第一篇：一個(gè)分式型雙向不等式定理的應(yīng)用

一個(gè)分式型雙向不等式定理的應(yīng)用

陽凌云,張彩霞

(湖南工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)系，湖南 株洲 412007)

摘要: 本文應(yīng)用一個(gè)分式型雙向不等式定理,對國際數(shù)學(xué)競賽和不同書刊中提及的有關(guān)不等式的證明、求解最值問題進(jìn)行探討,并對其部分問題進(jìn)行了適當(dāng)推廣.關(guān)鍵詞: 分式型不等式；應(yīng)用；推廣引言

《數(shù)學(xué)素質(zhì)教育導(dǎo)論》一書中提出如下一般形式的分式型雙向不等式定理(文[2]已給予了證明)：

對任意ai,bi＞0,i=1,2,?,n, 則

當(dāng)0≤?≤?+1≤1時(shí),有 [1]

?n???ai??nai?(1)????1?i?1≤n???ni?1bi????bi??i?1?

當(dāng)??1≤?≤0或1≤??1≤?或?≤0、?≥0時(shí)，有 ?

??a???i?nai?(2)????1?i?1≥n???i?1bi?n???bi??i?1?

當(dāng)?=?=0或?=0、?=?1或?=

1、?=0時(shí)，(1)、(2)式均取“=”;n?

?≠0,且?=??1時(shí),當(dāng)且僅當(dāng)ai?kbi(k＞0),(1)、(2)式均取“=”;當(dāng)?≠0、?≠0,且?≠??1時(shí),當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2???an,b1=b2???bn, 當(dāng)?≠0、(1)、(2)式均取“=”.本文旨在利用(1)、(2)式潛在的應(yīng)用功能,探討和解決國際數(shù)學(xué)競賽和不同書刊中提到的有關(guān)不等式的證明及求解多元函數(shù)最值問題,使此類問題的研究更簡捷、深刻.2(1)、(2)式的應(yīng)用

作者簡介：陽凌云(1947-)，男，湖南湘潭人，湖南工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)系教授，主要從事函數(shù)論及數(shù)學(xué)教育理論研究；張彩霞(1982-)，女，湖南工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)本科專業(yè)2003級學(xué)生.為揭示(1)、(2)式的豐富內(nèi)涵,充分挖掘其潛在的應(yīng)用功能, 我們將對（1）、（2）式中的變元ai，bi作適當(dāng)?shù)拇鷵Q，同時(shí)對其指數(shù)?,?作適當(dāng)?shù)淖冃?，以提高解題技巧,拓寬命題范圍.2.1應(yīng)用(2)式探討有關(guān)問題 2.1.1幾個(gè)不等式求證問題的推廣

問題1(第二屆友誼杯國際數(shù)學(xué)競賽題)已知 a,b,c＞ 0，求證

a?b?ca2b2c

2??≥.2b?cc?aa?b

問題2(第28屆IMO預(yù)選題)設(shè)a,b,c是?ABC的三邊長, 2p?a?b?c,k?N?,求證

akbkck?2?

??≥??b?cc?aa?b?3?

k?2

pk?1.?

問題3(《數(shù)學(xué)通報(bào)》1993年第7期問題845)設(shè)x1,x2,?,xn?R,xi2

1≥.x1?x2???xn?1,求證 ?n?11?xi?1i

n

現(xiàn)將上述三個(gè)問題推廣統(tǒng)一成如下命題 命題1 設(shè)ai? R,i=1,2,?,n.n

?

?a

i?1

n

i

?s,k?R且k≥1或k≤0,則有

aiksk?1

?≥(3)k?2

s?an?1ni?1i

當(dāng)且僅當(dāng)a1?a2???an=

s

時(shí),(3)式取“=”.n

證明 根據(jù)(2)式，易知

?n???ai?n

s2?1?2?1?i?12

=，ai≥n?1?1???1ni?1?????

n

當(dāng)k≥1時(shí)，再應(yīng)用(2)式，則有

?n?

??ai?kk?1nn

aiai?i?1?1?(k?1)?1

=≥= n???n

s?aas?ai?1i?1iii

?ais?ai2

k?1

??

i?1

n

1?k

?

sk?1s2??ai2

i?1n

≥n

1?k

sk?1sk?1

=，?2k?2sn?1ns2?

n

k

當(dāng)k≤0時(shí), 應(yīng)用(2)式, 則有

?n???ai?kn

aisk?1n2?kski?1??1?k?1

?≥n． ??n?k?2

ns?sn?1ni?1s?ai

??s?a?i

i?1

根據(jù)(2)式等號成立的條件，易知： 當(dāng)且僅當(dāng)a1?a2???an=

s

時(shí),(3)式取“=”.n

令(3)式中a1?a,a2?b,a3?c,n?3,s?2p,即得問題1.令(3)式中a1?a,a2?b,a3?c,n?3,k?2,即得問題2.令(3)式中ai?xi,k?2,s?1,即得問題3.注: 此命題包含了文[3]中的推廣2；文[4]中的例6（例2的推廣）；文[5]中的命題1、2、3、4 ；文[6]中的定理1；文[7]中的結(jié)論及文[8]中的命題F.2.1.2 幾個(gè)求解最值問題中的應(yīng)用與推廣

問題4(1990年日本IMO代表隊(duì)第一輪選拔賽題)設(shè)x,y,z?R，且

?

149

x+y+z=1,求??的最小值.xyz

問題5(《數(shù)學(xué)通報(bào)》2004年第7期問題1504)已知x,y,z?R,且

?

x+y+z=1,求u?

118的最小值.??22

2xyz

?

問題6(《數(shù)學(xué)教學(xué)》2003年6月號問題)已知x,y,z?R,x+2y+3z=1,求

16811??的最小值.333x8y27z

現(xiàn)將上述三個(gè)問題推廣統(tǒng)一成如下命題 命題2 設(shè)xi,ai,?i，k?R,i=1,2,?,n.且

?

??

i?

1n

kii

x?p,?a

i?1

n

1k?1i

?q，則有

aiqk?1

≥k(4)?k

?xpi?1ii

n

當(dāng)且僅當(dāng)

a

?x

1k?1i1kii

=

aq，i=1,2,?,n.即xi?p

??q

1k?1i1ki

?p

時(shí)，(4)式取“=”.證明 由條件,應(yīng)用(2)式,則有

n

ai

???kk1

i?1?ixii?1??

??ikxi?????n

?k1??ai?1?????

k?1

?nk1?

??ai?1???

?k??k?1??1?i?1

≥n

k?1

?n1????ikxi??i?1???

k

qk?1

=k． p

根據(jù)(2)式等號成立的條件，易知：

當(dāng)且僅當(dāng)

a

?x

1k?1i1kii

=

q，i=1,2,?,n時(shí)，(4)式取“=”.p

上述三個(gè)問題,可 設(shè)(4)式中x1?x,x2?y,x3?z,n?3,p?1.再令(4)式中 a1=1,a2=4,a3=9,?i?1,k=1,即得問題4, 當(dāng)且僅當(dāng)

1111236

???，即x=,y=,z=時(shí),取到最小值36；

632xyz1

再令(4)式中 a1=1,a2=1,a3=8,?i?1,k=2,即得問題5, 當(dāng)且僅當(dāng)

111112

4???時(shí)，即x=,y=,z=時(shí)，取到最小值64；

244xyz1

再令(4)式中 a1=16,a2=81,a3=1,?1?1,?2?8,?3?27,k=3,即得問題6, 當(dāng)且僅當(dāng)

1112316

???時(shí)，即x=，y=，z=時(shí)，取到最小值1296.3418x2y3z1

注：此命題包含了文[9]中的例5的推廣結(jié)論.2.2 應(yīng)用(1)式探討有關(guān)問題

問題7 若?，???0,????

?，k?R且k?－

2、0，則???＝的充要條件是：

2?2?

seck?2?tank?2?

＝1（5）－kk

csc?cot?

證明當(dāng)－2＜k＜0，即0＜

k

?1＜1時(shí)，應(yīng)用(1)式，則有

2??tan?1?tan?tan?1seck?2?

1+＝k+≤＝．（6）kkk

cotk?csc?

?cot2?2?1?cot2?212

k?2

k

?12

k?12k?12

當(dāng)k?－

2、0，即

k

?1?0、１時(shí)，根據(jù)(1)式等號成立的條件可知： 2

?tan2?

當(dāng)且僅當(dāng)＝1，即＝時(shí)，（6）式取“＝”，即（5）式成立． ???

2cot2?

同理，當(dāng)k??2或k?0時(shí)，應(yīng)用(2)式及(2)式等號成立的條件可得到同樣結(jié)論.參考文獻(xiàn)：

[1] 陽凌云等著．?dāng)?shù)學(xué)素質(zhì)教育導(dǎo)論[M]．湖南科學(xué)技術(shù)出版社，2005，227． [2] 陽凌云．兩個(gè)分式型不等式的拓廣與深化[J]．株洲工學(xué)院學(xué)報(bào)，2004，(2)． [3] 李再湘．柯西不等式的變形與應(yīng)用[J]．?dāng)?shù)學(xué)通報(bào)，1992，(8)． [4] 劉文春．一個(gè)不等式及其應(yīng)用[J]．?dāng)?shù)學(xué)通報(bào)，1999，(1)． [5] 王福楠．一組互相關(guān)聯(lián)的不等式命題[J]．?dāng)?shù)學(xué)通報(bào)，1999，(8)． [6] 徐丹，楊露．一個(gè)不等式的再推廣[J]．?dāng)?shù)學(xué)通報(bào)，2001，(10)． [7] 裘敬華．一個(gè)不等式的改進(jìn)及證明[J]．?dāng)?shù)學(xué)通報(bào)，2003，(8)． [8] 文開庭．也談一個(gè)數(shù)學(xué)命題的拓廣[J]．?dāng)?shù)學(xué)通訊，2005，(5)．

[9] 許建東．第64屆普特蘭數(shù)學(xué)競賽A2題的推廣及應(yīng)用[J]．?dāng)?shù)學(xué)通訊，2006，(1)．

Application ofA Fractional Bi-directional Inequality Theorem

YANG Ling-yun ,ZHANG Cai-xia

(Department of Mathematics & Computer Science, Hunan University of Technology Zhuzhou Hunan 412007,China)

Abstract: This paper applies a fractional bi-directional inequality theorem, carries on the

discussion on inequality proof mentioned in some international mathematics competitions, some books and periodicals.It also probes into a few maximum and minimum problems and inequality proof which is concerned with the triangle's rim and angle, and makes suitable popularization about some of the problems.Key word: fractional inequality；application；popularization

第二篇：不等式和分式應(yīng)用題

1、某中學(xué)為八年級寄宿學(xué)生安排宿舍，如果每間4人，那么有20人無法安排，如果每間8人，那么有一間不空也不滿，求宿舍間數(shù)和寄宿學(xué)生人數(shù)。

2、有10名菜農(nóng),每人可種甲種蔬菜3畝或乙種蔬菜2畝,已知甲種蔬菜每畝可收入

0.5萬元,乙種蔬菜每畝可收入0.8萬元,若要使總收入不低于15.6萬元,則應(yīng)該如何安排人員？

3、出租汽車起價(jià)是10元(即行駛路程在5km以內(nèi)需付10元車費(fèi)),達(dá)到或超過5km

后,每增加1km加價(jià)1.2元(不足1km部分按1km計(jì)),現(xiàn)在某人乘這種出租 汽車從甲地到乙地支付車費(fèi)17.2元,從甲地到乙地的路程大約是多少?

4、在雙休日,某公司決定組織48名員工到附近一水上公園坐船游園,公司先派一個(gè)

人去了解船只的租金情況,這個(gè)人看到的租金價(jià)格表如下:

那么,怎樣設(shè)計(jì)租船方案才能使所付租金最少?(嚴(yán)禁超載)

5、(2001安徽)某工程隊(duì)要招聘甲、乙兩種工種的工人150人，甲、乙兩種工種的工人月工資分別為600元和1000元.現(xiàn)要求乙種工種的人數(shù)不少于甲種工種人數(shù)的2倍,問甲、乙兩種工種各招聘多少人時(shí)，可使得每月所付的工資最少？

6、某工程隊(duì)要招聘甲、乙兩種工種的工人150人，甲、乙兩種工種的工人月工資分別為

600元和1000元.現(xiàn)要求乙種工種的人數(shù)不少于甲種工種人數(shù)的2倍,問甲、乙兩種工種各招聘多少人時(shí)，可使得每月所付的工資最少？

7、某公司到果品基地購買某種優(yōu)質(zhì)水果慰問醫(yī)務(wù)工作者，果品基地對購買量在3000kg

以上（含3000kg）的顧客采用兩種銷售方案。

甲方案：每千克9元，由基地送貨上門；乙方案：每千克8元，由顧客自己租車運(yùn)回。已知該公司租車從基地到公司的運(yùn)輸費(fèi)用為5000元。

（1）分別寫出該公司兩種購買方案付款金額y（元）與所購買的水果量x（kg）之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍。

（2）當(dāng)購買量在哪一范圍時(shí)，選擇哪種購買方案付款最少？并說明理由

8、某公司為了擴(kuò)大經(jīng)營，決定購進(jìn)6臺機(jī)器用于生產(chǎn)某種活塞．現(xiàn)有甲、?乙兩種機(jī)器

供選擇，其中每種機(jī)器的價(jià)格和每臺機(jī)器日生產(chǎn)活塞的數(shù)量如下表所示．經(jīng)過預(yù)算，本次購買機(jī)器所耗資金不能超過34萬元．

（1）按該公司要求可以有幾種購買方案？

（2）若該公司購進(jìn)的6臺機(jī)器的日生產(chǎn)能力不能低于380個(gè)，那么為了節(jié)約資金應(yīng)

選擇哪種方案？

9、水果店進(jìn)了某中水果1t，進(jìn)價(jià)是7元/kg。售價(jià)定為10元/kg，銷售一半以后，為了

盡快售完，準(zhǔn)備打折出售。如果要使總利潤不低于2000元，那么余下的水果可以按原定價(jià)的幾折出售？

10、“中秋節(jié)”期間蘋果很熱銷，一商家進(jìn)了一批蘋果，進(jìn)價(jià)為每千克1.5元，銷售中有

6%的蘋果損耗，商家把售價(jià)至少定為每kg多少元，才能避免虧本？

11、陽光中學(xué)校長準(zhǔn)備在暑假帶領(lǐng)該校的“市級三好生”去青島旅游，甲旅行社說“如果

校長買全票一張，則其余學(xué)生享受半價(jià)優(yōu)惠.”乙旅行社說“包括校長在內(nèi)，全體人員均按全票的6折優(yōu)惠”.若到青島的全票為1000元.（1）設(shè)學(xué)生人數(shù)為x人，甲旅行社收費(fèi)為y 甲元，乙旅行社收費(fèi)為y乙元，分別寫出

兩家旅行社的收費(fèi)表達(dá)式.（2）就學(xué)生人數(shù)x，討論哪家旅行社更優(yōu)惠？

12、某用煤單位有煤m噸，每天燒煤n噸，現(xiàn)已知燒煤三天后余煤102噸，燒煤8天后

余煤72噸.(1)求該單位余煤量y噸與燒煤天數(shù)x之間的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)燒煤12天后，還余煤多少噸？(3)預(yù)計(jì)多少天后會把煤燒完？

13、重量相同的兩種商品，分別價(jià)值900元和1500元,已知第一種商品每千克的價(jià)值比第二種少300元,分別求這兩種商品每千克的價(jià)值。

14、某客車從甲地到乙地走全長480Km的高速公路，從乙地到甲地走全長600Km的普通公路。又知在高速公路上行駛的平均速度比在普通公路上快45Km，由高速公路從甲地到乙地所需的時(shí)間是由普通公路從乙地到甲地所需時(shí)間的一半，求該客車由高速公路從甲地到乙地所需要的時(shí)間。

15、從甲地到乙地的路程是15千米，A騎自行車從甲地到乙地先走，40分鐘后，B騎自行車從甲地出發(fā)，結(jié)果同時(shí)到達(dá)。已知B的速度是A的速度的3倍，求兩車的速度。

16、一臺甲型拖拉機(jī)4天耕完一塊地的一半，加一臺乙型拖拉機(jī)，兩臺合耕，1天耕完這塊地的另一半。乙型拖拉機(jī)單獨(dú)耕這塊地需要幾天？

17、A做90個(gè)零件所需要的時(shí)間和B做120個(gè)零件所用的時(shí)間相同，又知每小時(shí)A、B兩人共做35個(gè)機(jī)器零件。求A、B每小時(shí)各做多少個(gè)零件。

18、某甲有25元，這些錢是甲、乙兩人總數(shù)的20%。乙有多少錢？

19、某甲有錢400元，某乙有錢150元，若乙將一部分錢給甲，此時(shí)乙的錢是甲的錢的10%，問乙應(yīng)把多少錢給甲？

20、我部隊(duì)到某橋頭狙擊敵人，出發(fā)時(shí)敵人離橋頭24千米，我部隊(duì)離橋頭30千米，我部隊(duì)急行軍速度是敵人的1.5倍，結(jié)果比敵人提前48分鐘到達(dá)，求我部隊(duì)的速度。

21、輪船順?biāo)叫?0千米所需要的時(shí)間和逆水航行60千米所用的時(shí)間相同。已知水流的速度是3千米/時(shí)，求輪船在靜水中的速度。

22、某中學(xué)到離學(xué)校15千米的某地旅游，先遣隊(duì)和大隊(duì)同時(shí)出發(fā)，行進(jìn)速度是大隊(duì)的1.2倍，以便提前半小時(shí)到達(dá)目的地做準(zhǔn)備工作。求先遣隊(duì)和大隊(duì)的速度各是多少？

23、某人現(xiàn)在平均每天比原計(jì)劃多加工33個(gè)零件，已知現(xiàn)在加工3300個(gè)零件所需的時(shí)間和原計(jì)劃加工2310個(gè)零件的時(shí)間相同，問現(xiàn)在平均每天加工多少個(gè)零件。

24、我軍某部由駐地到距離30千米的地方去執(zhí)行任務(wù)，由于情況發(fā)生了變化，急行軍速度必需是原計(jì)劃的1.5倍，才能按要求提前2小時(shí)到達(dá)，求急行軍的速度。

25、某商廈進(jìn)貨員預(yù)測一種應(yīng)季襯衫能暢銷市場，就用8萬元購進(jìn)這種襯衫，面市后果然供不應(yīng)求，商廈又用17.6萬元購進(jìn)了第二批這種襯衫，所購數(shù)量是第一批購進(jìn)量的2倍，但單價(jià)貴了4元，商廈銷售這種襯衫時(shí)每件定價(jià)都是58元，最后剩下的150件按八折銷售，很快售完，在這兩筆生意中，商廈共贏利多少元。

26、一個(gè)批發(fā)兼零售的文具店規(guī)定：凡一次購買鉛筆300枝以上，（不包括300枝），可以按批發(fā)價(jià)付款，購買300枝以下，（包括300枝）只能按零售價(jià)付款。小明來該店購買鉛筆，如果給八年級學(xué)生每人購買1枝，那么只能按零售價(jià)付款，需用120元，如果購買60枝，那么可以按批發(fā)價(jià)付款，同樣需要120元，（1）這個(gè)八年級的學(xué)生總數(shù)在什么范圍內(nèi)？

（2）若按批發(fā)價(jià)購買6枝與按零售價(jià)購買5枝的款相同，那么這個(gè)學(xué)校八年級學(xué)生有

多少人？

27、某項(xiàng)緊急工程，由于乙沒有到達(dá)，只好由甲先開工，6小時(shí)后完成一半，乙到來后倆人同時(shí)進(jìn)行，1小時(shí)完成了后一半，如果設(shè)乙單獨(dú)x小時(shí)可以完成后一半任務(wù)，那么x應(yīng)滿足的方程是什么？

28、走完全長3000米的道路，如果速度增加25%，可提前30分到達(dá)，那么速度應(yīng)達(dá)到多少？

29、對甲乙兩班學(xué)生進(jìn)行體育達(dá)標(biāo)檢查，結(jié)果甲班有48人合格，乙班有45人合格，甲班的合格率比乙班高5%，求甲班的合格率？

30、某種商品價(jià)格，每千克上漲1/3，上回用了15元，而這次則是30元，已知這次比上回多買5千克，求這次的價(jià)格。

31、小明和同學(xué)一起去書店買書，他們先用15元買了一種科普書，又用15元買了一種文學(xué)書，科普書的價(jià)格比文學(xué)書的價(jià)格高出一半，因此他們買的文學(xué)書比科普書多一本，這種科普和文學(xué)書的價(jià)格各是多少？

32、甲種原料和乙種原料的單價(jià)比是2：3，將價(jià)值2000元的甲種原料有價(jià)值1000元的乙混合后，單價(jià)為9元，求甲的單價(jià)。

33、某商品每件售價(jià)15元，可獲利25%，求這種商品的成本價(jià)。

34、某商店甲種糖果的單價(jià)為每千克20元，乙種糖果的單價(jià)為每千克16元，為了促銷，現(xiàn)將10千克的乙種糖果和一包甲種糖果混合后銷售，如果將混合后的糖果單價(jià)定為每千克17.5元，那么混合銷售與分開銷售的銷售額相同，這包甲糖果有多少千克？

35、兩地相距360千米，回來時(shí)車速比去時(shí)提高了50%，因而回來比去時(shí)途中時(shí)間縮短了2小時(shí)，求去時(shí)的速度

36、某車間加工1200個(gè)零件，采用新工藝，工效是原來的1.5倍，這樣加工同樣多的零件就少用10小時(shí)，采用新工藝前后每時(shí)分別加工多少個(gè)零件？

第三篇：分式不等式教案

2.3分式不等式的解法

上海市虹口高級中學(xué)

韓璽

一、教學(xué)內(nèi)容分析

簡單的分式不等式解法是高中數(shù)學(xué)不等式學(xué)習(xí)的一個(gè)基本內(nèi)容.對一個(gè)不等式通過同解變形轉(zhuǎn)化為熟悉的不等式是解不等式的一個(gè)重要方法.這兩類不等式將在以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不斷出現(xiàn)，所以需牢固掌握.二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)

1、掌握簡單的分式不等式的解法.2、體會化歸、等價(jià)轉(zhuǎn)換的數(shù)學(xué)思想方法.三、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)

重點(diǎn) 簡單的分式不等式的解法.難點(diǎn) 不等式的同解變形.四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

一、分式不等式的解法

1、引入

某地鐵上，甲乙兩人為了趕乘地鐵，分別從樓梯和運(yùn)行中的自動扶梯上樓（樓梯和自動扶梯長度相同），如果甲的上樓速度是乙的2倍，他倆同時(shí)上樓，且甲比乙早到樓上，問甲的速度至少是自動扶梯運(yùn)行速度的幾倍.設(shè)樓梯的長度為s，甲的速度為v，自動扶梯的運(yùn)行速度為v0.于是甲上樓所需時(shí)間為

s，乙上樓所需時(shí)間為vsvv0?2.由題意，得ss.?vvv?02整理的12?.v2v0?v

由于此處速度為正值，因此上式可化為2v0?v?2v，即v?2v0.所以，甲的速度應(yīng)大于自動扶梯運(yùn)行速度的2倍.2、分式不等式的解法 例1 解不等式：x?1?2.3x?2 1

解：（化分式不等式為一元一次不等式組）

?5?x?1?x?1x?1x?1?2??2?0??0 ?0?3x?23x?23x?23x?2?x?1?x?1?x?1?0?x?1?02???x?1或x不或?或?????2?233x?2?03x?2?0x?x????3?3??存在.所以，原不等式的解集為??2??2?,1???，即解集為?,1?.?3??3?注意到

x?1?03x?2??x?1?0??3x?2?0或?x?1?0??3x?2??x?1??0，可以簡化上述解法.??3x?2?0另解：（利用兩數(shù)的商與積同號（為一元二次不等式）

aa?0?ab?0，?0?ab?0）化bb?5?x?1?x?1x?1x?1?2??2?0??0 ?0?3x?23x?23x?23x?2??3x?2??x?1??0?2?2??x?1，所以，原不等式的解集為?,1?.3?3?由例1我們可以得到分式不等式的求解通法：

（1）不要輕易去分母，可以移項(xiàng)通分，使得不等號的右邊為零.（2）利用兩數(shù)的商與積同號，化為一元二次不等式求解.一般地，分式不等式分為兩類：

f?x?（1）； ?0（?0）?f?x?g?x??0（?0）g?x?（2）

?f?x??f?x?g?x??0??0?.?0（?0）??g?x???g?x??0 2

[說明]

解不等式中的每一步往往要求“等價(jià)”，即同解變形，否則所得的解集或“增”或“漏”.由于不等式的解集常為無限集，所以很難像解無理方程那樣，對解進(jìn)行檢驗(yàn)，因此同解變形就顯得尤為重要.例2 解下列不等式

?x?1?0.x?52?3.（2）3?5xx?8?2.（3）2x?2x?3x?1?0??x?1??x?5??0?1?x?5，解（1）原不等式?x?5（1）所以，原不等式的解集為?1,5?.（2）原不等式?215x?715x?7?3?0??0??0 3?5x3?5x5x?3????15x?7??5x?3??0???5x?3?0?3?7?x???155??x?3?5??73?x?，155所以，原不等式的解集為??73,155?2??.?2（3）分母：x?2x?3??x?1??1?1?0，則

原不2等式?x?82?2?xx????x?2??3?x4x?? ??2x22?6?x??2或x??1??,?2????,????.?2?1，所以，原不等式的解集為2 3

例3 當(dāng)m為何值時(shí)，關(guān)于x的不等式m?x?1??3?x?2?的解是（1）正數(shù)？

（2）是負(fù)數(shù)？

解：m?x?1??3?x?2? ??m?3?x?m?6（*）當(dāng)m?3時(shí)，（*）?0?x?9?x不存在.當(dāng)m?3時(shí)，（*）?x?（1）原

m?6.m?3方

程的解

為

正

數(shù)?x?（m?6?0?(m?m?3）原

方

m6?程

?)?m??6或m?3.的解

為

負(fù)

數(shù)2?x?m?6?0?(m?m?3m6??)??6?m?3.所以，當(dāng)m????,?6???3,???時(shí)，原方程的解為正數(shù).當(dāng)m???6,3?時(shí)，原方程的解為負(fù)數(shù).四、作業(yè)布置

選用練習(xí)2.3（1）（2）、習(xí)題2.3中的部分練習(xí).五、課后反思

解分式不等式關(guān)鍵在于同解變形.通過同解變形將其轉(zhuǎn)化為熟悉的不等式來加以解決，這種通過等價(jià)變形變“未知”為“已知”的解決問題的方法是教學(xué)的重點(diǎn)也是難點(diǎn)，需在課堂教學(xué)中有所強(qiáng)調(diào).整個(gè)教學(xué)內(nèi)容需讓學(xué)生共同參與，特別是在“同解變形”這一點(diǎn)上，應(yīng)在學(xué)生思考、討論的基礎(chǔ)上教師、學(xué)生共同進(jìn)行歸納小結(jié).

第四篇：分式不等式練習(xí)

分式不等式的解法：

f(x)f(x)f(x)?0?0(或?01）標(biāo)準(zhǔn)化：移項(xiàng)通分化為(或)；g(x)g(x)g(x)

f(x)?0)的形式，g(x)

2）轉(zhuǎn)化為整式不等式（組）

?f(x)g(x)?0f(x)f(x)?0?f(x)g(x)?0；?0?? g(x)g(x)?g(x)?0

解分式不等式：

x?52x?3?0?01、2、x?4x?2

2x?31?2x?1?04、3、x?2x?3

5x?33x?2?16、5、2x?32x?2

第五篇：初高中銜接分式不等式

一

分式不等式

aa

?0?ab?0;?0?ab?0； bb

方法總結(jié)：

練習(xí)：解下列不等式 ⑴ a

?0?ab?0且b?0；（也可以：ab?0或a?0）ba

?0?ab?0且b?0（也可以：ab?0或a?0）x?3x?1

??1⑵?2 x?2x

b

例

1、解不等式

x?3

x?7

?0

方法總結(jié)：

練習(xí)：解下列不等式 ⑴x?3x?5?0

例

2、解不等式

x?1

x?2

?0

方法總結(jié)：

練習(xí)：解下列不等式 ⑴2?x2?x?0

例

3、解不等式x?1

x

?

2⑵1?2x

x?4

?0⑵2x?15

5x?2

?0

例

5、不等式1?3xx

?0的解集是___________________

作業(yè)：

1、（06浙江高考）不等式x?1

x?2

?0的解集是（2010全國卷2文數(shù)）解不等式x?3

x?2

＜0.5、（08寶雞模擬）不等式xx?1

?1的解集為____________________

x?1

16.（上海理4）不等式x?3的解為。

6、（07遼寧模擬）關(guān)于x的不等式ax?b?0的解集為x?1，則關(guān)于不等式ax?b

x?2

?0的解集為_________________________