第一篇：高考數(shù)學(xué)解析幾何最值問題常用技巧-分式函數(shù)值域問題分類導(dǎo)析

分式函數(shù)值域問題分類導(dǎo)析

求分式函數(shù)值域是函數(shù)值域問題中的一個(gè)重要內(nèi)容，它不僅是一個(gè)難點(diǎn)、重點(diǎn)，而且是解決解析幾何有關(guān)最值問題的一個(gè)重要工具．本文就中學(xué)階段出現(xiàn)的各種類型的分式函數(shù)值域問題進(jìn)行分類研究，運(yùn)用初等方法給出解決方法． p(x)首先我們給出分式函數(shù)的定義：形如f(x)?的函數(shù)叫做分式函q(x)

數(shù)，其中p(x)、q(x)是既約整式且q(x)的次數(shù)不低于一次．下面就p(x)、q(x)的次數(shù)不超過二次的分式函數(shù)進(jìn)行分類討論．

1.一次分式函數(shù)

p(x)、q(x)的次數(shù)不高于一次的分式函數(shù)叫做一次分式函數(shù)，即形如ax?bf(x)?,x?A,c?0的函數(shù)． cx?d

一次分式函數(shù)值域的通常求法是逆求法，即改寫成x?f?1(y)，由于x?A，則f?1(y)?A，解出y的取值范圍，即函數(shù)f(x)的值域．

2x?3例1． 求函數(shù)y?，x?[3,8]的值域． x?

22y?32y?3?8，解得解：改寫成x?，因?yàn)閤?[3,8]，所以3?y?2y?2

1919?y?9，即原函數(shù)的值域是[,9]． 66

２．二次分式函數(shù)

p(x)、q(x)至少有一個(gè)的次數(shù)是二次的分式函數(shù)叫做二次分式函數(shù)，ax2?bx?c,x?A,a、d不全為零的函數(shù)． 即形如f(x)?2dx?ex?f

若A=，則可采用根的判別式法求值域． ｛x|dx2?ex?f?0｝

x2?4x?

5例２．求函數(shù)y?2的值域．

x?4x?

4解：化為關(guān)于x的方程(y?1)x2?4(y?1)x?4y?5?0．若ｙ＝１，則方程無解，即y?1．因?yàn)閤?R，所以??0，解得y?1，即原函數(shù)的值域是（1,??）．

若A?，則再分類討論． ｛x|dx2?ex?f?0｝2.1．形如f(x)?

c，x?A,d?0且c?0的函數(shù)．

2dx?ex?f

先利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出分母的值域，再利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)f(x)的值域．

例３．求函數(shù)f(x)?,x?[?3,5]的值域． 2

x?2x?

3解：令g(x)?x2?2x?3?(x?1)2?4,x?[?3,5]，1

1則g(x)?[?4,12]，所以函數(shù)f(x)的值域是(??,?]?[,??)．

412

bx?c

2.2．形如f(x)?2，x?A,d?0且b?0(*)

dx?ex?f

ax2?bx?c

或f(x)?，x?A,a?0且e?0的分式函數(shù)．

ex?f

下面就形式(*)討論解法．

b

2.2.1．若ｃ＝０，則分子分母同除以ｘ，得f(x)＝．只要討論

fdx??e

x

f

函數(shù)g(x)?dx?,x?A且x?0的值域．

x

不妨設(shè)d?0．若f?0，則函數(shù)g(x)在(??,0)和(0,??)上分別是增函數(shù)；若f?0，則函數(shù)g(x)在(0,ff]和[?,0)上分別是減函數(shù)，在dd

ff

]上分別是增函數(shù)．這樣利用函數(shù)g(x)的單調(diào)性，先[,??)和(??,?dd

求出g(x)的值域，從而求出函數(shù)f(x)的值域．

x,x?[1,??)的值域． 2

x?2x?414,x?1．令g(x)?x?,x?1，則g(x)?4，所以解：f(x)?

4xx??2x1

函數(shù)f(x)的值域是(0,]．

6例４．求函數(shù)f(x)?

2.2.2．若c?0，則換元，令t?bx?c，轉(zhuǎn)化為２.２.1．形式的分式函數(shù)．

x?1

例５．求函數(shù)f(x)?2,x?(?1,3)的值域．

x?2x?3

t1

?,t?(0,4)． 解：令t?x?1，則y?2

4t?4

t?t

因?yàn)閠??(??,3)，所以函數(shù)f(x)的值域是(??,0)?(,??)．

t3

ax2?bx?c,x?A,a?0且d?0的分式函數(shù)． 2.3．形如f(x)?2

dx?ex?f

2.3.1．若b?c?0或e?f?0，則分子分母同除以x，轉(zhuǎn)化為求關(guān)于的x

二次函數(shù)的值域，從而求出函數(shù)f(x)的值域．

x21

例６．求函數(shù)f(x)?2,x?[,1]的值域．

x?4x?13111

?,?[1,3]．因?yàn)楹瘮?shù) 解：f(x)?

141x2

??1(?2)?3x2xx

112

g(x)?(?2)?3,?[1,3]的值域是[?3,?2]，所以函數(shù)f(x)的值域是

xx

[?,?]． 23

2.3.2．若分子分母有一個(gè)是完全平方式，不妨設(shè)

a(x?m)2

f(x)?2,x?A,a?0且d?0，則可令t?x?m，轉(zhuǎn)化為2.3.1

dx?ex?f

形式的分式函數(shù)．

x2?4x?4

例７．求函數(shù)f(x)?2,x?[?1,0]的值域．

x?4x?5

t2111

解：令t?x?2，則y?2?,?[,1]．因?yàn)?/p>

1t?1t21?2

t

15141?2?[,2]，所以函數(shù)f(x)的值域是[,]． t425

2.3.3．若都不是前兩種形式的分式函數(shù)，則改寫成部分分式，即

aeaf

(b?)x?c?a，轉(zhuǎn)化為2.2形式的分式函數(shù)． f(x)??ddx2?ex?f

x2?4x?5例８．求函數(shù)f(x)?2,x?[0,2]的值域．

x?4x?322

?1?,x?[0,2]，解：f(x)?1?2所以函數(shù)f(x)的2

x?4x?3(x?2)?1

值域是[

175,]． 153

3．分式函數(shù)值域在解析幾何中的運(yùn)用

解析幾何的最值問題常常需要求分式函數(shù)的值域，掌握了前面的思想方

例９．已知直線l1：y?4x與點(diǎn)P(6,4)l1上求一點(diǎn)Q，使直線PQ與直線l1，以及xl1在第一象限內(nèi)圍成的三角形面積最?。?/p>

解：設(shè)Q(x0,4x0)，直線PQ的方程

y?4x?6

?是，直線PQ交x軸于點(diǎn)

4x0?4x0?6

5x0

A(,0)．根據(jù)題意

x0?1

10，111?(?)2?x024

x0?1，所以S?OAQ

10x02115x0

?|OA|?yQ???4x0??22x0?1x0?1

x0?1，當(dāng)x0?2時(shí)，S?OAQ的最小值為40，?Q(2,8)．

此題的解法是將?OAQ的面積S表示為Q的橫坐標(biāo)x0的分式函數(shù)，運(yùn)用求分式函數(shù)值域的方法，從而求出面積的最小值．

例10．設(shè)F1、F2是橢圓3x2?2y2?6的兩個(gè)焦點(diǎn)，AB是過焦點(diǎn)F1的一條動(dòng)弦，試求△ABF2面積的最大值，并確定取得最大值時(shí)，AB弦的位置．

解：設(shè)AB弦所在的直線方程是

y?kx?1，A(x1,y1)，B(x2,y2)，則

S?ABF

?|F1F2|?|x1?x2|?|x1?x2|． 2

?y?kx?1

由方程組?2，消去y，2

?3x?2y?6

得(2k?3)x?4kx?4?0，則x1?x2?21222

k?32k?3

?4k2?448(k2?1)22

?S?ABF?(x1?x2)?4x1x2?(2)?4?2?，22

2k?32k?3(2k?3)

令t?2k2?3,t?[3,??)，S?ABF

24(t?1)112111

??24[?(?)?],0??，2

tt24t3

S?ABF當(dāng)t=3時(shí)，43

有最大值，此時(shí)k=0，即AB弦過焦點(diǎn)F1且平行于x軸．

此題的解法是將△ABF2面積的平方表示為k2的二次分式函數(shù)，從而求出最大值．

第二篇：二次函數(shù)最值問題

《二次函數(shù)最值問題》的教學(xué)反思

大河鎮(zhèn) 件，設(shè)所獲利潤(rùn)為y元，則y＝（x-2.5）［500+200(13.5-x)］，這樣，一個(gè)二元二次方程就列出，這也為后面學(xué)習(xí)二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系奠定了基礎(chǔ)，針對(duì)上述分析，把所列方程整理后，并得到y(tǒng)＝－200x2＋3700x-8000，這里再利用二次函數(shù)y＝ax2+bx+c(a≠0)的解析式中a、b、c的大小來確定問題的最值。把問題轉(zhuǎn)化怎樣求這個(gè)函數(shù)的最值問題。

b4ac?bb4ac?b根據(jù)a>0時(shí)，當(dāng)x=－，y最?。?；a<0時(shí)，當(dāng)x＝－,y最大＝

2a4a2a4a的公式求出最大利潤(rùn)。

例2是面積的最值問題（下節(jié)課講解）

教學(xué)反饋：講得絲絲入扣，大部分學(xué)生能聽懂，但課后的練習(xí)卻“不會(huì)做”。反思一：本節(jié)課在講解的過程中，不敢花過多的時(shí)間讓學(xué)生爭(zhēng)辯交流，生怕時(shí)間不夠，完成了不教學(xué)內(nèi)容，只能按照自己首先設(shè)計(jì)好的意圖引領(lǐng)學(xué)生去完成就行了。實(shí)際上，這節(jié)課以犧牲學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性為代價(jià)，讓學(xué)生被動(dòng)地接受，去聽講，體現(xiàn)不了學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人這一關(guān)鍵環(huán)節(jié)。

反思二：數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)不僅是讓學(xué)生學(xué)到一些知識(shí)，更重要的是讓學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用知識(shí)去解決現(xiàn)實(shí)問題，讓學(xué)生“從問題的背景出發(fā)，建立數(shù)學(xué)模型”的基本流程，如例題中，可讓學(xué)生從“列方程→轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)解析式→

b4ac?b當(dāng)x＝－時(shí)，y最大（?。健鉀Q問題”，讓學(xué)生在實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)數(shù)2a4a學(xué)，掌握數(shù)學(xué)。

反思三：教學(xué)應(yīng)當(dāng)促進(jìn)學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主人，離開了學(xué)生積極主動(dòng)學(xué)習(xí)，老師講得再好，學(xué)生也難以接受，或者是聽懂了，但不會(huì)做題的現(xiàn)象。傳統(tǒng)的教學(xué)“五環(huán)節(jié)”模式已成為過去，新的課程標(biāo)準(zhǔn)需要我們用新的理念對(duì)傳統(tǒng)的教學(xué)模式、教學(xué)方法等進(jìn)行改革，讓學(xué)生成為課堂的主角。

第三篇：2015二次函數(shù)與最值問題

2015年中招專題---二次函數(shù)與最值問題

1．（2014?四川綿陽）如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過點(diǎn)M（﹣2，且與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PBC為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）在直線AC上是否存在一點(diǎn)Q，使△QBM的周長(zhǎng)最??？若存在，求出Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

2．（2014?四川內(nèi)江）如圖，拋物線y=ax+bx+c經(jīng)過A（﹣3.0）、C（0，4），點(diǎn)B在拋物線上，CB∥x軸，且AB平分∠CAO．（1）求拋物線的解析式；

（2）線段AB上有一動(dòng)點(diǎn)P，過點(diǎn)P作y軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)Q，求線段PQ的最大值；

（3）拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M，使△ABM是以AB為直角邊的直角三角形？如果存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；如果不存在，說明理由．

3.（2014?攀枝花）如圖，拋物線y=ax2﹣8ax+12a（a＞0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y

2），頂點(diǎn)坐標(biāo)為N（﹣1，），軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣6，0），且∠ACD=90°．（1）請(qǐng)直接寫出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求拋物線的解析式；

（3）拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使得△PAC的周長(zhǎng)最??？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及周長(zhǎng)的最小值；若不存在，說明理由；

（4）平行于y軸的直線m從點(diǎn)D出發(fā)沿x軸向右平行移動(dòng)，到點(diǎn)A停止．設(shè)直線m與折線DCA的交點(diǎn)為G，與x軸的交點(diǎn)為H（t，0）．記△ACD在直線m左側(cè)部分的面積為s，求s關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式及自變量t的取值范圍．

4.(2014?襄陽）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OCDE的三個(gè)頂點(diǎn)分別是C（3，0），D（3，4），E（0，4）．點(diǎn)A在DE上，以A為頂點(diǎn)的拋物線過點(diǎn)C，且對(duì)稱軸x=1交x軸于點(diǎn)B．連接EC，AC．點(diǎn)P，Q為動(dòng)點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）填空：點(diǎn)A坐標(biāo)為

；拋物線的解析式為

．

（2）在圖1中，若點(diǎn)P在線段OC上從點(diǎn)O向點(diǎn)C以1個(gè)單位/秒的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CE上從點(diǎn)C向點(diǎn)E以2個(gè)單位/秒的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)．當(dāng)t為何值時(shí)，△PCQ為直角三角形？

（3）在圖2中，若點(diǎn)P在對(duì)稱軸上從點(diǎn)A開始向點(diǎn)B以1個(gè)單位/秒的速度運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P做PF⊥AB，交AC于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FG⊥AD于點(diǎn)G，交拋物線于點(diǎn)Q，連接AQ，CQ．當(dāng)t為何值時(shí)，△ACQ的面積最大？最大值是多少？

5.（2014?德州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)是（4，0），并且OA=OC=4OB，動(dòng)點(diǎn)P在過A，B，C三點(diǎn)的拋物線上．（1）求拋物線的解析式；

（2）是否存在點(diǎn)P，使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；

（3）過動(dòng)點(diǎn)P作PE垂直于y軸于點(diǎn)E，交直線AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作y軸的垂線．垂足為F，連接EF，當(dāng)線段EF的長(zhǎng)度最短時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

6．（2014?甘肅蘭州）如圖，拋物線y=﹣x+mx+n與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）點(diǎn)E時(shí)線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作x軸的垂線與拋物線相交于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形CDBF的面積最大？求出四邊形CDBF的最大面積及此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)．

7．（2014?重慶）如圖，拋物線y=﹣x2﹣2x+3 的圖象與x軸于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D拋物線的頂點(diǎn)．

（1）求A、B、C的坐標(biāo)；

交為2（2）點(diǎn)M為線段AB上一點(diǎn)（點(diǎn)M不與點(diǎn)A、B重合），過點(diǎn)M作x軸的垂線，與直線AC交于點(diǎn)E，與拋物線交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PQ∥AB交拋物線于點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q作QN⊥x軸于點(diǎn)N．若點(diǎn)P在點(diǎn)Q左邊，當(dāng)矩形PQMN的周長(zhǎng)最大時(shí)，求△AEM的面積；

（3）在（2）的條件下，當(dāng)矩形PMNQ的周長(zhǎng)最大時(shí)，連接DQ．過拋物線上一點(diǎn)F作y軸的平行線，與直線AC交于點(diǎn)G（點(diǎn)G在點(diǎn)F的上方）．若FG=

2DQ，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．

8.(四川瀘州）如圖，已知一次函數(shù)y1=x+b的圖象l與二次函數(shù)y2=﹣x+mx+b的圖象C′都經(jīng)過點(diǎn)B（0，1）和點(diǎn)C，且圖象C′過點(diǎn)A（2﹣（1）求二次函數(shù)的最大值；

（2）設(shè)使y2＞y1成立的x取值的所有整數(shù)和為s，若s是關(guān)于x的方程a的值；

（3）若點(diǎn)F、G在圖象C′上，長(zhǎng)度為的線段DE在線段BC上移動(dòng)，EF與DG始終平行于y軸，當(dāng)四

=0的根，求2，0）．

邊形DEFG的面積最大時(shí)，在x軸上求點(diǎn)P，使PD+PE最小，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

第四篇：二次函數(shù)的最值問題修改版

利用數(shù)形結(jié)合法解決二次函數(shù)在閉區(qū)間

上的最值問題

數(shù)學(xué)組：王勇

一、教學(xué)目標(biāo)：

1． 理解二次函數(shù)的最值概念，掌握二次函數(shù)的最值求法； 2． 培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力和將數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化的能力。

二、教學(xué)重點(diǎn)：二次函數(shù)最值求法

教學(xué)難點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

三、教學(xué)過程：

二次函數(shù)是函數(shù)中重要的函數(shù)，二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題一直是函數(shù)中的一個(gè)難點(diǎn)。今天我們用數(shù)形結(jié)合的方法來突破這個(gè)問題。請(qǐng)看下面例題

問題1 求函數(shù)f(x)?x2?2x?3，x??2,4?的最大值與最小值

練習(xí)：將題中條件x??2,4?改為（1）x???3,0?，（2）x???3,4?

小結(jié)：求二次函數(shù)在固定區(qū)間上的最大值與最小值：考慮對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系。

如果我們將x???3,4?改為x??a,4?，怎樣求最值呢？

問題2 求函數(shù)f(x)?x2?2x?3，x??a,4?的最值

小結(jié)：注意分類討論

以上問題是函數(shù)的圖像不變，要研究的區(qū)間含字母，如果我們將區(qū)間固定，函數(shù)的解析式中含字母，又怎樣求最值呢？

問題3 求函數(shù)f(x)?x?2ax?3，x??1,3?的最大值與最小值

小結(jié)：對(duì)稱軸的討論是關(guān)鍵

練習(xí)4 已知f?x??x-2ax?3在區(qū)間??1,2?上最大值為4，求a的值 2

f(x)?a(x?h)2?k(a?0)x?[m,n]小結(jié)：二次函數(shù)在閉區(qū)間[m,n]上的最值

（三）作業(yè)：

1． 求函數(shù)f?x??x2?2x?3在區(qū)間?t,t?1?上的最值 2． 求函數(shù)f?x??x2?ax?3在區(qū)間??1,1?上的最小值

第五篇：二次函數(shù)最值問題參考答案

精英輔導(dǎo)學(xué)校 賈天宇 2013.7.17.二次函數(shù)最值問題

二、例題分析歸類：

（一）、正向型

是指已知二次函數(shù)和定義域區(qū)間，求其最值。對(duì)稱軸與定義域區(qū)間的相互位置關(guān)系的討論往往成為解決這類問題的關(guān)鍵。此類問題包括以下四種情形：（1）軸定，區(qū)間定；（2）軸定，區(qū)間變；（3）軸變，區(qū)間定；（4）軸變，區(qū)間變。1.軸定區(qū)間定

例1.函數(shù)y??x?4x?2在區(qū)間[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。

解：函數(shù)y??x?4x?2??(x?2)?2函數(shù)的最大值為f(2)?2，最小值f(0)??2。練習(xí).已知2x2?3x，求函數(shù)f(x)?x?x?1的最值。

解：由已知2x?3x，可得0?x?222223，函數(shù)f(x)的最小值為f(0)?1，最大值為2?3?19。f????2?

42、軸定區(qū)間變

2例2.如果函數(shù)f(x)?(x?1)?1定義在區(qū)間t，t?1上，求f(x)的最小值。

??解：函數(shù)f(x)?(x?1)?1 21?t，當(dāng)x?t時(shí)，函數(shù)取得最小值f(x)min?f(t)?(t?1)2?1。

t?1?t?1，即0?t?1。當(dāng)x?1時(shí)，函數(shù)取得最小值f(x)min?f(1)?1。t?1?1，即t?0。當(dāng)x?t?1時(shí)，函數(shù)取得最小值f(x)min?f(t?1)?t2?1

綜上討論，f(x)min?(t?1)2?1,t?1? ??1,0?t?1?2?t?1t?02f(x)?x?2x?3，當(dāng)x?[t，t?1](t?R)時(shí)，求f(x)的最大值． 例3.已知解：由已知可求對(duì)稱軸為x?1．

?f(x)min?f(t)?tt??21t?3，f(x)max?f(t?1)?t2?2（1）當(dāng)時(shí)，．（2）當(dāng)t≤1≤t?1，即0≤t≤1時(shí)，．

t?t?11?即22t?t?111??t≤12f(x)?f(t?1)?t?2max22即2若時(shí)，． 根據(jù)對(duì)稱性，若

0≤t≤122時(shí)，f(x)max?f(t)?t?2t?3．

f(x)max?f(t)?t2?2t?3t?1?1t?0（3）當(dāng)即時(shí)，．

第1頁（共4頁）精英輔導(dǎo)學(xué)校 賈天宇 2013.7.17.綜上，f(x)max1?2t?2,t???2 ???t2?2t?3,t?1?2?

23、軸變區(qū)間定

例4.已知x2?1，且a?2?0，求函數(shù)f(x)?x?ax?3的最值。

解：由已知有?1?x?1，a?2，于是函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間?1，1上的二次函數(shù)，將

??a?a? f(x)配方得：f(x)??x???3??2?422?aa2?a二次函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸方程是x??頂點(diǎn)坐標(biāo)為??，3??，圖象開口向上

4??22a??1，顯然其頂點(diǎn)橫坐標(biāo)在區(qū)間?1，1的左側(cè)或左端點(diǎn)上。2函數(shù)的最小值是f(?1)?4?a，最大值是f(1)?4?a。由a?2可得x????

圖3 例.(1)求f(x)?x?2ax?1在區(qū)間[-1,2]上的最大值。

(2)求函數(shù)y??x(x?a)在x?[?1,1]上的最大值。解：(1)二次函數(shù)的對(duì)稱軸方程為x??a，211即a??時(shí)，f(x)max?f(2)?4a?5； 2211 當(dāng)?a?即a??時(shí)，f(x)max?f(?1)?2a?2。

22當(dāng)?a?綜上所述：f(x)max1??2a?2,a????2??。?4a?5,a??1??2a2a2aaaa(2)函數(shù)y??(x?)?圖象的對(duì)稱軸方程為x?，應(yīng)分?1??1，??1，?1即242222第2頁（共4頁）精英輔導(dǎo)學(xué)校 賈天宇 2013.7.17.?2?a?2，a??2和a?2這三種情形討論，下列三圖分別為

（1）a??2；由圖可知f(x)max?f(?1)（2）?2?a?2；由圖可知f(x)max?f()（3）a?2時(shí)；由圖可知f(x)max?f(1)

a2

?y最大??(a?1),a??2?f(?1),a??2?2?a??a??f(),?2?a?2；即y最大??,?2?a?2 ?2?4???f(1),a?2?a?1,a?

2（二）、逆向型

是指已知二次函數(shù)在某區(qū)間上的最值，求函數(shù)或區(qū)間中參數(shù)的取值。

例5.已知函數(shù)f(x)?ax?2ax?1在區(qū)間[?3,2]上的最大值為4，求實(shí)數(shù)a的值。

解：f(x)?a(x?1)?1?a,x?[?3,2]（1）若a?0,f(x)?1,，不符合題意。（2）若a?0,則f(x)max?f(2)?8a?1 22由8a?1?4，得a?3 8（3）若a?0時(shí)，則f(x)max?f(?1)?1?a 由1?a?4，得a??3

第3頁（共4頁）精英輔導(dǎo)學(xué)校 賈天宇 2013.7.17.綜上知a?3或a??3 8x2例6.已知函數(shù)f(x)???x在區(qū)間[m,n]上的最小值是3m最大值是3n，求m，n的值。

2解法1：討論對(duì)稱軸中1與m,m?n,n的位置關(guān)系。2①若，則??f(x)max?f(n)?3n

?f(x)min?f(m)?3m 解得②若?f(x)max?f(1)?3nm?n，無解 ?1?n，則?2?f(x)min?f(m)?3m?f(x)max?f(1)?3nm?n③若m?1?，則?，無解

f(x)?f(n)?3m2?min④若，則??f(x)max?f(m)?3n，無解

?f(x)min?f(n)?3m綜上，m??4,n?0 解析2：由f(x)??1111(x?1)2?，知3n?,n?,，則[m,n]?(??,1]，2226?f(x)max?f(n)?3n

f(x)?f(m)?3m?min又∵在[m,n]上當(dāng)x增大時(shí)f(x)也增大所以?解得m??4,n?0

評(píng)注：解法2利用閉區(qū)間上的最值不超過整個(gè)定義域上的最值，縮小了m，n的取值范圍，避開了繁難的分類討論，解題過程簡(jiǎn)潔、明了。

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