第一篇：一類分式型三角函數(shù)值域的多角度求解

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一類分式型三角函數(shù)值域的多角度求解 作者：舒飛躍

來源：《數(shù)理化學(xué)習(xí)·高一二版》2012年第12期

三角函數(shù)中經(jīng)常遇到求形如“y=asinx+bcosx+cdsinx+ecosx+f” 型函數(shù)值域，對這一類分式型三角函數(shù)值域，從不同思維層次思考的求解方法不同，下面舉一例說明其解法.評注：此題用常規(guī)方法也可以得到很好的解決，但沒有此法來得快速與準(zhǔn)確.利用斜率公式簡解代數(shù)競賽題，雖然這不是解決問題的唯一方法，但它展現(xiàn)了豐富多彩的數(shù)學(xué)世界，而且對于鍛煉學(xué)生思維能力的創(chuàng)造性、開拓性、開闊性大有裨益.

第二篇：分式函數(shù)值域解法

分式函數(shù)值域解法匯編

甘肅省定西工貿(mào)中專文峰分校 張占榮

函數(shù)既是中學(xué)數(shù)學(xué)各骨干知識的交匯點(diǎn)，是數(shù)學(xué)思想，數(shù)學(xué)方法應(yīng)用的載體，是初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的銜接點(diǎn)，還是中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)系實(shí)際的切入點(diǎn)，因此函數(shù)便理所當(dāng)然地成為了歷年高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn)，考查函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、反函數(shù)以及函數(shù)圖象。而對函數(shù)值域的考查或是單題形式出現(xiàn)，但更多的是以解題的一個環(huán)節(jié)形式出現(xiàn)，其中求分式函數(shù)的值域更是學(xué)生失分較大知識點(diǎn)之一。為此，如何提高學(xué)生求分式函數(shù)值域的能力，是函數(shù)教學(xué)和復(fù)習(xí)中較為重要的一環(huán)，值得探討。下面就本人對分式函數(shù)值域的教學(xué)作如下探究，不餒之處、敬請同仁指教。

一、相關(guān)概念

函數(shù)值是指在函數(shù)y＝f(x)中，與自變量x的值對應(yīng)的y值。

函數(shù)的值域是函數(shù)值的集合，是指圖象在y軸上的投影所覆蓋的實(shí)數(shù)y的集合。函數(shù)的值域由函數(shù)的定義域及其對應(yīng)法則唯一確定；當(dāng)函數(shù)由實(shí)際問題給出時，函數(shù)的值域由問題的實(shí)際意義確定。

分式函數(shù)是指函數(shù)解析式為分式形式的函數(shù)。

二、分式函數(shù)的類型及值域解法

類型一：一次分式型

一次分式型是指分子與分母都是關(guān)于自變量x（或參數(shù)）的一次函數(shù)的分式函數(shù)。

1.y=(a0)型

例１ 求函數(shù)y=的值域。

解法一：常數(shù)分離法。將y=轉(zhuǎn)化為y=（k1,k2為常數(shù)），則yk1 解：∵y==，∴

y。

解法二：反函數(shù)法。利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系，通過求反函數(shù)的定義域，得到原函數(shù)的值域。

解：反解y=得x=，對調(diào) y=（x)，∴函數(shù)y=的值域?yàn)?/p>

y。

2.y=(a0)型

分析：這是一道含三角函數(shù)的一次分式函數(shù)，由于含三角函數(shù)，不易直接解出x，但其有一個特點(diǎn)：只出現(xiàn)一種三角函數(shù)名?？梢钥紤]借助三角函數(shù)值域解題，其實(shí)質(zhì)跟y=（t=sinx）在t的指定區(qū)間上求值域類似。

即：將y=反解得sinx=f(y),而-1≤sinx≤1,即-1≤f(y)≤1，解之即可。

例２ 求函數(shù)y=的值域。

解：由y=得，sinx=，∵-1≤sinx≤1，∴-1≤≤1，解之得≤y≤3。

3.y=或y=(a0)型

分析：這道題不僅含有三角函數(shù)，且三角函數(shù)不同，例2解法行不通，但反解之后會出現(xiàn)正、余弦的和、差形式，故可考慮用疊加法。

即：去分母以后，利用疊加公式和|sinx|≤1解題。

例３ 求函數(shù)y=

解：∵2cosx+100，∴3sinx-2ycosx=10y+3。的值域。

∴, 其中，由∴和,整理得8y+5y≤0。2得，∴≤y≤0 即原函數(shù)的值域?yàn)閇，0]。

總結(jié)：求一次分式函數(shù)的值域，首先要看清楚是在整個定義域內(nèi)，還是在指定區(qū)間上；其次用反函數(shù)法解題；再次還要注意含三角函數(shù)的分式函數(shù)，其實(shí)質(zhì)是在指定區(qū)間上求分式函數(shù)的值域。

類型二：二次分式型

二次分式型是指分子與分母的最高次項(xiàng)至少有一項(xiàng)是關(guān)于x的二次函數(shù)。由于出現(xiàn)了x2項(xiàng)，直接反解x的方法行不通。但我們知道，不等式、函數(shù)、方程三者相互聯(lián)系，可以相互轉(zhuǎn)化。所以可考慮將其轉(zhuǎn)化為不等式或方程來解題。

１.y=(a、d不同時為0)，x∈R型

分析：去分母后，可將方程看作是含參數(shù)y的二次方程f(x)=0。由于函數(shù)的定義域并非空集，所以方程一定有解，≥0(f(y)≥0),解該不等式便可求出原函數(shù)的值域。

≥0（=f(y)）,即：用判別式法。先去分母，得到含參數(shù)y的二次方程f(x)=0,根據(jù)判別式

即可求出值域。

例４ 求函數(shù)y=的值域。

解：由y＝得yx2－3x＋4y＝0。

當(dāng)y＝0時，x＝0，當(dāng)y≠0時，由△≥0得-

∵函數(shù)定義域?yàn)镽，≤y≤。

∴函數(shù)y＝的值域?yàn)閇-，]。

說明：判別式法求二次函數(shù)的值域只適用于在整個定義域內(nèi)，但不能用其在指定的區(qū)間上求二次函數(shù)的值域，否則就會放大值域。

2.y=(a、d不同時為0)，指定的區(qū)間上求值域型。

例５ 求（x<）的值域。

分析：因?yàn)閤<，所以若用判別式法，可能會放大其值域。可以考慮使用均值定理解題。解：∵x<，∴5-4x>0,>0。

∴=1-4x+

=[(5-4x)+ ]-

4≥

2=-2，∴原函數(shù)的值域?yàn)椤?4

例６ 求的值域。

錯解：=≥2。

分析：在使用均值定理時一定要注意使用條件“一定、二正、三相等”，顯然上述解法中和不能相等，“相等”條件不能成立。所以不能使用均值定理。但若用判別式法又無法解決根式問題，此時可考慮借函數(shù)的單調(diào)性求值域。

解：用單調(diào)性法

=，令=t，顯然t≥2，則y=t

+(t≥2)，任取2≤t1≤t2,則f(t1)= t1+, f(t2)= t2+，f(t1)-f(t2)=(t1+)-(t2+)=(t1-t2)(1-)，∵2≤t1≤t2∴t1-t2<0, t1· t2≥4, 1->0，∴f(t1)-f(t2)=(t1-t2)(1-)<0。

∴f(t1)< f(t2)，即函數(shù)y=t+ 在t≥2上單調(diào)遞增。

∴當(dāng)t=

2、即=

2、x=0時，ymin

=，∴原函數(shù)的值域?yàn)椤?/p>

總結(jié)：不管是求一次分式函數(shù)，還是求二次分式函數(shù)的值域，都必須注意自變量的取值范圍。雖然我們提倡通解通法的培養(yǎng)，但一定要看到只有對一類題才可以用通解通法。若失去同一類前提，只強(qiáng)調(diào)通解通法，便是空中樓閣。故要因題而論，就事論事，防止一概而論的錯誤，用辯證和發(fā)展的眼光看待問題，這樣才會起到事半功倍的效果。

三、提煉知識，總結(jié)分式函數(shù)值域解法

求函數(shù)的值域是高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)之一，它沒有固定的方法和模式。但我們可以針對不同的題型進(jìn)行歸類總結(jié)，盡最大可能地尋找不同類型分式函數(shù)求值域的通解通法。常用的方法有：

1.反函數(shù)法。反函數(shù)法是求一次分式函數(shù)的基本方法，是利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系，通過求反函數(shù)的定義域，得到原函數(shù)的值域。但要注意看清楚是在整個定義域內(nèi)，還是在指定區(qū)間上求值域。

2.判別式法。判別式法是求二次分式函數(shù)的基本方法之一，即先去分母，把函數(shù)轉(zhuǎn)化成關(guān)于x的二次方程f(x，y)＝0，因?yàn)榉匠逃袑?shí)根，所以判別式△≥0，通過解不等式求得原函數(shù)的值域。需注意的是判別式法求二次函數(shù)的值域只適用于在整個定義域內(nèi)。

3.不等式法。不等式法是利用基本不等式：a＋b≥2(a、b∈R＋)，是在指定區(qū)間上求二次分式函數(shù)的基本方法之一，當(dāng)二次分式函數(shù)在指定區(qū)間上求值域時可考慮用不等式法。用不等式法求值域，要注意均值不等式的使用條件：“一正、二定、三相等”。

4.換元法。換元法是求復(fù)合型分式函數(shù)值域的常用方法。當(dāng)分式函數(shù)的分子或分母出現(xiàn)子函數(shù)（如三角函數(shù)）時，可考慮用換元法，將所給函數(shù)化成值域容易確定的另一函數(shù)，從而求得原函數(shù)的值域。要注意換元后自變量的取值范圍。

5.單調(diào)性法。單調(diào)性法是通過確定函數(shù)在定義域(或某個定義域的子集)上的單調(diào)性求出函數(shù)的值域的方法。

另外，還可以根據(jù)函數(shù)的特點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合或求導(dǎo)數(shù)的方法求分式函數(shù)的值域。由于這些方法不是很常用，在此就不多做說明

第三篇：二次分式函數(shù)值域的求法

二次

甘肅王新宏

一定義域?yàn)镽的二次分式函數(shù)用“判別式”法

解題步驟：1把函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的二次方程方程有實(shí)根，△≥0求的函數(shù)值域

2x2?x?21：求y =2的值域 x?x?2

解：∵x+x+2>0恒成立 2

2x2?x?2由y =2得，x?x?2

（y-2）x+(y+1)x+y-2=0

①當(dāng)y-2=0時，即y=2時，方程為x=0?R

②當(dāng)y-2≠0時，即y≠2時,∵x?R

∴方程（y-2）x+(y+1)x+y-2=0有實(shí)根

∴△=(y+1)-(y-2)×(y-2)≥0

∴3y-18y+15≤0

∴1≤y≤5

∴函數(shù)值域?yàn)?1,5? 2222

練習(xí)1：求y =3x的值域 x2?4?33???4,4? ??

二分母最高次冪為一次的二次分式函數(shù)值域常轉(zhuǎn)化為“√”函數(shù)或用“均值不等式”來做。先來學(xué)習(xí)“√”函數(shù)。

形如y =x+

圖像

k(x>0 ,k>0)的函數(shù)，叫“√”函數(shù) x

??

值域：?2k,??? 單調(diào)性：在x∈0,時，單調(diào)遞減。在x∈k,???時，單調(diào)遞減。解題步驟：①令分母為t,求出t的范圍

②把原函數(shù)化為關(guān)于t的函數(shù)

③利用“√”函數(shù)的單調(diào)性或均值不等式來求值域

2x2?x?11例2求y =（?x?3）的值域 22x?1

解令2x-1=t,得

t?1 2

t111∴y=???2? 2t22

t1當(dāng)且僅當(dāng)?時，即t=2時，取“=”。2t

1∴y?2? 20

∴值域?yàn)椋?2??

?1?,???2?

?7??1,3? ??(sinx)2?3cosx?4練習(xí)2求y=的值域cosx?2

三分子為一次因式的二次分式函數(shù)，即形如：y=ax?b(ac?0)cx2?dx?e

解題步驟：①令分子為t,求出t的范圍，把原函數(shù)化為關(guān)于t的函數(shù)

②分子分母同除以t，把分母化為關(guān)于t的“√”函數(shù)

③根據(jù)復(fù)和函數(shù)的單調(diào)性得出原函數(shù)值域

例3y =x?1x???1,??? 2x?3x?3

解令x+1=t,得

t??0,???且x=t-1

∴y=t=t2?t?1111?t?t

1?3(t=1時取“=”)t

1∴y?且y>0 3∵1+t+

∴值域?yàn)?0,? 3

練習(xí)3:求y =?1???x的值域 ？x2?1?1??0,2? ??

四分子分母均為二 次的二 次分式函數(shù)可化為“三“求之。

2x?12x2?6x?12(x2?2x?2)?2x?1例如：y=2==2+ x2?2x?2x?2x?2x2?2x?2

注：實(shí)際上所有的二次分式函數(shù)的值域都可以用求導(dǎo)的方法解決，但有些題目用求導(dǎo)的方法求值域時比較繁瑣，配和以上方法，會得到事半功倍的效果。

張掖實(shí)驗(yàn)中學(xué)734000（0936）3333296750207wxh@163.com

第四篇：分式型函數(shù)求值域的方法探討

分式型函數(shù)求值域的方法探討

在教學(xué)中，筆者常常遇到一類函數(shù)求值域問題，此類函數(shù)是以分式函數(shù)形式出現(xiàn)，有一次式比一次式，二次式比一次式，一次式比二次式，二次式比二次，現(xiàn)在對這類問題進(jìn)行探討。ax?b(a?o,b?0)（一次式比一次式）在定義域內(nèi)求值域。cx?d

2x?12例1：求f(x)?（x??)的值域。3x?2

3241112(x?)?12223?3解：f(x)?=????0,??? 23x?233x?23x?233x?233(x?)3

一、形如f(x)?

2??其值域?yàn)?y/y?? 3?

一般性結(jié)論，f(x)?ax?bd(a?o,b?0)如果定義域?yàn)?x/x??cx?dc?,則值域

a??y/y?? c?

例2：求f(x)?2x?1，x??1,2?的值域。3x?

2分析：由于此類函數(shù)圖像可以經(jīng)過反比列函數(shù)圖像平移得出，所以解決在給定區(qū)間內(nèi)的值域問題，我們可以畫出函數(shù)圖像，求出其值域。

12x?1222解：f(x)?=?，是由y??向左平移，向上平移得出，通過圖3x?233x?233x

像觀察，其值域?yàn)?,? ?35?

?58?

小結(jié)：函數(shù)關(guān)系式是一次式比一次式的時候，我們發(fā)現(xiàn)在此類函數(shù)的實(shí)質(zhì)是反比例函數(shù)通過平時得出的，因此我們可以作出其圖像，去求函數(shù)的值域。a（a?0)的值域。x

分析：此類函數(shù)中，當(dāng)a?0，函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，較簡單，在此我們不做討論，當(dāng)a?0時，a'對函數(shù)求導(dǎo)，f(x)?1?2,f'(x)?0時，x?(??,a)?a,??），f'(x)?0時，x

二、形如求f(x)?x?

x?(?a,0)?(0,a)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，我們可以做出此類函數(shù)的大致圖像，其我們常

其圖像

4,(x?(1,4)上的值域。x

2解：將函數(shù)整理成f(x)?2(x?)，根據(jù)雙鉤函數(shù)的性質(zhì)，我們可以判斷此函數(shù)在(0,2)x例3：求f(x)?2x?

單調(diào)遞減，在(2,??)上遞增，其在2處取最小值，比較1，4出的函數(shù)值，我們可以知道在1處取的最大值，所以其值域?yàn)?2,6 ??

mx?nax2?bx?c

三、用雙鉤函數(shù)解決形如f(x)?（m?0,a?0），f(x)?ax2?bx?cmx?n

（m?0,a?0）在定義內(nèi)求值域的問題。

t2?4t?1例3：（2010重慶文數(shù)）已知t?0，則則函數(shù)y?的最小值為_______.t

t2?4t?11?t??4，?t?o?由基本不等式地y??2 解：y?tt

例4:求f(x)?x?1(x?1)的值域。2x?x?

2解：令x?1?t,則x?t?1,則f(x)?t1t?=，(t?1)2?(t?1)?2t2?3t?4t?4?3t7其中t?0.則由基本不等式得f(x)?

4x2?2x?21(x??)的值域。例5:求f(x)?2x?12

t?1?t?1?4?)?22??2(t?12t?t?222??解：令t?2x?1,則x?，f(x)?==t??1 2ttt，其中t?0，由基本式得f(x)?22?

1小結(jié)：對于此類問題，我們一般換元整理后，將函數(shù)變成f(x)?x?2a(a?0)這類型的函x

數(shù)，解決此類函數(shù)注意應(yīng)用基本不等式，當(dāng)基本不等式不行的時候，注意應(yīng)用雙勾函數(shù)的思想去解決此類問題 ax2?bx?c(a?0,m?0)在定義域內(nèi)求值域。

三、形如f(x)?2mx?bx?c

2x2?x?1例5：求y?2的值域。x?x?1

分析：當(dāng)定義域?yàn)镽時，我們采用判別式法求此類函數(shù)的值域。當(dāng)定義域不為R時，不應(yīng)采用此法，否則有可能出錯。此時，我們要根據(jù)函數(shù)關(guān)系的特征，采用其他方法。

解：x?x?1?0恒恒成立，所以此函數(shù)的定義域?yàn)閤?R，將函數(shù)整理成關(guān)于x的方程，2

yx2?yx?y?2x2?x?1，(y?2)x2?(y?1)x?(y?1)?0,當(dāng)y?2?0,關(guān)于x的方程

2恒有解，則??(y?1)?4(y?2)(y?1)?0,即1?y?7，顯然，y?2也成立，所以其3

值域?yàn)?y/1?y?7

3?

以上是求此類函數(shù)的常見方法，但同學(xué)們在解題過程中。不要拘泥以上方法，我們要根據(jù)具體函數(shù)的特征采用相對應(yīng)的方法，多思考，舉一反三，那以后解決此類問題就很容易了。3

第五篇：化為同分母循環(huán)和 證明一類分式不等式

本文發(fā)表于《中學(xué)數(shù)學(xué)研究》（南昌）2004年第12期

化為同分母循環(huán)和

證明一類分式不等式

215006蘇州市第一中學(xué)劉祖希

分式不等式的證明難，其難點(diǎn)首先體現(xiàn)在如何去掉分母.本文將通過一些例子獲得一個證明分式不等式的有效方法，并希望能成為一個通法：這就是將分式不等式的各部分巧妙地化為同分母循環(huán)和(即

A?1)獲證.下面詳細(xì)予以說明.?A?B?C

例1設(shè)a,b,c是正實(shí)數(shù)，且abc?1，求證：

(1996年IMO37預(yù)選題)

證明：∵abc?1,a?b?ab?a?b?（作差法易證）, 5522abbcca???1.a5?b5?abb5?c5?bcc5?a5?ca

aba2b2c?5∴5（齊次化）5522a?b?aba?b?abc

a2b2cc, ?22?22aba?b?abca?b?c

同理，bca?，55b?c?bca?b?c

cab?，c5?a5?aa?b?c

1111???.333333a?b?abcb?c?abcc?a?abcabc三式相加即得原不等式，當(dāng)且僅當(dāng)a?b?c?1等號成立（考慮篇幅，等號成立條件以下略）.例2求證：對所有正實(shí)數(shù)a,b,c，有

（1997年美國數(shù)學(xué)奧林匹克試題）

證明：先證齊次不等式

33abcabcabc???1.a3?b3?abcb3?c3?abcc3?a3?abc∵a?b?ab?a?b?（作差法易證），∴abcabcc??，a3?b3?abcaba?b?abca?b?c

abca?，b3?c3?abca?b?c

abcb?，c3?a3?abca?b?c

abcabcabc???1，三式相加得，333333a?b?abcb?c?abcc?a?abc同理，即1111???.a3?b3?abcb3?c3?abcc3?a3?abcabc

abbcca??.??????a?b?abb?c?bcc?a?ca對例

2、例3的推廣形式： 推廣：設(shè)a,b,c是正實(shí)數(shù)，且abc?1，記f????

1，則f????1；

21②若???1或??，則f????1；2

1③若?1???，則f????1.2①若???1或??

（《中學(xué)數(shù)學(xué)月刊》2002.12P40）

例3設(shè)?ABC中，求證：abc???2.b?cc?aa?b

aa2a2?a22a??2??1； 證明：∵b?cab?aca?ab?aca?b?c

a2a?，b?ca?b?c

b2b?同理，c?aa?b?c

c2c?，a?ba?b?c

abc???2.三式相加，得b?cc?aa?b

abc??例4在?ABC中，記f????，試證： ?a?b?c?b?c?a?c?a?b

2①當(dāng)?1???1時，有f????； ??

12②當(dāng)??1時，有f????.??1∴

(《中等數(shù)學(xué)》2002.4數(shù)學(xué)奧林匹克問題高115)

證明： 只要??1，總有

???1????b?c??a???0

????1??????1??b?c?????1?a???0 2

????1??????1??b?c?????1?a?2b?2c????????1?a????1?a?2b?2c???0

????1??????1??a?b?c????a?2b?2c????0 ??

??11?2a???1????2?a?2b?2c??1a?b?c???0

??

??1?2a????0 ?a?b?c??1a?b?c即???1?a???1?a

?a?b?c?2???1?a?，??1a?b?c

∴ ???1?f???????1?a

?a?b?c????1?b

?b?c?a????1?c

?c?a?b

?2???1?2???1?2???1?abc????? ??1a?b?c??1a?b?c??1a?b?c

?2???1?, ??1

2???1?, ??1

22；②當(dāng)??1時，有f????.??1??1即???1?f????故①當(dāng)?1???1時，有f????

注：例4中取??0，即為例3.例5設(shè)0?a,b,c?1.證明：abc???2.bc?1ca?1ab?1

證明：∵2a?bc?1??a?a?b?c?

?a?bc?1?a??a?bc?b?c?1?

?a?bc?1?a??a?b?1??c?1??0 a2a?，bc?1a?b?c

b2b?同理，ca?1a?b?c

c2c?，ab?1a?b?c

abc???2.三式相加，得bc?1ca?1ab?1∴

a2

例6在?ABC中ma,mb,mc分別表示邊a,b,c上的中線長，證明:?2?2.2mb?mc

（《中等數(shù)學(xué)》2003.4P18）

證明：由三角形中線長定理，mb?212c2?2a2?b2?，?

44a2a24a2?m2?m2??4a2?b2?c2??2a2?a2?b2?a2?c2

bc

4a2

??22a?2ab?2ac

??2a?2, a?b?c

a2

即?2?2.2mb?mc

至此，我們是否可以獲得這樣的啟示：以上這些分式不等式都具有對稱性，而且不等式的另一端多為常數(shù)，這就為我們統(tǒng)一處理、集中去分母提供了便利，同分母循環(huán)和的方法應(yīng)運(yùn)而生.例7設(shè)a,b,c是正實(shí)數(shù)，n是正整數(shù)，求證： anan?1an?1an

??n?1n?1；②?n??n?1n?1.①?nnnb?cb?cb?cb?c

(《中等數(shù)學(xué)》2001.3P23)

nn證明：①

∵b?c?bn?1?cn?1?（作差法易證），annan?1??∴

?

n??

n?1n?1? nb?cb?c?1an?1

??n?1n?1（車貝雪夫不等式）

3b?c?an?1?n?1n?1（三元均值不等式）b?can?1

??n?1n?1； b?c

②類似①可得，?an?1n?1an

???

bn?cn?

bn?1?cn?1?

?1an

??

n?1n?1 3b?c?an?n?1n?1 b?can

??n?1n?1.b?c