第一篇：高中數(shù)學(xué)計(jì)數(shù)原理知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及練習(xí)教案-學(xué)生_圖文.

明軒教育 您身邊的個(gè)性化輔導(dǎo)專家 電話： 二十一：住店法策略 解決“允許重復(fù)排列問題”要注意區(qū)分兩類元素： 一類元素可以重復(fù)，另一類不能重復(fù)，把不能重復(fù)的元素看作“客”，能重復(fù)的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解.例 21.七名學(xué)生爭奪五項(xiàng)冠軍，每項(xiàng)冠軍只能由一人獲得，獲得冠軍的可能的種數(shù)有.排列組合易錯(cuò)題正誤解析 1 沒有理解兩個(gè)基本原理出錯(cuò) 排列組合問題基于兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理，即加法原理和乘法原理，故理解“分類用加、分步用乘”是解決排列組合問 題的前提.例 1 從 6 臺(tái)原裝計(jì)算機(jī)和 5 臺(tái)組裝計(jì)算機(jī)中任意選取 5 臺(tái),其中至少有原裝與組裝計(jì)算機(jī)各兩臺(tái),則不同的取法有 種.例2 在一次運(yùn)動(dòng)會(huì)上有四項(xiàng)比賽的冠軍在甲、乙、丙三人中產(chǎn)生，那么不同的奪冠情況共有（（A）A4 3）種.（B）4 3（C）3 4 3（D）C 4 2 判斷不出是排列還是組合出錯(cuò) 在判斷一個(gè)問題是排列還是組合問題時(shí)，主要看元素的組成有沒有順序性，有順序的是排列，無順序的是組合.例 3 有大小形狀相同的 3 個(gè)紅色小球和 5 個(gè)白色小球，排成一排，共有多少種不同的排列方法？ 3 重復(fù)計(jì)算出錯(cuò) 在排列組合中常會(huì)遇到元素分配問題、平均分組問題等，這些問題要注意避免重復(fù)計(jì)數(shù)，產(chǎn)生錯(cuò)誤。例4 5 本不同的書全部分給 4 個(gè)學(xué)生，每個(gè)學(xué)生至少一本，不同的分法種數(shù)為（（B）240 種（C）120 種

（D）96 種））（A）480 種 例5 種.（A）5040 4 遺漏計(jì)算出錯(cuò) 某交通崗共有 3 人，從周一到周日的七天中，每天安排一人值班，每人至少值 2 天，其不同的排法共有（（B）1260（C）210（D）630 0）1，3 在排列組合問題中還可能由于考慮問題不夠全面，因?yàn)檫z漏某些情況，而出錯(cuò)。例6 用數(shù)字 0，1，2，3，4 組成沒有重復(fù)數(shù)字的比 1000 大的奇數(shù)共有（（B）48 個(gè)（C）66 個(gè)（D）72 個(gè)（A）36 個(gè) 2 3 1 4 5 5 忽視題設(shè)條件出錯(cuò) 在解決排列組合問題時(shí)一定要注意題目中的每一句話甚至每一個(gè)字和符號(hào)，不然就可能多解或者漏解.例7 如圖，一個(gè)地區(qū)分為 5 個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)有 4 種.（以數(shù)字作答）種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有 例 8 已知 是關(guān)于 x 的一元二次方程，其中 a、，求解集不同的一元二次方程的個(gè)數(shù).6 未考慮特殊情況出錯(cuò) 在排列組合中要特別注意一些特殊情況，一有疏漏就會(huì)出錯(cuò).例9 現(xiàn)有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、50元人民幣各一張，100元人民幣2張，從中至少取一張，共可組成 不同的幣值種數(shù)是（）(A1024種(B1023種(C1536種(D1535種 6 明軒教育 7 題意的理解偏差出錯(cuò) 例 10（A）您身邊的個(gè)性化輔導(dǎo)專家 電話： 現(xiàn)有 8 個(gè)人排成一排照相，其中有甲、乙、丙三人不能相鄰的排法有（）種.3 5 8 6 3 3 3 8 4（B）

（C）

（D）

解題策略的選擇不當(dāng)出錯(cuò) 例 11 高三年級(jí)的三個(gè)班到甲、乙、丙、丁四個(gè)工廠進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，其中工廠甲必須有班級(jí)去，每班去何工廠可自）.（C）37 種（D）48 種 由選擇，則不同的分配方案有（（A）16 種（B）18 種 排列與組合習(xí)題 1．6 個(gè)人分乘兩輛不同的汽車，每輛車最多坐 4 人，則不同的乘車方法數(shù)為(A．40 B．50 C．60 D．70 2．有 6 個(gè)座位連成一排，現(xiàn)有 3 人就坐，則恰有兩個(gè)空座位相鄰的不同坐法有(A．36 種 B．48 種 C．72 種 D．96 種 3． 只用 1,2,3 三個(gè)數(shù)字組成一個(gè)四位數(shù)，規(guī)定這三個(gè)數(shù)必須同時(shí)使用，且同一數(shù)字不能相鄰出現(xiàn)，這樣的四位數(shù)有(A．6 個(gè) B．9 個(gè) C．18 個(gè) D．36 個(gè) 4．男女學(xué)生共有 8 人，從男生中選取 2 人，從女生中選取 1 人，共有 30 種不同的選法，其中女生有(A．2 人或 3 人 B．3 人或 4 人 C．3 人 D．4 人 5．某幢樓從二樓到三樓的樓梯共 10 級(jí)，上樓可以一步上一級(jí)，也可以一步上兩級(jí)，若規(guī)定從二樓到三樓用 8 步走完，則方法

有(A．45 種 B．36 種 C．28 種 D．25 種 6．某公司招聘來 8 名員工，平均分配給下屬的甲、乙兩個(gè)部門，其中兩名英語翻譯人員不能分在同一個(gè)部門，另外三 名電腦編程人員也不能全分在同一個(gè)部門，則不同的分配方案共有(A．24 種 B．36 種 C．38 種 D．108 種 7．已知集合 A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，從這三個(gè)集合中各取一個(gè)元素構(gòu)成空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)，則確定的 不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(A．33 B．34 C．35 D．36 8．由 1、2、3、4、5、6 組成沒有重復(fù)數(shù)字且 1、3 都不與 5 相鄰的六位偶數(shù)的個(gè)數(shù)是(A．72 B．96 C．108 D．144 9． 如果在一周內(nèi)(周一至周日安排三所學(xué)校的學(xué)生參觀某展覽館，每天最多只安排一所學(xué)校，要求甲學(xué)校連續(xù)參觀兩天，其余學(xué)校均只參觀一天，那么不同的安排方法有(A．50 種 B．60 種 C．120 種 D．210 種 10．安排 7 位工作人員在 5 月 1 日到 5 月 7 日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在 5 月 1 日和 2 日，不 同的安排方法共有________種．(用數(shù)字作答 11．今有 2 個(gè)紅球、3 個(gè)黃球、4 個(gè)白球，同色球不加以區(qū)分，將這 9 個(gè)球排成一列有________種不同的排法．(用數(shù)字 作答 12．將 6 位志愿者分成 4 組，其中兩個(gè)組各 2 人，另兩個(gè)組各 1 人，分赴世博會(huì)的四個(gè)不同場館服務(wù)，不同的分配方案有________種(用數(shù)字作答． 13．要在如圖所示的花圃中的 5 個(gè)區(qū)域中種入 4 種顏色不同的花，要求相鄰區(qū)域不同色，有________種 不同的種法(用數(shù)字作答． 14.將標(biāo)號(hào)為 1，2，3，4，5，6 的 6 張卡片放入 3 個(gè)不同的信封中．若每個(gè)信封放 2 張，其中標(biāo)號(hào)為 1，2 的卡片放入 7 明軒教育 同一信封，則不同的方法共有（（A）12 種（B）18 種 您身邊的個(gè)性化輔導(dǎo)專家）（C）36 種（D）54 種 電話： 15.某單位安排 7 位員工在 10 月 1 日至 7 日值班，每天 1 人，每人值班 1 天，若 7 位員工中的甲、乙排在相鄰兩天，丙 不排在 10 月 1 日，丁不排在 10 月 7 日，則不同的安排方案共有 A.504 種 B.（B）96 960 種 C.1008 種（D）144）D.1108 種 16.由 1、2、3、4、5、6 組成沒有重復(fù)數(shù)字且 1、3 都不與 5 相鄰的六位偶數(shù)的個(gè)數(shù)是（A）72（C）108 17.在某種信息傳輸過程中，用 4 個(gè)數(shù)字的一個(gè)排列（數(shù)字允許重復(fù)）表示一個(gè)信息，不同排列表示不同信息，若所用 數(shù)字只有 0 和 1，則與信息 0110 至多有兩個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息個(gè)數(shù)為（A.10 B.11 C.12 D.15 18.現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戌 5 名同學(xué)參加上海世博會(huì)志愿者服務(wù)活動(dòng)，每人從事翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四

項(xiàng)工作 之一，每項(xiàng)工作至少有一人參加。甲、乙不會(huì)開車但能從事其他三項(xiàng)工作，丙丁戌都能勝任四項(xiàng)工作，則不同安排方案 的種數(shù)是（A．152）C.90 D.54 B.126 19.甲組有 5 名男同學(xué)，3 名女同學(xué)；乙組有 6 名男同學(xué)、2 名女同學(xué)。若從甲、乙兩組中各選出 2 名同學(xué)，則選出的 4 人中恰有 1 名女同學(xué)的不同選法共有(（A）150 種（B）180 種（C）300 種(D345 種 20.將甲、乙、丙、丁四名學(xué)生分到三個(gè)不同的班，每個(gè)班至少分到一名學(xué)生，且甲、乙兩名學(xué)生不能分到同一個(gè)班，則不同分法的種數(shù)為（）A.18 數(shù)是（A.60）B.24 C.30 D.36 21.2 位男生和 3 位女生共 5 位同學(xué)站成一排，若男生甲不站兩端，3 位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種 B.48 C.42 D.36）22.從 10 名大學(xué)生畢業(yè)生中選 3 個(gè)人擔(dān)任村長助理，則甲、乙至少有 1 人入選，而丙沒有入選的不同選法的種數(shù)位為（A 85 B 56 C 49 D 28 23.3 位男生和 3 位女生共 6 位同學(xué)站成一排，若男生甲不站兩端，3 位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種 數(shù)是（A.360）B.188 C.216 D.96）24.12 個(gè)籃球隊(duì)中有 3 個(gè)強(qiáng)隊(duì)，將這 12 個(gè)隊(duì)任意分成 3 個(gè)組（每組 4 個(gè)隊(duì)），則 3 個(gè)強(qiáng)隊(duì)恰好被分在同一組的概率為（A． 1 55 B． 3 55 C． 1 4 D． 1 3 25.甲、乙、丙 3 人站到共有 7 級(jí)的臺(tái)階上，若每級(jí)臺(tái)階最多站 2 人，同一級(jí)臺(tái)階上的人不區(qū)分站的位置，則不同的站 法種數(shù)是（用數(shù)字作答）． 26.鍋中煮有芝麻餡湯圓 6 個(gè)，花生餡湯圓 5 個(gè)，豆沙餡湯圓 4 個(gè)，這三種湯圓的外部特征完全相同。從中任意舀取 4 個(gè)湯圓，則每種湯圓都至少取到 1 個(gè)的概率為（A．）D． 8 91 B． 25 91 C． 48 91 60 91 種（用數(shù)字作答）． 27.將 4 名大學(xué)生分配到 3 個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當(dāng)村官，每個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名，則不同的分配方案有 號(hào)，則不同的放球方法有（A．10 種（A）３０種）C．36 種（C）１８０種 D．52 種（D）２７０種 28.將 4 個(gè)顏色互不相同的球全部放入編號(hào)為 1 和 2 的兩個(gè)盒子里，使得放入每個(gè)盒子里的球的個(gè)數(shù)不小于該盒子的編 B．20 種（B）９０種 29.將 5 名實(shí)習(xí)教師分配到高一年級(jí)的３個(gè)班實(shí)習(xí)，每班至少１名，最多２名，則不同的分配方案有 8 明軒教育 您身邊的個(gè)性化輔導(dǎo)專家 電話： 30.某校從 8 名教師中選派 4 名教師同時(shí)去 4 個(gè)邊遠(yuǎn)地區(qū)支教(每地 1 人,其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去, 則不同的選派方案共有 種 個(gè)（用數(shù)字作答）． 31.用數(shù)字 0，1，2，3，4 組成沒

有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，則其中數(shù)字 1，2 相鄰的偶數(shù)有 32．有一排 8 個(gè)發(fā)光二極管，每個(gè)二極管點(diǎn)亮?xí)r可發(fā)出紅光或綠光，若每次恰有 3 個(gè)二極管點(diǎn)亮，但相鄰的兩個(gè)二極管 不能同時(shí)點(diǎn)亮，根據(jù)這三個(gè)點(diǎn)亮的二極管的不同位置和不同顏色來表示不同的信息，求這排二極管能表示的信息種數(shù)共 有多少種？ 33．按下列要求把 12 個(gè)人分成 3 個(gè)小組，各有多少種不同的分法？(1各組人數(shù)分別為 2,4,6 個(gè)；(2平均分成 3 個(gè)小組；(3平均分成 3 個(gè)小組，進(jìn)入 3 個(gè)不同車間． 34．6 男 4 女站成一排，求滿足下列條件的排法共有多少種？(1任何 2 名女生都不相鄰有多少種排法？(2男甲不在首位，男乙不在末位，有多少種排法？(3男生甲、乙、丙排序一定，有多少種排法？(4男甲在男乙的左邊(不一定相鄰有多少種不同的排法？ 35.已知 m, n 是正整數(shù)，（A）試求 的展開式中 x 的系數(shù)為 7，f(x 中的 x 2 的系數(shù)的最小值 f(x 的 x 2 的系數(shù)為最小的 m, n，求出此時(shí) x 3 的系數(shù) f(0.003 的近似值（精確到 0.01）（B）對(duì)于使（C）利用上述結(jié)果，求 課后作業(yè) 練習(xí)題 本節(jié)課教學(xué)計(jì)劃完成情況：照常完成□ 提前完成□ 延后完成□ ____________________________ 學(xué)生的接受程度： 5 4 3 2 1 ______________________________ 學(xué)生成長 記錄 學(xué)生的課堂表現(xiàn)：很積極□ 比較積極□ 一般積極□ 學(xué)生上次作業(yè)完成情況： 優(yōu)□ 不積極□ ___________________________ 良□ 中□ 差□ 存在問題 _____________________________ 學(xué)管師（班主任）_______________________________________________________________ 注 備 簽字時(shí)間 教學(xué)組長審批 教學(xué)主任審批 9

第二篇：計(jì)數(shù)原理教案

淮北市第十二中學(xué)2007~2008學(xué)

考

評(píng)

課

教

案

授課人：鄒強(qiáng)

2008年5月 §10.1 分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理

授課人：鄒強(qiáng)

教學(xué)目標(biāo)：

知識(shí)目標(biāo)：①理解分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理；

②會(huì)利用兩個(gè)原理分析和解決一些簡單的應(yīng)用問題；

能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生的歸納概括能力；

情感目標(biāo)：①了解學(xué)習(xí)本章的意義，激發(fā)學(xué)生的興趣

②引導(dǎo)學(xué)生形成 “自主學(xué)習(xí)”與“合作學(xué)習(xí)”等良好的學(xué)習(xí)方式..教學(xué)重點(diǎn)：

分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用理解 教學(xué)難點(diǎn)：

分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理的理解 教學(xué)方法：

問題式、螺旋上升的教學(xué)方法 教學(xué)過程：

一．課題引入

中央電視臺(tái)體育頻道每周四次對(duì)“NBA”進(jìn)行現(xiàn)場直播，并對(duì)參與節(jié)目交流的觀眾進(jìn)行抽取幸運(yùn)觀眾活動(dòng)，獎(jiǎng)品是“NBA”明星真品球衣或明星戰(zhàn)靴，此節(jié)目深受廣大籃球迷的喜歡。已知在某次直播時(shí)，共收到手機(jī)號(hào)碼2萬個(gè)。其中聯(lián)通號(hào)碼有0.8萬個(gè)，移動(dòng)號(hào)碼有1萬個(gè)，小靈通號(hào)碼有0.2萬個(gè)?，F(xiàn)抽取：

（1）一名幸運(yùn)觀眾有多少種不同類型的抽法？

（2）從聯(lián)通號(hào)碼、移動(dòng)號(hào)碼和小靈通號(hào)碼中各抽取一名幸運(yùn)觀眾共有多少種不同的抽法？ 象這種計(jì)算所有情況的問題可稱為計(jì)數(shù)問題，用來解決這種問題的一般方法或計(jì)算規(guī)律叫做計(jì)數(shù)原理，今天我們就來探求它們。

二．新課講授

問題1.1:“兩會(huì)”決定,下一次會(huì)議一定要有農(nóng)民工代表參加.假如現(xiàn)在南方有農(nóng)民工代表30人,北方有農(nóng)民工代表20人,現(xiàn)在選舉一名農(nóng)民工代表共有多少種選法? 完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m 種不同的方法，在第2類方案中有 n 種不同的方法.那么完成這件事共有 N = m + n 種不同的方法.問題1.2:在填寫高考志愿表時(shí)，一名高中畢業(yè)生了解到，清華大學(xué),復(fù)旦大學(xué),南京大學(xué)三所大學(xué)各有一些自己感興趣的強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)，具體情況如下：

清華大學(xué)

復(fù)旦大學(xué)

南京大學(xué)

數(shù)學(xué)

生物學(xué)

新聞學(xué)

化學(xué)

會(huì)計(jì)學(xué)

金融學(xué)

醫(yī)學(xué)

信息技術(shù)學(xué)

人力資源學(xué)

物理學(xué)

法學(xué)

工程學(xué)

那么，這名同學(xué)從這些強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)中任選一項(xiàng)共有多少種？ 探究一：如果完成一件事有三類不同方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，在第3類方案中有 m3種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法？

探究二:如果完成一件事情有 n 類不同方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，在第3類方案中有m3種不同的方法，在第n類方案中有 mn 種不同的方法,那么完成這件事共有多少種不同的方法？

分類計(jì)數(shù)原理： 一般歸納：

完成一件事情，有n類辦法，在第1類辦法中有m1 種不同的方法，在第2類辦法中有 m2 種不同的方法……在第n類辦法中有mn 種不同的方法.那么完成這件事共有N?m1?m2?????mn 種不同的方法.問題2.1:國務(wù)院總理溫家寶在十屆全國人大三次會(huì)議上作政府工作報(bào)告時(shí)表示，補(bǔ)助貧困學(xué)生生活費(fèi)。假設(shè)補(bǔ)助后西部某省的貧困生午飯可買兩盤菜（蔬菜類 + 肉類），學(xué)校食堂的菜單如下，蔬菜類

肉類

蘿卜

豬肉

白菜

牛肉

花菜 請(qǐng)問有多少種不同的選法? 完成一件事需要兩個(gè)不同步驟，在第1步中有 不同的方法.那么完成這件事共有Nm 種不同的方法，在第2步中有 n 種

?m?n種不同的方法.問題2.2：在填寫高考志愿表時(shí)，一名高中畢業(yè)生了解到，清華大學(xué),復(fù)旦大學(xué),南京大學(xué)三所大學(xué)各有一些自己感興趣的強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)，具體情況如下：

清華大學(xué)

復(fù)旦大學(xué)

南京大學(xué)

數(shù)學(xué)

生物學(xué)

新聞學(xué)

化學(xué)

會(huì)計(jì)學(xué)

金融學(xué)

醫(yī)學(xué)

信息技術(shù)學(xué)

人力資源學(xué)

物理學(xué)

法學(xué)

工程學(xué)

那么，這名同學(xué)從清華大學(xué)，復(fù)旦大學(xué)，南京大學(xué)這些強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)中各選一項(xiàng)共有多少種？

探究一：如果完成一件事需要三個(gè)步驟，做第1步有 m

1種不同的方法，做第2步有 m種不同的方法，做第3步有

m種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方 法？

探究二：如果完成一件事需要n 個(gè)步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2 種不同的方法，做第3步有m3種不同的方法，……做第n 步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法？

分步計(jì)數(shù)原理： 一般歸納：

完成一件事情，需要分成n個(gè)步驟，做第1步有 m1 種不同的方法，做第2步有 m2種不同的方法……做第n步有mn 種不同的方法.那么完成這件事共有N?m1?m2?????mn種不同的方法.理解分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理異同點(diǎn)

①相同點(diǎn)：都是完成一件事的不同方法種數(shù)的問題

②不同點(diǎn):分類加法計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“分類”問題，完成一件事要分為若干類，各類的方法相互獨(dú)立，各類中的各種方法也相對(duì)獨(dú)立，用任何一類中的任何一種方法都可以單獨(dú)完成這件事，是獨(dú)立完成；而分步乘法計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“分步”問題，完成一件事要分為若干步，各個(gè)步驟相互依存，完成任何其中的一步都不能完成該件事，只有當(dāng)各個(gè)步驟都完成后，才算完成這件事，是合作完成.分步時(shí)，每一步都可以看成分類；分類時(shí)，每一類也可能要有好幾步才能完成。例題選講

問題3.1 書架的第1層放有4本不同的計(jì)算機(jī)書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放2本不同的體育書.①從書架上任取1本書，有多少種不同的取法？

②從書架的第1、2、3層各取1本書，有多少種不同的取法？ ③從書架上任取兩本不同學(xué)科的書，有多少種不同的取法？ 學(xué)生練習(xí)： 填空：

（1）一件工作可以用2種方法完成，有5人會(huì)用第1種方法完成，另有4人會(huì)用第2種方法完成，從中選出1人來完成這件工作，不同選法的種數(shù)是

.（2）從A村去B村的道路有3條，從B村去C村的道路有2條，從A村經(jīng)B村去C村，不同的路線有

條..（3）從甲地到乙地有2種走法，從乙地到丙地有4種走法，從甲地不經(jīng)過乙地到丙地有3種走法，則從甲地到丙地的不同的走法共有

種.（4）.甲、乙、丙3個(gè)班各有三好學(xué)生3，5，2名，現(xiàn)準(zhǔn)備推選兩名來自不同班的三好學(xué)生去參加校三好學(xué)生代表大會(huì)，共有

種不同的推選方法.總結(jié)歸納： 1．分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理是排列組合問題的最基本的原理，是推導(dǎo)排列數(shù)、組合數(shù)公式的理論依據(jù)，也是求解排列、組合問題的基本思想.2．理解分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理，并加區(qū)別

分類加法計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“分類”問題，其中各種方法相對(duì)獨(dú)立，用其中任何一種方法都可 4 以完成這件事；而分步乘法計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“分步”問題，各個(gè)步驟中的方法相互依存，只有各個(gè)步驟都完成后才算做完這件事.3．運(yùn)用分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理的注意點(diǎn)：

分類加法計(jì)數(shù)原理：首先確定分類標(biāo)準(zhǔn)，其次滿足：完成這件事的任何一種方法必屬于某一類，并且分別屬于不同的兩類的方法都是不同的方法，即“不重不漏”.分步乘法計(jì)數(shù)原理：首先確定分步標(biāo)準(zhǔn)，其次滿足：必須并且只需連續(xù)完成這n個(gè)步驟，這件事才算完成 作業(yè)布置：

.1．課本第９７頁的習(xí)題1０.1A第1，2，3題．

2．編一道運(yùn)用分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理解答的應(yīng)用題，并加以解答． 課外思考：

1.某學(xué)生去書店，發(fā)現(xiàn)3本好書，決定至少買其中1本，則該生的購書方案有_____種。課后反思：

第三篇：兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理教案

第一章計(jì)數(shù)原理

第1節(jié)兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理 教材分析

本節(jié)課《分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理》是蘇教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書（選修2-3)第一章第一節(jié)的內(nèi)容，是本章后續(xù)知識(shí)的基礎(chǔ),對(duì)后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)有著舉足輕重的作用,另外本節(jié)課涉及的分步、分類的思想是解決實(shí)際問題的最有效武器，是人們思考問題的最根本方法.學(xué)情分析

高二學(xué)生已具備一定的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，能很容易的接受兩個(gè)原理的內(nèi)容，并應(yīng)用原理解決一些簡單的實(shí)際問題，這些形成了學(xué)生思維的“最近發(fā)展區(qū)”．雖然學(xué)生已經(jīng)具備了一定的歸納、類比能力，但在數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)與應(yīng)用能力方面尚需進(jìn)一步培養(yǎng)．另外，學(xué)生的求知欲強(qiáng)，參與意識(shí)，自主探索意識(shí)明顯增強(qiáng)，對(duì)能夠引起認(rèn)知沖突，表現(xiàn)自身價(jià)值的學(xué)習(xí)素材特別感興趣。但在合作交流意識(shí)欠缺，有待加強(qiáng).目標(biāo)分析 ⑴知識(shí)與技能

①掌握分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理的內(nèi)容

②能根據(jù)具體問題的特征選擇分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理解決一些簡單實(shí)際問題． ⑵過程與方法

①通過具體問題情境總結(jié)出兩個(gè)計(jì)數(shù)原理，并通過實(shí)際事例學(xué)生感悟兩個(gè)原理的應(yīng)用并最終學(xué)會(huì)應(yīng)用

②通過“學(xué)生自主探究、合作探究，師生共究”更深刻的理解分類計(jì)數(shù)與分步計(jì)數(shù)原理，并應(yīng)用它們解決實(shí)際問題 ⑶情感、態(tài)度、價(jià)值觀

樹立學(xué)生積極合作的意識(shí)，增強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí),激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情和興趣.教學(xué)重難點(diǎn)分析

教學(xué)重點(diǎn)：分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理的掌握

教學(xué)難點(diǎn)：根據(jù)具體問題特征選擇分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理解決實(shí)際問題． 教法、學(xué)法分析 教法分析：

①啟發(fā)探究法：這種方法有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)進(jìn)行主動(dòng)建構(gòu)；有利于突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)；有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生的主動(dòng)性和積極性，發(fā)揮其創(chuàng)造性。

②分組討論法：有利于學(xué)生進(jìn)行交流，及時(shí)發(fā)現(xiàn)問題，解決問題，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性。學(xué)法分析：本節(jié)課要求學(xué)生自主探究，學(xué)會(huì)用類比的思想解決問題，樹立學(xué)生的合作交流意識(shí).教學(xué)過程

一、創(chuàng)設(shè)情境：對(duì)于分類計(jì)數(shù)原理設(shè)計(jì)如下情境（看多媒體）： 該情境是原教材上情境經(jīng)過加工設(shè)計(jì)的，比原教材情境更加貼近學(xué)生生活，能夠增強(qiáng)學(xué)生的有意注意，激發(fā)學(xué)生的興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生的主動(dòng)性和積極性,從而進(jìn)入思維情境接著是對(duì)情境的處理：

在情境處理過程中要啟發(fā)學(xué)生由特殊情形歸納出一般原理,遵循由簡單到復(fù)雜的認(rèn)知規(guī)律，我處理情境的辦法是：

第一步在解決問題時(shí)首先讓學(xué)生嘗試分析,然后由學(xué)生代表分析解答，教師及時(shí)給出評(píng)價(jià)，并由老師給出解題過程，在這里由老師按分類計(jì)數(shù)原理給出解題過程，為學(xué)生順利總結(jié)概括出原理做好鋪墊.第二步對(duì)原問題加以引申：若當(dāng)天有4次航班，則有多少種不同方法？ 設(shè)計(jì)的意圖是讓學(xué)生更清楚的認(rèn)識(shí)到總方法數(shù)是各類方法數(shù)之和.第三步提出問題：你能否盡可能簡練的總結(jié)出問題1中的計(jì)數(shù)規(guī)律？

接著由學(xué)生分組討論、總結(jié)問題1中計(jì)數(shù)規(guī)律，這樣由學(xué)生總結(jié)歸納，并通過討論準(zhǔn)確敘述出分類計(jì)數(shù)原理，可以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)意識(shí)，激發(fā)合作意識(shí)和競爭意識(shí)，體驗(yàn)獲得成功的喜悅，也就完成了情感目標(biāo).第四步由教師板書分類計(jì)數(shù)原理(加法原理）并說明由于總方法數(shù)是各類方法數(shù)之和，樹立學(xué)生平時(shí)學(xué)習(xí)生活中的講道理意識(shí).在分類計(jì)數(shù)原理中設(shè)計(jì)如下問題情境，問題2與問題1的背景一樣：都是乘車方法的計(jì)數(shù)問題.對(duì)于問題2的處理辦法是：第一步由學(xué)生自主嘗試分析解答，但該問題并沒有問題1般簡單所以就有了第二步教師電腦屏幕顯示分析及解題過程，利用多媒體顯示動(dòng)畫，輔助分析，展示不同的走法,幫助學(xué)生更直觀的解決問題，然后由感性進(jìn)入理性，這也符合一般的認(rèn)知規(guī)律.第三步問題引申將問題引申為若從蘭州到天水新增一輛4號(hào)汽車，則有多少種乘車方法？ 設(shè)計(jì)的意圖是：通過引申讓學(xué)生更加清楚的認(rèn)識(shí)到總方法數(shù)是各步方法數(shù)相乘.第四步提出問題：你能否對(duì)照分類計(jì)數(shù)原理，歸納概括出問題2蘊(yùn)含的計(jì)數(shù)規(guī)律,并嘗試命名，這樣設(shè)計(jì)一可指導(dǎo)學(xué)生通過類比給出分步計(jì)數(shù)原理，滲透類比思想第二也可在自主探究中掌握本節(jié)重點(diǎn)，當(dāng)然重點(diǎn)的突破也為難點(diǎn)突破打下了知識(shí)基礎(chǔ) 第五部教師板書：分步計(jì)數(shù)原理（乘法原理），由學(xué)生說明其稱為乘法原理的理由.分步計(jì)數(shù)原理(乘法原理)：

做一件事情，完成它需要分成n個(gè)步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，??，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事有N=m1×m2×?×mn種不同的方法.二、建構(gòu)數(shù)學(xué)

在總結(jié)出兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的基礎(chǔ)上讓學(xué)生進(jìn)行如下三個(gè)問題的探究，初步突破難點(diǎn).探究1：對(duì)比兩計(jì)數(shù)原理，指出相同點(diǎn)與不同點(diǎn) 設(shè)計(jì)探究1的意圖是通過自主探究合作探究，加深兩個(gè)定理的理解并且在兩個(gè)定理內(nèi)容的比較中提高學(xué)生閱讀數(shù)學(xué)的能力.探究方式：分組討論（合作交流，加深理解）

探究結(jié)果：共同點(diǎn)是：研究對(duì)象相同,它們都是研究完成一件事情,共有多少種不同的方法.不同點(diǎn)是：它們研究完成一件事情的方式不同,分類計(jì)數(shù)原理是“分類完成”,分步計(jì)數(shù)原理是“分步完成”由于學(xué)生的認(rèn)識(shí)水平有限，在這里只要求認(rèn)識(shí)到分類計(jì)數(shù)原理是“分類完成”,分步計(jì)數(shù)原理是“分步完成”.探究2：何時(shí)用分類計(jì)數(shù)原理,何時(shí)用分步計(jì)數(shù)原理 探究方式：自主探究，代表發(fā)言，共同總結(jié).探究結(jié)果：若完成一件事情有n類方法，則用分類計(jì)數(shù)原理.若完成一件事情有n個(gè)步驟，則用分步計(jì)數(shù)原理.設(shè)計(jì)意圖：在探究1基礎(chǔ)上進(jìn)一步突破重難點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生分析問題的能力.探究3：用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決計(jì)數(shù)問題的思維步驟 探究方式：分組討論，合作探究，代表發(fā)言,共同總結(jié).探究結(jié)果：

1、明確要完成什么事

2、判斷分類還是分步

3、計(jì)算總方法數(shù)

（一）兩個(gè)計(jì)數(shù)原理內(nèi)容

1、分類計(jì)數(shù)原理：

完成一件事，有n類辦法，在第1類辦法中有m1種不同的方法，在第2類辦法中有m2種不同的方法??在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1 +m2 +??+mn種不同的方法.2、分步計(jì)數(shù)原理：

完成一件事，需要分n個(gè)步驟，做第1步驟有m1種不同的方法，做第2步驟有m2種不同的方法??做第n步驟有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1×m2 ×??×mn種不同的方法.（二）例題分析

例1 某學(xué)校食堂備有5種素菜、3種葷菜、2種湯?，F(xiàn)要配成一葷一素一湯的套餐。問 可以配制出多少種不同的品種？ 分析：

1、完成的這件事是什么？

2、如何完成這件事？（配一個(gè)葷菜、配一個(gè)素菜、配一湯）

3、它們屬于分類還是分步？（是否獨(dú)立完成）

4、運(yùn)用哪個(gè)計(jì)數(shù)原理？

5、進(jìn)行計(jì)算.解：屬于分步：第一步配一個(gè)葷菜有3種選擇 第二步配一個(gè)素菜有5種選擇 第三步配一個(gè)湯有2種選擇 共有N=3×5×2=30（種）

例2 有一個(gè)書架共有2層，上層放有5本不同的數(shù)學(xué)書，下層放有4本不同的語文書。（1）從書架上任取一本書，有多少種不同的取法？

（2）從書架上任取一本數(shù)學(xué)書和一本語文書，有多少種不同的取法？（1）分析：

1、完成的這件事是什么？

2、如何完成這件事？

3、它們屬于分類還是分步？（是否獨(dú)立完成）

4、運(yùn)用哪個(gè)計(jì)數(shù)原理？

5、進(jìn)行計(jì)算。

解：屬于分類：第一類從上層取一本書有5種選擇 第二類從下層取一本書有4種選擇 共有N=5+4=9（種）

（2）分析：

1、完成的這件事是什么？

2、如何完成這件事？

3、它們屬于分類還是分步？（是否獨(dú)立完成）

4、運(yùn)用哪個(gè)計(jì)數(shù)原理？

5、進(jìn)行計(jì)算.解：屬于分步：第一步從上層取一本書有5種選擇 第二步從下層取一本書有4種選擇 共有N=5×4=20（種）

例

3、有1、2、3、4、5五個(gè)數(shù)字.（1）可以組成多少個(gè)不同的三位數(shù)？

（2）可以組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？

（3）可以組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的偶數(shù)的三位數(shù)？（1）分析：

1、完成的這件事是什么？

2、如何完成這件事？（配百位數(shù)、配十位數(shù)、配個(gè)位數(shù)）

3、它們屬于分類還是分步？（是否獨(dú)立完成）

4、運(yùn)用哪個(gè)計(jì)數(shù)原理？

5、進(jìn)行計(jì)算.略解：N=5×5×5=125（個(gè)）（2）（3）（4）師生共同完成

（三）鞏固練習(xí)

1、某人有4條不同顏色的領(lǐng)帶和6件不同款式的襯衣，問可以有多少種不同的搭配方法？

2、有一個(gè)班級(jí)共有46名學(xué)生，其中男生有21名.（1）現(xiàn)要選派一名學(xué)生代表班級(jí)參加學(xué)校的學(xué)代會(huì)，有多 少種不同的選派方法？

（2）若要選派男、女各一名學(xué)生代表班級(jí)參加學(xué)校的學(xué)代 會(huì)，有多少種不同的選派方法？

思考：有0、1、2、3、4、5六個(gè)數(shù)字.（1）可以組成多少個(gè)不同的三位數(shù)？

（2）可以組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？

（3）可以組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的偶數(shù)的三位數(shù)？

（四）課堂總結(jié)

1、什么時(shí)候用加法原理、什么時(shí)候用乘法原理呢？

分類時(shí)用加法原理，分步時(shí)用乘法原理．

2、分類與分步怎么區(qū)別呢？

分類時(shí)要求各類辦法能獨(dú)立完成；分步時(shí)要求各步不能獨(dú)立完成． 分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理異同點(diǎn)的理解： ①相同點(diǎn)：都是完成一件事的不同方法種數(shù)的問題

②不同點(diǎn)：分類加法計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“分類”問題，完成一件事要分為若干類，各類的方法相互獨(dú)立，各類中的各種方法也相對(duì)獨(dú)立，用任何一類中的任何一種方法都可以單獨(dú)完成這件事，是獨(dú)立完成；而分步乘法計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“分步”問題，完成一件事要分為若干步，各個(gè)步驟相互依存，完成任何其中的一步都不能完成該件事，只有當(dāng)各個(gè)步驟都完成后，才算完成這件事，是合作完成.（五）板書設(shè)計(jì)： 兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理

1、分類計(jì)數(shù)原理： N=m1 +m2 +……+mn

2、分類計(jì)數(shù)原理： N=m1×m2 ×……×mn

例1． 例2． 小結(jié)：

（六）及時(shí)訓(xùn)練

1.如圖,從甲地到乙地有2條路可通,從乙地到丙地有3條路可通;從甲地到丁地有4條路可通, 從丁地到丙地有2條路可通。從甲地到丙地共有多少種不同的走法？

2.書架上放有3本不同的數(shù)學(xué)書，5本不同的語文書，6本不同的英語書．（1）若從這些書中任取一本，有多少種不同的取法？

（2）若從這些書中，取數(shù)學(xué)書、語文書、英語書各一本，有多少種不同的取法？（3）若從這些書中取不同的科目的書兩本，有多少種不同的取法？

3.如圖一,要給①,②,③,④四塊區(qū)域分別涂上五種顏色中的某一種,允許同一種顏色使用多次,但相鄰區(qū)域必須涂不同顏色,則不同涂色方法種數(shù)為()

A.180

B.160

C.96

D.60

若變?yōu)閳D二,圖三呢? 5.五名學(xué)生報(bào)名參加四項(xiàng)體育比賽，每人限報(bào)一項(xiàng)，報(bào)名方法的種數(shù)為多少？又他們爭奪這四項(xiàng)比賽的冠軍，獲得冠軍的可能性有多少種？

（七）作業(yè)布置

1、課本第8頁第1、2、3、4、5題；

2、課本第9頁第1、2、3、4、5、6、7、8、9題 教學(xué)反思：

分類加法計(jì)數(shù)原理比較好掌握，分類乘法計(jì)數(shù)原理不太好理解.有些題不知道是用加法原理還是用乘法原理.例題書上都有，看過書后，教師講課感覺不到新鮮.還有部分不會(huì)做題的學(xué)生通過看書也能得到答案，不能反映他們的真實(shí)水平.1、學(xué)生主體觀

課堂教學(xué)過程是在教學(xué)目標(biāo)的指引下，由師生共同動(dòng)態(tài)“生成”的．其中，學(xué)生的反饋是重要的，它決定了教學(xué)的進(jìn)程．聆聽學(xué)生是教師的必備技能，不要將學(xué)生作為“答案發(fā)生器”，不要沉浸在“我的學(xué)生都會(huì)做了”這種虛假的成功喜悅中，而應(yīng)該讓學(xué)生關(guān)注解決問題的過程、策略及思想方法，讓他們充分地展示思想，完整地、數(shù)學(xué)地表達(dá)自己的想法，甚至于應(yīng)該給予他們犯錯(cuò)的機(jī)會(huì)，也幫助他們提高分析錯(cuò)誤、更正錯(cuò)誤的能力．

學(xué)生在解題時(shí)，往往對(duì)答案很在意，也很在行．例如在問題“集合{1，2，3，4，5}的二元子集有多少個(gè)？”的解決中，學(xué)生極快地報(bào)出了答案“10”，但在敘述他的解題過程時(shí)，卻說不太清楚．一開始說出了5×4的做法，但很快又自我否定（因?yàn)榇鸢覆粚?duì)），當(dāng)然，他一定覺得用“數(shù)”數(shù)的方法可以解決，但難以表述．這種“兩難”處境需要教師的協(xié)助來化解，在教師的鼓勵(lì)下，他用“數(shù)”數(shù)的方法完成了問題，并對(duì)計(jì)數(shù)的對(duì)象——二元集進(jìn)行了分類，利用分類加法計(jì)數(shù)原理重新闡述了做法，得到了師生的共同認(rèn)可．在這一過程中，不僅是這名學(xué)生，而是全體，都體驗(yàn)了不要“輕易言敗”的心理歷程，這也在一定程度上實(shí)現(xiàn)了新課程所倡導(dǎo)的“情感、態(tài)度、價(jià)值觀”的目標(biāo)．

2、讓學(xué)生自我發(fā)展

如何讓學(xué)生的主動(dòng)學(xué)習(xí)模式從課內(nèi)延伸到課外？如何讓學(xué)有余力的同學(xué)有更大的收獲？ 學(xué)生在課后常會(huì)問一些問題，多數(shù)是課上未聽懂或習(xí)題的方法未理解掌握，但也有一些同學(xué)就某一問題提出新看法、新解法，對(duì)他們而言，一個(gè)具備思辨價(jià)值的問題是更好的研究素材，例如在本課最后，提出了問題“已知集合M={1，2，3}，P={4，5，6}．①以M為定義域，P為值域的不同函數(shù)有幾個(gè)？②從M到P不同的映射有多少個(gè)？”——這個(gè)問題需要學(xué)生對(duì)函數(shù)、映射相關(guān)知識(shí)先做一個(gè)回顧，再利用所學(xué)的兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理加以解決．記得當(dāng)時(shí)一下課，有學(xué)生上來問我：“是不是9”？我沒有回答，而是讓他自主驗(yàn)證．第二天，他堅(jiān)定地說，“①的答案是6；②的答案是9”，我想，他不需要我對(duì)他的答案進(jìn)行認(rèn)可了，因?yàn)樗褜W(xué)會(huì)了自我認(rèn)可．這種自我認(rèn)可的能力，不也是數(shù)學(xué)課程需要達(dá)到的目標(biāo)么？

第四篇：高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

高中數(shù)學(xué)難度更大，難度在于它的深度和廣度，但如果能理清思路，抓住重點(diǎn)，多實(shí)踐，變?cè)覟楸┚⒎遣豢赡?。高中?shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)有哪些你知道嗎?一起來看看高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)，歡迎查閱!

高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)匯總

1.必修課程由5個(gè)模塊組成：

必修1：集合，函數(shù)概念與基本初等函數(shù)(指數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù))

必修2：立體幾何初步、平面解析幾何初步。

必修3：算法初步、統(tǒng)計(jì)、概率。

必修4：基本初等函數(shù)(三角函數(shù))、平面向量、三角恒等變換。

必修5：解三角形、數(shù)列、不等式。

以上所有的知識(shí)點(diǎn)是所有高中生必須掌握的，而且要懂得運(yùn)用。

選修課程分為4個(gè)系列：

系列1：2個(gè)模塊

選修1-1：常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、空間向量與立體幾何。

選修1-2：統(tǒng)計(jì)案例、推理與證明、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)、框圖

系列2:3個(gè)模塊

選修2-1：常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、空間向量與立體幾何

選修2-2：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、推理與證明、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)

選修2-3：計(jì)數(shù)原理、隨機(jī)變量及其分布列、統(tǒng)計(jì)案例

選修4-1：幾何證明選講

選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

選修4-5：不等式選講

2.重難點(diǎn)及其考點(diǎn)：

重點(diǎn)：函數(shù)，數(shù)列，三角函數(shù)，平面向量，圓錐曲線，立體幾何，導(dǎo)數(shù)

難點(diǎn)：函數(shù)，圓錐曲線

高考相關(guān)考點(diǎn)：

1.集合與邏輯：集合的邏輯與運(yùn)算(一般出現(xiàn)在高考卷的第一道選擇題)、簡易邏輯、充要條件

2.函數(shù)：映射與函數(shù)、函數(shù)解析式與定義域、值域與最值、反函數(shù)、三大性質(zhì)、函數(shù)圖象、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、函數(shù)的應(yīng)用

3.數(shù)列：數(shù)列的有關(guān)概念、等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)列求通項(xiàng)、求和

4.三角函數(shù)：有關(guān)概念、同角關(guān)系與誘導(dǎo)公式、和差倍半公式、求值、化簡、證明、三角函數(shù)的圖像及其性質(zhì)、應(yīng)用

5.平面向量:初等運(yùn)算、坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積及其應(yīng)用

6.不等式：概念與性質(zhì)、均值不等式、不等式的證明、不等式的解法、絕對(duì)值不等式(經(jīng)常出現(xiàn)在大題的選做題里)、不等式的應(yīng)用

7.直線與圓的方程：直線的方程、兩直線的位置關(guān)系、線性規(guī)劃、圓、直線與圓的位置關(guān)系

8.圓錐曲線方程：橢圓、雙曲線、拋物線、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、軌跡問題、圓錐曲線的應(yīng)用

9.直線、平面、簡單幾何體：空間直線、直線與平面、平面與平面、棱柱、棱錐、球、空間向量

10.排列、組合和概率：排列、組合應(yīng)用題、二項(xiàng)式定理及其應(yīng)用

11.概率與統(tǒng)計(jì)：概率、分布列、期望、方差、抽樣、正態(tài)分布

12.導(dǎo)數(shù)：導(dǎo)數(shù)的概念、求導(dǎo)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

13.復(fù)數(shù)：復(fù)數(shù)的概念與運(yùn)算

高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要注意的方法

1.用心感受數(shù)學(xué)，欣賞數(shù)學(xué)，掌握數(shù)學(xué)思想。有位數(shù)學(xué)家曾說過：數(shù)學(xué)是用最小的空間集中了的理想。

2.要重視數(shù)學(xué)概念的理解。高一數(shù)學(xué)與初中數(shù)學(xué)的區(qū)別是概念多并且較抽象，學(xué)起來“味道”同以往很不一樣，解題方法通常就來自概念本身。學(xué)習(xí)概念時(shí)，僅僅知道概念在字面上的含義是不夠的，還須理解其隱含著的深層次的含義并掌握各種等價(jià)的表達(dá)方式。例如，為什么函數(shù)y=f(x)與y=f-1(x)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，而y=f(x)與x=f-1(y)卻有相同的圖象;又如，為什么當(dāng)f(x-1)=f(1-x)時(shí)，函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，而y=f(x-1)與y=f(1-x)的圖象卻關(guān)于直線x=1對(duì)稱，不透徹理解一個(gè)圖象的對(duì)稱性與兩個(gè)圖象的對(duì)稱關(guān)系的區(qū)別，兩者很容易混淆。

3.對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)應(yīng)抱著二個(gè)詞――“嚴(yán)謹(jǐn)，創(chuàng)新”，所謂嚴(yán)謹(jǐn)，就是在平時(shí)訓(xùn)練的時(shí)候，不能一絲馬虎，是對(duì)就是對(duì)，錯(cuò)了就一定要承認(rèn)，要找原因，要改正，萬不可以抱著“好像是對(duì)的”的心態(tài)，蒙混過關(guān)。至于創(chuàng)新呢，要求就高一點(diǎn)了，要求在你會(huì)解決此問題的情況下，你還會(huì)不會(huì)用另一種更簡單，更有效的方法，這就需要扎實(shí)的基本功。平時(shí)，我們看到一些人，做題時(shí)從不用常規(guī)方法，總愛自己創(chuàng)造一些方法以“偏方”解題，雖然有時(shí)候也能讓他撞上一些好的方法，但我認(rèn)為是不可取的。因?yàn)槟闶紫缺仨殞W(xué)會(huì)用常規(guī)的方法，在此基礎(chǔ)上你才能創(chuàng)新，你的創(chuàng)新才有意義，而那些總是片面“追求”新方法的人，他們的思維有如空中樓閣，必然是曇花一現(xiàn)。當(dāng)然我們要有創(chuàng)新意識(shí)，但是，創(chuàng)新是有條件的，必須有扎實(shí)的基礎(chǔ)，因此我想勸一下那些基礎(chǔ)不牢，而平時(shí)總愛用“偏方”的同學(xué)們，該是清醒一下的時(shí)候了，千萬不要繼續(xù)鉆那可憐的牛角尖啊!

4.建立良好的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)習(xí)慣，習(xí)慣是經(jīng)過重復(fù)練習(xí)而鞏固下來的穩(wěn)重持久的條件反射和自然需要。建立良好的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)習(xí)慣，會(huì)使自己學(xué)習(xí)感到有序而輕松。高中數(shù)學(xué)的良好習(xí)慣應(yīng)是：多質(zhì)疑、勤思考、好動(dòng)手、重歸納、注意應(yīng)用。學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，要把教師所傳授的知識(shí)翻譯成為自己的特殊語言，并永久記憶在自己的腦海中。另外還要保證每天有一定的自學(xué)時(shí)間，以便加寬知識(shí)面和培養(yǎng)自己再學(xué)習(xí)能力。

5.多聽、多作、多想、多問：此“四多”乃培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力的要訣，“聽”就是在“學(xué)”，作是“練習(xí)”(作課本上的習(xí)題或其它問題)，也就是把您所學(xué)的，應(yīng)用到解決問題上?！奥牎迸c“作”難免會(huì)碰到疑難，那就要靠“想”的功夫去打通它，假如還想不通，解不來就要“問”――問同學(xué)、問老師或參考書，務(wù)必將疑難解決為止。這就是所謂的學(xué)問：既學(xué)又問。

6.要有毅力、要有恒心：基本上要有一個(gè)認(rèn)識(shí)：數(shù)學(xué)能力乃是長期努力累積的結(jié)果，而不是一朝一夕之功所能達(dá)到的。您可能花一天或一個(gè)晚上的功夫把某課文背得滾瓜爛熟，第二天考背誦時(shí)對(duì)答如流而獲高分，也有可能花了一兩個(gè)禮拜的時(shí)間拼命學(xué)數(shù)學(xué)，但到頭來數(shù)學(xué)可能還考不好，這時(shí)候您可不能氣餒，也不必為花掉的時(shí)間惋惜。

高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的五大要點(diǎn)分析

一、端正態(tài)度，切忌浮躁，忌急于求成在第一輪復(fù)習(xí)的過程中，心浮氣躁是一個(gè)非常普遍的現(xiàn)象。主要表現(xiàn)為平時(shí)復(fù)習(xí)覺得沒有問題，題目也能做，但是到了考試時(shí)就是拿不了高分!這主要是因?yàn)椋?/p>

(1)對(duì)復(fù)習(xí)的知識(shí)點(diǎn)缺乏系統(tǒng)的理解，解題時(shí)缺乏思維層次結(jié)構(gòu)。第一輪復(fù)習(xí)著重對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)的挖掘，數(shù)學(xué)老師一定都會(huì)反復(fù)強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)的重要性。如果不重視對(duì)知識(shí)點(diǎn)的系統(tǒng)化分析，不能構(gòu)成一個(gè)整體的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)架，自然在解題時(shí)就不能擁有整體的構(gòu)思，也不能深入理解高考典型例題的思維方法。

(2)復(fù)習(xí)的時(shí)候心不靜。心不靜就會(huì)導(dǎo)致思維不清晰，而思維不清晰就會(huì)促使復(fù)習(xí)沒有效率。建議大家在開始一個(gè)學(xué)科的復(fù)習(xí)之前，先靜下心來認(rèn)真想一想接下來需要復(fù)習(xí)哪一塊兒，需要做多少事情，然后認(rèn)真去做，同時(shí)需要很高的注意力，只有這樣才會(huì)有很好的效果。

(3)在第一輪復(fù)習(xí)階段，學(xué)習(xí)的重心應(yīng)該轉(zhuǎn)移到基礎(chǔ)復(fù)習(xí)上來。

因此，建議廣大同學(xué)在一輪復(fù)習(xí)的時(shí)候千萬不要急于求成，一定要靜下心來，認(rèn)真的揣摩每個(gè)知識(shí)點(diǎn)，弄清每一個(gè)原理。只有這樣，一輪復(fù)習(xí)才能顯出成效。

二、注重教材、注重基礎(chǔ)，忌盲目做題

要把書本中的常規(guī)題型做好，所謂做好就是要用最少的時(shí)間把題目做對(duì)。部分同學(xué)在第一輪復(fù)習(xí)時(shí)對(duì)基礎(chǔ)題不予以足夠的重視，認(rèn)為題目看上去會(huì)做就可以不加訓(xùn)練，結(jié)果常在一些“不該錯(cuò)的地方錯(cuò)了”，最終把原因簡單的歸結(jié)為粗心，從而忽視了對(duì)基本概念的掌握，對(duì)基本結(jié)論和公式的記憶及基本計(jì)算的訓(xùn)練和常規(guī)方法的積累，造成了實(shí)際成績與心理感覺的偏差。

可見，數(shù)學(xué)的基本概念、定義、公式，數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)系，基本的數(shù)學(xué)解題思路與方法，是第一輪復(fù)習(xí)的重中之重。不妨以既是重點(diǎn)也是難點(diǎn)的函數(shù)部分為例，就必須掌握函數(shù)的概念，建立函數(shù)關(guān)系式，掌握定義域、值域與最值、奇偶性、單調(diào)性、周期性、對(duì)稱性等性質(zhì)，學(xué)會(huì)利用圖像即數(shù)形結(jié)合。

三、抓薄弱環(huán)節(jié)，做好復(fù)習(xí)的針對(duì)性，忌無計(jì)劃

每個(gè)同學(xué)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上遇到的問題有共同點(diǎn)，更有不同點(diǎn)。在復(fù)習(xí)課上，老師只能針對(duì)性去解決共同點(diǎn)，而同學(xué)們自己的個(gè)別問題則需要通過自己的思考，與同學(xué)們的討論，并向老師提問來解決問題，我們提倡同學(xué)多問老師，要敢于問。每個(gè)同學(xué)必須了解自己掌握了什么，還有哪些問題沒有解決，要明確只有把漏洞一一補(bǔ)上才能提高。復(fù)習(xí)的過程，實(shí)質(zhì)就是解決問題的過程，問題解決了，復(fù)習(xí)的效果就實(shí)現(xiàn)了。同時(shí)，也請(qǐng)同學(xué)們注意：在你問問題之前先經(jīng)過自己思考，不要把不經(jīng)過思考的問題就直接去問，因?yàn)檫@并不能起到更大作用。

高三的復(fù)習(xí)一定是有計(jì)劃、有目標(biāo)的，所以千萬不要盲目做題。第一輪復(fù)習(xí)非常具有針對(duì)性，對(duì)于所有知識(shí)點(diǎn)的地毯式轟炸，一定要做到不缺不漏。因此，僅靠簡單做題是達(dá)不到一輪復(fù)習(xí)應(yīng)該具有的效果。而且盲目做題沒有針對(duì)性，更不會(huì)有全面性。在概念模糊的情況下一定要回歸課本，注意教材上最清晰的概念與原理，注重對(duì)知識(shí)點(diǎn)運(yùn)用方法的總結(jié)。

四、在平時(shí)做題中要養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣，忌不思

1.樹立信心，養(yǎng)成良好的運(yùn)算習(xí)慣。部分同學(xué)平時(shí)學(xué)習(xí)過程中自信心不足，做作業(yè)時(shí)免不了互相對(duì)答案，也不認(rèn)真找出錯(cuò)誤原因并加以改正。“會(huì)而不對(duì)”是高三數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的大忌，常見的有審題失誤、計(jì)算錯(cuò)誤等，平時(shí)都以為是粗心，其實(shí)這就是一種非常不好的習(xí)慣，必須在第一輪復(fù)習(xí)中逐步克服，否則，后患無窮。可結(jié)合平時(shí)解題中存在的具體問題，逐題找出原因，看其是行為習(xí)慣方面的原因，還是知識(shí)方面的缺陷，再有針對(duì)性加以解決。必要時(shí)作些記錄，也就是錯(cuò)題本，每位同學(xué)必備的，以便以后查詢。

2.做好解題后的開拓引申，培養(yǎng)一題多解和舉一反三的能力。解題能力的培養(yǎng)可以從一題多解和舉一反三中得到提高，因而解完題后，需要再回味和引申，它包括對(duì)解題方法的開拓引申，即一道數(shù)學(xué)題從不同的角度去考慮去分析，可以有不同的思路，不同的解法。

考慮的愈廣泛愈深刻，獲得的思路愈廣闊，解法愈多樣;及對(duì)題目做開拓引申，引申出新題和新解法，有利于培養(yǎng)同學(xué)們的發(fā)散思維，激發(fā)創(chuàng)造精神，提高解題能力：

(1)把題目條件開拓引申。

①把特殊條件一般化;②把一般條件特殊化;③把特殊條件和一般條件交替變化。

(2)把題目結(jié)論開拓引申。

(3)把題型開拓引申，同一個(gè)題目，給出不同的提法，可以變成不同的題型。俗稱為“一題多變”但其解法仍類似，按其解法而言，這些題又可稱為“多題一解”或“一法多用”。

3.提高解題速度，掌握解題技巧。提高解題速度的主要因素有二：一是解題方法的巧妙與簡捷;二是對(duì)常規(guī)解法的掌握是否達(dá)到高度的熟練程度。

五、學(xué)會(huì)總結(jié)、歸納，訓(xùn)練到位，忌題量不足

我在暑期上課的時(shí)候發(fā)現(xiàn)，很多同學(xué)都是一看到題目就開始做題，這也是一輪復(fù)習(xí)應(yīng)該避免的地方。做題如果不注重思路的分析，知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)用，效果可想而知。因此建議同學(xué)們?cè)谧鲱}前要把老師上課時(shí)復(fù)習(xí)的知識(shí)再回顧一下，梳理知識(shí)體系，回顧各個(gè)知識(shí)點(diǎn)，對(duì)所學(xué)的知識(shí)結(jié)構(gòu)要有一個(gè)完整清楚的認(rèn)識(shí)，認(rèn)真分析題目考查的知識(shí)，思想，以及方法，還要學(xué)會(huì)總結(jié)歸納不留下任何知識(shí)的盲點(diǎn)，在一輪復(fù)習(xí)中要注意對(duì)各個(gè)知識(shí)點(diǎn)的細(xì)化。這個(gè)過程不需要很長的時(shí)間，而且到了后續(xù)階段會(huì)越來越熟練。因此，養(yǎng)成良好的做題習(xí)慣，有助于訓(xùn)練自己的解題思維，提高自己的解題能力。

實(shí)踐出真知，充足的題量是把理論轉(zhuǎn)化為能力的一種保障，在足夠的題目的練習(xí)下不僅可以更扎實(shí)的掌握知識(shí)點(diǎn)，還可以更深入的了解知識(shí)點(diǎn)，避免出現(xiàn)“會(huì)而不對(duì)、對(duì)而不全”的現(xiàn)象。由于高考依然是以做題為主，所以解題能力是高考分?jǐn)?shù)的一個(gè)直接反映，尤其是數(shù)學(xué)試題。而解題能力不是三兩道題就能提升的，而是要大量的反復(fù)的訓(xùn)練、認(rèn)真細(xì)致的推敲才會(huì)有較大的提升。有句話說的好，“量變導(dǎo)致質(zhì)變”，因此，同學(xué)們?cè)诿空聫?fù)習(xí)的時(shí)候，一定要做足夠的題，才能夠充分的理解這一章的內(nèi)容，才能夠做到對(duì)這一章知識(shí)點(diǎn)的熟練運(yùn)用。

但是，大量訓(xùn)練絕對(duì)不是題海戰(zhàn)術(shù)。因?yàn)獒槍?duì)每章節(jié)做題都有目標(biāo)，同時(shí)做題訓(xùn)練都需要不斷的總結(jié)，既要橫向總結(jié)，也要縱向深入。只要在每章節(jié)做題做到一定程度的時(shí)候都能感覺到這一章的知識(shí)點(diǎn)有哪些，典型題型有哪些，方法和技巧有哪些，換句話說，如果隨機(jī)抽取一些近幾年關(guān)于這一章的高考題都會(huì)做，那我認(rèn)為就可以了。

高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

第五篇：高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1.對(duì)于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“確定性、互異性、無序性”。

中元素各表示什么？

A表示函數(shù)y=lgx的定義域，B表示的是值域，而C表示的卻是函數(shù)上的點(diǎn)的軌跡 進(jìn)行集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算時(shí)，不要忘記集合本身和空集的特殊情況 注重借助于數(shù)軸和文氏圖解集合問題。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

顯然，這里很容易解出A={-1,3}.而B最多只有一個(gè)元素。故B只能是-1或者3。根據(jù)條件，可以得到a=-1,a=1/3.但是，這里千萬小心，還有一個(gè)B為空集的情況，也就是a=0,不要把它搞忘記了。

3.注意下列性質(zhì)：

要知道它的來歷：若B為A的子集，則對(duì)于元素a1來說，有2種選擇（在或者不在）。同樣，對(duì)于元素a2, a3,......an,都有2種選擇，所以，總共有種選擇，即集合A有個(gè)子集。

當(dāng)然，我們也要注意到，這種情況之中，包含了這n個(gè)元素全部在何全部不在的情況，故真子集個(gè)數(shù)為，非空真子集個(gè)數(shù)為

（3）德摩根定律：

有些版本可能是這種寫法，遇到后要能夠看懂

4.你會(huì)用補(bǔ)集思想解決問題嗎？（排除法、間接法）的取值范圍。

注意，有時(shí)候由集合本身就可以得到大量信息，做題時(shí)不要錯(cuò)過； 如告訴你函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，就應(yīng)該馬上知道函數(shù)對(duì)稱軸是x=1.或者，我說在上，也應(yīng)該馬上可以想到m，n實(shí)際上就是方程 的2個(gè)根

5、熟悉命題的幾種形式、命題的四種形式及其相互關(guān)系是什么？（互為逆否關(guān)系的命題是等價(jià)命題。）

原命題與逆否命題同真、同假；逆命題與否命題同真同假。

6、熟悉充要條件的性質(zhì)（高考經(jīng)?？迹M足條件，滿足條件，若 ；則是的充分非必要條件； 若 ；則是的必要非充分條件； 若 ；則是的充要條件；

若 ；則是的既非充分又非必要條件；

7.對(duì)映射的概念了解嗎？映射f：A→B，是否注意到A中元素的任意性和B中與之對(duì)應(yīng)元素的唯一性，哪幾種對(duì)應(yīng)能構(gòu)成映射？

（一對(duì)一，多對(duì)一，允許B中有元素?zé)o原象。）

注意映射個(gè)數(shù)的求法。如集合A中有m個(gè)元素，集合B中有n個(gè)元素，則從A到B的映射個(gè)數(shù)有nm個(gè)。

如：若，；問：到的映射有 個(gè)，到的映射有 個(gè)；到的函數(shù)有 個(gè)，若，則到的一一映射有 個(gè)。

函數(shù)的圖象與直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 個(gè)。

8.函數(shù)的三要素是什么？如何比較兩個(gè)函數(shù)是否相同？（定義域、對(duì)應(yīng)法則、值域）

相同函數(shù)的判斷方法：①表達(dá)式相同；②定義域一致(兩點(diǎn)必須同時(shí)具備)

9.求函數(shù)的定義域有哪些常見類型？

函數(shù)定義域求法： * 分式中的分母不為零；

* 偶次方根下的數(shù)（或式）大于或等于零； * 指數(shù)式的底數(shù)大于零且不等于一；

* 對(duì)數(shù)式的底數(shù)大于零且不等于一，真數(shù)大于零。* 正切函數(shù) * 余切函數(shù)

* 反三角函數(shù)的定義域

函數(shù)y＝arcsinx的定義域是 [－1, 1]，值域是，函數(shù)y＝arccosx的定義域是 [－1, 1]，值域是 [0, π]，函數(shù)y＝arctgx的定義域是 R，值域是.，函數(shù)y＝arcctgx的定義域是 R，值域是(0, π).當(dāng)以上幾個(gè)方面有兩個(gè)或兩個(gè)以上同時(shí)出現(xiàn)時(shí)，先分別求出滿足每一個(gè)條件的自變量的范圍，再取他們的交集，就得到函數(shù)的定義域。

10.如何求復(fù)合函數(shù)的定義域？

義域是_____________。

復(fù)合函數(shù)定義域的求法：已知的定義域?yàn)?，求的定義域，可由解出x的范圍，即為的定義域。

例 若函數(shù)的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)椤?/p>

分析：由函數(shù)的定義域?yàn)榭芍?；所以中有?/p>

解：依題意知：

解之，得 ∴ 的定義域?yàn)?/p>

11、函數(shù)值域的求法

1、直接觀察法

對(duì)于一些比較簡單的函數(shù)，其值域可通過觀察得到。例 求函數(shù)y=的值域

2、配方法

配方法是求二次函數(shù)值域最基本的方法之一。例、求函數(shù)y=-2x+5，x[-1，2]的值域。

3、判別式法

對(duì)二次函數(shù)或者分式函數(shù)（分子或分母中有一個(gè)是二次）都可通用，但這類題型有時(shí)也可以用其他方法進(jìn)行化簡，不必拘泥在判別式上面 下面，我把這一類型的詳細(xì)寫出來，希望大家能夠看懂

4、反函數(shù)法

直接求函數(shù)的值域困難時(shí)，可以通過求其原函數(shù)的定義域來確定原函數(shù)的值域。例 求函數(shù)y=值域。

5、函數(shù)有界性法

直接求函數(shù)的值域困難時(shí)，可以利用已學(xué)過函數(shù)的有界性，來確定函數(shù)的值域。我們所說的單調(diào)性，最常用的就是三角函數(shù)的單調(diào)性。例 求函數(shù)y=，的值域。

6、函數(shù)單調(diào)性法

通常和導(dǎo)數(shù)結(jié)合，是最近高考考的較多的一個(gè)內(nèi)容 例求函數(shù)y=（2≤x≤10）的值域

7、換元法

通過簡單的換元把一個(gè)函數(shù)變?yōu)楹唵魏瘮?shù)，其題型特征是函數(shù)解析式含有根式或三角

函數(shù)公式模型。換元法是數(shù)學(xué)方法中幾種最主要方法之一，在求函數(shù)的值域中同樣發(fā)

揮作用。

例 求函數(shù)y=x+的值域。8 數(shù)形結(jié)合法 其題型是函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點(diǎn)的距離公式直線斜率等等，這

類題目若運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法，往往會(huì)更加簡單，一目了然，賞心悅目。例：已知點(diǎn)P（x.y）在圓x2+y2=1上，例求函數(shù)y=+的值域。

解：原函數(shù)可化簡得：y=∣x-2∣+∣x+8∣ 上式可以看成數(shù)軸上點(diǎn)P（x）到定點(diǎn)A（2），B（-8）間的距離之和。由上圖可知：當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10

當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延長線或反向延長線上時(shí)，y=∣x-2∣+∣x+8∣＞∣AB∣=10 故所求函數(shù)的值域?yàn)椋篬10，+∞）例求函數(shù)y=+ 的值域

解：原函數(shù)可變形為：y=+

上式可看成x軸上的點(diǎn)P（x，0）到兩定點(diǎn)A（3，2），B（-2，-1）的距離之和，由圖可知當(dāng)點(diǎn)P為線段與x軸的交點(diǎn)時(shí)，y=∣AB∣==，故所求函數(shù)的值域?yàn)閇，+∞）。例求函數(shù)y=-的值域 解：將函數(shù)變形為：y=-

上式可看成定點(diǎn)A（3，2）到點(diǎn)P（x，0）的距離與定點(diǎn)B（-2，1）到點(diǎn)P（x，0）的距離之差。即：y=∣AP∣-∣BP∣ 由圖可知：（1）當(dāng)點(diǎn)P在x軸上且不是直線AB與x軸的交點(diǎn)時(shí)，如點(diǎn)P1，則構(gòu)成△ABP1，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，有 ∣∣AP1∣-∣BP1∣∣＜∣AB∣== 即：-＜y＜（2）當(dāng)點(diǎn)P恰好為直線AB與x軸的交點(diǎn)時(shí)，有 ∣∣AP∣-∣BP∣∣=∣AB∣=。綜上所述，可知函數(shù)的值域?yàn)椋海?，-）。

注：求兩距離之和時(shí)，要將函數(shù)式變形，使A，B兩點(diǎn)在x軸的兩側(cè)，而求兩距離之差時(shí)，則要使兩點(diǎn)A，B在x軸的同側(cè)。9、不等式法

利用基本不等式a+b≥2，a+b+c≥3（a，b，c∈），求函數(shù)的最值，其題型特征解析式是和式時(shí)要求積為定值，解析式是積時(shí)要求和為定值，不過有時(shí)須要用到拆項(xiàng)、添項(xiàng)和兩邊平方等技巧。例：

倒數(shù)法

有時(shí)，直接看不出函數(shù)的值域時(shí)，把它倒過來之后，你會(huì)發(fā)現(xiàn)另一番境況 例 求函數(shù)y=的值域

多種方法綜合運(yùn)用

總之，在具體求某個(gè)函數(shù)的值域時(shí)，首先要仔細(xì)、認(rèn)真觀察其題型特征，然后再選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?，一般?yōu)先考慮直接法，函數(shù)單調(diào)性法和基本不等式法，然后才考慮用其他各種特殊方法。

12.求一個(gè)函數(shù)的解析式或一個(gè)函數(shù)的反函數(shù)時(shí)，注明函數(shù)的定義域了嗎？ 切記：做題，特別是做大題時(shí)，一定要注意附加條件，如定義域、單位等東西要記得協(xié)商，不要犯我當(dāng)年的錯(cuò)誤，與到手的滿分失之交臂

13.反函數(shù)存在的條件是什么？（一一對(duì)應(yīng)函數(shù)）

求反函數(shù)的步驟掌握了嗎？

（①反解x；②互換x、y；③注明定義域）

在更多時(shí)候，反函數(shù)的求法只是在選擇題中出現(xiàn)，這就為我們這些喜歡偷懶的人提供了大方便。請(qǐng)看這個(gè)例題：

(2004.全國理)函數(shù)的反函數(shù)是（B）A．y=x2－2x+2(x<1)B．y=x2－2x+2(x≥1)C．y=x2－2x(x<1)D．y=x2－2x(x≥1)

當(dāng)然，心情好的同學(xué)，可以自己慢慢的計(jì)算，我想，一番心血之后，如果不出現(xiàn)計(jì)算問題的話，答案還是可以做出來的。可惜，這個(gè)不合我胃口，因?yàn)槲乙幌驊猩T了，不習(xí)慣計(jì)算。下面請(qǐng)看一下我的思路：

原函數(shù)定義域?yàn)?x〉=1，那反函數(shù)值域也為y>=1.排除選項(xiàng)C,D.現(xiàn)在看值域。原函數(shù)至于為y>=1,則反函數(shù)定義域?yàn)閤>=1, 答案為B.我題目已經(jīng)做完了，好像沒有動(dòng)筆（除非你拿來寫*書）。思路能不能明白呢？

14.反函數(shù)的性質(zhì)有哪些？ 反函數(shù)性質(zhì)：

1、反函數(shù)的定義域是原函數(shù)的值域（可擴(kuò)展為反函數(shù)中的x對(duì)應(yīng)原函數(shù)中的y）

2、反函數(shù)的值域是原函數(shù)的定義域（可擴(kuò)展為反函數(shù)中的y對(duì)應(yīng)原函數(shù)中的x）

3、反函數(shù)的圖像和原函數(shù)關(guān)于直線=x對(duì)稱（難怪點(diǎn)（x,y）和點(diǎn)（y，x）關(guān)于直線y=x對(duì)稱

①互為反函數(shù)的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱； ②保存了原來函數(shù)的單調(diào)性、奇函數(shù)性；

由反函數(shù)的性質(zhì)，可以快速的解出很多比較麻煩的題目，如（04.上海春季高考）已知函數(shù)，則方程的解__________.1 對(duì)于這一類題目，其實(shí)方法特別簡單，呵呵。已知反函數(shù)的y,不就是原函數(shù)的x嗎？那代進(jìn)去阿，答案是不是已經(jīng)出來了呢？（也可能是告訴你反函數(shù)的x值，那方法也一樣，呵呵。自己想想，不懂再問我.如何用定義證明函數(shù)的單調(diào)性？（取值、作差、判正負(fù)）

判斷函數(shù)單調(diào)性的方法有三種：(1)定義法：

根據(jù)定義，設(shè)任意得x1,x2，找出f(x1),f(x2)之間的大小關(guān)系

可以變形為求的正負(fù)號(hào)或者與1的關(guān)系(2)參照?qǐng)D象：

①若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，b)對(duì)稱，函數(shù)f(x)在關(guān)于點(diǎn)(a，0)的對(duì)稱區(qū)間具有相同的單調(diào)性；（特例：奇函數(shù)）②若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱，則函數(shù)f(x)在關(guān)于點(diǎn)(a，0)的對(duì)稱區(qū)間里具有相反的單調(diào)性。（特例：偶函數(shù)）(3)利用單調(diào)函數(shù)的性質(zhì)：

①函數(shù)f(x)與f(x)＋c(c是常數(shù))是同向變化的

②函數(shù)f(x)與cf(x)(c是常數(shù))，當(dāng)c＞0時(shí)，它們是同向變化的；當(dāng)c＜0時(shí)，它們是反向變化的。

③如果函數(shù)f1(x)，f2(x)同向變化，則函數(shù)f1(x)＋f2(x)和它們同向變化；（函數(shù)相加）

④如果正值函數(shù)f1(x)，f2(x)同向變化，則函數(shù)f1(x)f2(x)和它們同向變化；如果負(fù)值函數(shù)f1(2)與f2(x)同向變化，則函數(shù)f1(x)f2(x)和它們反向變化；（函數(shù)相乘）

⑤函數(shù)f(x)與在f(x)的同號(hào)區(qū)間里反向變化。

⑥若函數(shù)u＝φ(x)，x[α，β]與函數(shù)y＝F(u)，u∈[φ(α)，φ(β)]或u∈[φ(β),φ(α)]同向變化，則在[α，β]上復(fù)合函數(shù)y＝F[φ(x)]是遞增的；若函數(shù)u＝φ(x),x[α，β]與函數(shù)y＝F(u)，u∈[φ(α)，φ(β)]或u∈[φ(β)，φ(α)]反向變化，則在[α，β]上復(fù)合函數(shù)y＝F[φ(x)]是遞減的。（同增異減）⑦若函數(shù)y＝f(x)是嚴(yán)格單調(diào)的，則其反函數(shù)x＝f－1(y)也是嚴(yán)格單調(diào)的，而且，它們的增減性相同。

f(g)g(x)f[g(x)] f(x)+g(x)f(x)*g(x)都是正數(shù)增增增增增增減減 / / 減增減 / / 減減增減減

∴......）

16.如何利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性？

值是（）

A.0 B.1 C.2 D.3

∴a的最大值為3）

17.函數(shù)f(x)具有奇偶性的必要（非充分）條件是什么？（f(x)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）

注意如下結(jié)論：

（1）在公共定義域內(nèi)：兩個(gè)奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；兩個(gè)偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；一個(gè)偶函數(shù)與奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù)。

判斷函數(shù)奇偶性的方法

一、定義域法

一個(gè)函數(shù)是奇（偶）函數(shù)，其定義域必關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，它是函數(shù)為奇（偶）函數(shù)的必要條件.若函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)為非奇非偶函數(shù)..二、奇偶函數(shù)定義法

在給定函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的前提下，計(jì)算，然后根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義判斷其奇偶性.三、復(fù)合函數(shù)奇偶性

f(g)g(x)f[g(x)] f(x)+g(x)f(x)*g(x)奇奇奇奇偶奇偶偶非奇非偶奇偶奇偶非奇非偶奇偶偶偶偶偶

18.你熟悉周期函數(shù)的定義嗎？

函數(shù)，T是一個(gè)周期。）

我們?cè)谧鲱}的時(shí)候，經(jīng)常會(huì)遇到這樣的情況：告訴你f(x)+f(x+t)=0,我們要馬上反應(yīng)過來，這時(shí)說這個(gè)函數(shù)周期2t.推導(dǎo)：，同時(shí)可能也會(huì)遇到這種樣子：f(x)=f(2a-x),或者說f(a-x)=f(a+x).其實(shí)這都是說同樣一個(gè)意思：函數(shù)f(x)關(guān)于直線對(duì)稱，對(duì)稱軸可以由括號(hào)內(nèi)的2個(gè)數(shù)字相加再除以2得到。比如，f(x)=f(2a-x),或者說f(a-x)=f(a+x)就都表示函數(shù)關(guān)于直線x=a對(duì)稱。

如：

19.你掌握常用的圖象變換了嗎？ 聯(lián)想點(diǎn)（x,y）,(-x,y)聯(lián)想點(diǎn)（x,y）,(x,-y)聯(lián)想點(diǎn)（x,y）,(-x,-y)聯(lián)想點(diǎn)（x,y）,(y,x)聯(lián)想點(diǎn)（x,y）,(2a-x,y)聯(lián)想點(diǎn)（x,y）,(2a-x,0)

（這是書上的方法，雖然我從來不用，但可能大家接觸最多，我還是寫出來吧。對(duì)于這種題目，其實(shí)根本不用這么麻煩。你要判斷函數(shù)y-b=f(x+a)怎么由y=f(x)得到，可以直接令y-b=0,x+a=0,畫出點(diǎn)的坐標(biāo)?？袋c(diǎn)和原點(diǎn)的關(guān)系，就可以很直觀的看出函數(shù)平移的軌跡了。）注意如下“翻折”變換：

19.你熟練掌握常用函數(shù)的圖象和性質(zhì)了嗎？

(k為斜率，b為直線與y軸的交點(diǎn))的雙曲線。

應(yīng)用：①“三個(gè)二次”（二次函數(shù)、二次方程、二次不等式）的關(guān)系--二次方程

②求閉區(qū)間［m，n］上的最值。

③求區(qū)間定（動(dòng)），對(duì)稱軸動(dòng)（定）的最值問題。④一元二次方程根的分布問題。

由圖象記性質(zhì)?。ㄗ⒁獾讛?shù)的限定！）

利用它的單調(diào)性求最值與利用均值不等式求最值的區(qū)別是什么？（均值不等式一定要注意等號(hào)成立的條件）

20.你在基本運(yùn)算上常出現(xiàn)錯(cuò)誤嗎？

21.如何解抽象函數(shù)問題？（賦值法、結(jié)構(gòu)變換法）

（對(duì)于這種抽象函數(shù)的題目，其實(shí)簡單得都可以直接用死記了

1、代y=x，2、令x=0或1來求出f(0)或f(1)

3、求奇偶性，令y=-x；求單調(diào)性：令x+y=x1

幾類常見的抽象函數(shù) 1.正比例函數(shù)型的抽象函數(shù)

f（x）＝kx（k≠0）---------------f（x±y）＝f（x）±f（y）2.冪函數(shù)型的抽象函數(shù)

f（x）＝xa----------------f（xy）＝ f（x）f（y）；f（）＝ 3.指數(shù)函數(shù)型的抽象函數(shù)

f（x）＝ax-------------------f（x＋y）＝f（x）f（y）；f（x－y）＝ 4.對(duì)數(shù)函數(shù)型的抽象函數(shù)

f（x）＝logax（a>0且a≠1）-----f（x·y）＝f（x）＋f（y）；f（）＝ f（x）－f（y）

5.三角函數(shù)型的抽象函數(shù)

f（x）＝tgx--------------------------f（x＋y）＝ f（x）＝cotx------------------------f（x＋y）＝

例1已知函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>0，f(－1)＝ －2求f(x)在區(qū)間[－2,1]上的值域.分析：先證明函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)（注意到f（x2）＝f[（x2－x1）＋x1]＝f（x2－x1）＋f（x1））；再根據(jù)區(qū)間求其值域.例2已知函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y均有f（x＋y）＋2＝f（x）＋f（y），且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>2，f(3)＝ 5，求不等式 f（a2－2a－2）<3的解.分析：先證明函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)（仿例1）；再求出f（1）＝3；最后脫去函數(shù)符號(hào).例3已知函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y都有f（xy）＝f（x）f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，當(dāng)0≤x＜1時(shí)，f（x）∈[0，1].（1）判斷f（x）的奇偶性；

（2）判斷f（x）在[0，＋∞]上的單調(diào)性，并給出證明；（3）若a≥0且f（a＋1）≤，求a的取值范圍.分析：（1）令y＝－1；

（2）利用f（x1）＝f（·x2）＝f（）f（x2）；

（3）0≤a≤2.例4設(shè)函數(shù)f（x）的定義域是（－∞，＋∞），滿足條件：存在x1≠x2，使得f（x1）≠f（x2）；對(duì)任何x和y，f（x＋y）＝f（x）f（y）成立.求：（1）f（0）；

（2）對(duì)任意值x，判斷f（x）值的符號(hào).分析：（1）令x= y＝0；（2）令y＝x≠0.例5是否存在函數(shù)f（x），使下列三個(gè)條件：①f（x）>0,x∈N；②f（a＋b）＝ f（a）f（b），a、b∈N；③f（2）＝4.同時(shí)成立？若存在，求出f（x）的解析式，若不存在，說明理由.分析：先猜出f（x）＝2x；再用數(shù)學(xué)歸納法證明.例6設(shè)f（x）是定義在（0，＋∞）上的單調(diào)增函數(shù)，滿足f（x·y）＝f（x）＋f（y），f（3）＝1，求：（1）f（1）；

（2）若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范圍.分析：（1）利用3＝1×3；

（2）利用函數(shù)的單調(diào)性和已知關(guān)系式.例7設(shè)函數(shù)y＝ f（x）的反函數(shù)是y＝g（x）.如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那么g（a＋b）＝g（a）·g（b）是否正確，試說明理由.分析：設(shè)f（a）＝m，f（b）＝n，則g（m）＝a，g（n）＝b，進(jìn)而m＋n＝f（a）＋f（b）＝ f（ab）＝f [g（m）g（n）]....例8已知函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且滿足以下三個(gè)條件： ① x1、x2是定義域中的數(shù)時(shí)，有f（x1－x2）＝； ② f（a）＝ －1（a＞0，a是定義域中的一個(gè)數(shù)）； ③ 當(dāng)0＜x＜2a時(shí)，f（x）＜0.試問：

（1）f（x）的奇偶性如何？說明理由；

（2）在（0，4a）上，f（x）的單調(diào)性如何？說明理由.分析：（1）利用f [－（x1－x2）]＝ －f [（x1－x2）]，判定f（x）是奇函數(shù)；（3）先證明f（x）在（0，2a）上是增函數(shù)，再證明其在（2a，4a）上也是增函數(shù).對(duì)于抽象函數(shù)的解答題，雖然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解題意.有些抽象函數(shù)問題，對(duì)應(yīng)的特殊模型不是我們熟悉的基本初等函數(shù).因此，針對(duì)不同的函數(shù)要進(jìn)行適當(dāng)變通，去尋求特殊模型，從而更好地解決抽象函數(shù)問題.例9已知函數(shù)f（x）（x≠0）滿足f（xy）＝f（x）＋f（y），（1）求證：f（1）＝f（－1）＝0；（2）求證：f（x）為偶函數(shù)；

（3）若f（x）在（0，＋∞）上是增函數(shù)，解不等式f（x）＋f（x－）≤0.分析：函數(shù)模型為：f（x）＝loga|x|（a＞0）（1）先令x＝y(tǒng)＝1，再令x＝y(tǒng)＝ －1；（2）令y＝ －1；

（3）由f（x）為偶函數(shù)，則f（x）＝f（|x|）.例10已知函數(shù)f（x）對(duì)一切實(shí)數(shù)x、y滿足f（0）≠0，f（x＋y）＝f（x）·f（y），且當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＞1，求證：（1）當(dāng)x＞0時(shí)，0＜f（x）＜1；（2）f（x）在x∈R上是減函數(shù).分析：（1）先令x＝y(tǒng)＝0得f（0）＝1，再令y＝－x；（3）受指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的啟發(fā)：

由f（x＋y）＝f（x）f（y）可得f（x－y）＝，進(jìn)而由x1＜x2，有＝f（x1－x2）＞1.練習(xí)題：

1.已知：f（x＋y）＝f（x）＋f（y）對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y都成立，則（）

（A）f（0）＝0（B）f（0）＝1

（C）f（0）＝0或1（D）以上都不對(duì)

2.若對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y總有f（xy）＝f（x）＋f（y），則下列各式中錯(cuò)誤的是（）

（A）f（1）＝0（B）f（）＝ f（x）

（C）f（）＝ f（x）－f（y）（D）f（xn）＝nf（x）（n∈N）

3.已知函數(shù)f（x）對(duì)一切實(shí)數(shù)x、y滿足：f（0）≠0，f（x＋y）＝f（x）f（y），且當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＞1，則當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）的取值范圍是（）

（A）（1，＋∞）（B）（－∞，1）

（C）（0，1）（D）（－1，＋∞）

4.函數(shù)f（x）定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且對(duì)定義域內(nèi)不同的x1、x2都有

f（x1－x2）＝，則f（x）為（）

（A）奇函數(shù)非偶函數(shù)（B）偶函數(shù)非奇函數(shù)

（C）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)（D）非奇非偶函數(shù)

5.已知不恒為零的函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y滿足f（x＋y）＋f（x－y）＝2[f（x）＋f（y）]，則函數(shù)f（x）是（）

（A）奇函數(shù)非偶函數(shù)（B）偶函數(shù)非奇函數(shù)

（C）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)（D）非奇非偶函數(shù)

參考答案： 1．A 2．B 3．C 4．A 5．B 23.你記得弧度的定義嗎？能寫出圓心角為α，半徑為R的弧長公式和扇形面積公式嗎？

(和三角形的面積公式很相似，可以比較記憶.要知道圓錐展開圖面積的求法)