第一篇：計(jì)數(shù)原理-10.2 排列與組合(教案)

響水二中高三數(shù)學(xué)（理）一輪復(fù)習(xí)

教案 第十編 計(jì)數(shù)原理 主備人 張靈芝 總第52期

§10.2 排列與組合

基礎(chǔ)自測(cè)

1.從1，2，3，4，5，6六個(gè)數(shù)字中，選出一個(gè)偶數(shù)和兩個(gè)奇數(shù)，組成一個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，這樣的三位數(shù)共有 個(gè).答案 54 2.（2008·福建理）某班級(jí)要從4名男生、2名女生中選派4人參加某次社區(qū)服務(wù)，如果要求至少有1名女生，那么不同的選派方案共有 種.答案 14 3.停車場(chǎng)每排恰有10個(gè)停車位.當(dāng)有7輛不同型號(hào)的車已停放在同一排后，恰有3個(gè)空車位連在一起的排法有 種.（用式子表示）答案 A88

4.在100件產(chǎn)品中有6件次品，現(xiàn)從中任取3件產(chǎn)品，至少有1件次品的不同取法種數(shù)是（用式子表示）.3答案 C100-C394

5.（2007·天津理）如圖，用6種不同的顏色給圖中的4個(gè)格子涂色，每個(gè)格子涂一種顏色，要求最多使用3種顏色且相鄰的兩個(gè)格子顏色不同，則不同的涂色方法共有 種（用數(shù)字作答）.答案 390

例題精講

例1 六人按下列要求站一橫排，分別有多少種不同的站法？（1）甲不站兩端；（2）甲、乙必須相鄰；（3）甲、乙不相鄰；（4）甲、乙之間間隔兩人；（5）甲、乙站在兩端；（6）甲不站左端，乙不站右端.解（1）方法一 要使甲不站在兩端，可先讓甲在中間4個(gè)位置上任選1個(gè)，有A14種站法，然后其余

155人在另外5個(gè)位置上作全排列有A55種站法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有站法：A4·A5=480（種）.2方法二 由于甲不站兩端，這兩個(gè)位置只能從其余5個(gè)人中選2個(gè)人站，有A5種站法，然后中24間人有A44種站法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有站法：A5·A4=480（種）.5方法三 若對(duì)甲沒有限制條件共有A66種站法，甲在兩端共有2A5種站法，從總數(shù)中減去這兩種 329

5情形的排列數(shù)，即共有站法：A66-2A5=480（種）.（2）方法一 先把甲、乙作為一個(gè)“整體”，看作一個(gè)人，和其余4人進(jìn)行全排列有A55種站法，再把

52甲、乙進(jìn)行全排列，有A22種站法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有A5·A2=240（種）站法.方法二 先把甲、乙以外的4個(gè)人作全排列，有A44種站法，再在5個(gè)空檔中選出一個(gè)供甲、乙放

2412入，有A15種方法，最后讓甲、乙全排列，有A2種方法，共有A4·A5·A2=240（種）.（3）因?yàn)榧住⒁也幌噜?，中間有隔檔，可用“插空法”，第一步先讓甲、乙以外的4個(gè)人站隊(duì)，有A442種站法；第二步再將甲、乙排在4人形成的5個(gè)空檔（含兩端）中，有A5種站法，故共有站法為2A44·A5=480（種）.52也可用“間接法”，6個(gè)人全排列有A66種站法，由（2）知甲、乙相鄰有A5·A2=240種站法，所52以不相鄰的站法有A66-A5·A2=720-240=480（種）.（4）方法一 先將甲、乙以外的4個(gè)人作全排列，有A4然后將甲、乙按條件插入站隊(duì)，有3A24種，2種，故共有A4（3A24·2）=144（種）站法.方法二 先從甲、乙以外的4個(gè)人中任選2人排在甲、乙之間的兩個(gè)位置上，有A2然后把甲、4種，乙及中間2人看作一個(gè)“大”元素與余下2人作全排列有A3最后對(duì)甲、乙進(jìn)行排列，有A22種3種方法，32方法，故共有A24·A3·A2=144（種）站法.（5）方法一 首先考慮特殊元素，甲、乙先站兩端，有A22種，再讓其他4人在中間位置作全排列，24有A44種，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有A2·A4=48（種）站法.方法二 首先考慮兩端兩個(gè)特殊位置，甲、乙去站有A22種站法，然后考慮中間4個(gè)位置，由剩下

24的4人去站，有A44種站法，由分步計(jì)數(shù)原理共有A2·A4=48（種）站法.54（6）方法一 甲在左端的站法有A55種，乙在右端的站法有A5種，且甲在左端而乙在右端的站法有A4 330 54種，共有A66-2A5+A4=504（種）站法.方法二 以元素甲分類可分為兩類：①甲站右端有A55種站法，②甲在中間4個(gè)位置之一，而乙不145114在右端有A14·A4·A4 種，故共有A5+A4·A4·A4=504（種）站法.例2 男運(yùn)動(dòng)員6名，女運(yùn)動(dòng)員4名，其中男女隊(duì)長(zhǎng)各1人.選派5人外出比賽.在下列情形中各有多少種選派方法？

（1）男運(yùn)動(dòng)員3名，女運(yùn)動(dòng)員2名；（2）至少有1名女運(yùn)動(dòng)員；（3）隊(duì)長(zhǎng)中至少有1人參加；（4）既要有隊(duì)長(zhǎng)，又要有女運(yùn)動(dòng)員.2解（1）第一步：選3名男運(yùn)動(dòng)員，有C36種選法.第二步：選2名女運(yùn)動(dòng)員，有C4種選法.2共有C36·C4=120種選法.（2）方法一 至少1名女運(yùn)動(dòng)員包括以下幾種情況： 1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.4233241由分類計(jì)數(shù)原理可得總選法數(shù)為C14C6+C4C6+C4C6+C4C6=246種.方法二 “至少1名女運(yùn)動(dòng)員”的反面為“全是男運(yùn)動(dòng)員”可用間接法求解.5從10人中任選5人有C10種選法，其中全是男運(yùn)動(dòng)員的選法有C56種.所以“至少有1名女運(yùn)動(dòng)員”的5選法為C10-C56=246種.（3）方法一 可分類求解：

443“只有男隊(duì)長(zhǎng)”的選法為C8； “只有女隊(duì)長(zhǎng)”的選法為C8； “男、女隊(duì)長(zhǎng)都入選”的選法為C8； 43所以共有2C8+C8=196種選法.方法二 間接法：

55從10人中任選5人有C10種選法.其中不選隊(duì)長(zhǎng)的方法有C8種.所以“至少1名隊(duì)長(zhǎng)”的選法為55C10-C8=196種.44（4）當(dāng)有女隊(duì)長(zhǎng)時(shí)，其他人任意選，共有C9種選法.不選女隊(duì)長(zhǎng)時(shí)，必選男隊(duì)長(zhǎng)，共有C8種選法.444其中不含女運(yùn)動(dòng)員的選法有C5種，所以不選女隊(duì)長(zhǎng)時(shí)的選法共有C8-C5種選法.所以既有隊(duì)長(zhǎng)又有女444運(yùn)動(dòng)員的選法共有C9+C8-C5=191種.331 例3 4個(gè)不同的球，4個(gè)不同的盒子，把球全部放入盒內(nèi).（1）恰有1個(gè)盒不放球，共有幾種放法？（2）恰有1個(gè)盒內(nèi)有2個(gè)球，共有幾種放法？（3）恰有2個(gè)盒不放球，共有幾種放法？

解（1）為保證“恰有1個(gè)盒不放球”，先從4個(gè)盒子中任意取出去一個(gè)，問題轉(zhuǎn)化為“4個(gè)球，3個(gè)盒子，每個(gè)盒子都要放入球，共有幾種放法？”即把4個(gè)球分成2，1，1的三組，然后再?gòu)?個(gè)盒子中選

1212個(gè)放2個(gè)球，其余2個(gè)球放在另 外2個(gè)盒子內(nèi)，由分步計(jì)數(shù)原理，共有C14C4C3×A2=144種.（2）“恰有1個(gè)盒內(nèi)有2個(gè)球”，即另外3個(gè)盒子放2個(gè)球，每個(gè)盒子至多放1個(gè)球，也即另外3個(gè) 子中恰有一個(gè)空盒，因此，“恰有1個(gè)盒內(nèi)有2個(gè)球”與“恰有1個(gè)盒不放球”是同一件事，所以共有144種放法.（3）確定2個(gè)空盒有C2、（2，2）兩類，第一類有序不4種方法.4個(gè)球放進(jìn)2個(gè)盒子可分成（3，1）均勻分組有CC24(C342C11A234C11A22種方法；第二類有序均勻分組有

2C24C2A22·A

22種方法.故共有+2C24C2A22·A22）=84種.鞏固練習(xí)

1.用0、1、2、3、4、5這六個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)分別符合下列條件的無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)：(1)奇數(shù)；(2)偶數(shù)；(3)大于3 125的數(shù).12解(1)先排個(gè)位，再排首位，共有A13·A4·A4=144（個(gè)）.1123(2)以0結(jié)尾的四位偶數(shù)有A35個(gè)，以2或4結(jié)尾的四位偶數(shù)有A2·A4·A4個(gè)，則共有A5+ 12A12·A4·A4=156（個(gè)）.2(3)要比3 125大，4、5作千位時(shí)有2A35個(gè)，3作千位，2、4、5作百位時(shí)有3A4個(gè)，3作千位，1作 321百位時(shí)有2A13個(gè)，所以共有2A5+3A4+2A3=162（個(gè)）.2.某醫(yī)院有內(nèi)科醫(yī)生12名，外科醫(yī)生8名，現(xiàn)選派5名參加賑災(zāi)醫(yī)療隊(duì)，其中（1）某內(nèi)科醫(yī)生甲與某外科醫(yī)生乙必須參加，共有多少種不同選法？（2）甲、乙均不能參加，有多少種選法？（3）甲、乙兩人至少有一人參加，有多少種選法？

（4）隊(duì)中至少有一名內(nèi)科醫(yī)生和一名外科醫(yī)生，有幾種選法？

3解（1）只需從其他18人中選3人即可，共有C18=816（種）.5（2）只需從其他18人中選5人即可，共有C18=8 568（種）.43（3）分兩類：甲、乙中有一人參加，甲、乙都參加，共有C12C18+C18=6 936（種）.332（4）方法一（直接法）至少一名內(nèi)科醫(yī)生一名外科醫(yī)生的選法可分四類：一內(nèi)四外；二內(nèi)三外；三

4233241內(nèi)二外；四內(nèi)一外，所以共有C112C8+C12C8+C12C8+C12C8=14 656（種）.方法二（間接法）由總數(shù)中減去五名都是內(nèi)科醫(yī)生和五名都是外科醫(yī)生的選法種數(shù)，55得C520-（C8+C12)=14 656(種）.3.有6本不同的書按下列分配方式分配，問共有多少種不同的分配方式？（1）分成1本、2本、3本三組；

（2）分給甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本；（3）分成每組都是2本的三組；（4）分給甲、乙、丙三人，每人2本.2解（1）分三步：先選一本有C16種選法；再?gòu)挠嘞碌?本中選2本有C5種選法；對(duì)于余下的三本 123全選有C33種選法，由分步計(jì)數(shù)原理知有C6C5C3=60種選法.233（2）由于甲、乙、丙是不同的三人，在（1）的基礎(chǔ)上，還應(yīng)考慮再分配的問題，因此共有C16C5C3A3=360種選法.222（3）先分三步，則應(yīng)是C6C4C2種選法，但是這里面出現(xiàn)了重復(fù)，不妨記六本書為A、B、C、D、222E、F，若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，記該種分法為（AB，CD，EF），則C6C4C2種分法中還有（AB、EF、CD），（CD、AB、EF）、（CD、EF、AB）、（EF、CD、AB）、（EF、AB、CD）3共有A33種情況，而且這A3種情況僅是AB、CD、EF的順序不同，因此，只算作一種情況，故分法有222C6C4C2A33=15種.222C6C4C2（4）在問題（3）的工作基礎(chǔ)上再分配，故分配方式有

A33222·A33= C6C4C2=90種.回顧總結(jié)

知識(shí) 方法 思想

課后作業(yè)

一、填空題

1.用數(shù)字1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中小于50 000的偶數(shù)共有 個(gè).答案 36 2.將編號(hào)為1，2，3，4，5的五個(gè)球放入編號(hào)為1，2，3，4，5的五個(gè)盒子里，每個(gè)盒子內(nèi)放一個(gè)球，若恰好有三個(gè)球的編號(hào)與盒子編號(hào)相同，則不同投放方法共有 種.333 答案 10 3.記者要為5名志愿者和他們幫助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相鄰但不排在兩端，不同的排法共有 種.答案 960 4.(2008·天津理)有8張卡片分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，8，從中取出6張卡片排成3行2列，要求3行中僅有中間行的兩張卡片上的數(shù)字之和為5，則不同的排法共有 種.答案 1 248 5.在圖中，“構(gòu)建和諧社會(huì)，創(chuàng)美好未來”，從上往下讀（不能跳讀），共有 種不同的讀法.答案 252 6.（2008·安徽理）12名同學(xué)合影，站成了前排4人后排8人，現(xiàn)攝影師要從后排8人中抽2人調(diào)整到前排，其他人的相對(duì)順序不變，則不同調(diào)整方法的種數(shù)是（用式子表示）.22答案 C8A6

7.平面?內(nèi)有四個(gè)點(diǎn)，平面?內(nèi)有五個(gè)點(diǎn)，從這九個(gè)點(diǎn)中任取三個(gè)，最多可確定 個(gè)平面，任取四點(diǎn)，最多可確定 個(gè)四面體.（用數(shù)字作答）答案 72 120 8.（2008·浙江理，16）用1，2，3，4，5，6組成六位數(shù)（沒有重復(fù)數(shù)字），要求任何相鄰兩個(gè)數(shù)字的奇偶性不同，且1和2相鄰.這樣的六位數(shù)的個(gè)數(shù)是.（用數(shù)字作答）答案 40

二、解答題

9.某外商計(jì)劃在4個(gè)候選城市投資3個(gè)不同的項(xiàng)目，且在同一個(gè)城市投資的項(xiàng)目不超過2個(gè)，求該外商不同的投資方案有多少種？

解 可先分組再分配，據(jù)題意分兩類，一類：先將3個(gè)項(xiàng)目分成兩組，一組有1個(gè)項(xiàng)目，另一組有2

22個(gè)項(xiàng)目，然后再分配給4個(gè)城市中的2個(gè)，共有C3A4種方案；另一類1個(gè)城市1個(gè)項(xiàng)目，即把3個(gè)223元素排在4個(gè)不同位置中的3個(gè)，共有A34種方案.由分類計(jì)數(shù)原理可知共有C3A4+A4=60種方案.10.課外活動(dòng)小組共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女各指定一名隊(duì)長(zhǎng)，現(xiàn)從中選5人主持某種活動(dòng)，依下列條件各有多少種選法？（1）只有一名女生；（2）兩隊(duì)長(zhǎng)當(dāng)選；

334（3）至少有一名隊(duì)長(zhǎng)當(dāng)選；（4）至多有兩名女生當(dāng)選.4解（1）一名女生，四名男生，故共有C15·C8=350（種）.3（2）將兩隊(duì)長(zhǎng)作為一類，其他11人作為一類，故共有C22·C11=165（種）.423（3）至少有一名隊(duì)長(zhǎng)含有兩類：有一名隊(duì)長(zhǎng)和兩名隊(duì)長(zhǎng).故共有：C12·C11+C2·C11=825（種）.55或采用間接法：C13-C11=825（種）.（4）至多有兩名女生含有三類：有兩名女生、只有一名女生、沒有女生.2345故選法為C5·C8+C15·C8+C8=966（種）.11.已知平面?∥?，在?內(nèi)有4個(gè)點(diǎn)，在?內(nèi)有6個(gè)點(diǎn).（1）過這10個(gè)點(diǎn)中的3點(diǎn)作一平面，最多可作多少個(gè)不同平面？（2）以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)，最多可作多少個(gè)三棱錐？（3）上述三棱錐中最多可以有多少個(gè)不同的體積？

2解（1）所作出的平面有三類：①?內(nèi)1點(diǎn)，?內(nèi)2點(diǎn)確定的平面，有C14·C6個(gè)；②?內(nèi)2點(diǎn)，?2內(nèi)1點(diǎn)確定的平面，有C2C1③?，?本身.∴所作的平面最多有C1C6+C2C1（個(gè)）.4·4·4·6個(gè)；6+2=983（2）所作的三棱錐有三類：①?內(nèi)1點(diǎn)，?內(nèi)3點(diǎn)確定的三棱錐，有C14·C6個(gè)；②?內(nèi)2點(diǎn)，?內(nèi)2312點(diǎn)確定的三棱錐，有C24·C6個(gè)；?內(nèi)3點(diǎn)，?內(nèi)1點(diǎn)確定的三棱錐，有C4·C6個(gè).32231∴最多可作出的三棱錐有：C14·C6+C4·C6+C4·C6=194（個(gè)）.（3）∵當(dāng)?shù)鹊酌娣e、等高的情況下三棱錐的體積相等,且平面?∥?，∴體積不相同的三棱錐最多有

322C36+C4+C6·C4=114（個(gè)）.12.有兩排座位，前排11個(gè)座位，后排12個(gè)座位，現(xiàn)安排2人就座，規(guī)定前排中間的3個(gè)座位不能坐，并且這2人不左右相鄰，共有多少種不同排法？

解 ∵前排中間3個(gè)座位不能坐，∴實(shí)際可坐的位置前排8個(gè)，后排12個(gè).12（1）兩人一個(gè)前排，一個(gè)后排，方法數(shù)為C18·C12·A2種； 212（2）兩人均在后排左右不相鄰，共A12-A22·A11=A11種；

1（3）兩人均在前排，又分兩類：①兩人一左一右，共C1C1A2②兩人同左同右，有2（A2A24·4·2種；4-A3·2）122112212種.綜上可知，不同排法種數(shù)為C18·C12·A2+A11+C4·C4·A2+2（A4-A3·A2）=346種.335

第二篇：10.2 排列與組合練習(xí)題

§10.2 排列與組合一、選擇題

1．某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的5個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目．如果將這兩個(gè)節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為

()．

A．42B．30C．20D．12

解析 可分為兩類：兩個(gè)節(jié)目相鄰或兩個(gè)節(jié)目不相鄰，若兩個(gè)節(jié)目相鄰，則有

1A2若兩個(gè)節(jié)目不相鄰，則有A2由分類計(jì)數(shù)原理共有2A6＝12種排法；6＝30種排法．

12＋30＝42種排法(或A27＝42)． 答案 A

2．a(chǎn)∈N*，且a<20，則(27－a)(28－a)?(34－a)等于()

27－a78

A．A827－aB．A34－aC．A34－aD．A34－a 解析A834－a＝(27－a)(28－a)?(34－a)． 答案 D

3．從1,3,5,7中任取2個(gè)數(shù)字，從0,2,4,6,8中任取2個(gè)數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中能被5整除的四位數(shù)共有()

A．252個(gè)B．300個(gè) C．324個(gè)D．228個(gè)

113

解析(1)若僅僅含有數(shù)字0，則選法是C2可以組成四位數(shù)C23C4，3C4A3＝12×6＝72個(gè)；

2123

(2)若僅僅含有數(shù)字5，則選法是C1 3C4，可以組成四位數(shù)C3C4A3＝18×6＝108個(gè)；

113

(3)若既含數(shù)字0，又含數(shù)字5，選法是C3C4，排法是若0在個(gè)位，有A3＝6種，11

若5在個(gè)位，有2×A22＝4種，故可以組成四位數(shù)C3C4(6＋4)＝120個(gè)． 根據(jù)加法原理，共有72＋108＋120＝300個(gè)． 答案 B

4．2013年春節(jié)放假安排：農(nóng)歷除夕至正月初六放假，共7天．某單位安排7位員工值班，每人值班1天，每天安排1人．若甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班，而且丙和甲在相鄰的兩天值班，則不同的安排方案共有()A．1 440種C．1 282種

B．1 360種D．1 128種

解析 采取對(duì)丙和甲進(jìn)行捆綁的方法：

如果不考慮“乙不在正月初一值班”，則安排方案有：A66·A2＝1 440種，124如果“乙在正月初一值班”，則安排方案有：C11·A4·A2·A4＝192種，若“甲在除夕值班”，則“丙在初一值班”，則安排方案有：A55＝120種．

則不同的安排方案共有1 440－192－120＝1 128(種)． 答案 D

5．某外商計(jì)劃在4個(gè)候選城市中投資3個(gè)不同的項(xiàng)目，且在同一個(gè)城市投資的項(xiàng)目不超過2個(gè)，則該外商不同的投資方案有()．

A．16種B．36種C．42種D．60種

解析 若3個(gè)不同的項(xiàng)目投資到4個(gè)城市中的3個(gè)，每個(gè)城市一項(xiàng)，共A34種方法；若3個(gè)不同的項(xiàng)目投資到4個(gè)城市中的2個(gè)，一個(gè)城市一項(xiàng)、一個(gè)城市兩項(xiàng)共

2322C23A4種方法，由分類計(jì)數(shù)原理知共A4＋C3A4＝60種方法．

答案 D

6．某校開設(shè)A類選修課3門，B類選修課4門，一位同學(xué)從中選3門．若要求兩類課程中各至少選一門，則不同的選法共有()．

A．30種B．35種C．42種D．48種

解析 法一 可分兩種互斥情況：A類選1門，B類選2門或A類選2門，B類

221選1門，共有C13C4＋C3C4＝18＋12＝30(種)選法．

3法二 總共有C37＝35(種)選法，減去只選A類的C3＝1(種)，再減去只選B類的C34＝4(種)，共有30種選法． 答案 A

7．有5本不同的書，其中語(yǔ)文書2本，數(shù)學(xué)書2本，物理書1本．若將其并排擺放在書架的同一層上，則同一科目書都不相鄰的放法種數(shù)是()． A．24B．48C．72D．96

222223解析 A55－2A2A3A2－A2A2A3＝48.答案 B

二、填空題

8．5名乒乓球隊(duì)員中，有2名老隊(duì)員和3名新隊(duì)員．現(xiàn)從中選出3名隊(duì)員排成1,2,3號(hào)參加團(tuán)體比賽，則入選的3名隊(duì)員中至少有1名老隊(duì)員，且1、2號(hào)中至少有1名新隊(duì)員的排法有________種．(以數(shù)字作答)

23解析①只有1名老隊(duì)員的排法有C12·C3·A3＝36種． 112②有2名老隊(duì)員的排法有C22·C3·C2·A2＝12種；

所以共48種． 答案 48

9．將4名新來的同學(xué)分配到A、B、C三個(gè)班級(jí)中，每個(gè)班級(jí)至少安排1名學(xué)生，其中甲同學(xué)不能分配到A班，那么不同的分配方案種數(shù)是________．

解析 將4名新來的同學(xué)分配到A、B、C三個(gè)班級(jí)中，每個(gè)班級(jí)至少安排一名學(xué)

3212

生有C2其中甲同學(xué)分配到A班共有C2因此滿足條4A3種分配方案，3A2＋C3A2種方案．32212件的不同方案共有C24A3－C3A2－C3A2＝24(種)．

答案 24

10．從5名男醫(yī)生、4名女醫(yī)生中選3名醫(yī)生組成一個(gè)醫(yī)療小分隊(duì)，要求男、女醫(yī)生都有，則不同的組隊(duì)方案共有________種．

解析分1名男醫(yī)生2名女醫(yī)生、2名男醫(yī)生1名女醫(yī)生兩種情況，或者用間接法．

221

直接法：C15C4＋C5C4＝70.33

間接法：C39－C5－C4＝70.答案70

11．有五名男同志去外地出差，住宿安排在三個(gè)房間內(nèi)，要求甲、乙兩人不住同一房間，且每個(gè)房間最多住兩人，則不同的住宿安排有________種(用數(shù)字作答)． 解析甲、乙住在同一個(gè)房間，此時(shí)只能把另外三人分為兩組，這時(shí)的方法總數(shù)

22C15C4C2313

是C3A3＝18，而總的分配方法數(shù)是把五人分為三組再進(jìn)行分配，方法數(shù)是23

A2

＝90，故不同的住宿安排共有90－18＝72種． 答案 72

12．某車隊(duì)有7輛車，現(xiàn)要調(diào)出4輛按一定順序出去執(zhí)行任務(wù)．要求甲、乙兩車必須參加，且甲車要先于乙車開出有________種不同的調(diào)度方法(填數(shù)字)． 解析 先從除甲、乙外的5輛車任選2輛有C25種選法，連同甲、乙共4輛車，排列在一起，選從4個(gè)位置中選兩個(gè)位置安排甲、乙，甲在乙前共有C24種，最后，222安排其他兩輛車共有A22種方法，∴不同的調(diào)度方法為C5·C4·A2＝120種．

答案 120

三、解答題

13．有六名同學(xué)按下列方法和要求分組，各有不同的分組方法多少種？(1)分成三個(gè)組，各組人數(shù)分別為1、2、3；

(2)分成三個(gè)組去參加三項(xiàng)不同的試驗(yàn)，各組人數(shù)分別為1、2、3；(3)分成三個(gè)組，各組人數(shù)分別為2、2、2；

(4)分成三個(gè)組去參加三項(xiàng)不同的試驗(yàn)，各組人數(shù)分別為2、2、2；(5)分成四個(gè)組，各組人數(shù)分別為1,1,2,2；

(6)分成四個(gè)組去參加四項(xiàng)不同的活動(dòng)，各組人數(shù)分別為1、1、2、2.23

解析(1)即C16C5C3＝60.233

(2)即C16C5C3A3＝60×6＝360.22C26C4C2

(3)即315.A322

(4)即C26C4C2＝90.12C1C26C54C2

(5)即2·2＝45.A2A2122

(6)C16C5C4C2＝180.14．要從5名女生，7名男生中選出5名代表，按下列要求，分別有多少種不同的選法？

(1)至少有1名女生入選；(2)至多有2名女生入選；(3)男生甲和女生乙入選；(4)男生甲和女生乙不能同時(shí)入選；(5)男 生甲、女生乙至少有一個(gè)人入選．

解析(1)C512－C7＝771； 1423(2)C57＋C5C7＋C5C7＝546； 3(3)C22C10＝120； 23(4)C512－C2C10＝672； 5(5)C512－C10＝540.15．在m(m≥2)個(gè)不同數(shù)的排列p1p2?pm中，若1≤i＜j≤m時(shí)pi＞pj(即前面某數(shù)大于后面某數(shù))，則稱pi與pj構(gòu)成一個(gè)逆序，一個(gè)排列的全部逆序的總數(shù)稱為該排列的逆序數(shù)．記排列(n＋1)n(n－1)?321的逆序數(shù)為an.如排列21的逆序數(shù)a1＝1，排列321的逆序數(shù)a2＝3，排列4 321的逆序數(shù)a3＝6.(1)求a4、a5，并寫出an的表達(dá)式；(2)令bn＝

anan＋1

＋，證明2n＜b1＋b2＋?＋bn＜2n＋3，n＝1,2，?.an＋1an

nn＋12

解析(1)由已知條件a4＝C25＝10，a5＝C6＝15，則an＝Cn＋1＝

(2)證明 bn＝

1?anan＋1nn＋2?1

2＋2?nn＋2an＋1ann＋2n??

∴b1＋b2＋?＋bn

111111111??

－＋－ ＝2n＋2?1－＋－＋－＋?＋

32435n－1n＋1nn＋2??11??3

－，＝2n＋2?－

?2n＋1n＋2?∴2n＜b1＋b2＋?＋bn＜2n＋3.16．已知10件不同的產(chǎn)品中有4件次品，現(xiàn)對(duì)它們一一測(cè)試，直至找到所有4件次品為止．

(1)若恰在第2次測(cè)試時(shí)，才測(cè)試到第一件次品，第8次才找到最后一件次品，則共有多少種不同的測(cè)試方法？

(2)若至多測(cè)試6次就能找到所有4件次品，則共有多少種不同的測(cè)試方法？ 解析(1)若恰在第2次測(cè)試時(shí)，才測(cè)到第一件次品，第8次才找到最后一件次品，若是不放回的逐個(gè)抽取測(cè)試． 第2次測(cè)到第一件次品有4種抽法； 第8次測(cè)到最后一件次品有3種抽法；

第3至第7次抽取測(cè)到最后兩件次品共有A2剩余4次抽到的是正品，共5種抽法；

24有A24A5A6＝86 400種抽法．

(2)檢測(cè)4次可測(cè)出4件次品，不同的測(cè)試方法有A44種，1檢測(cè)5次可測(cè)出4件次品，不同的測(cè)試方法有4A34A6種；

26檢測(cè)6次測(cè)出4件次品或6件正品，則不同的測(cè)試方法共有4A35A6＋A6種．

由分類計(jì)數(shù)原理，滿足條件的不同的測(cè)試方法的種數(shù)為

31326A44＋4A4A6＋4A5A6＋A6＝8 520.

第三篇：排列與組合教案

課 題： 數(shù)學(xué)廣角

——簡(jiǎn)單的排列和組合

鶴鳴山小學(xué)：佘莎

教學(xué)內(nèi)容：九年義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書 數(shù)學(xué)二年級(jí)上冊(cè)p99例1 教學(xué)目標(biāo)：

1．通過觀察、猜測(cè)、比較、實(shí)驗(yàn)等活動(dòng)，找出最簡(jiǎn)單的事物的排列數(shù)和組合數(shù)，初步培養(yǎng)有序地全面地思考問題的能力。

2．感受數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、探索數(shù)學(xué)的濃厚興趣，使學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中養(yǎng)成與人合作的良好習(xí)慣。

教學(xué)重點(diǎn)：經(jīng)歷探索簡(jiǎn)單事物排列與組合規(guī)律的過程。教學(xué)難點(diǎn)：初步理解簡(jiǎn)單事物排列與組合的不同。教學(xué)準(zhǔn)備：課件、數(shù)字卡片等 教學(xué)過程：

一、創(chuàng)設(shè)情境，引發(fā)探究

1、初步感知排列

1）師：看喜羊羊來歡迎我們了。

喜羊羊：大家好，在你們面前的是一把密碼鎖，密碼是由數(shù)字1和2這兩個(gè)數(shù)字?jǐn)[成的兩位數(shù)?？靵碓囋嚢桑?/p>

２）學(xué)生獨(dú)立擺卡片，并記下數(shù)。

師：請(qǐng)先獨(dú)自擺擺，邊擺邊記，看誰(shuí)擺最完整？ ３）反饋交流，說一說你是怎樣擺的？

板書：１２

２１ 4）試著輸入密碼？

二、動(dòng)手操作、探究新知

1、合作探究排列 １）進(jìn)入數(shù)字樂園。

喜洋洋說：“歡迎來到數(shù)字樂園，我們一起來玩一個(gè)數(shù)字游戲吧！你能用1、2、3三個(gè)數(shù)字?jǐn)[出幾個(gè)兩位數(shù)呢？

生猜想，有兩個(gè)，4個(gè)，6個(gè)等等。

師：讓我們來動(dòng)手?jǐn)[一擺就知道了。老師給小朋友們準(zhǔn)備了1、2、3三張數(shù)字卡片，還有一張記錄卡。同桌合作，一人擺數(shù)字卡片，一人把擺好的數(shù)記錄下來，先商量一下誰(shuí)擺數(shù)字卡片，誰(shuí)記數(shù)，比比哪桌合作得又好又快。２）反饋交流。

①請(qǐng)幾組學(xué)生把自己記錄下的數(shù)字寫在黑板上。②交流你覺得誰(shuí)擺得更好。為什么？ 想一想：怎樣擺才不會(huì)遺漏和重復(fù)？

師：為什么有的擺的數(shù)多，而有的卻擺的少呢？有什么好辦法能保證既不漏數(shù)、也不重復(fù)呢？請(qǐng)每個(gè)小組進(jìn)行討論，看看有什么好辦法？小組交流，集體反饋。

③再按你們的方法，邊擺，找一個(gè)人把他記下來！

學(xué)生小結(jié)方法：

1、固定十位。

2、固定個(gè)位。

3、交換位置。

師：大家都采用各種方法擺出了6個(gè)不同的兩位數(shù)。真了不起??！今后我們?cè)谂帕袛?shù)的時(shí)候，要想既不重復(fù)也不漏掉，就必須要按照一定的規(guī)律和一定的方法進(jìn)行。這就是我們今天所要學(xué)習(xí)的排列與組合。鞏固練習(xí)。

師：喜洋洋想請(qǐng)我們?nèi)ニ依镒骺汀？墒撬€想考考大家。

1、我家的門牌號(hào)碼是由6、7、8這三個(gè)數(shù)字組成的兩位數(shù)，請(qǐng)你猜一猜可能是多少？

2、是這6個(gè)數(shù)中最大的一個(gè)兩位數(shù)。

學(xué)生先排列出6個(gè)兩位數(shù)，再找出其中最大的兩位數(shù)。2．感知組合

師：喜洋洋請(qǐng)小朋友們吃水果。蘋果、香蕉、梨子，只吃其中的兩種水果有幾種吃法。生：回答。

說出三種這后，還有孩子說有別的吃法，當(dāng)他列舉出來之后，再讓學(xué)生觀察。學(xué)生發(fā)現(xiàn)最后一種和前面其中一種是同樣的吃法。從而得出只有三種吃法。師質(zhì)疑：三張卡面取兩張擺兩位數(shù)能擺6個(gè)，而三種水果吃其中兩種確只有3種吃法？

請(qǐng)兩個(gè)學(xué)生上黑板，一人擺卡片，一人取水果。然后交換位置。學(xué)生發(fā)現(xiàn)卡片交換位置得到兩個(gè)數(shù)，而水果交換位置之后得到的還是原來的兩種水果只能算一種吃法。

師小結(jié)：擺數(shù)與順序有關(guān)，取水果與順序無(wú)關(guān)。擺數(shù)可以交換位置，而取水果交換位置沒用。

三、應(yīng)用拓展，深化探究 來到游藝樂園，搭配衣服。

1、出示：四件衣服有幾種不同的穿法呢?在書上連一連，畫一畫。（學(xué)生操作）

學(xué)生說課件演示。

2、出示：如果三個(gè)人握手，每?jī)蓚€(gè)人握一次，三人一共要握多少次呢？ ２）小組合作演示，并記錄結(jié)果。３）小組匯報(bào)結(jié)果。

四、總結(jié)延伸，暢談感受

師：生活中哪里有排列與組合。

師總結(jié)：只要我們有心，你會(huì)發(fā)現(xiàn)生活中處處有數(shù)學(xué)。愿孩子們做一個(gè)生活的有心人，去發(fā)現(xiàn)身邊的數(shù)學(xué)。

2012-11-10

第四篇：簡(jiǎn)單的排列與組合教案

《排列與組合》教學(xué)設(shè)計(jì)

教學(xué)目標(biāo)： 知識(shí)與技能：

通過觀察、猜測(cè)、實(shí)驗(yàn)等活動(dòng)，找出簡(jiǎn)單事物的排列數(shù)與組合數(shù)。過程與方法：

1.通過學(xué)生間的自主學(xué)習(xí)、相互討論交流，增強(qiáng)學(xué)生歸納知識(shí)，獲取知識(shí)的能力，培養(yǎng)學(xué)生初步的觀察、分析、推理能力以及有順序地全面思考問題的意識(shí)。

2.通過多媒體等輔助手段，演示排列與組合的過程，化抽象為直觀，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的效果。

情感態(tài)度與價(jià)值觀：

引導(dǎo)學(xué)生使用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際生活中的問題，學(xué)會(huì)表達(dá)解決問題的大致過程。培養(yǎng)學(xué)生的合作意識(shí)和人際交往能力。

教學(xué)重點(diǎn)：經(jīng)歷探索簡(jiǎn)單事物排列與組合規(guī)律的過程。教學(xué)難點(diǎn)：初步理解簡(jiǎn)單事物排列與組合的不同。準(zhǔn)備：課件，數(shù)字卡片 教學(xué)過程：

一、創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境，提出數(shù)學(xué)問題

師：上課之前，咱們來玩?zhèn)€猜年齡的游戲。好嗎？讓我先來猜猜你們的年齡吧。你們能猜出老師的年齡嗎？（學(xué)生任意猜）

師：這樣吧。老師給你們一點(diǎn)提示：我的年齡是由3、6兩張數(shù)字卡片擺成的兩位數(shù)。

生：

36、63。

師：還有其他的可能嗎？用這兩個(gè)數(shù)字能擺出幾個(gè)不同的兩位數(shù)？（板書：2個(gè)）師：老師的年齡到底是多少歲呢？為什么？ 生：是36歲，因?yàn)?????！

二、組織有效教學(xué)，探究數(shù)學(xué)本質(zhì)

（一）感知排列。

1、師：剛才我們用數(shù)字卡片3、6擺出了兩個(gè)不同的兩位數(shù)，那如果用1、2、3這三張數(shù)字卡片能擺出幾個(gè)不同的兩位數(shù)呢？（課件出示）

師：誰(shuí)愿意來猜一猜？ 生猜：3個(gè) 4個(gè) 6個(gè)

師：用數(shù)字1、2、3究竟可以擺出幾個(gè)兩位數(shù)呢？讓我們一起來驗(yàn)證。課件提出要求：

請(qǐng)拿出數(shù)字1、2、3的卡片，同桌合作，一人擺數(shù)字卡片，一人把擺出的數(shù)寫在練習(xí)本上。

學(xué)生操作擺卡片。

師：誰(shuí)愿意來說一說你們組是怎樣擺的？ 學(xué)生匯報(bào)：《找寫的少的，重復(fù)的，有代表性的》 預(yù)設(shè)：生：13 32 31 生：32 31 23 13 21 生：13 31 23 32 12 21 23（寫在黑板的一邊）

2、合作探究擺的方法：

師：我們來看看這幾位同學(xué)的記錄，你發(fā)現(xiàn)什么問題了？

生：前兩個(gè)同學(xué)都有數(shù)字遺漏了，后面一個(gè)同學(xué)兩個(gè)數(shù)字重復(fù)了。課件提出要求：

師：有什么好辦法能保證既不漏數(shù)、也不重復(fù)呢？請(qǐng)大家在小組內(nèi)進(jìn)行討論，看看有什么好辦法？再按你們的方法來擺，找一個(gè)人把他記下來！

（學(xué)生帶著問題進(jìn)行第二次操作）

師：誰(shuí)來說說你們組是怎樣想的？ 預(yù)設(shè)：

生：每次拿其中的兩個(gè)數(shù)字，然后用調(diào)換的方法得出6個(gè)新數(shù)：12和21、13和31、23和32； 方法一：交換位置 12、21、13、31、23、32 生：把1固定在十位上，這樣就可以擺出2個(gè)不同的兩位數(shù)，在把2??一共擺出了6個(gè)不同的兩位數(shù)。（邊說邊板書）

方法二：固定十位 12、13、21、23、31、32 師：我們還可以現(xiàn)將個(gè)位數(shù)字固定。

方法三：固定個(gè)位 21、31、12、32、13、23

（課件出示效果好還是板書會(huì)好些）師：你認(rèn)為哪種辦法好？好在哪里？ 師：選擇自己喜歡的一種方法，再擺一擺。

師：我們用1、2、3三個(gè)數(shù)字編成了6個(gè)不同的兩位數(shù)，剛才都有誰(shuí)猜對(duì)了？ 小結(jié)：我們不管是用調(diào)換位置的方法還是固定十位或個(gè)位的方法，只要我們按順序擺，就能做到不重復(fù)，不遺漏。有了這種有順序的思考方法，就可以幫助我們解決很多生活中的實(shí)際問題。

（二）感知組合：

1.師：同學(xué)們，你們剛才的合作愉快嗎？那互相握手祝賀一下好嗎？

師：握手代表著友好，是一種有禮貌的行為，在生活中，我們經(jīng)常用握手來表示互相祝賀。

師：我要出一道關(guān)于握手的數(shù)學(xué)問題，你們能解決嗎？ 課件出示：

每?jī)扇宋找淮问郑艘还参諑状问郑?師：想一想！猜猜看。預(yù)設(shè)： 生1：6次!生2：4次！

生：3次。

師：為什么猜6次？

生：因?yàn)槿龔垟?shù)字卡片可以擺成6個(gè)兩位數(shù)，三個(gè)人也是握6次手。實(shí)踐活動(dòng)： 師： 究竟幾次呢？（提出要求：）

四人一組去合作，一個(gè)人當(dāng)小組長(zhǎng)。安排其它的三個(gè)人握手）。師：請(qǐng)一個(gè)組的同學(xué)上臺(tái)演示，其他同學(xué)一起數(shù)數(shù)。

師：為了說著方便，我給這三名小朋友每人編個(gè)序號(hào)分別是1號(hào)，2號(hào)，3號(hào)

板書：

1號(hào)和2號(hào) 1號(hào)和3號(hào) 2號(hào)和3號(hào)

師：每個(gè)人都握到了嗎？2號(hào)和3號(hào)呢？ 生：他們已經(jīng)握過了，換過來就重復(fù)了。師：也就是說三個(gè)人一共要握3次手。

三、致力核心問題，建立數(shù)學(xué)模型，課件出示：

師：為什么3個(gè)數(shù)字能寫出6個(gè)兩位數(shù)，而3個(gè)小朋友每?jī)扇宋找淮问?，只?次呢？

生：匯報(bào)

（引導(dǎo)：看來，兩個(gè)人相互握手，只能算一次，和順序無(wú)關(guān)。剛才排數(shù)，交換數(shù)的位置，就變成另一個(gè)數(shù)了，這和順序有關(guān)。）

師:像擺數(shù)這樣的問題我們可以稱為排列問題，像握手這樣的問題我們稱為組合問題。就是我們這節(jié)課學(xué)習(xí)的“簡(jiǎn)單的排列與組合”(板書課題。)師：我們?cè)谔幚磉@兩種問題時(shí)，一定要做到有序的思考。

四、設(shè)計(jì)有效檢測(cè)，解決實(shí)際問題

1、搭配衣服

師：其實(shí)我們的生活當(dāng)中有很多地方用到了排列和組合，這不，小紅要去看乒乓球賽，現(xiàn)在有兩件上衣，一條裙子和一條褲子。但她不知道如何搭配，你能幫助她搭配出幾套不同的穿法嗎？你能用今天學(xué)習(xí)的知識(shí)設(shè)計(jì)一下嗎？（指名答）

師：誰(shuí)愿意起來告訴我們大家究竟有幾種不同的穿法呢？（學(xué)生匯報(bào)）師：同學(xué)們用不同的方法都設(shè)計(jì)了四種不同的配色方案，是今天我們學(xué)習(xí)的哪種情況？（組合）

2、乒乓球比賽：

現(xiàn)在小紅選中了你們?yōu)樗钆涞囊惶追b，去看乒乓球比賽了。快看，他來到了乒乓球場(chǎng)地：場(chǎng)地中有三人參加乒乓球比賽，小紅想：如果兩個(gè)人打一場(chǎng)比賽，那三個(gè)人要打幾場(chǎng)比賽呢？ 你們能幫助小紅嗎？

五、深化經(jīng)驗(yàn)成果，升華數(shù)學(xué)內(nèi)涵

師：同學(xué)們，你有什么收獲嗎？

（學(xué)生談收獲）

師：原來生活有這么多數(shù)學(xué)問題，只要同學(xué)們細(xì)心觀察，就能發(fā)現(xiàn)更多有趣的數(shù)學(xué)問題，掌握了這些知識(shí)，我們就可以把生活裝點(diǎn)的更加美麗！

第五篇：計(jì)數(shù)原理教案

淮北市第十二中學(xué)2007~2008學(xué)

考

評(píng)

課

教

案

授課人：鄒強(qiáng)

2008年5月 §10.1 分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理

授課人：鄒強(qiáng)

教學(xué)目標(biāo)：

知識(shí)目標(biāo)：①理解分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理；

②會(huì)利用兩個(gè)原理分析和解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問題；

能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生的歸納概括能力；

情感目標(biāo)：①了解學(xué)習(xí)本章的意義，激發(fā)學(xué)生的興趣

②引導(dǎo)學(xué)生形成 “自主學(xué)習(xí)”與“合作學(xué)習(xí)”等良好的學(xué)習(xí)方式..教學(xué)重點(diǎn)：

分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用理解 教學(xué)難點(diǎn)：

分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理的理解 教學(xué)方法：

問題式、螺旋上升的教學(xué)方法 教學(xué)過程：

一．課題引入

中央電視臺(tái)體育頻道每周四次對(duì)“NBA”進(jìn)行現(xiàn)場(chǎng)直播，并對(duì)參與節(jié)目交流的觀眾進(jìn)行抽取幸運(yùn)觀眾活動(dòng)，獎(jiǎng)品是“NBA”明星真品球衣或明星戰(zhàn)靴，此節(jié)目深受廣大籃球迷的喜歡。已知在某次直播時(shí)，共收到手機(jī)號(hào)碼2萬(wàn)個(gè)。其中聯(lián)通號(hào)碼有0.8萬(wàn)個(gè)，移動(dòng)號(hào)碼有1萬(wàn)個(gè)，小靈通號(hào)碼有0.2萬(wàn)個(gè)?，F(xiàn)抽?。?/p>

（1）一名幸運(yùn)觀眾有多少種不同類型的抽法？

（2）從聯(lián)通號(hào)碼、移動(dòng)號(hào)碼和小靈通號(hào)碼中各抽取一名幸運(yùn)觀眾共有多少種不同的抽法？ 象這種計(jì)算所有情況的問題可稱為計(jì)數(shù)問題，用來解決這種問題的一般方法或計(jì)算規(guī)律叫做計(jì)數(shù)原理，今天我們就來探求它們。

二．新課講授

問題1.1:“兩會(huì)”決定,下一次會(huì)議一定要有農(nóng)民工代表參加.假如現(xiàn)在南方有農(nóng)民工代表30人,北方有農(nóng)民工代表20人,現(xiàn)在選舉一名農(nóng)民工代表共有多少種選法? 完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m 種不同的方法，在第2類方案中有 n 種不同的方法.那么完成這件事共有 N = m + n 種不同的方法.問題1.2:在填寫高考志愿表時(shí)，一名高中畢業(yè)生了解到，清華大學(xué),復(fù)旦大學(xué),南京大學(xué)三所大學(xué)各有一些自己感興趣的強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)，具體情況如下：

清華大學(xué)

復(fù)旦大學(xué)

南京大學(xué)

數(shù)學(xué)

生物學(xué)

新聞學(xué)

化學(xué)

會(huì)計(jì)學(xué)

金融學(xué)

醫(yī)學(xué)

信息技術(shù)學(xué)

人力資源學(xué)

物理學(xué)

法學(xué)

工程學(xué)

那么，這名同學(xué)從這些強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)中任選一項(xiàng)共有多少種？ 探究一：如果完成一件事有三類不同方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，在第3類方案中有 m3種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法？

探究二:如果完成一件事情有 n 類不同方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，在第3類方案中有m3種不同的方法，在第n類方案中有 mn 種不同的方法,那么完成這件事共有多少種不同的方法？

分類計(jì)數(shù)原理： 一般歸納：

完成一件事情，有n類辦法，在第1類辦法中有m1 種不同的方法，在第2類辦法中有 m2 種不同的方法……在第n類辦法中有mn 種不同的方法.那么完成這件事共有N?m1?m2?????mn 種不同的方法.問題2.1:國(guó)務(wù)院總理溫家寶在十屆全國(guó)人大三次會(huì)議上作政府工作報(bào)告時(shí)表示，補(bǔ)助貧困學(xué)生生活費(fèi)。假設(shè)補(bǔ)助后西部某省的貧困生午飯可買兩盤菜（蔬菜類 + 肉類），學(xué)校食堂的菜單如下，蔬菜類

肉類

蘿卜

豬肉

白菜

牛肉

花菜 請(qǐng)問有多少種不同的選法? 完成一件事需要兩個(gè)不同步驟，在第1步中有 不同的方法.那么完成這件事共有Nm 種不同的方法，在第2步中有 n 種

?m?n種不同的方法.問題2.2：在填寫高考志愿表時(shí)，一名高中畢業(yè)生了解到，清華大學(xué),復(fù)旦大學(xué),南京大學(xué)三所大學(xué)各有一些自己感興趣的強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)，具體情況如下：

清華大學(xué)

復(fù)旦大學(xué)

南京大學(xué)

數(shù)學(xué)

生物學(xué)

新聞學(xué)

化學(xué)

會(huì)計(jì)學(xué)

金融學(xué)

醫(yī)學(xué)

信息技術(shù)學(xué)

人力資源學(xué)

物理學(xué)

法學(xué)

工程學(xué)

那么，這名同學(xué)從清華大學(xué)，復(fù)旦大學(xué)，南京大學(xué)這些強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)中各選一項(xiàng)共有多少種？

探究一：如果完成一件事需要三個(gè)步驟，做第1步有 m

1種不同的方法，做第2步有 m種不同的方法，做第3步有

m種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方 法？

探究二：如果完成一件事需要n 個(gè)步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2 種不同的方法，做第3步有m3種不同的方法，……做第n 步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有多少種不同的方法？

分步計(jì)數(shù)原理： 一般歸納：

完成一件事情，需要分成n個(gè)步驟，做第1步有 m1 種不同的方法，做第2步有 m2種不同的方法……做第n步有mn 種不同的方法.那么完成這件事共有N?m1?m2?????mn種不同的方法.理解分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理異同點(diǎn)

①相同點(diǎn)：都是完成一件事的不同方法種數(shù)的問題

②不同點(diǎn):分類加法計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“分類”問題，完成一件事要分為若干類，各類的方法相互獨(dú)立，各類中的各種方法也相對(duì)獨(dú)立，用任何一類中的任何一種方法都可以單獨(dú)完成這件事，是獨(dú)立完成；而分步乘法計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“分步”問題，完成一件事要分為若干步，各個(gè)步驟相互依存，完成任何其中的一步都不能完成該件事，只有當(dāng)各個(gè)步驟都完成后，才算完成這件事，是合作完成.分步時(shí)，每一步都可以看成分類；分類時(shí)，每一類也可能要有好幾步才能完成。例題選講

問題3.1 書架的第1層放有4本不同的計(jì)算機(jī)書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放2本不同的體育書.①?gòu)臅苌先稳?本書，有多少種不同的取法？

②從書架的第1、2、3層各取1本書，有多少種不同的取法？ ③從書架上任取兩本不同學(xué)科的書，有多少種不同的取法？ 學(xué)生練習(xí)： 填空：

（1）一件工作可以用2種方法完成，有5人會(huì)用第1種方法完成，另有4人會(huì)用第2種方法完成，從中選出1人來完成這件工作，不同選法的種數(shù)是

.（2）從A村去B村的道路有3條，從B村去C村的道路有2條，從A村經(jīng)B村去C村，不同的路線有

條..（3）從甲地到乙地有2種走法，從乙地到丙地有4種走法，從甲地不經(jīng)過乙地到丙地有3種走法，則從甲地到丙地的不同的走法共有

種.（4）.甲、乙、丙3個(gè)班各有三好學(xué)生3，5，2名，現(xiàn)準(zhǔn)備推選兩名來自不同班的三好學(xué)生去參加校三好學(xué)生代表大會(huì)，共有

種不同的推選方法.總結(jié)歸納： 1．分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理是排列組合問題的最基本的原理，是推導(dǎo)排列數(shù)、組合數(shù)公式的理論依據(jù)，也是求解排列、組合問題的基本思想.2．理解分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理，并加區(qū)別

分類加法計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“分類”問題，其中各種方法相對(duì)獨(dú)立，用其中任何一種方法都可 4 以完成這件事；而分步乘法計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“分步”問題，各個(gè)步驟中的方法相互依存，只有各個(gè)步驟都完成后才算做完這件事.3．運(yùn)用分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理的注意點(diǎn)：

分類加法計(jì)數(shù)原理：首先確定分類標(biāo)準(zhǔn)，其次滿足：完成這件事的任何一種方法必屬于某一類，并且分別屬于不同的兩類的方法都是不同的方法，即“不重不漏”.分步乘法計(jì)數(shù)原理：首先確定分步標(biāo)準(zhǔn)，其次滿足：必須并且只需連續(xù)完成這n個(gè)步驟，這件事才算完成 作業(yè)布置：

.1．課本第９７頁(yè)的習(xí)題1０.1A第1，2，3題．

2．編一道運(yùn)用分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理解答的應(yīng)用題，并加以解答． 課外思考：

1.某學(xué)生去書店，發(fā)現(xiàn)3本好書，決定至少買其中1本，則該生的購(gòu)書方案有_____種。課后反思：