第一篇：高考數(shù)學總復習第三講：數(shù)形結合
高考數(shù)學總復習第三講：數(shù)形結合
一、專題概述---什么是數(shù)形結合的思想
數(shù)形結合的思想，就是把問題的數(shù)量關系和空間形式結合起來加以考察的思想．
恩格斯說：“純數(shù)學的對象是現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關系．”“數(shù)”和“形”是數(shù)學中兩個最基本的概念，它們既是對立的，又是統(tǒng)一的，每一個幾何圖形中都蘊含著與它們的形狀、大小、位置密切相關的數(shù)量關系；反之，數(shù)量關系又常常可以通過幾何圖形做出直觀地反映和描述，數(shù)形結合的實質(zhì)就是將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形結合起來，使抽象思維和形象思維結合起來，在解決代數(shù)問題時，想到它的圖形，從而啟發(fā)思維，找到解題之路；或者在研究圖形時，利用代數(shù)的性質(zhì)，解決幾何的問題．實現(xiàn)抽象概念與具體形象的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，化難為易，化抽象為直觀．
數(shù)形結合包括：函數(shù)與圖象、方程與曲線、復數(shù)與幾何的結合；幾何語言敘述與幾何圖形的結合等．
二、例題分析
1．善于觀察圖形，以揭示圖形中蘊含的數(shù)量關系．
觀察是人們認識客觀事物的開始，直觀是圖形的基本特征，觀察圖形的形狀、大小和相互位置關系，并在此基礎上揭示圖形中蘊含的數(shù)量關系，是認識、掌握數(shù)形結合的重要進程．
例1．函數(shù)的圖象的一條對稱軸方程是：
（A）（B）（C）（D）
分析：通過畫出函數(shù)的圖象，然后分別畫出上述四條直線，逐一觀察，可以找出正確的答案，如果對函數(shù)的圖象做深入的觀察，就可知，凡直線x=a通過這一曲線的一個最高點或一個最低點，必為曲線的一條對稱軸，因此，解這個問題可以分別將代入函數(shù)的解析式，算得對應的函數(shù)值分別是：其中只有–1是這一函數(shù)的最小值，由此可知，應選（A）2．正確繪制圖形，以反映圖形中相應的數(shù)量關系．，觀察圖形，既要定性也要定量，借助圖形來完成某些題時，僅畫圖示“意”是不夠的，還必須反映出圖形中的數(shù)量關系．
例2．問：圓個？
分析 由平面幾何知：到定直線L：的距離為的點的軌跡是平行L的兩
上到直線的距離為的點共有幾條直線．因此問題就轉(zhuǎn)化為判定這兩條直線與已知圓的交點個數(shù)．
將圓方程變形為：心到定直線L的距離為，知其圓心是C(-1,-2)，半徑，由此判定平行于直線L且距離為，而圓的兩條直線中，一條通過圓心C，另一條與圓C相切，所以這兩條直線與圓C共有3個公共點（如圖1）
啟示：正確繪制圖形，一定要注意把圖形與計算結合起來，以求既定性，又定量，才能充分發(fā)揮圖形的判定作用．
3．切實把握“數(shù)”與“形”的對應關系，以圖識性以性識圖．
數(shù)形結合的核心是“數(shù)”與“形”的對應關系，熟知這些對應關系，溝通兩者的聯(lián)系，才能把握住每一個研究對象在數(shù)量關系上的性質(zhì)與相應的圖形的特征之間的關聯(lián)，以求相輔相
成，相互轉(zhuǎn)化．
例3．判定下列圖中，哪個是表示函數(shù)圖象．
分析 由=，可知函數(shù)
是偶函數(shù)，其圖象應關于y軸對稱，因而否定（B）、（C），又，的圖象應當是上凸的，（在第Ⅰ象限，函數(shù)y單調(diào)增，但變化趨勢比較平緩），因而（A）應是函數(shù)圖象．
例4．如圖，液體從一圓錐形漏斗注入一圓柱形桶中，開始時，漏斗盛滿液體，經(jīng)過3分鐘注完．已知圓柱中液面上升的速度是一個常量，H是圓錐形漏斗中液面下落的距離，則H與下落時間t（分）的函數(shù)關系用圖象表示只可能是（）．
分析 由于圓柱中液面上升的速度是一個常量，所以H與t的關系不是（B），下落時間t越大，液面下落的距離H應越大，這種變化趨勢應是越來越快，圖象應當是下凸的，所以只可能是（D）．
例5．若復數(shù)z滿足，且，則在復平面上對應點的圖形面積是
多少？
分析 滿足的復數(shù)z對應點的圖形是：以C(1,1)為圓心，為半徑的圓面，該圓面與圖形的公共部分為圖中所示陰影部分（要注意到∠AOC=45°）
因此所求圖形的面積為： 4．靈活應用“數(shù)”與“形”的轉(zhuǎn)化，提高思維的靈活性和創(chuàng)造性．
在中學數(shù)學中，數(shù)形結合的思想和方法體現(xiàn)最充分的是解析幾何，此外，函數(shù)與圖象之間，復數(shù)與幾何之間的相互轉(zhuǎn)化也充分體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想和方法．通過聯(lián)想找到數(shù)與形之間的對應關系是實現(xiàn)轉(zhuǎn)化的先決條件，而強化這種轉(zhuǎn)化的訓練則是提高思維的靈活性和創(chuàng)造性的重要手段．
例6．已知C<0，試比較的大?。?/p>
分析 這是比較數(shù)值大小問題，用比較法會在計算中遇到一定困難，在同一坐標系中，畫出三個函數(shù)：的圖象位于y軸左側(cè)的部分，（如圖）很快就可以從三個圖象的上、下位置關系得出正確的結論：
例7 解不等式
解法一（用代數(shù)方法求解），此不等式等價于：
解得
故原不等式的解集是
解法二（采用圖象法）設即
對應的曲線是以是一直線．（如圖）
為頂點，開口向右的拋物線的上半支．而函數(shù)y=x+1的圖象 解方程可求出拋物線上半支與直線交點的橫坐標為2，取拋物線位于直線上方的部分，故得原不等式的解集是．
借助于函數(shù)的圖象或方程的曲線，引入解不等式（或方程）的圖象法，可以有效地審清題意，簡化求解過程，并檢驗所得的結果．
例8 討論方程的實數(shù)解的個數(shù)．
分析：作出函數(shù)的圖象，保留其位于x軸上方的部分，將位于x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方，便可得到函數(shù)交點個數(shù)即可． 的圖象．（如圖）再討論它與直線y=a的 ∴當a＜0時，解的個數(shù)是0；
當a=0時或a＞4時，解的個數(shù)是2； 當0＜a＜4時，解的個數(shù)是4；
當a=4時，解的個數(shù)是3．
9．已知直線和雙曲線有且僅有一個公共點，則k的不同取值有（）
（A）1個（B）2個（C）3個（D）4個
分析：作出雙曲線的圖象，并注意到直線是過定點（）的直線系，雙曲線的漸近線方程為
∴過（外，過（）點且和漸近線平行的直線與雙曲線有且僅有一個公共點，此時k取兩個不同值，此）點且和雙曲線相切的直線與雙曲線有且僅有一個公共點，此時k取兩個不同的值，故
正確答案為（D）
例9．已知直線和雙曲線有且僅有一個公共點，則k的不同取值有（）
（A）1個（B）2個（C）3個（D）4個
分析：作出雙曲線的圖象，并注意到直線是過定點（）的直線系，雙曲線的漸近線方程為
∴過（外，過（正確答案為（D））點且和漸近線平行的直線與雙曲線有且僅有一個公共點，此時k取兩個不同值，此）點且和雙曲線相切的直線與雙曲線有且僅有一個公共點，此時k取兩個不同的值，故例10．設點P(x,y)在曲線 解 曲線
上移動，求
是中心在（3，3），長軸為的最大值和最小值．，短軸為的橢圓．設，即y=kx為過原點的直線系，問題轉(zhuǎn)化為：求過原點的直線與橢圓相切時的斜率．（如圖所示）
消去y得
解得：
故的最大值為，最小值為
例11．求函數(shù)值．
（其中a,b,c是正常數(shù)）的最小 分析 采用代數(shù)方法求解是十分困難的，剖析函數(shù)解析式的特征，兩個根式均可視為平面上兩點間的距離，故設法借助于幾何圖形求解．如圖
設A(0,a),B(b,-c)為兩定點，P(x,0)為x軸上一動點，則
其中的等號在P為線段AB與x軸的交點外，即 故y的最小值為時成立．
例12．P是橢圓上任意一點，以OP為一邊作矩形O P Q R（O,P,Q,R依逆時針方向排列）使|OR|=2|OP|，求動點R的軌跡的普通方程．
分析 在矩形O P Q R中（如圖），由∠POR=90°，|OR|=2|OP|可知，OR是OP逆時針旋轉(zhuǎn)90°，并將長度擴大為原來的2倍得到的．這一圖形變換恰是復數(shù)乘法的幾何意義，因此，可轉(zhuǎn)化為復數(shù)的運算，找到R和P的兩點坐標之間的關系，以求得問題的解決． 解，設R點對應的復數(shù)為： 則，P點對應的復數(shù)為
故即由點在橢圓上可知有：
整理得：原點，焦點在y軸上
就是R點的軌跡方程，表示半長軸為2a，半短軸為2b，中心在的橢圓．
三解題訓練
1．求下列方程實根的個數(shù)：
（1）
（2）
（3）
2．無論m取任何實數(shù)值，方程（A）1個（B）2個（C）3個（D）不確定 3．已知函數(shù)（A）b∈(-∞,0)（B）b∈(0,1)
（C）b∈(1,2)（D）b∈(2,+ ∞)的實根個數(shù)都是（）的圖象如右圖則（）
4．不等式的解集是（）
（A）（0，+∞）（B）（0，1）（C）（1，+∞）（D）（–∞，0）5．不等式
一定有解，則a的取值范圍是（）
（A）（1，+∞）（B）[1,+ ∞]（C）(-∞,1)（D）(0,1] 6．解下列不等式：
（1）（2）
7．復平面內(nèi)點A、B分別對應復數(shù)2，2+i，向量，則點C對應的復數(shù)是_______．
繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)至向量 8．若復數(shù)z滿足|z|<2，則arg(z-4)的最大值為___________ 9．若復數(shù)z滿足
10．函數(shù)的圖象是平面上兩定點距離之差的絕對值等于定長的點的軌跡，則這兩
定點的坐標是()（A）（–（C）（–2，–，2）（）（2，2）（B）（–）（D）（2，）（，–），2），–2）（–2 11．曲線與直線的交點個數(shù)是（）．
（A）0（B）1（C）2（D）3 12．曲線（）
與直線
有兩個交點，則實數(shù)k的取值是（A）13．已知集合（B）（C），（D）
滿足，求實數(shù)b的取值范圍．
14．函數(shù)的值域是（）
（A）（B）
（C）（D）
四、練習答案
1．（1）2個（2）63個（3）2個
提示：分別作出兩個函數(shù)的圖象，看交點的個數(shù)．
2．B、提示：注意到方程右式，是過定點（，0）的直線系．
3．A、提示：由圖象知f(x)=0的三個實根是0，1，2這樣，函數(shù)解析式可變形
f(x)=ax(x-1)(x-2)，又從圖象中可以看出當x∈(0,1)∪(2,+∞)時，f(x)>0．而當x>2時，x,(x-1),(x-2)均大于0，所以a>0，而3a<0，故選（A）4．A 5．A 6．（可以利用圖象法求解）
（1）x≤-1或0 可知b=-14．A 提示：f(x)可以視作：A(cosx,sinx),B(1,2)，則f(x)=kAB，而A點為圓x2+y2=1上的動點 大毛毛蟲★傾情搜集★精品資料 高考數(shù)學總復習第三講：數(shù)形結合 一、專題概述---什么是數(shù)形結合的思想 數(shù)形結合的思想，就是把問題的數(shù)量關系和空間形式結合起來加以考察的思想． 恩格斯說：“純數(shù)學的對象是現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關系．”“數(shù)”和“形”是數(shù)學中兩個最基本的概念，它們既是對立的，又是統(tǒng)一的，每一個幾何圖形中都蘊含著與它們的形狀、大小、位置密切相關的數(shù)量關系；反之，數(shù)量關系又常?？梢酝ㄟ^幾何圖形做出直觀地反映和描述，數(shù)形結合的實質(zhì)就是將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形結合起來，使抽象思維和形象思維結合起來，在解決代數(shù)問題時，想到它的圖形，從而啟發(fā)思維，找到解題之路；或者在研究圖形時，利用代數(shù)的性質(zhì)，解決幾何的問題．實現(xiàn)抽象概念與具體形象的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，化難為易，化抽象為直觀． 數(shù)形結合包括：函數(shù)與圖象、方程與曲線、復數(shù)與幾何的結合；幾何語言敘述與幾何圖形的結合等． 二、例題分析 1．善于觀察圖形，以揭示圖形中蘊含的數(shù)量關系． 觀察是人們認識客觀事物的開始，直觀是圖形的基本特征，觀察圖形的形狀、大小和相互位置關系，并在此基礎上揭示圖形中蘊含的數(shù)量關系，是認識、掌握數(shù)形結合的重要進程． 例1．函數(shù)的圖象的一條對稱軸方程是： （A）（B）（C）（D） 大毛毛蟲★傾情搜集★精品資料 大毛毛蟲★傾情搜集★精品資料 分析：通過畫出函數(shù)的圖象，然后分別畫出上述四條直線，逐一觀察，可以找出正確的答案，如果對函數(shù)的圖象做深入的觀察，就可知，凡直線x=a通過這一曲線的一個最高點或一個最低點，必為曲線的一條對稱軸，因此，解這個問題可以分別將代入函數(shù)的解析式，算得對應的函數(shù)值分別是：其中只有–1是這一函數(shù)的最小值，由此可知，應選（A）2．正確繪制圖形，以反映圖形中相應的數(shù)量關系．，觀察圖形，既要定性也要定量，借助圖形來完成某些題時，僅畫圖示“意”是不夠的，還必須反映出圖形中的數(shù)量關系． 例2．問：圓個？ 分析 由平面幾何知：到定直線L：的距離為的點的軌跡是平行L的兩 上到直線的距離為的點共有幾條直線．因此問題就轉(zhuǎn)化為判定這兩條直線與已知圓的交點個數(shù)． 將圓方程變形為：心到定直線L的距離為，知其圓心是C(-1,-2)，半徑，由此判定平行于直線L且距離為，而圓的兩條直線中，一條通過圓心C，另一條與圓C相切，所以這兩條直線與圓C共有3個公共點（如圖1） 啟示：正確繪制圖形，一定要注意把圖形與計算結合起來，以求既定性，又定量，才能充分發(fā)揮圖形的判定作用． 3．切實把握“數(shù)”與“形”的對應關系，以圖識性以性識圖． 數(shù)形結合的核心是“數(shù)”與“形”的對應關系，熟知這些對應關系，溝通兩者的聯(lián)系，才能把握住每一個研究對象在數(shù)量關系上的性質(zhì)與相應的圖形的特征之間的關聯(lián)，以求相輔相 大毛毛蟲★傾情搜集★精品資料 大毛毛蟲★傾情搜集★精品資料 成，相互轉(zhuǎn)化． 例3．判定下列圖中，哪個是表示函數(shù)圖象． 分析 由=，可知函數(shù) 是偶函數(shù)，其圖象應關于y軸對稱，因而否定（B）、（C），又，的圖象應當是上凸的，（在第Ⅰ象限，函數(shù)y單調(diào)增，但變化趨勢比較平緩），因而（A）應是函數(shù)圖象． 例4．如圖，液體從一圓錐形漏斗注入一圓柱形桶中，開始時，漏斗盛滿液體，經(jīng)過3分鐘注完．已知圓柱中液面上升的速度是一個常量，H是圓錐形漏斗中液面下落的距離，則H與下落時間t（分）的函數(shù)關系用圖象表示只可能是（）． 分析 由于圓柱中液面上升的速度是一個常量，所以H與t的關系不是（B），下落時間t越大，液面下落的距離H應越大，這種變化趨勢應是越來越快，圖象應當是下凸的，所以只可能是（D）． 例5．若復數(shù)z滿足，且，則在復平面上對應點的圖形面積是 大毛毛蟲★傾情搜集★精品資料 大毛毛蟲★傾情搜集★精品資料 多少？ 分析 滿足的復數(shù)z對應點的圖形是：以C(1,1)為圓心，為半徑的圓面，該圓面與圖形的公共部分為圖中所示陰影部分（要注意到∠AOC=45°） 因此所求圖形的面積為： 4．靈活應用“數(shù)”與“形”的轉(zhuǎn)化，提高思維的靈活性和創(chuàng)造性． 在中學數(shù)學中，數(shù)形結合的思想和方法體現(xiàn)最充分的是解析幾何，此外，函數(shù)與圖象之間，復數(shù)與幾何之間的相互轉(zhuǎn)化也充分體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想和方法．通過聯(lián)想找到數(shù)與形之間的對應關系是實現(xiàn)轉(zhuǎn)化的先決條件，而強化這種轉(zhuǎn)化的訓練則是提高思維的靈活性和創(chuàng)造性的重要手段． 例6．已知C<0，試比較的大?。?/p> 分析 這是比較數(shù)值大小問題，用比較法會在計算中遇到一定困難，在同一坐標系中，畫出三個函數(shù)：的圖象位于y軸左側(cè)的部分，（如圖）很快就可以從三個圖象的上、下位置關系得出正確的結論： 例7 解不等式 解法一（用代數(shù)方法求解），此不等式等價于： 解得 故原不等式的解集是 大毛毛蟲★傾情搜集★精品資料 大毛毛蟲★傾情搜集★精品資料 解法二（采用圖象法）設即 對應的曲線是以是一直線．（如圖） 為頂點，開口向右的拋物線的上半支．而函數(shù)y=x+1的圖象 解方程可求出拋物線上半支與直線交點的橫坐標為2，取拋物線位于直線上方的部分，故得原不等式的解集是． 借助于函數(shù)的圖象或方程的曲線，引入解不等式（或方程）的圖象法，可以有效地審清題意，簡化求解過程，并檢驗所得的結果． 例8 討論方程的實數(shù)解的個數(shù)． 分析：作出函數(shù)的圖象，保留其位于x軸上方的部分，將位于x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方，便可得到函數(shù)交點個數(shù)即可． 的圖象．（如圖）再討論它與直線y=a的 ∴當a＜0時，解的個數(shù)是0； 當a=0時或a＞4時，解的個數(shù)是2； 當0＜a＜4時，解的個數(shù)是4； 當a=4時，解的個數(shù)是3． 9．已知直線和雙曲線有且僅有一個公共點，則k的不同取值有（） （A）1個（B）2個（C）3個（D）4個 分析：作出雙曲線的圖象，并注意到直線是過定點（）的直線系，雙曲線的漸近線方程為 大毛毛蟲★傾情搜集★精品資料 大毛毛蟲★傾情搜集★精品資料 ∴過（外，過（）點且和漸近線平行的直線與雙曲線有且僅有一個公共點，此時k取兩個不同值，此）點且和雙曲線相切的直線與雙曲線有且僅有一個公共點，此時k取兩個不同的值，故 正確答案為（D） 例9．已知直線和雙曲線有且僅有一個公共點，則k的不同取值有（） （A）1個（B）2個（C）3個（D）4個 分析：作出雙曲線的圖象，并注意到直線是過定點（）的直線系，雙曲線的漸近線方程為 ∴過（外，過（正確答案為（D））點且和漸近線平行的直線與雙曲線有且僅有一個公共點，此時k取兩個不同值，此）點且和雙曲線相切的直線與雙曲線有且僅有一個公共點，此時k取兩個不同的值，故例10．設點P(x,y)在曲線 解 曲線 上移動，求 是中心在（3，3），長軸為的最大值和最小值．，短軸為的橢圓．設，即y=kx為過原點的直線系，問題轉(zhuǎn)化為：求過原點的直線與橢圓相切時的斜率．（如圖所示） 消去y得 解得： 故的最大值為，最小值為 大毛毛蟲★傾情搜集★精品資料 大毛毛蟲★傾情搜集★精品資料 例11．求函數(shù)值． 分析 采用代數(shù)方法求解是十分困難的，剖析函數(shù)解析式的特征，兩個根式均可視為平面上兩點間的距離，故設法借助于幾何圖形求解．如圖 （其中a,b,c是正常數(shù)）的最小 大毛毛蟲★傾情搜集★精品資料 大毛毛蟲★傾情搜集★精品資料 設A(0,a),B(b,-c)為兩定點，P(x,0)為x軸上一動點，則 其中的等號在P為線段AB與x軸的交點外，即 故y的最小值為時成立． 例12．P是橢圓上任意一點，以OP為一邊作矩形O P Q R（O,P,Q,R依逆時針方向排列）使|OR|=2|OP|，求動點R的軌跡的普通方程． 分析 在矩形O P Q R中（如圖），由∠POR=90°，|OR|=2|OP|可知，OR是OP逆時針旋轉(zhuǎn)90°，并將長度擴大為原來的2倍得到的．這一圖形變換恰是復數(shù)乘法的幾何意義，因此，可轉(zhuǎn)化為復數(shù)的運算，找到R和P的兩點坐標之間的關系，以求得問題的解決． 解，設R點對應的復數(shù)為： 則，P點對應的復數(shù)為 故即由點在橢圓上可知有： 整理得：原點，焦點在y軸上 就是R點的軌跡方程，表示半長軸為2a，半短軸為2b，中心在的橢圓． 三解題訓練 1．求下列方程實根的個數(shù)： 大毛毛蟲★傾情搜集★精品資料 大毛毛蟲★傾情搜集★精品資料 （1） （2） （3） 2．無論m取任何實數(shù)值，方程（A）1個（B）2個（C）3個（D）不確定 3．已知函數(shù)（A）b∈(-∞,0)（B）b∈(0,1)（C）b∈(1,2)（D）b∈(2,+ ∞)的實根個數(shù)都是（）的圖象如右圖則（） 4．不等式的解集是（） （A）（0，+∞）（B）（0，1）（C）（1，+∞）（D）（–∞，0）5．不等式 一定有解，則a的取值范圍是（） （A）（1，+∞）（B）[1,+ ∞]（C）(-∞,1)（D）(0,1] 6．解下列不等式： （1）（2） 7．復平面內(nèi)點A、B分別對應復數(shù)2，2+i，向量，則點C對應的復數(shù)是_______． 繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)至向量 8．若復數(shù)z滿足|z|<2，則arg(z-4)的最大值為___________ 9．若復數(shù)z滿足 10．函數(shù)的圖象是平面上兩定點距離之差的絕對值等于定長的點的軌跡，則這兩 大毛毛蟲★傾情搜集★精品資料 大毛毛蟲★傾情搜集★精品資料 定點的坐標是()（A）（–（C）（–2，–，2）（）（2，2）（B）（–）（D）（2，）（，–2，–），2））（–2 11．曲線與直線的交點個數(shù)是（）． （A）0（B）1（C）2（D）3 12．曲線（） 與直線 有兩個交點，則實數(shù)k的取值是（A）13．已知集合（B）（C），（D） 滿足，求實數(shù)b的取值范圍． 14．函數(shù)的值域是（） （A）（B） （C）（D） 四、練習答案 1．（1）2個（2）63個（3）2個 提示：分別作出兩個函數(shù)的圖象，看交點的個數(shù)． 2．B、提示：注意到方程右式，是過定點（，0）的直線系． 3．A、提示：由圖象知f(x)=0的三個實根是0，1，2這樣，函數(shù)解析式可變形 大毛毛蟲★傾情搜集★精品資料 大毛毛蟲★傾情搜集★精品資料 f(x)=ax(x-1)(x-2)，又從圖象中可以看出當x∈(0,1)∪(2,+∞)時，f(x)>0．而當x>2時，x,(x-1),(x-2)均大于0，所以a>0，而3a<0，故選（A）4．A 5．A 6．（可以利用圖象法求解）（1）x≤-1或0 可知b=-14．A 提示：f(x)可以視作：A(cosx,sinx),B(1,2)，則f(x)=kAB，而A點為圓x2+y2=1上的動點 大毛毛蟲★傾情搜集★精品資料 高考沖刺：數(shù)形結合 編稿：林景飛 審稿：張揚 責編：辛文升 熱點分析 高考動向 數(shù)形結合應用廣泛，不僅在解答選擇題、填空題中顯示出它的優(yōu)越性，而且在解決一些抽象數(shù)學問題中常起到事半功倍的效果。高考中利用數(shù)形結合的思想在解決選、填題中十分方便，而在解答題中書寫應以代數(shù)推理論證為主，幾何方法可作為思考的方法。數(shù)形結合的重點是研究“以形助數(shù)”，但“以數(shù)解形”在近年高考試題中也得到了加強，其發(fā)展趨勢不容忽視。歷年的高考都有關于數(shù)形結合思想方法的考查，且占比例較大。 知識升華 數(shù)形結合是通過“以形助數(shù)”（將所研究的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為研究其對應的幾何圖形）或“以數(shù)助形”（借助數(shù)的精確性來闡明形的某種屬性），把抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形結合起來思考，也就是將抽象思維與形象思維有機地結合起來，是解決問題的一種數(shù)學思想方法。它能使抽象問題具體化，復雜問題簡單化，在數(shù)學解題中具有極為獨特的策略指導與調(diào)節(jié)作用。 具體地說，數(shù)形結合的基本思路是：根據(jù)數(shù)的結構特征，構造出與之相應的幾何圖形，并利用圖形的特性和規(guī)律，解決數(shù)的問題；或?qū)D形信息全部轉(zhuǎn)化成代數(shù)信息，使解決形的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關系的討論。 選擇題，填空題等客觀性題型，由于不要求解答過程，就某些題目而言，這給學生創(chuàng)造了靈活運用數(shù)形結合思想，尋找快速思路的空間。但在解答題中，運用數(shù)形結合思想時，要注意輔之以嚴格的邏輯推理，“形”上的直觀是不夠嚴密的。1．高考試題對數(shù)形結合的考查主要涉及的幾個方面： （1）集合問題中Venn圖（韋恩圖）的運用； （2）數(shù)軸及直角坐標系的廣泛應用； （3）函數(shù)圖象的應用； （4）數(shù)學概念及數(shù)學表達式幾何意義的應用； （5）解析幾何、立體幾何中的數(shù)形結合。 2．運用數(shù)形結合思想分析解決問題時，要遵循三個原則： （1）等價性原則。要注意由于圖象不能精確刻畫數(shù)量關系所帶來的負面效應； （2）雙方性原則。既要進行幾何直觀分析，又要進行相應的代數(shù)抽象探求，僅對代數(shù)問題進行幾何分 析容易出錯； （3）簡單性原則。不要為了“數(shù)形結合”而數(shù)形結合，具體運用時，一要考慮是否可行和是否有利； 二要選擇好突破口，恰當設參、用參、建立關系，做好轉(zhuǎn)化；三要挖掘隱含條件，準確界定參變 量的取值范圍，特別是運用函數(shù)圖象時應設法選擇動直線與定二次曲線為佳。 3．進行數(shù)形結合的信息轉(zhuǎn)換，主要有三個途徑： （1）建立坐標系，引入?yún)⒆償?shù)，化靜為動，以動求解，如解析幾何； （2）構造成轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)模型，利用函數(shù)圖象求解； （3）構造成轉(zhuǎn)化為熟悉的幾何模型，利用圖形特征求解。4．常見的“以形助數(shù)”的方法有： （1）借助于數(shù)軸、文氏圖，樹狀圖，單位圓； （2）借助于函數(shù)圖象、區(qū)域(如線性規(guī)劃)、向量本身的幾何背景； （3）借助于方程的曲線，由方程代數(shù)式，聯(lián)想其幾何背景，并用幾何知識解決問題，如點，直線，斜 率，距離，圓及其他曲線，直線和曲線的位置關系等，對解決代數(shù)問題都有重要作用，應充分予 以重視。 5．常見的把數(shù)作為手段的數(shù)形結合： 主要體現(xiàn)在解析幾何中，歷年高考的解答題都有這方面的考查.經(jīng)典例題透析 類型一：利用數(shù)形結合思想解決函數(shù)問題 1．(2010全國Ⅰ·理)已知函數(shù)a+2b的取值范圍是 A． 解析：畫出 由題設有，B．的示意圖.，若，且，則 C． D． ∴，令，則 ∵ ∴，∴ 在，.上是增函數(shù).∴ 舉一反三： 【變式1】已知函數(shù) .選C.在0≤x≤1時有最大值2，求a的值。 解析：∵ ∴拋物線，的開口向下，對稱軸是，如圖所示： （1） （2） （3） （1）當a＜0時，如圖（1）所示，當x=0時，y有最大值，即 ∴1―a=2。即a=―1，適合a＜0。 （2）當0≤a≤1時，如圖（2）所示，當x=a時，y有最大值，即 。 ∴a―a+1=2，解得 2。 ∵0≤a≤1，∴不合題意。 （3）當a＞1時，如圖（3）所示。 當x=1時，y有最大值，即 綜合（1）（2）（3）可知，a的值是―1或2 【變式2】已知函數(shù) （Ⅰ）寫出 （Ⅱ）設的單調(diào)區(qū)間；，求 在[0，a]上的最大值。 ?！郺=2。 解析： 如圖： （1）的單調(diào)增區(qū)間： ，；單調(diào)減區(qū)間：（1，2） 時。 （2）當a≤1時，當 當 【變式3】已知 () （1）若，在上的最大值為，最小值為，求證：； （2）當]時，都 ，時，對于給定的負數(shù)，有一個最大的正數(shù)，使得x∈[0，有|f(x)|≤5，問a為何值時，M(a)最大？并求出這個最大值。 解析： （1）若a=0，則c=0，∴f(x)=2bx 當-2≤x≤2時，f(x)的最大值與最小值一定互為相反數(shù)，與題意不符合，∴a≠0； 若a≠0，假設，∴區(qū)間[-2,2]在對稱軸的左外側(cè)或右外側(cè)，∴f(x)在[-2，2]上是單調(diào)函數(shù)，（這是不可能的） （2）當，時，∵，所以，（圖1） （圖2） (1)當 所以 即是方程，時（如圖1），則的較小根，即 (2)當 所以 即是方程，時（如圖2），則的較大根，即 （當且僅當 時，等號成立），由于，因此當且僅當時，取最大值 類型二：利用數(shù)形結合思想解決方程中的參數(shù)問題 2．若關于x的方程有兩個不同的實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍。 思路點撥：將方程的左右兩邊分別看作兩個函數(shù)，畫出函數(shù)的圖象，借助圖象間的關系后求解，可簡化運算。 解析：畫出 和的圖象，當直線過點，即時，兩圖象有兩個交點。 又由當曲線 與曲線 相切時，二者只有一個交點，設切點 又直線，則過切點，即，得，解得切點，∴當時，兩函數(shù)圖象有兩個交點，即方程有兩個不等實根。 誤區(qū)警示：作圖時，圖形的相對位置關系不準確，易造成結果錯誤。 總結升華： 1．解決這類問題時要準確畫出函數(shù)圖象，注意函數(shù)的定義域。 2．用圖象法討論方程（特別是含參數(shù)的方程）解的個數(shù)是一種行之有效的方法，值得注意的是首先把 方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個函數(shù)的表達式（有時可能先作適當調(diào)整，以便于作圖），然后作出兩 個函數(shù)的圖象，由圖求解。 3．在運用數(shù)形結合思想分析問題和解決問題時，需做到以下四點： ①要準確理解一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征； ②要恰當設參，合理用參，建立關系，做好轉(zhuǎn)化； ③要正確確定參數(shù)的取值范圍，以防重復和遺漏； ④精心聯(lián)想“數(shù)”與“形”，使一些較難解決的代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化，便于問題求解.舉一反三： 【變式1】若關于x的方程在（－1，1）內(nèi)有1個實根，則k的取值范圍是。 解析：把方程左、右兩側(cè)看作兩個函數(shù)，利用函數(shù)圖象公共點的個數(shù)來確定方程根的個數(shù)。 設（x∈－1，1） 如圖：當內(nèi)有1個實根。 或時，關于x的方程在（－1，1） 【變式2】若0＜θ＜2π，且方程取值范圍及這兩個實根的和。 有兩個不同的實數(shù)根，求實數(shù)m的解析：將原方程 與直線 轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的圖象 有兩個不同的交點時，求a的范圍及α+β的值。 設，在同一坐標中作出這兩個函數(shù)的圖象 由圖可知，當 或 時，y1與y2的圖象有兩個不同交點，即對應方程有兩個不同的實數(shù)根，若，設原方程的一個根為，則另一個根為.∴.若，設原方程的一個根為，則另一個根為，∴.所以這兩個實根的和為或.且由對稱性可知，這兩個實根的和為或。 類型三：依據(jù)式子的結構，賦予式子恰當?shù)膸缀我饬x，數(shù)形結合解答 3．(北京2010·理)如圖放置的邊長為1的正方形PABC沿x軸滾動，設頂點，則函數(shù)的最小正周期為________； 在其兩個相鄰的軌跡方程是零點間的圖象與x軸所圍成的區(qū)域的面積為________.解析：為便于觀察，不妨先將正方形PABC向負方向滾動，使P點落在x軸上的點，此點即是函數(shù)的一個零點（圖1）.（一）以A為中心，將正方形沿x軸正方向滾動90°，此時頂點B位于x軸上，頂點P畫出了A為圓心，1為半徑的個圓周（圖2）； （二）繼續(xù)以B為中心，將正方形沿x軸正方向滾動90°，此時頂點C位于x軸上，頂點P畫出B為圓心，為半徑的個圓周（圖3）； （三）繼續(xù)以C為中心，將正方形沿x軸正方向滾動90°，此時，頂點P位于x軸上，為點，它畫出了C為圓心，1為半徑的個圓周（圖4）.為又一個零點.∴ 函數(shù)的周期為4.相鄰兩個零點間的圖形與x軸圍成的圖形由兩個半徑為1的圓、半徑為的圓和兩個直角邊長為1的直角三角形，其面積是 .舉一反三： 2【變式1】已知圓C：(x+2)+y=1，P（x，y）為圓C上任一點。 （1）求的最大、最小值； （2）求的最大、最小值； （3）求x―2y的最大、最小值。 解析：聯(lián)想所求代數(shù)式的幾何意義，再畫出草圖，結合圖象求解。 （1） 表示點（x，y）與原點的距離，由題意知P（x，y）在圓C上，又C（―2，0），半徑r=1。 ∴|OC|=2。的最大值為2+r=2+1=3，的最小值為2―r=2―1=1。 （2）表示點（x，y）與定點（1，2）兩點連線的斜率，設Q（1，2），過Q點作圓C的兩條切線，如圖： 將整理得kx―y+2―k=0。 ∴，解得，所以的最大值為，最小值為。 （3）令x―2y=u，則可視為一組平行線系，當直線與圓C有公共點時，可求得u的范圍，最值必在直線與圓C相切時取得。這時 ∴ 。，最小值為 。，∴x―2y的最大值為 【變式2】求函數(shù) 解析：的最小值。 則y看作點P（x，0）到點A（1，1）與B（3，2）距離之和 如圖，點A（1，1）關于x軸的對稱點A＇（1，－1），則 即為P到A，B距離之和的最小值，∴ 【變式3】若方程x+(1+a)x+1+a+b=0的兩根分別為橢圓、雙曲線的離心率，則值范圍是（） 2的取 A． B．或 C． D．或 解析：如圖 由題知方程的根，一個在（0，1）之間，一個在（1，2）之間，則，即 下面利用線性規(guī)劃的知識，則斜率 可看作可行域內(nèi)的點與原點O（0，0）連線的 則，選C。 數(shù)形結合 定義：數(shù)形結合是一個數(shù)學思想方法，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個方面。 應用：大致可以分為兩種情形：或者是借助形的生動和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)為目的，比如應用函數(shù)的圖像來直觀地說明函數(shù)的性質(zhì)；或者是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質(zhì)。Ⅰ、再現(xiàn)題組： 1.設命題甲：0 B.必要非充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 2.若loga2 B.0 C.a>b>1 D.b>a>1 π23.如果|x|≤4,那么函數(shù)f(x)＝cosx＋sinx的最小值是_____。(89年全國文)A.2?12?11?2B.－2 C.－1 D.2 4.如果奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[3,7]上是增函數(shù)且最小值是5，那么f(x)的[-7,-3]上是____。(91年全國)A.增函數(shù)且最小值為－5 B.增函數(shù)且最大值為－5 C.減函數(shù)且最小值為－5 D.減函數(shù)且最大值為－5 y?35.設全集I＝{(x,y)|x,y∈R}，集合M＝{(x,y)| x?2＝1}，N＝{(x,y)|y≠x＋1}，那么M∪N等于_____。 (90年全國)A.φ B.{(2,3)} C.(2,3) D.{(x,y)|y＝x＋1 θθθ6.如果θ是第二象限的角，且滿足cos2－sin2＝1?sinθ,那么2是_____。 A.第一象限角 B.第三象限角 C.可能第一象限角，也可能第三象限角 D.第二象限角 7.已知集合E＝{θ|cosθ 3π3π5πππ3πA.(2,π) B.(4,4) C.(π, 2) D.(4,4) 5π8.若復數(shù)z的輻角為6，實部為－23，則z＝_____。 A.－23－2ｉ B.－23＋2ｉ C.－23＋23ｉ D.－23－23ｉ y229.如果實數(shù)x、y滿足等式(x－2)＋y＝3，那么x的最大值是_____。 (90年全國理)133A.B.3C.2 D.10.滿足方程|z＋3－3ｉ|＝3的輻角主值最小的復數(shù)z是_____。 【注】 以上各題是歷年的高考客觀題，都可以借助幾何直觀性來處理與數(shù)有關的問題，即借助數(shù)軸（①題）、圖像（②、③、④、⑤題）、單位圓（⑥、⑦題）、復平面（⑧、⑩題）、方程曲線（⑨題）。Ⅱ、示范性題組： 例1.若方程lg(－x＋3x－m)＝lg(3－x)在x∈(0,3)內(nèi)有唯一解，求實數(shù)m的取值范圍。2z1例2.設|z1|＝5，|z2|＝2, |z1－z2|＝13，求z2的值。 pp例3.直線L的方程為：x＝－ 2(p>0),橢圓中心D(2＋2,0)，焦點在x軸上，長半軸為2，短半軸為1，它的左頂點為A。問p在什么范圍內(nèi)取值，橢圓上有四個不同的點，它們中每一個點到點A的距離等于該點到直線L的距離？ Ⅲ、鞏固性題組： 1.已知5x＋12y＝60，則x2?y2的最小值是_____。A.60 B.13 C.13 D.1 135122.已知集合P＝{(x,y)|y＝9?x2}、Q＝{(x,y)|y＝x＋b}，若P∩Q≠φ，則b的取值范圍是____。 A.|b|<3 B.|b|≤32 C.－3≤b≤32 D.－3 A.1 B.2 C.3 D.以上都不對 4.方程x＝10sinx的實根的個數(shù)是_______。 5.若不等式m>|x－1|＋|x＋1|的解集是非空數(shù)集，那么實數(shù)m的取值范圍是_________。6.設z＝cosα＋1ｉ且|z|≤1,那么argz的取值范圍是____________。 2x27.若方程x－3ax＋2a＝0的一個根小于1，而另一根大于1，則實數(shù)a的取值范圍是______。 8.sin20°＋cos80°＋3sin20°·cos80°＝____________。22229.解不等式： ?x2?2x>b－x ?x?2x?a≤0的解集，試確定a、b10.設A＝{x|<1x<3}，又設B是關于x的不等式組??2??x?2bx?5≤02的取值范圍，使得A?B。（90年高考副題） 11.定義域內(nèi)不等式2?x〉x＋a恒成立，求實數(shù)a的取值范圍。 12.已知函數(shù)y＝(x?1)2?1＋(x?5)2?9，求函數(shù)的最小值及此時x的值。13.已知z∈C，且|z|＝1，求|(z＋1)(z－ｉ)|的最大值。 14.若方程lg(kx)＝2lg(x＋1)只有一個實數(shù)解，求常數(shù)k的取值范圍。 數(shù)形結合談數(shù)軸 一、閱讀與思考 數(shù)學是研究數(shù)和形的學科，在數(shù)學里數(shù)和形是有密切聯(lián)系的。我們常用代數(shù)的方法來處理幾何問題；反過來，也借助于幾何圖形來處理代數(shù)問題，尋找解題思路，這種數(shù)與形之間的相互作用叫數(shù)形結合，是一種重要的數(shù)學思想。 運用數(shù)形結合思想解題的關鍵是建立數(shù)與形之間的聯(lián)系，現(xiàn)階段數(shù)軸是數(shù)形結合的有力工具，主要體現(xiàn)在以下幾個方面： 1、利用數(shù)軸能形象地表示有理數(shù)； 2、利用數(shù)軸能直觀地解釋相反數(shù)； 3、利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小； 4、利用數(shù)軸解決與絕對值相關的問題。 二、知識點反饋 1、利用數(shù)軸能形象地表示有理數(shù)； 例1：已知有理數(shù)在數(shù)軸上原點的右方，有理數(shù)在原點的左方，那么（） A． B． C． D． 拓廣訓練： 1、如圖為數(shù)軸上的兩點表示的有理數(shù)，在中，負數(shù)的個數(shù)有（） （“祖沖之杯”邀請賽試題） A．1 B．2 C．3 D．43、把滿足中的整數(shù)表示在數(shù)軸上，并用不等號連接。 2、利用數(shù)軸能直觀地解釋相反數(shù)； 例2：如果數(shù)軸上點A到原點的距離為3，點B到原點的距離為5，那么A、B兩點的距離為。 拓廣訓練： 1、在數(shù)軸上表示數(shù)的點到原點的距離為3，則 2、已知數(shù)軸上有A、B兩點，A、B之間的距離為1，點A與原點O的距離為3，那么所有滿足條件的點B與原點O的距離之和等于 。（北京市“迎春杯”競賽題） 3、利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大?。?/p> 例3：已知且，那么有理數(shù)的大小關系是 。（用“”號連接）（北京市“迎春杯”競賽題） 拓廣訓練： 1、若且，比較的大小，并用“”號連接。 例4：已知比較與4的大小 拓廣訓練： 1、已知，試討論與3的大小 2、已知兩數(shù)，如果比大，試判斷與的大小 4、利用數(shù)軸解決與絕對值相關的問題。 例5： 有理數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，式子化簡結果為（） A． B． C． D． 拓廣訓練： 1、有理數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡的結果為。 2、已知，在數(shù)軸上給出關于的四種情況如圖所示，則成立的是。 ① ② ③ ④ 3、已知有理數(shù)在數(shù)軸上的對應的位置如下圖：則化簡后的結果是（） （湖北省初中數(shù)學競賽選撥賽試題） A． B． C． D． 三、培優(yōu)訓練 1、已知是有理數(shù)，且，那以的值是（） A． B． C．或 D．或 0 A B C2、（07樂山）如圖，數(shù)軸上一動點向左移動2個單位長度到達點，再向右移動5個單位長度到達點．若點表示的數(shù)為1，則點表示的數(shù)為（） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 3、如圖，數(shù)軸上標出若干個點，每相鄰兩點相距1個單位，點A、B、C、D對應的數(shù)分別是整數(shù)且，那么數(shù)軸的原點應是（） A．A點 B．B點 C．C點 D．D點 4、數(shù)所對應的點A，B，C，D在數(shù)軸上的位置如圖所示，那么與的大小關系是（） A． B． C． D．不確定的5、不相等的有理數(shù)在數(shù)軸上對應點分別為A，B，C，若，那么點B（） A．在A、C點右邊 B．在A、C點左邊 C．在A、C點之間 D．以上均有可能 6、設，則下面四個結論中正確的是（）（全國初中數(shù)學聯(lián)賽題） A．沒有最小值 B．只一個使取最小值 C．有限個（不止一個）使取最小值 D．有無窮多個使取最小值 7、在數(shù)軸上，點A，B分別表示和，則線段AB的中點所表示的數(shù)是。 8、若，則使成立的的取值范圍是。 9、是有理數(shù)，則的最小值是。 10、已知為有理數(shù)，在數(shù)軸上的位置如圖所示： 且求的值。 11、（南京市中考題）(1)閱讀下面材料： 點A、B在數(shù)軸上分別表示實數(shù)，A、B兩點這間的距離表示為，當A、B兩點中有一點在原點時，不妨設點A在原點，如圖1，；當A、B兩點都不在原點時，①如圖2，點A、B都在原點的右邊； ②如圖3，點A、B都在原點的左邊； ③如圖4，點A、B在原點的兩邊。 綜上，數(shù)軸上A、B兩點之間的距離。 （2）回答下列問題： ①數(shù)軸上表示2和5兩點之間的距離是，數(shù)軸上表示-2和-5的兩點之間的距離是，數(shù)軸上表示1和-3的兩點之間的距離是； ②數(shù)軸上表示和-1的兩點A和B之間的距離是，如果，那么為； ③當代數(shù)式取最小值時，相應的的取值范圍是； ④求的最小值。第二篇：高考數(shù)學總復習第三講—數(shù)形結合
第三篇：高考數(shù)學專題復習：數(shù)形結合思想
第四篇：高考復習數(shù)形結合思想
第五篇：初中數(shù)學復習數(shù)形結合談數(shù)軸
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