第一篇：基于電子白板下的立體幾何最值問題教學探究

基于電子白板下的立體幾何最值問題教學探究

摘要：立體幾何最值問題的求解是歷年來高考的重要考點，并不只是單純地考查學生對知識的掌握，更考查學生的空間想象能力、圖形轉(zhuǎn)化能力。如何突破這一重難點呢？交互式電子白板的運用能夠?qū)⒘Ⅲw幾何教學帶入三維空間，更利于學生空間想象力與數(shù)學思維力的培養(yǎng)。

關鍵詞：電子白板；立體幾何；最值問題；三維空間

中圖分類號：G63 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9132（2016）25-0184-02

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2016.25.120

立體幾何中最值問題處于立體三維空間中，并不是可以直接運用公式與定理所能直接解決的，而是需要學生具備一定的空間想象能力以及運用運動變化觀點的能力，掌握轉(zhuǎn)化這一基本的數(shù)學思想，剝絲抽繭，層層深入地展開分析方能解決。這樣的題型更能體現(xiàn)新課改下倡導的學生思維能力、想象能力的培養(yǎng)，是教學的重點與難點，更是各種考試的重要考點。這需要教師在思想上正確認識，在行動上加強探討，以引導學生深入本質(zhì)地掌握。使學生真正學會，會學，有效突破這一重難點。運用交互式電子白板可以改變以往單純孤立、機械的知識點講解，能夠深入事物的本質(zhì)，將教學帶入三維空間之中，這樣的教學更能彌補傳統(tǒng)教學的不足，培養(yǎng)學生的空間想象能力，掌握基本的數(shù)學思想。現(xiàn)結(jié)合具體的教學實踐對如何運用電子白板來展開立體幾何中最值問題的教學展開論述。

一、立體呈現(xiàn)，增強學生空間想象能力

交互式電子白板不再是機械的語言講解與靜止的圖形分析，而是將教學帶入三維空間之中，這樣可以有效彌補傳統(tǒng)教學的立體感、空間不強的弊端，培養(yǎng)學生的空間想象能力，這正是學好立體幾何的關鍵，也是最值問題求解的關鍵。運用電子白板不再是靜止的模型或是單純的講解，而是將教學帶入立體空間，以增強學生空間立體感，提高學生圖形轉(zhuǎn)化能力。

例1.已知四邊形ABCD、ABEF都是邊長為1的正方形，且這兩個平面相互垂直，點M是平面ABCD對角線AC上的動點，點N是平面ABEF對角線BF上的動點，如果CM=BN=a（0∠a∠），請解決下列幾個問題：（1）求MN的長度；（2）當a為何值時，MN的長度最?。ǎ?）當MN的長度最小時，面MNA與面MNB所成的二面角的大小。

這道題目涉及多個知識點，這三個小問題也是漸進的關系，第二個問題求最小值是解決此題的關鍵，第一個問題是解決第二個問題的前提，第三個問題則是在第二個問題基礎上的延伸。乍一看題目，許多學生望題生畏，不知從何下手。為了便于學生的理解，進而讓學生由這一道題解決這一類題，我們就要靈活運用電子白板的特殊功能，在白板上繪制立體圖形，并通過旋轉(zhuǎn)、放大等，將學生帶入三維空間，然后在教師的步步啟發(fā)下引導學生畫出輔助線，從而將圖形立體而動態(tài)地存在于學生的頭腦之中，增強學生的空間想象能力，進而使學生運用相關的知識來展開解題。這樣整個思維過程都是在電子白板所創(chuàng)設的立體、動態(tài)而直觀的三維空間中展開，更能培養(yǎng)學生的空間想象能力與圖形轉(zhuǎn)化水平，為學生更好地掌握最值問題，更好地學習立體幾何打下堅實的基礎。

二、師生互動，構(gòu)建有生命活力的課堂

新課改的核心理念就是實現(xiàn)以學生為中心，構(gòu)建生本課堂，引導學生展開主動探究，在探究中促進學生知識與技能、過程與方法、情感態(tài)度與價值觀的全面發(fā)展。這正是對以教師為中心的傳統(tǒng)灌輸式教學的根本性挑戰(zhàn)。電子白板具有很強的交互性，我們正可以利用此特點來與學生展開積極的互動，帶領學生走進科學探究的殿堂。

例2.圓柱底面半徑為10cm，高度30cm，求解下列問題：（1）從底面圓周上一點繞側(cè)面一周又回到原點的最短長度；（2）從底面圓周上一點繞側(cè)面到達與底面相對的另一底面的點的最短距離；（3）從底面圓周上一點線側(cè)面一周到達上底面，再繞一周又回到原點的最短距離。

解決此類最值問題的要點就在于將立體幾何問題轉(zhuǎn)換成平面幾何問題，即平面內(nèi)兩點之間線段最短。以往以教師的講解為中心，由教師直接告訴學生解題要點，學生只能是被動地學習，機械地記憶，往往是聽懂了一道題，但題目稍有變化就不知從何下手。根本原因就在于學生主體地位與獨立思考的缺失，這些知識只是強行外加的，并未經(jīng)過自身獨立思考深入事物本質(zhì)的真正理解。為了讓學生更加深刻地理解與掌握，教師就要善于運用電子白板強大的交互功能創(chuàng)設互動平臺，與學生一起展開積極的探究活動。首先我讓學生走上講臺，利用電子白板的動態(tài)功能將以上三種情況中繩子繞行的軌跡用不同顏色的線標注出來，進而幫助學生理清題意。教師可以通過旋轉(zhuǎn)、放大等讓學生在立體圖形中直觀認識，在此基礎上引導學生展開充分的交流與討論，進而使學生認識到要將立體幾何轉(zhuǎn)化成平面幾何。此時教師將圓柱的側(cè)面展開。讓學生認真觀察在立體幾何圖形中那幾個軌跡在平面圖形中分別對應著什么。這樣，通過電子白板直觀而動態(tài)的演示，引導認真觀察與獨立思考，從而令學生自主地認識到題目（1）中的最小值即為底面周長，題目（2）中的最小值即圓柱的側(cè)面展開圖中的對角線；題目（3）中的最小值即為側(cè)面展開圖的對角線的兩倍。由此，學生所獲得的就不再是現(xiàn)成的結(jié)論，機械的記憶定理，而是在自身獨立思考與積極探究基礎上透過表象直達本質(zhì)的規(guī)律性認知，理解更深刻，運用起來自然也會更靈活。即使題目再變化，學生依舊可以透過現(xiàn)象運用規(guī)律性認知來解決問題，真正達到了觸類旁通的效果。

總之，電子白板有著豐富的信息資源庫，為教師教學提供方便。教師在講解這一知識點時，可以靈活地從資源庫中來調(diào)取相關的題目，如截取歷年的高考題以及練習冊上的題目。同時，教師也可以將自己講解問題的過程保存下來，上傳到資料庫，實現(xiàn)資源的共建共享。這樣更能促進教師利用電子白板來展開富有活力與針對性的教學。將交互式電子白板運用于立體幾何最值問題的教學中改變了以往單維的教學模式，將學生帶入三維空間中，這樣更能增強學生的空間想象能力與圖形變換能力，更有效地突出重難點，從而使學生更加深刻而靈活地掌握這一類問題。

參考文獻：

[1] 張運中.探究拓展習題構(gòu)建高效課堂――小議立體幾何中的最值問題[J].中學教學參考，2013（14）：24-24.[2] 王懷學.十種策略求解立體幾何的最值問題[J].中學數(shù)學研究，2012年（3）：40-44.[3] 鄭丹，魏兆祥.立體幾何的最值問題的求解策略[J].高中數(shù)學教與學，2014（3）.[4] 王曉燕.基于電子白板的高中立體幾何圖形教學研究[J].山東師范大學，2014.

第二篇：立體幾何中的最值問題

立體幾何中的最值問題

上猶中學數(shù)學教研組劉道生

普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試新課程標準數(shù)學科考試大綱指出，通過考試，讓學生提高多種能力，其中空間想象能力是對空間形式的觀察、分析、抽象的能力.要在立體幾何學習中形成。立體幾何主要研究空間中點、線、面之間的位置關系，查遍近幾年全國各省市的高考題中，與空間圖形有關的線段、角、距離、面積、體積等最值問題常常在高考試題中出現(xiàn)，并且成增長趨勢。下面舉例說明解決這類問題的常用方法。

策略

一、公理與定義法

例

1、在正四棱錐S-ABCD中，SO⊥平面ABCD于O，SO=2，S

底面邊長為2，點P、Q分別在線段BD、SC上移動，則P、Q兩點的最短距離為（）B

A.55 B.255 C.2D.1【解析】如圖1，由于點P、Q分別在線段BD、SC上移動，先讓點P在BD上固定，Q在SC上移動，當OQ最小時，PQ最小。過O作OQ⊥SC，在Rt△SOC中，OQ?

P在BD上運動，且當P運動到點O時，PQ最小，2。又

5等于OQ的長為2，也就是異面直線BD和SC的 5

公垂線段的長。故選B。

策略二建立函數(shù)法

例2正?ABC的邊長為a，沿BC的平行線PQ折疊，使平面A?PQ?平面BCQP，求四棱錐的棱A?B取得最小值時，四棱錐A??BCQP的體積。

分析：棱A?B的長是由A?點到PQ的距離變化而變化，因此我們可建立棱A?B與點A?到PQ的距離的一個函數(shù)關系式，從而求出棱A?B的最小值，進而求出體積。

【解析】如圖所示，取PQ中點o，顯然AO?PQ，即A?O?PQ

?

由平面A?PQ?平面BCQP，則A?O?平面BCQP，如圖建立直角坐標系O?xyz，設

?3?

1?，得 A?O?x，因正?ABC的邊長為a，易知A??0,0,x?,O?0,0,0?,B?a?x,?a,0?2?2?????3?11

???A?A???0,0,?x???a?x,?a,0???a?x,?a,?x?? 2222????

3??1?2??5

2????a????x?2?2x2?ax?a2?2?x???a?xa??a?2??2???4?8???

即當x?

3a時，A?Bmin?a 4

423?11?3133a??2??SBCPQ?A?O???a?a???a? ???33?44?2??464

?VA??BCPQ

評注：對于圖形的翻折問題,關健是利用翻折前后不變的數(shù)量關系和圖形關系；同時還

要仔細觀察翻折前后圖形的性質(zhì)。很多情況下，我們都是把這類動態(tài)問題轉(zhuǎn)化成目標函數(shù)，最終利用代數(shù)方法求目標函數(shù)的最值。策略三；解不等式法

例3求半徑為R的球內(nèi)接正三棱錐體積的最大值。

分析:要使球內(nèi)接正三棱錐的體積最大,則需正三棱錐的邊或高最大,而高過球心,則可尋球高與半徑之間的關系。

【解析】如右圖所示，設正三棱錐高O1A=h,底面邊長為a由正三棱錐性質(zhì)可知O1B

又知OA=OB=R則在Rt?ABC中，2a)?R2?(h?R)2? a2?3h(2R?h)

3?hh???2R?h1hh??R3 2V=2h(2R?h)?

(2R?

h)??2233????

(當且僅當

h4

?2R?h，即h?R時，取等號)?正三棱錐體積最大值為

策略四；變量分析法

例4 如圖已知在?ABC中，?C?90，PA⊥平面ABC，AE⊥PB交PB于E，AF⊥PC于F，當AP=AB=2，?AEF??，當?變化時，求三棱錐P-AEF體積的最大值。

分析：?的變化是由ＡＣ與ＢＣ的變化引起的，要求三棱錐P-AEF的體積，則需找到三棱錐P-AEF的底面積和高，高為定值時，底面積最大，則體積最大。

【解析】∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC∴ PA⊥BC

又∵BC⊥AC，PA

?AC?

∴ BC⊥平面PAC，AF?平面PAC，∴ BC⊥AF，又∵ AF⊥PC，PC?BC?C∴AF?平面PBC平面PBC，∴AF⊥EF ∴ EF是AE在平面PBC上的射影，∵AE⊥PB，∴EF⊥PB∴ PE⊥平面AEF

在三棱錐P-AEF中，∵AP=AB=2，AE⊥PB，∴PE?2，AE?2，AF?2sin?，1112

sin2? EF?2cos?，VP?AEF?S?AEF?PE???2sin??2cos??2?

3326

∵0???

?，∴0?2???，0?sin2??1∴ 當??

?

時，VP?AEF取得最大值為

。6

策略五：展開體圖法

例5.如圖3-1，四面體A-BCD的各面都是銳角三角形，且AB=CD=a，AC=BD=b，AD=BC=c。平面α分別截棱AB、BC、CD、DA于點P、Q、R、S，A

C

則四邊形PQRS的周長的最小值是（）

A.2a

B.2b

C.2c

D.a+b+c

D

圖

5【解析】如圖3-2，將四面體的側(cè)面展開成平面圖形。由于四面體各

側(cè)面均為銳角三角形，且AB=CD，AC=BD，AD=BC，所以，A與A’、D與D’在四面體中是同一點，且AD//BC//A'D'，AB//CD'，A、C、A’共線，D、B、D’共線，AA'?DD'?2BD。又四邊形PQRS在展開圖中變?yōu)檎劬€S’PQRS，S’與S在四面體中是同

一點。因而當P、Q、R在S’S上時，′

′

S'P?PQ?QR?RS最小，也就是四邊形

SPQRS周長最小。又S'A?SA'，所以最小值L?SS'?DD'?2BD?2b。故選B。策略六 布列方程法

例

6、棱長為2cm的正方形體容器盛滿水，把半徑為1cm的銅球放入水中剛好被淹沒，然后再放入一個鐵球，使它淹沒水中，要 使流出來的水量最多，這個鐵球的半徑應 該為多大？

【解析】：過正方形對角線的截面圖如圖所示，AC1?2，AO?

3AS?AO?OS??1設小球的半徑r，tan?C1AC?

2在?AO1D中，AO1?r，∴AS?AO1?O1S∴?1?3r?r，解得r?2?3（cm）為所求。

策略

七、極限思想法

【解析】三棱錐P-ABC中，若棱PA=x,其余棱長均為1，探討x是否有最值；2若正三棱錐底面棱長棱長均為1，探討其側(cè)棱否有最值。

解析：如圖第1題：當P-ABC為三棱錐時，x的最小極限是 P、A重合，取值為0，若?PBC繞BC順時針旋轉(zhuǎn)，PA變大，最大極限是P,A,B,C共面時，PA為菱形ABPC

第2題：若P在底面的射影為O,易知PO越小，側(cè)棱越小。故P、O重合時，側(cè)棱取最小極

PO無窮大時，側(cè)棱也無窮大?？芍獌深}所問均無最值。策略

八、向量運算法

例8.在棱長為1的正方體ABCD-EFGH中，P是AF上的動點，則GP+PB的最小值為_______。

【解析】以A為坐標原點，分別以AB、AD、AE所在直線為x，y，z軸，建立如圖4所示

?，0，x)，的空間直角坐標系，則B（1，0，0），G（1，1，1）。根據(jù)題意設P（x，0，x），則BP?(x?1?

GP?(x?1，?1，x?1)，那么

GP?PB?2x2?4x?3?2x2?2x?

12??2

2??211??????????x????0??

?2?(x?1)2??0??2?2??2????????

?2?1??1??2

???x????0??可以看成x軸正半軸上一點式子(x?1)??0?（x，??2?2??2???

0，0）到xAy平面上兩點?1?

??2??11?2，0?、?，的距離之和，其最小值為。所以0???2??22?

2GP+PB的最小值為2??

?2?2。2

[規(guī)律小結(jié)]

建立函數(shù)法是一種常用的最值方法，很多情況下，我們都是把這類動態(tài)問題轉(zhuǎn)化成目標函數(shù)，最終利用代數(shù)方法求目標函數(shù)的最值。解題途徑很多，在函數(shù)建成后，可用一次函數(shù)的端點法；二次數(shù)的配方法、公試法； 有界函數(shù)界值法（如三角函數(shù)等）及高階函數(shù)的拐點導數(shù)法等。

公理與定義法通常以公理與定義作依據(jù)，直接推理問題的最大值與最小值，一般的公理與定理有：兩點之間以線段為最短，分居在兩異面直線上的兩點的連線段中，以它們的公垂線段為短。球面上任意兩點間的連線中以過這兩點與球心的平面所得圓的劣弧長為最短等。如果直接建立函數(shù)關系求之比較困難，而運用兩異面直線公垂線段最短則是解決問題的捷徑。

解不等式法是解最值問題的常用方法、在立體幾何中同樣可利用不等式的性質(zhì)和一些變

a2?b

2?ab量的特殊不等關系求解：如

ab?

a?b

最小角定理所建立的不等關系2

等等。

展開體圖法是求立體幾何最值的一種特殊方法，也是一種常用的方法，它可將幾何題表面展開，也可將幾何體內(nèi)部的某些滿足條件的部分面展開成平面，這樣能使求解問題，變得十分直觀，由難化易。

變量分析法是我們要透過現(xiàn)象看本質(zhì)，在幾何體中的點、線、面，哪些在動，哪些不動，要分析透徹，明白它們之間的相互關系，從而轉(zhuǎn)化成求某些線段或角等一些量的求解最值總題的方法。

除了上述5種常用方法外，還有一些使用并不普遍的特殊方法，可以讓我們達到求解最值問題的目的，這就是：布列方程法、極限思想法、向量計算法等等其各法的特點與普遍性，大家可以通過前述實例感受其精彩內(nèi)涵與真理所在。

在解題時，通常應注意分析題目中所有的條件，首先應該在充分理解題意的基礎上，分析是否能用公理與定義直接解決題中問題；如果不能，再看是否可將問題條件轉(zhuǎn)化為函數(shù)，若能寫出確定的表意函數(shù)，則可用建立函數(shù)法求解；再不能，則要考慮其中是否存在不等關系，看是否能運用解等不式法求解；還不行則應考慮是否可將其體圖展開成平面，這樣依次從本文所標定的方法順序思考，必能找到解題的途徑。

第三篇：復雜最值問題剖析

復雜最值問題剖析

華圖教育 王小歡

行測中有題目是一類常見的題目是最值問題，這類題目一般情況下包括三種：第一種為最不利構(gòu)造，題目特征是至少??保證??，做題方法是找出最不利的情形然后再加1；第二種為多集合反向構(gòu)造，題目特征是至少??都??，做題方法三步走：反向，求和，做差；第三種題目是構(gòu)造數(shù)列，題目特征是最??最??，做題方法是構(gòu)造出一個滿足題目的數(shù)列。如果在平時練習或考試的過程中，遇到了這三種題目，可直接按照相應的方法進行求解。但是，還有一些最值問題并不像上面三種問題敘述的那么簡單，往往涉及的項目還比較多，需要先進行分析討論。遇到這樣的題目怎么分析，舉兩個例子剖析一下。

【例1】一個20人的班級舉行百分制測驗，平均分為79分，所有人得分都是整數(shù)且任意兩人得分不同。班級前5名的平均分正好是16到20名平均分的2倍。則班級第6名和第15名之間的分差最大為多少分？

A.34 C.40

B.37 D.43 【解析】求班級第6名和第15名之間的分差最大，則第6名的成績要盡可能的接近第5名的成績，且前5名的成績差距要盡可能的小，即前6名成績是連續(xù)的自然數(shù)，第15名的成績要盡可能的接近第16名的成績，且后5名的成績差距要盡可能的小，即后6名的成績是連續(xù)的自然數(shù)。又由于班級前5名的平均分正好是16到20名平均分的2倍，則前5名的成績決定了后5名的成績。而同時滿足這些條件的數(shù)列有多組，則可以使前5名的成績?yōu)?00、99、98、97、96，則第6名的成績?yōu)?5，由此，后5名得成績?yōu)?1、50、49、48、47，則第15名得成績?yōu)?2，此時與平均分為79分不矛盾，所以第6名和第15名之間的分差最大為95-52=43。因此，本題答案選擇D選項。

【例2】有20人測驗及格率是95%，平均分88，得分都是整數(shù)并且每人得分都不相同，問排名第十的人得分最低是多少？

A.88 B.89 C.90 D.91 【解析】為了使得排名第十的人的分數(shù)盡可能的低，應當使得其余排名的人的分數(shù)盡可能高。根據(jù)及格率為95%可知，有一人未及格，而未及格的人的分數(shù)最高為59分。因此19名及格的考生總成績?yōu)?8×20－59＝1701分。

前九人的分數(shù)最高分別為100分，99分，98分，97分，96分，95分，94分，93分，92分，因此第十至第十九人的分數(shù)總和為1701－（100＋99＋98＋97＋96＋95＋94＋93＋92）＝837分。假設這十個人的分數(shù)分別為91分至82分，那么這十個分數(shù)的和為865分，比實際分數(shù)多了865－837＝28分。如果第十個人的分數(shù)減去1分，那么其余九個人的分數(shù)依次減去1分，這樣他們的總分就要減去10分。由此可見第十個人的分數(shù)只能減去2分達到89分，這樣才使得十個人的分數(shù)總和可能為837分。如果第十個人的分數(shù)為88分，那么這十個人的分數(shù)總和最多為835分。因此第十個人的分數(shù)最低只能是89分。

通過這兩個例子，大家會發(fā)現(xiàn)，這樣的最值問題也不過是“紙老虎”，看起來題目比較長，跟問題直接相關的信息又比較少，一般思路是考慮問題的反面作為出發(fā)點，如“求班級第6名和第15名之間的分差最大，則第6名的成績要盡可能的接近第5名的成績”，再如“為了使得排名第十的人的分數(shù)盡可能的低，應當使得其余排名的人的分數(shù)盡可能高”，一步步，抽絲剝繭般形成習慣性的套路，這樣的問題自然就迎刃而解了。

第四篇：初一數(shù)學 最值問題

專題19

最值問題

閱讀與思考

在實際生活與生產(chǎn)中，人們總想節(jié)省時間或費用，而取得最好的效果或最高效益，反映在數(shù)學問題上，就是求某個量的和、差、積、商的最大值和最小值，這類問題被稱之為最值問題，在現(xiàn)階段，解這類問題的相關知識與基本方法有：

1、通過枚舉選取.2、利用完全平方式性質(zhì).3、運用不等式（組）逼近求解.4、借用幾何中的不等量性質(zhì)、定理等.解答這類問題應當包括兩個方面，一方面要說明不可能比某個值更大（或更?。?，另一方面要舉例說明可以達到這個值，前者需要詳細說明，后者需要構(gòu)造一個合適的例子.例題與求解

【例1】

若c為正整數(shù)，且，，則（）（）（）（）的最小值是

.（北京市競賽試題）

解題思路：條件中關于C的信息量最多，應突出C的作用，把a，b，d及待求式用c的代數(shù)式表示.【例2】

已知實數(shù)a，b滿足，則的最小值是（）

A.B.0

C.1

D.（全國初中數(shù)學競賽試題)

解題思路：對進行變形，利用完全平方公式的性質(zhì)進行解題.【例3】

如果正整數(shù)滿足=，求的最大值.解題思路：不妨設，由題中條件可知=1.結(jié)合題意進行分析.【例4】

已知都為非負數(shù)，滿足，記，求的最大值與最小值.（四川省競賽試題）

解題思路：解題的關鍵是用含一個字母的代數(shù)式表示.【例5】

某工程車從倉庫上水泥電線桿運送到離倉庫恰為1000米的公路邊栽立，要求沿公路的一邊向前每隔100米栽立電線桿一根，已知工程車每次之多只能運送電線桿4根，要求完成運送18根的任務，并返回倉庫，若工程車每行駛1千米耗油m升（在這里耗油量的多少只考慮與行駛的路程有關，其他因素不計）.每升汽油n元，求完成此項任務最低的耗油費用.（湖北省競賽試題）

解題思路：要使耗油費用最低，應當使運送次數(shù)盡可能少，最少需運送5次，而5次又有不同運送方法，求出每種運送方法的行駛路程，比較得出最低的耗油費用.【例6】

直角三角形的兩條直角邊長分別為5和12，斜邊長為13，P是三角形內(nèi)或邊界上的一點，P到三邊的距離分別為，，求++的最大值和最小值，并求當++取最大值和最小值時，P點的位置.（“創(chuàng)新杯”邀請賽試題）

解題思路：連接P點與三角形各頂點，利用三角形的面積公式來解.能力訓練

A

級

1.社a，b，c滿足，那么代數(shù)式的最大值是

.（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）

2.在滿足的條件下，能達到的最大值是

.（“希望杯”邀請賽試題）

3.已知銳角三角形ABC的三個內(nèi)角A，B，C滿足A＞B＞C.用表示A-B，B-C，以及90-A中的最小值，則的最大值是

.（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）

4.已知有理數(shù)a，b，c滿足a＞b＞c，且a+b+c=0，.那么的取值范圍是

.（數(shù)學夏令營競賽試題）

5.在式子中，代入不同的x值，得到對應的值，在這些對應的值中，最小的值是（）.A.1

B.2

C.3

D.4

6.若a，b，c，d是整數(shù)，b是正整數(shù)，且滿足，，那么的最大值是（）.A.-1

B.-5

C.0

D.1

(全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題)

7.已知則代數(shù)式的最小值是（）.A.75

B.80

C.100

D.105

(江蘇省競賽試題)

8.已知，均為非負數(shù)，且滿足=30，又設，則M的最小值與最大值分別為（）.A.110，120

B.120，130

C.130，140

D.140，150

9.已知非負實數(shù)，滿足，記.求的最大值和最小值

（“希望杯”邀請賽試題）

10.某童裝廠現(xiàn)有甲種布料38米，乙鐘布料26米，現(xiàn)計劃用這兩種布料生產(chǎn)L，M兩種型號的童裝共50套，已知做一套L型號的童裝需用甲種布料0.5米，乙種布料1米，可獲利45元；做一套M型號的童裝需用甲種布料0.9米，乙種布料0.2米，可獲利30元，試問該廠生產(chǎn)的這批童裝，當L型號的童裝為多少套是，能使該廠獲得利潤最大？最大利潤為多少？

（江西省無錫市中考試題）

第五篇：二次函數(shù)最值問題

《二次函數(shù)最值問題》的教學反思

大河鎮(zhèn) 件，設所獲利潤為y元，則y＝（x-2.5）［500+200(13.5-x)］，這樣，一個二元二次方程就列出，這也為后面學習二次函數(shù)與一元二次方程的關系奠定了基礎，針對上述分析，把所列方程整理后，并得到y(tǒng)＝－200x2＋3700x-8000，這里再利用二次函數(shù)y＝ax2+bx+c(a≠0)的解析式中a、b、c的大小來確定問題的最值。把問題轉(zhuǎn)化怎樣求這個函數(shù)的最值問題。

b4ac?bb4ac?b根據(jù)a>0時，當x=－，y最?。剑籥<0時，當x＝－,y最大＝

2a4a2a4a的公式求出最大利潤。

例2是面積的最值問題（下節(jié)課講解）

教學反饋：講得絲絲入扣，大部分學生能聽懂，但課后的練習卻“不會做”。反思一：本節(jié)課在講解的過程中，不敢花過多的時間讓學生爭辯交流，生怕時間不夠，完成了不教學內(nèi)容，只能按照自己首先設計好的意圖引領學生去完成就行了。實際上，這節(jié)課以犧牲學生學習的主動性為代價，讓學生被動地接受，去聽講，體現(xiàn)不了學生是學習的主人這一關鍵環(huán)節(jié)。

反思二：數(shù)學教學的目標不僅是讓學生學到一些知識，更重要的是讓學生學會運用知識去解決現(xiàn)實問題，讓學生“從問題的背景出發(fā)，建立數(shù)學模型”的基本流程，如例題中，可讓學生從“列方程→轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)解析式→

b4ac?b當x＝－時，y最大（?。健鉀Q問題”，讓學生在實踐中發(fā)現(xiàn)數(shù)2a4a學，掌握數(shù)學。

反思三：教學應當促進學生成為學習的主人，離開了學生積極主動學習，老師講得再好，學生也難以接受，或者是聽懂了，但不會做題的現(xiàn)象。傳統(tǒng)的教學“五環(huán)節(jié)”模式已成為過去，新的課程標準需要我們用新的理念對傳統(tǒng)的教學模式、教學方法等進行改革，讓學生成為課堂的主角。