第一篇：專題六 二次函數(shù)的最值問(wèn)題

專題強(qiáng)化訓(xùn)練

專題六

二次函數(shù)的最值問(wèn)題

初高中銜接教材

專題六 二次函數(shù)的最值問(wèn)題 【要點(diǎn)回顧】

1．二次函數(shù)y?ax?bx?c(a?0)的最值．

二次函數(shù)在自變量x取任意實(shí)數(shù)時(shí)的最值情況 24ac?b2b當(dāng)a?0時(shí)，函數(shù)在x??處取得最小值，無(wú)最大值；

4a2a4ac?b2b當(dāng)a?0時(shí)，函數(shù)在x??處取得最大值，無(wú)最小值．

4a2a2．二次函數(shù)最大值或最小值的求法．

第一步確定a的符號(hào)，a＞0有最小值，a＜0有最大值；

第二步配方求頂點(diǎn)，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為對(duì)應(yīng)的最大值或最小值． 3．求二次函數(shù)在某一范圍內(nèi)的最值．

如：y?ax?bx?c在m?x?n（其中m?n）的最值． 第一步：先通過(guò)配方，求出函數(shù)圖象的對(duì)稱軸：x?x0； 第二步：討論：

[1]若a?0時(shí)求最小值或a?0時(shí)求最大值，需分三種情況討論：

①對(duì)稱軸小于m即x0?m，即對(duì)稱軸在m?x?n的左側(cè)；

②對(duì)稱軸m?x0?n，即對(duì)稱軸在m?x?n的內(nèi)部；

③對(duì)稱軸大于n即x0?n，即對(duì)稱軸在m?x?n的右側(cè)。[2] 若a?0時(shí)求最大值或a?0時(shí)求最小值，需分兩種情況討論： 2m?n，即對(duì)稱軸在m?x?n的中點(diǎn)的左側(cè)； 2m?n②對(duì)稱軸x0?，即對(duì)稱軸在m?x?n的中點(diǎn)的右側(cè)；

2①對(duì)稱軸x0?說(shuō)明：求二次函數(shù)在某一范圍內(nèi)的最值，要注意對(duì)稱軸與自變量的取值范圍相應(yīng)位置，具體情況，【例題選講】

例1求下列函數(shù)的最大值或最小值．

（1）y?2x?3x?5；（2）y??x?3x?4．22

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例2當(dāng)1?x?2時(shí)，求函數(shù)y??x?x?1的最大值和最小值．

例3當(dāng)x?0時(shí)，求函數(shù)y??x(2?x)的取值范圍．

2125x?x?的最小值(其中t為常數(shù))． 22分析：由于x所給的范圍隨著t的變化而變化，所以需要比較對(duì)稱軸與其范圍的相對(duì)位置．

125解：函數(shù)y?x?x?的對(duì)稱軸為x?1．畫出其草圖．

22125(1)當(dāng)對(duì)稱軸在所給范圍左側(cè)．即t?1時(shí)：當(dāng)x?t時(shí)，ymin?t?t?；

22125(2)當(dāng)對(duì)稱軸在所給范圍之間．即t?1?t?1?0?t?1時(shí)： 當(dāng)x?1時(shí)，ymin??1?1???3；

22(3)當(dāng)對(duì)稱軸在所給范圍右側(cè)．即t?1?1?t?0時(shí)：當(dāng)x?t?1

151ymin?(t?1)2?(t?1)??t2?3．

222例4當(dāng)t?x?t?1時(shí)，求函數(shù)y?

?12?2t?3,t?0?綜上所述：y???3,0?t?1

?15?t2?t?,t?12?2例5某商場(chǎng)以每件30元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一種商品，試銷中發(fā)現(xiàn)這種商品每天的銷售量m(件)與每件的銷售價(jià)x(元)滿足一次函數(shù)m?162?3x,30?x?54．

(1)寫出商場(chǎng)賣這種商品每天的銷售利潤(rùn)y與每件銷售價(jià)x之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)若商場(chǎng)要想每天獲得最大銷售利潤(rùn)，每件商品的售價(jià)定為多少最合適？最大銷售利潤(rùn)為多少？

【鞏固練習(xí)】

1．拋物線y?x?(m?4)x?2m?3，當(dāng)m= _____ 時(shí)，圖象的頂點(diǎn)在y軸上；當(dāng)m= _____ 時(shí)，圖象的頂點(diǎn)在x軸上；當(dāng)m= _____ 時(shí)，圖象過(guò)原點(diǎn)． 2

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二次函數(shù)的最值問(wèn)題

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2．用一長(zhǎng)度為l米的鐵絲圍成一個(gè)長(zhǎng)方形或正方形，則其所圍成的最大面積為 ________ ． 3．設(shè)a?0，當(dāng)?1?x?1時(shí)，函數(shù)y??x?ax?b?1的最小值是?4，最大值是0，求a,b的值．

4．已知函數(shù)y?x?2ax?1在?1?x?2上的最大值為4，求a的值．

5．求關(guān)于x的二次函數(shù)y?x?2tx?1在?1?x?1上的最大值(t為常數(shù))．

222專題六 二次函數(shù)的最值問(wèn)題 參考答案

22例1分析：由于函數(shù)y?2x?3x?5和y??x?3x?4的自變量x的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，所以只要確定它們的圖象有最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，就可以確定函數(shù)有最大值或最小值． 解：（1）因?yàn)槎魏瘮?shù)y?2x2?3x?5中的二次項(xiàng)系數(shù)2＞0，所以拋物線y?2x2?3x?5有最低點(diǎn)，即函數(shù)有最小值．

334949 因?yàn)閥?2x2?3x?5=2(x?)2?，所以當(dāng)x?時(shí)，函數(shù)y?2x2?3x?5有最小值是?．

48482（2）因?yàn)槎魏瘮?shù)y??x?3x?4中的二次項(xiàng)系數(shù)-1＜0，所以拋物線y??x2?3x?4有最高點(diǎn)，即函數(shù)有最大值．

因?yàn)閥??x2?3x?4=?(x?2532253，所以當(dāng)x??時(shí)，函數(shù)y??x2?3x?4有最大值．)?4242例2解：作出函數(shù)的圖象．當(dāng)x?1時(shí)，ymin??1，當(dāng)x?2時(shí)，ymax??5．

說(shuō)明：二次函數(shù)在自變量x的給定范圍內(nèi)，對(duì)應(yīng)的圖象是拋物線上的一段．那么最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為函數(shù)的最大值，最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為函數(shù)的最小值．

根據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱軸的位置，函數(shù)在所給自變量x的范圍的圖象形狀各異．下面給出一些常見情況：

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二次函數(shù)的最值問(wèn)題

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例3解：作出函數(shù)y??x(2?x)?x?2x在x?0內(nèi)的圖象．

可以看出：當(dāng)x?1時(shí)，ymin??1，無(wú)最大值．所以，當(dāng)x?0時(shí)，函數(shù)的取值范圍是y??1． 例5解：(1)由已知得每件商品的銷售利潤(rùn)為(x?30)元，那么m件的銷售利潤(rùn)為y?m(x?30)，又m?162?3x．? y?(x?30)(162?3x)??3x2?252x?4860,30?x?54

(2)由(1)知對(duì)稱軸為x?42，位于x的范圍內(nèi)，另拋物線開口向下

?當(dāng)x?42時(shí)，ymax??3?422?252?42?4860?432

?當(dāng)每件商品的售價(jià)定為42元時(shí)每天有最大銷售利潤(rùn)，最大銷售利潤(rùn)為432元．

【鞏固練習(xí)】

l22311．4 14或2，2．m 3．a(chǎn)?2,b??2． 4．a(chǎn)??或a??1．

16245．當(dāng)t?0時(shí)，ymax?2?2t，此時(shí)x?1；當(dāng)t?0時(shí)，ymax?2?2t，此時(shí)x??1．

第二篇：二次函數(shù)最值問(wèn)題

《二次函數(shù)最值問(wèn)題》的教學(xué)反思

大河鎮(zhèn) 件，設(shè)所獲利潤(rùn)為y元，則y＝（x-2.5）［500+200(13.5-x)］，這樣，一個(gè)二元二次方程就列出，這也為后面學(xué)習(xí)二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系奠定了基礎(chǔ)，針對(duì)上述分析，把所列方程整理后，并得到y(tǒng)＝－200x2＋3700x-8000，這里再利用二次函數(shù)y＝ax2+bx+c(a≠0)的解析式中a、b、c的大小來(lái)確定問(wèn)題的最值。把問(wèn)題轉(zhuǎn)化怎樣求這個(gè)函數(shù)的最值問(wèn)題。

b4ac?bb4ac?b根據(jù)a>0時(shí)，當(dāng)x=－，y最?。剑籥<0時(shí)，當(dāng)x＝－,y最大＝

2a4a2a4a的公式求出最大利潤(rùn)。

例2是面積的最值問(wèn)題（下節(jié)課講解）

教學(xué)反饋：講得絲絲入扣，大部分學(xué)生能聽懂，但課后的練習(xí)卻“不會(huì)做”。反思一：本節(jié)課在講解的過(guò)程中，不敢花過(guò)多的時(shí)間讓學(xué)生爭(zhēng)辯交流，生怕時(shí)間不夠，完成了不教學(xué)內(nèi)容，只能按照自己首先設(shè)計(jì)好的意圖引領(lǐng)學(xué)生去完成就行了。實(shí)際上，這節(jié)課以犧牲學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性為代價(jià)，讓學(xué)生被動(dòng)地接受，去聽講，體現(xiàn)不了學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人這一關(guān)鍵環(huán)節(jié)。

反思二：數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)不僅是讓學(xué)生學(xué)到一些知識(shí)，更重要的是讓學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用知識(shí)去解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，讓學(xué)生“從問(wèn)題的背景出發(fā)，建立數(shù)學(xué)模型”的基本流程，如例題中，可讓學(xué)生從“列方程→轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)解析式→

b4ac?b當(dāng)x＝－時(shí)，y最大（小）＝→解決問(wèn)題”，讓學(xué)生在實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)數(shù)2a4a學(xué)，掌握數(shù)學(xué)。

反思三：教學(xué)應(yīng)當(dāng)促進(jìn)學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主人，離開了學(xué)生積極主動(dòng)學(xué)習(xí)，老師講得再好，學(xué)生也難以接受，或者是聽懂了，但不會(huì)做題的現(xiàn)象。傳統(tǒng)的教學(xué)“五環(huán)節(jié)”模式已成為過(guò)去，新的課程標(biāo)準(zhǔn)需要我們用新的理念對(duì)傳統(tǒng)的教學(xué)模式、教學(xué)方法等進(jìn)行改革，讓學(xué)生成為課堂的主角。

第三篇：2015二次函數(shù)與最值問(wèn)題

2015年中招專題---二次函數(shù)與最值問(wèn)題

1．（2014?四川綿陽(yáng)）如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過(guò)點(diǎn)M（﹣2，且與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PBC為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）在直線AC上是否存在一點(diǎn)Q，使△QBM的周長(zhǎng)最?。咳舸嬖?，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

2．（2014?四川內(nèi)江）如圖，拋物線y=ax+bx+c經(jīng)過(guò)A（﹣3.0）、C（0，4），點(diǎn)B在拋物線上，CB∥x軸，且AB平分∠CAO．（1）求拋物線的解析式；

（2）線段AB上有一動(dòng)點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)Q，求線段PQ的最大值；

（3）拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M，使△ABM是以AB為直角邊的直角三角形？如果存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；如果不存在，說(shuō)明理由．

3.（2014?攀枝花）如圖，拋物線y=ax2﹣8ax+12a（a＞0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y

2），頂點(diǎn)坐標(biāo)為N（﹣1，），軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣6，0），且∠ACD=90°．（1）請(qǐng)直接寫出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求拋物線的解析式；

（3）拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使得△PAC的周長(zhǎng)最??？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及周長(zhǎng)的最小值；若不存在，說(shuō)明理由；

（4）平行于y軸的直線m從點(diǎn)D出發(fā)沿x軸向右平行移動(dòng)，到點(diǎn)A停止．設(shè)直線m與折線DCA的交點(diǎn)為G，與x軸的交點(diǎn)為H（t，0）．記△ACD在直線m左側(cè)部分的面積為s，求s關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式及自變量t的取值范圍．

4.(2014?襄陽(yáng)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OCDE的三個(gè)頂點(diǎn)分別是C（3，0），D（3，4），E（0，4）．點(diǎn)A在DE上，以A為頂點(diǎn)的拋物線過(guò)點(diǎn)C，且對(duì)稱軸x=1交x軸于點(diǎn)B．連接EC，AC．點(diǎn)P，Q為動(dòng)點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）填空：點(diǎn)A坐標(biāo)為

；拋物線的解析式為

．

（2）在圖1中，若點(diǎn)P在線段OC上從點(diǎn)O向點(diǎn)C以1個(gè)單位/秒的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CE上從點(diǎn)C向點(diǎn)E以2個(gè)單位/秒的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)．當(dāng)t為何值時(shí)，△PCQ為直角三角形？

（3）在圖2中，若點(diǎn)P在對(duì)稱軸上從點(diǎn)A開始向點(diǎn)B以1個(gè)單位/秒的速度運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P做PF⊥AB，交AC于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AD于點(diǎn)G，交拋物線于點(diǎn)Q，連接AQ，CQ．當(dāng)t為何值時(shí)，△ACQ的面積最大？最大值是多少？

5.（2014?德州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)是（4，0），并且OA=OC=4OB，動(dòng)點(diǎn)P在過(guò)A，B，C三點(diǎn)的拋物線上．（1）求拋物線的解析式；

（2）是否存在點(diǎn)P，使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由；

（3）過(guò)動(dòng)點(diǎn)P作PE垂直于y軸于點(diǎn)E，交直線AC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作y軸的垂線．垂足為F，連接EF，當(dāng)線段EF的長(zhǎng)度最短時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

6．（2014?甘肅蘭州）如圖，拋物線y=﹣x+mx+n與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）點(diǎn)E時(shí)線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線與拋物線相交于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形CDBF的面積最大？求出四邊形CDBF的最大面積及此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)．

7．（2014?重慶）如圖，拋物線y=﹣x2﹣2x+3 的圖象與x軸于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D拋物線的頂點(diǎn)．

（1）求A、B、C的坐標(biāo)；

交為2（2）點(diǎn)M為線段AB上一點(diǎn)（點(diǎn)M不與點(diǎn)A、B重合），過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線，與直線AC交于點(diǎn)E，與拋物線交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥AB交拋物線于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)Q作QN⊥x軸于點(diǎn)N．若點(diǎn)P在點(diǎn)Q左邊，當(dāng)矩形PQMN的周長(zhǎng)最大時(shí)，求△AEM的面積；

（3）在（2）的條件下，當(dāng)矩形PMNQ的周長(zhǎng)最大時(shí)，連接DQ．過(guò)拋物線上一點(diǎn)F作y軸的平行線，與直線AC交于點(diǎn)G（點(diǎn)G在點(diǎn)F的上方）．若FG=

2DQ，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．

8.(四川瀘州）如圖，已知一次函數(shù)y1=x+b的圖象l與二次函數(shù)y2=﹣x+mx+b的圖象C′都經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（0，1）和點(diǎn)C，且圖象C′過(guò)點(diǎn)A（2﹣（1）求二次函數(shù)的最大值；

（2）設(shè)使y2＞y1成立的x取值的所有整數(shù)和為s，若s是關(guān)于x的方程a的值；

（3）若點(diǎn)F、G在圖象C′上，長(zhǎng)度為的線段DE在線段BC上移動(dòng)，EF與DG始終平行于y軸，當(dāng)四

=0的根，求2，0）．

邊形DEFG的面積最大時(shí)，在x軸上求點(diǎn)P，使PD+PE最小，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

第四篇：二次函數(shù)的最值問(wèn)題修改版

利用數(shù)形結(jié)合法解決二次函數(shù)在閉區(qū)間

上的最值問(wèn)題

數(shù)學(xué)組：王勇

一、教學(xué)目標(biāo)：

1． 理解二次函數(shù)的最值概念，掌握二次函數(shù)的最值求法； 2． 培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力和將數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化的能力。

二、教學(xué)重點(diǎn)：二次函數(shù)最值求法

教學(xué)難點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

三、教學(xué)過(guò)程：

二次函數(shù)是函數(shù)中重要的函數(shù)，二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題一直是函數(shù)中的一個(gè)難點(diǎn)。今天我們用數(shù)形結(jié)合的方法來(lái)突破這個(gè)問(wèn)題。請(qǐng)看下面例題

問(wèn)題1 求函數(shù)f(x)?x2?2x?3，x??2,4?的最大值與最小值

練習(xí)：將題中條件x??2,4?改為（1）x???3,0?，（2）x???3,4?

小結(jié)：求二次函數(shù)在固定區(qū)間上的最大值與最小值：考慮對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系。

如果我們將x???3,4?改為x??a,4?，怎樣求最值呢？

問(wèn)題2 求函數(shù)f(x)?x2?2x?3，x??a,4?的最值

小結(jié)：注意分類討論

以上問(wèn)題是函數(shù)的圖像不變，要研究的區(qū)間含字母，如果我們將區(qū)間固定，函數(shù)的解析式中含字母，又怎樣求最值呢？

問(wèn)題3 求函數(shù)f(x)?x?2ax?3，x??1,3?的最大值與最小值

小結(jié)：對(duì)稱軸的討論是關(guān)鍵

練習(xí)4 已知f?x??x-2ax?3在區(qū)間??1,2?上最大值為4，求a的值 2

f(x)?a(x?h)2?k(a?0)x?[m,n]小結(jié)：二次函數(shù)在閉區(qū)間[m,n]上的最值

（三）作業(yè)：

1． 求函數(shù)f?x??x2?2x?3在區(qū)間?t,t?1?上的最值 2． 求函數(shù)f?x??x2?ax?3在區(qū)間??1,1?上的最小值

第五篇：二次函數(shù)最值問(wèn)題參考答案

精英輔導(dǎo)學(xué)校 賈天宇 2013.7.17.二次函數(shù)最值問(wèn)題

二、例題分析歸類：

（一）、正向型

是指已知二次函數(shù)和定義域區(qū)間，求其最值。對(duì)稱軸與定義域區(qū)間的相互位置關(guān)系的討論往往成為解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵。此類問(wèn)題包括以下四種情形：（1）軸定，區(qū)間定；（2）軸定，區(qū)間變；（3）軸變，區(qū)間定；（4）軸變，區(qū)間變。1.軸定區(qū)間定

例1.函數(shù)y??x?4x?2在區(qū)間[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。

解：函數(shù)y??x?4x?2??(x?2)?2函數(shù)的最大值為f(2)?2，最小值f(0)??2。練習(xí).已知2x2?3x，求函數(shù)f(x)?x?x?1的最值。

解：由已知2x?3x，可得0?x?222223，函數(shù)f(x)的最小值為f(0)?1，最大值為2?3?19。f????2?

42、軸定區(qū)間變

2例2.如果函數(shù)f(x)?(x?1)?1定義在區(qū)間t，t?1上，求f(x)的最小值。

??解：函數(shù)f(x)?(x?1)?1 21?t，當(dāng)x?t時(shí)，函數(shù)取得最小值f(x)min?f(t)?(t?1)2?1。

t?1?t?1，即0?t?1。當(dāng)x?1時(shí)，函數(shù)取得最小值f(x)min?f(1)?1。t?1?1，即t?0。當(dāng)x?t?1時(shí)，函數(shù)取得最小值f(x)min?f(t?1)?t2?1

綜上討論，f(x)min?(t?1)2?1,t?1? ??1,0?t?1?2?t?1t?02f(x)?x?2x?3，當(dāng)x?[t，t?1](t?R)時(shí)，求f(x)的最大值． 例3.已知解：由已知可求對(duì)稱軸為x?1．

?f(x)min?f(t)?tt??21t?3，f(x)max?f(t?1)?t2?2（1）當(dāng)時(shí)，．（2）當(dāng)t≤1≤t?1，即0≤t≤1時(shí)，．

t?t?11?即22t?t?111??t≤12f(x)?f(t?1)?t?2max22即2若時(shí)，． 根據(jù)對(duì)稱性，若

0≤t≤122時(shí)，f(x)max?f(t)?t?2t?3．

f(x)max?f(t)?t2?2t?3t?1?1t?0（3）當(dāng)即時(shí)，．

第1頁(yè)（共4頁(yè)）精英輔導(dǎo)學(xué)校 賈天宇 2013.7.17.綜上，f(x)max1?2t?2,t???2 ???t2?2t?3,t?1?2?

23、軸變區(qū)間定

例4.已知x2?1，且a?2?0，求函數(shù)f(x)?x?ax?3的最值。

解：由已知有?1?x?1，a?2，于是函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間?1，1上的二次函數(shù)，將

??a?a? f(x)配方得：f(x)??x???3??2?422?aa2?a二次函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸方程是x??頂點(diǎn)坐標(biāo)為??，3??，圖象開口向上

4??22a??1，顯然其頂點(diǎn)橫坐標(biāo)在區(qū)間?1，1的左側(cè)或左端點(diǎn)上。2函數(shù)的最小值是f(?1)?4?a，最大值是f(1)?4?a。由a?2可得x????

圖3 例.(1)求f(x)?x?2ax?1在區(qū)間[-1,2]上的最大值。

(2)求函數(shù)y??x(x?a)在x?[?1,1]上的最大值。解：(1)二次函數(shù)的對(duì)稱軸方程為x??a，211即a??時(shí)，f(x)max?f(2)?4a?5； 2211 當(dāng)?a?即a??時(shí)，f(x)max?f(?1)?2a?2。

22當(dāng)?a?綜上所述：f(x)max1??2a?2,a????2??。?4a?5,a??1??2a2a2aaaa(2)函數(shù)y??(x?)?圖象的對(duì)稱軸方程為x?，應(yīng)分?1??1，??1，?1即242222第2頁(yè)（共4頁(yè)）精英輔導(dǎo)學(xué)校 賈天宇 2013.7.17.?2?a?2，a??2和a?2這三種情形討論，下列三圖分別為

（1）a??2；由圖可知f(x)max?f(?1)（2）?2?a?2；由圖可知f(x)max?f()（3）a?2時(shí)；由圖可知f(x)max?f(1)

a2

?y最大??(a?1),a??2?f(?1),a??2?2?a??a??f(),?2?a?2；即y最大??,?2?a?2 ?2?4???f(1),a?2?a?1,a?

2（二）、逆向型

是指已知二次函數(shù)在某區(qū)間上的最值，求函數(shù)或區(qū)間中參數(shù)的取值。

例5.已知函數(shù)f(x)?ax?2ax?1在區(qū)間[?3,2]上的最大值為4，求實(shí)數(shù)a的值。

解：f(x)?a(x?1)?1?a,x?[?3,2]（1）若a?0,f(x)?1,，不符合題意。（2）若a?0,則f(x)max?f(2)?8a?1 22由8a?1?4，得a?3 8（3）若a?0時(shí)，則f(x)max?f(?1)?1?a 由1?a?4，得a??3

第3頁(yè)（共4頁(yè)）精英輔導(dǎo)學(xué)校 賈天宇 2013.7.17.綜上知a?3或a??3 8x2例6.已知函數(shù)f(x)???x在區(qū)間[m,n]上的最小值是3m最大值是3n，求m，n的值。

2解法1：討論對(duì)稱軸中1與m,m?n,n的位置關(guān)系。2①若，則??f(x)max?f(n)?3n

?f(x)min?f(m)?3m 解得②若?f(x)max?f(1)?3nm?n，無(wú)解 ?1?n，則?2?f(x)min?f(m)?3m?f(x)max?f(1)?3nm?n③若m?1?，則?，無(wú)解

f(x)?f(n)?3m2?min④若，則??f(x)max?f(m)?3n，無(wú)解

?f(x)min?f(n)?3m綜上，m??4,n?0 解析2：由f(x)??1111(x?1)2?，知3n?,n?,，則[m,n]?(??,1]，2226?f(x)max?f(n)?3n

f(x)?f(m)?3m?min又∵在[m,n]上當(dāng)x增大時(shí)f(x)也增大所以?解得m??4,n?0

評(píng)注：解法2利用閉區(qū)間上的最值不超過(guò)整個(gè)定義域上的最值，縮小了m，n的取值范圍，避開了繁難的分類討論，解題過(guò)程簡(jiǎn)潔、明了。

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