第一篇：2012年高考真題理科數學解析分類14推理與證明

陜西省永壽縣中學楊宏軍整理hongjunyang@qq.com

2012年高考真題理科數學解析分類匯編14推理與證明

1.【2012高考江西理6】觀察下列各式：a?b?1,a2?b2?3,a3?b3?4,a4?b4?7, a5?b5?11,則a?b? 1010

A．28B．76C．123D．199

【答案】C

【命題立意】本題考查合情推理中的歸納推理以及遞推數列的通項公式。

【解析】等式右面的數構成一個數列1,3,4,7,11，數列的前兩項相加后面的項，即an?an?1?an?2，所以可推出a10?123，選C.2.【2012高考全國卷理12】正方形ABCD的邊長為1，點E在邊AB上，點F在邊BC上，AE＝BF＝7.動點P從E出發(fā)沿直線喜愛那個F運動，每當碰到正方形的方向的邊時反彈，3反彈時反射等于入射角，當點P第一次碰到E時，P與正方形的邊碰撞的次數為

（A）16（B）14（C）12(D)10

【答案】B

【命題意圖】本試題主要考查了反射原理與三角形相似知識的運用。通過相似三角形，來確定反射后的點的落的位置，結合圖像分析反射的次數即可。

【解析】結合已知中的點E,F的位置，進行作圖，推理可知，在反射的過程中，直線是

平行的，那么利用平行關系，作圖，可以得到回到EA點時，需要碰撞14次即可.3.【2012高考湖北理10】我國古代數學名著《九章算術》中“開立圓術”曰：置積尺數，以十六乘之，九而一，所得開立方除之，即立圓徑.“開立圓術”相當于給出了已知球的體積V，求其直徑d的一個近似公式d?

根據π =3.14159

.人們還用過一些類似的近似公式.判斷，下列近似公式中最精確的一個是

B

．dC

．d?D

．d11.d?【答案】D

考點分析：考察球的體積公式以及估算.【解析】

4d3a6b6?9由V??()，得d?設選項中常數為,則?=；A中代入得?==3.375，32ba16

6?16?1576?11B中代入得?==3，C中代入得?==3.14,D中代入得?==3.142857，2300

21由于D中值最接近?的真實值，故選擇D。

4.【2012高考陜西理11】 觀察下列不等式

13? 222

1151?2?3?，2331?

———— 1

1?

1117??? 223242

4??

照此規(guī)律，第五個不等式為.．．．

1111111

?2?2?2?2?.2

234566

1111111

【解析】通過觀察易知第五個不等式為1?2?2?2?2?2?.234566

【答案】1?

5.【2012高考湖南理16】設N=2（n∈N，n≥2），將N個數x1,x2,?，xN依次放入編號為

1,2，?，N的N個位置，得到排列P0=x1x2?xN.將該排列中分別位于奇數與偶數位置的數取

n

*

NN和后個位置，得到排列P1=x1x3?xN-1x2x4?xN，將此22

N

操作稱為C變換，將P1分成兩段，每段個數，并對每段作C變換，得到p2；當2≤i≤

Ni

n-2時，將Pi分成2段，每段i個數，并對每段C變換，得到Pi+1，例如，當N=8時，出，并按原順序依次放入對應的前

P2=x1x5x3x7x2x6x4x8，此時x7位于P2中的第4個位置.（1）當N=16時，x7位于P2中的第___個位置；

n

（2）當N=2（n≥8）時，x173位于P4中的第___個位置.【答案】（1）6；（2）3?2【解析】（1）當N=16時,n?4

?11

P0?x1x2x3x4x5x6P1?x1x3x5x7

x16,可設為(1,2,3,4,5,6,x16,即為(1,3,5,7,9，16), 2,4,6,8，16)，16), x7位于P2中的第6

x15x2x4x6

P2?x1x5x9x13x3x7x11x15x2x6

個位置,；

x16,即(1,5,9,13,3,7,11,15,2,6,（2）方法同（1）,歸納推理知x173位于P4中的第3?2

n?4

?11個位置.【點評】本題考查在新環(huán)境下的創(chuàng)新意識，考查運算能力，考查創(chuàng)造性解決問題的能力.需要在學習中培養(yǎng)自己動腦的習慣，才可順利解決此類問題.6.【2012高考湖北理13】回文數是指從左到右讀與從右到左讀都一樣的正整數．如22，121，3443，94249等．顯然2位回文數有9個：11，22，33，?，99．3位回文數有90個：101，111，121，?，191，202，?，999．則（Ⅰ）4位回文數有個；

（Ⅱ）2n?1(n?N?)位回文數有 【答案】90，9?10

考點分析：本題考查排列、組合的應用.【解析】（Ⅰ）4位回文數只用排列前面兩位數字，后面數字就可以確定，但是第一位不能為0，有9（1~9）種情況，第二位有10（0~9）種情況，所以4位回文數有9?10?90種。答案：90

————

n

（Ⅱ）法

一、由上面多組數據研究發(fā)現(xiàn)，2n+1位回文數和2n+2位回文數的個數相同，所以可以算出2n+2位回文數的個數。2n+2位回文數只用看前n+1位的排列情況，第一位不能為0有9種情況，后面n項每項有10種情況，所以個數為9?10.法

二、可以看出2位數有9個回文數，3位數90個回文數。計算四位數的回文數是可以看出在2位數的中間添加成對的“00,11,22,??99”，因此四位數的回文數有90個按此規(guī)律推導這十個數，因此,而當奇數位時，可以看成在偶數位的最中間添加0~9,則答案為9?10.n

n

7.【2012高考北京理20】（本小題共13分）

設A是由m?n個實數組成的m行n列的數表，滿足：每個數的絕對值不大于1，且所有數的和為零.記S?m,n?為所有這樣的數表組成的集合.對于A?S?m,n?，記ri(A)為A的第i行各數之和（1剟i

m），cj(A)為A的第j列各數之和（1剟j

；記k(A)為n）

r1(A)，r2(A)，?，rm(A)，c1(A)，c2(A)，?，cn(A)中的最小值.（1）對如下數表A，求k(A)的值；

（2）設數表A?S?2,3?形如

求k(A)的最大值；

（3）給定正整數t，對于所有的A?S?2,2t?1?，求k(A)的最大值.【答案】解：（1）由題意可知r1?A??1.2，r2?A???1.2，c1?A??1.1，c2?A??0.7，c3?A???1.8

∴k?A??0.7

（2）先用反證法證明k?A?≤1：

若k?A??1

則|c1?A?|?|a?1|?a?1?1，∴a?0 同理可知b?0，∴a?b?0 由題目所有數和為0 即a?b?c??1 ∴c??1?a?b??1 與題目條件矛盾

———— 3

∴k?A?≤1．

易知當a?b?0時，k?A??1存在 ∴k?A?的最大值為1（3）k?A?的最大值為

2t?1

.t?22t?1

首先構造滿足k(A)?的A?{ai,j}(i?1,2,j?1,2,...,2t?1)：

t?2

t?1

a1,1?a1,2?...?a1,t?1,a1,t?1?a1,t?2?...?a1,2t?1??，t?2

a2,1?a2,2

t2?t?1

?...?a2,t?,a2,t?1?a2,t?2?...?a2,2t?1??1.t(t?2)

經計算知，A中每個元素的絕對值都小于1，所有元素之和為0，且

|r1(A)|?|r2(A)|?

2t?1，t?2

t2?t?1t?12t?1，|c1(A)|?|c2(A)|?...?|ct(A)|?1??1??

t(t?2)t?2t?2

|ct?1(A)|?|ct?2(A)|?...?|c2t?1(A)|?1?

下面證明

t?12t?1

?.t?2t?2

2t?1

是最大值.若不然，則存在一個數表A?S(2,2t?1)，使得t?22t?1

k(A)?x?.t?2

由k(A)的定義知A的每一列兩個數之和的絕對值都不小于x，而兩個絕對值不超過1的數的和，其絕對值不超過2，故A的每一列兩個數之和的絕對值都在區(qū)間[x,2]中.由于

x?1，故A的每一列兩個數符號均與列和的符號相同，且絕對值均不小于x?1.設A中有g列的列和為正，有h列的列和為負，由對稱性不妨設g?h，則

g?t,h?t?1.另外，由對稱性不妨設A的第一行行和為正，第二行行和為負.考慮A的第一行，由前面結論知A的第一行有不超過t個正數和不少于t?1個負數，每個正數的絕對值不超過1（即每個正數均不超過1），每個負數的絕對值不小于x?1（即每個負數均不超過1?x）.因此

|r1(A)|?r1(A)?t?1?(t?1)(1?x)?2t?1?(t?1)x?x??2t?1?(t?2)x??x，故A的第一行行和的絕對值小于x，與假設矛盾.因此k?A?的最大值為

2t?1

。t?2

————

8.【2012高考湖北理】（本小題滿分14分）

（Ⅰ）已知函數f(x)?rx?xr?(1?r)(x?0)，其中r為有理數，且0?r?1.求f(x)的最小值；

（Ⅱ）試用（Ⅰ）的結果證明如下命題：

設a1?0,a2?0，b1,b2為正有理數.若b1?b2?1，則a1b1a2b2?a1b1?a2b2；（Ⅲ）請將（Ⅱ）中的命題推廣到一般形式，并用數學歸納法證明你所推廣的命題.．．．．．注：當?為正有理數時，有求導公式(x?)???x??1.【答案】（Ⅰ）f?(x)?r?rxr?1?r(1?xr?1)，令f?(x)?0，解得x?1.當0?x?1時，f?(x)?0，所以f(x)在(0,1)內是減函數； 當 x?1 時，f?(x)?0，所以f(x)在(1,??)內是增函數.故函數f(x)在x?1處取得最小值f(1)?0.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當x?(0,??)時，有f(x)?f(1)?0，即xr?rx?(1?r)①

若a1，a2中有一個為0，則a1b1a2b2?a1b1?a2b2成立； 若a1，a2均不為0，又b1?b2?1，可得b2?1?b1，于是 在①中令x?

a1aa，r?b1，可得(1)b1?b1?1?(1?b1)，a2a2a2

即a1b1a21?b1?a1b1?a2(1?b1)，亦即a1b1a2b2?a1b1?a2b2.綜上，對a1?0,a2?0，b1，b2為正有理數且b1?b2?1，總有a1b1a2b2?a1b1?a2b2.②

（Ⅲ）（Ⅱ）中命題的推廣形式為：

設a1,a2,若b1?b2?,an為非負實數，b1,b2,b1b2?bn?1，則a1a2,bn為正有理數.bn

an?a1b1?a2b2?

?anbn.③

用數學歸納法證明如下：

（1）當n?1時，b1?1，有a1?a1，③成立.（2）假設當n?k時，③成立，即若a1,a2,且b1?b2?

b1b2

?bk?1，則a1a2,ak為非負實數，b1,b2，bk為正有理數，bk

ak?a1b1?a2b2?

?akbk.,bk,bk?1為正有理數，當n?k?1時，已知a1,a2,且b1?b2?aa

b1

b22,ak,ak?1為非負實數，b1,b2,?bk?bk?1?1，此時0?bk?1?1，即1?bk?1?0，于是

bk?1k?1

aa

bkk

?(aa

b11b22

a)a

bkkbk?1k?1

=(a

b11?bk?11

a

b21?bk?12

a

bk

1?bk?11?bk?1k)

bk?1ak?1.———— 5

因

b1b2

??

1?bk?11?bk?1

?

bk

?1，由歸納假設可得

1?bk?1

b1b2

?a2??

1?bk?11?bk?1

?ak?

ab?a2b2??akbkbk

?11，1?bk?11?bk?1

a

b1

1?bk?11

a

b21?bk?12

a

bk1?bk?1k

?a1?

b1b2

從而a1a2bkbk?1

akak?1

?ab?a2b2??akbk?

??11?

1?bk?1??

1?bk?1

bk?1

ak?1.又因(1?bk?1)?bk?1?1，由②得

?a1b1?a2b2??akbk?

??

1?bk?1??

1?bk?1

bk?1

?ak?1

a1b1?a2b2??akbk

?(1?bk?1)?ak?1bk?1

1?bk?1

?a1b1?a2b2?

b2

從而a1b1a2

bkbk?1akak?1?a1b1?a2b2?

?akbk?ak?1bk?1，?akbk?ak?1bk?1.故當n?k?1時，③成立.由（1）（2）可知，對一切正整數n，所推廣的命題成立.說明：（Ⅲ）中如果推廣形式中指出③式對n?2成立，則后續(xù)證明中不需討論n?1的情況.9.【2012高考福建理17】（本小題滿分13分）

某同學在一次研究性學習中發(fā)現(xiàn)，以下五個式子的值都等于同一個常數.（1）sin13°+cos17°-sin13°cos17°（2）sin15°+cos15°-sin15°cos15°（3）sin18°+cos12°-sin18°cos12°

（4）sin（-18°）+cos48°-sin（-18°）cos48°（5）sin（-25°）+cos55°-sin（-25°）cos55° Ⅰ 試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數

Ⅱ 根據（Ⅰ）的計算結果，將該同學的發(fā)現(xiàn)推廣位三角恒等式，并證明你的結論.103sin30? 24

2200

（II）三角恒等式為：sin??cos(30??)?sin?cos(30??)

?

解答：（I）選擇（2）：sin15?cos15?sin15cos15?1?

sin2??cos2(300??)?sin?cos(30??)

?sin??11

??sin?)2?sin???sin?)22

333?sin2??cos2??444

———— 6

第二篇：2012年高考真題文科數學解析分類15：推理與證明1

2012高考文科試題解析分類匯編：推理和證明

1.【2012高考全國文12】正方形ABCD的邊長為1，點E在邊AB上，點F在邊BC上，AE?BF?

13。動點P從E出發(fā)沿直線向F運動，每當碰到正方形的邊時反彈，反彈時反

射角等于入射角，當點P第一次碰到E時，P與正方形的邊碰撞的次數為

（A）8（B）6（C）4（D）

3【答案】B

【命題意圖】本試題主要考查了反射原理與三角形相似知識的運用。通過相似三角形，來確定反射后的點的落的位置，結合圖像分析反射的次數即可。

【解析】解：結合已知中的點E,F的位置，進行作圖，推理可知，在反射的過程中，直線是平行的，那么利用平行關系，作圖，可以得到回到EA點時，需要碰撞8次即可。

?2?n??...?sin2.【2012高考上海文18】若Sn?sin?sinn?N?），則在S1,S2,...,S100777

中，正數的個數是（）

A、16B、72C、86D、100

【答案】C

【解析】依據正弦函數的周期性，可以找其中等于零或者小于零的項.【點評】本題主要考查正弦函數的圖象和性質和間接法解題.解決此類問題需要找到規(guī)律，從題目出發(fā)可以看出來相鄰的14項的和為0，這就是規(guī)律，考查綜合分析問題和解決問題的能力.3.【2012高考江西文5】觀察下列事實|x|+|y|=1的不同整數解（x,y）的個數為4，|x|+|y|=2的不同整數解（x,y）的個數為8，|x|+|y|=3的不同整數解（x,y）的個數為12 ….則|x|+|y|=20的不同整數解（x，y）的個數為

A.76B.80C.86D.92

【答案】B

【解析】本題主要為數列的應用題，觀察可得不同整數解的個數可以構成一個首先為4，公差為4的等差數列，則所求為第20項，可計算得結果.4.【2012高考陜西文12】觀察下列不等式

1?

1?121

22??321

?532，?5

31?1

22?132?142

……

照此規(guī)律，第五個不等式為.．．．

【答案】1?

?

?

?

?

?

116

.【解析】觀察不等式的左邊發(fā)現(xiàn)，第n個不等式的左邊=1?1?1???

2?n?1??1n?1

?n?1?，右邊=5.【2012

k，所以第五個不等式為1?

?

?

?2

?

?

?

116

． 表示為

高考湖南文

k?1

16】對于

n?N，將n

n?ak?2?ak?1?2???a1?2?a0?2,當i?k時ai?1，當0?i?k?1時ai為0

或1，定義bn如下：在n的上述表示中，當a0,a1，a2，…，ak中等于1的個數為奇數時，bn=1；否則bn=0.（1）b2+b4+b6+b8=__；

（2）記cm為數列{bn}中第m個為0的項與第m+1個為0的項之間的項數，則cm的最大值是___.【答案】（1）3；（2）2.010【解析】（1）觀察知1?a0?2,a0?1,b1?1；2?1?2?0?2,a1?1,a0?0,b2?1；

10210

一次類推3?1?2?1?2,b3?0；4?1?2?0?2?0?2,b4?1；

5?1?2?0?2?1?2,b5?0；6?1?2?1?2?0?2，b6?0，b7?1,b8?1，210210

b2+b4+b6+b8=３；（2）由（1）知cm的最大值為２.【點評】本題考查在新環(huán)境下的創(chuàng)新意識，考查運算能力，考查創(chuàng)造性解決問題的能力.需要在學習中培養(yǎng)自己動腦的習慣，才可順利解決此類問題.6.【2012高考湖北文17】傳說古希臘畢達哥拉斯學派的數學家經常在沙灘上面畫點或用小石子表示數。他們研究過如圖所示的三角形數：

將三角形數1,3，6,10，…記為數列{an}，將可被5整除的三角形數按從小到大的順序組成一個新數列{bn}，可以推測：

（Ⅰ）b2012是數列{an}中的第______項；（Ⅱ）b2k-1=______。（用k表示）【答案】（Ⅰ）5030；（Ⅱ）

5k?5k?1?

n(n?1)2

【解析】由以上規(guī)律可知三角形數1,3,6,10,…,的一個通項公式為an?，寫出其若

干項有：1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,110,發(fā)現(xiàn)其中能被5整除的為10,15,45,55,105,110,故b1?a4,b2?a5,b3?a9,b4?a10,b5?a14,b6?a15.從而由上述規(guī)律可猜想：b2k?a5k?

b2k?1?a5k?1?

(5k?1)(5k?1?1)

?

5k(5k?1)

（k為正整數），5k(5k?1)，故b2012?a2?1006?a5?1006?a5030,即b2012是數列{an}中的第5030項.【點評】本題考查歸納推理，猜想的能力.歸納推理題型重在猜想，不一定要證明，但猜想需要有一定的經驗與能力，不能憑空猜想.來年需注意類比推理以及創(chuàng)新性問題的考查.7.【2102高考北京文20】（本小題共13分）設A是如下形式的2行3列的數表，滿足性質P：a，b，c，d，e，f∈[-1,1],且a+b+c+d+e+f=0.記ri（A）為A的第i行各數之和（i=1,2），Cj（A）為第j列各數之和（j=1，2，3）；記k（A）為|r1(A)|, |r2(A)|, |c1(A)|，|c2(A)|，|c3(A)|中的最小值。對如下數表A，求k（A）的值

設數表A形如

其中-1≤d≤0，求k（A）的最大值；

（Ⅲ）對所有滿足性質P的2行3列的數表A，求k(A)的最大值。

【考點定位】此題作為壓軸題難度較大，考查學生分析問題解決問題的能力，考查學生嚴謹的邏輯思維能力。

（1）因為r1(A)=1.2，r2(A)??1.2，c1(A)?1.1，c2(A)?0.7，c3(A)??1.8，所以

k(A)?0.7

（2）r1(A)?1?2d，r2(A)??1?2d，c1(A)?c2(A)?1?d，c3(A)??2?2d.因為?1?d?0，所以|r1(A)|=|r2(A)|?d?0，|c3(A)|?d?0.所以k(A)?1?d?1.當d?0時，k(A)取得最大值1.（3

任意改變A的行次序或列次序，或把A中的每個數換成它的相反數，所得數表A*仍滿足性

*

質P，并且k(A)?k(A)，因此，不妨設r1(A)?0,c1(A)?0,c2(A)?0，由k(A)的定義

知

3k，?1(A

k(?

A)(A?

r(?)c

A)?(A,k?，(A?)

c

從)

?(A

c而?)

a

(A

(?)kb)?r1

?(a?b?c?d?e?f)?(a?b?f)?a?b?f?3

因此k(A)?1，由（2）知，存在滿足性質P的數表A，使k(A)?1，故k(A)的最大值為1。

8.【2102高考福建文20】20.（本小題滿分13分）

某同學在一次研究性學習中發(fā)現(xiàn)，以下五個式子的值都等于同一個常數。（1）sin213°+cos217°-sin13°cos17°（2）sin215°+cos215°-sin15°cos15°（3）sin218°+cos212°-sin18°cos12°

（4）sin2（-18°）+cos248°-sin2（-18°）cos248°（5）sin2（-25°）+cos255°-sin2（-25°）cos255° Ⅰ 試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數

Ⅱ 根據（Ⅰ）的計算結果，將該同學的發(fā)現(xiàn)推廣位三角恒等式，并證明你的結論。

考點：三角恒等變換。難度：中。

分析：本題考查的知識點恒等變換公式的轉換及其應用。解答：

（I）選擇（2）：sin15?cos15?sin15cos15?1?

sin30?

（II）三角恒等式為：sin??cos(30??)?sin?cos(30??)?

sin??cos(30??)?sin?cos(30??)

?sin2???34sin??

234

??cos??

sin?)?sin?2

??

sin?)

第三篇：2013高考數學_(真題+模擬新題分類)_推理與證明_理

推理與證明

M1 合情推理與演繹推理

15．B13，J3，M1[2013·福建卷] 當x∈R，|x|<1時，有如下表達式： 12n

1＋x＋x＋?＋x.1－x

11121n1

1兩邊同時積分得：∫01dx0xdx＋∫0xdx＋?＋∫0xdx0，222221－x從而得到如下等式：

1?n＋111?121?131?1×＋?＋?＋?＋??＋?＝ln 2.22?2?3?2?n＋1?2?請根據以上材料所蘊含的數學思想方法，計算：

1111212131n?1?n＋1CCn×＋n×＋?＋n×??＝__________．

22232n＋1?2?

0n

1??3?n＋1?n0122nn

15.[解析](1＋x)＝Cn＋Cnx＋Cnx＋?＋Cnx，??－1??n＋1??2??

11121n1012nn

兩邊同時積分得Cn∫01dx＋Cn∫0xdx＋Cn∫xdx＋?＋Cn∫0xdx＝∫(1＋x)dx，***n1n＋113n＋10

得Cn×Cn×＋n×Cn＝－1.22232n＋12n＋1

214．M1[2013·湖北卷] 古希臘畢達哥拉斯學派的數學家研究過各種多邊形數，如三角形n（n＋1）121

數1，3，6，10，?，第n個三角形數為＝n，記第n個k邊形數為N(n，k)(k≥3)，222以下列出了部分k邊形數中第n個數的表達式：

121

三角形數 N(n，3)＝＋n，22正方形數 N(n，4)＝n，321

五邊形數 N(n，5)＝－n，22

六邊形數 N(n，6)＝2n－n，??

可以推測N(n，k)的表達式，由此計算N(10，24)＝________.11k－22

14．1 000 [解析] 觀察得k每增加1，n項系數增加n項系數減少，N(n，k)＝

222n2

n＋(4－k)N(10，24)＝1 000.2??0，0

?ln x，x≥1.?

＋

2-1-

①若a>0，b>0，則ln(a)＝blna；

＋＋＋

②若a>0，b>0，則ln(ab)＝lna＋lnb；

＋?a＋＋

③若a>0，b>0，則ln?≥lna－lnb；

?b?

＋b＋

④若a>0，b>0，則ln(a＋b)≤lna＋lnb＋ln 2.其中的真命題有________．(寫出所有真命題的編號)

b＋bb

16．①③④ [解析] ①中，當a≥1時，∵b>0，∴a≥1，ln(a)＝ln a＝bln a＝bln＋b＋b＋

a；當00，∴0

＋＋＋

②中，當01時，左邊＝ln(ab)＝0，右邊＝lna＋lnb＝ln a＋0＝ln a>0，∴②不成立；

aa＋＋

≤1，即a≤b時，左邊＝0，右邊＝lna－lnb≤0bba

時，左邊＝lnln a－ln b>0，若a>b>1時，右邊＝ln a－ln b，左邊≥右邊成立；若0

1ba

時，右邊＝0, 左邊≥右邊成立；若a>1>b>0，左邊＝ln＝ln a－ln b>ln a，右邊＝ln a，b左邊≥右邊成立，∴③正確；

④中，若0

＋

＋

＋＋＋

(a＋b)＝0，右邊＝ln＋a＋ln＋b＋ln 2＝ln 2>0，左邊≤

a＋b，2

(a＋b)－ln 2＝ln(a＋b)－ln 2＝a＋ba＋ba＋ba＋b又∵≤a或≤b，a，b至少有1個大于1，∴l(xiāng)nln a或lnln b，即

2222有l(wèi)n

＋

(a＋b)－ln 2＝ln(a＋b)－ln 2＝ln

a＋b＋＋

≤lna＋lnb，∴④正確． 2

14．M1[2013·陜西卷] 觀察下列等式： 2

1＝1 22

1－2＝－3 222

1－2＋3＝6 2222

1－2＋3－4＝－10 ??

照此規(guī)律，第n個等式可為________． 14．1－2＋3－4＋?＋(－1)

n＋12

n＝(－1)

n＋1

n（n＋1）

[解析] 結合已知所給幾項的特2

點，可知式子左邊共n項，且正負交錯，奇數項為正，偶數項為負，右邊的絕對值為左邊底

2222n＋12n

數的和，系數和最后一項正負保持一致，故表達式為1－2＋3－4＋?＋(－1)n＝(－1)

＋1

n（n＋1）

M2 直接證明與間接證明

20．M2，D2，D3，D5[2013·北京卷] 已知{an}是由非負整數組成的無窮數列，該數列前n項的最大值記為An，第n項之后各項an＋1，an＋2，?的最小值記為Bn，dn＝An－Bn.-2-

(1)若{an}為2，1，4，3，2，1，4，3，?，是一個周期為4的數列(即對任意n∈N，an

＋4＝an)，寫出d1，d2，d3，d4的值；

(2)設d是非負整數，證明：dn＝－d(n＝1，2，3，?)的充分必要條件為{an}是公差為d的等差數列；

(3)證明：若a1＝2，dn＝1(n＝1，2，3，?)，則{an}的項只能是1或者2，且有無窮多項為1.20．解：(1)d1＝d2＝1，d3＝d4＝3.(2)(充分性)因為{an}是公差為d的等差數列，且d≥0，所以a1≤a2≤?≤an≤?.因此An＝an，Bn＝an＋1，dn＝an－an＋1＝－d(n＝1，2，3，?)．

(必要性)因為dn＝－d≤0(n＝1，2，3，?)．所以An＝Bn＋dn≤Bn.又因為an≤An，an＋1≥Bn，所以an≤an＋1.于是，An＝an，Bn＝an＋1.因此an＋1－an＝Bn－An＝－dn＝d，即{an}是公差為d的等差數列．

(3)因為a1＝2，d1＝1，所以A1＝a1＝2，B1＝A1－d1＝1.故對任意n≥1，an≥B1＝1.假設{an}(n≥2)中存在大于2的項． 設m為滿足am>2的最小正整數，則m≥2，并且對任意1≤k2，于是，Bm＝Am－dm>2－1＝1，Bm－1＝min{am，Bm}>1.故dm－1＝Am－1－Bm－1<2－1＝1，與dm－1＝1矛盾．

所以對于任意n≥1，有an≤2，即非負整數列{an}的各項只能為1或2.因為對任意n≥1，an≤2＝a1，所以An＝2.故Bn＝An－dn＝2－1＝1.因此對于任意正整數n，存在m滿足m>n，且am＝1，即數列{an}有無窮多項為1.M3 數學歸納法

M4 單元綜合1111

1．[2013·黃山質檢] 已知n為正偶數，用數學歸納法證明1－＋－＋?＋234n＋1

1112(＋?＋)時，若已假設n＝k(k≥2為偶數)時命題為真，則還需要用歸納假設n＋2n＋42n

再證n＝()時等式成立()

A．k＋1B．k＋2 C．2k＋2D．2(k＋2)

1．B [解析] 根據數學歸納法的步驟可知，則n＝k(k≥2為偶數)下一個偶數為k＋2，故答案為B.2．[2013·石景山期末] 在整數集Z中，被5除所得余數為k的所有整數組成一個“類”，記為[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0，1，2，3，4.給出如下四個結論：

*

①2 013∈[3]；②－2∈[2]；③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④整數a，b屬于同一“類”的充要條件是a－b∈[0]．

其中，正確結論的個數為()

A．1B．2C．3D．

42．C [解析] 因為2 013＝402×5＋3，所以2 013∈[3]，①正確．－2＝－1×5＋3，－2∈[3]，所以②不正確．因為整數集中的數被5除的余數可以且只可以分成五類，所以③正確．整數a，b屬于同一“類”，則整數a，b被5除的余數相同，從而a－b被5除的余數為0，反之也成立，故整數a，b屬于同一“類”的充要條件是a－b∈[0]，故④正確．所以正確的結論個數為3，選C.223344

3．[2013·汕頭期末] 已知2＋＝3＋3 4＋＝，33881515aa

6＋＝(a，t均為正實數)，類比以上等式，可推測a，t的值，則a－t＝________． tt

3．－29 [解析] 類比等式可推測a＝6，t＝35，則a－t＝－29.x

4．[2013·福州期末] 已知點A(x1，ax1)，B(x2，ax2)是函數y＝a(a>1)的圖像上任意不同兩點，依據圖像可知，線段AB總是位于A、B兩點之間函數圖像的上方，因此有結論

x1＋x2

ax1＋ax2

>a2成立．運用類比思想方法可知，若點A(x1，sin x1)，B(x2，sin x2)是函數y2

＝sin x(x∈(0，π))的圖像上的不同兩點，則類似地有________成立．

sin x1＋sin x2x1＋x24.[解析] 函數y＝sin x在x∈(0，π)的圖像上任意不同兩

sin x1＋sin x2

點A，B，依據圖像可知，線段AB總是位于A，B兩點之間函數圖像的下方，所以

x1＋x2

[規(guī)律解讀] 類比推理中的結論要注意問題在變化之后的不同，要“求同存異”才能夠正確解決問題．

5．[2013·云南師大附中月考] 我們把平面內與直線垂直的非零向量稱為直線的法向量，在平面直角坐標系中，利用求動點軌跡方程的方法，可以求出過點A(－3，4)，且法向量為n＝(1，－2)的直線(點法式)方程為1×(x＋3)＋(－2)×(y－4)＝0，化簡得x－2y＋11＝0.類比以上方法，在空間直角坐標系中，經過點A(1，2，3)，且法向量為n＝(－1，－2，1)的平面(點法式)方程為________．

5．x＋2y－z－2＝0 [解析] 設B(x，y，z)為平面內的任一點，類比得平面的方程為(－1)×(x－1)＋(－2)×(y－2)＋1×(z－3)＝0，即x＋2y－z－2＝0.*

6．[2013·黃山質檢] 已知數列{an}滿足a1＝1，an＝logn(n＋1)(n≥2，n∈N)．定義：

*

使乘積a1·a2·?·ak為正整數的k(k∈N)叫作“簡易數”．則在[1，2 012]內所有“簡易數”的和為________．

lg（n＋1）

6．2 036 [解析] ∵an＝logn(n＋1)＝，lg n

lg 3lg 4lg（k＋1）lg（k＋1）

∴a1·a2·?·ak·＝＝log2(k＋1)，則“簡

lg 2lg 3lg klg 2

nn

易數”k使log2(k＋1)為整數，即滿足2＝k＋1，所以k＝2－1，則在[1，2 012]內所有“簡

2（1－2）1210

易數”的和為2－1＋2－1＋?＋2－1＝－10＝1 023×2－10＝2 036.1－2

若

第四篇：2012年高考真題——文科數學(解析版)15：推理與證明

2012高考試題分類匯編：15：推理和證明

1.【2012高考全國文12】正方形ABCD的邊長為1，點E在邊AB上，點F在邊BC上，1AE?BF?。動點P從E出發(fā)沿直線向F運動，每當碰到正方形的邊時反彈，反彈時反射

3角等于入射角，當點P第一次碰到E時，P與正方形的邊碰撞的次數為

（A）8（B）6（C）4（D）3

【答案】B

【解析】結合已知中的點E,F的位置，進行作圖，推理可知，在反射的過程中，直線是平行的，那么利用平行關系，作圖，可以得到回到EA點時，需要碰撞6次即可.2.【2012高考上海文18】若Sn?sin

中，正數的個數是（）

A、16B、72C、86D、100

【答案】C

【解析】由題意可知，S13?S14=S27?S28=S41?S42=…=S97?S98=0，共14個，其余均為正數，故共有100-14=86個正數。

3.【2012高考江西文5】觀察下列事實|x|+|y|=1的不同整數解（x,y）的個數為4，|x|+|y|=2的不同整數解（x,y）的個數為8，|x|+|y|=3的不同整數解（x,y）的個數為12 ….則|x|+|y|=20的不同整數解（x，y）的個數為

A.76B.80C.86D.92

【答案】B

【解析】個數為首項為4，公差為4的等差數列，所以an?4?4(n?1)?4n，a20?80，選

B.4.【2012高考陜西文12】觀察下列不等式 ?7?sin2?n???...?sin（n?N），則在S1,S2,...,S10077

1?13? 222

1?115??，22333

11151?2?2?2? 2343

……

照此規(guī)律，第五個不等式為.．．．

【答案】1?

【解析】通過觀察易知第五個不等式為1?

5.【2012高考湖南文1111111?2?2?2?2?.22345661111111?????.2232425262616】對于

0n?N?，將n表示為?11n?ak?2k?ak?1?k2???a??2a?1?k時ai?1，,當i2當0?i?k?1時ai為0或1，定義bn如下：在n的上述表示中，當a0,a1，a2，…，ak中等于1的個數為奇數時，bn=1；否則bn=0.（1）b2+b4+b6+b8=__；

（2）記cm為數列{bn}中第m個為0的項與第m+1個為0的項之間的項數，則cm的最大值是___.【答案】（1）3；（2）2.【解析】（1）觀察知1?a0?20,a0?1,b1?1；2?1?21?0?20,a1?1,a0?0,b2?1； 一次類推3?1?21?1?20,b3?0；4?1?22?0?21?0?20,b4?1；

5?1?22?0?21?1?20,b5?0；6?1?22?1?21?0?20，b6?0，b7?1,b8?1，b2+b4+b6+b8=３；（2）由（1）知cm的最大值為２.【點評】本題考查在新環(huán)境下的創(chuàng)新意識，考查運算能力，考查創(chuàng)造性解決問題的能力.需要在學習中培養(yǎng)自己動腦的習慣，才可順利解決此類問題.6.【2012高考湖北文17】傳說古希臘畢達哥拉斯學派的數學家經常在沙灘上面畫點或用小石子表示數。他們研究過如圖所示的三角形數：

將三角形數1,3，6,10，…記為數列{an}，將可被5整除的三角形數按從小到大的順序組成一個新數列{bn}，可以推測：

（Ⅰ）b2012是數列{an}中的第______項；

（Ⅱ）b2k-1=______。（用k表示）

5k?5k?1? 【答案】（Ⅰ）5030；（Ⅱ）2

【解析】由以上規(guī)律可知三角形數1,3,6,10,…,的一個通項公式為an?n(n?1)，寫出其若干2

項有：1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,110,發(fā)現(xiàn)其中能被5整除的為10,15,45,55,105,110,故b1?a4,b2?a5,b3?a9,b4?a10,b5?a14,b6?a15.從而由上述規(guī)律可猜想：b2k?a5k?5k(5k?1)（k為正整數），2

(5k?1)(5k?1?1)5k(5k?1)b2k?1?a5k?1??，22

故b2012?a2?1006?a5?1006?a5030,即b2012是數列{an}中的第5030項.【點評】本題考查歸納推理，猜想的能力.歸納推理題型重在猜想，不一定要證明，但猜想需要有一定的經驗與能力，不能憑空猜想.來年需注意類比推理以及創(chuàng)新性問題的考查.7.【2102高考北京文20】（本小題共13分）

記ri（A）為A的第i行各數之和（i=1,2），Cj（A）為第j列各數之和（j=1，2，3）；記k（A）為|r1(A)|, |r2(A)|, |c1(A)|，|c2(A)|，|c3(A)|中的最小值。

對如下數表A，求k（A）的值

設數表A形如

其中-1≤d≤0，求k（A）的最大值；

（Ⅲ）對所有滿足性質P的2行3列的數表A，求k(A)的最大值。

【答案】

8.【2102高考福建文20】20.（本小題滿分13分）

某同學在一次研究性學習中發(fā)現(xiàn)，以下五個式子的值都等于同一個常數。

（1）sin213°+cos217°-sin13°cos17°

（2）sin215°+cos215°-sin15°cos15°

（3）sin218°+cos212°-sin18°cos12°

（4）sin2（-18°）+cos248°-sin2（-18°）cos248°

（5）sin2（-25°）+cos255°-sin2（-25°）cos255°

Ⅰ 試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數

Ⅱ 根據（Ⅰ）的計算結果，將該同學的發(fā)現(xiàn)推廣位三角恒等式，并證明你的結論。

【答案

】

第五篇：高考數學推理與證明

高考數學推理與證明

1．（08江蘇10）將全體正整數排成一個三角形數陣：35 68 9 10

。。。

按照以上排列的規(guī)律，第n行（n?3）從左向右的第3個數為▲.n2?n?6【答案】 2

【解析】本小題考查歸納推理和等差數列求和公式．前n－1 行共有正整數1＋2＋…＋（n

n2?nn2?n－1）個，即個，因此第n 行第3 個數是全體正整數中第＋3個，即為22

n2?n?6． 2

2.（09江蘇8）在平面上，若兩個正三角形的邊長的比為1：2，則它們的面積比為1：4，類似地，在空間內，若兩個正四面體的棱長的比為1：2，則它們的體積比為▲.【解析】 考查類比的方法。體積比為1：8

3.（09福建15）五位同學圍成一圈依序循環(huán)報數，規(guī)定：

①第一位同學首次報出的數為1，第二位同學首次報出的數也為1，之后每位同學所報出的數都是前兩位同學所報出的數之和；

②若報出的數為3的倍數，則報該數的同學需拍手一次

已知甲同學第一個報數，當五位同學依序循環(huán)報到第100個數時，甲同學拍手的總次數為________.【答案】：5

解析：由題意可設第n次報數，第n?1次報數，第n?2次報數分別為an，an?1，an?2，所以有an?an?1?an?2，又a1?1,a2?1,由此可得在報到第100個數時，甲同學拍手5次。

4.（09上海）8.已知三個球的半徑R1，R2，R3滿足R1?2R2?3R3，則它們的表面積S1，S2，S3，滿足的等量關系是___________.?

【解析】S1?4?R1S1?22

S2?2R2S3?2R3，即R1＝R1，S1

2，R2＝S2

2，R3＝S3

2，由R1?

2R2?3R3?

5.（09浙江）15．觀察下列等式：

1C5?C55?23?2，159C9?C9?C9?27?23，15913C13?C13?C13?C13?211?25，1593C1C1?7?C1?7C?171C717?27?125，1

………

由以上等式推測到一個一般的結論：

1594n?1對于n?N，C4n?1?C4n?1?C4n?1???C4n?1?*

答案：24n?1???1?22n?1?！窘馕觥窟@是一種需類比推理方法破解的問題，結論由二項構成，n

第二項前有??1?n，二項指數分別為24n?1,22n?1，因此對于n?N

n*，1594n?124n?1???1?22n?1 C4n?1?C4n?1?C4n?1???C4n?1?