第一篇：高考數(shù)學(xué)思想方法專(zhuān)題講義3--數(shù)形結(jié)合的思想

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高考數(shù)學(xué)思想方法專(zhuān)題講義3－－數(shù)形結(jié)合的思想

1．設(shè)f(x)?1?x2，a，b?R，且a≠b，求證：f(a)?f(b)?a?b．

2．求下列函數(shù)的最值：（1）y（2）y?2x2?5x?4?2x2?2x?1的最小值； ?x2?2x?26?x2?6x?13的最大值．

p?4的實(shí)數(shù)p，使得x2?px?4x?p?3恒成立，求x的取值范圍． 3．對(duì)于滿足0?4．已知z?1，求u?2zi?5?4i的最值．

x2?4?a?1有相異實(shí)根的個(gè)數(shù)． 5．討論方程6．已知a?1，b?1，求證：a?b?1．

1?ab?q），求它的第p?q項(xiàng)和第p?q項(xiàng)．

． 7．已知等差數(shù)列的第p項(xiàng)為q，第q項(xiàng)為P（p8．求證：2a12?a2?b12?b22?a1?b1?a2?b29．在△ABC中，已知a＝10，c－b＝8，求證：tg10．設(shè)z?C，a?R，且az11．已知sin??sinBC1ctg?． 229?0，求證：z?a?z?a?z為純虛數(shù)．

??11，cos??cos??，求tg(???)． 43?2，求z?u2?4?v2?1的最小值． 12．已知u，v，是正數(shù)，且u?v13．求函數(shù)y?14．已知m?3(x?2)?8?x的值域．

n?0，求證：m2?n2?2mn?n2?m．

215設(shè)定點(diǎn)M（－3，4），動(dòng)點(diǎn)N在圓x?y2?4上運(yùn)動(dòng)，以O(shè)M，ON為兩邊作□MONP，求P點(diǎn)的軌跡．

表示兩曲線有公共點(diǎn)，求半徑r的最值． 22??x?4y?4,16．已知?222??(x?4)?y?rx2y2217．當(dāng)m，a，b滿足什么條件時(shí)，橢圓2?2?1（a?0，b?0）與拋物線y?x?m有四個(gè)交點(diǎn)？

ab數(shù)形結(jié)合的思想?yún)⒖即鸢?/p>

1．將，1?a2，1?b2分別看做兩直角三角形的斜邊，于是可以構(gòu)造圖2－1．設(shè)Rt△POA中，PO＝1，OA＝a，則 PA

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?1?a2．在Rt△POB中，OB＝b，則

PB?1?b2．在△PAB中，PA?PB?AB，于是可得f(a)?f(b)?a?b（當(dāng)a?b結(jié)論一樣成立）

2．（1）提示：配方得y55711?2((x?)2??(x?)2?)，可視為P（x，0）分別與A（441624，74），B（?1，2?1）這兩點(diǎn)的距離之和．由于A，B分別位于x軸的上方和下方，顯然當(dāng)P在A，B連線與x軸交點(diǎn)時(shí)PA?PB最短，最小值為22AB?230?272（2）提示：配方得y?(x?1)2?52?(x?3)2?22，可視為P（x，0）分別與A（－1，5），B（3，2）的距離之差的最大值，由于A，B位于x軸的同旁，由幾何知識(shí)知，P在AB與x軸交點(diǎn)的位置上，最大值為

AP?BP最大，?AB?5．AB，直線AB的方程為y?25?217?．令，y?0，得x?x?3?1?332．故點(diǎn)P位于（173，0）時(shí)，ymax3．原不等式整理成(x?1)P?(x?4x?3)>0，設(shè)f(b)?(x?1)p?(x2?4x?3)．可視為p的一次函數(shù)，由圖象

2?f(0)?0,??x?4x?3?0,?x?3或x??1 可知，f(p)在［0，4］恒大于零，只需用?即?2?f(4)?0,??x?1?04．u5?2i?z?i?22，因此，u表示單位圓

（－2，－z?1上的點(diǎn)z與點(diǎn)A

52）的距離的2倍．由幾何知識(shí)知，AB，AC分別是最小值、最大值，即

umax?2AC?2(OA?OC)?41?2，umin?2AB?2(OA?OB)?41?2

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5．提示：在同一坐標(biāo)系中作出y同的根；當(dāng)a?x2?4和y?a?1的圖象如圖，從圖象可以看出：當(dāng)a??1，a?3時(shí)，方程有兩個(gè)不?3時(shí)，方程有三個(gè)不同的根；當(dāng)?1?a?3時(shí)，方程有四個(gè)不同的根；當(dāng)a??1時(shí)，方程沒(méi)有根

a?b?1a?b(a?1)(b?1)AP1?ab6．設(shè)數(shù)軸上三點(diǎn)A，P，B的坐標(biāo)分別為－1，1，則??＝．∵ a?1，?b?1，a?b1?ab(a?1)(b?1)PB1?1?ab∴ ??0．即P是AB的內(nèi)分點(diǎn)，于是?1?7．由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式ana?ba?b?1即?1

1?ab1?ab，B（q，p）是平?a1?(n?1)，得點(diǎn)（n，an）在直線y?a1?(x?1)d上．設(shè)A（p，q）面直角坐標(biāo)系中的兩點(diǎn)，則AB的直線方程為y?q?p?q(x?p)，即y?p?q?x．∵

點(diǎn)（n，an）在an這條直線上，q?p∴ an?p?q?n．于是，ap?q?0，ap?q?2q

8．提示：設(shè)A（a1，a2），B（b1，b2），C（b1，a2），則原式左邊＝9．如圖，以線段BC的中點(diǎn)O為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，∵

OA?OB?AB?AC?BC＝右邊

BC?10，AB?AC?8,∴

A（x0，y0）在雙曲線

．∵

55x2y2??1的右支上．從而，由焦半徑公式得AB?x0?4，AC?x0?444169ACcoCs?5?x0，＝ABcosB?5?x，∴

tgBC?ctg22

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BCBBCcos2sincos2cos22?222?2?sinB?1?cosC?BCBCC1?cosBsinCcossin2cos22sincos222225x0?4?5?x0x?114?0? 5x0?4?5?x09(x0?1)94sin?AC?ACcosCAB?ABcosB＝

10．在復(fù)平面內(nèi)，z，a，－a所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為P，A，B，∵

∴

A、B在實(shí)軸上．

z?0，故P不可能在坐標(biāo)原點(diǎn)，即AB的中點(diǎn)．又a?R，a?0，z?a?z?a?AP?BP?動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為線段AB的中垂線除去AB的中點(diǎn)?P點(diǎn)的軌跡為虛

16軸（除去原點(diǎn)）?z為純虛數(shù)．

11．設(shè)A（cos?，sin?），B（cos?，sin，則A，B在單位圓上，連結(jié)AB．若C是AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（?），∠DOC＝，1），連結(jié)OC，則OC⊥AB．設(shè)D（1，0），連結(jié)OA，OB，則有∠DOA＝?，∠DOB＝?81???2tg24832∠DOC＝?，tg(???)? ?1472???1?tg26???2，tg

???2＝tg

12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)點(diǎn)（u，2），B（－v，－1），則

z?OA?OB?AB，而

u?v42AB?(u?v)2?(2?1)2?22?32?13，v?即z?13，等號(hào)成立條件u?v?2，?．即u?，2?133

時(shí)成立．故zmin

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?13

13．令x?2?t，原函數(shù)為y2?3t?10?t2（t?0），設(shè)v?y?3t，則

①??v??3t?y, ?2??v?10?t(t?0).方程①表示斜率為－3的直線，方程②表示四分之一圓．原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為過(guò)圓②上的點(diǎn)，求①中直線截距的取值范圍．如圖，過(guò)圓上

?3?0?y3?1．解得y?2∴ 10．的點(diǎn)（0，時(shí)，截距最小，ymin?10．當(dāng)直線與圓②相切時(shí)，其截距最大，即10?10）

② 10?y?210

14．如圖，在Rt△ACB中，AB＝m，BC＝n，則AC?∴ 又∵

m2?n2．∵

AC?BC?AB

m2?n2?n?m．

①

m?n?0，∴

mn?n2，2mn?2n2，2mn?n2?n2，即2mn?n2?n ②

由①、②知，m2?n2?2mn?n2?m

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16．如圖，設(shè)P點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為

x?yi，M所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為?3?4i，N所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z1，．即

z1?2．∵，∴ OP?OM?ON，∴ x?yi??3?4i?ziz1?(x?3)?(y?4)i，∵

z1?2(x?3)2?(y?4)2?4．但點(diǎn)M，O，N

46??x與x2?y2?4，解得x1?，358686868y1??；x2??，y2?．因此，所求軌跡為圓(x?3)2?(y?4)2?4，但應(yīng)除去兩點(diǎn)（，?），（?，）5555555共線時(shí)，不能構(gòu)成平行四邊形，由y

x2217．將方程x?4y?4化為標(biāo)準(zhǔn)形式2?y?1，它表示中心在（0，0），長(zhǎng)半軸為2且在x軸上，短半軸為1的橢圓．而

222方程(x?4)20）的同心圓系，如圖，可知當(dāng)2?r?6時(shí)，兩曲線有公共點(diǎn)．即rmax?6，rmin?2 ?y2?r2表示圓心在A（4，taoti.tl100.com 你的首選資源互助社區(qū)

?x2?x?m,b2b2?2222f(y)?y?y?m?b?0．要使兩曲線有四個(gè)交點(diǎn)，方程f(y)?0在（－18．由?x消去x，得y22aa?2?2?1,b?ab2b，b）內(nèi)有兩個(gè)不同的實(shí)根．由于函數(shù)f(y)為開(kāi)口向上的拋物線，而對(duì)稱(chēng)軸方程為y??2a2．因此，有

?b2?f(?2)?0,2a??b?2a2,22b?b?22??b??2?b,??b2即兩曲線有四個(gè)交點(diǎn)的充要條件為b?2a，且b??m?a?4a222a??b??m?a?2.4a??f(?b)?0,??f(b)?0

第二篇：高考數(shù)學(xué)專(zhuān)題復(fù)習(xí)：數(shù)形結(jié)合思想

高考沖刺：數(shù)形結(jié)合

編稿：林景飛

審稿：張揚(yáng)

責(zé)編：辛文升 熱點(diǎn)分析 高考動(dòng)向

數(shù)形結(jié)合應(yīng)用廣泛，不僅在解答選擇題、填空題中顯示出它的優(yōu)越性，而且在解決一些抽象數(shù)學(xué)問(wèn)題中常起到事半功倍的效果。高考中利用數(shù)形結(jié)合的思想在解決選、填題中十分方便，而在解答題中書(shū)寫(xiě)應(yīng)以代數(shù)推理論證為主，幾何方法可作為思考的方法。數(shù)形結(jié)合的重點(diǎn)是研究“以形助數(shù)”，但“以數(shù)解形”在近年高考試題中也得到了加強(qiáng)，其發(fā)展趨勢(shì)不容忽視。歷年的高考都有關(guān)于數(shù)形結(jié)合思想方法的考查，且占比例較大。

知識(shí)升華

數(shù)形結(jié)合是通過(guò)“以形助數(shù)”（將所研究的代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究其對(duì)應(yīng)的幾何圖形）或“以數(shù)助形”（借助數(shù)的精確性來(lái)闡明形的某種屬性），把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形結(jié)合起來(lái)思考，也就是將抽象思維與形象思維有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，是解決問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)思想方法。它能使抽象問(wèn)題具體化，復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，在數(shù)學(xué)解題中具有極為獨(dú)特的策略指導(dǎo)與調(diào)節(jié)作用。

具體地說(shuō)，數(shù)形結(jié)合的基本思路是：根據(jù)數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造出與之相應(yīng)的幾何圖形，并利用圖形的特性和規(guī)律，解決數(shù)的問(wèn)題；或?qū)D形信息全部轉(zhuǎn)化成代數(shù)信息，使解決形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的討論。

選擇題，填空題等客觀性題型，由于不要求解答過(guò)程，就某些題目而言，這給學(xué)生創(chuàng)造了靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，尋找快速思路的空間。但在解答題中，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想時(shí)，要注意輔之以嚴(yán)格的邏輯推理，“形”上的直觀是不夠嚴(yán)密的。1．高考試題對(duì)數(shù)形結(jié)合的考查主要涉及的幾個(gè)方面：

（1）集合問(wèn)題中Venn圖（韋恩圖）的運(yùn)用；

（2）數(shù)軸及直角坐標(biāo)系的廣泛應(yīng)用；

（3）函數(shù)圖象的應(yīng)用；

（4）數(shù)學(xué)概念及數(shù)學(xué)表達(dá)式幾何意義的應(yīng)用；

（5）解析幾何、立體幾何中的數(shù)形結(jié)合。

2．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析解決問(wèn)題時(shí)，要遵循三個(gè)原則：

（1）等價(jià)性原則。要注意由于圖象不能精確刻畫(huà)數(shù)量關(guān)系所帶來(lái)的負(fù)面效應(yīng)；

（2）雙方性原則。既要進(jìn)行幾何直觀分析，又要進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)抽象探求，僅對(duì)代數(shù)問(wèn)題進(jìn)行幾何分

析容易出錯(cuò)；

（3）簡(jiǎn)單性原則。不要為了“數(shù)形結(jié)合”而數(shù)形結(jié)合，具體運(yùn)用時(shí)，一要考慮是否可行和是否有利；

二要選擇好突破口，恰當(dāng)設(shè)參、用參、建立關(guān)系，做好轉(zhuǎn)化；三要挖掘隱含條件，準(zhǔn)確界定參變

量的取值范圍，特別是運(yùn)用函數(shù)圖象時(shí)應(yīng)設(shè)法選擇動(dòng)直線與定二次曲線為佳。

3．進(jìn)行數(shù)形結(jié)合的信息轉(zhuǎn)換，主要有三個(gè)途徑：

（1）建立坐標(biāo)系，引入?yún)⒆償?shù)，化靜為動(dòng)，以動(dòng)求解，如解析幾何；

（2）構(gòu)造成轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)模型，利用函數(shù)圖象求解；

（3）構(gòu)造成轉(zhuǎn)化為熟悉的幾何模型，利用圖形特征求解。4．常見(jiàn)的“以形助數(shù)”的方法有：

（1）借助于數(shù)軸、文氏圖，樹(shù)狀圖，單位圓；

（2）借助于函數(shù)圖象、區(qū)域(如線性規(guī)劃)、向量本身的幾何背景；

（3）借助于方程的曲線，由方程代數(shù)式，聯(lián)想其幾何背景，并用幾何知識(shí)解決問(wèn)題，如點(diǎn)，直線，斜

率，距離，圓及其他曲線，直線和曲線的位置關(guān)系等，對(duì)解決代數(shù)問(wèn)題都有重要作用，應(yīng)充分予

以重視。

5．常見(jiàn)的把數(shù)作為手段的數(shù)形結(jié)合：

主要體現(xiàn)在解析幾何中，歷年高考的解答題都有這方面的考查.經(jīng)典例題透析

類(lèi)型一：利用數(shù)形結(jié)合思想解決函數(shù)問(wèn)題 1．(2010全國(guó)Ⅰ·理)已知函數(shù)a+2b的取值范圍是

A．

解析：畫(huà)出

由題設(shè)有，B．的示意圖.，若，且，則

C．

D．

∴，令，則

∵

∴，∴ 在，.上是增函數(shù).∴

舉一反三：

【變式1】已知函數(shù)

.選C.在0≤x≤1時(shí)有最大值2，求a的值。

解析：∵

∴拋物線，的開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸是，如圖所示：

（1）

（2）

（3）

（1）當(dāng)a＜0時(shí)，如圖（1）所示，當(dāng)x=0時(shí)，y有最大值，即

∴1―a=2。即a=―1，適合a＜0。

（2）當(dāng)0≤a≤1時(shí)，如圖（2）所示，當(dāng)x=a時(shí)，y有最大值，即

。

∴a―a+1=2，解得

2。

∵0≤a≤1，∴不合題意。

（3）當(dāng)a＞1時(shí)，如圖（3）所示。

當(dāng)x=1時(shí)，y有最大值，即

綜合（1）（2）（3）可知，a的值是―1或2

【變式2】已知函數(shù)

（Ⅰ）寫(xiě)出

（Ⅱ）設(shè)的單調(diào)區(qū)間；，求

在[0，a]上的最大值。

?！郺=2。

解析：

如圖：

（1）的單調(diào)增區(qū)間：

，；單調(diào)減區(qū)間：（1，2）

時(shí)。

（2）當(dāng)a≤1時(shí)，當(dāng)

當(dāng)

【變式3】已知

()

（1）若，在上的最大值為，最小值為，求證：；

（2）當(dāng)]時(shí)，都

，時(shí)，對(duì)于給定的負(fù)數(shù)，有一個(gè)最大的正數(shù)，使得x∈[0，有|f(x)|≤5，問(wèn)a為何值時(shí)，M(a)最大？并求出這個(gè)最大值。

解析：

（1）若a=0，則c=0，∴f(x)=2bx

當(dāng)-2≤x≤2時(shí)，f(x)的最大值與最小值一定互為相反數(shù)，與題意不符合，∴a≠0；

若a≠0，假設(shè)，∴區(qū)間[-2,2]在對(duì)稱(chēng)軸的左外側(cè)或右外側(cè)，∴f(x)在[-2，2]上是單調(diào)函數(shù)，（這是不可能的）

（2）當(dāng)，時(shí)，∵，所以，（圖1）

（圖2）

(1)當(dāng)

所以

即是方程，時(shí)（如圖1），則的較小根，即

(2)當(dāng)

所以

即是方程，時(shí)（如圖2），則的較大根，即

（當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)，等號(hào)成立），由于，因此當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最大值

類(lèi)型二：利用數(shù)形結(jié)合思想解決方程中的參數(shù)問(wèn)題 2．若關(guān)于x的方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

思路點(diǎn)撥：將方程的左右兩邊分別看作兩個(gè)函數(shù)，畫(huà)出函數(shù)的圖象，借助圖象間的關(guān)系后求解，可簡(jiǎn)化運(yùn)算。

解析：畫(huà)出

和的圖象，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)，即時(shí)，兩圖象有兩個(gè)交點(diǎn)。

又由當(dāng)曲線

與曲線

相切時(shí)，二者只有一個(gè)交點(diǎn)，設(shè)切點(diǎn)

又直線，則過(guò)切點(diǎn)，即，得，解得切點(diǎn)，∴當(dāng)時(shí)，兩函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程有兩個(gè)不等實(shí)根。

誤區(qū)警示：作圖時(shí)，圖形的相對(duì)位置關(guān)系不準(zhǔn)確，易造成結(jié)果錯(cuò)誤。

總結(jié)升華：

1．解決這類(lèi)問(wèn)題時(shí)要準(zhǔn)確畫(huà)出函數(shù)圖象，注意函數(shù)的定義域。

2．用圖象法討論方程（特別是含參數(shù)的方程）解的個(gè)數(shù)是一種行之有效的方法，值得注意的是首先把

方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式（有時(shí)可能先作適當(dāng)調(diào)整，以便于作圖），然后作出兩

個(gè)函數(shù)的圖象，由圖求解。

3．在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析問(wèn)題和解決問(wèn)題時(shí)，需做到以下四點(diǎn)：

①要準(zhǔn)確理解一些概念和運(yùn)算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征；

②要恰當(dāng)設(shè)參，合理用參，建立關(guān)系，做好轉(zhuǎn)化；

③要正確確定參數(shù)的取值范圍，以防重復(fù)和遺漏；

④精心聯(lián)想“數(shù)”與“形”，使一些較難解決的代數(shù)問(wèn)題幾何化，幾何問(wèn)題代數(shù)化，便于問(wèn)題求解.舉一反三：

【變式1】若關(guān)于x的方程在（－1，1）內(nèi)有1個(gè)實(shí)根，則k的取值范圍是。

解析：把方程左、右兩側(cè)看作兩個(gè)函數(shù)，利用函數(shù)圖象公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)確定方程根的個(gè)數(shù)。

設(shè)（x∈－1，1）

如圖：當(dāng)內(nèi)有1個(gè)實(shí)根。

或時(shí)，關(guān)于x的方程在（－1，1）

【變式2】若0＜θ＜2π，且方程取值范圍及這兩個(gè)實(shí)根的和。

有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的解析：將原方程

與直線

轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的圖象

有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，求a的范圍及α+β的值。

設(shè)，在同一坐標(biāo)中作出這兩個(gè)函數(shù)的圖象

由圖可知，當(dāng)

或

時(shí)，y1與y2的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn)，即對(duì)應(yīng)方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，若，設(shè)原方程的一個(gè)根為，則另一個(gè)根為.∴.若，設(shè)原方程的一個(gè)根為，則另一個(gè)根為，∴.所以這兩個(gè)實(shí)根的和為或.且由對(duì)稱(chēng)性可知，這兩個(gè)實(shí)根的和為或。

類(lèi)型三：依據(jù)式子的結(jié)構(gòu)，賦予式子恰當(dāng)?shù)膸缀我饬x，數(shù)形結(jié)合解答

3．(北京2010·理)如圖放置的邊長(zhǎng)為1的正方形PABC沿x軸滾動(dòng)，設(shè)頂點(diǎn)，則函數(shù)的最小正周期為_(kāi)_______；

在其兩個(gè)相鄰的軌跡方程是零點(diǎn)間的圖象與x軸所圍成的區(qū)域的面積為_(kāi)_______.解析：為便于觀察，不妨先將正方形PABC向負(fù)方向滾動(dòng)，使P點(diǎn)落在x軸上的點(diǎn)，此點(diǎn)即是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)（圖1）.（一）以A為中心，將正方形沿x軸正方向滾動(dòng)90°，此時(shí)頂點(diǎn)B位于x軸上，頂點(diǎn)P畫(huà)出了A為圓心，1為半徑的個(gè)圓周（圖2）；

（二）繼續(xù)以B為中心，將正方形沿x軸正方向滾動(dòng)90°，此時(shí)頂點(diǎn)C位于x軸上，頂點(diǎn)P畫(huà)出B為圓心，為半徑的個(gè)圓周（圖3）；

（三）繼續(xù)以C為中心，將正方形沿x軸正方向滾動(dòng)90°，此時(shí)，頂點(diǎn)P位于x軸上，為點(diǎn)，它畫(huà)出了C為圓心，1為半徑的個(gè)圓周（圖4）.為又一個(gè)零點(diǎn).∴ 函數(shù)的周期為4.相鄰兩個(gè)零點(diǎn)間的圖形與x軸圍成的圖形由兩個(gè)半徑為1的圓、半徑為的圓和兩個(gè)直角邊長(zhǎng)為1的直角三角形，其面積是

.舉一反三：

2【變式1】已知圓C：(x+2)+y=1，P（x，y）為圓C上任一點(diǎn)。

（1）求的最大、最小值；

（2）求的最大、最小值；

（3）求x―2y的最大、最小值。

解析：聯(lián)想所求代數(shù)式的幾何意義，再畫(huà)出草圖，結(jié)合圖象求解。

（1）

表示點(diǎn)（x，y）與原點(diǎn)的距離，由題意知P（x，y）在圓C上，又C（―2，0），半徑r=1。

∴|OC|=2。的最大值為2+r=2+1=3，的最小值為2―r=2―1=1。

（2）表示點(diǎn)（x，y）與定點(diǎn)（1，2）兩點(diǎn)連線的斜率，設(shè)Q（1，2），過(guò)Q點(diǎn)作圓C的兩條切線，如圖：

將整理得kx―y+2―k=0。

∴，解得，所以的最大值為，最小值為。

（3）令x―2y=u，則可視為一組平行線系，當(dāng)直線與圓C有公共點(diǎn)時(shí)，可求得u的范圍，最值必在直線與圓C相切時(shí)取得。這時(shí)

∴

。，最小值為

。，∴x―2y的最大值為

【變式2】求函數(shù)

解析：的最小值。

則y看作點(diǎn)P（x，0）到點(diǎn)A（1，1）與B（3，2）距離之和

如圖，點(diǎn)A（1，1）關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A＇（1，－1），則 即為P到A，B距離之和的最小值，∴

【變式3】若方程x+(1+a)x+1+a+b=0的兩根分別為橢圓、雙曲線的離心率，則值范圍是（）

2的取

A．

B．或

C．

D．或

解析：如圖

由題知方程的根，一個(gè)在（0，1）之間，一個(gè)在（1，2）之間，則，即

下面利用線性規(guī)劃的知識(shí)，則斜率

可看作可行域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)O（0，0）連線的 則，選C。

第三篇：高考數(shù)學(xué)“數(shù)形結(jié)合”解題思想方法、知識(shí)點(diǎn)及題型整理

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高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第三講：數(shù)形結(jié)合

一、專(zhuān)題概述---什么是數(shù)形結(jié)合的思想

數(shù)形結(jié)合的思想，就是把問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系和空間形式結(jié)合起來(lái)加以考察的思想．

恩格斯說(shuō)：“純數(shù)學(xué)的對(duì)象是現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系．”“數(shù)”和“形”是數(shù)學(xué)中兩個(gè)最基本的概念，它們既是對(duì)立的，又是統(tǒng)一的，每一個(gè)幾何圖形中都蘊(yùn)含著與它們的形狀、大小、位置密切相關(guān)的數(shù)量關(guān)系；反之，數(shù)量關(guān)系又常?？梢酝ㄟ^(guò)幾何圖形做出直觀地反映和描述，數(shù)形結(jié)合的實(shí)質(zhì)就是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形結(jié)合起來(lái)，使抽象思維和形象思維結(jié)合起來(lái)，在解決代數(shù)問(wèn)題時(shí)，想到它的圖形，從而啟發(fā)思維，找到解題之路；或者在研究圖形時(shí)，利用代數(shù)的性質(zhì)，解決幾何的問(wèn)題．實(shí)現(xiàn)抽象概念與具體形象的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，化難為易，化抽象為直觀．

數(shù)形結(jié)合包括：函數(shù)與圖象、方程與曲線、復(fù)數(shù)與幾何的結(jié)合；幾何語(yǔ)言敘述與幾何圖形的結(jié)合等．

二、例題分析

1．善于觀察圖形，以揭示圖形中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系．

觀察是人們認(rèn)識(shí)客觀事物的開(kāi)始，直觀是圖形的基本特征，觀察圖形的形狀、大小和相互位置關(guān)系，并在此基礎(chǔ)上揭示圖形中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，是認(rèn)識(shí)、掌握數(shù)形結(jié)合的重要進(jìn)程．

例1．函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸方程是：

（A）（B）（C）（D）

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分析：通過(guò)畫(huà)出函數(shù)的圖象，然后分別畫(huà)出上述四條直線，逐一觀察，可以找出正確的答案，如果對(duì)函數(shù)的圖象做深入的觀察，就可知，凡直線x=a通過(guò)這一曲線的一個(gè)最高點(diǎn)或一個(gè)最低點(diǎn)，必為曲線的一條對(duì)稱(chēng)軸，因此，解這個(gè)問(wèn)題可以分別將代入函數(shù)的解析式，算得對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別是：其中只有–1是這一函數(shù)的最小值，由此可知，應(yīng)選（A）2．正確繪制圖形，以反映圖形中相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系．，觀察圖形，既要定性也要定量，借助圖形來(lái)完成某些題時(shí)，僅畫(huà)圖示“意”是不夠的，還必須反映出圖形中的數(shù)量關(guān)系．

例2．問(wèn)：圓個(gè)？

分析 由平面幾何知：到定直線L：的距離為的點(diǎn)的軌跡是平行L的兩

上到直線的距離為的點(diǎn)共有幾條直線．因此問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為判定這兩條直線與已知圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．

將圓方程變形為：心到定直線L的距離為，知其圓心是C(-1,-2)，半徑，由此判定平行于直線L且距離為，而圓的兩條直線中，一條通過(guò)圓心C，另一條與圓C相切，所以這兩條直線與圓C共有3個(gè)公共點(diǎn)（如圖1）

啟示：正確繪制圖形，一定要注意把圖形與計(jì)算結(jié)合起來(lái)，以求既定性，又定量，才能充分發(fā)揮圖形的判定作用．

3．切實(shí)把握“數(shù)”與“形”的對(duì)應(yīng)關(guān)系，以圖識(shí)性以性識(shí)圖．

數(shù)形結(jié)合的核心是“數(shù)”與“形”的對(duì)應(yīng)關(guān)系，熟知這些對(duì)應(yīng)關(guān)系，溝通兩者的聯(lián)系，才能把握住每一個(gè)研究對(duì)象在數(shù)量關(guān)系上的性質(zhì)與相應(yīng)的圖形的特征之間的關(guān)聯(lián)，以求相輔相地址：鐵西區(qū)富工二街36號(hào)1門(mén) 電話：31688948 31801965 25769625

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成，相互轉(zhuǎn)化．

例3．判定下列圖中，哪個(gè)是表示函數(shù)圖象．

分析 由=，可知函數(shù)

是偶函數(shù)，其圖象應(yīng)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，因而否定（B）、（C），又，的圖象應(yīng)當(dāng)是上凸的，（在第Ⅰ象限，函數(shù)y單調(diào)增，但變化趨勢(shì)比較平緩），因而（A）應(yīng)是函數(shù)圖象．

例4．如圖，液體從一圓錐形漏斗注入一圓柱形桶中，開(kāi)始時(shí)，漏斗盛滿液體，經(jīng)過(guò)3分鐘注完．已知圓柱中液面上升的速度是一個(gè)常量，H是圓錐形漏斗中液面下落的距離，則H與下落時(shí)間t（分）的函數(shù)關(guān)系用圖象表示只可能是（）．

分析 由于圓柱中液面上升的速度是一個(gè)常量，所以H與t的關(guān)系不是（B），下落時(shí)間t越大，液面下落的距離H應(yīng)越大，這種變化趨勢(shì)應(yīng)是越來(lái)越快，圖象應(yīng)當(dāng)是下凸的，所以只可能是（D）．

例5．若復(fù)數(shù)z滿足，且，則在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的圖形面積是地址：鐵西區(qū)富工二街36號(hào)1門(mén) 電話：31688948 31801965 25769625

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多少？

分析 滿足的復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)的圖形是：以C(1,1)為圓心，為半徑的圓面，該圓面與圖形的公共部分為圖中所示陰影部分（要注意到∠AOC=45°）

因此所求圖形的面積為： 4．靈活應(yīng)用“數(shù)”與“形”的轉(zhuǎn)化，提高思維的靈活性和創(chuàng)造性．

在中學(xué)數(shù)學(xué)中，數(shù)形結(jié)合的思想和方法體現(xiàn)最充分的是解析幾何，此外，函數(shù)與圖象之間，復(fù)數(shù)與幾何之間的相互轉(zhuǎn)化也充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想和方法．通過(guò)聯(lián)想找到數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系是實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的先決條件，而強(qiáng)化這種轉(zhuǎn)化的訓(xùn)練則是提高思維的靈活性和創(chuàng)造性的重要手段．

例6．已知C<0，試比較的大?。?/p>

分析 這是比較數(shù)值大小問(wèn)題，用比較法會(huì)在計(jì)算中遇到一定困難，在同一坐標(biāo)系中，畫(huà)出三個(gè)函數(shù)：的圖象位于y軸左側(cè)的部分，（如圖）很快就可以從三個(gè)圖象的上、下位置關(guān)系得出正確的結(jié)論：

例7 解不等式

解法一（用代數(shù)方法求解），此不等式等價(jià)于：

解得

故原不等式的解集是

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解法二（采用圖象法）設(shè)即

對(duì)應(yīng)的曲線是以是一直線．（如圖）

為頂點(diǎn)，開(kāi)口向右的拋物線的上半支．而函數(shù)y=x+1的圖象 解方程可求出拋物線上半支與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，取拋物線位于直線上方的部分，故得原不等式的解集是．

借助于函數(shù)的圖象或方程的曲線，引入解不等式（或方程）的圖象法，可以有效地審清題意，簡(jiǎn)化求解過(guò)程，并檢驗(yàn)所得的結(jié)果．

例8 討論方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)．

分析：作出函數(shù)的圖象，保留其位于x軸上方的部分，將位于x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方，便可得到函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可． 的圖象．（如圖）再討論它與直線y=a的 ∴當(dāng)a＜0時(shí)，解的個(gè)數(shù)是0；

當(dāng)a=0時(shí)或a＞4時(shí)，解的個(gè)數(shù)是2； 當(dāng)0＜a＜4時(shí)，解的個(gè)數(shù)是4；

當(dāng)a=4時(shí)，解的個(gè)數(shù)是3．

9．已知直線和雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則k的不同取值有（）

（A）1個(gè)（B）2個(gè)（C）3個(gè)（D）4個(gè)

分析：作出雙曲線的圖象，并注意到直線是過(guò)定點(diǎn)（）的直線系，雙曲線的漸近線方程為

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∴過(guò)（外，過(guò)（）點(diǎn)且和漸近線平行的直線與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)k取兩個(gè)不同值，此）點(diǎn)且和雙曲線相切的直線與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)k取兩個(gè)不同的值，故

正確答案為（D）

例9．已知直線和雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則k的不同取值有（）

（A）1個(gè)（B）2個(gè)（C）3個(gè)（D）4個(gè)

分析：作出雙曲線的圖象，并注意到直線是過(guò)定點(diǎn)（）的直線系，雙曲線的漸近線方程為

∴過(guò)（外，過(guò)（正確答案為（D））點(diǎn)且和漸近線平行的直線與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)k取兩個(gè)不同值，此）點(diǎn)且和雙曲線相切的直線與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)k取兩個(gè)不同的值，故例10．設(shè)點(diǎn)P(x,y)在曲線 解 曲線

上移動(dòng)，求

是中心在（3，3），長(zhǎng)軸為的最大值和最小值．，短軸為的橢圓．設(shè)，即y=kx為過(guò)原點(diǎn)的直線系，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：求過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓相切時(shí)的斜率．（如圖所示）

消去y得

解得：

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故的最大值為，最小值為

（其中a,b,c是正常數(shù)）的最小 例11．求函數(shù)值．

分析 采用代數(shù)方法求解是十分困難的，剖析函數(shù)解析式的特征，兩個(gè)根式均可視為平面上兩點(diǎn)間的距離，故設(shè)法借助于幾何圖形求解．如圖

設(shè)A(0,a),B(b,-c)為兩定點(diǎn)，P(x,0)為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，則

其中的等號(hào)在P為線段AB與x軸的交點(diǎn)外，即 故y的最小值為時(shí)成立．

例12．P是橢圓上任意一點(diǎn)，以O(shè)P為一邊作矩形O P Q R（O,P,Q,R依逆時(shí)針?lè)较蚺帕校┦箌OR|=2|OP|，求動(dòng)點(diǎn)R的軌跡的普通方程．

分析 在矩形O P Q R中（如圖），由∠POR=90°，|OR|=2|OP|可知，OR是OP逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，并將長(zhǎng)度擴(kuò)大為原來(lái)的2倍得到的．這一圖形變換恰是復(fù)數(shù)乘法的幾何意義，因此，可轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的運(yùn)算，找到R和P的兩點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，以求得問(wèn)題的解決． 解，設(shè)R點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為： 則，P點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為

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故即由點(diǎn)在橢圓上可知有：

整理得：就是R點(diǎn)的軌跡方程，表示半長(zhǎng)軸為2a，半短軸為2b，中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的橢圓．

三解題訓(xùn)練

1．求下列方程實(shí)根（1）的個(gè)數(shù)：

（2）

（3）

2．無(wú)論m取任何實(shí)數(shù)值，方程（A）1個(gè)（B）2個(gè)（C）3個(gè)（D）不確定 3．已知函數(shù)（A）b∈(-∞,0)（B）b∈(0,1)

（C）b∈(1,2)（D）b∈(2,+ ∞)的實(shí)根個(gè)數(shù)都是（）的圖象如右圖則（）

4．不等式的解集是（）

（A）（0，+∞）（B）（0，1）（C）（1，+∞）（D）（–∞，0）5．不等式

一定有解，則a的取值范圍是（）

（A）（1，+∞）（B）[1,+ ∞]（C）(-∞,1)（D）(0,1] 6．解下列不等式：

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（1）（2）

7．復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)A、B分別對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)2，2+i，向量，則點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是_______．

繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至向量 8．若復(fù)數(shù)z滿足|z|<2，則arg(z-4)的最大值為_(kāi)__________ 9．若復(fù)數(shù)z滿足

10．函數(shù)定點(diǎn)的坐標(biāo)是()（A）（–（C）（–2的圖象是平面上兩定點(diǎn)距離之差的絕對(duì)值等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡，則這兩，–，2）（）（2，2）（B）（–）（D）（2，）（，–），2），–2）（–2 11．曲線與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）．

（A）0（B）1（C）2（D）3 12．曲線（）

與直線

有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值是（A）13．已知集合（B）（C），（D）

滿足，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

14．函數(shù)的值域是（）

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（A）（B）

（C）（D）

四、練習(xí)答案

1．（1）2個(gè)（2）63個(gè)（3）2個(gè)

提示：分別作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，看交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

2．B、提示：注意到方程右式，是過(guò)定點(diǎn)（，0）的直線系．

3．A、提示：由圖象知f(x)=0的三個(gè)實(shí)根是0，1，2這樣，函數(shù)解析式可變形f(x)=ax(x-1)(x-2)，又從圖象中可以看出當(dāng)x∈(0,1)∪(2,+∞)時(shí)，f(x)>0．而當(dāng)x>2時(shí)，x,(x-1),(x-2)均大于0，所以a>0，而3a<0，故選（A）4．A 5．A 6．（可以利用圖象法求解）

（1）x≤-1或0

可知b=-地址：鐵西區(qū)富工二街36號(hào)1門(mén) 電話：31688948 31801965 25769625

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12．C 13．

14．A 提示：f(x)可以視作：A(cosx,sinx),B(1,2)，則f(x)=kAB，而A點(diǎn)為圓x2+y2=1上的動(dòng)點(diǎn)

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第四篇：高考復(fù)習(xí)數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合

定義：數(shù)形結(jié)合是一個(gè)數(shù)學(xué)思想方法，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面。

應(yīng)用：大致可以分為兩種情形：或者是借助形的生動(dòng)和直觀性來(lái)闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)為目的，比如應(yīng)用函數(shù)的圖像來(lái)直觀地說(shuō)明函數(shù)的性質(zhì)；或者是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來(lái)闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應(yīng)用曲線的方程來(lái)精確地闡明曲線的幾何性質(zhì)。Ⅰ、再現(xiàn)題組：

1.設(shè)命題甲：0

B.必要非充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

2.若loga2

B.0

C.a>b>1

D.b>a>1 π23.如果|x|≤4,那么函數(shù)f(x)＝cosx＋sinx的最小值是_____。(89年全國(guó)文)A.2?12?11?2B.－2

C.－1

D.2

4.如果奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[3,7]上是增函數(shù)且最小值是5，那么f(x)的[-7,-3]上是____。(91年全國(guó))A.增函數(shù)且最小值為－5

B.增函數(shù)且最大值為－5 C.減函數(shù)且最小值為－5

D.減函數(shù)且最大值為－5

y?35.設(shè)全集I＝{(x,y)|x,y∈R}，集合M＝{(x,y)| x?2＝1}，N＝{(x,y)|y≠x＋1}，那么M∪N等于_____。

(90年全國(guó))A.φ

B.{(2,3)}

C.(2,3)

D.{(x,y)|y＝x＋1

θθθ6.如果θ是第二象限的角，且滿足cos2－sin2＝1?sinθ,那么2是_____。

A.第一象限角

B.第三象限角

C.可能第一象限角，也可能第三象限角

D.第二象限角

7.已知集合E＝{θ|cosθ

3π3π5πππ3πA.(2,π)

B.(4,4)

C.(π, 2)

D.(4,4)

5π8.若復(fù)數(shù)z的輻角為6，實(shí)部為－23，則z＝_____。

A.－23－2ｉ

B.－23＋2ｉ

C.－23＋23ｉ

D.－23－23ｉ

y229.如果實(shí)數(shù)x、y滿足等式(x－2)＋y＝3，那么x的最大值是_____。

(90年全國(guó)理)133A.B.3C.2

D.10.滿足方程|z＋3－3ｉ|＝3的輻角主值最小的復(fù)數(shù)z是_____。

【注】 以上各題是歷年的高考客觀題，都可以借助幾何直觀性來(lái)處理與數(shù)有關(guān)的問(wèn)題，即借助數(shù)軸（①題）、圖像（②、③、④、⑤題）、單位圓（⑥、⑦題）、復(fù)平面（⑧、⑩題）、方程曲線（⑨題）。Ⅱ、示范性題組：

例1.若方程lg(－x＋3x－m)＝lg(3－x)在x∈(0,3)內(nèi)有唯一解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。2z1例2.設(shè)|z1|＝5，|z2|＝2, |z1－z2|＝13，求z2的值。

pp例3.直線L的方程為：x＝－

2(p>0),橢圓中心D(2＋2,0)，焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)半軸為2，短半軸為1，它的左頂點(diǎn)為A。問(wèn)p在什么范圍內(nèi)取值，橢圓上有四個(gè)不同的點(diǎn)，它們中每一個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)A的距離等于該點(diǎn)到直線L的距離？

Ⅲ、鞏固性題組：

1.已知5x＋12y＝60，則x2?y2的最小值是_____。A.60 B.13 C.13 D.1 135122.已知集合P＝{(x,y)|y＝9?x2}、Q＝{(x,y)|y＝x＋b}，若P∩Q≠φ，則b的取值范圍是____。

A.|b|<3 B.|b|≤32 C.－3≤b≤32 D.－3

A.1 B.2 C.3 D.以上都不對(duì) 4.方程x＝10sinx的實(shí)根的個(gè)數(shù)是_______。

5.若不等式m>|x－1|＋|x＋1|的解集是非空數(shù)集，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是_________。6.設(shè)z＝cosα＋1ｉ且|z|≤1,那么argz的取值范圍是____________。

2x27.若方程x－3ax＋2a＝0的一個(gè)根小于1，而另一根大于1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______。

8.sin20°＋cos80°＋3sin20°·cos80°＝____________。22229.解不等式： ?x2?2x>b－x

?x?2x?a≤0的解集，試確定a、b10.設(shè)A＝{x|<1x<3}，又設(shè)B是關(guān)于x的不等式組??2??x?2bx?5≤02的取值范圍，使得A?B。（90年高考副題）

11.定義域內(nèi)不等式2?x〉x＋a恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

12.已知函數(shù)y＝(x?1)2?1＋(x?5)2?9，求函數(shù)的最小值及此時(shí)x的值。13.已知z∈C，且|z|＝1，求|(z＋1)(z－ｉ)|的最大值。

14.若方程lg(kx)＝2lg(x＋1)只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，求常數(shù)k的取值范圍。

第五篇：高考數(shù)學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)37數(shù)形結(jié)合思想

重點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)36 函數(shù)方程思想

函數(shù)與方程思想是最重要的一種數(shù)學(xué)思想，高考中所占比重較大，綜合知識(shí)多、題型多、應(yīng)用技巧多.函數(shù)思想簡(jiǎn)單，即將所研究的問(wèn)題借助建立函數(shù)關(guān)系式亦或構(gòu)造中間函數(shù)，結(jié)合初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)，加以分析、轉(zhuǎn)化、解決有關(guān)求值、解（證）不等式、解方程以及討論參數(shù)的取值范圍等問(wèn)題；方程思想即將問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為方程模型加以解決.●重點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)磁場(chǎng)

1.（★★★★★）關(guān)于x的不等式2?32x–3x+a2–a–3＞0，當(dāng)0≤x≤1時(shí)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

.2.（★★★★★）對(duì)于函數(shù)f(x)，若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立，則稱(chēng)x0為f(x)的不動(dòng)點(diǎn).已知函數(shù)f(x)=ax2+(b+1)x+(b–1)(a≠0)（1）若a=1,b=–2時(shí)，求f(x)的不動(dòng)點(diǎn)；

（2）若對(duì)任意實(shí)數(shù)b，函數(shù)f(x)恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，求a的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，若y=f(x)圖象上A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是函數(shù)f(x)的不動(dòng)點(diǎn)，且A、B關(guān)于直線y=kx+ 對(duì)稱(chēng)，求b的最小值.●案例探究

［例1］已知函數(shù)f(x)=logm

(1)若f(x)的定義域?yàn)椋郐?，β］，（β＞α?），判斷f(x)在定義域上的增減性，并加以說(shuō)明；

(2)當(dāng)0＜m＜1時(shí)，使f(x)的值域?yàn)椋踠ogm［m(β–1)］，logm［m(α–1)］］的定義域區(qū)間為［α,β］(β＞α＞0)是否存在？請(qǐng)說(shuō)明理由.命題意圖：本題重在考查函數(shù)的性質(zhì)，方程思想的應(yīng)用.屬★★★★級(jí)題目.知識(shí)依托：函數(shù)單調(diào)性的定義判斷法；單調(diào)性的應(yīng)用；方程根的分布；解不等式組.錯(cuò)解分析：第(1)問(wèn)中考生易忽視“α＞3”這一關(guān)鍵隱性條件；第(2)問(wèn)中轉(zhuǎn)化出的方程，不能認(rèn)清其根的實(shí)質(zhì)特點(diǎn)，為兩大于3的根.技巧與方法：本題巧就巧在采用了等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法，借助函數(shù)方程思想，巧妙解題.解：（1）x＜–3或x＞3.∵f(x)定義域?yàn)椋郐?β］,∴α＞3 設(shè)β≥x1＞x2≥α，有

當(dāng)0＜m＜1時(shí)，f(x)為減函數(shù)，當(dāng)m＞1時(shí)，f(x)為增函數(shù).（2）若f(x)在［α,β］上的值域?yàn)椋踠ogmm(β–1),logmm(α–1)］ ∵0＜m＜1, f(x)為減函數(shù).∴

即

即α,β為方程mx2+(2m–1)x–3(m–1)=0的大于3的兩個(gè)根 ∴

∴0＜m＜

故當(dāng)0＜m＜ 時(shí)，滿足題意條件的m存在.［例2］已知函數(shù)f(x)=x2–(m+1)x+m(m∈R)(1)若tanA,tanB是方程f(x)+4=0的兩個(gè)實(shí)根，A、B是銳角三角形ABC的兩個(gè)內(nèi)角.求證：m≥5;(2)對(duì)任意實(shí)數(shù)α,恒有f(2+cosα)≤0，證明m≥3;(3)在(2)的條件下，若函數(shù)f(sinα)的最大值是8，求m.-1-命題意圖：本題考查函數(shù)、方程與三角函數(shù)的相互應(yīng)用；不等式法求參數(shù)的范圍.屬 ★★★★★級(jí)題目.知識(shí)依托：一元二次方程的韋達(dá)定理、特定區(qū)間上正負(fù)號(hào)的充要條件，三角函數(shù)公式.錯(cuò)解分析：第(1)問(wèn)中易漏掉Δ≥0和tan(A+B)＜0，第(2)問(wèn)中如何保證f(x)在［1,3］恒小于等于零為關(guān)鍵.技巧與方法：深挖題意，做到題意條件都明確，隱性條件注意列.列式要周到，不遺漏.（1）證明：f(x)+4=0即x2–(m+1)x+m+4=0.依題意：

又A、B銳角為三角形內(nèi)兩內(nèi)角 ∴ ＜A+B＜π

∴tan(A+B)＜0，即

∴ ∴m≥5(2)證明：∵f(x)=(x–1)(x–m)又–1≤cosα≤1，∴1≤2+cosα≤3，恒有f(2+cosα)≤0 即1≤x≤3時(shí)，恒有f(x)≤0即(x–1)(x–m)≤0 ∴m≥x但xmax=3，∴m≥xmax=3(3)解：∵f(sinα)=sin2α–(m+1)sinα+m= 且 ≥2,∴當(dāng)sinα=–1時(shí)，f(sinα)有最大值8.即1+(m+1)+m=8，∴m=3 ●錦囊妙計(jì)

函數(shù)與方程的思想是最重要的一種數(shù)學(xué)思想，要注意函數(shù)，方程與不等式之間的相互聯(lián)系和轉(zhuǎn)化.考生應(yīng)做到：

（1）深刻理解一般函數(shù)y=f(x)、y=f–1(x)的性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值和圖象變換），熟練掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)，這是應(yīng)用函數(shù)思想解題的基礎(chǔ).（2）密切注意三個(gè)“二次”的相關(guān)問(wèn)題，三個(gè)“二次”即一元二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，具有豐富的內(nèi)涵和密切的聯(lián)系.掌握二次函數(shù)基本性質(zhì)，二次方程實(shí)根分布條件，二次不等式的轉(zhuǎn)化策略.●殲滅重點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)訓(xùn)練

一、選擇題

1.（★★★★★）已知函數(shù)f(x)=loga［ –(2a)2］對(duì)任意x∈［ ,+∞］都有意義，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A.(0，B.(0,)

C.［ ,1

D.(,）2.（★★★★★）函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且x≠1，已知f(x+1)為奇函數(shù)，當(dāng)x＜1時(shí)，f(x)=2x2–x+1，那么當(dāng)x＞1時(shí)，f(x)的遞減區(qū)間是（）A.［，+∞

B.(1，C.［ ,+∞

D.(1, ］

二、填空題

3.（★★★★）關(guān)于x的方程lg(ax–1)–lg(x–3)=1有解，則a的取值范圍是

.4.（★★★★★）如果y=1–sin2x–mcosx的最小值為–4，則m的值為

.三、解答題

5.（★★★★）設(shè)集合A={x｜4x–2x+2+a=0,x∈R}.（1）若A中僅有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)a的取值集合B；

（2）若對(duì)于任意a∈B，不等式x2–6x＜a(x–2)恒成立，求x的取值范圍.6.（★★★★）已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx(a,b為常數(shù)，且a≠0)滿足條件:f(x–1)=f(3–x)且-2-方程f(x)=2x有等根.（1）求f(x)的解析式；

（2）是否存在實(shí)數(shù)m，n(m＜n＝，使f(x)定義域和值域分別為［m,n］和［4m,4n］，如果存在，求出m、n的值；如果不存在，說(shuō)明理由.7.（★★★★★）已知函數(shù)f(x)=6x–6x2，設(shè)函數(shù)g1(x)=f(x), g2(x)=f［g1(x)］, g3(x)=f ［g2(x)］, ?gn(x)=f［gn–1(x)］,?

（1）求證：如果存在一個(gè)實(shí)數(shù)x0，滿足g1(x0)=x0，那么對(duì)一切n∈N，gn(x0)=x0都成立；（2）若實(shí)數(shù)x0滿足gn(x0)=x0，則稱(chēng)x0為穩(wěn)定不動(dòng)點(diǎn)，試求出所有這些穩(wěn)定不動(dòng)點(diǎn)；（3）設(shè)區(qū)間A=（–∞,0）,對(duì)于任意x∈A，有g(shù)1(x)=f(x)=a＜0, g2(x)=f［g1(x)］=f(0)＜0，且n≥2時(shí)，gn(x)＜0.試問(wèn)是否存在區(qū)間B（A∩B≠），對(duì)于區(qū)間內(nèi)任意實(shí)數(shù)x，只要n≥2，都有g(shù)n(x)＜0.8.（★★★★）已知函數(shù)f(x)=(a＞0,x＞0).（1）求證:f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù)；

（2）若f(x)≤2x在(0,+∞)上恒成立，求a的取值范圍；

（3）若f(x)在［m,n］上的值域是［m,n］(m≠n)，求a的取值范圍.參 考 答 案

●重點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)磁場(chǎng)

1.解析：設(shè)t=3x，則t∈［1,3］，原不等式可化為a2–a–3＞–2t2+t,t∈［1,3］.等價(jià)于a2–a–3大于f(t)=–2t2+t在［1,3］上的最大值.答案：(–∞,–1)∪(2,+∞)2.解：（1）當(dāng)a=1,b=–2時(shí)，f(x)=x2–x–3，由題意可知x=x2–x–3，得x1=–1,x2=3.故當(dāng)a=1,b=–2時(shí)，f(x)的兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)為–1,3.（2）∵f(x)=ax2+(b+1)x+(b–1)(a≠0)恒有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，∴x=ax2+(b+1)x+(b–1)，即ax2+bx+(b–1)=0恒有兩相異實(shí)根 ∴Δ=b2–4ab+4a＞0(b∈R)恒成立.于是Δ′=(4a)2–16a＜0解得0＜a＜1 故當(dāng)b∈R，f(x)恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)時(shí)，0＜a＜1.（3）由題意A、B兩點(diǎn)應(yīng)在直線y=x上，設(shè)A(x1,x1),B(x2,x2)又∵A、B關(guān)于y=kx+ 對(duì)稱(chēng).∴k=–1.設(shè)AB的中點(diǎn)為M(x′,y′)∵x1,x2是方程ax2+bx+(b–1)=0的兩個(gè)根.∴x′=y′=，又點(diǎn)M在直線 上有，即

∵a＞0，∴2a+ ≥2 當(dāng)且僅當(dāng)2a= 即a= ∈(0,1)時(shí)取等號(hào)，故b≥–，得b的最小值–.●殲滅重點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)訓(xùn)練

一、1.解析：考查函數(shù)y1= 和y2=(2a)x的圖象，顯然有0＜2a＜1.由題意 得a=，再結(jié)合指數(shù)函數(shù)圖象性質(zhì)可得答案.答案：A 2.解析：由題意可得f(–x+1)=–f(x+1).令t=–x+1，則x=1–t，故f(t)=–f(2–t)，即f(x)=–f(2–x).當(dāng)x＞1,2–x＜1，于是有f(x)=–f(2–x)=–2(x–)2–，其遞減區(qū)間為［，+∞).答案：C-3-3.解析：顯然有x＞3，原方程可化為

故有(10–a)?x=29,必有10–a＞0得a＜10 又x= ＞3可得a＞.答案： ＜a＜10 4.解析：原式化為.當(dāng) ＜–1,ymin=1+m=–4 m=–5.當(dāng)–1≤ ≤1,ymin= =–4 m=±4不符.當(dāng) ＞1，ymin=1–m=–4 m=5.答案：±5

二、5.解：(1)令2x=t(t＞0)，設(shè)f(t)=t2–4t+a.由f(t)=0在(0,+∞)有且僅有一根或兩相等實(shí)根，則有 ①f(t)=0有兩等根時(shí)，Δ=0 16–4a=0 a=4 驗(yàn)證：t2–4t+4=0 t=2∈(0,+∞)，這時(shí)x=1 ②f(t)=0有一正根和一負(fù)根時(shí),f(0)＜0 a＜0 ③若f(0)=0，則a=0，此時(shí)4x–4?2x=0 2x=0（舍去），或2x=4,∴x=2，即A中只有一個(gè)元素

綜上所述，a≤0或a=4，即B={a｜a≤0或a=4}（2）要使原不等式對(duì)任意a∈(–∞,0］∪｛4｝恒成立.即g(a)=(x–2)a–(x2–6x)＞0恒成立.只須

＜x≤2 6.解：（1）∵方程ax2+bx=2x有等根，∴Δ=(b–2)2=0,得b=2.由f(x–1)=f(3–x)知此函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程為x=– =1得a=–1，故f(x)=–x2+2x.（2）f(x)=–(x–1)2+1≤1，∴4n≤1，即n≤

而拋物線y=–x2+2x的對(duì)稱(chēng)軸為x=1 ∴n≤ 時(shí)，f(x)在［m,n］上為增函數(shù).若滿足題設(shè)條件的m,n存在，則

又m＜n≤ ,∴m=–2,n=0，這時(shí)定義域?yàn)椋郇C2,0］，值域?yàn)椋郇C8,0］.由以上知滿足條件的m、n存在，m=–2,n=0.7.(1)證明：當(dāng)n=1時(shí)，g1(x0)=x0顯然成立； 設(shè)n=k時(shí)，有g(shù)k(x0)=x0(k∈N)成立，則gk+1(x0)=f［gk(x0)］=f(x0)=g1(x0)=x0 即n=k+1時(shí)，命題成立.∴對(duì)一切n∈N,若g1(x0)=x0，則gn(x0)=x0.（2）解：由（1）知，穩(wěn)定不動(dòng)點(diǎn)x0只需滿足f(x0)=x0 由f(x0)=x0，得6x0–6x02=x0,∴x0=0或x0= ∴穩(wěn)定不動(dòng)點(diǎn)為0和.(3)解：∵f(x)＜0，得6x–6x2＜0 x＜0或x＞1.∴gn(x)＜0 f［gn–1(x)］＜0 gn–1(x)＜0或gn–1(x)＞1 要使一切n∈N,n≥2，都有g(shù)n(x)＜0，必須有g(shù)1(x)＜0或g1(x)＞1.由g1(x)＜0 6x–6x2＜0 x＜0或x＞1 由g1(x)＞0 6x–6x2＞1

故對(duì)于區(qū)間()和(1,+∞)內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x,只要n≥2,n∈N，都有g(shù)n(x)＜0.8.(1)證明：任取x1＞x2＞0,f(x1)–f(x2)=

-4-∵x1＞x2＞0,∴x1x2＞0，x1–x2＞0, ∴f(x1)–f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，故f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù).（2）解：∵ ≤2x在(0,+∞)上恒成立，且a＞0, ∴a≥ 在（0，+∞）上恒成立，令（當(dāng)且僅當(dāng)2x= 即x= 時(shí)取等號(hào)），要使a≥ 在(0,+∞)上恒成立，則a≥.故a的取值范 圍是［ ,+∞).(3)解：由（1）f(x)在定義域上是增函數(shù).∴m=f(m),n=f(n)，即m2– m+1=0，n2– n+1=0 故方程x2– x+1=0有兩個(gè)不相等的正根m，n，注意到m?n=1，故只需要Δ=()2–4＞0,由于a＞0，則0＜a＜.重點(diǎn)難點(diǎn)37 數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想在高考中占有非常重要的地位，其“數(shù)”與“形”結(jié)合，相互滲透，把代數(shù)式的精確刻劃與幾何圖形的直觀描述相結(jié)合，使代數(shù)問(wèn)題、幾何問(wèn)題相互轉(zhuǎn)化，使抽象思維和形象思維有機(jī)結(jié)合.應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，就是充分考查數(shù)學(xué)問(wèn)題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義又揭示其幾何意義，將數(shù)量關(guān)系和空間形式巧妙結(jié)合，來(lái)尋找解題思路，使問(wèn)題得到解決.運(yùn)用這一數(shù)學(xué)思想，要熟練掌握一些概念和運(yùn)算的幾何意義及常見(jiàn)曲線的代數(shù)特征.●重點(diǎn)難點(diǎn)磁場(chǎng)

1.曲線y=1+(–2≤x≤2)與直線y=r(x–2)+4有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)r的取值范圍

.2.設(shè)f(x)=x2–2ax+2,當(dāng)x∈［–1,+∞)時(shí)，f(x)＞a恒成立，求a的取值范圍.●案例探究

［例1］設(shè)A={x｜–2≤x≤a}，B={y｜y=2x+3，且x∈A}，C={z｜z=x2，且x∈A }，若C B，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.命題意圖：本題借助數(shù)形結(jié)合，考查有關(guān)集合關(guān)系運(yùn)算的題目.屬★★★★級(jí)題目.知識(shí)依托：解決本題的關(guān)鍵是依靠一元二次函數(shù)在區(qū)間上的值域求法確定集合C.進(jìn)而將C B用不等式這一數(shù)學(xué)語(yǔ)言加以轉(zhuǎn)化.錯(cuò)解分析：考生在確定z=x2，x∈［–2,a］的值域是易出錯(cuò)，不能分類(lèi)而論.巧妙觀察圖象將是上策.不能漏掉a＜–2這一種特殊情形.技巧與方法：解決集合問(wèn)題首先看清元素究竟是什么，然后再把集合語(yǔ)言“翻譯”為一般的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，進(jìn)而分析條件與結(jié)論特點(diǎn)，再將其轉(zhuǎn)化為圖形語(yǔ)言，利用數(shù)形結(jié)合的思想來(lái)解決.解：∵y=2x+3在［–2, a］上是增函數(shù)

∴–1≤y≤2a+3，即B={y｜–1≤y≤2a+3} 作出z=x2的圖象，該函數(shù)定義域右端點(diǎn)x=a有三種不同的位置情況如下：

①當(dāng)–2≤a≤0時(shí)，a2≤z≤4即C={z｜z2≤z≤4} 要使C B,必須且只須2a+3≥4得a≥ 與–2≤a＜0矛盾.②當(dāng)0≤a≤2時(shí)，0≤z≤4即C={z｜0≤z≤4}，要使C B，由圖可知： 必須且只需

解得 ≤a≤2 ③當(dāng)a＞2時(shí)，0≤z≤a2，即C={z｜0≤z≤a2}，要使C B必須且只需

-5-解得2＜a≤3 ④當(dāng)a＜–2時(shí)，A= 此時(shí)B=C=，則C B成立.綜上所述，a的取值范圍是(–∞,–2)∪［ ,3］.［例2］已知acosα+bsinα=c, acosβ+bsinβ=c(ab≠0,α–β≠kπ, k∈Z)求證：

.命題意圖：本題主要考查數(shù)學(xué)代數(shù)式幾何意義的轉(zhuǎn)換能力.屬★★★★★級(jí)題目.知識(shí)依托：解決此題的關(guān)鍵在于由條件式的結(jié)構(gòu)聯(lián)想到直線方程.進(jìn)而由A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)特點(diǎn)知其在單位圓上.錯(cuò)解分析：考生不易聯(lián)想到條件式的幾何意義，是為瓶頸之一.如何巧妙利用其幾何意義是為瓶頸之二.技巧與方法：善于發(fā)現(xiàn)條件的幾何意義，還要根據(jù)圖形的性質(zhì)分析清楚結(jié)論的幾 何意義，這樣才能巧用數(shù)形結(jié)合方法完成解題.證明:在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（cosα,sinα）與點(diǎn)B（cosβ, sinβ）是直線l:ax+by=c與單位圓x2+y2=1的兩個(gè)交點(diǎn)如圖.從而：｜AB｜2=(cosα–cosβ)2+(sinα–sinβ)2 =2–2cos(α–β)

又∵單位圓的圓心到直線l的距離

由平面幾何知識(shí)知｜OA｜2–(｜AB｜)2=d2即

∴.●錦囊妙計(jì)

應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想，應(yīng)注意以下數(shù)與形的轉(zhuǎn)化：（1）集合的運(yùn)算及韋恩圖（2）函數(shù)及其圖象

（3）數(shù)列通項(xiàng)及求和公式的函數(shù)特征及函數(shù)圖象（4）方程（多指二元方程）及方程的曲線

以形助數(shù)常用的有：借助數(shù)軸；借助函數(shù)圖象；借助單位圓；借助數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征；借助于解析幾何方法.以數(shù)助形常用的有：借助于幾何軌跡所遵循的數(shù)量關(guān)系；借助于運(yùn)算結(jié)果與幾何定理的結(jié)合.●殲滅重點(diǎn)難點(diǎn)訓(xùn)練

一、選擇題

1.（★★★★）方程sin(x–)= x的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)是（）A.2

B.3

C.4

D.以上均不對(duì)

2.（★★★★★）已知f(x)=(x–a)(x–b)–2（其中a＜b，且α、β是方程f(x)=0的兩根（α＜β，則實(shí)數(shù)a、b、α、β的大小關(guān)系為（）A.α＜a＜b＜β

B.α＜a＜β＜b C.a＜α＜b＜β

D.a＜α＜β＜b

二、填空題

3.（★★★★★）(4cosθ+3–2t)2+(3sinθ–1+2t)2，(θ、t為參數(shù))的最大值是

.4.（★★★★★）已知集合A={x｜5–x≥ },B={x｜x2–ax≤x–a}，當(dāng)A B時(shí)，則a的取值范圍是

.三、解答題

-6-5.（★★★★）設(shè)關(guān)于x的方程sinx+ cosx+a=0在（0,π）內(nèi)有相異解α、β.（1）求a的取值范圍；（2）求tan(α+β)的值.6.（★★★★）設(shè)A={(x,y)｜y= ,a＞0}，B={(x,y)｜(x–1)2+(y–3)2=a2,a＞0},且A∩B≠，求a的最大值與最小值.7.（★★★★）已知A（1，1）為橢圓 =1內(nèi)一點(diǎn)，F(xiàn)1為橢圓左焦點(diǎn)，P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn).求｜PF1｜+｜PA｜的最大值和最小值.8.（★★★★★）把一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為25 cm、20 cm、5 cm的長(zhǎng)方體木盒從一個(gè)正方形窗口穿過(guò)，那么正方形窗口的邊長(zhǎng)至少應(yīng)為多少？

參 考 答 案 ●重點(diǎn)難點(diǎn)磁場(chǎng)

1.解析：方程y=1+ 的曲線為半圓，y=r(x–2)+4為過(guò)（2，4）的直線.答案：（］

2.解法一：由f(x)＞a，在［–1,+∞)上恒成立 x2–2ax+2–a＞0在［–1,+∞)上恒成立.考查函數(shù)g(x)=x2–2ax+2–a的圖象在［–1,+∞］時(shí)位于x軸上方.如圖兩種情況：

不等式的成立條件是：(1)Δ=4a2–4(2–a)＜0 a∈(–2,1)(2)a∈(–3,–2，綜上所述a∈(–3,1).解法二：由f(x)＞a x2+2＞a(2x+1)令y1=x2+2,y2=a(2x+1),在同一坐標(biāo)系中作出兩個(gè)函數(shù)的圖象.如圖滿足條件的直線l位于l1與l2之間，而直線l1、l2對(duì)應(yīng)的a值（即直線的斜率）分別為1，–3，故直線l對(duì)應(yīng)的a∈(–3,1).●殲滅重點(diǎn)難點(diǎn)訓(xùn)練

一、1.解析：在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出y1=sin(x–)與y2= x的圖象如圖.答案：B 2.解析：a,b是方程g(x)=(x–a)(x–b)=0的兩根，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)f(x)、g(x)的圖象如圖所示：

答案：A

二、3.解析：聯(lián)想到距離公式，兩點(diǎn)坐標(biāo)為A(4cosθ,3sinθ),B(2t–3,1–2t)點(diǎn)A的幾何圖形是橢圓，點(diǎn)B表示直線.考慮用點(diǎn)到直線的距離公式求解.答案：

4.解析：解得A={x｜x≥9或x≤3}，B={x｜(x–a)(x–1)≤0}，畫(huà)數(shù)軸可得.答案：a＞3

三、5.解：①作出y=sin(x+)(x∈(0,π))及y=– 的圖象，知當(dāng)｜– ｜＜1且– ≠

時(shí)，曲線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，故a∈(–2,–)∪(– ,2).②把sinα+ cosα=–a,sinβ+ cosβ=–a相減得tan，故tan(α+β)=3.-7-6.解：∵集合A中的元素構(gòu)成的圖形是以原點(diǎn)O為圓心，a為半徑的半圓；集合B中的元素是以點(diǎn)O′(1,)為圓心，a為半徑的圓.如圖所示

∵A∩B≠，∴半圓O和圓O′有公共點(diǎn).顯然當(dāng)半圓O和圓O′外切時(shí)，a最小

a+a=｜OO′｜=2,∴amin=2 –2 當(dāng)半圓O與圓O′內(nèi)切時(shí)，半圓O的半徑最大，即 a最大.此時(shí) a–a=｜OO′｜=2,∴amax=2 +2.7.解：由 可知a=3,b= ,c=2，左焦點(diǎn)F1(–2,0),右焦點(diǎn)F2(2,0).由橢圓定義，｜PF1｜=2a–｜PF2｜=6–｜PF2｜, ∴｜PF1｜+｜PA｜=6–｜PF2｜+｜PA｜=6+｜PA｜–｜PF2｜ 如圖：

由｜｜PA｜–｜PF2｜｜≤｜AF2｜= 知 – ≤｜PA｜–｜PF2｜≤.當(dāng)P在AF2延長(zhǎng)線上的P2處時(shí)，取右“=”號(hào)； 當(dāng)P在AF2的反向延長(zhǎng)線的P1處時(shí)，取左“=”號(hào).即｜PA｜–｜PF2｜的最大、最小值分別為，–.于是｜PF1｜+｜PA｜的最大值是6+ ,最小值是6–.8.解：本題實(shí)際上是求正方形窗口邊長(zhǎng)最小值.由于長(zhǎng)方體各個(gè)面中寬和高所在的面的邊長(zhǎng)最小，所以應(yīng)由這個(gè)面對(duì)稱(chēng)地穿過(guò)窗口才能使正方形窗口邊長(zhǎng)盡量地小.如圖：

設(shè)AE=x,BE=y, 則有AE=AH=CF=CG=x，BE=BF=DG=DH=y ∴

∴.高考數(shù)學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)突破 重點(diǎn)難點(diǎn)38 分類(lèi)討論思想.txt人永遠(yuǎn)不知道誰(shuí)哪次不經(jīng)意的跟你說(shuō)了再見(jiàn)之后就真的再也不見(jiàn)了。一分鐘有多長(zhǎng)？這要看你是蹲在廁所里面，還是等在廁所外面??

重點(diǎn)難點(diǎn)38 分類(lèi)討論思想

分類(lèi)討論思想就是根據(jù)所研究對(duì)象的性質(zhì)差異，分各種不同的情況予以分析解決.分類(lèi)討論題覆蓋知識(shí)點(diǎn)較多，利于考查學(xué)生的知識(shí)面、分類(lèi)思想和技巧；同時(shí)方式多樣，具有較高的邏輯性及很強(qiáng)的綜合性，樹(shù)立分類(lèi)討論思想，應(yīng)注重理解和掌握分類(lèi)的原則、方法與技巧、做到“確定對(duì)象的全體，明確分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)，分層別類(lèi)不重復(fù)、不遺漏的分析討論.”

●重點(diǎn)難點(diǎn)磁場(chǎng)

1.（★★★★★）若函數(shù)在其定義域內(nèi)有極值點(diǎn)，則a的取值為

.2.（★★★★★）設(shè)函數(shù)f(x)=x2+｜x-a｜+1，x∈R.(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性；(2)求函數(shù)f(x)的最小值.●案例探究

［例1］已知{an}是首項(xiàng)為2，公比為的等比數(shù)列，Sn為它的前n項(xiàng)和.（1）用Sn表示Sn+1;

（2）是否存在自然數(shù)c和k，使得成立.命題意圖：本題主要考查等比數(shù)列、不等式知識(shí)以及探索和論證存在性問(wèn)題的能力，屬★★★★★級(jí)題目.知識(shí)依托：解決本題依據(jù)不等式的分析法轉(zhuǎn)化，放縮、解簡(jiǎn)單的分式不等式；數(shù)列的基本性質(zhì).錯(cuò)解分析：第2問(wèn)中不等式的等價(jià)轉(zhuǎn)化為學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn)，不能確定出.技巧與方法：本題屬于探索性題型，是高考試題的熱點(diǎn)題型.在探討第2問(wèn)的解法時(shí)，采取優(yōu)化結(jié)論的策略，并靈活運(yùn)用分類(lèi)討論的思想：即對(duì)雙參數(shù)k,c輪流分類(lèi)討論，從而獲得答案.解：（1）由Sn=4(1-），得

，(n∈N*)

（2）要使，只要

因?yàn)?/p>

所以，(k∈N*)

故只要Sk-2＜c＜Sk，（k∈N*）

因?yàn)镾k+1＞Sk，(k∈N*)

①

所以Sk-2≥S1-2=1.又Sk＜4，故要使①成立，c只能取2或3.當(dāng)c=2時(shí)，因?yàn)镾1=2，所以當(dāng)k=1時(shí)，c＜Sk不成立，從而①不成立.當(dāng)k≥2時(shí)，因?yàn)?，由Sk＜Sk+1(k∈N*)得

Sk-2＜Sk+1-2

故當(dāng)k≥2時(shí)，Sk-2＞c，從而①不成立.當(dāng)c=3時(shí)，因?yàn)镾1=2，S2=3，所以當(dāng)k=1，k=2時(shí)，c＜Sk不成立，從而①不成立

因?yàn)?，又Sk-2＜Sk+1-2

所以當(dāng)k≥3時(shí)，Sk-2＞c，從而①成立.綜上所述，不存在自然數(shù)c,k,使成立.［例2］給出定點(diǎn)A（a,0)（a＞0）和直線l：x=-1，B是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，∠BOA的角平分線交AB于點(diǎn)C.求點(diǎn)C的軌跡方程，并討論方程表示的曲線類(lèi)型與a值的關(guān)系.命題意圖：本題考查動(dòng)點(diǎn)的軌跡，直線與圓錐曲線的基本知識(shí)，分類(lèi)討論的思想方法.綜合性較強(qiáng)，解法較多，考查推理能力和綜合運(yùn)用解析幾何知識(shí)解題的能力.屬★★★★★級(jí)題目.知識(shí)依托：求動(dòng)點(diǎn)軌跡的基本方法步驟.橢圓、雙曲線、拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的基本特點(diǎn).錯(cuò)解分析：本題易錯(cuò)點(diǎn)為考生不能巧妙借助題意條件，構(gòu)建動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)應(yīng)滿足的關(guān)系式和分類(lèi)討論軌跡方程表示曲線類(lèi)型.技巧與方法：精心思考，發(fā)散思維、多途徑、多角度的由題設(shè)條件出發(fā)，探尋動(dòng)點(diǎn)應(yīng)滿足的關(guān)系式.巧妙地利用角平分線的性質(zhì).解法一：依題意，記B（-1，b)，(b∈R），則直線OA和OB的方程分別為y=0和y=-bx.設(shè)點(diǎn)C(x,y)，則有0≤x＜a，由OC平分∠AOB，知點(diǎn)C到OA、OB距離相等.根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得｜y｜=

①

依題設(shè)，點(diǎn)C在直線AB上，故有

由x-a≠0，得

②

將②式代入①式，得y2［(1-a)x2-2ax+(1+a)y2］=0 若y≠0，則

(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0＜x＜a)若y=0則b=0,∠AOB=π，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，0）滿足上式.綜上，得點(diǎn)C的軌跡方程為

（1-a）x2-2ax+(1+a)y2=0(0＜x＜a(i)當(dāng)a=1時(shí)，軌跡方程化為y2=x(0≤x＜1

③ 此時(shí)方程③表示拋物線弧段；(ii)當(dāng)a≠1，軌跡方程化為

④

所以當(dāng)0＜a＜1時(shí)，方程④表示橢圓弧段； 當(dāng)a＞1時(shí)，方程④表示雙曲線一支的弧段.解法二：如圖，設(shè)D是l與x軸的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥x軸，E是垂足.（i）當(dāng)｜BD｜≠0時(shí)，設(shè)點(diǎn)C(x,y)，則0＜x＜a，y≠0 由CE∥BD，得.∵∠COA=∠COB=∠COD-∠BOD=π-∠COA-∠BOD ∴2∠COA=π-∠BOD ∴

∵

∴整理，得

(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0＜x＜a)(ii)當(dāng)｜BD｜=0時(shí)，∠BOA=π，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,0)，滿足上式.綜合(i)、(ii)，得點(diǎn)C的軌跡方程為(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0≤x＜a)以下同解法一.解法三：設(shè)C(x,y)、B(-1,b)，則BO的方程為y=-bx，直線AB的方程為

∵當(dāng)b≠0時(shí)，OC平分∠AOB，設(shè)∠AOC=θ，∴直線OC的斜率為k=tanθ,OC的方程為y=kx于是

又tan2θ=-b ∴-b=

① ∵C點(diǎn)在AB上 ∴

②

由①、②消去b，得

③ 又，代入③，有

整理，得(a-1)x2-(1+a)y2+2ax=0

④

當(dāng)b=0時(shí)，即B點(diǎn)在x軸上時(shí)，C(0,0)滿足上式：

a≠1時(shí)，④式變?yōu)?/p>

當(dāng)0＜a＜1時(shí)，④表示橢圓弧段；

當(dāng)a＞1時(shí)，④表示雙曲線一支的弧段； 當(dāng)a=1時(shí)，④表示拋物線弧段.●錦囊妙計(jì)

分類(lèi)討論思想就是依據(jù)一定的標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)問(wèn)題分類(lèi)、求解，要特別注意分類(lèi)必須滿足互斥、無(wú)漏、最簡(jiǎn)的原則.分類(lèi)討論常見(jiàn)的依據(jù)是：

1.由概念內(nèi)涵分類(lèi).如絕對(duì)值、直線的斜率、指數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)、直線與平面的夾角等定義包含了分類(lèi).2.由公式條件分類(lèi).如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、極限的計(jì)算、圓錐曲線的統(tǒng)一定義中圖形的分類(lèi)等.3.由實(shí)際意義分類(lèi).如排列、組合、概率中較常見(jiàn)，但不明顯、有些應(yīng)用問(wèn)題也需分類(lèi)討論.在學(xué)習(xí)中也要注意優(yōu)化策略，有時(shí)利用轉(zhuǎn)化策略，如反證法、補(bǔ)集法、變更多元法、數(shù)形結(jié)合法等簡(jiǎn)化甚至避開(kāi)討論.●殲滅重點(diǎn)難點(diǎn)訓(xùn)練

一、選擇題

1.（★★★★）已知其中a∈R，則a的取值范圍是（）

A.a＜0

B.a＜2或a≠-2

C.-2＜a＜2

D.a＜-2或a＞2

2.（★★★★★）四面體的頂點(diǎn)和各棱的中點(diǎn)共10個(gè)點(diǎn)，在其中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，不同的取法共有（）

A.150種

B.147種

C.144種

D.141種

二、填空題

3.（★★★★）已知線段AB在平面α外，A、B兩點(diǎn)到平面α的距離分別為1和3，則線段AB的中點(diǎn)到平面α的距離為

.4.（★★★★★）已知集合A={x｜x2-3x+2=0},B={x｜x2-ax+(a-1)=0}，C={x｜x2-mx+2=0}，且A∪B=A，A∩C=C，則a的值為，m的取值范圍為

.三、解答題

5.（★★★★）已知集合A={x｜x2+px+q=0}，B={x｜qx2+px+1=0},A,B同時(shí)滿足：

①A∩B≠,②A∩B={-2}.求p、q的值.6.（★★★★）已知直角坐標(biāo)平面上點(diǎn)Q（2，0）和圓C：x2+y2=1，動(dòng)點(diǎn)M到圓C的切線長(zhǎng)與｜MQ｜的比等于常數(shù)λ(λ＞0).求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明它表示什么曲線.7.(★★★★★)已知函數(shù)y=f(x)的圖象是自原點(diǎn)出發(fā)的一條折線.當(dāng)n≤y≤n+1(n=0,1,2,...)時(shí)，該圖象是斜率為bn的線段（其中正常數(shù)b≠1），設(shè)數(shù)列{xn}由f(xn)=n(n=1,2,...)定義.（1）求x1、x2和xn的表達(dá)式；

（2）計(jì)算xn；

（3）求f(x)的表達(dá)式，并寫(xiě)出其定義域.8.（★★★★★）已知a＞0時(shí)，函數(shù)f(x)=ax-bx2

（1）當(dāng)b＞0時(shí)，若對(duì)任意x∈R都有f(x)≤1，證明a≤2b;

（2）當(dāng)b＞1時(shí)，證明：對(duì)任意x∈［0,1］,｜f(x)｜≤1的充要條件是b-1≤a≤2；

（3）當(dāng)0＜b≤1時(shí)，討論：對(duì)任意x∈［0,1］,｜f(x)｜≤1的充要條件.-11-

參 考 答 案

●重點(diǎn)難點(diǎn)磁場(chǎng)

1.解析：即f(x)=(a-1)x2+ax-=0有解.當(dāng)a-1=0時(shí)，滿足.當(dāng)a-1≠0時(shí)，只需Δ=a2-(a-1)＞0.答案：或a=1

2.解：(1)當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f(-x)=(-x)2+｜-x｜+1=f(x)，此時(shí)f(x)為偶函數(shù).當(dāng)a≠0時(shí)，f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2｜a｜+1.f(-a)≠f(a),f(-a)≠-f(a)

此時(shí)函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).（2）①當(dāng)x≤a時(shí)，函數(shù)f(x)=x2-x+a+1=(x-)2+a+

若a≤，則函數(shù)f(x)在(-∞,a］上單調(diào)遞減.從而函數(shù)f(x)在（-∞,a上的最小值為f(a)=a2+1

若a＞，則函數(shù)f(x)在（-∞,a上的最小值為f()=+a，且f()≤f(a).②當(dāng)x≥a時(shí)，函數(shù)f(x)=x2+x-a+1=(x+)2-a+

若a≤-，則函數(shù)f(x)在［a,+∞］上的最小值為f(-)=-a，且f(-)≤f(a)；

若a＞-，則函數(shù)f(x)在［a,+∞)單調(diào)遞增.從而函數(shù)f(x)在［a,+∞］上的最小值為f(a)=a2+1.綜上，當(dāng)a≤-時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值為-a；

當(dāng)-＜a≤時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值是a2+1；

當(dāng)a＞時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值是a+.●殲滅重點(diǎn)難點(diǎn)訓(xùn)練

一、1.解析：分a=

2、｜a｜＞2和｜a｜＜2三種情況分別驗(yàn)證.答案：C

2.解析：任取4個(gè)點(diǎn)共C=210種取法.四點(diǎn)共面的有三類(lèi)：（1）每個(gè)面上有6個(gè)點(diǎn)，則有4×C=60種取共面的取法；（2）相比較的4個(gè)中點(diǎn)共3種；（3）一條棱上的3點(diǎn)與對(duì)棱的中點(diǎn)共6種.答案：C

二、3.解析：分線段AB兩端點(diǎn)在平面同側(cè)和異側(cè)兩種情況解決.答案：1或2

4.解析：A={1,2},B={x｜(x-1)(x-1+a)=0}，由A∪B=A可得1-a=1或1-a=2；

由A∩C=C，可知C={1}或.答案：2或3 3或（-2，2）

三、5.解：設(shè)x0∈A，x0是x02+px0+q=0的根.若x0=0，則A={-2,0}，從而p=2,q=0,B={-}.此時(shí)A∩B=與已知矛盾，故x0≠0.將方程x02+px0+q=0兩邊除以x02，得

.即滿足B中的方程，故∈B.∵A∩={-2},則-2∈A,且-2∈.設(shè)A={-2,x0}，則B={}，且x0≠2（否則A∩B=）.若x0=-，則-2∈B,與-2B矛盾.又由A∩B≠,∴x0=，即x0=±1.-12-

即A={-2,1}或A={-2,-1}.故方程x2+px+q=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根-2，1或-2，-1

∴

6.解：如圖，設(shè)MN切圓C于N，則動(dòng)點(diǎn)M組成的集合是P={M｜｜MN｜=λ｜MQ｜,λ＞0}.∵ON⊥MN,｜ON｜=1，∴｜MN｜2=｜MO｜2-｜ON｜2=｜MO｜2-1

設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y)，則

即（x2-1)(x2+y2)-4λ2x+(4λ2+1)=0.經(jīng)檢驗(yàn)，坐標(biāo)適合這個(gè)方程的點(diǎn)都屬于集合P，故方程為所求的軌跡方程.（1）當(dāng)λ=1時(shí)，方程為x=，它是垂直于x軸且與x軸相交于點(diǎn)（，0）的直線；

（2）當(dāng)λ≠1時(shí)，方程化為：

它是以為圓心，為半徑的圓.7.解：（1）依題意f(0)=0，又由f(x1)=1，當(dāng)0≤y≤1，函數(shù)y=f(x)的圖象是斜率為b0=1的線段，故由

∴x1=1

又由f(x2)=2，當(dāng)1≤y≤2時(shí)，函數(shù)y=f(x)的圖象是斜率為b的線段，故由

即x2-x1= ∴x2=1+ 記x0=0，由函數(shù)y=f(x)圖象中第n段線段的斜率為bn-1，故得

又由f(xn)=n,f(xn-1)=n-1 ∴xn-xn-1=()n-1,n=1,2,......由此知數(shù)列{xn-xn-1}為等比數(shù)列，其首項(xiàng)為1，公比為.因b≠1，得(xk-xk-1)=1++...+ 即xn=（2）由（1）知，當(dāng)b＞1時(shí)，當(dāng)0＜b＜1，n→∞, xn也趨于無(wú)窮大.xn不存在.（3）由（1）知，當(dāng)0≤y≤1時(shí)，y=x，即當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)=x;當(dāng)n≤y≤n+1，即xn≤x≤xn+1由（1）可知 f(x)=n+bn(x-xn)(n=1,2,...),由（2）知 當(dāng)b＞1時(shí)，y=f(x)的定義域?yàn)椋?,);當(dāng)0＜b＜1時(shí)，y=f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞).8.(1)證明：依設(shè)，對(duì)任意x∈R，都有f(x)≤1 ∵ ∴≤1 ∵a＞0,b＞0 ∴a≤2.（2）證明：必要性：

對(duì)任意x∈［0,1］，｜f(x)｜≤1-1≤f(x），據(jù)此可以推出-1≤f(1)-13-

即a-b≥-1，∴a≥b-1

對(duì)任意x∈［0,1］，｜f(x)｜≤1f(x)≤1.因?yàn)閎＞1，可以推出f()≤1即a?-1≤1，∴a≤2,∴b-1≤a≤2

充分性：

因?yàn)閎＞1，a≥b-1，對(duì)任意x∈［0,1］.可以推出ax-bx2≥b(x-x2)-x≥-x≥-1

即ax-bx2≥-1

因?yàn)閎＞1,a≤2,對(duì)任意x∈［0,1］，可以推出ax-bx2≤2x-bx2≤1

即ax-bx2≤1,∴-1≤f(x)≤1

綜上，當(dāng)b＞1時(shí)，對(duì)任意x∈［0,1］，｜f(x)｜≤1的充要條件是b-1≤a≤2.(3)解：∵a＞0，0＜b≤1

∴x∈［0,1］,f(x)=ax-bx2≥-b≥-1

即f(x)≥-1

f(x)≤1f(1)≤1a-b≤1

即a≤b+1

a≤b+1f(x)≤(b+1)x-bx2≤1

即f(x)≤1 所以當(dāng)a＞0，0＜b≤1時(shí)高考數(shù)學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)突破 重點(diǎn)難點(diǎn)39 化歸思想.txt人和人的心最近又最遠(yuǎn)，真誠(chéng)是中間的通道。試金可以用火，試女人可以用金，試男人可以用女人--往往都經(jīng)不起那么一試。