學習心得數(shù)形結合

數(shù)形結合學習心得

低年段數(shù)學中的數(shù)形結合思想很多。例如：在教學100以內進位加法時，我通過課件演示28根小棒加72根小棒兩次滿十進一的過程使學生理解相同數(shù)位對齊、滿十進一的道理。通過多媒體教學，既充分展現(xiàn)數(shù)與形之間的內在關系，又激發(fā)了學生的好奇心和求知欲，為培養(yǎng)學生數(shù)形結合的興趣提供了可靠的保證。

又例如：在教學有余數(shù)的除法時，我是利用7根小棒來完成的教學的。首先出示7根小棒，問能拼成幾個三角形？要求學生用除法算式表示拼三角形的過程。像這樣，把算式形象化，學生看到算式就聯(lián)想到圖形，看到圖形能聯(lián)想到算式，更加有效地理解算理。

再如：教學連除應用題時，課一始，呈現(xiàn)了這樣一道例題：“有30個桃子，有3只猴子吃了2天，平均每天每只猴子吃了幾個？”請學生嘗試解決時，教師要求學生在正方形中表示出各種算式的意思。學生們經過思考交流，呈現(xiàn)了精彩的答案。

30÷2÷3，學生畫了右圖：平均分成2份，再將獲得一份平均分成3份。

30÷3÷2，學生畫了右圖：先平均分成3份，再將獲得一份平均分成2份。

30÷（3×2），學生畫了右圖：先平均分成6份，再表示出其中的1份。

在教學中我要求學生在正方形中表示思路的方法，是一種在畫線段圖基礎上的演變和創(chuàng)造。因為正方形是二維的，通過在二維圖中的表達，讓學生很容易地表達出了小猴的只數(shù)、吃的天數(shù)與桃子個數(shù)之間的關系。通過數(shù)形結合，讓抽象的數(shù)量關系、思考思路形象地外顯了，非常直觀，易于中下學生理解。在教學實踐中，這樣的例子多不勝數(shù)。數(shù)形結合，其實質是將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形聯(lián)系起來，使抽象思維和形象思維結合起來，通過對圖形的處理，發(fā)揮直觀對抽象的支柱作用，揭示數(shù)和形之間的內在聯(lián)系，實現(xiàn)抽象概念和具體形象、表象之間的轉化，發(fā)展學生的思維。數(shù)形結合是學生建構知識的一個拐杖，有了這根拐杖，學生們才能走得更穩(wěn)、更好。