第一篇：二次函數(shù)的最值問題的研究

二次函數(shù)的最值問題的研究

（文獻(xiàn)綜述）

（內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，四川 641100 王強(qiáng)）

摘 要函數(shù)的最值問題是高中階段研究函數(shù)性質(zhì)的一個(gè)重要指標(biāo)，除了知道什么是函數(shù)最值如何求解最值這類高中生必須達(dá)到的基本要求外，能夠精通求解函數(shù)最值的各種解法以及巧妙解答各類題型是對(duì)高中教師乃至高中學(xué)生的進(jìn)一步要求。近年來，隨著新課程的改革，教材中需要掌握的內(nèi)容越加繁雜，對(duì)于知識(shí)的領(lǐng)悟程度也越發(fā)要求的高，高考中考查最值的題目難度增大，這不管是對(duì)于教師還是學(xué)生來說都是一個(gè)大的挑戰(zhàn)，適應(yīng)這一系列的變化，已經(jīng)成為一種趨勢(shì)，教師需要大量的學(xué)習(xí)、更精深的知識(shí)以及更多的方法來幫助學(xué)生度過難關(guān)，以達(dá)到一個(gè)高中生該具有的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞 函數(shù)最值 解法 解題

前 言 最值問題是是高中數(shù)學(xué)乃至高考的熱點(diǎn)以及重點(diǎn)，也是考察其他知識(shí)點(diǎn)的載體，它不但可以訓(xùn)練學(xué)生的邏輯思維，而且可以掌握很多的解題技巧，提高解決問題的能力，是解決函數(shù)問題的基準(zhǔn)．如二次函數(shù)的最值問題可以更確切的認(rèn)識(shí)圖象，能夠形象地判斷所求閉區(qū)間內(nèi)函數(shù)的最值．在實(shí)際生活中在具體問題中建立數(shù)學(xué)模型，解決高中數(shù)學(xué)建模中簡(jiǎn)單的最優(yōu)化問題，以明確在生產(chǎn)生活中何時(shí)利潤最大，成本最低，用料最省等等，它對(duì)其他學(xué)科也有輔助作用，如物理中的最短路線問題，經(jīng)濟(jì)學(xué)中的投資收益，航天發(fā)射計(jì)算最佳時(shí)間等．學(xué)習(xí)最值問題主要還是為了在高考中解決涉及最值問題的題型，如線性規(guī)劃、三角函數(shù)、數(shù)列、圓錐曲線、導(dǎo)數(shù)等都會(huì)適當(dāng)考查運(yùn)用，是決戰(zhàn)高考的基礎(chǔ)知識(shí)。

1.高中生學(xué)習(xí)函數(shù)最值問題的困難

現(xiàn)在有很多學(xué)生遇到題目不會(huì)靈活應(yīng)用，只會(huì)一味模仿以前做題的方式，用學(xué)到的很淺顯的最值概念去解題，而沒有作融會(huì)貫通，舉一反三，計(jì)算能力以及解題技巧都還處在很基礎(chǔ)的水平，在解題的時(shí)候很多學(xué)生搞不清已知條件所要傳達(dá)的信息，無法正確的得出結(jié)論，更無法自如的應(yīng)對(duì)結(jié)合諸多知識(shí)點(diǎn)的難題，亦或是高考．在平時(shí)的生活中，更是照本宣科，無法將學(xué)習(xí)到的最值問題，數(shù)學(xué)模型應(yīng)用到實(shí)際生活中，當(dāng)今時(shí)代，經(jīng)濟(jì)、金融已經(jīng)是畢業(yè)生們想要爭(zhēng)先步入的龍頭行業(yè)，眾所周知，學(xué)好經(jīng)濟(jì)學(xué)要很扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，由此看來，從長遠(yuǎn)考慮，最值問題是高中生在高中的一堂必修課。

2.先前研究成果

由于函數(shù)最值在高考以及日常生活的重要性，所以，對(duì)于函數(shù)的最值的研究也一直沒有間斷．如陳克勝于2005年在高等函授學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）發(fā)表的《求函數(shù)最值的方法舉例》中為求解函數(shù)最值提供思路，重點(diǎn)是為了拓寬學(xué)生解決函數(shù)最值有關(guān)問題的視野，倡導(dǎo)應(yīng)該通過解題，在解答過程中培育創(chuàng)新思維能力；游波平在《函數(shù)最值解法技巧探究》（《重慶文理學(xué)院》（自然科學(xué)版）2007.4）給出了一些求解函數(shù)最值的技巧，如數(shù)形結(jié)合思想這一類比較慣用的思想，并致力解決生產(chǎn)、生活和科學(xué)研究中的常見問題；王貴軍2010年3月發(fā)表一篇題為《幾何法在求解函數(shù)最值問題中的應(yīng)用》的文章，旨在運(yùn)用幾何圖形以及題目的幾何意義來解決函數(shù)的最值問題，給我們以新的啟迪．顏世序2012年3月在解題技巧與方法發(fā)表《淺談導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)最值中的應(yīng)用》，將求函數(shù)最值的問題融入到求導(dǎo)的問題當(dāng)中，導(dǎo)數(shù)也是高考的一個(gè)比較重要且相對(duì)較難的考點(diǎn)，筆者把函數(shù)最值與高考結(jié)合起來，更加說明函數(shù)最值的應(yīng)用廣泛性．2013年，張永紅發(fā)表《新課標(biāo)下高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題中的最值問題研究》，他在這項(xiàng)研究中緊密結(jié)合我國現(xiàn)階段高中數(shù)學(xué)教學(xué)狀況，精心挑選了部分高考題進(jìn)行方法總結(jié)，并通過問卷調(diào)查得出實(shí)證，為讀者分享了自己應(yīng)對(duì)此問題的教學(xué)策略．陳榮燦在2010年發(fā)表畢業(yè)論文《高中數(shù)學(xué)最值問題的教學(xué)研究》，他主要指出了高中最值問題在教學(xué)過程中本身存在的一些不足，并且為了提高教學(xué)質(zhì)量從例題的講解、課時(shí)的安排、激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、運(yùn)用數(shù)學(xué)觀點(diǎn)數(shù)學(xué)思想等方面給出建筑性的意見．

以上這些文獻(xiàn)期刊都沒有做到全面系統(tǒng)的給出有關(guān)最值的解題方面行之有效并且實(shí)用的方法。

3.二次函數(shù)最值問題的研究點(diǎn)

求解函數(shù)的最值是高考的重點(diǎn)以及難點(diǎn)，必須從根本上解決高中生面對(duì)最值問題所遇到的困難，前面的文獻(xiàn)很多都是有解法的缺乏思想，有教學(xué)的缺乏實(shí)踐支撐，這樣學(xué)生依然會(huì)陷入自己原有的思維定勢(shì)，不懂得理論與實(shí)踐的結(jié)合，在今后的做題中依然會(huì)遇到同樣的問題．本文就是讓學(xué)生將解題的技巧與求解函數(shù)的最值結(jié)合起來，主要針對(duì)做題，也給教師一些習(xí)題課的建議，讓學(xué)生不再害怕最值問題，不再高考的大部分涉及函數(shù)最值的題目中失分。函數(shù)最值的問題包括求解某初等函數(shù)在閉區(qū)間內(nèi)的最值，復(fù)合函數(shù)的最值，經(jīng)濟(jì)生活中的最大收益、最小成本、最大期望等的最值，而求解函數(shù)最值的主要核心是解法，俗話說，凡題有法而可解，高中生在做題的時(shí)候往往照抄書本模式，禁錮于思維定勢(shì)，用解法解題便成了盲區(qū)，對(duì)于解法，教材中只提到了二次函數(shù)配方法求最值，利用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性求最值，這些方法可以應(yīng)對(duì)一些簡(jiǎn)單的題目，如果題目加大難度，學(xué)生就束手無策，這樣一來，學(xué)生多學(xué)習(xí)課外知識(shí)就顯得尤為重要．眼觀六路，容易充實(shí)人的大腦，耳聽八方，可以豐富人的思維，高中生需要這樣的實(shí)踐來提升自己．文章對(duì)函數(shù)最值問題的解法進(jìn)行研究，目的就是為了擴(kuò)大學(xué)生之視野，擴(kuò)張學(xué)生之思維，以解學(xué)生學(xué)習(xí)最值問題。

參考文獻(xiàn)

【1】譚永基，俞紅．現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)學(xué)視角與思維［M］．上海：復(fù)旦大學(xué)出版社．2010：41-45．

【2】梁紅．高考三年真題研究（文數(shù)）［G］．陜西科學(xué)技術(shù)出版社．2014． 【3】梁紅.高考真題超詳解（理數(shù)）［G］．陜西科學(xué)技術(shù)出版社．2014． 【4】陸軍．三角函數(shù)最值問題的八種求解策略［J］．延邊教育學(xué)院學(xué)報(bào)．2012，26（1）：46-53．

【5】游波平．函數(shù)最值解法技巧探討［J］．重慶文理學(xué)院學(xué)報(bào)．2007，26(2)：108-110．

【6】陳克勝．求函數(shù)最值方法舉例［J］．高等函授學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）．2016，20(2)：59-61.【5】普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書.數(shù)學(xué)2（必修）[M]．北京：北京師范大學(xué)出版社．2011

第二篇：二次函數(shù)最值問題

《二次函數(shù)最值問題》的教學(xué)反思

大河鎮(zhèn) 件，設(shè)所獲利潤為y元，則y＝（x-2.5）［500+200(13.5-x)］，這樣，一個(gè)二元二次方程就列出，這也為后面學(xué)習(xí)二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系奠定了基礎(chǔ)，針對(duì)上述分析，把所列方程整理后，并得到y(tǒng)＝－200x2＋3700x-8000，這里再利用二次函數(shù)y＝ax2+bx+c(a≠0)的解析式中a、b、c的大小來確定問題的最值。把問題轉(zhuǎn)化怎樣求這個(gè)函數(shù)的最值問題。

b4ac?bb4ac?b根據(jù)a>0時(shí)，當(dāng)x=－，y最?。剑籥<0時(shí)，當(dāng)x＝－,y最大＝

2a4a2a4a的公式求出最大利潤。

例2是面積的最值問題（下節(jié)課講解）

教學(xué)反饋：講得絲絲入扣，大部分學(xué)生能聽懂，但課后的練習(xí)卻“不會(huì)做”。反思一：本節(jié)課在講解的過程中，不敢花過多的時(shí)間讓學(xué)生爭(zhēng)辯交流，生怕時(shí)間不夠，完成了不教學(xué)內(nèi)容，只能按照自己首先設(shè)計(jì)好的意圖引領(lǐng)學(xué)生去完成就行了。實(shí)際上，這節(jié)課以犧牲學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性為代價(jià)，讓學(xué)生被動(dòng)地接受，去聽講，體現(xiàn)不了學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人這一關(guān)鍵環(huán)節(jié)。

反思二：數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)不僅是讓學(xué)生學(xué)到一些知識(shí)，更重要的是讓學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用知識(shí)去解決現(xiàn)實(shí)問題，讓學(xué)生“從問題的背景出發(fā)，建立數(shù)學(xué)模型”的基本流程，如例題中，可讓學(xué)生從“列方程→轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)解析式→

b4ac?b當(dāng)x＝－時(shí)，y最大（?。健鉀Q問題”，讓學(xué)生在實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)數(shù)2a4a學(xué)，掌握數(shù)學(xué)。

反思三：教學(xué)應(yīng)當(dāng)促進(jìn)學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主人，離開了學(xué)生積極主動(dòng)學(xué)習(xí)，老師講得再好，學(xué)生也難以接受，或者是聽懂了，但不會(huì)做題的現(xiàn)象。傳統(tǒng)的教學(xué)“五環(huán)節(jié)”模式已成為過去，新的課程標(biāo)準(zhǔn)需要我們用新的理念對(duì)傳統(tǒng)的教學(xué)模式、教學(xué)方法等進(jìn)行改革，讓學(xué)生成為課堂的主角。

第三篇：2015二次函數(shù)與最值問題

2015年中招專題---二次函數(shù)與最值問題

1．（2014?四川綿陽）如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過點(diǎn)M（﹣2，且與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PBC為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）在直線AC上是否存在一點(diǎn)Q，使△QBM的周長最小？若存在，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

2．（2014?四川內(nèi)江）如圖，拋物線y=ax+bx+c經(jīng)過A（﹣3.0）、C（0，4），點(diǎn)B在拋物線上，CB∥x軸，且AB平分∠CAO．（1）求拋物線的解析式；

（2）線段AB上有一動(dòng)點(diǎn)P，過點(diǎn)P作y軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)Q，求線段PQ的最大值；

（3）拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M，使△ABM是以AB為直角邊的直角三角形？如果存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；如果不存在，說明理由．

3.（2014?攀枝花）如圖，拋物線y=ax2﹣8ax+12a（a＞0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y

2），頂點(diǎn)坐標(biāo)為N（﹣1，），軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣6，0），且∠ACD=90°．（1）請(qǐng)直接寫出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求拋物線的解析式；

（3）拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使得△PAC的周長最?。咳舸嬖?，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及周長的最小值；若不存在，說明理由；

（4）平行于y軸的直線m從點(diǎn)D出發(fā)沿x軸向右平行移動(dòng)，到點(diǎn)A停止．設(shè)直線m與折線DCA的交點(diǎn)為G，與x軸的交點(diǎn)為H（t，0）．記△ACD在直線m左側(cè)部分的面積為s，求s關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式及自變量t的取值范圍．

4.(2014?襄陽）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OCDE的三個(gè)頂點(diǎn)分別是C（3，0），D（3，4），E（0，4）．點(diǎn)A在DE上，以A為頂點(diǎn)的拋物線過點(diǎn)C，且對(duì)稱軸x=1交x軸于點(diǎn)B．連接EC，AC．點(diǎn)P，Q為動(dòng)點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）填空：點(diǎn)A坐標(biāo)為

；拋物線的解析式為

．

（2）在圖1中，若點(diǎn)P在線段OC上從點(diǎn)O向點(diǎn)C以1個(gè)單位/秒的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CE上從點(diǎn)C向點(diǎn)E以2個(gè)單位/秒的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)．當(dāng)t為何值時(shí)，△PCQ為直角三角形？

（3）在圖2中，若點(diǎn)P在對(duì)稱軸上從點(diǎn)A開始向點(diǎn)B以1個(gè)單位/秒的速度運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P做PF⊥AB，交AC于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FG⊥AD于點(diǎn)G，交拋物線于點(diǎn)Q，連接AQ，CQ．當(dāng)t為何值時(shí)，△ACQ的面積最大？最大值是多少？

5.（2014?德州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)是（4，0），并且OA=OC=4OB，動(dòng)點(diǎn)P在過A，B，C三點(diǎn)的拋物線上．（1）求拋物線的解析式；

（2）是否存在點(diǎn)P，使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；

（3）過動(dòng)點(diǎn)P作PE垂直于y軸于點(diǎn)E，交直線AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作y軸的垂線．垂足為F，連接EF，當(dāng)線段EF的長度最短時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

6．（2014?甘肅蘭州）如圖，拋物線y=﹣x+mx+n與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）點(diǎn)E時(shí)線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作x軸的垂線與拋物線相交于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形CDBF的面積最大？求出四邊形CDBF的最大面積及此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)．

7．（2014?重慶）如圖，拋物線y=﹣x2﹣2x+3 的圖象與x軸于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D拋物線的頂點(diǎn)．

（1）求A、B、C的坐標(biāo)；

交為2（2）點(diǎn)M為線段AB上一點(diǎn)（點(diǎn)M不與點(diǎn)A、B重合），過點(diǎn)M作x軸的垂線，與直線AC交于點(diǎn)E，與拋物線交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PQ∥AB交拋物線于點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q作QN⊥x軸于點(diǎn)N．若點(diǎn)P在點(diǎn)Q左邊，當(dāng)矩形PQMN的周長最大時(shí)，求△AEM的面積；

（3）在（2）的條件下，當(dāng)矩形PMNQ的周長最大時(shí)，連接DQ．過拋物線上一點(diǎn)F作y軸的平行線，與直線AC交于點(diǎn)G（點(diǎn)G在點(diǎn)F的上方）．若FG=

2DQ，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．

8.(四川瀘州）如圖，已知一次函數(shù)y1=x+b的圖象l與二次函數(shù)y2=﹣x+mx+b的圖象C′都經(jīng)過點(diǎn)B（0，1）和點(diǎn)C，且圖象C′過點(diǎn)A（2﹣（1）求二次函數(shù)的最大值；

（2）設(shè)使y2＞y1成立的x取值的所有整數(shù)和為s，若s是關(guān)于x的方程a的值；

（3）若點(diǎn)F、G在圖象C′上，長度為的線段DE在線段BC上移動(dòng)，EF與DG始終平行于y軸，當(dāng)四

=0的根，求2，0）．

邊形DEFG的面積最大時(shí)，在x軸上求點(diǎn)P，使PD+PE最小，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

第四篇：二次函數(shù)的最值問題修改版

利用數(shù)形結(jié)合法解決二次函數(shù)在閉區(qū)間

上的最值問題

數(shù)學(xué)組：王勇

一、教學(xué)目標(biāo)：

1． 理解二次函數(shù)的最值概念，掌握二次函數(shù)的最值求法； 2． 培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力和將數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化的能力。

二、教學(xué)重點(diǎn)：二次函數(shù)最值求法

教學(xué)難點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

三、教學(xué)過程：

二次函數(shù)是函數(shù)中重要的函數(shù)，二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題一直是函數(shù)中的一個(gè)難點(diǎn)。今天我們用數(shù)形結(jié)合的方法來突破這個(gè)問題。請(qǐng)看下面例題

問題1 求函數(shù)f(x)?x2?2x?3，x??2,4?的最大值與最小值

練習(xí)：將題中條件x??2,4?改為（1）x???3,0?，（2）x???3,4?

小結(jié)：求二次函數(shù)在固定區(qū)間上的最大值與最小值：考慮對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系。

如果我們將x???3,4?改為x??a,4?，怎樣求最值呢？

問題2 求函數(shù)f(x)?x2?2x?3，x??a,4?的最值

小結(jié)：注意分類討論

以上問題是函數(shù)的圖像不變，要研究的區(qū)間含字母，如果我們將區(qū)間固定，函數(shù)的解析式中含字母，又怎樣求最值呢？

問題3 求函數(shù)f(x)?x?2ax?3，x??1,3?的最大值與最小值

小結(jié)：對(duì)稱軸的討論是關(guān)鍵

練習(xí)4 已知f?x??x-2ax?3在區(qū)間??1,2?上最大值為4，求a的值 2

f(x)?a(x?h)2?k(a?0)x?[m,n]小結(jié)：二次函數(shù)在閉區(qū)間[m,n]上的最值

（三）作業(yè)：

1． 求函數(shù)f?x??x2?2x?3在區(qū)間?t,t?1?上的最值 2． 求函數(shù)f?x??x2?ax?3在區(qū)間??1,1?上的最小值

第五篇：二次函數(shù)最值問題參考答案

精英輔導(dǎo)學(xué)校 賈天宇 2013.7.17.二次函數(shù)最值問題

二、例題分析歸類：

（一）、正向型

是指已知二次函數(shù)和定義域區(qū)間，求其最值。對(duì)稱軸與定義域區(qū)間的相互位置關(guān)系的討論往往成為解決這類問題的關(guān)鍵。此類問題包括以下四種情形：（1）軸定，區(qū)間定；（2）軸定，區(qū)間變；（3）軸變，區(qū)間定；（4）軸變，區(qū)間變。1.軸定區(qū)間定

例1.函數(shù)y??x?4x?2在區(qū)間[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。

解：函數(shù)y??x?4x?2??(x?2)?2函數(shù)的最大值為f(2)?2，最小值f(0)??2。練習(xí).已知2x2?3x，求函數(shù)f(x)?x?x?1的最值。

解：由已知2x?3x，可得0?x?222223，函數(shù)f(x)的最小值為f(0)?1，最大值為2?3?19。f????2?

42、軸定區(qū)間變

2例2.如果函數(shù)f(x)?(x?1)?1定義在區(qū)間t，t?1上，求f(x)的最小值。

??解：函數(shù)f(x)?(x?1)?1 21?t，當(dāng)x?t時(shí)，函數(shù)取得最小值f(x)min?f(t)?(t?1)2?1。

t?1?t?1，即0?t?1。當(dāng)x?1時(shí)，函數(shù)取得最小值f(x)min?f(1)?1。t?1?1，即t?0。當(dāng)x?t?1時(shí)，函數(shù)取得最小值f(x)min?f(t?1)?t2?1

綜上討論，f(x)min?(t?1)2?1,t?1? ??1,0?t?1?2?t?1t?02f(x)?x?2x?3，當(dāng)x?[t，t?1](t?R)時(shí)，求f(x)的最大值． 例3.已知解：由已知可求對(duì)稱軸為x?1．

?f(x)min?f(t)?tt??21t?3，f(x)max?f(t?1)?t2?2（1）當(dāng)時(shí)，．（2）當(dāng)t≤1≤t?1，即0≤t≤1時(shí)，．

t?t?11?即22t?t?111??t≤12f(x)?f(t?1)?t?2max22即2若時(shí)，． 根據(jù)對(duì)稱性，若

0≤t≤122時(shí)，f(x)max?f(t)?t?2t?3．

f(x)max?f(t)?t2?2t?3t?1?1t?0（3）當(dāng)即時(shí)，．

第1頁（共4頁）精英輔導(dǎo)學(xué)校 賈天宇 2013.7.17.綜上，f(x)max1?2t?2,t???2 ???t2?2t?3,t?1?2?

23、軸變區(qū)間定

例4.已知x2?1，且a?2?0，求函數(shù)f(x)?x?ax?3的最值。

解：由已知有?1?x?1，a?2，于是函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間?1，1上的二次函數(shù)，將

??a?a? f(x)配方得：f(x)??x???3??2?422?aa2?a二次函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸方程是x??頂點(diǎn)坐標(biāo)為??，3??，圖象開口向上

4??22a??1，顯然其頂點(diǎn)橫坐標(biāo)在區(qū)間?1，1的左側(cè)或左端點(diǎn)上。2函數(shù)的最小值是f(?1)?4?a，最大值是f(1)?4?a。由a?2可得x????

圖3 例.(1)求f(x)?x?2ax?1在區(qū)間[-1,2]上的最大值。

(2)求函數(shù)y??x(x?a)在x?[?1,1]上的最大值。解：(1)二次函數(shù)的對(duì)稱軸方程為x??a，211即a??時(shí)，f(x)max?f(2)?4a?5； 2211 當(dāng)?a?即a??時(shí)，f(x)max?f(?1)?2a?2。

22當(dāng)?a?綜上所述：f(x)max1??2a?2,a????2??。?4a?5,a??1??2a2a2aaaa(2)函數(shù)y??(x?)?圖象的對(duì)稱軸方程為x?，應(yīng)分?1??1，??1，?1即242222第2頁（共4頁）精英輔導(dǎo)學(xué)校 賈天宇 2013.7.17.?2?a?2，a??2和a?2這三種情形討論，下列三圖分別為

（1）a??2；由圖可知f(x)max?f(?1)（2）?2?a?2；由圖可知f(x)max?f()（3）a?2時(shí)；由圖可知f(x)max?f(1)

a2

?y最大??(a?1),a??2?f(?1),a??2?2?a??a??f(),?2?a?2；即y最大??,?2?a?2 ?2?4???f(1),a?2?a?1,a?

2（二）、逆向型

是指已知二次函數(shù)在某區(qū)間上的最值，求函數(shù)或區(qū)間中參數(shù)的取值。

例5.已知函數(shù)f(x)?ax?2ax?1在區(qū)間[?3,2]上的最大值為4，求實(shí)數(shù)a的值。

解：f(x)?a(x?1)?1?a,x?[?3,2]（1）若a?0,f(x)?1,，不符合題意。（2）若a?0,則f(x)max?f(2)?8a?1 22由8a?1?4，得a?3 8（3）若a?0時(shí)，則f(x)max?f(?1)?1?a 由1?a?4，得a??3

第3頁（共4頁）精英輔導(dǎo)學(xué)校 賈天宇 2013.7.17.綜上知a?3或a??3 8x2例6.已知函數(shù)f(x)???x在區(qū)間[m,n]上的最小值是3m最大值是3n，求m，n的值。

2解法1：討論對(duì)稱軸中1與m,m?n,n的位置關(guān)系。2①若，則??f(x)max?f(n)?3n

?f(x)min?f(m)?3m 解得②若?f(x)max?f(1)?3nm?n，無解 ?1?n，則?2?f(x)min?f(m)?3m?f(x)max?f(1)?3nm?n③若m?1?，則?，無解

f(x)?f(n)?3m2?min④若，則??f(x)max?f(m)?3n，無解

?f(x)min?f(n)?3m綜上，m??4,n?0 解析2：由f(x)??1111(x?1)2?，知3n?,n?,，則[m,n]?(??,1]，2226?f(x)max?f(n)?3n

f(x)?f(m)?3m?min又∵在[m,n]上當(dāng)x增大時(shí)f(x)也增大所以?解得m??4,n?0

評(píng)注：解法2利用閉區(qū)間上的最值不超過整個(gè)定義域上的最值，縮小了m，n的取值范圍，避開了繁難的分類討論，解題過程簡(jiǎn)潔、明了。

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