第一篇：事業(yè)單位數(shù)量關(guān)系解題技巧總結(jié)

數(shù)字敏感度訓(xùn)練

1、現(xiàn)在有10顆樹，以怎樣的栽植方式，能保證每行每列都是4顆？（畫出種植圖）化學(xué)與數(shù)學(xué)的結(jié)合題型

2、水光瀲影晴方好，山色空蒙雨亦奇。欲把西湖比西子，淡妝濃抹總相宜。[宋]蘇軾 《飲湖上初晴后雨》 后人追隨意境，寫了對(duì)聯(lián)： 山山水水，處處明明秀秀。晴晴雨雨，時(shí)時(shí)好好奇奇。

在 以下兩式的左邊添加適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)符號(hào)，使其變成正確的等式： 1122334455=10000 6677889900=10000

我們首先應(yīng)該掌握的數(shù)列及平方數(shù) 自然數(shù)列：1，2，3。。。奇數(shù)數(shù)列：1，3，5。。偶數(shù)數(shù)列：2，4，6。。素?cái)?shù)數(shù)列（質(zhì)數(shù)數(shù)列）：1，3，5，7，11，13。。自然數(shù)平方數(shù)列：1*，2*，3*。。*=2 自然數(shù)立方數(shù)列：1*，2*，3*。。*=3 等差數(shù)列：1，6，11，16，21，26?? 等比數(shù)列：1，3，9，27，81，243?? 無(wú)理式數(shù)列：。。。等

平方數(shù)應(yīng)該掌握20以下的，立方數(shù)應(yīng)該掌握10以下的；特殊平方數(shù)的規(guī)律也的掌握：如，15，25。的平方心算法。

數(shù)量關(guān)系

數(shù)量關(guān)系測(cè)驗(yàn)主要是測(cè)驗(yàn)考生對(duì)數(shù)量關(guān)系的理解與計(jì)算的能力，體現(xiàn)了一個(gè)人抽象思維的發(fā)展水平。

數(shù)量關(guān)系測(cè)驗(yàn)含有速度與難度的雙重性質(zhì)。解答數(shù)量關(guān)系測(cè)驗(yàn)題不僅要求考生具有數(shù)字的直覺能力，還需要具有判斷、分析、推理、運(yùn)算等能力.知識(shí)程度的要求：大多數(shù)為小學(xué)知識(shí)，初中高中知識(shí)也只占極少部分。

一、數(shù)字推理

數(shù)字推理的題型分析 ：

1、等差數(shù)列及其變式

2、等比數(shù)列及其變式

3、等差與等比混合式

4、求和相加式與求差相減式

5、求積相乘式與求商相除式

6、求平方數(shù)及其變式

7、求立方數(shù)及其變式

8、雙重?cái)?shù)列

9、簡(jiǎn)單有理化式

10、漢字與數(shù)字結(jié)合的推理題型

11、純數(shù)字排列題目

二級(jí)等差數(shù)列的變式

1、相減后構(gòu)成自然數(shù)列即新的等差數(shù)列

25，33，（），52，63

2、相減后的數(shù)列為等比數(shù)列

9，13，21，（），69

3、相減后構(gòu)成平方數(shù)列

111，107，98，（），57

4、相減后構(gòu)成立方數(shù)列

1，28，92，（），433

5、平方數(shù)列的隱藏狀態(tài)

10，18，33，（），92

二級(jí)等比數(shù)列的變式

1、相比后構(gòu)成自然數(shù)列（或等差數(shù)列）6，6，12，36，144，（）

2、與交替規(guī)律的結(jié)合（相比后構(gòu)成循環(huán)數(shù)列）6，9，18，27（）8，8，12，24，60，（）

3、常數(shù)的參與（采用+，-，*，/）11，23，48，99，（）3，8，25，74，（）也可稱做+1，-1法則

其他例題我會(huì)盡快編出,供大家參考.(2)數(shù)字推理常見的排列規(guī)律

(1)奇偶數(shù)規(guī)律：各個(gè)數(shù)都是奇數(shù)(單數(shù))或偶數(shù)(雙數(shù))；[自然數(shù)列，質(zhì)數(shù)數(shù)列等](2)等差：相鄰數(shù)之間的差值相等，整個(gè)數(shù)字序列依次遞增或遞減。(3)等比：相鄰數(shù)之間的比值相等，整個(gè)數(shù)字序列依次遞增或遞減；(4)二級(jí)等差：相鄰數(shù)之間的差或比構(gòu)成了一個(gè)等差數(shù)列；(5)二級(jí)等比數(shù)列：相鄰數(shù)之間的差或比構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)理；(6)加法規(guī)律：前兩個(gè)數(shù)之和等于 實(shí)際問題（數(shù)字應(yīng)用題）-------------數(shù)學(xué)模型 推理 演算

實(shí)際問題的解----------還原說(shuō)明-----數(shù)學(xué)模型的解

數(shù)學(xué)計(jì)算的題型分析

1.四則運(yùn)算、平方、開方基本計(jì)算題型 ２.大小判斷 ３.典型問題

（１）比例問題（２）盈虧問題（３）工程問題（４）行程問題（５）栽樹問題（６）方陣問題（７）“動(dòng)物同籠”思維模型（８）年齡問題（９）利潤(rùn)問題（１０）面積問題（１１）爬繩計(jì)算又稱跳井問題（１２）臺(tái)階問題（１３）余數(shù)計(jì)算（１４）日月計(jì)算（１５）溶液?jiǎn)栴}（１６）和差倍問題（１７）排列組合問題（１８）計(jì)算預(yù)資問題（１９）歸一問題(20)抽屜原理(21)其他問題 數(shù)字計(jì)算的解題方法

１.加強(qiáng)訓(xùn)練 提高對(duì)數(shù)字的敏感度 ２.掌握一些數(shù)學(xué)計(jì)算的解題方法及技巧 ３.認(rèn)真審題 把握題意 ４.尋找捷徑 多用簡(jiǎn)便方法 ５.利用排除法提高做題 數(shù)字計(jì)算的規(guī)律方法概括 一.基本計(jì)算方法（１）尾數(shù)估算法（２）尾數(shù)確定法

（３）湊整法 是簡(jiǎn)便運(yùn)算中最常用的方法，即根據(jù)交換律、結(jié)合律把可以湊成10、20、30、50、100。。的數(shù)放在一起運(yùn)算，從而提高運(yùn)算速度?；镜臏愓闶剑?5*8=200等。（４）補(bǔ)數(shù)法 a、直接利用補(bǔ)數(shù)法巧算 b、間接利用補(bǔ)數(shù)法巧算又稱湊整去補(bǔ)法

（５）基準(zhǔn)數(shù)法 當(dāng)遇到兩個(gè)以上的數(shù)相加且這些數(shù)相互接近時(shí)，取一個(gè)數(shù)做基準(zhǔn)數(shù)，然后再加上每個(gè)加數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)的差，從而求和。（6）數(shù)學(xué)公式求解法

如：完全平方差、完全平方和公式的運(yùn)用考查。

（7）科學(xué)計(jì)數(shù)法的巧用 二.工程問題的數(shù)量關(guān)系

工作量＝工作效率x工作時(shí)間

工作效率＝工作量 /工作時(shí)間

總工作量＝各分工作量之和

此類題：一般設(shè)總的工作量為1；

三.行程問題（1）相遇問題

甲從a地到b地，乙從b地到a地，然后兩人在途中相遇，實(shí)質(zhì)上是甲乙一起走了ab之間這段路程，如果兩人同時(shí)出發(fā)，那么：ab之間的路程=甲走的路程+乙走的路程=甲的速度*相遇時(shí)間+乙的速度*相遇時(shí)間=甲乙速度和*相遇時(shí)間

相遇問題的核心是速度和時(shí)間的問題（2）追及問題

追及路程=甲走的路程—乙走的路程=甲乙速度差*追及時(shí)間 追及問題的核心是速度差問題（3）流水問題

順?biāo)俣?船速+水速 逆水速度=船速—水速 因此 船速=（順?biāo)俣?逆水速度）/2 水速=（順?biāo)俣取嫠俣龋?2

四.植樹問題

（1）不封閉路線

(a)兩端植樹，則顆樹比段數(shù)多1； 顆樹=全長(zhǎng)/段數(shù)+1（b）一端植樹，則顆數(shù)與段數(shù)相等； 顆數(shù)=全長(zhǎng)/段數(shù)

（c）兩端不植樹，則顆數(shù)比段數(shù)少1。顆數(shù)=全長(zhǎng)/段數(shù)-1(2)封閉路線

植樹的顆數(shù)=全長(zhǎng)/段數(shù)

五，跳井問題或稱爬繩問題

完成任務(wù)的次數(shù)=井深或繩長(zhǎng)-每次所爬米數(shù)+1 六，年齡問題

方法1：幾年后的年齡=大小年齡差/倍數(shù)差-小年齡 幾年前的年齡=小年齡-大小年齡差/倍數(shù)差 方法2：一元一次方程解法

方法3：結(jié)果代入法，此乃最優(yōu)方法 甲對(duì)乙說(shuō)：當(dāng)我的歲數(shù)是你現(xiàn)在歲數(shù)時(shí)，你才4歲。乙對(duì)甲說(shuō)：當(dāng)我的歲數(shù)到你現(xiàn)在歲數(shù)時(shí)，你將有67歲。甲乙現(xiàn)在各有（）。A．45歲，26歲 B．46歲，25歲 C．47歲，24歲 D．48歲，23歲 甲-4=甲-乙，67-甲=甲-乙 七，雞兔同籠問題 1，《孫子算經(jīng)》解法：設(shè)頭數(shù)為a,足數(shù)是b。則b/2-a是兔數(shù)，a-(b/2-a)是雞數(shù)。2，《丁巨算法》解法：雞數(shù)=（4*頭總數(shù)-總足數(shù)）/2 兔數(shù)=總數(shù)-雞數(shù) 兔數(shù)=（總足數(shù)-2*頭總數(shù)）/2 雞數(shù)=總數(shù)-兔數(shù)

著名古典小說(shuō)《鏡花緣》中的米蘭芬算燈用的也是雞兔同籠問題的解法。八，溶液?jiǎn)栴} 溶液=溶質(zhì)+溶劑

濃度=溶質(zhì)/溶液=溶質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù) 此類題涉及的考查類型：

（1）稀釋后，求溶質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)；（2）飽和溶液的計(jì)算問題；

注意：一種溶劑可以同時(shí)和幾種溶質(zhì)互溶。

有關(guān)溶液混合的計(jì)算公式是：

m(濃)×c％(濃)+m(稀)×c％(稀)= m(混)×c％(混)由于m(混)=m(濃)+m(稀)，上式也可以寫成： m(濃)×c％(濃)+m(稀)×c％(稀)= [m(濃)+m(稀)]×c％(混)此式經(jīng)整理可得：

m(濃)×[c％(濃)-c％(混)] =m(稀)×[c％(混)-c％(稀)]

九、利潤(rùn)問題

利潤(rùn)＝銷售價(jià)（賣出價(jià)）－成本

利潤(rùn)率＝利潤(rùn)／成本＝（銷售價(jià)－成本）／成本＝銷售價(jià)／成本－１ 銷售價(jià)＝成本＊（１＋利潤(rùn)率）成本＝銷售價(jià)／（１＋利潤(rùn)率）

利潤(rùn)總額 =營(yíng)業(yè)利潤(rùn)+投資收益(減投資損失)+補(bǔ)貼收入+營(yíng)業(yè)外收入-營(yíng)業(yè)外支出 營(yíng)業(yè)利潤(rùn)=主營(yíng)業(yè)務(wù)利潤(rùn)+其他業(yè)務(wù)利潤(rùn)-營(yíng)業(yè)費(fèi)用-管理費(fèi)用-財(cái)務(wù)費(fèi)用

主營(yíng)業(yè)務(wù)利潤(rùn)=主營(yíng)業(yè)務(wù)收入-主營(yíng)業(yè)務(wù)成本-主營(yíng)業(yè)務(wù)稅金及附加 其他業(yè)利潤(rùn)=其他業(yè)務(wù)收入-其他業(yè)務(wù)支出

1、資本金利潤(rùn)率

是衡量投資者投入企業(yè)資本的獲利能力的指標(biāo)。其計(jì)算公式為：

資本金利潤(rùn)率=利潤(rùn)總額/資本金總額X100%

企業(yè)資本金利潤(rùn)率越高，說(shuō)明企業(yè)資本的獲利能力越強(qiáng)。

2、銷售收入利潤(rùn)率

是衡量企業(yè)銷售收入的收益水平的指標(biāo)，其計(jì)算公式是：

銷售收入利潤(rùn)率=利潤(rùn)總額/銷售收入凈額X100%

銷售收入利潤(rùn)率是反映企業(yè)獲利能力的重要指標(biāo)，這項(xiàng)指標(biāo)越高，說(shuō)明企業(yè)銷售收入獲取利潤(rùn)的能力越強(qiáng)。

3、成本費(fèi)用利潤(rùn)率

是反映企業(yè)成本費(fèi)用與利潤(rùn)的關(guān)系的指標(biāo)。其計(jì)算公式為：

成本費(fèi)用利潤(rùn)率=利潤(rùn)總額/成本費(fèi)用總額X100%

十、預(yù)資問題 對(duì)預(yù)資問題的分析，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)此類問題與比例問題是相通的。按照比例問題的解法對(duì)預(yù)資問題同樣適用。

十一、面積問題

解決面積問題的核心是“割、補(bǔ)”思維，既當(dāng)我們看到一個(gè)關(guān)于求解面積的問題，不要立刻套用公式去求解，這樣解會(huì)進(jìn)如誤區(qū)。對(duì)于此類問題的通常解法是“輔助線法”，即通過引入新的輔助線將圖形分割或者補(bǔ)全為很容易求得面積的規(guī)則圖形，從而快速求的面積。

十二、和、差、倍問題 求大小兩個(gè)數(shù)的值 １、（和＋差）／２＝較大數(shù) ２、（和－差）／２＝較小數(shù) 和差問題的基本解題方法是： １、（和＋差）／２＝較大數(shù) 較大數(shù)－差＝較小數(shù)

（和－差）／２＝較小數(shù) 較小數(shù)＋差＝較大數(shù) ２、一元一次方程解法

1、南京長(zhǎng)江大橋共分兩層，上層是公路橋，下層是鐵路橋。鐵路橋和公路橋共長(zhǎng)11270米，鐵路橋比公路橋長(zhǎng)2270米，問南京長(zhǎng)江大橋的公路和鐵路橋各長(zhǎng)多少米？

2、三個(gè)小組共有180人，一、二兩個(gè)小組人數(shù)之和比 3×3×3×3×3=35(種)

十四、盈虧問題

把一定數(shù)量（未知）平分成一定份數(shù)（未知），根據(jù)兩次試分的盈（或虧）數(shù)量與每次試分的每份數(shù)量，求總數(shù)量和份數(shù)的公式是

份數(shù)=兩次盈（或虧）的相差數(shù)量÷兩次每份數(shù)量差，總數(shù)量=每份數(shù)量×份數(shù)+盈（或－虧）

1、用繩測(cè)井深，把繩三折，井外余2米，把繩四折，還差1米不到井口，那么井深多少米？繩長(zhǎng)多少米？ 這是個(gè)典型盈虧問題。盈虧總數(shù)=3*2+4*1=10米。

解答：井深=（3*2+4*1）/（4-3）=10米，繩長(zhǎng)=（10+2）*3=36米。

2、有一個(gè)班的同學(xué)去劃船。他們算了一下，如果增加1條船，正好每條船坐6人；如果減少1條船，正好每條船坐9個(gè)人。問：這個(gè)班共有多少名同學(xué)？

分析：增加一條和減少一條，前后相差2條，也就是說(shuō)，每條船坐6人正好，每條船坐9人則空出兩條船。

這樣就是一個(gè)盈虧問題的標(biāo)準(zhǔn)形式了。

解答：增加一條船后的船數(shù)=9*2/（9-6）=6條，這個(gè)班共有6*6=36名同學(xué)。

第二篇：數(shù)量關(guān)系解題技巧：日期問題

日期問題首先涉及到的是閏年，平年。一般能被4整除的年份是閏年，不能被4整除的年份是平年。如：1988年、2008年是閏年;2005年、2006年、2007年是平年。但是如果是世紀(jì)年(也就是整百年)，就只有能被400整除才是閏年，否則就是平年。如：2000年是閏年，1900年是平年。閏年是366天，平年是365天。

還有大月，小月問題。一年中有7個(gè)大月，分別是1月、3月、5月、7月、8月、10月、12月，大月有31天。一年中有4個(gè)小月，分別是4月、6月、9月、11月。其中的二月比較不同，平年的二月有28天，閏年二月有29天。這也是閏年比平年多一天的原因。

另外就是星期的問題。一星期七天，周一到周日。接下來(lái)，我們一起來(lái)看看考題類型。

一、星期幾問題

【例1】 已知昨天是星期一，那么過200天后是星期幾? A星期一 B星期二 C星期六 D星期四 【答案】 C 【解析】 昨天星期一，今天就是星期二，每過七天一個(gè)周期，總共兩百天，則總共有28個(gè)周期還剩下4天，所以再過四天就是星期六。選C。

【例2】 2003年7月1日是星期二，那么2005年7月1日是()。A星期三 B星期四 C星期五 D星期六 【答案】C 【解析】平年一年有365天，總共52周余1天，因此每過一個(gè)平年星期數(shù)往前推一天，其中2004年是閏年，總共52周余兩天，所以2005年7月1日跟2003年7月1日比，總共星期數(shù)推遲了3天，是星期五。選C。

二、星期與日期

【例3】 根據(jù)國(guó)務(wù)院辦公廳部分節(jié)假日安排的通知，某年8月份有22個(gè)工作日，那么當(dāng)年的8月1日可能是：

A.周一或周三 B.周三或周日 C.周一或周四 D.周四或周日 【答案】 D 【解析】 8月有31天，如果工作日為22天，那么休息日應(yīng)該為9天。正常情況下周六、周日兩天是在一起的，但是最終休息日為9天。應(yīng)該是兩種情況，要么是5天周日，4天周六;要么是5天周六，4天周日，分為兩種情況來(lái)分別思考，如果是周日多一天，就應(yīng)該是多在月初，周六是上月最后一天，周日為本月1號(hào)，如果是周六多一天，就多在月末，還沒等到周日，已經(jīng)到了9月，最后一天為周六，往前去推算8月1號(hào)就是周四，所以有兩種情況，8月1日可能是周四，也可能是周日。故選D。

三、星期與年份

【例4】 某一年中有53個(gè)星期二，并且當(dāng)年元旦不是星期二，那么下年的最后一天是()。

A星期一 B星期二 C星期三 D星期四 【答案】 C 【解析】 某一年中有53個(gè)星期二，首先假設(shè)是平年的情況，365/7=52……1，中間隔著52個(gè)星期，那么最后一天應(yīng)該是周二，往前推算到元旦也就是1月1日，應(yīng)該是剛好364天，應(yīng)該同為周二，但與條件不符，說(shuō)明本年應(yīng)該不是平年，而是閏年，并且最后一天為周二，那么下一年應(yīng)該是平年，而我們不難推出，下年的最后一天與本年的最后一天差365天，那么365/7余數(shù)是1，所以應(yīng)該是周三。選C。

日期問題并非年年出現(xiàn)，雖然不是重點(diǎn)題型，但也要引起考生注意，若對(duì)此類題型知識(shí)點(diǎn)不熟悉，就會(huì)浪費(fèi)很多時(shí)間去求解，若把此類問題掌握之后，則日期問題就成為簡(jiǎn)單問題，一分鐘之內(nèi)可以輕松搞定!

第三篇：2015事業(yè)單位數(shù)量關(guān)系練習(xí)題及解析

2015事業(yè)單位數(shù)量關(guān)系練習(xí)題及解析

1.某農(nóng)場(chǎng)有36臺(tái)收割機(jī)，要收割完所有的麥子需要14天時(shí)間?，F(xiàn)收割了7天后增加4臺(tái)收割機(jī)，并通過技術(shù)改造使每臺(tái)機(jī)器的效率提升5%，問收割完所有的麥子還需要幾天?(試題來(lái)源于考生回憶及網(wǎng)絡(luò))

A.3 B.4 C.5 D.6

1.【答案】D

【中公解析】設(shè)每臺(tái)收割機(jī)每天的工作效率為1，則工作總量為36×14，剩下的36×7由36+4=40臺(tái)收割機(jī)完成，每臺(tái)收割機(jī)效率為1.05，故剩下需要的時(shí)間為(36×7)÷(40×1.05)=6天，故答案選D。

2.某單位有50人，男女性別比為3：2，其中有15人未入黨，如從中任選1人，則此人為男性黨員的概率最大為多少?(試題來(lái)源于考生回憶及網(wǎng)絡(luò))

2.【答案】A。

【中公解析】根據(jù)題意可知某單位共有男生30人，女生20人，要求隨機(jī)抽出1人，滿足此人為男性黨員的概率最大，即可使未入黨的15人均為女性，故最大概率為30/50=3/5，故答案選A。

3.甲、乙、丙、丁四個(gè)人分別住在賓館1211、1213、1215、1217和1219這五間相鄰的客房中的四間里，而另外一間客房空著。已知甲和乙兩人的客房中間隔了其他兩間客房，乙和丙的客房號(hào)之和是四個(gè)人里任意二人的房號(hào)和中最大的，丁的客房與甲相鄰且不與乙、丙相鄰。則以下哪間客房可能是空著的?(試題來(lái)源于考生回憶及網(wǎng)絡(luò))

A.1213 B.1211

C.1219 D.1217

3.【答案】D

【中公解析】根據(jù)已知條件，甲和乙中間隔兩間客房，且乙和丙的客房號(hào)之和最大，故有兩種可能：①甲客房號(hào)為1211，乙為1217：丁與甲相鄰，不與乙丙相鄰，故丁為1213，丙為1219，空1215，無(wú)此選項(xiàng);②甲客房號(hào)為1213，乙客房號(hào)為1219：丁與甲相鄰，不與乙丙相鄰，故丁為1211，丙為1215，空1217，滿足條件，丙為1217時(shí)不滿足選項(xiàng)，故答案選D。

4.網(wǎng)管員小劉負(fù)責(zé)甲、乙、丙三個(gè)機(jī)房的巡檢工作，甲、乙和丙機(jī)房分別需要每隔2天、4天和7天巡檢一次。3月1日，小劉巡檢了3個(gè)機(jī)房，問他在整個(gè)3月有幾天不用做機(jī)房的巡檢工作?(試題來(lái)源于考生回憶及網(wǎng)絡(luò))

A.12 B.13 C.14 D.15

4.【答案】C

【中公解析】甲、乙和丙每隔2天、4天和7天巡檢一次，即每3天、5天和8天巡檢一次，列表標(biāo)示如下：

可見，整個(gè)3月共有14天不用做機(jī)房的巡檢工作。

5.某學(xué)校組織學(xué)生春游，往返目的地時(shí)租用可乘坐10名乘客的面包車，每輛面包車往返租金為250元。此外，每名學(xué)生的景點(diǎn)門票和午餐費(fèi)用為40元。如要求盡可能少租車，則以下哪個(gè)圖形最能反映平均每名學(xué)生的春游費(fèi)用支出與參加人數(shù)之間的關(guān)系?(試題來(lái)源于考生回憶及網(wǎng)絡(luò))

6.某單位選舉工會(huì)主席，每人投票從甲、乙、丙三個(gè)候選人中選擇一人。已知該單位共有52人，并且在計(jì)票過程中的某時(shí)刻，甲得到17票，乙得到16票，丙得到11票。如果得票比其他兩人都多的候選人將成為工會(huì)主席，那么甲最少再得到多少票就能夠保證當(dāng)選?

A.2 B.3 C.4 D.5

【答案】C。解析：還剩下52-17-16-11=8張票，甲如果要確保當(dāng)選，考慮最差情況，則剩下的票丙一票不拿，那么只有甲、乙分配剩下的票，甲至少要拿8÷2=4張才能保證當(dāng)選。

7.對(duì)39種食物中是否含有甲、乙、丙三種維生素進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果如下：含甲的有17種，含乙的有18種，含丙的有15種，含甲、乙的有7種，含甲、丙的有6種，含乙、丙9種，三種維生素都不含的有7種，則三種維生素都含的有多少種?()

A.4 B.6 C.7 D.9

【答案】A。解析：至少含一種維生素的食物有39-7=32種，由三個(gè)集合的容斥原理可以得到，三種維生素都含的食物有32+7+6+9-17-18-15=4種。

【考點(diǎn)點(diǎn)撥】三個(gè)集合的容斥公式為 A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-A∩C+A∩B∩C。

8.某單位舉辦慶國(guó)慶茶話會(huì)，買來(lái)4箱同樣重的蘋果，從每箱取出24千克后，結(jié)果各箱所剩的蘋果重量的和，恰好等于原來(lái)一箱的重量。那么原來(lái)每箱蘋果重多少千克?

A.16 B.24 C.32 D.36

【答案】C。解析：取出4×24=96千克蘋果，相當(dāng)于4-1=3箱的重量，則原來(lái)每箱蘋果重96÷3=32千克。

9.甲買了3支簽字筆、7支圓珠筆和1支鉛筆共花了32元，乙買了4支同樣的簽字筆、10支圓珠筆和1支鉛筆共花了43元，如果同樣的簽字筆、圓珠筆、鉛筆各買一支，共用多少錢?

A.10元 B.11元 C.17元 D.21元

【答案】A。解析：設(shè)簽字筆、圓珠筆、鉛筆的單價(jià)依次是 x、y、z，依題意有：

3x+7y+z=32(1)4x+10y+z=43(2)

由3×(1)-2×(2)可知x+y+z=10，即同樣的簽字筆、圓珠筆、鉛筆各買一支需要10元。

10.某手機(jī)商從剛剛賣出去的一部手機(jī)中賺到了10%的利潤(rùn)，但如果他用比原來(lái)進(jìn)價(jià)低10%的價(jià)錢買進(jìn)，而以賺20%利潤(rùn)的價(jià)格賣出，那么售價(jià)減少25元。請(qǐng)問這部手機(jī)賣了多少錢?

A.1250元 B.1375元 C.1550元 D.1665元

【答案】B。解析：設(shè)手機(jī)原來(lái)進(jìn)價(jià)為x元，(1+10%)x-(1-10%)(1+20%)x=25。

解得x=1250元，則這部手機(jī)賣了1250×(1+10%)=1375元，應(yīng)選B。更多資料登陸：

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第四篇：2013年公務(wù)員考試行測(cè)數(shù)量關(guān)系解題技巧

職業(yè)培訓(xùn)教育網(wǎng)（）

2013年公務(wù)員考試行測(cè)數(shù)量關(guān)系解題技巧

公務(wù)員行測(cè)數(shù)學(xué)運(yùn)算題型很多，考生不容易把握重點(diǎn)，歸納總結(jié)出5種必考題型，這些題型不但每年必考，甚至同一題型出現(xiàn)2次以上，因此，考生應(yīng)給給予這幾類題型足夠的重視，把握出題規(guī)律，掌握答題技巧。

5種必考題型：

題型一：計(jì)數(shù)問題

題型二：費(fèi)用問題

題型三：行程問題

題型四：工程問題

題型五：概率問題

第五篇：數(shù)量關(guān)系知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

山東省考數(shù)量關(guān)系常用知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

第一章 帶入與排除法 一，直接帶入法

直接帶入法常用于多位數(shù)問題，不定方程問題，同余問題，年齡問題，周期問題，復(fù)雜行程問題和和差倍比問題，并與其它運(yùn)算方法相結(jié)合，帶入排除法不僅僅意味著把選項(xiàng)帶入題干，而且在計(jì)算過程中，一邊計(jì)算一邊比較答案選項(xiàng)，很可能算到一半答案就出來(lái)了。

二，倍數(shù)特性法

倍數(shù)特性法是一種特殊的帶入排除法

1，2，5—后一位； 4，25—后兩位； 8，,125—后三位 3—數(shù)字和除以三； 9—數(shù)字和除以9 7—末一位的兩倍與剩下的數(shù)之差為7的倍數(shù)

7--末三位與剩下數(shù)的差（大數(shù)減小數(shù)）是7的倍數(shù) 11—奇數(shù)位之和與偶數(shù)位之和的差是11的倍數(shù)（1）直接倍數(shù)法

兩個(gè)數(shù)的和為a，差為b，則兩個(gè)數(shù)分別為a+b/2，a-b/2.（2）因子倍數(shù)法

當(dāng)題干中涉及小數(shù)的時(shí)候，相乘不一定保留原來(lái)的倍數(shù)關(guān)系，2和5因子相乘后會(huì)消失，但是3,7,9,11,13等質(zhì)因子會(huì)一直存在

（3）比例倍數(shù)法（和差倍比）

若a:b=m:n，則說(shuō)明a占m份，是m的倍數(shù)；b占n份是n的倍數(shù)，(m與n互質(zhì))a+b占m+n份，是m+n的倍數(shù)，a-b占m-n份是m-n的倍數(shù) 三，綜合特性法

大小特性，奇偶特性，尾數(shù)特性，余數(shù)特性，冪次特性，質(zhì)數(shù)特性

（1）兩個(gè)數(shù)字和差為奇，二者奇偶相反；兩個(gè)數(shù)字和差為偶，二者奇偶相同。（2）兩個(gè)數(shù)字的和為奇數(shù)，二者差也為奇數(shù)；兩個(gè)數(shù)字和為偶數(shù)，二者差也為偶數(shù)

（3）正整數(shù)加，減，乘運(yùn)算中，每個(gè)數(shù)最后N位，經(jīng)過同樣運(yùn)算，可以得到結(jié)果最后N位

經(jīng)典例題：

奇偶運(yùn)算基本法則 【基礎(chǔ)】奇數(shù)±奇數(shù)= ； 偶數(shù)±偶數(shù)= ； 偶數(shù)±奇數(shù)= ； 奇數(shù)±偶數(shù)=?！就普摗?/p>

一、任意兩個(gè)數(shù)的和如果是奇數(shù)，那么差也是奇數(shù)；如果和是偶數(shù)，那么差也是偶數(shù)。

二、任意兩個(gè)數(shù)的和或差是奇數(shù)，則兩數(shù)奇偶相反；和或差是偶數(shù)，則兩數(shù)奇偶相同。

倍數(shù)關(guān)系核心判定特征

如果，則 a是m 的倍數(shù)； b是n 的倍數(shù)。

如果，則 a是m 的倍數(shù)； b是n 的倍數(shù)。如果，則應(yīng)該是 m±n 的倍數(shù)。

【例1】?jī)蓚€(gè)數(shù)的差是2345，兩數(shù)相除的商是8，求這兩個(gè)數(shù)之和？（）

A.2353 B.2896 C.3015 D.3456

【解析】：兩個(gè)數(shù)的差為奇數(shù)，所以兩個(gè)數(shù)的和也應(yīng)該為奇數(shù)，排除掉B和D，兩數(shù)相除商為8，即a:b=8:1,所以a+b 是9的倍數(shù)，所以選C

【例2】：一單位組織員工乘車去泰山，要求每輛車上的員工數(shù)相等。起初，每輛車22人，結(jié)果有一人無(wú)法上車;如果開走一輛車，那么所有的旅行者正好能平均乘到其余各輛車上，已知每輛最多乘坐32人，請(qǐng)問單位有多少人去了泰山？（）

A.269 B.352

C.478 D.529

【解析】：每輛車22人，結(jié)果有一人無(wú)法上車，即總?cè)藬?shù)除以22余1，也就是總?cè)藬?shù)-1能被22整除，即能同時(shí)被2和11整除，首先排除掉B和C，A和D減1后都能被2整除，只要看下能不能被11整除即可，所以答案為D.【例3】某公司去年有員工830人，今年男員工人數(shù)比去年減少6%，女員工人數(shù)比去年增加5%，員工總數(shù)比去年增加3人，問今年男員工有多少人？

A.329 B.350

C.371 D.504

【解析】：這是2011年的國(guó)考題。如果設(shè)去年男員工人數(shù)為x時(shí)，那今年男員工人數(shù)則為（1-6%）x=0.94x。也就是說(shuō)今年男員工人數(shù)含有0.94的因子，即能被0.94整除，答案選A。

所以熟練掌握數(shù)字特性法對(duì)于解決某一類數(shù)學(xué)運(yùn)算非常有效，所以考生須熟記幾個(gè)非常常用的特性，比如因子、倍數(shù)、因子、比例特性。

【例22】（江蘇2006B-76）在招考公務(wù)員中，A、B兩崗位共有32個(gè)男生、18個(gè)女生報(bào)考。已知報(bào)考A崗位的男生數(shù)與女生數(shù)的比為5：3，報(bào)考B崗位的男生數(shù)與女生數(shù)的比為2：1，報(bào)考A崗位的女生數(shù)是（）。A.15 B.16 C.12 D.10

【答案】C，【解析】報(bào)考A崗位的男生數(shù)與女生數(shù)的比為5：3，所以報(bào)考A崗位的女生人數(shù)是3的倍數(shù)，排除選項(xiàng)B和選項(xiàng)D；代入A可發(fā)現(xiàn)不符合題意，所以選擇C。【例23】（上海2004-12）下列四個(gè)數(shù)都是六位數(shù)，X是比10小的自然數(shù)，Y是零，一定能同時(shí)被2、3、5整除的數(shù)是多少？（）

A.XXXYXX B.XYXYXY C.XYYXYY D.XYYXYX

【答案】B，【解析】因?yàn)檫@個(gè)六位數(shù)能被 2、5整除，所以末位為0，排除A、D；因?yàn)檫@個(gè)六位數(shù)能被3整除，這個(gè)六位數(shù)各位數(shù)字和是3的倍數(shù)，排除C，選擇B?！纠?4】（山東2004-12）某次測(cè)驗(yàn)有50道判斷題，每做對(duì)一題得3分，不做或做錯(cuò)一題倒扣1分，某學(xué)生共得82分，問答對(duì)題數(shù)和答錯(cuò)題數(shù)（包括不做）相差多少？（）A.33 B.39 C.17 D.16

【答案】D，【解析】答對(duì)的題目+答錯(cuò)的題目=50，是偶數(shù)，所以答對(duì)的題目與答錯(cuò)的題目的差也應(yīng)是偶數(shù)，但選項(xiàng)A、B、C都是奇數(shù)，所以選擇D。

【例25】（國(guó)2005一類-

44、國(guó)2005二類-44）小紅把平時(shí)節(jié)省下來(lái)的全部五分硬幣先圍成一個(gè)正三角形，正好用完，后來(lái)又改圍成一個(gè)正方形，也正好用完。如果正方形的每條邊比三角形的每條邊少用5枚硬幣，則小紅所有五分硬幣的總價(jià)值是多少元？（）A.1元 B.2元 C.3元 D.4元

【答案】C，【解析】因?yàn)樗械挠矌趴梢越M成三角形，所以硬幣的總數(shù)是3的倍數(shù)，所以硬幣的總價(jià)值也應(yīng)該是3的倍數(shù)，結(jié)合選項(xiàng)，選擇C。

【注一】很多考生還會(huì)這樣思考：“因?yàn)樗械挠矌趴梢越M成正方形，所以硬幣的總數(shù)是4的倍數(shù)，所以硬幣的總價(jià)值也應(yīng)該是4的倍數(shù)”，從而覺得答案應(yīng)該選D。事實(shí)上，硬幣的總數(shù)是4的倍數(shù)，一個(gè)硬幣是五分，所以只能推出硬幣的總價(jià)值是4個(gè)五分即兩角的倍數(shù)。

【注二】 本題中所指的三角形和正方形都是空心的。

【例26】（國(guó)2002A-6）1998年，甲的年齡是乙的年齡的4倍。2002年，甲的年齡是乙的年齡的3倍。問甲、乙二人2000年的年齡分別是多少歲?（）

A.34歲，12歲 B.32歲，8歲 C.36歲，12歲 D.34歲，10歲

【答案】D，【解析】由隨著年齡的增長(zhǎng)，年齡倍數(shù)遞減，因此甲、乙二人的年齡比在3-4之間，選擇D。

【例27】（國(guó)2002B-8）若干學(xué)生住若干房間，如果每間住4人則有20人沒地方住，如果每間住8人則有一間只有4人住，問共有多少名學(xué)生？（）。

A.30人 B.34人 C.40人 D.44人

【答案】D，【解析】由每間住4人，有20人沒地方住，所以總?cè)藬?shù)是4的倍數(shù)，排除A、B；由每間住8人，則有一間只有4人住，所以總?cè)藬?shù)不是8的倍數(shù)，排除C，選擇D。

【例28】（國(guó)2000-29）一塊金與銀的合金重250克，放在水中減輕16克?，F(xiàn)知金在水中重量減輕1/19，銀在水中重量減輕1／10，則這塊合金中金、銀各占的克數(shù)為多少克？（）A.100克，150克 B.150克，100克 C.170克，80克 D.190克，60克 【答案】D，【解析】現(xiàn)知金在水中重量減輕1/19，所以金的質(zhì)量應(yīng)該是19的倍數(shù)。結(jié)合選項(xiàng)，選擇D。

【例29】（國(guó)1999-35）師徒二人負(fù)責(zé)生產(chǎn)一批零件，師傅完成全部工作數(shù)量的一半還多30個(gè)，徒弟完成了師傅生產(chǎn)數(shù)量的一半，此時(shí)還有100個(gè)沒有完成，師徒二人已經(jīng)生產(chǎn)多少個(gè)？（）A.320 B.160 C.480 D.580

【答案】C，【解析】徒弟完成了師傅生產(chǎn)數(shù)量的一半，因此師徒二人生產(chǎn)的零件總數(shù)是3的倍數(shù)。結(jié)合選項(xiàng)，選擇C。

【例30】（浙江2005-24）一只木箱內(nèi)有白色乒乓球和黃色乒乓球若干個(gè)。小明一次取出5個(gè)黃球、3個(gè)白球，這樣操作N次后，白球拿完了，黃球還剩8個(gè)；如果換一種取法：每次取出7個(gè)黃球、3個(gè)白球，這樣操作M次后，黃球拿完了，白球還剩24個(gè)。問原木箱內(nèi)共有乒乓球多少個(gè)?（）A.246個(gè) B.258個(gè) C.264個(gè) D.272個(gè)

【答案】C，【解析】每次取出7個(gè)黃球、3個(gè)白球，這樣操作M次后，黃球拿完了，白球還剩24個(gè)。因此乒乓球的總數(shù)=10M+24，個(gè)位數(shù)為4，選擇C。

【例34】（北京社招2005-11）兩個(gè)數(shù)的差是2345，兩數(shù)相除的商是8，求這兩個(gè)數(shù)之和？（）A.2353 B.2896 C.3015 D.3456 【答案】C，【解析】?jī)蓚€(gè)數(shù)的差是2345，所以這兩個(gè)數(shù)的和應(yīng)該是奇數(shù)，排除B、D。兩數(shù)相除得8，說(shuō)明這兩個(gè)數(shù)之和應(yīng)該是9的倍數(shù)，所以答案選擇C。

【例35】（北京社招2005-13）某劇院有25排座位，后一排比前一排多2個(gè)座位，最后一排有70個(gè)座位。這個(gè)劇院共有多少個(gè)座位？（）A.1104 B.1150 C.1170 D.1280 【答案】B，【解析】劇院的總?cè)藬?shù)，應(yīng)該是25個(gè)相鄰偶數(shù)的和，必然為25的倍數(shù)，結(jié)合選項(xiàng)選擇B。

【例36】（北京社招2005-17）一架飛機(jī)所帶的燃料最多可以用6小時(shí)，飛機(jī)去時(shí)順風(fēng)，速度為1500千米/時(shí)，回來(lái)時(shí)逆風(fēng)，速度為1200千米/時(shí)，這架飛機(jī)最多飛出多少千米，就需往回飛？（）A.2000 B.3000 C.4000 D.4500 【答案】C，【解析】逆風(fēng)飛行的時(shí)間比順風(fēng)飛行的時(shí)間長(zhǎng)，逆風(fēng)飛行超過3小時(shí)，順風(fēng)不足3小時(shí)。飛機(jī)最遠(yuǎn)飛行距離少于150033＝4500千米；飛機(jī)最遠(yuǎn)飛行距離大于120033＝3600千米。結(jié)合選項(xiàng)，選擇C。

【例37】（北京社招2005-20）紅星小學(xué)組織學(xué)生排成隊(duì)步行去郊游，每分鐘步行60米，隊(duì)尾的王老師以每分鐘步行150米的速度趕到排頭，然后立即返回隊(duì)尾，共用10分鐘。求隊(duì)伍的長(zhǎng)度？（）A.630米 B.750米 C.900米 D.1500米 【答案】A，【解析】王老師從隊(duì)尾趕到隊(duì)頭的相對(duì)速度為150+60＝210米／分；王老師從隊(duì)頭趕到隊(duì)尾的相對(duì)速度為150-60＝90米／分。因此一般情況下，隊(duì)伍的長(zhǎng)度是210和90的倍數(shù)，結(jié)合選項(xiàng)，選擇A。

第二章

轉(zhuǎn)化歸納法

一，化歸為一法

如果題干中沒有涉及某個(gè)具體量的大小，并且不影響最終結(jié)果，我們可以用化歸為一法，將這個(gè)量設(shè)為某一個(gè)計(jì)算的數(shù)值。

一般應(yīng)用于工程問題，混合比例問題，和差倍比問題，加權(quán)平均數(shù)問題，流水行船問題，往返行程問題，幾何問題和經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)問題。

※其中，設(shè)“1”思想是設(shè)“1”或設(shè)“100”或設(shè)“最小公倍數(shù)”，（每題只能設(shè)一次）二，比例假設(shè)法—利用數(shù)字矛盾

盡管假設(shè)數(shù)字會(huì)與題干已知條件矛盾，但我們?nèi)匀豢梢詮?qiáng)行假設(shè)某一個(gè)數(shù)字，然后利用倍數(shù)關(guān)系對(duì)推算出來(lái)的矛盾雙方進(jìn)行比較，按照比例放大或縮小即可，假如一次假設(shè)計(jì)算過程中出現(xiàn)分?jǐn)?shù)或小數(shù)，可以二次假設(shè)或重新假設(shè)方便計(jì)算的量。※（采用假設(shè)比例法時(shí)，必須有一個(gè)量固定不變，其它兩個(gè)量成比例關(guān)系）三，工程問題（重點(diǎn)必考點(diǎn)）

工程問題是研究工作量，工作時(shí)間和工作效率之間的關(guān)系 工作量=工作時(shí)間*工作效率

核心思想：化歸為一法，比例假設(shè)法，特值法

主要分類：1.基礎(chǔ)運(yùn)算型；2.同事合作型；3.先后合作型；4.交替合作性（注意周期）5.撤出加入型；6.兩項(xiàng)工程型；7.三項(xiàng)工程型 工程問題經(jīng)典題型：

1.某行政村計(jì)劃15天完成春播任務(wù)1500畝，播種5天後，由於更新機(jī)械，工作效率提高25%，問這個(gè)行政村會(huì)提前幾天完成這1500畝的春播計(jì)劃？ A.4 B.3 C.2 D.1 2.某工廠的一個(gè)生產(chǎn)小組，當(dāng)每個(gè)工人在自己的工作崗位上工作時(shí)，9小時(shí)可以完成一項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)。如果交換工人甲和乙的工作崗位，其他人的工作崗位不變時(shí)，可提前1小時(shí)完成任務(wù)；如果交換工人丙和丁的工作崗位，其他人的工作崗位不變時(shí)，也可提前1小時(shí)完成任務(wù)。如果同時(shí)交換甲和乙、丙和丁的工作崗位，其他人的工作崗位不變，可以提前多少小時(shí)完成這項(xiàng)任務(wù)？ A.1.6 B.1.8 C.2.0 D.2.4 3.有20人修築一條公路，計(jì)劃15天完成。動(dòng)工3天後抽出5人植樹，留下的人繼續(xù)修路。如果每人工作效率不變，那麼修完這段公路實(shí)際用多少天？ A.16 B.17 C.18 D.19 4.單獨(dú)完成某項(xiàng)工作，甲需要16小時(shí)，乙需要12小時(shí)，如果按照甲、乙、甲、乙、??的順序輪流工作，每次1小時(shí)，那麼完成這項(xiàng)工作需要多長(zhǎng)時(shí)間？ A.13小時(shí)40分鍾B.13小時(shí)45分鍾C.13小時(shí)50分鍾D.14小時(shí)

5.甲、乙兩車運(yùn)一堆貨物。若單獨(dú)運(yùn)，則甲車運(yùn)的次數(shù)比乙車少5次；如果兩車合運(yùn)，那麼各運(yùn)6次就能運(yùn)完，甲車單獨(dú)運(yùn)完這堆貨物需要多少次？ A.9 B.10 C.13 D.15 6.某計(jì)算機(jī)廠要在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)生產(chǎn)一批計(jì)算機(jī)，如果每天生產(chǎn)140臺(tái)，可以提前3天完成；如果每天生產(chǎn)120臺(tái)，要再生產(chǎn)3天纔能完成，問規(guī)定完成的時(shí)間是多少天？ A.30 B.33 C.36 D.39 7.甲、乙兩單位合做一項(xiàng)工程，8天可以完成。先由甲單位獨(dú)做6天後，再由兩單位合做，結(jié)果用6天完成了任務(wù)。如該工程由乙單位獨(dú)做，則需多少天纔能完成任務(wù)？ A.8 B.12 C.18 D.24 8.甲1天做的工作等於乙2天做的工作，等於丙3天做的工作。現(xiàn)有一工程，甲2天可完成。問乙與丙合作要多少天完成？ A.12天 B.5天 C.2.4天 D.10天

9.一只木桶，上方有兩個(gè)注水管，單獨(dú)打開第一個(gè)，20分鍾可注滿木桶；單獨(dú)打開第二個(gè)，10分鍾可注滿木桶。若木桶底部有一個(gè)漏孔，水可以從孔中流出，一滿桶水用40分鍾流完。問當(dāng)同時(shí)打開兩個(gè)注水管，水從漏孔中也同時(shí)流出時(shí)，木桶需經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間纔能注滿水？

A.8分鍾 B.9分鍾 C.10分鍾 D.12分鍾

10.一個(gè)游泳池，甲管注滿水需6小時(shí)，甲、乙兩管同時(shí)注水，注滿要4小時(shí)。如果只用乙管注水，那麼注滿水需多少小時(shí)？ A.14 B.12 C.10 D.8 答案及解析：

1.中公解析：本題答案選C。原來(lái)的工作效率為100畝/天，提高25%後則每天播種125畝，剩餘的1000畝需要8天播完，因此可以提前2天完成任務(wù)。

3.中公解析：本題答案選D。設(shè)每人每天乾活1個(gè)單位，那麼，題意可以理解為15人乾活需要乾滿20天。因?yàn)橛?個(gè)人另乾了3天，即相當(dāng)於15個(gè)人乾了一天的活，所以15人現(xiàn)在只需乾活20-1＝19天。

6.中公解析：本題答案選D。生產(chǎn)的計(jì)算機(jī)總量不變，每天生產(chǎn)120臺(tái)比每天生產(chǎn)140臺(tái)多用6天，故每天生產(chǎn)140臺(tái)需要12036÷(140-120)=36天，故規(guī)定時(shí)間為36+3=39天。本題也可用方程法求解。

第三章 典型解題技巧 一，十字相乘法—本質(zhì)就是一個(gè)簡(jiǎn)化方程

※ 算出來(lái)的是總量比，如要算單位比，再除以單價(jià)。二，構(gòu)造設(shè)定法（與極端思維法配合使用）

根據(jù)題目要求，直接進(jìn)行構(gòu)造，如有必要，可以回頭驗(yàn)證構(gòu)造結(jié)果。我們構(gòu)造的只是滿足題目的情況之一，不是唯一。

三，極端思維法（當(dāng)題干中出現(xiàn)至多，至少，最多，最少，最大，最小時(shí)）使用極端構(gòu)造思維構(gòu)造極端思維時(shí)可能得到的是非整數(shù)解：

如果題目問最大時(shí)，就往小取整；如果題目問最小時(shí)，就往大取整。四，枚舉列舉法

1.直接枚舉說(shuō)滿足條件的所有情況（當(dāng)滿足條件情況較少時(shí)用）

2.當(dāng)答案要求數(shù)字很大時(shí)，我們可從較小的數(shù)字出發(fā)，總結(jié)歸納出通用規(guī)律 N條直線可將平面分割成n(n+1)/2個(gè)部分

（2，4，7，11,16,22,29,37,46,56）差為（2,3,4,5,6,7,8,9,10）五，逆向思維法（除以2，加1→減1，乘以2）

1.逆向推導(dǎo)型：將運(yùn)算過程完全顛倒，從后往前逆推。

2.正反互補(bǔ)型：若“正面”不好求解，用總體剔除與之互補(bǔ)的“反面”求解。十字相乘法：

十字相乘法用來(lái)解決一些比例問題特別方便。但是，如果使用不對(duì)，就會(huì)犯錯(cuò)。

（一）原理介紹

通過一個(gè)例題來(lái)說(shuō)明原理。

某班學(xué)生的平均成績(jī)是80 分，其中男生的平均成績(jī)是75，女生的平均成績(jī)是85。求該班男生和女生的比例。方法一：男生一人，女生一人，總分160 分，平均分80 分。男生和 女生的比例是l : 1。

方法二：假設(shè)男生有A，女生有B。(A * 75 + B85)/(A 十B)= 80 整理后A = B，因此男生和女生的比例是1 : 1。方法三：

男生：75 5 80 女生：85 5 男生：女生= 1 : l。

一個(gè)集合中的個(gè)體，只有2 個(gè)不同的取值，部分個(gè)體取值為A，剩余部分取值為B。平均值為C。求取值為A 的個(gè)體與取值為B 的個(gè)體的比例。假設(shè)A 有x , B 有（1 一X）。

AX + B(1 一X)= C X =（C 一B)/(A 一B)1 一X =（A 一C)/ A 一B 因此：X :(l 一X)=(C 一B):(A 一C)上面的計(jì)算過程可以抽象為： A C 一B C B A 一C 這就是所謂的十字相乘法。十字相乘法使用時(shí)要注意幾點(diǎn)：

第一點(diǎn)：用來(lái)解決兩者之間的比例關(guān)系問題。

第二點(diǎn)：得出的比例關(guān)系是基數(shù)的比例關(guān)系。

第三點(diǎn)：總均值放中央，對(duì)角線上，大數(shù)減小數(shù)，結(jié)果放對(duì)角線上。．某體育訓(xùn)練中心，教練員中男占90 %，運(yùn)動(dòng)員中男占80 %，在教練員和運(yùn)動(dòng)員中男占82 %，教練員與運(yùn)動(dòng)員人數(shù)之比是 ： A 2: 5 B l: 3 C 1: 4 D l: 5 答案：C，分析：

男教練：90 % 2 % 82 % 男運(yùn)動(dòng)員：80 % 8 % 男教練：男運(yùn)動(dòng)員＝2 % : 8 ％= 1 ：4 2 ．某公司職員25 人，每季度共發(fā)放勞保費(fèi)用15000 元，己知每個(gè)男職必每季度發(fā)580 元，每個(gè)女職員比每個(gè)男職員每季度多發(fā)50 元，該公司男女職員之比是多少 A.2: 1 B 3: 2 C 2: 3 D.1: 2 答案：B 分析：職工平均工資15000 / 25 = 600 男職工工資：580 30 600 女職工工資：630 20 男職工：女職工＝30 : 20 = 3 : 2 3 ．某城市現(xiàn)在有70 萬(wàn)人口，如果5 年后城鎮(zhèn)人口增加4 %，農(nóng)村人口增加5.4 %，則全市人口將增加4.8 ％?，F(xiàn)在城鎮(zhèn)人口有（）萬(wàn)。A 30 B 31.2 C 40 D 41.6 答案A 分析：城鎮(zhèn)人口：4 % 0.6 %

4.8 % 農(nóng)村人口：5.4 % 0.8 % 城鎮(zhèn)人口：農(nóng)村人口=0.6 % ：0.8 ％=3 : 4 70 *(3 / 7)= 30 4 ．某班男生比女生人數(shù)多80 %，一次考試后，全班平均成級(jí)為75 分，而女生的平均分比男生的平均分高20 %，則此班女生的平均分是： A 84 分 B 85 分 C 86 分 D 87 分 答案：A 分析：假設(shè)女生的平均成績(jī)?yōu)閄，男生的平均Y。男生與女生的比例是9：5。男生：Y 9 75 女生：X 5 根據(jù)十字相乘法原理可以知道，X=84 5 ．某高校2006 畢業(yè)學(xué)生7650 名，比上增長(zhǎng)2 % ．其中本科畢業(yè)生比上減少2 % ．而研究生畢業(yè)數(shù)量比上增加10 % ,那么，這所高校今年畢業(yè)的本科生有：

A 3920 人B 4410 人C 4900 人D 5490 人 答案：C 分析：去年畢業(yè)生一共7500 人。7650 /(1 + 2 %)= 7500 人。本科生：-2 % 8 % 2% 研究生：10 % 4 % 本科生：研究生=8 % : 4 % = 2 : 1。7500 *(2 / 3)= 5000 5000 * 0.98 = 4900 6 資料分析：

根據(jù)所給文字資料回答121 一125 題。

2006 年5 月份北京市消費(fèi)品市場(chǎng)較為活躍，實(shí)現(xiàn)社會(huì)消費(fèi)品零售額272.2 億元，創(chuàng)今年歷史第二高。據(jù)統(tǒng)計(jì)，l-5 月份全市累計(jì)實(shí)現(xiàn)社會(huì)消費(fèi)品零售額1312.7 億元，比去年同期增長(zhǎng)12.5 ％。

汽車銷售繼續(xù)支撐北京消費(fèi)品市場(chǎng)的繁榮。5 月份，全市機(jī)動(dòng)車類銷售量為5.4 萬(wàn)輛，同比增長(zhǎng)23.9 ％。據(jù)對(duì)限額以上批發(fā)零售貿(mào)易企業(yè)統(tǒng)計(jì)，汽車類商品當(dāng)月實(shí)現(xiàn)零售額32.3 億元，占限額以上批發(fā)零售貿(mào)易企業(yè)零售額比重的20.3 ％。

據(jù)對(duì)限額以上批發(fā)零售貿(mào)易企業(yè)統(tǒng)計(jì)，5 月份，家具類、建筑及裝潢材料類銷售延續(xù)了4 月份的高幅增長(zhǎng)，持續(xù)旺銷，零售額同比增長(zhǎng)了50 ％。其中，家具類商品零售額同比增長(zhǎng)27.3 %，建筑及裝演材料類商品零售額同比增長(zhǎng)60.8 ％。同時(shí)由于季節(jié)變換和節(jié)日商家促銷的共同作用，家電銷售大幅增長(zhǎng)，限額以上批發(fā)零售貿(mào)易企業(yè)家用電器和音像器材類商品零售額同比增長(zhǎng)13.6 ％。

．北京市2006 年5 月份限額以上批發(fā)零售貿(mào)易企業(yè)社會(huì)消費(fèi)品零售額占社會(huì)消費(fèi)品零售總額的百分比約為：

A.50.5 % B.58.5 % C , 66.5 % D.74.5 % 答案：B 分析：(32.3 / 2 0.3 %)/ 272.2。結(jié)果和160 / 270 相當(dāng)。接近60 ％。所以選B。

．若保持同比增長(zhǎng)不變，預(yù)計(jì)北京市2007 年前5 個(gè)月平均每月的社會(huì)消費(fèi)品零售額：

A ．將接近255 億元B，將接近280 億元C ．將接近300 億元D ．將突破300 億元 答案：C 分析：(1312.5 / 5)*(l + 12.5 %）。12.5 ％=l / 8。（1312.5 * 9)/ 40 接近300。

2006 年5 月份，限額以上批發(fā)零售貿(mào)易企業(yè)中，家具類商品零售額占家具類和建筑及裝演材料類商品零售額的比例是：A.27.4 % B.29.9 % C.32.2 % D.34.6 % 答案：A 分析：兩種方法。

方法一：比較常規(guī)的做法假設(shè)2005 年家具類所占比例為X。X *(l + 27.3 %)+(l 一X)*(l + 60.8 %)= l + 50 % X = 32.2 ％。

【32.2 % *(l + 27.3 %)】/【32.2 % *(l + 27.3 %)+(l 一32.2 %)*(1 + 60.8 % 0)】= 27.4 % 整個(gè)過程計(jì)算下來(lái)，至少5 分鐘。方法二：十字相乘法原理．最快． 家具27.3 %，近似為27 %;建筑60.8 %，近似為61 ％。

家具：27 % 11% 50 % 建筑：61 % 23 % 家具：建筑＝11 % : 23 ％大約等于1 : 2。注意這是2006 年4 月份的比例。建筑類2006 年所占比例為：l *(l + 27.3 %)/ [ 1 *(l + 27.3 %)+ 2 *(l + 60.8 %)= 1.27 /(1.27 + 3.2)= 1.27 / 4.5 = 28 ％。和A 最接近。124 ．下列說(shuō)法正確的是：.2006 年1-5 月份北京市每月平均社會(huì)消費(fèi)品零售額比去年同期增長(zhǎng)12.5 % 11.2006 年5 月份家具類、建筑及裝潢材料類、家電類限額以上批發(fā)零售貿(mào)易企業(yè)零售額的增長(zhǎng)率相比較，建筑及裝潢材料類增長(zhǎng)最快 1ll.2005 年，北京市機(jī)動(dòng)車類銷售量約為4.36 萬(wàn)輛

A ．僅1 B ．僅11 C.I 和11 D.II 和111 答案：C 分析：1 一5 月份全市累計(jì)實(shí)現(xiàn)社會(huì)消費(fèi)品零售額1312.7 億元，比去年同期增長(zhǎng)12.5 ％。累計(jì)增長(zhǎng)A/B＝同比增長(zhǎng)（A/5)/(B / 5）。I 正確,11 正確，文中直接找答案。5.4 /(1 + 23.9 %）約等于4.36。125 ．下列說(shuō)法肯定正確的是：

A.2006 年前5 個(gè)月中，5 月份的社會(huì)消費(fèi)品零售額最高

B.2006 年5 月，幾類商品的零售額都比前4 個(gè)月高

C.2006 年5 月，限額以上批發(fā)零售貿(mào)易企業(yè)零售額比前4 個(gè)月都高

D ．至少存在一類商品，其2006年前5個(gè)月的零售額同比增長(zhǎng)不高于12.5%，答案：D 分析：1 一5 月份全市累計(jì)實(shí)現(xiàn)社會(huì)消費(fèi)品零售額1312.7 億元，比去年同期增長(zhǎng)12.5 %，而5 月份各類零售增長(zhǎng)率都超過了12.5 ％。因此可以肯定，至少存在一類商品，其2006 年前5 個(gè)月的零售額同比增長(zhǎng)不高于12.5 ％。構(gòu)造題型題目解析：

當(dāng)題干中出現(xiàn)“至少??(才)保證??”、“至少??”、“最??最多(少)??”、“排名第??最多(少)”等字眼時(shí)，均可判定該題為最值問題。

常見題型：

1.最不利構(gòu)造：

特征：至少(最少)??保證；方法：答案=最不利的情形+1。

2.多集合反向構(gòu)造：

特征：都??至少??；方法：反向、加和、做差。

3.構(gòu)造數(shù)列：

特征：最??最??，排名第??最??；方法：構(gòu)造一個(gè)滿足題目要求的數(shù)列

2012-河北42.要把21棵桃樹栽到街心公園里5處面積不同的草坪上，如果要求每塊草坪必須有樹且所栽棵數(shù)要依據(jù)面積大小各不相同，面積最大的草坪上至少要栽幾棵？()

A.7 B.8

C.10 D.11

【答案】A

【解析】本題屬于構(gòu)造數(shù)列題型。要使面積最大的草坪栽種的樹最少，就要保證其他的草坪栽種的樹最多，設(shè)面積最大的草坪至少栽種X棵，則其他的草坪可栽種X－1,X－2, X－3,X－4棵，則X＋X－1＋X－2＋X－3＋X－4=21，即5X－10=21，X=6.2，而X必須取整數(shù)，所以X=7。因此，答案選擇A選項(xiàng)。

2011-河北-44.某中學(xué)在高考前夕進(jìn)行了四次語(yǔ)文模擬考試，第一次得90分以上的學(xué)生為70%，第二次是75%，第三次是85%，第四次是90%，請(qǐng)問在四次考試中都是90分以上的學(xué)生至少是多少？()

A.40% B.30%

C.20% D.10%

【答案】C

【解析】設(shè)共有100人考試，則得90分以上的同學(xué)依次有70、75、85、90人，因此沒過90分的依次有30、25、15、10人，則沒過90分的最多有30+25+15+10=80(人)，故90分以上的至少有100-80=20(人)，占20%。因此，答案選擇C選項(xiàng)。

2010-河北-39.某中學(xué)初二年級(jí)共有620名學(xué)生參加期中考試，其中語(yǔ)文及格的有580名，數(shù)學(xué)及格的有575名，英語(yǔ)及格的有604名，以上三門功課都及格的至少有多少名同學(xué)？()

A.575 B.558

C.532 D.519

【答案】D

【解析】要使三門功課都及格的人數(shù)最少，則需要三門功課的人中，每人都只有一門不及格，不及格的人數(shù)總數(shù)為(620-575)+(620-580)+(620-604)＝101(人)，故三門功課都及格的人數(shù)最少為620-101＝519(名)。因此，答案選擇D選項(xiàng)。

2009-河北-108.100名村民選一名代表，候選人是甲、乙、丙三人，每人只能投票選舉一人，得票最多的人當(dāng)選。開票中途累計(jì)前61張選票中，甲得35票，乙得10票，丙得16票。在尚未統(tǒng)計(jì)的選票中，甲至少再得多少票就一定當(dāng)選？()

A.11 B.12

C.13 D.14

【答案】A

【解析】本題屬于構(gòu)造數(shù)列題型。甲至少再得多少票就一定當(dāng)選的意思就是票數(shù)最多的甲最少得多少?gòu)埰?。我們可以發(fā)現(xiàn)對(duì)甲最有競(jìng)爭(zhēng)力的就是丙，所以最極端的情況就是甲取得了x票，剩下的39-x全部投給了丙，這樣甲也當(dāng)選了。即滿足35+x＞16+39-x，即2X＞20，X＞10，所以甲至少要得11張。因此，答案選擇A選項(xiàng)。

第四章 方程與不等式 方程法是整個(gè)數(shù)學(xué)運(yùn)算的第一重要方法（通?？芍胁磺螅?/p>

主要題型：盈虧問題，雞兔同籠問題，和差倍比問題，牛吃草問題 一，基本方程思想（巧設(shè)未知數(shù)，快速解方程）

1.當(dāng)方程有小數(shù)或是分?jǐn)?shù)而計(jì)算復(fù)雜時(shí)，同乘化整。

2.方程組中若存在多個(gè)未知數(shù)，盡量消去無(wú)關(guān)未知數(shù)，保留所求未知數(shù)。3.方程中存在一些無(wú)關(guān)未知數(shù)，完全可以作為整體直接消去。4.比例型的方程形式，可能存在很好的化簡(jiǎn)方法。5.未知數(shù)轉(zhuǎn)變且無(wú)法消除時(shí)，可直接令x=0得到答案。6.若題目中存在xy這樣的乘積項(xiàng)，先化簡(jiǎn)或消掉。

（1）A/B=C/D→A+C/B+D=A-C/B-D(當(dāng)兩個(gè)分子或分母的和或差為常數(shù)時(shí))（2）A/B=C/D→A±B/B=C±D/D→A/B±A=C/D±C（條件同上）整體解方程—整體代換，無(wú)需求出每一個(gè)未知數(shù)。逆向解方程—倒推法。

二，不定方程（組）--最新考察熱點(diǎn) 多元不定方程或方程組：特值代入法；

二元不定方程：帶入試值法，令最復(fù)雜的一項(xiàng)為“0”； 三，不等式—直接解出滿足不等式的范圍

列出不等式，找好是“＞”還是“≥”，是“＜”還是“≤”。四，盈虧與雞兔同籠問題

列方程，解方程是最高效，最準(zhǔn)確的方法。五，和差倍比

第五章 基礎(chǔ)運(yùn)算模塊 一，純粹計(jì)算問題 基本公式：

a2-b2=（a+b）（a-b）；a+b≥2跟下ab；ab≤（a+b/2）2→（a-b）2≥0；(a±)2= a2+2ab+b2； a*b*c≤（a+b+c/3）3

a的m次方*a的n次方=a的m+n次方，a的m次方的n次方=a的m*n次方；（a*b）的n次方= a的n次方+b的n次方

※ 棄九法※（當(dāng)整數(shù)范圍內(nèi)+，-，*三種運(yùn)算方法中可使用）

1.在計(jì)算中，將計(jì)算過程中數(shù)字全部除以9，留其余數(shù)進(jìn)行相同的計(jì)算；

2.計(jì)算中如有數(shù)字不在0—8之間，通過加上或減去9或9 的倍數(shù)調(diào)整到0—8之間； 3.將選項(xiàng)除以9留其余數(shù)，與上面計(jì)算結(jié)果對(duì)照，得到答案。注意循環(huán)數(shù)的求法，因數(shù)分解！※ 裂項(xiàng)相消公式

B/M*(M+A)=(1/M-1/M+A)*B/A(“小分之一”減去“大分之一”乘以二者差分之分子)在比較復(fù)雜的計(jì)算中，將相近的數(shù)化為相同，從而作為一個(gè)整體相抵消

乘方尾數(shù)的算法：地鼠留個(gè)位，指數(shù)除以4，留余數(shù)，余數(shù)為零，去4！1.直接計(jì)算題；2.棄九推斷；3.乘法分配率；4.循環(huán)數(shù)字； 5.比較大??； 6.裂項(xiàng)相消；7.整體消去； 8.乘方尾數(shù)。二，運(yùn)算拓展模型

1.定義運(yùn)算：XΦY,X△Y，2.抽象函數(shù)f（x）3.恒等變換； 4.二次方程； 5.極值求解 一，數(shù)列綜合運(yùn)算 1.等比數(shù)列：

設(shè)首項(xiàng)為；末項(xiàng)為 , 項(xiàng)數(shù)為 , 公差為 , 前 項(xiàng)和為

則有:① ② ③ ④ 其中 ：

=平均數(shù)*項(xiàng)數(shù)=中位數(shù)*項(xiàng)數(shù)；

通項(xiàng)公式：

等差數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)求和=項(xiàng)數(shù)2 2.等比數(shù)列

等比數(shù)列求和公式：an=a1*q^(n-1)

第六章 計(jì)數(shù)問題模塊 一，容斥原理

（一）兩集合容斥原理

1.當(dāng)題目中出現(xiàn)①滿足條件A的數(shù)目，②滿足條件B的數(shù)目，③同時(shí)滿足A，B的數(shù)目，④條件A,B都不滿足的數(shù)目，⑤總數(shù)

公式：滿足A+滿足B-滿足A,B+A，B都不滿足=總數(shù) 2.若出現(xiàn)：只滿足條件A或只滿足條件B→用兩集合圖示標(biāo)數(shù)。

（二）三集合容斥原理

1.關(guān)于滿足兩個(gè)條件的描述，如果題目只涉及①滿足A，B條件；②滿足B，C條件；③滿足A，C條件的數(shù)目→標(biāo)準(zhǔn)公式

2.若題目涉及“只滿足條件A，B的數(shù)目”，一般采用三集合圖示標(biāo)數(shù)； 3.若題目涉及“滿足一個(gè)條件的數(shù)目”和“滿足兩個(gè)條件的數(shù)目”； 只給出一個(gè)總數(shù)而不是分項(xiàng)數(shù)字，一般用“三集合整體重復(fù)型”。

※標(biāo)準(zhǔn)型公式：1.兩個(gè)集合的容斥關(guān)系公式：A∪B = A+BA∩BC∩A +A∩B∩C 如左邊代表至少滿足三個(gè)條件之一的情況，也等于總數(shù)減去三個(gè)條件都不滿足的情況；

（三）三集合圖示標(biāo)數(shù)型

1.特別注意“滿足某條件”和“僅滿足某條件”的區(qū)別； 2.特別注意有沒有“三個(gè)條件都不滿足”的情況； 3.標(biāo)數(shù)時(shí)，注意從中間向外圍標(biāo)記。

（四）三集合整體重復(fù)型

在三集合容斥題型中，假設(shè)三個(gè)條件的元素?cái)?shù)量分別是A,B,C,而至少滿足三個(gè)條件之一的元素的總量為W；其中：滿足一個(gè)條件的元素?cái)?shù)量為X，滿足兩個(gè)人條件的元素?cái)?shù)量為Y，滿足三個(gè)條件的元素?cái)?shù)量為Z。① W=X+Y+Z;② A+B+C=X*1+Y*2+Z*3 詳細(xì)推理：

1、等式右邊改造 = {[（A+BB∩C]-C∩A }+ A∩B∩C

2、文氏圖分塊標(biāo)記如右圖圖：1245構(gòu)成A，2356構(gòu)成B，4567構(gòu)成C

3、等式右邊（）里指的是下圖的1+2+3+4+5+6六部分： 那么A∪B∪C還缺部分7。

4、等式右邊[]號(hào)里+C（4+5+6+7）后，相當(dāng)于A∪B∪C多加了4+5+6三部分，減去B∩C（即5+6兩部分）后，還多加了部分4。

5、等式右邊{}里減去C∩A（即4+5兩部分）后，A∪B∪C又多減了部分5，則加上A∩B∩C（即5）剛好是A∪B∪C。如圖所示：

二，基礎(chǔ)排列組合

加法原理 排列：與順序有關(guān)，乘法原理 組合：與順序無(wú)關(guān)，排列公式： 組合公式：

逆向公式：滿足條件的情況—不滿足條件的情況數(shù)。三，拓展排列組合

1.相鄰問題—捆綁法—先考慮相鄰元素，然后將其視為一個(gè)整體考慮；

2.不鄰問題—插孔法—先考慮剩余元素，然后將不鄰元素進(jìn)行插孔（路燈熄滅問題）3.錯(cuò)位配列—0,1,2,9,44,256； 4.重復(fù)剔除型

平均分租時(shí)，一旦有N個(gè)組人數(shù)相同，最后都要除以Ann以剔除重復(fù)情況，例：將6個(gè)人平均分成3組，請(qǐng)問一共有多少種分法？ C62*C42*C22/A33=15 5.圓桌排列：N個(gè)人排成一圈，有Ann/n=（n-1）！種方法；

6.分配插板型（將M個(gè)元素，分到N組，每組至少分一個(gè)），Cm-1，n-1 需滿足條件：①元素相同，②分配到不同的組，③每個(gè)組至少分一個(gè)（三者缺一不可）

① 如果沒有至少分到一個(gè)，只說(shuō)把6個(gè)蘋果分到3組，可以先借三個(gè)蘋果沒人分一個(gè)，再按照公式去分；

② 如果題干說(shuō)至少分得N的元素，則分給每組N-1元素，構(gòu)造成每組至少分得一個(gè)的情況。經(jīng)典例題分析： 難點(diǎn)：

⑴從千差萬(wàn)別的實(shí)際問題中抽象出幾種特定的數(shù)學(xué)模型，需要較強(qiáng)的抽象思維能力； ⑵限制條件有時(shí)比較隱晦，需要我們對(duì)問題中的關(guān)鍵性詞（特別是邏輯關(guān)聯(lián)詞和量詞）準(zhǔn)確理解；

⑶計(jì)算手段簡(jiǎn)單，與舊知識(shí)聯(lián)系少，但選擇正確合理的計(jì)算方案時(shí)需要的思維量較大； ⑷計(jì)算方案是否正確，往往不可用直觀方法來(lái)檢驗(yàn)，要求我們搞清概念、原理，并具有較強(qiáng)的分析能力。例題

【例1】 從1、2、3、??、20這二十個(gè)數(shù)中任取三個(gè)不同的數(shù)組成等差數(shù)列，這樣的不同等差數(shù)列有多少個(gè)？

分析：首先要把復(fù)雜的生活背景或其它數(shù)學(xué)背景轉(zhuǎn)化為一個(gè)明確的排列組合問題。設(shè)a,b,c成等差，∴ 2b=a+c，可知b由a,c決定，又∵ 2b是偶數(shù)，∴ a,c同奇或同偶，即：分別從1，3，5，??，19或2，4，6，8，??，20這十個(gè)數(shù)中選出兩個(gè)數(shù)進(jìn)行排列，由此就可確定等差數(shù)列，A（10,2）*2=90*2，因而本題為180。

【例2】 某城市有4條東西街道和6條南北的街道，街道之間的間距相同，若規(guī)定只能向東或向北兩個(gè)方向沿圖中路線前進(jìn)，則從M到N有多少種不同的走法? 分析：對(duì)實(shí)際背景的分析可以逐層深入：

（一）從M到N必須向上走三步，向右走五步，共走八步；

（二）每一步是向上還是向右，決定了不同的走法；

（三）事實(shí)上，當(dāng)把向上的步驟決定后，剩下的步驟只能向右；

從而，任務(wù)可敘述為：從八個(gè)步驟中選出哪三步是向上走，就可以確定走法數(shù)?！?本題答案為：C（8,3）=56。分析

分析是分類還是分步，是排列還是組合

注意加法原理與乘法原理的特點(diǎn)，分析是分類還是分步，是排列還是組合?！纠?】在一塊并排的10壟田地中，選擇二壟分別種植A，B兩種作物，每種種植一壟，為有利于作物生長(zhǎng)，要求A，B兩種作物的間隔不少于6壟，不同的選法共有多少種？ 分析：條件中“要求A、B兩種作物的間隔不少于6壟”這個(gè)條件不容易用一個(gè)包含排列數(shù)，組合數(shù)的式子表示，因而采取分類的方法。第一類：A在第一壟，B有3種選擇；

第二類：A在第二壟，B有2種選擇； 第三類：A在第三壟，B有1種選擇，同理A、B位置互換，共12種。

【例4】從6雙不同顏色的手套中任取4只，其中恰好有一雙同色的取法有多少種？（A)240(B)180(C)120(D)60 分析：顯然本題應(yīng)分步解決。

（一）從6雙中選出一雙同色的手套，有6種方法；

（二）從剩下的十只手套中任選一只，有10種方法。

（三）從除前所涉及的兩雙手套之外的八只手套中任選一只，有8種方法；

（四）由于選取與順序無(wú)關(guān)，因

（二）（三）中的選法重復(fù)一次，因而共240種?；蚍植?/p>

⑴從6雙中選出一雙同色的手套，有C（6,1）=6種方法 ⑵從剩下的5雙手套中任選兩雙，有C（5,2）=10種方法

⑶從兩雙中手套中分別拿兩只手套，有C（2,1）3C（2,1）=4種方法。同樣得出共⑴3⑵3⑶=240種。

【例5】．身高互不相同的6個(gè)人排成2橫行3縱列，在第一行的每一個(gè)人都比他同列的身后的人個(gè)子矮，則所有不同的排法種數(shù)為_______。分析：每一縱列中的兩人只要選定，則他們只有一種站位方法，因而每一縱列的排隊(duì)方法只與人的選法有關(guān)系，共有三縱列，從而有C（6,2）3C（4,2）3C（2,2）=90種。

【例6】在11名工人中，有5人只能當(dāng)鉗工，4人只能當(dāng)車工，另外2人能當(dāng)鉗工也能當(dāng)車工?，F(xiàn)從11人中選出4人當(dāng)鉗工，4人當(dāng)車工，問共有多少種不同的選法? 分析：采用加法原理首先要做到分類不重不漏，如何做到這一點(diǎn)？分類的標(biāo)準(zhǔn)必須前后統(tǒng)一。

以兩個(gè)全能的工人為分類的對(duì)象，考慮以他們當(dāng)中有幾個(gè)去當(dāng)鉗工為分類標(biāo)準(zhǔn)。第一類：這兩個(gè)人都去當(dāng)鉗工，C（2,2）3C（5,2）3C（4,4）=10種； 第二類：這兩個(gè)人都去當(dāng)車工，C（5,4）3C（2,2）3C（4,2）=30種； 第三類：這兩人既不去當(dāng)鉗工，也不去當(dāng)車工C（5,4）3C（4,4）=5種。

第四類：這兩個(gè)人一個(gè)去當(dāng)鉗工、一個(gè)去當(dāng)車工，C（2,1）3C（5,3）3C（4,3）=80種；

第五類：這兩個(gè)人一個(gè)去當(dāng)鉗工、另一個(gè)不去當(dāng)車工，C（2,1）3C（5,3）3C（4,4）=20種；

第六類：這兩個(gè)人一個(gè)去當(dāng)車工、另一個(gè)不去當(dāng)鉗工，C（5,4）3C（2,1）3C（4,3）=40種；

因而共有185種。

【例7】現(xiàn)有印著0，1，3，5，7，9的六張卡片，如果允許9可以作6用，那么從中任意抽出三張可以組成多少個(gè)不同的三位數(shù)? 分析：有同學(xué)認(rèn)為只要把0，1，3，5，7，9的排法數(shù)乘以2即為所求，但實(shí)際上抽出的三個(gè)數(shù)中有9的話才可能用6替換，因而必須分類。抽出的三數(shù)含0，含9，有32種方法； 抽出的三數(shù)含0不含9，有24種方法； 抽出的三數(shù)含9不含0，有72種方法； 抽出的三數(shù)不含9也不含0，有24種方法。因此共有32+24+72+24=152種方法。

【例8】停車場(chǎng)劃一排12個(gè)停車位置，今有8輛車需要停放，要求空車位連在一起，不同的停車方法有多少種? 分析：把空車位看成一個(gè)元素，和8輛車共九個(gè)元素排列，因而共有A（9,9）=362880種停車方法。特殊優(yōu)先

特殊元素，優(yōu)先處理；特殊位置，優(yōu)先考慮。【例9】六人站成一排，求

⑴甲、乙既不在排頭也不在排尾的排法數(shù)

⑵甲不在排頭，乙不在排尾，且甲乙不相鄰的排法數(shù) 分析：⑴按照先排出首位和末尾再排中間四位分步計(jì)數(shù) 第一步：排出首位和末尾、因?yàn)榧滓也辉谑孜缓湍┪?，那么首位和末尾?shí)在其它四位數(shù)選出兩位進(jìn)行排列、一共有A（4,2）=12種；

第二步：由于六個(gè)元素中已經(jīng)有兩位排在首位和末尾，因此中間四位是把剩下的四位元素進(jìn)行順序排列，共A（4,4）=24種；

根據(jù)乘法原理得即不再排頭也不在排尾數(shù)共12324=288種。⑵第一類：甲在排尾，乙在排頭，有A（4,4）種方法。第二類：甲在排尾，乙不在排頭，有33A（4,4）種方法。第三類：乙在排頭，甲不在排尾，有33A（4,4）種方法。

第四類：甲不在排尾也不在排頭，乙不在排頭也不在排尾，有63A（4,4）種方法（排除相鄰）。

共A（4,4）+33A（4,4）+33A（4,4）+63A（4,4）=312種。

【例10】對(duì)某件產(chǎn)品的6件不同正品和4件不同次品進(jìn)行一一測(cè)試，至區(qū)分出所有次品為止。若所有次品恰好在第五次測(cè)試時(shí)被全部發(fā)現(xiàn)，則這樣的測(cè)試方法有多少種可能? 分析：本題意指第五次測(cè)試的產(chǎn)品一定是次品，并且是最后一個(gè)次品，因而第五次測(cè)試應(yīng)算是特殊位置了，分步完成。

第一步：第五次測(cè)試的有C（4,1）種可能； 第二步：前四次有一件正品有C（6,1）中可能。第三步：前四次有A（4,4）種可能?！?共有576種可能。捆綁與插空

【例11】8人排成一隊(duì) ⑴甲乙必須相鄰 ⑵甲乙不相鄰

⑶甲乙必須相鄰且與丙不相鄰 ⑷甲乙必須相鄰，丙丁必須相鄰 ⑸甲乙不相鄰，丙丁不相鄰

分析：⑴甲乙必須相鄰，就是把甲乙 捆綁（甲乙可交換）和7人排列A（7,7）3A（2，2）

⑵甲乙不相鄰，A（8,8）-A（7,7）32?；駻（6,6）3A(7,2)

⑶甲乙必須相鄰且與丙不相鄰，先求甲乙必須相鄰且與丙相鄰A（6,6）3232 甲乙必須相鄰且與丙不相鄰A（7,7）32-A（6,6）3232 ⑷甲乙必須相鄰，丙丁必須相鄰A（6,6）3232

⑸甲乙不相鄰，丙丁不相鄰，A（8,8）-A（7,7）3232+A（6,6）3232

【例12】某人射擊8槍，命中4槍，恰好有三槍連續(xù)命中，有多少種不同的情況? 分析：∵ 連續(xù)命中的三槍與單獨(dú)命中的一槍不能相鄰，因而這是一個(gè)插空問題。另外沒有命中的之間沒有區(qū)別，不必計(jì)數(shù)。即在四發(fā)空槍之間形成的5個(gè)空中選出2個(gè)的排列，即A（5,2）。

【例13】 馬路上有編號(hào)為l，2，3，??，10 十個(gè)路燈，為節(jié)約用電又看清路面，可以把其中的三只燈關(guān)掉，但不能同時(shí)關(guān)掉相鄰的兩只或三只，在兩端的燈也不能關(guān)掉的情況下，求滿足條件的關(guān)燈方法共有多少種? 分析：即關(guān)掉的燈不能相鄰，也不能在兩端。又因?yàn)闊襞c燈之間沒有區(qū)別，因而問題為在7盞亮著的燈形成的不包含兩端的6個(gè)空中選出3個(gè)空放置熄滅的燈。∴ 共C（6,3）=20種方法。方法二：

把其中的3只燈關(guān)掉總情況有C（8，3)種 關(guān)掉相鄰的三只有C（6，1)種

關(guān)掉相鄰的兩只有2*C（7，2)-12種

所以滿足條件的關(guān)燈方法有:

C（8，3)-C（6，1)-[2*C（7，2)-12]

=56-6-(42-12)

=20種 間接計(jì)數(shù)法 ⑴排除法

【例14】三行三列共九個(gè)點(diǎn)，以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)可組成多少個(gè)三角形? 分析：有些問題正面求解有一定困難，可以采用間接法。

所求問題的方法數(shù)=任意三個(gè)點(diǎn)的組合數(shù)-共線三點(diǎn)的方法數(shù)，∴ 共76種。

【例15】正方體8個(gè)頂點(diǎn)中取出4個(gè)，可組成多少個(gè)四面體? 分析：所求問題的方法數(shù)=任意選四點(diǎn)的組合數(shù)-共面四點(diǎn)的方法數(shù)，∴ 共C（8,4）-12=70-12=58個(gè)。

【例16】1，2，3，??，9中取出兩個(gè)分別作為對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，可組成多少個(gè)不同數(shù)值的對(duì)數(shù)? 分析：由于底數(shù)不能為1。

⑴當(dāng)1選上時(shí)，1必為真數(shù)，∴ 有一種情況。

⑵當(dāng)不選1時(shí)，從2--9中任取兩個(gè)分別作為底數(shù)，真數(shù)，共A（8,2）=56，其中l(wèi)og2為底4=log3為底9，log4為底2=log9為底3,log2為底3=log4為底9,log3為底2=log9為底4.因而一共有56-4+1=53個(gè)。

【例17】 六人排成一排，要求甲在乙的前面，（不一定相鄰），共有多少種不同的方法? 如果要求甲乙丙按從左到右依次排列呢? 分析：

（一）實(shí)際上，甲在乙的前面和甲在乙的后面兩種情況對(duì)稱，具有相同的排法數(shù)。因而有A(6，6)/2=360種。

（二）先考慮六人全排列A(6,6)種；其次甲乙丙三人實(shí)際上只能按照一種順序站位，因而前面的排法數(shù)重復(fù)了A(3,3)種，∴ 有A(6，6)/A(3,3)=120種。

【例18】5男4女排成一排，要求男生必須按從高到矮的順序，共有多少種不同的方法? 分析：首先不考慮男生的站位要求，共A（9,9）種；男生從左至右按從高到矮的順序，只有一種站法，因而上述站法重復(fù)了A(5,5)次。因而有A(9,9,)/A(5,5,)=9383736=3024種 若男生從右至左按從高到矮的順序，只有一種站法，同理也有3024種，綜上，有6048種。

【例19】 三個(gè)相同的紅球和兩個(gè)不同的白球排成一行，共有多少種不同的方法? 分析：先認(rèn)為三個(gè)紅球互不相同，共A（5,5）=120種方法。

而由于三個(gè)紅球所占位置相同的情況下，共A（3,3）=6變化，因而共A（5,5）/A（3,3）=20種。

公式P是指排列，從N個(gè)元素取R個(gè)進(jìn)行排列（即排序）。（P是舊用法，教材上多用A，Arrangement)公式C是指組合，從N個(gè)元素取R個(gè)，不進(jìn)行排列（即不排序）。擋板的使用

【例20】10個(gè)名額分配到八個(gè)班，每班至少一個(gè)名額，問有多少種不同的分配方法? 分析：把10個(gè)名額看成十個(gè)元素，在這十個(gè)元素之間形成的九個(gè)空中，選出七個(gè)位置放置檔板，則每一種放置方式就相當(dāng)于一種分配方式。因而共36種。區(qū)別與聯(lián)系

所有的排列都可以看作是先取組合，再做全排列；同樣，組合如補(bǔ)充一個(gè)階段（排序）可轉(zhuǎn)化為排列問題。

【例21】用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，⑴可組成多少個(gè)不同的四位數(shù)? ⑵可組成多少個(gè)不同的四位偶數(shù)

⑶可組成多少個(gè)能被3整除的四位數(shù)? 分析：⑴有A（6,4）-A（5,3）=300個(gè)。

⑵分為兩類：0在末位，則有A（5,3）=60種：0不在末位，則有C（2,1）3A（5,3）-C（2,1）3A（4,2）=96種。∴ 共60+96=156種。

⑶先把四個(gè)相加能被3整除的四個(gè)數(shù)從小到大列舉出來(lái)，即先選 0，1，2，3 0，1，3，5 0，2，3，4 0，3，4，5 1，2，4，5 它們排列出來(lái)的數(shù)一定可以被3整除，再排列，有：43[A（4,4）-A（3,3）]+A（4,4）=96種。分組問題

【例22】 5名學(xué)生分配到4個(gè)不同的科技小組參加活動(dòng)，每個(gè)科技小組至少有一名學(xué)生參加，則分配方法共有多少種？

分析：

（一）先把5個(gè)學(xué)生分成二人，一人，一人，一人各一組。

其中涉及到平均分成四組，有C（5,3）=10種分組方法。可以看成4個(gè)板三個(gè)板不空的隔板法。

（二）再考慮分配到四個(gè)不同的科技小組，有A（4,4）=24種，由

（一）（二）可知，共10324=240種。幾何問題

【例23】某區(qū)有7條南北向街道，5條東西向街道（如右圖）⑴圖中共有多少個(gè)矩形？

⑵從A點(diǎn)到B點(diǎn)最近的走法有多少種？

分析：⑴在7條豎線中任選2條，5條橫線中任選2條，這樣4條線 可組成1個(gè)矩形，故可組成矩形C（7,2）2C（5,2）=210個(gè)

⑵每條東西向的街道被分成4段，每條南北向的街道被分成6段，從A到B最短的走法，無(wú)論怎樣走，一定包括10段，其中6段方向相同，另外4段方向相同，每種走法，即是從10段中選出6段，這6段是走東西方向的，共有C（10,6）=C（10,4）=210種走法（同樣可以從10段中選出4段走南北方向，每一種選法即是1種走法）。所以共有210種走法?？谠E

排列、組合、二項(xiàng)式定理公式口訣：

加法乘法兩原理，貫穿始終的法則。與序無(wú)關(guān)是組合，要求有序是排列。[4] 兩個(gè)公式兩性質(zhì)，兩種思想和方法。歸納出排列組合，應(yīng)用問題須轉(zhuǎn)化。排列組合在一起，先選后排是常理。特殊元素和位置，首先注意多考慮。不重不漏多思考，捆綁插空是技巧。排列組合恒等式，定義證明建模試。關(guān)于二項(xiàng)式定理，中國(guó)楊輝三角形。兩條性質(zhì)兩公式，函數(shù)賦值變換式。四，概率問題（基于排列組合）

（一）基礎(chǔ)計(jì)算題

（二）分步乘法型=滿足條件的每個(gè)步驟的概率之積（猜密碼）；

（三）分類加法型=總體概率=滿足條件的各種情況概率之和（比賽問題）；

（四）逆向計(jì)算型=某條件成立概率=1-該條件不成立的概率；

（五）拓展技巧型

1.幾何概率：滿足條件的概率=滿足條件的幾何區(qū)域面積（總幾何面積）； 2.條件概率：“A成立”時(shí)，“B成立”的概率=“A,B同時(shí)成立的概率/A成立的概率”； 3.概率期望值：各個(gè)實(shí)現(xiàn)值乘以各自成立的概率，最后再相加。五，抽屜原理

1.最不利原則：考慮對(duì)于需要滿足的條件的“最不利情況”，最后加“1”即可； 2.遇到有排列組合的，先算出排列組合再算最不利原則。

第七章 比例計(jì)算模塊 一，溶液?jiǎn)栴}—基本方法—十字相乘（注意飽和溶液陷阱）1.混合稀釋型

③ 溶液倒出比例為a％的溶液，再加入相同的溶液，則濃度變?yōu)椋?-a％； ④ 溶液加入比例為a％的溶液，再倒出相同的溶液，則濃度變?yōu)椋?/1+a％ 2.在濃有關(guān)度問題中，有類題目不涉及具體溶液總量，只涉及溶質(zhì)和溶液的相對(duì)比例，通常令其中的“不變量”或者“相等量”為一特值，簡(jiǎn)化計(jì)算過程。行測(cè)考試中，“溶液?jiǎn)栴}”是一類典型的“比例型”計(jì)算問題，大家首先要熟悉“溶液”、“溶質(zhì)”和“溶劑”三者的關(guān)系，這是解題的基礎(chǔ)和關(guān)鍵，然后考生還需掌握溶液?jiǎn)栴}常用的方法和技巧，比如方程法，賦值法等。

一、需要掌握的關(guān)鍵點(diǎn)

溶液=溶質(zhì)+溶劑;濃度=溶質(zhì)÷溶液;

溶質(zhì)=溶液3濃度;溶液=溶質(zhì)÷濃度

二、重點(diǎn)題型

溶質(zhì)不變型(簡(jiǎn)單溶液混合、等溶質(zhì)增減溶劑、溶液比例問題)

溶質(zhì)變化型(混合稀釋問題)

飽和濃度型

三、重點(diǎn)方法

簡(jiǎn)單溶液混合：運(yùn)用溶液基本概念或基礎(chǔ)公式

等溶質(zhì)增減溶劑：設(shè)處溶質(zhì)，得出溶液，即可解決

溶液比例問題：運(yùn)用設(shè)整思想，根據(jù)所給條件將溶質(zhì)或者溶液設(shè)出

溶質(zhì)變化混合稀釋問題：抓住濃度本質(zhì)，看溶質(zhì)最后剩下多少就能快速得到答案

四、例題鞏固

1、溶質(zhì)不變型

例：一容器內(nèi)有濃度為30%的糖水，若再加入30千克水與6千克糖。則糖水的濃度變?yōu)?5%。問原來(lái)糖水中含糖多少千克?()

A.15千克 B.18千克

C.21千克 D.24千克

【答案】B

【講授說(shuō)明】方程法。設(shè)原有糖水里糖為3X，則糖水的質(zhì)量為10X，(3X+6)÷(10X+36)=25%?？芍?X=18，原有糖水中含糖18千克。

2、溶質(zhì)變化型

例：杯中原有濃度為18%的鹽水溶液100ml，重復(fù)以下操作2次，加入100ml水，充分配合后，倒出100ml溶液，問杯中鹽水溶液的濃度變成了多少?

A.9% B.7.5% C.4.5% D.3.6%

【答案】C

【講授說(shuō)明】加入比例為1，則濃度為：18%3(1/2)2=4.5%,選擇C。

小結(jié)：等于混合稀釋型溶液?jiǎn)栴}，需記得下列兩個(gè)公式：

溶液到出比例為M的溶液，再加入相同的溶液，則濃度變成原來(lái)的(1-M)

溶液加入比例為M的溶劑，再倒出相同的溶液，則濃度變成原來(lái)的1/1+M

3、飽和濃度型

例：將28g某種溶質(zhì)放入99g水中恰好配成飽和溶液，從中取出溶液加入4g溶質(zhì)和11g水，請(qǐng)問此時(shí)濃度

A.21.61% B.22.05% C.23.53% D.24.15%

【答案】B

【講授說(shuō)明】由于99g水最多可溶解28g溶質(zhì)，則11g水最多可溶解28/9g溶質(zhì)，即小于4g的溶質(zhì)，因此飽和溶液加入4g和11g誰(shuí)為飽和溶液，故濃度為28/(28+99)=22.05%。

小結(jié)：判斷溶液的濃度，首先要判斷溶液是否飽和。特別是題目中出現(xiàn)“飽和”字眼，或再次加溶質(zhì)的問題，一定要判斷溶液是否飽和。

二，牛吃草問題

經(jīng)典公式：原有草量=（牛頭數(shù)-每天草長(zhǎng)量）*天數(shù)

草長(zhǎng)速度=（牛頭數(shù)1*吃草時(shí)間1-牛頭數(shù)2*吃草時(shí)間2）/（吃草時(shí)間1-吃草時(shí)間2）① 基本公式題型

牛頭數(shù)*天數(shù)=原有草量+每天草長(zhǎng)量*天數(shù)；

當(dāng)題干出現(xiàn)“連續(xù)不斷的開采”或“不至于枯竭”時(shí)，指的是時(shí)間整無(wú)窮大； ② 牛羊混吃型

將其全部轉(zhuǎn)化為牛或羊，再代入公式進(jìn)行計(jì)算； ③ 自然消亡型（不用牛吃草也可以自行消亡）

當(dāng)計(jì)算出草長(zhǎng)量為負(fù)數(shù)時(shí)，則不是自然生長(zhǎng)，而是自然消亡； ④ 大小草場(chǎng)型

如果草場(chǎng)有面積區(qū)別“如m頭牛吃w畝草”，則N用m/w表示； 將題干轉(zhuǎn)換成m/w頭牛，一畝地，吃多長(zhǎng)時(shí)間； ⑤ 增添型或撤減型

N出現(xiàn)階段性變化，則先算出總量，再根據(jù)：時(shí)間*（牛頭數(shù)-草長(zhǎng)速度）來(lái)計(jì)算； ⑥ 特殊變形

售票廳或收銀員問題（針對(duì)好每個(gè)量對(duì)應(yīng)牛吃草中的含義）；

行測(cè)秒殺技巧之“牛吃草”問題

【含義】 “牛吃草”問題是大科學(xué)家牛頓提出的問題，也叫“牛頓問題”。這類問題的特點(diǎn)在于要考慮草邊吃邊長(zhǎng)這個(gè)因素。

【數(shù)量關(guān)系】 草總量＝原有草量＋草每天生長(zhǎng)量3天數(shù)

【解題思路和方法】 解這類題的關(guān)鍵是求出草每天的生長(zhǎng)量。

例1 一塊草地，10頭牛20天可以把草吃完，15頭牛10天可以把草吃完。問多少頭牛5天可以把草吃完？

解 草是均勻生長(zhǎng)的，所以，草總量＝原有草量＋草每天生長(zhǎng)量3天數(shù)。求“多少頭牛5天可以把草吃完”，就是說(shuō)5 天內(nèi)的草總量要5 天吃完的話，得有多少頭牛？ 設(shè)每頭牛每天吃草量為1，按以下步驟解答：（1）求草每天的生長(zhǎng)量

因?yàn)椋环矫?0天內(nèi)的草總量就是10頭牛20天所吃的草，即（1310320）；另一方面，20天內(nèi)的草總量又等于原有草量加上20天內(nèi)的生長(zhǎng)量，所以

1310320＝原有草量＋20天內(nèi)生長(zhǎng)量

同理 1315310＝原有草量＋10天內(nèi)生長(zhǎng)量

由此可知（20－10）天內(nèi)草的生長(zhǎng)量為

1310320－1315310＝50

因此，草每天的生長(zhǎng)量為 50÷（20－10）＝5（2）求原有草量

原有草量＝10天內(nèi)總草量－10內(nèi)生長(zhǎng)量＝1315310－5310＝100

（3）求5 天內(nèi)草總量 5 天內(nèi)草總量＝原有草量＋5天內(nèi)生長(zhǎng)量＝100＋535＝125（4）求多少頭牛5 天吃完草

因?yàn)槊款^牛每天吃草量為1，所以每頭牛5天吃草量為5。

因此5天吃完草需要牛的頭數(shù) 125÷5＝25（頭）答：需要5頭牛5天可以把草吃完。

例2 一只船有一個(gè)漏洞，水以均勻速度進(jìn)入船內(nèi)，發(fā)現(xiàn)漏洞時(shí)已經(jīng)進(jìn)了一些水。如果有12個(gè)人淘水，3小時(shí)可以淘完；如果只有5人淘水，要10小時(shí)才能淘完。求17人幾小時(shí)可以淘完？

解 這是一道變相的“牛吃草”問題。與上題不同的是，最后一問給出了人數(shù)（相當(dāng)于“牛數(shù)”），求時(shí)間。設(shè)每人每小時(shí)淘水量為1，按以下步驟計(jì)算：（1）求每小時(shí)進(jìn)水量

因?yàn)椋?小時(shí)內(nèi)的總水量＝131233＝原有水量＋3小時(shí)進(jìn)水量 10小時(shí)內(nèi)的總水量＝135310＝原有水量＋10小時(shí)進(jìn)水量

所以，（10－3）小時(shí)內(nèi)的進(jìn)水量為 135310－131233＝14 因此，每小時(shí)的進(jìn)水量為 14÷（10－3）＝2（2）求淘水前原有水量

原有水量＝131233－3小時(shí)進(jìn)水量＝36－233＝30（3）求17人幾小時(shí)淘完

17人每小時(shí)淘水量為17，因?yàn)槊啃r(shí)漏進(jìn)水為2，所以實(shí)際上船中每小時(shí)減少的水量為（17－2），所以17人淘完水的時(shí)間是 30÷（17－2）＝2（小時(shí)）

答：17人2小時(shí)可以淘完水。

華圖差量法解讀牛吃草：

牛吃草問題是公務(wù)員考試中比較難的一類問題，常規(guī)的解決牛吃草問題的辦法是牛吃草公式，即y=（N-x）3T，其中y代表原有存量（比如原有草量），N代表促使原有存量減少的外生可變數(shù)（比如牛數(shù)），x代表存量的自然增長(zhǎng)速度（比如草長(zhǎng)速度），T代表存量完全消失所耗用時(shí)間。注意此公式中默認(rèn)了每頭牛吃草的速度為1。運(yùn)用此公式解決牛吃草問題的程序是列出方程組解題，具體過程不再詳細(xì)敘述，接下來(lái)我們從牛吃草公式本身出發(fā)看看此公式帶給我們的信息。

牛吃草公式可以變形為y+Tx=NT，此式子表達(dá)的意思是原有存量與存量增長(zhǎng)量之和等于消耗的總量，而一般來(lái)說(shuō)原有存量和存量的自然增長(zhǎng)速度是不變的，則在此假定條件下我們可以得到x△T=△(NT)，此式子說(shuō)明兩種不同吃草3方式的該變量等于對(duì)應(yīng)的兩種長(zhǎng)草方式的改變量，而且可以看出草生長(zhǎng)的改變量只與天數(shù)的變化有關(guān)，而牛吃草的改變量與牛的頭數(shù)和天數(shù)都有關(guān)。這個(gè)式子就是差量法解決牛吃草問題的基礎(chǔ)。例如：

例

1、有一塊牧場(chǎng)，可供10頭牛吃20天，15頭牛吃10天，則它可供多少頭牛吃4天？（）（2003年廣東公務(wù)員考試行測(cè)第14題）

A、20 B、25 C、30 D、35

這道題目用差量法求解過程如下：設(shè)可供x頭牛吃4天。則10頭牛吃20天和15頭牛吃10天兩種吃法的改變量為10320—15310,對(duì)應(yīng)的草生長(zhǎng)的改變量為20—10；我們還可以得到15頭牛吃10天和x頭牛吃4天兩種吃法的改變量為15310—4x,對(duì)應(yīng)的草生長(zhǎng)的改變量為10—4。則我們可以列出如下的方程：

=，解此方程可得x=30。

如果求天數(shù)，求解過程是一樣的，比如下面這道題目：

例

2、林子里有猴子喜歡吃的野果，23只猴子可以在9周內(nèi)吃光，21只猴子可以在12周內(nèi)吃光，問如果有33只猴子一起吃，則需要幾周吃光？（假定野果生長(zhǎng)的速度不變）（）（2007年浙江公務(wù)員考試行測(cè)A類第24題）

A、2周B、3周C、4周D、5周

這道題目可設(shè)需要x周吃光，則根據(jù)差量法列出如下比例式：

=，解此方程可得x=4.以上兩種情況是最常規(guī)的牛吃草問題，實(shí)際上牛吃草問題還有很多變形，比如有些時(shí)候牛吃草的速度會(huì)改變，但是依然可以用差量法解決。

例

3、一個(gè)水庫(kù)在年降水量不變的情況下，能夠維持全市12萬(wàn)人20年的用水量。在該市新遷入3萬(wàn)人之后，該水庫(kù)只夠維持15年的用水量，市政府號(hào)召節(jié)約用水，希望能將水庫(kù)的使用壽命提高到30年。那么，該市市民平均需要節(jié)約多少比例的水才能實(shí)現(xiàn)政府制定的目標(biāo)？（）（2009年國(guó)家公務(wù)員考試行測(cè)試卷第119題）

A、2/5

B、2/7

C、1/3

D、1/4

這道題目設(shè)該市市民需要節(jié)約x比例的水才能實(shí)現(xiàn)政府制定的目標(biāo)。則12萬(wàn)人20年和15萬(wàn)人15年兩種吃水方式的差為12320—15315，對(duì)應(yīng)的降水量的改變量為20—15；15萬(wàn)人30年與15萬(wàn)人15年兩種吃水方式的差為153（1—x）330-15315，對(duì)應(yīng)的降水量的改變量為30—15，則可列出如下的比例式：

=，解此方程得x=2/5。

如果改變的是草生長(zhǎng)的速度一樣可以用差量法解答。例如下面的例子：

例

4、在春運(yùn)高峰時(shí)，某客運(yùn)中心售票大廳站滿等待買票的旅客，為保證售票大廳的旅客安全，大廳入口處旅客排隊(duì)以等速度進(jìn)入大廳按次序等待買票買好票的旅客及時(shí)離開大廳。按照這種安排，如果開出10個(gè)售票窗口，5小時(shí)可使大廳內(nèi)所有旅客買到票；如果開出12個(gè)售票窗口，3小時(shí)可使大廳內(nèi)所有旅客買到票，假設(shè)每個(gè)窗口售票速度相同。如果大廳入口處旅客速度增加到原速度的1.5倍，在2小時(shí)內(nèi)使大廳中所有旅客買到票，按這樣的安排至少應(yīng)開售票窗口數(shù)為（）（2008年江蘇公務(wù)員考試行測(cè)試卷C類第19題）

A.15 B.16 C.18 D.19

此題設(shè)至少應(yīng)開售票窗口數(shù)為x。10個(gè)售票窗口5小時(shí)可使大廳內(nèi)所有旅客買到票和開出12個(gè)售票窗口3小時(shí)可使大廳內(nèi)所有旅客買到票兩種方式票的差量為5310—3312，對(duì)應(yīng)的旅客差量為5-3；10個(gè)售票窗口5小時(shí)可使大廳內(nèi)所有旅客買到票和大廳入口處旅客速度增加為原速度1.5倍時(shí)開出x個(gè)售票窗口2小時(shí)可使大廳內(nèi)所有旅客買到票這兩種方式的差量為5310—2x，對(duì)應(yīng)的旅客差量為5-231.5，則可列出下列比例式：

=

解得x=18。

除了上述兩種變形的情況以外，還有另外一種變形的牛吃草問題，即改變?cè)胁萘?。此種類型的題目表面上看似乎不能用差量法解了，實(shí)際上經(jīng)過簡(jiǎn)單的變換后依然可以用差量法解答，比如：

如果22頭牛吃33公畝牧場(chǎng)的草，54天后可以吃盡，17頭牛吃28公畝牧場(chǎng)的草，84天可以吃盡，那么要在24天內(nèi)吃盡40公畝牧場(chǎng)的草，需要多少頭牛？（）

A、50

B、46

C、38

D、35

根據(jù)題意我們可以知道40公畝牧場(chǎng)吃54天需要22340÷33=80/3頭牛，而40公畝牧場(chǎng)吃84天需要17340÷28=170/7頭牛，列出差量法的比例式如下：

=，解得x=35。

本例子中出現(xiàn)了不是整頭牛的情況，不太容易理解，實(shí)際上把消耗量的整體看作一個(gè)整體的話，牛的數(shù)目并不重要，只要計(jì)算出消耗草的能力即可。

綜上所述，差量法是一種比牛吃草公式更為簡(jiǎn)捷的辦法，而且對(duì)于所有變形的牛吃草問題都適用，是一種很值得推廣的方法。核心公式

【熟記】 牛吃草問題的核心公式：草場(chǎng)草量=（牛數(shù)－每天長(zhǎng)草量)×天數(shù)，通常設(shè)每天長(zhǎng)草量為x 基礎(chǔ)題型演練

【例1】有一塊牧場(chǎng)可供10頭牛吃20天；15頭牛吃10天；則它可供25頭牛吃？天

【解答】 根據(jù)核心公式：（10－x)×20=（15－x)×10=（25－x)×？

（10－x)×20=（15－x)×10→x=5

將x=5代入，?=5

【例2】有一塊牧場(chǎng)，可供10頭牛吃20天；15頭牛吃10天；則它可供?頭牛吃4天

【解答】 根據(jù)核心公式：（10－x)×20=（15－x)×10=（?－x)×4（10－x)×20=（15－x)×10→x=5

將x=5代入，?=30 較為復(fù)雜的情形

【例3】22頭牛吃33公畝牧場(chǎng)的草，54天可以吃盡；

17頭牛吃28公畝牧場(chǎng)的草，84天可以吃盡；

？頭牛吃40公畝牧場(chǎng)的草，24天可以吃盡？

A.50 B.46 C.38 D.35

【解答】 設(shè)每公畝牧場(chǎng)每天新長(zhǎng)出來(lái)的草可供x頭牛吃1天，每公畝牧草量為y 根據(jù)核心公式：33y=（22－33x)×54→y=（2－ 3x)×18=36－54x 28y=（17－28x)×84→y=（17－28x)× 3=51－84x

40y=（?－40x)×24 36－54x=51－84x→x=1/2→y=9

40×9=(?-20)×24→?=35 其它情形 ：漏水問題，排隊(duì)等候問題...等均可看作這種問題。

三，鐘表問題

1.鐘表一圈分成12格，則時(shí)針每小時(shí)轉(zhuǎn)一格30°，分針12格/小時(shí)； 2.鐘表表面每?jī)筛裰g30°，時(shí)針與分針成某種角度都有對(duì)稱的兩種； 3.重合問題的實(shí)質(zhì)是追擊問題

4.快鐘，慢鐘問題，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間進(jìn)行對(duì)比（常用比例法）；

時(shí)鐘問題是一類古典題型，在行測(cè)考試中經(jīng)常出現(xiàn)。有關(guān)時(shí)鐘問題的題目中，考查得比較多的是表盤計(jì)算與快慢鐘計(jì)算問題，在本文中，華圖公務(wù)員[微博]考試研究中心將給出解決這兩類問題的思路方法。1.表盤計(jì)算

表盤計(jì)算，主要涉及的是時(shí)間和指針(通常是時(shí)針和分針)角度的對(duì)應(yīng)關(guān)系。我們知道，n點(diǎn)時(shí)，分針與時(shí)針之間的角度為30n度(這個(gè)度數(shù)是指分針沿順時(shí)針方向到時(shí)針的度數(shù))；同時(shí)，時(shí)針每分鐘走0.5°，分針每分鐘走6°，所以過m分時(shí)，分針比時(shí)針多走度(6-0.5)m=5.5m，因此，n點(diǎn)m分時(shí)，時(shí)針和分針之間的角度就應(yīng)該是30n-5.5m度(這個(gè)度數(shù)仍然是指分針沿順時(shí)針方向到時(shí)針的度數(shù))。

這樣，我們就得到了關(guān)于表盤計(jì)算的核心公式：n點(diǎn)m分，時(shí)針和分針之間的角度為30n-5.5m度，利用該公式，我們可以輕松解決很多行測(cè)考試中的表盤指針計(jì)算問題。關(guān)于該公式的使用，需注意以下兩點(diǎn)：1.該公式算出的度數(shù)為分針沿順時(shí)針方向到時(shí)針的度數(shù)，因此，若算出的角度為負(fù)數(shù)，則取其絕對(duì)值；若算出的角度大于180°，則用360°減去該角即可；2.當(dāng)時(shí)間為12點(diǎn)時(shí)，取n=12或n=0皆可，但為了計(jì)算方便，往往取n=0。

【例3】(黑龍江2010)張某下午六時(shí)多外出買菜，出門時(shí)看手表，發(fā)現(xiàn)表的時(shí)針和分針的夾角為110°，七時(shí)前回家時(shí)又看手表，發(fā)現(xiàn)時(shí)針和分針的夾角仍是110°，那么張某外出買菜用了多少分鐘？()A.20分鐘 B.30分鐘C.40分鐘 D.50分鐘 [答案]C

2.快慢鐘計(jì)算

鐘表問題中，常常涉及到的第二類問題就是快慢鐘問題?？炻姷漠a(chǎn)生，是因快(慢)鐘走的速度與標(biāo)準(zhǔn)鐘走的速度不同導(dǎo)致的，所以，快慢鐘問題本質(zhì)上是比例行程問題，解決快慢鐘問題的關(guān)鍵，是抓住不同鐘表的“速度比”。

【例1】(深圳事業(yè)單位2010)火車速度為118千米/時(shí)，一位旅客的手表比標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間每小時(shí)要慢1分鐘，則在該旅客手表所顯示的2小時(shí)內(nèi)，火車跑了大約()千米。A.230 B.236 C.240 D.248 [答案]C

【例2】(河北2009)一個(gè)快鐘每小時(shí)比標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間快3分鐘，一個(gè)慢鐘每小時(shí)比標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間慢2分鐘。如果將兩個(gè)鐘同時(shí)調(diào)到標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間，結(jié)果在24小時(shí)內(nèi)，快鐘顯示11點(diǎn)整時(shí)，慢鐘顯示9點(diǎn)半。則此時(shí)標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間是()A.10點(diǎn)35分 B.10點(diǎn)30分C.10點(diǎn)15分 D.10點(diǎn)06分 [答案]D

【例3】(浙江2010)有一只怪鐘，每晝夜設(shè)計(jì)成10小時(shí)，每小時(shí)100分鐘。當(dāng)這只怪鐘顯示5點(diǎn)時(shí)，實(shí)際上是中午12點(diǎn)，當(dāng)這只怪鐘顯示8點(diǎn)50分鐘，實(shí)際上是什么時(shí)間？()A.17點(diǎn)50分 B.18點(diǎn)10分C.20點(diǎn)04分 D.20點(diǎn)24分 [答案]D

由以上例題可以看出，處理“已知時(shí)間，求角度”的問題，直接使用表盤計(jì)算公式計(jì)算即可，而在處理“已知角度，求時(shí)間”的問題時(shí)，分析出分針沿順時(shí)針方向到時(shí)針的度數(shù)是正確使用表盤計(jì)算公式的關(guān)鍵之處。

而對(duì)于快慢鐘問題，首先需根據(jù)已知條件找出不同鐘表的“速度比”，再根據(jù)“速度比”求出題目中要求的時(shí)間。只要掌握了以上兩種問題的處理方法，便能輕松應(yīng)對(duì)行測(cè)考試中的時(shí)鐘問題了。

第八章 初等數(shù)學(xué)模塊

一，最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)（短除法）

1.小數(shù)分?jǐn)?shù)型

① 將給定的小數(shù)和分?jǐn)?shù)乘以N（可以不是整數(shù)），使之全部變?yōu)檎麛?shù)； ② 求第一步得到的整數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)；

③ 將得到的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)分別除以N，即是結(jié)果； 2.約數(shù)個(gè)數(shù)型

如果將一個(gè)數(shù)進(jìn)行質(zhì)因數(shù)分解，把各個(gè)質(zhì)因數(shù)的冪次分別加1，再相乘，得到的數(shù)字就是這個(gè)數(shù)字的約數(shù)的個(gè)數(shù)，最小公約數(shù)為1，最大公約數(shù)為自己 例如：360=23*32*5，共有（3+1）*（2+1）*（1+1）=24個(gè)約數(shù)； 二，多位數(shù)字問題

代入排除法：逐位選擇型（考慮各個(gè)位置可以選擇的范圍，利用排列組合）頁(yè)碼數(shù)字型：利用公式 三位數(shù)頁(yè)碼公式—頁(yè)碼=字?jǐn)?shù)÷3+36，多位數(shù)表示型：100a+10b+c； 三，余數(shù)同余問題 1.代入排除法，2.余數(shù)等式型：被除數(shù)=除數(shù)*商+余數(shù)（0≤余數(shù)＜除數(shù)）3.余同加余，和同加和，差同補(bǔ)差，公倍數(shù)做周期

4.經(jīng)典題型：

在1000以內(nèi)除以3余2，除以7余3，除以11余4的數(shù)共有幾個(gè)？

挨個(gè)嘗試：滿足除以3 余2 的數(shù)有：2,5,8,11,14,17??；同時(shí)滿足除以7余3的第一個(gè)數(shù)是17，→同時(shí)滿足兩個(gè)條件的是21N+17；同理所求在21N+17中找第一個(gè)滿足除以11余4 的數(shù)是59，所以，同時(shí)滿足三個(gè)條件的數(shù)是：21N*11+59=231N+59.四，平均數(shù)值問題

核心公式：總和=平均數(shù)*個(gè)數(shù)，等差數(shù)列中，平均數(shù)=中位數(shù)； 1.總體平均數(shù)：直接利用公式，列方程解決； 2.等差中位數(shù) 若條件是給出“等差數(shù)列”，我們可以通過計(jì)算其“平均數(shù)”來(lái)得到數(shù)列的“中位數(shù)”； 3.參照相對(duì)數(shù)

當(dāng)數(shù)字較大時(shí)，我們可以以平均數(shù)作為參照，計(jì)算所有數(shù)字減去平均數(shù)之后的相對(duì)數(shù)字，用這個(gè)相對(duì)數(shù)字來(lái)代替原來(lái)的數(shù)字，這樣可以簡(jiǎn)化計(jì)算。五，星期日期問題 1.星期每七天一循環(huán)

2.“每隔N天”指的是“每N+1天”，但是“每隔N小時(shí)”，就是“每N小時(shí)”； ① 日期加總型：實(shí)質(zhì)是等差數(shù)列，注意跨年/跨月的情況； ② 日期推斷型，按整月計(jì)算，③ 星期推斷型，如果條件日期與提問日期相差不到一年，利用上述方法計(jì)算；

如果提問N年之后星期幾=N天之后（無(wú)閏年）；

如果之間有閏年，先按平年計(jì)算，再看之間經(jīng)過幾個(gè)2月29日； 六，循環(huán)周期

若一連串事物以“T”為周期，且“A÷T=N??a”,那么第A項(xiàng)等于第a項(xiàng)； ① 以7為分母的分?jǐn)?shù)，化為小數(shù)后，循環(huán)周期為6；

② 若算余數(shù)時(shí)出現(xiàn)整數(shù)，即余數(shù)為0，那就等同于周期的最后一項(xiàng)。

第九章 行程問題模塊

一，基礎(chǔ)計(jì)算型—方程，方程組，比例法（盡量多設(shè)未知數(shù)，多列方程）

（一）雙人運(yùn)動(dòng)型—比例法

（二）變速運(yùn)動(dòng)型—比例法

（三）提前出發(fā)型—提前多長(zhǎng)時(shí)間出發(fā)，就相當(dāng)于多用了多長(zhǎng)時(shí)間；

（四）遲到早到型—遲到多長(zhǎng)時(shí)間就多用多長(zhǎng)時(shí)間，早到多長(zhǎng)時(shí)間就少用多長(zhǎng)時(shí)間；

（五）火車運(yùn)動(dòng)型—橋長(zhǎng)+車長(zhǎng)；

（六）比例計(jì)算型—S甲/S乙=V甲/V乙*T甲/T乙，若T相等，S與V成正比；若V相等，S與T成反比；若S相等，V與T成反比；

（七）間歇運(yùn)動(dòng)型—考慮與選項(xiàng)相近的一個(gè)整周期，帶入其中進(jìn)行計(jì)算； 二，相對(duì)速度問題

相對(duì)速度問題中，帶入公式計(jì)算出的速度是兩個(gè)速度的和或差；

（一）相遇追擊型：

1.相遇問題：相遇距離=（大速度+小速度）*相遇時(shí)間； 2.追擊問題：追擊距離=（打速度-小速度）*相遇時(shí)間； 3.背離問題：背離距離=（打速度+小速度）*背離時(shí)間；

（二）環(huán)形運(yùn)動(dòng)型

1.反向運(yùn)動(dòng)：第N次相遇路程和為N個(gè)周長(zhǎng)

環(huán)形周長(zhǎng)=（大速度+小速度）*相遇時(shí)間； 2.同向運(yùn)動(dòng)：第N次相遇路程差為N個(gè)周長(zhǎng)

環(huán)形周長(zhǎng)=（大速度-小速度）*相遇時(shí)間；

（三）流水行船問題

1.順?biāo)篠=（V船+V水）*T順，V靜=（V順+V逆）/2； 2.逆水：S=（V船-V水）*T逆，V水=（V順-V逆）/2；

（四）上下扶梯型

1.順行：扶梯長(zhǎng)度=（V人+V梯）*V順，L梯=S人+S梯； 2.逆行：扶梯長(zhǎng)度=（V人-V梯）*V逆，L梯=S人-S梯；

（五）隊(duì)伍行進(jìn)型（同追擊，相遇）

（六）往返相遇型（畫圖數(shù)關(guān)鍵）1.兩端同時(shí)出發(fā)型

第N次迎面相遇，路程和=全程*（2N-1），第N次追擊相遇，路程差=全程*（2N-1）；

2.一端出發(fā)型

第N次迎面相遇，路程和=全程*2N，第N次追擊相遇，路程差=全程*2N;三，典型行程模塊

（一）等距離平均速度：V=2V1V2/V1+V2(結(jié)果略小于算數(shù)平均數(shù))，（二）等時(shí)間間隔發(fā)車

發(fā)車時(shí)間間隔=2V1V2/V1+V2=T，V車/V人=T1+T2/T1-T2；

（三）不變速沿途數(shù)車

計(jì)算出途中所見車輛的出發(fā)時(shí)間，從而確定可以遇到的車輛數(shù)，（四）不間歇相遇（只限兩次）1.單岸型：S=3S1+S2/2，2.兩岸型：S=3S1-S2；

（五）無(wú)動(dòng)力順?biāo)?/p>

漂流時(shí)間T=2T順*T逆/T逆-T順

行程問題經(jīng)典例題解析：

一、相遇問題 1.一次相遇

例1.甲、乙二人同時(shí)從相距54千米的A、B兩地同時(shí)相向而行，甲的速度為4千米/時(shí)，乙的速度為5千米/時(shí)。問：假設(shè)甲乙相遇地點(diǎn)為C，則CB相距多少千米?這一段路程和甲乙第一次相遇時(shí)乙走過的路程是什么關(guān)系? 解析：CB為30千米，即為到第一次相遇時(shí)乙走過的路程。甲再一次回到C點(diǎn)是從B到的C，故甲走過的路程實(shí)際上是一個(gè)全程加上CB，即54+30=84(千米);甲乙再一次相遇的時(shí)候，兩人走過的路程和為3倍的全程，每個(gè)人所走過的路程也是他第一次相遇時(shí)走過的路程的3倍，則甲走過的路程是2433=72(千米)(甲第一次相遇時(shí)走過的路程為436=24千米)。2.多次相遇

例2.甲從A地、乙從B地同時(shí)以均勻的速度相向而行，第一次相遇離A地6千米，繼續(xù)前進(jìn)，到達(dá)對(duì)方起點(diǎn)后立即返回，在離B地3千米處第二次相遇，則AB兩地相距多少千米? 解析：根據(jù)“多次相遇中的2倍關(guān)系”原理，可知甲從第一次相遇之后到第二次相遇走了632=12千米，在整個(gè)時(shí)間段內(nèi)甲走了6+12=18千米。因?yàn)榧资堑竭_(dá)B地之后返回，相遇地點(diǎn)距離B地3千米，因此AB兩地間的距離是18-3=15千米。3.環(huán)行相遇問題

例題3.甲、乙兩人同時(shí)從A點(diǎn)背向出發(fā)，沿400米環(huán)形跑道行走，甲每分鐘走80米，乙每分鐘走50米，兩人至少經(jīng)過多少分鐘才能在A點(diǎn)相遇?【2011-事業(yè)單位】 A.10 B.12 C.13 D.40 解析：甲、乙要在A點(diǎn)相遇，則甲、乙行走的路程必是400的整數(shù)倍，而甲乙的速度和是130米/分鐘，設(shè)所需時(shí)間為t，則有130t必然是400的倍數(shù)，排除A、B、C三項(xiàng)，選擇D。若正面求解：甲走一圈需400÷80=5分鐘;乙走一圈需400÷50=8分鐘，取5和8的最小公倍數(shù)，即40分鐘。

二、追及問題

1.兩者追及問題 例4.高速公路上行駛的汽車A的速度是100公里每小時(shí)，汽車B的速度是每小時(shí)120公里，此刻汽車A在汽車B前方80公里處，汽車A中途加油停車10分鐘后繼續(xù)向前行駛。那么從兩車相距80公里處開始，汽車B至少要多長(zhǎng)時(shí)間可以追上汽車A? A.2小時(shí) B.3小時(shí)10分 C.3小時(shí)50分 D.4小時(shí)10分

解析：汽車AB間的追及距離為80公里，當(dāng)A車加油停車時(shí)兩者的速度差為120公里每小時(shí)，當(dāng)A車行駛時(shí)兩者速度差為120-100=20公里每小時(shí)。A車加油的10分鐘B車追上1203 =20公里。剩下80-20=60公里，B車追上用時(shí)為60÷20=3小時(shí)。故汽車B至少要3小時(shí)10分鐘可以追上汽車A。

備考：相遇問題里面有多次相遇，那么追及里面的多次追及有沒有，如果有是怎么樣的情況? 1.環(huán)形追及問題

例5.甲乙分別在環(huán)形跑道的直徑上同時(shí)同向出發(fā)，環(huán)形跑道周長(zhǎng)為60米，甲得速度為60米/分，乙的速度為70米/分，那么乙要多少分鐘才能第二次追上甲? 解析：甲乙為追及問題，甲乙的速度差為10米/分，環(huán)形周長(zhǎng)為60米，所以第一次追上的追及路程為30米，所以用了3分鐘，第二次追上甲追及路程為一個(gè)環(huán)形跑道的周長(zhǎng)，即需要用6分鐘，那么總共用了9分鐘。

三、流水行船問題

例6.一客船往返于A、B兩地，已知A、B相距36千米，客船一往一返分別需要2小時(shí)和3小時(shí)，假設(shè)水流速度保持不變，求水流速度及船速分別是多少千米/小時(shí)? A.5，13 B.4，14 C.3，15 D.2，16 解析：設(shè)水速為x千米/小時(shí)，船的靜水速度是y千米/小時(shí)，則有下面兩個(gè)方程：，解得：x=3，y=15 備考：商場(chǎng)里面的扶梯問題;人在風(fēng)中行走?等也屬于流水行船問題。

四、牛吃草問題

例7.有一牧場(chǎng)長(zhǎng)滿牧草，每天牧草勻速生長(zhǎng)，這片牧場(chǎng)可供10頭牛吃20天，15頭牛吃10天，問可供25頭牛吃多少天? A.8 B.6 C.5 D.4 解析：此題為典型的牛吃草問題。設(shè)一頭牛一天吃草量為1，牧草的生長(zhǎng)速度為x，牧場(chǎng)可供25頭牛吃t天。根據(jù)題意可得(10-x)320=(15-x)310=(25-x)3t，由第一個(gè)等式解得x=5，代入x解得t=5天，故選擇C。

備考：池塘抽水問題;森林砍樹問題...也都屬于牛吃草問題。

五、時(shí)鐘問題

例8.四點(diǎn)半鐘后，時(shí)針與分針第一次成直線的時(shí)刻為()。

A.4點(diǎn)40分 B.4點(diǎn)45 分

C.4點(diǎn)54 分 D.4點(diǎn)57分

解析：時(shí)針一小時(shí)走30度，每分鐘走0.5度;分針1分鐘走6度。四點(diǎn)半時(shí)，時(shí)針與分針的夾角是45度，則第一次成直線需要(180-45)÷(6-0.5)=24又54又分時(shí)第一次成直線。

分，即4點(diǎn)備考：時(shí)鐘問題里面還常?？家粋€(gè)鐘壞了，經(jīng)過多少時(shí)間，壞鐘實(shí)際時(shí)間等。

六、接送問題

例9.AB兩個(gè)連隊(duì)同時(shí)分別從兩個(gè)營(yíng)地出發(fā)前往一個(gè)目的地進(jìn)行演習(xí)，A連有卡車可以轉(zhuǎn)載正好一個(gè)連的人員，為了讓兩個(gè)連隊(duì)的士兵同時(shí)盡快到達(dá)目的地，A連士兵坐車出發(fā)一定時(shí)間后下車讓卡車回去接B連的士兵，兩營(yíng)的士兵恰好同時(shí)到達(dá)目的地，已知營(yíng)地與目的地之間的距離為32千米，士兵行軍速度為8千米/小時(shí)，卡車行駛速度為40千米/小時(shí)，求兩營(yíng)士兵到達(dá)目的地一共要多少時(shí)間? 解析：由于卡車的速度為士兵行軍速度的5倍，因此卡車折回時(shí)已走的路程是B連士兵遇到卡車時(shí)已走路程的3倍，而卡車折回所走的路程是B連士兵遇到卡車時(shí)已走路程的2倍，卡車接到B連士兵后，還要行走3倍B連士兵遇到卡車時(shí)已走路程的才能追上A連士兵，此時(shí)他們已經(jīng)到達(dá)了目的地，因此總路程相當(dāng)于4倍B連士兵遇到卡車時(shí)已走路程，所以B連士兵遇到卡車時(shí)已走路程為8千米，而卡車的總行程為(3+2+3)38=64，這一段路，卡車行駛了64/40=1.6小時(shí)，即1小時(shí)36分鐘也是兩營(yíng)士兵到達(dá)目的地所花的時(shí)間。

第十章 幾何問題模塊 一，幾何公式法

1.幾何長(zhǎng)度

正方形周長(zhǎng)C正=4a，C長(zhǎng)=2（a+b），C圓=2πR，C扇=n/360°*2πR，2.幾何面積

S正=a2，S菱或正=（對(duì)角線1*對(duì)角線2）/2，S圓=πR2，S△=ah/2=absinc/2=acsinb/2=bcsina/2，S梯=（a+b）h/2，S扇=n°/360*πR2，S球表面積=4πR2=πD2，3.幾何體積

V正=a3，V長(zhǎng)=a*b*c，V球=4/3πR3，V棱柱=SH,V圓錐=1/3SH=1/3πR3，特殊勾股數(shù)：5,12,13；7,24,25；8,15,17；10,24,26； 二，割，補(bǔ)，平移（單一或組合使用）

1.分割求解型

將一個(gè)不規(guī)則的圖形分割成多個(gè)有規(guī)則的部分 2.嵌套求補(bǔ)型

當(dāng)兩個(gè)規(guī)則圖形存在包含關(guān)系的時(shí)候，大規(guī)則圖形挖去小規(guī)則圖形所剩下的形狀往往是不規(guī)則的，其面積一般是兩個(gè)有規(guī)則面積的差； 3.平移補(bǔ)齊型

4.立體切割型（利用空間想象）； 三，幾何特性法

1.一個(gè)幾何圖形，若其尺度為原來(lái)的M倍，則：

①內(nèi)角角度不變，②邊長(zhǎng)為原來(lái)的M倍，③面積原來(lái)的M2倍，④體積為原來(lái)的M3倍 2.①平面圖形中，若周長(zhǎng)一定，越接近于圓，面積越大； ②平面圖形中，若面積一定，越接近于圓，面積越??； ③立體圖形中，若表面積一定，越接近于球，體積越大； ④立體圖形中，若表面積一定，越接近于球，體積越小； 四，幾何極端問題

（一）植樹問題

1.單邊線性植樹，棵樹=總長(zhǎng)÷間隔+1；總長(zhǎng)=（棵樹-1）*間隔； 2.單邊環(huán)形植樹，棵樹=總長(zhǎng)÷間隔，總長(zhǎng)=棵樹*間隔； 3.單邊樓間植樹，棵樹=總長(zhǎng)÷間隔-1，總長(zhǎng)=（棵樹+1）*間隔；

（二）方陣問題

1.最外層 每條邊有M個(gè)人：

三角形 3M-3，五邊形 5M-5，四方形 4M-4，M邊型 MN-N，2.M排N列 長(zhǎng)方形方陣（實(shí)心）S總=M*N, 最外層：2M+2N-4，S總=M2，最外層：4N-4，① 無(wú)論是矩形，還是長(zhǎng)方形，相鄰兩圈差8人，② 在方陣中，總?cè)藬?shù)=N2=（最外層÷4+1）2，3.①M(fèi)排N列長(zhǎng)方形（一行一列），M*N-（M-1）*（N-1）； ②N排N列的方陣（一行一列），N2-（N-1）2； ③N排N列的方陣（最外一層），N2-（N-2）2； ④N排N列的方陣（最外二層），N2-（N-4）2；

（三）排隊(duì)型

隊(duì)伍有N人，A排在第M位，則A前面有M-1人，后面有N-M人，（四）爬樓梯問題

1.從地面爬到第N層樓，要爬N-1層，休息N-2次； 2.從M樓爬到N樓，要爬|M-N|層樓，休息|M-N|-1次；

（五）割繩子問題

一條繩子，對(duì)折N次，切M刀，分成X段，X=2的N次方*M+1（X必為奇數(shù)）；

（六）空間分割問題

1.N條直線分割平面或分割圓

當(dāng)N取1,2,3,4,5,6，7,8,9,10時(shí)，可把空間分成2,4,7,11，16,22,29,37,46,56份； 是一個(gè)差為2,3,4,5,6,7,8,9,10的二級(jí)等差數(shù)列； 2.N個(gè)圓分割平面

當(dāng)N取1,2,3,4,5,6,7,8,9,10時(shí)，可把平面分割成2,4,8,14,22,32,44,58,74,92份； 是一個(gè)差為2,4,6,8,10,12,14,16,18的二級(jí)等差數(shù)列；

第十一章 趣味雜題模塊

一，比賽問題

N支隊(duì)伍單循環(huán)，共有N*（N-1）/2場(chǎng)比賽，淘汰賽：注意輪空—最常用方法：

二，年齡問題（年齡差永遠(yuǎn)不會(huì)變）--盡可能根據(jù)條件多列方程 1.核心知識(shí)點(diǎn)

主要特點(diǎn)是：時(shí)間發(fā)生變化，年齡在增長(zhǎng)，但是年齡差始終不變。年齡問題往往是“和差”“差倍”等問題的綜合應(yīng)用。解題時(shí)，我們一定要抓住年齡差不變這個(gè)解題關(guān)鍵。解答年齡問題的一般方法：幾年后的年齡=大小年齡差÷倍數(shù)差－小年齡 ；

幾年前的年齡=小年齡－大小年齡差÷倍數(shù)差 ；

2.解題方法

（一）直接分析法

例題1：父親今年44歲，兒子今年16歲，當(dāng)父親的年齡是兒子的年齡的8倍時(shí)，父子的年齡和是多少？

A.36 B.54 C.99 D.162 【答案詳解】父子的年齡差是一個(gè)不變量，二者的年齡差為44-16=28歲。因此，當(dāng)父親的年齡是兒子的8倍時(shí)，兒子的年齡為28÷（8-1）=4歲，此時(shí)父子的年齡和為43（8+1）=36歲。

例題2：在一個(gè)家庭中有爸爸、媽媽、女兒和兒子。現(xiàn)在把所有成員的年齡加在一起是77歲，爸爸比媽媽大3歲，女兒比兒子大2歲。5年前，全家所有人的年齡總和是58歲?，F(xiàn)在爸爸的年齡是多少歲？ A.67 B.32 C.35 D.78 【答案詳解】根據(jù)5年前全家所有人的年齡和是58歲，可以推出現(xiàn)在全家人的年齡總和應(yīng)該是58+435=78歲。但實(shí)際上的年齡總和卻是77歲，差了1歲，說(shuō)明有一個(gè)人只長(zhǎng)了4歲，這個(gè)人只能是兒子（5年前尚未出生）。女兒就應(yīng)該是4+2=6歲，現(xiàn)在父母的年齡和是77-4-6=67歲，又知他們的年齡差是3歲，可求出爸爸的年齡是（67+3）÷2=35歲。

（二）方程法

例題3：1998年，甲的年齡是乙的年齡的4倍。2002年，甲的年齡是乙的年齡的3倍。問甲、乙二人2000年的年齡分別是多少歲? A．34歲，12歲 B．32歲，8歲 C．36歲，12歲 D．34歲，10歲

【答案詳解】設(shè)1998年乙的年齡是x歲，那么甲的年齡是4x歲。從1998年到2002年經(jīng)過了4年，兩個(gè)人都長(zhǎng)了4歲，那么這個(gè)時(shí)候，甲的年齡是4x+4歲，乙的年齡是x+4歲。由于甲的年齡是乙的 3倍，所以，4x+4=3（x+4），x=8。也就是說(shuō)1998年，乙的年齡是8歲，則2000年的年齡是10歲，直接選擇D。

（三）和差倍關(guān)系法

例題4：2004年小強(qiáng)小學(xué)畢業(yè)時(shí)正好12歲，媽媽40歲，多少年前媽媽的年齡正好是小強(qiáng)的5倍？

A.4 B.5 C.8 D.7 【答案詳解】媽媽和小強(qiáng)的年齡差為40-12=28歲；當(dāng)媽媽的年齡是小強(qiáng)的5倍時(shí)，媽媽與小強(qiáng)的年齡差就相當(dāng)于小強(qiáng)年齡的4倍，此時(shí)小強(qiáng)的年齡為28÷（5-1）=7歲。12-7=5，故5年前媽媽的年齡正好是小強(qiáng)的5倍。

（四）表格法 例題5：5年前甲的年齡是乙的3倍，10年前甲的年齡是丙的一半，若用y表示丙當(dāng)前的年齡，下列哪一項(xiàng)能表示乙當(dāng)前的年齡？

（五）數(shù)軸法

例題6：甲、乙兩人年齡不等，已知當(dāng)甲像乙現(xiàn)在這么大時(shí)，乙8歲；當(dāng)乙像甲現(xiàn)在這么大時(shí)，甲29歲。問今年甲的年齡為多少歲？ A．22 B．34 C．36 D．43

（六）代入排除法

例題7：張繁30多歲時(shí)她女兒出生，2008年她女兒的年齡是她的年齡5的倍數(shù)，2009年張繁多少歲？

A.61 B.51 C.62 D.52 【答案詳解】由題意可知，2008年張繁的年齡為5的倍數(shù)，因此2009年張繁的年齡除以5余1，排除C、D兩項(xiàng)。

若2008年張繁60歲，則她女兒為24歲，張繁36歲時(shí)女兒出生，符合題意，選擇A。

若2008年張繁50歲，則她女兒為20歲，張繁30歲時(shí)女兒出生，不符合題意，排除。