第一篇：數(shù)量關(guān)系方法總結(jié)

數(shù)

量

關(guān)

系

第一節(jié)

代入排除法

代入排除法： 范圍：

1、特征選項(xiàng)：年齡、不定方程、余數(shù)、多位數(shù)；

2、選項(xiàng)充分：?jiǎn)柗ㄌ卣鳎悍謩e、各位、比例。

3、兩項(xiàng)必代：只剩兩項(xiàng)時(shí)，代入一項(xiàng)即可

4、條件復(fù)雜：題長(zhǎng)、數(shù)多、關(guān)系亂，要么放棄要么代入 方法：

1、先排除：尾數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)、倍數(shù)

2、再代入：最值、好算

第二節(jié)

數(shù)字特性

一、奇偶特性

看答案是奇數(shù)還是偶數(shù)

1、和差：同奇同偶則為偶，一奇一偶才為奇，■和差同性很重要：a+b與a-b的奇偶性相同?！鲋攸c(diǎn)為和或者差，兩個(gè)數(shù)確定，做和做差奇偶同性

2、乘（除法不考慮奇偶）：

一個(gè)（至少一個(gè)）為偶數(shù)則為偶，全部為奇才為奇。三個(gè)數(shù)相乘，只要有一個(gè)數(shù)為偶，則乘積為偶；三個(gè)數(shù)都是奇數(shù)，則乘積為奇。

3、不定方程：看到ax+by=c,a,b,c可正可負(fù)，先看c的奇偶性，c為常數(shù)，可確定奇偶性，觀察式子左側(cè)，哪個(gè)的系數(shù)為偶數(shù)則乘積為偶數(shù)，可推算出剩余的數(shù)的奇偶性。

4、其他：

①質(zhì)數(shù)：逢質(zhì)必奇，2是唯一特殊的偶質(zhì)數(shù)；

②兩者相等：A和B相等，假設(shè)都為X，A=B=X，則A+B=2X為偶數(shù)； ③A是B的2倍：A是2的倍數(shù)，則A為偶數(shù)。知識(shí)點(diǎn)鏈接：整除判定法則

1、一般口訣發(fā)（3/9看各位和；4/8看末2/3位；2/5看末位）

2、懶得記口訣的可以用拆分法

要驗(yàn)證是否是a的倍數(shù)，只需要將它拆分成a的整數(shù)倍+（-）一個(gè)小數(shù)字，若小數(shù)字也能被a整除，原數(shù)即能被a整除。

3、復(fù)雜倍數(shù)用因式分解

判斷一個(gè)數(shù)能否15整除，只需要判斷它是3和5的倍數(shù)即可

注意：分解后的2個(gè)數(shù)必須互質(zhì)

二、倍數(shù)特性

范圍：

1、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)、比例、倍數(shù)

2、平均分配

方法：

1、A/B=m/n；A是m的倍數(shù)，B是n的倍數(shù)，則A加減B是m加減n的倍數(shù)

2、ax+b，若b是a的倍數(shù)，答案-b能被a整除；若b不是a的倍數(shù)，則答案不被a整除

第三節(jié)

方程法

一、普通方程：設(shè)小不設(shè)大、設(shè)中間量、求誰(shuí)設(shè)誰(shuí)；

二、不定方程（組）：

1、數(shù)字特性：奇偶特性；倍數(shù)特性、尾數(shù)法

2、代入排除：

3、不定方程組：先消元，轉(zhuǎn)化成不定方程

三、賦零法

1、范圍：不定方程組；未知數(shù)可以非整數(shù)；求的是算式；

2、方法：社方程中系數(shù)較復(fù)雜的未知數(shù)為零，解出其余未知數(shù)即可

第四節(jié)

工程問(wèn)題

一、給具體題型

1、識(shí)別：題干有效率，總量的具體值

2、方法：代公式，列方程求解，主要是計(jì)算難度大一點(diǎn)。

二、賦值總量型

1、識(shí)別：題干只給多個(gè)完工時(shí)間

2、方法：賦值總量——算出效率——列式求解

3、技巧：總量——設(shè)公倍數(shù)，公倍數(shù)難算用乘積。

四、賦值效率型

1、識(shí)別：題干給出效率比，效率倍數(shù)

2、方法：賦值效率——求出總量——列式求解

3、技巧：按照比例設(shè)效率，盡量設(shè)整數(shù)。

第五節(jié)

行程問(wèn)題

一、行程問(wèn)題

1、基礎(chǔ)公式：路程=速度*時(shí)間（s=v*t）（兩個(gè)變形：速度=路程/時(shí)間

時(shí)間=路程/速度）

2、平均速度：

平均速度=總路程/總時(shí)間

3、等距離平均速度：

V平均=（2V1*V2）/（V1+V2）

4、火車(chē)過(guò)橋（路程上有坑）：

①過(guò)車(chē)過(guò)橋的時(shí)間有多久：火車(chē)車(chē)頭到橋頭即為時(shí)間開(kāi)始0，火車(chē)車(chē)尾離開(kāi)橋尾的時(shí)間為t,，過(guò)橋時(shí)間為t ②火車(chē)運(yùn)動(dòng)的路程=車(chē)身長(zhǎng)度+橋長(zhǎng)=火車(chē)速度*過(guò)橋時(shí)間 ③火車(chē)在橋/隧道上的時(shí)間：橋長(zhǎng)-車(chē)長(zhǎng)=車(chē)速*在橋上的時(shí)間

知識(shí)點(diǎn)鏈接：

1、兩地之間有上下坡（無(wú)論上下坡多少次），且是往返，則可以直接用等距離平均公式

2、極端思維：上下坡比例不確定時(shí)，可以想象從家到學(xué)校幾乎只有下坡，從學(xué)校到家?guī)缀踔挥猩掀?知識(shí)點(diǎn)鏈接

相遇公式：路程和=速度和*相遇時(shí)間

直線相遇與環(huán)形相遇：相向而行/背向而行（環(huán)形）/反向而行，最終都會(huì)相遇。

1、直線相遇：兩個(gè)小動(dòng)物從兩端出發(fā)，速度分別為V1、V2，經(jīng)過(guò)t時(shí)間相遇，則V1*t+V2*t=（V1+V2）*t=S和

2、環(huán)形相遇：兩人同點(diǎn)背向而行，則V1*t+V2*t=1圈=S和

3、相遇公式：S和=V1*t+V2*t=（V1+V2）*t 追及公式：路程差=速度差*追擊時(shí)間

1、直線追及：兔子（速度為V快）追烏龜（速度為V慢）

則S差=V快*t追-V慢*t追=（V快-V慢）*t追

注意：S差是兩者進(jìn)入追及狀態(tài)最開(kāi)始的路程差，不需要考慮中途的路程差會(huì)變化之類(lèi)的

2、環(huán)形追及

公式：S差=V快-V慢）*t追

結(jié)論：同時(shí)同向出發(fā)，第n次追上，路程差就是n圈 知識(shí)點(diǎn)鏈接：

一、直線多次相遇

結(jié)論：

1、從兩頭出發(fā)往返第n次相遇，共走了（2n-1）個(gè)全程（即奇數(shù)個(gè)全程）。

2、從同一頭出發(fā)往返第n次相遇，共走了2n個(gè)全程

二、流水行船問(wèn)題

1、相關(guān)概念：V船即為船的自身速度；V水即為水流速度

2、公式：V順=V船+V水；V逆=V船-V水

V船=（V順+V逆）/2（相當(dāng)于等差數(shù)列中項(xiàng)），V水=（V順-V逆）/2

3、V靜即為船在靜水中的速度，V漂為船的漂流速度；V靜=V船：V漂=V水

二、比例行程

1、公式：S=V*t

2、結(jié)論：路程S定，則V和T成反比；V（T）一定，則S與T（V）成正比。

第六節(jié)

經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)問(wèn)題

一、基礎(chǔ)公式：利潤(rùn)=售價(jià)-成本

利潤(rùn)率=利潤(rùn)/成本

總價(jià)=單價(jià)*數(shù)量

折扣=折后價(jià)/折前價(jià)

二、拓展公式：售價(jià)=進(jìn)價(jià)*（1+利潤(rùn)率）注意：利潤(rùn)率有兩種考法：

1、數(shù)學(xué)中：利潤(rùn)率-利潤(rùn)/成本（進(jìn)價(jià)）

2、資料分析中：利潤(rùn)率=利潤(rùn)/售價(jià)（營(yíng)收）

三、折扣=折后價(jià)/折前價(jià)

其他說(shuō)法：降價(jià)30%=7折；降價(jià)到30%=3折

五、總價(jià)=單價(jià)*數(shù)量

類(lèi)似有總成本=單件成本*數(shù)量

總收入=單價(jià)售價(jià)*數(shù)量

總利潤(rùn)=單價(jià)利潤(rùn)*數(shù)量 必須帶單位才能同這樣的公式

六、分段計(jì)算

第七節(jié) 排列組合和概率

一、排列組合

分類(lèi)用加法（1或者2；要么……要么……），分步用乘法（1且2；先……再……）有序用排列A（不可互換），無(wú)序用組合C（可以互換）題型：

1、排隊(duì)： A.B.C.站一排，全排列；

要相鄰，捆綁法，先考慮可相鄰的； 不相鄰，插空法，先考慮可相鄰。

2、插板法：n個(gè)相同的物品分給m個(gè)人。

3、全錯(cuò)位排列（0、1、2、4、9、44），?？?和44，拓展了部分錯(cuò)位。

二、概率

1、給情況求情況數(shù)：概率=滿足要求的情況數(shù)/所有情況數(shù)

2、給概率求概率：分類(lèi)用加法，分不用乘法。

3、正面太難就從反面想，1-反面情況概率 知識(shí)點(diǎn)鏈接：

插板法：n個(gè)物品分給m個(gè)人，每個(gè)人至少分1個(gè)，總共有C（n-1，m-1）種情況

結(jié)論：將n個(gè)相同的物品看為n-1個(gè)空隙，m個(gè)人看成m-1個(gè)木板，故共有C（n-1，m-1）種情況

注意：若給每個(gè)人分多個(gè)物品，則先分一部分

第八節(jié)

容斥原理

一、公式

1、兩集合：A+B-AB=總數(shù)-都不

2、三集合標(biāo)準(zhǔn)公式（滿足兩個(gè)條件的給出三個(gè)數(shù)據(jù)）

A+B+C-AB-BC-AC+ABC=總數(shù)-都不

3、三集合非標(biāo)準(zhǔn)公式（滿足兩個(gè)條件的給出1個(gè)數(shù)據(jù)）

A+B+C-滿足兩個(gè)-滿足三個(gè)*2=總數(shù)-都不

二、畫(huà)圖

1、畫(huà)圓圈，標(biāo)數(shù)據(jù)，去重復(fù)

2、交叉部分重點(diǎn)標(biāo)注（從內(nèi)往外標(biāo)）

第九節(jié) 最值問(wèn)題

最不利情況+1 提問(wèn)：至少保證……

有m中情況，保證至少n，則每種取n-1，再加1。

第二篇：數(shù)量關(guān)系知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

山東省考數(shù)量關(guān)系常用知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

第一章 帶入與排除法 一，直接帶入法

直接帶入法常用于多位數(shù)問(wèn)題，不定方程問(wèn)題，同余問(wèn)題，年齡問(wèn)題，周期問(wèn)題，復(fù)雜行程問(wèn)題和和差倍比問(wèn)題，并與其它運(yùn)算方法相結(jié)合，帶入排除法不僅僅意味著把選項(xiàng)帶入題干，而且在計(jì)算過(guò)程中，一邊計(jì)算一邊比較答案選項(xiàng)，很可能算到一半答案就出來(lái)了。

二，倍數(shù)特性法

倍數(shù)特性法是一種特殊的帶入排除法

1，2，5—后一位； 4，25—后兩位； 8，,125—后三位 3—數(shù)字和除以三； 9—數(shù)字和除以9 7—末一位的兩倍與剩下的數(shù)之差為7的倍數(shù)

7--末三位與剩下數(shù)的差（大數(shù)減小數(shù)）是7的倍數(shù) 11—奇數(shù)位之和與偶數(shù)位之和的差是11的倍數(shù)（1）直接倍數(shù)法

兩個(gè)數(shù)的和為a，差為b，則兩個(gè)數(shù)分別為a+b/2，a-b/2.（2）因子倍數(shù)法

當(dāng)題干中涉及小數(shù)的時(shí)候，相乘不一定保留原來(lái)的倍數(shù)關(guān)系，2和5因子相乘后會(huì)消失，但是3,7,9,11,13等質(zhì)因子會(huì)一直存在

（3）比例倍數(shù)法（和差倍比）

若a:b=m:n，則說(shuō)明a占m份，是m的倍數(shù)；b占n份是n的倍數(shù)，(m與n互質(zhì))a+b占m+n份，是m+n的倍數(shù)，a-b占m-n份是m-n的倍數(shù) 三，綜合特性法

大小特性，奇偶特性，尾數(shù)特性，余數(shù)特性，冪次特性，質(zhì)數(shù)特性

（1）兩個(gè)數(shù)字和差為奇，二者奇偶相反；兩個(gè)數(shù)字和差為偶，二者奇偶相同。（2）兩個(gè)數(shù)字的和為奇數(shù)，二者差也為奇數(shù)；兩個(gè)數(shù)字和為偶數(shù)，二者差也為偶數(shù)

（3）正整數(shù)加，減，乘運(yùn)算中，每個(gè)數(shù)最后N位，經(jīng)過(guò)同樣運(yùn)算，可以得到結(jié)果最后N位

經(jīng)典例題：

奇偶運(yùn)算基本法則 【基礎(chǔ)】奇數(shù)±奇數(shù)= ； 偶數(shù)±偶數(shù)= ； 偶數(shù)±奇數(shù)= ； 奇數(shù)±偶數(shù)=。【推論】

一、任意兩個(gè)數(shù)的和如果是奇數(shù)，那么差也是奇數(shù)；如果和是偶數(shù)，那么差也是偶數(shù)。

二、任意兩個(gè)數(shù)的和或差是奇數(shù)，則兩數(shù)奇偶相反；和或差是偶數(shù)，則兩數(shù)奇偶相同。

倍數(shù)關(guān)系核心判定特征

如果，則 a是m 的倍數(shù)； b是n 的倍數(shù)。

如果，則 a是m 的倍數(shù)； b是n 的倍數(shù)。如果，則應(yīng)該是 m±n 的倍數(shù)。

【例1】?jī)蓚€(gè)數(shù)的差是2345，兩數(shù)相除的商是8，求這兩個(gè)數(shù)之和？（）

A.2353 B.2896 C.3015 D.3456

【解析】：兩個(gè)數(shù)的差為奇數(shù)，所以兩個(gè)數(shù)的和也應(yīng)該為奇數(shù)，排除掉B和D，兩數(shù)相除商為8，即a:b=8:1,所以a+b 是9的倍數(shù)，所以選C

【例2】：一單位組織員工乘車(chē)去泰山，要求每輛車(chē)上的員工數(shù)相等。起初，每輛車(chē)22人，結(jié)果有一人無(wú)法上車(chē);如果開(kāi)走一輛車(chē)，那么所有的旅行者正好能平均乘到其余各輛車(chē)上，已知每輛最多乘坐32人，請(qǐng)問(wèn)單位有多少人去了泰山？（）

A.269 B.352

C.478 D.529

【解析】：每輛車(chē)22人，結(jié)果有一人無(wú)法上車(chē)，即總?cè)藬?shù)除以22余1，也就是總?cè)藬?shù)-1能被22整除，即能同時(shí)被2和11整除，首先排除掉B和C，A和D減1后都能被2整除，只要看下能不能被11整除即可，所以答案為D.【例3】某公司去年有員工830人，今年男員工人數(shù)比去年減少6%，女員工人數(shù)比去年增加5%，員工總數(shù)比去年增加3人，問(wèn)今年男員工有多少人？

A.329 B.350

C.371 D.504

【解析】：這是2011年的國(guó)考題。如果設(shè)去年男員工人數(shù)為x時(shí)，那今年男員工人數(shù)則為（1-6%）x=0.94x。也就是說(shuō)今年男員工人數(shù)含有0.94的因子，即能被0.94整除，答案選A。

所以熟練掌握數(shù)字特性法對(duì)于解決某一類(lèi)數(shù)學(xué)運(yùn)算非常有效，所以考生須熟記幾個(gè)非常常用的特性，比如因子、倍數(shù)、因子、比例特性。

【例22】（江蘇2006B-76）在招考公務(wù)員中，A、B兩崗位共有32個(gè)男生、18個(gè)女生報(bào)考。已知報(bào)考A崗位的男生數(shù)與女生數(shù)的比為5：3，報(bào)考B崗位的男生數(shù)與女生數(shù)的比為2：1，報(bào)考A崗位的女生數(shù)是（）。A.15 B.16 C.12 D.10

【答案】C，【解析】報(bào)考A崗位的男生數(shù)與女生數(shù)的比為5：3，所以報(bào)考A崗位的女生人數(shù)是3的倍數(shù)，排除選項(xiàng)B和選項(xiàng)D；代入A可發(fā)現(xiàn)不符合題意，所以選擇C。【例23】（上海2004-12）下列四個(gè)數(shù)都是六位數(shù)，X是比10小的自然數(shù)，Y是零，一定能同時(shí)被2、3、5整除的數(shù)是多少？（）

A.XXXYXX B.XYXYXY C.XYYXYY D.XYYXYX

【答案】B，【解析】因?yàn)檫@個(gè)六位數(shù)能被 2、5整除，所以末位為0，排除A、D；因?yàn)檫@個(gè)六位數(shù)能被3整除，這個(gè)六位數(shù)各位數(shù)字和是3的倍數(shù)，排除C，選擇B?！纠?4】（山東2004-12）某次測(cè)驗(yàn)有50道判斷題，每做對(duì)一題得3分，不做或做錯(cuò)一題倒扣1分，某學(xué)生共得82分，問(wèn)答對(duì)題數(shù)和答錯(cuò)題數(shù)（包括不做）相差多少？（）A.33 B.39 C.17 D.16

【答案】D，【解析】答對(duì)的題目+答錯(cuò)的題目=50，是偶數(shù)，所以答對(duì)的題目與答錯(cuò)的題目的差也應(yīng)是偶數(shù)，但選項(xiàng)A、B、C都是奇數(shù)，所以選擇D。

【例25】（國(guó)2005一類(lèi)-

44、國(guó)2005二類(lèi)-44）小紅把平時(shí)節(jié)省下來(lái)的全部五分硬幣先圍成一個(gè)正三角形，正好用完，后來(lái)又改圍成一個(gè)正方形，也正好用完。如果正方形的每條邊比三角形的每條邊少用5枚硬幣，則小紅所有五分硬幣的總價(jià)值是多少元？（）A.1元 B.2元 C.3元 D.4元

【答案】C，【解析】因?yàn)樗械挠矌趴梢越M成三角形，所以硬幣的總數(shù)是3的倍數(shù)，所以硬幣的總價(jià)值也應(yīng)該是3的倍數(shù)，結(jié)合選項(xiàng)，選擇C。

【注一】很多考生還會(huì)這樣思考：“因?yàn)樗械挠矌趴梢越M成正方形，所以硬幣的總數(shù)是4的倍數(shù)，所以硬幣的總價(jià)值也應(yīng)該是4的倍數(shù)”，從而覺(jué)得答案應(yīng)該選D。事實(shí)上，硬幣的總數(shù)是4的倍數(shù)，一個(gè)硬幣是五分，所以只能推出硬幣的總價(jià)值是4個(gè)五分即兩角的倍數(shù)。

【注二】 本題中所指的三角形和正方形都是空心的。

【例26】（國(guó)2002A-6）1998年，甲的年齡是乙的年齡的4倍。2002年，甲的年齡是乙的年齡的3倍。問(wèn)甲、乙二人2000年的年齡分別是多少歲?（）

A.34歲，12歲 B.32歲，8歲 C.36歲，12歲 D.34歲，10歲

【答案】D，【解析】由隨著年齡的增長(zhǎng)，年齡倍數(shù)遞減，因此甲、乙二人的年齡比在3-4之間，選擇D。

【例27】（國(guó)2002B-8）若干學(xué)生住若干房間，如果每間住4人則有20人沒(méi)地方住，如果每間住8人則有一間只有4人住，問(wèn)共有多少名學(xué)生？（）。

A.30人 B.34人 C.40人 D.44人

【答案】D，【解析】由每間住4人，有20人沒(méi)地方住，所以總?cè)藬?shù)是4的倍數(shù)，排除A、B；由每間住8人，則有一間只有4人住，所以總?cè)藬?shù)不是8的倍數(shù)，排除C，選擇D。

【例28】（國(guó)2000-29）一塊金與銀的合金重250克，放在水中減輕16克?，F(xiàn)知金在水中重量減輕1/19，銀在水中重量減輕1／10，則這塊合金中金、銀各占的克數(shù)為多少克？（）A.100克，150克 B.150克，100克 C.170克，80克 D.190克，60克 【答案】D，【解析】現(xiàn)知金在水中重量減輕1/19，所以金的質(zhì)量應(yīng)該是19的倍數(shù)。結(jié)合選項(xiàng)，選擇D。

【例29】（國(guó)1999-35）師徒二人負(fù)責(zé)生產(chǎn)一批零件，師傅完成全部工作數(shù)量的一半還多30個(gè)，徒弟完成了師傅生產(chǎn)數(shù)量的一半，此時(shí)還有100個(gè)沒(méi)有完成，師徒二人已經(jīng)生產(chǎn)多少個(gè)？（）A.320 B.160 C.480 D.580

【答案】C，【解析】徒弟完成了師傅生產(chǎn)數(shù)量的一半，因此師徒二人生產(chǎn)的零件總數(shù)是3的倍數(shù)。結(jié)合選項(xiàng)，選擇C。

【例30】（浙江2005-24）一只木箱內(nèi)有白色乒乓球和黃色乒乓球若干個(gè)。小明一次取出5個(gè)黃球、3個(gè)白球，這樣操作N次后，白球拿完了，黃球還剩8個(gè)；如果換一種取法：每次取出7個(gè)黃球、3個(gè)白球，這樣操作M次后，黃球拿完了，白球還剩24個(gè)。問(wèn)原木箱內(nèi)共有乒乓球多少個(gè)?（）A.246個(gè) B.258個(gè) C.264個(gè) D.272個(gè)

【答案】C，【解析】每次取出7個(gè)黃球、3個(gè)白球，這樣操作M次后，黃球拿完了，白球還剩24個(gè)。因此乒乓球的總數(shù)=10M+24，個(gè)位數(shù)為4，選擇C。

【例34】（北京社招2005-11）兩個(gè)數(shù)的差是2345，兩數(shù)相除的商是8，求這兩個(gè)數(shù)之和？（）A.2353 B.2896 C.3015 D.3456 【答案】C，【解析】?jī)蓚€(gè)數(shù)的差是2345，所以這兩個(gè)數(shù)的和應(yīng)該是奇數(shù)，排除B、D。兩數(shù)相除得8，說(shuō)明這兩個(gè)數(shù)之和應(yīng)該是9的倍數(shù)，所以答案選擇C。

【例35】（北京社招2005-13）某劇院有25排座位，后一排比前一排多2個(gè)座位，最后一排有70個(gè)座位。這個(gè)劇院共有多少個(gè)座位？（）A.1104 B.1150 C.1170 D.1280 【答案】B，【解析】劇院的總?cè)藬?shù)，應(yīng)該是25個(gè)相鄰偶數(shù)的和，必然為25的倍數(shù)，結(jié)合選項(xiàng)選擇B。

【例36】（北京社招2005-17）一架飛機(jī)所帶的燃料最多可以用6小時(shí)，飛機(jī)去時(shí)順風(fēng)，速度為1500千米/時(shí)，回來(lái)時(shí)逆風(fēng)，速度為1200千米/時(shí)，這架飛機(jī)最多飛出多少千米，就需往回飛？（）A.2000 B.3000 C.4000 D.4500 【答案】C，【解析】逆風(fēng)飛行的時(shí)間比順風(fēng)飛行的時(shí)間長(zhǎng)，逆風(fēng)飛行超過(guò)3小時(shí)，順風(fēng)不足3小時(shí)。飛機(jī)最遠(yuǎn)飛行距離少于150033＝4500千米；飛機(jī)最遠(yuǎn)飛行距離大于120033＝3600千米。結(jié)合選項(xiàng)，選擇C。

【例37】（北京社招2005-20）紅星小學(xué)組織學(xué)生排成隊(duì)步行去郊游，每分鐘步行60米，隊(duì)尾的王老師以每分鐘步行150米的速度趕到排頭，然后立即返回隊(duì)尾，共用10分鐘。求隊(duì)伍的長(zhǎng)度？（）A.630米 B.750米 C.900米 D.1500米 【答案】A，【解析】王老師從隊(duì)尾趕到隊(duì)頭的相對(duì)速度為150+60＝210米／分；王老師從隊(duì)頭趕到隊(duì)尾的相對(duì)速度為150-60＝90米／分。因此一般情況下，隊(duì)伍的長(zhǎng)度是210和90的倍數(shù)，結(jié)合選項(xiàng)，選擇A。

第二章

轉(zhuǎn)化歸納法

一，化歸為一法

如果題干中沒(méi)有涉及某個(gè)具體量的大小，并且不影響最終結(jié)果，我們可以用化歸為一法，將這個(gè)量設(shè)為某一個(gè)計(jì)算的數(shù)值。

一般應(yīng)用于工程問(wèn)題，混合比例問(wèn)題，和差倍比問(wèn)題，加權(quán)平均數(shù)問(wèn)題，流水行船問(wèn)題，往返行程問(wèn)題，幾何問(wèn)題和經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)問(wèn)題。

※其中，設(shè)“1”思想是設(shè)“1”或設(shè)“100”或設(shè)“最小公倍數(shù)”，（每題只能設(shè)一次）二，比例假設(shè)法—利用數(shù)字矛盾

盡管假設(shè)數(shù)字會(huì)與題干已知條件矛盾，但我們?nèi)匀豢梢詮?qiáng)行假設(shè)某一個(gè)數(shù)字，然后利用倍數(shù)關(guān)系對(duì)推算出來(lái)的矛盾雙方進(jìn)行比較，按照比例放大或縮小即可，假如一次假設(shè)計(jì)算過(guò)程中出現(xiàn)分?jǐn)?shù)或小數(shù)，可以二次假設(shè)或重新假設(shè)方便計(jì)算的量?！ú捎眉僭O(shè)比例法時(shí)，必須有一個(gè)量固定不變，其它兩個(gè)量成比例關(guān)系）三，工程問(wèn)題（重點(diǎn)必考點(diǎn)）

工程問(wèn)題是研究工作量，工作時(shí)間和工作效率之間的關(guān)系 工作量=工作時(shí)間*工作效率

核心思想：化歸為一法，比例假設(shè)法，特值法

主要分類(lèi)：1.基礎(chǔ)運(yùn)算型；2.同事合作型；3.先后合作型；4.交替合作性（注意周期）5.撤出加入型；6.兩項(xiàng)工程型；7.三項(xiàng)工程型 工程問(wèn)題經(jīng)典題型：

1.某行政村計(jì)劃15天完成春播任務(wù)1500畝，播種5天後，由於更新機(jī)械，工作效率提高25%，問(wèn)這個(gè)行政村會(huì)提前幾天完成這1500畝的春播計(jì)劃？ A.4 B.3 C.2 D.1 2.某工廠的一個(gè)生產(chǎn)小組，當(dāng)每個(gè)工人在自己的工作崗位上工作時(shí)，9小時(shí)可以完成一項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)。如果交換工人甲和乙的工作崗位，其他人的工作崗位不變時(shí)，可提前1小時(shí)完成任務(wù)；如果交換工人丙和丁的工作崗位，其他人的工作崗位不變時(shí)，也可提前1小時(shí)完成任務(wù)。如果同時(shí)交換甲和乙、丙和丁的工作崗位，其他人的工作崗位不變，可以提前多少小時(shí)完成這項(xiàng)任務(wù)？ A.1.6 B.1.8 C.2.0 D.2.4 3.有20人修築一條公路，計(jì)劃15天完成。動(dòng)工3天後抽出5人植樹(shù)，留下的人繼續(xù)修路。如果每人工作效率不變，那麼修完這段公路實(shí)際用多少天？ A.16 B.17 C.18 D.19 4.單獨(dú)完成某項(xiàng)工作，甲需要16小時(shí)，乙需要12小時(shí)，如果按照甲、乙、甲、乙、??的順序輪流工作，每次1小時(shí)，那麼完成這項(xiàng)工作需要多長(zhǎng)時(shí)間？ A.13小時(shí)40分鍾B.13小時(shí)45分鍾C.13小時(shí)50分鍾D.14小時(shí)

5.甲、乙兩車(chē)運(yùn)一堆貨物。若單獨(dú)運(yùn)，則甲車(chē)運(yùn)的次數(shù)比乙車(chē)少5次；如果兩車(chē)合運(yùn)，那麼各運(yùn)6次就能運(yùn)完，甲車(chē)單獨(dú)運(yùn)完這堆貨物需要多少次？ A.9 B.10 C.13 D.15 6.某計(jì)算機(jī)廠要在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)生產(chǎn)一批計(jì)算機(jī)，如果每天生產(chǎn)140臺(tái)，可以提前3天完成；如果每天生產(chǎn)120臺(tái)，要再生產(chǎn)3天纔能完成，問(wèn)規(guī)定完成的時(shí)間是多少天？ A.30 B.33 C.36 D.39 7.甲、乙兩單位合做一項(xiàng)工程，8天可以完成。先由甲單位獨(dú)做6天後，再由兩單位合做，結(jié)果用6天完成了任務(wù)。如該工程由乙單位獨(dú)做，則需多少天纔能完成任務(wù)？ A.8 B.12 C.18 D.24 8.甲1天做的工作等於乙2天做的工作，等於丙3天做的工作?，F(xiàn)有一工程，甲2天可完成。問(wèn)乙與丙合作要多少天完成？ A.12天 B.5天 C.2.4天 D.10天

9.一只木桶，上方有兩個(gè)注水管，單獨(dú)打開(kāi)第一個(gè)，20分鍾可注滿木桶；單獨(dú)打開(kāi)第二個(gè)，10分鍾可注滿木桶。若木桶底部有一個(gè)漏孔，水可以從孔中流出，一滿桶水用40分鍾流完。問(wèn)當(dāng)同時(shí)打開(kāi)兩個(gè)注水管，水從漏孔中也同時(shí)流出時(shí)，木桶需經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間纔能注滿水？

A.8分鍾 B.9分鍾 C.10分鍾 D.12分鍾

10.一個(gè)游泳池，甲管注滿水需6小時(shí)，甲、乙兩管同時(shí)注水，注滿要4小時(shí)。如果只用乙管注水，那麼注滿水需多少小時(shí)？ A.14 B.12 C.10 D.8 答案及解析：

1.中公解析：本題答案選C。原來(lái)的工作效率為100畝/天，提高25%後則每天播種125畝，剩餘的1000畝需要8天播完，因此可以提前2天完成任務(wù)。

3.中公解析：本題答案選D。設(shè)每人每天乾活1個(gè)單位，那麼，題意可以理解為15人乾活需要乾滿20天。因?yàn)橛?個(gè)人另乾了3天，即相當(dāng)於15個(gè)人乾了一天的活，所以15人現(xiàn)在只需乾活20-1＝19天。

6.中公解析：本題答案選D。生產(chǎn)的計(jì)算機(jī)總量不變，每天生產(chǎn)120臺(tái)比每天生產(chǎn)140臺(tái)多用6天，故每天生產(chǎn)140臺(tái)需要12036÷(140-120)=36天，故規(guī)定時(shí)間為36+3=39天。本題也可用方程法求解。

第三章 典型解題技巧 一，十字相乘法—本質(zhì)就是一個(gè)簡(jiǎn)化方程

※ 算出來(lái)的是總量比，如要算單位比，再除以單價(jià)。二，構(gòu)造設(shè)定法（與極端思維法配合使用）

根據(jù)題目要求，直接進(jìn)行構(gòu)造，如有必要，可以回頭驗(yàn)證構(gòu)造結(jié)果。我們構(gòu)造的只是滿足題目的情況之一，不是唯一。

三，極端思維法（當(dāng)題干中出現(xiàn)至多，至少，最多，最少，最大，最小時(shí)）使用極端構(gòu)造思維構(gòu)造極端思維時(shí)可能得到的是非整數(shù)解：

如果題目問(wèn)最大時(shí)，就往小取整；如果題目問(wèn)最小時(shí)，就往大取整。四，枚舉列舉法

1.直接枚舉說(shuō)滿足條件的所有情況（當(dāng)滿足條件情況較少時(shí)用）

2.當(dāng)答案要求數(shù)字很大時(shí)，我們可從較小的數(shù)字出發(fā)，總結(jié)歸納出通用規(guī)律 N條直線可將平面分割成n(n+1)/2個(gè)部分

（2，4，7，11,16,22,29,37,46,56）差為（2,3,4,5,6,7,8,9,10）五，逆向思維法（除以2，加1→減1，乘以2）

1.逆向推導(dǎo)型：將運(yùn)算過(guò)程完全顛倒，從后往前逆推。

2.正反互補(bǔ)型：若“正面”不好求解，用總體剔除與之互補(bǔ)的“反面”求解。十字相乘法：

十字相乘法用來(lái)解決一些比例問(wèn)題特別方便。但是，如果使用不對(duì)，就會(huì)犯錯(cuò)。

（一）原理介紹

通過(guò)一個(gè)例題來(lái)說(shuō)明原理。

某班學(xué)生的平均成績(jī)是80 分，其中男生的平均成績(jī)是75，女生的平均成績(jī)是85。求該班男生和女生的比例。方法一：男生一人，女生一人，總分160 分，平均分80 分。男生和 女生的比例是l : 1。

方法二：假設(shè)男生有A，女生有B。(A * 75 + B85)/(A 十B)= 80 整理后A = B，因此男生和女生的比例是1 : 1。方法三：

男生：75 5 80 女生：85 5 男生：女生= 1 : l。

一個(gè)集合中的個(gè)體，只有2 個(gè)不同的取值，部分個(gè)體取值為A，剩余部分取值為B。平均值為C。求取值為A 的個(gè)體與取值為B 的個(gè)體的比例。假設(shè)A 有x , B 有（1 一X）。

AX + B(1 一X)= C X =（C 一B)/(A 一B)1 一X =（A 一C)/ A 一B 因此：X :(l 一X)=(C 一B):(A 一C)上面的計(jì)算過(guò)程可以抽象為： A C 一B C B A 一C 這就是所謂的十字相乘法。十字相乘法使用時(shí)要注意幾點(diǎn)：

第一點(diǎn)：用來(lái)解決兩者之間的比例關(guān)系問(wèn)題。

第二點(diǎn)：得出的比例關(guān)系是基數(shù)的比例關(guān)系。

第三點(diǎn)：總均值放中央，對(duì)角線上，大數(shù)減小數(shù)，結(jié)果放對(duì)角線上。．某體育訓(xùn)練中心，教練員中男占90 %，運(yùn)動(dòng)員中男占80 %，在教練員和運(yùn)動(dòng)員中男占82 %，教練員與運(yùn)動(dòng)員人數(shù)之比是 ： A 2: 5 B l: 3 C 1: 4 D l: 5 答案：C，分析：

男教練：90 % 2 % 82 % 男運(yùn)動(dòng)員：80 % 8 % 男教練：男運(yùn)動(dòng)員＝2 % : 8 ％= 1 ：4 2 ．某公司職員25 人，每季度共發(fā)放勞保費(fèi)用15000 元，己知每個(gè)男職必每季度發(fā)580 元，每個(gè)女職員比每個(gè)男職員每季度多發(fā)50 元，該公司男女職員之比是多少 A.2: 1 B 3: 2 C 2: 3 D.1: 2 答案：B 分析：職工平均工資15000 / 25 = 600 男職工工資：580 30 600 女職工工資：630 20 男職工：女職工＝30 : 20 = 3 : 2 3 ．某城市現(xiàn)在有70 萬(wàn)人口，如果5 年后城鎮(zhèn)人口增加4 %，農(nóng)村人口增加5.4 %，則全市人口將增加4.8 ％。現(xiàn)在城鎮(zhèn)人口有（）萬(wàn)。A 30 B 31.2 C 40 D 41.6 答案A 分析：城鎮(zhèn)人口：4 % 0.6 %

4.8 % 農(nóng)村人口：5.4 % 0.8 % 城鎮(zhèn)人口：農(nóng)村人口=0.6 % ：0.8 ％=3 : 4 70 *(3 / 7)= 30 4 ．某班男生比女生人數(shù)多80 %，一次考試后，全班平均成級(jí)為75 分，而女生的平均分比男生的平均分高20 %，則此班女生的平均分是： A 84 分 B 85 分 C 86 分 D 87 分 答案：A 分析：假設(shè)女生的平均成績(jī)?yōu)閄，男生的平均Y。男生與女生的比例是9：5。男生：Y 9 75 女生：X 5 根據(jù)十字相乘法原理可以知道，X=84 5 ．某高校2006 畢業(yè)學(xué)生7650 名，比上增長(zhǎng)2 % ．其中本科畢業(yè)生比上減少2 % ．而研究生畢業(yè)數(shù)量比上增加10 % ,那么，這所高校今年畢業(yè)的本科生有：

A 3920 人B 4410 人C 4900 人D 5490 人 答案：C 分析：去年畢業(yè)生一共7500 人。7650 /(1 + 2 %)= 7500 人。本科生：-2 % 8 % 2% 研究生：10 % 4 % 本科生：研究生=8 % : 4 % = 2 : 1。7500 *(2 / 3)= 5000 5000 * 0.98 = 4900 6 資料分析：

根據(jù)所給文字資料回答121 一125 題。

2006 年5 月份北京市消費(fèi)品市場(chǎng)較為活躍，實(shí)現(xiàn)社會(huì)消費(fèi)品零售額272.2 億元，創(chuàng)今年歷史第二高。據(jù)統(tǒng)計(jì)，l-5 月份全市累計(jì)實(shí)現(xiàn)社會(huì)消費(fèi)品零售額1312.7 億元，比去年同期增長(zhǎng)12.5 ％。

汽車(chē)銷(xiāo)售繼續(xù)支撐北京消費(fèi)品市場(chǎng)的繁榮。5 月份，全市機(jī)動(dòng)車(chē)類(lèi)銷(xiāo)售量為5.4 萬(wàn)輛，同比增長(zhǎng)23.9 ％。據(jù)對(duì)限額以上批發(fā)零售貿(mào)易企業(yè)統(tǒng)計(jì)，汽車(chē)類(lèi)商品當(dāng)月實(shí)現(xiàn)零售額32.3 億元，占限額以上批發(fā)零售貿(mào)易企業(yè)零售額比重的20.3 ％。

據(jù)對(duì)限額以上批發(fā)零售貿(mào)易企業(yè)統(tǒng)計(jì)，5 月份，家具類(lèi)、建筑及裝潢材料類(lèi)銷(xiāo)售延續(xù)了4 月份的高幅增長(zhǎng)，持續(xù)旺銷(xiāo)，零售額同比增長(zhǎng)了50 ％。其中，家具類(lèi)商品零售額同比增長(zhǎng)27.3 %，建筑及裝演材料類(lèi)商品零售額同比增長(zhǎng)60.8 ％。同時(shí)由于季節(jié)變換和節(jié)日商家促銷(xiāo)的共同作用，家電銷(xiāo)售大幅增長(zhǎng)，限額以上批發(fā)零售貿(mào)易企業(yè)家用電器和音像器材類(lèi)商品零售額同比增長(zhǎng)13.6 ％。

．北京市2006 年5 月份限額以上批發(fā)零售貿(mào)易企業(yè)社會(huì)消費(fèi)品零售額占社會(huì)消費(fèi)品零售總額的百分比約為：

A.50.5 % B.58.5 % C , 66.5 % D.74.5 % 答案：B 分析：(32.3 / 2 0.3 %)/ 272.2。結(jié)果和160 / 270 相當(dāng)。接近60 ％。所以選B。

．若保持同比增長(zhǎng)不變，預(yù)計(jì)北京市2007 年前5 個(gè)月平均每月的社會(huì)消費(fèi)品零售額：

A ．將接近255 億元B，將接近280 億元C ．將接近300 億元D ．將突破300 億元 答案：C 分析：(1312.5 / 5)*(l + 12.5 %）。12.5 ％=l / 8。（1312.5 * 9)/ 40 接近300。

2006 年5 月份，限額以上批發(fā)零售貿(mào)易企業(yè)中，家具類(lèi)商品零售額占家具類(lèi)和建筑及裝演材料類(lèi)商品零售額的比例是：A.27.4 % B.29.9 % C.32.2 % D.34.6 % 答案：A 分析：兩種方法。

方法一：比較常規(guī)的做法假設(shè)2005 年家具類(lèi)所占比例為X。X *(l + 27.3 %)+(l 一X)*(l + 60.8 %)= l + 50 % X = 32.2 ％。

【32.2 % *(l + 27.3 %)】/【32.2 % *(l + 27.3 %)+(l 一32.2 %)*(1 + 60.8 % 0)】= 27.4 % 整個(gè)過(guò)程計(jì)算下來(lái)，至少5 分鐘。方法二：十字相乘法原理．最快． 家具27.3 %，近似為27 %;建筑60.8 %，近似為61 ％。

家具：27 % 11% 50 % 建筑：61 % 23 % 家具：建筑＝11 % : 23 ％大約等于1 : 2。注意這是2006 年4 月份的比例。建筑類(lèi)2006 年所占比例為：l *(l + 27.3 %)/ [ 1 *(l + 27.3 %)+ 2 *(l + 60.8 %)= 1.27 /(1.27 + 3.2)= 1.27 / 4.5 = 28 ％。和A 最接近。124 ．下列說(shuō)法正確的是：.2006 年1-5 月份北京市每月平均社會(huì)消費(fèi)品零售額比去年同期增長(zhǎng)12.5 % 11.2006 年5 月份家具類(lèi)、建筑及裝潢材料類(lèi)、家電類(lèi)限額以上批發(fā)零售貿(mào)易企業(yè)零售額的增長(zhǎng)率相比較，建筑及裝潢材料類(lèi)增長(zhǎng)最快 1ll.2005 年，北京市機(jī)動(dòng)車(chē)類(lèi)銷(xiāo)售量約為4.36 萬(wàn)輛

A ．僅1 B ．僅11 C.I 和11 D.II 和111 答案：C 分析：1 一5 月份全市累計(jì)實(shí)現(xiàn)社會(huì)消費(fèi)品零售額1312.7 億元，比去年同期增長(zhǎng)12.5 ％。累計(jì)增長(zhǎng)A/B＝同比增長(zhǎng)（A/5)/(B / 5）。I 正確,11 正確，文中直接找答案。5.4 /(1 + 23.9 %）約等于4.36。125 ．下列說(shuō)法肯定正確的是：

A.2006 年前5 個(gè)月中，5 月份的社會(huì)消費(fèi)品零售額最高

B.2006 年5 月，幾類(lèi)商品的零售額都比前4 個(gè)月高

C.2006 年5 月，限額以上批發(fā)零售貿(mào)易企業(yè)零售額比前4 個(gè)月都高

D ．至少存在一類(lèi)商品，其2006年前5個(gè)月的零售額同比增長(zhǎng)不高于12.5%，答案：D 分析：1 一5 月份全市累計(jì)實(shí)現(xiàn)社會(huì)消費(fèi)品零售額1312.7 億元，比去年同期增長(zhǎng)12.5 %，而5 月份各類(lèi)零售增長(zhǎng)率都超過(guò)了12.5 ％。因此可以肯定，至少存在一類(lèi)商品，其2006 年前5 個(gè)月的零售額同比增長(zhǎng)不高于12.5 ％。構(gòu)造題型題目解析：

當(dāng)題干中出現(xiàn)“至少??(才)保證??”、“至少??”、“最??最多(少)??”、“排名第??最多(少)”等字眼時(shí)，均可判定該題為最值問(wèn)題。

常見(jiàn)題型：

1.最不利構(gòu)造：

特征：至少(最少)??保證；方法：答案=最不利的情形+1。

2.多集合反向構(gòu)造：

特征：都??至少??；方法：反向、加和、做差。

3.構(gòu)造數(shù)列：

特征：最??最??，排名第??最??；方法：構(gòu)造一個(gè)滿足題目要求的數(shù)列

2012-河北42.要把21棵桃樹(shù)栽到街心公園里5處面積不同的草坪上，如果要求每塊草坪必須有樹(shù)且所栽棵數(shù)要依據(jù)面積大小各不相同，面積最大的草坪上至少要栽幾棵？()

A.7 B.8

C.10 D.11

【答案】A

【解析】本題屬于構(gòu)造數(shù)列題型。要使面積最大的草坪栽種的樹(shù)最少，就要保證其他的草坪栽種的樹(shù)最多，設(shè)面積最大的草坪至少栽種X棵，則其他的草坪可栽種X－1,X－2, X－3,X－4棵，則X＋X－1＋X－2＋X－3＋X－4=21，即5X－10=21，X=6.2，而X必須取整數(shù)，所以X=7。因此，答案選擇A選項(xiàng)。

2011-河北-44.某中學(xué)在高考前夕進(jìn)行了四次語(yǔ)文模擬考試，第一次得90分以上的學(xué)生為70%，第二次是75%，第三次是85%，第四次是90%，請(qǐng)問(wèn)在四次考試中都是90分以上的學(xué)生至少是多少？()

A.40% B.30%

C.20% D.10%

【答案】C

【解析】設(shè)共有100人考試，則得90分以上的同學(xué)依次有70、75、85、90人，因此沒(méi)過(guò)90分的依次有30、25、15、10人，則沒(méi)過(guò)90分的最多有30+25+15+10=80(人)，故90分以上的至少有100-80=20(人)，占20%。因此，答案選擇C選項(xiàng)。

2010-河北-39.某中學(xué)初二年級(jí)共有620名學(xué)生參加期中考試，其中語(yǔ)文及格的有580名，數(shù)學(xué)及格的有575名，英語(yǔ)及格的有604名，以上三門(mén)功課都及格的至少有多少名同學(xué)？()

A.575 B.558

C.532 D.519

【答案】D

【解析】要使三門(mén)功課都及格的人數(shù)最少，則需要三門(mén)功課的人中，每人都只有一門(mén)不及格，不及格的人數(shù)總數(shù)為(620-575)+(620-580)+(620-604)＝101(人)，故三門(mén)功課都及格的人數(shù)最少為620-101＝519(名)。因此，答案選擇D選項(xiàng)。

2009-河北-108.100名村民選一名代表，候選人是甲、乙、丙三人，每人只能投票選舉一人，得票最多的人當(dāng)選。開(kāi)票中途累計(jì)前61張選票中，甲得35票，乙得10票，丙得16票。在尚未統(tǒng)計(jì)的選票中，甲至少再得多少票就一定當(dāng)選？()

A.11 B.12

C.13 D.14

【答案】A

【解析】本題屬于構(gòu)造數(shù)列題型。甲至少再得多少票就一定當(dāng)選的意思就是票數(shù)最多的甲最少得多少?gòu)埰?。我們可以發(fā)現(xiàn)對(duì)甲最有競(jìng)爭(zhēng)力的就是丙，所以最極端的情況就是甲取得了x票，剩下的39-x全部投給了丙，這樣甲也當(dāng)選了。即滿足35+x＞16+39-x，即2X＞20，X＞10，所以甲至少要得11張。因此，答案選擇A選項(xiàng)。

第四章 方程與不等式 方程法是整個(gè)數(shù)學(xué)運(yùn)算的第一重要方法（通?？芍胁磺螅?/p>

主要題型：盈虧問(wèn)題，雞兔同籠問(wèn)題，和差倍比問(wèn)題，牛吃草問(wèn)題 一，基本方程思想（巧設(shè)未知數(shù)，快速解方程）

1.當(dāng)方程有小數(shù)或是分?jǐn)?shù)而計(jì)算復(fù)雜時(shí)，同乘化整。

2.方程組中若存在多個(gè)未知數(shù)，盡量消去無(wú)關(guān)未知數(shù)，保留所求未知數(shù)。3.方程中存在一些無(wú)關(guān)未知數(shù)，完全可以作為整體直接消去。4.比例型的方程形式，可能存在很好的化簡(jiǎn)方法。5.未知數(shù)轉(zhuǎn)變且無(wú)法消除時(shí)，可直接令x=0得到答案。6.若題目中存在xy這樣的乘積項(xiàng)，先化簡(jiǎn)或消掉。

（1）A/B=C/D→A+C/B+D=A-C/B-D(當(dāng)兩個(gè)分子或分母的和或差為常數(shù)時(shí))（2）A/B=C/D→A±B/B=C±D/D→A/B±A=C/D±C（條件同上）整體解方程—整體代換，無(wú)需求出每一個(gè)未知數(shù)。逆向解方程—倒推法。

二，不定方程（組）--最新考察熱點(diǎn) 多元不定方程或方程組：特值代入法；

二元不定方程：帶入試值法，令最復(fù)雜的一項(xiàng)為“0”； 三，不等式—直接解出滿足不等式的范圍

列出不等式，找好是“＞”還是“≥”，是“＜”還是“≤”。四，盈虧與雞兔同籠問(wèn)題

列方程，解方程是最高效，最準(zhǔn)確的方法。五，和差倍比

第五章 基礎(chǔ)運(yùn)算模塊 一，純粹計(jì)算問(wèn)題 基本公式：

a2-b2=（a+b）（a-b）；a+b≥2跟下ab；ab≤（a+b/2）2→（a-b）2≥0；(a±)2= a2+2ab+b2； a*b*c≤（a+b+c/3）3

a的m次方*a的n次方=a的m+n次方，a的m次方的n次方=a的m*n次方；（a*b）的n次方= a的n次方+b的n次方

※ 棄九法※（當(dāng)整數(shù)范圍內(nèi)+，-，*三種運(yùn)算方法中可使用）

1.在計(jì)算中，將計(jì)算過(guò)程中數(shù)字全部除以9，留其余數(shù)進(jìn)行相同的計(jì)算；

2.計(jì)算中如有數(shù)字不在0—8之間，通過(guò)加上或減去9或9 的倍數(shù)調(diào)整到0—8之間； 3.將選項(xiàng)除以9留其余數(shù)，與上面計(jì)算結(jié)果對(duì)照，得到答案。注意循環(huán)數(shù)的求法，因數(shù)分解！※ 裂項(xiàng)相消公式

B/M*(M+A)=(1/M-1/M+A)*B/A(“小分之一”減去“大分之一”乘以二者差分之分子)在比較復(fù)雜的計(jì)算中，將相近的數(shù)化為相同，從而作為一個(gè)整體相抵消

乘方尾數(shù)的算法：地鼠留個(gè)位，指數(shù)除以4，留余數(shù)，余數(shù)為零，去4！1.直接計(jì)算題；2.棄九推斷；3.乘法分配率；4.循環(huán)數(shù)字； 5.比較大??； 6.裂項(xiàng)相消；7.整體消去； 8.乘方尾數(shù)。二，運(yùn)算拓展模型

1.定義運(yùn)算：XΦY,X△Y，2.抽象函數(shù)f（x）3.恒等變換； 4.二次方程； 5.極值求解 一，數(shù)列綜合運(yùn)算 1.等比數(shù)列：

設(shè)首項(xiàng)為；末項(xiàng)為 , 項(xiàng)數(shù)為 , 公差為 , 前 項(xiàng)和為

則有:① ② ③ ④ 其中 ：

=平均數(shù)*項(xiàng)數(shù)=中位數(shù)*項(xiàng)數(shù)；

通項(xiàng)公式：

等差數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)求和=項(xiàng)數(shù)2 2.等比數(shù)列

等比數(shù)列求和公式：an=a1*q^(n-1)

第六章 計(jì)數(shù)問(wèn)題模塊 一，容斥原理

（一）兩集合容斥原理

1.當(dāng)題目中出現(xiàn)①滿足條件A的數(shù)目，②滿足條件B的數(shù)目，③同時(shí)滿足A，B的數(shù)目，④條件A,B都不滿足的數(shù)目，⑤總數(shù)

公式：滿足A+滿足B-滿足A,B+A，B都不滿足=總數(shù) 2.若出現(xiàn)：只滿足條件A或只滿足條件B→用兩集合圖示標(biāo)數(shù)。

（二）三集合容斥原理

1.關(guān)于滿足兩個(gè)條件的描述，如果題目只涉及①滿足A，B條件；②滿足B，C條件；③滿足A，C條件的數(shù)目→標(biāo)準(zhǔn)公式

2.若題目涉及“只滿足條件A，B的數(shù)目”，一般采用三集合圖示標(biāo)數(shù)； 3.若題目涉及“滿足一個(gè)條件的數(shù)目”和“滿足兩個(gè)條件的數(shù)目”； 只給出一個(gè)總數(shù)而不是分項(xiàng)數(shù)字，一般用“三集合整體重復(fù)型”。

※標(biāo)準(zhǔn)型公式：1.兩個(gè)集合的容斥關(guān)系公式：A∪B = A+BA∩BC∩A +A∩B∩C 如左邊代表至少滿足三個(gè)條件之一的情況，也等于總數(shù)減去三個(gè)條件都不滿足的情況；

（三）三集合圖示標(biāo)數(shù)型

1.特別注意“滿足某條件”和“僅滿足某條件”的區(qū)別； 2.特別注意有沒(méi)有“三個(gè)條件都不滿足”的情況； 3.標(biāo)數(shù)時(shí)，注意從中間向外圍標(biāo)記。

（四）三集合整體重復(fù)型

在三集合容斥題型中，假設(shè)三個(gè)條件的元素?cái)?shù)量分別是A,B,C,而至少滿足三個(gè)條件之一的元素的總量為W；其中：滿足一個(gè)條件的元素?cái)?shù)量為X，滿足兩個(gè)人條件的元素?cái)?shù)量為Y，滿足三個(gè)條件的元素?cái)?shù)量為Z。① W=X+Y+Z;② A+B+C=X*1+Y*2+Z*3 詳細(xì)推理：

1、等式右邊改造 = {[（A+BB∩C]-C∩A }+ A∩B∩C

2、文氏圖分塊標(biāo)記如右圖圖：1245構(gòu)成A，2356構(gòu)成B，4567構(gòu)成C

3、等式右邊（）里指的是下圖的1+2+3+4+5+6六部分： 那么A∪B∪C還缺部分7。

4、等式右邊[]號(hào)里+C（4+5+6+7）后，相當(dāng)于A∪B∪C多加了4+5+6三部分，減去B∩C（即5+6兩部分）后，還多加了部分4。

5、等式右邊{}里減去C∩A（即4+5兩部分）后，A∪B∪C又多減了部分5，則加上A∩B∩C（即5）剛好是A∪B∪C。如圖所示：

二，基礎(chǔ)排列組合

加法原理 排列：與順序有關(guān)，乘法原理 組合：與順序無(wú)關(guān)，排列公式： 組合公式：

逆向公式：滿足條件的情況—不滿足條件的情況數(shù)。三，拓展排列組合

1.相鄰問(wèn)題—捆綁法—先考慮相鄰元素，然后將其視為一個(gè)整體考慮；

2.不鄰問(wèn)題—插孔法—先考慮剩余元素，然后將不鄰元素進(jìn)行插孔（路燈熄滅問(wèn)題）3.錯(cuò)位配列—0,1,2,9,44,256； 4.重復(fù)剔除型

平均分租時(shí)，一旦有N個(gè)組人數(shù)相同，最后都要除以Ann以剔除重復(fù)情況，例：將6個(gè)人平均分成3組，請(qǐng)問(wèn)一共有多少種分法？ C62*C42*C22/A33=15 5.圓桌排列：N個(gè)人排成一圈，有Ann/n=（n-1）！種方法；

6.分配插板型（將M個(gè)元素，分到N組，每組至少分一個(gè)），Cm-1，n-1 需滿足條件：①元素相同，②分配到不同的組，③每個(gè)組至少分一個(gè)（三者缺一不可）

① 如果沒(méi)有至少分到一個(gè)，只說(shuō)把6個(gè)蘋(píng)果分到3組，可以先借三個(gè)蘋(píng)果沒(méi)人分一個(gè)，再按照公式去分；

② 如果題干說(shuō)至少分得N的元素，則分給每組N-1元素，構(gòu)造成每組至少分得一個(gè)的情況。經(jīng)典例題分析： 難點(diǎn)：

⑴從千差萬(wàn)別的實(shí)際問(wèn)題中抽象出幾種特定的數(shù)學(xué)模型，需要較強(qiáng)的抽象思維能力； ⑵限制條件有時(shí)比較隱晦，需要我們對(duì)問(wèn)題中的關(guān)鍵性詞（特別是邏輯關(guān)聯(lián)詞和量詞）準(zhǔn)確理解；

⑶計(jì)算手段簡(jiǎn)單，與舊知識(shí)聯(lián)系少，但選擇正確合理的計(jì)算方案時(shí)需要的思維量較大； ⑷計(jì)算方案是否正確，往往不可用直觀方法來(lái)檢驗(yàn)，要求我們搞清概念、原理，并具有較強(qiáng)的分析能力。例題

【例1】 從1、2、3、??、20這二十個(gè)數(shù)中任取三個(gè)不同的數(shù)組成等差數(shù)列，這樣的不同等差數(shù)列有多少個(gè)？

分析：首先要把復(fù)雜的生活背景或其它數(shù)學(xué)背景轉(zhuǎn)化為一個(gè)明確的排列組合問(wèn)題。設(shè)a,b,c成等差，∴ 2b=a+c，可知b由a,c決定，又∵ 2b是偶數(shù)，∴ a,c同奇或同偶，即：分別從1，3，5，??，19或2，4，6，8，??，20這十個(gè)數(shù)中選出兩個(gè)數(shù)進(jìn)行排列，由此就可確定等差數(shù)列，A（10,2）*2=90*2，因而本題為180。

【例2】 某城市有4條東西街道和6條南北的街道，街道之間的間距相同，若規(guī)定只能向東或向北兩個(gè)方向沿圖中路線前進(jìn)，則從M到N有多少種不同的走法? 分析：對(duì)實(shí)際背景的分析可以逐層深入：

（一）從M到N必須向上走三步，向右走五步，共走八步；

（二）每一步是向上還是向右，決定了不同的走法；

（三）事實(shí)上，當(dāng)把向上的步驟決定后，剩下的步驟只能向右；

從而，任務(wù)可敘述為：從八個(gè)步驟中選出哪三步是向上走，就可以確定走法數(shù)?！?本題答案為：C（8,3）=56。分析

分析是分類(lèi)還是分步，是排列還是組合

注意加法原理與乘法原理的特點(diǎn)，分析是分類(lèi)還是分步，是排列還是組合。【例3】在一塊并排的10壟田地中，選擇二壟分別種植A，B兩種作物，每種種植一壟，為有利于作物生長(zhǎng)，要求A，B兩種作物的間隔不少于6壟，不同的選法共有多少種？ 分析：條件中“要求A、B兩種作物的間隔不少于6壟”這個(gè)條件不容易用一個(gè)包含排列數(shù)，組合數(shù)的式子表示，因而采取分類(lèi)的方法。第一類(lèi)：A在第一壟，B有3種選擇；

第二類(lèi)：A在第二壟，B有2種選擇； 第三類(lèi)：A在第三壟，B有1種選擇，同理A、B位置互換，共12種。

【例4】從6雙不同顏色的手套中任取4只，其中恰好有一雙同色的取法有多少種？（A)240(B)180(C)120(D)60 分析：顯然本題應(yīng)分步解決。

（一）從6雙中選出一雙同色的手套，有6種方法；

（二）從剩下的十只手套中任選一只，有10種方法。

（三）從除前所涉及的兩雙手套之外的八只手套中任選一只，有8種方法；

（四）由于選取與順序無(wú)關(guān)，因

（二）（三）中的選法重復(fù)一次，因而共240種。或分步

⑴從6雙中選出一雙同色的手套，有C（6,1）=6種方法 ⑵從剩下的5雙手套中任選兩雙，有C（5,2）=10種方法

⑶從兩雙中手套中分別拿兩只手套，有C（2,1）3C（2,1）=4種方法。同樣得出共⑴3⑵3⑶=240種。

【例5】．身高互不相同的6個(gè)人排成2橫行3縱列，在第一行的每一個(gè)人都比他同列的身后的人個(gè)子矮，則所有不同的排法種數(shù)為_(kāi)______。分析：每一縱列中的兩人只要選定，則他們只有一種站位方法，因而每一縱列的排隊(duì)方法只與人的選法有關(guān)系，共有三縱列，從而有C（6,2）3C（4,2）3C（2,2）=90種。

【例6】在11名工人中，有5人只能當(dāng)鉗工，4人只能當(dāng)車(chē)工，另外2人能當(dāng)鉗工也能當(dāng)車(chē)工?，F(xiàn)從11人中選出4人當(dāng)鉗工，4人當(dāng)車(chē)工，問(wèn)共有多少種不同的選法? 分析：采用加法原理首先要做到分類(lèi)不重不漏，如何做到這一點(diǎn)？分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)必須前后統(tǒng)一。

以兩個(gè)全能的工人為分類(lèi)的對(duì)象，考慮以他們當(dāng)中有幾個(gè)去當(dāng)鉗工為分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)。第一類(lèi)：這兩個(gè)人都去當(dāng)鉗工，C（2,2）3C（5,2）3C（4,4）=10種； 第二類(lèi)：這兩個(gè)人都去當(dāng)車(chē)工，C（5,4）3C（2,2）3C（4,2）=30種； 第三類(lèi)：這兩人既不去當(dāng)鉗工，也不去當(dāng)車(chē)工C（5,4）3C（4,4）=5種。

第四類(lèi)：這兩個(gè)人一個(gè)去當(dāng)鉗工、一個(gè)去當(dāng)車(chē)工，C（2,1）3C（5,3）3C（4,3）=80種；

第五類(lèi)：這兩個(gè)人一個(gè)去當(dāng)鉗工、另一個(gè)不去當(dāng)車(chē)工，C（2,1）3C（5,3）3C（4,4）=20種；

第六類(lèi)：這兩個(gè)人一個(gè)去當(dāng)車(chē)工、另一個(gè)不去當(dāng)鉗工，C（5,4）3C（2,1）3C（4,3）=40種；

因而共有185種。

【例7】現(xiàn)有印著0，1，3，5，7，9的六張卡片，如果允許9可以作6用，那么從中任意抽出三張可以組成多少個(gè)不同的三位數(shù)? 分析：有同學(xué)認(rèn)為只要把0，1，3，5，7，9的排法數(shù)乘以2即為所求，但實(shí)際上抽出的三個(gè)數(shù)中有9的話才可能用6替換，因而必須分類(lèi)。抽出的三數(shù)含0，含9，有32種方法； 抽出的三數(shù)含0不含9，有24種方法； 抽出的三數(shù)含9不含0，有72種方法； 抽出的三數(shù)不含9也不含0，有24種方法。因此共有32+24+72+24=152種方法。

【例8】停車(chē)場(chǎng)劃一排12個(gè)停車(chē)位置，今有8輛車(chē)需要停放，要求空車(chē)位連在一起，不同的停車(chē)方法有多少種? 分析：把空車(chē)位看成一個(gè)元素，和8輛車(chē)共九個(gè)元素排列，因而共有A（9,9）=362880種停車(chē)方法。特殊優(yōu)先

特殊元素，優(yōu)先處理；特殊位置，優(yōu)先考慮?！纠?】六人站成一排，求

⑴甲、乙既不在排頭也不在排尾的排法數(shù)

⑵甲不在排頭，乙不在排尾，且甲乙不相鄰的排法數(shù) 分析：⑴按照先排出首位和末尾再排中間四位分步計(jì)數(shù) 第一步：排出首位和末尾、因?yàn)榧滓也辉谑孜缓湍┪?，那么首位和末尾?shí)在其它四位數(shù)選出兩位進(jìn)行排列、一共有A（4,2）=12種；

第二步：由于六個(gè)元素中已經(jīng)有兩位排在首位和末尾，因此中間四位是把剩下的四位元素進(jìn)行順序排列，共A（4,4）=24種；

根據(jù)乘法原理得即不再排頭也不在排尾數(shù)共12324=288種。⑵第一類(lèi)：甲在排尾，乙在排頭，有A（4,4）種方法。第二類(lèi)：甲在排尾，乙不在排頭，有33A（4,4）種方法。第三類(lèi)：乙在排頭，甲不在排尾，有33A（4,4）種方法。

第四類(lèi)：甲不在排尾也不在排頭，乙不在排頭也不在排尾，有63A（4,4）種方法（排除相鄰）。

共A（4,4）+33A（4,4）+33A（4,4）+63A（4,4）=312種。

【例10】對(duì)某件產(chǎn)品的6件不同正品和4件不同次品進(jìn)行一一測(cè)試，至區(qū)分出所有次品為止。若所有次品恰好在第五次測(cè)試時(shí)被全部發(fā)現(xiàn)，則這樣的測(cè)試方法有多少種可能? 分析：本題意指第五次測(cè)試的產(chǎn)品一定是次品，并且是最后一個(gè)次品，因而第五次測(cè)試應(yīng)算是特殊位置了，分步完成。

第一步：第五次測(cè)試的有C（4,1）種可能； 第二步：前四次有一件正品有C（6,1）中可能。第三步：前四次有A（4,4）種可能?！?共有576種可能。捆綁與插空

【例11】8人排成一隊(duì) ⑴甲乙必須相鄰 ⑵甲乙不相鄰

⑶甲乙必須相鄰且與丙不相鄰 ⑷甲乙必須相鄰，丙丁必須相鄰 ⑸甲乙不相鄰，丙丁不相鄰

分析：⑴甲乙必須相鄰，就是把甲乙 捆綁（甲乙可交換）和7人排列A（7,7）3A（2，2）

⑵甲乙不相鄰，A（8,8）-A（7,7）32?；駻（6,6）3A(7,2)

⑶甲乙必須相鄰且與丙不相鄰，先求甲乙必須相鄰且與丙相鄰A（6,6）3232 甲乙必須相鄰且與丙不相鄰A（7,7）32-A（6,6）3232 ⑷甲乙必須相鄰，丙丁必須相鄰A（6,6）3232

⑸甲乙不相鄰，丙丁不相鄰，A（8,8）-A（7,7）3232+A（6,6）3232

【例12】某人射擊8槍，命中4槍，恰好有三槍連續(xù)命中，有多少種不同的情況? 分析：∵ 連續(xù)命中的三槍與單獨(dú)命中的一槍不能相鄰，因而這是一個(gè)插空問(wèn)題。另外沒(méi)有命中的之間沒(méi)有區(qū)別，不必計(jì)數(shù)。即在四發(fā)空槍之間形成的5個(gè)空中選出2個(gè)的排列，即A（5,2）。

【例13】 馬路上有編號(hào)為l，2，3，??，10 十個(gè)路燈，為節(jié)約用電又看清路面，可以把其中的三只燈關(guān)掉，但不能同時(shí)關(guān)掉相鄰的兩只或三只，在兩端的燈也不能關(guān)掉的情況下，求滿足條件的關(guān)燈方法共有多少種? 分析：即關(guān)掉的燈不能相鄰，也不能在兩端。又因?yàn)闊襞c燈之間沒(méi)有區(qū)別，因而問(wèn)題為在7盞亮著的燈形成的不包含兩端的6個(gè)空中選出3個(gè)空放置熄滅的燈?！?共C（6,3）=20種方法。方法二：

把其中的3只燈關(guān)掉總情況有C（8，3)種 關(guān)掉相鄰的三只有C（6，1)種

關(guān)掉相鄰的兩只有2*C（7，2)-12種

所以滿足條件的關(guān)燈方法有:

C（8，3)-C（6，1)-[2*C（7，2)-12]

=56-6-(42-12)

=20種 間接計(jì)數(shù)法 ⑴排除法

【例14】三行三列共九個(gè)點(diǎn)，以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)可組成多少個(gè)三角形? 分析：有些問(wèn)題正面求解有一定困難，可以采用間接法。

所求問(wèn)題的方法數(shù)=任意三個(gè)點(diǎn)的組合數(shù)-共線三點(diǎn)的方法數(shù)，∴ 共76種。

【例15】正方體8個(gè)頂點(diǎn)中取出4個(gè)，可組成多少個(gè)四面體? 分析：所求問(wèn)題的方法數(shù)=任意選四點(diǎn)的組合數(shù)-共面四點(diǎn)的方法數(shù)，∴ 共C（8,4）-12=70-12=58個(gè)。

【例16】1，2，3，??，9中取出兩個(gè)分別作為對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，可組成多少個(gè)不同數(shù)值的對(duì)數(shù)? 分析：由于底數(shù)不能為1。

⑴當(dāng)1選上時(shí)，1必為真數(shù)，∴ 有一種情況。

⑵當(dāng)不選1時(shí)，從2--9中任取兩個(gè)分別作為底數(shù)，真數(shù)，共A（8,2）=56，其中l(wèi)og2為底4=log3為底9，log4為底2=log9為底3,log2為底3=log4為底9,log3為底2=log9為底4.因而一共有56-4+1=53個(gè)。

【例17】 六人排成一排，要求甲在乙的前面，（不一定相鄰），共有多少種不同的方法? 如果要求甲乙丙按從左到右依次排列呢? 分析：

（一）實(shí)際上，甲在乙的前面和甲在乙的后面兩種情況對(duì)稱，具有相同的排法數(shù)。因而有A(6，6)/2=360種。

（二）先考慮六人全排列A(6,6)種；其次甲乙丙三人實(shí)際上只能按照一種順序站位，因而前面的排法數(shù)重復(fù)了A(3,3)種，∴ 有A(6，6)/A(3,3)=120種。

【例18】5男4女排成一排，要求男生必須按從高到矮的順序，共有多少種不同的方法? 分析：首先不考慮男生的站位要求，共A（9,9）種；男生從左至右按從高到矮的順序，只有一種站法，因而上述站法重復(fù)了A(5,5)次。因而有A(9,9,)/A(5,5,)=9383736=3024種 若男生從右至左按從高到矮的順序，只有一種站法，同理也有3024種，綜上，有6048種。

【例19】 三個(gè)相同的紅球和兩個(gè)不同的白球排成一行，共有多少種不同的方法? 分析：先認(rèn)為三個(gè)紅球互不相同，共A（5,5）=120種方法。

而由于三個(gè)紅球所占位置相同的情況下，共A（3,3）=6變化，因而共A（5,5）/A（3,3）=20種。

公式P是指排列，從N個(gè)元素取R個(gè)進(jìn)行排列（即排序）。（P是舊用法，教材上多用A，Arrangement)公式C是指組合，從N個(gè)元素取R個(gè)，不進(jìn)行排列（即不排序）。擋板的使用

【例20】10個(gè)名額分配到八個(gè)班，每班至少一個(gè)名額，問(wèn)有多少種不同的分配方法? 分析：把10個(gè)名額看成十個(gè)元素，在這十個(gè)元素之間形成的九個(gè)空中，選出七個(gè)位置放置檔板，則每一種放置方式就相當(dāng)于一種分配方式。因而共36種。區(qū)別與聯(lián)系

所有的排列都可以看作是先取組合，再做全排列；同樣，組合如補(bǔ)充一個(gè)階段（排序）可轉(zhuǎn)化為排列問(wèn)題。

【例21】用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，⑴可組成多少個(gè)不同的四位數(shù)? ⑵可組成多少個(gè)不同的四位偶數(shù)

⑶可組成多少個(gè)能被3整除的四位數(shù)? 分析：⑴有A（6,4）-A（5,3）=300個(gè)。

⑵分為兩類(lèi)：0在末位，則有A（5,3）=60種：0不在末位，則有C（2,1）3A（5,3）-C（2,1）3A（4,2）=96種。∴ 共60+96=156種。

⑶先把四個(gè)相加能被3整除的四個(gè)數(shù)從小到大列舉出來(lái)，即先選 0，1，2，3 0，1，3，5 0，2，3，4 0，3，4，5 1，2，4，5 它們排列出來(lái)的數(shù)一定可以被3整除，再排列，有：43[A（4,4）-A（3,3）]+A（4,4）=96種。分組問(wèn)題

【例22】 5名學(xué)生分配到4個(gè)不同的科技小組參加活動(dòng)，每個(gè)科技小組至少有一名學(xué)生參加，則分配方法共有多少種？

分析：

（一）先把5個(gè)學(xué)生分成二人，一人，一人，一人各一組。

其中涉及到平均分成四組，有C（5,3）=10種分組方法。可以看成4個(gè)板三個(gè)板不空的隔板法。

（二）再考慮分配到四個(gè)不同的科技小組，有A（4,4）=24種，由

（一）（二）可知，共10324=240種。幾何問(wèn)題

【例23】某區(qū)有7條南北向街道，5條東西向街道（如右圖）⑴圖中共有多少個(gè)矩形？

⑵從A點(diǎn)到B點(diǎn)最近的走法有多少種？

分析：⑴在7條豎線中任選2條，5條橫線中任選2條，這樣4條線 可組成1個(gè)矩形，故可組成矩形C（7,2）2C（5,2）=210個(gè)

⑵每條東西向的街道被分成4段，每條南北向的街道被分成6段，從A到B最短的走法，無(wú)論怎樣走，一定包括10段，其中6段方向相同，另外4段方向相同，每種走法，即是從10段中選出6段，這6段是走東西方向的，共有C（10,6）=C（10,4）=210種走法（同樣可以從10段中選出4段走南北方向，每一種選法即是1種走法）。所以共有210種走法?？谠E

排列、組合、二項(xiàng)式定理公式口訣：

加法乘法兩原理，貫穿始終的法則。與序無(wú)關(guān)是組合，要求有序是排列。[4] 兩個(gè)公式兩性質(zhì)，兩種思想和方法。歸納出排列組合，應(yīng)用問(wèn)題須轉(zhuǎn)化。排列組合在一起，先選后排是常理。特殊元素和位置，首先注意多考慮。不重不漏多思考，捆綁插空是技巧。排列組合恒等式，定義證明建模試。關(guān)于二項(xiàng)式定理，中國(guó)楊輝三角形。兩條性質(zhì)兩公式，函數(shù)賦值變換式。四，概率問(wèn)題（基于排列組合）

（一）基礎(chǔ)計(jì)算題

（二）分步乘法型=滿足條件的每個(gè)步驟的概率之積（猜密碼）；

（三）分類(lèi)加法型=總體概率=滿足條件的各種情況概率之和（比賽問(wèn)題）；

（四）逆向計(jì)算型=某條件成立概率=1-該條件不成立的概率；

（五）拓展技巧型

1.幾何概率：滿足條件的概率=滿足條件的幾何區(qū)域面積（總幾何面積）； 2.條件概率：“A成立”時(shí)，“B成立”的概率=“A,B同時(shí)成立的概率/A成立的概率”； 3.概率期望值：各個(gè)實(shí)現(xiàn)值乘以各自成立的概率，最后再相加。五，抽屜原理

1.最不利原則：考慮對(duì)于需要滿足的條件的“最不利情況”，最后加“1”即可； 2.遇到有排列組合的，先算出排列組合再算最不利原則。

第七章 比例計(jì)算模塊 一，溶液?jiǎn)栴}—基本方法—十字相乘（注意飽和溶液陷阱）1.混合稀釋型

③ 溶液倒出比例為a％的溶液，再加入相同的溶液，則濃度變?yōu)椋?-a％； ④ 溶液加入比例為a％的溶液，再倒出相同的溶液，則濃度變?yōu)椋?/1+a％ 2.在濃有關(guān)度問(wèn)題中，有類(lèi)題目不涉及具體溶液總量，只涉及溶質(zhì)和溶液的相對(duì)比例，通常令其中的“不變量”或者“相等量”為一特值，簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程。行測(cè)考試中，“溶液?jiǎn)栴}”是一類(lèi)典型的“比例型”計(jì)算問(wèn)題，大家首先要熟悉“溶液”、“溶質(zhì)”和“溶劑”三者的關(guān)系，這是解題的基礎(chǔ)和關(guān)鍵，然后考生還需掌握溶液?jiǎn)栴}常用的方法和技巧，比如方程法，賦值法等。

一、需要掌握的關(guān)鍵點(diǎn)

溶液=溶質(zhì)+溶劑;濃度=溶質(zhì)÷溶液;

溶質(zhì)=溶液3濃度;溶液=溶質(zhì)÷濃度

二、重點(diǎn)題型

溶質(zhì)不變型(簡(jiǎn)單溶液混合、等溶質(zhì)增減溶劑、溶液比例問(wèn)題)

溶質(zhì)變化型(混合稀釋問(wèn)題)

飽和濃度型

三、重點(diǎn)方法

簡(jiǎn)單溶液混合：運(yùn)用溶液基本概念或基礎(chǔ)公式

等溶質(zhì)增減溶劑：設(shè)處溶質(zhì)，得出溶液，即可解決

溶液比例問(wèn)題：運(yùn)用設(shè)整思想，根據(jù)所給條件將溶質(zhì)或者溶液設(shè)出

溶質(zhì)變化混合稀釋問(wèn)題：抓住濃度本質(zhì)，看溶質(zhì)最后剩下多少就能快速得到答案

四、例題鞏固

1、溶質(zhì)不變型

例：一容器內(nèi)有濃度為30%的糖水，若再加入30千克水與6千克糖。則糖水的濃度變?yōu)?5%。問(wèn)原來(lái)糖水中含糖多少千克?()

A.15千克 B.18千克

C.21千克 D.24千克

【答案】B

【講授說(shuō)明】方程法。設(shè)原有糖水里糖為3X，則糖水的質(zhì)量為10X，(3X+6)÷(10X+36)=25%。可知3X=18，原有糖水中含糖18千克。

2、溶質(zhì)變化型

例：杯中原有濃度為18%的鹽水溶液100ml，重復(fù)以下操作2次，加入100ml水，充分配合后，倒出100ml溶液，問(wèn)杯中鹽水溶液的濃度變成了多少?

A.9% B.7.5% C.4.5% D.3.6%

【答案】C

【講授說(shuō)明】加入比例為1，則濃度為：18%3(1/2)2=4.5%,選擇C。

小結(jié)：等于混合稀釋型溶液?jiǎn)栴}，需記得下列兩個(gè)公式：

溶液到出比例為M的溶液，再加入相同的溶液，則濃度變成原來(lái)的(1-M)

溶液加入比例為M的溶劑，再倒出相同的溶液，則濃度變成原來(lái)的1/1+M

3、飽和濃度型

例：將28g某種溶質(zhì)放入99g水中恰好配成飽和溶液，從中取出溶液加入4g溶質(zhì)和11g水，請(qǐng)問(wèn)此時(shí)濃度

A.21.61% B.22.05% C.23.53% D.24.15%

【答案】B

【講授說(shuō)明】由于99g水最多可溶解28g溶質(zhì)，則11g水最多可溶解28/9g溶質(zhì)，即小于4g的溶質(zhì)，因此飽和溶液加入4g和11g誰(shuí)為飽和溶液，故濃度為28/(28+99)=22.05%。

小結(jié)：判斷溶液的濃度，首先要判斷溶液是否飽和。特別是題目中出現(xiàn)“飽和”字眼，或再次加溶質(zhì)的問(wèn)題，一定要判斷溶液是否飽和。

二，牛吃草問(wèn)題

經(jīng)典公式：原有草量=（牛頭數(shù)-每天草長(zhǎng)量）*天數(shù)

草長(zhǎng)速度=（牛頭數(shù)1*吃草時(shí)間1-牛頭數(shù)2*吃草時(shí)間2）/（吃草時(shí)間1-吃草時(shí)間2）① 基本公式題型

牛頭數(shù)*天數(shù)=原有草量+每天草長(zhǎng)量*天數(shù)；

當(dāng)題干出現(xiàn)“連續(xù)不斷的開(kāi)采”或“不至于枯竭”時(shí)，指的是時(shí)間整無(wú)窮大； ② 牛羊混吃型

將其全部轉(zhuǎn)化為?；蜓?，再代入公式進(jìn)行計(jì)算； ③ 自然消亡型（不用牛吃草也可以自行消亡）

當(dāng)計(jì)算出草長(zhǎng)量為負(fù)數(shù)時(shí)，則不是自然生長(zhǎng)，而是自然消亡； ④ 大小草場(chǎng)型

如果草場(chǎng)有面積區(qū)別“如m頭牛吃w畝草”，則N用m/w表示； 將題干轉(zhuǎn)換成m/w頭牛，一畝地，吃多長(zhǎng)時(shí)間； ⑤ 增添型或撤減型

N出現(xiàn)階段性變化，則先算出總量，再根據(jù)：時(shí)間*（牛頭數(shù)-草長(zhǎng)速度）來(lái)計(jì)算； ⑥ 特殊變形

售票廳或收銀員問(wèn)題（針對(duì)好每個(gè)量對(duì)應(yīng)牛吃草中的含義）；

行測(cè)秒殺技巧之“牛吃草”問(wèn)題

【含義】 “牛吃草”問(wèn)題是大科學(xué)家牛頓提出的問(wèn)題，也叫“牛頓問(wèn)題”。這類(lèi)問(wèn)題的特點(diǎn)在于要考慮草邊吃邊長(zhǎng)這個(gè)因素。

【數(shù)量關(guān)系】 草總量＝原有草量＋草每天生長(zhǎng)量3天數(shù)

【解題思路和方法】 解這類(lèi)題的關(guān)鍵是求出草每天的生長(zhǎng)量。

例1 一塊草地，10頭牛20天可以把草吃完，15頭牛10天可以把草吃完。問(wèn)多少頭牛5天可以把草吃完？

解 草是均勻生長(zhǎng)的，所以，草總量＝原有草量＋草每天生長(zhǎng)量3天數(shù)。求“多少頭牛5天可以把草吃完”，就是說(shuō)5 天內(nèi)的草總量要5 天吃完的話，得有多少頭牛？ 設(shè)每頭牛每天吃草量為1，按以下步驟解答：（1）求草每天的生長(zhǎng)量

因?yàn)?，一方?0天內(nèi)的草總量就是10頭牛20天所吃的草，即（1310320）；另一方面，20天內(nèi)的草總量又等于原有草量加上20天內(nèi)的生長(zhǎng)量，所以

1310320＝原有草量＋20天內(nèi)生長(zhǎng)量

同理 1315310＝原有草量＋10天內(nèi)生長(zhǎng)量

由此可知（20－10）天內(nèi)草的生長(zhǎng)量為

1310320－1315310＝50

因此，草每天的生長(zhǎng)量為 50÷（20－10）＝5（2）求原有草量

原有草量＝10天內(nèi)總草量－10內(nèi)生長(zhǎng)量＝1315310－5310＝100

（3）求5 天內(nèi)草總量 5 天內(nèi)草總量＝原有草量＋5天內(nèi)生長(zhǎng)量＝100＋535＝125（4）求多少頭牛5 天吃完草

因?yàn)槊款^牛每天吃草量為1，所以每頭牛5天吃草量為5。

因此5天吃完草需要牛的頭數(shù) 125÷5＝25（頭）答：需要5頭牛5天可以把草吃完。

例2 一只船有一個(gè)漏洞，水以均勻速度進(jìn)入船內(nèi)，發(fā)現(xiàn)漏洞時(shí)已經(jīng)進(jìn)了一些水。如果有12個(gè)人淘水，3小時(shí)可以淘完；如果只有5人淘水，要10小時(shí)才能淘完。求17人幾小時(shí)可以淘完？

解 這是一道變相的“牛吃草”問(wèn)題。與上題不同的是，最后一問(wèn)給出了人數(shù)（相當(dāng)于“牛數(shù)”），求時(shí)間。設(shè)每人每小時(shí)淘水量為1，按以下步驟計(jì)算：（1）求每小時(shí)進(jìn)水量

因?yàn)椋?小時(shí)內(nèi)的總水量＝131233＝原有水量＋3小時(shí)進(jìn)水量 10小時(shí)內(nèi)的總水量＝135310＝原有水量＋10小時(shí)進(jìn)水量

所以，（10－3）小時(shí)內(nèi)的進(jìn)水量為 135310－131233＝14 因此，每小時(shí)的進(jìn)水量為 14÷（10－3）＝2（2）求淘水前原有水量

原有水量＝131233－3小時(shí)進(jìn)水量＝36－233＝30（3）求17人幾小時(shí)淘完

17人每小時(shí)淘水量為17，因?yàn)槊啃r(shí)漏進(jìn)水為2，所以實(shí)際上船中每小時(shí)減少的水量為（17－2），所以17人淘完水的時(shí)間是 30÷（17－2）＝2（小時(shí)）

答：17人2小時(shí)可以淘完水。

華圖差量法解讀牛吃草：

牛吃草問(wèn)題是公務(wù)員考試中比較難的一類(lèi)問(wèn)題，常規(guī)的解決牛吃草問(wèn)題的辦法是牛吃草公式，即y=（N-x）3T，其中y代表原有存量（比如原有草量），N代表促使原有存量減少的外生可變數(shù)（比如牛數(shù)），x代表存量的自然增長(zhǎng)速度（比如草長(zhǎng)速度），T代表存量完全消失所耗用時(shí)間。注意此公式中默認(rèn)了每頭牛吃草的速度為1。運(yùn)用此公式解決牛吃草問(wèn)題的程序是列出方程組解題，具體過(guò)程不再詳細(xì)敘述，接下來(lái)我們從牛吃草公式本身出發(fā)看看此公式帶給我們的信息。

牛吃草公式可以變形為y+Tx=NT，此式子表達(dá)的意思是原有存量與存量增長(zhǎng)量之和等于消耗的總量，而一般來(lái)說(shuō)原有存量和存量的自然增長(zhǎng)速度是不變的，則在此假定條件下我們可以得到x△T=△(NT)，此式子說(shuō)明兩種不同吃草3方式的該變量等于對(duì)應(yīng)的兩種長(zhǎng)草方式的改變量，而且可以看出草生長(zhǎng)的改變量只與天數(shù)的變化有關(guān)，而牛吃草的改變量與牛的頭數(shù)和天數(shù)都有關(guān)。這個(gè)式子就是差量法解決牛吃草問(wèn)題的基礎(chǔ)。例如：

例

1、有一塊牧場(chǎng)，可供10頭牛吃20天，15頭牛吃10天，則它可供多少頭牛吃4天？（）（2003年廣東公務(wù)員考試行測(cè)第14題）

A、20 B、25 C、30 D、35

這道題目用差量法求解過(guò)程如下：設(shè)可供x頭牛吃4天。則10頭牛吃20天和15頭牛吃10天兩種吃法的改變量為10320—15310,對(duì)應(yīng)的草生長(zhǎng)的改變量為20—10；我們還可以得到15頭牛吃10天和x頭牛吃4天兩種吃法的改變量為15310—4x,對(duì)應(yīng)的草生長(zhǎng)的改變量為10—4。則我們可以列出如下的方程：

=，解此方程可得x=30。

如果求天數(shù)，求解過(guò)程是一樣的，比如下面這道題目：

例

2、林子里有猴子喜歡吃的野果，23只猴子可以在9周內(nèi)吃光，21只猴子可以在12周內(nèi)吃光，問(wèn)如果有33只猴子一起吃，則需要幾周吃光？（假定野果生長(zhǎng)的速度不變）（）（2007年浙江公務(wù)員考試行測(cè)A類(lèi)第24題）

A、2周B、3周C、4周D、5周

這道題目可設(shè)需要x周吃光，則根據(jù)差量法列出如下比例式：

=，解此方程可得x=4.以上兩種情況是最常規(guī)的牛吃草問(wèn)題，實(shí)際上牛吃草問(wèn)題還有很多變形，比如有些時(shí)候牛吃草的速度會(huì)改變，但是依然可以用差量法解決。

例

3、一個(gè)水庫(kù)在年降水量不變的情況下，能夠維持全市12萬(wàn)人20年的用水量。在該市新遷入3萬(wàn)人之后，該水庫(kù)只夠維持15年的用水量，市政府號(hào)召節(jié)約用水，希望能將水庫(kù)的使用壽命提高到30年。那么，該市市民平均需要節(jié)約多少比例的水才能實(shí)現(xiàn)政府制定的目標(biāo)？（）（2009年國(guó)家公務(wù)員考試行測(cè)試卷第119題）

A、2/5

B、2/7

C、1/3

D、1/4

這道題目設(shè)該市市民需要節(jié)約x比例的水才能實(shí)現(xiàn)政府制定的目標(biāo)。則12萬(wàn)人20年和15萬(wàn)人15年兩種吃水方式的差為12320—15315，對(duì)應(yīng)的降水量的改變量為20—15；15萬(wàn)人30年與15萬(wàn)人15年兩種吃水方式的差為153（1—x）330-15315，對(duì)應(yīng)的降水量的改變量為30—15，則可列出如下的比例式：

=，解此方程得x=2/5。

如果改變的是草生長(zhǎng)的速度一樣可以用差量法解答。例如下面的例子：

例

4、在春運(yùn)高峰時(shí)，某客運(yùn)中心售票大廳站滿等待買(mǎi)票的旅客，為保證售票大廳的旅客安全，大廳入口處旅客排隊(duì)以等速度進(jìn)入大廳按次序等待買(mǎi)票買(mǎi)好票的旅客及時(shí)離開(kāi)大廳。按照這種安排，如果開(kāi)出10個(gè)售票窗口，5小時(shí)可使大廳內(nèi)所有旅客買(mǎi)到票；如果開(kāi)出12個(gè)售票窗口，3小時(shí)可使大廳內(nèi)所有旅客買(mǎi)到票，假設(shè)每個(gè)窗口售票速度相同。如果大廳入口處旅客速度增加到原速度的1.5倍，在2小時(shí)內(nèi)使大廳中所有旅客買(mǎi)到票，按這樣的安排至少應(yīng)開(kāi)售票窗口數(shù)為（）（2008年江蘇公務(wù)員考試行測(cè)試卷C類(lèi)第19題）

A.15 B.16 C.18 D.19

此題設(shè)至少應(yīng)開(kāi)售票窗口數(shù)為x。10個(gè)售票窗口5小時(shí)可使大廳內(nèi)所有旅客買(mǎi)到票和開(kāi)出12個(gè)售票窗口3小時(shí)可使大廳內(nèi)所有旅客買(mǎi)到票兩種方式票的差量為5310—3312，對(duì)應(yīng)的旅客差量為5-3；10個(gè)售票窗口5小時(shí)可使大廳內(nèi)所有旅客買(mǎi)到票和大廳入口處旅客速度增加為原速度1.5倍時(shí)開(kāi)出x個(gè)售票窗口2小時(shí)可使大廳內(nèi)所有旅客買(mǎi)到票這兩種方式的差量為5310—2x，對(duì)應(yīng)的旅客差量為5-231.5，則可列出下列比例式：

=

解得x=18。

除了上述兩種變形的情況以外，還有另外一種變形的牛吃草問(wèn)題，即改變?cè)胁萘?。此種類(lèi)型的題目表面上看似乎不能用差量法解了，實(shí)際上經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的變換后依然可以用差量法解答，比如：

如果22頭牛吃33公畝牧場(chǎng)的草，54天后可以吃盡，17頭牛吃28公畝牧場(chǎng)的草，84天可以吃盡，那么要在24天內(nèi)吃盡40公畝牧場(chǎng)的草，需要多少頭牛？（）

A、50

B、46

C、38

D、35

根據(jù)題意我們可以知道40公畝牧場(chǎng)吃54天需要22340÷33=80/3頭牛，而40公畝牧場(chǎng)吃84天需要17340÷28=170/7頭牛，列出差量法的比例式如下：

=，解得x=35。

本例子中出現(xiàn)了不是整頭牛的情況，不太容易理解，實(shí)際上把消耗量的整體看作一個(gè)整體的話，牛的數(shù)目并不重要，只要計(jì)算出消耗草的能力即可。

綜上所述，差量法是一種比牛吃草公式更為簡(jiǎn)捷的辦法，而且對(duì)于所有變形的牛吃草問(wèn)題都適用，是一種很值得推廣的方法。核心公式

【熟記】 牛吃草問(wèn)題的核心公式：草場(chǎng)草量=（牛數(shù)－每天長(zhǎng)草量)×天數(shù)，通常設(shè)每天長(zhǎng)草量為x 基礎(chǔ)題型演練

【例1】有一塊牧場(chǎng)可供10頭牛吃20天；15頭牛吃10天；則它可供25頭牛吃？天

【解答】 根據(jù)核心公式：（10－x)×20=（15－x)×10=（25－x)×？

（10－x)×20=（15－x)×10→x=5

將x=5代入，?=5

【例2】有一塊牧場(chǎng)，可供10頭牛吃20天；15頭牛吃10天；則它可供?頭牛吃4天

【解答】 根據(jù)核心公式：（10－x)×20=（15－x)×10=（?－x)×4（10－x)×20=（15－x)×10→x=5

將x=5代入，?=30 較為復(fù)雜的情形

【例3】22頭牛吃33公畝牧場(chǎng)的草，54天可以吃盡；

17頭牛吃28公畝牧場(chǎng)的草，84天可以吃盡；

？頭牛吃40公畝牧場(chǎng)的草，24天可以吃盡？

A.50 B.46 C.38 D.35

【解答】 設(shè)每公畝牧場(chǎng)每天新長(zhǎng)出來(lái)的草可供x頭牛吃1天，每公畝牧草量為y 根據(jù)核心公式：33y=（22－33x)×54→y=（2－ 3x)×18=36－54x 28y=（17－28x)×84→y=（17－28x)× 3=51－84x

40y=（?－40x)×24 36－54x=51－84x→x=1/2→y=9

40×9=(?-20)×24→?=35 其它情形 ：漏水問(wèn)題，排隊(duì)等候問(wèn)題...等均可看作這種問(wèn)題。

三，鐘表問(wèn)題

1.鐘表一圈分成12格，則時(shí)針每小時(shí)轉(zhuǎn)一格30°，分針12格/小時(shí)； 2.鐘表表面每?jī)筛裰g30°，時(shí)針與分針成某種角度都有對(duì)稱的兩種； 3.重合問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是追擊問(wèn)題

4.快鐘，慢鐘問(wèn)題，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間進(jìn)行對(duì)比（常用比例法）；

時(shí)鐘問(wèn)題是一類(lèi)古典題型，在行測(cè)考試中經(jīng)常出現(xiàn)。有關(guān)時(shí)鐘問(wèn)題的題目中，考查得比較多的是表盤(pán)計(jì)算與快慢鐘計(jì)算問(wèn)題，在本文中，華圖公務(wù)員[微博]考試研究中心將給出解決這兩類(lèi)問(wèn)題的思路方法。1.表盤(pán)計(jì)算

表盤(pán)計(jì)算，主要涉及的是時(shí)間和指針(通常是時(shí)針和分針)角度的對(duì)應(yīng)關(guān)系。我們知道，n點(diǎn)時(shí)，分針與時(shí)針之間的角度為30n度(這個(gè)度數(shù)是指分針沿順時(shí)針?lè)较虻綍r(shí)針的度數(shù))；同時(shí)，時(shí)針每分鐘走0.5°，分針每分鐘走6°，所以過(guò)m分時(shí)，分針比時(shí)針多走度(6-0.5)m=5.5m，因此，n點(diǎn)m分時(shí)，時(shí)針和分針之間的角度就應(yīng)該是30n-5.5m度(這個(gè)度數(shù)仍然是指分針沿順時(shí)針?lè)较虻綍r(shí)針的度數(shù))。

這樣，我們就得到了關(guān)于表盤(pán)計(jì)算的核心公式：n點(diǎn)m分，時(shí)針和分針之間的角度為30n-5.5m度，利用該公式，我們可以輕松解決很多行測(cè)考試中的表盤(pán)指針計(jì)算問(wèn)題。關(guān)于該公式的使用，需注意以下兩點(diǎn)：1.該公式算出的度數(shù)為分針沿順時(shí)針?lè)较虻綍r(shí)針的度數(shù)，因此，若算出的角度為負(fù)數(shù)，則取其絕對(duì)值；若算出的角度大于180°，則用360°減去該角即可；2.當(dāng)時(shí)間為12點(diǎn)時(shí)，取n=12或n=0皆可，但為了計(jì)算方便，往往取n=0。

【例3】(黑龍江2010)張某下午六時(shí)多外出買(mǎi)菜，出門(mén)時(shí)看手表，發(fā)現(xiàn)表的時(shí)針和分針的夾角為110°，七時(shí)前回家時(shí)又看手表，發(fā)現(xiàn)時(shí)針和分針的夾角仍是110°，那么張某外出買(mǎi)菜用了多少分鐘？()A.20分鐘 B.30分鐘C.40分鐘 D.50分鐘 [答案]C

2.快慢鐘計(jì)算

鐘表問(wèn)題中，常常涉及到的第二類(lèi)問(wèn)題就是快慢鐘問(wèn)題。快慢鐘的產(chǎn)生，是因快(慢)鐘走的速度與標(biāo)準(zhǔn)鐘走的速度不同導(dǎo)致的，所以，快慢鐘問(wèn)題本質(zhì)上是比例行程問(wèn)題，解決快慢鐘問(wèn)題的關(guān)鍵，是抓住不同鐘表的“速度比”。

【例1】(深圳事業(yè)單位2010)火車(chē)速度為118千米/時(shí)，一位旅客的手表比標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間每小時(shí)要慢1分鐘，則在該旅客手表所顯示的2小時(shí)內(nèi)，火車(chē)跑了大約()千米。A.230 B.236 C.240 D.248 [答案]C

【例2】(河北2009)一個(gè)快鐘每小時(shí)比標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間快3分鐘，一個(gè)慢鐘每小時(shí)比標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間慢2分鐘。如果將兩個(gè)鐘同時(shí)調(diào)到標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間，結(jié)果在24小時(shí)內(nèi)，快鐘顯示11點(diǎn)整時(shí)，慢鐘顯示9點(diǎn)半。則此時(shí)標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間是()A.10點(diǎn)35分 B.10點(diǎn)30分C.10點(diǎn)15分 D.10點(diǎn)06分 [答案]D

【例3】(浙江2010)有一只怪鐘，每晝夜設(shè)計(jì)成10小時(shí)，每小時(shí)100分鐘。當(dāng)這只怪鐘顯示5點(diǎn)時(shí)，實(shí)際上是中午12點(diǎn)，當(dāng)這只怪鐘顯示8點(diǎn)50分鐘，實(shí)際上是什么時(shí)間？()A.17點(diǎn)50分 B.18點(diǎn)10分C.20點(diǎn)04分 D.20點(diǎn)24分 [答案]D

由以上例題可以看出，處理“已知時(shí)間，求角度”的問(wèn)題，直接使用表盤(pán)計(jì)算公式計(jì)算即可，而在處理“已知角度，求時(shí)間”的問(wèn)題時(shí)，分析出分針沿順時(shí)針?lè)较虻綍r(shí)針的度數(shù)是正確使用表盤(pán)計(jì)算公式的關(guān)鍵之處。

而對(duì)于快慢鐘問(wèn)題，首先需根據(jù)已知條件找出不同鐘表的“速度比”，再根據(jù)“速度比”求出題目中要求的時(shí)間。只要掌握了以上兩種問(wèn)題的處理方法，便能輕松應(yīng)對(duì)行測(cè)考試中的時(shí)鐘問(wèn)題了。

第八章 初等數(shù)學(xué)模塊

一，最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)（短除法）

1.小數(shù)分?jǐn)?shù)型

① 將給定的小數(shù)和分?jǐn)?shù)乘以N（可以不是整數(shù)），使之全部變?yōu)檎麛?shù)； ② 求第一步得到的整數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)；

③ 將得到的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)分別除以N，即是結(jié)果； 2.約數(shù)個(gè)數(shù)型

如果將一個(gè)數(shù)進(jìn)行質(zhì)因數(shù)分解，把各個(gè)質(zhì)因數(shù)的冪次分別加1，再相乘，得到的數(shù)字就是這個(gè)數(shù)字的約數(shù)的個(gè)數(shù)，最小公約數(shù)為1，最大公約數(shù)為自己 例如：360=23*32*5，共有（3+1）*（2+1）*（1+1）=24個(gè)約數(shù)； 二，多位數(shù)字問(wèn)題

代入排除法：逐位選擇型（考慮各個(gè)位置可以選擇的范圍，利用排列組合）頁(yè)碼數(shù)字型：利用公式 三位數(shù)頁(yè)碼公式—頁(yè)碼=字?jǐn)?shù)÷3+36，多位數(shù)表示型：100a+10b+c； 三，余數(shù)同余問(wèn)題 1.代入排除法，2.余數(shù)等式型：被除數(shù)=除數(shù)*商+余數(shù)（0≤余數(shù)＜除數(shù)）3.余同加余，和同加和，差同補(bǔ)差，公倍數(shù)做周期

4.經(jīng)典題型：

在1000以內(nèi)除以3余2，除以7余3，除以11余4的數(shù)共有幾個(gè)？

挨個(gè)嘗試：滿足除以3 余2 的數(shù)有：2,5,8,11,14,17??；同時(shí)滿足除以7余3的第一個(gè)數(shù)是17，→同時(shí)滿足兩個(gè)條件的是21N+17；同理所求在21N+17中找第一個(gè)滿足除以11余4 的數(shù)是59，所以，同時(shí)滿足三個(gè)條件的數(shù)是：21N*11+59=231N+59.四，平均數(shù)值問(wèn)題

核心公式：總和=平均數(shù)*個(gè)數(shù)，等差數(shù)列中，平均數(shù)=中位數(shù)； 1.總體平均數(shù)：直接利用公式，列方程解決； 2.等差中位數(shù) 若條件是給出“等差數(shù)列”，我們可以通過(guò)計(jì)算其“平均數(shù)”來(lái)得到數(shù)列的“中位數(shù)”； 3.參照相對(duì)數(shù)

當(dāng)數(shù)字較大時(shí)，我們可以以平均數(shù)作為參照，計(jì)算所有數(shù)字減去平均數(shù)之后的相對(duì)數(shù)字，用這個(gè)相對(duì)數(shù)字來(lái)代替原來(lái)的數(shù)字，這樣可以簡(jiǎn)化計(jì)算。五，星期日期問(wèn)題 1.星期每七天一循環(huán)

2.“每隔N天”指的是“每N+1天”，但是“每隔N小時(shí)”，就是“每N小時(shí)”； ① 日期加總型：實(shí)質(zhì)是等差數(shù)列，注意跨年/跨月的情況； ② 日期推斷型，按整月計(jì)算，③ 星期推斷型，如果條件日期與提問(wèn)日期相差不到一年，利用上述方法計(jì)算；

如果提問(wèn)N年之后星期幾=N天之后（無(wú)閏年）；

如果之間有閏年，先按平年計(jì)算，再看之間經(jīng)過(guò)幾個(gè)2月29日； 六，循環(huán)周期

若一連串事物以“T”為周期，且“A÷T=N??a”,那么第A項(xiàng)等于第a項(xiàng)； ① 以7為分母的分?jǐn)?shù)，化為小數(shù)后，循環(huán)周期為6；

② 若算余數(shù)時(shí)出現(xiàn)整數(shù)，即余數(shù)為0，那就等同于周期的最后一項(xiàng)。

第九章 行程問(wèn)題模塊

一，基礎(chǔ)計(jì)算型—方程，方程組，比例法（盡量多設(shè)未知數(shù)，多列方程）

（一）雙人運(yùn)動(dòng)型—比例法

（二）變速運(yùn)動(dòng)型—比例法

（三）提前出發(fā)型—提前多長(zhǎng)時(shí)間出發(fā)，就相當(dāng)于多用了多長(zhǎng)時(shí)間；

（四）遲到早到型—遲到多長(zhǎng)時(shí)間就多用多長(zhǎng)時(shí)間，早到多長(zhǎng)時(shí)間就少用多長(zhǎng)時(shí)間；

（五）火車(chē)運(yùn)動(dòng)型—橋長(zhǎng)+車(chē)長(zhǎng)；

（六）比例計(jì)算型—S甲/S乙=V甲/V乙*T甲/T乙，若T相等，S與V成正比；若V相等，S與T成反比；若S相等，V與T成反比；

（七）間歇運(yùn)動(dòng)型—考慮與選項(xiàng)相近的一個(gè)整周期，帶入其中進(jìn)行計(jì)算； 二，相對(duì)速度問(wèn)題

相對(duì)速度問(wèn)題中，帶入公式計(jì)算出的速度是兩個(gè)速度的和或差；

（一）相遇追擊型：

1.相遇問(wèn)題：相遇距離=（大速度+小速度）*相遇時(shí)間； 2.追擊問(wèn)題：追擊距離=（打速度-小速度）*相遇時(shí)間； 3.背離問(wèn)題：背離距離=（打速度+小速度）*背離時(shí)間；

（二）環(huán)形運(yùn)動(dòng)型

1.反向運(yùn)動(dòng)：第N次相遇路程和為N個(gè)周長(zhǎng)

環(huán)形周長(zhǎng)=（大速度+小速度）*相遇時(shí)間； 2.同向運(yùn)動(dòng)：第N次相遇路程差為N個(gè)周長(zhǎng)

環(huán)形周長(zhǎng)=（大速度-小速度）*相遇時(shí)間；

（三）流水行船問(wèn)題

1.順?biāo)篠=（V船+V水）*T順，V靜=（V順+V逆）/2； 2.逆水：S=（V船-V水）*T逆，V水=（V順-V逆）/2；

（四）上下扶梯型

1.順行：扶梯長(zhǎng)度=（V人+V梯）*V順，L梯=S人+S梯； 2.逆行：扶梯長(zhǎng)度=（V人-V梯）*V逆，L梯=S人-S梯；

（五）隊(duì)伍行進(jìn)型（同追擊，相遇）

（六）往返相遇型（畫(huà)圖數(shù)關(guān)鍵）1.兩端同時(shí)出發(fā)型

第N次迎面相遇，路程和=全程*（2N-1），第N次追擊相遇，路程差=全程*（2N-1）；

2.一端出發(fā)型

第N次迎面相遇，路程和=全程*2N，第N次追擊相遇，路程差=全程*2N;三，典型行程模塊

（一）等距離平均速度：V=2V1V2/V1+V2(結(jié)果略小于算數(shù)平均數(shù))，（二）等時(shí)間間隔發(fā)車(chē)

發(fā)車(chē)時(shí)間間隔=2V1V2/V1+V2=T，V車(chē)/V人=T1+T2/T1-T2；

（三）不變速沿途數(shù)車(chē)

計(jì)算出途中所見(jiàn)車(chē)輛的出發(fā)時(shí)間，從而確定可以遇到的車(chē)輛數(shù)，（四）不間歇相遇（只限兩次）1.單岸型：S=3S1+S2/2，2.兩岸型：S=3S1-S2；

（五）無(wú)動(dòng)力順?biāo)?/p>

漂流時(shí)間T=2T順*T逆/T逆-T順

行程問(wèn)題經(jīng)典例題解析：

一、相遇問(wèn)題 1.一次相遇

例1.甲、乙二人同時(shí)從相距54千米的A、B兩地同時(shí)相向而行，甲的速度為4千米/時(shí)，乙的速度為5千米/時(shí)。問(wèn)：假設(shè)甲乙相遇地點(diǎn)為C，則CB相距多少千米?這一段路程和甲乙第一次相遇時(shí)乙走過(guò)的路程是什么關(guān)系? 解析：CB為30千米，即為到第一次相遇時(shí)乙走過(guò)的路程。甲再一次回到C點(diǎn)是從B到的C，故甲走過(guò)的路程實(shí)際上是一個(gè)全程加上CB，即54+30=84(千米);甲乙再一次相遇的時(shí)候，兩人走過(guò)的路程和為3倍的全程，每個(gè)人所走過(guò)的路程也是他第一次相遇時(shí)走過(guò)的路程的3倍，則甲走過(guò)的路程是2433=72(千米)(甲第一次相遇時(shí)走過(guò)的路程為436=24千米)。2.多次相遇

例2.甲從A地、乙從B地同時(shí)以均勻的速度相向而行，第一次相遇離A地6千米，繼續(xù)前進(jìn)，到達(dá)對(duì)方起點(diǎn)后立即返回，在離B地3千米處第二次相遇，則AB兩地相距多少千米? 解析：根據(jù)“多次相遇中的2倍關(guān)系”原理，可知甲從第一次相遇之后到第二次相遇走了632=12千米，在整個(gè)時(shí)間段內(nèi)甲走了6+12=18千米。因?yàn)榧资堑竭_(dá)B地之后返回，相遇地點(diǎn)距離B地3千米，因此AB兩地間的距離是18-3=15千米。3.環(huán)行相遇問(wèn)題

例題3.甲、乙兩人同時(shí)從A點(diǎn)背向出發(fā)，沿400米環(huán)形跑道行走，甲每分鐘走80米，乙每分鐘走50米，兩人至少經(jīng)過(guò)多少分鐘才能在A點(diǎn)相遇?【2011-事業(yè)單位】 A.10 B.12 C.13 D.40 解析：甲、乙要在A點(diǎn)相遇，則甲、乙行走的路程必是400的整數(shù)倍，而甲乙的速度和是130米/分鐘，設(shè)所需時(shí)間為t，則有130t必然是400的倍數(shù)，排除A、B、C三項(xiàng)，選擇D。若正面求解：甲走一圈需400÷80=5分鐘;乙走一圈需400÷50=8分鐘，取5和8的最小公倍數(shù)，即40分鐘。

二、追及問(wèn)題

1.兩者追及問(wèn)題 例4.高速公路上行駛的汽車(chē)A的速度是100公里每小時(shí)，汽車(chē)B的速度是每小時(shí)120公里，此刻汽車(chē)A在汽車(chē)B前方80公里處，汽車(chē)A中途加油停車(chē)10分鐘后繼續(xù)向前行駛。那么從兩車(chē)相距80公里處開(kāi)始，汽車(chē)B至少要多長(zhǎng)時(shí)間可以追上汽車(chē)A? A.2小時(shí) B.3小時(shí)10分 C.3小時(shí)50分 D.4小時(shí)10分

解析：汽車(chē)AB間的追及距離為80公里，當(dāng)A車(chē)加油停車(chē)時(shí)兩者的速度差為120公里每小時(shí)，當(dāng)A車(chē)行駛時(shí)兩者速度差為120-100=20公里每小時(shí)。A車(chē)加油的10分鐘B車(chē)追上1203 =20公里。剩下80-20=60公里，B車(chē)追上用時(shí)為60÷20=3小時(shí)。故汽車(chē)B至少要3小時(shí)10分鐘可以追上汽車(chē)A。

備考：相遇問(wèn)題里面有多次相遇，那么追及里面的多次追及有沒(méi)有，如果有是怎么樣的情況? 1.環(huán)形追及問(wèn)題

例5.甲乙分別在環(huán)形跑道的直徑上同時(shí)同向出發(fā)，環(huán)形跑道周長(zhǎng)為60米，甲得速度為60米/分，乙的速度為70米/分，那么乙要多少分鐘才能第二次追上甲? 解析：甲乙為追及問(wèn)題，甲乙的速度差為10米/分，環(huán)形周長(zhǎng)為60米，所以第一次追上的追及路程為30米，所以用了3分鐘，第二次追上甲追及路程為一個(gè)環(huán)形跑道的周長(zhǎng)，即需要用6分鐘，那么總共用了9分鐘。

三、流水行船問(wèn)題

例6.一客船往返于A、B兩地，已知A、B相距36千米，客船一往一返分別需要2小時(shí)和3小時(shí)，假設(shè)水流速度保持不變，求水流速度及船速分別是多少千米/小時(shí)? A.5，13 B.4，14 C.3，15 D.2，16 解析：設(shè)水速為x千米/小時(shí)，船的靜水速度是y千米/小時(shí)，則有下面兩個(gè)方程：，解得：x=3，y=15 備考：商場(chǎng)里面的扶梯問(wèn)題;人在風(fēng)中行走?等也屬于流水行船問(wèn)題。

四、牛吃草問(wèn)題

例7.有一牧場(chǎng)長(zhǎng)滿牧草，每天牧草勻速生長(zhǎng)，這片牧場(chǎng)可供10頭牛吃20天，15頭牛吃10天，問(wèn)可供25頭牛吃多少天? A.8 B.6 C.5 D.4 解析：此題為典型的牛吃草問(wèn)題。設(shè)一頭牛一天吃草量為1，牧草的生長(zhǎng)速度為x，牧場(chǎng)可供25頭牛吃t天。根據(jù)題意可得(10-x)320=(15-x)310=(25-x)3t，由第一個(gè)等式解得x=5，代入x解得t=5天，故選擇C。

備考：池塘抽水問(wèn)題;森林砍樹(shù)問(wèn)題...也都屬于牛吃草問(wèn)題。

五、時(shí)鐘問(wèn)題

例8.四點(diǎn)半鐘后，時(shí)針與分針第一次成直線的時(shí)刻為()。

A.4點(diǎn)40分 B.4點(diǎn)45 分

C.4點(diǎn)54 分 D.4點(diǎn)57分

解析：時(shí)針一小時(shí)走30度，每分鐘走0.5度;分針1分鐘走6度。四點(diǎn)半時(shí)，時(shí)針與分針的夾角是45度，則第一次成直線需要(180-45)÷(6-0.5)=24又54又分時(shí)第一次成直線。

分，即4點(diǎn)備考：時(shí)鐘問(wèn)題里面還常?？家粋€(gè)鐘壞了，經(jīng)過(guò)多少時(shí)間，壞鐘實(shí)際時(shí)間等。

六、接送問(wèn)題

例9.AB兩個(gè)連隊(duì)同時(shí)分別從兩個(gè)營(yíng)地出發(fā)前往一個(gè)目的地進(jìn)行演習(xí)，A連有卡車(chē)可以轉(zhuǎn)載正好一個(gè)連的人員，為了讓兩個(gè)連隊(duì)的士兵同時(shí)盡快到達(dá)目的地，A連士兵坐車(chē)出發(fā)一定時(shí)間后下車(chē)讓卡車(chē)回去接B連的士兵，兩營(yíng)的士兵恰好同時(shí)到達(dá)目的地，已知營(yíng)地與目的地之間的距離為32千米，士兵行軍速度為8千米/小時(shí)，卡車(chē)行駛速度為40千米/小時(shí)，求兩營(yíng)士兵到達(dá)目的地一共要多少時(shí)間? 解析：由于卡車(chē)的速度為士兵行軍速度的5倍，因此卡車(chē)折回時(shí)已走的路程是B連士兵遇到卡車(chē)時(shí)已走路程的3倍，而卡車(chē)折回所走的路程是B連士兵遇到卡車(chē)時(shí)已走路程的2倍，卡車(chē)接到B連士兵后，還要行走3倍B連士兵遇到卡車(chē)時(shí)已走路程的才能追上A連士兵，此時(shí)他們已經(jīng)到達(dá)了目的地，因此總路程相當(dāng)于4倍B連士兵遇到卡車(chē)時(shí)已走路程，所以B連士兵遇到卡車(chē)時(shí)已走路程為8千米，而卡車(chē)的總行程為(3+2+3)38=64，這一段路，卡車(chē)行駛了64/40=1.6小時(shí)，即1小時(shí)36分鐘也是兩營(yíng)士兵到達(dá)目的地所花的時(shí)間。

第十章 幾何問(wèn)題模塊 一，幾何公式法

1.幾何長(zhǎng)度

正方形周長(zhǎng)C正=4a，C長(zhǎng)=2（a+b），C圓=2πR，C扇=n/360°*2πR，2.幾何面積

S正=a2，S菱或正=（對(duì)角線1*對(duì)角線2）/2，S圓=πR2，S△=ah/2=absinc/2=acsinb/2=bcsina/2，S梯=（a+b）h/2，S扇=n°/360*πR2，S球表面積=4πR2=πD2，3.幾何體積

V正=a3，V長(zhǎng)=a*b*c，V球=4/3πR3，V棱柱=SH,V圓錐=1/3SH=1/3πR3，特殊勾股數(shù)：5,12,13；7,24,25；8,15,17；10,24,26； 二，割，補(bǔ)，平移（單一或組合使用）

1.分割求解型

將一個(gè)不規(guī)則的圖形分割成多個(gè)有規(guī)則的部分 2.嵌套求補(bǔ)型

當(dāng)兩個(gè)規(guī)則圖形存在包含關(guān)系的時(shí)候，大規(guī)則圖形挖去小規(guī)則圖形所剩下的形狀往往是不規(guī)則的，其面積一般是兩個(gè)有規(guī)則面積的差； 3.平移補(bǔ)齊型

4.立體切割型（利用空間想象）； 三，幾何特性法

1.一個(gè)幾何圖形，若其尺度為原來(lái)的M倍，則：

①內(nèi)角角度不變，②邊長(zhǎng)為原來(lái)的M倍，③面積原來(lái)的M2倍，④體積為原來(lái)的M3倍 2.①平面圖形中，若周長(zhǎng)一定，越接近于圓，面積越大； ②平面圖形中，若面積一定，越接近于圓，面積越小； ③立體圖形中，若表面積一定，越接近于球，體積越大； ④立體圖形中，若表面積一定，越接近于球，體積越小； 四，幾何極端問(wèn)題

（一）植樹(shù)問(wèn)題

1.單邊線性植樹(shù)，棵樹(shù)=總長(zhǎng)÷間隔+1；總長(zhǎng)=（棵樹(shù)-1）*間隔； 2.單邊環(huán)形植樹(shù)，棵樹(shù)=總長(zhǎng)÷間隔，總長(zhǎng)=棵樹(shù)*間隔； 3.單邊樓間植樹(shù)，棵樹(shù)=總長(zhǎng)÷間隔-1，總長(zhǎng)=（棵樹(shù)+1）*間隔；

（二）方陣問(wèn)題

1.最外層 每條邊有M個(gè)人：

三角形 3M-3，五邊形 5M-5，四方形 4M-4，M邊型 MN-N，2.M排N列 長(zhǎng)方形方陣（實(shí)心）S總=M*N, 最外層：2M+2N-4，S總=M2，最外層：4N-4，① 無(wú)論是矩形，還是長(zhǎng)方形，相鄰兩圈差8人，② 在方陣中，總?cè)藬?shù)=N2=（最外層÷4+1）2，3.①M(fèi)排N列長(zhǎng)方形（一行一列），M*N-（M-1）*（N-1）； ②N排N列的方陣（一行一列），N2-（N-1）2； ③N排N列的方陣（最外一層），N2-（N-2）2； ④N排N列的方陣（最外二層），N2-（N-4）2；

（三）排隊(duì)型

隊(duì)伍有N人，A排在第M位，則A前面有M-1人，后面有N-M人，（四）爬樓梯問(wèn)題

1.從地面爬到第N層樓，要爬N-1層，休息N-2次； 2.從M樓爬到N樓，要爬|M-N|層樓，休息|M-N|-1次；

（五）割繩子問(wèn)題

一條繩子，對(duì)折N次，切M刀，分成X段，X=2的N次方*M+1（X必為奇數(shù)）；

（六）空間分割問(wèn)題

1.N條直線分割平面或分割圓

當(dāng)N取1,2,3,4,5,6，7,8,9,10時(shí)，可把空間分成2,4,7,11，16,22,29,37,46,56份； 是一個(gè)差為2,3,4,5,6,7,8,9,10的二級(jí)等差數(shù)列； 2.N個(gè)圓分割平面

當(dāng)N取1,2,3,4,5,6,7,8,9,10時(shí)，可把平面分割成2,4,8,14,22,32,44,58,74,92份； 是一個(gè)差為2,4,6,8,10,12,14,16,18的二級(jí)等差數(shù)列；

第十一章 趣味雜題模塊

一，比賽問(wèn)題

N支隊(duì)伍單循環(huán)，共有N*（N-1）/2場(chǎng)比賽，淘汰賽：注意輪空—最常用方法：

二，年齡問(wèn)題（年齡差永遠(yuǎn)不會(huì)變）--盡可能根據(jù)條件多列方程 1.核心知識(shí)點(diǎn)

主要特點(diǎn)是：時(shí)間發(fā)生變化，年齡在增長(zhǎng)，但是年齡差始終不變。年齡問(wèn)題往往是“和差”“差倍”等問(wèn)題的綜合應(yīng)用。解題時(shí)，我們一定要抓住年齡差不變這個(gè)解題關(guān)鍵。解答年齡問(wèn)題的一般方法：幾年后的年齡=大小年齡差÷倍數(shù)差－小年齡 ；

幾年前的年齡=小年齡－大小年齡差÷倍數(shù)差 ；

2.解題方法

（一）直接分析法

例題1：父親今年44歲，兒子今年16歲，當(dāng)父親的年齡是兒子的年齡的8倍時(shí)，父子的年齡和是多少？

A.36 B.54 C.99 D.162 【答案詳解】父子的年齡差是一個(gè)不變量，二者的年齡差為44-16=28歲。因此，當(dāng)父親的年齡是兒子的8倍時(shí)，兒子的年齡為28÷（8-1）=4歲，此時(shí)父子的年齡和為43（8+1）=36歲。

例題2：在一個(gè)家庭中有爸爸、媽媽、女兒和兒子。現(xiàn)在把所有成員的年齡加在一起是77歲，爸爸比媽媽大3歲，女兒比兒子大2歲。5年前，全家所有人的年齡總和是58歲。現(xiàn)在爸爸的年齡是多少歲？ A.67 B.32 C.35 D.78 【答案詳解】根據(jù)5年前全家所有人的年齡和是58歲，可以推出現(xiàn)在全家人的年齡總和應(yīng)該是58+435=78歲。但實(shí)際上的年齡總和卻是77歲，差了1歲，說(shuō)明有一個(gè)人只長(zhǎng)了4歲，這個(gè)人只能是兒子（5年前尚未出生）。女兒就應(yīng)該是4+2=6歲，現(xiàn)在父母的年齡和是77-4-6=67歲，又知他們的年齡差是3歲，可求出爸爸的年齡是（67+3）÷2=35歲。

（二）方程法

例題3：1998年，甲的年齡是乙的年齡的4倍。2002年，甲的年齡是乙的年齡的3倍。問(wèn)甲、乙二人2000年的年齡分別是多少歲? A．34歲，12歲 B．32歲，8歲 C．36歲，12歲 D．34歲，10歲

【答案詳解】設(shè)1998年乙的年齡是x歲，那么甲的年齡是4x歲。從1998年到2002年經(jīng)過(guò)了4年，兩個(gè)人都長(zhǎng)了4歲，那么這個(gè)時(shí)候，甲的年齡是4x+4歲，乙的年齡是x+4歲。由于甲的年齡是乙的 3倍，所以，4x+4=3（x+4），x=8。也就是說(shuō)1998年，乙的年齡是8歲，則2000年的年齡是10歲，直接選擇D。

（三）和差倍關(guān)系法

例題4：2004年小強(qiáng)小學(xué)畢業(yè)時(shí)正好12歲，媽媽40歲，多少年前媽媽的年齡正好是小強(qiáng)的5倍？

A.4 B.5 C.8 D.7 【答案詳解】媽媽和小強(qiáng)的年齡差為40-12=28歲；當(dāng)媽媽的年齡是小強(qiáng)的5倍時(shí)，媽媽與小強(qiáng)的年齡差就相當(dāng)于小強(qiáng)年齡的4倍，此時(shí)小強(qiáng)的年齡為28÷（5-1）=7歲。12-7=5，故5年前媽媽的年齡正好是小強(qiáng)的5倍。

（四）表格法 例題5：5年前甲的年齡是乙的3倍，10年前甲的年齡是丙的一半，若用y表示丙當(dāng)前的年齡，下列哪一項(xiàng)能表示乙當(dāng)前的年齡？

（五）數(shù)軸法

例題6：甲、乙兩人年齡不等，已知當(dāng)甲像乙現(xiàn)在這么大時(shí)，乙8歲；當(dāng)乙像甲現(xiàn)在這么大時(shí)，甲29歲。問(wèn)今年甲的年齡為多少歲？ A．22 B．34 C．36 D．43

（六）代入排除法

例題7：張繁30多歲時(shí)她女兒出生，2008年她女兒的年齡是她的年齡5的倍數(shù)，2009年張繁多少歲？

A.61 B.51 C.62 D.52 【答案詳解】由題意可知，2008年張繁的年齡為5的倍數(shù)，因此2009年張繁的年齡除以5余1，排除C、D兩項(xiàng)。

若2008年張繁60歲，則她女兒為24歲，張繁36歲時(shí)女兒出生，符合題意，選擇A。

若2008年張繁50歲，則她女兒為20歲，張繁30歲時(shí)女兒出生，不符合題意，排除。

第三篇：數(shù)量關(guān)系知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

數(shù)量關(guān)系知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

一，能被3,9整除的數(shù)的數(shù)字特性

①

判斷3/9的倍數(shù)的方法是“劃”

②

“A是B的2倍（一半）”則“A+B”是3的倍數(shù)

③

3/9的倍數(shù)加減乘3/9的倍數(shù)結(jié)果還是3/9的倍數(shù)

④

“A+X”是3/9的倍數(shù)，則A的各個(gè)數(shù)字之和加X(jué)也是3/9的倍數(shù)

⑤

求幾個(gè)數(shù)之和除以3/9余幾，用“劃”的方法

⑥

一個(gè)除以3余2的數(shù)加上一個(gè)除以3余1的數(shù)和能被3整除

一個(gè)除以3余2的數(shù)減去一個(gè)除以3余2的數(shù)差能被3整除

⑦

三個(gè)連續(xù)自然數(shù)之和是3的倍數(shù)

能被11整除的數(shù)，這個(gè)數(shù)奇數(shù)位的和與偶數(shù)位的和之差是11的倍數(shù)

二，倍數(shù)關(guān)系

如果a：b=m：n（m，n互質(zhì)）

a是m的倍數(shù)

如果ab=mn（m，n互質(zhì)）

b是n的倍數(shù)

如果a=bmn（m，n互質(zhì)）

a土b是m土n的倍數(shù)

aXb是mxn的倍數(shù)

注：①題目中出現(xiàn)“比例，分?jǐn)?shù)，倍數(shù)”等形式優(yōu)先考慮倍數(shù)關(guān)系

②2是質(zhì)數(shù)中唯一的偶數(shù)，題干中出現(xiàn)質(zhì)數(shù)優(yōu)先考慮2的特殊性

三，直接帶入法

1.求某數(shù)最大或最小，一般猜選項(xiàng)中的第二大或第二小

2.求操作次數(shù)時(shí)，一般猜選項(xiàng)中的最大或最小

選項(xiàng)羅列一般用直接代入

四，工程問(wèn)題

工作總量=工作效率X工作時(shí)間

如果問(wèn)題問(wèn)的是總量，一般設(shè)工作總量為X

如果問(wèn)題問(wèn)的不是總量，一般設(shè)工作總量為某些數(shù)（速度，時(shí)間，效率，分母）的最小公倍數(shù)

工作總量=人數(shù)X時(shí)間（默認(rèn)每個(gè)人的效率為1）

總量一定，效率與時(shí)間成反比

五，行程問(wèn)題

1.等時(shí)間平均速度公式:V=V1+V2+V3+………Vnn

路程=速度X時(shí)間

2.等距離平均速度公式：1V=1n(1v1+1v2+1v3+………1vn)

平均速度=總路程總時(shí)間

注：等時(shí)間平均速度大于等于等距離平均速度（當(dāng)v1=v2=vn時(shí)取等號(hào)）

迎面相遇時(shí)間=相距路程速度和

追擊相遇時(shí)間=相距路程速度差

V順=V船+V水

V船=V順+V逆2

V逆=V船﹣V水

V水=V順﹣V逆2

火車(chē)完全在橋上的時(shí)間=（橋長(zhǎng)﹣車(chē)長(zhǎng)）÷速度

火車(chē)從開(kāi)始上橋到完全過(guò)橋的時(shí)間=（橋長(zhǎng)+車(chē)長(zhǎng)）÷速度

六，容斥問(wèn)題

標(biāo)志：出現(xiàn)“既……..又…………，兩者，三者都………，或都不……….”

條件1+條件2+兩者都不滿足=總數(shù)+兩者都滿足

當(dāng)問(wèn)題中求只滿足某個(gè)條件個(gè)數(shù)時(shí)用畫(huà)圖加減（兩集合，三集合皆可）

條件1+條件2+條件3+三者都不滿足=總數(shù)+只滿足兩者+2倍三者都滿足

條件1+條件2+條件3+三者都不滿足=總數(shù)+滿足兩者﹣三者都滿足（三個(gè)條件兩兩組合時(shí)用第二個(gè)公式）三集合七，年齡問(wèn)題

主要特點(diǎn)：時(shí)間變化年齡相應(yīng)變化，但年齡差始終不變，倍數(shù)關(guān)系在變小。

（大數(shù)﹣小數(shù)）÷3=年齡差

大數(shù)﹣年齡差=年齡較大者

小數(shù)+年齡差=年齡較小者

八．經(jīng)濟(jì)利益問(wèn)題

總價(jià)=單價(jià)X銷(xiāo)售量

利潤(rùn)=售價(jià)﹣成本

總利潤(rùn)=單件利潤(rùn)X銷(xiāo)售量

利潤(rùn)率=利潤(rùn)÷成本=（售價(jià)﹣成本）÷成本=售價(jià)÷成本﹣1

定價(jià)=成本X（1+期望的利潤(rùn)率）

期望的利潤(rùn)率=成本X成本利潤(rùn)率

折扣后賣(mài)價(jià)=定價(jià)X折扣的百分?jǐn)?shù)

第四篇：事業(yè)單位數(shù)量關(guān)系解題技巧總結(jié)

數(shù)字敏感度訓(xùn)練

1、現(xiàn)在有10顆樹(shù)，以怎樣的栽植方式，能保證每行每列都是4顆？（畫(huà)出種植圖）化學(xué)與數(shù)學(xué)的結(jié)合題型

2、水光瀲影晴方好，山色空蒙雨亦奇。欲把西湖比西子，淡妝濃抹總相宜。[宋]蘇軾 《飲湖上初晴后雨》 后人追隨意境，寫(xiě)了對(duì)聯(lián)： 山山水水，處處明明秀秀。晴晴雨雨，時(shí)時(shí)好好奇奇。

在 以下兩式的左邊添加適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)符號(hào)，使其變成正確的等式： 1122334455=10000 6677889900=10000

我們首先應(yīng)該掌握的數(shù)列及平方數(shù) 自然數(shù)列：1，2，3。。。奇數(shù)數(shù)列：1，3，5。。偶數(shù)數(shù)列：2，4，6。。素?cái)?shù)數(shù)列（質(zhì)數(shù)數(shù)列）：1，3，5，7，11，13。。自然數(shù)平方數(shù)列：1*，2*，3*。。*=2 自然數(shù)立方數(shù)列：1*，2*，3*。。*=3 等差數(shù)列：1，6，11，16，21，26?? 等比數(shù)列：1，3，9，27，81，243?? 無(wú)理式數(shù)列：。。。等

平方數(shù)應(yīng)該掌握20以下的，立方數(shù)應(yīng)該掌握10以下的；特殊平方數(shù)的規(guī)律也的掌握：如，15，25。的平方心算法。

數(shù)量關(guān)系

數(shù)量關(guān)系測(cè)驗(yàn)主要是測(cè)驗(yàn)考生對(duì)數(shù)量關(guān)系的理解與計(jì)算的能力，體現(xiàn)了一個(gè)人抽象思維的發(fā)展水平。

數(shù)量關(guān)系測(cè)驗(yàn)含有速度與難度的雙重性質(zhì)。解答數(shù)量關(guān)系測(cè)驗(yàn)題不僅要求考生具有數(shù)字的直覺(jué)能力，還需要具有判斷、分析、推理、運(yùn)算等能力.知識(shí)程度的要求：大多數(shù)為小學(xué)知識(shí)，初中高中知識(shí)也只占極少部分。

一、數(shù)字推理

數(shù)字推理的題型分析 ：

1、等差數(shù)列及其變式

2、等比數(shù)列及其變式

3、等差與等比混合式

4、求和相加式與求差相減式

5、求積相乘式與求商相除式

6、求平方數(shù)及其變式

7、求立方數(shù)及其變式

8、雙重?cái)?shù)列

9、簡(jiǎn)單有理化式

10、漢字與數(shù)字結(jié)合的推理題型

11、純數(shù)字排列題目

二級(jí)等差數(shù)列的變式

1、相減后構(gòu)成自然數(shù)列即新的等差數(shù)列

25，33，（），52，63

2、相減后的數(shù)列為等比數(shù)列

9，13，21，（），69

3、相減后構(gòu)成平方數(shù)列

111，107，98，（），57

4、相減后構(gòu)成立方數(shù)列

1，28，92，（），433

5、平方數(shù)列的隱藏狀態(tài)

10，18，33，（），92

二級(jí)等比數(shù)列的變式

1、相比后構(gòu)成自然數(shù)列（或等差數(shù)列）6，6，12，36，144，（）

2、與交替規(guī)律的結(jié)合（相比后構(gòu)成循環(huán)數(shù)列）6，9，18，27（）8，8，12，24，60，（）

3、常數(shù)的參與（采用+，-，*，/）11，23，48，99，（）3，8，25，74，（）也可稱做+1，-1法則

其他例題我會(huì)盡快編出,供大家參考.(2)數(shù)字推理常見(jiàn)的排列規(guī)律

(1)奇偶數(shù)規(guī)律：各個(gè)數(shù)都是奇數(shù)(單數(shù))或偶數(shù)(雙數(shù))；[自然數(shù)列，質(zhì)數(shù)數(shù)列等](2)等差：相鄰數(shù)之間的差值相等，整個(gè)數(shù)字序列依次遞增或遞減。(3)等比：相鄰數(shù)之間的比值相等，整個(gè)數(shù)字序列依次遞增或遞減；(4)二級(jí)等差：相鄰數(shù)之間的差或比構(gòu)成了一個(gè)等差數(shù)列；(5)二級(jí)等比數(shù)列：相鄰數(shù)之間的差或比構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)理；(6)加法規(guī)律：前兩個(gè)數(shù)之和等于 實(shí)際問(wèn)題（數(shù)字應(yīng)用題）-------------數(shù)學(xué)模型 推理 演算

實(shí)際問(wèn)題的解----------還原說(shuō)明-----數(shù)學(xué)模型的解

數(shù)學(xué)計(jì)算的題型分析

1.四則運(yùn)算、平方、開(kāi)方基本計(jì)算題型 ２.大小判斷 ３.典型問(wèn)題

（１）比例問(wèn)題（２）盈虧問(wèn)題（３）工程問(wèn)題（４）行程問(wèn)題（５）栽樹(shù)問(wèn)題（６）方陣問(wèn)題（７）“動(dòng)物同籠”思維模型（８）年齡問(wèn)題（９）利潤(rùn)問(wèn)題（１０）面積問(wèn)題（１１）爬繩計(jì)算又稱跳井問(wèn)題（１２）臺(tái)階問(wèn)題（１３）余數(shù)計(jì)算（１４）日月計(jì)算（１５）溶液?jiǎn)栴}（１６）和差倍問(wèn)題（１７）排列組合問(wèn)題（１８）計(jì)算預(yù)資問(wèn)題（１９）歸一問(wèn)題(20)抽屜原理(21)其他問(wèn)題 數(shù)字計(jì)算的解題方法

１.加強(qiáng)訓(xùn)練 提高對(duì)數(shù)字的敏感度 ２.掌握一些數(shù)學(xué)計(jì)算的解題方法及技巧 ３.認(rèn)真審題 把握題意 ４.尋找捷徑 多用簡(jiǎn)便方法 ５.利用排除法提高做題 數(shù)字計(jì)算的規(guī)律方法概括 一.基本計(jì)算方法（１）尾數(shù)估算法（２）尾數(shù)確定法

（３）湊整法 是簡(jiǎn)便運(yùn)算中最常用的方法，即根據(jù)交換律、結(jié)合律把可以湊成10、20、30、50、100。。的數(shù)放在一起運(yùn)算，從而提高運(yùn)算速度?；镜臏愓闶剑?5*8=200等。（４）補(bǔ)數(shù)法 a、直接利用補(bǔ)數(shù)法巧算 b、間接利用補(bǔ)數(shù)法巧算又稱湊整去補(bǔ)法

（５）基準(zhǔn)數(shù)法 當(dāng)遇到兩個(gè)以上的數(shù)相加且這些數(shù)相互接近時(shí)，取一個(gè)數(shù)做基準(zhǔn)數(shù)，然后再加上每個(gè)加數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)的差，從而求和。（6）數(shù)學(xué)公式求解法

如：完全平方差、完全平方和公式的運(yùn)用考查。

（7）科學(xué)計(jì)數(shù)法的巧用 二.工程問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系

工作量＝工作效率x工作時(shí)間

工作效率＝工作量 /工作時(shí)間

總工作量＝各分工作量之和

此類(lèi)題：一般設(shè)總的工作量為1；

三.行程問(wèn)題（1）相遇問(wèn)題

甲從a地到b地，乙從b地到a地，然后兩人在途中相遇，實(shí)質(zhì)上是甲乙一起走了ab之間這段路程，如果兩人同時(shí)出發(fā)，那么：ab之間的路程=甲走的路程+乙走的路程=甲的速度*相遇時(shí)間+乙的速度*相遇時(shí)間=甲乙速度和*相遇時(shí)間

相遇問(wèn)題的核心是速度和時(shí)間的問(wèn)題（2）追及問(wèn)題

追及路程=甲走的路程—乙走的路程=甲乙速度差*追及時(shí)間 追及問(wèn)題的核心是速度差問(wèn)題（3）流水問(wèn)題

順?biāo)俣?船速+水速 逆水速度=船速—水速 因此 船速=（順?biāo)俣?逆水速度）/2 水速=（順?biāo)俣取嫠俣龋?2

四.植樹(shù)問(wèn)題

（1）不封閉路線

(a)兩端植樹(shù)，則顆樹(shù)比段數(shù)多1； 顆樹(shù)=全長(zhǎng)/段數(shù)+1（b）一端植樹(shù)，則顆數(shù)與段數(shù)相等； 顆數(shù)=全長(zhǎng)/段數(shù)

（c）兩端不植樹(shù)，則顆數(shù)比段數(shù)少1。顆數(shù)=全長(zhǎng)/段數(shù)-1(2)封閉路線

植樹(shù)的顆數(shù)=全長(zhǎng)/段數(shù)

五，跳井問(wèn)題或稱爬繩問(wèn)題

完成任務(wù)的次數(shù)=井深或繩長(zhǎng)-每次所爬米數(shù)+1 六，年齡問(wèn)題

方法1：幾年后的年齡=大小年齡差/倍數(shù)差-小年齡 幾年前的年齡=小年齡-大小年齡差/倍數(shù)差 方法2：一元一次方程解法

方法3：結(jié)果代入法，此乃最優(yōu)方法 甲對(duì)乙說(shuō)：當(dāng)我的歲數(shù)是你現(xiàn)在歲數(shù)時(shí)，你才4歲。乙對(duì)甲說(shuō)：當(dāng)我的歲數(shù)到你現(xiàn)在歲數(shù)時(shí)，你將有67歲。甲乙現(xiàn)在各有（）。A．45歲，26歲 B．46歲，25歲 C．47歲，24歲 D．48歲，23歲 甲-4=甲-乙，67-甲=甲-乙 七，雞兔同籠問(wèn)題 1，《孫子算經(jīng)》解法：設(shè)頭數(shù)為a,足數(shù)是b。則b/2-a是兔數(shù)，a-(b/2-a)是雞數(shù)。2，《丁巨算法》解法：雞數(shù)=（4*頭總數(shù)-總足數(shù)）/2 兔數(shù)=總數(shù)-雞數(shù) 兔數(shù)=（總足數(shù)-2*頭總數(shù)）/2 雞數(shù)=總數(shù)-兔數(shù)

著名古典小說(shuō)《鏡花緣》中的米蘭芬算燈用的也是雞兔同籠問(wèn)題的解法。八，溶液?jiǎn)栴} 溶液=溶質(zhì)+溶劑

濃度=溶質(zhì)/溶液=溶質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù) 此類(lèi)題涉及的考查類(lèi)型：

（1）稀釋后，求溶質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)；（2）飽和溶液的計(jì)算問(wèn)題；

注意：一種溶劑可以同時(shí)和幾種溶質(zhì)互溶。

有關(guān)溶液混合的計(jì)算公式是：

m(濃)×c％(濃)+m(稀)×c％(稀)= m(混)×c％(混)由于m(混)=m(濃)+m(稀)，上式也可以寫(xiě)成： m(濃)×c％(濃)+m(稀)×c％(稀)= [m(濃)+m(稀)]×c％(混)此式經(jīng)整理可得：

m(濃)×[c％(濃)-c％(混)] =m(稀)×[c％(混)-c％(稀)]

九、利潤(rùn)問(wèn)題

利潤(rùn)＝銷(xiāo)售價(jià)（賣(mài)出價(jià)）－成本

利潤(rùn)率＝利潤(rùn)／成本＝（銷(xiāo)售價(jià)－成本）／成本＝銷(xiāo)售價(jià)／成本－１ 銷(xiāo)售價(jià)＝成本＊（１＋利潤(rùn)率）成本＝銷(xiāo)售價(jià)／（１＋利潤(rùn)率）

利潤(rùn)總額 =營(yíng)業(yè)利潤(rùn)+投資收益(減投資損失)+補(bǔ)貼收入+營(yíng)業(yè)外收入-營(yíng)業(yè)外支出 營(yíng)業(yè)利潤(rùn)=主營(yíng)業(yè)務(wù)利潤(rùn)+其他業(yè)務(wù)利潤(rùn)-營(yíng)業(yè)費(fèi)用-管理費(fèi)用-財(cái)務(wù)費(fèi)用

主營(yíng)業(yè)務(wù)利潤(rùn)=主營(yíng)業(yè)務(wù)收入-主營(yíng)業(yè)務(wù)成本-主營(yíng)業(yè)務(wù)稅金及附加 其他業(yè)利潤(rùn)=其他業(yè)務(wù)收入-其他業(yè)務(wù)支出

1、資本金利潤(rùn)率

是衡量投資者投入企業(yè)資本的獲利能力的指標(biāo)。其計(jì)算公式為：

資本金利潤(rùn)率=利潤(rùn)總額/資本金總額X100%

企業(yè)資本金利潤(rùn)率越高，說(shuō)明企業(yè)資本的獲利能力越強(qiáng)。

2、銷(xiāo)售收入利潤(rùn)率

是衡量企業(yè)銷(xiāo)售收入的收益水平的指標(biāo)，其計(jì)算公式是：

銷(xiāo)售收入利潤(rùn)率=利潤(rùn)總額/銷(xiāo)售收入凈額X100%

銷(xiāo)售收入利潤(rùn)率是反映企業(yè)獲利能力的重要指標(biāo)，這項(xiàng)指標(biāo)越高，說(shuō)明企業(yè)銷(xiāo)售收入獲取利潤(rùn)的能力越強(qiáng)。

3、成本費(fèi)用利潤(rùn)率

是反映企業(yè)成本費(fèi)用與利潤(rùn)的關(guān)系的指標(biāo)。其計(jì)算公式為：

成本費(fèi)用利潤(rùn)率=利潤(rùn)總額/成本費(fèi)用總額X100%

十、預(yù)資問(wèn)題 對(duì)預(yù)資問(wèn)題的分析，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)此類(lèi)問(wèn)題與比例問(wèn)題是相通的。按照比例問(wèn)題的解法對(duì)預(yù)資問(wèn)題同樣適用。

十一、面積問(wèn)題

解決面積問(wèn)題的核心是“割、補(bǔ)”思維，既當(dāng)我們看到一個(gè)關(guān)于求解面積的問(wèn)題，不要立刻套用公式去求解，這樣解會(huì)進(jìn)如誤區(qū)。對(duì)于此類(lèi)問(wèn)題的通常解法是“輔助線法”，即通過(guò)引入新的輔助線將圖形分割或者補(bǔ)全為很容易求得面積的規(guī)則圖形，從而快速求的面積。

十二、和、差、倍問(wèn)題 求大小兩個(gè)數(shù)的值 １、（和＋差）／２＝較大數(shù) ２、（和－差）／２＝較小數(shù) 和差問(wèn)題的基本解題方法是： １、（和＋差）／２＝較大數(shù) 較大數(shù)－差＝較小數(shù)

（和－差）／２＝較小數(shù) 較小數(shù)＋差＝較大數(shù) ２、一元一次方程解法

1、南京長(zhǎng)江大橋共分兩層，上層是公路橋，下層是鐵路橋。鐵路橋和公路橋共長(zhǎng)11270米，鐵路橋比公路橋長(zhǎng)2270米，問(wèn)南京長(zhǎng)江大橋的公路和鐵路橋各長(zhǎng)多少米？

2、三個(gè)小組共有180人，一、二兩個(gè)小組人數(shù)之和比 3×3×3×3×3=35(種)

十四、盈虧問(wèn)題

把一定數(shù)量（未知）平分成一定份數(shù)（未知），根據(jù)兩次試分的盈（或虧）數(shù)量與每次試分的每份數(shù)量，求總數(shù)量和份數(shù)的公式是

份數(shù)=兩次盈（或虧）的相差數(shù)量÷兩次每份數(shù)量差，總數(shù)量=每份數(shù)量×份數(shù)+盈（或－虧）

1、用繩測(cè)井深，把繩三折，井外余2米，把繩四折，還差1米不到井口，那么井深多少米？繩長(zhǎng)多少米？ 這是個(gè)典型盈虧問(wèn)題。盈虧總數(shù)=3*2+4*1=10米。

解答：井深=（3*2+4*1）/（4-3）=10米，繩長(zhǎng)=（10+2）*3=36米。

2、有一個(gè)班的同學(xué)去劃船。他們算了一下，如果增加1條船，正好每條船坐6人；如果減少1條船，正好每條船坐9個(gè)人。問(wèn)：這個(gè)班共有多少名同學(xué)？

分析：增加一條和減少一條，前后相差2條，也就是說(shuō)，每條船坐6人正好，每條船坐9人則空出兩條船。

這樣就是一個(gè)盈虧問(wèn)題的標(biāo)準(zhǔn)形式了。

解答：增加一條船后的船數(shù)=9*2/（9-6）=6條，這個(gè)班共有6*6=36名同學(xué)。

第五篇：數(shù)量關(guān)系講義

第一節(jié)數(shù)字拆分

一.數(shù)字加法拆分

1.某單位2011年招聘了65名畢業(yè)生，擬分配到該單位的7個(gè)不同的部門(mén)，假設(shè)行政部門(mén)分得的畢業(yè)生人數(shù)比其他部門(mén)都多，問(wèn)行政部門(mén)分得的畢業(yè)生人數(shù)至少為多少名？

A10

B11

C12

D13 變形一：某單位2011年招聘了65名畢業(yè)生，擬分配到該單位的7個(gè)不同的部門(mén)，假設(shè)行政部門(mén)分得的畢業(yè)生人數(shù)比其他部門(mén)都少，問(wèn)行政部門(mén)分得的畢業(yè)生人數(shù)至多為多少名？

變形二：某單位2011年招聘了65名畢業(yè)生，擬分配到該單位的7個(gè)不同的部門(mén)，假設(shè)行政部門(mén)分得的畢業(yè)生人數(shù)比其他部門(mén)都多，且每個(gè)部門(mén)分到的畢業(yè)生人數(shù)互不相同，問(wèn)行政部門(mén)分得的畢業(yè)生人數(shù)至少為多少名？

變形三：某單位2011年招聘了65名畢業(yè)生，擬分配到該單位的7個(gè)不同的部門(mén)，假設(shè)行政部門(mén)分得的畢業(yè)生人數(shù)比其他部門(mén)都少，且每個(gè)部門(mén)分到的畢業(yè)生人數(shù)互不相同，問(wèn)行政部門(mén)分得的畢業(yè)生人數(shù)至多為多少名？

變形四：某單位2011年招聘了65名畢業(yè)生，擬分配到該單位的7個(gè)不同的部門(mén)，且每個(gè)部門(mén)分到的畢業(yè)生人數(shù)互不相同，假設(shè)行政部門(mén)分得的人數(shù)為第四多，問(wèn)行政部門(mén)分得的畢業(yè)生人數(shù)至多為多少名？

2.某連鎖企業(yè)在10個(gè)城市共有100家專賣(mài)店，每個(gè)城市的專賣(mài)店數(shù)量都不同。如果專賣(mài)店數(shù)量排名第5多的城市有12家專賣(mài)店，那么專賣(mài)店數(shù)量排名最后的城市，最多有幾家專賣(mài)店？ A2

B3

C4

D5 二.數(shù)字乘法拆分

3.趙先生34歲，錢(qián)女士30歲，一天，他們碰上了趙先生的三個(gè)鄰居，錢(qián)女士問(wèn)起了他們的年齡，趙先生說(shuō)：他們?nèi)说哪挲g各不相同，三人的年齡之積是2450，三人的年齡之和是我倆年齡之和。問(wèn)三個(gè)鄰居中年齡最大的是多少歲? A.42

B.45

C49

D50 4.孫兒孫女的平均年齡是10歲，孫兒年齡的平方減去孫女年齡的平方所得的數(shù)值，正好是爺爺出生年份的后兩位，爺爺生于上個(gè)世紀(jì)40年代。問(wèn)孫兒孫女的年齡差是多少歲？

A.2

B.4

C.6

D.8

第二節(jié)工程問(wèn)題

一.基本工程問(wèn)題

1.3個(gè)人用3分鐘時(shí)間可以把3只箱子裝上車(chē)，按這個(gè)工作效率，用99分鐘把99只箱子裝上卡車(chē)需要幾個(gè)人？ A3

B9

C18

D99 2.一項(xiàng)工程，工作效率提高四分之一，完成這項(xiàng)工程的時(shí)間將由原來(lái)的十小時(shí)縮短到幾小時(shí)？

A4

B8

C12

D16 3.2臺(tái)大型收割機(jī)和4臺(tái)小型收割機(jī)在一天內(nèi)可收完全部小麥3/10，8臺(tái)大型收割機(jī)和10臺(tái)小型收割機(jī)在一天內(nèi)可收完全部小麥。如果單獨(dú)用大型收割機(jī)和單獨(dú)用小型收割機(jī)進(jìn)行比較，要在一天內(nèi)收完小麥，小型收割機(jī)要比大型收割機(jī)多用多少臺(tái)? A8

B10

C18

D20 二.全程合作工程問(wèn)題

4.一項(xiàng)工程，甲一人做完需30天，甲、乙合作完成需18天，乙、丙合作完成需15天，甲、乙、丙三人共同完成該工程需多少天？ A10

B12

C8

D9 5.一項(xiàng)工程如果交給甲乙兩隊(duì)共同施工，8天能完成；如果交給甲丙兩隊(duì)共同施工，10天能完成；如果交給甲丁兩隊(duì)共同施工，15天能完成；如果交給乙丙丁三隊(duì)共同施工，6天就可以完成。如果甲隊(duì)獨(dú)立施工，需要多少天完成？ A.16

B.20

C.24

D.28 三.分階段工程問(wèn)題

6.有20名工人修筑一段公路，計(jì)劃15天完成。動(dòng)工3天后抽出5人去其他工地，其余人繼續(xù)修路。如果每人的工作效率不變，那么修完這段公路實(shí)際用多少天？ A.19天

B.18天

C.17天

D.16天

7.甲乙合作一項(xiàng)工作需要15天才能完成?，F(xiàn)甲乙合作10天后，乙再單獨(dú)做6天，還剩下這項(xiàng)工作的1/10,則甲單獨(dú)做這項(xiàng)需要多少天？ A40

B38

C36

D32 四.兩項(xiàng)工程型問(wèn)題

8.某市有甲乙丙三個(gè)工程隊(duì)，工作效率比為3:4:5。甲單獨(dú)完成A工程需要25天，丙單獨(dú)完成B工程需要9天。現(xiàn)由甲隊(duì)負(fù)責(zé)B工程，乙隊(duì)負(fù)責(zé)A工程，而丙隊(duì)先幫甲隊(duì)工作若干天后轉(zhuǎn)去幫助乙隊(duì)工作。如希望兩個(gè)工程同時(shí)開(kāi)工同時(shí)竣工，則丙隊(duì)要幫乙隊(duì)工作多少天？ A 6

B 7

C8

D9

第三節(jié)濃度問(wèn)題

一.溶液混合問(wèn)題

1.某鹽溶液100克，加入20克水稀釋，濃度變?yōu)?0%，然后加入80克濃度為25%的鹽溶液，此時(shí)，混合后的鹽溶液濃度為多少？ A.30%

B.40%

C.45%

D.50% 2.瓶中裝有濃度為20%的酒精溶液1000克，現(xiàn)在又分別倒入200克和400克的A、B兩種灑精溶液，瓶里的溶液濃度變?yōu)?5%，已知A種酒精溶液的濃度是B種酒精溶液濃度的2倍。那么A種酒精溶液的濃度是多少? A.5%

B.6%

C.8%

D.10% 3.在某狀態(tài)下，將28g某種溶質(zhì)放入99g水中恰好配成飽和溶液，從中取出1/4溶液加入4g溶質(zhì)和11g水，請(qǐng)問(wèn)此時(shí)濃度變?yōu)槎嗌伲?A.21.61%

B.22.05%

C.23.53%

D.24.15% 4.甲乙兩個(gè)容器中分別裝有17%的酒精溶液400克，9%的酒精溶液600克，從兩個(gè)容器中分別取出相同重量的酒精溶液倒入對(duì)方容器中，這時(shí)兩個(gè)容器的酒精濃度相同，則從甲容器倒入乙容器中的酒精溶液是多少？ A200

B240

C250

D260 二.等量揮發(fā)稀釋問(wèn)題 5.一種溶液，蒸發(fā)掉一定量的水后，溶液的濃度為10%，再蒸發(fā)掉同樣多的水后，溶液濃度變?yōu)?2%，第三次蒸發(fā)掉同樣多的水后，溶液的濃度將變?yōu)槎嗌伲?A.14%

B.17%

C.16%

D.15% 6.已知鹽水若干千克，第一次加入一定量的水后，鹽水濃度變?yōu)?％，第二次加入同樣多的水后，鹽水濃度變?yōu)?％，第三次再加入同樣多的水后鹽水濃度是多少？

A．3％

B．2.5％

C．2％

D．1.8％

第四節(jié)抽屜原理

1.在一個(gè)口袋里有10個(gè)黑球，6個(gè)白球，4個(gè)紅球，至少要取出幾個(gè)球才能保證其中有白球？

A14

B15

C17

D18 2.黑色布袋中裝有紅、黃、藍(lán)三種顏色的襪子各3種，如果閉上眼睛從布袋中拿這些襪子，為保證拿到兩雙（每雙顏色要相同）襪子，至少要拿多少只？ A5

B6

C7

D8 3.有紅黃綠三種顏色的手套各6雙，裝在一個(gè)黑色的布袋里，從袋子里任意取出手套來(lái)，為確保至少有2雙手套不同顏色，則至少要取出多少只手套？ A20

B25

C27

D30 4.有300名求職者參加高端人才專場(chǎng)招聘會(huì)，其中軟件設(shè)計(jì)類(lèi)、市場(chǎng)營(yíng)銷(xiāo)類(lèi)、財(cái)務(wù)管理類(lèi)和人力資源管理類(lèi)分別有100、80、70和50人。問(wèn)至少有多少人找到工作，才能保證一定有70名找到工作的人專業(yè)相同? A.71

B119

C258

D277

第五節(jié)計(jì)數(shù)模型

一.比賽問(wèn)題

1.abcde這五個(gè)小組開(kāi)展撲克比賽,每?jī)蓚€(gè)小組之間都要比賽一場(chǎng),到現(xiàn)在為止,a組己經(jīng)比賽了4場(chǎng),b組已經(jīng)比賽了3場(chǎng),c組已經(jīng)比賽了2場(chǎng),d組已經(jīng)比賽1場(chǎng),e組比了幾場(chǎng)? A0

B1

C2

D3 2.張、王、劉和李四人進(jìn)行象棋比賽，每?jī)扇酥g都要賽一局。已知張勝了兩局，王平了三局，問(wèn)劉和李加起來(lái)最多勝了幾局？ A0

B1

C2

D3 3.某羽毛球賽共有23支隊(duì)伍報(bào)名參賽，賽事安排23支隊(duì)伍抽簽兩兩爭(zhēng)奪下一輪的出線權(quán),沒(méi)有抽到對(duì)手的隊(duì)伍輪空，直接進(jìn)入下一輪。那么，本次羽毛球賽最后共會(huì)遇到多少次輪空的情況? A1

B2

C3

D4 二.植樹(shù)問(wèn)題

4.某單位購(gòu)買(mǎi)一批樹(shù)苗計(jì)劃在一段路兩旁植樹(shù)。若每隔5米種1棵樹(shù)，可以覆蓋整個(gè)路段，但這批樹(shù)苗剩20棵。若每隔4米種1棵樹(shù)且路尾最后兩棵樹(shù)之間的距離為3米，則這批樹(shù)苗剛好可覆蓋整個(gè)路段。這段路長(zhǎng)為多少？ A195

B205

C375

D395 三.剪繩問(wèn)題

5.一根繩子對(duì)折三次后，從中間剪斷，共剪成多少段？ A9

B6

C5

D3 6.李先生去10層樓的8層去辦事，恰趕上電梯停電，他只能步行爬樓。他從第1層爬到第4層用了48秒，請(qǐng)問(wèn)以同樣的速度爬到第8層需要多少秒？ A112

B96

C64

D48 四.方陣問(wèn)題

7.某學(xué)校的全體學(xué)生剛好排成一個(gè)方陣，最外層人數(shù)是108人，則這個(gè)學(xué)校共有多少名學(xué)生？

A724

B744

C764

D784 8.有一隊(duì)士兵排成若干層的中空方陣，外層人數(shù)共有60人，中間一層共有44人，則該方陣士兵的總?cè)藬?shù)是多少？ A156

B210

C220

D280 五.空瓶換酒

9.超市規(guī)定每3個(gè)空汽水瓶可以換一瓶汽水,小李有11個(gè)空汽水瓶,最多可以換幾瓶汽水？ A.5

B.4

C.3

D.2

第六節(jié)初等數(shù)學(xué)問(wèn)題

一.牛吃草問(wèn)題

1.一片草地（草以均勻速度生長(zhǎng)），240只羊可以吃6天，200只羊可以吃10天，則這片草可供190只羊吃的天數(shù)是多少天？ A11

B12

C14

D15 2.某演唱會(huì)檢票前若干分鐘就有人開(kāi)始排隊(duì)等候入場(chǎng)，而每分鐘來(lái)的觀眾人數(shù)一樣多。從開(kāi)始檢票到等候隊(duì)伍消失，若同時(shí)開(kāi)4個(gè)入場(chǎng)口需50分鐘，若同時(shí)開(kāi)6個(gè)入場(chǎng)口則需30分鐘。問(wèn)如果同時(shí)開(kāi)7個(gè)入場(chǎng)口需幾分鐘？

A.18分鐘

B.20分鐘

C.22分鐘

D.25分鐘

二.盈虧問(wèn)題

3.為加強(qiáng)綠色環(huán)保，某單位積極參加植樹(shù)活動(dòng)?，F(xiàn)有一批樹(shù)苗，若每人栽8棵，則剩下19棵；若每人栽9棵，則還少4棵。這批樹(shù)苗共有多少？ A186

B192

C203

D240 4.小王周末組織朋友自助游，費(fèi)用均攤，結(jié)帳時(shí)，如果每人付450元，則多出100元;如果小王的朋友每人付430元，小王自己要多付60元才剛好，這次活動(dòng)人均費(fèi)用是多少？

A.437.5元

B.438.0元

C.432.5元

D.435.0元

三.雞兔同籠問(wèn)題

5.雞和兔被關(guān)在同一籠子中，上有65個(gè)頭，下有198只腳，那么雞，兔各有多少只？

A28.37

B29.36

C30.35

D31.34 6.某地勞動(dòng)部門(mén)租用甲、乙兩個(gè)教室開(kāi)展農(nóng)村實(shí)用人才計(jì)劃。兩教室均有5排座位，甲教室每排可坐10人，乙教室每排可坐9人。兩教室當(dāng)月共舉辦該培訓(xùn)27次，每次培訓(xùn)均座無(wú)虛席，當(dāng)月共培訓(xùn)1290人次。問(wèn)甲教室當(dāng)月共舉辦了多少次這項(xiàng)培訓(xùn)？

A.8

B.10

C.12

D.15 四.周期問(wèn)題

7.把黑桃,紅桃,方片,梅花四種花色的撲克牌按黑桃10張,紅桃9張,方片7張,梅花5張的順序循環(huán)排列.問(wèn)第2015張撲克牌是什么花色? A.黑桃

B.紅桃

C.梅花

D.方片

8.書(shū)架的某一層上有136本書(shū)，且是按照“3本小說(shuō)、4本教材、5本工具書(shū)、7本科書(shū)、3本小說(shuō)、4本教材??”的順序循環(huán)從左至右排列的。問(wèn)該層最右邊的一本是什么書(shū)？

A.小說(shuō)

B.教材

C.工具書(shū)

D.科技書(shū)

五.星期問(wèn)題

9.2010年2月15日后第80天是？

A5月5日

B5月6日

C5月3日

D5月4日

六.分段計(jì)價(jià)

10.某市出租車(chē)運(yùn)費(fèi)計(jì)算方式如下：起步價(jià)2公里6元，2公里之后每增加1公里收費(fèi)1．7元。6公里之后每增加1公里收費(fèi)2．0元，不足1元按四舍五入計(jì)算。某乘客乘坐了31公里，應(yīng)該付多少元車(chē)費(fèi)? A63

B64

C65

D66

11.某市居民用電實(shí)行分段式收費(fèi)，以人為單位設(shè)定了相同的基準(zhǔn)用電度數(shù)，家庭人均用電量超過(guò)基準(zhǔn)用電度數(shù)的部分按照基準(zhǔn)電費(fèi)的兩倍收取電費(fèi)。某月，家庭5口人用電250度，電費(fèi)175元；家庭3口人用電320，電費(fèi)275元。該市居民每人的基準(zhǔn)用電為多少度？ A50

B35

C30

D25 七．余數(shù)同余

12.四位數(shù)的自然數(shù)P滿足：除以9余2，除以8余2，除以7余2，則滿足條件的P有幾個(gè)？

A12

B15

C18

D20 13.有一個(gè)自然數(shù)X。除以3的余數(shù)是2.除以4的余數(shù)是3.問(wèn)除以X的余數(shù)是多少？

A1

B5

C9

D11 14.一個(gè)三位數(shù)除以9余7，除以5余2，除以4余3.這樣的三位數(shù)有多少個(gè)？ A5

B6

C7

D8

第七節(jié)和差倍比

一.基本和差倍比

1.3月12日是植樹(shù)節(jié)，初三年級(jí)170名同學(xué)去參加義務(wù)植樹(shù)活動(dòng)，如果每名男生平均一天能挖樹(shù)坑3個(gè)，每個(gè)女生平均一天能種樹(shù)7棵，正好是每個(gè)樹(shù)坑種上一棵樹(shù)，問(wèn)該年級(jí)男女各多少人？

A115.55

B119.51

C130.40

D125.45 二.基本方程問(wèn)題

2.某單位共有職工72人，年底考核平均分?jǐn)?shù)為85分，根據(jù)考核分?jǐn)?shù)，90分以上的職工評(píng)為優(yōu)秀職工，已知優(yōu)秀職工的平均分?jǐn)?shù)為92分，其他職工的平均分?jǐn)?shù)是80分，問(wèn)優(yōu)秀職工的人數(shù)是多少? A.12

B.24

C.30

D.42 3.某單位原有45名職工，從下級(jí)單位調(diào)入5名黨員職工后，該單位的黨員人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比重上升了6個(gè)百分點(diǎn)。如果該單位又有2名職工入黨，那么該單位現(xiàn)在的黨員人數(shù)占總?cè)藬?shù)的比重為多少？ A.50%

B.40%

C.70%

D.60%

第八節(jié)平均數(shù)

一.基本平均數(shù)

1.一個(gè)房間里有10個(gè)人，平均年齡是27歲。另一個(gè)房間里有15個(gè)人，平均年齡是37歲。兩個(gè)房間的人合在一起，他們的平均年齡是多少歲？ A30

B31

C32

D33 2.有四個(gè)數(shù)，去掉最大的數(shù)，其余三個(gè)數(shù)的平均數(shù)是41，去掉最小的數(shù)，其余三個(gè)數(shù)的平均數(shù)是60，最大數(shù)與最小數(shù)的和是95.則這四個(gè)數(shù)的平均數(shù)是多少？ A49.75

B51.25

C53.75

D54.75 二.調(diào)和平均數(shù) 3.一輛汽車(chē)從A地到B地的速度為每小時(shí)60千米，返回時(shí)速度為每小時(shí)90千米，則它往返的平均速度為多少？ A64

B72

C75

D84 4.商店購(gòu)進(jìn)甲乙兩種不同的糖所用的錢(qián)數(shù)相等，已知甲種糖每千克6元，乙種每千克4元。如果把這兩種糖混在一起成為什錦糖，那么這種什錦糖每千克的成本是多少元？

A7

B8

C9

D10

第九節(jié)數(shù)列問(wèn)題

一.等差數(shù)列求和

1.某條公交線路上共有10個(gè)車(chē)站，一輛公交車(chē)在始發(fā)站上了12個(gè)人，在隨后每一站上車(chē)的人數(shù)都比上一站少1人。到達(dá)終點(diǎn)站時(shí)，所有乘客均下了車(chē)。如果每個(gè)車(chē)站下車(chē)乘客數(shù)相同，那么有多少人在終點(diǎn)站下車(chē)？ A.7

B.9

C.10

D.8 2.在自然數(shù)1至50中，將所有不能被3除盡的數(shù)相加，所得的和是多少？ A865

B866

C867

D868 二.等差數(shù)列和項(xiàng)轉(zhuǎn)化

3.某天辦公桌上臺(tái)歷顯示是一周前的日期,將臺(tái)歷的日期翻到當(dāng)天,正好所翻頁(yè)的日期加起來(lái)是168。那么當(dāng)天是幾號(hào)? A20

B21

C27

D28 4.某成衣廠對(duì)9名縫紉工進(jìn)行技術(shù)評(píng)比，9名工人的得分恰好成等差數(shù)列，9人的平均分是86分，前五名工人的得分之和是460分，那么前7名工人的得分之和是是多少？

A602

B623

C627

D631 三.等比數(shù)列

5.小趙，小錢(qián)，小孫，小李，小周五個(gè)人的收入依次成等比，已知小趙的收入是3000元，小孫的收入是3600元，那么小周比小孫的收入高多少？ A700

B720

C760

D780

第十節(jié)行程問(wèn)題

一.基礎(chǔ)行程問(wèn)題

1.甲每分鐘走80米。乙每分鐘走72米，兩人同時(shí)從A地出發(fā)到B地，乙比甲多用4分鐘。AB兩地相距多少米? A320

B288

C1440

D2880 2.小張和小王同時(shí)騎摩托車(chē)從A地向B地出發(fā)，小張的車(chē)速是每小時(shí)40公里，小王的車(chē)速是每小時(shí)48公里。小王到達(dá)B地后立即向回返，又騎了15分鐘后與小張相遇。那么A地與B地之間的距離是多少公里？ A.144

B136

C132

D128 3.一架飛機(jī)所帶的燃料最多可用6小時(shí)，飛去時(shí)順風(fēng)，時(shí)速為1500km；回來(lái)時(shí)逆風(fēng)，時(shí)速為1200Km,問(wèn)這架飛機(jī)最多飛出去幾小時(shí)，就要往回飛？ A3750

B3900

C4000

D4200 4.AB兩山村之間的路不是上坡就是下坡，相距60千米。郵遞員騎車(chē)從A村到B村，用了3.5小時(shí);再延原路返回，用了4.5小時(shí)。已知上坡時(shí)郵遞員車(chē)速是12千米/小時(shí)，則下坡的車(chē)速是多少？ A10

B12

C14

D20 5.一列長(zhǎng)為280米的火車(chē)，速度為每秒20米，經(jīng)過(guò)2800米的大橋，火車(chē)完全通過(guò)這座大橋需要多長(zhǎng)時(shí)間？

A48

B2分20秒

C2分28秒

D2分34秒

二.拓展行程問(wèn)題

6.甲乙丙三人沿著400米環(huán)形跑道進(jìn)行800米跑比賽，當(dāng)甲跑1圈時(shí)，乙比甲多跑了1／7圈。丙比甲少跑1/7圈。如果他們各自跑步的速度始終不變，那么，當(dāng)乙到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，甲在丙前面多少？

A、85米

B.90米

C.100米

D.105米

7.小王去一個(gè)離家10千米的地方，他每小時(shí)步行3千米,每步行50分鐘他要休息10分鐘，8點(diǎn)整出發(fā)，他幾點(diǎn)可以到目的地？ A12：00

B12:30

C12：35

D12：40 三.相對(duì)速度

8.兩港口相距450千米，甲航行要15小時(shí)，乙船行要12小時(shí)，甲因?yàn)橛惺孪乳_(kāi)2小時(shí)后，乙船出發(fā)追甲船，乙船要行多少千米才能追上甲船？ A300

B255

C240

D150 9.運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的跑道一圈長(zhǎng)400米，甲練習(xí)騎自行車(chē)，平均每分騎350米，乙練習(xí)跑步，平均每分跑250米，兩人從同一處同時(shí)同向出發(fā)，經(jīng)過(guò)多少分鐘首次相遇？ A1

B2

C3

D4 10.一艘汽船往返于兩碼頭間，逆流需要10小時(shí)，順流需要6小時(shí)。已知船在靜水中的速度為12公里/小時(shí)。水流的速度是多少公里/小時(shí)？ A.2

B.3

C.4

D.5 11.一條執(zhí)行考察任務(wù)的科考船，現(xiàn)從B地沿河駛向入?？冢阎狟地距人?？?0千米。水速為每小時(shí)6千米，若船順流而下，則用4小時(shí)可以到達(dá)人海口，該船完成任務(wù)從人海口返回并按原速度航行4小時(shí)后，由于海水漲潮，水流方向逆轉(zhuǎn)，水速變?yōu)槊啃r(shí)3千米。則該船到達(dá)B地還需再航行多少小時(shí)? A5

B4

C3

D2 12.商場(chǎng)的自動(dòng)扶梯以勻速由下往上行駛，兩個(gè)孩子嫌扶梯走得太慢，于是在行駛的扶梯上，男孩每秒鐘向上走2個(gè)梯級(jí)，女孩每2秒鐘向上走3個(gè)梯級(jí)。結(jié)果男孩用40秒鐘到達(dá)，女孩用50秒鐘到達(dá)。則當(dāng)扶梯靜止時(shí)，可看到的扶梯梯級(jí)有多少級(jí)？

A.80

B100

C120

D140 13.一支部隊(duì)排成長(zhǎng)度為800米的隊(duì)列行軍，速度為80米/分。在隊(duì)首的通訊員以3倍于行軍速度跑步到隊(duì)尾，花1分鐘傳達(dá)命令后，以同樣的速度跑回到隊(duì)首。往返過(guò)程中通信員所花費(fèi)的時(shí)間為？ A7.5

B8

C8.5

D10 四.典型行程問(wèn)題

14.小王登山，上山的速度是每小時(shí)4千米，到達(dá)山頂后原路返回，速度為每小時(shí)6千米。設(shè)山路長(zhǎng)為9千米，小王的平均速度為多少？ A5

B4.8

C4.6

D4.4 15.地鐵檢修車(chē)沿地鐵線路勻速前進(jìn)，每6分鐘有一列地鐵從后面追上，每2分鐘有一列地鐵迎面開(kāi)來(lái)。假設(shè)兩個(gè)方向的發(fā)車(chē)間隔和列車(chē)速度相同，則發(fā)車(chē)間隔是多少？

A．2分鐘

B．3分鐘

C．4分鐘

D．5分鐘

16.從甲乙兩車(chē)站同時(shí)相對(duì)開(kāi)出第一輛公共汽車(chē)，此后兩站每隔8分鐘再開(kāi)出一輛，依次類(lèi)推。已知每輛車(chē)的車(chē)速相同而且都是勻速的，每輛車(chē)到達(dá)對(duì)方車(chē)站都需45分鐘?，F(xiàn)有一乘客坐車(chē)從甲站開(kāi)出的第一輛車(chē)去乙站，問(wèn)他在路上會(huì)遇到幾輛從乙站開(kāi)出的公共汽車(chē)？ A4

B5

C6

D7 17.甲從A地，乙從B地同時(shí)以均勻的速度相向而行，第一次相遇離A地6千米，繼續(xù)前進(jìn)，到達(dá)對(duì)方起點(diǎn)后立即返回，在離B地3千米處第二次相遇，則AB兩地相距多少千米？

A10

B12

C18

D15 18.甲乙兩車(chē)同時(shí)從AB兩地相向而行，在距A地80千米處相遇，相遇后兩車(chē)?yán)^續(xù)前進(jìn)，甲車(chē)到達(dá)B地，乙車(chē)到達(dá)A地后均立即按原路返回，第二次在距A地60千米處相遇。求AB間路程 A130

B150

B180

D200

第十一節(jié)容斥原理

一.容斥原理兩集合容斥

1.某班對(duì)50名學(xué)生進(jìn)行體檢，有20人近視，12人超重，4人既近視又超重。該班有多少人既不近視又不超重？ A22

B24

C26

D28 2.某科研單位共有68名科研人員，其中45人具有碩士以上學(xué)歷，30人具有高級(jí)職稱，12人兼而有之。沒(méi)有高級(jí)職稱也沒(méi)有碩士以上學(xué)歷的科研人員是多少人？ A13

B10

C8

D5 二.三集合容斥

3.某公司招聘員工，按規(guī)定每人至多可投考兩個(gè)職位，結(jié)果共42人報(bào)名，甲、乙、丙三個(gè)職位報(bào)名人數(shù)分別是22人、16人、25人，其中同時(shí)報(bào)甲、乙職位的人數(shù)為8人，同時(shí)報(bào)甲、丙職位的人數(shù)為6人，那么同時(shí)報(bào)乙、丙職位的人數(shù)為多少？

A.7人

B.8人

C.5人

D.6人

4.對(duì)39種食物中是否含有甲、乙、丙三種維生素進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果如下：含甲的有17種，含乙的有18種，含丙的有15種，含甲、乙的有7種，含甲、丙的有6種，含乙、丙9種，三種維生素都不含的有7種，則三種維生素都含的有多少種？

A.4

B.6

C.7

D.9 三.三集合容斥整體思維

5.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)對(duì)集貿(mào)市場(chǎng)36種食品進(jìn)行檢查，發(fā)現(xiàn)超過(guò)保質(zhì)期的7種，防腐劑添加不合格的9種，外包裝不規(guī)范的6種，其中，兩項(xiàng)同時(shí)不合格的5種，三項(xiàng)同時(shí)不合格的2種，問(wèn)三項(xiàng)全部合格的多少種？ A14

B21

C23

D32 6.某高校對(duì)一些學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查。在接受調(diào)查的學(xué)生中，準(zhǔn)備參加注冊(cè)會(huì)計(jì)師考試的有63人，準(zhǔn)備參加英語(yǔ)六級(jí)考試的有89人，準(zhǔn)備參加計(jì)算機(jī)考試的有47人，三種考試都準(zhǔn)備參加的有24人，準(zhǔn)備選擇兩種考試都參加的有46人，不參加其中任何一種考試的都15人。問(wèn)接受調(diào)查的學(xué)生共有多少人？ A120

B144

C177

D192 四.多集合容斥

7.建華中學(xué)共有1600名學(xué)生，其中喜歡乒乓球的有1180人，喜歡羽毛球的有1360人，喜歡籃球的有1250人，喜歡足球的有1040人，問(wèn)以上四項(xiàng)球類(lèi)運(yùn)動(dòng)都喜歡的至少有幾人？

A．20人

B．30人

C．40人

D．50人

第十二節(jié)排列組合

一.基礎(chǔ)排列組合

1.甲乙丙三個(gè)人到旅店住店，旅店里只有三個(gè)房間，恰好每個(gè)房間住一個(gè)人，則共有多少種住法？ A5

B6

C7

D8 2.把6個(gè)標(biāo)有不同標(biāo)號(hào)的小球放入三個(gè)大小不同的盒子里。大號(hào)盒子放3個(gè)，中號(hào)盒子放2個(gè)，小號(hào)盒子放1個(gè)，則有多少種方法？ A50

B60

C70

D40 二.分類(lèi)分步型

3.三年級(jí)有5個(gè)班，四年級(jí)有6個(gè)班，五年級(jí)有3個(gè)班，王老師可以從中選擇不同年級(jí)的兩個(gè)班上課，那么他有多少種選擇方法？ A.45

B.63

C.120

D.48 4.有3個(gè)單位共訂300份報(bào)紙，每個(gè)單位最少訂99份，最多訂101份。一共有多少種不同的訂法？ A4

B5

C6

D7 5.小王的手機(jī)通訊錄上有一手機(jī)號(hào)碼，只記下前面8個(gè)數(shù)字為15903428。但他肯定，后面3個(gè)數(shù)字全是偶數(shù)，最后一個(gè)數(shù)字是6，且后3個(gè)數(shù)字中相鄰數(shù)字不相同，請(qǐng)問(wèn)該手機(jī)號(hào)碼有多少種可能？ A.15

B.16

C.20

D.18 三.捆綁插空

6.ABCDE五個(gè)人排成一排，其中AB兩人必須站在一起。有多少種排法？ A120

B72

C48

D24 7.ABCDE五個(gè)人排成一排，其中AB不站在一起，有多少種排法？ A120

B72

C48

D24 8.7個(gè)人排成一排照相，要求甲乙丙不相鄰，有多少種不同的方法？ A1440

B720

C360

D180 四.分配插板法

9.把9個(gè)蘋(píng)果分給5個(gè)人，每人至少一個(gè)蘋(píng)果，那么不同的分法一共有多少種？ A30

B40

C60

D70 10某單位訂閱了30份學(xué)習(xí)材料發(fā)放給3個(gè)部門(mén)，每個(gè)部門(mén)至少發(fā)放9份材料。問(wèn)一共有多少種不同的發(fā)放方法？

A.7

B.9

C.10

D.12 五.錯(cuò)位排列型

11.小明給住在5個(gè)國(guó)家的5位朋友分別寫(xiě)了一封信，這些信都裝錯(cuò)了信封的情況共有多少種？

A 32

B 44

C 64

D 120 六.重復(fù)剔除型

12.將6個(gè)人分成三組。有多少分配方法？ A15

B30

C45

D90

第十三節(jié)概率問(wèn)題

一.基礎(chǔ)計(jì)算型

1.匣中有4只球,其中紅球,黑球,白球各1只,另有1只紅,黑,白三色球,現(xiàn)從匣中任取2球,其中恰有1球有紅色的概率? A1/6

B2/3

C1/3

D1/2 2.將自然數(shù)1—100分別寫(xiě)在完全相同的100張卡片上，然后打亂卡片，先后隨機(jī)取出4張，問(wèn)這4張先后取出的卡片上的數(shù)字呈增序的幾率是多少? A、1/16

B、1/24

C、1/32

D、1/72 二.分類(lèi)分步

3.小王和小張各加工了10個(gè)零件，分別有1個(gè)和2個(gè)次品，若從兩人加工的零件里各隨機(jī)取2個(gè)，則選出的4個(gè)零件中正好有2個(gè)次品的概率是多少？ A.小于25%

B.25%~35%

C.35%~45%

D.45%以上

4.甲某打電話時(shí)忘記了對(duì)方電話號(hào)碼最后一位數(shù)字，但記得這個(gè)數(shù)字不是“0”。甲某嘗試用其他數(shù)字代替最后一位數(shù)字，恰好第二次嘗試成功的概率是多少？ A.1/9

B.1/8

C.1/7

D.2/9 三.逆向計(jì)算

5.小王開(kāi)車(chē)上班需經(jīng)過(guò)4個(gè)交通路口，假設(shè)經(jīng)過(guò)每個(gè)路口遇到紅燈的概率分別為0.1，0.2，0.25，0.4，他上班經(jīng)過(guò)4個(gè)路口至少有一處遇到綠燈的概率是? A．0.988

B．0.899

C．0.989

D．0.998 6.甲乙兩人射擊的命中率都是0.6，他們對(duì)著目標(biāo)各射擊一次，恰有1人擊中的概率是? A0.36

B0.48

C0.84

D1 四.期望

7.某商場(chǎng)以摸獎(jiǎng)的方式回饋顧客，盒內(nèi)有5個(gè)乒乓球，其中一個(gè)為紅色，2個(gè)為黃色，2個(gè)為白色，每位顧客從中任意摸出一個(gè)球，摸到紅球獎(jiǎng)10元，黃球獎(jiǎng)1元，白球無(wú)獎(jiǎng)勵(lì)，則每一位顧客所獲獎(jiǎng)勵(lì)的期望值為多少? A．10

B．1．2

C．2

D．2．4

第十四節(jié)幾何問(wèn)題

一.長(zhǎng)度

1.一個(gè)圓形牧場(chǎng)面積為3平方，牧民起碼以每小時(shí)18公里的速度圍著牧場(chǎng)外沿巡視一圈，需要多少分鐘? A12

B18

C20

D24 二.面積

2.一個(gè)正三角形和一個(gè)正六邊形周長(zhǎng)相等，六邊形面積是三角形的幾倍？ A1

B1.5

C2

D2.5 三．體積

3.相同表面積的四面體，六面體，正十二面體，正二十面體體積最大的是？ A四面體

B六面體

C正十二面體

D正二十面體

第十五節(jié)經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)問(wèn)題

一.普通經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)

1.甲乙兩件商品的成本共400元，分別百分之25和百分之40的利潤(rùn)定價(jià)，然后分別以定價(jià)的9折，8.5折售出，共獲得65.6元的利潤(rùn)，乙的售價(jià)是多少元？ A216.8

B285.6

C294.6

D272.8 2.某服裝如果降價(jià)200元之后再打8折出售，則每件虧50元。如果直接按6折出售，則不賺不虧。如果銷(xiāo)售該服裝想要獲得100%的利潤(rùn)，需要在原價(jià)的基礎(chǔ)上加價(jià)多少元？

A.90

B.110

C.130

D.150 二.抽象經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)

3.某商店的兩件商品成本價(jià)相同，一件按成本價(jià)多35%出售，一件按成本價(jià)少13%出售，則兩件商品各售出一件時(shí)盈利為多少? A.6%

B.8%

C.10%

D.12% 4.一商品的進(jìn)價(jià)比上月低了5%，但超市仍按上月售價(jià)銷(xiāo)售，其利潤(rùn)率提高了6個(gè)百分點(diǎn)，則超市上月銷(xiāo)售該商品的利潤(rùn)率為？ A.12%

B.13%

C.14%

D.15%

三.價(jià)格最優(yōu)

5.去某地旅游，旅行社推薦了以下兩個(gè)報(bào)價(jià)方案：甲方案成人每人1000元，小孩每人600元；乙方案無(wú)論大人小孩，每人均為700元?，F(xiàn)有N人組團(tuán)，已知1個(gè)大人至少帶3個(gè)小孩出門(mén)旅游，那么對(duì)于這些人來(lái)說(shuō)？

A.只要選擇甲方案都不會(huì)吃虧

B.甲方案總是比乙方案更優(yōu)惠

C.乙方案總是比甲方案更優(yōu)惠

D.甲方案和乙方案一樣優(yōu)惠

第十六節(jié)趣味問(wèn)題

一.年齡問(wèn)題

1.今年，哥哥和弟弟的年齡之和是35歲，哥哥在弟弟這么大的時(shí)候，哥哥的歲數(shù)是弟弟的2倍，問(wèn)哥哥今年幾歲？ A20

B21

C22

D23 2.哥現(xiàn)在的年齡是弟弟當(dāng)年年齡的三倍，哥哥當(dāng)年的年齡與弟弟現(xiàn)在的年齡相同，哥哥與弟弟現(xiàn)在的年齡和為30歲哥現(xiàn)在的年齡是弟弟當(dāng)年年齡的三倍，哥哥當(dāng)年的年齡與弟弟現(xiàn)在的年齡相同，哥哥與弟弟現(xiàn)在的年齡和為30歲，問(wèn)哥哥現(xiàn)在多少歲？

A15

B16

C18

D20 二.奇偶性 3.有7個(gè)杯口全部向上的杯子，每次將其中4個(gè)同時(shí)翻轉(zhuǎn)，經(jīng)過(guò)幾次翻轉(zhuǎn)，杯口可以全部向下？

A.3次

B.4次

C.5次

D.幾次也不能

三.過(guò)河爬井

4.有42個(gè)人需要渡河，現(xiàn)僅有一只小船，每次只能載6人，但需要3個(gè)人劃船。請(qǐng)問(wèn)一共需要幾次才能渡完？ A7

B9

C10

D13 5.有一只青蛙掉入一口深10米的井中。每天白天這只青蛙跳上4米晚上又滑下3米，則這只青蛙經(jīng)過(guò)多少天可以從井中跳出？ A7

B8

C9

D10