第一篇：淺談“小船渡河”的最值問題

在高一物理（必修2）的教學(xué)過程種，有關(guān)“小船渡河”問題的講解是學(xué)生理解的難點，當(dāng)然也是教學(xué)的重點。這類題目主要研究：船怎樣行駛，渡河時間、渡河位移最短。在物理教學(xué)過程中，我發(fā)現(xiàn)許多學(xué)生是死記硬背記住結(jié)論，有時還混淆，其主要原因是他們不能理解運動的合成與分解規(guī)律與渡河問題的關(guān)系。下面就這個問題我談?wù)勛约阂恍┎怀墒斓慕虒W(xué)方法。

例如有這樣一道題：一條寬為d的河，水流速度為V水，船在靜水中的速度為V船，那么（1）船怎樣渡河時間最短，最短時間為多少？

（2）若V水＜ V船，怎樣渡河位移最小，最小位移為多少？

（3）若V水 ＞V船，怎樣渡河位移最小，最小位移為多少？ 圖1 在求船渡河時間最短問題之前，學(xué)生首先應(yīng)復(fù)習(xí)合運動與分運動的關(guān)系：等時性、獨立性、等效性、運算法則為平行四邊行定則，然后畫圖講解，(如圖1)由于渡河時間t=S船/V船= S水/V水= S合/V合，而船渡河的分位移容易求，所以利用t=S船/V船計算簡單，從船運動的分位移圖中可知，當(dāng)船頭垂直正對岸開動時，船的分位移S船最短，渡河時間最短。

關(guān)于船渡河位移最短的問題，學(xué)生首先應(yīng)知道船渡河的位移，是指船的實際位移，即合位移，即和合速度在一條直線上。合位移的方向大致有三種，沿河岸上游、垂直河對岸、沿河岸下游，顯然合位移為河寬時，渡河位移最短，如圖2，而合位移方向即是合速度方向，假設(shè)水速方向向右，由三角形定則可知，船速方向應(yīng)斜向上游某一角度θ，而且由幾何關(guān)系知，船速只有大于水速時，合速度才可能指向正對岸，最短位移才可能為河寬。此時cosθ = V水/ V船,從而求出θ。

圖2 圖3 當(dāng)水速大于船速時，由三角形定則可知，兩個分速度應(yīng)該首尾相接，合速度由第一個矢量的始端指向第二個矢量的末端，在船頭方向不斷變化的過程中，就像以水速末端為圓心，以船速為半徑畫的圓一樣，合速度的首部始終落在該圓上，由合速度的方向即為合位移方向可知，當(dāng)合速度方向如圖3所示，即從水速始端做圓的切線時，合位移為最短。此時船速與合速度垂直，船速方向仍應(yīng)斜向上游某一角度θ，cosθ=V船 / V水，可求出θ，由幾何關(guān)系可求最短位移Smin=d/ cosθ=d V水/ V船。

另外，我們還應(yīng)該清楚：把一個合運動分解為的兩個分運動之間具有相對獨立性，即兩個分運動之間互不干擾。因此，當(dāng)船頭垂直河岸渡河時，其時間最短，而且無論水流速度如何變化，船渡河時間都為d/V船，因為在船頭方向上的分位移不變，船速不變，所以分運動的時間不變，也就是渡河時間不變。當(dāng)然，值得注意的是，當(dāng)船以最短時間渡河時，其渡河位移不會最短。

“小船渡河”問題是運動合成與分解知識在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用，只有深刻理解運動合成與分解的意義，充分掌握合運動與分運動的關(guān)系和特點，才能去解開“小船渡河”問題中困擾我們的死結(jié)，讓物理知識凸顯出生活的樂趣，使物理的學(xué)習(xí)更加輕松。

1．如圖所示，在不計滑輪摩擦和繩子質(zhì)量的條件下，當(dāng)小車勻速向左運動時，物體M的受力和運動情況是 “小船渡河”的最值問題

A.繩的拉力等于M的重力 B.繩的拉力大于M的重力 C.物體M向上勻速運動 D.物體M向上加速運動

【解析】設(shè)繩子與水平方向的夾角為θ，將小車的速度分解為沿繩子方向和垂直于繩子方向，沿繩子方向的速度等于M的速度，根據(jù)平行四邊形定則得，車子在勻速向左的運動過程中，繩子與水平方向的夾角θ減小，所以M的速度增大，M做變加速運動，根據(jù)牛頓第二定律有，知拉力大于重力，BD正確．

2．兩根光滑的桿互相垂直地固定豎直平面內(nèi)。上面分別穿有一個小球。小球a、b間用一細直棒相連如圖。釋放后兩球都開始滑動。當(dāng)細直棒與豎直桿夾角為α?xí)r，兩小球?qū)嶋H速度大小之比va∶vb等于

A.sinα∶1 B.cosα∶1 C.tanα∶1 D.cotα∶1【解析】速度的合成與分解，可知，將兩球的速度分解，如圖所示，則有：va cosθ=vbsinθ，而，那么兩小球?qū)嶋H速度之比va：vb=sinθ：cosθ=tanθ：1，故C正確，ABD錯誤． 4．如圖所示，在水平面上小車A通過光滑的定滑輪用細繩拉一物塊B，小車的速度為v1=5m/s，當(dāng)細繩與水平方向的夾角分別為30°和60°時，物塊B的速度 v2 ？

第二篇：初一數(shù)學(xué) 最值問題

專題19

最值問題

閱讀與思考

在實際生活與生產(chǎn)中，人們總想節(jié)省時間或費用，而取得最好的效果或最高效益，反映在數(shù)學(xué)問題上，就是求某個量的和、差、積、商的最大值和最小值，這類問題被稱之為最值問題，在現(xiàn)階段，解這類問題的相關(guān)知識與基本方法有：

1、通過枚舉選取.2、利用完全平方式性質(zhì).3、運用不等式（組）逼近求解.4、借用幾何中的不等量性質(zhì)、定理等.解答這類問題應(yīng)當(dāng)包括兩個方面，一方面要說明不可能比某個值更大（或更?。?，另一方面要舉例說明可以達到這個值，前者需要詳細說明，后者需要構(gòu)造一個合適的例子.例題與求解

【例1】

若c為正整數(shù)，且，，則（）（）（）（）的最小值是

.（北京市競賽試題）

解題思路：條件中關(guān)于C的信息量最多，應(yīng)突出C的作用，把a，b，d及待求式用c的代數(shù)式表示.【例2】

已知實數(shù)a，b滿足，則的最小值是（）

A.B.0

C.1

D.（全國初中數(shù)學(xué)競賽試題)

解題思路：對進行變形，利用完全平方公式的性質(zhì)進行解題.【例3】

如果正整數(shù)滿足=，求的最大值.解題思路：不妨設(shè)，由題中條件可知=1.結(jié)合題意進行分析.【例4】

已知都為非負數(shù)，滿足，記，求的最大值與最小值.（四川省競賽試題）

解題思路：解題的關(guān)鍵是用含一個字母的代數(shù)式表示.【例5】

某工程車從倉庫上水泥電線桿運送到離倉庫恰為1000米的公路邊栽立，要求沿公路的一邊向前每隔100米栽立電線桿一根，已知工程車每次之多只能運送電線桿4根，要求完成運送18根的任務(wù)，并返回倉庫，若工程車每行駛1千米耗油m升（在這里耗油量的多少只考慮與行駛的路程有關(guān)，其他因素不計）.每升汽油n元，求完成此項任務(wù)最低的耗油費用.（湖北省競賽試題）

解題思路：要使耗油費用最低，應(yīng)當(dāng)使運送次數(shù)盡可能少，最少需運送5次，而5次又有不同運送方法，求出每種運送方法的行駛路程，比較得出最低的耗油費用.【例6】

直角三角形的兩條直角邊長分別為5和12，斜邊長為13，P是三角形內(nèi)或邊界上的一點，P到三邊的距離分別為，，求++的最大值和最小值，并求當(dāng)++取最大值和最小值時，P點的位置.（“創(chuàng)新杯”邀請賽試題）

解題思路：連接P點與三角形各頂點，利用三角形的面積公式來解.能力訓(xùn)練

A

級

1.社a，b，c滿足，那么代數(shù)式的最大值是

.（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

2.在滿足的條件下，能達到的最大值是

.（“希望杯”邀請賽試題）

3.已知銳角三角形ABC的三個內(nèi)角A，B，C滿足A＞B＞C.用表示A-B，B-C，以及90-A中的最小值，則的最大值是

.（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）

4.已知有理數(shù)a，b，c滿足a＞b＞c，且a+b+c=0，.那么的取值范圍是

.（數(shù)學(xué)夏令營競賽試題）

5.在式子中，代入不同的x值，得到對應(yīng)的值，在這些對應(yīng)的值中，最小的值是（）.A.1

B.2

C.3

D.4

6.若a，b，c，d是整數(shù)，b是正整數(shù)，且滿足，，那么的最大值是（）.A.-1

B.-5

C.0

D.1

(全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)

7.已知則代數(shù)式的最小值是（）.A.75

B.80

C.100

D.105

(江蘇省競賽試題)

8.已知，均為非負數(shù)，且滿足=30，又設(shè)，則M的最小值與最大值分別為（）.A.110，120

B.120，130

C.130，140

D.140，150

9.已知非負實數(shù)，滿足，記.求的最大值和最小值

（“希望杯”邀請賽試題）

10.某童裝廠現(xiàn)有甲種布料38米，乙鐘布料26米，現(xiàn)計劃用這兩種布料生產(chǎn)L，M兩種型號的童裝共50套，已知做一套L型號的童裝需用甲種布料0.5米，乙種布料1米，可獲利45元；做一套M型號的童裝需用甲種布料0.9米，乙種布料0.2米，可獲利30元，試問該廠生產(chǎn)的這批童裝，當(dāng)L型號的童裝為多少套是，能使該廠獲得利潤最大？最大利潤為多少？

（江西省無錫市中考試題）

第三篇：二次函數(shù)最值問題

《二次函數(shù)最值問題》的教學(xué)反思

大河鎮(zhèn) 件，設(shè)所獲利潤為y元，則y＝（x-2.5）［500+200(13.5-x)］，這樣，一個二元二次方程就列出，這也為后面學(xué)習(xí)二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系奠定了基礎(chǔ)，針對上述分析，把所列方程整理后，并得到y(tǒng)＝－200x2＋3700x-8000，這里再利用二次函數(shù)y＝ax2+bx+c(a≠0)的解析式中a、b、c的大小來確定問題的最值。把問題轉(zhuǎn)化怎樣求這個函數(shù)的最值問題。

b4ac?bb4ac?b根據(jù)a>0時，當(dāng)x=－，y最?。?；a<0時，當(dāng)x＝－,y最大＝

2a4a2a4a的公式求出最大利潤。

例2是面積的最值問題（下節(jié)課講解）

教學(xué)反饋：講得絲絲入扣，大部分學(xué)生能聽懂，但課后的練習(xí)卻“不會做”。反思一：本節(jié)課在講解的過程中，不敢花過多的時間讓學(xué)生爭辯交流，生怕時間不夠，完成了不教學(xué)內(nèi)容，只能按照自己首先設(shè)計好的意圖引領(lǐng)學(xué)生去完成就行了。實際上，這節(jié)課以犧牲學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性為代價，讓學(xué)生被動地接受，去聽講，體現(xiàn)不了學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人這一關(guān)鍵環(huán)節(jié)。

反思二：數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)不僅是讓學(xué)生學(xué)到一些知識，更重要的是讓學(xué)生學(xué)會運用知識去解決現(xiàn)實問題，讓學(xué)生“從問題的背景出發(fā)，建立數(shù)學(xué)模型”的基本流程，如例題中，可讓學(xué)生從“列方程→轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)解析式→

b4ac?b當(dāng)x＝－時，y最大（?。健鉀Q問題”，讓學(xué)生在實踐中發(fā)現(xiàn)數(shù)2a4a學(xué)，掌握數(shù)學(xué)。

反思三：教學(xué)應(yīng)當(dāng)促進學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主人，離開了學(xué)生積極主動學(xué)習(xí)，老師講得再好，學(xué)生也難以接受，或者是聽懂了，但不會做題的現(xiàn)象。傳統(tǒng)的教學(xué)“五環(huán)節(jié)”模式已成為過去，新的課程標(biāo)準(zhǔn)需要我們用新的理念對傳統(tǒng)的教學(xué)模式、教學(xué)方法等進行改革，讓學(xué)生成為課堂的主角。

第四篇：復(fù)雜最值問題剖析

復(fù)雜最值問題剖析

華圖教育 王小歡

行測中有題目是一類常見的題目是最值問題，這類題目一般情況下包括三種：第一種為最不利構(gòu)造，題目特征是至少??保證??，做題方法是找出最不利的情形然后再加1；第二種為多集合反向構(gòu)造，題目特征是至少??都??，做題方法三步走：反向，求和，做差；第三種題目是構(gòu)造數(shù)列，題目特征是最??最??，做題方法是構(gòu)造出一個滿足題目的數(shù)列。如果在平時練習(xí)或考試的過程中，遇到了這三種題目，可直接按照相應(yīng)的方法進行求解。但是，還有一些最值問題并不像上面三種問題敘述的那么簡單，往往涉及的項目還比較多，需要先進行分析討論。遇到這樣的題目怎么分析，舉兩個例子剖析一下。

【例1】一個20人的班級舉行百分制測驗，平均分為79分，所有人得分都是整數(shù)且任意兩人得分不同。班級前5名的平均分正好是16到20名平均分的2倍。則班級第6名和第15名之間的分差最大為多少分？

A.34 C.40

B.37 D.43 【解析】求班級第6名和第15名之間的分差最大，則第6名的成績要盡可能的接近第5名的成績，且前5名的成績差距要盡可能的小，即前6名成績是連續(xù)的自然數(shù)，第15名的成績要盡可能的接近第16名的成績，且后5名的成績差距要盡可能的小，即后6名的成績是連續(xù)的自然數(shù)。又由于班級前5名的平均分正好是16到20名平均分的2倍，則前5名的成績決定了后5名的成績。而同時滿足這些條件的數(shù)列有多組，則可以使前5名的成績?yōu)?00、99、98、97、96，則第6名的成績?yōu)?5，由此，后5名得成績?yōu)?1、50、49、48、47，則第15名得成績?yōu)?2，此時與平均分為79分不矛盾，所以第6名和第15名之間的分差最大為95-52=43。因此，本題答案選擇D選項。

【例2】有20人測驗及格率是95%，平均分88，得分都是整數(shù)并且每人得分都不相同，問排名第十的人得分最低是多少？

A.88 B.89 C.90 D.91 【解析】為了使得排名第十的人的分數(shù)盡可能的低，應(yīng)當(dāng)使得其余排名的人的分數(shù)盡可能高。根據(jù)及格率為95%可知，有一人未及格，而未及格的人的分數(shù)最高為59分。因此19名及格的考生總成績?yōu)?8×20－59＝1701分。

前九人的分數(shù)最高分別為100分，99分，98分，97分，96分，95分，94分，93分，92分，因此第十至第十九人的分數(shù)總和為1701－（100＋99＋98＋97＋96＋95＋94＋93＋92）＝837分。假設(shè)這十個人的分數(shù)分別為91分至82分，那么這十個分數(shù)的和為865分，比實際分數(shù)多了865－837＝28分。如果第十個人的分數(shù)減去1分，那么其余九個人的分數(shù)依次減去1分，這樣他們的總分就要減去10分。由此可見第十個人的分數(shù)只能減去2分達到89分，這樣才使得十個人的分數(shù)總和可能為837分。如果第十個人的分數(shù)為88分，那么這十個人的分數(shù)總和最多為835分。因此第十個人的分數(shù)最低只能是89分。

通過這兩個例子，大家會發(fā)現(xiàn)，這樣的最值問題也不過是“紙老虎”，看起來題目比較長，跟問題直接相關(guān)的信息又比較少，一般思路是考慮問題的反面作為出發(fā)點，如“求班級第6名和第15名之間的分差最大，則第6名的成績要盡可能的接近第5名的成績”，再如“為了使得排名第十的人的分數(shù)盡可能的低，應(yīng)當(dāng)使得其余排名的人的分數(shù)盡可能高”，一步步，抽絲剝繭般形成習(xí)慣性的套路，這樣的問題自然就迎刃而解了。

第五篇：二次函數(shù)的最值問題

二次函數(shù)的最值問題

雷州市第一中學(xué) 徐曉冬

一、知識要點

對于函數(shù)f?x??ax2?bx?c?a?0?，當(dāng)a?0時，f?x?在區(qū)間R上有最 值，值域為。當(dāng)a?0時，f?x?在區(qū)間R上有最 值，值域為。

二、典例講解

例

1、已知函數(shù)f?x??x2?x?2，（1）、若x???2,0?，求函數(shù)f?x?的最大值和最小值。（2）、若x???1,1?，求函數(shù)f?x?的最大值和最小值。（3）、若x??0,1?，求函數(shù)f?x?的最大值和最小值。

例

2、已知函數(shù)f?x??x2?x?2，x??t,t?1?，求函數(shù)f?x?的最小值。

變式

1、已知函數(shù)f?x??x2?x?2，x??t,t?1?，求函數(shù)f?x?的最大值。

點評：本題屬于二次函數(shù)在動區(qū)間上的最值問題，由于二次函數(shù)的對稱軸是固定的，區(qū)間是變動的，屬于“軸定區(qū)間動”，由于圖象開口向上，所以求最小值1要根據(jù)對稱軸x??與區(qū)間?t,t?1?的位置關(guān)系，分三種情況討論；最大值在端2點取得時，只須比較f?t?與f?t?1?的大小，按兩種情況討論即可，實質(zhì)上是討論對稱軸位于區(qū)間中點的左、右兩種情況.例

3、已知函數(shù)f?x??x2?2mx?2，x??1,2?，求函數(shù)f?x?的最小值和最大值。

例

4、已知函數(shù)f?x??mx2?x?2，x??1,2?，求函數(shù)f?x?的最小值和最大值。點評：二次函數(shù)最值與拋物線開口方向，對稱軸位置，閉區(qū)間三個要素有關(guān)。求最值常結(jié)合二次函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性或圖象求解，在區(qū)間的端點或二次函數(shù)圖象的頂點處取得最值。

三、練習(xí)

1、已知函數(shù)f?x??x2?6x?8，x∈[1，a]的最小值為f(a)，則實數(shù)a的取值范圍是______________。

2、已知二次函數(shù)f?x???x2?2ax?1?a在區(qū)間[0,1]上有最大值為2，求實數(shù)a的值．

3、已知函數(shù)y?4x2?4ax?a2?2a在區(qū)間?0,2?上有最小值3，求a的值。

4、若f?x??1?2a?2acosx?2sin2x的最小值為g?a?。（1）、求g?a?的表達表；（2）、求能使g?a??

5、已知f?x???4?3a?x2?2x?a?a?R?，求f(x)在[0,1]上的最大值．

1的a的值，并求出當(dāng)a取此值時，f?x?的最大值。2